Download pdf - Adhemar Castilho - Análise de Vibrações - Tese

7/23/2019 Adhemar Castilho - Anlise de Vibraes - Tese

1/389

UMA VISO GLOBAL DA ROTODINMICA DE TURBOMQUINAS: NFASE

NO MTODO DE ELEMENTOS FINITOS E NA PROPRIEDADE DOS

AUTOVETORES GIROSCPICOS DESACOPLAREM

AS EQUAES DE MOVIMENTO

Adhemar Castilho

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS

PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE DOUTOR EM CINCIAS

EM ENGENHARIA OCENICA

Aprovada por :

________________________________________

Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D

________________________________________

Prof. Tiago Alberto Piedras Lopes, D.Sc.

________________________________________

Prof. Paul Eugene Allaire, Ph.D

________________________________________

Prof. Moyss Zindeluk, D.Sc.

________________________________________

Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

SETEMBRO DE 2007


2/389

ii

CASTILHO, ADHEMAR

Uma Viso Global da Rotodinmica de

Turbomquinas: nfase no Mtodo de

Elementos Finitos e na Propriedade dos

Autovetores Giroscpicos Desacoplarem as

Equaes de Movimento [Rio de Janeiro]

Setembro, 2007

XXII. 366p. 29,7cm (COPPE/UFRJ,

DSc., Engenharia Naval, 2007)

Tese Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1. Rotodinmica I. COPPE/UFRJ

II. Titulo (srie)


3/389

iii

DEDICATRIA

Dedico esta Tese minha famlia que muito me apoiou em todos os momentos

difceis desta jornada.

Dedico tambm esta Tese a todos os meus Amigos, que de muitas formas

incentivaram, patrocinaram, fomentaram, viabilizaram e permitiram que este sonho tenha

se tornado uma realidade.

Embora os seus nomes no apaream aqui explicitados, estou bem certo que todos

eles conhecem perfeitamente o tamanho da minha dvida de gratido


4/389

iv

AGRADECIMENTO

Como agradecer a Quem tanto fez por mim ?

Para agradec-Lo farei uso da linguagem potica empregada pelo rei Davi no

Salmo oitavo da Bblia Sagrada.

Que o homem para que dele te lembres ?

e o filho do homem para que o visites ?

Fizeste-o no entanto por um pouco menores do que Deuse de glria e honra o coroaste.

Deste lhe domnio sobre as obras das tuas mos,

E sob seus ps tudo lhe pusestes :

Ovelhas e bois, todos

e tambm os animais do campo ;

as aves do cu e os peixes do mar,

e tudo o que percorre as sendas dos mares.

Senhor , Senhor nosso,quo magnfico em toda a terra o teu Nome !

DEUS deu ao homem delegao sobre todo o conhecimento, de tal forma que

nenhum conhecimento est oculto ao gnero humano. Todo novo conhecimento

representa um presente de DEUS, uma ddiva do DEUS ETERNO.

Todo novo conhecimento tem por finalidade promover o Amor e a Paz dentro do

Universo. Neste sentido espero que este trabalho possa contribuir de alguma forma para

o bem de todos que se proponham a usar, aperfeioar ou implementar estas idias aqui

elaboradas.

Esta Tese uma declarao de F.

Toda Honra e Toda Glria so devidas a DEUS Soli Deo Gloria .


5/389

v

Resumo da Tese apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessrios para

a obteno do grau de Doutor em Cincias (D. Sc.)

UMA VISO GLOBAL DA ROTODINMICA DE TURBOMQUINAS: NFASE

NO MTODO DE ELEMENTOS FINITOS E NA PROPRIEDADE DOS

AUTOVETORES GIROSCPICOS DESACOPLAREM AS

EQUAES DE MOVIMENTO

Adhemar Castilho

Setembro de 2007

Orientador : Tiago Alberto Piedras Loppes, D. Sc.

Programa : Engenharia Ocenica

Esta Tese tem seu foco principal na discusso das tcnicas rotodinmicas associadas

ao equacionamento e soluo da equao de movimento de rotores flexveis. A

metodologia utilizada o sucessivo equacionamento e soluo de problemas de

complexidade crescente e que possibilitem a completa compreenso dos fenmenos

fsicos envolvidos.

O equacionamento inicialmente feito com a ajuda de modelao contnua. Na

medida em que o modelo fica mais complexo torna-se imperativo o uso de tcnicas

discretas, as quais apresentam um elevado nvel da abstrao e conseqentemente

comprometem o sentido fsico. Especial nfase dada ao mtodo dos Elementos Finitos.

O aspecto inovador desta Tese o desenvolvimento de um novo mtodo de soluo

das equaes de movimento de sistema giroscpicos conservativos.


6/389

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D. Sc.)

AN OVERALL UNDERSTANDING ON TURBO MACHINERY FINITE ELEMENT

ROTOR DYNAMICS APPROACH, EMPHASIS ON GYROSCOPIC

EIGENVECTORS DECOUPLING PROPERTY AT GYROSCOPIC CONSERVATIVE

MOTION EQUATIONS

Adhemar Castilho

September, 2007

Advisor : Tiago Alberto Piedras Loppes, D. Sc.

Department : Ocean Engineering

This dissertation main focus is connected to rotor dynamic modelling techniques

and dynamic interaction between machinery and its support structure.

The Thesis introduces the problem in a sequence of different rotordynamic problems

in an increasing degree of complexity, in order to allow a complete understanding of all

physical phenomenon.

At beginning, equations are developed in continuous approach theory which allows

a good level of physical understanding, up to the point where finite element approach

need to be implemented due to limitations on representing real rotor model.

Finite element approach is too much abstract and does not permit easy physical

association to mathematical simulation. This thesis brings a big effort trying not to lose

contact with physical meaning in simulation process.

This thesis main discussion is associated with a new uncoupling method applied to

gyroscopic conservative systems based on gyroscopic eigenvectors.


7/389

vii

NDICE DO TEXTO

I INTRODUO Pagina1.1 Histrico (004)

1.1.1 Anlise e Reviso do Conhecimento Rotodinmico (004)1.1.2 Reviso do Conhecimento sobre Suportao de Mquinas (006)

1.1.3 Reviso Histrica dos Mtodos de Reduo de Matrizes (009)

1.1.4 Histria Rotodinmica dos ltimos Anos no BRASIL (010)

1.1.5 Rotodinmica nos ltimos 10 anos no Mundo (013)

1.2 Diretrizes Utilizadas para a Construo do Conhecimento (018)

1.2.1 Foco da Tese (018)

1.2.2 Apresentao dos Captulos: Corpo da Tese (022)

1.2.3 Impacto da Pesquisa (026)

1.2.4 Aspectos Inovadores da Pesquisa (027)

1.2.5 No constitui foco desta Tese os seguintes aspectos (028)

I I CINEMTICA DE UM ROTOR EM BALANO2.1 Precesso e Rotao (029)

2.2 Freqncia Natural e Velocidade Crtica (030)

2.3 Coordenadas Globais de um Volante (031)

2.4 Orientao Angular do Disco em Termos da Elstica (032)

2.5 Velocidades e Aceleraes Angulares do Disco (034)

2.6 Energia Cintica Total do Disco/Eixo (036)

2.7 Freqncias Naturais de um Rotor em Balano (037)

2.7.1 Equaes Bsicas de Equilbrio do Rotor (037)

2.7.2 Equao de Freqncia (039)

2.7.3 Analise das Curvas de Freqncia (040)

III FREQNCIAS E MODOS NATURAIS EMROTORES (CONTNUO)

3.1 Equao Diferencial do Movimento do Rotor em Balano (042)

3.1.1 Estabelecimento da Equao Diferencial (043)3.1.1.1 Relao Entre a Curvatura e o Momento Fletor (045)

3.1.1.2 Equao de Equilbrio do Elemento de Eixo (046)

3.1.1.3 Determinao da Relao Entre o Cortante e o Fletor (049)

3.1.2 Caracterizao das Condies de Contorno (049)

3.1.2.1 Condies de Contorno na Extremidade do Volante (050)

3.1.2.2 Condies de Contorno na Extremidade com Mola (051)


8/389

viii

3.1.3 Soluo da Equao Diferencial de Movimento (053)

3.1.3.1 Determinao das Freqncias Naturais (054)

3.1.3.2 Determinao dos Modos Normais de Vibrao (059)

3.1.4 Exemplos : Caso de Estudo (060)

3.1.4.1 Influncia da Variao Dimetro Suspenso Rgida (061)

3.1.4.2 Influncia da Variao do Comprimento do Eixo (062)

3.1.4.3 Modos Normais de Vibrao (063)

3.2 Equao de Movimento Rotor Bi-Apoado (064)

3.2.1 Determinao da Equao de Movimento (064)

3.2.2 Caracterizao das Condies de Contorno (066)

3.2.3 Soluo da Equao Diferencial de Movimento (067)

3.2.3.1 Determinao das Freqncias Naturais (071)

3.2.3.2 Determinao dos Modos Naturais de Vibrao (073)

IV FREQNCIAS/MODOS NATURAIS DE VIBRAO

4.1 Hipteses Simplificadoras do Modelo. (071)

4.2 Parcelas de Energia de Flexo (equilbrio Dinmico) (072)

4.2.1 Energia Cintica do Eixo (072)

4.2.2 E nergia Cintica do Impelidor (072)

4.2.3 Energia Potencial do Eixo (072)

4.2.4 E nergia Potencial das Molas (073)

4.3 Deduo da Equao Diferencial (073)

4.3.1. Energia Cintica de Translao/Rotao do Eixo (074)

4.3.2. Energia Cintica de Translao/Rotaao do Impelidor (076)

4.3.3 Energia Potencial do Eixo (078)

4.3.4 Energia Potencial das Molas (079)

4.4 Soluo da Equao Diferencial, (081)

4.4.1 Preparao das Equaes (081)

4.4.2 Condies de Contorno com Mola (082)

4.4.3 Soluo da Eq. Dif. de Movimento (083)

4.4.3.1 Clculo dos Coeficientes a Determinar (086)4.4.3.2 Soluo do Sistema Algbrico (089)

4.4.3.3 Definio da Elstica : Autovetor (093)

4.5 Resultados Obtidos dos Clculos de Computador (094)

4.6 Concluses Sobre a Pertinncia do Mtodo (104)


9/389

ix

V ELEMENTOS FINITOS NA ROTODINMICA 35.1 Elementos Finitos em Turbomquinas (109)

5.1.1 Diferentes Formas de Energia (111)

5.1.1.a Energia Cintica do Eixo (111)

5.1.1.b Energia Cintica do Impelidor (112)

5.1.1.c Energia Potencial do Eixo (112)

5.1.1.d Energia Potencial das Molas dos Mancais (113)

5.1.2 Aplicao da Teoria de Vigas para Eixos (113)

5.1.3 Discretizao do Eixo em Elementos Finitos (115)

5.2 Estabelecimento das Matrizes de Elementos Finitos (116)

5.2.1 Matriz de Rigidez do Rotor (116)

5.2.2 Matrizes de Massa/Inerciais/Giroscpica do Rotor em YZ (126)

5.3 Equao de Movimento do Rotor (Rotao Constante) (136)

5.3.1 Equao de Movimento do Eixo (136)5.3.2 Equao de Movimento do Eixo/Disco (136)

5.3.3 Equao de Movimento do Eixo/Disco/Mancais (139)

5.4 Discusso sobre a Rigidez dos Mancais (141)

5.5 Discusso sobre o Amortecimento dos Mancais (143)

5.6 Soluo da Equao de Movimento ( Autovalor) (146)

5.6.1 Transformaes em Sistemas Lineares : Propriedades (148)

5.6.2 Soluo da Equao de Movimento com Amortecimento Puro (150)

5.6.2.a Soluo Simplificada, Sistema com Amortecido Proporcional (151)

5.6.2.b Soluo Simplificada para o Problema de Resposta Dinmica (Truncamento) (153)

5.6.2.c Soluo Simplificada do Sistema com Amortecimento (154)

5.6.2.d Soluo Geral da Equao do Sistema com Amortecimento Puro (156)

5.6.3 Soluo da Equao do Sistema Giroscpico Puro : (Forma Padro) (158)

5.6.3.a Problema de Autovalor : Sistema Giroscpico (Forma Padro) (158)

5.6.3. a-1 Exerccio Giroscpico 1 (Roda de Bicicleta 1) (159)

5.6.3. a-2 Prova de Desacoplamento das Equaes do Sistema Giroscpico Puro : (165)

5.6.3. a-3 Exerccio Giroscpico 2 (Roda de Bicicleta 2) (175)

5.6.3. a-4 Prova de Desacoplamento das Equaes do Sistema Giroscpico Puro N GL: (185)

5.6.3. a-5 Exerccio Giroscpico 3 (8X8 - Rotor em Balano ) (189)

5.6.4 Autovalores do Sistema Giroscpico Puro (Equao de Estado) (197)5.6.4.a Problema de Resposta Dinmica em Sistema Giroscpico Puro (202)

5.6.5 Soluo Equao do Sistema Giroscpico Amortecido (208)

5.6.5.a Sistema Giroscpico Amortecido Simplificado (209)

5.6.5.b Sistema Giroscpico Amortecido (Problema de Autovalor) (209)

5.6.6 Resposta Dinmica do Sistema Giroscpico Amortecido (212)


10/389

x

VI INSTABILIDADE EM ROTORES FLEXVEIS

6.1 Precesso ou Chicoteamento (218)

6.1.1 Diferentes do Formas Mecanismo de Precesso (219)

6.1.1.1 Instabilidade Histertica (220)

6.1.1.2 Instabilidade Hidrodinmica (Oil Whirl) (224)

6.1.1.3 Fora de Alford (Folga no topo de palhetas) (225)

6.1.1.4 Instabilidade por Atrito Seco (Rubbing dry friction/whip) (226)

6.1.1.5 Instabilidade por Fluido Aprisionado no Rotor (227)

6.1.1.6 Instabilidade de Compressores de Alta Presso (228)

6.1.2 Diagnstico de Vibraes Auto-excitadas (228)

6.1.2.1 Diferenas entre Chicoteamento e Outras Vibraes (228)

6.1.2.2 Identificao, Diagnose e Soluo (230)

6.1.3 Simulao dos Fenmenos de Instabilidade (231)

6.1.3.1 Simulao com Um Grau de Liberdade (231)

6.1.3.2 Simulao com Dois Graus de Liberdade (233)

6.1.3.2.1 Exerccio de Estabilidade 1 ( Instabilidade Histertica) (233)

6.1.3.2.2 Exerccio de Estabilidade 2 ( Instabilidade Hidrodinmica) (237)

6.1.4 Ampliao do Conceito de Instabilidade (244)

6.1.4.1 Exerccio de Estabilidade 3 (Routh Hurwttz) (245)

6.1.5 Generalizao do Conceito de Instabilidade em Sistemas Lineares (247)

6.2 Instabilidade Paramtrica (251)

6.3 Atrito Varivel Prende-Solta (253)

6.4 Comentrios Finais (254)

VII EXEMPLO ROTODINMICO-1 SUPORTE RGIDO7.1 Modelao do Rotor (257)

7.2 Resultados Obtidos com a Anlise das Velocidades Crticas (259)

7.3 Clculo da Rigidez e Amortecimento dos Mancais (261)

7.4 Resposta do Rotor ao Desbalanceamento (262)

7.5 Estudo de Estabilidade do Rotor (266)

7.6 Concluses Finais do Relatrio Rotodinmico (270)


11/389

xi

VIII EXEMPLO ROTODINMICO 2 (SUPORTE FLEXVEL):

8.1 Modelao da Estrutura por Elementos Finitos (ANSYS). (272)

8.1.1 Modelo Simplificado da Estrutura de Suportao (273)

8.1.2 Modelo Completo da Estrutura de Suportao (274)

8.1.3 Funo de Resposta em Freqncia (276)

8.2 Modelao Rotodinmica pelos Programas do ROMAC (276)

8.2.1 Modelao do Rotor (277)

8.2.2 Anlise dos Mancais Hidrodinmicos (278)

8.2.2.1 Anlise dos Mancais (Velhos) (278)

8.2.2.2 Anlise dos Mancais (Novos) (378)

8.3 Reduo Dinmica da Estrutura: (Coeficientes dos Mancais ) (279)

8.3.1 Reduo da Matriz Original para 155 Master GLs Principais (279)

8.3.2 Reduo da Matriz de 155 GLs para 14 GLs (280)

8.3.2.1 Problema de Autovalor: Soluo Usando Hankel Singular Value (280)8.3.2.2 Construo das FRFs dos Mancais para 14 GLs (281)

8.4 Anlise das Propostas de Modificao da Estrutura e dos Mancais : (282)

8.4.1 Modificao dos coeficientes dos Mancais eqK , eqC (282)

8.4.2 Soluo do Modelo: Freqncias Naturais Amortecidas e Modos Vibrar Acoplados (282)

8.5 Soluo de Compromisso: (283)

8.5.1 Modificaes da Estrutura (Filosofia) (283)

8.5.2 Primeira Proposta (Compromisso Resultado Simplicidade) (283)

8.5.3 Interao Rotor/Mancais/Estrutura (Anlise Assncrona) (284)

8.6 Comentrios finais (286)8.6.1 A Melhor Opo: Coluna de Concreto Conforme Modelo (286)

8.6.2 Resultado de Campo (286)

I X CONCLUSO (287)

BIBLIOGRAFIA

APNDICE A Relatrio Relativo a Estudo de Caso RealCOMPRESSOR 105-J da FAFEN/SE

APNDICE B MODOS DE VIBRAO DA ESTRUTURA


12/389

xii

INDICE DE FIGURAS

I INTRODUOFIG. 1.1 - ROTOR GIROSCPIO EM BALANO, 2 GL

FIG 1.2 - ROTOR CONTNUO EM BALANO.

FIG 1.3 - ROTOR ESQUEMTICO BI - SUPORTADO.

FIG 1.4 - ROTOR ESQUEMTICO SUPORTADO POR MOLA

FIG 1.5 - ROTOR REAL SUPORTADO ENTRE MANCAIS.

FIG 1.6 - ROTOR ESQUEMTICO EM SUPORTE FLEXVEL

I I CINEMTICA DE UM ROTOR EM BALANO

FIG 2.1 - SISTEMA DE COORDENADAS XYZ, xyz

FIG 2.2 - NGULOS DE EULER.

FIG 2.3 - NGULOS DE EULER. DECOMPOSTO

FIG 2.4 - COORDENADAS (X, ) DO MODELO DISCRETO

FIG 2.5 - FREQNCIAS NATURAIS DO MODELO

III FREQNCIAS/MODOS NATURAIS DE VIBRAO

EM ROTORES FLEXVEIS (CONTNUO)

FIG 3.1 - EQUILBRIO DINMICO

FIG 3.2 - COORDENADAS DO EIXO INERCIAL

FIG 3.3 - GEOMETRIA DA CURVATURA PLANA DO EIXO

FIG 3.4 - CONDIO DE CONTORNO DO VOLANTE

FIG 3.5 - CONDIO DE CONTORNO DA MOLA

FIG 3.6 - VARIAO DOS PARMETROS

FIG 3.7 - CONJUNTO DE ZEROS DE [DET M]

FIG 3.8 - TABELA ESQUEMTICA

FIG 3.9 - VARIAO DO DIMETRO

FIG 3.10 - VARIAO DO COMPRIMENTO

FIG 3.11 - MODOS NORMAIS DE VIBRAO DO ROTOR


13/389

xiii

IV FREQNCIAS/MODOS DE VIBRAO (Hamilton):

FIG 4.1 - ROTOR ESQUEMTICO SUPORTADO P/ MOLA

FIG 4.2 - VALORES QUE ANULAM DET [M] P/ = cte

FIG 4.3 - TABELA ESQUEM. FREQNCIAS NATURAISFIG 4.4 - VAR. PRIM. FREQ. NAT. COM DIMT. DO DISCO

FIG 4.5 - VAR. SEG. FREQ. NAT. COM O DIM. DO DISCO

FIG 4.6 - VAR. PRIM. FREQ. NAT. COM A POSI. DO DISCO

FIG 4.7 - VAR. SEG. FREQ. NAT. COM A POSI. DO DISCO

FIG 4.8 - VAR. TERC. FREQ. NAT. COM A POSI. DO DISCO

FIG 4.9 - VAR. 1 e 2 FREQ. NAT. C/ A ROTAO P/910K

FIG 4.10 - VAR. 1 CRTICA COM A RIG. DO MANC. K

FIG 4.11 - VARIAO DAS CRTICAS/FREQNCIAS NATURAIS COM DOIS ROTORES

V ROTODINMICA COM ELEMENTOS FINITOS

FIG 5.1 - DESENHO ESQUEMTICO DE UM ROTOR

FIG 5.2 - EIXOS DO ROTOR :

FIG 5.3 - CONVENO DO FLETOR POSITIVO EM YZ

FIG 5.4 - PARTIO PLANA DO ROTOR

FIG 5.5 - MODELO DE PARTIO. DO ROTOR 3D

FIG 5.6 - MONTAGEM DA MATRIZ GLOBAL

FIG 5.7 - ROTOR REAL SUPORTADO ENTRE MANCAIS.

FIG 5.8 - RBITAS ELPTICAS DE UM ROTOR REAL

FIG 5.9 - EXERCCIO GIROSCPICO 1



FIG 5.12 - RESULTADO ESQUEMTICO (CAMPBEL)

VI INSTABILIDADE EM ROTORES FLEXVEIS

FIG 6.1 - FR PROPULSORA TF DA PRECESSO DO ROT.

FIG 6.2 - DEFLX ESTT.DEV.PESO PRPRIO

FIG 6.3 - FRS ELSTICAS DE DEFX. DO EIXO

FIG 6.4 - FRS DE AMORTEC. FIBRAS DO EIXO

FIG 6.5 - ATRASO ENTRE LNT E LND AMORTEC.


14/389

xiv

FIG 6.6 - CROSS COUPLING HIDRO-DINMICO

FIG 6.7 - CROSS COUPLING CAUS. FR DE ALFORD

FIG 6.8 - CROSS COUPLING CAUS. P/ ATRITO SECO

FIG 6.9 - CROSS COUPLING CAUS. P/ LQ. ROTOR

FIG 6.10 - CRITRIO DE ESTABILIDADE DE COMP.

FIG 6.11 - DIAGR. CASCATA P/ DIAGNS. INSTABILIDADE.

FIG 6.12 - MOVM. VIBRATRIO ESTVEL/INSTVEL

FIG 6.13 - EFEITO DO ACOPLAMENTO CRUZADO.

FIG 6.14 - MODELO MATEMTICO PARA 2 .GL

FIG 6.15 - ROTOR EM MOVM. DE ROT. E PREC.

FIG 6.16 - EQUILBRIO DINMICO DO ROTOR :

FIG 6.17 - FRS EM UM MANCAL NORMAL

FIG 6.18 - AMORTECEDOR DE LEO PRENSADO

FIG 6.19 - FRS EM MANCAL COM LEO PRENSADO

VII EXEMPLO ROTODINMICO 1 (SUPORTE RGIDO):

FIG 7.1 - DESENHO ESQUEMTICO DO ROTOR DA TURBINA

FIG 7.2 - DESENHO ESQM. DO ROTOR DA TURBINA

FIG 7.3 - MAPA DAS CRTICAS DO ROTOR DA TURBINA

FIG 7.4 - RSPT. DINMICA NO MANC. EX, PESO NO CENTRO

FIG 7.5 - RSPT. DINMICA NO CENTRO, PESO NO CENTRO

FIG 7.6 - RSPT. DINMICA NO MANCAL INT., PESO CENTRO

FIG 7.7 - RSPT. DINMICA NO MANCAL EXT., PESO PONTAS

FIG 7.8 - RSPT. DINMICA NO CENTRO, PESO PONTAS

FIG 7.9 - RSPT. DINMICA MANCAL INT., PESO PONTAS

FIG 7.10 - PRIMEIRO MODO AMORTECIDO A 1000 rpm

FIG 7.11 - SEGUNDO MODO AMORTECIDO A 1000 rpm

FIG 7.12 - PRIMEIRO MODO AMORTECIDO 3000 rpm

FIG 7.13 - QUARTO MODO AMORTECIDO A 6550 rpm

FIG 7.14 - PRIMEIRO MODO AMORTECIDO A 9000 rpm

FIG 7.15 - SEGUNDO MODO AMORTECIDO A 9000 rpmFIG 7.16 - TERCEIRO MODO AMORTECIDO A 9000 rpm

FIG 7.17 - QUARTO MODO AMORTECIDO A 9000 rpm

FIG 7.18 - DIAGRAMA CASCATA PRODUZIDO PELO AD4


15/389

xv

VIII EXEMPLO ROTODINMICO 2 (SUPORTE FLEXVEL)

FIG 8.1 - CONJUNTO COMPRESSOR 105-J

FIG 8.2 - QUARTO MODO DE VIBRAO DA ESTRUTURA

FIG 8.3 - NONO E DCIMO MODOS

FIG 8.4 - FRF DO MANC. MOTOR LA VERTICAL

FIG 8.5 - DESENHO DO ROTOR DO MOTOR

FIG 8.5a - DESENHO ESQUEMTICO DO ROTOR

FIG 8.6 - FREQNCIAS NAT./ MODOS DO ROTOR

FIG 8.7 - ESQ. MANC LUBRIF. P/ ANEL - ARCO PARCIAL

FIG 8.8 - FRF DO MANC. LA HORIZONTAL (14 GL)

FIG 8.9 - FRF DO MANC LA VERTICAL (155 GL)

FIG. 8.10 - MODIFICAO IMPLEMENTADA

FIG. 8.11 - FRFs DA SOLUO APRESNT. SECO 8.5.1.1FIG. 8.12 - COMP. DAS FRF DO MANCAL LA ANTES/DEPOIS

FIG. 8.13 - RESP. NO ACOPLMT COM/SEM FUND

FIG. 8.14 - RESP. MANC. LA COM/SEM FUND.

FIG. 8.15 - RESP. MANC. LOA COM/SEM FUND.

FIG. 8.16 - RESP. NA EXCITATRIZ COM/SEM FUND.

FIG. 8.17 - ESPECTRO DE VIBRAO VERTICAL MOTOR LA


16/389


17/389

xvii

LISTA DE SMBOLOS

"A" "B", "C" e "D", Coeficientes a Determinar do mtodo de Cramer

A, B, C, D, E, F, G, H Constantes de Integraoa Razo: Momentos de Inrcia, Polar e Diametral.

a Constante Auxiliar.

A,b,c,d,e,f,g Coeficientes Auxiliares.

ija Coeficiente Auxiliar de Integrao

*a Acelerao do centro de gravidade

a Acelerao em Coordenadas Cilndricas

A, Pontos da superfcie do eixoA Matriz representativa do Sistema aberto

b Constante Auxiliar

BBT Segunda Derivada deeN

B Carregamento de entrada (input);

Cij Elemento da Matriz de Amortecimento em i, j.

[ ] [ ]=

=s

rj

j

jaC Matriz de Amortecimento

[ ]eC Matriz de Amortecimento

C Centro do Disco

CG. Centro de Gravidade do Disco

dC Coeficiente de Amortecimento Externo,

iC Coeficiente de Amortecimento Interno,

KMCc 2= Amortecimento Crtico

C Amortecimento Cruzadob

C Folga do Mancal (Bearing Clearence)

pC Folga da sapata (Pad Clearence)

D Adimensional de Inrcia

D Dimetro da palheta


18/389

xviii

D Matriz de sada (out-put)

E Adimensional Elstico

eerr= Vetor em Coordenadas Cilndricas

zrzr eeeeee ,.,.,.,. Vetores Unitrios do Referencial Cilndricozyxzyx

eeeeee ,.,.,.,. Vetores Unitrios do Referencial Mvel x,y,z

CEEC, Energia Cintica

PEEP, Energia Potencial

),(),,( tzECtzEP Energia Cintica e Potencial em funo de Z

E Modulo de Young ( 2/LF )

[ ]E = Matriz que enfatiza a deslocamento Vertical YE,F, Funes Transcendentais de da Elstica

F Adimensional de Precesso .

FFFFiv ,,, Derivadas da Elstica

)(ZFn Equao da Elstica

F Derivada Parc./Ordin. de F em relao a Z

F& Derivada Parcial da funo F em relao a t

TF

Fora TangencialRF Fora Radial

F Fora Radial

SF Fora Vapor

NF Fora Normal

G Centro de gravidade do disco

G Modulo de Cisalhamento ( 2/LF ),

G,H, Funes Transcendentais da Elstica[ ]eG Matriz Giroscpica

[ ])(sG Matriz da funo de transferncia

h Altura ou Raio do no Eixo


19/389

xix

{ } { }

==q

qh

& Varivel auxiliar (autovalor)

xyzH Vetor Momento Cintico

xH&

Derivada em t do Momento Cintico (x)

xyzH&

Derivada Total do Momento Cintico.

[H] Matriz de Resposta em Freqncia

H Hamiltoniano

H Altura da Palheta da Turbina (Fora de Alford)

k.,.j.,.i i, j, k Vetores Unitrios do Referencial Inercial.

I,J, Funes Transcendentais da Elstica

2P .I mKg= Momento Polar de Inrcia do Disco. 2ML

PI Momento Polar de Inrcia do Eixo.2ML

I Momento de Inrcia Transversal do Disco. 2ML

I Momento de Inrcia Transversal.

I ; i ; j = 1 Numero Complexo.

)(ZIs Funo de distribuio de Inrcia

=XX

I I YYI= Momento de Inrcia Transversal de rea ( )4L

YXj(

= Operador de rotao, 90 graus

XYj = Operador de rotao, 90 graus

k Fator de Forma ao Cisalhamento

K, Rigidez de Mola Linear do Mancal.

,,kKF Rigidez de Mola Angular do Mancal.

jiK ,.. Elemento da Matriz de Rigidez em i,j.

[ ]eK Matriz de Rigidez

4321 ,,, xxxx KKKK Elementos da Matriz de Rigidez

K Rigidez cruzada

[ ] [ ] 1)()( = sGsKseq Rigidez dinmica Equivalente


20/389

xx

LM Linha dos Mancais

LC Linha de Centro do Disco

GSGzGL == )()}({ Transformada de Laplace

l ,L Comprimento do Eixo/Elemento.M Momento Fletor no eixo (FL)

YX MM , Fletor nas Direes X e Y (FL)

( )zm Massa distribuda do Eixo como funo de Z

)(Zms Funo de distribuio de Inrcia

m Massa distribuda do Eixo

m = Massa por unidade de comprimento

dMM= Massa do disco[ ]eM Matriz de Inrcia

4321 ,,, xxxx MMMM Elementos da Matriz de Inrcia

Mancal Floaded Sem cavitao

Mancal Starved Com cavitao

M Preload (pr-carga do Mancal)

eee NNN ,, Funo de Interpolao do Elemento e Derivadas

Os, O Cenytro do Eixo

(P,T) Carregamento Dinmico do Disco (Fora e Torque)

)();( ZQZP Funes Peridicas

[ ]P Auto-vetor

P Carga Axial (F)

{Q} Vetor Posio

)(ZQ Elstica do Eixo

)(SQ Elstica do Eixo no Domnio de LaplaceeQ Coordenadas Generalizadas dos nos do elemento


21/389

xxi

e

XJ

Yj

Xi

Yi

Qu

u

q

q

q

q

=

=

4

3

2

1

Coordenadas Generalizadas dos nos do elemento

r

rr

= Velocidade Modal Relativa

r ; s Autovalores

S,s Varivel No Domnio de Laplace

S Adimensional de Rotao

S = E. Tenso no Eixo

dis = Autovalor

s Freqncia Complexa( ) )( += jKKT Numero Complexo T

T( ( ) )= jKK Complexos conjugados T

),( tZuY Vetor dos Deslocamento Generalizados do rotor

U = Xu( ), Yu Coordenada Generalizadas em X e Y

UVZ Referencial Rotativo

U Auto-vetor

u Variveis de input

BuA += & Equao Diferencial (teoria de controle)

{ }qT= Varivel de Estado ;

ererv r+= & Vetor Velocidade Coordenadas Cilndricas

V Auto-vetor

X Eixo Principal do Triedro Inercial

XYZ Referencial Inercial , Fixo ou Global

xyz Referencial Mvel solidrio ao eixo, no giraxyz, xyz, xyz, xo yo zo Referenciais Mveis auxiliares

(X, ) - Deslocamento CG e ngulo de Rotao do Disco

Y Eixo Principal do Triedro Inercial

Dxy = (I / O) Teoria de Controle


22/389

xxii

iz. Vetor Norma

.. iz Vetor Norma Infinita

Z Eixo Principal do Triedro Inercial

Parmetro Adimensional Rotativo Eixo Parmetro Adimensional Rotativo Disco

v

xyz Acelerao angular no Ref Mvel

)( - Matriz de Flexibilidade do Eixo

[ ]KM + Amortecimento Proporcional

ij - Coeficiente de Influncia da Matriz de Flexib. do Eixo

ij Determinante Caracterstico de sistemas Lineares

Coeficiente de ajuste da Fora de Alford ;

4 Parmetro Adimensional Translao Eixo

4 Parmetro Adimensional Translao Disco

Parmetro Transcendental Eixo

ij

Determinante Caracterstico de sistemas Lineares

( Z C ) Funo Delta de Dirac

)( CZ Derivada da Funo Delta de Dirac (Binrio Unitrio)

Z

YZ

uyu

= Deformao especifica na direo Z

rr

rr

2

1

.2

= Decremento Logartmico

iq

tzEP

),(.

Gradiente de ),( tzEP

Parmetro Transcendental Eixo

Deformao Especfica (strain)

Deformao Especfica (strain)

Z

ZZZ

uE

= Deformao especfica axial (strain)

(,,,) ngulos de Euler


23/389

xxiii

Defasagem entre foras, Auto-vetor

& Velocidade angular na direo X

z

ux

y

=

Deslocamento Angular no plano xz

z

uyx

=

Deslocamento Angular no plano yz

[ ] { }121 ,..., += i Matriz Modal de Auto-vetor

{ }

=q

q& e{ } =&

q

q

&&

& Vetor auxiliar na soluo do autovalor

, Autovetores

EIkl=

Parmetros Adims de Rig. Tors. do mancal do Eixo

)(z =

q

q

&&

& Vetor Espacial de Posio de (X,Y,Z)

&&& ,,,, 44

2

2

ZZZ

So as derivadas do Vetor )(z

)(z

{ }),( tzQ Coordenadas Modais Generalizadas

)(z Autovetor

YXz +=)( Posio espacial do Elemento em (x,y,z)

Amortecimento Cruzado Relativo

{ }

=q

q& e{ } =&

q

q

&&

& Funo auxiliar na soluo do autovalor

[ ] Matriz de Autovalores

Espessura do Disco

2= Autovalor / Eigenvalue.

).(x Sada (output) do Sistema Global

xEx .).( = Prioriza pos. partclar do i/o em detrm.de outras

EI

Kl3=

Parmetros Adims de Rigidez do mancal do Eixo


24/389

xxiv

MTF ,, Somatrio de Forces, Torques e Momentos

1 e 2 Coeficientes de atrito de Coulomb

,, Autovetores

)( cz "Funo" Degrau Unitrio

v Vetor Posio em coordenadas Cilndricas

Coeficiente de Poison

[ ] Matriz de Autovalores

Tensor de Inrcia do Disco

& Velocidade angular na direo Y

() ngulos de Euler

Raio de curvatura do Eixo

ZZZZ E = Tenso principal direo Z

Tenso

MAX Tenso Mxima

Freqncia de Precesso do Eixo

&&& ++= Velocidade Absoluta de Rotao do Eixo

dv = Velocidade Absoluta do Volante no Ref Mvel

rr Freqncia Natural de Vibrao

Freqncia de Precesso do Eixo Whirl

rr Fator de Amortecimento Modal

Amortecimento Externo Relativo

{}= Matriz de Autovalores

(, , ) ngulos de Euler

Z

tZY

Z

tZX

=

==

),(

.

),(

,

&&

&&&

Velocidades angulares elemento de disco

Freqncia de Rotao do Eixo spin


25/389

1

I INTRODUO

A garantia da continuidade operacional um aspecto fundamental para o bom

resultado econmico das indstrias de processo. Nesse sentido, as turbomquinas

despontam com os maiores graus de criticidade dentre os equipamentos utilizados.

Especialmente com relao s mquinas, a observao e a anlise do

comportamento vibratrio dos rotores, mancais e de toda a sua estrutura de suportao

constituem recursos inestimveis para minimizar no s os riscos de interrupo da

produo mas tambm evitar acidentes e danos ambientais.

Essa prtica compreende a determinao de freqncias naturais, a definio da

resposta dinmica ao desbalanceamento, o estabelecimento da curva elstica do rotor, a

caracterizao da estabilidade dinmica do conjunto rotativo, alm de vrios outros

estudos relacionados s manifestaes vibratrias.

O mau desempenho no funcionamento rotodinmico de uma turbomquina

geralmente caracterizado por um elevado nvel de vibrao do eixo, o qual precisa ser

contido dentro de valores pr-estabelecidos, para garantir um funcionamento adequado

deste equipamento (confiabilidade).

Vibrao elevada sinnimo de:

1) Elevado rudo, inadmissvel em submarinos e navios de Guerra,

2) Baixa confiabilidade dos equipamentos (baixo tempo mdio entre falhas),3) Desgaste excessivo dos componentes das mquinas (mancais, acoplamentos),

4) Custos elevados de manuteno,

5) Perdas elevadas por lucro cessante

A anlise dinmica tem um importante papel na fase de projeto e objetiva

minimizar os riscos do investimento. A identificao tardia de um problema (na fase de

fabricao e montagem da mquina), mais custosa do que a sua identificao na fase

de projeto. Analogamente, podemos dizer que a identificao de um problema na fase

de partida da planta tambm mais cara do que a sua identificao na fase defabricao.

Se o problema for identificado na fase de produo, a perda por lucros cessantes

ainda maior. Em alguns casos a planta fica condenada, como veremos no Captulo

VIII, a conviver com os prejuzos decorrentes do mau funcionamento das

turbomquinas mal projetadas, mal montadas ou mantidas inadequadamente.


26/389

2

Todo o esforo feito na fase de projeto para garantir o bom desempenho

rotodinmico de uma turbomquina, pode ser perdido caso os aspectos relacionados

montagem no sejam convenientemente tratados.

Especial ateno deve ser dedicada estrutura de suportao da mquina.

muito importante registrar que um bom projeto rotodinmico de uma turbomquina,

no garantia real de que este equipamento v funcionar bem no campo (baixos nveis

de vibrao), quando o mesmo for instalado em seu bero de trabalho. Este problema

ainda mais srio, na medida em que sabemos que as engenharias de construo civil,

aeronutica e naval no dominam a tecnologia de modelagem dos prottipos virtuais no

caso da instalao de turbomquinas.

Nos projetos de construo civil so aplicados mtodos estticos para projeto das

fundaes, que tm a sua eficcia comprovada, todavia existe um risco inerente ao

processo de simplificao, que faz com que em muitos casos os nveis de vibrao

observados no campo sejam bem superiores queles medidos na base inercial (teste

realizado no fabricante). Em alguns casos estes nveis so to elevados que

comprometem o funcionamento da turbomquina, como ser mostrado no caso de

estudo apresentado no Captulo VIII.

A utilizao de programas de elementos finitos para o projeto dos suportes,

empregada na engenharia aeronutica e naval, aumenta as chances de sucesso do

projeto, todavia no suficiente para representar o acoplamento dinmico entre asdiversas partes inter-relacionadas (abordagem simplificada), exigindo custosos esforos

experimentais aps a construo do primeiro prottipo, para garantir a inexistncia de

problemas.

Em termos mais especficos, podemos afirmar que as freqncias naturais do rotor

sero distintas para configuraes diferentes do suporte (variaes da ordem de 10%

so percebidas conforme as condies de contorno do suporte). Como se trata de um

problema acoplado, tambm as freqncias naturais do suporte so alteradas quando o

rotor acoplado estrutura (menores variaes so observadas).Desta forma, a simulao da interao rotor/estrutura/mancais necessria e

essencial para uma representao correta do modelo fsico, correspondendo a um

prottipo virtual verdadeiramente representativo.


27/389

3

Em alguns sistemas, onde so instaladas mltiplas mquinas sobre uma nica

estrutura de suportao, a estrutura de suporte pode ser excitada por uma grande gama

de harmnicos e sub-harmnicos das mquinas, elevando bastante o risco do projeto

desta estrutura (o trem de compresso pode ser composto de diversas turbomquinas

trabalhando com diferentes rotaes).

Segundo o API-617 (Norma Internacional dedicada a compressores centrfugos

para uso na indstria do petrleo), a rigidez da base de uma mquina deve ser no

mnimo 3,5 vezes superior rigidez do mancal. Caso esta exigncia no seja cumprida,

as freqncias naturais calculadas pelo estudo rotodinmico estaro comprometidas e,

conseqentemente, as margens de separao (segurana) esperadas sero diferentes.

O nvel de rigidez exigido pelo API-617, pode, em alguns casos, ser muito

elevado e tornar-se inexeqvel na prtica. Mesmo assim, essa recomendao poderia

no ser suficiente para garantir o sucesso do projeto.

Sabemos tambm que o amortecimento proporcionado pelos mancais

seriamente prejudicado pela baixa rigidez da fundao. Caso a rigidez do suporte tenha

valor inferior a cerca de 10 vezes rigidez dos mancais, as conseqncias sero notadas

no fator de amplificao da resposta dinmica da mquina.

As estruturas de suportao acima discutidas podem ser, por exemplo:

1) Um mezanino em uma planta industrial,

2) O casco de um submarino ou de um navio de Guerra,3) Uma plataforma martima de petrleo off shore,

4) A asa de um avio responsvel pela suportao de suas turbinas a gs.

Um equipamento rotativo real tpico (tal como uma turbomquina), constitudo

de vrios subsistemas, tais como: rotor, mancais, carcaa, impelidores, selagem,

fundao, etc... Quando o rotor submetido a distrbios internos ou externos, tais

como desbalanceamento, desalinhamento, freqncia de passagem das palhetas,

freqncia de engrenamento, instabilidade rotodinmica, freqncias harmnicas da

rede eltrica,entre outros, estes componentes interagem entre si em um processo

dinmico de absoro e dissipao de energia.

Estes distrbios se configuram pelo estabelecimento de um regime complexo de

funcionamento do rotor, caracterizado por movimentos de deformao do eixo que gira


28/389

4

com rotao . Este movimento caracterizado tambm por uma ou mais freqncias

de precesso , independentes da freqncia de rotao do rotor.

O eixo deforma-se em uma curva espacial, denominada curva elstica do rotor

(reversa no espao). Esta curva tem grande importncia no projeto das mquinas, na

medida em que define as tenses mximas de projeto do eixo, bem como as folgas

internas mnimas da mquina. A obteno da curva elstica tem sido facilitada pelo uso

de programas de computador.

A cincia da Rotodinmica pouco estudada nas universidades brasileiras,

notadamente pela completa inexistncia de fabricantes de turbomquinas no Brasil.

Os fabricantes de turbomquinas so os usurios que mais demandam este

conhecimento. A Petrobras, na qualidade de maior operadora de turbomquinas do

Brasil, tem se esforado para desenvolver esta particular rea da dinmica.

Antes do estabelecimento das diretrizes deste trabalho e de iniciarmos a

construo do nosso ferramental analtico para enquadramento das dificuldades tericas

que sero aqui discutidas, cabe uma reviso do estado atual da arte desta cincia, a

Rotodinmica.

1.1 Histrico

1.1.1 Anlise e Reviso do Conhecimento RotodinmicoO primeiro trabalho rotodinmico remonta a mais de um sculo, sendo

apresentado por RANKINE (1869). RAYLEIGH (1894) apresentou um mtodo

aproximado para clculo de freqncias naturais em vigas.

TIMOSHENKO (1945) introduziu o conceito de cisalhamento transversal nas

freqncias naturais.

JEFFCOTT (1919) o primeiro a apresentar o conceito de precesso do eixo

whirl , tal como conhecido hoje. No seu trabalho o equacionamento da elstica

(deformada), definido em termos de foras ortogonais que agem sobre o eixo, tais

como as foras de inrcia e de resistncia elstica a deformao.

SOUTHWELL e GOUGH (1921), verificaram a reduo da freqncia natural do

rotor com a aplicao do torque e do empuxo axial. SMITH (1933) discutiu a influncia


29/389

5

do efeito giroscpio na freqncia natural de rotores com grande disco. Esta idia

posteriormente estendida por GREEN (1958).

HOLZER (1921) apresentou um mtodo manual para calcular freqncias

crticas em compressores alternativos. Este mtodo foi modificado e usado hoje na

forma de matrizes para anlise torcional. MYKLESTAD (1945) desenvolveu um

mtodo para clculo de freqncias naturais de asas de avio ao mesmo tempo em que

PROHL (1945) apresentou um mtodo para clculo de freqncias naturais em rotores

de turbomquinas.

Estes trs mtodos (HOLZER, MYKLESTAD, PROHL ) formam a base para os

atuais mtodos rotodinmicos e marcam uma nova era na anlise das vibraes,

caracterizada pela mudana do contnuo para os mtodos discretos. MILLER (1953)

introduziu a discusso sobre suportes flexveis e discutiu a resposta dinmica lateral de

vigas.

RAUL (1970) investigou a resposta dinmica ao desbalanceamento, utilizando

anlise matricial. Os livros texto de VANCE (1988) e CHILD (1993) mostram a

grande quantidade de trabalhos realizados nesta rea.

RUHL e BOOKER (1972) desenvolveram as matrizes de massa e rigidez do

elemento e LUND (1974) desenvolveu o mtodo de matriz de transferncia para

clculo de estabilidade e freqncias naturais amortecidas de sistemas rotor/mancais

hidro-dinmicos, levando em considerao o amortecimento interno (histertico) e asforas aerodinmicas de acoplamento cruzado, cross coupling.

NELSON e McVAUGH (1976) desenvolveram diferentes matrizes elementares

para diferentes elementos no rotor. Utilizaram o conceito de funo de interpolao e

aplicaram o princpio dos trabalhos virtuais.

MURPHY e VANCE (1983) apresentaram um mtodo para calcular o polinmio

caracterstico a partir do mtodo da matriz de transferncia. KIM e DAVID (1990)

apresentaram variao do mtodo de matriz de transferncia com matrizes diferentes

para massa, rigidez e inrcia rotatria, podendo calcular o polinmio caractersticodiretamente, o qual era convertido em problema de autovalor. WILKINSON e

REINSCH (1971) resolveram este problema.

MASLEN e BILK (1992) apresentaram modelo para incluso de mancais

magnticos na anlise rotodinamica. A anlise de estabilidade foi executada na forma

de espao-estado state space.


30/389

6

1.1.2 Reviso do Conhecimento sobre Suportao de Mquinas

Desde os primeiros trabalhos rotodinmicos estava clara a importncia da

fundao nos clculos rotodinmicos. Algumas das pesquisas feitas em suportes

flexveis so apresentadas abaixo.

BOHM (1964) discutiu a necessidade de incluir caractersticas do suporte e da

carcaa na anlise de turbomquinas. BANNISTER e THOMAN (1964) apresentaram

o mtodo da impedncia para caracterizar a flexibilidade das fundaes. Este trabalho

foi desenvolvido por EWINS (1984).

LUND (1965) props mtodo para clculo limite de estabilidade em rotores

flexveis em mancais com suporte flexvel e amortecido. Com este modelo simples

mostrou que as caractersticas do suporte afetam grandemente a estabilidade do rotor.

Em suportes sem amortecimento a estabilidade cai e, no caso em que hajaamortecimento, a estabilidade cresce.

GUNTER e TRUMPLER (1969) mostraram o efeito da anisotropia do suporte no

limite da estabilidade. Esta anlise foi feita usando modelo modificado de JEFFCOTT.

GUNTER (1970) estudou amortecedores de leo prensado squeeze film e

mostrou sua influncia na resposta dinmica. KIRK e GUNTER (1972) usando o

modelo modificado de JEFFCOTT (1919), mostraram o efeito do suporte na reposta

sncrona. Discutiram a sintonia do suporte flexvel e suas conseqncias na

rotodinmica do rotor.BASAL e KIRK (1975) apresentaram um mtodo para incluir a fundao flexvel

na matriz de transferncia (one mass-spring-damper).

KIRK e GUNTER (1976) estudaram um modelo de uma massa para

representao de mancais planos em suporte flexvel do tipo squeeze film.

BLACK (1976) estudou a estabilidade do rotor sujeito fora histertica e

externamente amortecido no suporte. Estudou ainda o efeito da rigidez e do

amortecimento na estabilidade rotodinmica.

CHOUDHURY,et all (1976) mostraram o efeito da rigidez e do amortecimento dosuporte na freqncia natural.

GASH (1976) usou dados experimentais para simular a fundao. As

caractersticas do modelo so funo da rotao. O autor usou dados experimentais

para modificar os coeficientes dos mancais inclusive os cross couplings. A matriz

global aumentada para incluir o efeito do suporte. Esta contribuio efetiva para a


31/389

7

resposta dinmica, que ser funo da freqncia de vibrao, mas no adequada para

o estudo de estabilidade

BARRETT, GUNTER e ALLAIRE (1978) discutiram um mtodo rpido e

aproximado para calcular rigidez e amortecimentos timos para resposta e estabilidade

de mancais prximo da crtica, mostrando a influncia do suporte.

HASHISH e SANKAR (1984) incluram na anlise rotodinmica diversos efeitos

lineares e no lineares no amortecimento e na rigidez de mancais em suportes flexveis.

QUEITZSCH (1985) apresentou um mtodo para clculo da resposta dinmica

em suportes flexveis. As estruturas so analisadas independentemente e ento

juntadas. A funo impedncia da estrutura acoplada aos mancais e usa a funo de

transferncia como ferramenta de clculo.

BARRETT e NICHOLAS (1986) usaram resposta em freqncia da carcaa de

uma turbina para modificar os coeficientes dos mancais conseguindo melhor

compromisso entre resultados experimentais e analticos.

LUND e WANG (1986) usaram um mtodo onde resolvem o rotor e a estrutura

independentemente, acoplando os resultados posteriormente.

NICHOLAS e BARRETT (1986) apresentaram um mtodo para incluir o suporte

flexvel na anlise rotodinmica. Derivaram coeficientes equivalentes que incluem os

parmetros do suporte. O exemplo aplica a teoria a uma mquina real com mancais de

sapatas pivotadas tilting pad, sem incluir o efeito cross couplingNICHOLAS e WHAREN (1986) aplicaram esta mesma teoria para calcular a

resposta forada em uma turbina a vapor. Usou Funo de Resposta em Freqncia

(FRF) experimental para derivar os coeficientes. O autor considera o amortecimento

10% do crtico.

KAZAO e GNTER (1987) ampliaram o mtodo de matriz de transferncia para

incluir mltiplos rotores.

EARLES e PALAZZOLO (1988) apresentaram um mtodo para clculo

rotodinmico em suportes flexveis por elementos finitos. Este mtodo foi usado paraclculo de resposta dinmica de um modelo.

FAN e NOAH (1989) utilizaram um sistema de reduo (modal reduction) do

modelo para nlise de rotores flexveis independentemente e posterior acoplamento aos

mancais. Apresentam um exemplo onde rotor e suporte so analisados

independentemente e ento acoplados.


32/389

8

WANG e TSAI (1989) apresentaram estudo sobre o efeito anisotrpico do suporte

sobre a instabilidade aerodinmica. O rotor Delaval foi usado para o estudo de um grau

de liberdade na fundao. O efeito anisotrpico da fundao ficou explicado mostrando

que em alguns casos este efeito pode melhorar a estabilidade

BRENO (1989) Estende a modelao a sistemas no lineares, como estruturas

off shore. Apresenta ainda uma abrangente reviso bibliogrfica, na qual

apresentado um trabalho completo que relaciona estruturas lineares e no lineares.

ROUCH e McMAINS (1989), usam a Funo de Resposta em Freqncia (FRF)

para representar a fundao, no estudo de resposta dinmica do rotor. Esta anlise

feita em elementos finitos e o autor investiga duas alternativas, o amortecimento

proporcional e a utilizao da informao de fase.

STEPHENSON e ROUCH (1992) apresentam um mtodo de determinao das

matrizes dinmicas usando dados experimentais. O autor usa Least Square Method-

LSM para calcular as matrizes do sistema, a partir de um conjunto completo de vetores

modais.

WYGANT (1993) incluiu a influncia do pedestal flexvel e da carcaa usando

informao modal. Este estudo inclui pedestal cross talk dentro de um procedimento

de matriz de transferncia. As informaes modais podem vir de um modelo analtico

ou de um resultado experimental.

REDMOND (1996) discutiu a impreciso dos testes de impedncia experimentalde suportes e implementa procedimento para subtrair o efeito dinmico do rotor dos

dados originais. O sistema de suportao considera um modelo de um grau de

liberdade e contempla o cross coupling e o cross talk entre mancais (aplica-se para o

clculo de resposta dinmica).

VAZQUEZ e BARRETT (1998) sistematizaram um mtodo para incluir a

flexibilidade dos suportes nos clculos rotodinmicos. Os suportes so representados

usando-se funes de transferncia polinomiais e aplicado para resposta dinmica e

estudo de estabilidade.LEES e FRISWEEL (1998) descreveram um mtodo para modelao dinmica

da fundao a partir da resposta dinmica. Isto obtido pela formulao inversa do

problema de resposta do rotor e a partir do modelo do rotor para identificao das

foras aplicadas nos mancais. Estas foras so combinadas com os deslocamentos

encontrados no pedestal e usado para calcular os parmetros da fundao.


33/389

9

FENG e HAHN (1998) apresentaram um mtodo para calcular parmetros modais

da fundao a partir de informaes de desbalanceamento. Aplica-se a mquinas

montadas em suportes flexveis, rigidamente ligadas ao solo.

RIEGER e ZHOU (1998) usaram o mtodo da matriz de transferncia para rotor

suportado em pedestal flexvel, suportado em fundao flexvel. O autor deduz a

matriz de transferncia da fundao para propriedades diferentes em X e Y.

1.1.3 Reviso Histrica dos Mtodos de Reduo de Matrizes

Desde o incio tem sido reconhecido que o tamanho da matriz estrutural era muito

grande para ser resolvida com os recursos computacionais disponveis. Alguns

mtodos tm sido desenvolvidos para resolver o problema associado ao tamanho da

matriz sem descaracterizar o modelo.

As tcnicas de reduo de matriz podem ser grupadas em trs categorias: reduo

esttica, reduo modal e reduo dinmica ou reduo exata. Os dois primeiros

grupos de tcnicas de reduo levam a solues aproximadas que satisfazem a maioria

dos casos, enquanto o terceiro grupo conserva o exato comportamento dinmico do

sistema, porm exige mtodos especiais para resolver o sistema.

Reviso dos trabalhos realizados neste tpico:

IRONS, B. (1965) introduziu a reduo esttica, onde a massa dos graus escravos

(slaves) era negligenciada.GUYAN, (1965) apresentou um mtodo de reduo esttica com muitas

modificaes e seu mtodo tem sido largamente utilizado em anlise estrutural. Este

mtodo leva a uma soluo aproximada.

KIDDER, (1973) apresentou uma expanso do mtodo (Guyan reduction),

introduz aproximaes associadas expanso do inverso da reduo, em srie de

Taylor

HENKHELL e ONG, (1975) apresentaram um mtodo para seleo automtica

dos graus de liberdade (master degrees of freedon) atravs do conceito de autovalor(SVD-Single value decomposition). Este mtodo apresentado como uma melhoria do

mtodo de Guyan, sendo, porm, muito til em reduo dinmica.

JOHNSON e CRAIG et all (1980) apresentaram uma variao do mtodo de

Guyan. Configura o problema como sendo de autovalor de um sistema de equaes de

segunda ordem. Este sistema mais acurado para a mesma faixa de freqncia.


34/389

10

PAZ, (1984) apresentou um mtodo iterativo para clculo do autovalor de um

grande sistema, usando reduo dinmica. O eigenvalue solver requer matrizes de

coeficientes constantes.

VANCE, MURPHY et all, (1987) usaram teste modal para verificar resultados

analticos em diversos rotores.

HASSENPFKUG, (1988) desenvolveu um mtodo para criar modelos

matemticos a partir dos resultados modais. Neste enfoque alguns graus de liberdade

so selecionados e uma transformao modal inversa aplicada para gerar um modelo

matemtico de ordem reduzida em coordenadas fsicas.

LUND, (1994) revisou algumas tcnicas modais usadas na anlise rotodinmica.

Especial nfase foi dada ao clculo de sistemas amortecidos, a reduo modal e ao

clculo da matriz de resposta em freqncia, erroneamente chamada de matriz da

funo de transferncia.

BARRETT e ALLAIRE, (1988) usaram reduo dinmica dos coeficientes de um

mancal tilting pad reduzindo para 8 o nmero de coeficientes. Este paper usa o

mtodo de montagem das sapatas, para calcular os 8 coeficientes.

VAZQUEZ e ARRETT, (1998a) apresentaram um mtodo de representao de

mancal tilting pad, usando funo de transferncia para explicitar a reduo dinmica

dos graus de liberdade, expressando-os como taxa de polinmios.

VAZQUEZ e BARRETT,. (1998c) usaram um teste modal para verificar omodelo de rotor utilizado em seu trabalho, mostrando bons resultados nas freqncias

naturais e nos modos de vibrao. Expandiu-se esta anlise para quantificar diferenas

do modelo do rotor, na estabilidade e na resposta dinmica.

1.1.4 Histria Rotodinmica dos ltimos nos no BRASIL

A primeira bancada experimental construda na COPPE/UFRJ foi utilizada na

tese de mestrado "Balanceamento de Rotores Flexveis pelo Mtodo dos Coeficientes

de lnfluncia", de Alfonso Garcia Castro, em abril de 1986. Esta bancada serviu ainmeros trabalhos e at hoje se encontra em uso na UFRJ.

O primeiro trabalho analtico em rotodinmica, elaborado na COPPE / UFRJ, foi

a Tese de Mestrado de Adhemar Castilho, em 1983.

Na tese de Mestrado de Renato de Oliveira Rocha (1992), apresentada na

COPPE/UFRJ, so propostas a modelagem e a simulao de rotores utilizando o


35/389

11

Mtodo dos Elementos Finitos.

RENATO, (1996) desenvolveram prottipos de sistema rotodinmico flexvel em

laboratrio, com a construo de modelos matemticos para a estrutura e para o rotor

em elementos finitos. Discutem mtodos para identificao de modelos matemticos.

Modelam o rotor e a estrutura usando programas de elementos finitos (com

identificao dos modelos e funo de Resposta em Freqncia). Discutem tcnicas de

reduo de modelos esttica e modal, aplicando sntese modal e truncamento modal.

Em 2000, Marcelo de Souza Murta apresentou sua tese de mestrado, intitulada

"Projeto, Construo e Avaliao Dinmica de Um Rotor Vertical Suportado em

Mancais Hidrodinmicos", COPPE / UFRJ.

MOHAMME, (2000) analisaram o processo de contato entre o rotor e o estator

em mquinas rotativas, objetivando melhorar a capacidade das mesmas de evitar o

roamento, bem como poder resistir ao mesmo nas circunstncias em que se tornem

inevitveis

Mais recentemente, em 2003, talo Mrcio Madeira apresentou na COPPE /

UFRJ, uma tese de mestrado cujo objetivo a modelagem em elementos finitos de

mquinas rotativas com efeitos no-lineares, orientado por ZINDELUK.MARCIO, (2004) discutem a utilizao de um excitador eletromagntico capaz de

excitar o conjunto rotativo em seus modos normais diretos e retrgrados. Modelam o

rotor atravs de elementos finitos e discutem o problema da instabilidade paramtrica,

usando para isto a equao de Mathieu (que no possui soluo analtica) e excitaoexperimental, na investigao de reas de estabilidade e instabilidade.

Em ATAYDE, J. P. e WEBER, H. I., (2006) discutida a dinmica de mquinas

rotativas em mancais hidrodinmicos, com a substituio de coeficientes dos mancais

obtidos pelos programas de clculo de mancais nos programas de rotodinmica.

Alm dos trabalhos comentados nos pargrafos anteriores, podem tambm ser

citados os seguintes trabalhos desenvolvidos por grupos de pesquisa em Rotodinmica

da USP, Universidade Federal deCampinas e Universidade Federal de Uberlndia:

- ZACHARIADIS, DC, Critical Speeds and Unbalance Response of a Jeffcott Rotor on

Angular Misaligned Hydrodynamic Bearings, In: SAE Brasil International Mobility Congress

and Exhibition, 2001, So Paulo, Brasil

- ZACHARIADIS, DC, Stability versus unbalance response of statically indeterminate rotors

supported on hydrodynamic journal bearings, In: IFToMM Sixth International Conference on

Rotor Dynamics, 2002, Sydney, Australia


36/389

12

- ZACHARIADIS, DC, Unbalance Response of Statically Indeterminate Rotors Supported on

Hydrodynamic Journal Bearings: Use of the 32 Dynamic Coefficients Bearing Model, In:

International Conference on Noise and Vibration Engineering ISMA 2006, Leuven, Blgica

- ZACHARIADIS, DC, Unbalance Response of Rotors Supported on Hydrodynamic Bearings

Placed Close to Nodal Points of Excited Vibration Modes, ASME Journal of Engineering forGas Turbines and Power, USA, v. 128, n. 3, p. 661-669, 2006.

- CAVALCA, KL e LINS, HQ, Dynamic analysis of horizontal rotating mahinery, In: Sae

Technical Papers, USA, v. 1, n. 1, p. 1-10, 1999

- CAVALCA, KL e CAVALCANTE, PF, Estudo da Interao entre rotores e estrutura de

suporte, In: 9o Congreso Chileno de Engenharia Mecnica, COCIM-CONAE, Valparaiso,

Chile, v. 1. p. 1-7, 2000

- CAVALCA, KL e SBRAVATI, A, Dynamic Analysis of Flexible Gear Coupling Efforts in

Rotating Machinery, SAE Technical Papers, USA, v. 1, n. 1, p. 1-12, 2002

- CAVALCA, KL e CAVALCANTE. An experimental analysis of rotors on flexible structure,

In: Sixth IFToMM 2002 - International Conference on Rotor Dynamics, Sydney, Autralia, v. 1.

p. 531-538, 2002

- CAVALCA, KL, CAVALCANTE, PF e OKABE, EP, An investigation on the influence of

the supporting structure on the dynamics of the rotor system, In: Mechanical Systems And

Signal Processing, UK, v. 19, n. 1, p. 157-174, 2006.

- CAVALCA, KL, CASTRO, HF e NORDMANN, R, Rotor-bearing system instabilities

considering a non-linear hydrodynamic model. In: IFToMM2006 - Proceedings 7th

International Conference on Rotordynamics, Vienna, v. 1. p. 1-10, 2006- CAVALCA, KL, OKABE, EP, Rotordynamic analysis of systems with a non-linear model of

tilting-pad bearings. In: IFToMM2006- Proceedings 7th International Conference on Rotor

Dynamics, Vienna, v. 1. p. 21-30, 2006

- SALDARRIAGA, MRV e STEFFEN JR, V, Modelagem de Rotores flexveis montados sobre

Suportes Viscoelsticos, In: III National Congress of Mechanical Engineering CONEM

Belm, Brasil, 2004

- Tese de doutorado: Eduardo Paiva Okabe - Interao Rotor-Estrutura: Modelo Terico-

Experimental. 2007, Universidade Estadual de Campinas - UniCamp, orientador: Katia

Lucchesi Cavalca Dedini


37/389

13

1.1.5 Rotodinmica nos ltimos 10 Anos no Mundo

A disciplina Rotodinmica hoje considerada uma cincia madura, onde os

conhecimentos esto bem consolidados e em fase de otimizao. Mesmo dentro desta

realidade, constatamos que a comunidade cientfica mundial tem optado por trilhar

alguns caminhos particulares, esquecendo-se, em alguns casos, de investigar outras

opes de pesquisa. Neste contesto, esta Tese prope uma nova alternativa de soluo

de sistemas giroscpicos conservativos.

A conseqncia natural desta realidade, que o nmero de trabalhos em

rotodinmica vem declinando e dando lugar a outros enfoques, como o caso das

suspenses com mancais magnticos e das investigaes em suportes flexveis. Dentro

desta percepo, apresentaremos alguns trabalhos recentemente escritos sobre esta

disciplina, atravs da apresentao de alguns artigos mais recentesNICHOLAS et all, (2000) propem um mtodo para introduo da flexibilidade

do mancal nos clculos rotodinmicos, usando para isso anlise modal experimental,

levantando a funo compliance de resposta em freqncia (inverso da rigidez

dinmica) e corrigindo, desta forma, os valores calculados para a velocidade crtica em

base inercial.

SAWICKI e GENTA (2001), propem um enfoque diferente e particular para

desacoplar os sistemas de equaes de movimento (rotodinmicos), sem contudo fugir

da soluo do problema de autovalor, empregando matrizes 2n 2n.KASARDA e MENDONZA, 2003, apresentam um mecanismo para controlar

vibraes sub-sncronas atravs de amortecimento ativo de mancais magnticos.

Apresenta tambm resultados reduzindo as amplitudes de vibrao crticas.

HU, FENG, et all (2004), discutem a sensibilidade da resposta em posio do

centro das rbitas dos mancais de turbomquinas em funo da metodologia empregada

nos clculos hidrodinmicos.

HENNIN e INGOLSTAD, (2005), discutem a viabilidade das tcnicas de

otimizao de medidas de vibrao para caracterizar trincas em eixos deturbomquinas. Usa elementos finitos e o enfoque das foras modais no avano das

trincas. Usa algoritmo de otimizao global para identificao das trincas.

Como referncia adicional, podemos citar os seguintes trabalhos:


38/389

14

Artigos: Rotordynamics

CONF Ano Ttulo Autores

ASMEBiennial

1999 Use of the Campbell Diagram inRotordynamics

Lalanne, M.; Ferraris, G.

ASMEBiennial

2001 Jorgen Lund: A Perspective on HisContributions to ModernRotordynamics (Invited Paper)

Anthony J. Smalley, SouthwestResearch Institute

ASMEBiennial

2001 Rotordynamics Involving AxialRubbing Against a Disk

Dara W. Childs and Nameer A.Siddiqui, Texas A & M University

IGTI 1996 Experience in Full Load TestingNatural Gas CentrifugalCompressors For RotordynamicsImprovements

Alain Gelin, Jean-Marc Pugnet,Daniel Bolusset, Patrick Friez,FRAMATOME DivisionTHERMODYN, Le Creusot,France

IGTI 1997 Rotordynamics Modeling for anActively Controlled MagneticBearing Gas Turbine Engine

B.M. Antkowiak, The Charles StarkDraper Laboratory, Inc.,Cambridge, MA, USA; F.C.Nelson, College of Engineering,Tufts University, Medford, MA,USA

IGTI 2000 A New CFD-Perturbation Model forthe Rotordynamics ofIncompressible Flow Seals

Namhyo Kim, David H. Rhode,Texas A&M University, CollegeStation, TX, USA

IGTI 2001 Finite Element and Transfer MatrixMethods for Rotordynamics - AComparison

Jorgen L. Nikolajsen, StaffordshireUniversity, Stafford, England

IGTI 2001 Predicted Effects of Shunt Injectionon the Rotordynamics of GasLabyrinth Seals

Namhyo Kim, WeatherfordInternational, Inc., Houston, TX,USA; Sung-Young Park, David L.Rhode, Texas A&M University,College Station, TX, USA

IGTI 2001 Experimental Evaluation of HybridDamper Seals with Brush Elements

- Effect of the Bristles on PowerDissipation and Rotordynamics

Steven E. Buchanan,Schlumberger, Rosharon, TX,

USA; John M. Vance, Texas A&MUniversity, College Station, TX,USA

IMechE 2000 Rotordynamics and leakage -measurements and calculations onlabyrinth gas seals and theirapplication to large turbomachinery

J Sobotzik, R Nordmann, F Hip,and K Kwanka

ISCORMA

2001 Rotordynamics and DDM DesignSensitivity Analysis of an APU GasTurbine Having a Spline ShaftConnection

A. S. Lee, J. W. Ha

ISCORMA

2001 Fact and Fallacy in LinearRotordynamics Analysis

A. Caldwell

ISMB 1996 Experimental Verification of

Magnetic Bearing SystemRotordynamics Code

Urednicek, M., Bear, C.

ISMB 2000 Noncolocation Effects on RigidBody Rotordynamics of Rotors onAMB

Giancarlo Genta, StefanoCarabelli, Politecnico di Torino,Italy

ISROMAC

1996 Studies in SpontaneousSidebanding in Rotordynamics

Fredric Ehrich

ISROMAC

1996 System Rotordynamics ModelBased on a Hybrid Composition ofthe Global Deformation

Jorg Wauer


39/389

15

ISROMAC

1996 Rotordynamics on the pc: TransientAnalysis with ARDS

David P. Fleming

ISROMAC

1998 Rotordynamics on the PC: FurtherCapabilities of ARDS

D. P. Fleming

TAMUPump

Show

1998 Pump Rotordynamics Made Simple Mark A. Corbo, Stanley B.Malanoski

TAMUTurboShow

1997 Annular Gas Seals AndRotordynamics Of CompressorsAnd Turbines

Dara W. Childs, Leland T. Jordan,John M. Vance

TAMUTurboShow

2000 Designing High Performance SteamTurbines with Rotordynamics as aPrime Consideration

Stephen L. Edney, George M.Lucas

IFToMM 2002 Practical applications of singularvalue decomposition inrotordynamics

Cloud CH, Foiles WC, Li G,Maslen EH and Barrett LE

IFToMM 2002 Rotordynamics of turbomachinery... looking back ... looking forward

Childs DW

ISROMAC

2002 Determination of RotordynamicsParameters for the Jeffcott Rotor-

bearing Model

A Antonio-Garca, J Gmez-Mancilla, V V Kucherenko

ISROMAC

2002 Non-linear Rotordynamics:Computational Strategies

T J Chalko

ISROMAC

2002 Enhanced Rotordynamics for HighPower Cryogenic TurbineGenerators

J V Madison

IGTI 2003 CFD Determination of Pre-ChamberFlow Pertubation Inlet BoundaryConditions for Seal RotordynamicsModels

David L. Rhode, Texas A & MUniversity, United States; GaneshVenkatesan, Adapco, India

ASMEBiennial

2003 Rotordynamics Analysis:Experimental and NumericalInvestigations

Jean-Jacques Sinou, DavidDemally, Cristiano Villa, FabriceThouverez, Michel Massenzio,Franck Laurant

ISCORMA

2003 Numerical Modelling and Simulationin Rotordynamics

G. Genta

ISCORMA

2003 Non-Axisymmetrical 3D Element forFEM Rotordynamics

M. Silvagni, G. Genta, and A.Tonoli

IGTI 2004 Squeeze-Film Damper Predictionsfor Simulation of Aircraft EngineRotordynamics

Cyril Defaye,FranckLaurant;Philippe Carpentier;MihaiArghir,Olivier Bonneau;SamuelColboc

IMechE 2004 Rotordynamics of turbine labyrinthseals a comparison of CFDmodels to experiments

J Schettel and R Nordmann

IMechE 2004 Integrating experimental tests androtordynamics analysis for solvingvibration problems on geothermal

turbogenerator sets

L Gregori, G A Zanetta, D Lucci,and C Lupetti

IMechE 2004 Parametric characterization of rubinduced whirl instability using aninstrumented rotordynamics test rig

R J Williams

ISCORMA

2005 ROTORDYNAMICS SIGNATUREFOR EMBEDDED SYSTEM

Carabelli, S., Macchi, P., Silvagni,M., Tonoli, A., Visconti, M.

ISCORMA

2005 THE BEAUTY OFROTORDYNAMICS

Genta, G.

ISCORMA 2005 SOME CONSIDERATIONS ON Genta, G., Silvagni, M.


40/389

16

CYCLIC SYMMETRY INROTORDYNAMICS

ASMEBiennial

2005 Structural Finite Element Modelingof Electromechanical Interaction inRotordynamics of ElectricalMachines

Antti Laiho, Helsinki University ofTechnology, Espoo, Espoo,Finland, Timo P. Holopainen, ABBElectrical Machines, Helsinki,

Finland, Paul Klinge, VTTIndustrial Systems, Helsinki,Finland, Antero Arkkio, Laboratoryof Electromechanics, Helsinki,Finland

IGTI 2005 Nonlinear Rotordynamics ofAutomotive Turbochargers:Predictions and Comparisons toTest Data

Luis San Andrs, Juan CarlosRivadeneira, Murali Chinta,Kostandin Gjika, and Gerry LaRue

IGTI 2005 Mechanism and Impact of DamperSeal Clearance Divergence on theRotordynamics of CentrifugalCompressors

Thom M. Eldridge and Thomas A.Soulas

Artigos: rotor instability


ASMEBiennial

1997 Rotor Instability Due to CoupledEffect of Lateral and TorsionalModes and Improper BearingDesign

Yatao Zhang and Jari Nyqvist,ABB STAL

ASMEBiennial

2001 Some Unusual Cases of RotorInstability (Invited Paper)

Karl-Olof Olsson, LinkpingUniversity, Sweden

ASMEBiennial

2001 Theoretical Study on InstabilityBoundary of Rotor-HydrodynamicBearing Systems: Part I- JeffcottRotor with External Damping

Zenglin Guo and R. Gordon Kirk,Virginia Polytechnic Institute andState University

ASMEBiennial 2001 Theoretical Study on InstabilityBoundary of Rotor-HydrodynamicBearing Systems: Part II- Rotor withExternal Flexible Damped Support

Zenglin Guo and R. Gordon Kirk,Virginia Polytechnic Institute andState University

IGTI 1997 Rotordynamic Instability from anAnti-Swirl Device

John Vance, Texas A&MUniversity, College Station, TX,USA; Steven B. Handy, CastrolNorth America, Inc., Piscataway,NJ, USA

IGTI 1998 Identification of the IntermittentSynchronous Instability in a HighPerformance Steam Turbine RotorDue to Deteriorated LabyrinthSeals

Inam U. Haq, Rayed M. Al-Zaid,SABIC Research & Development,Jubail, Saudi Arabia; Chittineni V.Kumar, Al-Jubail FertilizerCompany, Jubail, Saudi Arabia

IGTI 2000 Instability of an Over-Hung RigidCentrifuge Rotor Partially Filled withFluid

Zhu Changsheng, ZhejiangUniversity, Zhejiang, China; H.Ulbrich, University of Essen,Essen, Germany

IMechE 1996 Simulations and experiments of thenon-linear hysteresis loop for rotor-bearing instability

Maurice L Adams, Michael LAdams, and J-S Guo

IMechE 2000 Thermal distortion synchronousrotor instability

R G Kirk and A C Balbahadur

ISCORMA 2001 Effect of Interference Fits on J. M. Vance, D. Ying


41/389

17

Threshold Speeds of RotordynamicInstability

ISROMAC 1998 Transition to Fluid-Induced LimitCycle Self-Excited Vibrations of aRotor and Instability ThresholdHysteresis

A. Muszynska

TAMUTurboShow

1998 Application of a Heat Barrier Sleeveto Prevent Synchronous RotorInstability

Frits M. de Jongh, Pieter van derHoeven

TAMUTurboShow

1999 Unexpected RotordynamicInstability in a "Proven" FCC WetGas Compressor

Ed Wilcox

TAMUTurboShow

2001 Rotor Instability Problems in anIntegrally Geared CompressorSupported by Tilting Pad Bearings

Peter M. Gruntfest, Leo Andronis,William D. Marscher

IGTI 2002 Seal and Bearing Upgrade forEliminating Rotor InstabilityVibration in a High Pressure NaturalGas Compressor

Jiming Li, Pranabesh DeChoudhury, Elliott Company,Jeannette, PA, USA; RogerioTacques, Petrobras S/A, Rio deJaneiro, BRAZIL

IFToMM 2002 Electromagnetic circulatory forcesand rotordynamic instability inelectric machines

Holopainen TP, Tenhunen A andArkkio A

IFToMM 2002 Instability and control of a cantileverrotor supported on MR fluid damperand sliding bearing

Wang J and Meng G

IFToMM 2002 Part I Theoretical model for asynchronous thermal instabilityoperating in overhung rotors

Balbahadur AC and Kirk RG

IFToMM 2002 Part II Case studies for asynchronous thermal instabilityoperating in overhung rotors

Balbahadur AC and Kirk RG

ISROMAC 2002 Darmstadt Rotor No. 2-Part V:Experimental Investigation of the

Instability Behaviour of an Aft-sweptTransonic Compressor Rotor

S Wagner, S Kablitz, D KHennecke, U Schmidt-Elsenlohr

TAMUTurboShow

2003 Synchronous Thermal InstabilityPrediction for Overhung Rotors

R. Gordon Kirk, Zenglin Guo,Avinash C. Balbahadur

ISCORMA 2003 Instability Induced by Iron Losses inRotor-Active Magnetic BearingSystem

N. Takahashi, M. Hiroshima, H.Miura, and Y. Fukushima

IMechE 2004 Experiments and modelling of athree-bearing flexible rotor forunbalance response and instabilitythresholds

M L Adams and A H Falah

IMechE 2004 Parametric characterization of rubinduced whirl instability using an

instrumented rotordynamics test rig

R J Williams

ISCORMA 2005 APPLICATION OF ROTORDYNAMIC ANALYSIS FOREVALUATION OFSYNCHRONOUS SPEEDINSTABILITY AND AMPLITUDEHYSTERESIS AT 2ND MODE FORA GENERATOR ROTOR IN AHIGH-SPEED BALANCING

Lvov, M. M., Gunter, E. J.


42/389

18

FACILITY

ISCORMA 2005 EXPERIMENTS AND ANALYSISFOR A COMMON CASE OFCRACKED ROTORS INSTABILITYAIDING ITS DETECTION

Gmez-Mancilla, J., Machorro-Lpez, J.

ISMB 2006 Thermally Induced Synchronous

Vibration Instability in a MagneticBearing Supported HighspeedRotor

Naohiko Takahashi, Haruo Miura

and Yasuo Fukushima, HitachiPlant Technologies, Ltd., Japan.

IFToMM 2006 Investigation of a RotordynamicInstability in a High PressureCentrifugal Compressor Due toDamper Seal ClearanceDivergence

J.J. Moore*, Southwest ResearchInstitute, USA; M. Camatti, GE Oil& Gas, Italy; A.J. Smalley, TonySmalley Consulting, LLC, USA; G.Vannini, GE Oil & Gas, Italy; L.L.Vermin, Shell PetroleumDevelopment Co. of Nigeria, Ltd.,Nigeria

IFToMM 2006 Swirl Breaking Devices and TheirEffectiveness in Reducing RotorInstability

R. Subbiah*, V. Choudhry,Siemens Power Generation Inc.,USA

Artigos: coupling gyroscopic


IFToMM 1998 Coupling of elastic and gyroscopic modes of rotatingdisc structures

F. Reuter

1.2 Diretrizes Utilizadas na Construo do Conhecimento

1.2.1 Foco da tese

Esta Dissertao tem seu foco principal na discusso de problemas dinmicos,

associados compreenso e estabelecimento das equaes de movimento do rotor.

Embora este conhecimento esteja difundido (na literatura) de forma pulverizada,

de tal forma que os conceitos aqui apresentados sejam no evidentes, neste trabalho

feito um esforo indito de compilao deste conhecimento, no sentido da aderncia

dos modelos matemticos utilizados realidade fsica do rotor real.

O mtodo utilizado nesta tese para o esclarecimento das questes associadas a

Rotodinmica, a sucessiva apresentao, equacionamento e soluo destes modelos,

em ordem crescente de complexidade.

Inicialmente, o nvel de abstrao dos modelos matemticos apresentados

pequeno. Este nvel de abstrao vai sendo ampliado atravs de sucessivas abordagens,

sem a perda de seu significado fsico, importante aspecto deste trabalho, o qual

constantemente trazido para a discusso.


43/389

19

Nos captulos II, III e IV so discutidas, at ao limite, as possibilidades de

representao da cincia Rotodinmica, dentro de uma modelao que utilize a teoria

do contnuo.

Nestes captulos podemos identificar que esta abordagem muita rica de

significado fsico, apesar de seu elevado nvel de abstrao, permitindo o crescimento

balanceado da capacidade de simulao, enquanto desenvolve-se uma importante

compreenso dos fenmenos fsicos associados a esta disciplina.

Entretanto esta abordagem experimenta restries crescentes em complexidade

matemtica, bem como uma crescente dificuldade de resoluo dos problemas

numricos associados soluo da equao diferencial de movimento. Os simuladores

at aqui desenvolvidos so excessivamente tericos e no so capazes de retratar um

rotor real (praticamente esgotando as possibilidades atualmente disponveis para a

representao destes rotores).

Neste contexto surge a possibilidade do tratamento destes modelos fsicos com o

uso de tcnicas discretas de modelao, as quais trabalham com nveis de abstrao

muito superiores e que, por isto mesmo, dificultam a compreeno fsica do problema.

Dificultam portanto, a capacidade de representao dos conceitos mecnicos, to

necessrios ao completo entendimento destas questes.

Dentre as tcnicas discretas de modelao matemtica dos rotores reais, a tcnica

de elementos finitos tem se mostrado, nos ltimos anos, a mais adequada para otratamento global das questes rotodinmicas, no s pela sua ilimitada capacidade de

retratar os rotores reais (como veremos no Captulo V), como tambm pelas

possibilidades que oferece na simplificao das solues.

Podemos ainda complementar esta idia dizendo que a experincia tem

comprovado que a melhor forma de resolver os complicados sistemas de equaes de

movimento axial, torcional e lateral, atravs do Mtodo de Elementos Finitos, o qual

permite fcil formulao de suas matrizes de massa, rigidez e amortecimento.

No Captulo V feito um trabalho cuidadoso de deduo das matrizes de rigidez,inrcia e giroscpica, dentro da teoria de elementos finitos, usando para isto a equao

de Lagrange. ainda apresentado grande conjunto de mtodos para soluo das

equaes de movimento, dos sistemas dinmicos, em diversos cenrios reais.

Ainda no Captulo V desenvolvido um mtodo novo para soluo de sistemas

giroscpicos conservativos (caractersticos de sistemas giroscpios de elevada rotao),


44/389

20

mtodo este que viabiliza o desacoplamento das equaes diferenciais do movimento

destes sistemas, com o emprego dos autovetores da matriz giroscpica.

Este mtodo para soluo de sistemas de equaes de movimento fundamentado

em uma propriedade particular dos autovetores giroscpicos, segundo a qual estes

autovetores so capazes de desacoplar as equaes de movimento de um sistema

giroscpico conservativo.

A demonstrao desta propriedade feita inicialmente para um modelo contnuo,

atravs da demonstrao da propriedade dos autovetores adjuntos da matriz

giroscpica, de desacoplar as equaes de movimento do sistema giroscpico

conservativo. Posteriormente prova-se que estes autovetores desacoplam as matrizes de

massa e rigidez de um sistema n x n, em n/2 sistemas independentes de equaes

duplas.

Esta prova posteriormente complementada (por analogia), fazendo-se uso da

formulao da teoria do contnuo, como poder ser visto no Captulo V.

O carter inedito desta metodologia fortalecido atravs de pesquisa bibliogrfica

realizada pela Biblioteca Central da Petrobras.

No Capitulo VI discutido o problema conhecido como instabilidade

rotodinmca de uma forma precisa, abrangente e profunda.

No Captulo VII apresentado o primeiro exemplo rotodinmico, no qual

simulado um rotor real, de uma das refinarias da Petrobras, para efeito deexemplificao da tecnologia discutida, sendo apresentado sob a forma de um exerccio

completo.

No Captulo VIII desta tese discutido o segundo exemplo rotodinmico. Neste a

tecnologia de integrao de um rotor real sua estrutura de suporte real, que flexvel

(segundo exemplo rotodinmico). A estrutura simulada atravs de um modelo de

elementos finitos e representativa de sistemas existentes em plataforma off-shore, asa

de avio, submarino, etc. Este objetivo alcanado atravs da discusso de um caso

real de um problema ocorrido nas instalaes da Petrobras.A tecnologia discutida no Captulo VIII nova e de propriedade exclusiva do

ROMAC, no tendo sido possvel uma pesquisa mais profunda e a completa

explicitao da sua metodologia, que est parcialmente aqui apresentada.

Esta metodologia foi usada na soluo de um complexo problema de vibrao,

ligado ao projeto inadequado do sistema de suportao de um compressor de amnia,


45/389

21

localizado em uma das plantas de fertilizantes da Petrobras. Este trabalho foi discutido

em artigo elaborado por ALLAIRE, ROCKWELL, CASTILHO ET ALL (2005).

Este mtodo de anlise foi desenvolvida pelo Consrcio Multi-Cliente ROMAC

(Rotating Machinery Research Industrial Program - Virginia University) sob superviso

do Professor Paul E. Allaire. A Petrobras faz parte deste consrcio desde 1986 e

participou deste projeto, sendo representada pelo autor desta tese.

Essa tecnologia capaz de superar as limitaes impostas pelos mtodos

atualmente utilizados, os quais so muito dependentes da percepo humana. Neste

caso particular, todas as tentativas de soluo do problema, realizadas ao longo de vinte

anos de funcionamento desta planta foram frustradas. A tecnologia do ROMAC

permitiu a obteno de resultados precisos atravs de um prottipo virtual, com a

utilizao dos programas de computador normalmente utilizados no ROMAC.

A correta simulao da interao rotor/estrutura e mancais necessria e essencial

para representao do rotor real, viabilizando a idia de um prottipo virtual. A

construo deste prottipo foi decisiva para a obteno dos bons resultados obtidos.

O pioneirismo desta tecnologia fica evidenciado a partir de reunio realizada em

17 de agosto de 2006, entre os Consultores da Universidade de Virginia com os

Consultores da Boeing, assessorados por Consultores do Nastran (consrcio

Boeing/Nastran). No aludido encontro, a Boeing apresentou seu desenvolvimento

conjunto Boeing/Nastran para simulao da interao rotodinmica de suas turbinas ags com a estrutura da asa de seus avies. Nesta reunio ficou evidente a dificuldade,

por parte do consrcio Boeing/Nastran, da representao precisa dos efeitos de rigidez

cruzada e do amortecimento real dos mancais. Esta reunio objetivou a implementao

da nova tecnologia, discutida no Captulo VIII, nos cdigos dos programas

desenvolvidos pelo consrcio Boeing/Nastran.

Essa dissertao tambm representa o fechamento de todo um esforo pessoal de

pesquisa (durante mais vinte anos), objetivando a compreenso global dos fenmenos

vibratrios em turbomquinas, notadamente aqueles comportamentos complexos quesurgem quando colocamos uma turbomquina em suportes flexveis.

Essa tese tambm caracteriza um esforo de transferncia de tecnologia, j que

este conhecimento no est ainda ao alcance de nossos tcnicos.

Tal tecnologia est alicerada em um trip tecnolgico, representado por uma boa

capacidade de simulao de mancais hidrodinmicos, associada a uma boa capacidade


46/389

22

de simulao rotodinmica e complementada com a ajuda de programas como o

ANSYS, o Nastran e outros, para simulao da estrutura de suportao.

A partir deste trabalho, um completo roteiro de simulao dinmica da interao

rotorestrutura fica disponibilizado, bem como a tecnologia que viabiliza a construo

do prottipo virtual, conforme mostrado no Captulo VIII.

Este trip tecnolgico promove o consrcio ROMAC categoria de Centro de

Excelncia Mundial em simulao e estudos dos fenmenos dinmicos associados

interao de rotores com a sua estrutura de suportao.

Esta tese encontra sua motivao na vontade que a Petrobras tem de conhecer e

dominar todos os processos tecnolgicos dentro daquelas reas consideradas por ela

estratgicas. Turbomquinas so classificadas como equipamentos estratgicos.

Aps a soluo de um complexo problema de vibrao em um de seus

compressores, problema esse que exigiu grande esforo cientfico para sua soluo, a

Petrobras decidiu investir na direo da maior compreenso desta tecnologia.

O estudo de caso denominado rotodinmico 2, no Captulo VIII, pretende

registrar todo o conhecimento adquirido neste intercmbio, destacando as novas

experincias cientfico-tecnolgicas realizadas pelos pesquisadores da Universidade de

Virginia, no processo de identificao da causa bsica deste problema.

Objetivando a compreenso do conhecimento, esta tese discute diversos aspectos

importantes no universo das vibraes de turbomquinas. Entre estes aspectosdestacamos os temas:

1) identificao das Freqncias Naturais;

2) determinao da Resposta Dinmica;

3) compreenso do Fenmeno de Instabilidade Rotodinmica,

4) apresentao de exemplos reais de modelao matemtica, aplicado a simulao de

rotores de turbomquinas (Captulo VII) e da interao rotor-estrutura (Captulo VIII).

1.2.2 Apresentao dos Captulos: Corpo da Tese

No Captulo II discutido o movimento de um rotor/giroscpico em balano

atravs de um modelo de dois graus de liberdade e que tem a finalidade de introduzir

alguns conceitos fsicos inerentes a esta tecnologia, tal como os conceitos de rotao e

precesso do eixo rotativo.


47/389

23

No Captulo III o mesmo problema equacionado e resolvido, agora j com uma

abordagem contnua, a qual j exige um nvel mais elevado de abstrao. O modelo da

FIG-1.1 j aparece com uma representao esquemtica diferente na FIG-1.2. A Lei de

Newton usada para equacionar o problema que resolvido com ajuda de uma

matemtica mais elaborada.

A soluo da equao diferencial que governa este movimento (sendo o disco e as

molas introduzidos como condio de contorno) traz uma importante compreenso da

participao do efeito giroscpico no clculo das freqncias naturais e dos modos

naturais de vibrao, bem como caracteriza, de forma inequvoca, a independncia

linear dos autovetores giroscpicos, em um sistema giroscpico conservativo.

Ainda no Captulo III, e com o mesmo enfoque usado no equacionamento do

problema anterior, deduzida a equao de movimento do rotor bi-apoiado mostrado

esquematicamente na figura FIG-1.3.

FIG. 1.1 - ROTOR GIROSCPIO EM BALANO, 2 GL

O disco giroscpico ento introduzido dentro da equao diferencial de

movimento com a ajuda da funo Delta de Dirac. A independncia linear dos

autovetores giroscpicos deste novo sistema fica assegurada mesmo com a introduo

do disco na equao diferencial de movimento.

No Captulo IV o rotor bi-apoiado equacionado com a ajuda do Princpio

Variacional (Hamilton), agora com a introduo de mais discos e com molas na posio

dos mancais, conforme mostrado esquematicamente na FIG-1.4.


48/389

24

FIG 1.2 - ROTOR CONTNUO EM BALANO.

Esta abordagem discute o problema anterior de uma forma bem mais abstrata,

procurando eliminar dvidas que foram levantadas durante o equacionamento do

problema anterior, relativas ao sinal do efeito giroscpico dentro da equao de

movimento. PRODONOFF, V., CASTILHO, (1989 ). A independncia linear dos

autovetores giroscpicos, tambm aqui, fica assegurada.

FIG 1.3 - ROTOR ESQUEMTICO BI - SUPORTADO.

Neste ponto fica evidente a limitao da abordagem contnua na simulao dosrotores reais, na medida em que esta abordagem incapaz de atender a complexidade

geomtrica e a multiplicidade dos detalhes existentes em rotores da vida real e que

esto esquematicamente representados na FIG-1.5

FIG 1.4 - ROTOR ESQUEMTICO SUPORTADO POR MOLA


49/389

25

No Captulo V introd uzido o equacionamento do movimento do rotor com o

auxilio da tcnica de Elementos Finitos. A utilizao do Princpio Variacionaes no

processo de equacionamento do movimento do rotor admite uma capacidade muito

superior de representao das particularidades geomtricas de um rotor da vida real.

interessante regist