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Conteúdo da Aula
O que é um derivativo? Contratos a Termo e Futuro Swap Opções Modelo de Black & Scholes Volatilidade Implícita Letras Gregas
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O que é um derivativo?
Derivativo é um ativo cujo payoff (valor) depende (ou deriva) do valor de mercado de um outro ativo (subjacente).
Mais geralmente, um ativo contingente é um ativo cujo payoff depende da realização de alguma variável aleatória subjacente (bilhetes de loteria, políticas de seguro, “derivativos do tempo").
Derivativos são negociados tanto em mercados de balcão como em bolsas de valores.
Os termos de um contrato de balcão são resultados da negociação direta entre as partes, portanto são muito flexíveis. Em contraste, os termos de um contrato de bolsa são padronizados pela própria bolsa.
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Tipos de Derivativos
Principais tipos de derivativos: Contratos a termo Contratos Futuros Swaps Opções
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Contratos a Termo
Um contrato a termo é um acordo de compra: de uma quantidade específica de um determinado ativo. em uma data futura (data de entrega (delivery)) a um preço específico (preço de entrega)
O comprador de um contrato a termo é detentor de uma posição comprada (long) e o vendedor é detentor de uma posição vendida (short).
O preço a termo é normalmente determinado de modo que o valor do contrato seja zero na data de assinatura (não custa nada ficar comprado ou vendido).
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Contrato a Termo
O ativo subjacente é, geralmente, um título, uma ação, um índice, uma moeda, ou uma commodity.
Notação: Data de entrega: T Preço do ativo subjacente na data t (spot price): St
Preço a termo para um contrato assinado em t: Gt,T
Na data de entrega, GT,T = ST (convergência).
O ganho na data T de uma posição comprada na data t será:
ST Gt,T
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Contratos Futuro
Mesma definição dos contratos a termo, com duas importantes exceções: Enquanto os contratos a termo são negociados através de
dealers em mercados de balcão (OTC), contratos futuros são negociados em bolsas de valores. Os contratos futuros são padronizados e mais líquidos.
Contratos futuros são “marcados a mercado”. O ganho com contratos a termo GT,T Gt,T é realizado no vencimento do contrato e os contratos futuros são marcados diariamente. Isto é, no fim de cada dia de negociação t, o detentor de uma posição comprada tem o seguinte payoff Ft,T Ft-1,T
(paga/recebe do detentor de uma posição vendida).
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Avaliando os Contratos a Termo
Considere as hipóteses de mercado perfeito de capitais: Não há custo de transação; Não há a cobrança de impostos; Não há restrição a vendas a descoberto; Não há restrições a liquidez.
Considere a seguinte notação: St = Preço do ativo subjacente em t;
rt,T = taxa de juros livre de risco em t com prazo T – t.
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Avaliando os Contratos a Termo
Por não arbitragem, o preço a termo na data t é :
Suponha agora que o ativo subjacente pague dividendos durante a vida do contrato a termo. Seja Dt,T o valor em t dos dividendos a serem pagos entre t e T. Nesse caso, por não arbitragem temos
Se o dividendo é pago continuamente a uma taxa contínua q, então:
.)(,
,
ttTr
Tt SeG Tt
.,)(
,,
TtttTr
Tt DSeG Tt
.))((,
,
ttTqr
Tt SeG Tt
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Avaliando os Contratos a Termo
No caso em que o ativo subjacente é uma moeda estrangeira, a variável S é o preço da moeda estrangeira. A moeda estrangeira proporciona a seu detentor um rendimento conhecido a uma taxa igual a taxa de juros na moeda estrangeira Logo o preço do contrato a termo sobre a moeda estrangeira é
.))((,
,,
ttTrr
Tt SeGfTtTt
.,fTtr
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Swap
Um Swap é um acordo de balcão para troca de duas séries de fluxos de caixa, sobre um determinado período de tempo, que dependem do valor de mercado de um ou mais ativos. Os termos dos contratos são normalmente escolhidos de modo que o valor do contrato na data de assinatura é zero.
No Brasil, os swaps possuem as seguintes características: Podem ser registrados na BMF ou CETIP. O acerto financeiro da diferença entre os indexadores
aplicados sobre o principal ocorre geralmente no vencimento do contrato.
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Tipos de Swaps
Swap de taxa de juros - “plain vanilla”: troca de pagamentos de juros a uma taxa fixa por pagamentos de juros a uma taxa flutuante, sobre o mesmo notional.
Swap de moedas: troca de séries de pagamentos (principal e juros) denominados em uma moeda por séries de pagamentos (principal e juros) em outra moeda.
Swap de commodities: troca de fluxos de caixa baseados em valores futuros de commodities por séries de pagamento fixas.
Swap de ações : troca de pagamento do retorno de um índice de ações aplicado sobre um notional por um pagamento de um retorno fixo ou flutuante sobre o mesmo notional (aumento ou diminuição da exposição ao índice).
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Opções
Uma Opção é um derivativo que dá a seu detentor escolha(s) futuras que afetam os fluxos de caixa da posição. Opção de compra (Call): dá a seu detentor o direito, mas não
a obrigação de comprar um ativo especificado (subjacente) em (ou até) uma determinada data (vencimento) por um preço pré-especificado (preço de exercício - strike).
Opção de venda (Put): dá a seu detentor o direito, mas não a obrigação de vender um ativo especificado(subjacente) em (ou até) uma determinada data (vencimento) por um preço pré-especificado (preço de exercício - strike).
O ativo subjacente pode ser um título, uma ação, um índice, uma moeda estrangeira, uma commodity, ou um outro derivativo.
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Opções
Opções que só podem ser exercidas no vencimento são chamadas Opções Européias. Opções que só podem ser exercidas a qualquer tempo até o vencimento são chamadas Opções Americanas.
Considere uma opção européia com data de vencimento T, preço de exercício K sobre um ativo com spot ST. O payoff no vencimento de uma posição comprada nessa opção é:
Máx[ST K,0]
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Modelo BS
No modelo BS, assumiremos que o preço do ativo objeto segue um MBG. Isso significa que o preço da ativo obedece a seguinte EDE:
Esta indica como o preço da ação evolui ao longo do tempo: ele depende de uma componente determinística que gera um rendimento contínuo à taxa , e mais um termo estocástico que depende do movimento browniano, e devido à volatilidade constante, apresenta distribuição normal.
tttt dWSdtSdS
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Modelo BS
O preço da ação segue um movimento browniano geométrico. Vendas a descoberto são permitidas. Não há custos de transações ou taxas. Não há pagamentos de dividendos durante a existência do
derivativo. Transações podem ser realizadas continuamente. A taxa de juros básica é constante e a mesma para todos os
prazos de maturação. Assumindo-se ausência de arbitragens obtemos o preço justo
dos derivativos.
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Modelo BS
Preço da call européia
Para o preço da put, basta usar a paridade:
tTdd
tT
tTrK
S
d
dNKedNSc
t
tTrtt
12
2
1
2)(
1
21
ln
)()(
tttTr
t SpKec )(
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Moneyness
O moneyness é uma medida do grau de probabilidade de uma opção ter um payoff positivo no vencimento.
Uma opção é dita out-of-the-money (fora do dinheiro) quando sua probabilidade de exercício é baixa. Para uma call significa que o preço do ativo à vista está muito abaixo do strike, já para uma put acontece o contrário, isto é, o preço do ativo à vista está muito acima do strike.
Uma opção é dita in-the-money (dentro do dinheiro) quando o seu exercício é mais provável do que o seu não-exercício. Uma call in-the-money ocorre se o preço do ativo à vista estiver muito acima do strike. Uma put in-the-money ocorre quando o preço do ativo à vista estiver muito abaixo do strike.
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Moneyness
Por fim, uma opção é dita at-the-money (no dinheiro) quando as chances de exercício e de não-exercício são aproximadamente iguais. Tanto para call como para a put isso acontece se o preço do ativo à vista estiver próximo ao do strike.
O moneyness pode ser definido de várias formas:
1
)(
d
KeS
KStTr
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Volatilidade Implícita
Para um preço spot St, strike K, taxa de juros r e vencimento T, existe uma relação única entre volatilidade e preço de uma call européia.
Em particular, para qualquer preço ct (positivo e menor que St), existe um único nível de volatilidade tal que:
ct = BS(St, K, r, T – t, )
Essa volatilidade é chamada de volatilidade implícita. Qualquer divergência entre preços de mercado e preços teóricos
podem ser devido a hipóteses incorretas do modelo ou ineficiências de mercado.
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Volatilidade Implícita
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Letras Gregas
O efeito da variação dos fatores que afetam o prêmio da opção é chamado de medida de sensibilidade ou letras gregas.
A sensibilidade de uma opção a um dado fator de risco é igual a derivada parcial da fórmula de Black & Scholes em relação a esse fator.
Principal letra grega é o delta = sensibilidade do preço de uma opção a variações no preço do ativo objeto. Para opções de compra
).( 1dN
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Letras Gregas
Medida Taxa de Variação ou Sensibilidade
Delta () do prêmio relativo a variações no ativo objeto
Gama () do delta relativo a variações no ativo objeto
Teta () do prêmio relativo a variações no tempo
Vega () do prêmio relativo a variações na volatilidade do ativo objeto
Rhô () do prêmio relativo a variações na taxa de juros
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Superfícies de Volatilidade
É relação em determinado instante entre volatilidade implícita de calls (sobre um mesmo ativo objeto), prazo de vencimento e strike (ou o moneyness). É uma superfície no espaço tridimensional.
Se o modelo de BS fosse verdadeiro essa superfície seria flat e constante. Na prática essas superfícies não são flats e variam estocasticamente.
Os traders monitoram os movimentos da superfície de volatilidade bem de perto. Todos os dias os traders estimam superfícies de volatilidade para diferentes ativos a partir dos preços das opções.
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Superfícies de Volatilidade
Alguns pontos da superfície de volatilidade podem ser estimados diretamente porque correspondem a opções negociadas ativamente.
Outros pontos da superfície são obtidos geralmente por interpolação. Essa interpolação é feita muitas das vezes via splines cúbicas.
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Superfícies de Volatilidade
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BS para Ativos com Dividendos
Fórmula de BS com dividendos contínuos
Quando os dividendos são pagos em instantes discretos, pode-se descontá-los a valor presente, subtrair do preço inicial da ação, e aplicar a fórmula de BS.
tTdd
tT
tTqrK
S
d
dNKedNeSc
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tTrtTqtt
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Leitura
Hull, J. Options, Futures and Other Derivatives, 2006. Caps. 1, 3, 6, 8, 12, 13, 14, 15 e 23.
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