Basi della Matematica

Di Chiara Rodolfi

AddizioneI termini si dicono addendiIl risultato si dice sommaL’addizione è un’operazione interna all’insieme NVale:-La proprietà commutativa -La proprietà associativa -Esiste l’elemento neutro che è lo 0

SottrazioneI termini si dicono minuendo e sottraendo Il risultato si dice DifferenzaLa sottrazione non è un’operazione interna all’insieme NNon vale:-La proprietà commutativa-La proprietà associativa-Non esiste l’elemento neutroVale la proprietà invariantiva: sommando o sottraendo uno stesso numero dal minuendo e dal sottraendo la differenza non cambia

MoltiplicazioneI termini si dicono fattoriIl risultato si dice prodottoLa moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme NVale:-La proprietà commutativa -La proprietà associativa -Proprietà distributiva -Esiste l’elemento neutro che è 1 -Legge di annullamento del prodotto: il prodotto di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo

DivisioneI termini si dicono dividendo e divisoreIl risultato si dice quoto o quozienteLa divisione non è un’operazione interna all’insieme NNon vale:-La proprietà commutativa-La proprietà associativa-Non esiste l’elemento neutroVale la proprietà invariantiva: Moltiplicando o dividendo uno stesso numero dal dividendo e dal divisore il quoto non cambia

Multiplo & DivisoreMultiplo

Dati due numeri a e b si dice che a è multiplo di b se esiste un numero tale

che: bxn=aDivisore

Dati due numeri a e b si dice che b è divisore di a ( o che a è divisibile per b )

se esiste un numero tale chea:b=n

Criteri di divisibilità Per 2: quando il numero è pariPer 3: quando la somma delle cifre è divisibile per 3Per 4: quando gli ultimi 2 numeri sono 00 o sono divisibili per 4Per 5: quando il numero finisce per 0 o 5Per 8: quando la somma delle ultime 3 cifre sono un numero divisibile per 8 o sono 000Per 9: quando la somma delle cifre è un numero divisibile per 9Per 11: quando la somma delle cifre di posto dispari meno la somma delle cifre di posto pari è un numero divisibile per 11Per 25: quando il numero finisce per 00, 25, 50, 75

PotenzeDato un numero naturale a e un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a, il prodotto di n fattori uguali ad aProdotto di due potenze con la stessa baseE’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponentiQuoziente di due potenze con la stessa baseE’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponentiPotenza di potenzaE’ una potenza che ha come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponentiProdotto di due potenze con lo stesso esponenteE’ una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponenti la somma degli esponentiQuoziente di due potenze con lo stesso esponenteE’ una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente

Numeri primi e primi tra loro

Numeri primiUn numero si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.Numeri primi tra loroDue numeri si dicono primi tra loro se hanno come unico divisore comune 1Chiarimenti:Due numeri primi sono sicuramente anche primi tra loro, ma non è detto che due numeri primi tra loro siano anche primi

M.C.DSi dice M.C.D di due o più numeri il più grande divisore comune ai numeri dati

Come si calcola: Si scompongono i numeri in fattori primi e si prendono i fattori comuni una sola volta e con il minimo esponente

m.c.mSi dice m.c.m di due o più numero il più piccolo multiplo comune ai numeri dati

Come si calcola:Si scompongono i numeri in fattori primi e si prendono i fattori comuni e non comuni una sola volta e con il massimo esponente

Insieme numeri relativi Z

E’ l’insieme dei numeri con il segnoConcordi: hanno lo stesso segnoDiscordi: hanno segno diversoNumeri oppostiDue numeri si dicono opposti quando hanno lo stesso valore assoluto ma segno diversoValore AssolutoSi dice valore assoluto il numero senza il segnoAddizione in ZValgono le stesse proprietà che valevano in N. Si aggiunge l’elemento simmetrico che è l’oppostoSottrazione in ZValgono le stesse proprietà che valevano in N. Ora la sottrazione è un’operazione interna binaria in Z. La moltiplicazione e la divisione restano uguali

Confronto tra numeri relativi

- Ogni numero positivo è maggiore di goni numero negativo- Lo zero è maggiore di tutti i numeri negativi e minore di tutti i numeri positivi- Confronto numeri concordiPositivi: è maggiore quello che ha valore assoluto maggioreNegativi: è maggiore quello che ha valore assoluto minoreSomma algebricaE’ la somma tra numeri realtiviSomma di numeri relativiConcordi: E’ un numero che ha per segno il segno dei numeri e per valore assoluto la somma dei valori assolutiDiscordi: E’ un numero che ha per segno il segno del numero con valore assoluto maggiore e per valore assoluto la differenza dei valori assolutiIl prodotto di tre o più termini è:Positivo: se il numero di fattori negativi è pariNegativo: se il numero di fattori negativi è dispari

Regole dei Segni+ x + = ++ x - = -- x + = -- X - = +

ProporzioniDefinizione RapportoDati due numeri relativi interi, con il secondo diverso da 0, si dice rapporto di quoto della divisione tra i due numeriDefinizione proporzioneLa proporzione è l’uguaglianza tra due rapportiI numeri si chiamano termini della proporzioneIl 1° e il 4° si dicono estremiIl 2° e il 3° si dicono mediIl 1° e il 3° si dicono antecedentiIl 2° e il 4° si dicono conseguentiUna proporzione si dice continua se hai medi uguali. Si parla di medio proporzionale. L’ultimo termine è detto terzo proporzionaleSe una proporzione non è continua l’ultimo termine è detto quarto proporzionale

Proprietà delle proporzioni

Proprietà fondamentaleIl prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremiProprietà del permutareScambiando tra loro medi o estremi si ottiene una nuova proporzioneProprietà dell’invertireScambiando ogni antecedente per il proprio conseguente si ottiene una nuova proporzioneProprietà del comporreLa somma del 1° e 2° termine sta al 1° e al 2° come la somma del 3° e 4° termine sta al 3° e al 4°Proprietà dello scomporreLa differenza del 1° e 2° termine sta al 1° e al 2° come la differenza del 3° e 4° termine sta al 3° e al 4°

Numeri razionali QDefinizione FrazioneDati due numeri interi relativi n, d con d diverso da 0, si definisce frazione il quoto di n e d e si scrive n/dn e d si dicono termini della frazionen è il numeratored è il denominatoreFrazioni proprieQuando il numeratore è minore del denominatore. La frazione è <1Frazioni improprieQuando il numeratore è maggiore del denominatore. La frazione è >1Frazioni ApparentiQuando il numeratore è un multiplo del denominatore. La frazione è un numero intero > o =1Frazioni equivalentiDue frazione si dicono equivalenti se rappresentano lo stesso quotoFrazione ridotta ai minimi terminiUna frazione si dice ridotta ai minimi termini quando il numeratore e il denominatore sono numeri primi tra loroProprietà InvariantivaMoltiplicando o dividendo il numeratore o il denominatore per uno stesso numero si ottiene una frazione equivalente

Operazioni in QAddizione: come in ZSottrazione: come in ZMoltiplicazione: Come in Z + elemento simmetricoDefinizione Inverso o ReciprocoDue numeri a e b si dicono reciproci se il loro prodotto è uguale a 1, axb=1Divisione: In Q0 diventa un operazione interna binaria a QAddizione: Per sommare una o più frazioni bisogna portarle allo stesso denominatore e poi sommare in numeratori. Idem per la sottrazioneMoltiplicazione: Si moltiplicano tra loro nominatori e denominatoriDivisione: Si moltiplica la prima frazione per l’inverso della frazionePotenza di frazioneValgono le stesse proprietà delle potenzePotenza a esponente negativoDati un numero razionale a diverso da zero e un numero naturale n si dice potenza a esponente negativo –n di a l’inverso di a alla n

Frazioni e numeri decimali

Tutte le frazione che, ridotte ai minimi termini, hanno al denominatore:- 2 o 5 o entrambi, è un numero decimale finito: la frazione generata

da un numero decimale finito ha al nominatore il numero senza la virgola e al denominatore 1 più tanti zeri quante sono le cifre decimali

- Numeri diversi da 2 e 5, è un numero decimale periodico semplice:

la frazione generata da un numero periodico semplice ha al numeratore il numero senza la virgola meno la parta che precede il periodo e al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo

- Numeri diversi da 2 e 5 con 2 o 5, è un numero decimale periodico misto: la frazione generata da un numero periodico semplice ha al numeratore il numero senza la virgola meno la parta che precede il periodo e al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo ( la parte decimale che precede il periodo )