Download pdf - Funcao Do 2o Grau Exercicios Resolvidos PDF

Exercícios Resolvidos

1) Calcular os zeros das seguintes funções:

a) f(x) = x2 3x 10

b) f(x) = x2 + x 20

c) f(x) = x2 x + 12

d) f(x) = x2 + 4x 4

e) f(x) = 36x2 + 12x + 1

f) f(x) = (2x + 3).(x 2)

a) f(x) = x2 3x 10 a = 1 ; b = 3 ; c = 10

Equação do 2º grau!

As raízes da equação são x1 = 2 e x2 = 5

Os zeros da função são x1 = 2 e x2 = 5

b) f(x) = x2 + x 20 a = 1 ; b = 1;

c = 20



Os zeros da função são x1 = 5 e x2 = 4

c) f(x) = x2 x + 12 a = 1 ; b = 1

; c = 12


A função continua inalterada, mas a equação foi multiplicada por 1, apenas para facilitar o cálculo das raízes.

Para efeito de cálculos, consideraremos agora ; e


Os zeros da função f(x) = x2 x + 12 são x1 = 4 e x2 = 3

d) f(x) = x2 + 4x 4 a = 1 ; b = 4 ; c = 4


A função continua inalterada, mas a equação foi multiplicada por 1, apenas para facilitar o cálculo das raízes.

Para efeito de cálculos, consideraremos agora ; e

A equação tem duas raízes reais e iguais a 2

A função f(x) = x2 + 4x 4

e) f(x) = 36x2 + 12x + 1 a = 36; b = 12 ; c = 1

A equação tem duas raízes reais e iguais a

A função f(x) = 36x2 + 12x + 1

f) f(x) = (2x + 3).(x 2)


Se o produto é igual a zero, podemos ter certeza que um dos fatores, ou , é nulo.

Daí... 1º) Se (1ª raiz)

2º) Se (2ª raiz)

As raízes da equação são x1 = 3/2 e x2 = 2

Os zeros da função f(x) = (2x + 3).(x 2) são x1 = 3/2 e x2 = 2

2) Calcular m para que: a) a função f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 seja côncava para cima. b) a função f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 seja côncava para baixo. c) a função f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 seja quadrática.

a) Para que o gráfico de uma função quadrática, ou do 2º Grau, seja uma parábola com a concavidade voltada para cima (CVC), é necessário que o coeficiente do x2 seja positivo:

f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 f(x) = (m 3)x2 + 4x 7

b) Para que o gráfico de uma função quadrática, ou do 2º Grau, seja uma parábola com a concavidade voltada para baixo (CVB), é necessário que o coeficiente do x2

seja negativo:

f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1

c) Para que uma função seja quadrática, ou do 2º Grau, é necessário que o coeficiente do x2 não seja nulo:

f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 f(x) = (m2 4)x2 4x + 3

3) Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo.

a) f(x) = x2 4x + 3

b) f(x) = x2 x + 2

c) f(x) = 4x4 + 4x + 1

a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4;

c = 3

Abscissa do vértice:

Ordenada do vértice:

Coordenadas do vértice:

a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4;

c = 3


Ordenada do vértice: (cálculo alternativo)

a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4;

c = 3

2

1 Valor mínimo da função ou yMIN = 1

V

Resposta: O vértice da função f(x) = x2 4x + 3 é no ponto ( 2 , 1 ) e, sendo seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para CIMA, a função admite um valor MÍNIMO, no caso, yV = 1

b) f(x) = x2 x + 2a = 1 ; b = 1;

c = 2



Coordenadas do vértice:

9/4

1

Valor máximo da função ou yMAX = 9/4

V

Resposta: O vértice da função f(x) = x2 x + 2 é no ponto ( 1 , 9/4 ) e, sendo seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para BAIXO, a função admite um valor MÁXIMO, no caso, yV = 9/4

b) f(x) = x2 x + 2a = 1 ; b = 1;

c = 2

c) f(x) = 4x4 + 4x + 1 a = 4 ; b = 4;

c = 1

Resposta: O vértice da função f(x) = 4x4 + 4x + 1 é no ponto ( 1/2 , 0 ) e, sendo seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para CIMA, a função admite um valor MÍNIMO, no caso, yV = 0

4) Em cada função mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as coordenadas do vértice, crescimento e decaimento, valor máximo, ou mínimo, e faça o esboço do gráfico.

a) f(x) = x2 4x + 3

b) f(x) = x2 + 4x 4

c) f(x) = x2 + 3x + 4

d) f(x) = x2 + 2x 4

a) f(x) = x2 4x + 3

Raízes:

Vértice:

Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:

Pontos onde a curva intercepta o eixo Ox:

e

Para valores de x, menores que 2, a função

é decrescente

Para valores de x, maiores que 2, a função

é crescente

A função tem seu valor mínimo y = 1

b) f(x) = x2 + 4x 4

Raízes:

Ox em apenas um ponto, aqui, ( 2 , 0 )

ATENÇÃO: Neste caso, sempre que tivermos , a raiz é também a abscissa do vértice e, consequentemente, a ordenada do vértice será igual a zero!

Vértice:


A parábola, côncava para baixo, vai tangenciar o eixo Ox no vértice V = ( 2 , 0 )


é crescente


é decrescente

A função tem seu valor máximo y = 0

c) f(x) = x2 + 3x + 4

Raízes:

intercepta o eixo Ox

Vértice:


Para valores de x, menores que 1.5, a função é decrescente

Para valores de x, maiores que 1.5, a função é

crescente

A função tem seu valor mínimo y = 1.75

d) f(x) = x2 + 2x 4

Raízes:

intercepta o eixo Ox

Vértice:



é crescente


é decrescente

A função tem seu valor máximo y = 3

5) Determine a lei da função afim cuja reta que a representa tem coeficiente angular igual a 2 e passa pelo vértice da parábola de equação y = x2 + 4.

Função afim:

Resposta: A lei de formação da função afim é

6) Responda: entre todos os pares de números reais x e y, tais que x y = 10 determine aqueles para os quais a soma de seus quadrados seja mínima.

Soma dos quadrados:

Os pontos ou

A expressão da soma dos quadrados está escrita agora, apenas em função da variável x, logo, é uma f(x)

Função do 2º grau com , logo, representada por uma parábola côncava para cima que tem seu valor mínimo no vértice

Resposta: Par

Como

7) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Quais as medidas dos lados menor e maior?

Área:

Função do 2º Grau CVB, ou seja, admite valor MÁXIMO no vértice

Resposta: Lado menor = 100 m e lado maior = 200 m

Como

8) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = 2t² + 8t (t 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo

b) a altura máxima atingida pela bola

Para termos uma boa visão geral da situação, vamos fazer o gráfico (mesmo que isso não esteja sendo pedido na questão)

Raízes:

ou



a) o instante em que a bola retornará ao solo:

b) a altura máxima atingida pela bola:

9) De um cartão retangular de base 14cm e altura 12cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada. Calcule o valor de x, em centímetros, para que a área total removida seja mínima.

ou

Função quadrática CVC que admite MÍNIMO no vértice

Resposta: O lado do quadrado deverá medir 1 cm

10) Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a (x + 3) e (2x 4) metros.

a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12m2 a 28m2.

b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2.

a)

a) 1ª parte:

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU!

Cálculo das raízes:

Temos que encontrar dois números que, somados dêem 1 e multiplicados resultem em 12

Sem muito sacrifício, encontramos 4 e 3 (Verifique!)

Sabemos que a expressão seria representada, como gráfico de uma função, por uma parábola com a concavidade voltada para cima.

Calculamos, de cabeça, que os zeros dessa função seriam 4 e 3 e daí não é difícil visualizar o esboço desse gráfico.

Para x = 4 e para x = 3 temos

Para x < 4 ou para x > 3 temos

Para 4 < x < 3 temos

Queremos que então devemos ter ou

a) 2ª parte:

Cálculo das raízes:

Temos que encontrar dois números que, novamente, somados dêem 1, mas agora, que multiplicados resultem em 20

Rapidamente encontramos 5 e 4 (Fácil!)

Queremos que então devemos ter

Para x = 5 e para x = 4 temos

Para x < 5 ou para x > 4 temos

Para 5 < x < 4 temos

ou e

A solução deste sistema de inequações seria . Como nessa questão há uma aplicação no cálculo de áreas, x não pode ser negativo e daí a resposta será: x poderá variar de 3 m a 4 m.

b)

Essa equação nós já resolvemos e, lembrando que , temos apenas

Sendo assim, as medidas dos lados para que a área seja igual a 28 m2 serão:

e