Funcao Do 2o Grau Exercicios Resolvidos PDF

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Exerccios Resolvidos

1) Calcular os zeros das seguintes funes: a) f(x) = x2 3x 10 b) f(x) = x2 + x 20 c) f(x) = x2 x + 12 d) f(x) = x2 + 4x 4 e) f(x) = 36x2 + 12x + 1 f) f(x) = (2x + 3).(x 2)

a) f(x) = x2 3x 10

a=1;b= 3; c = 10

Equao do 2 grau!

As razes da equao so x1 = 2 e x2 = 5 Os zeros da funo so x1 = 2 e x2 = 5

b) f(x) = x2 + x 20

a = 1 ; b = 1; c = 20 Equao do 2 grau!

As razes da equao so x1 = 5 e x2 = 4 Os zeros da funo so x1 = 5 e x2 = 4

c) f(x) = x2 x + 12

a= 1 ;b= 1 ; c = 12 Equao do 2 grau! A funo continua inalterada, mas a equao foi multiplicada por 1, apenas para facilitar o clculo das razes.

Para efeito de clculos, consideraremos agora

;

e

As razes da equao

so x1 = 4 e x2 = 3

Os zeros da funo f(x) = x2 x + 12 so x1 = 4 e x2 = 3

d) f(x) = x2 + 4x 4

a= 1 ;b=4; c= 4 Equao do 2 grau! A funo continua inalterada, mas a equao foi multiplicada por 1, apenas para facilitar o clculo das razes.

Para efeito de clculos, consideraremos agora

;

e

A equao A funo f(x) = x2 + 4x 4

tem duas razes reais e iguais a 2

e) f(x) = 36x2 + 12x + 1

a = 36; b = 12 ; c=1

A equao A funo f(x) = 36x2 + 12x + 1

tem duas razes reais e iguais a

f) f(x) = (2x + 3).(x 2) Equao do 2 grau!

Se o produto fatores, Da...

ou

igual a zero, podemos ter certeza que um dos , nulo. (1 raiz) (2 raiz) so x1 = 3/2 e x2 = 2

1) Se 2) Se As razes da equao

Os zeros da funo f(x) = (2x + 3).(x 2) so x1 = 3/2 e x2 = 2

2) Calcular m para que: a) a funo f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 seja cncava para cima. b) a funo f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 seja cncava para baixo. c) a funo f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 seja quadrtica.

a) Para que o grfico de uma funo quadrtica, ou do 2 Grau, seja uma parbola com a concavidade voltada para cima (CVC), necessrio que o coeficiente do x2 seja positivo: f(x) = (m 3)x2 + 4x 7

b) Para que o grfico de uma funo quadrtica, ou do 2 Grau, seja uma parbola com a concavidade voltada para baixo (CVB), necessrio que o coeficiente do x2 seja negativo:2 f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1

c) Para que uma funo seja quadrtica, ou do 2 Grau, necessrio que o coeficiente do x2 no seja nulo:2 f(x) = (m2 4)x2 4x + 3

3) Nas funes abaixo, calcule as coordenadas do vrtice, dizendo se este ponto de mximo ou mnimo. a) f(x) = x2 4x + 3 b) f(x) = x2 x + 2

c) f(x) = 4x4 + 4x + 1

a) f(x) = x2 4x + 3

a = 1 ; b = 4; c=3

Abscissa do vrtice:

Ordenada do vrtice:

Coordenadas do vrtice:

a) f(x) = x2 4x + 3

a = 1 ; b = 4; c=3

Abscissa do vrtice:

Ordenada do vrtice: (clculo alternativo)

a) f(x) = x2 4x + 3

a = 1 ; b = 4; c=3

2

1 Valor mnimo da funo ou yMIN = 1

V

Resposta: O vrtice da funo f(x) = x2 4x + 3 no ponto ( 2 , 1 ) e, sendo seu grfico uma parbola com a concavidade voltada para CIMA, a funo admite um valor MNIMO, no caso, yV = 1

b) f(x) =

x2

x+2

a = 1 ; b = 1; c=2

Abscissa do vrtice:

Ordenada do vrtice:

Coordenadas do vrtice:

b) f(x) =

x2

x+2

a = 1 ; b = 1; c=2 V 9/4 Valor mximo da funo ou yMAX = 9/4 1

Resposta: O vrtice da funo f(x) = x2 x + 2 no ponto ( 1 , 9/4 ) e, sendo seu grfico uma parbola com a concavidade voltada para BAIXO, a funo admite um valor MXIMO, no caso, yV = 9/4

c) f(x) =

4x4

+ 4x + 1

a = 4 ; b = 4; c=1

Resposta: O vrtice da funo f(x) = 4x4 + 4x + 1 no ponto ( 1/2 , 0 ) e, sendo seu grfico uma parbola com a concavidade voltada para CIMA, a funo admite um valor MNIMO, no caso, yV = 0

4) Em cada funo mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as coordenadas do vrtice, crescimento e decaimento, valor mximo, ou mnimo, e faa o esboo do grfico. a) f(x) = x2 4x + 3 b) f(x) = x2 + 4x 4 c) f(x) = x2 + 3x + 4 d) f(x) = x2 + 2x 4

a) f(x) = x2 4x + 3

Razes: Vrtice: Pontos onde a curva intercepta o eixo Ox: e

Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:

Para valores de x, menores que 2, a funo decrescente A funo tem seu valor mnimo y = 1

Para valores de x, maiores que 2, a funo crescente

b) f(x) = x2 + 4x 4

Razes: Ox em apenas um ponto, aqui, ( 2 , 0 ) ATENO: Neste caso, sempre que tivermos , a raiz tambm a abscissa do vrtice e, consequentemente, a ordenada do vrtice ser igual a zero! Vrtice: A parbola, cncava para baixo, vai tangenciar o eixo Ox no vrtice V = ( 2 , 0 )

Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:

A funo tem seu valor mximo y = 0

Para valores de x, menores que 2, a funo crescente

Para valores de x, maiores que 2, a funo decrescente

c) f(x) = x2 + 3x + 4

Razes: intercepta o eixo Ox Vrtice:

Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:

Para valores de x, menores que 1.5, a funo decrescente A funo tem seu valor mnimo y = 1.75

Para valores de x, maiores que 1.5, a funo crescente

d) f(x) = x2 + 2x 4

Razes: intercepta o eixo Ox Vrtice:

Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:

Para valores de x, menores que 1, a funo crescente

Para valores de x, maiores que 1, a funo decrescente

A funo tem seu valor mximo y = 3

5) Determine a lei da funo afim cuja reta que a representa tem coeficiente angular igual a 2 e passa pelo vrtice da parbola de equao y = x2 + 4.

Funo afim: Resposta: A lei de formao da funo afim

6) Responda: entre todos os pares de nmeros reais x e y, tais que x y = 10 determine aqueles para os quais a soma de seus quadrados seja mnima. Soma dos quadrados: Os pontos ou

A expresso da soma dos quadrados est escrita agora, apenas em funo da varivel x, logo, uma f(x) Funo do 2 grau com , logo, representada por uma parbola cncava para cima que tem seu valor mnimo no vrtice Como Resposta: Par

7) Uma parede de tijolos ser usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma rea mxima. Quais as medidas dos lados menor e maior?

rea:

Funo do 2 Grau CVB, ou seja, admite valor MXIMO no vrtice Como

Resposta: Lado menor = 100 m e lado maior = 200 m

8) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetria descrita pela equao h(t) = 2t + 8t (t 0), onde t o tempo medido em segundos e h(t) a altura em metros da bola no instante t. Determine, aps o chute: a) o instante em que a bola retornar ao solo b) a altura mxima atingida pela bola

Para termos uma boa viso geral da situao, vamos fazer o grfico (mesmo que isso no esteja sendo pedido na questo) Razes: Abscissa do vrtice: Ordenada do vrtice: ou

a) o instante em que a bola retornar ao solo: b) a altura mxima atingida pela bola:

9) De um carto retangular de base 14cm e altura 12cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapzio issceles, conforme a figura, onde a parte hachurada ser retirada.

Calcule o valor de x, em centmetros, para que a rea total removida seja mnima.

ou Funo quadrtica CVC que admite MNIMO no vrtice

Resposta: O lado do quadrado dever medir 1 cm

10) Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a (x + 3) e (2x 4) metros. a) Determine os valores de x, para que a rea da placa varie de 12m2 a 28m2. b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2.

a)

a) 1 parte:

INEQUAO DO 2 GRAU!

Clculo das razes:

Temos que encontrar dois nmeros que, somados dem 1 e multiplicados resultem em 12 Sem muito sacrifcio, encontramos 4 e 3 (Verifique!)

Sabemos que a expresso seria representada, como grfico de uma funo, por uma parbola com a concavidade voltada para cima. Calculamos, de cabea, que os zeros dessa funo seriam 4 e 3 e da no difcil visualizar o esboo desse grfico. Para x = 4 e para x = 3 temos Para x < 4 ou para x > 3 temos Para 4 < x < 3 temos

Queremos que

ento devemos ter

ou

a) 2 parte:

Clculo das razes:

Temos que encontrar dois nmeros que, novamente, somados dem 1, mas agora, que multiplicados resultem em 20 Rapidamente encontramos 5 e 4 (Fcil!)

Para x = 5 e para x = 4 temos Para x < 5 ou para x > 4 temos Para Queremos que 5 < x < 4 temos ento devemos ter

ou

e

A soluo deste sistema de inequaes seria . Como nessa questo h uma aplicao no clculo de reas, x no pode ser negativo e da a resposta ser: x poder variar de 3 m a 4 m.

b)

Essa equao ns j resolvemos e, lembrando que

, temos apenas

Sendo assim, as medidas dos lados para que a rea seja igual a 28 m2 sero:

e