Mathmatiques appliques la gestionOutils mathmatiques pour la gestionMathmatiques financiresStatistique descriptiveProbabilitsLim91610/08/059:52Page 1Jean-Pierre POSIREest Professeur certifi en Mathmatiques et ex-chef de dpartementGestion (GEA) lIUT de Valenciennes.Du mme auteur Exercices de mathmatiques appliques la gestionavec corrigs dtaills (coll. Les Zooms) 1redition 2005 Lim91610/08/059:52Page 2Jean-PierrePOSIREOutils mathmatiques pour la gestionMathmatiques financiresStatistique descriptiveProbabilitsMathmatiques appliques la gestionLim91610/08/059:52Page 3COL L ECTI ONL ESZOOM SSous la direction de Batrice et Francis Grandguillot Fiscalit franaise 2005 (B. et F. Grandguillot) Comptabilit gnrale Principes gnraux, oprations courantes,oprations de fin dexercice 9edition 2005 (B. et F. Grandguillot) Exercicesdecomptabilitgnraleaveccorrigsdtaills 2edition 2004 (B. et F. Grandguillot) Analyse financire 9edition 2005 (B. et F. Grandguillot) Exercices danalyse financire avec corrigs dtaills 1redition 2005(B. et F. Grandguillot) Comptabilit de gestion 7edition 2004 (B. et F. Grandguillot) Comptabilit des socits 4edition 2004 (B. et F. Grandguillot) Droitdutravailetdelascuritsociale8edition2005(D. Grandguillot) Droit civil 1redition 2005 (C. Renault-Brahinsky) Droit des affaires 1redition 2005 (P. Oudot) Droit des socits 4edition 2005 (X. Seux-Baverez) Droit de la sant et de la scurit au travail (Ph. Malingrey) Marketing et action commerciale 4edition 2005 (G. Audigier) Lestechniquesducommerceinternational3edition2005 (G. Legrand et H. Martini) Mathmatiques appliques 1redition 2005 (J.-P. Posire) ExercicesdeMathmatiquesappliquesaveccorrigsdtaills 1redition 2005 (J.-P. Posire) Institutions publiques franaises et europennes 1redition 2005 (D. Grandguillot) Gualino diteur, EJA Paris 2005ISBN 2 - 84200 - 916 - 9Lim91610/08/059:52Page 4PrsentationLes mathmatiques font peur et pourtant !En ralit les mathmatiques sont, en quelque sorte, un jeu pour ceux et celles qui cher-chent les comprendre. Il nest pas ncessaire davoir des connaissances trs pousses pour rsoudrelaplupartdesproblmes.Dansbeaucoupdescas,unedmarchelogiquebasique suffit. En fait, le plus difficile est de comprendre les problmes et les modliser. Cet ouvrage a t crit dans ce sens, les mathmatiques ne sont pas considres comme unesciencefondamentalemaiscommeunensembledoutilspermettantuneanalyseetla recherche dune solution. La part des mathmatiques pures a t rduite le plus possible afin delaisserlaplaceunraisonnementsouventbasique.Nanmoins,toutesolutionpropose doit pouvoir tre justifie de manire graphique, empirique ou analytique.Lesnotionsdemathmatiquesappliqueslagestion,rpartiesenquatreparties,sont tudiespartirdeproblmesconsonanceconcrte.Desexemplesdutilisationavecune proposition de rsolution sont donns. Le lecteur pourra essayer de trouver dautres mthodes pour arriver au rsultat.Ilfautcependantpossderquelquesconnaissancesmathmatiquesminimales :avoirau moinsunemthodepourrsoudreunequationetunsystmedquations(sontrevuesla mthodedesdterminantsetlamthodematricielle)etsavoirdriverunefonction(toutau moins les fonctions une variable).Pourdonnerdesrsultatschiffrsettrouverlesrponsesauxquestionsposes,ilest important de lire, comprendre et traduire en langage mathmatique les noncs. Lutilisation dune calculatrice ou dun tableur est recommande, cest une aide apprciable en terme de G MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ON6 rentabilit : gain de temps. Lutilisation des menus quations , solveur est conseille pour ceux et celles qui en disposent. la lecture de cet ouvrage, le lecteur, mme non-matheux, doit tre convaincu que le mot mathmatique nest pas synonyme de rpulsif. Les mathmatiques appliques la gestion sont une science du concret accessible la plupart dentre nous, sous rserve davoir un peu de rigueur.Sommaire1Outils mathmatiques pour lconomie et la gestionChapitre 1La notion dquilibre sur le march pour un bien211 Lanalyse du march21ALe problme pos21BLa fonction doffre La fonction de demande21CLa fonction doffre affine22DLa fonction de demande affine23ELa notion dquilibre sur le march23F Linfluence dune taxe (ou dune subvention) sur les conditions lquilibre25GDeux autres hypothses262 Trois exemples dutilisation28ALexemple 1 : quilibre sans, puis avec subvention28BLexemple 2 : Dtermination de fonction29CLexemple 3 : Fonction du second degr303 Le rsum31Chapitre 2 La notion dquilibre sur le march pour un ensemble de biens331 Le problme pos33ALes fonctions doffre et de demande plusieurs variables33BLa notion dquilibre pour plusieurs biens34G MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ON82 La rsolution dun systme dquation par la mthode de Cramer34ALe calcul dun dterminant34BLa mthode de Cramer373 La rsolution dun systme par la mthode matricielle38ALa dfinition dune matrice38BLes oprations sur les matrices38CDeux matrices carres particulires40DLes valeurs propres dune matrice carre43ELa rsolution du problme pos la Socit EREISOP444 Le rsum45Chapitre 3Une tude analytique pour un bien471 Les notions fondamentales47ALa prsentation47BLe cot moyen - Le cot total48CLa notion de cot marginal48DLoptimum technique48ELa notion dlasticit50FLoptimum conomique512 Trois exemples dutilisation52ALexemple 1 : Recherche dun optimum technique52BLexemple 2 : Recherche dun optimum conomique53CLexemple 3 : lasticit de Demande543 Le rsum55Chapitre 4Une tude analytique pour un ensemble de biens571 Les optima pour une fonction plusieurs variables57ALe problme pos57BLanalyse du problme pos57CLa rsolution directe du problme pos59DLa matrice du Hessien 60ELa mthode des mineurs diagonaux61FLa mthode des valeurs propres622 Les optima lis pour une fonction plusieurs variables63AUne modification du problme pos63BLa mthode directe63CLa mthode des coefficients de Lagrange63DLa mthode des pseudo-valeurs propres du Hessien bord65EUne remarque66GSommaire93 Trois exemples dutilisation66ALexemple 1 : Recherche dun optimum simple et calcul dune lasticit66BLexemple 2 : Recherche dun optimum li67CLexemple 3 : Fonction de satisfaction694 Le rsum71Chapitre 5La Programmation Linaire Simple731 La modlisation et la rsolution graphique dun programme linaire simple73ALe problme pos73BLe choix des variables et la modlisation73CLa rsolution graphique dun programme linaire75DLes contraintes satures ou non-satures762 La rsolution algbrique dun programme linaire77ALa dualit77BLa mthode exhaustive78CLa mthode de Dantzig : recherche dun maximum79DLes tableaux du Simplexe de maximisation80EQuelques remarques propos de la dualit833 Le rsum852Mathmatiques financiresChapitre 6Les suites numriques891 Les suites arithmtiques89ALa dfinition dune suite numrique89BLa dfinition dune suite arithmtique89CLes suite arithmtiques finies902 Les suites gomtriques91ALa dfinition dune suite gomtrique91BLes suites gomtriques finies913 Trois exemples dutilisation92ALexemple 1 : Travail sur une suite arithmtique92BLexemple 2 : Travail sur une suite gomtrique93CLexemple 3 : Travail sur une suite bizarre 933 Le rsum94G MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ON10Chapitre 7Les intrts simples951 Lintroduction95ALes gnralits95BLa valeur nominale la valeur acquise la valeur actuelle95CLe taux dintrt96DLe calcul de la dure962 Les intrts simples97ALe principe97BLes adaptations de la relation de base97CUne remarque983 Trois exemples dutilisation98ALexemple 1 : Calcul dune dure de placement98BLexemple 2 : Notion de taux moyen99CLexemple 3 : Calcul de taux effectifs de placement1004 Le rsum101Chapitre 8Lescompte intrts simples1031 La prsentation103ALa problme pos103BLes dfinitions104CLescompte rationnel104DLescompte commercial105ELquivalence entre effets1052 La pratique de lescompte105ALe bordereau descompte105BLe taux rel (ou effectif) descompte1063 Trois exemples dutilisation106A Lexemple 1 : Comparaison escompte commercial et escompte rationnel106BLexemple 2 : Equivalence entre effets107CLexemple 3 : Choix entre conditions descompte1083 Le rsum109Chapitre 9Les intrts composs1111 La prsentation111ALe principe111BLa capitalisation des intrts111CLe schma de base112GSommaire11D Les taux dintrts proportionnels - Les taux dintrts quivalents112ELe taux annuel continu1132 Trois exemples dutilisation113A Lexemple 1 : Diffrence entre capitalisation annuelle et capitalisation continue113BLexemple 2 : Que faire si les taux dintrts changent ?114C Lexemple 3 : Taux proportionnels - Taux quivalents - Taux annuel continu1153 Le rsum116Chapitre 10 Les annuits1171 Les gnralits117ALe problme pos117BLes dfinitions118CLa valeur acquise par une suite temporaire119DLa valeur actuelle dune rente temporaire1192 Deux mthodes de recherche dun taux120ALa mthode par interpolation linaire120BLa mthode de la tangente120CLapplication au cas de Monsieur Papy1213 Trois suites dannuits particulires123ALes suites dannuits constantes123BLes suites dannuits en progression gomtrique124CLes suites dannuits en progression arithmtique1254 Le rsum127Chapitre 11 Les emprunts indivis1291 Les gnralits129ALa dfinition129BLes principes129CLe tableau damortissement130DUn exemple quelconque1302 Trois types demprunts indivis131ALes amortissements sont constants131BLes annuits sont constantes132CLe remboursement in fine Le fonds damortissement1333 Le rsum135G MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ON12Chapitre 12 Quelques notions sur les emprunts obligataires1371 Les gnralits137ALa dfinition137BLa terminologie137CLe taux effectif de placement pour un prteur138DLe principe de la gestion SICoVaM 138ELe tableau damortissement dun emprunt obligataire1392 Deux exemples dutilisation140ALexemple 1 : Construction dun tableau damortissement140BLexemple 2 : Calcul de taux effectifs1413 Le rsum1443Statistique DescriptiveChapitre 13 Lintroduction la statistique descriptive1471 Les gnralits147ALa dfinition147BLa terminologie147CLes diffrents types de caractres147DLa forme gnrale dun tableau statistique1482 Les reprsentations dune srie statistique149ALe cas des sries caractre qualitatif149BLe cas des sries caractre quantitatif discret152CLe cas des sries caractre quantitatif continu1533 Les caractristiques de position empiriques155ALe Mode (ou la Dominante)155BLa mdiane156CLa mdiale156DQuelques remarques1584 Les moyennes158AUne formulation gnralise158BLa moyenne arithmtique158CLa moyenne quadratique159DLa moyenne harmonique160ELa moyenne gomtrique161FQuelques remarques1625 Les caractristiques de dispersion empiriques163ALtendue163GSommaire13BLes quantiles163CQuelques remarques1646 La srie des carts164ALa dfinition164BLcart moyen arithmtique165CUne remarque1657 Deux thormes importants166ALe thorme de Knig166BLingalit de Bienaym-Tchebytcheff1678 Le rsum169Chapitre 14 Les mlanges de populations1711 Les gnralits171ALintroduction171BLes notations initiales171C Une relation entre la moyenne de la population-mre et les moyennes des sous-populations172D Une relation entre la variance de la population-mre et les variances des sous-populations172E La fraction de la variance totale explique par lhtrognit des moyennes entre sous-populations1732 Deux exemples dutilisation174ALexemple 1 : Comparaison de calculs174BLexemple 2 : Calcul partir dun tableau synthtique1773 Le rsum179Chapitre 15 La modlisation dune srie statistique1811 Deux mthodes empiriques destimation181ALintroduction181BLa premire mthode : lestimation par une valeur moyenne182CLa seconde mthode : lestimation par la mthode de Mayer182DLa notion de distance entre valeurs observes et valeurs estimes1842 La mthode des moindres carrs185ALe rsidu quadratique185BLa droite des moindres carrs (par abus, droite dite de rgression)186CLajustement suivant une fonction exponentielle191DLajustement suivant une fonction puissance (fonction de Pareto)193ELajustement parabolique194FUn ajustement quelconque197GQuelques remarques2003 Le rsum202G MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ON14Chapitre 16 Quelques notions sur les sries chronologiques2031 Les lments composant une chronique203ALintroduction203BUne visualisation de la tendance gnrale (Trend)203CUne visualisation de la priodicit et de linfluence accidentelle204DUn graphique montrant simultanment les trois composantes2052 Une mthode empirique destimation205ALa dcomposition du phnomne tudi205BUne estimation grossire du trend206CLe calcul des coefficients saisonniers206DLa dtermination de lquation du trend2093 Une mthode analytique destimation210ALa prsentation210BLes principes210CLe calcul de b et des coefficients saisonniers211DLe calcul de a 213ELapplication aux livraisons dessence de lhypermarch de papyville2154 Le rsum216Chapitre 17 Quelques notions sur les indices statistiques2171 Les indices lmentaires217ALintroduction217BLa dfinition217CQuelques proprits des indices lmentaires2182 Les indices synthtiques218ALa dfinition et les principes218BLindice de Laspeyre219CLindice de Paasche221DLindice de Fisher2223 Le rsum2224ProbabilitsChapitre 18 Le dnombrement2271 Lanalyse combinatoire227ALe principe fondamental227BLes permutations227CLes arrangements228GSommaire15DLes combinaisons228EQuelques proprits des combinaisons2292 Trois exemples dutilisation230ALexemple 1 : Combien de plans de table ?230BLexemple 2 : Combien de descentes possibles ?230CLexemple 3 : Combien de mains possibles ?2313 Le rsum233Chapitre 19 Quelques notions de probabilit2351 La prsentation235ALa terminologie235BLa dfinition dune probabilit235CQuelques proprits dune probabilit236DLes probabilits composes ou conditionnelles2372 Trois exemples dutilisation237ALexemple 1 : Probabilit sur un jeu de carte237BLexemple 2 : tude dune production238CLexemple 3 : La fiabilit dun thylomtre2393 Le rsum240Chapitre 20 Les variables alatoires discrtes2431 Les gnralits243ALa notion de variable alatoires243BLes lois de probabilit dune variable alatoire discrte : X L(X)243CLesprance mathmatique et lcart-type244D Quelques proprits des esprances mathmatiques et des variances. La notion de covariance2442 Deux exemples dutilisation246ALexemple 1 : Les principales notions dans un exercice thorique246BLexemple 2 : Calculer ses chances pour ouvrir une porte2483 Le rsum250Chapitre 21 Les variables alatoires continues2511 Les gnralits251ALes lois de probabilit dune variable alatoire continue : X L(X)251BLesprance mathmatique et lcart-type252CQuelques remarques2522 Deux exemples dutilisation252ALexemple 1 : Un exercice thorique252BLexemple 2 : La loi exponentielle 2543 Le rsum255G MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ON16Chapitre 22 La loi Binomiale2571 La prsentation257ALa dfinition257BLesprance mathmatique257CLa variance et lcart-type2582 Deux exemples dutilisation258ALexemple 1 : Pices dfectueuses dans un chantillon258BLexemple 2 : Etat de voitures vendues2593 Le rsum260Chapitre 23 La loi de Poisson261 1 La prsentation261ALapproximation dune loi Binomiale261BLe Processus de poisson262CLa dfinition263DLesprance mathmatique263ELa variance et lcart-type263FQuelques remarques2642 Deux exemples dutilisation264ALexemple 1 : Le processus de Poisson264BLexemple 2 : Lapproximation dune loi Binomiale2643 Le rsum265Chapitre 24 La loi Normale2671 La prsentation267ALa dfinition267BLa loi Normale centre rduite268CLe passage de la loi N(m ;) la Loi N(0 ;1)268D Quelques calculs de probabilits pour une variable alatoire T L(T) = N(0 ; 1)269E Quelques calculs de probabilits pour une variable alatoire X L(X) = N(m ; )2722 Lapproximation dune loi Binomiale ou de Poisson par une loi Normale273ALa correction de continuit273BLapproximation dune loi Binomiale par une loi Normale275CLapproximation dune loi de Poisson par une loi Normale2753 Le rsum276GSommaire17Chapitre 25 Le test du Khi2 Le test de Henry2771 La prsentation277ALa loi du Khi2 (2)277BLes caractristiques de la loi du Khi2277CLe nombre de degrs de libert277DLa somme de variables 2 indpendantes277ELutilisation de la table de la fonction inverse de la loi du 22782 La validit de lajustement dune loi observe une loi thorique278A La dfinition et la loi de probabilit de la distance entre une loi observe et une loi thorique278BLe test du Khi22793 Deux exemples dutilisation280A Lexemple 1 : Ajustement suivant une loi Binomiale ou une loi de Poisson280BLexemple 2 : Ajustement par une loi Normale2814 Le test de Henry283ALe principe283BUn exemple dutilisation2835 Le rsum287Les Annexes289Lannexe 1 : Un tableau rsumant brivement le passage dune loi une autre291Lannexe 2 : La fonction de rpartition de la loi Normale N(0 ; 1)292Lannexe 3 : La fonction inverse de la rpartition de la loi Normale N(0 ; 1)294Lannexe 4 : La fonction inverse de la rpartition de la loi du Khi2 (2)296PARTIE 1Outils mathmatiques pour lconomie et la gestion1 Lanalyse du marchA Le problme posComme chaque anne, la Socit EREISOP essaye de vendre son caf spcial auprs des habitants de Papyville en ESPERIE. Ce caf est actuellement stock en paquets de 1 kg. Il faut galement savoir que la Socit EREISOP est la seule produire ce type de caf.En tudiant ses cots de production et son budget, Monsieur Papy, Pdg de la Socit EREISOP, constate quilnepeutpassepermettredevendresoncafmoinsde2 lepaquetetque,pourlui,lidal serait quil arrive vendre 250 000 paquets 6 le paquet.Du ct des ventuels clients et la vue des annes antrieures qui lui servent un peu dtude de mar-ch, Monsieur Papy estime que, cette anne, sil vendait 5,5 son paquet de caf, il arriverait en ven-dre 50 000 paquets alors que sil les vendait 3 il arriverait en vendre 175 000 paquets.Pouvons-nous alors aider Monsieur Papy dterminer le prix auquel il devrait proposer son paquet de caf et combien il en vendrait ?B La fonction doffre La fonction de demande la lecture du problme pos ci-dessus, nous constatons que le march est compos de deux compo-santes principales : la premire est la vue du march uniquement du ct du producteur, de loffreur, qui ne voit que sa rentabilitenestimantsesbesoins :MonsieurPapychercheradoncvendreleplusdepaquetsde caf possible au meilleur prix ; la seconde est la vue du march plutt du ct des consommateurs, des demandeurs, qui auront ten-dance acheter dautant moins que le prix est lev.Lapremirecomposanteseraappeleoffre :unefonctiondoffreseradoncunefonctionquireliera un nombre de paquets mis en vente (offerts) un prix de vente affich par loffreur. Cette fonction doffre sera, en gnral, croissante.La notion dequilibre sur le march pour un bienChapitre1G22MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONSi nous dsignons par po (en ) le prix de vente en question et par Qo (en milliers) le nombre de paquets mis en vente, cette fonction doffre peut se prsenter sous les formes :o o o o o op Q f(p ) ou Q p f(Q ) = =La seconde composante sera appele demande : une fonction de demande sera donc une fonction qui reliera un nombre de paquets achets par les consommateurs (vendus ou demands) un prix pay par le consommateur. Cette fonction doffre sera, en gnral, dcroissante.Si nous dsignons par pd (en ) le prix pay en question et par Qd (en milliers) le nombre de paquets achets et donc vendus, cette fonction de demande peut se prsenter sous les formes :d d d d dp Q f(p )ou Q p f(Q ) = =Le problme qui se pose maintenant est donc de savoir de quels types sont ces fonctions doffre et de demande.C La fonction doffre affineNous pouvons faire lhypothse comme quoi la fonction doffre est affine et quelle se prsente sous la forme : o o o oQ p f(Q ) aQ b oaetbsontdesconstantesrelles. = = +Dans notre cas et grce aux donnes de lnonc, nous pouvons crire que :b 2 a 0, 016250a b 6 b 2, 000= = + = = Suivant cette hypothse, cette fonction doffre scrit :o o o oQ p f(Q ) 0, 016Q 2, 000 = = +Cette fonction ne pouvant tre dfinie que sur *+ , nous la reprsenterons sous la forme suivante : 1 5 3 100 200 300 400poQo0Au vu de cette reprsentation graphique, nous pouvons vrifier ce qui est dit au dpart, savoir que le prix minimal doffre est bien gal 2 le paquet. noter Par convention, les quantits sont places en abscisses et les prix en ordonnes, mme si la fonction est donne sous la forme : o o op Q f(p )o o o oQQoo. Cette fonction affine nest pas reprsen-te par une droite car un prix et une quantit ne sauraient tre ngatifs.GChapitre 1 La notion dquilibre sur le march pour un bien23D La fonction de demande affineNouspouvonsfairelhypothsecommequoilafonctiondedemandeestaffineetquelleseprsente sous la forme : d d d dQ p f(Q ) aQ b = = +o a et b sont des constantes relles.Dans notre cas et grce aux donnes de lnonc, nous pouvons crire que :175a b 3, 0 a 0, 02050a b 5,5 b 6,500+ = = + = = Suivant cette hypothse, la fonction de demande scrit :d d d dQ p f(Q ) 0, 020 Q 6,500 = = + noter Cette fonction affine, comme la fonction doffre, nest pas reprsente par une droite car un prix et une quantit ne sauraient tre ngatifs.Cette fonction ne pouvant tre dfinie que sur + , nous la reprsenterons sous la forme suivante : 1 5 3 100 200 300 400pdQd0Au vu de ce graphique, il est facile de constater que le prix maximal quaccepterait de payer un con-sommateur est de 6,5 le paquet de caf.Si cette notion de prix maximal est naturelle , il est plus dlicat daffirmer que si les consommateurs pouvaient acheter plus de 325 milliers de paquets de caf, la Socit EREISOP devrait les offrir gratuite-ment (325 000 est la quantit au-del de laquelle le bien deviendrait libre).En effet, si le consommateur conoit que plus la quantit achete est importante, plus le prix unitaire doit tre bas (remise), il est difficile dadmettre que le bien en question devienne gratuit (libre).Cest ce phnomne qui nous indique que le type de fonction choisie pour la demande est peut-tre non-adapt.E La notion dquilibre sur le marchSurlemarch,commenouslavonsdjfaitremarquer,lesoffreursetlesdemandeurscohabitentet la quantit vendue par loffreur sera la quantit achete par le demandeur. De mme le prix peru par loffreur sera celui pay par le demandeur.G24MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONIl est donc logique que les fonctions doffre et de demande se reprsentent sur un mme graphique.Sur ce graphique, les units de quantit et de prix seront reprsentes par le mme symbole, soit par Q et p respectivement.Avant de faire ce graphique, il ne faut pas oublier de vrifier que lunit de prix est la mme dans loffre et dans la demande (ici leuro) ainsi que lunit de quantit (ici le millier de paquets de caf).Nous arrivons ainsi au graphique ci-dessous : 1 5 3 pQ100 200 300 400 0pApBQo,B Qd,B Qd,A Qo,AOffre Demande DemandeOffreEn analysant ce graphique, nous remarquons que pour un prix gal pA, la demande Qd,A est infrieure loffre Qo,A. Pour ce prix, la production est donc trop importante par rapport la demande do cons-titution de stocks. Pour couler cette surproduction, le producteur aura tendance diminuer ses prix.Par contre, pour un prix gal pB, la demande Qd,B est suprieure loffre Qo,B. Pour ce prix, la pro-duction est donc trop faible par rapport la demande do un manque gagner. Pour rcuprer cette perte, le producteur aura tendance augmenter ses prix.Pour le producteur, comme pour le consommateur, lidal serait que loffre soit gale la demande, cest--dire que lidal serait darriver un point dquilibre sur le march.Offre = Demande= = = =o do dp p pEquilibre sur le marchQ Q QLe point dquilibre se situe donc au point dintersection entre les courbes doffre et de demande. Pour dterminerlesconditionslquilibre,ilfautdoncrsoudrelesystmeformparlesdeuxquations reprsentant loffre et la demande :p 0, 016Q 2, 0 p 4p 0, 020Q 6,5 Q 125= + = = + = lquilibre sur le march, il faudrait donc que la Socit EREISOP mette en vente 125 000 paquets de caf 4 le paquet.GChapitre 1 La notion dquilibre sur le march pour un bien25F Linfluence dune taxe (ou dune subvention) sur les conditions lquilibreSupposons maintenant que la Socit EREISOP soit taxe par les services fiscaux dESPERIE. Cette taxe peut se dfinir de deux manires diffrentes : soit une taxe unitaire fixe par paquet de caf vendu, soit une taxe proportionnelle au prix donn sous forme de pourcentage.1)Le cas dune taxe unitaire fixeSupposons qu chaque fois que la Socit EREISOP vend un paquet de caf, elle doive payer une taxe de 0,9 . Son prix doffre passera de po po,t = po + 0,9 et son prix minimal doffre qui tait de 2 passera 2,9 .o o o oLafonctiond'offredevientdonc: Q p f(Q ) 0, 016Q 2, 9 = = +Par contre, pour le demandeur, le prix maximal de demande restera toujours gal 6,5 . Nous crirons donc que pd = pd,t.d d d dLafonctiondedemanderestedonc:Q p f(Q ) 0, 020Q 6,5 = = +En simplifiant, nous dirons que le fait dintroduire une taxe modifie loffre mais pas la demande.Pour trouver les nouvelles conditions lquilibre, il nous faut donc rsoudre le systme ci-dessous (nous avons pos po,t = pd,t = pt et Qo,t = Qd,t = Qt) :t t tt t tp 0, 016Q 2, 9 p 4,5p 0, 020Q 6,5 Q 100= + = = + = Danscesconditionsetlquilibresurlemarch,ilfaudraitdoncquelaSocitEREISOPmetteen vente 100 000 paquets de caf 4,5 le paquet.2)Le cas dune taxe proportionnelleImaginons cette fois que la Socit EREISOP doive payer une TVA de 5,5 % sur le prix hors taxe. En fai-sant le mme raisonnement que ci-dessus, nous constaterons que la fonction de demande est inchan-ge mais que la fonction doffre est modifie.Nous arriverons ainsi aux fonctions doffre et de demande suivantes :o,t o,t o o,t o,tQ p 1, 055 p 1, 055 (0, 016 Q 2) 0, 01688Q 2,11 = = + = +d,t d,t d,tQ p 0, 020Q 6,5 = +(la fonction de demande est inchange)Pour trouver les conditions lquilibre, il faut donc rsoudre le systme ci-dessous :t t tt t tp 0, 01688Q 2,11 p 4,12p 0, 020Q 6,5 Q 119, 035= + = = + = Danscesconditionsetlquilibresurlemarch,ilfaudraitdoncquelaSocitEREISOPmetteen vente 119 035 paquets de caf 4,12 la paquet (la Socit EREISOP ne dtaillant pas ses paquets de caf, nous avons t obligs darrondir les rsultats).G26MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ON3)Une remarqueNouspouvonsremarquerquelefaitdintroduireunetaxefaitaugmenterlesprixetdiminuerlacon-sommation.SilaSocitEREISOPavaitbnficidunesubvention(taxengative)nousaurionscons-tat qu lquilibre les prix diminuent et les quantits augmentent.Une taxe a donc pour objet de faire diminuer la consommation alors quune subvention la fait augmen-ter.G Deux autres hypothses1)Lhypothse n 1 : fonction lasticit constanteNousavonsvuauAdecechapitrequilsemblaitlogiquequepluslademandedevenaitimportante, plus le prix avait tendance baisser mais quil tait difficile dadmettre que celui-ci devienne nul. Nous allons donc faire une autre hypothse sur la fonction de demande en crivant que cette fonction est de la forme :d d dQ p A QoAet sontdesconstantesrelles. = En reprenant les donnes nonces, les valeurs A et seront solution du systme suivant :A 175 3, 0 ln(A) ln(175) ln(3, 0) A 36,5082ln(A) ln(50) ln(5,5) 0, 484A 50 5,5= + = = + = = = Dans ce cas, la fonction de demande scrit sous la forme :0,484d ddQ p 36,5082Q =ddQNouspouvonsconstaterque,pourcetypedefonction, lim(p ) 0. = lquilibre sur le march, nous devons galiser loffre et la demande, soit rsoudre le systme (nous gardons la mme fonction doffre) :0,484p 0, 016Q 2p 36,5082 Q= + = Pour rsoudre un tel systme, nous pouvons utiliser une fonction auxiliaire f (Q f(Q)) telle que :0,484f(Q) 36,5082Q 0, 016Q 2= En effet, rsoudre f(Q) = 0 revient dterminer la valeur de Q solution du systme ci-dessus.1,484df(Q)Nouspouvonsremarquerque: f (Q) 17, 6627Q 0, 016 0dQ = = 0 et f(Q2) < 0 puis de procder une interpolation linaire.GChapitre 1 La notion dquilibre sur le march pour un bien27Ici, linterpolation linaire pourrait se traduire par := = = = f(109) 0, 028Q 109 0, 000 0, 028f(Q) 0, 000d'o110 109 0, 004 0, 028f(110) 0, 004 = = Q 109 0, 000 0, 028Q 109,875110 109 0, 004 0, 028Si nous remplaons Q par 109,875 dans le systme traduisant lquilibre alors p = 3,76.Dans ces conditions et lquilibre, il faudrait que la Socit EREISOP mette en vente 109 875 paquets de caf 3,76 le paquet.Au sujet de cette hypothse, nous pouvons remarquer que si la quantit demande augmente de % (augmentation faible pour ne pas avoir trop dapproximation, par convention avec 0 1), le prix de demande augmente environ de 0,484 % soit diminue environ de 0,484 %. noter Une fonction du type x y = k x est dite lasticit constante (llasticit est gale ) et possde la proprit suivante : si x augmente de % (0 1) alors y augmente approximative-ment de %.2)Lhypothse n 2 : fonction homographiqueLhypothse n1 sur la fonction de demande est plus logique que lhypothse initiale mais il nous sem-ble que la Socit EREISOP ne descendra pas ses prix en dessous de 2 le paquet de caf (pas de vente perte). Il faudrait donc, peut-tre, que la fonction de demande soit telle que :ddQlim(P ) 2 =Do cette seconde hypothse o la fonction de demande est une fonction homographique qui vri-fierait cette limite en plus des conditions initiales du problme.Nous prenons donc une fonction de demande de la forme :dd ddaQ bQ pavecc 0cQ d+ = +Il nous faut donc rsoudre le systme suivant :50a b5,550c da 2c175a b3, 0 b 175c175c dd 0a2, 0c+ =+= + = = + == G28MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONLa constante c tant non-nulle, nous en dduisons que la fonction de demande est donne par :dd dd2Q 175Q pQ+ =Pour trouver les conditions lquilibre sur le march, il nous faut maintenant rsoudre le systme dans lequel Qd > 0 (nous gardons toujours la mme fonction doffre) :2p 0, 016Q 2p 0, 016Q 2p 3, 672Q 175p Q 104,5830 0, 016Q 175Q= + = + = + = == Dans ces conditions et lquilibre, il faudrait que la Socit EREISOP mette en vente 104 583 paquets de caf 3,67 le paquet.2 Trois exemples dutilisationA Lexemple 1 : quilibre sans, puis avec subventionConsidrons sur le march un bien dont les fonctions de demande et doffre sont donnes res-pectivement par :d d dp Q = 7 p + 12 o o op Q = 6 p 81) Dterminer les conditions lquilibre avant imposition dune taxe ou dune subvention lquilibre sur le march, loffre est gale la demande :Q 7p 120 13p 20 p 1,5385Q 6p 8= + = == Dans ces conditions, Q = 5,5714. lquilibre sur le march, il serait chang 5,5714 units du bien considr 1,5385 units montai-res pice.2) Que deviennent ces conditions si ce bien bnficie dune subvention unitaire de 2Seule la fonction doffre est modifie pour devenir : (un prix subventionn ps est gal au prix normal p diminu de la subvention s) : ps,o po s po = ps,o + ss,o o s,o s,op Q 6 (p 2) 8 6p 4 = + = +GChapitre 1 La notion dquilibre sur le march pour un bien29Do le systme rsoudre lquilibre :ss ssQ 7p 120 13 p 8 p 0, 6154Q 6p 4= + = == +Dans ces conditions, Q = 7,6923. lquilibre sur le march, il serait chang 7,6923 units du bien considr 0,6154 unit montaire pice.B Lexemple 2 : Dtermination de fonctionConsidrons un bien sur le march tel que :o o osafonctiond'offreestdonnepar : p Q = 4p 10 ; sa fonction de demande est affine ; si le prix demand augmente de deux units, la quantit demande diminue de 5 units ; le prix maximal de demande est gal 7.1)Expliciter la fonction de demandeSi la fonction de demande est affine, nous pouvons lcrire sous la forme : d d dp Q ap b = +De plus, si pd passe pd + 2 (le prix de demande augmente de deux units), Qd passe Qd 5 (la quan-tit demande diminue de 5).Do d d d d dp2 Q- 5 a(p2) bap2a b Q2a+ = + + = + + = +d d(carapb Q ) . + =Nous obtenons donc que a = 2,5 < 0. La fonction de demande est donc dcroissante. Son prix maxi-mal est donc obtenu pour la quantit demande minimale soit Qd = 0.Do 0 = 2,5 + b, soit b = 17,5.La fonction de demande sexprime donc sous la forme :d d dp Q 2,5 p 17,5 = +2) Quel est le montant total des taxes payes par le producteur de ce bien lquilibre sur le march si la taxe unitaire est gale 3 ? lquilibre sur le march, loffre est gale la demande. De plus, une taxe unitaire de 3 tant appli-que, la fonction doffre va tre modifie. Nous sommes donc amens rsoudre le problme suivant :t t tt tQ 4(p-3) - 10,0 Q 4p - 22,0 p 4, 077Q - 2,5p 17,5 Q - 2,5p 17,5 Q 2, 308= = = = + = + = G30MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONLemontanttotaldestaxespayesparleproducteursecalculeenmultipliantlaquantitchange lquilibre par le montant de la taxe unitaire. Ce montant total est donc gal 6,924 units montaires.C Lexemple 3 : Fonction doffre du second degrConsidrons sur le march un bien tel que sa fonction de demande est donne par : d d dp Q = 7 p + 75et sa fonction doffre par :2o o o op Q = 32 p + 23 p 380Sachant que ce bien bnficie dune taxe unitaire de 9, dterminer les conditions lquilibre sur le march. lquilibre sur le march, loffre est gale la demande. De plus, une taxe unitaire de 9 tant appli-que, la fonction doffre va tre modifie. Nous sommes donc amens rsoudre le problme suivant :t2t tQ 7p 75Q 32 (p 9) 23 (p 9) 380= + = + t2t tQ 7 p 75Q 32p 553 p 2005= + = +t2t tQ 7 p 750 32p 546 p 1930= + = +La deuxime quation donne un discriminant = 51 076 do deux valeurs possibles pour pt.pt = 5 ou pt = 12,0625Or, pour pt = 12,0625, la quantit change lquilibre est ngative.Do la conclusion : lquilibre sur le march, il serait chang 40 units du bien en question un prix de 5 units mon-taires pice (taxe comprise).Remarque : ces exemples sont tout fait thoriques.GChapitre 1 La notion dquilibre sur le march pour un bien313 Le rsumFonctions conomiqueso o o o o oFonctiond'offre: p Q f(p ) ou Q p f(Q ) = =d d d d d dFonctiondedemande :p Q f(p )ou Q p f(Q ) = =quilibre sur le march(loffre est gale la demande)o d o dp p pet Q Q Q = = = =Influence dune taxeo,t o o dp p tet Q Q Q = + = =ouo o,t d,t tp p tet p p = =Influence dune subventiono,s o d,s sp p s et p p = =ouo o,s d,s sp p s et p p = + =La notion dquilibre sur le march pour un ensemble de biensChapitre21 Le problme posA Les fonctions doffre et de demande plusieurs variablesLa Socit EREISOP, qui vend galement des filtres caf (en bote de 100) et des percolateurs, se rend compte quelle ne peut pas tudier la vente de son caf dune manire isole du fait que cette vente est lie celles des filtres et des percolateurs : Monsieur Papy sest aperu en effet que sil augmentait le prix de son paquet de caf, ses ventes de filtres et de percolateurs avaient tendance augmenter (allez savoir pourquoi ?).La Socit EREISOP sadresse alors un service commercial spcialis qui, aprs une tude de march et une analyse de ses cots de production, lui donne les renseignements suivants :En dsignant par :pd,c,pd,petpd,flesprix,eneuros,paysparlesconsommateursrespectivement pour un paquet de caf, un percolateur et une bote de 100 filtres ;Qd,c, Qd,p et Qd,f respectivement le nombre de milliers de paquets de caf, le nom-bre de percolateurs et le nombre de centaines de botes de 100 filtres demands par lensemble des consommateurs ;po,c,po,petpo,flesprix,eneuros,estimsparlaSocitEREISOPrespectivement pour un paquet de caf, un percolateur et une bote de 100 filtres ;Qo,c, Qo,p et Qo,f respectivement le nombre de milliers de paquets de caf, le nom-bredepercolateursetlenombredecentainesdebotesde100 filtresoffertspar Socit EREISOP sur le march.Avec ces variables, les fonctions de demande et doffre de ces trois biens sur le march sont les suivan-tes :d,c d,p d,f d,c d,c d,p d,fd,c d,p d,f d,p d,c d,p d,fd,c d,p d,f d,f d,c d,p d,f(p ;p ;p ) Q 20p 3p 5p 10(p ;p ;p ) Q 20p p 2p 2(p ;p ;p ) Q 10p 4p 5p + + + + G34MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONo,c o,p o,f o,c o,c o,p o,fo,c o,p o,f o,p o,c o,p o,fo,c o,p o,f o,f o,c o,p o,f(p ;p ;p ) Q 40p p p 26(p ;p ;p ) Q 30p 2p 5p(p ;p ;p ) Q 10p p 40p 30 + + + + +B La notion dquilibre pour plusieurs biensEn suivant le raisonnement du chapitre 1 prcdent, il serait idal que la Socit se place lquilibre sur le march pour lensemble de ces trois biens : cest--dire que loffre et la demande devraient tre identique pour chacun des trois biens en question.Equilibre sur le march : offre = demande d,c o,c cd,p o,p pd,f o,f fQ Q QQ Q QQ Q Q et d,c o,c cd,p o,p pd,f o,f fp p pp p pp p p Cet quilibre peut alors se traduire par le systme de 3 quations 3 inconnues suivant :c p fc p fp f30p 2p 3p 1850p 3p 3p 2p 9p 6 Nouspourrionsrsoudrecesystmepardesmthodesditesparadditionouparsubstitution, oulamthodedupivotdeGauss,maisnousallonsvoiricicommentutiliserdeuxmthodesun peu plus scientifiques : la mthode de Cramer (ou mthode des dterminants) et la mthode matricielle.2 La rsolution dun systme par la mthode de CramerA Le calcul dun dterminant1)La dfinitionUn dterminant est un tableau carr de nombres reprsentant un nombre rel. Son ordre est gal au nombre de lignes (ou encore au nombre de colonnes) qui le composent.Nous dsignerons par D le dterminant dordre 3 suivant :30 2 3D 50 3 30 1 9 GChapitre 2 La notion d'quilibre sur le march pour un ensemble de biens35Le nombre rel D peut tre calcul de plusieurs manires dont en voici 3 :2)La mthode gnraleDans le dterminant D fixons une ligne (ou une colonne) (par exemple, la 3e ligne) et dveloppons ce dterminantparrapportnotrechoixpourarriverunesommealgbriquede 3dterminantsdor-dre 2.Avec notre choix : 30 2 350 3 3 ,0 1 9 nous arrivons la somme :3 1 3 2 3 32 3 30 3 30 2D (0) ( 1) (1) ( 1) ( 9) ( 1)3 3 50 3 50 3+ + + + + Nous remarquons que, dans ce dveloppement, chaque lment de la somme est form de trois par-ties : un coefficient pris sur la ligne choisie, une puissance de 1 o lexposant est gal la somme du rang de la ligne et du rang de la colonne o est plac ce coefficient et un dterminant dordre 2 obtenu en supprimant la ligne et la colonne o se situe ce coefficient.La valeur dun dterminant dordre 2 du type a bc dsobtient en faisant un produit en croix , cest--dire en effectuant la somme ad cb. noter Cest ce que nous pouvons appeler la rgle du lit le produit ab est un produit descendant multipli par + 1 (quand on descend de son lit, on met ses chaussons et donc on pse plus lourd) alors que le produit cb est un produit montant multipli par 1 (quand on monte dans son lit, on enlve ses chaussons et donc on pse moins lourd).Nous en dduisons ainsi que D = 150.Remarquons que si le dterminant calculer tait dordre 5, il se dcomposerait dabord en une somme algbrique de 5 dterminants dordre 4, chaque dterminant dordre 4 se dcomposerait alors en une sommealgbriquede4 dterminantsdordre 3,chacundentreeuxsedcomposantenunesomme algbriquede3 dterminantsdordre 2.Nousaurionsainsicalculer60 dterminantsdordre 2pour calculer ce dterminant dordre 5.Remarquons galement que, dans le calcul de D, un des coefficients choisi est gal 0, ce qui fait quen ralitDnestpas,auniveaudescalculs,unesommealgbriquede3dterminantsdordre 2 mais seulement une somme algbrique de 2 dterminants dordre 2. Nous en dduisons alors que, si nous dveloppons un dterminant dordre 3 suivant une ligne (ou une colonne) sur laquelle figure 2 fois le coefficient 0, ce dterminant dordre 3 serait gal, un coefficient prs, un dterminant dordre 2.Do lide de la mthode suivante.3)La mthode zros En regardant de prs le dterminant D, nous constatons que, sur la troisime ligne, il y a non seulement un 0 mais galement un coefficient 1 situ sur la deuxime colonne.G36MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONDsignons alors cette deuxime colonne comme tant la colonne de base et transformons la 3e colonne pour que le coefficient 9 situ sur la troisime ligne se transforme en 0. Nous ferons cette transforma-tion de la manire suivante :e e3 colonne initiale 9 colonne de base 3 colonne transforme3 9 2 213 9 3 309 9 1 0+ + + + noter Le coefficient 9 par lequel sont multiplis les termes de la colonne de base a t calcul de telle sorte que le coefficient 9 situ troisime ligne et troisime colonne se transforme effectivement en un 0.Il ne reste plus qu dvelopper le dterminant obtenu en dveloppant par rapport la troisime ligne comme indiqu dans la mthode gnrale.Nous obtenons alors : 30 2 3D 50 3 30 1 9 = 30 2 2150 3 300 1 0 = 3 230 21(1) ( 1)50 30+ = 1504)Une mthode particulireLes deux mthodes exposes ci-dessus sont des mthodes qui peuvent sappliquer des dterminants de nimporte quel ordre. Celle qui va tre expose maintenant nest valable que pour les seuls dterminants dordre 3 : cest la rgle de Sarrus.Cette mthode se rapproche du produit en croix utilise pour les dterminants dordre 2 (la rgle du lit) et peut se rsumer de la manire ci-aprs : en commenant par le terme a situ en haut gauche (1er termedela1re colonne)etendcalantchaquefoisduneligneetdunecolonne,nousobte-nons un produit descendant (nous effectuerons ce calcul partir des deux autres termes situs sur la premire ligne, do lobligation dcrire les deux premires colonnes droite du dterminant pour garder un produit de trois termes) ; en faisant la mme chose mais partir du terme g situ en bas gauche (dernier terme de la 1re colonne) et en procdant de la mme manire mais en faisant des produits montants . Nous obtenons ainsi trois produits montants et trois produits descendants. Do le calcul ci-dessous :a b c a bd e f d eg h i g h = + (aei + bfg + cdh) (gec + hfa + idb)Nous trouvons ainsi 30 2 3 30 2D 50 3 3 50 30 1 9 0 1 = (810 + 0 150) (0 90 + 900) = 150GChapitre 2 La notion d'quilibre sur le march pour un ensemble de biens37B La mthode de Cramer1)Le dterminant principal dun systmePour pouvoir utiliser cette mthode et crire le dterminant principal dun systme, il faut que celui-ci comporte autant dinconnues que dquations et que chacune de ces quations soit crite en sparant les variables (places dans les premiers membres) des termes connus ou supposs tels (placs dans les seconds membres) et que lordre des variables des premiers membres soit invariant (cest ce que nous avons ralis pour crire le systme rsoudre obtenu au dbut de ce chapitre et que nous dsignerons maintenant par systme S).Le dterminant principal dun systme quelconque est obtenu en crivant les coefficients des variables situesdanslespremiersmembresdesquationsenrespectantlordredesvariablesetdesquations qui sy trouvent.Nous pouvons alors constater que 30 2 3D 50 3 30 1 9 est le dterminant principal du systme S.2)Le systme de CramerUn systme de Cramer est un systme dquations o il y a autant dquations que dinconnues et dont le dterminant principal est non-nul. noter Systme de Cramer : autant dquations que dinconnues et dterminant principal non-nulLedterminantD = 150tantnon-nul,nousendduisonsquelesystme Sestunsystmede Cramer.3)La rsolution dun systme par la mthode de CramerNous calculons les dterminants associs chacune des variables du systme en remplaant dans son dterminant principal les coefficients des variables par les valeurs des second membres.Chaque variable est alors gale au rapport de son dterminant associ divis par le dterminant princi-pal du systme tudi.Pour le systme S nous obtenons ainsi : ccpp c18 2 3D6002 3 3 D 600 p 4D 1506 1 9

pppp p30 18 3D900050 2 3 D 9000 p 60D 1500 6 9 ffpp f30 2 18D90050 3 2 D 900 p 6D 1500 1 6 G38MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ON4)La rsolution du problme pos la Socit EREISOPEnremplaantlesprixpf,ppetpcrouvsci-dessusdanslesfonctionsdoffreoulesfonctionsde demande initiales, nous obtenons :Qc = 120, Qp = 30 et Qf = 250Dolaconclusion :Pourseplacerlquilibresurlemarch,laSocitEREISOPdevraitproduireet vendre120 000 paquetsdecaf4 lepaquet,30 percolateurs60 piceet25 000 botesde 100 filtres 6 la bote. noter Les mthodes par addition , substitution , ... peuvent toujours tre employes mais risquent dtre plus longues mettre en uvre.3 La rsolution dun systme par la mthode matricielleA La dfinition dune matriceUne matrice est un tre mathmatique form de rels (appels termes de la matrice) placs dans un tableau comportant L lignes et C colonnes.Contrairement un dterminant, une matrice ne reprsente pas un nombre et ne comporte pas obliga-toirement autant de lignes que de colonnes.Si une matrice comporte L lignes et C colonnes, elle est dite dordre LxC.Si L = C, la matrice est dite carre dordre L (ou dordre C).B Les oprations sur les matrices1)Laddition de deux matricesPour que laddition de deux matrices soit possible, il faut que ces deux matrices soient de mme ordre.Le rsultat est une matrice, toujours du mme ordre, dont les diffrents termes sont obtenus en ajou-tant les termes de mme rang (situs au mme endroit) dans les deux matrices initiales.Par exemple : 1 5 1 5 0 02 4 2 1 0 50 1 1 0 1 1 , ] , ] , ], ] , ] , ]+ , ] , ] , ], ] , ] , ] ] ] ]La matrice [O] dont tous les termes sont gaux 0 est donc llment neutre pour laddition des matri-ces :Si les matrices [A] et [O] sont de mme ordre, [O] + [A] = [A].2)La multiplication dune matrice par un nombre rel (scalaire)La multiplication dune matrice par un scalaire rel est toujours possible.GChapitre 2 La notion d'quilibre sur le march pour un ensemble de biens39Cettemultiplicationmettantenjeudeux tresmathmatiques denaturesdiffrentes(relet matrice) est dite multiplication externe.Le rsultat de cette opration est une matrice, du mme ordre que la matrice initiale, obtenue en multi-pliant tous les termes de cette matrice initiale par le scalaire en question.Par exemple : 1 5 3 153 2 4 6 120 1 0 3 , ] , ], ] , ] , ] , ], ] , ] ] ]3)La multiplication de deux matricesLa multiplication de deux matrices nest possible que dans un cas particulier : il faut que le nombre de colonnes de la matrice crite en premier soit gal au nombre de lignes de la matrice crite en second. Le rsultat est une matrice dont le nombre de lignes est gal au nombre de lignes de la premire matrice et le nombre de colonnes est gal au nombre de colonne de la seconde matrice.Schmatiquement : matrice 1 1[L C ] * matrice 2 2[L C ] = matrice 1 2[L C ] si C1 = L2.Cette multiplication ne mettant en jeu que des matrices sera appele multiplication interne.Le terme situ lintersection de la ligne i et de la colonne j dans la matrice rsultat sobtient en multi-pliant entre eux les termes de mme rang situs sur la ie ligne de la matrice crite en premier et sur la je colonne de la matrice crite en second et en ajoutant tous les rsultats obtenus.Par exemple, si nous posons 2 3[A] 1 25 0 , ], ]

, ], ] ] et 2 4 0[B]4 2 1, ]

, ] ]Nous pouvons calculer la matrice [C] = [A] * [B] car le nombre de colonnes de [A] est gal au nombre de lignes de [B]. La matrice [C] sera dordre 3 3.Ce produit peut se faire suivant le schma suivant : 2 04 1, ], ] ]42 2 3 8 14 3[A] [B] 10 2 [C]5 0 10 20 0 , ] , ], ] , ], ] , ], ] , ] ] ]1 2 0La valeur 0 en gras de la matrice [C], valeur situe lintersection de la 2e ligne de la matrice [A] et de la 2e colonne de la matrice [B] sobtient en ajoutant les produits des deux premiers termes et des deux seconds termes de cette ligne et de cette colonne : (1) (2) + (2) (- 2). noter Le produit de deux matrices nest pas commutatif.Dans notre cas, nous pouvons galement calculer la matrice [D] = [B] * [A] car le nombre de colonnes de B est gal au nombre de lignes de [A]. Cependant la matrice [D] sera dordre 2 2.G40MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONNous obtiendrons ainsi : [ ]8 2[D] [B] A11 16, ] , ] ]C Deux matrices carres particulires1)La matrice unit (ou identit) dordre nLamatriceunit(ouidentit)dordre n,note[Id]estlamatricecarredordre nsolutiondelqua-tion : [A] (matrice carre) [A] = [A] * [Id] = [Id] * [A]Pour donner un exemple de rsolution dune telle quation, nous travaillerons sur lensemble des matri-ces carres dordre 3.Si nous posons a b c[A] d e fg h i, ], ]

, ], ] ] et []x y zId t u vw p q, ], ]

, ], ] ]Nous devons arriver au schma suivant : x y zt u vw p qa b c a b cd e f d e fg h i g h i, ], ], ], ], ] ], ] , ], ] , ]

, ] , ], ] , ] ] ]Nous devons donc rsoudre le systme de 9 quations 9 inconnues ci-aprs.Remarquons que ce systme de 9 quations 9 inconnues se dcompose en trois systmes de 3 qua-tions 3 inconnues ayant chacun une solution vidente.ax bt cw a x 1dx et fw d t 0gx ht iw g w 0ay bu cp b y 0dy eu fp e u 1gy hu ip h p 0az bv cq c z 0dz ev fq f v 0gz hv iq i q 1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + GChapitre 2 La notion d'quilibre sur le march pour un ensemble de biens41Nous obtenons ainsi que la matrice unit dordre 3 est gale 1 0 0[Id] 0 1 0 .0 0 1, ], ]

, ], ] ]La matrice identit dordre n est donc une matrice carre dordre n dont tous les termes sont nuls sauf ceux de la diagonale descendante (diagonale principale).2)La matrice inverseLa matrice inverse dune matrice [A] carre dordre n, note gnriquement [A]1 est la matrice carre dordre n solution de lquation : [Id] = [A] [A]1 = [A]1 [A].Pour donner un exemple de rsolution dune telle quation, nous travaillerons sur lensemble des matri-ces carres dordre 3.Si nous posons a b c[A] d e fg h i, ], ]

, ], ] ] et [A]1 = 1x y z[A] t u vw p q, ], ]

, ], ] ]Nous devons arriver au schma suivant : x y zt u vw p qa b c 1 0 0d e f 0 1 0g h i 0 0 1, ], ], ], ], ] ], ] , ], ] , ]

, ] , ], ] , ] ] ]Nous devons donc rsoudre, comme dans le systme permettant de calculer la matrice [Id], un systme de 9 quations 9 inconnues.Remarquons que, encore une fois, ce systme de 9 quations 9 inconnues se dcompose en trois sys-tmes de 3 quations 3 inconnues que nous pouvons rsoudre par la mthode des dterminants.ax bt cw 1dx et fw 0gx ht iw 0ay bu cp 0dy eu fp 1gy hu ip 0az bv cq 0dz ev fq 0gz hv iq 1 + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + G42MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONNous constatons que le dterminant principal de chaque systme de 3 quations 3 inconnues est le mme : cest le dterminant de la matrice [A].Nous noterons ce dterminant a b cDet([A]) d e fg h i

Pour pouvoir continuer, il faut donc que Det([A]) soit non-nul noter [A]1 existe si, et seulement si, Det([A]) 0Le dterminant associ la variable x sera : 2x1 b ce fD 0 e f ( 1)h i0 h iCelui associ la variable y sera : 3y0 b cb cD 1 e f ( 1)h i0 h iCelui associ la variable t sera : 3ta 1 cd fD d 0 f ( 1)g ig 0 iEtainsidesuite ;lesvaleursdesvariablestantgalesaurapportentreleurdterminantassociet Det([A]).Ces dterminants associs sont appels cofacteurs.Nous pouvons remarquer que, si nous comparons les deux matrices inverses a b c[A] d e fg h i, ], ]

, ], ] ]et 1x y z[A] t u v ,w p q, ], ]

, ], ] ]le dterminant Dx est, au facteur (-1)i prs, gal au dterminant de la matrice qui resterait en suppri-mant dans la matrice [A] la ligne et la colonne de a, a tant le coefficient situ la mme place que x dans la matrice [A]1. Nous dirons que Dx est le cofacteur associ a.Par contre, le dterminant Dy est, au facteur (-1)i prs, gal au dterminant de la matrice qui resterait ensupprimantdanslamatrice[A]laligneetlacolonneded,dtantlecoefficientsitulamme placequelesymtriquedeyparrapportladiagonaleprincipaledanslamatrice[A]1.Nousdirons que Dy est le cofacteur associ d.Delammemanire,ledterminantDtest,aufacteur(-1)iprs,galaudterminantdelamatrice qui resterait en supprimant dans la matrice [A] la ligne et la colonne de b, b tant le coefficient situ la mme place que le symtrique de t par rapport la diagonale principale dans la matrice [A]1. Nous dirons que Dt est le cofacteur associ b.GChapitre 2 La notion d'quilibre sur le march pour un ensemble de biens43Do la procdure de recherche dune matrice inverse suivant la mthode des cofacteurs :-calculer le dterminant de la matrice inverser pour vrifier que la matrice inverse existe ;-effectuer la symtrie par rapport la diagonale principale, cest--dire transposer la matrice inver-ser ;-calculer les cofacteurs partir de la matrice transpose ;-diviser la matrice des cofacteurs par la dterminant de la matrice inverser.Schmatiquement, nous avons : , ]

]1 t1[A] Cof[A]Det([A])Appliquons cette mthode la matrice 30 2 3[A] 50 3 30 1 9 , ], ] , ], ] ]Nous avons dja calcul [ ] ( )Det A 150 0. Nous avons alors t30 50 0[A] 2 3 13 3 9, ], ] , ], ] ] [A]t est la matrice transpose de [A].Do t3 1 2 1 2 33 9 3 9 3 350 0 30 5030 0Cof[A]3 9 3 33 950 0 30 0 30 503 1 2 1 2 3, ] + +, ] , ], ], ], ] + ] , ] , ], ]+ +, ] ]30 21 3450 270 6050 30 10 , ], ] , ], ] ]Rappelonsquepourcalculerlecofacteurassociaucoefficient 50delamatrice[A]t,noussuppri-mons la ligne et la colonne de ce coefficient et nous multiplions le dterminant de la matrice qui reste par (-1)3, 3 tant la somme du rang de la ligne et du rang de la colonne o figure le coefficient 50.Do 1 7 15 50 5019 25 51 1 13 5 1530 21 31[A] 450 270 60 315050 30 10 , ] , ], ], ] , ], ], ], ] ], ] ]D Les valeurs propres dune matrice carreLes valeurs propres dune matrice carre [A] sont, par dfinition, les racines du dterminant associ la matrice [A] [Id], ce dterminant tant un polynme en not P().G44MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONPar exemple, si 2 3[A] ,3 3 , ]

, ] ] alors 2 3[A] [Id]3 3 , ] , ] ]Do P() = Det([A] [Id]) = (-2 )(-3 ) (-3)(-3) = 2 + 5 3.Les valeurs 15 372 + et 25 372 sont les deux valeurs propres de la matrice [A].E La rsolution matricielle du problme pos la Socit EREISOPCe problme se rsume au systme : c p fc p fp f30p 2p 3p 1850p 3p 3p 2p 9p 6 Posons cpf30 2 3 p 18[A] 50 3 3 , [P] p et [R] 20 1 9 6p, ] , ] , ], ], ] , ] , ], ] , ], ], ] , ] ] ] ]Nous pouvons vrifier que [A] [P] = [R] do [P] = [A]1 [R].Nous obtenons ainsi : cpfp 4[P] p 60 .6p, ], ], ], ] , ], ], ], ] ] ]Do les mmes rsultats que ceux obtenus par la mthode de Cramer (ce qui nest pas surprenant) :c cp pf fp 4 Q 120p 60 et Q 30p 6 Q 250 Do la mme conclusion : En supposant le march en concurrence parfaite et pour se placer lquili-bre, la Socit EREISOP devrait produire et vendre 120 000 paquets de caf 4 le paquet, 30 percola-teurs 60 pice et 25 000 botes de 100 filtres 6 la bote. noter Cette mthode matricielle peut tre juge lourde mais elle est surtout utilise quand les sys-tmes rsoudre sont multiples (taxes, pas de taxe, subvention, pas de subvention,...) ou paramtrs (les seconds membres des quations sont littraux).GChapitre 2 La notion d'quilibre sur le march pour un ensemble de biens454Le rsumFonctions conomiques (pour n biens)Fonctions doffre : o,1 o,i o,n o,i o,1 o,i o,ni (p ;....;p ;....;p ) Q f(p ;....;p ;....;p ) ou o,1 o,i o,n o,i o,1 o,i o,ni (Q ;....; Q ;....; Q ) p f(Q ;....; Q ;....; Q ) Fonctions de demande : d,1 d,i d,n d,i d,1 d,i d,ni (p ;....;p ;....;p ) Q f(p ;....;p ;....;p ) ou d,1 d,i d,n d,i d,1 d,i d,ni (Q ;....; Q ;....; Q ) p f(Q ;....; Q ;....; Q ) quilibre sur le march(loffre est gale la demande pour chacun des biens)d,i o,i i d,i o,i ii p p p et i Q Q Q Influence dune taxeo,i,t o,i i d,i,t d,ii p p t et p p + ouo,i o,i,t i d,i,t d,ii p p t et p p Influence dune subventiono,i,s o,i i d,i,s d,ii p p s et p p ouo,i o,i,s i d,i,s d,ii p p s et p p + 1 Les notions fondamentalesA La prsentationLa Socit EREISOP voudrait maintenant tudier analytiquement ses cots et ses marges obtenus par la vente de ses paquets de caf.Pourcela,elleconstatequesescotsdeproductiondpendent,bienentendu,dunombreQode paquets de caf (en milliers) quelle produit et que, si elle dsigne par M son cot moyen (ou cot uni-taire) de production en euros, elle obtient la fonction suivante :o oo11250Q M 0,5Q 149Q = +Par contre, elle estime que la fonction de demande la plus probable est la fonction de demande homo-graphique obtenue au chapitre 1, soit, en dsignant par oQle nombre de paquets de caf vendus (en milliers) et par pd le prix (en euros) quacceptent de payer les consommateurs pour un paquet de caf : dd dd2Q 175Q pQ+ =Nousremarquonsque,pourcesdeuxfonctions,ilfautque oQ et dQ soientnon-nuls,cequenous pouvons considrer comme vident car si la production tait nulle ou si le produit ne se vendait pas, il ny aurait plus de problme.La Socit EREISOP peut alors se poser comme question :-comment rendre mon cot moyen de production minimal ?-comment obtenir mon profit maximal ?-comment variera mon cot total de production si celle-ci varie ?-etc. ...Une tude analytique pour un bienChapitre3G48MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONB Le cot moyen Le cot totalConnaissant le cot moyen de production M, il est facile de dterminer le cot total de production C.En effet C = M x Qo.La fonction donnant le cot total de production pour la Socit EREISOP est donc : 2o o oQo C M Q 0,5Q 149 Q 11 250 = = +C La notion de cot marginalconomiquement,lecotmarginalestgallavariationducottotalengendreparlaproduction dune unit supplmentaire.Pour passer la dfinition mathmatique de ce cot marginal et aprs avoir remarqu que, bien sou-vent,produireuneunitsupplmentaireestuneaugmentationpluttngligeabledelaproduction, nous dirons que le cot marginal est la variation du cot total engendre par une augmentation infime de la production, cette variation de cot total tant ramen laugmentation dune unit de la produc-tion.Ainsi, si pour une quantit produite gale Qo units, le cot total est gal C0 = f(Q0), si cette pro-duction augmente de h units, le cot total correspondant une production de Qo + h units est gal Ch = f(Q0 + h). La variation de cot total engendre par cette augmentation de la production est donc gale :Ch C0 = f(Q0 + h) f(Q0)Si nous ramenons cette variation de cot total une unit supplmentaire produite, cette variation de cot total sera gale 0 0f(Q h) f(Q ).h+ Silaugmentationdeproductionhestngligeableparrapportlaproductioninitiale(h 0),nous crirons que le cot marginal de production est gal 0 00h 0f(Q h) f(Q )lim f (Q )h + = noter Mathmatiquement parlant, la fonction cot marginal est la fonction drive de la fonction cot total.D Loptimum techniquePar dfinition, une entreprise atteint son optimum technique au niveau dune de ses productions quand le cot moyen de cette production est minimal. loptimum technique, la drive du cot moyen devra donc tre ncessairement nulle.GChapitre 3 Une tude analytique pour un bien49Remarquons que si C = f(Q0), alors la quantit Q0 lance sur le march ne doit pas tre nulle (dans ce cas, plus de problme) et si ooof(Q )M g(Q )Q= =alors o o oo2oQ f (Q ) f(Q )g (Q )Q = loptimum technique, nous devons dons ncessairement avoir g(Q0) = 0, par consquent nous cons-tatons que oo oof(Q )f (Q ) g(Q ) MQ = = = loptimum technique, le cot moyen de production est donc ncessairement gal au cot marginal. Cette condition est ncessaire mais non-suffisante car nous pourrions, dans ce cas, avoir un cot moyen de production maximal et non pas minimal.Avec la fonction donnant le cot moyen donne au dbut de ce chapitre, nous avons : oQ2oodM 11 250M 0,5dQQ = = do oQ oM 0 Q 150 = =Reste voir si cette quantit produite gale 150 correspond un minimum pour le cot moyen de production.Pour cela, nous pouvons procder de plusieurs manires dont en voici deux :-la premire, tracer le tableau de variations de la fonction donnant le cot moyen et vrifier le rsultat. Dans notre cas, ce tableau de variation est le suivant : MQ' MQ 150 01 - +-la deuxime, utiliser la formule de Taylor qui indique que si une fonction numrique f est continue et drivable plusieurs fois sur un intervalle alors, si x0 et x1 sont sur cet intervalle, nous avons : 21 0 0 0 021 df 1 d ff(x ) f(x ) (x ) (x ) (x )1! dx 2!dx= + + + avec 1 00x xlim (x ) 0 =Or, si f(x0) est un optimum pour f(x), nous avons ncessairement 0df(x ) 0,dx=pour toute valeur de x1, la formule de Taylor nous indique que le signe de f(x1) f(x0) est identique celui de 202d f(x )dxG50MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONDonc, si la drive seconde 202d f(x )dx est strictement ngative, f(x0) reprsente un maximum pour f(x) et si la drive seconde 202d f(x )dx est strictement positive, f(x0) reprsente un minimum pour f(x).Do :Drive premire en xo nulle et drive seconde en xo strictement positive minimum en xoDrive premire en xo nulle et drive seconde en xo strictement ngative maximum en xoDans notre cas, nous trouvons o2Q2 30 0d M 22 500MdQ Q = =PourQo = 150,nousavonsbien oQM 0. > NouspouvonsdoncconclurequeMestminimalpour cette valeur de Q, cette valeur minimale de M tant gale 1.Nous obtenons donc un cot moyen de production minimal de 1 par paquet de caf produit en fabri-cant 150 000 paquets de caf.Nous dirons que, dans ces conditions, la Socit EREISOP se situe son optimum technique. noter Optimum technique = Cot moyen (ou cot unitaire) de production minimalE La notion dlasticitDaprs ce que nous venons de voir, si la production passe de 0Qunits Q0 + h, le cot total de pro-duction passe de C0 = f(Q0) Ch = f(Q0 + h).Nous constatons donc que, pour une variation relative de la production gale 0hQ, la variation relative du cot total engendre par cette augmentation de la production est gale h 0 0 00 0C C f(Q h) f(Q )C f(Q ) + =Nous appellerons lasticit du cot total par rapport la production, la valeur :00 00 0 0 0 0Qh 00 0 0 00f(Q h) f(Q )E(C ) f(Q ) Q Q dClim fhE(Q ) f(Q ) f(Q ) dQQ+ = = = Avec le mme raisonnement que ci-dessus, nous pouvons affirmer que cette lasticit reprsente laug-mentation relative du cot total de production pour une augmentation relative infime de la production, cette dernire augmentation tant ramene lunit.GChapitre 3 Une tude analytique pour un bien51Nous pouvons donc crire que si la production augmente de 1 %, le cot total de production augmen-tera approximativement de 00E(C )%.E(Q )Dans notre cas, o o o ooo o o oE(C ) Q dC Q(Q 149)E(Q ) C dQ C= = = 1 si Qo = 150. Nous pouvons donc dire que si la production passe de 150 000 151 500 paquets de caf (augmentation de la production de 1 %), le cot total de production augmenterait approximativement de 1 % et passerait de 150 000 envi-ron 151 500 .Or,siQo = 151,5,nouspouvonscalculerquef(151,5) = 152,625.Orlcartentre151 500 et 152 625 est de 1,08 %, donc assez ngligeable. noter Si une fonction x y est donne, llasticit de y par rapport est gale : E(y) x dy.E(x) y dx= noter galement Si ( )x augmente de %1 0et que : 01 1 Mm D [H], ] ] = 4 > 0 et 02 2 Mm D [H], ] ] = 24 > 0Nous retrouvons ainsi que z prsente un maximum au point M0.Nous obtiendrons donc la mme conclusion que dans1C .G62MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONF La mthode des valeurs propresRappelons que les valeurs propres dune matrice [A] sont les racines du polynme P() gal au dtermi-nant de la matrice [A] [Id] o [Id] est la matrice identit du mme ordre que la matrice [A].Dans notre cas, nous avons [A] [Id] = 4 2 , ], ], ], ]2 7 ]Nous obtenons donc P() = 2 + 11 + 24 = ( + 8) ( + 3).Les valeurs propres de notre matrice du Hessien sont donc gales -8 et -3.Nous pouvons alors en dduire quil existe au moins une matrice de passage [X] inversible telle que : [X]-1 x 0M[H]x [X] = 8 00 3 , ], ], ], ] ] = [V]De plus, la matrice 0M[H]tant symtrique, nous pouvons choisir la matrice [X] telle que nous ayons :[X]t = [X]-1 (la matrice [X] est dite orthogonale).Le calcul nous donne [X] = 1 25 52 15 5, ], ], ], ], ], ], ] ]Nous en dduisons alors quen posant 1 2H h k5 5 et 2 1K h k ,5 5 +le polynme carac-tristique de la matrice du Hessien 0M[H] ,soit P(h ; k), scrit - 8H2 + 3K2.En effet, P(h ; k) = [hk] x 0Mh[H]*k, ], ], ], ] ] = [hk] x [X] x [V] x [X]t x HK, ], ], ], ] ]Nous pouvons alors conclure que si toutes les valeurs propres de la matrice du Hessien 0M[H] sont stric-tement ngatives (positives) alors z sera maximal (minimal). Sinon, nous ne pourrons pas conclure. noter Recherche dun minimum Condition ncessaire : Toutes les drives partielles premires sont nulles. Condition suffisante : Toutes les valeurs propres du Hessien sont strictement positives noter Recherche dun maximum Condition ncessaire : Toutes les drives partielles premires sont nulles. Condition suffisante : Toutes les valeurs propres du Hessien sont strictement ngativesGChapitre 4 Une tude analytique pour un ensemble de biens63Dansnotrecas,lesvaleurspropresdelamatriceduHessientanttoutesdeuxstrictementngatives, nous en dduisons que z prsente un maximum au point M0Nous obtiendrons donc encore la mme conclusion que dans1C.2 Les optima lis pour une fonction plusieurs variablesA Une modification du problme posImaginonsmaintenantqueMonsieurPapyimposecommeconditionsupplmentairequelasomme totale investie dans la publicit soit gale 500 . En gardant les mmes variables et les mmes units quau chapitre prcdent, nous arrivons au problme suivant :(x ; y) z = f(x ; y) = - 2 x2 + 2 xy - 3,5 y2 + 24 y + 20avec x + y = 5.Nous pouvons alors procder de deux manires diffrentes, soit en utilisant une mthode directe, soit en utilisant la mthode des coefficients de Lagrange.B La mthode directeNous pouvons considrer que z, qui est au dpart une fonction deux variables x et y, est en ralit une fonction une seule variable, par exemple x, en remplaant dans son criture y par (5 x).Nous pouvons ainsi crire que : x z = f(x) = - 152 x2 + 21x + 52,5Comme nous avons la drive premire 'xdzzdx= - 15 x + 21 (qui sannule lorsque x est gal 1,4) et 2'x2d zzdx = - 1 < 0, le maximum de z est atteint lorsque x = 1,4, par consquent y = 3,6. Au maxi-mum z est donc gal 67,2.Nous en concluons donc que si la somme totale investie le mois m-1 est gale 500 , le maximum du chiffre daffaires du mois m sera gal 6 720 . Ce maximum sera obtenu en investissant 140 dans la presse crite et 360 dans les mdia audiovisuels.C La mthode des coefficients de LagrangeIl est parfois difficile, par lintermdiaire de la ou des contraintes supplmentaires, dexprimer une varia-bleenfonctiondesautres.Danscecas,nouspouvonsutiliserlamthodedescoefficientsmultiplica-teurs de Lagrange.Dans notre cas, crire x +y = 5 revient crire que x + y - 5 = 0 = g(x ; y).Nouspouvonsalorstudierlafonctionci-aprsoestuncoefficientrelappelcoefficientde Lagrange :(x ; y ; ) z1 = F(x ; y ; ) = - 2 x2 + 2 xy - 3,5 y2 + 24 y + 20 + (x + y - 5)G64MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONcrivons dabord les drives premires partielles de z1 x'1z= 1zx = = - 4 x + 2 y + y' 11zzy

= 2 x - 7 y + + 24'1z = 1z = x + y - 5valuons les valeurs de x, y et qui les annulent :4x 2y 0 x 1,42x 7y 24 y 3,6x y 5 1,6 + + + + Nous constatons que, pour ces valeurs, z est gal z1. Remarquons cependant que nous avons affaire une fonction F qui nest pas, contrairement aux apparences, une fonction 3 variables (x ; y ; ) mais une fonction une seule variable (2 variables x et y dans la fonction f et une contrainte liant x et y par lintermdiaire de la fonction g).Si nous dsignons par M le point de coordonnes (x ; y ; ), nous pouvons encore crire que :z1 = F(x ; y ; ) = F(M) = f(x ; y) + g(x ; y)SinousdsignonsparM0lepointdecoordonnes(x ; y ; )etparM1lepointdecoordonnes (x + h ; y + k ; ), la formule de Taylor applique au point M0 scrit sous la forme :F(M1) = F(M0) + 11! ' 'x 0 y 0hF (M ) kF (M ), ]+ ] + 12! 2 " " 2 "x,x 0 x,y 0 y,y 0h F (M ) 2hkF (M ) k F (M ), ]+ + ]+ 2 2h k, ]+ ] (M1) o 1 01M Mlim (M ) 0 Si M0 est le point de coordonnes (x = 1,4 ; y = 3,6 ;z = - 1,6), nous avons g(x ;y) = 0 et sil existe une fonction telle que y = (x), nous pouvons crire la formule de Taylor lordre 1 pour obtenir :y + k = (x + h) = y +h'x(x) + (h) o h 0lim (h) 0 Nous pourrons alors crire que g(x ; y) = g(x ; (x)) = 0 do dgg gdx' ' ' +x x yNous en dduisons alors que : k = - h 'x'ygg + (h)Nous pouvons ainsi crire que :F(M1) - F(M0) = ! 21 2 'x2) g (h ' 2 " ' ' " ' 2 "y x,x 0 x y x,y 0 x y,y 0(g ) F (M ) 2g g F (M ) (g ) F (M ), ] + ]+ (M1) o 1 01M Mlim (M ) 0 GChapitre 4 Une tude analytique pour un ensemble de biens65Le signe de F(M1) - F(M0) est donc identique celui du nombre' 2 " ' ' " ' 2 "y x,x 0 x y x,y 0 x y,y 0K (g ) F (M ) 2g g F (M ) (g ) F (M ) +Sinousappelons[Hb]lamatriceduHessienbordelamatricedterminepartirdelamatricedu Hessien dont il a t question au chapitre prcdent laquelle il sera ajout autant de ligne et de colon-nesquedeconditionsspcifiquesnonces,chaqueligne,etdonccolonne,supplmentaireserafor-me des drives premires de chaque condition spcifique values au point suppos optimal, le tout complt par une matrice nulle, nous pouvons crire que :[ ]" " 'x,x 0 x,y 0 x 0" " 'yx,x 0 y,y 0 y 0b 0' 'x 0 y 0z (M ) z (M ) g (M )z (M ) z (M ) g (M )H (M )g (M ) g (M ) 0, ], ], ], ]

, ], ], ] ] = 4 2 12 7 11 1 0 , ], ], ], ] ]NouspouvonsalorsremarquerquelenombreKestgalalopposdudterminantdelamatrice [Hb](M0), soit K = - 15.Nous en dduisons ainsi que F(M1) - F(M0) est constamment ngatif et donc que F(M) = f(x ; y) est maxi-mum pour M = M0, soit pour x = 1,4 et y = 3,6.Nous en concluons donc que le chiffre daffaires du mois m sera maximal et gal 6 720 si, le budget publicitaireayanttlimit500 ,laSocitEREISOPinvesti140 danslapressecriteet360 dans les mdias audiovisuels le mois m-1.D La mthode des pseudo-valeurs propres du Hessien bordCette mthode sera seulement dcrite et non dmontre.Nous pouvons, partir de la matrice du Hessien borde dont il a t question ci-dessus, crire le poly-nme P() gal au dterminant de la matrice [A] ci-aprs et dont les racines seront appeles pseudo-valeurs propres de la matrice [Hb]" " 'x,x 0 x,y 0 x 0" " 'yx,x 0 y,y 0 y 0' 'x 0 y 0z (M ) z (M ) g (M )z (M ) z (M ) g (M )[A]g (M ) g (M ) 0, ] , ], ] , ]

, ], ], ] ] = 4 2 12 7 11 1 0 , ], ] , ], ] ]Dans notre cas, nous obtenons P() = 2+ 15.Nous nobtenons ainsi quune seule pseudo-valeur propre qui sera strictement ngative et gale 15.Nouspourronsalorsconclureunmaximumpourf(x ; y)aupointM0moyennantlaconditionque g(x ; y) soit nul.G66MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONNous en concluons donc, comme prcdemment, que le chiffre daffaires du mois m sera maximal et gal 6 720 si, le budget publicitaire ayant t limit 500 , la Socit EREISOP investi 140 dans la presse crite et 360 dans les mdias audiovisuels le mois m-1.Lathorienousindiqueraitquesilespseudo-valeurspropresdelamatriceduHessienbordesont strictementngatives(positives)alors,moyennantlaoulesconditionsavances,lafonctiontudie prsente un maximum (minimum) au point annulant les drives premires, dans les autres cas, nous ne pourrons pas conclure.E Une remarqueLes parties2C et D sont moins dveloppes. noter La mthode des coefficients de Lagrange ne sera utilise, dans notre cas, que si la mthode directe est difficile mettre en uvre : il vaut mieux diminuer le nombre de variables que laugmenter.Quant la mthode des pseudo-valeurs propres, elle sera plutt rserve aux initis.3 Trois exemples dutilisationA Lexemple 1 : Recherche dun optimum simple et calcul dune lasticitConsidrons sur le march une entreprise produisant trois biens A, B et C dont les fonctions de demande et de cot total de production sont donnes par les relations ci-aprsA B C A AA B C B A B CA B C C B C AC2 2A B C A B A C(Q ,Q ,Q ) p = 6 - 2 Q(Q ,Q ,Q ) p = 12 + 4 Q - 4 Q + 2 Q(Q ,Q ,Q ) p = 4 + 2 Q - 2 Q + 2 Q Q(Q ,Q ,Q ) K = 10 Q + 2 Q + 2 QQ1)Dterminer le profit de cette entreprise loptimum conomiqueloptimumconomique,leprofit estmaximal.Leprofitestgallarecettesoit pA QA + PB QB + PC QC diminue du cot total K.+ + + + + +A A B B C C2 2 2A B B A B B C A B Cp Qp Qp Q -K- 2 Q-6 Q -2 Q 4 Q Q4 Q Q-4 Q 12 Q4 QDo +A'Q A BA - 4 Q4 Q -4 QGChapitre 4 Une tude analytique pour un ensemble de biens67 + + +BC'Q A B CB'Q B CB 4 Q12 Q4 Q12 Q 4 Q4 Q4Q loptimum conomique, les drives premires doivent tre nulles. Do le systme :

+

AA B ABA B C BCB C Cp 2Q - Q - 1 Q 2p 16Q - 3 Q Q - 3 Q 3p 18Q - Q - 1 Q 4K 102Pour tre certain dtre au maximum du profit, il faut que les mineurs diagonaux calculs sur la matri-ce - [H] ([H] est la matrice du Hessien, matrice forme par les drives secondes du profit) soient stricte-ment positifs.[ ] [ ] > , ] , ] , ] , ] >, ] , ], ] , ] > ] ] 1- 4 4 0 4 - 4 0 m 4 0H 4 - 12 4-H - 412 - 4 d'o m2 32 00 4 - 4 0 - 44 m3 64 0Nous sommes donc bien loptimum conomique ds quil a 2 units du bien A, 3 units du bien B et 4 units du bien C produites. Le profit maximal est alors gal 12 units montaires.2)valuer la variation relative approximative de pC si QA augmente de 1 % partir des rsultats du 1)Soit calculer llasticit de pC par rapport QA :( ) A' C c A A ACQ CA C A C CE(p ) p Q Q Qp2 QE(Q ) p Q p pavec les valeurs donnes, nous obtenons : CAE(p ) 2 (8) 0,889E(Q ) 18Nousendduisonsdoncque,siQAaugmentede1 %,leprixpCaugmenteraapproximativementde 0,889 %.B Lexemple 2 : Recherche dun optimum liConsidrons la fonction t dfinie de la manire suivante :(x ; y ; z) t(x ; y ; z) = - x2 + 2 x y4 + 4 yz + 21Lavaleurtdsignelenombredecentainesdemilliersdcrans plasma quuneentreprise vend le mois (n + 1) sachant quelle a dpens, au cours du mois n, x dizaines de milliers deuros G68MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONpour la publicit radio, y dizaines de milliers deuros pour la publicit tl et z dizaines de mil-liers deuros pour la publicit murale.Lentrepreneurinvestitunesommenonnulledanschaquetypedepublicitetdcidequele montantaffectlapublicitlatldoittreledoubledumontantaffectlapublicit murale.Indiquerlescapitauxinvestirlemoisnpourquelenombredcrans plasma vendusau cours du mois (n + 1) soit maximal.Ce problme peut tre modlis sous la forme du programme ci-dessous (nous mettons [Max] la place de trouver le maximum de trouver le maximum de ) :[Max] t = - x2 + 2 x - y4 + 4 y z + 21x > 0y > 0z > 0y = 2 z La premire contrainte reprend le fait que les montants affects chaque type de publicit sont non-nuls.La dernire contrainte indiquant que le montant y affect la publicit la tl doit tre le double du montant z affect la publicit murale.Nous utiliserons la mthode directe qui permet de passer dune fonction 3 variables une fonction deux variables en remplaant y par 2 z dans t.Do le programme transform ( priori plus facile) :[Max] t = - x2 + 2 x 16 z4 + 8 z2 + 21x > 0z > 0Pour trouver le maximum de cette fonction deux variables, il faut calculer les drives premires par-tielles et les annuler : + +'x' 3ztt 2x 2xtt 64 z 16zzDo :

++

+ 3 2t02x 2 0 2 x 2 0x 1xSz 0,564 z 16z 0 16z (4 z 1) 00yLa deuxime quation du systme na que cette solution car z > 0.Pour prouver que nous sommes au maximum de S, il faut calculer la matrice du Hessien ([H]) et calculer les mineurs diagonaux sur la matrice - [H][ ] [ ] , ] , ] , ] , ] + , ] , ] ] ]2 22 0 2 0H H0 192z 16 0 192z 16GChapitre 4 Une tude analytique pour un ensemble de biens69Les mineurs diagonaux de [H] sont gaux : 122m 2 0m 192z 16 > Pour z = 0,5, nous avons m2 = 64 > 0.Les deux mineurs diagonaux tant strictement positifs, la valeur t est maximale pour x = 1 et z = 0,5.Dans ces conditions, y = 2, z = 1 et t = 23.Dolaconclusion :Lenombredcran plasma venduslemois(n + 1)seramaximaletgal 2 300 000 unitssilentrepreneurinvestit10 000 danslapublicitradio,10 000 deurosdansla publicit tl et 5 000 deuros dans la publicit murale.C Lexemple 3 : Fonction de satisfactionSoient x le nombre de cafs 1 , y le nombre de croissants 1,50 et z le nombre de sand-wiches 3 consomms quotidiennement par Monsieur Papy dont la partie du revenu journa-lier consacr lensemble de ces trois produits est gal 16 .Pour lensemble de ces trois produits, la fonction de satisfaction de Monsieur Papy est donne par :2( x ; y ; z ) S = 2 x - 3(y + z) (y - 8) - 2z(S reprsente lindice de satisfaction)Dterminerlesquantitsdecafs,decroissantsetdesandwichesquedevraitconsommer MonsieurPapypourque,endpensantlatotalitdelapartieconsacrecesachats,son indice de satisfaction quotidien soit maximal.Ce problme peut tre formalis sous la forme du programme suivant (comme dans lexemple prc-dent, nous mettons [Max] la place de trouver le maximum de ) :[Max] S = 2x 3 (y + z) (y 8) 2 z2x 0y 0z 0x + 1,5 y + 3 z = 16La dernire quation correspond aux possibilits financires de Monsieur Papy.De cette dernire quation, nous tirons : x = 16 - 1,5 y 3 z.En remplaant x par sa valeur dans la satisfaction S, celle-ci devient : S = 2 (16 - 1,5 y 3 z) 3 (y + z)(y - 8) 2 z2 = - 3 y2 2 z2 3 zy + 21 y + 18 z + 32Pour trouver le maximum de cette fonction deux variables, il faut calculer les drives premires par-tielles et les annuler :'y'zSS 6 y 3z 21ySS 4 z 3y 18z + +G70MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONDo :S06 y 3z 21 y 2 yx 4S 3y 4 z 18 z 30y

+ +

Pour prouver que nous sommes au maximum de S, il faut calculer la matrice du Hessien ([H]) et calculer les mineurs diagonaux sur la matrice - [H][ ] [ ]6 3 6 3H H3 4 3 4 , ] , ] , ] , ] ] ]Les mineurs diagonaux de [H] sont gaux : 12m 6 0m 15 0 > >Les deux mineurs diagonaux tant strictement positifs, la satisfaction est maximale pour x = 4, y = 2 et z = 3.PourquelasatisfactionquotidiennedeMonsieurPapysoitmaximale,ilfautquilconsomme4 cafs, 2 croissants et 3 sandwiches par jour.GChapitre 4 Une tude analytique pour un ensemble de biens714 Le rsumFonctions plusieurs variables : Optima libresMatrice du Hessien :Matrice forme par toutes les drives partielles secondes directes et croises.Matrice note [H].Condition ncessaire : Condition suffisante : Recherche dun minimumToutes les drives partielles premires sont nulles.Tous les mineurs diagonaux de [H] sont strictement positifsouToutes les valeurs propres de [H] sont strictement positives.Condition ncessaire : Condition suffisante : Recherche dun maximumToutes les drives partielles premires sont nulles.Tous les mineurs diagonaux de - [H] sont strictement positifsouToutes les valeurs propres de [H] sont strictement ngatives.Fonctions plusieurs variables : Optima lisMatrice du Hessien bord : Matrice forme par toutes les drives partielles secondes directes et croi-ses de la fonction optimiser, les drives partielles premires des condi-tions respecter, matrice complte par une matrice nulleMatrice note [Hb]Condition ncessaire : Condition suffisante : Recherche dun minimumToutes les drives partielles premires sont nullesTous les mineurs diagonaux bords de [Hb] sont strictement positifsouToutes les pseudo-valeurs propres de [Hb] sont strictement positivesCondition ncessaire : Condition suffisante : Recherche dun maximumToutes les drives partielles premires sont nullesTous les mineurs diagonaux bords de - [Hb] sont strictement positifsouToutes les pseudo-valeurs propres de [Hb] sont strictement ngatives1

La modlisation et la rsolution graphique dun programme linaire simpleA Le problme posLe producteur de caf, soucieux de fournir la Socit EREISOP des produits de qualit, prfre fabri-quer lui mme son engrais cologique .Pour cela il fabrique un mlange comportant de la potasse, lextrait de fumier de cheval et du sang de buf sch rduit en poudre.Pour que cet engrais soit fabriqu en quantit suffisante pour une anne, notre producteur doit pou-voir disposer dun engrais comportant au moins 4 tonnes de potasse, au moins une tonne dextrait de fumier de cheval et au moins 400 kg de sang de buf sch.Malheureusement,notreproducteurnetrouvepasfacilementcestroisproduitssurlemarchdela rgion o il est install mais un grossiste local dispose actuellement de deux articles vendus en sacs de 50 kg dont les compositions sont les suivantes :-le Super Pousse 100 le sac qui contient 80 % de potasse, 10 % dextrait de fumier de cheval et 5 % de sang de buf sch ;-le Meilleur 150 lesacquicontient40 %depotasse,20 %dextraitdefumierdechevalet 5 % de sang de buf sch.Les autres composants de ces deux articles sont des produits inertes pour lagriculture.Leproblmesuivantseposealorsnotreproducteur :commentacqurirlesquantitssuffisantesde potasse, dextrait de fumier de cheval et de sang de buf sch en achetant ces deux articles pour pou-voir raliser son engrais au moindre cot ?B Le choix des variables et la modlisationPourrsoudreuntelproblme,nousconstatonsquilnoussuffitdeconnatrelenombredesacsde Super Pousse et le nombre de sacs de Meilleur pour calculer le cot dacquisition des quantits La programmation linaire simpleChapitre5G74MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONncessaires la ralisations de cet engrais. La premire question se poser est donc : comment calculer le cot ?Dsignons donc par x le nombre de sacs de Super Pousse et par y le nombre de sacs de Meilleur acheter.Nouspouvonsdjcrirequex 0ety 0carilnestpaspossibledacheterunnombrengatifde sacs (contraintes videntes).Nous dsignerons galement par C le cot dacquisition de ces deux articles (cot exprim en ).Nous avons donc lgalit, vu les prix indiqus : C = 100 x + 150 y.Il nous reste donc transcrire mathmatiquement les conditions de composition de lengrais (contrain-tesspcifiques).Cescontraintesserontaunombredetrois,cartroiscomposantssontdsigns :la potasse, lextrait de fumier de cheval et le sang de buf sch.Pourlapotasse,nousconstatonsquunsacde SuperPousse encontient40 kgetquunsacde Meilleur en contient 20 kg. Comme le producteur en veut au moins 4 tonnes, nous pouvons crire, en choisissant comme unit le kg, que 40,0 x + 20,0 y 4 000.Pour lextrait de fumier de cheval, nous obtenons : 5,0 x + 10,0 y 1 000 (unit : le kg) et pour le sang de buf sch, nous obtenons : 2,5 x + 2,5 y 400 (unit : le kg).Nous pouvons regrouper toutes ces donnes et obtenir ainsi un programme linaire Simple :[Min] C = 100 x + 150 y(a) x 0(b) y 0+ + + (c) 40x 20y 4 000(d) 5x 10y 1000(e) 2,5x 2,5y 400Les trois dernires contraintes (c), (d) et (e) (contraintes spcifiques) de ce programme peuvent tre sim-plifies pour arriver au programme linaire suivant :[Min] C = 100 x + 150 y(a) x 0(b) y 0+ + + (c) 2x y 200(d) x 2y 200(e) x y 160Nouspouvonsalorsremarquerquecettesimplificationrevientchangerdunitssurcescontraintes spcifiques qui passe du kg aux 20 kg pour la potasse, du kg aux 5 kg pour lextrait de fumier de cheval et du kg aux 2,5 kg pour le sang de buf sch. noter Il faut faire trs attention aux units dans ce type de problme, le choix na aucune impor-tance mails il doit tre fait dune manire dfinitive.GChapitre 5 La programmation linaire simple75C La rsolution graphique dun programme linaireEndsignantparD1,D2etD3lesdroitesdquationsrespectives2x + y = 200,x + 2 y = 200et x + y = 160, nous dterminons, la vue des contraintes ci-dessus, le domaine de validit du programme linaire.Le domaine de validit est lensemble des points du plan dont les coordonnes x et y vrifient toutes les contraintes du programme linaire, quelles soient videntes ou spcifiques au problme tudi.Une fois ce domaine trac, il ne reste plus qu faire varier, suivant les valeurs de C, la droite correspon-dant lobjectif, soit la droite dquation 100 x + 150 y = C pour trouver loptimum cherch.Surlegraphique 1ci-aprs,ledomainedevaliditattracainsiquelesdroitesdquations C = 12 000 et C = 30 000.0100 200100200C = 30 000C = 12 000Poi nt OptimalMxyD1D3D2CmDomainedeval idi tGraphique 1Nous pouvons ainsi constater graphiquement quaucun des points de la droite C = 12 000 nappartient au domaine de validit et que cette droite est parallle la droite C = 30 000 dont un des segments est situ dans le domaine de validit.La droite Cm correspondant au cot minimal est donc celle qui est parallle aux deux droites C = 12 000 etC = 30 000etquiest,relativementcettedirection,laplusprochedeloriginedurepretouten ayant au moins un point commun avec le domaine de validit.G76MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONNous constatons quici la droite Cm na quun point commun avec le domaine de validit : le point opti-mal M, point dintersection des droites D2 et D3 dont les coordonnes sont solution du systme form par les quations des deux droites en question.Nous obtenons ainsi : + = = + = = x 2y 200 x 120x y 160 y 40En conclusion, notre producteur devrait acheter 120 sacs de Super Pousse et 40 sacs de Meilleur poursatisfairesademandeetminimisersoncotdeacquisition,cecotminimaltantalorsgal 18 000 .D Les contraintes satures ou non-saturesDaprs le raisonnement ci-dessus, le point optimal M a pour coordonnes des valeurs x et y qui vri-fient, leurs limites, les contraintes (d) et (e) : ces deux contraintes sont satures.Que se passe-t-il si notre producteur voulait un kilogramme dextrait de fumier de cheval supplmen-taire ? Il faudrait quil augmente ses cots.Pourcalculercetteaugmentationdecot,ilnoussuffitdersoudrelesystmeci-dessusdanslequel nous remplaons 200 par 200,2 comme second terme de la premire quation et 160 comme second terme de la seconde quation. En effet rappelons que lunit utilise dans la contrainte (d) est 5 kg et que 1 kg = 0,2 x 5 kg.Il faut donc maintenant rsoudre le systme : + = = + = = x 2y 200, 2 x 119,8x y 160, 0 y 40,2Dans ces conditions, le nouveau cot minimal deviendrait thoriquement gal 18 010 .Le kilogramme supplmentaire dextrait de fumier de cheval coterait donc thoriquement 10 notre producteur.Cette valeur thorique est appele cot marginal relatif au kg dextrait de fumier de cheval.Nouspouvonscalculerdelammemanirelecotmarginalrelatifaukilogrammedesangdebuf sch en rsolvant le systme : + = = + = = x 2y 200 x 120,8x y 160, 4 y 39,6 Le nouveau cot minimal deviendrait thoriquement gal 18 020 . Le kilogramme supplmentaire de sang de buf sch coterait donc thoriquement 20 notre producteur.Le cot marginal relatif au kg de sang de buf sch est donc gal 20 .Pourquoi navons-nous pas chang de systme rsoudre pour trouver ces deux cots marginaux ?GChapitre 5 La programmation linaire simple77Le graphique 1 ci-dessus nous indique quaugmenter la limite de la contrainte (d) (respectivement (e)) revient loigner lgrement, paralllement elle-mme, la droite D2 (respectivement D3) de lorigine etdoncamputerledomainedevaliditdunepetitebandedeplan.Cenouveaugraphiquenous permettrait de constater que le point du nouveau domaine de validit qui correspond au nouveau cot minimalesttoujourslintersectiondesdroitesD2etD3.Cestpourcelaquenousavonstoujours chercher les coordonnes du point dintersection de ces deux droites.Parcontre,lacontrainte(c)nestpasvrifielalimitecarnotreproducteuraplusdepotasseque ncessaire : 5 600 kg de disponibles alors que 4 000 kg suffisaient. Cette contrainte (c) nest pas satu-reetvouloirdisposerdunkilogrammedepotassesupplmentairenecoterien :lecotmarginal relatif au kg de potasse est nul.Nouspouvonsdoncdirequelesvaleursmarginalesrelativesauxcontraintesspcifiquesnon-satures sont nulles alors que celles relatives aux contraintes satures ne la sont, en gnral, pas.Insistons sur le fait que ces valeurs marginales sont calcules avec des valeurs thoriques. Par exemple, pour trouver que le cot marginal relatif au kg dextrait de fumier de cheval est calcul avec x = 119,8 et y = 40,2, ce qui donne un nouveau cot de 18 010 , soit une augmentation de cot de 10 .Ces valeurs marginales permettent de faire une tude de sensibilit : si notre producteur voulait effec-tivement un kilogramme dextrait de fumier de cheval supplmentaire et quil puisse acheter les deux produits Superpousse et Meilleur parkilogrammes,cettevaleurmarginaleluiindiquequesil trouve le kilogramme dextrait de fumier de cheval moins de 10 , il a intrt lacheter, alors que si ce prix tait suprieur 10 le kg, il aurait intrt modifier ses achats de Super pousse et de Meilleur .2 La rsolution algbrique dun programme linaire simpleA La dualitImaginons maintenant que la Socit EREISOP possde, comme sous-produits de sa production, de la potasse,delextraitdefumierdechevaletdusangdebufschetquelleveuilleconcurrencerle fournisseur de notre producteur.Se pose alors la socit EREISOP la question suivante : quels prix dois-je vendre le kg de potasse, le kgdextraitdefumierdechevaletlekgdesangdebufschauproducteurpour,nonseulement concurrencer le fournisseur du producteur, mais galement obtenir une recette maximale ?En posant Pp, Pc et Ps les prix du kg de potasse, du kg dextrait de fumier de cheval et du kg de sang debufschrespectivement,cetteSocit,endsignantparRsarecetteen,devraitrsoudrele programme linaire suivant :[Max] R = 4 000 Pp + 1 000 Pc + 400 Ps(1) Pp 0(2) Pc 0(3) Ps 0+ + + + p c sp c s(4) 40P 5P 2,5P 100(5) 20P 10P 2,5P 150G78MATHMATI QUES APPLI QUES LA GESTI ONEneffetleproducteurrecherchanttoujourslaminimisationdesoncotnachteraque4 tonnesde potasse,1tonnedextraitdefumierdechevalet400 kgdesangdebufsch.Deplus,laSocit EREISOP cherchant concurrencer le fournisseur des deux produits Super pousse et Meilleur , les contraintes (4) et (5) traduiront cette concurrence respectivement sur chacun des deux produits.Ceprogrammelinairedemaximisation,dduitdirectementduprogrammelinairedeminimisation tudi prcdemment sera appel dual de celui-ci.Ce programme comportant trois variables ne pourra pas facilement tre rsolu graphiquement (repr-sentation dans lespace) do la ncessit dintroduire une autre mthode de rsolution.B La mthode exhaustiveNousallonsdabordtransformerlesystmedinquationsformparlescontraintes(4)et(5)dupro-gramme linaire de maximisation en systme dquations en introduisant deux variables dcart e1 et e2 non-ngatives.Soit rsoudre :[Max] R = 4 000 Pp + 1 000 Pc + 400 Ps(1) Pp 0(2) Pc 0(3) Ps 0(6) e1 0(7) e2 0p c s 1p c s 2(4') 40P 5P 2,5P e 100(5') 20P 10P 2,5P e 150+ + + =+ + + =Le systme rsoudre est donc : p c s 1p c s 240P 5P 2,5P e 10020P 10P 2,5P e 150+ + + = + + + =Ce systme de deux quations cinq inconnues peut tre rsolu en fixant trois inconnues sur les cinq.Leraisonnementgraphiqueeffectuci-dessusnousindiquequilnousfaut,pourobtenirloptimum, saturer des contraintes, ce qui revient fixer 3 inconnues 0.Les diffrents systmes obtenus, au niveau de leur solutions, sont les suivants :PpPcPse1e2R0 0 0 100 150 00 0 40 0 50 16 0000 0 60 - 50 0 //////0 20 0 0 - 50 //////0 15 0 25 0 15 0000 10 20 0 0 18 0002,5 0 0 0 100 10 0007,5 0 0 - 200 0 //////0,833 13,333 0 0 0 16 666,67- 2,5 0 /// 0 0 //////GChapitre 5 La programmation linaire simple79lalecturedecetableau,nousconstatonsalorsquelekgdextraitdefumierdechevaldevraittre vendu 10 et le kg de sang de buf sch 20 . Par contre la potasse devrait tre offerte gratuite-ment. Dans ces conditions, la Socit EREISOP obtiendra une recette maximale de 18 000 .Nous constatons malheureusement que cette mthode exhaustive nous oblige calculer la solution de systmesconduisantdesrsultatsimpossiblespourleprogrammelinairetudi(solutionsngati-ves).C La mthode de Dantzig : Recherche dun maximumCette mthode itrative est base sur une thorie marginaliste et a pour point de dpart le programme linaire obtenu aprs introduction des variables dcart e1 et e2. Son but est damliorer une solution dj obtenue.Lecasleplusdfavorablepourunerecetteestquecelle-cisoitnulle.O