Operations Research
Linier Programming: Teori Dualitas
g e s i t t h a b r a n i FE UNP
Contents
1 Pendahuluan
2 Aturan Umum
3 Persamaan Dual untuk LP Normal
4 Persamaan Dual untuk LP Tidak Normal
5 Kegunaan Persamaan Dual
g e s i t t h a b r a n i FE UNP
PendahuluanPendahuluan
�� Dari Dari sudutsudut pandangpandang teoritisteoritis dandan praktispraktis, , teoriteori dualitasdualitas merupakanmerupakan salahsalah satusatu konsepkonseppentingpenting dandan menarikmenarik dalamdalam programasiprogramasilinierlinier
�� IdeIde dasardasar didi balikbalik teoriteori dualitasdualitas adalahadalahbahwabahwa setiapsetiap masalahmasalah programasiprogramasi linier linier mempunyaimempunyai satusatu pemrogramanpemrograman linier yang linier yang terkaitterkait yang yang disebutdisebut dengandengan dualdual
�� SolusiSolusi padapada masalahmasalah programasiprogramasi linier linier originalnyaoriginalnya memberikanmemberikan solusisolusi bagibagidualnyadualnya
�� JikaJika suatusuatu solusisolusi masalahmasalah dipecahkandipecahkandengandengan simplekssimpleks, , padapada dasarnyadasarnya diperolehdiperolehsolusisolusi untukuntuk duadua masalahmasalah programasiprogramasi linierlinier
g e s i t t h a b r a n i FE UNP
�� PersoalanPersoalan Primal Primal adalahadalah persoalanpersoalanprogramasiprogramasi linier linier dalamdalam bentukbentuk aslinyaaslinyayang yang diturunkanditurunkan langsunglangsung daridari persoalanpersoalanyang yang dihadapidihadapi
�� PersoalanPersoalan dual dual adalahadalah persoalanpersoalanprogramasiprogramasi linier yang linier yang merupakanmerupakankebalikankebalikan daridari persoalanpersoalan primalprimal
�� PersamaanPersamaan dual dual dibagidibagi 2:2:
�� PersamaanPersamaan dual dual daridari persoalanpersoalan LP normalLP normal
�� PersamaanPersamaan dual dual daridari persoalanpersoalan LP LP tidaktidaknormalnormal
Pendahuluan
g e s i t t h a b r a n i FE UNP
Aturan Umum
Aturan umum perubahan bentuk primal kebentuk dual
No Primal Dual
1 Koefisien fungsi tujuan Konstanta ruas kanan
2 Konstanta ruas kanan Koefisien tujuan
3 F. Tujuan Maksimasi F. Tujuan Minimasi
4 F. Tujuan Minimasi F. Tujuan Maksimasi
5 Variabel XX11, , XX2 , 2 , XX3…3…XXnn Variabel UU1 , 1 , UU2,2, UU3 …3 …UUnn
g e s i t t h a b r a n i FE UNP
Bentuk Persamaan Dual dari LP Normal
LP Normal:
� Fungsi tujuan minimasi
� Seluruh konstrain bertanda ≥
� Seluruh variabel berharga non-negatif
� Fungsi tujuan maksimasi
� Seluruh konstrain bertanda ≤
� Seluruh variabel berharga non-negatif
g e s i t t h a b r a n i FE UNP
Bentuk Persamaan Dual dari LP Normal
Contoh:
Primal
Min Z = 5X1 + 8X2
pembatas:
7X1 + 2X2 ≥ 28
3X1 + 12X2 ≥ 24
5X1 + 10X2 ≥ 20
X1 , X2 ≥ 0
Dual
Max W = 28U1 + 24U2 + 20U3
pembatas:
7U1 + 3U2 + 5U3 ≤ 5
2U1 + 12U2 + 10U3 ≤ 8
U1 , U2 , U3 ≥ 0
g e s i t t h a b r a n i FE UNP
Bentuk Persamaan Dual dari LP Normal
Contoh:
Primal
Max Z = 5X1 + 8X2
pembatas:
7X1 + 2 X2 ≤ 28
3X1 + 12X2 ≤ 24
5X1 + 10X2 ≤ 20
X1 , X2 ≥ 0
Dual
Min W = 28U1 + 24U2 + 20U3
pembatas:
7U1 + 3U2 + 5U2 ≥ 5
2U1 + 12U2 + 10U2 ≥ 8
U1 , U2 , U3 ≥ 0
LP Tidak Normal:
� Fungsi tujuan minimasi
� konstrain bertanda ≤ atau =
� Fungsi tujuan maksimasi
� konstrain bertanda ≥ atau =
Sehingga, LP tidak normal ini harus kitaubah menjadi LP yang normal
Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal
UntukUntuk mengubahmengubah LP LP TidakTidak Normal Normal menjadimenjadinormal:normal:
�� KalikanKalikan setiapsetiap pembataspembatas bertandabertanda ““≥≥””((untukuntuk kasuskasus maksimasimaksimasi) ) atauatau tandatanda ““≤≤””((untukuntuk kasuskasus minimasiminimasi) ) dengandengan bilanganbilangan --11
�� GantiGanti setiapsetiap pembataspembatas bertandabertanda ““==“ “ menjadimenjadiduadua pertidaksamaanpertidaksamaan ((bertandabertanda ““≥≥”” dandan ““≤≤“), “), kemudiankemudian lakukanlakukan sepertiseperti langkahlangkah pertamapertama, , yaituyaitu pembataspembatas bertandabertanda ““≥≥” (” (untukuntuk kasuskasusmaksimasimaksimasi ) ) atauatau ““≤≤”” ((untukuntuk kasuskasusminimasiminimasi) ) dengandengan bilanganbilangan --11
Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal
Contoh:
Primal
Max Z = 5X1 + 8 X2 + 12 X3 pembatas:
7X1 + 2 X2 + 6X3 ≤ 28
3X1 + 11X2 + X3 = 24
9X1 + 10X2 + 4X3 ≥ 20
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal
Primal
Max Z = 5X1 + 8 X2 + 12 X3pembatas:
7X1 + 2 X2 + 6X3 ≤ 28 (1)
3X1 + 11X2 + X3 = 24 3X1 + 11X2 + X3 ≤ 24 (2)
3X1 + 11X2 + X3 ≥ 24 -3X1 - 11X2 - X3 ≤ -24 (3)
9X1 + 10X2 + 4X3 ≥ 20 -9X1 - 10X2 - 4X3 ≤ -20 (4)
X1 , X2 , X3 ≥ 0
Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal
Dual
Min W = 28U1 + 24U2 -24U3 -20 U4pembatas:
7U1 + 3U2 - 3U3 – 9U4 ≥ 5
2U1 +11U2 -11U3 + 10U4 ≥ 8
6U1 + U2 - U3 + 4U4 ≥ 12
U1 , U2 , U3 ≥ 0
Bentuk Persamaan Dual dari LP Tidak Normal
Salah satu kegunaan dual adalahmembantu memudahkan penyelesaian
persoalan primal apabila jumlahkonstrain-nya banyak, misalnya 8
buah, sedangkan jumlah variabelnyasedikit, misalnya 2 atau 3 buah
Kegunaan Persamaan Dual
Contoh:
Primal
Max Z = 7X1 + 5 X2
pembatas:
4X1 + 3 X2 ≤ 240 (1)
2X1 + X2 ≤ 100 (2)
6X1 ≤ 95 (3)
8X1 + 4 X2 ≤ 70 (4)
8X2 ≤ 150 (5)
9X1 + 5X2 ≤ 55 (6)
3X1 + 7X2 ≤ 20 (7)
X1 , X2 ≥ 0
Kegunaan Persamaan Dual
DualDualMin W = 240U1 + 100U2 +95U3 +70U4 +150U5 +55U6 +20U7
pembataspembatas::
4U1 + 2U2+ 6U3 + 8U4 + 9U6 + 3U7 ≥ 7 (1)
3U1 + U2 + 4U4 + 8U5 + 5U6 + 7U7 ≥ 5 (2)
U1 , U2, U3, U4 , U5 , U6 , U7 ≥ 0
Kegunaan Persamaan Dual
Contoh:
PrimalX1 = jumlah pupuk Super-gro (karung)
X2 = jumlah pupuk Crop-quick (karung)
Min Z = 5X1 + 10 X2pembatas:
7X1 + 2X2 ≥ 28
2X1 + 12X2 ≥ 24
X1 , X2 ≥ 0
Penyelesaian Permasalahan Dual
Jawab:
Dual
Max W = 28U1 + 24U2pembatas:
7U1 + 2U2 ≤ 5
2U1 + 12U2 ≤ 10
U1 , U2 ≥ 0
Penyelesaian Permasalahan Dual
Bentuk standar simpleks:
Max W = 28U1 + 24U2 + 0S1 + 0S2pembatas:
7U1 + 2U2 + S1 = 5
2U1 + 12U2 + S2 = 10
U1 , U2 ≥ 0
Penyelesaian Permasalahan Dual
CCjj 2828 2424 00 00
BV UU11 UU22 SS11 SS22 RHS
0 SS11 1 1 0 0 5
0 SS22 1 0 1 0 10
WWjj 0 0 0 0 0
CCjj-- WWjj 28 24 0 0Belumoptimal
TabelTabel initial initial iterasiiterasi ((iterasiiterasi keke--0)0)
Penyelesaian Permasalahan Dual
TabelTabel iterasiiterasi keke--11
Cj 28 24 0 0
BV U1 U2 S1 S2 RHS
28 U1 1 0.29 0.14 0 0.71
0 S2 0 11.43 -0.29 1 8.57
Wj 28 8 4 0 20
Cj- Wj 0 16 -4 0Belumoptimal
Penyelesaian Permasalahan Dual
Tabel iterasi ke-2
Cj 28 24 0 0
BV U1 U2 S1 S2 RHS
28 U1 1 0 0.15 -0.03 0.50
0 U2 0 1 -0.03 0.09 0.75
Wj 28 24 3.60 1.4 32
Cj- Wj 0 0 -3.60 -1.4 optimal
Penyelesaian Permasalahan Dual
Bandingkan dengan hasil persoalan primal
Cj 5 10 0 0 M M
BV X1 X2 S1 S2 A1 A2 RHS
5 X1 1 0 -0.15 0.03 0.15 -0.03 3.6
10 X2 0 1 0.03 -0.09 -0.03 0.09 1.4
Zj 5 10 -0.50 -0.75 0.50 0.75 32
Cj- Zj 0 0 0.50 0.75 M-0.5 M-0.75 optimal
Penyelesaian Permasalahan Dual
Ternyata memberikan hasil yang sama:
� Diperoleh nilai Z (atau W) sebesar 32
� Besarnya X1 ditunjukkan pada nilai -3.6 di tabel dual, yang berarti 3.6 karungpupuk merk Super-gro
� Besarnya X2 ditunjukkan pada nilai -1.4 di tabel dual, yang berarti 1.4 karungpupuk merk Crop-quick
� Sehingga diperoleh biaya minimum sebesar $32
Penyelesaian Permasalahan Dual