Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id A. METODE PROGRAM …ririez.blog.uns.ac.id/files/2011/04/teori-permainan-2.pdf · dihadapkan kepada masalah metode simpleks dualitas. Untuk suatu

Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id

1

A. METODE PROGRAM LINIER

Terdapat hubungan yang erat antara teori permainan dan program linier

karena setiap bentuk permainan berjumlah nol dari dua orang (yang berhingga)

dapat dinyatakan sebagai suatu bentuk program linier dan sebaliknya, setiap

permasalahan program linier dapat disajikan sebagai suatu permainan. Dalam

penyelesaian suatu permainan dengan metode program linier ini, sering

dihadapkan kepada masalah metode simpleks dualitas. Untuk suatu permainan

dengan matriks pembayaran yang berukuran besar (m x n) dan tidak mempunyai

titik pelana serta metode dominasi tidak dapat digunakan untuk mereduksi ukuran

matriks pembayaran menjadi lebih kecil, maka program linier menawarkan suatu

metode penyelesaian yang efisien. Perhatikan matriks pembayaran di bawah ini.

Pemain P2

y1 y2 …….. yn

Pemain P1

x1 a11 a12 …….. a1n

x2 a21 a22 a2n

x3 a31 a32 a3n

. . .

. . .

. . .

xm am1 am2 …….. amn

dengan

xi = probabilitas pemain P1 memilih stategi ke- i

yi = probabilitas pemain P2 memilih stategi ke- j

aij = nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi ke-i pemain P1 dan ke-j

pemain P2,

i = 1, 2,...,m dan j = 1, 2, ..., n.

• Untuk pemain P1 (pemain baris).


2

Pemain P1 memilih xi,

=≥ ∑=

m

iii xx

1

1,0 yang akan menghasilkan

∑∑∑

===

m

iiin

m

iii

m

iii

xxaxaxa

112

11 ,...,,minmax .

Hal ini menunjukkan bahwa strategi campuran optimum pemain P1 memenuhi

∑∑∑

===

m

iiin

m

iii

m

iii

xxaxaxa

112

11 ,...,,minmax berdasar pembatas :

11

=∑=

m

iix dan xi ≥ 0, i = 1, 2, …, m.

Persoalan ini dapat disajikan ke bentuk program linier sebagai berikut ;

jika

= ∑∑∑===

m

iiin

m

iii

m

iii xaxaxav

112

11 ,...,,min maka persoalan ini menjadi :

Memaksimumkan Z = v berdasarkan pembatas :

∑=

≥m

iiij vxa

1

, j = 1, 2, …, n

∑=

=m

iix

1

1, xi ≥ 0 untuk semua i

v = nilai permainan

Perumusan program linier di atas dapat disederhanakan dengan

membagi (n+1) pembatas dengan v. Pembagian ini berlaku untuk v > 0. Jika v

= 0 maka pembagian tidak berlaku. Sebaliknya, jika v < 0 maka pembagian ini

juga tidak berlaku namun dapat diubah menjadi v > 0 dengan menambahkan

suatu konstanta positif k pada semua elemen dalam matriks pembayaran yang

akan menjamin nilai permainan untuk matriks yang dimodifikasi ini lebih besar

dari nol. Sebagai pedoman, diambil k ≥ harga mutlak dari elemen yang terkecil

sehingga sebelum merumuskan ke bentuk program linier perlu diperiksa nilai

maximin barisnya karena jika nilai maximin tersebut negatif maka ada

kemungkinan nilai permainannya negatif atau nol.

Dengan demikian matriks pembayarannya perlu dimodifikasi dahulu

dan sebagai konsekuensinya adalah jika solusi optimum telah diperoleh maka


3

nilai permainan yang sebenarnya ditentukan dengan mengurangi sebesar k tadi

dari nilai permainan yang dimodifikasi itu. Pada umumnya jika nilai

maximinnya positif maka nilai permainannya lebih besar daripada nol

(terutama permainan yang mempunyai titik pelana). Oleh karena itu di dalam

pembentukan rumusan program linier diasumsikan bahwa v > 0.

Pembatas-pembatas (constraints) dalam rumusan program linier di atas

menjadi :

∑=

≥m

i

iij v

xa

1

1, j = 1, 2, 3, ..., n

dan ∑=

=m

i

i

vv

x

1

1 , xi ≥0 untuk semua i.

Atau ditulis secara lengkap :

1... 13

312

211

11 ≥++++v

xa

v

xa

v

xa

v

xa m

m

1... 23

322

221

12 ≥++++v

xa

v

xa

v

xa

v

xa m

m

1... 33

332

231

13 ≥++++v

xa

v

xa

v

xa

v

xa m

m

.

.

.

1...33

22

11 ≥++++

v

xa

v

xa

v

xa

v

xa m

mnnnn

dan vv

x

v

x

v

x

v

x m 1...321 =++++

Jika dinotasikan v

xX i

i = dengan i = 1, 2, ..., m maka

vXXXX m

1...321 =++++ . Karena

vV

1minmax =

= min [X1+X2+X3+...+Xm]

Maka persoalan di atas menjadi :


4

Meminimumkan z = v

XXXX m

1...321 =++++

berdasarkan pembatas :

1... 1331221111 ≥++++ mm XaXaXaXa

1... 2332222112 ≥++++ mm XaXaXaXa

1... 3333223113 ≥++++ mm XaXaXaXa

.

.

.

1...332211 ≥++++ mmnnnn XaXaXaXa

0...,,, 321 ≥mXXXX

Dari sini kemudian diselesaikan dengan metode simpleks. Penyelesaian bagi

pemain P2 merupakan dual dari penyelesaian pemain P1. Jadi penyelesaian

optimum bagi salah satu pemain dapat memberikan penyelesaian optimum bagi

pemain lainnya meskipun penyelesaian bagi pemain P2 merupakan dual dari

penyelesaian pemain P1. Perhitungan penyelesaian optimum pemain P2 dapat

dilakukan dengan menggunakan metode simpleks dan penyelesaian pemain P1

merupakan dualnya. Pada kenyataannya bahwa lebih mudah untuk menghitung

penyelesaian pemain P2 dengan metode simpleks terlebih dahulu.

• Untuk pemain P2 (pemain kolom)

Pemain P2 memilih yj,

=≥ ∑

=1,0

1

n

jjj yy yang akan menghasilkan

∑∑∑

===

n

jjmj

n

jjj

n

jjj

yyayaya

j 112

11 ,...,,maxmin .

Hal ini menunjukkan bahwa strategi campuran optimum pemain P2 memenuhi

∑∑∑

===

n

jjmj

n

jjj

n

jjj

yyayaya

j 112

11 ,...,,maxmin


5

berdasarkan pembatas 11

=∑=

n

jjy dan yj > 0 , j = 0,1,2,…,n.

Persoalan ini dapat dirumuskan ke dalam bentuk program linear sebagai

berikut.

Jika

= ∑∑∑

===

n

jjmj

n

jjj

n

jjj yayayav

112

11 ,...,,max

Maka persoalan di atas menjadi, meminimumkan Z = v berdasarkan pembatas

vyan

jjij ≤∑

=1

, i = 1, 2,…, m

11

=∑=

n

jjy , yj > 0 untuk semua j

v = nilai permainan

Asumsikan bahwa v > 0 maka pembatas-pembatas dalam rumusan program

linear di atas menjadi

11

≤∑=

n

j

jij v

ya , i = 1, 2,…, m

dan

vv

yn

j

j 1

1

=∑=

, yj > 0 untuk semua j

Atau ditulis secara lengkap

1...

1...

1...

33

22

11

23

232

221

21

13

132

121

11

≤++++

≤++++

≤++++

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

v

ya

nmnmmm

nn

nn

M

dan vv

y

v

y

v

y n 1...21 =+++

Jika dinotasikan v

yY j

j = ; j = 0,1,2,…,n maka


6

vYYYY n

1...321 =++++ .

Karena min v = v

1max

= [ ]nYYYY ++++ ...max 321 , maka persoalan di atas menjadi

Memaksimumkan

=++++=v

YYYYw n

1...321 berdasarkan pembatas-

pembatas

1...

1...

1...

332211

2323222121

1313212111

≤++++

≤++++≤++++

nmnmmm

nn

nn

YaYaYaYa

YaYaYaYa

YaYaYaYa

M

Y1, Y2, Y3,…, Yn > 0

Kemudian diselesaikan dengan metode simpleks dan penyelesaian pemain P1

merupakan dual dari penyelesaian pemain P2 dan simpleksnya lebih sederhana.

Contoh 1 :

Diberikan matriks pembayaran (3 x 3) sebagai berikut :

Pemain P2

y1 y2 y3

Pemain P1

x1 2 -1 -3

x2 -2 0 1

x3 0 -3 2

dengan xi = probabilitas pemain P1 memilih stategi ke- i

yi = probabilitas pemain P2 memilih stategi ke- j

Ternyata bahwa permainan ini tidak mempunyai titik pelana dan aturan dominasi

tidak digunakan. Karena nilai maximin = -2, maka ada kemungkinan nilai

permainannya negatif atau nol. Oleh karena itu, matriks pembayaran di atas perlu

dimodifikasi dengan menambahkan konstanta positif k = 4 sedemikian rupa

sehingga matriks pembayaran modifikasinya adalah


7

Pemain P2

y1 y2 y3

Pemain P1

x1 6 3 1

x2 2 4 5

x3 4 1 6

Penyelesaian dengan metode simpleks untuk pemain P2. Formulasi program linear

berdasarkan matriks pembayaran modifikasi untuk pemain P2 adalah :

Memaksimumkan z = Y1 + Y2 + Y3 (=v

1) berdasarkan pembatas

6Y1 + 3Y2 + Y3 ≤ 1

2Y1 + 4Y2 + 5Y3 ≤ 1

4Y1 + Y2 + 6Y3 ≤ 1

Y1, Y2, Y3 ≥ 0

Bentuk di atas dibawa ke bentuk kanonik dengan memasukkan pengubah-

pengubah kelonggaran (slack), misalnya P, Q, R. Kemudian mencari Y1, Y2, Y3,

P, Q, R ≥ 0 yang memenuhi

6Y1 + 3Y2 + Y3 + P = 1

2Y1 + 4Y2 + 5Y3 + Q = 1

4Y1 + Y2 + 6Y3 + R = 1

Memaksimumkan z = Y1 + Y2 + Y3 + OP + OQ + OR. Maka,

Y = [Y j] = [Y1, Y2, Y3, P, Q, R]

v = [vi] = [v1, v2, v3] = [1, 1, 1]

c = [cj] = [1, 1, 1, 0, 0, 0]

A = (aij) =

100614

010542

001136

METODE SIMPLEKS

Metode Simpleks mulai diperkenalkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1949

Metode penyelesaian masalah:


8

- iterasi dengan langkah-langkah perhitungan yang sama

- perhitungan yang sama diulang beberapa kali sebelum solusi optimum

dicapai

Langkah-langkah penyelesaian metode Simpleks:

1. Tentukan model formulasi

2. Tambahkan slack variable pada setiap constraint

3. Buat tabel simpleks

Persamaan constraint khusus untuk slack variable harus membentuk matriks

identitas

4. Hitung zj dan zj - cj

Bila zj - cj < 0 belum optimal,

harus dibuat tabel baru

5. Tentukan kolom pivot = kolom di mana zj - cj paling kecil

6. Tentukan baris pivot = baris di mana Harga bagi paling kecil

Harga bagi = Harga jawab

Elemen pada kolom pivot

7. Tentukan unsur pivot = unsur (elemen) yang menjadi anggota dari kolom

pivot dan baris pivot

8. Menentukan variabel yamg masuk = variabel pada kolom pivot

Menentukan variabel yang keluar = variabel pada baris pivot

9. Membuat tabel baru

Bagi elemen-elemen pada baris pivot dengan unsur pivot

10. Hitung elemen-elemen untuk baris lain dengan ketentuan

nij = nij - nip. npj

nij = elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j yang baru

nij = elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j (tabel lama)

nip = elemen pada baris ke i kolom pivot lama

npj = elemen pada baris pivot kolom ke-j (tabel baru)

11. Ulangi langkah nomor 4 sampai mendapatkan tabel optimal

12. Bila telah mendapatkan tabel optimal, tentukan hasil solusi optimal


9

Karena A telah tereduksi lengkap (memuat matriks identitas I3) maka bentuk

matriks itu dikatakan siap simpleks.

Tabel simpleks untuk pemain P2

ci

cj 1 1 1 0 0 0

vi

Ri Y j

Y i

Y1 Y2 Y3 P Q R

0 P 6 3 1 1 0 0 1 6

1

0 Q 2 4 5 0 1 0 1 2

1

0 R 4 1 6 0 0 1 1 4

1

zj 0 0 0 0 0 0

zj-cj -1 -1 -1 0 0 0

1 Y1 1 2

1 61 6

1 0 0 6

1 1

0 Q 0 3 3

14 31− 1 0

32 7

1

0 R 0 -1 3

16 32− 0 1

31 16

1

zj 1 2

1 61 6

1 0 0

zj-cj 0 2

1− 65− 6

1 0 0

1 Y1 1 32

17 0 16

3 0 32

1− 325 17

5

0 Q 0 8

31 0 4

1 1 8

7− 83 31

3

1 Y3 0 16

3− 1 8

1− 0 16

3 161 -1/3

zj 1 32

11 1 16

1 0 32

5

zj-cj 0 32

21− 0 16

1 0 32

5

1 Y1 1 0 0 124

19 12411− 124

11 12413

1 Y2 0 1 0 31

2 318 31

7− 313


10

1 Y3 0 0 1 62

7− 623 62

9 625

zj 1 1 1 124

13 12421 124

1 12435

zj-cj 0 0 0 124

13 12421 124

1

Karena semua zj-cj > 0 maka telah tercapai optimum. Didapatkan bahwa

12435=z

Y = [ Y1, Y2, Y3, P, Q, R ] = [ ]0,0,0,625,31

3,12413

Karena v

yY i

i = dan z

v1= maka

z

Yy i

i = untuk i = 1, 2, 3.

Diperoleh bahwa

*1

11 35

13

35

124

124

13yx

z

Yy ====

*2

22 35

12

35

124

31

3yx

z

Yy ====

*3

33 35

10

35

124

62

5yx

z

Yy ====

dan nilai permainan sebenarnya adalah 35

164

35

1241* −=−=−= kz

v

Jadi strategi campuran optimum pemain P1 adalah

=35

10,

35

12,

35

13*Y dan nilai

permainan 35

16* −=v .

Selanjutnya akan dicari solusi optimum untuk pemian P1 melalui dualitas

(berdasarkan solusi optimum matriks modifikasi). Bagi pemain P1

Y1 = 12413 > 0 Y2 = 31

3 > 0 Y3 = 625 > 0

X1> 0 6 3 1 =1

X2> 0 2 4 5 =1

X3> 0 4 1 6 =1

=1 =1 =1


11

Masalah dual :

6X1 + 2X2 + 4X3 = 1

3X1 + 4X2 + X3 = 1

X1 + 5X2 + 6X3 = 1

Merupakan sistem persamaan linier non homogen dengan 3 variabel, yaitu X1, X2,

X3 dan 3 persamaan. Sistem ini diselesaikan dengan aturan Cramer.

124

651

143

426

==∆

124

13651

141

421

1 =∆

=X

124

21611

113

416

2 =∆

=X

124

1151

143

126

3 =∆

=X

Diperoleh bahwa 124

351321 =++== XXX

vz

Karena v

xX i

i = dan v

z1= maka

z

Xx i

i = untuk i = 1, 2, 3.

Diperoleh bahwa

*1

11 35

13

35

124

124

13xx

z

Xx ====

*2

22 35

21

35

124

124

21xx

z

Xx ====


12

*3

33 35

1

35

124

124

1xx

z

Xx ====

=35

1,

35

21,

35

13*x

Jadi solusi optimum permainan ini adalah

Strategi campuran pemain P1 adalah

=35

1,

35

21,

35

13*X

Strategi campuran pemain P2 adalah

=35

10,

35

12,

35

13*Y

Nilai permainan 35

16* −=v

Contoh 2

Matriks pembayaran yang telah dimodifikasi.

Pemain P2

y1 y2 y3

Pemain P1

x1 6 3 1

x2 2 4 5

x3 4 1 6

Formulasi dalam program linier untuk pemain P1 adalah

Meminimumkan z = X1 + X2 + X3 (=v

1)

berdasarkan pembatas

6X1 + 2X2 + 4X3 ≥ 1

3X1 + 4X2 + X3 ≥ 1

X1 + 5X2 + 6X3 ≥ 1

X1, X2, X3 ≥ 0


13

Bentuk di atas dibawa ke bentuk kanonik dengan menambahkan pengubah

kelonggaran (slack), misalnya P, Q, R. Dicari X1, X2, X3, P, Q, R ≥ 0 yang

memenuhi :

6X1 + 2X2 + 4X3 – P = 1

3X1 + 4X2 + X3 – Q = 1

X1 + 5X2 + 6X3 – R = 1

Memaksimumkan z = X1 + X2 + X3 + 0P + 0Q + 0R

Ternyata bahwa

A=

−−

−

100651

010143

001426

belum siap simpleks.

Oleh karena itu perlu ditambah lagi dengan pengubah-pengubah semu (artificial

variables), misalnya S, T, W sehingga

Akan dicari X1, X2, X3, P, Q, R, S, T, W ≥ 0 yang memenuhi

6X1 + 2X2 + 4X3 – P + S = 1

3X1 + 4X2 + X3 – Q + T = 1

X1 + 5X2 + 6X3 – R + W = 1

Meminimumkan z = X1 + X2 + X3 + 0P + 0Q + 0R + MS + MT + MW dengan M

= bilangan positif besar. Maka,

X = [X1, X2, X3, P, Q, R, S, T, W]

v = [vi] = [v1, v2, v3] = [1, 1, 1]

C = [cj] = [1, 1, 1, 0, 0, 0, M, M, M]

A = (aij) =

−−

−

100100651

010010143

001001426

Karena matriks A telah tereduksi lengkap maka matriks A dinamakan telah siap

simpleks. Tabel simpleks untuk pemain P1 adalah sebagai berikut:


14

P1

cj 1 1 1 0 0 0 M M M

vi

Ri Y j

Y i

X1 X2 X3 P Q R S T W

M S 6 2 4 -1 0 0 1 0 0 1 2

1

M T 3 4 1 0 -1 0 0 1 0 1 4

1

M W 1 5 6 0 0 -1 0 0 1 1 5

1

zj 10M 11M 11M -M -M -M M M M

zj-cj 10M-1 11M-1 11M-1 -M -M -M 0 0 0

M S 5

28 0

58

-1 0 5

2 1 1

52− 5

3 283

M T 5

11 0

519−

0 -1 5

4 0 1

54− 5

1 111

1 X2 5

1 1

56

0 0 5

1− 0 0

51 5

1 1

zj

51

539 +M

1 5

65

11 +− M -M -M

51

56 −M

M M 5

15

6 +− M

zj-cj 5

45

39 −M 0

51

511 +− M

-M -M 5

15

6 −M 0 0

51

56 −− M

M S 0 0 11

124 -1

1128− 11

18− 1

1128 11

28 111 124

1

1 X1 1 0 11

19− 0

115− 11

4 0

115 11

4− 111

1 X2 0 1 11

17 0

111 11

3− 0

111− 11

3 112 17

2

zj 1 1 11

211

124 −M -M

114

1128 −− M 11

111

18 −− M M

114

1128 +M 11

111

18 −M

zj-cj 0 0 11

1311

124 −M -M

114

1128 −− M 11

111

18 −− M 0

114

1117 +M 11

111

7 −M


15

1 X3 0 0 1 124

11− 12438− 124

18− 12411 124

28 12418 124

1

1 X1 1 0 0 124

19− 341239− 62

7 12419 341

239 627− 124

13

1 X2 0 1 0 124

17 341150 62

3− 12417− 341

150− 623 124

21

zj 1 1 1 124

13− 341166− 62

5− 12413 341

166 625 124

35

zj-cj 0 0 0 124

13− 341166− 62

5− M−12413 M−341

166 M−625


16

Dari tabel tersebut dapat dilihat bahwa semua zj-cj ≤ 0. Karena semua zj-cj ≤ 0 maka optimum

telah tercapai. Nilai optimumnya adalah

z = X1 + X2 + X3 (=v

1) =

124

35

Solusi optimum X = [X1, X2, X3, P, Q, R, S, T, W]

= 0,0,0,0,0,0,124

1,

124

21,

124

13

Karena v

xX i

i = dan v

z1= maka

z

Xx i

i = untuk i = 1, 2, 3.

Diperoleh bahwa

*1

11 35

13

35

124

124

13xx

z

Xx ====

*2

22 35

21

35

124

124

21xx

z

Xx ====

*3

33 35

1

35

124

124

1xx

z

Xx ====

Dan nilai permainan sebenarnya adalah 35

164

35

1241* −=−=−= kz

v

Jadi strategi campuran optimum pemain P1 adalah

=35

1,

35

21,

35

13*X dan nilai permainan

35

16* −=v . Selanjutnya akan dicari solusi optimum untuk pemian P2 melalui dualitas

(berdasarkan solusi optimum matriks modifikasi).

Bagi pemain P2

Y1 > 0 Y2 > 0 Y3 > 0

X1= 12413 6 3 1 =1

X2 = 12421 2 4 5 =1

X3 = 1241 4 1 6 =1

=1 =1 =1

Masalah dual

6Y1 + 3Y2 + Y3 = 1

2Y1 + 4Y2 + 5Y3 = 1


17

4Y1 + Y2 + 6Y3 = 1

Sistem persamaan linier non homogen dengan tiga anu yaitu Y1, Y2, Y3 dan tiga persamaan

ini diselesaikan dengan aturan Cramer.

124

614

542

136

==∆

124

13611

541

131

1 =∆

=Y

124

12614

512

116

2 =∆

=Y

124

10114

142

136

3 =∆

=Y

Diperoleh bahwa 124

351321 =++== YYY

vz

Karena v

yY i

i = dan v

z1= maka

z

Yy i

i = untuk i = 1, 2, 3.

Diperoleh bahwa

*1

11 35

13

35

124

124

13yx

z

Yy ====

*2

22 35

12

35

124

124

12yx

z

Yy ====

*3

33 35

10

35

124

124

10yx

z

Yy ====

=35

10,

35

12,

35

13*Y

Jadi solusi optimum permainan ini adalah

o Strategi campuran optimum pemain P1 adalah

=35

1,

35

21,

35

13*X


18

o Strategi campuran optimum pemain P2 adalah

=35

10,

35

12,

35

13*Y

o Nilai permainan 35

16* −=v

Dengan demikian terlihat bahwa penyelesaian simpleks untuk pemain P1 (pemain baris ) lebih

rumit daripada penyelesaian simpleks untuk pemain P2. Oleh karena itu disarankan untuk

menyelesaikan dengan metode simpleks bagi pemain P2 (pemain kolom) dahulu dan baru

penyelesaian pemain P1 sebagai dualnya.

KESIMPULAN PENYELESAIAN BERJUMLAH NOL DARI DUA ORANG

1. Dalam studi kasus buatlah matriks pembayaran atau matriz permainannya terlebih dahulu.

2. Perhatikan baik-baik matriks pembayaran yang diberikan atau matriks pembayaran yang

baru disajikan bila studi kasus.

3. Selidi apakah mempunyai titik pelana.

4. Kalau ditemukan titik pelana, maka permainan tersebut dapat diselesaikan dengan strategi

murni. Kalau titik pelana tidak ditemukan maka permainan tersebut diselesaikan dengan

strategi campuran.

5. Memeriksa apakah mtriks pembayaran dapat direduksi dengan aturan dominasi.

6. Selesaikan permainan ini dengan salah satu metode penyelesaian yang cocok.

• Metode aljabar untuk ukuran 2 x 2

• Metode grafik untuk ukuran 2 x 2, 2 x n, m x 2

• Metode aljabar matriks dan metode program linier untuk usuran m x n

B. PERMAINAN BERJUMLAH NOL DARI n ORANG

1. Pendahuluan

Pada bab-bab sebelumnya telah dibahas tentang permainan berjumlah nol dari 2 orang,

yaitu suatu permainan yang hanya memuat dua pertentangan kepentingan (oppositing

interest). Dalam bab ini akan sedikit dibahas tentang permainan berjumlah nol dari n

orang. Perbedaannya dengan bab-bab sebelumnya adalah bahwa permainan pada bab-

bab sebelumnya dimainkan hanya oleh dua orang (pihak) saja tetapi dalam bab ini

jumlah pemainnya lebih dari dua orang (pemain).

Ada dua asumsi yang dipakai di dalam pembahasan permainan berjumlah nol dari n

orang ini, yaitu:


19

1. Setiap pemain dalam permainan ini dapat berkomunikasi dan berunding dengan

pemain yang lain untuk membuat suatu perjanjian yang mengikat. Hal ini berarti

ada kerjasama di antara pemain. Barangkali perjanjian itu meliputi dua jenis, yaitu

koordinasi strategi dan pembagian pembayaran. Jika suatu kelompok pemain

menyatakan untuk bekerja sama maka mereka membentuk koalisi. Suatu koalisi

adalah persetujuan di antara beberapa pemain untuk mengkoordinasikan strategi

mereka yang ada dalam suatu cara (jalan) sedemikian sehingga seluruh anggota

koalisi itu akan beruntung. Analisis mengenai bentuk koalisi inimerupakan bagian

yang terpenting di dalam mempelajari permainan berjumlah nol dari n orang ini.

2. Para pemain dapat membuat pembayaran sampingan (side payment), yaitu suatu

transfer (pemindahan) pembayaran di antara pemain. Oleh karena itu mereka akan

membentuk suatu koalisi jika pembayaran-pembayaran itu sedemikian rupa

sehingga anggota-anggota koalisi (melalui kerjasama) dapat mencapai total

pembayaran untuk koalisi itu lebih besar daripada mereka bermain secara individu.

Setelah koalisi memaksimumkan total pembayarannya, penbayaran untuk para

anggota koalisi itu diatur dengan pembuatan pembayaran sampingan (side

payment) itu.

Sesuai dengan definisi permainan di sini maka diasumsikan bahwa pemain-pemain

di dalam permainan n orang ini dapat dibagi menjadi dua kelompok (koalisi) yang

saling berhadapan (besaing). Setelah terbentuk dua koalisi (kelompok), permainan

n orang ini dapat diberlakukan sebagai permainan dua orang, yaitu koalisi I

melawan koalisi II.

Nilai permainan, yang mana terdaftar di dalam fungsi karakteristik untuk

permainan ini adalah nilai maximin untuk koalisi I yang berarti bahwa minimum

total pembayaran anggota-anggota koalisi I dapat diperoleh tanpa memperhatikan

tindakan yang diberikan oleh anggota koalisi II. Oleh karena itu total pembayaran

dari koalisi I sama dengan negatif dari total pembayaran koalisi II di dalam setiap

vektor pembayaran dalam matriks pembayaran.

2. Bentuk Koalisi

Secara umum di dalam permainan berjumlah nol n orang terdapat 2n-1 cara yang

mungkin untuk mengelompokkan n orang (pemain) itu ke dalam dua kelompok yang

saling berhadapan. Misalnya, permainan yang berjumlah nol 4 orang (A, B, C, D).

Para pemain dalam permainan ini dapat membentuk 24-1=8 koalisi yang berbeda yaitu:


20

Grup I melawan Grup II

1. ABCD Ø

2. ABC D

3. ABD C

4. ACD B

5. BCD A

6. AB CD

7. AC BD

8. AD BC

Kalau dilihat pada bentuk koalisi yang kesatu, yaitu ABCD VS Ø maka jelas ini tidak

dipakai di sini. Karena koalisi kosong (Ø) tidak mempunyai langkah, tidak

mempunyai pengaruh, tidak ada keuntungan ataupun kerugian.

Demikian juga komplemen dari koalisi kosong (Ø) ini, yaitu ABCD, walaupun

mempunyai banyak anggota dan langkah juga tidak mempunyai pengaruh dan tidak

ada kerugian atau keuntungan karena jelas bahwa koalisi ABCD ini tidak mempunyai

lawan bersaingnya.

Dengan membagi n orang (pemain) menjadi dua grup tersebut maka permainan

berjumlah nol dari n orang ini dapat diberlakukan sebagai suatu permainan berjumlah

nol dari dua orang (grup).

Dengan demikian di dalam menghitung solusi optimumnya dapat menggunakan

metode-metode untuk permainan berjumlah nol dari dua orang. Hanya ada sedikit

perbedaan yaitu mengenai pembagian pembayaran untuk masing-masing anggota

koalisi yang bersangkutan.

Contoh 3

Diberikan permainan berjumlah nol dari 3 orang (A, B, C) dengan masing-masing

pemain mempunyai 2 pilihan strategi. Misalnya:

- Pemain A mempunyai 2 strategi : X1, X2.

- Pemain B mempunyai 2 strategi : Y1, Y2.

- Pemain C mempunyai 2 strategi : Z1, Z2.

Dengan matriks pembayaran di bawah ini.


21

Strategi Pembayaran

A B C A B C

X1 Y1 Z1 -1 1 0

X1 Y1 Z2 -3 2 1

X1 Y2 Z1 0 2 -2

X1 Y2 Z2 3 -2 -1

X2 Y1 Z1 -2 0 2

X2 Y1 Z2 0 -1 1

X2 Y2 Z1 -1 -2 3

X2 Y2 Z2 2 1 -3

Dari sini ada 3 koalisi yang mungkin, yaitu:

Grup I melawan Grup II

1. A BC

2. B AC

3. C AB

Diselidiki untuk A melawan B, C; dengan matriks pembayarn sebagai berikut:

BC

A

Dalam matriks pembayaran tabel ini tidak mempunyai titik pelana. Diselesaikan

metode grafik. Misalnya x1 = probabilitas pemain A memainkan strategi kesatu.

Pembayaran harapan pemain A yang berkaitan dengan strategi murni pemain (BC)

adalah:

Strategi murni pemain BC Pembayaran harapan pemain A

1

2

3

4

x1 - 2

-3x1

x1-1

x1 + 2

Y1 Z1 Y 1Z2 Y2 Z1 Y2 Z2

X1 X2

-1 -3 0 3 -2 0 -1 2

Didownload dari ririez.blog

Keempat garis lurus tersebut digambarkan sebagai fungsi dari x

ini. Dan kolom ke 3 dan ke 4 pada tabel

didominasi oleh kolom ke 1 atau garis lurus (1). D

bawah ini.

Titik maximin dilalui oleh garis lurus (1) dan (2) maka:

x1 – 2 = -3x1

4x1 = 2 < = > x

Sehingga berarti bahwa x

v* = - 2

3

Sekarang strategi optimum pemain (BC) dengan dualitas. Misalnya Y

pemain (BC) memilih kolom ke j; j = 1, 2, 3, 4.

y1 > 0

21 = x1 -1

21 = x2 -2

ǁ

�3

2

Dual:

-y1 – 3y2 = -3/2

-2y1 = -3/2 < = > y1

< = > y2

g.uns.ac.id

22

Keempat garis lurus tersebut digambarkan sebagai fungsi dari x

olom ke 3 dan ke 4 pada tabel atau persamaan garis lurus (3) dan (4)

didominasi oleh kolom ke 1 atau garis lurus (1). Dapat diperlihatkan pada grafik 1

Grafik 1

Titik maximin dilalui oleh garis lurus (1) dan (2) maka:

< = > x1 = ½ = x1

a berarti bahwa x2 = ½ dan nilai permainan

Sekarang strategi optimum pemain (BC) dengan dualitas. Misalnya Y

pemain (BC) memilih kolom ke j; j = 1, 2, 3, 4.

y2 > 0 y3 > 0 y4 > 0

-3 0 3

0 -1 2

ǁ

�3

2

V

�3

2

v

�3

2

1 = 4

3 = y1

*

= 4

1 = y2

*

Keempat garis lurus tersebut digambarkan sebagai fungsi dari x1 pada grafik dibawah

atau persamaan garis lurus (3) dan (4)

apat diperlihatkan pada grafik 1 di

Sekarang strategi optimum pemain (BC) dengan dualitas. Misalnya Yj = probabilitas

3 =��

�

2 =��

�

v

3

2


Jadi strategi optimum pemain A adalah X

Strategi optimum pemain BC adalah Y

dan v* = -2

3

Diselidiki untuk B melawan AC dengan matriks pembayaran sebagai berikut:

B

Ternyata tidak mempunyai titik pelana dan

misalnya x1 = probabilitas pemain B memilih strategi ke 1. Pembayaran harapan

pemain B yang berkaitan dengan strategi murni pemain (AC) adalah:

Strategi murni pemain

Ketiga garis lurus ini digambarkan sebagai fungsi dari

Ternyata titik maximum dilalui oleh garis lurus (3) dan (4) maka

X1 Z

Y1 Y2

1 2

g.uns.ac.id

23

strategi optimum pemain A adalah X* =

2

1,

2

1

Strategi optimum pemain BC adalah Y* =

0,0,

4

1,

4

3


AC

Ternyata tidak mempunyai titik pelana dan ke 1 dan 2 didominasi oleh kolom ke 3.

= probabilitas pemain B memilih strategi ke 1. Pembayaran harapan


Strategi murni pemain AC Pembayaran harapan pemain

3

4

2x1-2

1 - 2x1

Ketiga garis lurus ini digambarkan sebagai fungsi dari x1 pada grafik 2

Grafik 2


2�� 2 � 1 � 2��

4�� 3 ⇔ �� 3

4� ��

∗

Z1 X 1Z2 X2 Z1 X2 Z2

2 0 -1 -2 -2 1


ke 1 dan 2 didominasi oleh kolom ke 3.

= probabilitas pemain B memilih strategi ke 1. Pembayaran harapan


Pembayaran harapan pemain B

pada grafik 2 di bawah ini.



24

⇔�� = � = ��

∗

dan 2

1* −=v

Strategi optimum bagi pemain AC dengan dualitasnya. Misalnya ��= probabilitas

pemain AC memilih strategi ke j; j = 3,4

y3 y4

x1 = � 0 -1 =− �

�

x2 = � -2 1 =− �

�

ǁ

− 12

ǁ

− 12

Dual

−4� = − 12 ⇔ � = 1

2 = � ∗

−2�� + � = − 12 ⇔ �� = 1

2 = ��∗

Jadi strategi optimum pemain B adalah �∗ = �� , �

�

Strategi optimum pemain AC adalah �∗ = �0,0, �� , �

��

dan 2

1* −=v

3. Untuk C melawan AB dengan matriks pembayaran :

AB

C

Ternyata tidak mempunyai titik pelana dan kolom ke 1 dan 3 didomonasi oleh kolom

ke 2. Misalnya = probabilitas pemain C memilih langkah ke 1. Pembayaran harapan

pemain C yang berkaitan dengan strategi murni AB.

X1,Y1 X1,Y2 X2,Y1 X2,Y2

Z1 Z2

0 -2 2 3 1 -1 1 -3


Strategi murni pemain AB

Kedua garis lurus ini digambarkan sebagai fungsi

Karena titik maximum dilalui oleh dua garis lurus, yaitu (1) dan (4) maka

⇔ ��

��

∗

dan �∗ ��

�

Strategi optimum pemain AB melalui dualitas.

memilih strategi kej;j=2,4

x1 = �

�

x2 = �

�

Dual : �2�� 3� � ��

�

�� 3� � ��

�

�3��

�

g.uns.ac.id

25

Strategi murni pemain AB Pembayaran harapan pemain C

2

4

-x1-1

6x1-3

Kedua garis lurus ini digambarkan sebagai fungsi dari x1 pada grafik

Grafik 3


�� 1 � 6�� 3

�7�� 2 ⇔ �� 2

7� ��

∗

Strategi optimum pemain AB melalui dualitas. Misalnya Yj = probabilitas pemain AB

memilih strategi kej;j=2,4

y2 > 0 y4 > 0

-2 3 =��

�

-1 -3 =��

�

ǁ

�9

7

ǁ

�9

7

⇔ ��

��

∗

⇔ � ��

��

∗

Pembayaran harapan pemain C

da grafik 3 dibawah ini.


Misalnya Yj = probabilitas pemain AB


26

Jadi Strategi optimum pemain C adalah �∗ = �� , �

��

Strategi optimum pemain C adalah �∗ = �0, �� , 0, �

��

dan �∗ = ��

Dengan demikian didapatkan bahwa :

Nilai permainan untuk A yaitu !"# = − �� , !$%# = �

�

Nilai permainan untuk B yaitu !$# = − �� , !"%# = �

�

Nilai permainan untuk C yaitu !%# = − �� , !"$# = �

�

Sekarang timbul permasalahan mengenai bagaimana pembagian (pendistribusian)

pembayaran setiap pemain/anggotanya. Aturan pendistribusian (pembagian)

pembayaran setiap pemain (anggota) dikenal dengan imputasi (imputations)

C. IMPUTASI

Imputasi adalah suatu distribusi (pembagian) yang mungkin dari pembayaran yang

tersedia yang dinyatakan sebagai vektor pembayaran untuk suatu permainan yang

memenuhi kriteria.

1. Jumlah dari pembayaran-pembayaran tiap individu (pemain ) harus sama dengan nol

(karena permainan berjumlah nol). Dalam permainan berjumlah nol dari n oramg yang

bekerja sama (membentuk koalisi) dapat disajikan suatu imputasi sebagai vektor

pembayaran P = [p1, p2, p3, ..., pn] dengan Pi I menyatakan suatu besaran pembayaran

yang diterima oleh pemain ke i ∈ I = {1, 2, ..., n}.

Ini dapat disajikan sebagai 0=∑∈Ii

ip

2. Pembayaran untuk setiap pemain harus lebih besar atau sama dengan pembayaran yang

dapat diperolehnya secara individu. Dapat disajikan sebagai

pi ≥ v ({i}), untuk semua i ∈ I, dengan v ({i}) adalah nilai permainan untuk pemain ke – i.

Contoh 4

Pada contoh 3 didapatkan bahwa

V(A) = -1,5 V(AC) = 1,5

V(B) = -0,5 V(AC) = 0,5

V(C) = - 1.286 V(AB) = 1,286

Sebagai imputansi – imputansi yang berbentuk vector [PA, PB, PC] adalah


27

1,5

[-15, 0,5, 1]

[0,5, -0,25, 0,25]

[0,75, 0,25, -1] dan sebagainya .

Contoh yang bukan imputansi :

[0,2, -0,7, 0,5] karena -0,7 < 0,5

[-2, 1,5, 0,5] karena -2 < 1,5

Dari contoh 4 di atas ternyata bahwa terdapat banyak (bahkan tak berhingga jumlahnya)

imputansi dari permainan n orang itu sehingga yang menjadi masalah adalah untuk

mendapatkan kriteria yang memungkinkan kita untuk menentukan salah satu imputansi

terpilih dari imputansi-imputansi yang lain. Kriteria ini dinamakan criteria dominasi.

Misalnya diberikan dua imputansi yang berbeda P1 dan P2. Imputansi P1 dikatakan

mendominasi imputan P2 untuk suatu koalisi jika pembayaran-pembayaran untuk semua

anggota koalisi itu lebih besar untuk P1 daripada untuk P2 dan jika total pembayaran untuk

koalisi itu adalah cukup besar untuk menyediakan pembayaran secara individu yang diberikan

P1.

Contoh 5

Perhatikan contoh 4.

Misalkan P1= [-1,5 , 0,5 , 1] dan P2= [ 0,5 , -0,25 , -0,25]

Maka P1 mendominasi P2 untuk menjadi koalisi (BC)

Karena [-1,5 , 0,5 , 1] > [ 0,5 , -0,25 , -0,25]

>

>

Tetapi P2 tidak mendominasi P1 untuk koalisi BC karena

[ 0,5 , -0,25 , -0,25] ≯ [-1,5 , 0,5 , 1]

<

<


28

D. DOMINANSI DARI IMPUTASI

Untuk mengetahui apakah suatu imputasi lebih baik dibandingkan imputasi lainnya,

yaitu dengan melihat pada dua imputasi x dan y.

Karena

( ) ∑∑∈∈

==Ni

iNi

i yNvx

jika untuk suatu i berlaku ii yx > maka pasti terdapat j sedemikian sehingga jj xy > .

Sebab suatu imputasi tidak lebih baik dari imputasi yang lain untuk suatu pemain, tetapi

terdapat kemungkinan untuk suatu koalisi istimewa, x lebih baik daripada y untuk setiap

anggota. Jadi bisa dikehendaki suatu koalisi yang kuat untuk mendapatkan imputasi yang

lebih baik.

Berikut ini definisi mengenai dominasi dari imputasi.

Definisi 1. (Parthasarathy dan Raghavan, 1971: 220-221) Misalkan x = ( )nxxx ,,, 21 K

dan y = ( )nyyy ,,, 21 K imputasi untuk permainan kooperatif n-pihak dimana v adalah

fungsi karakteristik, dan S adalah himpunan bagian dari himpunan pemain. Imputasi

( )nxxx ,,, 21 K mendominasi imputasi ( )nyyy ,,, 21 K , yang dinotasikan xf y, pada S jika

memenuhi:

1) S≠ Ø

2) ( )SvxSi

i ≤∑∈

3) ii yx > , Si ∈∀

Dari definisi tersebut dapat dikatakan bahwa xf y jika terdapat suatu himpunan

yang tidak kosong NS ⊆ sedemikian sehingga ( )∑∈

≤Si

i Svx dan ii yx > , Si ∈∀ . Jika x

f y pada S (dinotasikan x Sf y), maka S harus memuat paling sedikit dua dan paling

banyak ( )1−n anggota. Sebab jika { }iS = dan x Sf y maka { }( )ivxy ii ≤< . Kondisi (2)

pada Definisi 1 dilanggar.

Jika NS = dan x Nf y maka ii yx > untuk setiap Ni ∈ sehingga

( )NvyxNi

iNi

i =>∑∑∈∈

Maka x bukan imputasi karena tidak memenuhi kondisi (1) pada Definisi 1.

Jika x Sf y, maka kedua kondisi berikut harus benar yaitu (Winston, 1994: 856):


29

1. Tiap anggota dari S lebih memilih x daripada y

2. Karena ( )SvxSi

i ≤∑∈

, anggota S mendapat perolehan yang diberikan x

Kondisi (1) sesuai dengan kondisi (3) pada Definisi 2, sedangkan kondisi (2)

menghendaki bahwa perolehan yang diberikan x cukup menjamin anggota S.

Definisi 2 (Thomas, 1984: 91) x dikatakan mendominasi y (xf y) jika x mendominasi y

untuk suatu koalisi S.

Jika terdapat dua imputasi dengan perolehan bagi beberapa pihak pada imputasi yang satu

lebih besar daripada perolehan dari imputasi yang lain, maka pihak tersebut cenderung

memilih imputasi yang paling menguntungkan baginya.

Berikut ini akan diberikan contoh mengenai dominasi dari imputasi.

Contoh 5:

Jika x = ( )21

21 ,,0 dan y =( )4

141

21 ,,

Maka x mendominasi y untuk koalisi { }3,2 karena

1 ( )2

121 ,,0 f ( )4

141

21 ,,

> >

Gambar 1. x mendominasi y untuk koalisi {2,3}

Tetapi y tidak mendominasi x untuk koalisi { }3,2 karena

( )41

41

21 ,, f ( )2

121 ,,0

<

<

Gambar 2. y tidak mendominasi x untuk koalisi {2,3}

E. PUSAT IMPUTASI (CORE)

Pusat imputasi merupakan salah satu konsep solusi yang penting untuk permainan

kooperatif n-pihak, dan didefinisikan secara eksplisit oleh Gillies (1959). Konsep solusi

ini didasarkan pada penggunaan ide dominasi dari imputasi.


30

Sebelum membuktikan bagaimana menentukan pusat imputasi dari permainan

kooperatif n-pihak, terlebih dahulu akan diberikan pengertian pusat imputasi. Pusat

imputasi didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3. (Jones, 1980: 200) Himpunan semua imputasi yang tidak terdominasi pada

permainan kooperatif n-pihak disebut pusat imputasi.

Pusat imputasi suatu permainan dengan fungsi karakteristik v dinotasikan dengan

( )vC .

Kerugian yang mungkin timbul dalam mencari solusi permainan kooperatif n-pihak

dengan menggunakan konsep ini adalah pusat imputasi kosong.

Untuk lebih memahami konsep solusi di atas, akan diberikan sebuah contoh sebagai

berikut.

Contoh 6:

Diketahui fungsi karakteristik dari permainan sebagai berikut:

( ) =Øv { }( ) =1v { }( ) =2v { }( ) 03 =v

{ }( ) =2,1v { }( ) =3,1v { }( ) 13,2 =v

{ }( ) 13,2,1 =v

Tentukan pusat imputasi dari permainan tersebut.

Jawab:

Misalkan x = ),,( 321 xxx merupakan pusat imputasi

Perolehan terbesar yang didapat jika semua pemain yaitu pemain 1, 2 dan 3 bekerjasama

dalam satu koalisi adalah 1 yaitu

1321 =++ xxx

Jika pemain 1 dan 2 bekerjasama dalam satu koalisi, maka perolehan yang didapat paling

sedikit sebanyak 1 yaitu

121 ≥+ xx



131 ≥+ xx



132 ≥+ xx


31

Jika 1321 =++ xxx

121 ≥+ xx mengakibatkan 03 ≤x



Kontradiksi dengan pengandaian bahwa 1321 =++ xxx .

Jadi tidak terdapat x = ),,( 321 xxx ( )vC∈ dengan kata lain ( ) =vC Ø.

F. NILAI SHAPLEY (SHAPLEY VALUE)

Terdapat konsep solusi alternatif lain untuk permainan kooperatif n-pihak, yaitu

Nilai Shapley, yang dikemukakan oleh Lloyd Shapley (1953). Konsep ini memberikan

solusi yang lebih adil dibandingkan pusat imputasi. Shapley melihat bahwa tiap pemain

dapat membayangkan harapan perolehannya sebelum permainan dimulai. Menurut

Shapley, ada tiga aksioma yang harus dipenuhi oleh suatu ( )viΦ , dengan ( )viΦ

merupakan harapan perolehan pemain ke-i dalam permainan dengan fungsi karakteristik

v. Ketiga aksioma tersebut adalah:

S1 ( )viΦ haruslah independen dari penomoran pemain. Jika π adalah permutasi

n,,2,1 K dan vπ adalah fungsi karakteristik dari permainan dengan nomor pemain

telah dipermutasi oleh π , maka

( ) ( ) ( )vv ii Φ=Φ ππ (1)

S2 Jumlah seluruh harapan perolehan pemain sama dengan harapan

perolehan maksimum dalam permainan, jadi

( ) ( )∑∈

=ΦNi

i Nvv (2)

S3 Jika u,v adalah fungsi karakteristik dari dua permainan, vu + adalah fungsi

karakteristik dari permainan yang dimainkan bersama-sama, maka Φ memenuhi:

( ) ( ) ( )vuvu iii Φ+Φ=+Φ (3)

Selanjutnya Shapley membuktikan bahwa terdapat satu fungsi yang memenuhi

ketiga aksioma di atas, yang dituangkan dalam teorema berikut.

Teorema 1. (Thomas, 1984: 102) Hanya terdapat satu fungsi yang memenuhi S1, S2 dan

S3 yaitu:

( ) ( ) ( ) ( ) { }( )( )∑∈

−−−=ΦSiS

i iSvSvn

SnSv

:

\!

!#!1# (4)


32

dengan penjumlahan atas semua koalisi S yang memuat pemain i dan #S adalah jumlah

pemain dalam koalisi S.

( )viΦ merupakan nilai Shapley.

Contoh 7:

Diketahui fungsi karakteristik dari permainan sebagai berikut:

( ) =Øv { }( ) =1v { }( ) =2v { }( ) 03 =v

{ }( ) =2,1v { }( ) =3,1v { }( ) 13,2 =v

{ }( ) 13,2,1 =v

Tentukan nilai Shapley dari permainan tersebut.

Jawab:

( ) ( ) ( ) ( )3

111

!3

!0!21

!3

!1!11

!3

!1!10

!3

!2!01 =−+++=Φ

Dengan sifat simetri, 31

321 =Φ=Φ=Φ .

Sehingga x= ( )31

31

31 ,, .

Documents

Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id A. METODE PROGRAM …ririez.blog.uns.ac.id/files/2011/04/teori-permainan-2.pdf · dihadapkan kepada masalah metode simpleks dualitas. Untuk suatu