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UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

UNIVERSIDAD NACIONAL“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y METALURGIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

POTENCIAL ELECTRICO

ASIGNATURA: FISICA III

DOCENTE: Lic. GARCIA PERALTA,

ALUMNOS: SORIANO FIGUEROA, WilderVERDE ALLAUCA, Edwin Luis SALAZAR SANTILLAN, OscarALBORNOZ VILLACORTA, EribetCARBAJAL VERAMENDI, EdilROJAS HUARCA, RogerCHIRINOS OBANDO, Orlando

HUARAZ - JULIO DEL 2015

1FISICA III


POTENCIAL ELÉCTRICO

Repaso de Mecánica

TRABAJO

Al desplazarse una partícula debido a una fuerza aplicada sobre ella, se está realizando un trabajo.

En este caso, el trabajo efectuado por la fuerza sobre la partícula se define como el producto de la magnitud de la fuerza F por la magnitud del desplazamiento (r) o distancia recorrida. En el caso de que el desplazamiento sea en una dimensión (eje x), el trabajo es:

W= F⋅Δx (forma vectorial)

Cuyas unidades son N m

W=Fd cos ϕ (forma escalar)

Donde ϕ

es el ángulo que forma la fuerza con respecto a la dirección de movimiento. Como F y d son magnitudes pero el ángulo puede variar de 00 a 1800, entonces el trabajo

puede ser positivo, negativo o nulo, todo dependerá del ángulo ϕ

.

El campo Eléctrico que rodea a una carga puntual o cualquier material cargado (sea una esfera, cilindro, línea de carga, etcétera) puede describirse en función del campo eléctrico vectorial, pero en algunos casos, es mas conveniente (y mas sencillo) trabajar con cantidades escalares, tal es el caso del:

POTENCIAL ELÉCTRICO (V)

Para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un campo eléctrico, una carga de prueba q0 se desplaza desde el punto A hasta el punto B, manteniéndola en todo momento en equilibrio, es decir, moviéndola con velocidad constante (v = ctte) y consecuentemente sin aceleración (a = 0), conociendo el trabajo (WAB) que tiene que realizar el agente externo para mover la carga q0 en un campo eléctrico, la diferencia o cambio () de potencial entre los puntos A y B se define como:

2FISICA III

WAB

+por lo tantoVB > VA

-por lo tanto VB < VA

0por lo tantoVB = VA

Dirección de movimiento (desde el infinito)

q0+q+ FeléctricaFaplicad

a


ΔV=V B−V A=W A→B

q0

Sus unidades son unidades de trabajo (Joule) por unidad de carga (Coulomb)

JouleCoulomb

= JC

=Volt

Como el trabajo puede ser:

Para definir el potencial eléctrico en un punto B (VB) se toma el potencial en el punto A (VA) a una distancia infinita con respecto a B. En ese punto se considera que el potencial es cero (VA = Vinfinito = 0). Luego entonces:

V=Wq0

Donde W es el trabajo que realiza el agente externo (no la carga fuente)

El potencial cerca de una carga (fuente) aislada positiva es positivo, debido a que el agente externo debe realizar trabajo positivo, lo cual se muestra esquemáticamente en la siguiente figura:

Donde el trabajo realizado por la fuerza aplicada para traer la carga q 0 desde el infinito hasta el punto B es:

W=Fd cos ϕ con = 00 entonces W > 0

3FISICA III

Dirección de movimiento (desde el infinito)

q0+q- FaplicadaFeléctric

a

IIII

AC

DB

+++++++++

a

II

b


El potencial cerca de una carga (fuente) aislada negativa es negativo, debido a que el agente externo debe realizar trabajo negativo, lo cual se muestra esquemáticamente en la siguiente figura:

W=Fd cos ϕ con = 1800 entonces W < 0

Como el potencial se define en función del trabajo realizado y éste a su vez se define como el producto escalar o producto punto entre dos vectores (Fuerza y Desplazamiento) que es un escalar, entonces el potencial eléctrico es un escalar

Al igual que el trabajo que se realiza sobre un cuerpo para moverlo desde un punto A hasta un punto B (en campos conservativos) es independiente de la trayectoria que se sigue, así mismo la diferencia de potencial eléctrico también es independiente de la trayectoria.

Antes de analizar las trayectorias de la figura anterior, se debe comprender que la fuerza aplicada por el agente externo es en todo momento paralela a la fuerza que ejerce la carga o distribución de cargas, en este caso, es antiparalela. En otras palabras, la fuerza aplicada por el agente externo no necesariamente está aplicada en la dirección de movimiento. No se debe confundir con el caso de una fuerza gravitatoria de levantar un cuerpo

Trayectoria I

4FISICA III

Dirección de mov.

Fa Fe


W A→B=F⋅r=|F||r| cos ϕ=Fd cosϕ

Donde

cos ϕ=ad

(donde d es la distancia recorrida o la hipotenusa del triángulo que se forma)

W A→B=Fdad=Fa

Trayectoria II

W A→B=W A→C+W C→B=Fa cosα+Fb cos β

Donde

α=00 y β=900

W A→B=Fa

Trayectoria III

W A→B=W A→D+W D→B=Fb cos δ+Fa cosψ

Donde

δ=900 y ψ=00

W A→B=Fa

5FISICA III

Campo Eléctrico y Superficies Equipotenciales de una carga puntual

Superficies equipotencialesCampo Eléctrico


De lo anterior se concluye lo siguiente:

Como W A→D=0

los potenciales en A y D son los mismos.

Como WC→B=0

los potenciales en C y B son los mismos.

Al lugar geométrico para los cuales el potencial eléctrico no cambia, se le llama:

Superficies equipotenciales

Por ejemplo, para una carga puntual, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas a la carga.

Para una lámina infinita cargada, las superficies equipotenciales son planos paralelos a la lámina

6FISICA III

Superficies equipotenciales y campo eléctrico de una placa cargada

Campo Eléctrico

Superficies equipotenciales

+++++++++

Fe =q0 EFa

dl A

B

+++++++++

---------


El Potencial Eléctrico y el Campo Eléctrico (caso particular)

Una carga de prueba positiva q0 se mueve de A a B en un campo eléctrico uniforme E generado por una distribución de carga. La carga es desplazada debido a la acción que ejerce un agente externo de tal forma que en todo momento el movimiento es uniforme, es decir, v = constante (a = 0)

Para mover la carga se debe aplicar una fuerza Fa de igual magnitud pero en sentido contrario a Fe = q0 E

W A→B=F⋅r=|F||r| cos ϕ=Fd cosϕ

Donde la Fa y la dirección de movimiento forman un ángulo = 00

W A→B=Fd=−q0Ed

Y la diferencia de potencial entre el punto A y el punto B es:

7FISICA III

Trayectoria

dl

Fe

Fa


ΔV=V B−V A=W A→B

q0

=−q0Ed

q0

=−Ed

Relación que expresada de otra forma es:

E=V B−V A

d

Con lo cual se tienen una nueva expresión para las unidades de campo eléctrico en términos de:

voltsm

=NewtonC

El Potencial Eléctrico y el Campo Eléctrico (caso general)

En el caso más general, en el cual el campo eléctrico no es uniforme y en el que el cuerpo de prueba se mueve alo largo de una trayectoria que no es rectilínea, el agente externo debe aplicar una fuerza Fa variable, de tal manera que en cualquier instante anule a Fe

(movimiento con v = constante; a = 0).

De la figura se observa que dl es el vector desplazamiento, el cual es tangente a la trayectoria y forma un ángulo con respecto al campo eléctrico de ese punto.

La fuerza aplicada Fa es antiparalela a la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico, es decir:

Fa = - Fe = - q0 E

8FISICA III


Como se tiene un caso donde tanto F como E son variables, entonces el trabajo es igual a una integral.

W A→B=∫Fa⋅dl

W A→B=∫A

B-Fe⋅dl=−∫A

Bq0E⋅dl=−q0∫A

BE⋅dl

Luego entonces, la diferencia de potencial viene expresada como

V B−V A=W A→B

q0

=−q0∫A

BE⋅dl

q0

V B−V A=−∫A

BE⋅dl

Para el caso anterior donde E es uniforme (E = constante)y la partícula se mueve en dirección contraria al campo eléctrico, se tiene que:

E⋅dl=E dl cos ϕ=−E dl cos 1800=−E dl

Y la diferencia de potencial es:

V B−V A=−∫A

BE⋅dl=−∫A

B−E dl=E∫A

Bdl=Ed

POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL

El campo eléctrico debido a una carga puntual Q+ a una distancia d de la carga es:

E= Q

4 πε0r2r̂

Donde el vector unitario r̂

sale de la carga

V B−V A=−∫A

BE⋅dl=−∫A

B Q

4 πε0 r2r̂⋅dl

9FISICA III


Evaluando el producto punto

r̂⋅dl=|r̂||dl| cos ϕ

Donde es al ángulo que se forma entre el vector que sale de la carga (r̂

) y el vector

desplazamiento que se acerca a la carga (dl

), es decir = 1800, se tiene que:

r̂⋅dl=|r̂||dl| cos1800=(1) dl (−1)=−dl

V B−V A=−∫A

B Q

4 πε0r2

(-dl )=∫A

B Q

4 πε0 r2dl

Pero como dl = -dr

Entonces:

V B−V A=−∫r

rB Q

4 πε0 r2dr=− Q

4 πε0∫r A

rB dr

r 2

Donde los límites de integración son ahora: rA y rB, es decir, los vectores de posición que localizan a los puntos A y B a partir de la carga Q

Resolviendo la integral anterior:

V B−V A=− Q4 πε0

∫rA

rB dr

r2=− Q

4 πε 0 [−1r ]r

A

rB

V B−V A=− Q4 πε0

∫rA

rB dr

r2=− Q

4 πε 0 [−1r ]r

A

rB

= Q4 πε0 [ 1

r ]rA

rB

V B−V A=Q

4πε 0 (1rB

−1rA )

10FISICA III


Si rA→∞

y el potencial en ese punto es (como ya se mencionó anteriormente) VA = 0, entonces:

V B=Q

4 πε0 d

Donde d es la distancia del centro de la carga al punto donde deseamos conocer el potencial

POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UN CONJUNTO DE CARGAS

El potencial que produce un grupo de cargas puntuales q1, q2, q3, q4,…, qi,... qn, en un punto del espacio se calcula como sigue:

a) Calcular el potencial debido a la carga qi como si las otras cargas no estuviesen presentes.

V i=qi

4 πε0r i

b) Como el potencial es una magnitud escalar y no vectorial como el campo eléctrico, estos deberán sumarse algebraicamente (esta es una de las ventajas de trabajar con cantidades escalares)

V P=∑i=1

n

V i=1

4 πε 0∑i=1

n q iri

Donde ri es la distancia de la carga qi al punto P y qi es la carga, la cual puede ser positiva o negativa.

Ejemplo: dos cargas puntuales de q1 = +12 x 10-9 C y q2 = -12 x 10-9 C están separadas 10 cm. Calcule los potenciales en los puntos a, b y c que se muestran en la siguiente figura.

11FISICA III

6 cm4 cm 4 cm

10 cm10 cm

c

b a


El potencial en el punto a es:

V a=1

4 πε0∑i=1

2 q iri

= 14 πε0 (

q1

r a1

+q2

ra 2)

V a=9 x 109 N m2

C2 (12x 10−9C0 . 06m

+(−12x 10−9C )

0. 04m )

V a=−900JC

V a=−900 volts

El potencial en el punto b es:

V b=1

4 πε0∑i=1

2 q iri

= 14 πε0 (

q1

r b1

+q2

rb 2)

V b=9 x 109 N m2

C2 (12 x 10−9C0 . 04m

+(−12 x 10−9C )

0 .14m )V b=1930 volts

El potencial en el punto c es:

12FISICA III


Sin realizar cálculos y analizando la situación, podría decir cual es el potencial en el punto c

Sugerencia: observe que tiene una carga fuente positiva y una carga fuente negativa, ambas de la misma magnitud y que una posible carga de prueba se va a traer desde el infinito, ¿realizaría Usted trabajo para colocar la carga de prueba en el punto c?

Los cálculos son:

V c=1

4 πε0∑i=1

2 qiri

= 14 πε0 (

q1

rc 1

+q2

r c2)

V b=9 x 109 N m2

C2 (12x 10−9C0. 1m

+(−12x 10−9C )

0 .1m )V c=0 volts

¿Cuál es la razón por la cual el potencial en el punto c es nulo?

¿Cuánto será la magnitud del campo eléctrico en ese punto? ¿Será nulo también?¿Qué dirección tendrá?

¿Se realiza trabajo para colocar una carga de prueba en el punto c?

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS CONTINUAS

Supongamos que una distribución de carga finita se encuentra en una región en el espacio como se muestra en la figura. Cada elemento infinitesimal de carga dq contribuye al potencial eléctrico dV en el punto de la siguiente forma:

dV=k dqr

= 14 πε0

dqr

Donde r es la distancia del elemento infinitesimal de carga dq al punto P. El elemento de carga puede ser positivo o negativo. El potencial V en el punto P resultante de la distribución continua de carga se determina mediante la integración de todos los diferenciales dV. De esta forma, se incluyen todas las cargas.

13FISICA III

Pr2

r1

dq1

dq2Q

dq x = dx = L

y +

x +

P

x

+ + + + + + + + + +

r = d - x

d


V=∫ dV=k∫ dqr

= 14πε 0

∫ dqr

Ejemplo: segmento de varilla de longitud L que tiene una densidad lineal de carga

Calcule el potencial eléctrico en puntos que se encuentran a lo largo de la varilla y a una distancia d > L

Como es una distribución lineal de carga:

dq=λ dx

V=∫ dV=k∫ dqr

=k∫x=0

x=L λ dx(d−x )

=kλ∫x=0

x=L dx( d−x )

Para resolver la integral, se hace cambio de variable

u= d-x

du =-dx

14FISICA III

q2q1r

VP q2 en el infinitoq1r


V=k∫x=0

x=L −duu

=−kλ∫x=0

x=L duu

=−kλ [ ln u ]x=0

x=L

V=−kλ [ ln(d−x ) ]x=0x=L

V=−kλ [ ln(d−L)−ln(d−0 )]

V=kλ [ ln (d )−ln(d−x )]

V=kλ ln ( dd−x )

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo necesario para formar este sistema de cargas trayéndolas desde el infinito.

En el caso mas sencillo, supongamos que se tienen dos cargas puntuales separadas por una distancia r.

Supóngase que se lleva a la carga q2 hasta el infinito y se le deja en reposo.

El potencial eléctrico en el sitio original de q2 producido por q1 es:

V P=kq1

r= 1

4 πε0

q1

r

Ahora, si queremos traer a q2 desde el infinito (con v = constante) hasta la distancia original, debemos realizar un trabajo, para lo cual se aplica una fuerza.

15FISICA III

FeFaVPq1

r


El trabajo que realiza el agente externo viene dado por:

ΔV=V P−V∞=W ∞→P

q2

Despejando el trabajo

W∞→P=q2ΔV=q2(V P−V∞ )=q2V P

Donde se hizo uso del hecho de que el potencial en el infinito es cero.

Combinando las ecuaciones de potencial eléctrico

V P=kq1

r= 1

4 πε0

q1

r

y trabajo

W=q2V P

Se tiene que:

W 12=1

4 πε 0

q1q2

r12

Recordando que el trabajo realizado por un agente externo se almacena en forma de energía y, en este caso, se le denomina: energía potencial eléctrica (U).

U12=W 12=1

4 πε0

q1q2

r 12

En el caso mas general, cuando el sistema consta de mas de dos cargas, el procedimiento a seguir es el de calcular por separado la energía potencial para cada pareja de cargas y sumar algebraicamente los resultados.

16FISICA III

31

2

+2q+q

aa

- 4q

a


Ejemplo: Sistema de tres cargas puntuales

Tres cargas puntuales fijas, están dispuestas como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica de dicha configuración?

Considere que:

q = 1 x 10-7C

a = 10 cm

U = U12 + U13 + U23

U= 14 πε0

[ (+q)(−4q )a

+(+q )(+2q )

a+(−4q )(+2q )

a ]

U=−104 πε0

[ q2

a ]U=−9 x10−3 Joule

17FISICA III

Er = │E│cos

E

- rr

l900

Trayectoria

E

dlFe=qE

Fa

V-2 V V-V V V+V V+2V


CALCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO ( E ) A PARTIR DEL POTENCIAL ( V )

Gráficamente es sencillo conocer a E si conocemos la familia de superficies equipotenciales ya que E es perpendicular a ellas.

El equivalente matemático (para conocer E) es de la siguiente forma:

La figura muestra una familia de superficies equipotenciales y el campo eléctrico E en un punto P. El campo eléctrico es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por ese punto.

Supongamos que la carga de prueba q0 se mueve desde P a lo largo de la trayectoria marcada por dl hasta el equipotencial V + V

18FISICA III


El trabajo realizado por el agente que proporciona la fuerza Fa es q0V

W = q0V

El trabajo también se puede calcular mediante:

ΔW=Fa⋅Δl

Donde Fa es la fuerza que debe ejercer el agente externo sobre la carga para contrarrestar a la fuerza eléctrica q0 E

ΔW=−Fe⋅dl=−q0E⋅Δl

El producto punto entre E y l es:

E⋅Δl=|E||Δl|cosφ

Donde el ángulo que forma el campo eléctrico con respecto a la dirección de movimiento es

o

Luego entonces

E⋅Δl=|E||Δl|cos( π−θ)

Además, en la expresión anterior se tiene que cos () = -cos

E⋅Δl=− E Δl cos θ

Sustituyendo en la expresión para el trabajo

ΔW=−q0E⋅Δl=−q0(−EΔl cosθ )

ΔW=q0 E Δl cosθ

19FISICA III


Por otro lado, se tiene que:

ΔW=q0 ΔV

Igualando las dos últimas expresiones para el trabajo

q0 E Δl cosθ=q0 ΔV

o bien

(E cosθ ) Δl =ΔV

Pero (E cos es la componente del campo eléctrico sobre la trayectoria y es contraria a la dirección de movimiento l, es decir

E cos r = -El

Sustituyendo dicha componente

−El Δl=ΔV

Se tiene que la componente del campo sobre la dirección de movimiento es:

El=− ΔVΔl

Y en el límite diferencial

El=−dVdl

Donde el signo negativo indica que E apunta en la dirección en que disminuye el potencial eléctrico V

Ejemplo: campo eléctrico debido a un dipolo

La figura muestra un punto P en el campo de un dipolo que se encuentra en el origen de un sistema xy. Si el punto P se encuentra a una gran distancia del origen. Encuentre el potencial en ese punto (r>>a) y, a partir de éste, el campo eléctrico.

20FISICA III

+q

r

a

P

r2

r1

-q

ar2 – r1


V=∑i=1

2

V i=V 1+V 2=1

4 πε0 ( qr1

+(−q )r2

)

V=q

4πε 0 (1r1

−1r2

)

V= q4πε 0 (

r2−r1

r1r2)

Si r >> 2a

Entonces

r2 – r1 ≈ 2a cos (no son vectores, es como si r1 fuese un hilo que lo movemos hasta colocarlo encima de r2 )

r2 r1≈ r2

y el potencial es:

V=2aqcosθ

4 πε0 r2

= pcosθ

4 πε0r2

Donde

p= 2aq (momento dipolar)

21FISICA III

x +

x

r

P

y

y +


que se representa en la siguiente figura como:

r=( x2+ y2 )1

2

cosθ= y

( x2+ y2 )1

2

El valor Ey se obtiene derivando con respecto a esta variable y considerando a x como constante

V= p4πε 0

y

( x2+ y2 )3

2

E y=−∂ V∂ y

=− p4 πε0

∂∂ y ( y

( x2+ y2)3

2 )Regla para derivar: la de abajo por la derivada de la de arriba, menos la de arriba por la derivada de la de abajo, todo entre la de abajo elevado al cuadrado

E y=− p4 πε0

( x2+ y2 )3

2− y32( x2+ y2)

12 (2 y )

( x2+ y2 )3

E y=− p4 πε0

x2−2 y2

( x2+ y2 )52

22FISICA III


Ex=−∂ V∂ x

=− p4 πε0

∂∂ x ( y

( x2+ y 2)3

2 )Ex=−

py4 πε0

(−32)( x2+ y2 )

−52 (2x )

Ex=3 p

4 πε0

xy

( x2+ y2 )5

2

23FISICA III