Download pdf - PROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEKS - Taufiqur …taufiqurrachman.weblog.esaunggul.ac.id/wp-content/uploads/sites/... · Contoh: S 1 ≥0, merupakan ... Fungsi kendala dengan tanda “=”harus

TIN102 - Pengantar Teknik Industri Materi #8 Ganjil 2014/2015

6623 - Taufiqurrahman 1

PROGRAM LINEAR: METODE SIMPLEX

Latar Belakang

• Sulitnya menggambarkan grafik berdimensi banyak ataukombinasi lebih dari dua variabel.

• Metode grafik tidak mungkin dapat dilakukan untukmenyelesaikan masalah program linear yang melibatkanlebih dari dua variable.

• Dalam keadaan ini (variabel lebih dari dua) dibutuhkanmetode lain yang sering disebut sebagai metodealgoritma simplex.

• Metode ini diperkenalkan oleh George B Dantzig padatahun 1947.

Materi #8 Ganjil 2014/2015 26623 - Taufiqurrahman



Metode Simplex

• Metode simpleks merupakan proseduriterasi yang bergerak bertahap danberulang.

• Jumlah variabel tidak terbatas

• Penyelesaian masalah LP dengan metodesimplex harus menggunakan bentukstandar.


Bentuk Standar

Bentuk standar LP memiliki sifat sbb. :

1. Seluruh fungsi kendala harus berbentukpersamaan ( bertanda = ).

2. Ruas kanan non negatif.

3. Seluruh variabel merupakan variabel nonnegatif.

4. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atauminimasi.




Merubah Ke Bentuk Standar

1. Fungsi Kendala (constraint)

• Kendala bertanda “≤” diubah menjadi persamaan denganmenambah “Variabel Slack” pada ruas kiri fungsi kendala.

Contoh:

S1 ≥ 0, merupakan variabel slack, menyatakan sumber yang

tidak terpakai.

X1 + 6X2 ≤ 10

X1 + 6X2 + S1 = 10

Berubah Menjadi



• Kendala bertanda “≥” diubah menjadi persamaan denganmengurangi suatu “Variable Surplus” pada ruas kiri fungsikendala.

Contoh:

S2 ≥ 0, merupakan variabel surplus.

X1 + 6X2 ≥ 10

X1 + 6X2 − S2 = 10

Berubah Menjadi

• Ruas kanan bertanda negatif diubah menjadi positif denganmengalikan kedua ruas dengan (–1)

• Arah ketidaksamaan dapat berubah jika kedua ruas dikalikan (–1)





2. Variabel

• Jika variable Xj tidak terbatas dalam tanda, dapat dinyatakansebagai dua variable non negatif dengan menggunakan subsitusi.

Xj = Xj‘ − Xj” ; dimana : Xj‘ dan Xj” ≥ 0

• Subsitusi dilakukan pada seluruh fungsi kendala dan fungsi tujuan.

3. Fungsi Tujuan

• Bentuk maksimasi = nilai negatif dari bentuk minimasi.

• Berlaku juga untuk sebaliknya.


Penyelesaian Simpleks

• Metode simpleks: merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yangbergerak dengan mengikuti algoritma tertentu

• Tahapan prosedur:

1. Inisialisasi: mulai dari suatu titik ekstrem (0,0)

Identifikasi ruang solusi dengan cara merubah sebanyak:

(n – m = kolom – baris) variable, sehingga memiliki nilai nol.

Variabel bernilai nol variable non basis,

Variabel bukan bernilai nol variable basis.

2. Iteratif: bergerak menuju titik ekstrem terdekat yang lebih baik, danulangi untuk titik ekstrim lain.

3. Berhenti: jika telah sampai pada titik ekstrim terbaik (titik optimum).




Tabel Simplex

Basic Z X1 X2 X3 … Xn S1 S2 … Sn RHS

Z 1 -C1 -C2 -C3 … -Cn 0 0 … 0

S1 0 a11 a12 a13 … a1n 1 0 … 0 b1

S2 0 a21 a22 a23 … a2n 0 1 … 0 b2

… … … … … … … … … … … …

Sm 0 am1 am2 am3 … amn 0 0 … 1 bn

Main Body Identity


Tabel Simplex

Main Body

• Bidang yang berisi koefisien teknologi & kendala yang ada

Identity

• Bidang yang berisi koefisien-koefisien dari variabel slack atau variabelartificial

Basic

• Kolom yang berisi variabel basis yang diambil dari variabelslack/artificial pada saat iterasi pertama. Variabel-variabel ini secarabertahap akan diganti oleh variabel bukan basis pada iterasiberikutnya




Algoritma Simpleks

1. Ubah fungsi tujuan ke dalam bentuk implisit.

2. Masukkan semua nilai ke dalam tabel simplex.

3. Tentukan kolom kunci (variable keputusan) yang masuk sebagaivariable basis (entering variable).

⤷ Kolom kunci adalah nilai Zj dengan nilai negatif terbesar(untuk maksimasi).

4. Tentukan baris kunci: untuk menentukan variable yang akankeluar dari baris kunci (leaving variable).

⤷ Kriteria: Nilai positif terkecil dari: nilai kanan/nilai padakolomkunci.

⤷ Angka kunci : nilai pada perpotongan baris kunci dankolomkunci


Algoritma Simplex

5. Susun tabel simpleks baru, untuk menentukan solusi yang baru gunakanmetode (Elementary Row Operation, Gauss Jordan Elimination), dengancara:

Ubah nilai pada baris kunci sehingga EV memiliki nilai 0 dan 1 pada barislainnya.

Nilai baris kunci baru = nilai baris kunci yang lama dibagi angka kunci

6. Ubah nilai pada baris selain baris kunci

Nilai baris baru = nilai baris lama dikurangi dengan hasil perkalian angkapada kolom kunci dengan baris kunci yang baru

7. Ulangi langkah diatas sampai tidak terdapat nilai negatif pada baris Z.

⤷ Iterasi berhenti jika tabel sudah optimal, jika:

• semua nilai pada baris Z bernilai positif atau nol (untuk maksimasi)

• bernilai negatif atau nol (untuk minimasi)




Ketentuan Metode Simplex

1. Nilai kanan (NK/RHS) fungsi tujuan harus nol (0).

2. Nilai kanan (NK/RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif,nilai tersebut harus dikalikan (–1).

3. Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” denganmenambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplusdisebut juga variabel dasar.

4. Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan caramengalikan dengan (–1), lalu diubah ke bentuk persamaan denganditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif,dikalikan lagi dengan (–1) dan ditambahartificial variable (M).

5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variable(M).


Contoh #5 – 1

• Fungsi tujuan:

Maksimalkan Z = 3x1 + 5x2

• Fungsi Kendala:

1) 2x1 ≤ 8

2) 3x2 ≤ 15

3) 6x1 + 5x2 ≤ 30




Penyelesaian Simplex (Langkah 1)

1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihatketentuan metode simplex).

• Fungsi tujuan:

Z = 3x1 + 5x2 ⇨ Z − 3x1 − 5x2 = 0

• Fungsi kendala:

1) 2x1 ≤ 8 ⇨ 2x1 + s1 = 8

2) 3x2 ≤ 15 ⇨ 3x2 + s2 = 15

3) 6x1 + 5x2 ≤ 30 ⇨ 6x1 + 5x2 + s3 = 30

Catatan: s1, s2, dan s3 adalah variabel slack.



2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simplex.

Var. Dsr Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index

Z 1 −3 −5 0 0 0 0

s1 0 2 0 1 0 0 8

s2 0 0 3 0 1 0 15

s3 0 6 5 0 0 1 30





Z 1 −3 −5 0 0 0 0

s1 0 2 0 1 0 0 8

s2 0 0 3 0 1 0 15

s3 0 6 5 0 0 1 30


3. Memilih kolom kunci (yaitu kolom yang mempunyai nilaipada baris Z (fungsi tujuan) yang bernilai negatif (−)dengan angka terbesar).

Nilai negatif terbesar


Index terkecil


Z 1 −3 −5 0 0 0 0

s1 0 2 0 1 0 0 8

s2 0 0 3 0 1 0 15

s3 0 6 5 0 0 1 30


4. Memilih baris kunci (yaitu baris yang mempunyai nilaiindex terkecil). Perhitungan index adalah sbb. :

∼

5

6

Angka kunciPada langkah 5, S2 akan berubah menjadi X2

Koefisien angka kolom kunci (KAAK)





Z 1 −3 −5 0 0 0 0

s1 0 2 0 1 0 0 8 ∼

x2 0 0 1 0 1/3 0 5 5

s3 0 6 5 0 0 1 30 6


5. Mengubah nilai-nilai baris kunci (dengan caramembaginya dengan angka kunci).

Angka kunci merupakan nilai yang posisinya berada padaperpotongan antara kolom kunci dengan baris kunci



6. Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris(selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb. :

NBBK = Nilai baris baru kunci

• Baris Z

Baris lama [ −3 −5 0 0 0 0 ]

NBBK −5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]

Baris baru −3 0 0 5/3 0 25





• Baris s1

Baris lama [ 2 0 1 0 0 8 ]

NBBK 0 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]

Baris baru 2 0 1 0 0 8

• Baris s3

Baris lama [ 6 5 0 0 1 30 ]

NBBK 5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ]

Baris baru 6 0 0 −5/3 1 5



Z 1 −3 0 0 5/3 0 25

s1 0 2 0 1 0 0 8

x2 0 0 1 0 1/3 0 5

s3 0 6 0 0 −5/3 1 5


Masukkan nilai baris baru Z, s1, dan s3 ke dalam tabel,sehingga tabel menjadi seperti berikut:





Z 1 −3 0 0 5/3 0 25

s1 0 2 0 1 0 0 8 4

x2 0 0 1 0 1/3 0 5 ∼

s3 0 6 0 0 −5/3 1 5 5/6


7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampaibaris Z tidak ada nilai negatif.

Hasil dari langkah 3 dan langkah 4 :



Z 1 0 0 0 5/6 1/2 27½ Zmax

s1 0 0 0 1 5/9 −1/3 6⅓

x2 0 0 1 0 1/3 0 5

x1 0 1 0 0 −5/18 1/6 5/6


Hasil dari langkah 5 dan langkah 6 :

Karena nilai Z sudah tidak ada yang (−), maka sudah dapatdiperoleh hasil solusi optimum, yaitu:

x1 = 5/6 ; x2 = 5 ; Zmax = 27½




Penyimpangan Bentuk Standar (Kendala =)

• Fungsi kendala dengan tanda (=)

Ditambahkan variabel buatan (M) pada fungsi tujuan

• Contoh :

Fungsi Kendala:

1) 2x1 ≤ 8 2x1 + s1 = 8

2) 3x2 ≤ 15 3x2 + s2 = 15

3) 6x1 + 5x2 = 30 6x1 + 5x2 + s3 = 30

Fungsi Tujuan:

Z = 3x1 + 5x2 Z − 3x1 + 5x2 + Ms3 = 30


Langkah Solusi Kendala (=) .... 1

• Nilai setiap variabel dasar (s3) harus sebesar 0, sehinggafungsi tujuan harus dikurangi dengan M dan dikalikandengan baris batasan yang bersangkutan (kendala 3). Nilaibaris Z sebagai berikut :

Baris Z

[ 1 −3 −5 0 0 M 0 ]

M [ 0 6 5 0 0 1 30 ]

1 (−6M−3) (−5M−5) 0 0 0 (−30M)




Langkah Solusi Kendala (=) .... 2• Iterasi 0:

VD Z x1 x2 s1 s2 s3 NK Index

Z 1 (−6M−3) (−5M−5) 0 0 0 (−30M)

s1 0 2 0 1 0 0 8 4

s2 0 0 3 0 1 0 15 ∼

s3 0 6 5 0 0 1 30 5


Z 1 0 (−5M−5) (3M+3/2) 0 0 (−6M+12)

x1 0 1 0 1/2 0 0 4 ∼

s2 0 0 3 0 1 0 15 5

s3 0 0 5 0 0 1 6 6/5


Langkah Solusi Kendala (=) .... 3• Iterasi 1:


Z 1 0 0 −3/2 0 M+1 18

x1 0 1 0 1/2 0 0 4 8

s2 0 0 0 9/5 1 −3/5 19/3 5/27

x2 0 0 1 −3/5 0 1/5 6/5 −2


Z 1 0 0 0 5/6 M+12 27 1/2 Zmax

x1 0 1 0 0 −5/18 1/6 5/6 x1

s1 0 0 0 1 5/9 −1/3 6 1/3

x2 0 0 1 0 1/3 0 5 x2




Langkah Solusi Kendala (=) .... 4

• Jadi solusi optimum dari permasalah adalah:

x1 = 5/6

x2 = 5

Zmax = 27 1/2


Penyimpangan Bentuk Standar(Fungsi Tujuan Meminimalkan)

• Fungsi tujuan : Minimasi

– Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengancara mengganti tanda positif dan negatif pada fungsi tujuan.

• Contoh :

Fungsi Tujuan:

Minimumkan Z = 3x1 + 5x2

Fungsi Kendala:

1) 2x1 = 8

2) 3x2 ≤ 15

3) 6x1 + 5x2 ≥ 30




Langkah Solusi Fungsi Tujuan Meminimalkan .. 1

• Fungsi tujuan menjadi:

Maksimumkan (−Z) = −3x1 − 5x2 − Ms1 − Ms4menjadi

fungsi implisit −Z + 3x1 + 5x2 + Ms1 + Ms4 = 0

• Fungsi kendala:

1) 2x1 = 8 ⇨ 2x1 + s1 = 8

2) 3x2 ≤ 15 ⇨ 3x2 + s2 = 15

3) 6x1 + 5x2 ≥ 30 ⇨ 6x1 + 5x2 − s3+ s4 = 30

Catatan: s1, s2, dan s4 adalah variabel slack, sedangkan s3

adalah variabel surplus.



• Nilai setiap variabel dasar (s1 dan s4) harus = 0, maka:

Baris Z

[ −1 3 5 M 0 0 M 0 ]

−M [ 0 2 0 1 0 0 0 8 ]

−M [ 0 6 5 0 0 −1 1 30 ]

1 (−8M+3) (−5M+5) 0 0 M 0 (−38M)





• Iterasi 0:

VD Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 NK Index

Z −1 (−8M+3) (−5M+5) 0 0 M 0 (−38M)

s1 0 2 0 1 0 0 0 8 4

s2 0 0 3 0 1 0 0 15 ∼

s3 0 6 5 0 0 −1 1 30 5


Z −1 3 (−5M+5) (4M−3/2) 0 M 0 (−6M−12)

x1 0 1 0 ½ 0 0 0 4 ∼

s2 0 0 3 0 1 0 0 15 5

s3 0 0 5 −3 0 −1 1 6 6/5



• Iterasi 0:


Z −1 0 0 (M+3/2) 0 1 M+1 (−18) Zmin

x1 0 1 0 1/2 0 0 0 4 x1

s2 0 0 1 9/5 1 3/5 −3/5 5 2/5

x2 0 0 1 −3/5 0 −1/5 1/5 6/5 x2

• Karena (–Z) = (−18), maka Z = 18• Penyelesaian telah mencapai solusi optimum: x1 = 4 ; x2 = 6/5 ; Zmin = 18




Tugas

• Buat menjadi 3 kelompok. (Di absen ada 39 org, jadimaksimal tiap kelompok berjumlah 13 org).

• Soal lihat di hybrid learning atau di blog:http://taufiqurrahman.blog.esaunggul.ac.id

• Jawaban dibuat dalam power point dan dikirm ke email:

[email protected]

dan di cc. ke:

[email protected]

• Waktu pengiriman, maksimal 1 hari sebelum pertemuanke-7 (tgl. 26 Maret 2012), pkl. 16.00 wib.


Materi #8 Ganjil 2014/2015 6623 - Taufiqurrahman 36

http://taufiqurrahman.blog.esaunggul.ac.id/











mailto:[email protected]










