Vektorrechnung

Raumgeometrie

Sofja Kowalewskaja (*1850, † 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, †415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, †1799)

Emmy Noether (*1882, †1935) Émilie du Châtelet (*1706, †1749) Cathleen Morawetz (*1923, †2017)

Frauen in der Mathematik: Frauen dürfen erst seit Mitte bis Ende 19. Jahrhundert ein Studium besuchen. Dennoch ist es Frauen seit der Antike immer wieder gelungen wichtige Beiträge zur Forschung zu leisten.

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Vermischte Aufgaben

Aufgabe 28: Ein Punkt bewegt sich gemäss der Vektorgleichung

−

= + 2 13 2

8 3

r t .

Wo befindet sich der Punkt zur Zeit t = 0; 1; 3; 10?

Aufgabe 29: Ein Körper bewegt sich geradlinig, gleichförmig und ist für t = 1 in P1(5|–4|7) und für t = 3 in P3(1|2|4). Ermitteln Sie den konstanten Geschwindigkeitsvektor

v , den Punkt, wo

der Körper zur Zeit t = 0 war, und den Punkt, wo er sich zu einer beliebigen Zeit t befindet. Wann und wo erreicht er die xz-Ebene?

Aufgabe 30: Wir betrachten eine Gerade durch die Punkte E(19|11) und F(7|4).

a) Wie lautet eine Parametergleichung der Geraden durch diese Punkte? Wie lautet die Koordinatengleichung?

b) Liegen die Punkte P(–5|–3) bzw. Q(2|1) auf dieser Geraden?

c) Ermitteln Sie die Koordinaten u bzw. v so, dass die Punkte S(u|74) bzw. T(–17|v) auf der Geraden liegen.

Aufgabe 31: Gegeben ist ein Punkt A(0|3|1) und ein Vektor

−

=24

5

a .

a) Gebe eine Parametergleichung der Geraden an, die durch den Punkt A geht und parallel zum Vektor

a ist.

b) Liegen die Punkte P(–4|11|– 9) und Q(6|– 9|11) auf dieser Geraden?

c) Ermitteln Sie die fehlenden Koordinaten der Punkte R(–6|y|z) und S(x|y|13) so, dass sie auf der Geraden liegen.

d) Berechnen Sie den Abstand ihrer beiden Spurpunkte Sxy und Sxz.

e) Welcher Punkt auf der Geraden hat von A den Abstand ⋅30 5 ?

Aufgabe 32: Schneidet die Gerade g1 die Gerade g2 oder g3. Berechne gegebenfalls den Schnittpunkt.

g1:

−

= + 5 32 1

0 7

r t g2: − −

= + 6 215 4

17 1

r t g3: − −

= + 1 40 2

3 1

r t

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Aufgabe 43: Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene H, die durch den Punkt P(2|1|5) geht

und zur Ebene E: x 4 4 1y 5 2 0z 3 2 3

s t

− − −

= + + parallel ist.

Aufgabe 44: Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, die durch die drei Punkte A(1|–1|2), B(–2|0|3) und C(3|1|–2) geht.

Aufgabe 45: Stelle die Koordinatengleichung der Ebene E auf, die den Punkt P(4|2|1) und die

Gerade g:

−

= +x 2 1y 1 3z 3 1

t enthält.

Aufgabe 46: Die Ebene E verlaufe durch die drei Punkte A(–2|2|4), B(–1 |1|6) und C(1|3|5). Bestimme eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene F, die durch den Punkt P(2|–5|3) geht und die zur Ebene E parallel ist.

Aufgabe 47: Bestimme die Koordinatengleichung derjenigen Ebene E, die

a) durch den Punkt P(2|–3|–1) geht und die zur Geraden g durch die Punkte A(6|4|0) und B(–2|8|8) senkrecht steht.

b) durch die Punkte A(–1|–2|0) und B(1|1|2) geht und zur Ebene F: x + 2y + 2z – 4=0 senkrecht steht?

Aufgabe 48: Wie lautet die Gleichung der xy-, der yz- und der xz-Ebene?

Aufgabe 49: Welche räumlichen Lagen haben die folgenden Ebenen? Gehen die Ebenen durch den Nullpunkt? Sind die Ebenen parallel zu einer Hauptebene oder zu einer Achse des Koordinatensystems? a) E: 2x – 4y + z = 0 b) F: x – z = 0 c) G: y + 2z – 6 = 0 d) H: z + 3 = 0

Durchstosspunkte

Aufgabe 50: Bestimme den Durchstosspunkt der Gerade durch die Ebene E:

a) E: 2x – y+ 3z + 3 = 0 g:

− −

= +3 2

r 4 11 1

t

b) E: 2x – y + 3z + 5 = 0 g: 3 2

r 5 10

––

1

t

= +

c) E: 1 3 5

r 2 7 21 4 3

s t −

= + + g: 6 3

r 4 35 7

t −

= +

Aufgabe 51: Bestimme den Durchstosspunkt der Geraden g durch die Punkte A(–1|0|4) und B(1|2|0) mit der Ebene E mit Gleichung x – y + 2z – 3 = 0.

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Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden

Aufgabe 60: Gegeben sind die Gerade g: 4 3

1 1

2 2

r t æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø

= + ⋅ und der Punkt P(2|–3|4).

Berechne den Abstand von P von g.

Aufgabe 61: Berechnen Sie den Abstand der Punkte P(0|5|6), Q(5|–4|3) und R(–26|7|8) von der Geraden durch die Punkte A(2|0|1) und B(–2|1|2).

Aufgabe 62: Wir betrachten die Gerade g: 4x – 3y – 17 = 0. Berechne den Abstand des Punktes P(9|–2) von der Geraden g.

Aufgabe 63: Berechne die Länge der Höhe ha des Dreiecks A(–37), B(–5–7), C(72).

Aufgabe 64: Ein Schiff startet in (4|2) und fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 10 Knoten in Richtung einer Boje in (7|6). In welchem Punkt kommt das Schiff einem Felsen in (5|5) am nächsten? Wann erreicht es diesen Punkt? Wie weit ist dieser Punkt vom Felsen entfernt? Die Koordinaten sind in Seemeilen (1 Seemeile = 1852 m) und die Geschwindigkeit in Knoten (1 Knoten = 1 Seemeile pro Stunde) angegeben.

Aufgabe 65: Gegeben seien die zwei Geraden h: 1 11 43 3

r t − −

= + ⋅ und g:

102

r t −

= ⋅

Zeige, dass g und h windschief sind. Berechne ihren Abstand.

Aufgabe 66: Welche beiden Geraden stehen zur Geraden g: 3x – 4y – 12 = 0 senkrecht und haben vom Punkt P(10) den Abstand 10?