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Mathematik macht Freu(n)de Vektorrechnung in der ... Mathematik macht Freu(n)de Vektorrechnung in der Ebene c)Sollten sich die Zeitpunkte, an denen die Schiffe den Schnittpunkt erreichen,

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  • Mathematik macht Freu(n)de Vektorrechnung in der Ebene

    KOMPETENZHEFT ZUR VEKTORRECHNUNG IN DER EBENE

    Inhaltsverzeichnis

    1. Aufgabenstellungen 1 2. Vektorrechnung in der Ebene 6 3. Koordinatengeometrie 15 4. Weitere Aufgabenstellungen 20

    1. Aufgabenstellungen

    Aufgabe 1.1. Gegeben sind die Vektoren #»a = ( −32 ) und #»

    b = ( 24 ). Bestimme die folgenden Vektoren rechnerisch und grafisch:

    a) 2 · #»a =

    b) − #»b =

    c) 1 2 ·

    b =

    d) #»a + #»b =

    e) #»a − #»b =

    f) #»b − 2 · #»a =

    Aufgabe 1.2. Gegeben sind die Vektoren ~a = ( −21 ) und~b = ( −3b2 ). Berechne jenen Wert b2, sodass die beiden Vektoren normal zueinander stehen. Für welche Werte ist der eingeschlossene Winkel spitz, für welche stumpf?

    Aufgabe 1.3. Gib alle möglichen Werte x ∈ R an, sodass die Vektoren ( 3−x7 ) und ( 3+x1 ) normal zueinander stehen.

    Datum: 4. April 2018.

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    Aufgabe 1.4. Gegeben sind die Punkte A = (2 | 3), B = (1 | −3), C = (−1 | −1).

    a) Berechne die Vektoren # »

    AB, # »

    BA und # »BC,

    und stelle sie grafisch dar.

    b) Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und C, sowie den Abstand zwischen den Punkten B und C.

    c) Bestimme rechnerisch und grafisch zwei ver- schiedene Normalvektoren zum Ortsvektor # »OA.

    Aufgabe 1.5. Von einem Parallelogramm sind die Punkte A = (2 | 3), B = (−1 | −1) und C = (1 | −4) gegeben.

    – Bestimme die Koordinaten des vierten Eckpunkts D grafisch und rechnerisch.

    – Berechne den Flächeninhalt des Parallelo- gramms.

    Aufgabe 1.6. Die geradlinige Schiffsroute zweier Schiffe ist in Parameterdarstellung gegeben: Die Position des ersten Schiffs zum Zeitpunkt t ≥ 0 (in Sekunden) beträgt

    X = ( 7−10 ) + t · ( 01 ).

    Das zweite Schiff befindet sich zum Zeitpunkt s ≥ 0 (in Sekunden) im Punkt

    X = ( −950 ) + s · ( 1−2 ).

    Für alle Koordinatenangaben gilt: 1 Einheit entspricht 5 m.

    a) Berechne die Geschwindigkeit der beiden Schiffe in m/s. b) Berechne jenen Punkt, in dem sich die beiden Schiffsrouten kreuzen.

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    c) Sollten sich die Zeitpunkte, an denen die Schiffe den Schnittpunkt erreichen, um weniger als 8 Sekunden unterscheiden, kommt es zu einer Kollision. Begründe, ob sich die beiden Schiffe auf Kollisionskurs befinden.

    Aufgabe 1.7. Ein Vogel fliegt vom Punkt A = (−1 | 8) geradlinig zum Punkt B = (7 | 2). Berechne seine Position P , nachdem er 30 % der Flugstrecke zurückgelegt hat.

    Aufgabe 1.8. Es findet ein Fahrradrennen statt.

    Die Rennstrecke führt geradlinig von A über B nach C. C hat die Koordinaten (8 | y0). Die Richtung von B nach C ist durch den Vektor ( 21,5 ) ge- geben. – Berechnen Sie die Länge des Weges von A nach B. – Zeichnen Sie den Punkt C in die nebenstehende Grafik ein. – Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck −

    ( # »

    AB + # »BC ) be-

    rechnet wird.

    Aufgabe 1.9. Ein Segelboot startet im Punkt R und fährt geradlinig zum Punkt C. Dort findet eine Kursänderung statt, um den Punkt D zu erreichen.

    – Lesen Sie die Koordinaten des Vektors #»c ab. – Zeichnen Sie den Punkt D ein, der ausgehend vom Punkt C mit dem Vektor #»d = ( −1−0,5 ) angefahren wird.

    – Berechnen Sie das Skalarprodukt #»c · #»d . – Interpretieren Sie dieses Skalarprodukt geometrisch.

    Aufgabe 1.10. Forme die Gerade X = ( −15 ) + t · ( −23 )

    von der Parameterdarstellung um in

    a) eine allgemeine Geradenform a · x+ b · y = c. b) die Normalform y = k · x+ d.

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    https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=512&file=Fahrradrennen.pdf https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=620&file=Segeln_*.pdf

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    Aufgabe 1.11. Brieftauben werden bei Wettkämpfen an einen Ort gebracht, von dem sie selbstständig wieder zurück nach Hause fliegen. Bei der vorliegenden Aufgabe wird angenommen, dass Brieftauben stets den kürzesten Weg nach Hause suchen.

    Die nachstehende Grafik zeigt einige Städte in Oberösterreich, in denen es Taubenzüchter/innen gibt, in einem Koordinatensystem. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einer Entfernung von 10 Kilometern.

    a) Eine Taube wird in Freistadt losgelassen und fliegt auf direktem Weg nach Steyr. – Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Vektors (Pfeil von Anfangspunkt zu Endpunkt des Fluges), der die Flugstrecke der Taube beschreibt.

    b) Eine Brieftaube fliegt von Ried i. I. in ihre Heimatstadt. Dieser Flug wird durch den Vektor #»v = ( 83 ) beschrieben. – Lesen Sie die Heimatstadt dieser Brieftaube ab. – Berechnen Sie den Betrag des Vektors #»v .

    c) Eine Taube startet in Linz. Sie fliegt eine Strecke von 67,08 km Länge in Richtung des Vek- tors ( −1−2 ). – Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Vektors, den die Taube von Linz bis zu ihrem Ziel entlangfliegt. Geben Sie die Koordinaten dabei in den Längeneinheiten des obigen Koordina- tensystems an.

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    https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=676&file=Brieftauben_*.pdf

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    1.1a)2· #» a=(−64)b)−

    b=(−2 −4)c)1 2·

    b=(12)d)#»a+ #»

    b=(−16)e)#»a− #»

    b=(−5 −2)f) #»

    b−2· #» a=(80)

    1.2RechterWinkel:b2=−6,SpitzerWinkel:b2>−6,StumpferWinkel:b2

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    2. Vektorrechnung in der Ebene

    Die Quadrate, aus denen sich das folgende Raster zusammensetzt, haben Seitenlänge 1:

    1) Berechne die Seitenlängen a, b und c mit dem Satz von Pythagoras. 2) Berechne die Winkel α, β und γ mit dem Cosinussatz.

    Pythagoras

    Um den Weg von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B zu beschreiben, brauchen wir die exakten Koordinaten der Punkte nicht zu kennen. Uns kümmert nur, um wie viel sich die Koordinaten auf dem Weg von A nach B verändern. In obigem Fenster sieht das so aus:

    Bewege dich horizontal1 um +24 Einheiten, und dann vertikal2 um +7 Einheiten.

    Die Anleitung für eine solche Verschiebung fassen wir kurz in einem sogenannten Vektor #»v = ( +24+7 )

    zusammen. Die Zahlen, die den Vektor bilden, heißen die Komponenten des Vektors. Der Vektor beschreibt, wie wir einen beliebigen Anfangspunkt zu einem Endpunkt verschieben. Der Pfeil von Anfangspunkt zum Endpunkt ist eine Darstellung des Vektors.

    1 Himmel und Meer treffen sich am Horizont, besonders in kitschigen Texten. 2 Im Mittelpunkt des Filmklassikers „Vertigo“ von A. Hitchcock steht ein Polizist mit Höhenangst.

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  • Mathematik macht Freu(n)de Vektorrechnung in der Ebene

    Zu jedem Vektor gibt es unendlich viele Pfeile, die ihn darstellen:

    Und zwar genau einen Pfeil für jeden möglichen Anfangspunkt.

    Vektoren sind Zahlenpaare, mit denen wir auf die folgende Art und Weise rechnen.

    Für Vektoren #»v = ( v1v2 ), #»w = ( w1w2 ) und r ∈ R vereinbaren wir folgende Operationen:

    • Addition zweier Vektoren: #»v + #»w = ( v1v2 ) + ( w1w2 ) = ( v1+w1v2+w2 )

    • Vielfaches eines Vektors: r · #»v = r · ( v1v2 ) = ( r·v1r·v2 )

    Vektorrechnen

    Wir können uns das mit Verschiebungspfeilen vorstellen, müssen das aber nicht. Du wirst sehen, dass sich Vektorrechnen in vielen Bereichen aufdrängt, z.B. in der Mechanik oder der Ökonomie.

    Erkläre, warum die Verschiebung durch den Vektor #»v + #»w einem Hin- tereinanderausführen der Verschiebungen durch #»v und #»w entspricht.

    Geometrische Interpretation der Vektoraddition

    Zwei Vektoren #»v und #»w haben die gleiche Richtung, wenn es eine Zahl r 6= 0 gibt, sodass #»v = r · #»w.

    Sie haben sogar die gleiche Orientierung, wenn es eine Zahl r > 0 gibt, sodass #»v = r · #»w.

    In beiden Fällen ist der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors.

    Richtung und Orientierung

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  • Mathematik macht Freu(n)de Vektorrechnung in der Ebene

    Sei #»v = ( v1v2 ) ein Vektor. Beachte, dass

    2 · #»v = #»v + #»v 3 · #»v = #»v + #»v + #»v .

    Siehst du das im Bild? Wie sieht ein Pfeil zu 1 2 ·

    #»v

    aus? Bei r · #»v wird der Vektor #»v um den Faktor r skaliert. Dabei bleibt die Richtung dieselbe. Der Vektor wird gestreckt oder gestaucht.

    Siehst du ein, dass 12 · #»v + 12 ·

    #»v = #»v ?

    Zeichne einen Pfeil für (−1) · #»v . Die Richtung bleibt gleich, aber die Orientierung ändert sich.

    Geometrische Interpretation des Skalierens

    Jeder Vektor #»v = ( v1v2 ) hat einen sogenannten Gegenvektor

    − #»v = ( −v1−v2 ).

    Das ist wie bei der Zahl 42 und ihrer Gegenzahl −42. Das „−“ ist ein Vorzeichen.

    Die Summe von Vektor und Gegenvektor ergibt den Nullvektor: #»v + (− #»v ) = ( v1v2 ) + ( −v1−v2 ) =

    ( v1+(−v1) v2+(−v2)

    ) = ( v1−v1v2−v2 ) = ( 00 ).

    Vektor und Gegenvektor

    Zeichne zum Vektor #»v seinen Gegenvektor − #»v ein.

    Es ist also − #»v = (−1) · #»v , genauso wie −42 = (−1) · 42.

    Geometrische Interpretation des Gegenvektors

    Genau wie bei Zahlen vereinbaren wir #»v − #»w = #»v + (− #»w). Freilich ist das einfach #»v − #»

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