λύσεις Μπάρλα εκδοση 2009

21

Θ Ε Μ Α Τ Α

με λύση

Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι

Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος

Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης

Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

(έκδοση 2004)

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α΄

Αναστασίου Χ. Μπάρλα

© Lntzs 2

μ1α προσφορά του blοg…

lisari.blogspot.com

http://lisari.blogspot.com/

© Lntzs 3

Θέμα 1

Αν μιγαδικός z με 4

11Re

z, τότε:

α. Αν 1)Im( z , να βρείτε το )Re(z .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο.

γ. Να βρείτε τη μεγίστη τιμή του z .

δ. Αν 21, zz με 4

11Re

1Re

21

zz, να βρείτε τη μεγίστη τιμή του μέτρου 21 zz .

Λύση 1ου θέματος

Έστω 0 yixz με Ryx , , τότε 4

11Re

z 04 22 yxx (1)

α. Αν 1)Im( z 1y και 0142 xx 32x 32)Re( z

β. 04 22 yxx 444 22 yxx 222 2)2( yx . Επομένως ο γεωμετρικός τόπος

των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος κέντρου Κ(2,0) και ακτίνας ρ=2 εκτός

του σημείου Ο(0,0).

γ. Αν )(zM η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο και Α(4,0) το αντιδιαμετρικό του Ο(0,0),

τότε (ΟΜ)≤(ΟΑ)=2ρ z ≤4. Άρα η μεγίστη τιμή του z είναι: max z =4.

δ. Επειδή 4

11Re

1Re

21

zz οι εικόνες Μ( 1z ) και Ν( 2z ) ανήκουν στον γεωμ. τόπο, τότε

max 21 zz = max(ΜΝ)=2ρ=4.

Θέμα 2

Έστω ο μιγαδικός z και η συνάρτηση iziz

zzf

,

13

.

α. Να δείξετε ότι 12 izzzf .

β. Αν η εξίσωση ziazf )( με Ra , έχει ρίζα τον 2-3i, να βρείτε τα α και β.

γ. Αν 1z να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού zf στο μιγαδικό επίπεδο δεν είναι

εξωτερικό σημείο του κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα ρ=3 .



izzf

,

3

.

© Lntzs 4

α. Είναι .1)())(( 222

2233

ziziziz

iz

iziziz

iz

izzf

β. ziazf )( ziaizz )(12 012 azz .

Επειδή η μια ρίζα της εξίσωσης είναι ο 1z = 2-3i, τότε η άλλη είναι ο 2z = 2+3i,

οπότε 1z + 2z =-α και 1z 2z =β-1 ή τελικά α=4 και β=14.

γ. Αρκεί να δείξω ότι: αν 1z τότε 3zf .

Είναι: 311111 22 zizzizzf .

Θέμα 3

α. Να προσδιορίσετε το σύνολο C των σημείων Μ του επιπέδου που είναι εικόνες των

μιγαδικών αριθμών yixz με Ryx , και ικανοποιούν την ισότητα 0)( zzazzi

, όπου R

β. Αν

2

3,

2

1A C , να προσδιορίσετε σημείο CB , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του

ΑΒ να διέρχεται από το κέντρο του κύκλου K με εξίσωση 0,31 iz . Για ποια

τιμή του β, ο κύκλος εφάπτεται του C ;


α. yixz με Ryx , και 0)( zzazzi , R ayx 22 , R

Άρα C = RaayxyxM ,22/),( .

β.

2

3,

2

1A C α=2 C = 2C = 1/),( yxyxM .

K : 0,31 iz 0,)31( iz 222 )3()1( yx κύκλος

κέντρου Κ(-1,3) και ακτίνας ρ=β.

Έστω 2, CyxB BB , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του ΑΒ να διέρχεται από το κέντρο του

κύκλου K τότε: 1 BB yx και (ΚΒ)=(ΚΑ) ή 1 BB yx και 2

5)3()1( 22 BB yx

2

5Bx και

2

7By . Άρα .

2

7,

2

5

B

Για να εφάπτεται ο κύκλος της 2C πρέπει: 2,CKd 2

2

11

131

© Lntzs 5

Θέμα 4

α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο C των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που

ικανοποιούν τις σχέσεις : 1 iz και 1)Im( z .

β. Να δείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται στο σύνολο C , τότε η εικόνα του

μιγαδικού

izizw

1

2

1κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα, που βρίσκεται στον άξονα yy' .


Γ

α. 1 iz 1)1( 22 yx , κύκλος κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας ρ=1.

1)Im( z 1y , το άνω ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία Α Κ Β

1y . Συνεπώς οι μιγαδικοί αριθμοί z που ικανοποιούν τις

σχέσεις : 1 iz και 1)Im( z είναι το άνω ημικύκλιο ΑΓΒ.

Ο

β.

izizw

1

2

1 w

izizw

1

2

1 Iw

Έστω yixz με 1)1( 22 yx και 21 y iyiz

izw )1(1

2

1

με 21 y

110 y OKw , που βρίσκεται στον άξονα yy' .

Θέμα 5

Έστω iCz και iz

izw

1.

α. Αν η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι εξωτερικό σημείο του μοναδιαίου κύκλου να

δείξετε ότι 0)Im( z .

β. Αν η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο δεν είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου με

κέντρο Ο και ακτίνα ρ=2, να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του w .

γ. Αν Rw , να βρείτε που βρίσκεται η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο.


Έστω iCz και iz

izw

1, τότε

α. 0)Im(0)(1112

zizzwwww .

Αν η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι εξωτερικό σημείο του μοναδιαίου κύκλου να

δείξετε ότι 0)Im( z .

© Lntzs 6

β. iz

izw

1

iw

wiz

1

9

16)

3

5(:

9

16

3

501

3

5

3

542 22

22

yxCwiwiwwiwwzz

Η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου με κέντρο

Κ(0, 5/3) και ακτίνας ρ=4/3.

γ. Rw 110)1(20)Im(22

zzizwwz .Άρα η εικόνα του z στο

μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο.

Θέμα 6


izzf

,

3

.

α. Να δείξετε ότι 12 izzzf .

β. Αν Rzf , τότε να δείξετε ότι Iz ή 1)Im(2 z .

γ. Να λύσετε την εξίσωση: i

zzf .

δ. Αν οι εικόνες των μιγαδικών z, βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο, να δείξετε ότι οι εικόνες

των μιγαδικών zf στο μιγαδικό επίπεδο δεν είναι εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο

Ο και ακτίνα ρ=3 .



izzf

,

3

.

α. Είναι .1)())(( 222

2233

ziziziz

iz

iziziz

iz

izzf

β. Αν Rzf , τότε 0))((0 izzzzzfzf 0 zz ή izz

Iz ή 1)Im(2 z .

γ. i

zzf izizizz 0)(012 22

δ. Αρκεί να δείξω ότι: αν 1z τότε 3zf .

Είναι: 311111 22 zizzizzf .

Θέμα 7

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις:

© Lntzs 7

1)( zzizz και i

iw

2

21)3( 7 .

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 1C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο.

β. Να βρείτε τη γραμμή 2C στην οποία ανήκουν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο.

γ. Αν 11)( CzM και 22)( CzN , να βρείτε την ελαχίστη και μεγίστη τιμή του μέτρο 21 zz .


α. 1)( zzizz 2)1( 22 yx :1Cz 2)1( 22 yx

β. i

iw

2

21)3( 7

i

iw

2

213

7 13

7w 13 w :2Cw 1)3( 22 yx

γ. Αν ΑΒΓΔ είναι η διακεντρική ευθεία, τότε (ΒΓ) (ΜΝ) (ΑΔ)

Αλλά (ΑΔ)= 1210 , (ΒΓ) 1210 και (ΜΝ) = 21 zz

Οπότε: 1210 21 zz 1210 .

Η ελαχίστη λοιπόν τιμή του 21 zz είναι 1210 και η μεγίστη 1210 .

Θέμα 8

α. Να λύσετε την εξίσωση: 0122 zz , 2,0 .

β. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο.

γ. Αν 1z και 2z , είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το 2,0 ώστε το μέτρο 21 zz

να παίρνει τη μεγίστη τιμή.


α. Η εξίσωση: 0122 zz , 2,0 έχει διακρίνουσα Δ=4συν2θ-1=-4ημ2θ<0

και ρίζες 1z =συνθ+iημθ, 2z =συνθ-iημθ

β. Επειδή 11 z και 12 z συμπεραίνουμε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης βρίσκονται

στον μοναδιαίο κύκλο.

γ. Η μεγίστη τιμή του 21 zz =2 (το μήκος της διαμέτρου) )Im(2 21 zz =2 |ημθ| =1

2

ή

2

3

Θέμα 9

Έστω 0Cz και 2

12

z

zzf

.

© Lntzs 8

α. Να λύσετε την εξίσωση: 21

zf (1)

β. Να δείξετε ότι: Rzf Rz ή 2

)Re( zz .

γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο για τους

οποίους ισχύει Rzf .

δ. Να δείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης (1) δεν είναι σημεία του C .


Για 0z έχουμε,

α. 21

zf izizz 1,11)1( 21

2

β. Rzf 0))(|)(|( 2 zzzzzzfzf 0 zz ή 0)(|| 2 zzz

Rz ή 2

)Re( zz .

γ. Rzf Rz ή 2

)Re( zz

0:)( 1 yCzM ή 4

1

2

1:)( 2

2

2

yxCzM , εκτός του Ο(0,0).

δ. Οι εικόνες των ριζών iziz 1,1 21 της εξίσωσης (1) προφανώς δεν είναι σημεία του

ανωτέρω γεωμ. τόπου.

Θέμα 10

Έστω 1z και 2z οι ρίζες της εξίσωσης Razz ,092 και Rzz 21,

α. Να βρείτε τα 1z , 2z .

β. Αν 21

2

2

1 z

z

z

z , να βρείτε το α.

γ. Για α=0 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο, για

τον οποίον ισχύει 1021 zzzz .


Razz ,092 και Rzz 21,

α. | 1z || 2z |=| 1z 2z |=|9|=9 και | 1z |=| 2z | 321 zz

β. 21

2

2

1 z

z

z

z

02

22

21

21

2

21

21

2

2

2

1

azz

zzzz

zz

zz

© Lntzs 9

γ. 1z =3i και 2z =-3i

οπότε 1021 zzzz 1033 iziz 12516

22

yx

, έλλειψη με εστίες Ε(0,3),

Ε΄(0,-3), μεγάλο ημιάξονα α=5, μικρό ημιάξονα β=4 και εστιακή απόσταση 2γ=6.

Θέμα 11

Έστω 1z και 2z οι ρίζες της εξίσωσης Rzz ,02 και Rzz 21,

α. Να δείξετε ότι α>0.

β. Αν 11 z , τότε: Να βρείτε το α.

1. Να λύσετε την εξίσωση.

2. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο, για τον

οποίον ισχύει: 0|||| 5

2

5

1 zzzz .


α. Rzz 21, Δ<0 4α>1 α>0.

β. Αν 11 z , τότε: | 1z |=| 2z |=1 και | 1z 2z |=| 1z || 2z | |α| =1 α=1

1. 012 zz2

312,1

iz

.

2. 0|||| 5

2

5

1 zzzz |||| 21 zzzz . Ο γεωμετρικός τόπος C των εικόνων του z

στο μιγαδικό επίπεδο, είναι η μεσοκάθετος των εικόνων των ριζών 21, zz δηλαδή ο

άξονας των πραγματικών χ΄χ.

Θέμα 12

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύει: z

iw

α. Αν ισχύει ww 1 (1) να δείξετε ότι: 1 iz

β. Αν ισχύει 2 iw (2) να δείξετε ότι: 21 z .

γ. Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους 1C και 2C των εικόνων Μ των μιγαδικών z, για τους

οποίους ισχύουν οι σχέσεις (1) και (2) αντίστοιχα.

δ. Αν 11)( CzM και 22)( CzN , να βρείτε την ελαχίστη και μεγίστη τιμή του μέτρου 21 zz

.

© Lntzs 10


Για τους μιγαδικούς z και w ισχύει: z

iw

α. ww 1 11

izizz

i

z

iz

β. Αν ισχύει 2 iw

zzzziiz

zii2122 21 zzzz

212)1)(1( zzz .

γ. )(zM 1C : 1)1( 22 yx , κύκλος κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας ρ1=1

)(zM 2C : 2)1( 22 yx , κύκλος κέντρου Λ(-1,0) και ακτίνας ρ2= 2

δ. Επειδή ρ2-ρ1 <(ΚΛ)< ρ1+ ρ2 οι δύο κύκλοι τέμνονται, κατά συνέπεια η ελαχίστη τιμή του

μέτρου 21 zz =(ΜΝ) είναι μηδέν. Εξάλλου αν ΑΚΛΒ είναι η διακεντρική ευθεία αυτών τότε

21 zz =(ΜΝ)≤(ΑΒ)= ρ1+(ΚΛ) + ρ2=1+ 2 + 2 =2 2 +1 και κατά συνέπεια η μεγίστη τιμή

του μέτρου 21 zz =(ΜΝ) είναι 2 2 +1.

Θέμα 13

Έστω ο μιγαδικός z.

α. Να δείξετε ότι: iziz 122)1( .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z , για τον οποίον ισχύει:

iziz 32)1( (1)

γ. Να βρείτε την ελαχίστη και μεγίστη τιμή του μέτρου του z που επαληθεύει την (1).

δ. Αν οι 1z και 2z επαληθεύουν την (1) να βρείτε τη μεγίστη τιμή του μέτρου 21 zz .


α. iziz 122)1( 22

122)1( iziz

)2(2422222 ziizzzzzziizzzzz η οποία προφανώς ισχύει.

β. iziz 32)1( iziz 312 12)2()2( 22 yx κύκλος κέντρου Κ(-2,2)

και ακτίνας ρ= 32 .

γ. Αν Μ είναι η εικόνα του z που επαληθεύει την (1) και ΑΟΚΒ η διακεντρική ευθεία τότε

(ΟΑ)≤(ΟΜ)≤(ΟΒ). Αλλά (ΟΜ)= z (ΟΑ)=(ΚΑ)-(ΟΚ)= 32 - 22 και (ΟΒ)= 32 + 22 , οπότε

© Lntzs 11

32 - 22 ≤ z ≤ 32 + 22 . Η μεγίστη λοιπόν τιμή του μέτρου του z που επαληθεύει την (1)

είναι 32 + 22 και η ελαχίστη 32 - 22 .

δ. Η μεγίστη τιμή του μέτρου 21 zz =2ρ= 34 .

Θέμα 14

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν : 12 iziz και 11

1

w

i.

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 1C των εικόνων στο μιγαδικό επίπεδο του z.

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 2C των σημείων Ν(w) .

γ. Αν τα σημεία Μ1, Μ2 είναι κοινά των 1C , 2C και εικόνες των 1z και 2z , να δείξετε ότι:

42

2

2

1 zz


Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν : 12 iziz και 11

1

w

i.

α. 12 iziz 1)1()12(4)1( 222222 yxyxyx

β. 11

1

w

i wiw )1( 01 yx .

γ. αν τα σημεία (ΟΜ1)2 + (Μ2)2 = 4ρ2 (γιατί η ευθεία 01 yx διέρχεται από το κέντρο

Κ(0,-1) του κύκλου 2C ) 414 22

2

2

1 zz

Θέμα 15

Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν: 4612 ziz (1) και 17222 iwiw (2).

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(z) .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν(w) .

γ. Να βρείτε την ελαχίστη τιμή του μέτρου wz .


α. 4612 ziz 04134 yx , ευθεία ε.

β. 17222 iwiw 25)3( 22 yx , κύκλος κέντρου Κ(0,-3) και ακτίνας ρ=5

γ. min wz = 5510),( Kd . 1)1( 22 yx

© Lntzs 12

Θέμα 16

α. Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων την παράσταση: 162 z .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίον

ισχύει: 16

6

4

1

4

1

2

ziziz (1)

γ. Να βρείτε τον μιγαδικό z που επαληθεύει την (1) και έχει το ελάχιστο μέτρο .

δ. Αν η εικόνα του z ανήκει στον C και για τον μιγαδικό w ισχύει 1ww να βρείτε την

ελαχίστη τιμή του μέτρου wz .


α. 162 z = )4)(4()4( 22 iziziz .

β. 16

6

4

1

4

1

2

ziziz 644 iziz 1

79

22

xy

, με 3y , υπερβολή που τέμνει

τον άξονα των φανταστικών στο Κ(0,3).

γ. Ο μιγαδικός z που επαληθεύει την (1) και έχει το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η

εικόνα είναι το Κ, δηλαδή z =3i.

δ. Ισχύει 1ww 1w

wz ≥| z - w |≥3-1=2

Θέμα 17

Έστω οι μιγαδικοί 1z και 2z , με 221 zz

α. Να δείξετε ότι: 1

1

2

zz .

β. Να δείξετε ότι: 22 21212121 zzzzzzzz

γ. Να δείξετε ότι: 0202 21212121 zzzzzzzz

δ. Αν 22121 zzzz να βρείτε τους 1z και 2z .


α. Να δείξετε ότι: 21 z 22

1 z 1

1

2

zz .

β. Είναι: 221 zz

Το πρώτο μέλος γράφεται:

© Lntzs 13

22 21212121 zzzzzzzz = 2422

2121 zzzz 2112

21

22

zzzzzz

2112 2 zzzz

γ. 022121 zzzz 020202 212121212121 zzzzzzzzzzzz

δ. Αν 22121 zzzz τότε και 22121 zzzz . Λύνοντας το σύστημα των δύο αυτών

εξισώσεων προκύπτει α βρείτε τους 21 iz και 22 iz ή 21 iz και 22 iz .

Θέμα 18

Έστω ο μιγαδικός z με iz 2 και η συνάρτηση iz

zzf

2

4)(

2

.

α. Να βρείτε το )1(Im if .

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z , για τον οποίον ισχύει:

Rzf )(

γ. Να δείξετε ότι: izzf 2)(

δ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του z , για τον οποίον ισχύει:

10)()5( izfizf .


α. Είναι: ii

iif 222

1

4)1()1(

2

. Επομένως 2)1(Im if .

β. Rzf )( Rz 42 Rz 2 0xy 0y ή 0x , οι δύο άξονες εκτός του σημείου

(0,2)

γ. Να δείξετε ότι: iz

izizzf

2

)2)(2()(

izzf 2)( .

δ. 10)()5( izfizf 103)3 iziz 12516

22

yx

, έλλειψη με εστίες Ε΄(ο,-3),

Ε(0,3) μεγάλο ημιάξονα α=5 και μικρό β=4.

Θέμα 19

Έστω 1z και 2z οι ρίζες της εξίσωσης Razz ,,02 με i

z2

1 .

α. Να βρείτε τους α, β και 2z .

β. Να βρείτε το N ώστε izz 1621

© Lntzs 14

γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z , για τον οποίον ισχύει:

162

2

2

1 zzzz (1)

δ. Αν για τον z ισχύει η (1) να βρείτε την μεγίστη και ελαχίστη τιμή του iz 44 .


α. ii

z 22

1 iz 22

4

0

21

21

zz

aazz

β. izz 1621 316))2(2(16)2()2( iiiii n

γ. 162

2

2

1 zzzz 41622 2222 yxiziz , κύκλος κέντρου

Ο(0,0) και ακτίνας ρ=2

δ. |44| iz iz 44 iz 44 |242| iz 44 242

224 iz 44 242 . Επομένως η μεγίστη τιμή του iz 44 είναι 242

και η ελαχίστη 224 .

Θέμα 20

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 1C των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

)Im(1 ziz .

β. Δίνεται η συνάρτηση 1)Im(,12

z

iz

zzf . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 2C των

εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: 1)( zf

γ. Να βρείτε τον μιγαδικό z για τον οποίον ισχύουν: )Im(1 ziz και 11 iz .


α. )Im(1 ziz yxyyx 41)1( 2222

Ο γεωμετρικός τόπος 1C των εικόνων των μιγαδικών z είναι παραβολή με εστία Ε(0,2) και

διευθετούσα 2y .

β. 1)Im(,12

z

iz

zzf .

© Lntzs 15

1)( zf 1 iz 1)1( 22 yx , 2C :κύκλος κέντρου Κ(0,1) και ακτίνας ρ=1

γ. Ο μιγαδικός z για τον οποίον ισχύουν )Im(1 ziz και 11 iz προκύπτει από

την λύση του συστήματος yx 42 και 1)1( 22 yx που είναι 0 yx , δηλ. 0z .

Θέμα 21

Έστω 0Cz και z

izzf

.

α. Αν Rzf )( , να δείξετε ότι Iz

β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 1C των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

2)()( zfzf .

γ. Αν η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στο γεωμετρικό τόπο 1C , να βρείτε την μεγίστη τιμή

του z και την ελαχίστη τιμή του 1)( zf .


Έστω 0Cz και z

izzf

.

α. Αν Rzf )( Izzzz

iz

z

izzfzf

0)()( .

β. 2)()( zfzf 2)1(||2||2 2222

2

yxzizz

iz,

Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος 1C των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει

5)()( zfzf είναι κύκλος με κέντρο Κ(0,-1) και ακτίνα 2 .

γ. Η μεγίστη τιμή του z είναι z max= (ΟΚ)+ρ = 1+ 2 .

z

zfizfzizfzz

izzf

1111

.

Επομένως η ελαχίστη τιμή του μέτρου 1)( zf είναι 123

1

21

111

max

min

zzf .

33

Θ Ε Μ Α Τ Α

με λύση

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος

Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης

Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

(έκδοση 2004)

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α΄

Αναστάσιου Χ. Μπάρλα

http://lisari.blogspot.com

©Lents 2

μ1α προσφορά του blοg…

lisari.blogspot.com

http://lisari.blogspot.com/


©Lents 3

Θέμα 1

Α. Έστω οι συναρτήσεις f ,g : R R . Αν οι f ,g είναι γνησίως αύξουσες, να δείξετε ότι και η

h f g είναι γνησίως αύξουσα.

Β. Έστω η συνάρτηση xf (x) e x 1 .

α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να λύσετε την εξίσωση: x 1e x 0 .

γ. Να λύσετε την ανίσωση: x ln x 1 0 .

Λύση

Α. Έστω οι συναρτήσεις f ,g : R R . Επειδή οι f ,g είναι γνησίως αύξουσες τότε για

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

x , x R με x x f (x ) f (x ) και g(x ) g(x )

f (x ) g(x ) f (x ) g(x )

(f g)(x ) (f g)(x ) h(x ) h(x )

δηλαδή η h f g είναι γνησίως αύξουσα.

Β. Έστω η συνάρτηση xf (x) e x 1 .

α. Θέτω xg(x) e και h(x) x 1 , οπότε f (x) g(x) h(x).

Οι συναρτήσεις g,h είναι γνησίως αύξουσες, οπότε σύμφωνα με το Α ερώτημα και η

συνάρτηση f (x) g(x) h(x) είναι γνησίως αύξουσα.

β. x 1 x 1e x 0 e x 1 1 0 f ( x 1 ) f ( 0 ) και επειδή η f είναι «1-1» έπεται ότι

x 1 0 x 1

γ. x ln x 1 0 .

Θεωρώ τη συνάρτηση (x) g(x) h(x) με x 0 , όπου g(x) ln x και h(x) x . Η συνάρτηση

(x) g(x) h(x) είναι γνησίως αύξουσα σύμφωνα με το Α ερώτημα, οπότε η δοθείσα

ανίσωση γράφεται g(x) h(x) 1 0 (x) (1) x 1

Θέμα 2

Α. Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι γνησίως αύξουσες σε ένα διάστημα Δ, να δείξετε ότι και η

h f g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Β. Έστω η συνάρτηση f (x) x 2 ln(x 1) .


β. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) 0 .

γ. Να λύσετε την ανίσωση: f (x) 0 .

Λύση

Α. Έστω οι συναρτήσεις f ,g : A R . Επειδή οι f ,g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ A ,τότε


©Lents 4

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

x , x Δ με x x f (x ) f (x ) και g(x ) g(x )

f (x ) g(x ) f (x ) g(x )

(f g)(x ) (f g)(x ) h(x ) h(x )

δηλαδή η h f g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ A .

Β. Έστω η συνάρτηση f (x) x 2 ln(x 1) .

α. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (1, ) , ως άθροισμα των συναρτήσεων x 2 και

ln(x 1) που είναι γνησίως αύξουσες στο (1, ) σύμφωνα με το Α ερώτημα.

β. Είναι f (2) 2 2 ln(2 1) 0 , οπότε f ( x ) 0 f ( x ) f ( 2 ) x 2 και επειδή η f

είναι γνησίως αύξουσα στο (1, ) , αυτή είναι μοναδική.

γ. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (1, ) και f (x) 0 f (x) f (2) x 2 και επειδή

x (1, ) x (1, 2)

Θέμα 3

Έστω η συνάρτηση 1

f (x) ln x 1x

.


β. Να λύσετε την εξίσωση: x ln x 1 x .

γ. Να λύσετε την ανίσωση: 2 2

2 2

x 3 x 1ln

2x 2 x 3

.

Λύση

Η συνάρτηση 1

f (x) ln x 1x

ορίζεται για x (0, )

α. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ) , ως άθροισμα των συναρτήσεων g(x) ln x 1 και

1h(x)

x

που είναι γνησίως αύξουσες στο (0, ) , σύμφωνα με το Α ερώτημα του 20υ

θέματος.

β. Είναι f (1) ln1 1 1 0 . οπότε x ln x 1 x f (x) 0 f (x) f (0) x 1 . Η ρίζα

αυτή είναι μοναδική, γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα.

γ. Να λύσετε την ανίσωση: 2 2

2 2

x 3 x 1ln

2x 2 x 3

.

Θέτω 2

2

x 3y

2x 2

με y 0 , οπότε

2 2 2

2 2 2

x 1 2x 2 x 3 11

yx 3 x 3 x 3

και η δοθείσα ανίσωση

γράφεται: 2 2

2 2

x 3 x 1 1 1ln ln y 1 ln y 1 0 f (y) f (1) 0 y 1

y y2x 2 x 3

(λόγω

του ότι f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ) ) 2

2

2

x 30 1 x 1 x 1

2x 2

ή x 1 .


©Lents 5

Θέμα 4

Α. Έστω η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : R R και η συνάρτηση xg(x) f (x) 2e x R

α. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα.

β. Να βρείτε το x ώστε x 1f (x 1) f (0) 2e 2 .

Β. Να λύσετε την εξίσωση: x 11ln 2e 2e

x 1

.

Λύση

Α. Η συνάρτηση f : R R και η συνάρτηση xh(x) 2e x R είναι γνησίως φθίνουσες.

α. Η συνάρτηση xg(x) f (x) h(x) f (x) 2e x R . g είναι γνησίως φθίνουσα ως

άθροισμα δύο συναρτήσεων που είναι γνησίως φθίνουσες.

β. Είναι: x 1 x 1f (x 1) f (0) 2e 2 f (x 1) 2e f (0) 2 g(x 1) g(0) και επειδή ότι

η g είναι γνησίως φθίνουσα προκύπτει ότι x 1 0 x 1 .

Β. Θέτω 1

f (x) ln 2ex

και xg(x) f (x) 2e , x 0 . Η συνάρτηση f είναι γνησίως

φθίνουσα και σύμφωνα με το ερώτημα Αα η g είναι γνησίως φθίνουσα και κατά συνέπεια

είναι «1-1» , επομένως η δοθείσα εξίσωση γράφεται:

x 1 x 1g(x 1) 0 g(x 1) g(1)1 1

ln 2e 2e ln 2e 2e 0x 1 0 x 1x 1 x 1

και επειδή η g

είναι «1-1» προκύπτει x 1 1 x 2

Θέμα 5

Έστω η συνάρτηση xf (x) x e 1 .

Α. α. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία.

β. Να λύσετε την εξίσωση: xe 1 x

Β. Έστω η συνάρτηση g : R R για την οποία ισχύει

g(x)g(x) e 2x 1 για κάθε x R

α. Να δείξετε ότι η g(0) 0 .

β. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα.

γ. Να λύσετε την ανίσωση: g f (x) 0 .

Λύση

Α. α. Η συνάρτηση xf (x) x e 1 , x R είναι γνησίως αύξουσα (Θέμα 1Βα).

β. x xe 1 x x e 1 0 f (x) f (0) x 0 (επειδή η f είναι «1-1» ως γνησίως

αύξουσα).


©Lents 6

Β. Έστω η συνάρτηση g : R R για την οποία ισχύει: g(x)g(x) e 2x 1 για κάθε x R

α. g(0) g(0)g(0) e 0 1 g(0) e 1 0 . Το g(0) είναι ρίζα της εξίσωσης

xx e 1 0 x 0 (Ερώτημα Αβ), δηλαδή g(0) 0 .

β. Η απόδειξη θα γίνει με απαγωγή σε άτοπο.

Έστω ότι η g δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε θα υπάρχουν 1 2x ,x R με 1 2x x ώστε

1 2

1 2

1 2 g(x ) g(x )

1 2g(x ) g(x )

g(x ) g(x )g(x ) e g(x ) e

e e

1 22x 1 2x 1 άτοπο ( η h(x) 2x 1 είναι γνησίως αύξουσα).

Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα.

γ. g f (x) 0 g(f (x)) 0 g(f (x)) g(f (0)) f (x) f (0) x 0 .

γιατί οι f ,g είναι γνησίως αύξουσες και f (0) 0 , g(f (0)) g(0) 0 .

Θέμα 6

Α. Έστω οι συναρτήσεις f ,g : R R . Αν οι g, g f είναι γνησίως αύξουσες, να δείξετε ότι

και η f είναι γνησίως αύξουσα.

Β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και η fC τέμνει τον άξονα x x στο 0x 3

α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f (2x 1) f (x 1) 0 έχει μοναδική λύση.

β. Να λύσετε την ανίσωση: f (2x 1) f (x 1) 0 .

Λύση

Α. Η απόδειξη είναι απλή με απαγωγή σε άτοπο.

Β. Εφόσον η fC τέμνει τον άξονα x x στο 0x 3 , είναι f (3) 0 .

α. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε και οι συναρτήσεις f (2x 1) και f (x 1) είναι

γνησίως αύξουσες (σύνθεση δύο γνησίως αυξουσών συναρτήσεων), ως επίσης και το

άθροισμά τους δηλ. η f (2x 1) f (x 1)

Επομένως η εξίσωση f (2x 1) f (x 1) 0 έχει μοναδική λύση την x 2 δοθέντος ότι f (3) 0

β. Θεωρώ τη συνάρτηση: h ( x ) f ( 2 x 1) f ( x 1) , η οποία είναι γνησίως αύξουσα και

ισχύει h(2) 0 , οπότε: f (2x 1) f (x 1) 0 h(x) h(2) x 2 .

Θέμα 7

Έστω η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει

x

2

2ef (x)

1 f (x)

για κάθε x R .

α. Να δείξετε ότι f (x) 0 για κάθε x R .


©Lents 7

β. Να βρείτε το f (0) .

γ. Να δείξετε ότι και η f είναι γνησίως αύξουσα.

δ. Να λύσετε την ανίσωση: ln f (x) 0 .

Λύση

α. Προφανώς ισχύει f (x) 0 (πράξεις μεταξύ θετικών αριθμών) για κάθε x R .

β. 0

3 2

2

2ef (0) y y 2 0 με y f (0) (y 1)(y y 2) 0 y 1

1 f (0)

.

Επομένως f (0) 1 .

γ. Η απόδειξη θα γίνει με απαγωγή σε άτοπο.

Έστω ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. Τότε θα υπάρχουν 1 2x ,x R με 1 2x x ώστε

1 21 2 x x2 2

1 1 2 22 2

1 2

f (x ) f (x )f (x )(1 f (x )) f (x )(1 f (x )) 2e 2e

1 f (x ) 1 f (x )

άτοπο (η xh(x) 2e

είναι γνησίως αύξουσα).

Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα.

δ. ln f (x) 0 ln f (x) ln1 f (x) 1 f (x) f (0) x 0 .

Θέμα 8

Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f (R) R και η

συνάρτηση 3g(x) f (x) (f f )(x), x R .

α. Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f ,g είναι ‘’ 1-1’’.

β. Να δείξετε ότι: 1 3(g f )(x) x f (x), x R

γ. Αν f (1) 1 να λύσετε την εξίσωση: 3x f (x) 2 .

Λύση

α. Η συνάρτηση f ως γνησίως μονότονη είναι ‘’ 1-1’’.

Θεωρώ τη συνάρτηση 3h(x) x f (x), x R , η οποία είναι γνησίως μονότονη (άθροισμα

γνησίως μονότονων συναρτήσεων) και κατά συνέπεια ‘’ 1-1’’.

Η 3g(x) f (x) (f f )(x) h(f (x)), x R είναι ‘’ 1-1’’ ως σύνθεση δύο συναρτήσεων ‘’ 1-1’’.

β. 1 1 3(g f )(x) h(f (f (x) h(x) x f (x), x R

γ. 1 1

3x f (x) 2 h(x) h(1) x 1


©Lents 8

Θέμα 9

Α. Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις f ,g : R R . Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις

f g, f g είναι γνησίως αύξουσες.

Β. α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση h(x) x ln x 1 ως προς τη μονοτονία.

β. Αν η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως αύξουσα και f (x) 0 x R , να δείξετε ότι

1. Η συνάρτηση t(x) f (x) ln f (x) 1 x R είναι αντιστρέψιμη.

2. Αν η fC τέμνει τον άξονα y y στο 1 να λύσετε την εξίσωση: 1 f (x)f (x) e .

Λύση

Α. Έστω οι συναρτήσεις f ,g : R R . Επειδή οι f ,g είναι γνησίως αύξουσες τότε για

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2

x ,x R με x x f (x ) f (x ) και g(x ) g(x )

f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) (f g)(x ) (f g)(x )

,

δηλαδή η f g είναι γνησίως αύξουσα.

Επίσης επειδή οι f ,g είναι γνησίως αύξουσες τότε για

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x ,x R με x x g(x ) g(x ) f (g(x )) f (g(x )) (f g)x ) (f g)(x ) ,

δηλαδή η f g είναι γνησίως αύξουσα.

Β. α. Η συνάρτηση h(x) x ln x 1 (x 1) ln x, x 0 είναι γνησίως αύξουσα ως

άθροισμα γνησίως αυξουσών συναρτήσεων.

β.1. Θεωρώ τη συνάρτηση h(x) x ln x 1, x 0 , Η συνάρτηση

t(x) f (x) ln f (x) 1 h(f (x)) (h f )(x) x 0 , είναι γνησίως αύξουσα ως σύνθεση

γνησίως αυξουσών συναρτήσεων και κατά συνέπεια ‘’ 1-1’’ με αποτέλεσμα να υπάρχει η

αντίστροφή της, είναι δηλαδή αντιστρέψιμη.

2. Επειδή η fC τέμνει τον άξονα y y στο 1 προκύπτει ότι f (0) 1 t(0) 1 (1)

(1) 1 11 f (x) 1 f (x)f (x) e ln f (x) ln e f (x) ln f (x) 1 0 t(x) t(0) x 0

.

Θέμα 10

Έστω οι συναρτήσεις f (x) 1 ln x και x

x

eg(x)

1 e

α. Να δείξετε ότι η g είναι ‘’ 1-1’’.

β. Να βρείτε την συνάρτηση : 1g .

γ. Να βρείτε την συνάρτηση: 1g f .

δ. Να λύσετε την ανίσωση: 1g (f (x)) 0 .


©Lents 9

Λύση

α. Έστω 1 2x ,x R με 1 2x x τότε

1 2

1 2 1 2

x x

1 2x x x x

1 2

1 1 1 1 1 1e e 1 1 g(x ) g(x )

g(x ) g(x )e e e e

δηλ. η g είναι γνησίως φθίνουσα και κατά συνέπεια ‘’ 1-1’’.

β. x

x x x x

x

e yy y ye e 0 e (y 1) y e 0

1 y1 e

y

x ln με 0 y 11 y

. Άρα 1 xg (x) ln με 0 x 1

1 x

γ. 1 1 1 ln x(g f )(x) g (f (x)) ln , x (1,e)

ln x

.

δ. Για x (1,e) η ανίσωση γράφεται:

1 1 ln x 1 ln x 1g (f (x)) 0 ln 0 1 1 1 ln x 1/ 2 x e

ln x ln x ln x

.

Επομένως: 1 x e

Θέμα 11

Α. Αν οι συναρτήσεις f , g είναι γνησίως φθίνουσες στο Α να δείξετε ότι και η συνάρτηση

f g είναι γνησίως φθίνουσα στο Α.

Β. Έστω η συνάρτηση f (x) 2 ln( x 2 1) .

α. Να δείξετε ότι και η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f .

γ. Να λύσετε την εξίσωση: 1f (x) 2 .

δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της fC και της ευθείας y x

Λύση

Α. Έστω οι συναρτήσεις f ,g : A R . Επειδή οι f ,g είναι γνησίως φθίνουσες στο Α τότε

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2

x ,x R με x x f (x ) f (x ) και g(x ) g(x )

f (x ) g(x ) f (x ) g(x ) (f g)(x ) (f g)(x )

, δηλαδή η f g είναι γνησίως

φθίνουσες στο Α.

Β. Έστω η συνάρτηση f (x) 2 ln( x 2 1) με x A [2, )

α. Έστω 1 2x ,x A με 1 2x x τότε

1 2 1 2x 2 x 2 x 2 1 x 2 1

1 2 1 2ln( x 2 1) ln( x 2 1) 2 ln( x 2 1) 2 ln x 2 1)


©Lents 10

1 2f (x ) f (x ) , δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα.

β. Η f ως γνησίως φθίνουσα είναι ‘’ 1-1’’ και κατά συνέπεια αντιστρέφεται.

f (x) 2 ln( x 2 1) με x A [2, )

Είναι x 2 ... f (x) 2 f (A) ( ,2]

2

2 x 2 yf (x) 2 ln( x 2 1) 2 y ln( x 2 1) x 2 e 1 x e 1 2

Επομένως 2

1 2 yf (x) e 1 2 με x ( ,2] .

γ. 1f (x) 2 2

2 xe 1 2 x 2 .

δ. f (x) x f (x) x 0 . Θεωρώ τη συνάρτηση h(x) (x) x, x 2 . Η συνάρτηση αυτή

είναι γνησίως φθίνουσα ως άθροισμα γνησίως φθινουσών συναρτήσεων και κατά συνέπεια ‘’

1-1’’. Επομένως f (x) x 0 h(x) h(2) x 2 .

Θέμα 12

Έστω η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f (x) f (y) f (x y) x, y R και η

εξίσωση f (x) 0 που έχει μοναδική ρίζα.

α. Να βρείτε το f (0) .

β. Να δείξετε ότι η f είναι ‘’ 1-1’’.

γ. Αν f (x) 0 x 0, , να δείξετε ότι :

1. Να δείξετε ότι η f γνησίως αύξουσα.

2. Να λύσετε την ανίσωση: x xf (e 1) f (3x 1) f (e x) .

Λύση

α. Επειδή ισχύει f (x) f (y) f (x y) x, y R ,

για x y 0 f (0) f (0) f (0) f (0) 0 .

β. Έστω 1 2 1 2 1 2 1 2x ,x R με f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 0 f (x x ) 0 .

Επειδή η εξίσωση f (x) 0 έχει μοναδική ρίζα και f (0) 0 1 2 1 2x x 0 x x ,

δηλαδή η f είναι ‘’ 1-1’’.

γ. f (x) 0 x 0,

1. 1 2 1 2 1 2 1 2x ,x R με x x x x o f (x x ) 0

1 2 1 2f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x ) , δηλαδή η f γνησίως αύξουσα.

2. x xf (e 1) f (3x 1) f (e x) x xf (e 1) f (e x) f (3x 1)

x xf (e 1) f (e x 3x 1) x xf (e 1) f (e 4x 1)


©Lents 11

x xe 1 e 4x 1 x 0

Θέμα 13

Έστω η συνάρτηση f : (0, ) R για την οποία ισχύει x

f (x) f (y) f ( )y

x, y 0 και η

εξίσωση f (x) 0 που έχει μοναδική ρίζα.

α. Να βρείτε το f (1) .

β. Να δείξετε ότι η f είναι ‘’ 1-1’’.

γ. Να λύσετε την εξίσωση: 2f (x 2) f (x) f (5x 6) .

δ. Αν f (x) 0 x 1 , να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Λύση

α. Επειδή ισχύει x

f (x) f (y) f ( )y

x, y 0 ,

για x y 1 f (1) f (1) f (1) f (1) 0 .

β. Έστω 1 2 1 2 1 2 1 2x ,x R με f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 0 f (x x ) 0

1 1

2 2

x xf ( ) 0 f ( ) f (1)

x x .

Επειδή η f (x) 0 έχει μοναδική ρίζα 1

1 2

2

x1 x x

x , δηλαδή η f είναι ‘’ 1-1’’.

γ. 2f (x 2) f (x) f (5x 6) 2f (x 2) f (5x 6) f (x)

2 2 3

x 15x 6 5x 6

f (x 2) f ( ) x 2 x 7x 6 0 x 2x x

x 3

δ. 2 2

1 2 1 2

1 1

x x0 x ,x R με x x 1 f ( ) 0

x x , επειδή f (x) 0 x 1

2 1 2 1f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x ) , δηλαδή η f γνησίως φθίνουσα.

Θέμα 14

Έστω η συνάρτηση *f : R R με f (x) 0 *x R , για την οποία ισχύει

f (x)f (y) f (xy) *x, y R .

Να δείξετε ότι:

α. f (1) 1

β. 1 1

fx f (x)

x 0 .


©Lents 12

γ. Αν η εξίσωση f (x) 1 έχει μοναδική ρίζα το 1, τότε η f είναι ‘’ 1-1’’.

δ. Αν η fC τέμνει την ευθεία y x σε ένα το πολύ σημείο, τότε η συνάρτηση f (x)

g(x)x

είναι αντιστρέψιμη.

Λύση

α. Επειδή ισχύει f (x)f (y) f (xy) *x, y R

για 2 f (1) 0 (απορ.)

x y 1 f (1)f (1) f (1) f (1) f (1)f (1) 1 δεκτη

β. 1 f (1) 1

fx f (x) f (x)

x 0 .

γ. Έστω * 1

1 2 1 2 1

2 2

f (x ) 1x , x R με f (x ) f (x ) 1 f (x ) 1

f (x ) f (x )

1

1

2 2

x1f (x )f ( ) 1 f ( ) 1

x x . Επειδή η εξίσωση f (x) 1 έχει μοναδική ρίζα το 1, τότε

1

1 2

2

x1 x x

x δηλαδή η f είναι ‘’ 1-1’’.

δ. Για την f (x)

g(x)x

με *x R ισχύουν

1) g(x) 0 γιατί f (x) 0 *x R

2) f (xy) f (x)f (y) f (x) f (y)

g(xy) g(x)g(y)xy xy x y

*x, y R

3) Η εξίσωση f (x) x f (x)

1x

g(x) 1 έχει το πολύ μία ρίζα και επειδή g(1) 1 , η

εξίσωση g(x) 1 έχει μοναδική ρίζα το 1.

Για τη συνάρτηση f (x)

g(x)x

ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις που ισχύουν και για την f , η

οποία είναι αντιστρέψιμη, συνεπώς και η g είναι αντιστρέψιμη.

Θέμα 15

Έστω η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f (x)f (y) f (x y) x, y R και

f (0) 0 .

Να δείξετε ότι:

α. f (x) 0 x R .

β. f (x) 0 x R .


©Lents 13

γ. f (0) 1 .

δ. f (x)f ( x) 1 x R .

ε. Αν η εξίσωση f (x) 1 έχει μοναδική ρίζα, τότε η f αντιστρέφεται και ισχύει:

1 1 1f (xy) f (x) f (y) x, y 0 .

Λύση

α. f (0) 0 f (x x) 0 f (x)f ( x) 0 f (x) 0 x R

β.

2x x x x x x

f (x) f ( ) f ( )f ( ) f ( )f ( ) 0 x R2 2 2 2 2 2

.

γ. Για x y 0 είναι

f (0)f (0) f (0 0) 2 2

f (0) f (0) f (0) f (0) 1 0 f (0) 0 (απορ.)

f (0) 1 δεκτη

δ. Για y x είναι

f (x)f ( x) f (0) 1 x R .

ε. Έστω 1

1 2 1 2 1

2 2

f (x ) 1x , x R με f (x ) f (x ) 1 f (x ) 1

f (x ) f (x ) (1)

εξάλλου 2 2 2

2

1f (x )f ( x ) 1 f ( x )

f (x ) (2)

Επομένως(2)

1 2 1 2 1 2(1) f (x )f ( x ) 1 f (x x ) 1 x x 0 (επειδή η εξίσωση f (x) 1 έχει

μοναδική ρίζα και f (0) 1 ), επομένως 1 2x x και η f αντιστρέφεται.

1 1x, y 0, x , y R ώστε:

1

1 1

1

1 1

1

1 11 1 1 1

f (x ) x f (x) x

f (y ) y f (y) y

f (xy) x yf (x y ) f (x )f (y ) xy

1 1 1f (xy) f (x) f (y) , x, y 0

Θέμα 16

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει 2(x 1)f (x) ax βx 2

x R και fA(1,3) C .

α. Να βρείτε τα α, β.

β. Να δείξετε ότι f (x) x 2 , x R

γ. Να βρείτε το 2

x

1lim f (x)ημ

f (x)


©Lents 14

Λύση

α. 2(x 1)f (x) ax βx 2 x R και fA(1,3) C .

Για x 1 a β 2 β 2 a (1)

Για (1)

x 1 (x 1)f (x) (x 1)(ax 2) f (x) ax 2 . (2)

Επειδή f συνεχής (1)

x 1limf (x) f (1) a 2 3 a 1 β 1

.

β. Για (2)

x 1 f (x) ax 2 f (x) x 2 .

Για x 1 f (1) 3 .

Επομένως f (x) x 2 x R .

γ. 2

x u 0 u 0 u 0

1 1 ημu 1 ημulim f (x)ημ lim lim lim 1

f (x) u u u u

Θέμα 17

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει 2f (x) 2xf (x) 1 x R και

f (0) 1 .

α. Να βρείτε τον τύπο της f .

β. Να βρείτε τα όρια: xlim f (x)

και x 0

f (x)lim

ημ x

γ. Να δείξετε ότι υπάρχει 0x 0,1 τέτοιο ώστε 0x 1

0 0x f (x ) e

Λύση

α. Ισχύει 2f (x) 2xf (x) 1 x R 2 2 2f (x) 2xf (x) x x 1

2 2 2(f (x) x) x 1 f (x) x x 1 x R .

β. Είναι: 2x x

1 1lim f (x) lim 0

x x 1

και x 0 x 0

x f (x)f (x)lim lim

ημ xημ x

x

γ. Θεωρώ τη συνάρτηση x 1g(x) xf (x) e , x R .


©Lents 15

Αυτή είναι συνεχής στο [0,1] και 1g(0) g(1) 2e 0 , ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του

θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει 0x 0,1 , τέτοιο ώστε 0x 1

0 0 0g(x ) 0 x f (x ) e

0x 1

0 0x f (x ) e

Θέμα 18

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει 2(x 1)f (x) 2x x a

x 1 .

α. Να δείξετε ότι a 1 .

β. Να βρείτε τον τύπο της f .

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 2f (x) ημx έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0, 1

δ. Να βρείτε το όρι0: νx

f (x)lim

x, *ν N

Λύση

α. Η f είναι συνεχής, επομένως 2

x 1 x 1lim(x 1)f (x) lim(2x x a) 0 2 1 a

a 1

β. Για 22x x 1 (2x 1)(x 1)

x 1 f (x) 2x 1x 1 x 1

.

Επειδή η f είναι συνεχής, για x 1

x 1 f (1) lim(2x 1) 3

.

Επομένως f (x) 2x 1 x R .

γ. 2 2f (x) ημx 2x 1 ημx 0 .

Θεωρώ τη συνάρτηση 2g(x) 2x 1 ημx , x R .

Αυτή είναι συνεχής στο [0,1] και g(0) g(1) 1(1 ημ1) 1 ημ1 0 , ισχύουν δηλαδή οι

προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x 0,1 , τέτοιο

ώστε 0g(x ) 0 , δηλαδή η εξίσωση 2f (x) ημx έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0, 1

δ. νx

f (x)lim

x, *ν N

ι) Αν v 1 τότε νx x x

f (x) 2x 1 1lim lim lim (2 ) 2

x xx

ιι) Αν v 2 τότε

ν v v 1 vx x x

f (x) 2x 1 2 1lim lim lim ( ) 0 0 0

x x x x


©Lents 16

Θέμα 19

Έστω οι συναρτήσεις 1

f (x)x

και xg(x) e .

α. Να βρείτε την συνάρτηση h f g

β. Να δείξετε ότι η h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της.

γ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x 1, 2 τέτοιο ώστε 1

0 0h(x ) h (x ) 0

Λύση

α. x

x

1h(x) (f g)(x) f (e )

e , x R

β. Έστω 1 2

1 2

x x

1 2 1 2 1 2x x

1 1x ,x R με x x e e h(x ) h(x )

e e , δηλαδή η h είναι

γνησίως φθίνουσα επομένως αντιστρέφεται. Θέτω x

1y 0 x ln y

e .

Επομένως 1h (x) ln x x 0.

γ. Θεωρώ τη συνάρτηση 1t(x) h(x) h (x) , x 0 .

Αυτή είναι συνεχής στο [1,2] και 1 ln 2

t(1) t(2) ( ln 2) 0e e

, ισχύουν δηλαδή οι

προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x 1, 2 , τέτοιο

ώστε 1

0 0 0t(x ) 0 h(x ) h (x ) 0 .

Εξάλλου η συνάρτηση 1t(x) h(x) h (x) με x 0 , είναι γνησίως φθίνουσα, ως άθροισμα

γνησίως φθινουσών συναρτήσεων, και κατά συνέπεια το 0x 1, 2 είναι μοναδικό.

Θέμα 20

Έστω η συνάρτηση xf (x) e ln x 3 .


β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της.

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση xe ln x 3 έχει μοναδική ρίζα.

δ. Να βρείτε το όριο: x

1lim f

x

Λύση

α. Η συνάρτηση xf (x) e ln x 3 , x 0 είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα γνησίως

αυξουσών συναρτήσεων (βλέπε θέμα 2Α).


©Lents 17

β. x 0 x

f (A) limf (x), lim f (x) ,

γ. Η εξίσωση xe ln x 3 είναι ισοδύναμη με την f (x) 0 .

Το μηδέν (0) ανήκει στα σύνολο τιμών της συνάρτησης και η f είναι γνησίως αύξουσα στο

πεδίο ορισμού της. Συνεπώς η εξίσωση xe ln x 3 έχει μοναδική ρίζα στο (0, ) .

ει μοναδική ρίζα.

δ. x u 0

1lim f ( ) limf (u) 1 3

x .

Θέμα 21

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : α, β R και οι μιγαδικοί α

1z e if (α) , β

2z f (β) ie .

Αν 1 2Im(z )Re(z ) 0 και 2 2 2

1 2 1 2z z z z να δείξετε ότι:

α. α βe e

0f (α) f (β)

.

β. H fC τέμνει τον άξονα x x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη 0x α, β .

Λύση

α. 1 2Im(z )Re(z ) 0 f (a)f (β) 0

2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2

a β

1 2 1 2

z z z z z z z z (z z )(z z )

z z z z z z z z z z z z

z z z z 0 e f (β) e f (a) 0

α βe e0

f (α) f (β) .

β. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο [a,β] και

a β a β 2 β a 2e f (β) e f (a) 0 e f (a)f (β) e (f (a)) 0 f (a)f (β) e (f (a)) 0 , ισχύουν

δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον

0x α, β , τέτοιο ώστε 0f (x ) 0 , δηλαδή η fC τέμνει τον άξονα x x σε ένα τουλάχιστον

σημείο με τετμημένη 0x α, β .

Θέμα 22

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει:

2 1xf (x) ημχ x ημ

χ για κάθε x 0


©Lents 18


β. Να βρείτε το όριο: xlim f (x)

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα.

Λύση

α. Για 1 ημx

x 0 f (x) xημx x

.

Επιπλέον η f είναι συνεχής, επομένως

x 0 x 0 x 0

1 ημxf (0) limf (x) limxημ lim 0 1 1

x x .

Άρα

1 ημxxημ , x 0

f (x) x x

1 , x 0

β. Έχουμε διαδοχικά,

x x x x

u 0 x

1 ημx 1 ημxlim f (x) lim (xημ ) lim xημ lim

x x x x

ημu ημxlim lim 1 0 1

u x

γ. Επειδή xlim f (x) 1 0 a 0,

, ώστε f (a) 0 .

Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο R και κατά συνέπεια στο [0, a]και

f (0)f (a) 0 , ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει

ένα τουλάχιστον 0x 0, a , τέτοιο ώστε 0f (x ) 0 .

Θέμα 23


2xf (x) 3ημx x για κάθε x R .



.

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση xf (x) e έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα.

Λύση

α. Για 3ημx

x 0 f (x) xx

.

Επιπλέον η f είναι συνεχής, επομένως


©Lents 19

x 0 x 0 x 0

3ημxf (0) limf (x) limx lim 0 3 3

x .

Άρα

3ημxx , x 0

f (x) x

3 , x 0

β. x x x

ημxlim f (x) lim x 3 lim 3

x

γ. Θεωρώ τη συνάρτηση xg(x) f (x) e , x R .

Αυτή είναι συνεχής στο R ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

Επιπλέον 0g(0) f (0) e 3 1 4

x x

x x x xlim g(x) lim (f (x) e ) lim f (x) lim e 0

Επειδή xlim g(x) a 0,

, ώστε g(a) 0 .

Η συνάρτηση g είναι ορισμένη και συνεχής στο R και κατά συνέπεια στο [0, a]και

g(0)g(a) 0 , ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει

ένα τουλάχιστον 0x 0, a , τέτοιο ώστε 0g(x ) 0 , Δηλαδή η εξίσωση xf (x) e έχει μια

τουλάχιστον θετική ρίζα.

Θέμα 24


2 2x f (x) x 1 για κάθε x R .

Α. Να δείξετε ότι η fC έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία y 2x με

τετμημένη 0x 0,1 .

Β. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, ) να δείξετε ότι:

α. Η συνάρτηση x

1 1g(x) 1

f (x) e , x R , είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, ) .

β. Η εξίσωση x xe f (x) e f (x) έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα 0, 2

Γ. Να βρείτε το όριο: 2

x 0

1lim x f ln x

x

.

Λύση

Α. Θεωρώ τη συνάρτηση h(x) f (x) 2x , x R .


©Lents 20

Αυτή είναι συνεχής στο R ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και ισχύει

2 2x 2x h(x) x 2x 1 x R .

Για x 0 είναι: 0 h(0) 1 h(0) 0

Για x 1 είναι: 1 h(1) 0 h(1) 0

Η συνάρτηση h είναι ορισμένη και συνεχής στο R και κατά συνέπεια στο [0, 1] και

h(0)h(1) 0 , ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει

ένα τουλάχιστον 0x 0,1 , τέτοιο ώστε 0h(x ) 0 . Η εξίσωση λοιπόν f (x) 2x έχει μια

τουλάχιστον ρίζα στο 0, 1 δηλαδή η fC έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με την ευθεία

y 2x με τετμημένη 0x 0,1 .

Β. α. Η συνάρτηση x

1 1g(x) 1

f (x) e , x R , είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, ) ως

άθροισμα των συναρτήσεων 1

f (x) και

x

11

e που είναι γνησίως φθίνουσες στο [0, ) .

β. x xe f (x) e f (x) g(x) 0

Η συνάρτηση x

1 1g(x) 1

f (x) e , x R είναι συνεχής στο R και κατά συνέπεια στο [0, 2]

ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και

0 2

1 1 1g(0) 1 1 0

f (0) e 0 1

(ισχύει 2

2

1 1f (x) x 1

f (x) x 1

)

2

2 2 2 2

1 1 1 1 4 3eg(2) 1 1 0

f (2) e 2 e 4e

(ισχύει 2

2

1 1x f (x)

f (x) x )

δηλαδή g(0)g(2) 0 , ισχύουν δηλαδή οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, συνεπώς

υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x 0,1 , τέτοιο ώστε 0g(x ) 0 και επειδή η g είναι γνησίως

φθίνουσα στο [0, ) η ρίζα είναι μοναδική.

Γ. Για x 0 και εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής έχω:

2 2 2 2 2

2 2 x 0

1 1 1 1 1x f (x) x 1 f ( ) 1 1 x f ( ) 1 x lim x f 1

x x xx x

Επομένως 2 2

x 0 x 0 x 0

1 1lim x f ln x lim x f limln x 1

x x

.


©Lents 21

Θέμα 25

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : 0, 1 R . Αν το σημείο

fA 1,1 C τότε:

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση 1 1

g(x) 2f (x) x

, x 0,1 είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της g .

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f (x)

1 2f (x)x

έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα 0, 1 .

Λύση

α. Η συνάρτηση 1 1

g(x) 2f (x) x

, x 0,1 , είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα των

συναρτήσεων 1

f (x) και

12

x που είναι γνησίως αύξουσες στο 0,1 .

β. Το σύνολο τιμών της g είναι: x 0

g (0,1) lim g(x), g(1)

.

Αλλά 1 1 1

g(1) 2 1 2 1 1 2 2f (1) 1 f (1)

και x 0 x 0 x 0

1 1 1lim g(x) lim lim 2 2

f (x) x f (0)

Επομένως το σύνολο τιμών της g είναι: g (0,1) ( , 2)

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f (x)

1 2f (x) g(x) 0x

.

Το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της g , συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x 0,1 ,

δηλαδή στο πεδίο ορισμού της, τέτοιο ώστε 0g(x ) 0 και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα

στο 0,1 η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

Θέμα 26

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R και οι μιγαδικοί xz x if (x) , x R .

Α. Αν xIm(z ) 1 x R να βρείτε τα όρια:

1) x

x 0x

z συνxlim

Re(z )

και 2) x

x

lim( z x)

Β. Αν xz 1 1 , x 0, 2 τότε:

α. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) 0


©Lents 22

β. Να βρείτε την f όταν xIm(z ) 0

Λύση

Α. xIm(z ) 1 x R f (x) 1 για κάθε x R

1)

2 2 2x

x 0 x 0 x 0x

2

2x 0 x 0 x 0

z συνx x f (x) συνx x 1 συνxlim lim lim

Re(z ) x x

x 1 1 1 συνx 1 1lim lim lim( 1 ) 0 0

x x xx

2) 2 2 2

xx x xlim ( z x) lim ( x f (x) x) lim ( x 1 x) 0

Β. Αν xz 1 1 , x 0, 2 τότε:

α. xf (x) 0 z x x 1 1 x 0 x 2

β. 2 2 2 2

xz 1 1 (x 1) f (x) 1 f (x) 1 (x 1) f (x) 2x x , x 0, 2

( ισχύει: xIm(z ) 0 f (x) 0 )

Θέμα 27

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει

2f (x) 2xf (x) 1 για κάθε x R .

Α. Να δείξετε ότι: f (x) x x R .

Β. Αν f (1) 1


β. Να βρείτε το όριο: xlim f (x)ημx

.

Λύση

Α. Έστω ότι 0υπάρχει x R ώστε:

2 2

0 0 0 0 0f (x ) x f (x ) x 0 1 x 0 , άτοπο.

Άρα f (x) x για κάθε x R .

Β. Είναι f (1) 1 . Για κάθε x R ισχύει:

22 2 2f (x) 2xf (x) 1 f (x) x x 1 f (x) x x 1 .

Έστω x 1 x 1

f (x) x 0 f (x) x limf (x) limx f (1) 1

, άτοπο.

Άρα f (x) x 0 και 2 2f (x) x x 1 f (x) x x 1 , x R


©Lents 23

β. 2 2

2

2x x x

(x x 1)(x x 1)lim f (x) lim (x x 1) lim

(x x 1)

2 2 x 0

2x x x

2 2

(x x 1)(x x 1) 1 1 1lim lim lim 0

x1 1(x x 1)x x 1 1 1

x x

Επομένως 2

x xlim f (x)ημx lim (x x 1)ημx 0

.

Θέμα 28

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει

2 2 2f (x) 2f (x)ημx x συν x , για κάθε x R και f (0) 1 .

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) f (x) ημx , x R διατηρεί σταθερό πρόσημο.

β. Να δείξετε ότι 2f (x) x 1 ημx .

γ. Να βρείτε τα όρια: 1) x 0

f (x) 1lim

x

2) xlim f (x)

Λύση

α. Για κάθε x R ισχύει: 2 2 2 2 2f (x) 2f (x)ημx x συν x (f (x) ημx) x 1

2 2f (x) ημx x 1 g(x) x 1 0 g(x) 0 .

Αλλά η συνάρτηση g(x) f (x) ημx είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και

δεν μηδενίζεται, κατά συνέπεια διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επί πλέον

g(0) f (0) ημ0 1 0 1 0. Επομένως g(x) 0 x R .

β. Από το ερώτημα α. ισχύει:

2 2f (x) ημx x 1 0 f (x) ημx x 1 2f (x) x 1 ημx .

γ. 1) Είναι 2 2

x 0 x 0 x 0 x 0

f (x) 1 x 1 1 ημx x 1 1 ημxlim lim lim lim

x x x x

2

2 2x 0 x 0 x 0 x 0

xx ημx ημxlim lim lim lim 0 1 1

x xx x 1 1 x 1 1

2) 2

x xlim f (x) lim ( x 1 ημx)


©Lents 24

Θέμα 29

Δίνεται η συνάρτηση: 2f (x) x 2 συνx .

Α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο π

Δ 0,2

Β. Να βρείτε το f (Δ) και να δείξετε ότι η εξίσωση 2x 2 συνx έχει μοναδική ρίζα στο

διάστημα π

0,2

.

Γ. Να βρείτε τα όρια: 1) x 0

f (x) 3lim

x

και 2)

xlim f (x)

.

Λύση

Α. Η συνάρτηση 2 2f (x) x 2 συνx (x 2) ( συνx) είναι γνησίως αύξουσα στο

πΔ 0,

2

ως άθροισμα αυξουσών συναρτήσεων (βλέπε Θέμα 2ο Α).

Β. Η συνάρτηση 2f (x) x 2 συνx είναι συνεχής στο Δ ως άθροισμα συνεχών

συναρτήσεων, επομένως το σύνολο τιμών της είναι: 2π π 8

f (Δ) f (0), f ( ) 1,2 4

.

Εξάλλου 2 2π π 8 8 π

f (0) f ( ) 1 02 4 4

, πληρούνται δηλαδή οι προϋποθέσεις του

θεωρήματος Bolzano, συνεπώς υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x π

0,2

, τέτοιο ώστε 0f (x ) 0

και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

Γ. Να βρείτε τα όρια: 1) x 0

f (x) 3lim 0

x

και 2)

xlim f (x)

.

Θέμα 30

Α. Να δείξετε ότι: 2 2ημ x 1 x 1 x 1,1 .

Β. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 1, 1 R για την οποία ισχύει:

2 2 2f (x) 1 ημ(x 1) x x 1,1 .

α. Να λύσετε την εξίσωση: f (x) 0 στο 1, 1 .

β. Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 1, 1


©Lents 25

γ. Αν f (0) 1 ημ1 να βρείτε τον τύπο της f .

Λύση

Α. 2 2 2x 1,1 x 1 0 x 1 1 x (1)

Εξάλλου (1)

2 2 2x 1 ημ(x 1) x 1 2 2 2x 1 ημ(x 1) 1 x

2 2ημ x 1 x 1 x 1,1 .

Β. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : 1, 1 R για την οποία ισχύει:

2 2 2f (x) 1 ημ(x 1) x x 1,1 .

α. Για κάθε x 1,1 : ισχύει 2 2 2f (x) 1 ημ(x 1) x

Επομένως με x 1,1 έχουμε: 2 2 2f (x) 0 ημ(x 1) x 1 x 1 0 x 1 .

β. Επειδή οι αριθμοί 1,1 είναι διαδοχικές ρίζες της f , αυτό σημαίνει ότι αυτή διατηρεί

σταθερό πρόσημο στο 1, 1 .

γ. Το μηδέν ανήκει στο πεδίο ορισμού, 1, 1 , της f , με f (0) 1 ημ1 0 και επειδή η f

διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 1, 1 έπεται ότι: f (x) 0 x 1,1 . Επομένως

2 2f (x) ημ(x 1) x 1

Θέμα 31

Έστω η συνάρτηση 3 1

x ημ λx , x 0 1f (x) με λx

π0 x 0

.

α. Να βρείτε την f .


.

γ. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής.

δ. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο 0

1 1x ,

π π

τέτοιο ώστε 0f (x ) 0 .

Λύση

α. Για κάθε x 0 είναι: 2 3 2

2

1 1 1 1 1f x 3x ημ x συν λ 3x ημ xσυν λ

x x x xx

Για κάθε x 0 είναι : 2

x 0

1f 0 lim x ημ λ

x


©Lents 26

Αλλά 2 2 2 2

x 0

1 1 11 ημ 1 x λ x ημ λ x λ κρ. παρεμ lim x ημ λ λ

x x x

.

Επομένως 2 1 1

3x ημ xσυν λ, αν x 0f x x x

λ , αν x 0

β. Είναι : 3

2x x u 0

1 1 ημu λlim f (x) lim x ημ λx lim ( ) 1 0

x u uu

γ. H f είναι συνεχής σε κάθε σημείο x 0 ( f είναι αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών

συναρτήσεων).

Απομένει η εξέταση της συνέχειας στο σημείο x 0 .

Ισχύει:

2 2 2

2

x 0

11 ημ 1

x

1x x ημ x

x

1κρ. παρεμ lim x ημ 0

x

και

x 0

11 συν 1

x

1x xσυν x

x

1κρ. παρεμ lim xσυν 0

x

Επομένως 2

x 0 x 0

1 1limf (x) lim 3x ημ xσυν λ 0 0 λ λ f (0)

x x

.

Η f λοιπόν είναι συνεχής.

δ. Η f ορίζεται και είναι συνεχής στο 1 1

,π π

.

Επί πλέον 2

1 3 1 1f ( ) ημπ συνπ λ λ

π π ππ

και 2

1 3 1 1f ( ) ημ( π) συν( π) λ λ

π π ππ

Οπότε 2

2

1 1 1 1 1f ( )f ( ) λ λ λ 0

π π π π π

που ισχύει, γιατί 2

2

1 1λ λ

π π

Για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρ. Bolzano στο διάστημα 1 1

,π π

και κατά

συνέπεια υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο 0

1 1x ,

π π

τέτοιο ώστε 0f (x ) 0 .

Θέμα 32

Έστω η συνάρτηση 1 2 17f (x) (x ρ )(x ρ ) ...(x ρ ) , η συνάρτηση

1 2 17

1 1 1g(x) ...

x ρ x ρ x ρ

και το σύνολο 1 2 17A ρ , ρ , ...,ρ .


©Lents 27

Να δείξετε ότι x R A ισχύουν:

α. g (x) 0

β. f (x)

g(x)f (x)

γ. 2

f (x)f (x) f (x)

Λύση

α. Είναι: 2 2 2

1 2 17

1 1 1g (x) ... 0

(x ρ ) (x ρ ) (x ρ )

x R A .

β. 2 17 1 3 17 1 2 16f (x) 1 (x ρ ) ...(x ρ ) (x ρ ) 1 (x ρ ) ...(x ρ ) ... (x ρ )(x ρ ) ...(x ρ ) 1

Επομένως: 1 2 17

f (x) 1 1 1... g(x)

f (x) x ρ x ρ x ρ

x R A .

γ.

2

2 2

f (x)f (x) f (x)f (x) f (x)f (x) f (x)f (x)g(x) g (x)

f (x) f (x) f (x)

, x R A

Αλλά 2

g (x) 0 f (x)f (x) f (x) 0

2

f (x)f (x) f (x) x R A

Θέμα 33

Έστω C ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει:

z 5i 6 z 5i

α. Να βρείτε την εξίσωση του C .

β. Να βρείτε τον τύπο της f για την οποία ισχύει fC C .

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC που διέρχεται από το B 1, 0 .

δ. Έστω ένα κινητό Μ κινείται στην fC . Καθώς το Μ περνάει από το σημείο Α, που η

εφαπτομένη σ’ αυτό διέρχεται από το B 1, 0 , η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό

2cm/sec.

Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, την στιγμή που περνάει από το Α.

Λύση

α. 2 22 2z 5i 6 z 5i x y 5 6 x y 5

2 2 2 2 2 2x y 10y 25 36 x y 10y 25 12 x y 10y 25

2 2 2 220y 36 12 x y 10y 25 5y 9 3 x y 10y 25


©Lents 28

Για 9

y5

Η ανωτέρω γράφεται: 2 2 225y 90y 81 9x 9y 90y 225

162 2

2 2 y x16y 9x 144 1

9 16 (Ό ¨κάτω¨ κλάδος της υπερβολής με εστίες Ε(0, 5), Ε(0, -5)

α=4, β=3, γ=5

β. 2 2 y 0

2 2y x 3 31 y x 16 f x x 16, x R

9 16 4 4

γ. Η εξίσωση της εφαπτομένης της fC σε σημείο 0 0A x ,f x αυτής είναι:

0 0 0y f x f x x x . Εξάλλου 2

0 0

3f x x 16

4 και 0

02

0

3xf x

4 x 16

.

Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης στο 0 0A x ,f x γράφεται:

2 0

0 02

0

3x3y x 16 x x

4 4 x 16

Το σημείο B 1, 0 δεν ανήκει στη fC , διέρχεται όμως η όμως η εφαπτομένη, κατά συνέπεια

οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν,

Άρα 2 0

0 0 02

0

3x3x 16 1 x x 16

4 4 x 16

.

Οπότε 2

0

3f x f 16 16 16 3 17

4 , 0

3f x f 16

17

και η εξίσωση της

εφαπτομένης γράφεται: 3

y 3 17 x 16 3x 17y 3 017

δ. Έστω x(t) και y(t) οι συντεταγμένες του Μ. Τότε: 3x t 17y t 3 0 (1)

Παραγωγίζοντας τα μέλη της έχουμε : 3x t 17y t 0 . (2)

Έστω 0t η χρονική στιγμή που το Μ διέρχεται από το Α, τότε 0x t 16 , 0

3y t 17

4

και 0x t 2m / sec .

Για 0t t η (2) γράφεται: 0 0 0

173x t 17y t 0 y t 6 m / sec

17 .

Education

λύσεις Μπάρλα εκδοση 2009