τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light

Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Γ ε ω μ ε τ ρ ι α Α’ Λ υ κ ε ι ο υ

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν


Προτεινω στους φιλους μαθητες να ξεφυλλισουν το βιβλιο αυτο και να εχουν την ευκαιρια να προσπαθησουν πρωτα μονοι τους να λυσουν την ασκηση ( με τη μικρη βοηθεια που τους παρε-χεται στην εκφωνηση ) . Μονο στην αναγκη να γυρισουν σελιδα για να δουν τη λυση .

Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν - Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς Τ ρ ι γ ω ν ο υ 2787 3695 3696 3726 4741 4794 4806 5904 13527

Κ υ κ λ ο ς - Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς3721 3728 3729 3903 4307 4583

Α θ ρ ο ι σ μ α Γ ω ν ι ω ν Τ ρ ι γ ω ν ο υ 2788 2789 3825 4588 4622 5900

Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο3701 3702 3723 3812 3954 4555 4616 4651 4735 4781 4821

Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο 2799 3700 3704 3722 3926 4571 4603 4643 4814 5908

Ρ ο μ β ο ς3715 3813 4652 4798

Τ ε τ ρ α γ ω ν ο3705 3727 3803 3817 3906 4567 4614 6875

Θ ε ω ρ η μ α τ α Μ ε σ ω ν Π λ ε υ ρ ω ν Τ ρ ι γ ω ν ο υ2809 3694 3697 3699 3717 3720 3762 3784 3789 3904 39153932 3938 3945 3948 4579 4593 4640 4649 4783 4810 7433

Θ ε ω ρ η μ α τ α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο υ Τ ρ ι γ ω ν ο υ 2792 2797 3691 3711 3713 3735 3741 3747 3751 3754 37773806 3808 3811 3815 3908 3961 3994 4559 4562 4565 46114635 4762 4786 4791 4795 4797 4799 4801 4802 4803 48084816 4818 6876

B α ρ υ κ ε ν τ ρ ο - Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ο3725 3732 3745 3757 3796 4606 4619 4646 4731 4812 5898

Τ ρ α π ε ζ ι ο2794 2802 2808 3693 3698 3703 3706 3709 3718 3724 37343737 3739 3765 3775 3798 3810 3820 3822 3824 3911 45694599 4626 4630 4645 4648 4650 4653 4655 4737 4765 47674769 4771 4774 4778 4788 4790 4792 4796 4832 5886 59025911

Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς Γ ω ν ι ε ς2806 2810 3714 3759 3767 3781 4756 4804 4822 5910 6879

Ε γ γ ρ α ψ ι μ α Τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ α2796 2804 3731 3771 3787 3793 3800 3919 3966 4753 47574793 5895 6878

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α

Α λ γ ε β ρ α Α’ Λ υ κ ε ι ο υ

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Με πολυ μερακι

Για τους καλους φιλους μου

Τακης Τσακαλακος

Κερκυρα 2014 H δικη μου αποψη για την τραπεζα θεματων


Με πολυ μερακι

Για τους καλους φιλους μου

Τακης Τσακαλακος [email protected]

Κερκυρα 2014 http://drmaths58demo.blogspot.gr

http://drmaths58demo.blogspot.gr/


Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Α λ γ ε β ρ α


2 ο Θ ε μ α


Γ ε ω μ ε τ ρ ι α : 4 ο Θ ε μ α

1 . Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν

Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Ι σ ο τ η τ α Τ ρ ι γ ω ν ω ν - Α ν ι σ ο τ ι κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς

Θ ε μ α 1 ο 2787

Στο τριγωνο ΑΒΓ του παρακατω σχηματος η καθετη Α απο το μεσο Μ της ΒΓ τεμνει την προεκταση της δι- χοτομου ΑΔ στο σημειο Ε . Αν Θ, Ζ ειναι οι προβολες του Ε στις ΑΒ , ΑΓ , να αποδειξετε οτι:

α) Το τριγωνο ΕΒΓ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 5) Ζ β) Τα τριγωνα ΘΒΕ, ΖΓΕ ειναι ισα. Β Δ Μ Γ (Μοναδες 8)

γ) 0ΑΓΕ + ΑΒΕ = 180 . Θ (Μοναδες 12) Ε

5

● Στο ισοσκελες τριγωνο, η διχοτομος στη βαση, ειναι διαμεσος και υψος .

● Τα σημεια της μεσοκαθετου ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ, ισαπεχουν απ’τα ακρα του τμηματος Α, Β .

● Τα σημεια της διχοτομου γωνιας, ισαπεχουν απ’τις πλευρες της γωνιας .

● Δυο ορθογωνια τριγωνα ειναι ισα αν εχουν : ● δυο οποιεσδηποτε πλευρες τους ισες μια προς μια . ● Μια πλευρα ιση και μια οξεια γωνια ιση .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



6

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Το τριγωνο ΕΒΓ ειναι ισοσκελες με βα-

ση την ΒΓ, αφου

η ΕΜ ειναι διαμεσος και υψος στην ΒΓ.

Ακομη ειναι, ΕΒ = ΕΓ (1)

β)

Τα σημεια της διχοτομου γωνιας, ισα-

πεχουν απ’τις πλευρες της γωνιας .

Τα τριγωνα ΘΒΕ και ΕΖΓ ειναι ισα

γιατι :

ειναι ορθογωνια

ΕΒ = ΕΓ (λογω της (1))

ΕΘ = ΕΖ

(Ε σημειο της διχοτομου ΑΕ)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΘΒΕ = ΑΓΕ (2)

γ)

Ειναι

(2)

0 0ΘΒΕ + ΑΒΕ = 180 ΑΓΕ + ΑΒΕ = 180

Α π α ν τ η σ η 2787

Α

Ζ

Β Γ

Θ

Ε


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 ο 3695

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και τα υψη του ΒΕ και ΓΔ που αντιστοιχουν στις πλευρες ΑΓ και ΑΒ αντι-στοιχα. Δινεται η ακολουθη προταση: Π: Αν το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με AB = ΑΓ , τοτε τα υψη ΒΕ και ΓΔ που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες του ειναι ισα. α) Να εξετασετε αν ισχυει η προταση Π αιτιολογωντας την απαντηση σας.

(Μοναδες 10)β) Να διατυπωσετε την αντιστροφη προταση της Π και να αποδειξετε οτι ισχυει.

(Μοναδες 10)γ) Να διατυπωσετε την προταση Π και την αντιστροφη της ως ενιαια προταση.

(Μοναδες 5)

7


. . . χ ρ η σ ι μ ο


P(A B)


8

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΒΔΓ και ΒΕΓ ειναι ισα γιατι :


ΜΒ = κοινη

Β = Γ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα

και ΒΕ = ΓΔ .

β)

Αν τα υψη ΒΕ και ΓΔ τριγωνου ΑΒΓ με βα- ση Β Γ , ειναι ισα μεταξυ τους τοτε το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες .



ΒΓ = κοινη

ΜΕ = ΓΔ (Μ υποθεση)


και Β = Γ, που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ι

σοσκελες .

γ)

Ενα τριγωνο ειναι ισοσκελες αν και μονο αν τα υψη που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες του ειναι ισα.


Α

Δ Ε

Β Γ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 ο 3696

Δινεται οξεια γωνια xOy και δυο ομοκεντροι κυκλοι

1 2(Ο, ρ ) και (Ο, ρ ) με 1 2ρ < ρ , που τεμνουν την

Οx στα σημεια Κ, Α και την Οy στα Λ, Β αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι:

α) AΛ = BK Ο (Μοναδες 8) β) Το τριγωνο ΑΡΒ ειναι ισοσκελες, οπου Ρ το Κ Λ

σημειο τομης των ΑΛ, ΒΚ. Α Ρ Β (Μοναδες 8)

γ) Η ΟΡ διχοτομει τη γωνια xOy . x y

(Μοναδες 9)

9

● Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα . ( Π – Γ – Π ) ● Αν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα και τις προσκειμενες σε αυτη γωνιες ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. ( Γ – Π – Γ ) ● Αν δυο τριγωνα εχουν τις πλευρες τους ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα. ( Π – Π – Π )

● Οι γωνιες της βασης ισοσκελους τριγωνου, ειναι ισες .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



10

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

2

1

Τα τριγωνα ΑΟΛ και ΚΟΒ ειναι ισα γιατι :

Ο = κοινη

ΟΑ = ΟΒ = ρ (Π - Γ - Π)

ΟΛ = ΟΚ = ρ


και ΑΛ = ΚΒ (1)

β)

2

Τα τριγωνα ΑΚΒ και ΑΛΒ ειναι ισα γιατι :

ΑΒ = κοινη

ΑΚ = ΚΒ (λογω της (1))

ΟΑΒ = ΟΒΑ

(ΟΑΒ ισοσκελες τριγωνο, ΟΑ = ΟΒ = ρ )

(Π - Γ - Π)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και

ΡΑΒ = ΡΒΑ που σημαινει οτι το τριγωνο

ΑΡΒ ειναι ισοσκελες .

γ)

2

1 2

Τα τριγωνα ΟΡΑ και ΟΡΒ ειναι ισα γιατι :

ΑΡ = κοινη

ΟΑ = ΟΒ = ρ (Π - Γ - Π)

ΡΑ = ΡΒ (ΑΡΒ ισοσκελες τριγωνο)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Ο = Ο που σημαινει οτι η

ΟΡ διχοτομει

τη γωνια xΟy .


O

A B

x y

K Λ

Ρ

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 4 ο 3726

Θεωρουμε δυο σημεια Α και Β τα οποια βρισκονται στο ιδιο μερος ως προς μια ευθεια ε, τε-τοια ωστε η ευθεια ΑΒ δεν ειναι καθετη στην ε. Εστω A το συμμετρικο του Α ως προς την ευθεια ε. α) Αν η BA’ τεμνει την ευθεια ε στο σημειο Ο, να αποδειξετε οτι:

i) Η ευθεια ε διχοτομει τη γωνια ΑOΑ' . (Μοναδες 6)

ii) Οι ημιευθειες ΟΑ και ΟΒ σχηματιζουν ισες οξειες γωνιες με την ευθεια ε.

(Μοναδες 6)

β) Αν Κ ειναι ενα αλλο σημειο πανω στην ευθεια ε, να αποδειξετε οτι:

i) KA = KA’ (Μοναδες 6)

ii) KA + KB > OA + OB (Μοναδες 7)

11




● Καθε πλευρα τριγωνου ειναι μικροτερη απο το αθροισμα των δυο αλλων και μεγαλυτερη απο τη διαφορα τους.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



12

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d r

m a

t h

s 5

8 d

e m

o .b

l o g

s p

o t

. g r

Αφου το Α’ ειναι συμμετρικο του Α ως

προς την ευθεια ε, προκυπτει :

● ΑΑ’ ⊥ ε

● ΑΔ = ΔΑ’

● ε μεσοκαθετη του τμηματος ΑΑ’

α)

i)

Το τριγωνο ΑΟΑ’ ειναι ισοσκελες, αφου

ΟΔ υψος και διαμεσος, οποτε η ΟΔ ει-

ναι και διχοτομος της γωνιας ΑOΑ' .

ii)

Eιναι

1 2

3 2

1 3

Ο = Ο (ε διχοτομος της xOy)

Ο = Ο (κατακορυφη)

Ο = Ο

β)

i)

Το Κ ανηκει στην ευθεια ε, που ειναι μεσοκαθετος του τμηματος AA’, ισαπεχει απ’τα ακρα του

τμηματος ΑΑ’.

Δηλαδη ειναι :

ΚΑ = ΚΑ’

ii)

Απ’τη τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο ΒΚΑ’ ειναι (βi) (ΟΑ = ΟΑ')

ΚΒ + ΚΑ' > Α'Β ΚΒ + ΚΑ > Α'Ο + ΟΒ ΚΒ + ΚΑ > ΑΟ + ΟΒ


Β

ε Κ Ο Ζ

Α’

Δ 2

1 3

Α


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 ο 4741

Δινεται τριγωνο ABΓ με AB < ΑΓ. Στην προεκταση της AB προς το Α

B παιρνουμε σημειο E ωστε AE = ΑΓ . Στην πλευρα ΑΓ θεωρουμε

σημειο Δ ωστε AΔ = AB . Αν τα τμηματα ΔE και BΓ τεμνονται στο

Κ και προεκταση της AK τεμνει την EΓ στο M . Β Δ

Να αποδειχθει οτι: Κ

α) ΒΓ = ΔΕ (Μοναδες 6) β) ΒΓ = ΔΚ Ε Μ Γ

(Μοναδες 7)

γ) Η AK ειναι διχοτομος της Α . (Μοναδες 6)

δ) Η AM ειναι μεσοκαθετος της EΓ . (Μοναδες 6)

13





. . . χ ρ η σ ι μ ο



14

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:/

/ d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ ειναι ισα

γιατι :

Α = κοινη

ΑΓ = ΑΕ (υποθεση) (Π - Γ - Π)

ΑΒ = ΑΔ (υποθεση)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους

ισα και ΒΓ = ΔΕ (1)

β)

Ειναι

ΒΕ = ΔΓ (2), σαν διαφορες ισων

(ΑΕ = ΑΓ και ΑΒ = ΑΔ)

1 1

Τα τριγωνα ΕΒΔ και ΕΔΓ ειναι ισα γιατι :

ΒΔ = κοινη

ΒΓ = ΔΕ (λογω (1)) (Π - Π - Π)

ΒΕ = ΔΓ (λογω (2))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Β = Δ που σημαινει οτι το τρ

ιγωνο

ΒΚΔ ειναι ισοσκελες και ΚΒ = ΚΔ .

γ)

Ειναι

ΚΕ = ΚΓ (3), σαν διαφορες ισων (ΔΕ = ΒΓ και ΚΔ = ΚΒ)

1 2

Τα τριγωνα ΑΚΕ και ΑΚΓ ειναι ισα γιατι :

ΑΚ = κοινη

ΑΕ = ΑΓ (υποθεση) (Π - Π - Π)

ΚΕ = ΚΓ (λογω (3))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Α = Α που σημαινει οτι η ΑΚ

ειναι

η διχοτομος της γωνιας Α .

γ)

Το τριγωνο ΑΕΓ ειναι ισοσκελες (ΑΕ = ΑΓ) με διχοτομο ΑΚ (ΑΜ), οποτε η ΑΜ ειναι και υψος και

φιαμεσος, δηλαδη ειναι μεσοκαθετη της ΕΓ .


Α

Β Δ

Ε Μ Γ

2

1 1

1

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 ο 4794

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( 0Α = 90 ) με B ΒΔ διχοτομο και ΑΚ υψος, που τεμνονται στο Ε.

Η καθετη απο το Ε στην ΑΒ τεμνει τις ΑΒ και ΒΓ στα Η και Ζ αντιστοιχα. α) Να αποδειξετε οτι: i) τα τριγωνα ΕΗΑ και ΕΚΖ ειναι ισα. (Μοναδες 6) ii) το τριγωνο ΒΚΗ ειναι ισοσκελες K

τριγωνο.

(Μοναδες 7) H E Z

iii) Οι ΑΖ και ΒΔ ειναι καθετες. (Μοναδες 6)

β) Αν επιπλεον το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ A Δ Γ ειναι και ισοσκελες, να αποδειξετε οτι η ΓΕ ειναι διχοτομος της γωνιας Γ. (Μοναδες 7)

15




. . . χ ρ η σ ι μ ο



16

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o g

s p

o t

. g r

α)

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ ειναι ισα

γιατι :

Α = κοινη

ΑΓ = ΑΕ (υποθεση) (Π - Γ - Π)

ΑΒ = ΑΔ (υποθεση)


ισα και ΒΓ = ΔΕ (1)

β)

Ειναι

ΒΕ = ΔΓ (2), σαν διαφορες ισων

(ΑΕ = ΑΓ και ΑΒ = ΑΔ)

1 1

Τα τριγωνα ΕΒΔ και ΕΔΓ ειναι ισα γιατι :

ΒΔ = κοινη

ΒΓ = ΔΕ (λογω (1)) (Π - Π - Π)

ΒΕ = ΔΓ (λογω (2))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Β = Δ που σημαινει οτι το τρ

ιγωνο

ΒΚΔ ειναι ισοσκελες και ΚΒ = ΚΔ .

γ)

Ειναι

ΚΕ = ΚΓ (3), σαν διαφορες ισων (ΔΕ = ΒΓ και ΚΔ = ΚΒ)

1 2

Τα τριγωνα ΑΚΕ και ΑΚΓ ειναι ισα γιατι :

ΑΚ = κοινη

ΑΕ = ΑΓ (υποθεση) (Π - Π - Π)

ΚΕ = ΚΓ (λογω (3))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Α = Α που σημαινει οτι η ΑΚ

ειναι

η διχοτομος της γωνιας Α .

δ)

Το τριγωνο ΑΕΓ ειναι ισοσκελες (ΑΕ = ΑΓ) με διχοτομο ΑΚ (ΑΜ), οποτε η ΑΜ ειναι και υψος και

διαμεσος, δηλαδη ειναι μεσοκαθετη της ΕΓ .


Β

Κ

Η Ζ

Α Δ Γ

1

2 Ε

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 ο 4806

Θεωρουμε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ, και την ευθεια ε της εξωτερικης διχοτομου της γωνιας Α. Η καθετη στη πλευρα ΑΒ στο Β τεμνει την ε στο Κ και την ευθεια ΑΓ στο Ζ. Η καθετη στη πλευρα ΑΓ στο Γ τεμνει την ε στο Λ και την ευθεια ΑΒ στο Ε. α) Να αποδειξετε οτι: i) ΑΖ = ΑΕ

(Μοναδες 8) ii) ΑΚ = ΑΛ

(Μοναδες 9)

β) Ενας μαθητης κοιτωντας το σχημα, διατυπωσε την αποψη οτι η ΑΘ ειναι διχο- τομος της γωνιας Α του τριγωνου ΑΒΓ, οπου Θ το σημειο τομης των ΚΖ,ΕΛ. Συμφωνειτε με την παραπανω σκεψη του μαθητη η οχι; Δικαιολογηστε πληρως την απαντηση σας.

(Μοναδες 8) Κ Α Λ ε Β Γ Θ Ε Ζ

15




. . . χ ρ η σ ι μ ο



18

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Τα τριγωνα ΑΒΖ

και ΑΓΕ ειναι ισα

γιατι :


Α = κοινη

ΑΒ = ΑΓ

(ΑΒΓ ισοσκελες)

οποτε και τα υπο -

λοιπα στοιχεια

τους ισα και ΑΖ = ΑΕ .

ii)

εξ 1 2

Τα τριγωνα ΑΒΚ και ΑΓΛ ειναι ισα γιατι :


Α Α = Α = (ε εξωτερικη διχοτομος της Α)

2 ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες τριγωνο)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα κα

ι ΑΚ = ΑΛ .

β)

Τα τριγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ ειναι ισα γιατι :


ΑΘ = κοινη

ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ ισοσκελες τριγωνο)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΒΑΘ = ΓΑΘ, που σημαινει οτι η ΑΘ

ειναι

διχοτομος της γωνιας Α .


Κ Α Λ ε

Β Γ

Θ

Ε Ζ

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t h

s 5

8 d

e m

o

.b l

o g

s p

o t

. g

r


Θ ε μ α 8 ο 5904

Στο διπλανο σχημα φαινονται οι θεσεις στο χαρτη Α

πεντε χωριων A, B, Γ, Δ και E και οι δρομοι που τα

συνδεουν. Το χωριο E ισαπεχει απο τα χωρια B, Γ και επισης απο τα χωρια A και Δ . α) Να αποδειξετε οτι:

i) η αποσταση των χωριων A και B ειναι ιση με Β Γ την αποσταση των χωριων Γ και Δ . Ε

(Μοναδες 5) ii) αν οι δρομοι AB και ΓΔ εχουν δυνατοτητα να προεκταθουν, να αποδειξετε οτι αποκλειε- ται να συναντηθουν. (Μοναδες 5) Δ

iii) τα χωρια B και Γ ισαπεχουν απο τον δρομο AΔ .

(Μοναδες 8)

β) Να προσδιορισετε γεωμετρικα το σημειο του δρομου AΓ που ισαπεχει απο τα χωρια A και Δ .

(Μοναδες 7)

17


● Σε ενα παραλληλογραμμο ● οι απεναντι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. ● οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.


. . . χ ρ η σ ι μ ο



20

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

1 2

Τα τριγωνα ΑΕΒ και ΓΕΔ ειναι ισα γιατι :

ΕΑ = ΕΔ (υποθεση)

ΕΒ = ΕΓ (υποθεση) (Π - Γ - Π)

Ε = Ε (κατακορυφη)


και ΑΒ = ΓΔ .

Α λ λ ι ω ς

Ειναι

ΕΑ = ΕΔ και ΕΒ = ΕΓ

Οποτε το ΑΒΔΓ ειναι παραλληλογραμμο και

ΑΒ = ΓΔ .

ii)

Απ'τη προηγουμενη ισοτητα τριγωνων

Α = Δ (εντος εναλλαξ των ΑΒ, ΓΔ, που

τεμνονται απ'την ΑΔ)

Αρα ΑΒ, ΓΔ ειναι παραλληλες .

Α λ λ ι ω ς

Το ΑΒΔΓ ειναι παραλληλογραμμο και ΑΒ || ΓΔ .

iii)

Απ'τη προηγουμενη ισοτητα τριγωνων, και τα υψη στις ισες πλευρες ειναι ισα .

Ετσι, ΒΚ = ΓΛ .

β)

Το ζητουμενο σημειο ισαπεχει απο τα A και Δ, οποτε ανηκει στη μεσοκαθετο του AΔ .

Δηλαδη ειναι το σημειο τομης Μ της μεσοκαθετου του AΔ με την AΓ .


Α

K

Β Γ

Λ

Δ

1

2 Ε

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 ο 13527

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και μβ, μγ οι διαμεσοι που αντιστοιχουν στις πλευρες β και γ αντιστοιχα. Δινεται η ακολουθη προταση: Π: Αν το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με β = γ , οι διαμεσοι μβ, μγ ειναι ισες . α) Να εξετασετε αν ισχυει η προταση Π αιτιολογωντας την απαντηση σας.

(Μοναδες 10)β) Να διατυπωσετε την αντιστροφη προταση της Π και να εξετασετε αν ισχυει αιτιολογωντας την απαντηση σας .

(Μοναδες 10)γ) Στη περιπτωση που οι δυο προτασεις, η Π και η αντιστροφη της ισχυουν, να τις διατυπωσετε ως ενιαια προταση.

(Μοναδες 5)

21


● Ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες αν ισχυει μια τις παρακατω. ● Οι γωνιες που προσκεινται σε μια βαση ειναι ισες. ● Οι διαγωνιοι του ειναι ισες.

● Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της.

. . . χ ρ η σ ι μ ο


P(A B)


22

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)


ΒΓ = κοινη

Β = Γ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες)

ΒΔ = ΓΕ (μισα ισων πλευρων)

(Π - Γ - Π)


και ΒΕ = ΓΔ

β)

Αν οι διαμεσοι μβ, μγ τριγωνου ΑΒΓ ειναι ισες, τοτε το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες . ● Δ, Ε μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΓ του τριγω-

νου ΑΒΓ, αντιστοιχα, οποτε : ΔΕ ||ΒΓ

Δηλαδη το τετραπλευρο ΔΕΓΒ ειναι τραπε-

ζιο .

● ΒΕ = ΓΔ, οποτε ΔΕΓΒ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (οι διαγωνιοι του ισες)

Ετσι Β = Γ που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με β = γ .

γ)

Ενα τριγωνο ειναι ισοσκελες αν και μονο αν οι διαμεσοι που αντιστοιχουν στις ισες πλευρες του ειναι ισες.

Α π α ν τ η σ η 13527

Α

Δ Ε

Β Γ



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



2 . Κ υ κ λ ο ς

Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς





Κ υ κ λ ο ς – Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς

25

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)φερουμε τις διαμεσους Α ΒΔ και ΓΕ. Μια ευθεια ε παραλληλη στη βαση ΒΓ τεμνει τις πλευ- ρες ΑΒ και ΑΓ στα Ζ και Η αντιστοιχα και τις διαμεσους ΒΔ και ΓΕ στα σημεια Θ και Κ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: α) ΒΖ = ΓΗ Ε Δ (Μοναδες 8) β) τα τριγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ ειναι ισα. Ζ Θ Κ Η ε (Μοναδες 9) γ) ΖΚ = ΗΘ (Μοναδες 8) Β Γ


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Θ ε μ α 1 0 ο 3721


26 Κ υ κ λ ο ς – Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

1

1 1 1

Ζ = Β (εντος - εκτος και επιταυτα)

ε || ΒΓ που τεμνονται απ'την ΑΒ

Η = Γ (εντος - εκτος και επιταυτα) Ζ = Η

ε || ΒΓ που τεμνονται απ'την ΑΓ

Β = Γ (ΑΒΓ ισοσκελες τριγωνο)

οποτε, το τριγωνο ΑΖΗ ειναι ισοσκελες και ΑΖ = ΑΗ (1)

Ετσι ΑΒ = ΑΓ

(1 )ΒΖ = ΑΒ - ΑΖ = ΑΓ - ΑΗ = ΓΗ

β)

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΕΓ ειναι ισα γιατι :

Α = κοινη

ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες) (Π - Γ - Π)

ΑΔ = ΑΕ (μισα ισων πλευρων, ΑΒ = ΑΓ)


1 1

1 1

1 1

και Β = Γ (2)

ΒΖΗ = ΖΗ Γ (3) παραπληρωματικες ισων γωνιων ( Ζ = Η )

Ετσι

Τα τριγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ ειναι ισα γιατι :

ΒΖ = ΓΗ απ'το (α) ερωτημα

Β = Γ (λογω (2))

ΒΖΗ = ΖΗ Γ (λο

(Γ - Π - Γ)

γω (3))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΖΘ = ΚΗ (4)

γ)

Ειναι ΖΘ = ΚΗ

(4 )ΖΚ = ΖΘ + ΘΚ = ΚΗ + ΘΚ = ΗΘ

Α

Ε Δ

Ζ Η ε

Β Γ


Θ Κ

1 1

1 1



27

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Εστω οτι ο κυκλος (O, ρ) εφαπτεται των πλευρων του Ρ τριγωνου ΡΓΕ στα σημεια Α,Δ και Β. α) Να αποδειξετε οτι: i) ΡΓ = ΓΔ + ΑΡ (Μοναδες 6) ii) ΡΓ - ΓΔ = ΡΕ - ΔΕ (Μοναδες 8) Α Β β) Αν AΓ = BE , να αποδειξετε οτι Ο i) Το τριγωνο ΡΓΕ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 6) ii) Τα σημεια Ρ, Ο και Δ ειναι συνευθειακα. Γ Δ Ε (Μοναδες 5)

● Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους.

● Η διακεντρικη ευθεια του σημειου Α (ΟΑ, Ο κεντρο κυκλου) διχοτομει την γωνια που σχη- ματιζουν τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο Α .


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Θ ε μ α 1 1 ο 3728



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο

εκτος αυτου ειναι ισα μεταξυ τους.

● ΡΑ = ΡΒ

● ΓΑ = ΓΔ

● ΕΔ = ΕΒ

i)

ΡΓ = ΡΑ + ΓΑ = ΡΑ + ΓΔ

ii)

ΡΓ – ΓΔ = ΡΑ + ΓΔ – ΓΔ = ΡΑ = ΡΒ = ΡΕ – ΒΕ = ΡΕ - ΔΕ

οποτε, το τριγωνο ΑΖΗ ειναι ισοσκελες και ΑΖ = ΑΗ (1)

β)

i)

ΡΓ = ΡΑ + ΓΑ = ΡΒ + ΒΕ = ΡΕ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΡΓΕ ειναι ισοσκελες .

ii)

● ΟΑ = ΟΒ (ακτινες του κυκλου)

● ΟΑ ⊥ ΡΑ και ΟΒ ⊥ ΡΒ (ΡΑ, ΡΒ εφαπτομενα τμηματα απ’το Ρ)

● ΡΔ διαμεσος του ισοσκελους τριγωνου ΓΡΕ (ΔΓ = ΑΓ = ΒΕ = ΔΕ), οποτε ειναι και διχοτομος .

Δηλαδη το σημειο Ο ισαπεχει απ’τις πλευρες της γωνιας Ρ , οποτε ανηκει στη διχοτομο, δηλαδη

στην ΡΔ.

(Α λ λ ι ω ς

Η διακεντρικη ευθεια του σημειου Α (ΟΑ, Ο κεντρο κυκλου) διχοτομει την γωνια που σχηματι- ζουν τα εφαπτομενα τμηματα κυκλου που αγονται απο σημειο Α .

Αρα η διακεντρικη ΡΟ του σημειο Ρ διχοτομει τη γωνια Ρ , δηλαδη η ΡΟ διχοτομος της Ρ )

Οποτε Ρ, Ο, Δ συνευθειακα, αφου ειναι σημεια της ιδιας ευθειας .

Ρ

Α Β

Γ Δ Ε


Ο



29

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Θεωρουμε κυκλο κεντρου Ο και εξωτερικο σημειο του Ρ. Απο το Ρ φερνουμε τα εφαπτομενα τμηματα ΡΑ και ΡΒ. Η διακεντρικη ευθεια ΡΟ τεμνει τον κυκλο στο σημειο Λ. Η εφαπτομενη του κυκλου στο Λ τεμνει τα ΡΑ και ΡΒ στα σημεια Γ και Δ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: α) το τριγωνο ΡΓΔ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 10) β) ΓΑ = ΔΒ

(Μοναδες 8) γ) η περιμετρος του τριγωνου ΡΓΔ ειναι ιση με PA + PB .

(Μοναδες 7)




Θ ε μ α 1 2 ο 3729

. . . χ ρ η σ ι μ ο



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

ΟΑ, ΟΛ και ΟΒ ειναι ακτινες του κυ-

κλου, οποτε ειναι καθετες στα εφα-

πτομενα τμηματα ΡΑ, ΓΔ και ΡΒ αν-

τιστοιχα .

Ετσι, στο τριγωνο ΡΓΔ, η ΡΛ ειναι

υψος στη ΓΔ και διχοτομος της γω-

νιας Ρ (ΡΟ διακεντρικη του Ρ) .

Αρα το τριγωνο ΡΓΔ ειναι ισοσκελες

με ΡΓ = ΡΔ (1)

β)

Το τριγωνο ΑΡΒ ειναι ισοσκελες

(αφου ΡΑ = ΡΒ (2) εφαπτομενα τμηματα απ’το σημειο Ρ) .

Ετσι (1 )

(2 )ΓΑ = ΡΑ - ΡΓ = ΡΒ - ΡΔ = ΔΒ

γ)

Ειναι

● ΓΑ = ΓΛ (3)

● ΔΒ = ΔΛ (4)

Εφαπτομενα τμηματα απ’τα σημεια Γ και Δ αντιστοιχα .

Οποτε η περιμετρος του τριγωνου ΡΓΔ ειναι : (3 )

(4 )Π = ΡΓ + ΓΔ + ΡΔ = ΡΓ + + + ΡΔ = (ΔΛ ΔΒΡΓ + ) + ( + ΡΔ) = ΡΓΛ ΓΑ Α + ΡΒ

Α Γ Ρ

Λ

Ο

Δ

Β

1


2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 ο 3903

Δινεται τετραπλευρο ΑΒΓΔ με AB = ΑΔ και ΓΒ = ΓΔ . Ζ Ε Αν Ε το σημειο τομης των προεκτασεων των ΒΑ και ΓΔ και Ζ το σημειο τομης των προεκτασεων των ΔΑ και ΓΒ, να αποδειξετε οτι: Α α) Η ΓΑ ειναι διχοτομος της γωνιας ΒΓΔ. (Μοναδες 7) β) ΓΖ = ΓΕ Β Δ (Μοναδες 9) γ) ΕΖ || ΒΔ . (Μοναδες 9)

Γ

31


● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος – εκτος και επι τα αυτα μερη γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



32

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Ειναι

1 1

2 2

Το τριγωνο ΒΓΔ ειναι ισοσκελες : Β = Δ

Το τριγωνο ΒΑΔ ειναι ισοσκελες : Β = Δ (1)

ΑΒΓ = ΑΔΓ (αθροισμα ισων γωνιων) οποτε και οι

παραπληρωματικες τους ισες : ΖΒΕ = ΕΔΒ (2)

α)

1 2

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι :

ΟΜ = κοινη

ΑΒ = ΑΔ (υποθεση) (Π - Π - Π)

ΒΓ = ΔΓ ( υποθεση)


Γ = Γ που σημαινει οτι η ΓΑ εινα

ι διχοτομος

της γωνιας Γ .

β)

2 2

ΒΓ = ΔΓ

Τα τριγωνα ΖΒΔ και ΕΒΔ ειναι ισα γιατι :

ΒΔ = κοινη

Β = Δ (λογω της (1)) (Γ - Π - Γ)

ΖΒΕ = ΕΔΒ (λογω της (2))


ΒΖ = ΔΕ

ΒΖ + ΒΓ = ΔΕ + ΔΓ ΓΖ = ΓΕ

γ)

Τα ισοσκελη τριγωνα ΒΓΔ (ΓΒ = ΓΔ) και ΖΓΕ (ΓΖ = ΓΕ) εχουν την γωνια της κορυφης κοινη, ο-

ποτε και οι γωνιες της βασης του ειναι ισες .

Ετσι

1 1Β = Ζ που ειναι εντος - εκτος και επιταυτα των ΒΔ, ΖΕ που τεμνονται απ'τη ΓΖ .

Αρα οι ΒΔ και ΖΕ ειναι παραλληλες .


Ζ Ε

Α

Β Δ

Γ

2

1 1

2

3 3

1 2

1



Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Θεωρουμε κυκλο κεντρου Ο, με διαμετρο ΒΓ. Απο σημειο Α ε του κυκλου φερουμε την εφαπτομενη (ε) του περιγεγραμμε- νου κυκλου του τριγωνου ΑΒΓ. Απο τα σημεια Β και Γ φε- Α ρουμε τα τμηματα ΒΔ και ΓΕ καθετα στην ευθεια (ε).

α) Να αποδειξετε οτι οι ΒΑ και ΓΑ ειναι

διχοτομοι των γωνιων ΔΒΓ και ΕΓΒ . (Μοναδες 8) Β Ο Γ β) Αν ΑΖ ειναι υψος του τριγωνου ΑΒΓ, να αποδειξετε οτι: ΑΔ = ΑΕ = ΑΖ . (Μοναδες 8) γ) Να αποδειξετε οτι: ΒΔ + ΓΕ = ΒΓ . (Μοναδες 9)

● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Θ ε μ α 1 4 ο 4307

Ε

Δ



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

● ΒΔ ⊥ ε, ΟΑ ⊥ ε, ΓΕ ⊥ ε, οποτε

ΒΔ || ΟΑ || ΓΕ

Ετσι

1 2

2 2

Β = Α (εντος εναλλαξ) (1)

Γ = Α (εντος εναλλαξ) (2)

● ΟΒ = ΟΑ = ΟΓ, οποτε τα τριγωνα

ΒΟΑ και ΑΟΓ ειναι ισοσκελη .

Ετσι

1 1

2 1

Β = Α (γωνιες βασης) (3)

Γ = Α (γωνιες βασης) (4)

● Απ’τις (1), (3) :

1 2Β = Β και

ΒΑ ειναι διχοτομος της ΔΒΓ .

● Απ’τις (2), (4) :

1 2Γ = Γ και ΓΑ ειναι διχοτομος της ΕΓΒ .

β)

1 2

1 2


Τα τριγωνα ΑΔΒ, ΑΖΒ ειναι ισα : ΑΒ = κοινη ΑΔ = ΑΖ

Β = ΒΑΔ = ΑΖ = ΑΕ


Τα τριγωνα ΑΕΓ, ΑΖΓ ειναι ισα : ΑΓ = κοινη ΑΕ = ΑΖ

Γ = Γ

γ)

Ειναι απ’την ισοτητα των τριγωνων του (β) ερωτηματος : (+)ΒΔ = ΒΖ

ΒΔ + ΓΕ = ΒΖ + ΓΖ ΒΔ + ΓΕ = ΒΓΓΕ = ΓΖ

ε

Ε

Α

Δ

Β Γ

Ο


Ζ

1

2

2

1

1

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 ο 4583

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με AB < ΑΓ , η διχοτομος του ΑΔ και Ε ευθεια ε παραλληλη απο το Β προς την ΑΓ. Απο το μεσο Μ της ΒΓ φερνουμε ευθεια παραλληλη στην ΑΔ η οποια τεμνει την ΑΓ στο σημειο Ζ, την ευθεια ε στο Α σημειο Λ και την προεκταση της ΒΑ στο σημειο Ε. Να αποδειξετε οτι: Ζ α) Τα τριγωνα ΑΕΖ και ΒΛΕ ειναι ισοσκελη . (Μοναδες 8) β) ΜΛ = ΓΖ (Μοναδες 9) γ) ΑΕ = ΑΓ = ΒΛ Β Δ Μ Γ (Μοναδες 8)

Λ

35


● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα . ● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος – εκτος και επι τα αυτα μερη γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα . ● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος και επι τα ταυτα μερη γωνιες παραπληρωματικες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



36

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

1 2

1

2 2

2

Α = Α (ΑΔ διχοτομος)

ΑΔ || ΕΜ που τεμνονται απ'την ΕΒ

Α = Ε (εντος - εκτος επιταυτα)

ΑΔ || ΕΜ που τεμνονται απ'την ΑΖ

Α = Ζ (εντος εναλλαξ)

Αρα Ε = Ζ (1)

ΑΓ || ΒΛ που τεμνονται

1

2 1

απ'την ΖΛ

Ζ = Λ (εντος εναλλαξ)

(Ε =) Ζ = Ζ (κατακορυφη)

Αρα Ε = Λ (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι τα τριγωνα

ΑΕΖ και ΒΛΕ ειναι ισοσκελη .

β)

1

1 2

Τα τριγωνα ΒΜΛ και ΖΜΓ ειναι ισα γιατι :

ΒΜ = ΜΓ (Μ μεσο της ΒΓ)

Β = Γ (εντος εναλλαξ)

ΑΓ || ΒΛ που τεμνονται απο ΒΓ

Μ = Μ (κατακορυφη)

(Γ - Π - Γ)

οποτε και τα υπολοιπα σ

τοιχεια τους ισα και ΒΛ = ΓΖ .

γ)

Ειναι

AE = AZ = AΓ – ΖΓ = ΑΓ - ΒΛ


Ε

Α

Ζ

Β Μ Γ

Λ

1

2 2 1

1

Δ

1

2



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



3 . Α θ ρ ο ι σ μ α Γ ω ν ι ω ν

Τ ρ ι γ ω ν ο υ






Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Α θ ρ ο ι σ μ α Γ ω ν ι ω ν Τ ρ ι γ ω ν ο υ

Θ ε μ α 1 6 ο 2788

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( 0Α = 90 ) , Γ Ζ 0Β = 50 , το υψος του ΑΔ και σημειο Ε της Ε ΔΓ , ωστε ΔΕ = ΒΔ .Το σημειο Ζ ειναι η προβο- λη του Γ στην ΑΕ . α) Να αποδειξετε οτι : i) το τριγωνο ΑΒΕ ειναι ισοσκελες . Δ (Μοναδες 6)

ii) 0Γ ΑΕ = 10

(Μοναδες 10) 500 β) Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΖΓΕ. Α Β (Μοναδες 9)

39

● Το αθροισμα των γωνιων καθε τριγωνου ειναι 2 ορθες.


● Το αθροισμα των οξειων γωνιων ορθογωνιου τριγωνου ειναι 1 ορθη .


. . . χ ρ η σ ι μ ο



40

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Στο τριγωνο ΑΒΕ η ΑΔ ειναι διαμεσος (ΔΕ = ΔΒ)

και υψος. Δηλαδη ειναι μεσοκαθετη του ΕΒ, οποτε

ΑΕ = ΑΒ που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΒΕ ειναι ι-

σοσκελες με βαση ΕΒ .

ii)

● Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΕ :

0

0 1

Α = 90 0

2 1

0 0 0

0 0 0

Β = Ε = 50 και

Α = 180 - 2Ε

90 - ΓΑΕ = 180 - 100

ΓΑΕ = 90 - 80 = 10

β)

0

0 2 1

0 0 0 0 1 1 2 2

Ειναι

Ζ = 90

Ε = Ε = 50 (κατακορυφη)

Γ = 90 - Ε = 90 - 50 = 40 (Γ , Ε συμπληρωματικες)


Γ

Ζ

Ε

Δ

Α Β

50 0

1

50 0

2

2

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 ο 2789

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ, στο οποιο η εξωτερικη του γωνια Γ ειναι διπλασια της εσωτερικης του

γωνιας Α . Απο τηνκορυφη Α διερχεται ημιευθεια Ax || ΒΓ στο ημιεπιπεδο (ΑΒ, Γ). Στην ημιευθεια Ax θεωρουμε σημειο Δ τετοιο ωστε ΑΔ = ΒΓ. Να αποδειξετε οτι: α) Η ΒΔ διερχεται απο το μεσο του τμηματος ΑΓ.

(Μοναδες 7)

β) Η ΓΔ ειναι διχοτομος της εξΓ .

(Μοναδες 9) γ) Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 9)

41




● Η εξωτερικη γωνια τριγωνου ισουται με το αθροισμα των δυο απεναντι εσωτερικων γωνιων του .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



42

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

ΑΔ || = ΒΓ , οποτε το τετρα-

πλευρο ΑΔΓΒ ειναι παραλλη-

λογραμμο, που οι διαγωνιες

του διχοτομουνται.

Ετσι, η ΒΔ διερχεται απ’το με-

σο Μ του τμηματος ΑΓ .

β)

εξ

1

εξ 1 2

εξ

Ειναι

Γ Α =

2

Α = Γ (εντος εναλλαξ, ΑΒ || ΓΔ που τεμνονται απ'την ΑΓ)

Ετσι

ΓΓ = = Γ

2

που σημαινει οτι η ΓΔ ειναι διχοτομος της Γ .

γ)

εξΓ = 2Α

εξ

Ειναι

Γ = Α + Β 2Α = Α + Β Α = Β

που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΒ .


Α Δ x

Ε M

B Γ

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 ο 3825

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ . Φερουμε τη διχοτομο του AK και σε τυχαιο σημειο της Ε

φερουμε ευθεια καθετη στη διχοτομο ΑΚ, η οποια τεμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεια Ζ και Δ αντιστοιχα και την προεκταση της ΓΒ στο σημειο Η . Να αποδειξετε οτι:

α)

0 ΑΖΓΔ = 90 +

2

(Μοναδες 7) β) ΖΚ = ΚΔ

(Μοναδες 8)

γ) Β - Γ

Ζ ΗΓ =2

(Μοναδες 10) Α Δ Ε Ζ Η Β Κ Γ

43





. . . χ ρ η σ ι μ ο



44

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

1 2Α

Α = Α =2

(ΑΚ διχοτομος )

Η γωνια ΖΔΓ ειναι

εξωτερικη του ορ-

θογωνιου τριγωνου

ΑΕΔ, οποτε

0 2

0

ΖΔΓ = 90 + Α

ΑΖΔΓ = 90 +

2

β)

Στο τριγωνο ΑΖΔ, η ΑΕ ειναι διχοτομος και υψος που σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες

και η ΑΕ ειναι και διαμεσος .

Δηλαδη η ΑΚ ειναι μεσοκαθετη του τμηματος ΖΔ και καθε σημειο της ισαπεχει απ’τα ακρα του.

Ετσι, ΖΚ = ΚΔ .

γ)

(α)

0 0

Στο τριγωνο ΗΔΓ ειναι :

ΑΖΗ Γ + Γ + ΗΔΓ = 180 ΖΗ Γ + Γ + 90 +

2

0 Α

= 90 +2

Β Γ+ +

2 2

Β Γ Β - Γ ΖΗ Γ = - ΖΗ Γ =

2 2 2


Α

Δ

Ζ

Η Β Κ Γ

Ε

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 9 ο 4588

Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και στην προεκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρουμε σημειο Δ τετοιο, ωστε BΔ = ΒΓ , ενω στην προεκταση της ΒΓ (προς το Γ) Ζ θεωρουμε σημειο Ε τετοιο, ωστε ΓE = BΓ . Φερουμε την καθετη στην ΕΔ στο σημειο Ε, η οποια τεμνει την προεκταση της ΔΑ στο Ζ . α) Να υπολογισετε τις γωνιες των τριγωνων ΓΑΕ και ΒΔΑ. (Μοναδες 8) β) Να αποδειξετε οτι η ΓΖ ειναι μεσοκαθετος του ΑΕ. Α (Μοναδες 12) γ) Να αποδειξετε οτι AB || ΓZ . (Μοναδες 5) Σ Β Γ Ε

45




● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα

. . . χ ρ η σ ι μ ο



46

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Το τριγωνο ΑΔΓ

ειναι ισοπλευρο : 0Α = Β = Γ = 60 ΑΒ = ΒΔ = ΑΓ = ΓΕ

Το τριγωνο ΑΒΔ

ειναι ισοσκελες:

0 1

0 0

Β = 120

(180 - 60 )

Απ’το αθροισμα

γωνιων τριγωνου: 0

1 Α = Δ = 30

Το τριγωνο ΑΓΕ

ειναι ισοσκελες: 0 0 0 ΑΓ Ε = 120 (180 - 60 )

Απ’το αθροισμα γωνιων τριγωνου:

0 2 1 Α = Ε = 30

β)

0 0 0 0 1

0 1 2

ΓΑΔ = 60 + Α = 60 + 60 = 90


Τα τριγωνα ΖΑΓ και ΖΕΓ ειναι ισα γιατι : ΖΓ = κοινη

ΓΑ = ΓΕ (υποθεση)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και :

Γ = Γ = 60 (1)

ΖΑ = ΖΕ (2)

ΓΑ = ΓΕ και ΖΑ = ΖΕ , αρα τα Γ, Ζ ανηκουν στη μεσοκαθετη του ΑΕ , δηλαδη η ΖΓ ειναι μεσοκα-

θετη στο τμημα ΑΕ .

γ)

0 1Γ = Α = 60 που ειναι εντος εναλλαξ των ΑΒ, ΓΖ που τεμνονται απ'την ΑΓ.

Δηλαδη, ΑΒ || ΓΖ .


Ζ

Α

Κ

Δ Β Γ Ε

60 0

60 0 60 0

2 1

1 1

2

1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 0 ο 4622

Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και το υψος του ΓΕ. Στην προεκταση της ΓΒ Α

προς το Β, θεωρουμε σημειο Δ τετοιο, ωστε ΒΓ

ΒΔ =2

. Αν η ευθεια ΔΕ Θ Ζ

τεμνει την ΑΓ στο Ζ και ZΘ || ΒΓ : α) Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ΒΔΕ ειναι ισοσκελες Ε και το τριγωνο ΑΘΖ ειναι ισοπλευρο. (Μοναδες 10) β) Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΘΕΖ. (Μοναδες 5) Δ Β Γ γ) Να αποδειξετε οτι AE = 2ΘΖ . (Μοναδες 5) δ) Να αποδειξετε οτι 3AB = 4 ΘΒ .

(Μοναδες 5)

47



● Το αθροισμα των οξειων γωνιων ορθογωνιου τριγωνου ειναι 1 ορθη .


● Το ισοπλευρο τριγωνο εχει ολες τις γωνιες ισες με 60 0 .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



48

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Το τριγωνο ΑΒΓ ισοπλευρο: 0Α = Β = Γ = 60 Στο ορθογωνιο τριγωνο ΕΒΓ:

0 0 0 2Γ = 90 - 60 = 30

α)

0 2

υποθεση

0

Το τριγωνο ΒΕΓ ειναι ορ -

θογωνιο και Γ = 30

Οποτε

ΒΓΒΕ = = ΒΔ

2Αρα το τριγωνο ΔΒΕ

ειναι ισοσκελες .

ΑΘΖ = Β = 60

εντος-εκτος και επιταυτα,

ΘΖ || ΒΓ που τεμνονται απο την ΑΒ .

Αρα το τριγωνο ΑΘΖ ειναι ισοσκελες με γωνια 600, που σημαινει ισοπλευρο .

β)

2 1

0 0 0

εξωτερικη γωνια Ε = Ε 0 0 0 0

2 1 1του ισοσκελους ΔΒΕ κατακορυφη

0 0 0 0

ΕΘΖ = 180 - 60 = 120

Β = 60 2Ε = 60 2Ε = 60 Ε = 30

ΘΖΕ = 180 - 120 - 30 = 30

γ)

(+)τρ. ΑΘΖ ισοπλευρο (υποθεση) : ΘΖ = ΑΘ2ΘΖ = ΑΘ + ΘΕ 2ΘΖ = ΑΕ

τρ. ΕΘΖ ισοσκελες (απ'το (β) ερωτημα) : ΘΖ = ΘΕ

δ)

ΑΕ ΑΒΘΕ = ΑΕ =

2 2

ΑΒΘΕ = ΘΖΕΒ =

2

ΑΒΑΕ ΑΒ ΑΒ 2ΑΒ2ΘΒ = ΘΕ + ΕΒ ΘΒ = + ΕΒ ΘΒ = + ΘΒ = +2 2 2 4 4

3ΑΒΘΒ = 4ΘΒ = 3ΑΒ

4


Α

Θ Ζ

Ε

Δ Β Γ

Γ

30 0

60 0

60 0

30 0

1

1

2

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 1 ο 5900

Θεωρουμε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μεσο της ΒΓ . A Φερουμε ΓΔ ⊥ ΒΓ με ΓΔ = ΑΒ (Α, Δ εκατερωθεν της ΒΓ) . Nα αποδειξετε οτι : α) ΑΜ || ΓΔ (Μοναδες 6)

β) η ΑΔ ειναι διχοτομος της γωνιας ΜΑΓ . (Μοναδες 7)

γ)

0 ΒΔΑΓ = 45 -

2 Β Μ Γ

(Μοναδες 7) δ) ΑΔ < 2ΑΒ (Μοναδες 5) Δ

49



● Καθε πλευρα τριγωνου ειναι μικροτερη απο το αθροισμα των δυο αλλων και μεγαλυτερη απο τη διαφορα τους.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



50

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Το τριγωνο ABΓ ειναι ισοσκελες, οποτε η διαμεσος AM ειναι

και μεσοκαθετος της BΓ.

Ετσι

ΑΜ ΒΓΑΜ || ΓΔ

ΓΔ ΒΓ

.

β)

● Το τριγωνο ΑΓΔ ειναι ισοσκελες (ΑΓ = ΓΔ) αφου

● ΑΒ = ΑΓ (τριγωνο ABΓ ειναι ισοσκελες)

● ΑΒ = ΓΔ (υποθεση)

Ετσι 1Α = Δ (1)

● 2Α = Δ (2) εντος εναλλαξ των παραλληλων ΑΜ, ΓΔ

που τεμνονται απ’την ΑΔ .

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει:

1 2Α = Α που σημαινει οτι η ΑΜ ειναι διχοτομος της ΜΑ Γ .

γ)

Το τριγωνο ABΓ ειναι ισοσκελες, οποτε η AM ειναι διχοτομος

και

0

0(β) στο ορθογωνιο τρ. ΑΒΜ

Α = 90 -

0

Β2

0

Α 90 - ΒΜΑ Γ = 2ΔΑ Γ = 2ΔΑ Γ = ΔΑ Γ =

2 2

ΒΔΑ Γ = 4

Α 9

5 -2

0 - Β2

δ)

Απο την τριγωνικη ανισοτητα στο τριγωνο ΑΓ Δ ειναι: ΑΓ = ΑΒ

ΓΔ = ΑΒΑΔ < ΑΓ + ΓΔ ΑΔ < ΑΒ + ΑΒ ΑΔ < 2ΑΒ


Α

Β Μ Γ

Δ

2 1



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



4 . Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο






Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο

Θ ε μ α 2 2 ο 3701

Εστω οτι Ε και Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ και ΓΔ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ αντιστοιχα. Αν για το παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ επιπλεον ισχυει AB > AΔ , να εξετασετε αν ειναι αληθεις οι ακολουθοι ισχυρισμοι: Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 1: Το τετραπλευρο ΔΕΒΖ ειναι παραλληλογραμμο.

Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 2: ΑΕΔ = ΒΖΓ .

Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 3: Οι ΔΕ και ΒΖ ειναι διχοτομοι των απεναντι γωνιων Δ και Β. α) Στη περιπτωση που θεωρειται οτι καποιος ισχυρισμος ειναι αληθης να τον αποδειξετε.

(Μοναδες 16) β) Στη περιπτωση που καποιος ισχυρισμος δεν ειναι αληθης, να βρειτε τη σχεση των διαδοχικων πλευρων του παραλληλογραμμου ωστε να ειναι αληθης. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.

(Μοναδες 9)

53


● Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν ● οι απεναντι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. ● οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



54

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 1

ΕΒ || ΔΖ (ΑΒ || ΔΓ)

ΕΒ = ΔΖ (μισα ισων ΑΒ = ΔΓ)

ΕΒΖΔ

ειναι παραλληλογραμμο.


Τα τριγωνα ΕΑΔ και ΝΓΖ ειναι ισα

γιατι :

ΑΔ = ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)

ΑΕ = ΖΓ (μισα ισων (ΑΒ = ΓΔ)) (Π - Γ - Π)

Α = Γ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισ

α και ΑΕΔ = ΒΖΓ .

(Αποδεικνυουμε την αληθεια καθε ισχυρισμου ανεξαρτητα).

β)


Εστω οτι οι ΒΖ, ΔΕ ειναι διχοτομοι των γωνιων Β, Δ αντιστοιχα .

Τοτε, τα τριγωνα ΕΑΔ και ΒΓΖ ειναι ισοσκελη με

ΑΒΑΔ = ΑΕ =

2 ΑΒ = ΓΔ = 2ΑΔ = 2ΒΓΓΔ

ΒΓ = ΖΓ =2

Δηλαδη ο ισχυρισμος 3 αληθευει αν, αν οι πλευρες ΑΒ, ΔΓ ειναι διπλασιες των ΑΔ και ΒΓ .


Α Ε Β

Δ Ζ Γ

1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 3 ο 3702

Εστω οτι Ε και Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ και ΓΔ παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ αντιστοιχα. Αν για το παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ επιπλεον ισχυει AB > AΔ , να εξετασετε αν ειναι αληθεις οι ακολουθοι ισχυρισμοι: Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 1: Το τετραπλευρο ΔΕΒΖ ειναι παραλληλογραμμο.

Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 2: Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ ειναι ισα .

Ι σ χ υ ρ ι σ μ ο ς 3: Τα τριγωνα ΑΔΕ και ΒΓΖ ειναι ισοσκελη. α) Στη περιπτωση που θεωρειται οτι καποιος ισχυρισμος ειναι αληθης να τον αποδειξετε.

(Μοναδες 16) β) Στη περιπτωση που καποιος ισχυρισμος δεν ειναι αληθης, να βρειτε τη σχεση των διαδοχικων πλευρων του παραλληλογραμμου ωστε να ειναι αληθης. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.

(Μοναδες 9)

55



. . . χ ρ η σ ι μ ο



56

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)


ΕΒ || ΔΖ (ΑΒ || ΔΓ)

ΕΒ = ΔΖ (μισα ισων ΑΒ = ΔΓ)

ΕΒΖΔ

ειναι παραλληλογραμμο.


Τα τριγωνα ΕΑΔ και ΝΓΖ ειναι ισα

γιατι :


ΑΕ = ΖΓ (μισα ισων (ΑΒ = ΓΔ)) (Π - Γ - Π)


οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισ

α και ΑΕΔ = ΒΖΓ .

(Αποδεικνυουμε την αληθεια καθε ισχυρισμου ανεξαρτητα).

β)


Εστω οτι τα τριγωνα ΕΑΔ και ΒΓΖ ειναι ισοσκελη με

ΑΒΑΔ = ΑΕ =

2 ΑΒ = ΓΔ = 2ΑΔ = 2ΒΓΓΔ

ΒΓ = ΖΓ =2

Δηλαδη ο ισχυρισμος 3 αληθευει αν, αν οι πλευρες ΑΒ, ΔΓ ειναι διπλασιες των ΑΔ και ΒΓ .


Α Ε Β

Δ Ζ Γ

1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 4 ο 3723

Στο κυρτο εξαγωνο ΑΒΓΔΕΖ ισχυον τα εξης : A B Θ α = β, γ = δ και ε = ζ . α γ

α) Να υπολογισετε το αθροισμα α + γ + ε . (Μοναδες 8) ε Γ β) Αν οι πλευρες ΑΖ και ΔΕ προεκτεινομενες τεμνονται στο Η και οι πλευρες ΑΒ και ΔΓ Ζ ζ προεκτεινομενες τεμνονται στο Θ, δ β να αποδειξετε οτι: i) Οι γωνιες Α και Η ειναι παραπληρω- Η Ε Δ ματικες . (Μοναδες 10) ii) Το τετραπλευρο ΑΘΔΗ ειναι παραλ- ληλογραμμο. (Μοναδες 7)

57

● Το aθροισμα των γωνιων καθε κυρτου πολυγωνου με ν πλευρες ειναι 2ν - 4 ορθες.


. . . χ ρ η σ ι μ ο



58

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m

o .b

l o g

s p

o t

. g r

α)

Το aθροισμα των γωνιων καθε κυρ-

του πολυγωνου με ν πλευρες ειναι

2ν - 4 ορθες.

α = β, γ = δ 0

ε = ζ

0

0

0

Ετσι

α + β + γ + δ + ε + ζ =

= (2 6 - 4) 90

2α + 2γ + 2ε = 8 90

2(α + γ + ε) = 720

α + γ + ε = 360

β)

i)

0

ε = ζ, γ = δ 0 0

1 1α + γ + ε = 36

0

0 0

Στο τριγωνο ΖΗΕ

180 1δ

ειναι

Η + Ζ + Ε = 180 Η + - + - ζ = 180

Η +

80

α + γ + ε - -γ ε

0 0 0= 180 Η + α = 180 Η + Α = 180

ii)

0

Α = α = β = Δ 0 0

Η + Α = 180 (εντος και επιταυτα των ΑΘ, ΗΔ που τεμνονται απ'την ΑΗ) τοτε

ΑΘ || ΗΔ (1)

Η + Α = 180 Η + Δ = 180 (εντος και επιταυτα των ΑΗ, ΘΔ που τεμνονται

απ'την ΗΔ) τοτε ΑΗ || ΘΔ (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει, οτι το τετραπλευρο ΑΘΔΗ ειναι παραλληλογραμμο (εχει τις απε-

ναντι πλευρες του παραλληλες ) .


Α Β Θ

Γ

Ζ Ζ Γ

Η Ε Δ

Δ

α γ

ε

β δ

ζ

1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 5 ο 3812

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με AB > ΑΔ . Α Λ Β Θεωρουμε σημεια Κ, Λ των ΑΔ και ΑΒ αντιστοιχα ωστε AK = ΑΛ . Εστω Μ το μεσο του ΚΛ και η Μ προεκταση του ΑΜ (προς το Μ) τεμνει τη ΔΓ Κ στο σημειο Ε. Να αποδειξετε οτι: α) ΑΔ = ΔΕ . Δ Ε Γ (Μοναδες 8) β) ΒΓ + ΓΕ = ΑΒ (Μοναδες 10)

γ) Β = 2ΑΛ Κ (Μοναδες 7)

59

● Σε ενα παραλληλογραμμο ● οι απεναντι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. ● οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες. ● δυο διαδοχικες γωνιες του ειναι παραπληρωματικες .




. . . χ ρ η σ ι μ ο



60

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Το τριγωνο ΑΚΛ ειναι ισοσκελες

(ΑΚ = ΑΛ) και η ΑΜ ειναι διαμεσος

που αντιστοιχει στη βαση του ΚΛ .

Δηλαδη, η ΑΜ ειναι και διχοτομος

της γωνιας Α , οποτε

1 2Α = Α (1)

Ακομη

2 1Ε = Α (2)

εντος εναλλαξ των παραλληλων

ΑΒ, ΓΔ που τεμνονται απ’την ΑΕ .

Απ’τις (1), (2) προκυπτει οτι 1 1Α = Ε που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΔΕ ειναι ισοσκελες και

ΑΔ = ΔΕ .

β)

Ειναι ΑΔ = ΔΕΑΔ = ΒΓ ΔΓ = ΑΒ

ΒΓ + ΓΕ = ΑΔ + ΓΕ = ΔΕ + ΓΕ = ΔΓ = ΑΒ

γ)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΜΛ :

0

0

Α + Β = 180 0 0

2 1Α Β

+ = 90

1

2 2

ΑΑ Α ΒΛ = 90 - Α = 90 - = - = Β = 2Λ

Β +

2Β = ΑΛ Κ

2 22 2


Α Λ Β

Δ Ε Γ

1

1 2 1

1

Μ

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 6 ο 3954

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και στην προεκταση της ΑΔ Α Δ Ε θεωρουμε σημειο Ε τετοιο, ωστε ΔΕ = ΔΓ ενω στη προεκταση της ΑΒ θεωρουμε σημειο Ζ τετοιο, ωστε ΒΖ = ΒΓ .

α) Να αποδειξετε οτι Γ

i) ΒΓΖ = ΔΓΕ (Μοναδες 10) ii) Tα σημεια Ζ, Γ, Ε ειναι συνευθειακα. Ζ (Μοναδες 10) β) Ενας μαθητης για να αποδειξει οτι τα σημεια Ζ,Γ,Ε ειναι συνευθειακα ανεπτυξε τον παρα- κατω συλλογισμο.

≪ Εχουμε: ΒΓΖ = ΔΓΕ (ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ΔΕ και ΒΓ που τεμνονται

απο τη ΖΕ) και ΒΓΖ = ΔΕΓ (ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ΔΕ και ΒΓ που τεμνον-

ται απο τη ΔΓ). Ομως 0ΔΓΕ + Γ Δ Ε + ΔΕΓ = 180 ( ως αθροισμα των γωνιων του τρι-

γωνου ΔΕΓ). Αρα συμφωνα με τα προηγουμενα : 0ΔΓΕ + ΒΓΔ + ΒΓΖ = 180 . Οποτε

τα σημεια Ζ, Γ, Ε ειναι συνευθειακα.≫ Ομως ο καθηγητης υπεδειξε ενα λαθος στο συλλογισμο αυτο. Να βρειτε το λαθος στο συγ- κεκριμενο συλλογισμο.

(Μοναδες 5)

61

● Σε ενα παραλληλογραμμο ● οι απεναντι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. ● οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες. ● δυο διαδοχικες γωνιες του ειναι παραπληρωματικες .


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Β



62

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

1

1

1 1 1

2

Το τριγωνο ΖΒΓ ειναι ισοσκε -

λες με Γ = Ζ

Η Β ειναι εξωτερικη του τρι -

γωνου ΖΓΒ, οποτε :

Β = Γ + Ζ = 2 Γ (1)

Το τριγωνο ΓΔΕ ειναι ισοσκε -

λες με Γ = Ε

Η

1

2 2 1

(1 )

1 2 1 1(2 )

1 2

Δ ειναι εξωτερικη του τρι -

γωνου ΓΔΕ, οποτε :

Δ = Γ + Ε = 2 Γ (2)

Ομως ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο :

Β = Δ 2 Γ = 2 Γ

Γ = Γ (ΒΓΖ = ΔΓΕ)

ii)

1

1 1

1 1

(3 ) (1 ) 0 0

3 1 3 1

Η γωνια Β ειναι εξωτερικη του τριγωνου ΖΒΓ και

Β = Γ + Ζ (3)

Οι Β , Γ ειναι διαδοχικες γωνιες του παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ, οποτε

Β + Γ = 180 Γ + Ζ + Γ = 180

0 0 1 2 3 Γ + Γ + Γ = 180 ΖΓΕ = 180

που σημαινει οτι τα σημεια Ζ, Γ και Ε ειναι συνευθειακα .

β)

“ ΒΓΖ = ΔΓΕ (ως εντος εναλλαξ των παραλληλων ΔΕ και ΒΓ που τεμνονται απο τη ΖΕ) ” Ο μαθητης χρησιμοποιησε σαν δοσμενο οτι τα σημειa Ζ, Γ, Ε ειναι συνευθειακα .


Α Δ Ε

Β

Γ

Ζ

2

1

3 1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 7 ο 4555

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και απο το μεσο Μ του ΒΓ φερουμε ευθυγραμμο τμημα ΜΔ ισο και πα-ραλληλο με το ΒΑ και ευθυγραμμο τμημα ΜΕ ισο και παραλληλο με το ΓΑ (τα σημεια Δ και Ε ειναι στο ημιεπιπεδο που οριζεται απο τη ΒΓ και το σημειο Α). Να αποδειξετε οτι: α) Τα σημεια Δ, Α, Ε ειναι συνευθειακα.

(Μοναδες 10) β) Η περιμετρος του τριγωνου ΜΔΕ ειναι ιση με την περιμετρο του τριγωνου ΑΒΓ.

(Μοναδες 9) γ) Οταν ενας καθηγητης εθεσε το ερωτημα αν τα Ε Α Δ σημεια Δ, Α, Ε ειναι συνευθειακα στους μαθητες 2 1 3 του, ενας απο αυτους εκανε το διπλανο σχημα 1 Ζ και απαντησε ως εξης:

1 1Ζ = Α (εντος εναλλαξ των ΑΒ // ΜΔ που

τεμνονται απο ΑΖ) Β Μ Γ

2ΑΔ Ζ = Α (εντος εκτος και επι τα αυτα μερη των ΑΒ//ΜΔ που τεμνονται απο ΔΕ).

Ομως 0 3 1Ζ + Α + ΑΔ Ζ = 180 (αθροισμα γωνιων του τριγωνου ΑΔΖ). Αρα συμφωνα

με τα προηγουμενα εχουμε: 0 1 2 3Α + Α + Α = 180 . Οποτε Δ,Ε,A συνευθειακα.

Ομως ο καθηγητης ειπε οτι υπαρχει λαθος στο συλλογισμο. Μπορειτε να εντοπισετε το λαθος του μαθητη;

(Μοναδες 6)

63

● Σε ενα παραλληλογραμμο ● οι απεναντι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. ● οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες. ● αν οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.

● Παραλληλες ευθειες με κοινι σημειο, ταυτιζονται .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



64

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● MΔ || BA και MΔ || BA τοτε

το MBAΔ ειναι παραλληλο-

γραμμο, με ΑΔ ||ΜΒ ||ΒΓ

● ME || ΑΓ και ME || ΑΓ τοτε

το ΜΓΑΕ ειναι παραλληλο-

γραμμο, με ΕΑ ||ΜΓ ||ΒΓ

Ετσι ΕΑ || ΑΔ (παραλληλες με

κοινο σημειο, ταυτιζονται)

Αρα τα σημεια Δ, A, E ειναι

συνευθειακα.

β)

Ειναι ΕΑ = ΜΓ, ΑΔ = ΒΜΑΒ = ΔΜ

ΔΜΕ ΑΓ = ΜΕ ΑΔΜΒ, ΕΑΓΒ παραλληλογραμμα

ΜΓ+ΜΒ = ΒΓ

ΑΒΓ

Π = ΕΔ + ΔΜ + ΜΕ = ΕΑ + ΑΔ + ΑΒ + ΑΓ =

= ΜΓ + ΜΒ + ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ + ΑΒ + ΑΓ = Π

γ)

“ 2ΑΔ Ζ = Α (εντος εκτος και επι τα αυτα μερη των ΑΒ || ΜΔ που τεμνονται απο ΔΕ)”

Ο μαθητης χρησιμοποιησε σαν δοσμενο οτι τα σημειa Δ, Α, Ε ειναι συνευθειακα .


Ε Α Δ

Ζ

Β Μ Γ

1

1

3 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 8 ο 4616

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και Μ το μεσο της Α Β πλευρας ΔΓ. Φερουμε καθετη στην ΑΜ στο σημειο της Μ, η οποια τεμνει την ευθεια ΑΔ στο σημειο Ρ και την ΒΓ στο Σ. Σ Να αποδειξετε οτι : Δ α) ΔΡ = ΣΓ Μ Γ (Μοναδες 8) Ρ β) Το τριγωνο ΑΡΣ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 8) γ) ΑΣ = ΑΔ + ΓΣ (Μοναδες 9)

65





. . . χ ρ η σ ι μ ο



66

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1

1 2

Τα τριγωνα ΡΔΜ και ΜΓΣ ειναι ισα

γιατι :

ΜΔ = ΜΓ (Μ μεσο ΔΓ)

Ρ = Σ (εντος εναλλαξ)

ΔΡ || ΣΓ που τεμνονται απ'τη ΡΣ


(Γ - Π - Γ)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχε

ια τους

ισα και ΔΡ = ΣΓ (1), ΜΡ = ΜΣ (2)

β)

Στο τριγωνο ΑΡΣ η ΑΜ ειναι υψος (υποθεση) και διαμεσος (απ’την (2)), οποτε το τριγωνο ΑΡΣ

ειναι ισοσκελες.

γ)

Ειναι τριγωνο ΑΡΣ (1 )

ισοσκελεςΑΣ = ΑΡ = ΑΔ + ΔΡ = ΑΔ + ΓΣ


Α Β

Σ

Δ

Μ Γ

Ρ

1

2 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 2 9 ο 4651

Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ θεωρουμε σημεια Ε, Ζ, Η, Θ στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντι-

στοιχα, με AE = ΓΗ και ΒΖ = ΔΘ . Να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΑΕΓΗ ειναι παραλληλογραμμο. Θ (Μοναδες 6) β) Το τετραπλευρο ΕΖΗΘ ειναι παραλληλογραμμο. (Μοναδες 10) Δ Η Γ γ) Τα τμηματα ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ και ΖΘ διερ- χονται απο το ιδιο σημειο . (Μοναδες 9)

67

● Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν ● οι απεναντι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. ● οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες. ● αν οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α Ε Β

Ζ



68

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

ΑΕ || ΗΔ (ΑΒ || ΔΓ)

ΑΕ = ΗΔ (υποθεση)

το τετραπλευρο

ΑΕΓΗ ειναι παραλληλογραμμο και

ΑΗ = ΕΓ (1)

β)

Απ’την υποθεση ειναι:

● ΑΕ = ΗΓ (2) ● ΒΖ = ΘΔ (3)

● ΑΘ = ΓΖ (4) (διαφορες ισων τμηματων)

● ΔΗ = ΕΒ (5) (διαφορες ισων τμηματων) Α = Γ (6) Β = Δ (7)

Τα τριγωνα ΒΕΖ, ΔΗΘ ισα γιατι : Τα τριγωνα ΑΘΕ, ΓΗΖ ισα γιατι :

ΒΖ = ΔΘ (3) ΑΕ = Γ

ΔΗ = ΕΒ (5) (Π - Γ - Π)

Δ = Β (7)

οποτε και ΘΗ = ΕΖ (8)

Η (2)

ΑΘ = ΓΖ (4) (Π - Γ - Π)

Α = Γ (6)

οποτε και ΘΕ = ΗΖ (9)

Απ’ τις (8), (9) οροκυπτει οτι το τετραπλευρο ΕΖΗΘ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες

ισες ) .

γ)

● ΕΗ, ΖΘ διαγωνιες του παραλληλογραμμου ΕΖΗΘ, που διχοτομουνται στο σημειο Ο.

● ΑΓ, ΕΗ διαγωνιες του παραλληλογραμμου ΑΗΓΕ, που διχοτομουνται στο σημειο Ο.

(Το σημειο Ο ειναι το μεσο της ΕΗ , οποτε ειναι μεσο και της ΑΓ)

● ΑΓ, ΒΔ διαγωνιες του παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ, που διχοτομουνται στο σημειο Ο.

(Το σημειο Ο ειναι το μεσο της ΑΓ , οποτε ειναι μεσο και της ΒΔ)

Τελικα τα τμηματα ΑΓ, ΒΔ, ΕΗ και ΖΘ εχουν κοινο μεσο το σημειο Ο.


Α Ε Β

Ζ

Θ

Β

Δ Η Γ

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 0 ο 4735

Εστω τριγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτομος της γωνιας Α, Α για την οποια ισχυει οτι AΔ = ΔΓ . Η ΔΕ ειναι διχοτο- μος της γωνιας ΑΔΒ και η ΔΖ παραλληλη στην ΑΒ. Ζ Να αποδειξετε οτι:

α) Τα τμηματα ΕΔ και ΑΓ ειναι παραλληλα. Ε (Μοναδες 9) β) Το τριγωνο ΕΑΔ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 8) Β Δ Γ γ) Τα τμηματα ΑΔ και ΕΖ διχοτομουνται. (Μοναδες 8)

69


. . . χ ρ η σ ι μ ο



70

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

2

1 2

2

1 2

Γ=Α

2

1 2

Α = Α

ΑΔ διχοτομος της Α

Γ = Α

Τριγωνο ΑΔΓ ισοσκελες

Δ = Δ

ΔΕ διχοτομος της ΑΔ Β

Η γωνια ΑΔ Β ειναι εξω -

τερικη του τριγωνου ΕΔΓ

Ετσι

ΑΔ Β = Α + Γ

Δ + Δ = 2Α

1 2Δ =Δ

2

2 2 2 2

2Δ = 2Α Δ = Α εντος εναλλαξ των ΕΔ, ΑΖ που τεμνονται απ'την ΑΔ .

Αρα ΕΖ και ΑΖ παραλληλες .

β)

1 2

1 2

2 2

Απ'το ερωτημα (α) :

Α = Α Α = Δ , που σημαινει οτι το τριγωνο ΕΑΔ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΔ .

Δ = Α

γ)

Το τετραπλευρο ΑΕΔΖ ειναι παραλληλογραμμο (ΑΕ || ΔΖ και ΕΔ || ΑΖ, οι απεναντι πλευρες του

ειναι παραλληλες ).

Οποτε οι διαγωνιες του ΑΔ και ΕΖ διχοτομουνται .


Α

Ζ

Ε

Β Δ Γ

2

2 1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 1 ο 4781

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΑΚ διχοτομο της γωνιας Α. Α Στην προεκταση της ΑΚ θεωρουμε σημειο Δ ωστε AK = ΚΔ . Η παραλληλη απο το Δ προς την ΑΒ τεμ- νει τις ΑΓ και ΒΓ στα Ε και Ζ αντλιστοιχα.

Να αποδειξετε οτι: Ε α) Το τριγωνο ΑΕΔ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 6) β) Η ΕΚ ειναι μεσοκαθετος του ΑΔ. Β Κ Ζ Γ (Μοναδες 6) γ) Τα τριγωνα ΑΚΒ και ΚΔΖ ειναι ισα. (Μοναδες 7) δ) Το τετραπλευρο ΑΖΔΒ ειναι παραλληλογραμμο. (Μοναδες 6) Δ

71




. . . χ ρ η σ ι μ ο



72

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1 2

1 2 1 1

Α = Α ΑΔ διχοτομος της Α

Α = Δ εντος εναλλαξ Α = Δ

(ΑΒ || ΔΕ που τεμνονται απ'την ΑΔ

Ετσι, το τριγωνο ΑΕΔ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΔ .

β)

Η ΕΚ ειναι διαμεσος στη βαση του ισοσκελους τριγωνου

ΑΕΔ, αρα ειναι και υψος του.

Δηλαδη η ΕΚ ειναι μεσοκαθετος του τμηματος ΑΔ.

γ)

1 1

1 2

Τα τριγωνα ΑΚΒ και ΚΔΖ ειναι ισα γιατι :

ΑΚ = ΚΔ (υποθεση)

Α = Δ (απο (α) ερωτημα) (Γ - Π - Γ)

Κ = Κ (κατακορυφη)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΒΚ = ΚΖ (1)

δ)

ΒΚ = ΚΖ (λογω (1)) το τετραπλευρο ΑΖΔΒ ειναι παραλληλογραμμο

ΑΚ = ΚΔ (υποθεση) (οι διαγωνιες του διχοτομουνται)


Α

Ε

Β Ζ Γ

Δ

1

2

1 2

1

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 2 ο 4821

Εστω τριγωνο ΑΒΓ, ΑΔ η διχοτομος της Α

γωνιας Α και Μ το μεσον της ΑΒ.

Η καθετη απο το Μ στην ΑΔ τεμνει το ΑΓ Λ

στο Ε. Η παραλληλη απο το Β στο ΑΓ τε- Μ

μνει την προεκταση της ΑΔ στο Κ και την Ε

προεκταση της ΕΜ στο Λ.

Να αποδειξετε οτι: α) Τα τριγωνα ΑΕΜ, ΜΒΛ και Γ Δ Β

ΑΒΚ ειναι ισοσκελη

(Μοναδες 15)

β) Το τετραπλευρο ΑΛΒΕ ειναι

παραλληλογραμμο .

(Μοναδες 10)

73



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Κ



74

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Στο τριγωνο ΑΕΜ, η ΑΝ ειναι υψος και διχοτο-

μος, που σημαινει οτι αυτο ειναι ισοσκελες και

1 1Μ = Ε (1)

● Στο τριγωνο ΜΒΛ :

1 2

1 1

1 2


Λ = Ε (εντος εναλλαξ)

ΑΕ || ΛΒ που τεμνονται απ'την ΕΛ

Λογω της (1) : Λ = Μ

που σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες .

● Στο τριγωνο ΑΒΚ :

1 2

1

2

Α = Α (ΑΚ διχοτομος της Α)

Α = Κ (εντος εναλλαξ)

ΑΓ || ΛΚ που τεμνονται απ'την ΑΚ

Οποτε, Α = Κ

που σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες .

β)

Μ μεσο της ΑΒ, οποτε ΜΑ = ΜΒ.

Ομως τα τριγωνα ΑΕΜ, ΜΒΛ ειναι ισοσκελη (α) οποτε και ΑΕ = ΒΛ, που ειναι και παραλληλες.

Ετσι, το τετραπλευρο ΑΛΒΕ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες ισες και παραλληλες) .


Α

Λ

Ε

Γ Δ Β

Κ

Μ

Ν

2 1

1

1

1 2





Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



5 Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο





2 ο Θ ε μ α



8 . Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο Π α ρ α λ λ η λ ο γ ρ α μ μ ο

Θ ε μ α 3 3 ο 2799

Στη παρακατω εικονα φαινεται μια κρεμαστρα τοιχου η οποια αποτελειται απο εξι ισα ευθυ-γραμμα κομματια ξυλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που ειναι στερεωμενα με εντεκα καρφια (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ, Ζ). Αν το σημειο Θ, ειναι μεσο των τμηματων ΑΔ και ΒΓ ενω το σημειο Ε ειναι μεσο των τμηματων ΓΖ και ΔΗ, να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΓΗΖΔ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 10) β) Τα σημεια Β,Δ,Ζ ειναι συνευθειακα. .

(Μοναδες 9) γ) Το τετραπλευρο ΑΓΖΔ ειναι παραλληλογραμμο.

(Μοναδες 6) Α Γ Η Κ Θ Ε Μ

Β Δ Ζ Λ

77

● Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ορθογωνιο αν εχει: ● μια γωνια ορθη (ορισμος). ● τις διαγωνιες του ισες.


. . . χ ρ η σ ι μ ο



78

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Ειναι απ’την υποθεση

ΑΔ = ΒΓ = ΓΖ = ΔΗ = ΗΛ = ΖΚ

α)

Ειναι

ΓΖ = ΔΗ, που σημαινει οτι το τε-

τραπλευρο ΓΗΖΔ ειναι ορθογωνιο .

(οι διαγωνιες του διχοτομουνται

και ειναι ισες)

β)

Οπως στο ερωτημα (α) :

ΑΔ = ΒΓ, που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΑΓΔΒ ειναι ορθογωνιο .

Αφου τα ΓΗΖΔ και ΑΓΔΒ ειναι ορθογωνια :

0 0 0

0

ΓΔΒ = 90ΓΔΒ + ΓΔΖ = 180 ΒΔΖ = 180

ΓΔΖ = 90

που σημαινει οτι τα σημεια Β, Δ, Ζ ειναι συνευθειακα .

γ)

ΑΓ || ΔΖ (1), αφου ΑΓ || ΒΔ (ΑΓΔΒ ορθογωνιο) και Β, Δ, Ζ συνευθειακα .

ΑΓΒΔ ορθογωνιο

ΒΔ = ΑΓ

Τα τριγωνα ΒΔΓ και ΓΔΖ ειναι ισα γιατι :


ΓΔ = κοινη

ΒΓ = ΓΖ (υποθεση)


ΒΔ = ΔΖ ΑΓ = ΔΖ (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΑΓΖΔ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευ-

ρες ισες και παραλληλες) .


Α Γ Η Κ

Θ Μ

Β Δ Ζ Λ

Ε


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 4 ο 3700

Στο ορθογωνιο παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ ειναι 0ΔΓΑ = 30 . Α Β

Φερουμε ΔΕ ⊥ ΑΓ Ε α) Να αποδειξετε οτι η γωνια ΑΔΓ χωριζεται απο τη ΔΕ και τη διαγωνιο ΔΒ σε τρεις ισες Ο γωνιες. Δ Γ (Μοναδες 13) β) Φερουμε καθετη στην ΑΓ στο σημειο Ο η οποια τεμνει την προεκταση της ΑΔ στο Ζ. Να δειξετε οτι τα τριγωνα ΑΖΟ και ΑΒΓ ειναι ισα. (Μοναδες 12) Ζ

79


● Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας.

. . . χ ρ η σ ι μ ο

300



80

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΓ ειναι :

0 0 0 1

0

Α = 90 - 30 = 60

ΑΓΔ = 30 οποτε

ΑΓ ΑΔ = = ΟΑ = ΒΓ (1)

2

Η γωνια 0Γ = 90 (ΑΒΓΔ ορθογωνιο) 0 0 0

1Γ = 90 - 30 = 60 (2)

α)

0 0 0 1 1 1

0 1

0 3 3

1 2

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΕΔ ειναι

Δ = 90 - Α Δ = 90 - 60

Δ = 30

Το τριγωνο ΔΟΓ ειναι ισοσκελες ΟΔ = ΟΓ

Οποτε,

Δ = Γ Δ = 30

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΓ ειναι

Δ + Δ

0 0 0 0 0 3 2 2+ Δ = 90 30 + Δ + 30 = 90 Δ = 30

β)

1 1

Τα τριγωνα ΑΖΟ και ΑΒΓ ειναι ισα γιατι :


ΟΑ = ΒΓ (λογω (1))

Α = Γ (λογω (2))


Α Β

Δ Γ

Ζ

300

Ο

Ε

1 2

3

1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 5 ο 3704

Εστω ε1 , ε2 δυο καθετες ευθειες που τεμνονται στο Ο και τυχαιο σημειο Μ του επιπεδου που

δεν ανηκει στις ευθειες. α) Αν M1 ειναι το συμμετρικο του Μ ως προς την ε1 και M2 το συμμετρικο του M1 ως προς

την ε2 , να αποδειξετε οτι:

i) 1ΟΜ = ΟΜ

(Μοναδες 6) ii) Τα σημεια Μ, Ο και

2Μ ειναι συνευθειακα.

(Μοναδες 8) iii) Το τριγωνο MM1M2 ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 6) β) Αν 3Μ ειναι το συμμετρικο του

2Μ ως προς την 1ε , τι ειδους παραλληλογραμμο

ειναι το M M1 2Μ 3Μ ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας .

(Μοναδες 5)

81



● Τα σημεια της μεσοκαθετου ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ, ισαπεχουν απ’τα ακρα του τμηματος Α, Β

● Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



82

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Tο M1 ειναι το συμμετρικο του Μ ως προς την ε1 ,

οποτε η ε1 ειναι μεσοκαθετη του MM1 .

Το Ο ανηκει στην ε1 και ισαπεχει απο τα Μ και M1 ,

δηλαδη OM = OM1

ii)

● Tο M2 ειναι το συμμετρικο του M1 ως προς την ε2,

οποτε η ε2 ειναι μεσοκαθετη του M1M2 .

Το Ο ανηκει στην ε2 και ισαπεχει απο τα M1 και

M2, δηλαδη OM1 = OM2 και το τριγωνο M1OM2 ι-

σοσκελες με

1 2 2 1

ΟΜ Μ = ΟΜ Μ (1)

● 1 2 1 1 2

1 2 2

ε εε || Μ Μ

Μ Μ ε

(1 ) 2 1 2 1 1

1 3

3 2 1 2 2

1 2

ΟΜ Μ = Ο (εντος εναλλαξ, ΑΟ || Μ Β που τεμνονται απο ΟΜ )Ο = Ο

ΟΜ Μ = Ο (εντος εναλλαξ, Α'Ο || Μ Β που τεμνονται απο ΟΜ )

Ο = Ο (ΟΑ διχοτομος)

που εχουν τις πλευρς ΟΑ και ΟΑ’ αντικειμενες, οποτε αντικειμενες ειναι και οι ΟΜ και ΟΜ2,

που σημαινει οτι τα σημεια Μ, Ο και 2

Μ ειναι συνευθειακα .

iii)

Απ’τα ισοσκελη τριγωνα M1OM, M1OM2 ειναι:ΟΜ = ΟΜ1 = ΟΜ2 . Δηλαδη στο τριγωνο MM1M2

(+) 1 2 1 2

1 2 1 2 1

1 2

Μ Ο = ΟΜ ΜΜ ΜΜ Μ2Μ Ο = ΟΜ + ΟΜ 2Μ Ο = ΜΜ Μ Ο =2Μ Ο = ΟΜ ορθογωνιο

β)

1 3 1 2

3 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 1 3 1

1

1 1

Τα τριγωνα Μ ΜΜ και ΜΜ Μ ειναι ισα γιατι :


(ΜΜ ε , Μ Μ ε τοτε ΜΜ || Μ Μ και αφου Μ Μ ΜΜ Μ Μ ΜΜ )

ΜΜ = κοινη

ΟΜΑ = ΟΜ Α (ΜΟΜ τριγω

νο ισοσκελες)

Αρα, M M1 2 3Μ Μ ειναι παραλληλογραμμο με ορθη γωνια,

δηλαδη ορθογωνιο.


ε1

Μ Α Μ1

Β

ε2

Μ3 A’ Μ2

Ο

1 2

3

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 6 ο 3722

Δινεται κυρτο τετραπλευρο ΑΒΓΔ με ΒΑ = ΒΓ και Α = Γ . Α Να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΑΔΓ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 9) Β Δ β) Οι διαγωνιοι του τετραπλευρου ΑΒΓΔ τεμνονται καθετα. (Μοναδες 6) Γ γ) Το τετραπλευρο που εχει κορυφες τα μεσα των πλευρων του ΑΒΓΔ ειναι ορθογωνιο. (Μοναδες 10)

83





. . . χ ρ η σ ι μ ο



84

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Α = Γ

2 1 2 1

1 1

Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες

(ΒΑ = ΒΓ) με ισες γωνιες βασης :

Ετσι

Α = Γ Α - Α = Γ - Γ

Α = Γ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΔΓ

ειναι ισοσκελες με βαση ΑΓ .

β)

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ ειναι ισοσκελη και ΒΑ = ΒΓ, ΔΑ = ΔΓ.

Δηλαδη τα σημεια Β, Γ ισαπεχουν απ’τα σημεια Α κα Γ, οποτε ανηκουν στη μεσοκαθετη του τμη-

ματος ΑΓ.

Αρα ΒΔ ⊥ ΑΓ .

γ)

Τριγωνο ΑΒΔ, Κ και Λ μεσα των ΑΒ και ΑΔ : ΚΛ || ΒΔΚΛ || ΝΜ

Τριγωνο ΓΒΔ, Ν και Μ μεσα των ΓΒ και ΓΔ : ΝΜ || ΒΔ

ΒΔ ΑΓ (λογω (β))

Τριγωνο ΑΒΓ, Κ και Ν μεσα των ΑΒ και ΑΓ : ΚΝ || ΑΓ

Τριγωνο

ΚΝ || ΛΜ ΑΔΓ, Λ και Μ μεσα των ΑΔ και ΓΔ : ΛΜ || ΑΓ

Το τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες παραλληλες) με πλευρες καθετες με-

ταξυ τους, αρα ορθογωνιο .


Α

Κ Λ

Β Δ

Ν Μ

Γ

2

1

1

2

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 7 ο 3926

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με AB = ΑΓ , τυχαιο Α σημειο Μ της βασης του ΒΓ και το υψος του ΒΗ. Απο το Μ φερουμε καθετες ΜΔ, ΜΕ και ΜΘ στις ΑΒ, ΑΓ και ΒΗ .

Να αποδειξετε οτι:

α) Το τετραπλευρο ΜΕΗΘ ειναι ορθογωνιο. (Μοναδες 9) Η β) ΒΘ = ΔΜ. Δ Θ Ε (Μοναδες 9)

γ) ΜΔ + ΜΕ = ΒΗ Β Μ Γ (Μοναδες 7)

85


● Ενα τετραπλευρο ειναι ορθογωνιο, αν εχει τρεις ορθες γωνιες .


. . . χ ρ η σ ι μ ο



86

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Το τετραπλευρο ΜΕΗΘ εχει τρεις ορθες γωνιες, ο-

ποτε ειναι ορθογωνιο.

β)

ΔΜΒ συμπληρωματικη της Β

ΘΒΜ συμπληρωματικη της Γ ΔΜΒ = ΘΒΜ (1)

Β = Γ (τρ. ΑΒΓ ισοσκελες)

Τα τριγωνα ΒΔΜ και ΒΘΜΓ ειναι ισα γιατι :


ΒΜ = κοινη

ΔΜΒ = ΘΒΜ (λογω

της (1))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΒΘ = ΔΜ (2) .

γ)

Ειναι

ΜΕ = ΘΗ (3), αφου ΜΕΗΘ ειναι ορθογωνιο .

Ετσι (2)

(3)ΜΔ + ΜΕ = ΒΘ + ΘΗ = ΒΗ


Α

Η

Ε

Δ

Β Μ Γ

Θ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 8 ο 4571

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με AB = ΑΓ και σημειο Α Δ στην προεκταση της ΒΓ. Απο το Δ φερουμε ΔΚ καθετη στην ΑΒ και ΔΕ καθετη στην προεκταση της ΑΓ. Απο το σημειο Γ φερουμε ΓΗ καθετη στην ΑΒ και ΓΖ καθετη στην ΚΔ. Κ Να αποδειξετε οτι:

α) Το τετραπλευρο ΜΕΗΘ ειναι ορθογωνιο. Η (Μοναδες 4) Ζ

β) ΒΘ = ΔΜ (Μοναδες 4) Β Γ Δ

γ) ΜΔ + ΜΕ = ΒΗ Ε (Μοναδες 9) δ) ΜΔ + ΜΕ = ΒΗ (Μοναδες 8)

87




. . . χ ρ η σ ι μ ο



88

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1

Το τετραπλευρο ΚΖΓΗ ειναι ορθο -

γωνιο (τρεις ορθες γωνιες)

Οποτε ΑΓ || ΚΗ || ΑΒ

Γ = Β (1)

εντος - εκτος επιταυτα των παραλ -

ληλων ΓΖ, ΑΒ που τεμνονται απο

την ΒΔ .

β)

2

1

1 2

Β = Γ (τρ. ΑΒΓ ισοσκελες)

Γ = Γ (κατακορυφη)

Γ = Β (λογω (1))

Αρα Γ = Γ που σημαινει οτι η

ΔΓ ειναι διχοτομος της ΖΓΕ .

γ)

1 2

Τα τριγωνα ΓΖΔ και ΓΕΔ ειναι ισα γιατι :


ΓΔ = κοινη

Γ = Γ (απ'το (β) ερωτημα)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΔΖ = ΔΕ (2), δηλαδη το τριγωνο ΔΖΕ

ειναι ισοσκελες .

δ)

Ειναι

ΚΖ = ΗΓ (3), αφου ΚΖΓΗ ειναι ορθογωνιο .

Ετσι (2)

(3)ΔΚ - ΔΕ = + - ΔΕ = ΚΖ ΓΗ + - ΔΔΖ ΔΕ Ε = ΓΗ


Α

Κ

Η

Ζ

Β Γ Δ

Ε

2 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 3 9 ο 4603

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (AB = ΑΓ), και τυχαιο σημειο Μ Ε της πλευρας ΒΓ. Απο το δημειο Μ φερουμε ευθεια καθετη στην ΒΓ που τεμνει τις ευθειες ΑΒ και ΑΓ στα σημεια Ε και Θ αντιστοιχα. Αν ΑΔ και ΑΗ τα υψη των τριγωνων ΑΒΓ και ΑΘΕ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι: Α Η

α) 0ΔΑΗ = 90 (Μοναδες 8)

β) Το τριγωνο ΑΘΕ ειναι ισοσκελες . Θ (Μοναδες 8)

γ) ΜΘ + ΜΕ = 2ΑΔ (Μοναδες 9) Β Δ Μ Γ

89



● Οι διχοτομοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων ειναι καθετες.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



90

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

0

Το τετραπλευρο ΑΗΜΔ ειναι ορθογωνιο

(τρεις ορθες γωνιες)

Οποτε

ΔΑΗ = 90

β)

1

2 1

Το ΑΗΜΔ ορθογωνιο, οποτε ΑΔ || ΕΜ .

Α = Ε (εντος - εκτος και επιταυτα)

ΑΔ || ΕΜ που τεμνονται απ'την ΕΒ .

Α = Θ (εντος εναλλαξ)

ΑΔ || ΕΜ που τεμνονται απ'τ

1 2

1

ην ΑΘ .

Α = Α (ΑΔ διχοτομος της γωνιας Α)

ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες και ΑΔ υψος

και διχοτομος .

Ετσι

Ε = Θ που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΘΕ ειναι

ισοσκελες με βαση την ΕΘ .

Α λ λ ι ω ς

● ΑΔ διχοτομος της γωνιας Α αφου ΑΒΓ

τριγωνο ισοσκελες και ΑΔ υψος στη βαση .

● 0ΔΑΗ = 90

Αρα ΑΗ η διχοτομος της εξΑ .

Ομως η ΑΗ ειναι και υψος στο τριγωνο ΑΘΕ, που σημαινει οτι αυτο ειναι ισοσκελες .

γ)

Ειναι

● ΘΗ = ΗΕ (1), αφου στο ισοσκελες τριγωνο ΑΗ ειναι υψος στη βαση, αρα και διαμεσος .

● ΑΔ = ΗΜ (2), αφου ΑΗΜΔ ειναι ορθογωνιο .

Ετσι (1)

(2)+ ΜΕ = + ΗΜ + ΗΕΜΘ Η = ΑΜ - ΘΗ Δ - ΗΕ + ΑΔ + ΗΕ = 2ΑΔ


Ε

Α Η

Θ

Β Δ Μ Γ

1 1 2

Οι διχοτομοι δυο εφεξης και

παραπληρωματικων γωνιων

ειναι καθετες.


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 4 0 ο 4643

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με 0Α = 90 . Φερουμε Γ Δ τη διαμεσο του ΑΜ την οποια προεκτεινουμε, προς το μερος του Μ, κατα τμημα M AM . Θεωρουμε ευθεια ΔΚ καθετη Κ στη ΒΓ, η οποια τεμνει τη διχοτομο της γωνιας Β στο Ε. Να αποδειξετε οτι: Μ α) Το τετραπλευρο ΑΒΔΓ ειναι ορθογωνιο. Ε (Μοναδες 8)

β)

0 ΒΚ ΕΒ = 90 -

2 Α Β

(Μοναδες 8)

γ) ΔΕ = ΒΔ (Μοναδες 9)

91


● Στο ισοσκελες τριγωνο, οι γωνιες της βασης ειναι ισες .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



92

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

ΜΑ = ΜΔ και ΜΒ = ΜΓ

Οι διαγωνιες του τετραπλευρου ΑΒΔΓ διχοτομουνται

(ειναι παραλληλογραμμο) και εχει 0Α = 90 , που

σημαινει οτι ειναι ορθογωνιο.

β)

2Β

Β = 2

0 0 2

ΒΕ διχοτομος της Β

0

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΕΚΒ :

ΒΒ + ΚΕΒ = 90 + ΚΕΒ = 90

2

ΒΚΕΒ = 90 - (1)

2

γ)

1Β

Β = 2

0 0 0 0 1

ΒΕ διχοτομος της Β

ΑΒΔΓ ορθογωνιο οποτε :

Β ΒΑΒΔ = 90 Β + ΕΒΔ = 90 + ΕΒΔ = 90 ΕΒΔ = 90 - (2)

2 2

Απ΄τις (1) και (2) προκυπτει οτι το τριγωνο ΔΕΒ ειναι ισοσκελες με βαση ΔΒ, οποτε ΔΕ = ΒΔ .


Γ Δ

Ε

Α Β

2 1

Κ

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 4 1 ο 4814

Εστω κυκλος με κεντρο Ο και διαμετρο ΑΒ. Φερνουμε χορδη ΓΔ ||ΑΒ και Κ το μεσο της. Απο το Δ φερνουμε Δ Κ Γ το τμημα ΔΕ καθετο στη ΔΓ. Να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΚΓΟΕ ειναι παραλληλογραμμο. Α Β (Μοναδες 8) Ε Ο

β) ΔΟΓ

ΔΕΚ =2

(Μοναδες 12)

γ) ΚΕ < ΚΒ (Μοναδες 5)

93



● Το αποστημα χορδης, την διχοτομει καθετα .

● Στο ορθογωνιο τριγωνο η υποτεινουσα ειναι η μεγαλυτερη πλευρα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



94

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΔΕ ⊥ ΔΓ και ΔΓ || ΑΒ, τοτε ΔΕ ⊥ ΑΒ

● Κ μεσο ΔΓ, αρα αποστημα της ΔΓ και

● ΟΚ ⊥ ΔΓ και ΔΓ || ΑΒ, τοτε ΟΚ ⊥ ΑΒ

● ΔΚ = ΚΓ (1)

● ΟΚ διχοτομος της

1ΔΟΓ

ΔΟΓ και Ο =2

(2)

● ΔΚΟΕ ορθογωνιο (τεσσερις ορθες γωνιες) και

ΔΚ || = ΕΟ (3)

Απ’τις (1) και (3) προκυπτει : ΚΓ || = ΕΟ

που σημαινει οτι το ΚΓΟΕ ειναι παραλληλογραμμο.

β)

(2 )

1

ΣΤα τριγωνα ΔΕΚ και ΟΚΓ ειναι ισα γιατι :


ΔΕ = ΟΚ (ΔΚΟΕ ορθογωνιο)

ΔΚ = ΚΓ (λογω της (1))

ΔΟΓοποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΔΚΕ = Ο =

2

γ)

ΚΕ = ΟΔΟΒ = ΟΔ

ακτινες κυκλου διαγωνιες ορθογωνιου ΔΚΟΕ

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΚΟΒ η ΚΒ ειναι υποτεινουσα και

ΒΟ < ΚΒ ΟΔ < ΚΒ ΚΕ < ΚΒ


Δ Γ

Α Β

Κ

Ο Ε

2 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 4 2 ο 5908

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με AB > ΑΔ και οι διχοτομοι των γωνιων του ΑΡ, ΒΕ, ΓΣ και ΔΤ (οπου Ρ, Ε στην ΔΓ και Σ,Τ στην ΑΒ) τεμνονται στα στα σημεια Κ, Λ, Μ και Ν οπως φαινεται στο σχημα. Α Σ Τ Β Να αποδειξετε οτι: Μ α) Το τετραπλευρο ΔΕΒΤ ειναι παραλληλογραμμο. (Μοναδες 7) Ν Λ

β) Το τετραπλευρο ΚΛΜΝ ειναι ορθογωνιο . Κ (Μοναδες 8)

γ) ΛΝ || ΑΒ Δ Ε Ρ Γ (Μοναδες 5) δ) ΛΝ = ΑΒ - ΑΔ (Μοναδες 5)

95



. . . χ ρ η σ ι μ ο



96

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1 1

Τα τριγωνα ΑΔΤ, ΕΓΒ ισα γιατι :

ΑΔ = ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο


Δ = Β (μισα ισων (Δ = Β))

(Γ - Π - Γ), οποτε

ΔΤ = ΕΒ (1)

ΑΤ = ΕΓ

ΑΒ - ΤΒ = ΔΓ - ΡΓ

ΑΒ = ΔΓ

ΑΒ - ΤΒ = ΔΓ - ΡΓ

ΤΒ = ΡΓ (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΔΕΒΤ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες

του ισες) .

β)

1 1

0

1 1

0

Α ΔΑ = , Δ =

2 2 0 0 0 0

1 1Α + Δ = 180

Β ΓΒ = , Γ =

2 2 0 0 0 0

1 1Β + Γ = 180

τρ. ΔΑΝ : ΔΑΝ + Α + Δ = 180 ΔΑΝ + 90 = 180 ΔΑΝ = 90

τρ. ΒΛΓ : ΒΛΓ + Β + Γ = 180 ΒΛΓ + 90 = 180 ΒΛΓ = 90

τρ. Δ

2 2

0

Δ ΓΔ = , Γ =

2 2 0 0 0 0

2 2Δ + Γ = 180

ΜΓ : ΔΜΓ + Δ + Γ = 180 ΔΜΓ + 90 = 180 ΔΜΓ = 90

Οποτε το τετραπλευρο ΚΛΜΝ ειναι ορθογωνιο (εχει τρεις ορθες γωνιες) .

γ)

ΔΤ = ΕΒ

ΔΤ || ΕΒ

ΔΤ τρ. ΔΑΤ : ΑΝ διχοτομος και υψος , αρα και διαμεσος : ΝΤ =

2 ΝΤ || = ΒΛΕΒ

τρ. ΕΓΒ : ΓΛ διχοτομος και υψος , αρα και διαμεσος : ΒΛ =2

Οποτε ΤΒΝΛ ειναι παραλληλογραμμο και ΛΝ || ΤΒ || ΑΒ .

δ) τρ. ΔΑΤ ισοσκελες (ΑΝ υψος και διχοτομος)

ΑΤ = ΑΔΛΝ = ΤΒ = ΑΒ - ΑΤ = ΑΒ - ΑΔ


Α Σ Τ Β

Δ Ε Ρ Γ

Κ

Λ

Μ

Ν

1

1 1

1 2 2

2 2





Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



6. Ρ ο μ β ο ς




2 ο Θ ε μ α



8 . Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Ρ ο μ β ο ς

Θ ε μ α 4 3 ο 3715

Δινονται οι ακολουθες προτασεις Π1 και Π2: Π1 : Αν ενα παραλληλογραμμο ειναι ρομβος, τοτε οι αποστασεις των απεναντι πλευρων του ειναι ισες. Π2 : Αν οι αποστασεις των απεναντι πλευρων ενος παραλληλογραμμου ειναι ισες, τοτε το παραλληλογραμμο ειναι ρομβος. α) Να εξετασετε αν ισχυουν οι προτασεις Π1 και Π2 αιτιολογωντας πληρως την απαντηση σας

(Μοναδες 20) β) Στην περιπτωση που οι δυο προτασεις ισχυουν, να τις διατυπωσετε ως μια ενιαια προταση.

(Μοναδες 5)

99

● Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν : ● Δυο διαδοχικες πλευρες του ειναι ισες (ορισμος). ● Οι διαγωνιοι του ειναι καθετες

. . . χ ρ η σ ι μ ο


Ρ ο μ β ο ς

100

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Π1 :

Υποθεση : το παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ ρομβος

Εστω ΒΕ, ΒΖ οι αποστασεις των παραλληλων

πλευρων του ρομβου ΑΒΓΔ .

Τα τριγωνα ΑΒΕ και ΒΖΓ ειναι ισα γιατι :


Α = Γ (ΑΒΓΔ ρομβος)

ΑΒ = ΒΓ (ΑΒΓΔ ρομβος)


και ΒΕ = ΒΖ .

Π2 :

Υποθεση : το ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο, ΒΕ = ΒΖ .

Τα τριγωνα ΑΒΕ και ΒΖΓ ειναι ισα γιατι :



ΒΕ = ΒΖ (υποθεση)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΑΒ = ΒΓ που σημαινει οτι το πα

ραλληλο -

γραμμο ΑΒΓΔ ειναι ρομβος, αφου δυο διαδοχικες πλευρες του ειναι ισες .

β)

Ενα παραλληλογραμμο ειναι ρομβος, αν και μονο αν, οι αποστασεις των απεναντι πλευρων του

ειναι ισες.


Α

Ε

Β Δ

Γ

Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Ρ ο μ β ο ς

Θ ε μ α 4 4 ο 3813

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 2ΒΓ και τη γωνια Β αμβλεια. Απο την κορυφη Α φερουμε την ΑΕ καθετη στην ευθεια ΒΓ και εστω Μ, Ν τα μεσα των ΑΒ, ΔΓ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι:

α) Το παραλληλογραμμο ΜΒΓΝ ειναι ρομβος. (Μοναδες 8)

β) Το τετραπλευρο ΜΕΓΝ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

(Μοναδες 9)

γ) Η ΕΝ ειναι διχοτομος της γωνιας ΜΕΓ . . (Μοναδες 8)

101


● Ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες αν ισχυει μια τις παρακατω. ● Οι γωνιες που προσκεινται σε μια βαση ειναι ισες. ● Οι διαγωνιοι του ειναι ισες. ● Οι μη παραλληλες πλευρες του ειναι ισες.


● Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας.

. . . χ ρ η σ ι μ ο


Ρ ο μ β ο ς

102

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

ΑΒ = ΔΓ

ΑΒ=ΒΓ

2

ΑΒΜ μεσο ΑΒ ΜΒ =

2ΔΓ

Ν μεσο ΔΓ ΝΓ =2

ΜΒ || ΝΓ

ΜΒ ||= ΝΓ = ΒΓ που σημαινει οτι ΜΒΓΝ

ειναι ρομβος (παραλληλογραμμο με διαδοχι -

κες πλευρες ισες) .

β)

ΜΝ || ΕΓ (απο (α)) και οι ΝΓ, ΕΜ τεμνονται (ΕΜ τεμνει την ΑΒ, αρα και τη παραλληλη της ΝΓ)

οποτε το ΜΕΓΝ ειναι τραπεζιο .

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΕΒ, η ΕΜ ειναι διαμεσος (Μ μεσο ΑΒ) στην υποτεινουσα , οποτε (α)

ΜΒ = ΝΓ

ΑΒΕΜ = = ΜΒ = ΝΓ

2

Δηλαδη, το ΜΕΓΝ ειναι ισοσκελες τραπεζιο .

γ)

Ειναι απο (α) και (β)

● ΜΝ || ΓΕ

● ΕΜ = ΜΝ = (ΝΓ = ΒΓ = ΜΒ)

1 1 1 2

1 2

τρ. ΕΝΜ ισοσκελες (ΕΜ = ΜΝ) : Ε = Ν Ε = Ε και η ΕΝ

διχοτομος της ΜΕΓΕ = Ν (εντος εναλλαξ, ΜΝ || ΕΓ που τεμνονται απ'την ΝΕ)


Δ Ν Γ

Γ Α Μ Β

Ε

1

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8 d

e m

o

.b l

o g

s p

o t

. g

r

Ρ ο μ β ο ς

Θ ε μ α 4 5 ο 4652

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και σημεια Κ,Λ της διαγωνιου του ΒΔ, τετοια, ωστε να ισχυει ΒΚ = ΚΛ = ΛΔ . α) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΚΓΛ ειναι παραλληλογραμμο.

(Μοναδες 10) β) Να αποδειξετε οτι, αν το αρχικο παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ ειναι ρομβος, τοτε και το ΑΚΓΛ ειναι ρομβος. .

(Μοναδες 8) γ) Ποια πρεπει να ειναι η σχεση των διαγωνιων του αρχικου παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ, ωστε το ΑΚΓΛ να ειναι ορθογωνιο; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.

(Μοναδες 7)

103

● Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν : ● Οι διαγωνιοι του ειναι καθετες

● Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν ● αν οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.


. . . χ ρ η σ ι μ ο


Ρ ο μ β ο ς

104

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Εστω Ο το σημειο τομης των δια-

γωνιων ΑΓ, ΒΔ του παραλληλο-

γραμμου ΑΒΓΔ.

Οι διαγωνιες διχοτομουνται, και

● ΟΑ = ΟΓ (1)

ΒΚ = ΛΔ

ΟΒ = ΟΔ

ΒΚ + ΚΟ = ΟΛ + ΛΔ

ΚΟ = ΟΛ (2)

Απ’τις (1) και (2) :

το τετραπλευρο ΑΚΓΛ ειναι παραλ-

ληλογραμμο αφου οι διαγωνιες του

διχοτομουνται.

β)

Αν το ΑΒΓΔ ειναι ρομβος τοτε οι

διαγωνιες του ΑΓ και ΒΔ θα ειναι

καθετες.

Τοτε ομως και στο παραλληλογραμ-

μο ΑΚΓΛ οι διαγωνιες του θα ειναι

καθετες και θα ειναι ρομβος.

γ)

Για να ειναι το ΑΚΓΛ ορθογωνιο

πρεπει να εχει ισες διαγωνιες .

Ετσι

ΒΔΚΛ = ΑΓ = ΑΓ

3ΒΔ = 3ΑΓ


Α Β

Δ Γ

Α Β

Δ Γ

Α Β

Δ Γ

Ο

Κ

Λ

Ο

Κ

Λ

Κ

Λ

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Ρ ο μ β ο ς

Θ ε μ α 4 6 ο 4798

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με Α Β < Α Γ . Φερνουμε τμημα ΒΔ καθετο στην ΑΒ και με ΒΔ = ΑΓ και τμημα ΓΕ Α καθετο στην ΑΓ με ΓΕ = ΑΒ . Θεωρουμε τα μεσα Ζ και Θ των ΑΔ και ΑΕ καθως και τη διχοτομο ΑΔ της

γωνιας Δ A E . Β Γ

α) Να αποδειξετε οτι AΔ = ΑΕ . Ζ (Μοναδες 9) β) Αν Κ τυχαιο σημειο της διχοτομου Αδ, να αποδειξετε οτι το Κ ισαπεχει απο τα μεσα Κ Ε Ζ και Θ. (Μοναδες 9) Δ δ γ) Αν το Κ ειναι σημειο της διχοτομου Αδ τετοιο, ωστε KZ = AZ , να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΖΚΘ ειναι ρομβος . (Μοναδες 7) Β

105



● Τα σημεια της μεσοκαθετης τμηματος, ισαπεχουν απ’τα ακρα του τμηματος .

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Θ


Ρ ο μ β ο ς

106

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ ειναι ισα

γιατι :


ΑΒ = ΓΕ (υποθεση)

ΒΔ = ΑΓ (υποθεση)


ισα και ΑΔ = ΑΕ (1)

.

β)

1 2

Τα τριγωνα ΑΖΚ και ΑΘΚ ειναι ισα

γιατι :

ΑΚ = κοινη

Α = Α (Αδ διχοτομος)

ΑΖ = ΑΘ (μισα ισων (1)

(Π - Γ - Π)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΚΖ = ΚΘ (2).

γ)

Αν ΚΖ = ΑΖ τοτε συμφωνα με τα παραπανω ΑΖ = ΚΖ = ΚΘ = ΑΘ .

ΚΖ = ΑΖ : το Ζ ειναι σημειο της μεσοκαθετης του ΑΚΖΘ μεσοκαθετη του ΑΚ

ΑΘ = ΚΘ : το Θ ειναι σημειο της μεσοκαθετης του ΑΚ

ΑΖ = ΑΘ : το Α ειναι σημειο της μεσοκαθετης του ΖΘ

ΚΖ = ΚΘ :

ΑΚ μεσοκαθετη του ΖΘ το Κ ειναι σημειο της μεσοκαθετης του ΖΘ

ΖΘ, ΑΚ διχοτομουνται καθετα, οποτε το τετραπλευρο ΑΖΚΘ ειναι ρομβος .


Α

Β Γ

Ο

Ε

Κ

Δ δ

Ζ

Θ

1 2



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



7 . Τ ε τ ρ α γ ω ν ο





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Τ ε τ ρ α γ ω ν ο

Θ ε μ α 4 7 ο 3705

Δινεται ορθογωνιο ΑΒΓΔ και εξω απο αυτο, κατασκευαζουμε Η τεσσερα ισοπλευρα τριγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ, ΔΑΘ. α) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΕΖΗΘ ειναι ρομβος. (Μοναδες 15) Δ Γ β) Αν το αρχικο τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι Θ Ζ τετραγωνο, τοτε το ΕΖΗΘ τι ειδους παραλ- ληλογραμμο ειναι; Α Β Δικαιολογηστε την απαντηση σας. (Μοναδες 10)

Ε

109

● Το τετραγωνο εχει τις ιδιοτητες του ορθογωνιου και του ρομβου .


. . . χ ρ η σ ι μ ο



110

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Φερουμε τις διαμεσους ΗΜ, ΕΝ των ισοπλευρων τριγω-

νων ΗΔΓ και ΑΒΕ αντιστοιχα .

ΗΜ, ΜΝ, ΕΝ ειναι παραλληλα (καθετα στις παραλληλες

ΑΒ, ΔΓ) με κοινα σημεια(Μ για ΗΜ, ΜΝ και Ν για ΜΝ,

ΕΝ) οποτε ειναι συνευθειακα και ΗΕ διερχεται απ’το

κεντρο Ο του ορθογωνιου ΑΒΓΔ (Ο μεσο ΜΝ) ενω

ΟΗ = ΟΕ (ΗΜ = ΕΝ και ΟΜ = ΟΝ) που ειναι καθετα

στις ΑΒ, ΔΓ.

Ομοια, η ΘΖ διερχεται απ’το Ο και ΟΘ = ΟΖ που ειναι

καθετα στις ΑΔ, ΒΓ.

Δηλαδη οι ΗΕ, ΘΖ διχοτομουνται καθετα και αφου ειναι

οι διαγωνιες του τετραπλευρου ΕΖΗΘ, αυτο ειναι ρομβος.

Παρατηρηση :

Τα τμηματα που ενωνουν τα μεσα των απεναντι πλευρων

ορθογωνιου, τεμνομενα, διχοτομουνται στο κεντρο του

κυκλου .

β)

Αν το ΑΒΓΔ ειναι τετραγωνο, συμφωνα με το ερωτημα

(α), οι ΗΕ, ΘΖ διχοτομουνται καθετα και ειναι ισες .

Οποτε , αφου ειναι οι διαγωνιες του τετραπλευρου

ΕΖΗΘ, αυτο ειναι τετραγωνο .


Η

Θ Ζ

Ε

Η

Θ Ζ

Ε

Γ

Α

Α Β

Β

Γ

Γ

Δ

Δ

Ο

Ν

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 4 8 ο 3727

Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και εκτος αυτου Μ κατασκευαζουμε τετραγωνο ΒΓΔΕ. α) Να αποδειξετε οτι :

i) ΔΝ = ΔΜ

(Μοναδες 7) Ε ii) ΔΝ ⊥ ΔΜ Ζ (Μοναδες 10) β) Αν Ε το συμμετρικο του Δ ως προς την Δ Γ

ευθεια ΜΝ, να αποδειξετε οτι το τετρα- πλευρο ΔΜΕΝ ειναι τετραγωνο. (Μοναδες 8)

Α Β Ν

111




. . . χ ρ η σ ι μ ο



112

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:/

/ d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Τα τριγωνα ΔΑΝ, ΔΓΜ ειναι ισα γιατι :


ΑΝ = ΓΜ (υποθεση)

ΑΔ = ΔΓ (ΑΒΓΔ τετραγωνο)


Ετσι, ΔΜ = ΔΝ και ΜΔΓ = ΑΔΝ (1)

ii)

(1)

0

Ειναι

ΜΔΝ = + ΓΔΝ = + ΓΔΝ =

ΜΔΓ ΑΔΝ

= ΑΔΓ = 90 (ΑΒΓΔ τετραγωνο)

β)

Tο τριγωνο ΔΜΝ ειναι ισοσκελες (a), οποτε ΔN ειναι υψος και διαμεσος, δηλαδη το Ζ ειναι μεσο

του ΜΝ.

Στο τετραπλευρο ΔΜΕΝ οι διαγωνιες του ΜΝ, ΔΕ διχοτομουνται καθετα, οποτε το τετραπλευρο

ειναι ρομβος με μια γωνια ορθη (β), δηλαδη τετραγωνο .


Μ

Ε

Δ

Α Β Ν

Γ

Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 4 9 ο 3803

Σε τετραγωνο ΑΒΓΔ προεκτεινουμε τη διαγωνιο ΒΔ (προς το Δ) Α Β κατα τμημα ΔΕ = ΔΒ . Εστω Μ το μεσο της ΑΔ και Ν το σημειο τομης των ευθειων ΑΕ και ΓΔ . α) Να αποδειξετε οτι ΔΝ = ΔΜ . Μ (Μοναδες 6) β) Να υπολογισετε τις γωνιες του τρι- γωνου ΝΜΔ . Ν Δ Γ (Μοναδες 5)

γ) Να αποδειξετε οτι : i) ΜΝ ⊥ ΑΓ

(Μοναδες 7) Ε

ii) ΓΜ ⊥ ΑΝ

(Μοναδες 7)

113



● Στο ισοσκελες ορθογωνιο τριγωνο, οι οξειες γωνιες του ειναι ισες με 45 0 .

● Τα υψη του τριγωνου διερχονται απ’το ιδιο σημειο (ορθοκεντρο) .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



114

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t .

g r

α)

Ειναι

● Στο τριγωνο ΑΒΕ, AB || ΑΕ και Δ μεσο

της ΕΒ, οποτε και Ν μεσο της ΑΕ .

Ετσι

ΑΔ = ΔΜ

ΑΒΓΔ 2

τετραγωνο Μ μεσο ΑΔ

ΑΒ ΑΔΔΝ = = = ΔΜ

2 2

β)

0

0

ΜΔΝ = 90 (ΑΒΓΔ τετραγωνο)

Το τριγωνο ΝΔΜ ειναι ισοσκελες (α),

οποτε

ΔΝΜ = ΔΜΝ = 45

γ)

i)

● Οι διαγωνιες ΑΓ, ΒΔ του τετραγωνου ABΓΔ τεμνονται καθετα (ΑΓ ⊥ ΒΔ).

● Στο τριγωνο AEΔ, N, M μεσα των πλευρων του AE, AΔ, οποτε

NM || ΕΔ (||ΒΔ) και ΝΜ ⊥ ΑΓ .

ii)

Στο τριγωνο ΑΝΓ :

● ΑΔ το υψος του στη ΝΓ (β ερωτημα)

● ΝΖ το υψος του στη ΑΓ (γi ερωτημα)

Aρα το σημειο Μ ειναι το ορθοκεντρο του τριγωνου, απ’το οποιο θα διερχεται και το τριτο υψος

του .

Ετσι

ΓΜ ⊥ ΑΝ


Α Β

Μ

Ν

Δ Γ

Ε

Ζ

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 0 ο 3817

Δινεται οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ και στο εξωτερικο του Η σχηματιζονται τα τετραγωνα ΑΒΔΕ και ΑΓΖΗ .

Να αποδειξετε οτι: Ε

α) Ε ΑΗ = ΑΒΓ + ΑΓΒ Ζ (Μοναδες 8)

β) ΕΓ = ΒΗ Δ

(Μοναδες 9) Β Γ γ) Η ΕΓ ειναι καθετη στη ΒΗ . (Μοναδες 8)

115



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α



116

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t .

g r

α)

Ειναι

0ΕΑΒ = ΗΑΓ = 90

οποτε 0ΕΑΗ + ΒΑΓ = 180

(απο τριγωνο ΑΒΓ)

ΕΑΗ + ΒΑ

Γ =

ΒΑΓ

ΕΑΗ

+ ΑΒ

= ΑΒ

Γ + ΑΓΒ

Γ + ΑΓΒ

β)

0

Τα τριγωνα ΕΑΓ, ΒΑΗ

ειναι ισα γιατι :

ΕΑ = ΑΒ (ΑΒΔΕ τετραγωνο)

ΑΓ = ΑΗ (ΗΖΓΑ τετραγωνο) (Π - Γ - Π)

ΕΑ Γ = ΒΑ Η (= 90 + ΒΑΓ)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα, οποτε : ΕΓ

= ΒΗ και ΑΕ Γ = ΑΒΟ (1)

γ)

0ΟΒ Κ = ΑΕ Γ απο (1) ΕΑ Β = 90 0

τριγωνο ΕΑΚΟΚ Β = ΕΚΑ (κατακορυφη)

0

Στο τριγωνο ΚΒΟ ειναι :

ΟΒ Κ + ΟΚ Β = ΑΕ Γ + ΕΚΑ = 90

οποτε και ΚΟΒ = 90 , που σημαινει οτι ΕΓ ΒΗ .


Η

Ε

Ζ

Δ

Β Γ

Α

Κ Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 1 ο 3906

Εκτος τριγωνου ΑΒΓ κατασκευαζουμε τετραγωνα ΑΒΔΕ Η και ΑΓΖΗ. Αν Μ το μεσο του ΒΓ και Λ σημειο στην προ- εκταση της ΑΜ τετοιο, ωστε AM = MΛ , να αποδειξετε οτι: α) ΓΛ = ΑΕ Ε Ζ (Μοναδες 10)

β) ΑΓΛ = Ε ΑΗ

(Μοναδες 10) Δ γ) Η προεκταση της ΜΑ (προς το Α) τεμνει καθετα τη ΕΗ . (Μοναδες 5)

117



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Β Μ Γ

Α

Ρ

Λ



118

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τετραπλευρο ΑΒΛΓ

οι διαγωνιες του διχοτο-

μουνται, αρα ειναι παραλ-

ληλογραμμο και

ΓΛ = ΑΒ = ΑΕ

(ΑΒΔΕ τετραγωνο)

β)

Ειναι 0ΕΑΒ = ΗΑΓ = 90 ΛΓΒ = ΑΒΓ (1)

εντος εναλλαξ (απο (α))

οποτε 0ΕΑΗ + ΒΑΓ = 180

(απο τριγωνο ΑΒΓ)

ΕΑΗ + ΒΑ

Γ =

ΒΑΓ

(1 )

+ ΑΒ

ΕΑΗ = ΑΒΓ + ΑΓΒ

Γ + ΑΓΒ

ΛΓΒ + ΑΓΒΕΑΗ = ΕΑΗ ΑΓΛ=

γ)

Τα τριγωνα ΕΑΗ και ΑΓΛ ειναι ισα γιατι :

ΑΕ = ΓΛ ( = ΑΒ) (ΑΒΔΕ τετραγωνο και λογω (α)

ΑΗ = ΑΓ (ΗΖΓΑ τετραγωνο) (Π - Γ - Π)

ΕΑΗ = ΑΓΛ (λογω (β))

οποτε και τα υπολοιπα

0

ΑΛΓ = ΒΑΛ, εντος εναλλαξ(2) ΕΑΒΔ τετραγωνο 0 0

ΑΒ||ΓΛ που τεμνονται απο ΑΛ ΕΑΒ = 90

στοιχεια τους ισα και ΡΕΑ = ΑΛΓ (2)

Στο τριγωνο ΕΡΑ :

ΡΕΑ + ΡΑΕ = ΑΛΓ + ΡΑΕ = ΒΑΛ + ΡΑΕ = 180 - ΕΑΒ = 90

Οπο 0

τε

ΕΡΑ = 90 , δηλαδη ΛΡ ΕΗ .


Η

Ρ

Ε

Ζ

Δ

Β Γ

Λ

Α

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 2 ο 4567

Δινεται τετραγωνο ΑΒΓΔ και εντος αυτου ισοπλευρο Α Β τριγωνο ΜΒΓ. Αν η προεκταση της ΑΜ τεμνει τη ΒΔ στο σημειο Ε, να αποδειξετε οτι:

α) 0ΔΑΕ = 15 Μ (Μοναδες 8)

β) Τα τριγωνα ΔΑΕ και ΔΕΓ ειναι ισα .

(Μοναδες 8)

γ) Η ΓΕ ειναι διχοτομος της γωνιας ΔΓΜ . Δ Γ (Μοναδες 9)

119



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ε



120

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Το τριγωνο ΑΒΜ ειναι ισοσκελες (ΑΒ = ΜΒ, πλευρες

του τετραγωνου ΑΒΓΔ και του ισοπλευρου τριγωνου

ΜΒΓ) . Ετσι

0

0

0 2 1 2

ΜΒΓ = 60 0 0

2ΜΒΓ ισοπλευρο

0 0 0 0 2 2

ΒΑΔ = 90 0 0

2ΑΒΓΔ τετραγωνο

0 0 0

Α + Μ + Β = 180

2Α + 90 - ΜΒΓ = 180

2Α + 90 - 60 = 180 2Α = 150

Α = 75 ΒΑΔ - ΔΑΕ = 75

90 - ΔΑΕ = 75 ΔΑΕ = 15

β)

0

Τα τριγωνα ΔΑΕ και ΔΕΓ ειναι ισα γιατι :

ΔΕ = κοινη

ΑΔ = ΔΓ (ΑΒΓΔ τετραγωνο) (Π - Γ - Π)

ΑΔΕ = ΕΔΓ = 45 (ΔΒ διχοτομος της ΑΔΓ, αφου ΑΒΓΔ τετραγωνο)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια

0τους ισα και ΕΓΔ = ΔΑΕ = 15 (1)

γ)

0

0

0

ΕΓΔ = 15 λογω (1) 0 0 0 0

ΒΓΔ = 90 (ΑΒΓΔ τετραγωνο)ΒΓΜ = 60 (ΜΒΓ ισοπλευρο)

0

Ειναι

ΜΓΕ = ΒΓΔ - ΒΓΜ - ΕΓΔ = ΜΓΕ = 90 - 60 - 15 = 15

Δηλαδη

ΕΓΔ = ΜΓΕ = 15 που σημαινει οτι η ΓΕ διχοτομει τη γωνια ΔΓΜ .


Α Β

Δ Γ

Μ

Ε 600

600

600

2

2

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 3 ο 4614

Δινεται τετραγωνο ΑΒΓΔ και τυχαιο σημειο Ε στην πλευρα Δ Ε Γ ΔΓ. Φερουμε τη διχοτομο ΑΖ της γωνιας ΕΑΒ και την ΔΗ καθετη απο το Δ προς την ΑΖ, η οποια τεμνει την ΑΕ στο Μ και την ΑΒ στο Ν. Ζ Να αποδειξετε οτι: Μ

α) Τα τριγωνα ΑΔΝ και ΑΒΖ ειναι ισα . Η (Μοναδες 8)

β) ΑΜ = ΑΝ και ΔΕ = ΕΜ

(Μοναδες 10) γ) ΑΕ = ΔΕ + ΒΖ (Μοναδες 7)

121



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α Ν Β



122

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1 1

Τα τριγωνα ΑΔΝ και ΑΒΖ ειναι ισα γιατι :


ΑΔ = ΑΒ (ΑΒΓΔ τετραγωνο)

Δ = Α (οξειες γωνιες με πλευρες καθετες)

β)

Το τριγωνο ΑΝΜ ειναι ισοσκελες (ΑΔ διχοτομος και

υψος στη ΜΝ) οποτε

● ΑΜ = ΑΝ και 1 1 Μ = Ν

Ακομη

1 2 Μ = Μ (κατακορυφη)

1 2 Ν = Δ (εντος εναλλαξ των παραλληλων ΑΒ, ΔΓ που τεμνονται απ’την ΔΝ)

Ετσι

2 2Μ = Δ που σημαινει οτι το τριγωνο ΔΕΜ ειναι ισοσκελες και ΔΕ = ΕΜ .

γ)

ΑΜ = ΑΝ (ΑΜΝ ισοσκελες) ΒΖ = ΑΝ

ΜΕ = ΔΕ (ΔΕΜ ισοσκελες) (α) ερωτημα

Ειναι

ΑΕ = ΑΜ + ΜΕ = ΑΝ + ΔΕ = ΒΖ + ΔΕ


Δ Ε Γ

Ζ

Α Ν Β

Μ

1

2

1

1

2 1

2

Η


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 4 ο 6875

Σε ορθογωνιο ΑΒΓ ( 0Α = 90 ) φερουμε τη διχοτομο του ΑΔ. Εστω ΔΚ και ΔΡ οι προβολες του Δ στις ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα.Η καθετη της ΒΓ στο σημειο Δ τεμνει την πλευρα ΑΓ στο Ε και την προεκταση της πλευρας ΑΒ (προς το Α) στο σημειο Ζ. α) Να αποδειξετε οτι:

i) Β = ΔΕΓ Ρ Δ

(Μοναδες 8)

ii) ΔΕ = ΔΒ Ε

(Μοναδες 8)

β) Να υπολογισετε τη γωνια ΔΓΖ . Ζ Α Κ Β

(Μοναδες 9)

123



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Γ



124

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

0

0

Β = ΔΕ Γ (συμπληρωματικες της γωνιας Γ)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ : Β + Γ = 90

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΕΔΓ : ΔΕ Γ + Γ = 90

ii)

Στο ορθογωνιο ΡΔΚΑ (τρεις ορθες γωνιες) η δια -

γωνιος ΑΔ διχοτομει τη γωνια του ΡΑ Κ, (ρομβος),

οποτε αυτο ειναι τετραγωνο .

Τα τριγωνα ΕΡΔ και ΔΚΒ ειναι ισα γιατι :


Β = ΔΕ Γ (ερωτημα (α))

ΡΔ = ΔΚ (ΡΔΚΑ τετραγωνο)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΔΕ = ΔΒ

β)

Τα τριγωνα ΓΔΕ και ΒΔΖ ειναι ισα γιατι :


Β = ΔΕΓ (λογω (αi))

ΔΕ = ΔΒ (λογω (αii))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΔΓ = ΔΖ, που σημαινει οτι το τρι

0 0

γωνο

ΓΔΖ ειναι ισοσκελες και ορθογωνιο (ΓΖΔ = 90 ), οποτε ΔΓΖ = 45 .


Γ

Ρ Δ

Ε

Ζ Α Κ Β

450

450





Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



8 . Θ ε ω ρ η μ α τ α Μ ε σ ω ν

Π λ ε υ ρ ω ν Τ ρ ι γ ω ν ο υ





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Θ ε ω ρ η μ α τ α Μ ε σ ω ν Π λ ε υ ρ ω ν Τ ρ ι γ ω ν ο υ

Θ ε μ α 5 5 ο 2809

Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και τα υψη του ΒΚ και ΓΛ, Α τα οποι ατεμνονται στο Ι. Αν τα σημεια Μ και Ν ειναι τα μεσα των ΒΙ και ΓΙ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι:

α) Το τριγωνο ΒΙΓ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 5) Λ Κ

β) Τα τριγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ ειναι ισα.

(Μοναδες 5) Ι

γ) Το ΑΙ προεκτεινομενο διερχεται απο το Μ Ν μεσο της πλευρας ΒΓ. (Μοναδες 5) Β Γ

δ) Το τετραπλευρο ΜΛΚΝ ειναι ορθογωνιο

παραλληλογραμμο .

(Μοναδες 10)

127


● Στο ισοπλευρο τριγωνο, οι διχοτομοι, ειναι διαμεσοι και υψη .

● Στο ισοπλευρο τριγωνο, οι γωνιες του ειναι ισες με 60 0 .



. . . χ ρ η σ ι μ ο



128

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

0 1 1

Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοπλευρο και

Α = Β = Γ = 60 Β = Γ

αφου τα υψη ΒΚ, ΓΛ ειναι και διχοτομοι.

Ετσι

το τριγωνο ΒΙΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΒΓ .

β)

2 2

Τα τριγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ ειναι ισα γιατι :

ΙΒ = ΙΓ (λογω του (α))

ΒΛ = ΓΚ (μισα ισων ΑΒ = ΑΓ)

Β = Γ (ΒΚ, ΓΛ διχοτομοι των Β, Γ)

(Π - Γ - Π)

γ)

Το I ειναι ορθοκεντρο του ABΓ , οποτε τα σημεια A, I ανηκουν στο υψος ΑΡ (που ειναι και μεσο

της ΒΓ, αφου ΑΡ και διαμεσος) .

Ετσι

το AI προεκτεινομενο διερχεται απο το μεσο της πλευρας ΒΓ.

δ)

Στο τριγωνο ΑΒΓ :

ΛΚ || ΒΓ Λ μεσο της πλευρας ΑΒ

ΒΓ Κ μεσο της πλευρας ΑΓ ΛΚ =

2 Στο τριγωνο ΒΙΓ :

ΜΝ || ΒΓ Μ μεσο της πλευρας ΒΙ

ΒΓ Ν μεσο της πλευρας ΓΙ ΜΝ =

2 Στο

ΜΛΚΝ ορθογωνιο ΛΚ || ΜΝ

(απεναντι πλευρες ισεςΛΚ = ΜΝ

και παραλληλες και μιαΛΜ ΜΝ

γω

τριγωνο ΑΙΒ :

Λ μεσο της πλευρας ΑΒ ΛΜ || ΑΡ

Μ μεσο της πλευρας ΒΙ ΛΜ ΒΓ

νια ορθη)


Α

Λ Κ

Β Ρ Γ

Μ Ν

Ι

1 1 2 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l

o g

s p

o t

. g

r


Θ ε μ α 5 6 ο 3694

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτομος του ΑΔ. Α Φερουμε απο το Β καθετη στην ΑΔ που τεμνει την ΑΔ στο Ε και την πλευρα ΑΓ στο Η. Αν Μ ειναι το μεσο της πλευρας ΒΓ, να αποδειξετε οτι:

α) Το τριγωνο ΑΒΗ ειναι ισοσκελες. Η (Μοναδες 9) Ε β) ΕΜ || ΗΓ (Μοναδες 8) Β Δ Μ Γ

γ)

ΑΓ - ΑΒΕΜ =

2 (Μοναδες 8)

129

● Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της. ● Αν απο το μεσο μιας πλευρας ενος τριγωνου φερουμε ευθεια παραλληλη προς μια πλευρα του, τοτε η ευθεια αυτη διερχεται απ’ το μεσο της τριτης πλευρας του.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



130

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΑΒΗ, το ΑΕ ειναι υψος και

διχοτομος, οποτε αυτο ειναι ισοσκελες και

επειδη το ΑΕ ειναι και διαμεσος, τοτε Ε

ειναι μεσο του ΒΗ.

β)

Στο τριγωνο ΗΒΓ :

Ε μεσο της πλευρας ΒΗ .

Μ μεσο της πλευρας ΒΓ .

Ετσι

ΕΜ || ΗΓ

γ)

(α )

Στο τριγωνο ΗΒΓ :

Ε μεσο της πλευρας ΒΗ ΗΓ ΑΓ - ΑΓ -ΕΜ = ΕΜ = ΕΜ =

2 2 2 Μ μεσο της πλευρας ΒΓ

ΑΗ ΑΒ


Α

H

Β Δ Μ Γ

Ε

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 7 ο 3697

α) Να αποδειξετε οτι το τριγωνο με κορυφες τα μεσα των πλευρων ισοσκελους τριγωνου ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 9) β) Να διατυπωσετε και να αποδειξετε αναλογη προταση για i) ισοπλευρο τριγωνο .

(Μοναδες 8) ii) ορθογωνιο και ισοσκελες τριγωνο.

(Μοναδες 8)

131


. . . χ ρ η σ ι μ ο



132

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

ΑΒ = ΑΓ

Εστω το ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Κ, Λ, Μ

τα μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντιστοιχα .

Οποτε

ΑΒ ΛΜ = ΚΛΜ ισοσκελες τριγωνο2 ΛΜ = ΚΜ

ΑΓ με βαση ΚΛ ΚΜ =

2

β)

Να αποδειξετε οτι το τριγωνο με κορυφες τα μεσα των πλευρων ισοπλευρου τριγωνου ειναι ισοπλευρο .

ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ

Εστω το ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και Κ, Λ, Μ

τα μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντιστοιχα .

Οποτε

ΑΒ ΛΜ =

2ΚΛΜ ισοπλευροΑΓ

ΚΜ = ΛΜ = ΚΜ = ΚΛ 2 τριγωνο

ΒΓ ΚΜ =

2

γ)

Να αποδειξετε οτι το τριγωνο με κορυφες τα μεσα των πλευρων ορθογωνιου και ισοσκελους τριγωνου ειναι ορθογωνιο και ισο- σκελες .

ΑΒ = ΑΓ

ΑΒ ΑΓ

Εστω το ορθογωνιο και ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ και

Κ, Λ, Μ τα μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αντιστοιχα .

Οποτε

ΑΒ ΛΜ ||= ΛΜ = ΚΜ2 ΚΛΜ οθρογωνιο κ

ΑΓ ΛΜ ΚΜ ΚΜ || =

2

0αι ισοσκελες τριγωνο (ΚΜΛ = 90 )


A

K Λ

Β Μ Γ

Α

Κ Λ

Β Μ Γ

Γ

Λ Μ

Α Κ Β


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 8 ο 3699

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ. Αν τα σημεια Ε και Ζ ειναι τα μεσα των πλευρων του ΑΒ και ΓΔ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΔΕΒΖ ειναι παραλληλογραμμο.

(Μοναδες 8)

β) ΑΕΔ = ΒΖΓ (Μοναδες 8)

γ) Οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομουν τη διαγωνιο ΑΓ του παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ . (Μοναδες 9)

133

● Αν απο το μεσο μιας πλευρας ενος τριγωνου φερουμε ευθεια παραλληλη προς μια πλευρα του, τοτε η ευθεια αυτη διερχεται απ’ το μεσο της τριτης πλευρας του.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



134

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

ΑΒ = ΔΓ

ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο : ΑΒ ||= ΔΓ

Ε, Ζ μεσα των ΑΒ, ΓΔ αντιστοιχα .

Ετσι

ΑΒ ΔΓΒΕ = = = ΔΖ

ΔΕΒΖ2 2ΒΕ || ΔΖ (ΑΒ || ΔΓ)

ειναι παραλληλογραμμο .

β)

Τα τριγωνα ΑΕΔ και ΒΓΖ ειναι ισα γιατι :


ΑΕ = ΓΖ (μισα ισων (ΑΒ = ΓΔ)) (Π - Γ - Π)


οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια το

υς ισα και ΑΕΔ = ΒΖΓ

γ)

Απ’το (α) ερωτημα πτοκυπτει (Tο τετραπλευρο ΔΕΒΖ ειναι παραλληλογραμμο): ΑΔ || ΒΖ

Eτσι

● Στο τριγωνο ΑΒΝ, Ε μεσο της ΑΒ και ΕΜ || ΒΝ, οποτε Μ μεσο της ΑΝ .

● Στο τριγωνο ΜΓΔ, Ζ μεσο της ΔΓ και ΝΖ || ΜΔ, οποτε Ν μεσο της ΜΓ .

Δηλαδη

ΑΜ = ΜΝ = ΝΓ, που σημαινει οτι οι ΔΕ και ΒΖ τριχοτομουν τη διαγωνιο ΑΓ του παραλληλογραμ-

μου ΑΒΓΔ .


Α Δ

Ε Ζ

Β Γ

Μ

Ν

1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 5 9 ο 3717

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και εστω Κ, Λ τα μεσα των πλευρων του ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. α) Θεωρουμε τυχαιο σημειο Μ στο εσωτερικο του τριγωνου και Δ, Ε τα συμμετρικα του Μ ως προς Κ και Λ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι ΔΕ || ΒΓ.

(Μοναδες 15) β) Στη περιπτωση που το σημειο Μ ειναι το μεσο της πλευρας ΒΓ, και Δ, Ε τα συμμετρικα του Μ ως προς Κ και Λ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι τα σημεια Δ, Α και Ε ειναι συνευθειακα .

(Μοναδες 10)

135


. . . χ ρ η σ ι μ ο



136

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)


Κ, Λ μεσα των ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα

Ετσι

ΚΛ || ΒΓ (1)

Στο τριγωνο ΜΔΕ :

Κ, Λ μεσα των ΜΔ, ΜΕ αντιστοιχα

Ετσι

ΚΛ || ΔΕ (2)

Απ'τις (1), (2) προκυπτει : ΔΕ |

| ΒΓ

β)

● Απ’το (α) ερωτημα ΔΕ || ΒΓ (1)


Λ, Μ μεσα των ΑΓ, ΒΓ αντιστοιχα .

Ετσι

ΑΒ ΜΕ ΑΒ ΚΜ ||= ||=

2 2 2 ΜΕ ||= ΑΒ

δηλαδη το ΑΕΜΔ παραλληλογραμμο

με ΑΕ || ΒΜ η ΑΕ || ΒΓ (2)

Απ΄τις (1) και (2) προκυπτει :

ΑΕ || ΔΕ που εχουν ομως κοινο σημειο (Ε)

αρα ταυτιζονται και τα σημεια Δ, Α και Ε

ειναι συνευθειακα .


Α

Δ Ε

Κ Λ

Β Γ

Δ Α Ε

Κ Λ

Β Μ Γ

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 0 ο 3720

Δινεται ρομβος ΑΒΓΔ με 0Γ = 120 . Εστω ΑΕ και ΑΖ Γ οι αποστασεις του σημειου Α απο τις πλευρες ΓΔ και ΓΒ αντιστοιχα. Ε Ζ α) Να αποδειξετε οτι: i) Τα σημεια Ε και Ζ ειναι τα μεσα των Δ Β πλευρων ΓΔ και ΓΒ αντιστοιχα. (Μοναδες 8)

ii) ΑΓ ⊥ ΕΖ Α (Μοναδες 8) β) Αν Μ και Ν τα μεσα των πλευρων ΑΔ και ΑΒ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΕΜΝΖ ειναι ορθογωνιο. (Μοναδες 9)

137


● Στο ισοπλευρο τριγωνο, οι διχοτομοι, ειναι διαμεσοι και υψη .

● Στο ισοπλευρο τριγωνο, οι γωνιες του ειναι ισες με 60 0 .


● Οι διαγωνιες του ρομβου τεμνονται καθετα και διχοτομουν τις γωνιες του .

. . . χ ρ η σ ι μ ο

1200



138

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Οι διαγωνιες του ρομβου διχοτο-

μουν τις γωνιες του, οποτε 0ΕΓΑ = ΑΓΖ = 60

Τα τριγωνα ΑΓΔ και ΑΒΓ ειναι ι-

σοσκελη (ΑΒΓΔ ρομβος) και εχουν

μια γωνια 60 0 , δηλαδη ειναι ισο-

πλευρα.

Τα ΑΕ, ΑΖ ειναι υψη στα ισοπλευ-

ρα τριγωνα, αρα ειναι και διαμεσοι

του, δηλαδη τα σημεια Ε και Ζ ειναι

τα μεσα των πλευρων ΓΔ και ΓΒ αντιστοιχα.

ii)

ΑΓ ΔΒ (ΑΒΓΔ ρομβος)ΑΓ ΕΖ

ΕΖ || ΔΒ (Ε, Ζ μεσα των ΓΔ, ΓΒ αντιστοιχα)

β)

Ε, Ζ, Ν, Μ τα μεσα των πλευρων του ρομβου, οποτε

ΑΓΖΗ || =

2 ΖΗ || = ΕΘ ΕΖΗΘ παραλληλογραμμοΕΖΗΘ ορθογωνιοΑΓ

ΕΘ || = ΖΗ ΕΖ2

ΑΓ ΕΖ (αii)


Γ

Ε Ζ

Δ Β

Θ Η

Α

600 600

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 1 ο 3762

Δινεται τετραγωνο ΑΒΓΔ. Εστω Ε το συμμετρικο σημειο Α Β του Β ως προς το Δ και Ζ ειναι το μεσο της ΑΔ. Η προεκταση της ΓΔ τεμνει την ΑΕ στο Η. Να αποδειξετε οτι: Ζ

α) ΑΒ

ΔΗ =2

(Μοναδες 8) Η Δ Γ β) Τα τριγωνα ΑΔΗ και ΖΔΓ ειναι ισα. (Μοναδες 9) γ) Η ΓΖ ειναι καθετη στην ΑΕ. (Μοναδες 8) Ε

139


● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα . ● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος – εκτος και επι τα αυτα μερη γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα . ● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος και επι τα ταυτα μερη γωνιες παραπληρωματικες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



140

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Αφου η ΗΔ (προεκταση της ΓΔ || ΑΒ) ειναι πα-

ραλληλη της ΑΒ και Δ μεσο της ΕΒ, τοτε Η ειναι

το μεσο της ΕΑ (στο τριγωνο ΑΒΕ) .

Ετσι, στο τριγωνο ΑΒΕ Δ, Η μεσα των πλευρων

του ΕΒ, ΑΕ αντιστοιχα και

ΑΒΔΗ =

2 (1)

β)

(1) Ζ μεσοΑΒΓΔ

τετραγωνο της ΑΔ

Τα τριγωνα ΑΔΗ και ΖΔΓ ειναι ισα γιατι :


ΑΒ = ΔΓ (ΑΒΓΔ τετραγωνο)

ΑΒ ΑΔ ΗΔ = = = ΖΔ

2 2

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΗΑΔ = ΖΓΔ

(2)

γ)

(2) τριγωνο ΗΘΓ

0 0 0 0 0

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΗ :

ΑΗΔ + ΗΑΔ = 90 ΑΗΔ + ΖΓΔ = 90 180 - ΗΘ Γ = 90 ΗΘ Γ = 90

Δηλαδη,

ΓΘ(ΓΖ) ΑΕ


Α Β

Θ

Η

Δ Γ

Ε

Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 2 ο 3784

Δινεται τετραπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΔ = ΒΓ . Α Αν Ε, Λ, Ζ, Κ, Ν, Μ ειναι τα μεσα των Ε ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΔΒ και ΑΓ αντιστοιχα, Β να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΕΜΖΝ ειναι ρομβος. Κ Μ Μοναδες 8) Λ β) Η ΕΖ ειναι μεσοκαθετος του τμηματος ΜΝ. Ν (Μοναδες 7) γ) ΚΕ = ΖΛ. (Μοναδες 5) Δ Ζ Γ δ) Τα τμηματα ΚΛ, ΜΝ, ΕΖ διερχονται απο το ιδιο σημειο . (Μοναδες 5)

141




. . . χ ρ η σ ι μ ο


Τα τμηματα ΚΛ ,ΜΝ,ΕΖ διερχονται απο το ιδιο σημειο


142

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα σημεια Ε, Ν, Ζ, Μ ειναι μεσα πλευρων στα

τριγωνα ΑΔΒ, ΔΒΓ, ΑΔΓ, ΑΒΓ, οποτε

ΑΔ = ΒΓ

ΕΝ = ΜΖ = ΖΝ = ΕΜ

ΑΔΕΝ = = ΜΖ ΕΜΖΝ2

ΒΓ ρομβοςΖΝ = = ΕΜ

2

β)

ΕΜΖΝ ειναι ρομβος, οποτε οι διαγωνιες του

διχοτομουνται καθετα .

Ετσι , EZ MN και διερχεται απο το μεσο Ο

της ΜΝ, δηλαδη η ΕΖ ειναι η μεσοκαθετη της ΜΝ.

γ)

Στα τριγωνα ΑΒΔ, ΓΒΔ τα Ε, Κ, Ζ, Λ ειναι μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ αντιστοι -

χα, οποτε

ΑΓ ΚΕ ||=

ΚΕ = ΖΛ2ΑΓ ΚΕ || ΖΛ ΖΛ ||=2

δ)

Απ’το ερωτημα (α) το ΕΜΖΝ ειναι ρομβος με διαγωνιες ΝΜ, ΕΖ που διχοτομουνται με μεσο το Ο.

Απ’το ερωτημα (γ) προκυπτει οτι το ΚΕΛΖ ειναι παραλληλογραμμο με διαγωνιες ΚΛ, ΕΖ που δι-

χοτομουνται . Αφου το μεσο της ΕΖ ειναι το Ο , αυτο θα ειναι και το μεσο της ΚΛ .

Ετσι, τα τμηματα ΚΛ, ΜΝ, ΕΖ διερχονται απ’το σημειο Ο . .


Α

Β

Κ Λ

Δ Ζ Γ

Ε

Μ

Ν Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 3 ο 3789

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ. Θεωρουμε το μεσο Μ της πλευρας ΑΔ και ΓΕ καθετος απο τη Α Β

κορυφη Γ στην ευθεια ΜΒ (ΓΕ ⊥ ΜΒ) . Η παραλ- ληλη απο την κορυφη Δ στην ευθεια ΜΒ (Δx || MB) x τεμνει τις ΒΓ και ΓΕ στα σημεια Ν, Ζ αντιστοιχα. Μ Ν Να αποδειξετε οτι

α) Το τετραπλευρο ΜΒΝΔ ειναι παραλληλογραμμο. Δ Γ (Μοναδες 7) β) Το σημειο Ζ ειναι μεσον του ευθυγραμμου τμηματος ΓΕ.

(Μοναδες 9) γ) ΔΕ = ΔΓ (Μοναδες 9)

143




. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ε

Ζ



144

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΑΔ || ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμ-

μο) θα ειναι και ΜΔ || ΒΝ (1)

● ΔΝ (Δx) || ΜΒ (2) (υποθεση)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι τε-

τραπλευρο ΜΒΝΔ ειναι παραλληλο-

γραμμο (απεναντι πλευρες του πα-

ραλληλες) .

β)

Μ μεσο της ΑΔ ΒΓ = ΑΔ

Απ'το ερωτημα (α) ειναι

ΑΔ ΒΓ ΒΝ = ΜΔ = = οποτε Ν μεσο της ΒΓ .

2 2 Στο τριγωνο ΒΕΓ, Ν μεσο της ΒΓ και ΝΖ || ΒΕ (Δx ||ΜΒ) .

Οποτε Ζ μεσο της ΕΓ .

γ)

Ειναι

ΔΖ || ΜΕ τριγωνο ΔΖ ΕΓ ΔΖ υψος του τρ. ΕΔΓ στην ΕΓ

ΔΕ = ΔΓΜΕ ΕΓ ΕΔΓ

ισοσκελεςΔΖ διαμεσος του τρ. ΕΔΓ στην ΕΓ (απο (β))


Ε

Α Β

Ζ x

Μ

Δ Γ

Ν


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 4 ο 3904

α) Σε ορθογωνιο ΑΒΓΔ θεωρουμε Κ, Λ, Μ, Ν τα μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΚΛΜΝ ειναι ρομβος.

(Μοναδες 15) β) Σε ενα τετραπλευρο ΑΒΓΔ τα μεσα Κ,Λ,Μ,Ν των πλευρων του ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ, ΔΑ αντιστοιχα ειναι κορυφες ρομβου. Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ πρεπει απαραιτητα να

ειναι ορθογωνιο; Να τεκμηριωσετε τη θετικη η αρνητικη σας απαντηση. (Μοναδες 10)

145


● Ενα τετραπλευρο με ισες διαγωνιες, δεν ειναι απαραιτητα ορθογωνιο. Για να ειναι ορθογω- νιο πρεπει επιπλεον οι διαγωνιεσ του να διχοτομουνται .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



146

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΑΓ = ΒΔ (ΑΒΓΔ ορθογωνιο) .

● Τα Κ, Λ, Μ και Ν ειναι μεσα των πλευρων

ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ αντιστοιχα στα τριγωνα

ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ και ΔΑΒ .

Ετσι

ΑΓ=ΒΔ

ΑΓΚΛ =

2ΒΔ

ΛΜ =2 ΚΛ = ΛΜ = ΜΝ = ΝΚ ΚΛΜΝ ρομβος

ΑΓΜΝ =

2ΒΔ

ΝΚ =2

β)

Αν το ΚΛΜΝ ειναι ρομβος, εξασφαλιζεται οτι για τις διαγωνιες του ΑΒΓΔ ειναι ΑΓ = ΒΔ. Ισες

διαγωνιες μπορει να εχει και ενα τυχαιο τετραπλευρο, οποτε δεν ειναι απαραιτητα ορθογωνιο το

τετραπλευρο ΑΒΓΔ .


Α Ν Δ

Κ Μ

Β Λ Γ

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 5 ο 3915

α) Σε ρομβο ΑΒΓΔ θεωρουμε Κ, Λ, Μ, Ν τα μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΚΛΜΝ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 13) β) Να αποδειξετε οτι τα μεσα των πλευρων ενος ορθογωνιου ειναι κορυφες ρομβου.

(Μοναδες 12)

147



. . . χ ρ η σ ι μ ο



148

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Κ, Λ, Μ, Ν τα μεσα των πλευρων του ρομβου, οποτε

ΑΓ ΒΔ

ΑΒΓΔ ρομβος

ΒΔ ΖΗ || = ΕΘΚΝ || =2 ΚΛΜΝΒΔ

ΜΝ || = παραλληλογραμμο ΚΛΜΝ ορθογωνιο2

ΚΛ || ΑΓΚΛ ΚΝ

ΚΝ || ΒΔ

β)

● ΚΜ = ΛΝ (ΚΛΜΝ ορθογωνιο) .

● Τα Ε, Ζ, Η και Θ ειναι μεσα των πλευρων ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ και ΝΚ

αντιστοιχα στα τριγωνα ΚΛΜ, ΛΜΝ, ΜΝΚ και ΝΚΛ .

Ετσι

ΚΜ = ΛΝ

ΚΜΕΖ =

2ΛΝ

ΖΗ =2 ΕΖ = ΖΗ = ΗΘ = ΘΕ ΕΖΗΘ ρομβος

ΚΜΗΘ =

2ΛΝ

ΘΕ =2


Α

Κ Ν

Β Δ

Λ Μ

Γ

Ο

Θ

Ζ

Ε Η


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 6 ο 3932

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με AB < ΑΓ και Δ, Ε, Ζ τα Α

μεσα των πλευρων του ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντιστοιχα. Ν Αν η διχοτομος της γωνιας Β τεμνει τη ΖΕ στο σημειο Μ και την προεκταση της ΔΕ στο σημειο Ζ Μ Ε

Ν, να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΖΕΔΒ ειναι παραλληλογραμμο. (Μοναδες 7) β) Τα τριγωνα ΒΖΜ και ΜΕΝ ειναι ισοσκελη. Β Δ Γ (Μοναδες 10) γ) ΒΖ + ΝΕ = ΔΓ ( Μοναδες 8)

149



. . . χ ρ η σ ι μ ο



150

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ζ, Ε μεσα των πλευρων του τρι-

γωνου ΑΒΓ, ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα,

οποτε ΒΔ = ΓΔ

Δ μεσο της ΒΓ

ΒΔΖΕ || =

2

ΖΕ || = ΒΓ

ΖΕΔΒ παραλληλογραμμο

β)

Ειναι απ’το (α) ερωτημα

● ΒΖ || ΔΝ

● ΖΜ || ΒΔ

1 2

1 2

2 2

1 2

1 2

1

Β = Β (ΒΜ διχοτομος της Βτριγωνο ΒΖΜ

Β = Μεντος εναλλαξισοσκελες βασης ΒΜΜ = Β

ΖΜ || ΒΔ που τεμνονται απ'τη ΒΜ

Β = Μ (προηγουμενη αποδειξη)

Μ = Μ (κατακορυφη

εντος Ν = Β

1

τριγωνο ΜΕΝΝ = Μ

ισοσκελες βασης ΜΝ εναλλαξ

ΒΖ || ΔΝ που τεμνονται απ'τη ΒΝ

γ)

Ειναι ΒΖ = ΖΜ (τρ. ΒΖΜ ισοσκελες) ΖΕ = ΒΔ ΔΓ = ΒΔ

ΝΕ = ΜΕ (τρ. ΜΕΝ ισοσκελες) ΖΕΒΔ παραλληλογραμμο Δ μεσο της ΒΓΒΖ + ΝΕ = ΖΜ + ΜΕ = ΖΕ = ΒΔ = ΔΓ


Α

Ν

Ζ Ε

Β Δ Γ

Μ 1

1

2

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 7 ο 3938

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ, ΑΜ διαμεσος του και Κ το μεσο Α του ΑΜ. Αν η προεκταση της ΒΚ τεμνει την ΑΓ στο σημειο Ν, και Λ ειναι το μεσο του ΓΝ, να αποδειξετε οτι: Ν

α) Το σημειο Ν ειναι μεσο του ΑΛ.

(Μοναδες 9) Κ Λ

β) Κ ΜΓ = ΜΒΚ + ΑΚΝ

(Μοναδες 9) γ) ΒΚ = 3ΚΝ Β Μ Γ ( Μοναδες 7)

151


. . . χ ρ η σ ι μ ο



152

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Στο τριγωνο ΒΝΓ τα Μ, Λ ει-

ναι τα νεσα των πλευρων του

ΒΓ, ΝΓ αντιστοιχα.

Ετσι, ΜΛ || ΒΝ η ΜΛ || ΚΝ

● Στο τριγωνο ΑΜΛ το Κ ειναι

μεσο της ΑΜ και KN || ΜΛ,

οποτε το Ν ειναι μεσο της ΑΛ.

β)

Η γωνια ΚΜ Γ ειναι εξωτερικη

του τριγωνου ΒΚΜ, οποτε

1 2Κ = Κ

1 1 2 1κατακορυφη

ΚΜΓ = Β + Κ = Β + Κ ΚΜΓ = ΜΒΚ + ΑΚ Ν

γ)

Στα τριγωνα ΑΜΛ και ΒΝΓ τα Λ, Μ ,Ν ειναι μεσα των πλευρων ΝΓ, ΒΓ, ΑΛ αντιστοιχα.

Ετσι

ΜΛΚΝ = 2ΚΝ = ΜΛ2 2 2ΚΝ = ΒΝ 4ΚΝ = ΒΚ + ΚΝ ΒΚ = 3ΚΝ

ΒΝ 2ΜΛ = ΒΝΜΛ =

2


Α

Ν

Λ

Β Μ Γ

Κ

1

1

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 8 ο 3945

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = 2ΑΓ. Εστω, ΑΜ διαμεσος του Α

ΑΒΓ και Κ, Λ τα μεσα των ΜΓ και ΑΒ αντιστοιχα .

Να αποδειξετε οτι: Λ

α) ΜΑΓ = ΑΜΓ

(Μοναδες 7) β) ΜΛ = ΜΚ Β Μ Κ Γ (Μοναδες 9)

γ) Η ΑΜ ειναι διχοτομος της γωνιας ΛΑΚ

( Μοναδες 9)

153


● Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα . ( Π – Γ – Π )

. . . χ ρ η σ ι μ ο



154

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

● Μ μεσο ΒΓ, οποτε

ΒΓ = 2ΜΓ (1)

● Απ’την υποθεση

ΒΓ = 2ΑΓ (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει

ΜΓ = ΑΓ που σημαινει οτι το

τριγωνο ΜΓΑ ειναι ισοσκελες με

βαση ΜΑ και ΜΑΓ = ΑΜΓ .

β)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Μ, Λ ειναι μεσα των πλευρων του ΒΓ, ΑΒ αντιστοιχα .

Ετσι ΑΓ = ΜΓ ΜΓ = 2ΜΚ

ΜΓΑ ισοσκελες τριγωνο Κ μεσο του ΜΓ

ΑΓ ΜΓ 2ΜΚΜΛ = = = = ΜΚ

2 2 2

γ)

Ειναι

1 1

1 2

1 2

1 2

Μ = Α απ'το (α) ερωτημα Μ = Μ (3)εντος εναλλαξ

Μ = Α ΛΜ || ΑΓ που τεμνονται απ'την ΑΜ

Τα τριγωνα ΛΜΑ και ΑΜΚ ειναι ισα γιατι :

ΑΜ = κοινη

ΜΛ = ΜΚ (ερωτημα (β))

Μ = Μ

2 3

(Π - Γ - Π)

(λογω της (3))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Α = Α , δηλαδη ΑΜ διχοτομος της ΛΑ Κ .


Α

Λ

Β Μ Κ Γ

1 2

3

2

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 6 9 ο 3948

Δινεται τετραπλευρο ΑΒΓΔ με AB = ΓΔ και Μ, Ν, Κ τα Δ μεσα των ΑΔ, ΒΓ, ΒΔ αντιστοιχα. Αν οι προεκτασεις των ΑΒ,ΔΓ τεμνουν την προεκταση της ΜΝ στα σημεια Ε και Ζ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι: Κ Γ

α) MK = KN

(Μοναδες 13) Μ Ν Ε Ζ

β) ΜΕΑ = ΜΖΔ Β

(Μοναδες 12) Α

155




. . . χ ρ η σ ι μ ο



156

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Στο τριγωνο ΑΒΔ, τα Μ, Κ ειναι μεσα των πλευ-

ρων του ΔΑ, ΔΒ αντιστοιχα .

Ετσι

ΑΒΜΚ = (1)

2 ● Στο τριγωνο ΚΒΔ, τα Κ, Ν ειναι μεσα των πλευ-

ρων του ΔΒ, ΒΓ αντιστοιχα .

Ετσι

ΑΒ = ΔΓ

υποθεση

ΔΓ ΑΒΚΝ = = (2)

2 2 Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι το τριγωνο ΜΚΝ

ειναι ισοσκελες με βαση την ΜΝ, οποτε ΜΚ = ΚΝ και ΚΜΝ = ΚΝΜ (3) .

β)

Ειναι

ΚΜΝ = ΚΝΜ (λογω της(3))

Μ, Κ μεσα των ΔΑ, ΔΒ

ΜΕΑ = ΚΜΝ εντος εναλλαξ

ΜΚ || ΑΕ που τεμνονται απ'την ΜΕ

Ν, Κ μεσα των ΒΓ, ΔΒ

ΜΖΔ = ΚΝΜ εντος εκτος και επιταυτα

ΝΚ || ΖΔ που τεμνονται απ'τη

ΜΕΑ = ΜΖΔ

ν ΜΖ


Δ

Γ

Μ Ζ

Ν Ε

Β

Α

Κ


Α

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 0 ο 4579

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΑΔ και ΑΕ αντιστοιχα η εσωτερικη και η εξωτερικη διχοτομος της γωνιας Α (Δ, Ε σημεια της ΒΓ). Φερουμε ΒΖ καθετη στην ΑΔ και ΒΗ καθετη στην ΑΕ και θεωρουμε Μ το μεσο του ΒΓ. Να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΑΖΒΗ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 5)

β) Η γωνια Η ΖΑ ειναι ιση με τη γωνια Ζ Α Γ .

(Μοναδες 6) γ) Η ευθεια ΗΖ διερχεται απο το Μ.

(Μοναδες 5)

δ)

ΑΒ + ΑΓΜΗ =


Α

Η

Ζ

Ε Β Δ Μ Γ

157




● Η διχοτομοι μια γωνιας τριγωνου και της αντιστοιχης εξωτερικης της, ειναι καθετες .

● Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ορθογωνιο αν εχει τις διαγωνιες του ισες.

● Ενα τετραπλευρο θα ειναι ορθογωνιο αν εχει τρεις ορθες γωνιες

. . . χ ρ η σ ι μ ο



158

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Οι ΑΕ, ΑΔ ειναι διχοτομοι των εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων Α και Aεξ , οποτε ειναι

καθετες.

● Οι γωνιες 0ΒΗΔ = ΒΖΔ = 90 (ΒΗ ΔΕ, ΒΖ ΑΔ) .

Αρα, το τετραπλευρο ΑΖΒΗ ειναι ορθογωνιο (εχει 3 ορθες γωνιες) .

β)

Το τετραπλευρο ΑΖΒΗ ειναι ορθογωνιο, οποτε οι διαγωνιες ειναι ισε και διχοτομουνται .

τρ. ΑΟΖ

ισοσκελεςΟΖ = ΟΑ ΗΖΑ = ΒΑΔ

ΗΖΑ = ΖΑΓ (1)

ΒΑΔ = ΖΑΓ (ΑΖ διχοτομος της γωνιας ΒΑΓ

γ)

Απ’την (1) και αφου οι γωνιες ειναι εντος εναλλαξ των ΗΖ, ΑΓ που τεμνονται απ’την ΑΖ, τοτε

ΗΖ ||ΑΓ.

Στο τριγωνο ΑΒΓ, το Ο (σημειο τομης διαγωνιων ορθογωνιου ΑΖΒΗ) ειναι μεσο της ΑΒ και

ΗΖ || ΑΓ , τοτε η ΗΖ διερχεται απ’το μεσο της πλευρας ΒΓ, δηλαδη το Μ και ισχυει

ΑΓΟΜ = (2)

2.

δ) ΑΒ

= ΟΑΟΗ = ΟΑ 2

(2)

ΑΓ ΑΓ ΑΒ ΑΒ + ΑΓΜΗ = ΟΜ + ΟΗ = + ΟΑ = + =

2 2 2 2


Α

Η

Ε Β Δ Μ Γ

Ο Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 1 ο 4593

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και οι διαμεσοι του ΑΔ, ΒΕ Α και ΓΖ. Προεκτεινουμε το τμημα ΖΕ (προς το Ε) κατα τμημα EH = ZE .

Να αποδειξετε οτι: Ζ Ε Η

α) Το τετραπλευρο ΕΗΔΒ ειναι παραλ-

ληλογραμμο. Ο Κ

(Μοναδες 8) β) Η περιμετρος του τριγωνου ΑΔΗ ειναι Β Δ Γ ιση με το αθροισμα των διαμεσων του τριγωνου ΑΒΓ. (Μοναδες 9) γ) Οι ευθειες ΒΕ και ΔΗ τριχοτομουν το τμημα ΖΓ. (Μοναδες 8)

159




. . . χ ρ η σ ι μ ο



156

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t h

s 5

8 d

e m

o .b

l o g

s p

o t

. g r

α)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Ζ, Ε ειναι μεσα των

πλευρων του ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα .

Ετσι

υποθεση ΒΓ = 2ΒΔ

Δ μεσο ΒΓ

ΖΕ || ΒΓ ΕΗ || ΒΔ

ΒΓ 2ΒΓΖΕ = ΕΗ = = = ΒΔ

2 2

Το τετραπλευρο ΕΗΔΒ ειναι παραλληλογραμ-

μο (απεναντι πλευρες ισες και παραλληλες)

β)

Ειναι

(+)

ΑΔ = ΑΔ

ΒΕ = ΔΗ ΕΗΔΒ ειναι παραλληλογραμμο ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = ΑΔ + ΔΗ + ΑΗ

ΑΗΓΖ ειναι παραλληλογραμμοΓΖ = ΑΗ

οι διαγωνιες του, ΖΗ, ΑΓ διχοτομουνται

γ)

Ειναι

Δ μεσο ΒΓΤριγωνο ΟΓΒ : Κ μεσο ΟΓ

ΒΟ || ΔΚ ΖΟ = ΟΚ = ΚΓ

Ε μεσο ΖΗΤριγωνο ΗΖΚ : Ο μεσο ΖΚ

ΟΕ || ΚΗ


Α

Ζ Ε Η

Β Δ Γ

Κ Ο


Α

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 2 ο 4640

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με τις γωνιες Β και Γ οξειες Α

και Δ, Μ και Ε τα μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΑΓ

και ΒΓ αντιστοιχα. Στις μεσοκαθετες των ΑΒ και Ζ

ΒΓ και εκτος του τριγωνου ΑΒΓ θεωρουμε σημεια Μ

Ζ και Η αντιστοιχα, τετοια, ωστε Δ

ΑΒ ΒΓΔΖ = και ΕΗ =

2 2 α) Να αποδειξετε οτι : i) Tο τετραπλευρο ΒΔΜΕ ειναι παραλληλογραμμο . Β Ε Γ (Μοναδες 5) ii) Τα τριγωνα ΖΔΜ και ΕΜΗ ειναι ισα . (Μοναδες 10) β) Αν τα σημεια Ζ, Δ, Ε ειναι συνευθειακα, Η

να αποδειξετε οτι 0Α = 90 . (Μοναδες 10)

161



● Τα σημεια της μεσοκαθετου ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ, ισαπεχουν απ’τα ακρα του τμηματος Α, Β

. . . χ ρ η σ ι μ ο



162

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Δ, Μ ειναι μεσα των

πλευρων του ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα .

Ετσι

ΒΓ = 2ΒΕ

Ε μεσο ΒΓ

ΔΜ || ΒΓ ΔΜ || ΒΕ

ΒΓ 2ΒΕΔΜ = = = ΒΕ

2 2

Το τετραπλευρο ΒΔΜΕ ειναι παραλληλογραμ-

μο (απεναντι πλευρες ισες και παραλληλες)

ii)

Ειναι

● 1 1Δ = Ε (1) παραπληρωματικες ισων γωνιων

( ΒΔΜ = ΒΕΜ απεναντι παραλληλογραμμου)

● ΒΔΜΕ παραλληλογραμμο και υποθεση :

ΑΒ 2ΒΔ ΔΖ = = = ΒΔ = ΕΜ (2)

2 22ΒΕ ΒΓ

ΔΜ = ΒΕ = = = ΕΗ (3)2 2

(1)

0 0 1 1

Τα τριγωνα ΖΔΜ και ΕΜΗ ειναι ισα γιατι :

ΖΔΜ = Δ + 90 = Ε + 90 = ΜΕΗ

ΖΔ = ΕΜ (λογω της (2))

ΔΜ = ΕΗ (λογω της (3))

(Γ - Π - Γ)

β)

Αν τα Ζ, Δ, Ε ειναι συνευθειακα, τοτε το Ε ανηκει στη μεσοκαθετο του ΑΒ (ΖΔ η μεσοκαθετη του

ΑΒ) και ειναι ΑΕ = ΕΒ ( = ΕΓ) .

Δηλαδη η διαμεσος ΑΕ του τριγωνου ΑΒΓ ειναι ιση με το μισο της ΒΓ, που σημαινει οτι το τριγω-

νο ειναι ορθογωνιο στο Α η 0Α = 90 .


Ζ Α

Δ Μ

Β Ε Γ

Η

Ζ Α

Δ Μ

Β Ε Γ

1

1


Α

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 3 ο 4649

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με AB < BΓ και η διχοτομος Β ΒΕ της γωνιας Β. Αν AZ BE , οπου Ζ σημειο της ΒΓ και Μ το μεσον της ΑΓ, να αποδειξετε οτι:

α) Το τριγωνο ΑΒΖ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 7) Ζ

β) ΔΜ || ΒΓ και ΒΓ - ΑΒ

ΔΜ =2

Δ

(Μοναδες 10)

γ)

ΒΕ ΔΜ = , οπου Β

2 η γωνια του

τριγωνου ΑΒΓ . (Μοναδες 8)

163




. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α Ε Μ Γ



164

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΑΒΖ το ΒΔ ειναι υψος και διχοτομος,

οποτε το τριγωνο ειναι ισοσκελες και με βαση ΑΖ .

Ακομη, ΒΔ διαμεσος και Δ μεσο της ΑΖ .

β)

Στο τριγωνο ΖΑΓ, τα Ζ, Μ ειναι μεσα των πλευ-

ρων του και

● ΔΜ || ΖΓ η ΔΜ || ΒΓ

● (α)ΖΓ ΒΓ - ΒΖ ΒΓ - ΑΒ

ΔΜ = = = 2 2 2

γ)

εντος - εκτος και επιταυτα μερη ΟΔ διχοτομος της Β

2ΔΜ||ΒΓ που τεμνονται απ'τη ΒΕ

ΒΕΔΜ = Β =

2


Β

Ζ

Α Ε Μ Γ

1

Δ

2


Α

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 4 ο 4783

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με AB < BΓ και η διχοτομος Α ΒΕ της γωνιας Β. Αν AZ BE , οπου Ζ σημειο της ΒΓ και Μ το μεσον της ΑΓ, να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 7) β) Το τετραπλευρο ΒΛΚΝ ειναι ρομβος. (Μοναδες 9) Β Κ Γ

γ) ΛΜ ⊥ ΛΝ

(Μοναδες 9) Ν Δ

165



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Λ Μ



166

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΑΒΔ το ΒΚ ειναι υψος και

διαμεσος, οποτε το τριγωνο ειναι ισοσκε-

λες και με βαση ΑΔ .

Ακομη, ειναι ΑΒ = ΒΔ (1) .

β)

Στο τριγωνο ΑΒΔ, τα Κ, Ν ειναι μεσα των

πλευρων του και

● Λ μεσο ΑΒΑΒ

ΚΝ ||= = ΒΛ2

Το ΒΛΚΝ ειναι παραλληλογραμμο (απε-

ναντι πλευρες του ισες και παραλληλες)

● Απ’την (1) :

Λ μεσο ΑΒ

Ν μεσο ΒΔΑΒ = ΒΔ ΛΒ = ΒΝ ,

Δηλαδη το παραλληλογραμμο ΒΛΚΝ ειναι ρομβος, αφου εχει δυο διαδοχικες πλευρες του ισες .

γ)

● Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Λ, Μ ειναι μεσα των πλευρων του και ΛΜ || ΒΓ (2)

● ΒΛΚΝ ειναι ρομβος και οιδιαγωνιες του τεμνονται καθετα, και ΛΝ ⊥ ΒΚ η ΛΝ ⊥ ΒΓ (3)

Απ’τις (2), (3) προκυπτει οτι ΛΜ ⊥ ΛΝ .


Α

Λ Μ

Β Κ Γ

Ν

Δ


Α

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 5 ο 4810

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με Ο το σημειο Α Β

τομης των διαγωνιων του και Κ το μεσο του ΓΔ.

Προεκτεινουμε το τμημα ΟΚ κατα τμημα KZ = KO . Ο

Η ΒΖ τεμνει τη διαγωνιο ΑΓ στο Θ. Θ


α) Τα τμηματα ΟΓ και ΒΖ διχοτομουνται. Δ Κ Γ

(Μοναδες 8)

β) ΑΟ = ΔΖ Ζ

(Μοναδες 9)

γ) Τα τριγωνα ΑΟΒ και ΔΖΓ ειναι ισα.

(Μοναδες 8)

167



. . . χ ρ η σ ι μ ο



168

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΒΓΔ, τα Ο, Κ ειναι μεσα των πλευρων του

ΑΓ , ΔΓ αντιστοιχα και ΟΖ

ΟΚ = 2ΒΓ ΟΖ ΒΓ

ΟΚ ||= ||= ΟΖ ||= ΒΓ2 2 2

Το ΟΒΓΖ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες

του ισες και παραλληλες), και οι διαγωνιες του διχοτο-

μουνται και ΟΒ = ΖΓ (1) .

Αρα,

Τα τμηματα ΟΓ και ΒΖ διχοτομουνται.

β)

Ειναι

ΟΖ ||= ΒΓ (ΟΒΖΓ παραλληλογραμμο) ΟΖ ||= ΑΔ, που σημαινειΑΟ = ΔΖ

ΑΔ ||= ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο) το ΑΟΖΔ παραλληλογραμμο

(2)

γ)

Τα τριγωνα ΑΟΒ και ΔΖΓ ειναι ισα γιατι :

ΟΒ = ΖΓ (λογω της (1))

ΑΟ = ΔΖ (λογω της (2)) (Π - Π - Π)

ΑΒ = ΔΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)


Α Β

Δ Γ

Ζ

Ο

Κ

Θ


Α

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 6 ο 7433

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διαμεσος του ΑΔ. Εστω Ε, Ζ και Η τα μεσα των ΒΔ, ΑΔ και ΑΓ αντιστοιχα. α) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΔΕΖΗ ειναι παραλληλογραμμο.

(Μοναδες 10)

β) Να βρειτε τη σχεση των πλευρων ΑΒ και ΒΓ του τριγωνου ΑΒΓ, ωστε το παραλληλογραμμο ΔΕΖΗ να ειναι ρομβος.

(Μοναδες 10)

γ) Στην περιπτωση που το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο ( η γωνια Β ορθη), να βρειτε το ειδος του παραλληλογραμμου ΔΕΖΗ.

(Μοναδες 5)

169


● Σε ενα παραλληλογραμμο ● οι δυο απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες.

● Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν : ● Δυο διαδοχικες πλευρες του ειναι ισες (ορισμος).

● Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ορθογωνιο αν εχει: ● μια γωνια ορθη (ορισμος).

. . . χ ρ η σ ι μ ο



170

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στα τριγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ, τα Ε, Δ, Ζ, Η ειναι

μεσα των πλευρων τους ΒΓ, ΒΔ, ΑΔ και ΑΓ αν-

τιστοιχα . Οποτε

ΑΒΔΗ ||=

2 ΔΗ ||= ΖΕΑΒ

ΖΕ ||=2

Το ΔΕΖΗ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι

πλευρες του ισες και παραλληλες) .

β)

Στο τριγωνο ΑΓΔ, τα Ζ, Η ειναι μεσα των πλευ-

ρων του ΑΔ, ΑΓ αντιστοιχα και

ΒΓΔΓ =

2

ΒΓΔΓ ΒΓ2ΖΗ = = = (1)2 2 4

Για να ειναι ρομβος το ΔΕΖΗ πρεπει (α)

(1)

ΒΓ ΑΒΖΗ = ΖΕ = ΒΓ = 2ΑΒ

4 2

γ)

Συμφωνα με τα παραπανω (ΔΕΖΗ παραλληλο-

γραμμο) και με υποθεση 0Β = 90 ειναι

ΔΗ || ΑΒ

ΖΗ || ΒΓ ΔΗ ΖΗ

ΑΒ ΒΓ

Δηλαδη το παραλληλογραμμο ΔΕΖΗ εχει μια ορθη γωνια, οποτε ειναι ορθογωνιο .


Α

Η

Β Ε Δ Γ

Α

Η

Β Ε Δ Γ

Α

Η

Β Ε Δ Γ

Ζ

Ζ

Ζ



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



9 . Θ ε ω ρ η μ α τ α

Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο υ Τ ρ ι γ ω ν ο υ





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Θ ε ω ρ η μ α τ α Ο ρ θ ο γ ω ν ι ο υ Τ ρ ι γ ω ν ο υ

Θ ε μ α 7 7 ο 2792

Δινεται ευθυγραμμο τμημα ΑΒ και στο εσωτερικο του θεωρουμε τα σημεια Γ, Δ ωστε να ισχυει AΓ = ΓΔ = ΔΒ . Ο Επισης θεωρουμε σημειο Ο εκτος του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ ετσι ωστε να ισχυουν ΟΓ =ΟΓ και ΔΒ = Ο Δ . α) Να αποδειξετε οτι:

i) 0ΓΟΔ = 60 Α Γ Μ Δ Β (Μοναδες 9)

ii) 0ΟΑ Γ = ΟΒΔ = 30 (Μοναδες 9)

β) Αν Μ το μεσον του τμηματος ΑΒ, να αποδειξετε οτι 2OM = OA . (Μοναδες 7)

173




. . . χ ρ η σ ι μ ο



174

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Ειναι

AΓ = ΓΔ = ΔΒ = ΟΓ = ΟΔ

οποτε το τριγωνο ΟΓΔ ειναι ι-

σοπλευρο και οι γωνιες του ειναι

ισες με 60 0 .

Ετσι, 0ΓΟΔ = 60

ii)

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. ● Στο τριγωνο ΑΟΔ η διαμεσος ΟΓ (ΑΓ = ΓΔ) ισουται με το μισο της ΑΔ, οποτε αυτο ειναι ορθο-

γωνιο με

0ΓΟΔ = 60

0 0 0 0 0

ΟΓ = ΑΓ, τρ. ΟΓΑ ισοσκελεςΑΟΔ = 90 ΓΟΔ + ΑΟΓ = 90 60 + ΟΑ Γ = 90 ΟΑ Γ = 30

● Στο τριγωνο ΓΟΒ η διαμεσος ΟΔ (ΔΒ = ΓΔ) ισουται με το μισο της ΓΒ, οποτε αυτο ειναι ορθο-

γωνιο με

0ΓΟΔ = 60

0 0 0 0 0

ΟΔ = ΔΒ, τρ. ΟΔΒ ισοσκελεςΓΟ Β = 90 ΓΟΔ + ΔΟΒ = 90 60 + ΔΟΒ = 90 ΔΟ Β = 30

β)

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας.

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΟΜΑ, 0 ΟΑΟΑ Γ = 30 οποτε ΟΜ = ΟΑ = 2ΟΜ

2 .


Ο

Α Γ Μ Δ Β


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 8 ο 2797

Σε τριγωνο ΑΒΓ ισχυει Α + Γ = 2Β και εστω ΑΔ υψος και ΒΕ διχοτομος του τριγωνου που τεμνονται στο Ζ . Α α) Να αποδειξετε οτι:

i) 0Β = 60 και ΑΖ = ΒΖ . (Μοναδες 10) Ε

ii) 3

ΑΔ = ΒΖ2

(Μοναδες 8)

β) Αν ειναι γνωστο οτι το τριγωνο ΑΖΕ ειναι ισοπλευρο, Β Δ Γ να υπολογισετε τις αλλες γωνιες του τριγωνου. (Μοναδες 7)

175



● Το αθροισμα των οξειων γωνιων ορθογωνιου τριγωνου ειναι 1 ορθη.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



176

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Στο τριγωνο ΑΒΓ ειναι

Α+Γ = 2Β 0 0

0 0

Α + Β + Γ = 180 2Β + Β = 180

3Β = 180 Β = 60

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΔ ειναι

0Β = 60 0 0

1 1

1 1

0 1 2

Α + Β = 90 Α = 30Α = Β

ΒΒ = Β = = 30

2

Αρα το τριγωνο ΑΖΒ ειναι ιοσκελες και ΑΖ = ΒΖ .

ii)


Στο ορθογωνιο τριγωνο ΖΔΒ ειναι 0 2Β = 30 και

ΖΒΖΔ = (1)

2

Ετσι (ai)

(1)

ΒΖ 3ΒΖΑΔ = ΑΖ + ΖΔ = ΒΖ + =

2 2

β)

Το ισοπλευρο τριγωνο ΑΖΕ εχει ολες τις γωνιες ισες με 60 0,

Ετσι

0

0 0 0 1

0 0 0 0

Β = 60 απ'το (αi)

ΒΑΓ = ΔΑΓ + Α = 60 + 30 = 90

Γ = 90 - ΔΑΓ = 90 - 60 = 30


Α

Ε

Β Δ Γ

Ζ

1

1

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 7 9 ο 3691

Οι κυκλοι (Κ , ρ )και (Λ , 3ρ) εφαπτονται ε εξωτερικα στο Α. Μια ευθεια εφαπτεται ε- Γ ξωτερικα και στους δυο κυκλους στα σημεια Δ Β και Γ αντιστοιχα και τεμνει την προεκταση της διακεντρου ΚΛ στο σημειο Ε. Β

Φερουμε απο το σημειο Κ παραλληλο τμημα στην ε που τεμνει το τμημα ΛΓ στο Δ. Ε Κ Α Λ α) Να αποδειξετε οτι το τετρα- πλευρο ΒΓΔΚ ειναι ορθογωνιο. (Μοναδες 9)

β) Να αποδειξετε οτι 0ΔΚ Λ = 30 (Μοναδες 8) γ) Να αποδειξετε οτι EΛ = 6 ρ . (Μοναδες 8)

177



● Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια πλευρα του ειναι το μισο της υποτεινουσας τοτε η απεναντι γωνια απ’τη πλευρα αυτη ισουται με 30°.


. . . χ ρ η σ ι μ ο



178

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

ΚΒ ε, ΛΓ ε

(ΚΒ, ΛΓ ακτινες, ε εφαπτομενη)

ΚΔ || ε ΚΔ ΛΓ

Οποτε το τετραπλευρο ΒΓΔΚ ειναι ορθογω-

νιο (εχει τρεις ορθες γωνιες) .

β)

Ειναι για το ορθογωνιο τριγωνο ΚΔΛ

● ΚΛ = ΑΛ + ΑΚ = 3ρ + ρ = 4ρ

● ΔΛ = ΛΓ - ΓΔ = 3ρ - ρ = 2ρ

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια πλευρα του ειναι το μισο της υποτεινουσας τοτε η απεναντι γωνια απ’τη πλευρα αυτη ισουται με 30°.

0ΚΛΔΛ = ΔΚΛ = 30

2

γ)

0ΔΚΛ = 30 = Ε εντος εκτος των παραλληλων ε, ΚΔ που τεμνονται απ'τη ΕΛ .

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. Ετσι

ΕΛ ΕΛΓΛ = 3ρ = ΕΛ = 6ρ

2 2


Γ

Β

Ε

2ρ

Λ

Δ

Α Κ

ε

ρ

3ρ ρ ρ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 0 ο 3711

Θεωρουμε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ 0( Α = 90 ) και το υψος του ΑΗ. Εστω Δ και Ε τα συμ-

μετρικα σημεια του Η ως προς τις ευθειες ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. α) Να αποδειξετε οτι : i) AΗ = ΑΔ = ΑΕ

(Μοναδες 6) ii) Το τριγωνο ΕΗΔ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 6) iii) Τα σημεια Ε, Α και Δ ειναι συνευθειακα.

(Μοναδες 6) β) Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΕΗΔ ειναι ισα; Αν ναι, να το αποδειξετε. Αν οχι, κατω απο ποιες αρχικες προϋποθεσεις θα μπορουσε να ειναι ισα; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.

(Μοναδες 7)

179




. . . χ ρ η σ ι μ ο



180

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

● Στο τριγωνο ΑΗΔ, η ΑΖ ειναι υψος και δια-

μεσος, οποτε το τριγωνο ειναι ισοσκελες με

AH =AΔ (1)

● Στο τριγωνο ΕΑΗ, η ΑΘ ειναι υψος και δια-

μεσος, οποτε το τριγωνο ειναι ισοσκελες με

AH =AΕ (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει : AH =AΔ = ΑΕ

ii)

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μι- σο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Απο (1) + (2) κατα μελη ειναι :

2ΑΗ = ΑΔ + ΑΕ 2ΑΗ = ΕΔ

ΕΔΑΗ =

2

που σημαινει οτι το τριγωνο ΕΗΔ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΕΔ .

iii)

Απ’τα ισοσκελη τριγωνα ΕΑΗ, ΗΑΔ και το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ειναι :

1 2 0

1 4 0 0 3 4 1 4 2 3

0 2 3 0

2 3

Α = ΑΑ + Α = 90

Α = Α Α + Α + Α + Α = 180 ΕΑΔ = 180Α + Α = 90

Α + Α = 90

που σημαινει οτι τα σημεια Ε, Α και Δ ειναι συνευθειακα.

β)

Για να ειναι τα ορθογωνια τριγωνα ΕΗΔ και ΑΒΓ ισα (αρα και ολα τα στοιχεια τους ισα) πρεπει

και τα υψη τους στην υποτεινουσα να ειναι ισα .

Το υψος ΑΗ του τριγωνου ΑΒΓ πρεπει να ειναι και υψος του τριγωνου ΕΗΔ. Ετσι,

τρ. ΔΑΗ τρ. ΕΗΔ

0 0

ισοσκελες ορθογωνιοΗΑΔ = 90 Δ = 45 Δ = Ε = 45 τριγωνο ΕΗΔ ορθογωνιο και ισοσκελες .

Οποτε το τριγωνο ΑΒΓ πρεπει να ειναι ορθογωνιο και ισοσκελες .


Γ

Ε Θ Η

Α Ζ Β

Δ

2

1

3 4


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 1 ο 3713

Δινεται το τριγωνο ΑΒΓ με Β = 2Γ και η διχοτομος Α ΒΔ της γωνιας Β. Απο το μεσο Μ της ΑΓ φερνουμε παραλληλη στη διχοτομο ΒΔ που τεμνει την πλευρα ΒΓ στο Ν. Δ Να αποδειξετε οτι: Μ

α) Το τριγωνο ΒΔΓ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 5) β) Το τριγωνο ΜΝΓ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 10) Β Ν Γ γ) ΑΝ ⊥ ΒΓ (Μοναδες 10)

181


. . . χ ρ η σ ι μ ο



182

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

ΒΔ

1διχοτομος

1

Ειναι

Β = 2Γ 2Β = 2Γ

Β = Γ (1)

που σημαινει οτι το τριγωνο ΒΔΓ ειναι

ισοσκελες με βαση ΒΓ .

β)

1

1

1 1

Ειναι

Β = Γ (1)

εντος - εκτος

επιταυτα καιΝ = Γ

Β = Ν ΒΔ || ΝΜ

που τεμνονται

απ'την ΒΓ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΝΜΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΝΓ .

γ)

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Ειναι

ΝΜ = ΜΓ (τριγωνο ΝΜΓ ισοσκελες) ΑΓΝΜ =

2ΜΑ = ΜΓ (Μ μεσο του Α)

που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΝΓ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την ΑΓ

Ετσι, 0ΑΝ Γ = 90 ΑΝ ΒΓ


Α

Δ

Μ

Β Ν Γ

2

1 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 2 ο 3735

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ . Εστω Αx η εξωτερικη διχοτομος της γωνιας Α . α) Να αποδειξετε οτι :

i)

εξ 0 εξ

Α Γ - Β+ Β = 180 +

2 2 οπου

εξ εξΑ και Β παριστανουν τις

,εξωτερικες γωνιες των Α Β αντιστοιχα .

(Μοναδες 10) ii) Η εξωτερικη διχοτομος της Α τεμνει την προεκταση της πλευρας ΓΒ (προς το μερος του Β) σε σημειο Ζ.

(Μοναδες 8)

β) Αν το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο στο Α και 0ΑΖΒ = 15 , να αποδειξετε οτι BΓ = 2AB .

(Μοναδες 7)

183

● Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. ● Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια πλευρα του ειναι το μισο της υποτεινουσας τοτε η απεναντι γωνια απ’τη πλευρα αυτη ισουται με 30°.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



184

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e m

o .b

l o g

s p

o t

. g r

α)

ι)

εξ

εξ

0 εξ

εξ 0 εξ

εξ 0 εξ

εξ 0 εξ

Ειναι

Α = Β + Γ

Α Β Γ = +

2 2 2

Β = 180 - Β

Ετσι

Α Β Γ + Β = + + 180 - Β

2 2 2

Α Γ Β + Β = 180 + -

2 2 2

Α Γ - Β + Β = 180 +

2 2

ιι)

0 0

εξ 0 0 2 εξ εξ

Ειναι

Γ - Β Γ - ΒΑΒ < ΑΓ Γ < Β Γ - Β < 0 < 0 180 + < 180

2 2

Α+ Β < 180 Α + Β < 180

2

που σημαινει οτι η εξωτερικη διχοτομος της Α (Αx) τεμνει την προεκταση της πλευρας ΓΒ (προς

το μερος του Β) .

β)

Eιναι

● 0 0 0 0 εξ 2Α = 90 Α = 90 Α = 45 ΖΑΓ = 135

0 0 0 0 0

Στο τριγωνο ΖΑΓ ειναι

Γ + ΖΑΓ + ΑΖΓ = 180 Γ + 135 + 15 = 180 Γ = 30

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. Ετσι, στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ

ΒΓΑΒ = ΒΓ = 2ΑΒ

2


Α

Ζ Β Δ Γ

x

Α

x Ζ Β Γ

2 1

150

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 3 ο 3741

Σε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με γωνια Α αμβλεια, ισχυει οτι AB = 2AΔ . Τα σημεια Ε και Ζ, ειναι μεσα των πλευρων του ΑΒ και ΓΔ αντιστοιχα. Απο το Δ φερουμε τη ΔΗ καθετη στην προεκταση της ΒΓ. Να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΑΕΖΔ ειναι ρομβος.

(Μοναδες 8) β) Το τριγωνο ΕΖΗ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 9)

γ) Το τμημα ΗΕ, ειναι διχοτομος της γωνιας ΖΗΓ. (Μοναδες 8)

185

● Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. ● Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. ● Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. ● Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια πλευρα του ειναι το μισο της υποτεινουσας τοτε η απεναντι γωνια απ’τη πλευρα αυτη ισουται με 30°.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



186

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι ΑΕ = ΕΒ ΑΒ = ΓΔ ΔΖ = ΔΓΑΒ ΓΔ

ΑΕ = = = ΔΖ2 2

ΑΒ || ΔΓ ΑΕ || ΔΖ

ΑΒ ΑΒ = 2ΑΔ = ΑΔ ΑΕ = ΑΔ

2

Αρα το τετραπλευρο ΑΕΖΔ ειναι ρομβος, αφου

ειναι παραλληλογραμμο με δυο διαδοχικες πλευ-

ρες του ισες .

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΓΗΔ, η ΗΖ ειναι η διαμεσος του στην υποτεινουσα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Ετσι

ΑΕΖΔ

ρομβος

ΔΓ= = ΔΖ = τριγωνο ΕΖΗ ειναι ισοσκελες με βαση ΕΗ .

2ΗΖ ΖΕ

γ)

1 1

1 2

2 1

Ε = Η (ΕΖΗ ισοσκελες τριγωνο)

εντος εναλλαξΗ = Η ΗΕ διχοτομει την ΖΗ Γ .

Ε = Η ΕΖ || ΒΗ (ΕΖ || ΑΔ || ΒΓ)

που τεμνονται απ'την ΕΗ


Α Ε Β

Δ Ζ Γ

Η

1

1

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 4 ο 3747

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με γωνια Α ιση με 120 0 και γωνια Β ιση με 45 0 . Στην προεκταση της ΒΑ προς το Α, παιρνουμε τμημα AΔ = 2AB . Απο το Δ φερνουμε την καθετη στην ΑΓ που την τεμνει στο σημειο Κ. Δ Να αποδειξετε οτι:

α) 0ΑΔ Κ = 30 Ζ (Μοναδες 6) β) Το τριγωνο ΚΑΒ ειναι ισοσκελες. Α (Μοναδες 6) 1200 Κ

γ) Αν Ζ το μεσο της ΔΑ, τοτε 0Ζ ΚΒ = 90 450 (Μοναδες 6) Β Γ γ) Το σημειο Κ ανηκει στη μεσοκαθετο του τμηματος ΒΔ. (Μοναδες 7)

187

● Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. ● Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη.


. . . χ ρ η σ ι μ ο



188

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

● 0 0 0ΚΑΔ = 180 - 120 = 60

( παραπληρωματικη της 0Α = 120 )

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΔ

0 0 0ΑΔ Κ = 90 - 60 = 30

( συμπληρωματικη της 0ΚΑΔ = 60 )

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΔ η γω-

νια 0ΑΔ Κ = 30

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Αρα,

ΑΔ = 2ΑΒΑΔ 2ΑΒΑΚ = = = ΑΒ τριγωνο ΚΑΒ ισοσκελες με βαση ΚΒ .

2 2

γ)

Αν Ζ μεσο της ΑΔ, τοτε ΑΒ = ΑΖ = ΖΔ (αφου ΑΔ = 2ΑΒ) και ΒΖ

ΚΑ =2

.

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη.

0Οποτε το τριγωνο ΖΚΒ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΒΖ και ΖΚΒ = 90 .

δ)

Το τριγωνο ΚΑΒ ειναι ισοσκελες με 0 0ΚΑΒ = 120 οποτε ΑΒ Κ = ΑΚ Β = 30 (1)

Ετσι

(1)

0ΑΒ Κ = ΑΔ Κ = 30 που σημαινει οτι το τριγωνο ΚΒΔ ειναι ισοσκελες, και ΚΒ = ΚΔ.

Δηλαδη, το Κ ισαπεχει απο τα Β, Δ οποτε βρισκεται στη μεσοκαθετο του ΒΔ.


Δ

Ζ

Α

Κ

Β Γ

450

1200


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 5 ο 3751

Δινεται τυχαιο τριγωνο ΑΒΓ και η διαμεσος του ΑΜ. Εστω οτι Δ ειναι το μεσο της ΑΜ τετοιο,

ωστε ΒΓ

ΒΔ =2

και γωνια 0ΑΔ Β = 120 . Α

α) Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΒΔΜ.

(Μοναδες 5)

β) Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ΒΔΓ ειναι Δ

ορθογωνιο. 1200

(Μοναδες 6)

γ) Να αποδειξετε οτι τα τριγωνα ΑΔΒ και

ΔΜΓ ειναι ισα.

(Μοναδες 6) Β Μ Γ

δ) Αν το σημειο Κ ειναι η προβολη του Δ

στη ΒΓ, να αποδειξετε οτι 2MK = ΑΔ . .

(Μοναδες 8)

189



. . . χ ρ η σ ι μ ο



190

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Ειναι απ’την υποθεση

● ΜΒ = ΜΓ (1) (ΑΜ διαμεσος)

● ΑΔ = ΔΜ (2) (Δ μεσο της ΑΜ)

● ΒΔ = ΑΔ = ΔΜ (3) (ΒΓ

ΒΔ =2

)

α)

Απ’την (3) προκυπτει οτι το τριγωνο ΒΔΜ ειναι

ισοσκελες με βαση ΜΔ . Ομως

0

0

ΒΔΜ = 60

(παραπληρωματικη της ΑΔΒ = 120 )

Αρα το τριγωνο ΒΔΜ ειναι ισοπλευρο και ολες

οι γωνιες του ειναι ισες με 60 0 .

β)

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Απ’το (α) και την (3) προκυπτει

ΒΓΔΜ = , οποτε το τριγωνο ΒΔΓ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΒΓ .

2

γ)

Τα τριγωνα ΑΔΒ, ΔΜΓ ειναι ισα γιατι ειναι ισοσκελη (ΑΔ = ΔΒ = ΔΜ = ΜΓ) και ιση τη γωνια της

κορυφης ( 0 0 0 0 0ΑΔ Β = 120 απ'την υποθεση, ΔΜΓ = 180 - ΔΜΒ = 180 - 60 = 120 ) .

δ)

Το τριγωνο ΔΒΜ ειναι ισοπλευρο, οποτε το υψος ΔΚ ειναι και διαμεσος, και τριγωνο ΔΒΜ (1)

ισοπλευρο ισοπλευρο

ΜΒ ΔΜ ΑΔΜΚ = = = 2ΜΚ = ΑΔ

2 2 2


Α

Β Κ Μ Γ

Δ

1200


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 6 ο 3754

Δινεται ορθογωνιο παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ. Δ Γ Απο την κορυφη Α φερουμε ΑΕ ⊥ ΒΔ . Εστω Κ, Λ τα μεσα των πλευρων ΑΒ και ΑΔ αντιστοιχως, τοτε: Λ

α) i) Να αποδειξετε οτι: 0Κ Ε Λ = 90 (Μοναδες 8)

ii) ΑΓ

ΚΛ =2

Α Κ Β

(Μοναδες 8)

β) Αν 0ΒΑ Γ = 30 , να αποδειξετε οτι KΛ = ΒΓ . (Μοναδες 9)

191



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ε



192

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Λ μεσο ΑΔ

1 1

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΔΕΑ η

ΕΛ διαμεσος στην υποτεινουσα

ΑΔ 2ΛΑ ΕΛ = = = ΛΑ

2 2 αρα το τριγωνο ΑΛΕ ισοσκελες

και, Ε = Α (1)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΕΒ η

ΕΚ διαμεσο

Κ μεσο ΑΒ

2 2

0 1 2

0 0 1 2

ς στην υποτεινουσα

ΑΒ 2ΑΚ ΕΚ = = = ΑΚ

2 2

αρα το τριγωνο ΑΕΚ ισοσκελες και, Ε = Α (2)

Α + Α = Α = 90 (3)

Απ'τις (1), (2), (3) προκυπτει Ε + Ε = 90 ΚΕΛ = 90

ii)

Στο τριγωνο ΑΒΔ, Κ και Λ ειναι τα μεσα των πλευρων του ΑΒ και ΑΔ αντιστοιχα.

Ετσι ΑΓ = ΒΔ

διαγωνιες ορθογωνιου

ΒΔ ΑΓΚΛ = ΚΛ =

2 2 (4)

β)

0Αν στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ, η γωνια ΒΑΓ = 30 τοτε


(4)ΑΓΒΓ = ΒΓ = ΚΛ

2


Δ Γ

Λ

Δ

Α Κ Β

1

2

2 1

Ε


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 7 ο 3777

Δυο κυκλοι (Ο, ρ1), (Κ, ρ2) εφαπτονται εξωτερικα στο Ν. Μια ευθεια (ε) εφαπτεται στους δυο κυκλους στα σημεια Α, Β αντιστοιχα. Η κοινη εφαπτομενη των κυκλων στο Ν τεμνει την (ε) στο Μ. Να αποδειξετε οτι: α) Το Μ ειναι μεσον του ΑΒ. (ε) Α (δ) (Μοναδες 7) Β

β) 0ΟΜΚ = 90 (Μοναδες 9) Ο Κ

γ) 0ΑΝΒ = 90 (Μοναδες 9)

193




. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ν

Μ



194

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα εφαπτομενα τμηματα απο το M στους κυ-

κλους ειναι ισα , οποτε

ΜΑ = ΜΝΜΑ = ΜΒ Μ μεσο ΑΒ

ΜΒ = ΜΝ

β)

● MΚ διακεντρικη του Μ και 1 2Μ = Μ (1)

● MΟ διακεντρικη του Μ και 3 4Μ = Μ (2)

Ομως

(1)

0 0 0 0 1 2 3 4 2 3 2 3

(2)ΑΜΒ = 180 Μ + Μ + Μ + Μ = 180 2Μ + 2Μ = 180 Μ + Μ = 90

Δηλαδη, 0ΟΜ Κ = 90

γ)

Στο τριγωνο ΑΝΚ ειναι (+)ΜΑ = ΜΝ ΑΒ

ΜΑ + ΜΒ = 2ΜΝ 2ΜΝ = ΑΒ ΜΝ = 2ΜΒ = ΜΝ


Οποτε το τριγωνο ΑΝΒ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΑΒ και 0ΑΝΒ = 90 .


Ο

Α

Μ Β

(δ)

(ε)

3 4

2 1

Κ Ν


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 8 ο 3806

Δινεται τετραγωνο ΑΒΓΔ. Στη διαγωνιο ΑΓ θεωρουμε Α Θ Β σημεια Ι, Ο, Η ωστε ΑΙ = ΙΟ = ΟΗ = ΗΓ . Αν Ε, Θ και Ζ τα μεσα των πλευρων ΔΓ, ΑΒ και ΒΓ αντιστοιχα να αποδειξετε οτι: Ι

α) Το τετραπλευρο ΟΖΓΕ ειναι τετραγωνο. Ο Ζ

(Μοναδες 7)

β)

ΑΓΖΗ =

4 Η (Μοναδες 8) γ) Το τετραπλευρο ΙΘΖΗ ειναι ορθο- Δ Ε Γ γωνιο με ΘΖ = 2ΘΙ. (Μοναδες 10)

195



. . . χ ρ η σ ι μ ο



196

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Ο, Ζ ειναι μεσα των πλευρων του ΑΓ, ΒΓ

αντιστοιχα και

ΔΓΕΓ =

ΑΒ = ΔΓ 2

ΑΒ = ΒΓ 2ΖΓ = ΒΓ

ΑΒΓΔ τετραγωνο Ζ μεσο ΒΓ

0

ΑΒ ΔΓ ΟΖ ||= ΟΖ ||= ΟΖ ||= ΕΓ

2 2 (ΟΖΓΕ παραλληλογραμμο)

ΑΒ ΒΓ 2ΖΓ ΟΖ = = = = ΖΓ

2 2 2 (ΟΖΓΕ ρομβος)

Γ = 90

Τελικα ΟΖΓΕ τετραγ

ωνο .

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΟΖΓ, η ΖΗ ειναι διαμεσος στην υποτεινουσα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας.

ΑΓΟΓ =

2

ΑΙ = ΙΟ = ΟΗ = ΗΓ

ΑΓΟΓ ΑΓ2ΖΗ = ΖΗ = ΖΗ =2 2 4

γ)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Θ, Ζ ειναι μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΒΓ αντιστοιχα και

ΑΓΙΗ =

2

ΑΙ = ΙΟ = ΟΗ = ΗΓ

Α

ΘΖ || ΑΓ ΘΖ || ΙΗΙΘΖΗ

ΑΓ ΙΘΖΗ ορθογωνιοπαραλληλογραμμοΘΖ = ΘΖ = ΙΗ2

ΟΖΓΕ τετραγωνο (διαγωνιες τεμνονται καθετα) : ΖΗ ΟΗ

Απ'το ερωτημα (β)

ΑΓ ΑΓΖΗ = 2ΖΗ =

4 2

ΑΓΙΗ =

ΙΗ = ΘΖ2

Ι = ΙΟ = ΟΗ = ΗΓ ΘΙ = ΖΗ 2ΖΗ = ΙΗ 2ΘΙ = ΘΖ


Α Θ Β

Ζ

Δ Ε Γ

Ο

Ι

Η


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 8 9 ο 3808

Θεωρουμε ενα ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( 0Α = 90 ), τα μεσα Δ, Ε, Ζ των πλευρων του και το υψος του ΑΚ. Εστω Θ το σημειο τομης των ΑΖ, ΔΕ. α) Να αποδειξετε οτι Α i) το τετραπλευρο ΑΔΖΕ ειναι ορθογωνιο. (Μοναδες 8) Δ Θ Ε

ii) ΒΓ

ΑΘ = ΘΕ =4

(Μοναδες 7) Β Κ Ζ Γ

β) Αν επιπλεον ειναι 0Γ = 30 ,

i) να βρειτε τη γωνια ΑΖΒ . (Μοναδες 5)

ii) να αποδειξετε οτι ΒΓ

ΒΚ =4

(Μοναδες 5)

197



. . . χ ρ η σ ι μ ο



198

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Δ, Ζ ειναι

μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΒΓ

αντιστοιχα και

ΑΓΑΕ =

2

0

ΑΓ ΔΖ ||= = ΑΕ

2 (ΑΔΖΕ παραλληλογραμμο)

Α = 90

Τελικα ΑΔΖΕ ορθογωνιο .

ii)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Δ, E ειναι μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα και ΑΔΖΕ

ορθογωνιο

ΔΕ = 2ΘΕ

ΑΖ = ΔΕ 2ΑΘ = 2ΘΕ ΑΘ = ΘΕ ΒΓΑΘ = ΘΕ =

ΒΓ ΒΓ ΒΓ 4 ΔΕ = 2ΘΕ = ΘΕ =

2 2 4

β)

i)

● Στο τριγωνο ΑΒΓ, 0Γ = 30 οποτε 0Β = 60 (συμπληρωματικη της Γ) .

● Στο τριγωνο ΑΒΓ, η ΑΖ διαμεσος στην υποτεινουσα και

ΒΓ

ΑΖ = = ΒΖ τριγωνο ΑΖΒ ισοσκελες με βαση ΑΒ .2

Οποτε το τριγωνο ΑΖΒ ειναι ισοπλευρο (ισοσκελες με μια γωνια ιση με 60 0 ). Ετσι 0 0 0 0ΑΖ Β = 60 180 - ΑΖ Γ = 60 ΑΖ Γ = 120

ii)

Ειναι

0 0 0

τριγωνο ΑΒΚ ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ορθογωνιο

Γ = 30ΒΑΚ = 30 (Β = 60 )

ΒΓΒΚ = = =

2 2

ΒΓΑΒ 2

4


Α

Δ Ε

Β Κ Ζ Γ

Θ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 0 ο 3811

Δινεται τραπεζιο ΑΔΕΒ με Α Δ | | Β Ε , στο οποιο Δ ισχυει οτι AB = ΑΔ + ΒΕ και Ο το μεσο της ΔΕ. Θεωρουμε σημειο Ζ στην ΑΒ τετοιο, ωστε ΑΖ = ΑΔ Ο

και BZ = BE . Αν η γωνια ΔΑΖ = φ ,

α) να εκφρασετε τη γωνια ΑΖ Δ σε συναρ- Ε τηση με τη φ. (Μοναδες 8)

β) να εκφρασετε τη γωνια Ε ΖΒ σε συναρ- τηση με τη φ . Α Ζ Β (Μοναδες 8) γ) να αποδειξετε οτι οι ΟΑ και ΟΒ ειναι μεσοκαθετοι των τμηματων ΔΖ και ΖΕ

αντιστοιχα.

(Μοναδες 9)

199


. . . χ ρ η σ ι μ ο



200

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

τριγωνο ΔΑΖ

ισοσκελες

0

0(1) 0

Ειναι

ΑΖ = ΑΔ ΑΔΖ = ΑΖΔ (1)

Ετσι

ΑΔΖ + ΑΖΔ + Α = 180

180 - φ2ΑΖΔ + φ = 180 ΑΖΔ =

2

β)

0 0

τριγωνο ΕΒΖ

ισοσκελες

(2)Β = 180 - Α = 180 - φ

0 0

εντος και επιταυτα ΔΕ||ΑΔ, τεμνονται απο ΑΒ

Ειναι

ΒΖ = ΒΕ ΕΖ Β = ΖΕ Β (2)

Ετσι

ΕΖ Β + ΖΕ Β + Β = 180 2ΕΖ Β + 180

0- φ = 180 φΕΖ Β =

2

γ)

0 0 0

0 0

Απ'τα (α) και (β) ειναι

180 - φ φ 180 - φ + φ 180ΑΖΔ + ΕΖ Β = + = = = 90 ΔΖΕ = 90

2 2 2 2

Οποτε το τριγωνο ΔΖΕ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΔΕ και ΖΟ η διαμεσος του σ’αυτην .

Ετσι,

ΖΟ = ΟΔ = ΟΕ Οποτε

ΟΔ = ΟΖ Τα σημεια Ο, Ζ ισαπεχουν απ΄τα ακρα του ΔΖ . ΑΔ = ΑΖ Αρα η ΟΑ μεσοκαθετη του ΔΖ .

ΟΕ = ΟΖ Τα σημεια Ο, Β ισαπεχουν απ΄τα ακρα του ΖΕ . ΒΖ = ΒΕ Αρα η ΟΒ μεσο

καθετη του ΖΕ .


Δ

Ο

Ε

Α Ζ Β

φ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 1 ο 3815

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με AB = 2BΓ , τη γωνια Α αμβλεια και Μ το μεσο της ΓΔ.

Φερουμε καθετη στην ΑΔ στο σημειο Α, η οποια τεμνει την ΒΓ στο Η. Αν η προεκταση της ΗΜ

τεμνει την προεκταση της ΑΔ στο Ε, να αποδειξετε οτι:

α) Η ΑΜ ειναι διχοτομος της γωνιας ΔΑΒ. Α Β

(Μοναδες 9) β) Τα τμηματα ΕΗ, ΔΓ διχοτομουνται. (Μοναδες 8) Η

γ) Ε = ΔΜΑ Μ Γ (Μοναδες 8) Ε

201




. . . χ ρ η σ ι μ ο

Δ



202

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

2 1

ΑΒ = ΔΓ ΑΔ = ΒΓ

ΔΓ = 2ΔΜ

1 1

1 2

Α = Μ (1) εντος εναλλαξ των

ΑΒ || ΔΓ, τεμνονται απο ΑΜ .

ΑΒ = 2ΒΓ ΑΔ = ΔΜ

ΑΜΔ τριγωνο ισοσκελες

Α = Μ (2)

Απ'τις (1) και (2)

Α = Α , και

ΑΜ

διχοτομος της ΔΑ Β .

β)

Τα τριγωνα ΔΜΕ και ΓΜΗ ειναι ισα γιατι :

ΜΓ = ΜΓ (Μ μεσο ΔΓ)

ΔΜ Ε = ΓΜ Η (κατακορυφη) (Γ - Π - Γ)

ΕΔΜ = ΜΓΗ (παραπληρωματικες της Δ)


ισα και ΕΜ = ΜΗ (1) και αφου ΔΜ = ΜΓ τα

ΕΗ και ΔΓ διχοτομουνται .

γ)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΕΑΗ, η ΑΜ ειναι διαμεσος στην υποτεινουσα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας.

ΕΗΕΜ =

2

(2)ΕΜ = ΜΓ

1 1

τριγωνο ΑΜΕ ισοσκελες με βαση ΕΗΕΗΑΜ = ΑΜ = ΕΜ

2 Ε = Α = Μ Ε = ΔΜΑ


Α Β

Η

Δ

Ε

Μ Γ

1

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 2 ο 3908

Δυο ισοι κυκλοι (O, ρ) και ( K, ρ) εφαπτονται εξωτερικα στο σημειο Ε. Αν ΟΑ και ΟΒ ειναι Α τα εφαπτομενα τμηματα απο το σημειο Ο στον κυκλο ( K, ρ), να αποδειξετε οτι:

α) ΑΕ = ΒΕ Ο Ε Κ (Μοναδες 9) β) 0ΑΟΚ = 30 (Μοναδες 8) γ) Το τετραπλευρο ΑΚΒΕ ειναι ρομβος. (Μοναδες 8)

203


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Β



204

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. ● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΟΑΚ, η ΑΕ ειναι δι-

αμεσος στην υποτεινουσα και

ΟΚ

ΑΕ = (1)2

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΟΒΚ, η ΒΕ ειναι δι-

αμεσος στην υποτεινουσα και

ΟΚ

ΒΕ = (2)2

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι ΑΕ = ΒΕ .

β) ΑΚ = ρ

ΟΚ = 2ρ

ΟΚΣτο ορθογωνιο τριγωνο ΟΑΚ ειναι ΑΚ =

2


0

Ετσι

η γωνια που βρισκεται απεναντι απ'την ΑΚ : ΑΟ Κ = 30

γ)

Απ’τις (1), (2) προκυπτει

ΟΚΑΕ = ΒΕ = = ρ = ΚΑ = ΚΒ

2, που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΑΚΒΕ ειναι ρομβος .


Α

Β

Ο Ε Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 3 ο 3961

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με τη γωνια Α ορθη. Φερουμε τη διαμεσο του ΑΜ και σε τυ-χαιο σημειο Κ αυτης φερουμε καθετη στην ΑΜ η οποια τεμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεια Δ και Ε αντιστοιχα. Αν Η ειναι το μεσο του ΔΕ να αποδειξετε οτι:

α) Β = ΒΑΜ . (Μοναδες 8)

β) ΑΔ Η = ΔΑ Η . (Μοναδες 9)

γ) Η ευθεια ΑΗ τεμνει καθετα τη ΒΓ. (Μοναδες 8)

205


. . . χ ρ η σ ι μ ο



206

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o .b

l o g

s p

o t

. g r

α)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ ειναι διαμεσος που αν-

τιστοιχει στην υποτεινουσα.

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτει- νουσας. Αρα,

ΒΓΑΜ = = ΜΒ

2 που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΜΒ ειναι

ισοσκελες με βαση την ΑΒ και

Β = ΒΑΜ

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΕΑΔ, η ΑΗ ειναι διαμεσος που αν-

τιστοιχει στην υποτεινουσα.

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Αρα,

ΕΔΑΗ = = ΗΔ

2 που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΗΔ ειναι ισοσκελες με βαση την ΑΔ και

ΑΔ Η = ΔΑ Η

γ)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΔ ειναι

(α)

0 0 0

(β)ΚΑΔ (ΒΑΒ) + ΑΔΗ = 90 Β + ΔΑΗ (ΔΑΛ) = 90 ΑΛΒ = 90

Δηλαδη η ευθεια Αη τεμνει καθετα την ΒΓ .


Γ

Μ

Ε Λ

Η

Α Δ Β

Η

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 4 ο 3994

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με AB = ΑΓ και Δ, Ε τα μεσα των πλευρων του ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. Στην προεκταση της ΔΕ (προς το Ε) θεωρουμε σημειο Λ ωστε EΛ = AE και στη προεκταση της ΕΔ (προς το Δ) θεωρουμε σημειο Κ τετοιο, ωστε ΔΚ = ΑΔ . Να αποδειξετε οτι: α) ΚΔ = ΛΕ

(Μοναδες 6)

β) Τα τριγωνα ΑΚΒ και ΑΛΓ ειναι ορθογωνια. (Μοναδες 9)

γ) Τα τριγωνα ΑΚΒ και ΑΛΓ ειναι ισα. (Μοναδες 10)

207


. . . χ ρ η σ ι μ ο



208

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o .b

l o g

s p

o t

. g r

α)

Δ μεσο ΑΒ Ε μεσο ΑΓΑΒ = ΑΓ

Ειναι

ΑΒ ΑΓΚΔ = ΑΔ = = = ΑΕ =

2 2 = ΕΛ

β)

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τρι- γωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. ● Στο τριγωνο ΑΚΒ ειναι

ΑΒ

ΚΔ = ΑΔ = , οποτε το τριγωνο ΑΚΔ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΑΒ .2

● Στο τριγωνο ΑΛΓ ειναι

ΑΓ

ΛΕ = ΑΕ = , οποτε το τριγωνο ΑΛΓ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΑΓ .2

γ)

Το τριγωνο ΑΔΕ ειναι ισοσκελες (ΑΔ = ΑΕ) και ΑΜ υψος και διαμεσος .

Ετσι

(+) ΑΜ υψος και διαμεσοςΜΔ = ΜΕΜΔ + ΚΔ = ΜΕ + ΕΛ ΚΜ = ΜΛ

στο τριγωνο ΚΑΛ ΚΔ = ΕΛ

αρα ΑΚ = ΑΛ (1)ΑΜ ΚΛ

Τα τριγωνα ΑΚΒ και ΑΛΓ ειναι ισα γιατι :


ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσ

κελες)

ΑΚ = ΑΛ (λογω της (1))


Α

Κ Λ

Β Γ

Δ Ε

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 5 ο 4559

Δινονται δυο παραλληλες ευθειες (ε) και (ζ) και μια Α τριτη που τις τεμνει στα σημεια Α και Β αντιστοιχα. ε Θεωρουμε τις διχοτομους των εντος και επι τα αυτα μερη γωνιων που σχηματιζονται, οι οποιες τεμνονται σε σημειο Δ. Αν Μ ειναι το μεσον του ΑΒ, να αποδει- Μ Δ ξετε οτι:

α) 0ΒΔ Α = 90 (Μοναδες 9

β) ΒΜ Δ = 2ΜΔ Α Β ζ (Μοναδες 8) γ) ΜΔ || ε (Μοναδες 8)

209


● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα . ● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος και επι τα ταυτα μερη γωνιες παραπληρωματικες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



210

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s 5

8 d

e m

o .b

l o g

s p

o t

. g r

Απ’την υποθεση ειναι

1 2

1 2

Α = Α (1)

Β = Β (2)

α)

Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος και επι τα ταυτα μερη γωνιες παραπληρω- ματικες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .

(1) 0

1 2 1 2(2)

0 0 1 1 1 1

0

(Α + Α ) + (Β + Β ) = 180

2Α + 2Β = 180 Α + Β = 90

ΒΔΑ = 90

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΒ, η ΔΜ ειναι η διαμεσος στην υποτεινουσα .


1

(3)

1

ΑΒΔΜ = = ΑΜ

2

Δηλαδη το τριγωνο ΑΜΔ ειναι ισοσκελες (ΑΜ = ΔΜ), οποτε : Α = ΜΔΑ (3)

Η γωνια ΒΜΔ ειναι εξωτερικη του τριγωνου ΑΜΔ, οποτε

ΒΜΔ = Α + ΜΔΑ = ΜΔΑ + ΜΔΑ = 2ΜΔΑ

γ)

Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα . Απ’τις (1) και (3) προκυπτει

2Α = ΜΔΑ

εντος εναλλαξ των ΜΔ, ε που τεμνονται απ'την ΑΔ.

Ετσι, ΜΔ || ε .


Α

ε

Μ Δ

Β ζ

1 2

2 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 6 ο 4562

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με τη γωνια Α Α

ορθη και Μ τυχαιο σημειο της πλευρας ΒΓ. Φερουμε τις διχοτομους γωνιων ΒΜΑ και Ε ΑΜΓ οι οποιες τεμνουν τις ΑΒ και ΑΓ Κ στα σημεια Δ και Ε αντιστοιχα. Δ

α) Να αποδειξετε οτι η γωνια ΔΜΑ ειναι ορθη. (Μοναδες 12) Β Μ Γ

β) Να υπολογιστει η γωνια ΒΑ Δ

(Μοναδες 13)

211


. . . χ ρ η σ ι μ ο



212

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Απ’την υποθεση ειναι

1 2

3 4

0

(1) 0

1 2 3 4(2)

0 2 3

0 0 2 3

Μ = Μ (1)

Μ = Μ (2)

Ετσι

ΒΜΑ = 180

Μ + Μ + Μ + Μ = 180

2Μ + 2Μ = 180

Μ + Μ = 90 ΔΜΑ = 90

β)

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Ειναι

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΔΜΕ, ΔΕΜΚ =

2ΜΚ διαμεσος στην υποτεινουσα

ΜΚ = ΑΚ

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΕ, ΔΕΑΚ =

2ΑΚ διαμεσος στην υποτεινουσα


Α

Ε

Δ

Β Μ Γ

1 2 3

4

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 7 ο 4565

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με τη γωνια Α ορθη και ΑΜ η διαμεσος του. Απο το Μ φε-ρουμε ΜΚ καθετη στην ΑΒ και ΜΛ καθετη στην ΑΓ. Αν Ν, Ρ ειναι τα μεσα των ΒΜ και ΓΜ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι:

α) ΝΚΜ = Ν ΜΚ (Μοναδες 7)

β) η ΜΚ ειναι διχοτομος της γωνιας Ν ΜΑ . (Μοναδες 9)

γ) ΑΜ = ΚΝ + ΛΡ (Μοναδες 9)

213



. . . χ ρ η σ ι μ ο



214

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΜΚΒ η ΚΝ ειναι διαμεσος στην υποτει-

νουσα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Eτσι

ΜΒΚΝ = = ΜΝ = ΒΝ

2

που σημαινει οτι το τριγωνο ΜΝΚ ειναι ισοσκελες με βαση ΜΚ

και Ν Κ Μ = Ν Μ Κ .

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ η ΑΜ ειναι διαμεσος στην υποτεινουσα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Eτσι

ΒΓΑΜ = = ΜΒ = ΜΓ

2 που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΜΒ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΒ και

ΜΑΚ = Β .

Η ΜΚ ειναι διαμεσος και υψος στη βαση του ισοσκελους τριγωνου ΑΜΒ, οποτε ειναι και διχοτο-

μος της γωνιας Ν Μ Α .

γ)

Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της. Τα Κ, Ν, Λ, Ρ ειναι μεσα των ΑΒ, ΜΒ, ΑΓ , ΜΓ αντιστοιχα .

(+)ΑΜ

Τριγωνο ΑΜΒ : ΚΝ =ΑΜ2 ΚΝ + ΛΡ = 2 ΚΝ + ΛΡ = ΑΜ2ΑΜ

Τριγωνο ΑΜΓ : ΛΡ =2


Γ

Ρ

Λ Μ

Ν

Α Κ Β


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 8 ο 4611

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και στην προεκταση της ΓΒ προς το Β, θεωρουμε σημειο Δ τετοιο, ωστε BΔ = AB ενω στη προεκταση της ΒΓ προς το Γ, θεωρουμε σημειο Ε τετοιο, ωστε ΓE = AΓ . Αν οι εξωτερικοι διχοτομοι των γωνιων Β και Γ τεμνουν τις ΑΔ και ΑΕ στα σημεια Κ και Λ αντιστοιχα και η ΚΛ τεμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεια Μ και Ν αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι: α) Τα σημεια Κ και Λ ειναι μεσα των Α

ΑΔ και ΑΕ αντιστοιχα.

(Μοναδες 8) Κ Μ Ν Λ

β) Τα τριγωνα ΚΜΑ και ΑΝΛ ειναι

ισοσκελη. (Μοναδες 9) Δ Β Γ Ε

γ)

ΑΒ + ΑΓ + ΒΓΚΛ =


215



. . . χ ρ η σ ι μ ο



216

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● BΔ = AB , οποτε

το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ι-

σοσκελες και το ΒΚ ειναι

διχοτομος που αντιστοι-

χει στη βαση του, αρα ει-

ναι υψος και διαμεσος

του .

Ετσι,

το Κ ειναι μεσο του ΑΔ .

● ΓΑ = ΓΕ , οποτε το τριγωνο ΑΓΕ ειναι ισοσκελες και το ΓΛ ειναι διχοτομος που αντιστοιχει στη

βαση του, αρα ειναι υψος και διαμεσος του .

Ετσι,

το Λ ειναι μεσο του ΑΕ .

β)

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Ειναι

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΒ, ΑΒΚΜ = = ΑΜ (1)

2ΚΜ διαμεσος στην υποτεινουσα Τριγωνο ΚΜΑ ισοσκελες

ΤριγωΣτο ορθογωνιο τριγωνο ΑΛΓ, ΑΓ

ΛΝ = = ΑΝ (2)2ΛΝ διαμεσος στην υποτεινουσα

νο ΑΝΛ ισοσκελες

γ)

Ειναι

Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της.

Τα Μ, Ν ειναι μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα, του τριγωνου ΑΒΓ, οποτε ΑΓ

ΜΝ =2

(3)

(1, 2, 3)

Ετσι

ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ + ΒΓ + ΑΓΚΛ = ΚΜ + ΜΝ + ΝΛ = + + =

2 2 2 2


Α

Κ Λ

Δ Β Γ Ε

Μ Ν

1 1 2 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 9 9 ο 4635

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με τη γωνια Α ορθη και Β = 2Γ .Φερουμε το υψος του ΑΔ

και σημειο Ε στην προεκταση της ΑΒ τετοιο, ωστε BE = BΔ .

α) Να υπολογισετε τις γωνιες του Ε τριγωνου ΒΔΕ. (Μοναδες 9) Β β) Να αποδειξετε οτι:

i)

ΑΒΒΕ =

2 (Μοναδες 8) ii) ΑΕ = ΓΔ (Μοναδες 8) Α Γ

217



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ε



218

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Β=2Γ 0 0

0 0

0

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ :

Β + Γ = 90 2Γ + Γ = 90

Γ = 30 3Γ = 90

Β = 60

● Το τριγωνο ΕΒΔ ειναι ισοσκελες (ΒΕ = ΒΔ) και

ΒΔ Ε = Ε (1)

(1) παραπληρωματικη της Β

0 0 0

Η γωνια Β ειναι εξωτερικη του τριγωνου ΕΒΔ

και

Β = ΒΔ Ε + Ε 60 = 2Ε Ε = ΒΔ Ε = 30 και ΕΒΔ = 120

β)

i)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΔΑ, η 0 0Β = 60 , οποτε ΒΑΔ = 30

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. Eτσι

ΒΔ = ΒΕΑΒ ΑΒΒΔ = ΒΕ =

2 2

ii)

● Το τριγωνο ΑΜΒ ειναι ισοσκελες με μια γωνια ιση με 0 060 (Β = 60 ) , οποτε ειναι ισοπλευρο

και ΑΒ = ΜΒ (2)

● Στο ισοσκελες τριγωνο ΕΒΔ (απ’το (α)) ειναι ΒΕ = ΒΔ (3)

Ετσι (2, 3) ΒΜ = ΜΓ

Μ μεσο ΒΓΑΕ = ΑΒ + ΒΕ = ΒΜ + ΒΔ = ΜΓ + ΒΔ = ΔΓ


Ε

Β

Δ

Μ

Α Γ

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 0 ο 4762

Στο διπλανο σχημα το ορθογωνιο ΕΖΗΘ παριστανει ενα τραπεζι του μπιλιαρδου. Ενας παικτης τοποθετει μια μπαλα στο σημειο Α το οποιο ανηκει στη μεσοκαθετη της ΘΗ και απεχει απο αυτη αποσταση ιση με ΘΗ. Οταν ο παικτης χτυπησει τη μπαλα αυτη ακολουθει τη διαδρομη A → B → Γ → Δ → A χτυπωντας στους τοιχους του μπιλιαρδου ΕΘ, ΘΗ, ΖΗ διαδο-

χικα. Για τη διαδρομη αυτη ισχυει οτι καθε γωνια προσπτωσης σε τοιχο (π.χ. η γωνια ΘΒΓ) και η καθε μια απ’ αυτες ειναι 45 0 . Ε Ζ α) Να αποδειξετε οτι: i) Η διαδρομη ΑΒΓΔ της μπαλας Α ειναι τετραγωνο. (Μοναδες 9) ii) Το σημειο Α ισαπεχει απο τις κο- ρυφες Ε και Ζ του μπιλιαρδου. (Μοναδες 8) Β Δ

β) Αν η ΑΖ ειναι διπλασια απο την απο- σταση του Α απο τον τοιχο ΕΖ, να υ- πολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΑΕΖ. (Μοναδες 8) Θ Γ Η

219


. . . χ ρ η σ ι μ ο



220

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

0 1 1

0

Τα τριγωνα ΒΘΓ και ΓΗΔ ειναι ισα γιατι :


ΓΘ = ΓΗ (Γ μεσο της ΘΗ)

Β = Δ = 45

Οποτε

ΒΘ ||= ΔΗ (ΒΘ ΘΗ και ΔΗ ΘΗ)

Θ = 90

Δηλαδη το τετραπλευρο ΒΔΗΘ ειναι ορθογωνι

ΘΗ = ΑΓ

υποθεση

ΘΗ ΑΓ

Α ανηκει στη μεσοκαθετη της ΘΗ

ο και

ΒΔ = ΘΗ = ΑΓ (1)

ΒΔ || ΘΗ ΒΔ ΑΓ (2)

Στο ισοσκελες και ορθογωνιο τριγωνο ΒΓΔ, ΚΟ ειναι υψος στην ΒΔ, αρα και δια

(1)

μεσος .

ΒΔ ΑΓ Ετσι , ΓΟ = = , δηλαδη Ο μεσο των ΑΓ και ΒΔ (3)

2 2Απ’τις (1), (2), (3) προκυπτει οτι οι διαγωνιες του τετραπλευρου ΑΒΓΔ, διχοτομουνται καθετα

και ειναι ισες, που σημαινει πως αυτο ειναι τετραγωνο .

ii)

0 2 2

Τα τριγωνα ΕΑΒ και ΖΑΔ ειναι ισα γιατι :

ΑΒ = ΑΔ (ΑΒΓΔ τετραγωνο)

ΕΒ = ΖΔ (διαφορες ισων τμηματων) (Γ - Π - Γ)

Β = Δ = 45

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΑΕ = ΑΖ .

β)

Εστω ΑΚ η αποσταση του Α απ΄την ΕΖ. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΖ ειναι : ΑΖ = 2ΑΚ και


τριγωνο ΕΑΖ

0 0 0 0 0

ισοσκελεςΑΖΚ = 30 = ΑΕΖ Οποτε ΕΑΖ = 180 - 30 - 30 = 120


Ε Κ Ζ

Β Δ

Θ Γ Η

Α

1 1

Ο

450 450

2 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 1 ο 4786

Θεωρουμε τριγωνο ΑΒΓ και τις μεσοκαθετους μ1, μ2 των πλευρων του ΑΒ και ΑΓ, οι οποιες τεμνονται στο μεσο Μ της ΒΓ. Α α) Να αποδειξετε οτι : μ2 i) Το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με

0Α = 90 . (Μοναδες 5) μ1

ii) Το τετραπλευρο ΑΛΜΚ ειναι ορθογωνιο. Κ Θ Λ (Μοναδες 7)

iii) ΒΓ

ΑΘ =4

οπου Θ το σημειο τομης των

ΑΜ και ΚΛ . Β Ι Μ Γ (Μοναδες 7)

β) Αν Ι σημειο της ΒΓ τετοιο, ωστε ΒΓ

ΒΙ =4

, να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΚΘΙΒ

ειναι παραλληλογραμμο. (Μοναδες 6)

221



. . . χ ρ η σ ι μ ο



222

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Tο σημειο Μ ανηκει στις μεσοκα-

θετeς μ1, μ2 των ΑΒ, ΑΓ αντι-

στοιχα, oποτε ισαπεχει απο τα

σημεια Α, Β, Γ και

= ΜΒ = ΜΜΑ Γ =ΒΓ

2

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ι- σουται με το μισο της αντιστοι- χης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Στο τριγωνον ΑΒΓ η ΑΜ ειναι διαμεσος και αφου ισχυει η παραπανω σχεση, αυτο ειναι ορθογω-

νιο με υποτεινουσα την ΒΓ και 0Α = 90 .

ii)

Ειναι 0Α = ΑΚΜ = ΑΛΜ = 90 , οποτε

το τετραπλευρο ΑΛΜΚ ειναι ορθογωνιο (εχει τρεις ορθες γωνιες) .

iii)

● Κ, Λ μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα, του τριγωνου ΑΒΓ. Οποτε ΒΓ

ΚΛ = (1)2

● Το ΑΛΜΚ ειναι ορθογωνιο οποτε οι διαγωνιες του ΑΜ, ΚΛ ειναι ισες και διχοτομουνται.

Ετσι

(1)ΑΜ = ΚΛΒΓ

ΑΜ ΚΛ ΒΓ2ΑΘ = = = =2 2 2 4

β)

Κ, Θ μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΜ αντιστοιχα, του τριγωνου ΑΒΜ. Οποτε

ΒΜ ΒΓτο τετραπλευρο ΚΘΙΒ ειναι παραλληλογραμμοΚΘ = = = ΒΙ

2 4(δυο απεναντι πλευρες του ισες και παραλληλες)

ΚΘ || ΒΜ || ΒΙ


Α

μ2

μ1 Κ Λ

Β Ι Μ Γ

Θ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 2 ο 4791

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ τετοιο, ωστε Α Β αν φερουμε την καθετη στην ΑΓ στο κεντρο του Ο, αυτη να τεμνει την προεκταση της ΑΔ σε σημειο Ε Ο τετοιο, ωστε ΔE = AΔ . Να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΑΕΓ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 7) Δ Γ β) Το τετραπλευρο ΒΓΕΔ ειναι πα- ραλληλογραμμο. (Μοναδες 9) γ) Το τριγωνο ΒΟΓ ειναι ισοσκελες . Ε

(Μοναδες 9)

223




. . . χ ρ η σ ι μ ο



224

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Το ΑΒΓΔ ειναι παραλληλογραμμο και οι δια-

γωνιες του διχοτομουνται στο κεντρο του,

δηλαδη στο Ο .

● Στο τριγωνο ΑΕΓ, η ΕΟ ειναι υψος και δια-

μεσος στην ΑΓ, οποτε το τριγωνο ειναι ισο-

σκελες.

β)

Ειναι

ΔΕ ||= ΑΔ (υποθεση)

ΑΔ ||= ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)

ΔΕ ||= ΒΓ που σημαινει οτι το τετραολευρο

ΒΓΕΔ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του ισες και παραλληλες) .

Απ’τις (2), (3), προκυπτει οτι ΜΔ = ΜΕ .

γ)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΟΕ η ΟΔ ειναι η διαμεσος στην υποτεινουσα


ΟΔ=ΟΒ

ΑΔ=ΒΓ

ΑΕΟΔ = ΟΔ = ΑΔ ΟΒ = ΒΓ που σημαινει οτι το τριγωνο ΒΟΓ ειναι ισοσκελες

2

με βαση την ΟΓ .


Α Β

Δ Γ

Ε

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 3 ο 4795

Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ. Με βαση την ΑΒ Α κατασκευαζουμε ισοσκελες τριγωνο ΑΔΒ, εκτος του

τριγωνου ΑΒΓ, με 0Δ = 120 Θεωρουμε τα μεσα Ζ Ζ Κ Η και Η των πλευρων ΑΔ και ΑΓ αντιστοιχα. α) Να αποδειξετε οτι η ΔΓ ειναι μεσο- Δ Γ καθετος του ΑΒ. (Μοναδες 8) β) Αν η ΔΓ τεμνει την ΑΒ στο Θ, να απο-

δειξετε οτι η γωνια ΖΘΗ ειναι ορθη. Β (Μοναδες 9) γ) Αν η ΖΚ ειναι καθετη στην ΑΒ απο το

σημειο Ζ, να αποδειξετε οτι ΑΔ

ΖΚ =4

.

(Μοναδες 8)

225




. . . χ ρ η σ ι μ ο

Θ



226

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l

o g

s p

o t

. g r

α)

● Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοπλευρο, οποτε ΓΑ = ΓΔ

δηλαδη το Γ ισαπεχει απ’τα Α και Β, οποτε ανηκει

στη μεσοκαθετο του ΑΒ.

● Το τριγωνο ΑΔΒ ειναι ισοσκελες με Δ Α = Δ Β ,

δηλαδη το Δ ισαπεχει απο τα Α και Β, οποτε ανηκει

στη μεσοκαθετο του ΑΒ.

Ετσι, τα σημεια Γ, Δ οριζουν τη μεσοκαθετη του ΑΒ,

δηλαδη η ΓΔ ειναι η μεσοκαθετη του ΑΒ.

β)

● Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοπλευρο : 0ΘΑΗ = 60

● Το τριγωνο ΑΔΒ ειναι ισοσκελες: 0 0ΔΑΘ = 30 (αφου Δ = 120 )

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΘΔ, ΑΔΘΖ = = ΑΖ

2ΘΖ διαμεσος στην υποτεινουσα Τριγωνο ΑΖΘ ισοσκελες

Τριγωνο ΑΗΘ ιΣτο ορθογωνιο τριγωνο ΑΘΓ, ΑΓ

ΘΗ = = ΑΗ2ΘΗ διαμεσος στην υποτεινουσα

σοσκελες

Ετσι

0

0

0 (+)ΔΑΘ = 30 0 0

0ΘΑΗ = 60

ΖΘΑ = ΔΑΘ ΖΘΑ = 30 ΖΘΑ + ΑΘΗ = 90 ΖΘΗ = 90

ΑΘΗ = ΘΑΗ ΑΘΗ = 60

γ)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΖ, ειναι 0ΖΑΚ = 30


ΑΔΑΖ =

2

ΑΔΑΖ ΑΔ2ΖΚ = = =2 2 4


Α

Ζ Η

Δ Γ

Β

1200

Κ

Θ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 4 ο 4797

Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και τα μεσα Δ, Ε και Μ των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντιστοιχα. Στη προεκταση του ΜΔ (προς το Δ) θεωρουμε τμημα ΔZ = ΔM . Να αποδειξετε οτι : Ζ Α α) Τα τριγωνα ΑΖΔ και ΒΜΔ ειναι ισα. (Μοναδες 6) β) Το τετραπλευρο ΖΑΓΜ ειναι πα- Δ Ε ραλληλογραμμο. (Μοναδες 6) γ) Τα τμηματα ΖΕ και ΑΔ τεμνονται καθετα και διχοτομουνται. Β Μ Γ (Μοναδες 7) δ) Η ΒΖ ειναι καθετη στη ΖΑ. (Μοναδες 6)

227



● Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν : ● Δυο διαδοχικες πλευρες του ειναι ισες (ορισμος). ● Οι διαγωνιοι του ειναι καθετες ● Οι διαγωνιοι του διχοτομουν τις γωνιες του

. . . χ ρ η σ ι μ ο



228

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΑΖΔ και ΒΜΔ ειναι ισα γιατι :

ΑΔ = ΔΜ (Δ μεσο ΑΒ)

ΖΔ = ΔΜ (υποθεση) (Π - Γ - Π)

ΑΔΖ = ΒΔΜ (κατακορυφη)

β)

Δ, Μ μεσα των πλευρων ΑΒ, ΒΓ αντιστοιχα, του τριγω-

νου ΑΒΜ.

Οποτε

ΑΓ ΖΜ ΑΓΖΜ = ΑΓ ΔΜ = =

(1)2 2 2ΖΜ || ΑΓ

ΔΜ || ΑΓ ΖΜ || ΑΓ

ΖΑΓΜ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του ισες και παραλληλες)

γ)

τριγωνο ΑΒΓΔ, Ε μεσα των ΑΒ, ΑΓ

ισοπλευρο

(1) : ΖΜ ||= ΑΓ ΖΔ ||= ΑΕΖΑΕΔ παραλληλογραμμο

ΖΑΕΔ ρομβοςΒΓ ΑΓ ΔΕ = ΑΕΔΕ = = = ΑΕ2 2

και οι διαγωνιες του ΖΕ και ΑΔ διχοτομουνται καθετα .

δ)

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Στο τριγωνο ΒΖΑ, η ΖΔ ειναι διαμεσος στην ΑΒ και ισχυει:

(γ) ΑΒ = ΑΓ

0

ΑΓ ΑΒΖΔ = ΑΕ = = ,

2 2

οποτε το τριγωνο ΒΖΑ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΑΒ και ΒΖΑ = 90 .

Δηλαδη, η ΒΖ ειναι καθετη στη ΖΑ .


Ζ Α

Δ Ε

Β Μ Γ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 5 ο 4799

Δινεται οξυγωνιο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με AB = AΓ . Φερνουμε τμημα ΑΔ καθετο στην ΑΒ και τμημα ΑΕ καθετο στην ΑΓ με AΔ = AE . Θεωρουμε τα μεσα Ζ, Η και Μ των ΔΒ, ΕΓ και ΒΓ αντιστοιχα. Δ Ε

α) Να αποδειξετε οτι : Α i) Τα τριγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ ειναι ισα. (Μοναδες 7) ii) Το τριγωνο ΖΑΗ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 6) Ζ Η iii) Η ΑΜ ειναι μεσοκαθετος του ΖΗ. (Μοναδες 7) β) Ενας μαθητης συγκρινοντας τα τριγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ εγραψε τα εξης: « 1. AΔ = AE απο την υποθεση Β Μ Γ 2. AB = AΓ πλευρες ισοσκελους τριγωνου

3. ΔΑΒ = Ε ΑΓ ως κατακορυφην Αρα τα τριγωνα ειναι ισα εχοντας δυο πλευρες ισες μια προς μια και την περιεχομενη γωνια ισα». Ο καθηγητης ειπε οτι η λυση περιεχει λαθος, μπορεις να το εντοπισεις;

(Μοναδες 5)

229


. . . χ ρ η σ ι μ ο



230

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

1 1

Τα τριγωνα ΑΔΒ, ΑΕΓ ειναι ισα γιατι :


ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες)

ΑΔ = ΑΕ (υποθεση)


ισα και : ΔΒ = ΕΓ (1) Β = Γ (2)

ii)

Στα ορθογωνια τριγωνα ΔΑΒ και ΕΑΓ οι

ΑΖ, ΑΗ ειναι διαμεσοι στις υποτεινουσες

αντιστοιχα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερου- με απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ι- ση με το μισο της υποτεινουσας. Οποτε

(1)ΔΒ ΕΓΑΖ = = = ΑΗ που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΖΗ ειναι ισοσκελες με βαση ΖΗ .

2 2

iii)

Τα τριγωνα ΜΒΖ και ΜΓΗ ειναι ισα γιατι :

ΜΒ = ΜΓ (Μ μεσο ΒΓ)

ΒΖ = ΓΗ (μισα ισων τμηματων (1)) (Π - Γ - Π)

ΖΒΜ = ΜΓΗ (αθροισμα ισων γωνιων, απο (2) και ΑΒΓ ισοσκελες)

οποτε και

τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΜΖ = ΜΗ .

Ετσι, τα σημεια Α, Μ ισαπεχουν απο τα Ζ και Η, οποτε οριζουν στη μεσοκαθετη του ΖΗ, δηλαδη

η ΑΜ ειναι μεσοκαθετος του ΖΗ.

β)

« ΔΑΒ = Ε ΑΓ ως κατακορυφην »

Δεν ειναι σωστο, γιατι οι πλευρες τους δεν ειναι αντικειμενες ημιευθειες.


Δ Ε

Α

Z H

Β Μ Γ

1 1 2 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 6 ο 4801

Εστω ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με 0Α = 120 . Α

Φερουμε ημιευθεια Αχ καθετη στην ΑΓ στο Α, η οποια

τεμνει τη ΒΓ στο Δ. Εστω Λ το μεσο του ΑΒ και Κ το μεσο του ΔΓ. Να αποδειξετε οτι: Β Δ Κ Γ α) Το τριγωνο ΑΔΒ ειναι ισοσκελες. x

(Μοναδες 8) β) ΔΓ = 2ΒΔ

(Μοναδες 8) γ) ΛΔ || ΑΚ

(Μοναδες 5) δ) ΑΚ = 2ΛΔ

(Μοναδες 4)

231



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Λ



232

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

0

0

Α = 120 0 0

1ΓΑx = 90

Α = Α - 90 = 30 (1)

0

0

Α = 120 0

Β = Γ

0 0

0 0

Β = 30 (2) αφου στο ισο -

σκελες τριγωνο ΑΒΓ ειναι

Α + Β + Γ = 180

120 + 2Β = 180

2Β = 60 Β = 30

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι το τριγωνο ΑΔΒ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΒ .

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΔΑΓ, η 0Γ = 30

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. Ετσι

(α) (α)ΔΓ ΔΓΑΔ = ΒΔ = ΔΓ = 2ΒΔ

2 2

γ, δ)

Απ’το (β) :Κ μεσο της ΔΓ

ΔΚ = ΚΓΔΓ = 2ΒΔ 2ΔΚ = 2ΒΔ ΔΚ = ΒΔ Δ μεσο της ΒΚ .

Στο τριγωνο ΑΒΚ, τα Δ, Λ ειναι μεσα των ΒΚ, ΑΒ αντιστοιχα .

Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της. Ετσι

ΔΛ || ΑΚ και ΑΚ

ΔΛ = ΑΚ = 2ΔΛ2


A

Λ

Β Δ Κ Γ

x

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 7 ο 4802

Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με 0Α = 90 και 0Β = 60 . Η διχοτομος της γωνιας Β τεμ-

νει την ΑΓ στο Ζ. Τα σημεια Μ και Κ ειναι τα μεσα των ΒΖ και ΒΓ αντιστοιχα. Αν το τμημα ΓΛ

ειναι καθετο στη διχοτομο Βδ, να αποδειξετε οτι: Γ

α) Το τριγωνο ΒΖΓ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 6)

β) Το τετραπλευρο ΑΜΚΖ ειναι ρομβος. δ

(Μοναδες 6) Κ Λ

γ) ΓΖ = 2ΖΑ. Ζ

(Μοναδες 7) Μ

δ) ΒΛ = ΑΓ

(Μοναδες 6) Β Α

233





. . . χ ρ η σ ι μ ο



234

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

0Βδ διχοτομος 0

1της γωνιας Β

Β 60 Β = = = 30 (1)

2 2

0 0 0 0

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ειναι

Γ = 90 - Β = 90 - 60 = 30 (2)

Απ’τις (1) και (2) : το τριγωνο ΒΖΓ ειναι ισοσκελες

με βαση ΒΓ και ΖΚ διαμεσο και υψος .

β)

● Μ, Κ μεσα των πλευρων ΒΖ, ΒΓ του τριγωνου

ΒΖΓ, οποτε :

ΚΜ ||ΓΖ || ΑΖ (3) και ΓΖ

ΚΜ =2

(4)

● Στο ορθογωνια τριγωνα ΒΑΖ, ΒΚΖ ειναι

0 1 2Β = Β = 30 και ΑΜ, ΚΜ διαμεσοι στις υποτεινουσες.

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Ετσι

ΑΖ = ΚΜ ΑΜΚΖΒΖ

ΑΖ = ΑΜ = ΚΖ = ΚΜ =ΑΜΚΖ ρομβος2 απ'την (3) παραλληλογραμμο

ΑΖ = ΑΜ

γ)

Απ’το (β) ερωτημα και την (4) :

ΓΖΚΜ = ΓΖ

ΑΖ = ΓΖ = 2ΑΖ22

ΑΖ = ΚΜ

δ)

0 1

Τα τριγωνα ΒΑΓ και ΒΛΓ ειναι ισα γιατι :


Β = Γ = 30

ΒΓ = κοινη

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΒΛ = ΑΓ .


Γ

δ

Λ

Ζ

Β Α

300

300

2 1

Κ

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 8 ο 4803

Εστω τριγωνο ΑΒΓ με διαμεσο ΑΜ τετοια, ωστε AM = AB . Φερουμε το υψος του ΑΚ και το προεκτεινουμε (προς το Κ) κατα τμημα KΔ = AK . Προεκτεινουμε τη διαμεσο ΑΜ (προς το Μ) κατα τμημα ME = AM . Α Να αποδειξετε οτι: α) ΔΕ ⊥ ΑΔ και ΔΕ = 2ΚΜ Ζ

(Μοναδες 7)

β) Το τετραπλευρο ΑΒΕΓ ειναι πα- ραλληλογραμμο Β Κ Μ Γ (Μοναδες 6)

γ) Το τετραπλευρο ΑΒΔΜ ειναι ρομβος.

(Μοναδες 6)

δ) Η προεκταση της ΔΜ τεμνει την ΑΓ Δ Ε στο μεσον του Ζ. (Μοναδες 6)

235




. . . χ ρ η σ ι μ ο



236

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Το τριγωνο ΑΜΔ ειναι ισοσκελες, αφου η ΜΚ

ειναι διαμεσος και υψος .

Οποτε ΔΜ = ΑΜ

Ομως η ΔΜ ειναι διαμεσος στην ΑΕ του τριγω-

νου ΑΔΕ και ισχυει

ΑΕΜΔ = ΑΜ =

2

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μι- σο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη.

Ετσι, 0ΑΔΕ = 90 ΑΔ ΔΕ

Ακομη, Κ, Μ μεσα των

ΑΔ, ΑΕ αντιστοιχα

ΔΕΚΜ = ΔΕ = 2ΚΜ

2

β)

Στο τετραπλευρο ΑΒΕΓ οι διαγωνιες του ΑΕ, ΒΓ διχοτομουνται στο Μ, οποτε αυτο ειναι παραλλη-

λογραμμο.

γ)

● Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΜ (ΑΜ = ΑΒ), η ΑΚ ειναι υψος του , οποτε ειναι και διαμεσος του και

ΚΒ = ΚΜ (1) και ΑΚ ⊥ ΒΜ (2)

● ΚΑ = ΚΔ (3) απο υποθεση .

Ετσι, απο (1), (2), (3), στο τετραπλευρο ΑΒΔΜ οι διαγωνιες του ΑΔ, ΒΜ διχοτομουνται καθετα

στο Κ, οποτε το τετραπλευρο ειναι ρομβος.

δ)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, Μ μεσο της ΒΓ και ΜΖ || ΑΒ (απ’το (γ) ερωτημα ΜΔ || ΑΒ) .

Αν απο το μεσο μιας πλευρας ενος τριγωνου φερουμε ευθεια παραλληλη προς μια πλευρα του, τοτε η ευθεια αυτη διερχεται απ’ το μεσο της τριτης πλευρας του. Ετσι, Ζ ειναι μεσο της ΑΓ .


Α

Ζ

Β Γ

Δ Ε

Μ

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 0 9 ο 4808

Δινονται δυο ισα ισοσκελη τριγωνα ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΑΒΔ (ΒΑ = ΒΔ), τετοια ωστε οι πλευ-ρες τους ΑΓ και ΒΔ να τεμνονται καθετα στο σημειο Ε, οπως φαινεται στο παρακατω σχημα . Τα σημεια Κ και Λ ειναι τα μεσα των τμηματων ΑΔ και ΒΓ αντιστοιχα . Να αποδειξετε οτι: Δ Γ

α) ΕΔ = ΕΓ

(Μοναδες 7)

β) ΔΓ || ΑΒ Κ Ε Λ (Μοναδες 8)

γ) Το τριγωνο ΕΚΛ ειναι ισοσκελες και ΚΛ || ΑΒ.

(Μοναδες 10)

Α Β

237



● Η διαμεσος του τραπεζιου ειναι παραλληλη προς τις βασεις του και ιση με το ημιαθροισμα τους.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



238

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στα ισα ισοσκελη τριγωνα, ειναι ΑΕ = ΒΕ γιατι ει-

ναι υψη των τριγωνων στις ισες πλευρες .

Ετσι ΒΔ = ΑΓ

ΒΕ = ΑΕΕΔ = ΒΔ - ΒΕ = ΑΓ - ΑΕ = ΕΓ

β)

● Στο ισοσκελες ορθογωνιο τριγωνο ΑΕΒ ειναι

0ΕΑΒ = ΕΒΑ = 45

● Στο ισοσκελες ορθογωνιο τριγωνο ΓΕΔ ειναι

0ΕΔΓ = ΕΓΔ = 45

Αρα ΕΑΒ = ΕΓΔ που ειναι εντος εναλλαξ των ευθειων ΔΓ, ΑΒ που τεμνονται απ'την ΑΓ .

Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος εναλλαξ γωνιες ισες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα . Οποτε ΔΓ || ΑΒ

γ)

Στα ορθογωνια τριγωνα ΑΕΔ και ΒΕΓ οι ΕΚ, ΕΛ ειναι διαμεσοι στις υποτεινουσες αντιστοιχα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Οποτε

ΑΔ = ΒΓΑΔ ΒΓΕΚ = = = ΕΛ που σημαινει οτι το τριγωνο ΚΕΛ ειναι ισοσκελες με βαση ΚΛ .

2 2Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (ΔΓ || ΑΒ και ΑΔ = ΒΓ) και ΚΛ η διαμεσος του.

Η διαμεσος του τραπεζιου ειναι παραλληλη προς τις βασεις του και ιση με το ημιαθροισμα τους. Οποτε ΚΛ || ΑΒ .


Δ Γ

Ε

Κ Λ

Α Β


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 0 ο 4816

Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με 0Α = 90 και Δ, Ε και Ν τα μεσα των ΑΒ, ΑΓ και ΔΕ αντι-στοιχα. Στο τμημα ΒΓ θεωρουμε σημεια Κ και Λ ωστε ΔK = KB και ΕΛ = ΛΓ . Να αποδειξετε οτι:

α) ΔΚ Λ = 2Β και Ε ΛΚ = 2Γ

(Μοναδες 10)

β) Το τετραπλευρο ΔΕΛΚ ειναι πα- Δ Ν Ε ραλληλογραμμο με ΔE = 2ΔK . (Μοναδες 8)

γ)

ΒΓΑΝ = ΔΚ =

4 Β Κ Λ Γ

(Μοναδες 7)

239



● Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν ● οι απεναντι πλευρες του ανα δυο ειναι ισες. ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. ● οι απεναντι γωνιες του ανα δυο ειναι ισες. ● αν οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.

● Αν δυο ευθειες τεμνομενες απο τριτη σχηματιζουν δυο εντος και επι τα ταυτα μερη γωνιες παραπληρωματικες, τοτε ειναι παραλληλες και αντιστροφα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α



240

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΒΚΔ, ΕΛΓ ειναι ισοσκελη,

με 1 1Δ = Β (1) και Ε = Γ (2)

(1)

1

(2)

1

Η ΔΚΛ ειναι εξωτερικη του τρι -

γωνου ΒΚΔ και

ΔΚΛ = Δ + Β = Β + Β = 2Β

Η ΕΛΚ ειναι εξωτερικη του τρι -

γωνου ΕΛΓ και

ΕΛΚ = Ε + Γ = Γ + Γ = 2Γ

β)

Απ’το (α) ερωτημα :

0

0

Α = 90 0 0

1 1Β+Γ = 90

1 1

Κ + Λ = 2(Β + Γ) = 2 90 = 180ΔΚ || ΕΛ

Κ , Λ εντος - εκτος και επιταυτα των ΔΚ, ΚΛ που τεμνονται απ'την ΚΛ

Δ, Ε μεσα των ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα, του τριγωνου ΑΒΓ, οποτε ΔΕ || ΒΓ || ΚΛ και

Αρα το τετραπλευρο ΔΕΛΚ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες παραλληλες) .

Ακομη ΔΕ = ΚΛ

ΒΚ = ΔΚ = ΕΛ = ΛΓ

ΒΓ ΒΚ + ΚΛ + ΛΓΔΕ = = 2ΔΕ = ΔΚ + ΔΕ + ΔΚ ΔΕ = 2ΔΚ

2 2

γ)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΕΑΔ η ΑΝ ειναι διαμεσος στην υποτεινουσα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Οποτε

(β) 2ΔΚ = ΔΕ ΔΕ = ΚΛ

ΒΚ = ΔΚ = ΕΛ = ΛΓ

ΔΕ 2ΔΚ 4ΔΚ 2ΔΚ + ΔΚ + ΔΚ ΔΕ + ΒΚ + ΛΓ= = = = = = =

2 2 4 4 4ΚΛ + ΒΚ + ΛΓ

ΑΝ ΔΚ

= =4

ΒΓ

4

.


Α

Δ Ε

Β Κ Λ Γ

Ν

1 1

1 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 1 ο 4818

Εστω τριγωνο ΑΒΓ ( AB > AΓ) , ΑΔ το υψος του και Μ το μεσο του ΑΒ. Η προεκταση της ΜΔ τεμνει την προεκταση της ΑΓ στο σημειο Ε ωστε ΓΔ = ΓΕ . Να αποδειξετε οτι: Α

α) Β = Ε

(Μοναδες 8) Μ

β) Γ = 2Β = ΑΜΔ (Μοναδες 10)

γ) ΓΕ < ΑΓ


241

● Στο ορθογωνιο τριγωνο η υποτεινουσα ειναι η μεγαλυτερη πλευρα.


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α Β Δ



242

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Το τριγωνο ΕΓΔ ισοσκελες (ΓΔ = ΓΕ)

και 1Δ = Ε (1)

● 1 2Δ = Δ (2) κατακορυφη

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΒ, η ΔΜ

ειναι διαμεσος στην υποτεινουσα .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτει- νουσας.

ΑΒ

ΔΜ = = ΜΒ2

οποτε το τριγωνο ΔΜΒ ειναι ισοσκελες με βαση ΔΒ και 2Δ = Β (3)

Απ’τις (1), (2), (3) προκυπτει οτι : Β = Ε

β)

● Η γωνια Γ ειναι εξωτερικη του τριγωνου ΕΓΔ, οποτε

(1) (2) (3)

1 1 2Γ = Ε + Δ = 2Δ = 2Δ = 2 Β

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΒ : 0 1Β + Α = 90

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ : 0Β + Γ = 90

Αρα 1Γ = Α η Γ = ΑΜΔ

γ)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΓ η ΑΓ ειναι η υποτεινουσα (η μεγαλυτερη πλευρα) .

Ετσι ΓΔ = ΓΕ

υποθεσηΓΔ < ΑΓ = ΓΕ < ΑΓ

.


Α

Μ

Δ Β

Ε

Γ 2

1

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 2 ο 6876

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΓΒ ( AB = AΓ) . Φερουμε τα υψη του ΑΚ και ΓΛ , Αν Ε ειναι το μεσο της ολευρας ΑΓ, να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΚΕΛ ειναι ισοσκελες .

(Μοναδες 10)

β) Η ΚΛ ειναι διχοτομος της γωνιας ΒΚΕ . (Μοναδες 15)

243

● Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο

προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της.


. . . χ ρ η σ ι μ ο



244

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:/

/ d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυ- φη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. ● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΛΓ, η ΛΕ ειναι διαμεσος στην υπο-

τεινουσα .

Ετσι, ΑΓ

ΛΕ = (1)2

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΚΓ, η ΚΕ ειναι διαμεσος στην υπο-

τεινουσα .

Ετσι, ΑΓ

ΚΕ = (2)2

Απ’τις (1), (2) : ΛΕ = ΚΕ, οποτε

το τριγωνο ΚΕΛ ειναι ισοσκελες με βαση ΚΛ και ΕΚΛ = ΕΛΚ (3)

β)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Ε, Λ ειναι μεσα των ΑΓ, ΑΒ αντιστοιχα .

Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της. Ετσι ΕΛ || ΒΓ

Οποτε

ΕΛΚ = ΛΚΒ (4) εντος εναλλαξ των παραλληλων ΕΛ, ΒΓ που τεμνονται απ'την ΚΛ.

Απ'τις (3), (4) προκυπτει :

ΕΚΛ = ΛΚΒ που σημαινει οτι ΚΛ διχοτομει την γωνια ΒΚΕ .


Γ

Κ

Α Λ Β

Ε



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



10 . Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ο - Β α ρ υ κ ε ν τ ρ ο





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Ο ρ θ ο κ ε ν τ ρ ο - Β α ρ υ κ ε ν τ ρ ο

Θ ε μ α 1 1 3 ο 3725

Στο τετραγωνο ΑΒΓΔ ονομαζουμε Ο το κεντρο του και Δ Γ θεωρουμε τυχαιο σημειο Ε του τμηματος ΟΔ. Φερνουμε την καθετη απο το Β στην ΑΕ, που τεμνει το τμημα ΑΟ στο Ζ. Ε Να αποδειξετε οτι: α) Οι γωνιες ω και φ του σχηματος ειναι ισες. Ο (Μοναδες 6) Κ β) ΒΖ = ΑΕ και ΓΖ = ΒΕ . (Μοναδες 12) γ) Το τμημα ΕΖ ειναι καθετο στο ΑΒ. (Μοναδες 7)

247

● Δυο οξειες γωνιες ειναι ισες αν εχουν τις πλευρες καθετες .


● Οι φορεις των υψων ενος τριγωνου διερχονται απο το ιδιο σημειο (Ορθοκεντρο).

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ζ ω φ Α Β



248

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

Οι γωνιες ω, φ οξειεςω = φ (1)

ΒΚ ΑΕ και ΒΕ ΑΟ

(οξειες γωνιες με πλευρες καθετες)

β)

Τα τριγωνα ΑΟΕ και ΒΟΖ ειναι ισα γιατι :


ω = φ (λογω της (1) )

ΑΟ = ΒΟ (ΑΓ, ΒΔ διαγωνιες τετραγωνου ΑΒΓΔ)


ΑΒΓΔ τετραγωνο ΒΟ = ΓΟ

(3)

και

ΑΕ = ΒΖ (2) ΟΕ = ΟΖ (3)

ΓΖ = ΓΟ + ΟΖ ΓΖ = ΒΟ + ΟΕ ΓΖ = ΒΕ

γ)

Στο τριγωνο ΕΑΒ τα ΒΚ και ΑΟ ειναι υψη του, οποτε το σημειο τομης τους Ζ ειναι ορθοκεντρο

του τριγωνου.

Αρα το ΕΖ ειναι τμημα του τριτου υψους ΕΜ του τριγωνου, δηλαδη EZ AB .


Δ Γ

Α Μ Β

Ε

Ο

Κ

Ζ ω

φ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 4 ο 3732

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και το υψος του ΑΔ. Στο ΑΔ θεωρουμε σημειο Η τετοιο, ωστε HA = HB . Εστω οτι Ε ειναι το σημειο τομης της ΒΗ με την ΑΓ. Φερνουμε την ΑΖ καθετη στη ΒΕ, η οποια τεμνει την πλευρα ΒΓ στο Θ. α) Να αποδειξετε οτι: Α i) Τα τριγωνα ΗΔΒ και ΗΖΑ ειναι ισα. (Μοναδες 6) ii) ΔΘ = ΘΖ (Μοναδες 6) Ζ iii) Η ευθεια ΘΗ ειναι μεσοκαθετος του Η τμηματος ΑΒ. (Μοναδες 6) β) Ποιο απο τα σημεια του σχηματος ειναι Β Δ Θ Γ το ορθοκεντρο του τριγωνου ΑΗΒ; Να δικαιολογησετε την απαντηση σας.

(Μοναδες 7)

249



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ε



250

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:/

/ d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

1 2

Τα τριγωνα ΗΔΒ και ΗΕΑ ειναι ισα γιατι :


Η = Η (κατακορυφη)

ΗΑ = ΗΒ (υποθεση)


ΗΔ = ΗΕ (1)

ii)

1 2

Τα τριγωνα ΗΔΘ και ΗΕΘ ειναι ισα γιατι :


ΗΘ = κοινη

ΗΔ = ΗΕ (λογω της (1))

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και Θ = Θ (2)

iii)

Στο τριγωνο ΒΘΑ, το Η ειναι ορθοκεντρο, οποτε η ΘΗ (ΘΚ) ειναι το τριτο υψος του.

Ομως απ΄τη (2) η ΘΗ ειναι και διχοτομος, δηλαδη το τριγωνο ΒΘΑ ειναι ισοσκελες με ΘΑ = ΘΒ.

Τα σημεια Θ και Η ισαπεχουν απ’τα Α και Β, οποτε οριζουν τη μεσοκαθετη του ΑΒ, δηλαδη η ΘΗ

ειναι μεσοκαθετη του ΑΒ .

β)

Τα υψη του τριγωνου ΑΗΒ (αμβλυγωνιο) ειναι τα: ΗΚ στη πλευρα ΑΒ, ΑΕ στη πλευρα ΒΗ και ΒΔ

στη πλευρα ΑΗ . Το σημειο τομης των υψων ειναι το σημειο Θ, που ειναι το ορθοκεντρο του τρι-

γωνου ΑΗΒ .


Α

Κ

Ζ

Β Δ Θ Γ

Ε

Η

2

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 5 ο 3745

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΑΜ το υψος του στη πλευρα ΒΓ. Στην προε-κταση του ΑΜ θεωρουμε τμημα MN = AM . Στη προεκταση του ΒΓ προς το μερος του Γ θεω-ρουμε τμημα ΓΔ = ΒΓ . Α Να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΑΒΝΓ ειναι ρομβος. (Μοναδες 8) β) Το τριγωνο ΑΔΝ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 8) γ) Το σημειο Γ ειναι το βαρυκεντρο του Β Μ Γ Δ τριγωνου ΑΔΝ. (Μοναδες 9)

251



● Οι διαμεσοι ενος τριγωνου διερχονται απο το ιδιο σημειο (βαρυκεντρο) του οποιου η απο-

σταση απο καθε κορυφη ειναι τα 23

του μηκους της αντιστοιχης διαμεσου.

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ν



252

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ, το ΑΜ ειναι υ-

ψος στη βαση του, οποτε ειναι και διαμεσος.

● Οι ΑΝ, ΒΓ ειναι διαγωνιες του τετραπλευρου

ΑΒΝΓ και διχοτομουνται καθετα, αρα αυτο ει-

ναι ρομβος.

β)

Στο τριγωνο ΑΔΝ, η ΔΜ ειναι υψος και διαμε-

σος, οποτε αυτο ειναι ισοσκελες με βαση ΑΝ .

γ)

Στο τριγωνο ΑΔΝ, η ΔΜ ειναι διαμεσος, οποτε για να ειναι το Γ βαρυκεντρο πρεπει:

Β Γ= ΓΔ

1 2ΓΜ = ΔΜ η ΓΔ = ΔΜ

3 3Πραγματι

ΒΓ 1ΓΜ =

ΓΔΔΜ - ΓΜ ΓΜ = 2ΓΜ = 3ΓΜ = ΔΜ ΓΜ = ΔΜ

2 2 3

που σημαινει οτι το Γ ειναι το βαρυκεντρο του τριγωνου ΑΔΝ .


Α

Β Δ

Ν

Μ

Γ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 6 ο 3757

Δινεται ορθογωνιο ΑΒΓΔ με κεντρο Ο και AB > BΓ , AΓ = 2BΓ .Στην προεκταση της πλευρας ΔΑ (προς το Α) παιρνουμε σημειο Ε ωστε ΔA = AE . Ε α) Να αποδειξετε οτι: i) Το τετραπλευρο ΑΕΒΓ ειναι παραλληλογραμμο. (Μοναδες 8) ii) Το τριγωνο ΕΒΔ ειναι ισοπλευρο. Α Ζ Β (Μοναδες 9) β) Αν η ΕΟ τεμνει την πλευρα ΑΒ στο σημειο Ζ, να αποδειξετε οτι ΔZ ⊥ EB . Ο (Μοναδες 8) Δ Γ

253




. . . χ ρ η σ ι μ ο



254

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i) ΑΒΓΔ

ορθογωνιο

Ε, Α, Δ

συνευθειακα

ΕΑ = ΑΔ = ΒΓΕΑ ||= ΒΓ

ΒΓ || ΑΔ ΒΓ || ΕΑ

το ΑΕΒΓ

ειναι παραλληλογραμμο .

ii)

● Στο τριγωνο EBΔ, η ΒΑ ειναι υψος και διαμεσος, οποτε

αυτο ειναι ισοσκελες με βαση ΕΔ .

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ειναι :

ΑΕΒΓ 0 0

παραλληλογραμμο

0

ΑΓ = 2ΒΓ ΒΑΓ = 30 ΑΓΒ = 60

Ε = 60

Δηλαδη το τριγωνο ΕΒΔ ειναι ισοσκελες με μια του γωνια ιση με 60 0, αρα αυτο ειναι ισοπλευρο.

β)

Στο ισοπλευρο τριγωνο ΕΒΔ, το Ζ ειναι ορθοκεντρο (ΒΑ υψος στην ΕΔ, ΕΟ διαμεσος αρα και υ-

ψος στην ΒΔ).

Οποτε το τριτο υψος (απ’τη κορυφη Δ) διερχεται απ’το Ζ, που σημαινει οτι ΔΖ ⊥ ΕΒ .


Ε

Α Β

Δ Γ

Ζ

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 7 ο 3796

Δινονται οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ, ΒΕ, ΓΖ τα υψη απο Α τις κορυφες Β,Γ αντιστοιχα και Η το ορθοκεντρο του τριγωνου. Επισης δινονται τα Μ, Ν, Κ, Λ μεσα των ευ- Ε θυγραμμων τμηματων ΑΒ, ΑΓ, ΓΗ, ΒΗ αντιστοιχα. Ζ α) Να αποδειξετε οτι: Μ Η Ν

i) MN = ΛK

(Μοναδες 6) Λ Κ

ii)

ΑΗΝΚ = ΜΚ =

2 (Μοναδες 6) Β Ο Γ iii) Το τετραπλευρο ΜΝΚΛ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 6)

β) Αν Ο ειναι το μεσο της ΒΓ, να αποδειξετε οτι 0ΜΟΚ = 90 . (Μοναδες 7)

255




. . . χ ρ η σ ι μ ο



256

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Στα τριγωνα ΑΒΓ και ΗΒΓ, τα Μ, Ν, Κ, Λ

ειναι μεσα των πλευρων τους ΑΒ, ΑΓ, ΗΓ

και ΗΒ αντιστοιχα . Οποτε

ΒΓΜΝ ||= ΜΝ = ΚΛ (1)2

ΒΓ ΜΝ || ΚΛ || ΒΓ (2)ΚΛ ||=

2

ii)

Στα τριγωνα ΑΒΗ και ΑΗΓ, τα Λ, Μ, Ν, Κ

ειναι μεσα των πλευρων τους ΗΒ, ΑΒ, ΑΓ

και ΗΓ αντιστοιχα . Οποτε

ΑΗΑΗΜΛ ||=

ΜΛ = ΝΚ = (3)22

ΑΗΜΛ || ΝΚ || ΑΗ (4)ΝΚ ||=

2

.

iii)

Απ’τις (1), (3) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΜΝΚΛ ειναι παραλληλογραμμο (απεναντι πλευρες

ισες)

Ομως το Η ειναι ορθοκεντρο του τριγωνου ΑΒΓ, οποτε

(2)

0

(4)ΑΗ ΒΓ ΜΛ ΜΝ ΛΜΝ = 90 που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΜΝΚΛ ειναι ορθο-

γωνιο .

β)

Στα τριγωνα ΑΒΓ και ΗΒΓ, τα Μ, Ο, Κ ειναι μεσα των πλευρων τους ΑΒ, ΒΓ, ΗΓ αντιστοιχα .

Οποτε

ΒΗ(ΒΕ) ΑΓ

0

ΒΕ υψος στην ΑΓ του τρ. ΑΒΓ

ΜΟ || ΑΓΜΟ ΚΟ ΜΟΚ = 90

ΚΟ || ΒΗ


Α

Ε

Ζ

Μ Ν

Β Ο Γ

Η

Λ Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 8 ο 4606

Δινεται κυκλος κεντρου Ο και δυο μη Β αντιδιαμετρικα σημεια του Α και Β. Δ Φερουμε τις εφαπτομενες του κυκλου στα σημεια Α και Β οι οποιες τεμνονται σε σημειο Γ. Φερουμε επισης και τα υψη Ο Η Γ ΑΔ και ΒΕ του τριγωνου ΑΒΓ τα οποια τεμνονται στο σημειο Η. Να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΒΗΑ ειναι ισοσκελες. Ε

(Μοναδες 8) β) Το τετραπλευρο ΟΒΗΑ ειναι ρομβος

(Μοναδες 9) γ) Τα σημεια Ο, Η, Γ ειναι συνευθειακα.

(Μοναδες 8)

257


● Το αποστημα τεμνει καθετα τη χορδη και τη διχοτομει .



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α



258

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΓΑ = ΓΒ (εφαπτομενα τμηματα απ’το Γ)

● ΟΑ = ΟΒ (ακτινες του κυκλου)

Δηλαδη τα σημεις Ο, Γ οριζουν τη μεσο-

καθετη του ΑΒ και καθε σημειο της θα ι-

σαπεχει απ’τα Α, Β .

Ετσι, ΗΑ = ΗΒ που σημαινει οτι το τριγω-

νο ΒΗΑ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΒ .

Α λ λ ι ω ς

● Το Η ειναι το ορθοκεντρο του ισοσκε-

λους τριγωνου ΑΒΓ, οποτε ΓΚ το τριτο υψος του . Ετσι και ΗΚ υψος του τριγωνου ΒΗΑ .

● ΟΚ αποστημα της χορδης ΑΒ, οποτε τη διχοτομει καθετα , δηλαδη Κ μεσο της ΑΒ και ΗΚ

διαμεσος του τριγωνου ΒΗΑ .

Αρα το τριγωνο ΒΗΑ ισοσκελες (ΚΗ διαμεσος και υψος στην ΑΒ) με βαση την ΑΒ .

β)

ΟΑ || ΒΗ (καθετες στην ΑΓ) τετραπλευρο ΟΒΗΑ ΟΒΗΑ ρομβος

ΟΒ || ΑΗ (καθετες στην ΒΓ) παραλληλογραμμο (παραλληλογραμμο με

καθετες διαγωνιεΟΚ αποστημα της χορδης ΑΒ, οποτε τη διχοτομει καθετα

ς)

γ)

Τα σημεια Ο, Η, Γ ειναι σημεια της μεσοκαθετης της ΑΒ, οποτε ειναι συνευθειακα .


Β

Δ

Γ

Ε

Α

Η

Ο

Κ 1 1

2 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 1 9 ο 4619

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και Ε το μεσο της διαμεσου ΒΔ. Στην Α προεκταση της ΑΕ θεωρουμε σημειο Ζ τετοιο, ωστε EZ = AE . Να αποδειξετε οτι:

α) Το τετραπλευρο ΑΒΖΔ ειναι παραλληλογραμμο . Δ (Μοναδες 8) β) Το τετραπλευρο ΒΔΓΖ ειναι παραλληλογραμμο . Ε (Μοναδες 8) γ) Το σημειο Θ ειναι βαρυκεντρο του τριγωνου ΒΔΖ . Β Θ Κ Γ (Μοναδες 9) Ζ

259





. . . χ ρ η σ ι μ ο



260

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Οι ΑΖ, ΒΔ ειναι διαγωνιες του τετραπλευρου

ΑΒΖΔ και διχοτομουνται.

Οποτε αυτο ειναι παραλληλογραμμο.

β)

Το τετραπλευρο ΑΒΖΔ ειναι παραλληλογραμμο και

ΑΔ = ΔΓ

Α, Δ, Γ συνευθειακα

ΒΖ = ΑΔ ΒΖ = ΔΓ

ΒΖ || ΑΔ ΒΖ || ΔΓ

οποτε το

τετραπλευρο ΒΔΓΖ ειναι παραλληλογραμμο .

(δυο απεναντι πλευρες του ισες και παραλληλες)

γ)

Τα τετραπλευρα ΑΒΖΔ και ΒΔΓΖ ειναι παραλληλο-

γραμμα και οι διαγωνιες τους διχοτομουνται .

Ετσι

Ε ειναι μεσο της ΒΔ και Κ μεσο της ΔΖ, οποτε ΖΕ και ΒΚ ειναι διαμεσοι του τριγωνου ΒΔΖ .

Αρα το σημειο τομης τους Θ ειναι το βαρυκεντρο του τριγωνου ΒΔΖ .


Α

Δ

Β Γ

Ζ

Ε

Κ Θ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 0 ο 4646

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με 0Α = 90 και 0Γ = 30 με Μ και Ν τα μεσα των πλευρων ΒΓ και ΑΒ αντιστοιχα. Εστω οτι η μεσοκαθετος της πλευρας ΒΓ τεμνει την ΑΓ στο σημειο Ε.

α) Να αποδειξετε οτι: Α

i) η ΒΕ ειναι διχοτομος της γωνιας Β. Ε (Μοναδες 6) Ν

ii)

ΓΕΑΕ =

2 . (Μοναδες 6) Β Μ Γ iii) η ΒΕ ειναι μεσοκαθετος της διαμεσου ΑΜ.

(Μοναδες 7) β) Αν ΑΔ ειναι το υψος του τριγωνου ΑΒΓ που τεμνει την ΒΕ στο Η, να αποδειξετε

οτι τα σημεια Μ, Η και Ν ειναι συνευθειακα.

(Μοναδες 6)

261







. . . χ ρ η σ ι μ ο



262

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ειναι :

0 0 0

0

Β + Γ = 90 Β + 30 = 90

Β = 60

● Με ειναι μεσοκαθετη της ΒΓ, οποτε το τρι-

γωνο ΒΕΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΒΓ και

0 2

0 0 0 1 2

Β = Γ = 30 και

Β = Β - Β = 60 - 30 = 30

Αρα ΒΕ διχοτομος της γωνιας Β .

ii)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΕ η γωνια 0 1Β = 30 οποτε

ΕΒ = ΕΓ

(αi)

ΕΒ ΕΓΑΕ = =

2 2

iii)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ, η ΑΜ διαμεσος στην ΑΒ, οποτε

0

ΒΓΑΜ = = ΜΒ

τριγωνο ΑΒΜ ισοπλευρο2

Β = 60

και η ΒΕ ειναι διχοτομος της γωνιας Β , οποτε

και μεσοκαθετη της ΑΜ .

β)

Στο ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΜ, ΑΔ ειναι υψος και διαμεσος και η ΒΕ μεσοκαθετη της ΑΜ (ταυτι-

ζεται με τη διαμεσο στην ΑΜ) οποτε το Η ειναι το βαρυκεντρο.

Ομως η ΒΝ ειναι η τριτη διαμεσος του τριγωνου, που διερχεται απ’το Η .

Αρα, τα σημεια Μ, Η και Ν ειναι συνευθειακα.


Α

Ε

Ν

Β Δ Μ Γ

300

Η

1

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 1 ο 4731

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με AB = AΓ και το υψος του ΑΜ. Φερουμε τη ΜΔ καθετη στην ΑΓ και θεωρουμε σημειο Η το μεσο του ΜΔ. Απο το Η φερουμε παραλληλη στη ΒΓ η οποια τε-μνει τις ΑΜ και ΑΓ στα σημεια Κ και Ζ αντιστοιχα. Α Να αποδειξετε οτι:

α) ΒΓ

ΗΖ =4

(Μοναδες 9) Κ Ζ β) ΜΖ || ΒΔ

(Μοναδες 8) Β Μ Γ

γ) Η ευθεια ΑΗ ειναι καθετη στη ΒΔ

(Μοναδες 8)

263






. . . χ ρ η σ ι μ ο

Δ

Η



264

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΑΜ ειναι υψος στο ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ

που αντιστοιχει στη βαση του, οποτε ειναι

και διαμεσος του . Ετσι

ΒΓ

ΜΓ = (1)2

● Στο τριγωνο ΜΔΓ το Η ειναι μεσο της ΜΔ

και HZ || MΓ,

Αν απο το μεσο μιας πλευρας ενος τριγω- νου φερουμε ευθεια παραλληλη προς μια πλευρα του, τοτε η ευθεια αυτη διερχεται απ’ το μεσο της τριτης πλευρας του.

οποτε το Ζ μεσο της ΔΓ και (1)

ΒΓΜΓ ΒΓ2ΗΖ = = =2 2 4

β)

Στο τριγωνο ΒΓΔ, τα Μ, Ζ ειναι μεσα των ΒΓ, ΓΔ αντιστοιχα .

Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της. Ετσι, ΜΖ || ΒΔ .

γ)

Στο τριγωνο ΑΜΖ, το Η ειναι ορθοκεντρο (ΜΔ υψος στην ΑΖ και ΖΚ υψος στην ΑΜ).

Οποτε το τριτο υψος (απ’τη κορυφη Α) διερχεται απ’το Η, που σημαινει οτι ΑΗ ⊥ ΜΖ .

Ομως, ΜΖ || ΒΔ οποτε ΑΗ ⊥ ΒΔ .


Α

Δ

Ζ

Β Μ Γ

Κ Η


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 2 ο 4812

Εστω ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με AB = AΓ . Προεκτεινουμε το ΒΓ (προς το Γ) κατα τμημα ΓΔ = ΒΓ . Φερουμε τις διαμεσους ΑΕ και ΓΖ του τριγωνου ΑΒΓ που τεμνονται στο Θ. Το ΒΘ προεκτεινομενο, τεμνει το ΑΓ στο Κ και το ΑΔ στο Η. Α Να αποδειξετε οτι:

α) Το ΖΚΓΕ ειναι παραλληλογραμμο. Η

(Μοναδες 9) Ζ Κ β) ΑΗ = ΘΓ

(Μοναδες 9) Θ

γ) ΑΗ = 2ΖΘ

(Μοναδες 7) Β Ε Γ Δ

265






. . . χ ρ η σ ι μ ο



266

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Ζ, Κ ειναι μεσα

των ΑΒ, ΑΓ αντιστοιχα .

Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της. Ετσι,

ΒΓΖΚ ||= ΖΚ ||= ΕΓ

2

που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΖΚΓΕ

ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι

πλευρες του ισες και παραλληλες) .

β)

Στο τριγωνο ΒΗΔ το Γ ειναι μεσο του ΒΔ και ΓΘ (ΓΖ) || ΑΔ ,

Αν απο το μεσο μιας πλευρας ενος τριγωνου φερουμε ευθεια παραλληλη προς μια πλευρα του, τοτε η ευθεια αυτη διερχεται απ’ το μεσο της τριτης πλευρας του. οποτε το Θ ειναι μεσο του ΒΗ.

Ομως το Θ ειναι βαρυκεντρο του τριγωνου ΑΒΓ, οποτε

ΘΒ ΘΗΘΚ = = ΘΚ = ΚΗ (1)

2 2

Ακομη, Κ μεσο της ΑΓ, οποτε ΑΚ = ΚΓ (2)

Απ΄τις (1), (2) : οι διαγωνιες ΘΗ, ΑΓ του τετραπλευρου ΑΗΓΘ διχοτομουνται στο Κ, οποτε αυ-

το ειναι παραλληλογραμμο και ΑΗ = ΘΓ (απεναντι πλευρες του) .

γ)

Απ΄το (β) ειναι Θ βαρυκεντρο 2

ΑΗ = ΘΓ = ΓΗ 3ΘΓ = 2(ΘΓ + ΖΘ) 3ΘΓ = 2ΘΓ + 2ΖΘ ΘΓ = 2ΖΘ3


Α

Η

Ζ

Β Ε Γ Δ

Κ

Θ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 3 ο 5898

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με AB < AΓ και η διχοτομος του ΑΔ. Στην πλευρα ΑΓ θεωρουμε σημειο Ε τετοιο, ωστε AE = AB . Α Να αποδειξετε οτι:

α) τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ ειναι ισα.

(Μοναδες 7) β) η ευθεια ΑΔ ειναι μεσοκαθετος του ΒΕ. Ε

(Μοναδες 9)

γ) αν το υψος απο την κορυφη Β του τρι-

γωνου ΑΒΓ τεμνει την ΑΔ στο Η τοτε Β Δ Γ

η ευθεια ΕΗ ειναι καθετη στην ΑΒ.

(Μοναδες 9)

267




. . . χ ρ η σ ι μ ο



268

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1 2

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ ειναι ισα

γιατι :

ΑΔ = κοινη

Α = Α (ΑΔ διχοτομος της Α)

ΑΒ = ΑΕ (υποθεση)

(Γ - Π - Γ)


τους ισα και ΒΔ = ΔΕ (1)

β)

Εινα

ΑΒ = ΑΕ και ΔΒ = ΔΕ

Δηλαδη τα Α, Δ ισαπεχουν απ’τα Β, Ε, οποτε οριζουν τη μεσοκαθετη του ΒΕ .

Αρα η ΑΔ ειναι μεσοκαθετη του ΒΕ.

γ)

Στο τριγωνο ΑΒΕ, το Η ειναι ορθοκεντρο (ΒΖ υψος στην ΑΕ και ΑΘ υψος στην ΒΕ).

Οποτε το τριτο υψος (απ’τη κορυφη Ε) διερχεται απ’το Η, που σημαινει οτι ΕΗ ⊥ ΑΒ .


Α

Ζ

Ε

Η

Β Δ Γ

Η

Θ

1 2



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



1 1 . Τ ρ α π ε ζ ι ο





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Τ ρ α π ε ζ ι ο

Θ ε μ α 1 2 4 ο 2794

Σε τραπεζιο ΑΒΓΔ ( AB || ΓΔ ) ειναι ΓΔ = 2AB . Α Β

Επισης Ζ, Η, Ε ειναι τα μεσα των ΑΔ, ΒΓ και ΔΓ

αντιστοιχα. Ακομη η ΖΗ τεμνει τις ΑΕ, ΒΕ στα Ζ Θ Ι Η

σημεια Θ, Ι αντιστοιχα.

α) Να δειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΒΓΕ ειναι παραλληλογραμμο. Δ Ε Γ

(Μοναδες 5) β) Να δειξετε οτι τα σημεια Θ, Ι ειναι μεσα των ΑΕ, ΒΕ αντιστοιχα.

(Μοναδες 10)

γ) Να δειξετε 3

ΖΗ = ΑΒ2

.

(Μοναδες 10)

271


. . . χ ρ η σ ι μ ο



272

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΑΒ || ΔΓ || ΔΕ (1)

(ΑΒΓΔ τραπεζιο)

● ΓΔ = 2ΑΒ

ΑΒ = ΔΕ (2)ΓΔ = 2ΔΕ

Η ΕΔ ειναι υψος και διαμεσος στο τριγωνο ΑΕΒ,

απ΄τις (1), (2) προκυπτει οτι τε-

τραπλευρο ΑΒΓΕ ειναι παραλλη-

λογραμμο (δυο απεναντι πλευρες

του ισες και παραλληλες) .

β)

Η ΖΗ ειναι διαμεσος του τραπεζιου και ΖΗ || ΔΓ .

Τριγωνο ΑΔΕ : Ζ μεσο ΑΔ και ΖΘ || ΔΕ Θ μεσο ΑΕ

Τριγωνο ΒΕΓ : Η μεσο ΙΗ και ΙΗ || ΔΕ Ι μεσο ΒΕ

γ)

Η ΖΗ ειναι διαμεσος του τραπεζιου και ΓΔ = 2ΑΒΑΒ + ΔΓ ΑΒ + 2ΑΒ 3ΑΒ

ΖΗ = = =2 2 2


Α Β

Ζ Η

Δ Ε Γ

Θ Ι


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 5 ο 2802

Δινεται ευθεια (ε) και δυο σημεια Α, Β εκτος αυτης ετσι ωστε η ευθεια ΑΒ να μην ειναι καθε-τη στην (ε). Φερουμε ΑΔ, ΒΓ καθετες στην (ε) και Μ, Ν μεσα των ΑΒ, ΓΔ αντιστοιχα. α) Αν τα Α, Β ειναι στο ιδιο ημιεπιπεδο σε σχεση με την (ε) i) να εξετασετε αν το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι παραλληλογραμμο, τραπεζιο η ορθογωνιο σε καθεμια απο τις περιπτωσεις, αιτιολογωντας την απαντηση σας: 1) AΔ < ΒΓ

(Μοναδες 4) 2) AΔ = ΒΓ

(Μοναδες 4) ii) να εκφρασετε το τμημα ΜΝ σε σχεση με τα τμηματα ΑΔ, ΒΓ στις δυο προηγου- μενες περιπτωσεις

(Μοναδες 6) β) Αν η (ε) τεμνει το τμημα ΑΒ στο μεσο του Μ, να βρειτε το ειδος του τετραπλευρου ΑΓΒΔ (παραλληλογραμμο, τραπεζιο, ορθογωνιο) και να δειξετε οτι τα Μ, Ν ταυτι-

ζονται. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 9 + 2)

273

●Τ ρ α π ε ζ ι ο : Ειναι το κυρτο τετραπλευρο που εχει μονο δυο πλευρες παραλληλες.



● Το ευθυγραμμο τμημα που συνδεει τα μεσα των διαγωνιων τραπεζιου βρισκεται πανω στη

διαμεσο του τραπεζιου και ισουται με την ημιδιαφορα των βασεων του.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



274

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:/

/ d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

AΔ ||ΒΓ (ΑΔ ⊥ ε και ΒΓ ⊥ ε)

1)

Αν AΔ < ΒΓ , τοτε

ΑΒ, ΓΔ δεν ειναι παραλληλες γιατι αν ηταν, το τετρα-

πλευρο ΑΒΓΔ θα ηταν παραλληλογραμμο (AΔ || ΒΓ

και ΑΒ || ΓΔ) και οι απεναντι πλευρες του ΑΔ, ΒΓ

θα ηταν ισες, ατοπο αφου AΔ < ΒΓ.

Ετσι, το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι τραπεζιο.

2)

Αν AΔ = ΒΓ, τοτε

το τετραπλευρο ΑΒΓΔ εχει δυο απεναντι πλευρες

του ισες και παραλληλες (παραλληλογραμμο) και α-

φου ΑΔ ⊥ ΔΓ, τοτε αυτο ειναι ορθογωνιο.

ii)

● Αν AΔ < ΒΓ (ΑΒΓΔ τραπεζιο), τοτε

ΑΔ + ΒΓ

ΜΝ =2

● Αν AΔ = ΒΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο), τοτε

MN = AΔ = ΒΓ

β)

ΑΜ = ΜΒ

Τα τριγωνα ΑΔΜ και ΜΒΓ ειναι ισα γιατι :


ΑΜ = ΜΒ (Μ μεσο του ΑΒ)

ΑΜΔ = ΒΜΓ (κατακορυφη)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΜΔ = ΜΓ ΑΓΒΔ παραλληλογ

ραμμο

(οι διαγωνιες του διχοτομουνται και καμμια του γωνια ορθη)

Τα Μ, Ν (σ’αυτη τη περιπτωση) ειναι μεσα των διαγωνιων του τετραπλευρου και αφου αυτο ειναι

παραλληλογραμμο, οι διαγωνιες τεμνονται στο μεσο τους και τα Μ, Ν ταυτιζονται .

Α λ λ ι ω ς

Αν δεν γνωριζαμε οτι το τετραπλευροΑΓΒΔ παραλληλογραμμο και ΑΔ ||ΒΓ τοτε αυτο ειναι τρα-

πεζιο και Μ, Ν μεσα των διαγωνιων τους . ΑΔ = ΒΓΑΔ - ΒΓ 0

ΜΝ = = = 0 Μ Ν2 2


ΑΔ < ΒΓ Β

Μ

Α

ε Δ Ν Γ

ΑΔ = ΒΓ

Α Μ Β

ε Δ Ν Γ

β)

Α

Γ

ε Δ

Β

Ν Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 6 ο 2808

Θεωρουμε παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και τις προβολες Δ Γ Α΄, Β΄, Γ΄, Δ΄ των κορυφων του Α, Β, Γ, Δ αντιστοιχα σε μια ευθεια ε.

α) Αν η ευθεια ε αφηνει τις κορυφες του παραλληλο- γραμμου στο ιδιο ημιεπιπεδο και ειναι Α Β AA’ = 3, BB’ = 2 , ΓΓ’ = 5 , τοτε: ε i) Να αποδειξετε οτι η αποσταση του κεντρου Β’ Γ’ του παραλληλογραμμου απο την ε ειναι ιση με 4. Α’ Δ’

(Μοναδες 8) ii) Να βρειτε την αποσταση ΔΔ΄.

(Μοναδες 9)

β) Αν η ευθεια ε διερχεται απο το κεντρο του παραλληλογραμμου και ειναι παραλ- ληλη προς δυο απεναντι πλευρες του, τι παρατηρειτε για τις αποστασεις ΑΑ΄, ΒΒ΄, ΓΓ΄, ΔΔ΄ ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.

(Μοναδες 8)

275



● Η μεσοπαραλληλη δυο παραλληλων ευθειων, εχει σημεια που ισαπεχουν απ’τις παραλληλες αυτες .

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ο

Ο’



276

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

ΑΑ’ || ΒΒ΄|| ΓΓ’ || ΔΔ’ || ΟΟ’

οφου ολα ειναι καθετα στην ευθεια ε .

Αφου ΑΑ’ = 3 και ΓΓ’ = 5 ( ΑΑ’ ≠ ΓΓ’) η ΑΓ δεν ειναι

παραλληλη στην ευθεια ε .

Ετσι

i)

Στο τραπεζιο ΑΑ΄Γ΄Γ , το ΟΟ΄ ειναι διαμεσος, oποτε

ΑΑ' + ΓΓ' 3 + 5ΟΟ' = = = 4

2 2

ii)

Στο τραπεζιο BB΄Δ΄Δ , το ΟΟ΄ ειναι διαμεσος, oποτε

ΒΒ' + ΔΔ' 2 + ΔΔ'ΟΟ' = 4 =

2 28 = 2 + ΔΔ' ΔΔ' = 6

β)

Αν η ε ειναι παραλληλη στις ΓΔ και ΑΒ και διερχεται απο το κεντρο Ο, τοτε η ε θα ειναι μεσοπα-

ραλληλη των ΓΔ, ΑΒ .

Τα σημεια της μεσοπαραλληλης ε ισαπεχουν απ’τις παραλληλες ΓΔ και ΑΒ, και αντιστροφα, οποτε

ΑΑ΄= ΒΒ΄= ΓΓ΄= ΔΔ΄


α) Δ Γ

Α Β

Γ’

Α’

β) Δ Γ

Α’ ε

Γ’

Α Β

Ο

Ο

Δ’ Ο’

ε

Δ’ ΄Β’

Β’


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 7 ο 3693

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( 0Α = 90 ) και η διχοτομος του ΒΔ . Απ’το Δ φερουμε ΔE ⊥ BΓ και ονομαζουμε Ζ το σημειο στο οποιο η ευθεια ΕΔ τεμνει την προεκταση της ΒΑ. Να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΑΒΕ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 6) β) Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΒΕΖ ειναι ισα.

(Μοναδες 6)

γ) Η ευθεια ΒΔ ειναι μεσοκαθετη των τμηματων ΑΕ και ΖΓ. (Μοναδες 6)

δ) Το τετραπλευρο ΑΕΓΖ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

(Μοναδες 7)

277




. . . χ ρ η σ ι μ ο



278

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1 2

Τα τριγωνα ΔΑΒ και ΔΕΒ ειναι ισα γιατι :


ΒΔ = κοινη

Β = Β (ΒΔ διχοτομος της Β)


και ΑΒ = ΕΒ (1) που σημαινει οτι το τρι

γω -

νο ΑΒΕ ειναι ισοσκελες με βαση ΑΕ .

β)

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΒΕΖ ειναι ισα γιατι :


Β = κοινη

ΑΒ = ΕΒ ((α) ερωτημα)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΒΓ = ΒΖ (2)

γ)

Απ’τις (1), (2) προκυπτει οτι τα τριγωνα ΑΒΕ και ΖΒΓ ειναι ισοσκελη με βασεις ΑΕ, ΖΓ αντι-

στοιχα . Ομως η ΒΔ διχοτομος της γωνιας Β (κορυφη για τα δυο τριγωνα) ειναι υψος και διαμεσος

προς τις βασεις τους .

Ετσι, η ευθεια ΒΔ ειναι μεσοκαθετη των τμηματων ΑΕ και ΖΓ .

δ)

(1)

(2)

ΑΕ ΒΔΑπ'το (γ) : ΑΕ || ΖΓ ΑΕΓΖ

ΖΓ ΒΔτραπεζιο ΑΕΓΖ ισοσκελες τραπεζιοΖΑ, ΓΕ τεμνονται στο Β

ΑΖ = ΒΖ - ΑΒ = ΒΓ - ΒΕ = ΕΓ


Γ

Η Ε

Ζ Α Β

2 1

Δ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 8 ο 3698

Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ με 0Α = Δ = 90 , ΔΓ = 2ΑΒ και Β = 3Γ . Απο το Β φερνουμε καθετη στη ΓΔ που τεμνει την ΑΓ στο Κ και την ΓΔ στο Ε. Επισης φερνουμε την ΑΕ που τε-μνει τη ΒΔ στο σημειο Λ. Α Β Να αποδειξετε οτι:

α) 0Γ = 45 (Μοναδες 8) Λ Κ β) ΒΔ = ΑΕ (Μοναδες 9)

γ) 1

ΚΛ = ΔΓ4

Δ Ε Γ

(Μοναδες 8)

279





. . . χ ρ η σ ι μ ο



280

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:/

/ d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Οι γωνιες Β, Γ (εντος και επι ταυτα μερη των

παραλληλων ΑΒ, ΓΔ που τεμνονται απ’την ΒΓ)

ειναι παραπληρωματικες.

Ετσι

Β = 3 Γ 0 0

υποθεση

0 0

Β + Γ = 180 3Γ + Γ = 180

4Γ = 180 Γ = 45

β)

Το τετραπλευρο ΑΒΕΔ εχει τρεις ορθες γωνιες και ειναι ορθογωνιο.

Οποτε οι διαγωνιες του ΑΕ, ΒΔ ειναι ισες και ΒΔ = ΑΕ .

γ)

Το τετραπλευρο ΑΒΓΕ ειναι παραλληλογραμμο αφου ΑΒ || = ΕΓ (ΔΓ = 2ΑΒ και ΑΒ = ΔΕ), οποτε

οι διαγωνιες του διχοτομουνται και το Κ ειναι μεσο της ΑΓ .

Τα Λ, Κ μεσα των διαγωνιων του τραπεζιου ΑΒΓΔ, οποτε ειναι

ΔΓ = 2ΑΒ

υποθεση

ΔΓ 2ΔΓ - ΔΓ ΔΓΔΓ -ΔΓ - ΑΒ ΔΓ2 2 2ΚΛ = = = = =

2 2 2 2 4


Α Β

Δ Ε Γ

Λ Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 2 9 ο 3703

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ. Προεκτεινουμε το υψος του ΑΗ κατα τμημα Α ΗΔ = ΑΗ και τη διαμεσο του ΑΜ κατα τμημα ΜΕ = ΑΜ . Να αποδειξετε οτι:

α) ΑΒ = ΒΔ = ΓΕ (Μοναδες 8)

β) Γ ΒΔ = ΒΓΕ Β Η Μ Γ

(Μοναδες 8) γ) Το τετραπλευρο ΒΓΕΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο . (Μοναδες 8) Δ Ε

281


● Σε ενα παραλληλογραμμο ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες. ● αν οι διαγωνιοι του διχοτομουνται.


. . . χ ρ η σ ι μ ο



282

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1 2

Τα τριγωνα ΑΗΒ και ΒΗΔ ειναι ισα

γιατι :


ΒΗ = κοινη

ΑΗ = ΗΔ (υποθεση)


ΑΒ = ΒΔ (1) Β = Β

(2)

Το Μ ειναι μεσο της ΒΓ και της ΑΕ, οποτε

το τετραπλευρο ΑΓΕΒ ειναι παραλληλογραμμο

(οι διαγωνιες του διχοτομουνται) και

ΑΒ = ΓΕ (3)

Απ’τις (1), (3) : ΑΒ = ΒΔ = ΓΕ

β)

Το τετραπλευρο ΑΓΕΒ ειναι παραλληλογραμμο και

1 2Γ = Β (4) (εντος εναλλαξ, ΑΒ || ΓΕ, που τεμνονται απ΄την ΒΓ)

Απ’τις (2), (4) : 1 1Β = Γ η ΓΒΔ = ΒΓΕ

γ)

Τα Η και Μ ειναι μεσα των πλευρων ΑΔ και ΑΕ αντιστοιχα, του τριγωνου ΑΔΕ, οποτε

ΗΜ || ΔΕ η ΒΓ || ΔΕ και αφου οι γωνιες 1 1Β = Γ ειναι οξειες ( 1Β οξεια γωνια του τριγωνου

ΒΗΔ) οι ΒΔ, ΓΕ τεμνονται και το τετραπλευρο ΒΓΕΔ ειναι τραπεζιο.

Ομως λογω της (3) (η το (β)), αυτο ειναι ισοσκελες τραπεζιο .


Α

Β Γ

Δ Ε

Η 1

2

1 Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 0 ο 3706

Θεωρουμε ευθεια (ε) και δυο σημεια Α και Β εκτος αυτης, τα οποια βρισκονται στο ιδιο ημιε-πιπεδο σε σχεση με την (ε) ετσι ωστε, η ευθεια ΑΒ να μην ειναι καθετη στην (ε). Εστω Α΄ και Β΄ τα συμμετρικα σημεια των Α και Β αντιστοιχα ως προς την ευθεια (ε). α) Αν η μεσοκαθετος του ΑΒ τεμνει την ευθεια (ε) στο σημειο Κ , να αποδειξετε οτι το Κ ανηκει και στη μεσοκαθετο του Α΄Β΄.

(Μοναδες 10) β) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΒΒ’Α’ ειναι τραπεζιο.

(Μοναδες 8) γ) Να βρειτε τη σχεση των ευθειων ΑΒ και της ευθειας (ε) ωστε το τετραπλευρο ΑΒΒ’Α’ να ειναι ορθογωνιο. Να αιτιολογισετε την απαντηση σας.

(Μοναδες 7)

283




. . . χ ρ η σ ι μ ο

Πρεπει στην εκφωνηση να αναφερεται ... ισοσκελες τραπεζιο ...

Πρεπει στην εκφωνηση να αναφερεται ... ΑΒ δ ε ν ειναι παραλληλη της (ε)...



284

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Τα σημεια Α’, Β’ ειναι συμμετρικα των σημειων Α, Ν ως

προς την ευθεια (ε), οποτε η ευθεια (ε) ειναι μεσοκα-

θετη των ΑΑ’ και ΒΒ’, και Κ ενα σημειο της, οποτε

● ΚΑ = ΚΑ’ (1) ● ΚΒ = ΚΒ’ (2)

● Το σημειο Κ ανηκει στη μεσοκαθετη του ΑΒ, οποτε

● ΚΑ = ΚΒ (3)

Απ’τις (1), (2), (3) :

ΚΑ’ = ΚΒ’ που σημαινει οτι το σημειο Κ ανηκει στη μεσο-

καθετη του Α’Β’ .

β)

Π α ρ α τ η ρ η σ η

... η προχειροτητα !!!

Στην εκφωνηση πρεπει να αναφερεται οτι

● η ευθεια ΑΕ δ ε ν ειναι παραλληλη στην ευθειε (ε) για να ζηταει το (β) ερωτημα τραπεζιο .

● το ζητουμενο τραπεζιο στο ερωτημα (β) ειναι ι σ ο σ κ ε λ ε ς τραπεζιο .

Στη περιπτωση λοιπον που ΑΕ και (ε) δεν ειναι παραλληλες (αρα τεμνονται) και

ΑΑ' (ε)ΑΑ' || ΒΒ'

ΒΒ' (ε)

Το τετραπλευρο ΑΒΒΆ΄ειναι τραπεζιο, με ΑΒ = Α’Β’ (Α’Β’ συμμετρικο ως προς (ε) του ΑΒ) αυτο

ειναι ισοσκελες τραπεζιο .

γ)

Για να ειναι ορθογωνιο το τετραπλευρο ΑΒΒΆ΄ πρεπει ΑΑ’ = ΒΒ΄

(αφου ισχυει ΑΒ = Α’Β’ και ΑΑ’ || ΒΒ’ ⊥ (ε))

Αυτο θα συμβει οταν τα Α, Β ισαπεχουν απ’την ευθεια (ε), δηλαδη οταν ΑΒ || (ε) .


Β

Α

(ε)

Α’

Β’

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 1 ο 3709

Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ || ΓΔ) με τη γωνια 0Γ ιση με 30 και εστω Κ, Λ τα μεσα των

διαγωνιων του. Οι μη παραλληλες πλευρες του ΔΑ και ΓΒ προεκτεινομενες τεμνονται καθετα στο σημειο Ε. Ε Να αποδειξετε οτι:

α) ΑΒ = 2ΑΕ Α Β

(Μοναδες 10)

β) ΚΛ = ΑΔ Κ Λ

(Μοναδες 10)

γ) Σε ποια περιπτωση το ΑΒΛΚ ειναι

παραλληλογραμμο; Να αιτιολογησετε τη απαντηση σας. (Μοναδες 5)

285




. . . χ ρ η σ ι μ ο

Δ Γ

300

Γ



286

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

0ΑΒ Ε = Γ = 30

εντος-εκτος και επιταυτα

των παραλληλων ΑΒ, ΔΓ που

τεμνονται απ’την ΕΓ .

Οποτε στο ορθογωνιο τριγω-

νο ΑΕΒ, 0ΑΒ Ε = 30 και

ΑΒΑΕ =

2

ΑΒ = 2ΑΕ (1)

β)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΕΔΓ, 0Γ = 30 και

(1)ΔΓ ΔΓ ΑΒ ΔΓ ΔΓ - ΑΒ

ΕΔ = ΑΕ + ΑΔ = + ΑΔ = ΑΔ = (2)2 2 2 2 2

● Κ, Λ ειναι τα μεσα των διαγωνιων του τραπεζιου ΑΒΓΔ, οποτε

ΔΓ - ΑΒ

ΚΛ = (3)2

Απ’τις (2), (3) : ΚΛ = ΑΔ .

γ)

Για να ειναι το ΑΒΛΚ παραλληλογραμμο, αρκει ΚΛ = ΑΒ (αφου ΚΛ || ΑΒ).

Ετσι

ΔΓ - ΑΒ ΔΓ - ΑΒΚΛ = ΑΒ = 2ΑΒ = ΔΓ - ΑΒ 2ΑΒ + ΑΒ = ΔΓ

2 2

ΔΓ = 3ΑΒ


Ε

Α Β

Δ Γ

Κ Λ

300


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 2 ο 3718

Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανου σχηματος ειναι ρομβος. Θεωρουμε AZ ⊥ ΓΔ και AE ⊥ ΓB . Να αποδειξετε οτι: Γ α) Το τριγωνο ΖΑΕ ειναι ισοσκελες. Ζ Ε (Μοναδες 6)

β) Η ευθεια ΑΓ ειναι μεσοκαθετος του ΖΕ. Δ Β

(Μοναδες 9)

γ) Αν Μ και Ν τα μεσα των πλευρων ΑΔ και

ΑΒ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι το τε- Α τραπλευρο ΖΜΝΕ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. (Μοναδες 10)

287

● Αν ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες, τοτε οι γωνιες που προσκεινται σε μια βαση ειναι ισες.





. . . χ ρ η σ ι μ ο

Πρεπει στην εκφωνηση να

αναφερεται 0με Β 60



288

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Π α ρ α τ η ρ η σ η (... η προχειροτητα !!!)

Στην εκφωνηση πρεπει να αναφερεται οτι

0Β 60 γιατι διαφορετικα :

● το τριγωνο ΖΑΕ στο ερωτημα (α) ειναι

ι σ ο π λ ε υ ρ ο και οχι ισοσκελες .

Στα τριγωνα ΔΖΑ, ΑΕΒ

0

0

ΔΑΒ = 120 0 0

αφου Β = 60ΔΑΖ = ΕΑΒ = 30 ΖΑΕ = 60

● το ισοσκελες τραπεζιο στο ερωτημα (γ) ειναι ο ρ θ ο γ ω ν ι ο .

Στα ορθογωνια τριγωνα ΔΖΑ, ΑΕΒ: ΑΔ ΑΒ

ΖΔ = = = ΕΒ2 2

, δηλαδη Ζ, Ε μεσα των ΓΔ, ΒΓ.

Το τετραπλευρο με κορυφες τα μεσα πλευρων ρομβου ειναι ορθογωνιο .

0Ετσι, για Β 60

α)

Τα τριγωνα ΑΖΔ και ΑΕΒ ειναι ισα γιατι :


Δ = Β (ΑΒΓΔ ρομβος)

ΑΔ = ΑΒ (ΑΒΓΔ ρομβος)


ΑΖ = ΑΕ (1) που σημαινει

οτι το τριγωνο ΖΑΕ ειναι ισοσκελες με βαση ΖΕ .

ΔΖ = ΒΕ (2)

β) ΓΔ = ΓΒ

(2)τα σημεια Α, ΓΓΖ = ΓΔ - ΔΖ = ΓΒ - ΕΒ

ΑΓ μεσοκαθετη του ΖΕισαπεχουν απ'τα Ζ, ΕΑΖ = ΑΕ (1)

γ)

0

Απ'το (β) : ΖΕ ΑΓ

ΑΒΓΔ ρομβος : ΔΒ ΑΓ ΖΕ || ΜΝ ΖΜΝΕ

Μ,Ν μεσα των ΑΔ,ΑΒ : ΜΝ || ΔΒ τραπεζιο

ΜΖ, ΝΕ τεμνονται (γωνιες βασεων διαφορες 90 )

ΔΖΑ, ΑΕΒ ορθογ

ΖΜΝΕ ισοσκελες

τραπεζιο

ωνια τριγωνα, ΑΔ ΑΒΖΜ = = = ΕΝ

2 2ΖΜ, ΕΝ διαμεσοι στις υποτεινουσες


Γ

Ζ Ε

Δ Β

Μ Ν

A


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 3 ο 3724

Δινεται κυκλος (O, R) με διαμετρο ΑΒ και δυο ευθειες ε1 , ε2 εφαπτομενες του κυκλου στα ακρα της διαμετρου ΑΒ. Εστω οτι, μια τριτη ευθεια ε εφαπτεται του κυκλου σ΄ ενα σημειο του Ε και τεμνει τις ε1 , ε2 στα Δ και Γ αντιστοιχα.

α) Αν το σημειο Ε δεν ειναι το μεσο του τοξου ΑΒ, να αποδειξετε οτι:

i) Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι τραπεζιο. (Μοναδες 8)

ii) ΓΔ = ΑΔ + ΒΓ

(Μοναδες 8)

β) Αν το σημειο Ε βρισκεται στο μεσον του τοξου ΑΒ, να αποδειξετε οτι το τετρα-

πλευρο ΑΔΓΒ ειναι ορθογωνιο. Στην περιπτωση αυτη να εκφρασετε την περιμε- τρο του ορθογωνιου ΑΔΓΒ ως συναρτηση της ακτινας R του κυκλου.

(Μοναδες 9)

289


● Η επικεντρη γωνια ειναι τοσες μοιρες οσες και το αντιστοιχο τοξο της .



● Η περιμετρος ορθογωνιου πλευρων α, β ειναι : Π = 2(α + β) .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



290

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

● Αφου Ε δεν ειναι μεσο του τοξου ΑΒ, τοτε και οι επικεν-

τρες γωνιες :

0 0 1 2 1Ο Ο 90 οποτε Ο + Ε 180

δηλαδη ΓΔ και ΑΒ τεμνονται .

● ΔΑ ΑΒ

ΔΑ || ΓΒΓΒ ΑΒ

(ε1, ε2 εφαπτομενες της ΑΒ)

Οποτε το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι τραπεζιο .

ii)

Ειναι

ΔΑ = ΔΕ (1) και ΓΕ = ΓΒ (2)

(εφαπτομενα τμηματα του κυκλου απ’τα σημεια Δ και Γ)

Ετσι, (1)

(2)ΓΔ = ΔΕ + ΓΕ = ΑΔ + ΒΓ

β)

Ειναι

0

ΔΑ ΑΒΔΑ || ΓΒ

ΓΒ ΑΒ ΑΒΓΔ

παραλληλογραμμοΔΓ ΟΕ ΑΒΓΔ ορθογωνιοΔΑ || ΓΒ

ΑΒ ΟΕ

Α = 90

Αν Π η περιμετρος του ΑΒΓΔ :

ΑΒ = ΔΓ = 2RΠ = 2(ΑΒ + ΑΔ) = 2(2R + R) = 6R

ΑΔ = ΒΓ = R


ε1 ε2

Γ

Δ

ε

Α Β

Δ Ε Γ

Α Β

Ο

Ο

Ε

ε

1 2

R

R R


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 4 ο 3734

Θεωρουμε ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ || ΓΔ) ειναι AB = AΔ .

α) Να αποδειξετε οτι η ΒΔ ειναι διχοτομος της γωνιας Δ .

(Μοναδες 7)

β) Να προσδιορισετε τη θεση ενος σημειου Ε, ωστε το τετραπλευρο ΑΒΕΔ να ειναι

ρομβος. (Μοναδες 10)

γ) Αν επιπλεον ειναι 0ΒΑΔ = 120 και οι διαγωνιοι του ρομβου τεμνονται στο

σημειο Ο, να υπολογισετε τις γωνιες του τετραπλευρου ΕΟΒΓ . (Μοναδες 8)

291




. . . χ ρ η σ ι μ ο



292

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1 1

1 2

1 2

Το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ισοσκελες

(ΑΒ = ΑΔ), οποτε Β = Δ (1)

Β = Δ (2) εντος εναλλαξ

ΑΒ || ΔΕ που τεμνονται απ'την ΒΔ

Απ'τις (1), (2) : Δ = Δ που σημαινει

οτι η ΒΔ δι

χοτομος της γωνιας Δ .

β)

Για να ειναι το τετραπλευρο ΑΒΕΔ ρομβος (αφου ΑΒ = ΑΔ) πρεπει ΑΔ || ΒΕ (πλευρες παραλλη-

λες, για να εξασφαλιζεται το παραλληλογραμμο) .

Ετσι, απ’το σημειο Β φερνουμε παραλληλη στην ΑΔ, που τεμνει την ΔΓ στο σημειο Ε .

Το τετραπλευρο ΑΒΕΔ ειναι ρομβος (παραλληλογραμμο με δυο διαδοχικες πλευρες του ισες)

Το ζητουμενο σημειο Ε, ειναι το σημειο τομης της παραλληλης απ’το Β στην ΑΔ με την ΓΔ .

γ)

Οι διαγωνιες του ρομβου τεμνονται καθετα και διχοτομουν τις γωνιες του (σχημα)

Ετσι οι γωνιες του τετραπλευρου ΕΟΒΓ ειναι

0

0

0

0 0

ΒΟ Ε = 90 (ΑΕ ΒΔ)

ΟΕ Γ = 120 (παραπληρωματικη της ΑΕΔ)

Γ = Δ = 60 (γωνιες βασης ισοσκελους τραπεζιου)

ΟΒ Γ = 90 (το αθροισμα των γωνιων του ΕΟΒΓ ειναι 360 )


Α Β

Δ Ε Γ

600

300

Ο

300

1

1

2

2 600

600

600 300

300


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 5 ο 3737

Θεωρουμε τραπεζιο ΑΒΓΔ τετοιο ωστε 0 1 1Α = Δ = 90 , ΑΒ = ΔΓ και ΑΒ = ΑΔ

4 3 .

Επιπλεον φερουμε ΒΕ ⊥ ΔΓ .

α) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΒΕΔ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 6)

β) Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ΒΕΓ ειναι ορθογωνιο και ισοσκελες.

(Μοναδες 10) γ) Αν Κ,Λ ειναι τα μεσα των ΒΕ και ΑΓ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι η ΑΓ διερχεται απο το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος ΒΚ.

(Μοναδες 9)

293





. . . χ ρ η σ ι μ ο



294

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:/

/ d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΑΒ || ΔΕ (1) (ΑΒΓΔ τραπεζιο)

● ΑΔ || ΒΕ (2) (καθετες στην ΔΓ)

● 0Α = Δ = 90 (3)

Απ’την (1) και (2) :

ΑΒΕΔ παραλληλογραμμο

σε συνδιασμο με την (3)

Το τετραπλευρο ΑΒΕΔ ειναι ορθογωνιο .

β)

● Αφου το ΑΒΕΔ ορθογωνιο : 0ΒΕ Γ = 90

●

ΑΒ=ΔΕ

ΑΔ=ΒΕ

1ΑΒ = ΔΓ 4ΑΒ = ΔΕ + ΕΓ 3ΑΒ = ΕΓ

4 ΕΓ = ΒΕ1

ΑΒ = ΑΔ 3ΑΒ = ΑΔ 3ΑΒ = ΒΕ3

Αρα το τριγωνο ΒΕΓ ειναι ορθογωνιο και ισοσκελες .

γ)

Στο τραπεζιο ΑΒΓΕ, τα Κ, Λ ειναι τα μεσα των διαγωνιων του

Ετσι

● ΚΛ || ΑΒ (4)

● ΕΓ = ΒΕ = ΑΔ = 2ΑΒΕΓ - ΑΒ 3ΑΒ - ΑΒ 2ΑΒ

ΚΛ = = = = ΑΒ (5)2 2 2

Οποτε

το τετραπλευρο ΑΒΛΚ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του ισες και παραλληλες)

και οι διαγωνιες τους ΒΚ, ΑΛ, διχοτομουνται.

Ετσι

Η ΑΓ διερχεται απο το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος ΒΚ.


Α Β

Δ Ε Γ

Λ

Ο

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 6 ο 3739

Δινεται κυκλος (Ο, R) με διαμετρο ΑΒ και ευθειες ε1, ε2 εφαπτομενες του κυκλου στα ακρα της διαμετρου ΑΒ. Δ Θεωρουμε ευθεια ε εφαπτομενη του κυκλου σε σημειο του Ε, η οποια τεμνει τις ε1 και ε2 στα Δ και Γ αντιστοιχα. Ε α) Να αποδειξετε οτι: Γ

i) Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι τραπεζιο. ε (Μοναδες 6) Α Β ii) ΓΔ = ΑΔ + ΒΓ Ο (Μοναδες 7) iii) Το τριγωνο ΓΟΔ ειναι ορθογωνιο. ε1 ε2 (Μοναδες 7) β) Αν η γωνια ΑΔΕ ειναι 60ο και η ΟΔ τεμνει τον κυκλο (Ο, R) στο σημειο Κ, να αποδειξετε οτι το Κ ειναι μεσο του ΔΟ.

(Μοναδες 5)

295





. . . χ ρ η σ ι μ ο



296

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Τα τετραπλευρο ΑΒΓΔ εχει τις δυο πλευρες ΑΔ και ΒΓ πα-

ραλληλες (ειναι καθετες στην ευθεια ΑΒ) και τις ΑΒ , ΔΓ να

τεμνονται (συμφωνα με το σχημα, γιατι η εκφωνηση δεν ανα-

φερει οτι η ευθεια (ε) δεν ειναι παραλληλη στην ΑΒ, η οτι το

Ε δεν ειναι μεσο του τοξου ΑΒ, που δε καθεμια απ’αυτες τις

περιπτωσεις το ΑΒΓΔ ειναι ορθογωνιο) .

ii) ΕΓ = ΒΓ και ΕΔ = ΑΔ

εφαπτομενα τμηματα του κυκλου απ'τα Γ, ΔΓΔ = ΓΕ + ΕΔ = ΒΓ + ΑΔ

iii)

Φερνουμε απ’το μεσο Ο της ΑΒ, παραλληλη προς τις βασεις του τραπεζιου που τεμνει την ΔΓ στο

Μ . Η ΟΜ ειναι η διαμεσος του τραπεζιου και (αii)ΒΓ + ΑΔ ΓΔ

ΟΜ = = 2 2

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Δηλαδη στο τριγωνο ΔΟΓ, η ΟΜ ειναι διαμεσος στην ΓΔ και ισουται με το μισο της, οποτε το

τριγωνο ΔΟΓ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την ΓΔ .

β)

Η ΟΔ ειναι διακεντρικη του Δ και 0

0ΑΔΕ 60 ΑΔΟ = ΟΔΕ = = = 30

2 2

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΟΑΔ, 0ΑΔΟ = 30

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτεινουσας. Ετσι,

ΟΑ = ΟΚ = RΟΔΟΑ = 2ΟΑ = ΟΚ + ΚΔ 2R = R + ΚΔ R = ΚΔ

2

Οποτε ΟΚ = ΚΔ, δηλαδη Κ μεσο της ΟΔ .


Δ

Ε

Γ

ε

Α Β

ε1 ε2

O

M

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 7 ο 3765

Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ με 0Α = Δ = 90 , ΔΓ = 2ΑΒ και Β = 3Γ . Φερνουμε ΒΕ ⊥ ΔΓ που τεμνει τη διαγωνιο ΑΓ στο Μ . Φερνουμε την ΑΕ που τεμνει τη διαγωνιο ΒΔ στο σημειο Ν. Να αποδειξετε οτι: Α Β

α) 0Γ = 45 (Μοναδες 6) β) Το τετραπλευρο ΑΒΓΕ ειναι παραλληλογραμμο. Ν Μ (Μοναδες 6)

γ) 1

ΜΝ = ΔΓ4

(Μοναδες 7) δ) ΑΕ ⊥ ΒΔ (Μοναδες 6)

297





● Στο τετραγωνο οι διαγωνιες του τεμνονται καθετα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Δ Ε Γ



298

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m

o .b

l o g

s p

o t

. g r

α)

Οι γωνιες Β, Γ (εντος και επι ταυτα μερη των

παραλληλων ΑΒ, ΓΔ που τεμνονται απ’την ΒΓ)

ειναι παραπληρωματικες.

Ετσι

Β = 3 Γ 0 0

υποθεση

0 0

Β + Γ = 180 3Γ + Γ = 180

4Γ = 180 Γ = 45

β)

Το τετραπλευρο ΑΒΕΔ εχει τρεις ορθες γωνιες και ειναι ορθογωνιο. Οποτε

ΑΒ = ΔΕ τετραπλευρο ΑΒΓΕ 2ΑΔ = ΔΓ ΑΔ = ΕΓ ΑΒ = ΕΓ

2ΑΒ = ΔΓ παραλληλογραμμο

(ΑΒ ||= ΕΓ)ΑΒ || ΔΗ || ΕΓ

γ)

Το τετραπλευρο ΑΒΓΕ ειναι παραλληλογραμμο (β) και οι διαγωνιες του διχοτομουνται και το Μ

ειναι μεσο της ΑΓ .

Τα Ν, Μ μεσα των διαγωνιων του τραπεζιου ΑΒΓΔ, οποτε ειναι

ΔΓ = 2ΑΒ

υποθεση

ΔΓ 2ΔΓ - ΔΓ ΔΓΔΓ -ΔΓ - ΑΒ ΔΓ2 2 2ΜΝ = = = = =

2 2 2 2 4

δ)

Το ορθογωνιο τριγωνο ειναι και ισοσκελες, αφου 0Γ = 45 .

Ετσι

ΕΓ = ΕΒ = ΑΒ, οποτε το ορθογωνιο ΑΒΕΔ ειναι τετραγωνο (ολες οι πλευρες του ισες) και οι δι-

αγωνιες του τεμνονται καθετα , ΑΕ ⊥ ΒΔ .


Α Β

Δ Ε Γ

Ν Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 8 ο 3775

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με Ο το κεντρο του. Απο την κορυφη Δ φερουμε το τμημα ΔΚ καθετο στην ΑΓ και στην προεκταση του προς το Κ θεωρουμε σημειο Ε, ωστε KE = ΔK . Να αποδειξετε οτι: Ε

α) ΒΔ

ΕΟ =2

(Μοναδες 8) Α Β

β) 0ΔΕΒ = 90 Κ

(Μοναδες 9)

γ) Το τετραπλευρο ΑΕΒΓ ειναι ισοσκελες Ο

τραπεζιο

(Μοναδες 8) Δ Γ

299




. . . χ ρ η σ ι μ ο



300

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΔΟΕ, το ΟΚ ειναι υψος

και διαμεσος, οποτε το τριγωνο ειναι

ισοσκελες .

Ετσι Ο μεσο ΒΔ

ΒΔΟΔ =

2

ΒΔΟΕ = ΟΔ =

2

β)

Στο τριγωνο ΔΕΒ : ΒΔ

ΟΕ = 2


Δηλαδη στο τριγωνο ΔΕΒ, η ΟΕ ειναι διαμεσος στην ΒΔ και ισουται με το μισο της, οποτε το τρι-

γωνο ΔΕΒ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την ΒΔ και 0ΔΕΒ = 90 .

γ)

ΕΒ ΕΔ (β)ΕΒ || ΑΓ

ΑΓ ΕΔ

ΑΕ ||

ΑΕΒΓ

τραπεζιο ΑΕΒΓ ΑΔ || ΒΓ ΑΕ, ΒΓ τεμνονται

ισοσκελες τραπεζιοΑΕ = ΑΔ (ΔΑΕ ισοσκελες, ΑΚ υψος και διαμεσος)

ΑΕ = ΒΓΒΓ = ΑΔ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)


Ε

Α Β

Δ Γ

Κ

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 3 9 ο 3798

Δινεται ορθη γωνια 0x O y = 90 και Α,Β σημεια των ημιευθειων Οy,Ox με OA = OB . Η

ευθεια (ε) διερχεται απο το Ο και αφηνει τις ημιευθειες Οx, Οy στο ιδιο ημιεπιπεδο. Η καθε-τος απο το σημειο Α στην (ε) την τεμνει στο Δ και η καθετος απο το σημειο Β στην (ε) την τε-μνει στο Ε. ε y Να αποδειξετε οτι: A

α) Τα τριγωνα ΟΑΔ και ΟΕΒ ειναι ισα. Δ

(Μοναδες 7) β) AΔ + BE = ΔΕ Μ

(Μοναδες 7) Ν

γ) ΜΝ = ΔΕ2

, οπου ΜΝ το ευθυγραμμο τμημα Ο Β x

που ενωνει τα μεσα των ΔΕ και ΑΒ. (Μοναδες 7) Ε

δ) Το τριγωνο ΔΜΕ ειναι ορθογωνιο και

ισοσκελες.

(Μοναδες 4)

301





. . . χ ρ η σ ι μ ο



302

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΑΔΟ και ΒΕΟ ειναι ισα γιατι :


ΔΟΑ = ΕΒΟ (οξειες με καθετες πλευρες)

ΟΑ = ΟΒ (υποθεση)


ΑΔ = ΟΕ (1)

ΟΔ = ΒΕ (2)

β)

Eιναι (1)

(2)ΑΔ + ΒΕ = ΟΕ + ΟΔ = ΔΕ

γ)

Με βαση το δοσμενο σχημα.

(η εκφωνηση δεν αποκλειει την περιπτωση τα σημεια Ν, Ο να συμπιπτουν (ΑΒ || ε), οποτε στη

περιπτωση αυτη το τετραπλευρο ΔΑΒΕ προκυπτει ορθογωνιο)

Το τετραπλευρο ΔΑΒΕ ειναι τραπεζιο (ΑΔ, ΒΕ καθετες στην ε και ΑΒ, ε μη παραλληλες, αρα τε-

μνονται) και ΜΝ η διαμεσος του, οποτε (β)ΑΔ + ΒΕ ΔΕ

ΜΝ = = 2 2

και ΜΝ || ΑΔ || ΒΕ (3)

δ)

Στο τριγωνο ΔΜΕ : ΔΕ

ΜΝ = (απ'το (γ))2

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Δηλαδη στο τριγωνο ΔΜΕ, η ΜΝ ειναι διαμεσος και υψος (απ’την (3), προκυπτει ΜΝ ⊥ ε) στην

ΔΕ και ισουται με το μισο της και ειναι ισοσκελες, οποτε το τριγωνο ΔΜΕ ειναι ισοσκελες ορθο-

γωνιο με υποτεινουσα την ΔΕ .


ε y

Α

Δ

Μ

Ν

Β

Ο x

E

Δ

Γ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 0 ο 3810

Σε τραπεζιο ΑΒΓΔ με AB || ΓΔ ισχυει οτι AB + ΓΔ = ΑΔ . Αν η διχοτομος της γωνιας Α τε-μνει τη ΒΓ στο Ε και την προεκταση της ΔΓ στο Ζ, να αποδειξετε οτι:

α) Το τριγωνο ΔΑΖ ειναι ισοσκελες. Α Β

(Μοναδες 7)

β) Το Ε ειναι το μεσο της ΒΓ.

(Μοναδες 10)

γ) Η ΔΕ ειναι διχοτομος της γωνιας Δ Ε

του τραπεζιου.

(Μοναδες 8)

Δ Γ Ζ

303




. . . χ ρ η σ ι μ ο



304

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

1 2

1 2

Α = Α (ΑΕ διχοτομος της Α)

Α = Ζ Ζ = Α (εντος εναλλαξ)

ΑΒ || ΔΖ, τεμνονται απ'τη ΑΖ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΔΑΖ ειναι ισοσκελες με

βαση την ΑΖ .

β)

Ειναι

●

ΑΒ + ΓΔ = ΑΔ ΑΒ = ΑΔ - ΓΔΔΖ=ΑΔ

(α) υποθεσηΓΖ = ΔΖ - ΔΓ = ΑΔ - ΔΓ = ΑΒ

● ΑΒ || ΔΖ || ΓΖ

Ετσι, το τετραπλευρο ΑΒΖΓ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του ειναι ισες και πα-

ραλληλες) και οι διαγωνιες του διχοτομουνται, οποτε το Ε ειναι μεσο της ΒΓ .

γ)

Στο ισοσκελες τριγωνο ΔΑΖ (α), η ΔΕ ειναι διαμεσος (β), οποτε ειναι και διχοτομος της γωνιας Δ .


Α Β

Δ Γ Ζ

1

2

1 2

Ε


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 1 ο 3820

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με 0Α = 90 και τυχαιο σημειο Δ της πλευρας ΑΒ. Εστω Κ, Μ, Ν τα μεσα των ΓΔ, ΒΓ, ΒΔ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: Γ

α) Το τετραπλευρο ΚΜΝΔ ειναι παραλ-

ληλογραμμο. (Μοναδες 8)

β) Το τετραπλευρο ΑΚΜΝ ειναι ισοσκε-

λες τραπεζιο. Κ Μ (Μοναδες 9)

γ) Η διαμεσος του τραπεζιου ΑΚΜΝ

ειναι ιση με ΑΒ2

.

(Μοναδες 8) Α Δ Ν Β

305


● Ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες αν ισχυει μια τις παρακατω. ● Οι μη παραλληλες πλευρες του ειναι ισες.

● Σε ενα παραλληλογραμμο ● οι απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες.


. . . χ ρ η σ ι μ ο



306

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

● ΝΔ = ΝΒ = ΔΒ

2 (1) (Μ μεσο ΒΔ)

● Τα Κ, Μ μεσα των πλευρων ΓΔ, ΓΒ του τριγω-

νου ΒΓΔ, αντιστοιχα και

(1)ΔΒ

ΚΜ ||= = ΔΝ2

που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΚΜΝΔ ειναι

παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του

ειναι ισες και παραλληλες) .

β)

ΚΜ || ΔΝ || ΑΝ (α) ΑΚΜΝ

ΑΚ τεμνει την ΝΜ (αφου τεμνει την παραλληλη της ΔΚ) τραπεζιο

ΓΔΣτο τριγωνο ΒΓΔ τα Μ, Ν μεσα των ΒΓ, ΒΔ : ΜΝ =

2ΓΔ

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΓΑΔ, ΑΚ διαμεσος : ΑΚ =2

ΑΚΜΝ

ισοσκελες

τραπεζιοΜΝ = ΑΚ

γ)

Εστω ΕΖ η διαμεσος του ισοσκελους τραπεζιου ΑΚΜΝ.

Τοτε ΚΜ = ΔΝ ΝΒ = ΔΝ

ΑΝ = ΑΔ + ΔΝ

ΚΜ + ΑΝ ΔΝ + ΑΔ + ΔΝ + ΑΔ + + ΑΔ ΑΒΕΖ = = = = =

2 2 2 2

ΔΝ ΝΒ ΔΒ

2


Γ

Μ

Α Δ Ν Β

Κ

Ε Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 2 ο 3822

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με τη γωνια του Β να ειναι ιση με 70 0 και το υψος του ΑΕ. Εστω Ζ σημειο της ΒΓ ωστε BE = EZ . α) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΖΓΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. (Μοναδες 8) β) Να υπολογισετε τις γωνιες του τραπεζιου Μ ΑΖΓΔ (Μοναδες 9)

γ) Αν Μ το μεσο του ΒΔ, να αποδειξετε

οτι ΑΓ

ΕΜ =2

. Β Ε Ζ Γ

(Μοναδες 8)

307





. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α Δ



308

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

● Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι παραλλη-

λογραμμο και

ΑΔ || ΒΓ || ΖΓ (1)

● Η ΑΖ τεμνει την ΑΒ, οποτε τεμνει κα-

θε παραλληλη της. Ετσι

ΑΖ, ΔΓ τεμνονται (2)

● Στο τριγωνο ΒΑΖ, η ΑΕ ειναι υψος και

διαμεσος, οποτε αυτο ειναι ισοσκελες,

ΑΒΓΔ

παραλληλογραμμοΑΖ = ΑΒ = ΓΔ (3)

Απ’τις (1), (2) και (3) προκυπτει οτι

το τετραπλευρο ΑΖΓΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (βασεις παραλληλες, μη παραλληλες πλευρες

ισες) .

β)

απεναντι 0

παραλληλογραμμου

0

0 0 0 0

0

Δ = Β = 70

ΖΑΔ = Δ = 70 (γωνιες βασης ισοσκελους τραπεζιου)

ΑΖΓ = 180 - ΖΑΔ = 180 - 70 = 110 (ΑΖΓ, ΖΑΔ παραπληρωματικες)

Γ = ΑΖΓ = 110 (γωνιες βασης ισο

σκελους τραπεζιου)

γ)

Το Μ ειναι το μεσο της διαγωνιου ΒΔ του παραλληλογραμμου ΑΒΓΔ, οποτε και η αλλη διαγωνιος

του ΑΓ, διερχεται απ’το Μ .

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΕΓ, η ΕΜ ειναι η διαμεσος στην υποτεινουσα ΑΓ και


ΑΓΕΜ =

2


Α Δ

Β Ε Ζ Γ

700

Μ


309 Τ ρ α π ε ζ ι ο

Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Δινεται ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με 0 0Α = 90 και Γ = 30 . Φερουμε το υψος του ΑΔ και τη διαμεσο του ΑΜ. Απο το Γ φερουμε καθετη στην ευθεια ΑΜ, η οποια την τεμνει στο Ε. Να αποδειξετε οτι: Γ

α) Το τριγωνο ΑΜΒ ειναι ισοπλευρο. (Μοναδες 8) Ε

β) ΜΕ = ΜΔ = ΒΓ4

Μ

(Μοναδες 9)

γ) Το ΑΔΕΓ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. Δ

(Μοναδες 8) Α Β




Θ ε μ α 1 4 3 ο 3824

. . . χ ρ η σ ι μ ο


310 Τ ρ α π ε ζ ι ο

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ, 0Γ = 30 και

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υποτει- νουσας.

Μ μεσο ΒΓ

0

0 0 0

ΒΓ ΑΒ = ΑΒ = ΒΜ

2 τριγωνο ΜΑΒ Β + Γ = 90 ισοπλευρο

Β = 90 - 30 = 60

β)

● Το ΑΔ ειναι υψος στο ισοπλευρο τριγωνο, αρα ειναι και διαμε-

σος, οποτε

ΒΓΜΒ =

2

Μ μεσο ΒΓ

ΒΓΜΒ ΒΓ2ΜΔ = = = (1)2 2 4

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΜΕΓ,

ΓΜΕ = ΑΜΒ 0 0 0 0 0

κατακορυφηΜΓΕ = 90 - ΓΜΕ = 90 - ΑΜΒ = 90 - 60 = 30 και


ΒΓΜΓ =

2

Μ μεσο ΒΓ

ΒΓΜΓ ΒΓ2ΜΕ = = = (2)2 2 4

Απ’τις (1) και (2) : ΜΕ = ΜΔ = ΒΓ

4

γ)

● Το τριγωνο ΕΜΔ ειναι ισοσκελες (β) και ΜΔΕ = ΜΕΔ .

0 0

ΑΜΔ ειναι εξωτερικη του τριγωνου ΕΜΔ και :

ΑΜΔ = ΜΔΕ + ΜΕΔ = 2ΜΔΕ 2ΜΔΕ = 60 ΜΔΕ = 30 = ΜΕΔ

0

0

ΑΓΒ = ΜΔΕ = 30 που ειναι εντος εναλλαξ των ΑΓ, ΕΔ και τεμνονται απ'τη ΓΔ.

Δηλαδη ΑΓ || ΕΔ και επειδη ΓΕΔ + ΔΕΓ > 180 , οι ΓΕ, ΑΔ τεμνονται .

Οποτε το τετραπλευρο ΑΔΕΓ ειναι τραπεζ

ιο .

0 0 0 0

0 0 0 0

ΓΕΔ = 90 + ΜΕΔ = 90 + 30 = 120ΓΕΔ = ΑΔΕ

ΑΔΕ = 90 + ΜΔΕ = 90 + 30 = 120

Ετσι, το τετραπλευρο ΑΔΕΓ ισοσκελες τραπεζιο .

(τραπεζιο με ισες γωνιες βασης)

Γ

Ε

Δ

Α Β


Μ

300


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 4 ο 3911

α) Σε ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ θεωρουμε Κ, Λ, Μ, Ν τα μεσα των πλευρων του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΚΛΜΝ ειναι ρομβος.

(Μοναδες 13)

β) Σε ενα τετραπλευρο ΑΒΓΔ τα μεσα Κ,Λ,Μ,Ν των πλευρων του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ

αντιστοιχα ειναι κορυφες ρομβου. Για να σχηματιζεται ρομβος το ΑΒΓΔ πρεπει να ειναι ισοσκελες τραπεζιο; Να αιτιολογησετε πληρως τη θετικη η αρνητικη απαντηση σας .

(Μοναδες 12)

311





. . . χ ρ η σ ι μ ο



312

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι ισο-

σκελες, οποτε ΑΓ = ΒΔ (1)

● Τα Κ, Λ, Μ, Ν μεσα πλευρων των

τριγωνων ΑΒΓ, ΒΓΔ, ΓΔΑ, ΔΑΒ .

Ετσι

(1)

ΑΓ ΚΛ =

2ΒΔ

ΛΜ =2 ΚΛ = ΛΜ = ΜΝ = ΝΚ ΚΛΜΝ ρομβος (ολες οι πλευρες τους ισες)

ΑΓ ΜΝ =

2ΒΔ

ΝΚ =2

β)

Οχι, δεν πρεπει να ειναι ισοσκελες τραπεζιο .

Αν το ΚΛΜΝ ειναι ρομβος, τοτε συμφωνα με το ερωτημα (α), το τετραπλευρο ΑΒΓΔ εχει ισες

διαγωνιες.

Οι ισες διαγωνιες δεν εξασφαλιζουν οτι το τετραπλευρο ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

Αντιπαραδειγμα : Τα μεσα του ορθογωνιου ειναι κορυφες ρομβου .


Α Ν Δ

Κ Μ

Β Λ Γ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 5 ο 4569

Δινεται τραπεζιο ΑΒΓΔ με AB || ΓΔ και AB = AΔ + BΓ . Αν η διχοτομος της γωνιας Δ τεμνει την ΑΒ στο σημειο Μ, να αποδειξετε οτι:

α) Το τριγωνο ΑΔΜ ειναι ισοσκελες. Δ Γ

(Μοναδες 8)

β) Το τριγωνο ΜΒΓ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 9)

γ) Η ΓΜ ειναι διχοτομος της γωνιας Γ

του τραπεζιου. Α Μ Β (Μοναδες 8)

313



. . . χ ρ η σ ι μ ο



314

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

1 2

2 2

1 2

ΔΜ διχοτομος της Δ και

Δ = Δ (1)

Δ = Μ (2) εντος εναλλαξ

(ΔΓ || ΑΜ, τεμνονται απο ΔΜ)

Απ'τις (1) και (2) προκυπτει

Δ = Μ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΜΔ

ειναι ισοσκελες

με βαση ΜΔ και

ΑΜ = ΑΔ (3)

β)

Ειναι (3)

ΑΒ = + ΒΓ ΑΑΔ ΑΜΜ + ΜΒ = + ΒΓ ΜΒ = ΒΓ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΜΒΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΜΓ και 1 1Γ = Μ (4)

γ)

2 1

1 2

1 1

Γ = Μ ( εντος εναλλαξ, ΔΓ || ΜΒ, τεμνονται απο ΜΓ)Γ = Γ

Γ = Μ (λογω της (4))

που σημαινει οτι η ΓΜ ειναι διχοτομος της γωνιας Γ του τραπεζιου.


Δ Γ

Α Μ Β

1

1 2

2

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 6 ο 4599

Δινεται oρθογωνιο τραπεζιο ΑΒΓΔ ( 0Α = Δ = 90 ) με ΒΓ = ΓΔ = 2AB και Κ, Λ τα μεσα των ΒΓ και ΓΔ , Η παραλληλη απο το Κ προς την ΑΒ τεμνει την ΑΛ στο Ζ . Να αποδειξετε οτι: Α Β

α) ΒΓ = 2ΔΖ

(Μοναδες 8)

β) Το τετραπλευρο ΖΚΓΛ εινα ρομβος. Ζ Κ

(Μοναδες 9)

γ) 0ΑΚ Λ = 90

(Μοναδες 8)

Δ Λ Γ

315




● Ενα τετραπλευρο θα ειναι ρομβος αν : ● Ολες πλευρες του ειναι ισες

. . . χ ρ η σ ι μ ο



316

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Τα Κ, Λ μεσα των ΒΓ, ΓΔ αντιστοιχα και

ΒΓ = ΓΔ = 2ΑΒ, οποτε

ΑΒ = ΔΛ = ΛΓ = ΚΓ = ΚΒ (1)

● Το ΑΒΓΛ παραλληλογραμμο (ΑΒ || = ΛΓ),

Κ μεσο της ΒΓ και ΚΖ ||ΑΒ, οποτε Ζ μεσο

της ΑΛ και ΑΛ = ΒΓ (2)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΚ η ΔΖ ειναι δια-

μεσος στην υποτεινουσα ΑΛ και

(2)ΑΛ ΒΓ

ΔΖ = = ΒΓ = 2ΔΖ2 2

(3)

β)

● Το τετραπλευρο ΑΒΛΔ ειναι ορθογωνιο (ΑΒ || = ΔΛ και 0Α = 90 ).

●

ΔΛ = ΑΒ (λογω της (1)

ΔΖ = ΑΒ (απο (3) : ΒΓ = 2ΔΖ 2ΑΒ = 2ΔΖ)

ΖΚ = ΑΒ (ΖΚ διαμεσος παραλληλογραμμου ΑΒΓΛ) ΔΛ = ΔΖ = ΖΚ = ΚΛ

ΒΛΓ ορθογωνιο τριγωνοΒΓΚΛ = = ΑΒ

2 ΚΛ διαμεσος στην υποτεινουσα

Το τετραπλευρο ΖΚΓΛ ειναι ρομβος.

γ)

Ειναι, απ’το (β)

ΖΚ = ΑΛ

ΔΖ =2

ενω η ΖΚ ειναι διαμεσος του τριγωνου ΑΚΛ, στην ΑΛ .


Οποτε το τριγωνο ΑΚΛ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα ΑΛ και 0ΑΚΛ = 90 .


Α Β

Δ Λ Γ

Ζ Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 7 ο 4626

Σε μια ευθεια (ε) θεωρουμε διαδοχικα τα σημεια Α, Β, Γ ετσι ωστε AB = 2BΓκαι στο ιδιο ημι-επιπεδο θεωρουμε ισοπλευρα τριγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ. Αν Η ειναι το μεσο του ΑΔ και η ευθεια ΔΕ τεμνει την (ε) στο σημειο Ζ, να αποδειξετε οτι: Δ

α) Το τετραπλευρο ΒΗΔΕ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 8)

β) Το τριγωνο ΓΖΕ ειναι ισοσκελες. Η Ε

(Μοναδες 8)

γ) Το τετραπλευρο ΗΕΓΑ ειναι ισοσκελες

τραπεζιο. Α Β Γ Ζ (Μοναδες 9)

317




. . . χ ρ η σ ι μ ο



318

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Τα τριγωνα ΑΔΒ και ΒΕΓ ειναι ισο

πλευρα και το Η μεσο της ΑΔ .

Ετσι

● ΑΒ = ΒΔ = ΔΑ (1)

● ΕΒ = ΒΓ = ΓΕ = ΑΗ = ΗΔ (2)

(ΑΒ = 2ΒΓ)

● 0 1 2Α = Β = Γ = 60 (3)

α)

Στο ισοπλευρο τριγωνο ΑΔΒ, η ΒΗ

ειναι διαμεσος αρα και διχοτομος και υψος, οποτε 0 1Β = 30 .

Απ’την (3): 0 2Β = 60

Ετσι, 0ΗΒΕ = 90 και αφου 0ΒΗΔ = 90 (ΒΗ υψος) τοτε ΒΕ || ΗΔ (ΒΕ, ΓΗ καθετες στην ΒΗ)

Ομως απ’τη (2): ΒΕ = ΗΔ, αρα το τετραπλευρο ειναι ορθογωνιο (δυο πλευρες του ειναι ισες και

παραλληλες και εχει και ορθη γωνια) .

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΕΖ, η 0 0 2Γ = 30 (αφου Β = 60 ) και

ΕΒ = ΕΓ ΒΓ = ΕΓΒΖ ΒΓ + ΓΖΕΒ = ΕΓ = 2ΕΓ = ΕΓ + ΓΖ ΕΓ = ΓΖ

2 2

Δηλαδη το τριγωνο ΓΖΕ ειναι ισοσκελες με βαση ΕΖ .

γ)

Ειναι, απ’το (β) ΕΓ = ΒΓ ΑΒ = 2ΒΓ ΑΒ = ΒΔΒΖ

ΕΓ = 2ΒΓ = ΒΖ ΑΒ = ΒΖ ΒΔ = ΒΖ 2

, δηλαδη το τριγωνο ΔΒΖ ειναι

ισοσκελες και επειδη η ΒΕ ειναι υψος στη βαση του, θα ειναι και διαμεσος που σημαινει Ε μεσο

του ΔΖ.

Ετσι, Η, Ε μεσα των ΑΔ, ΔΖ και ΗΕ || ΑΖ (ΑΓ) με τις ΑΔ, ΖΔ να τεμνονται στο Δ .

Δηλαδη το ΗΕΓΑ ειναι τραπεζιο .

Ομως, ΗΑ = ΕΓ = ΑΒ

2, που σημαινει οτι το ΗΕΓΑ ειναι ισοσκελες τραπεζιο .


Δ

Η Ε

Α Β Γ Ζ

1 2 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 8 ο 4630

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και Κ το σημειο τομης των διαγωνιων του. Φερουμε ΑΗ καθετη στην ΒΔ και στην προεκταση της ΑΗ (προς το Η) θεωρουμε σημειο Ε τε-τοιο, ωστε AH = HE . Να αποδειξετε οτι:

α) Το τριγωνο ΑΚΕ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 7)

β) Το τριγωνο ΑΕΓειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 9)

γ) Το τετραπλευρο ΔΒΓΕ ειναι ισοσκελες

τραπεζιο. (Μοναδες 9)

319





. . . χ ρ η σ ι μ ο



320

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι ΑΗ = ΗΕ και ΚΗ ⊥ ΑΕ .

Στο τριγωνο ΑΚΕ, η ΚΗ ειναι διαμε-

σος και υψος, οποτε αυτο ειναι ισο-

σκελες με βαση ΑΕ .

β)

Στο τριγωνο ΑΕΓ, η ΕΚ ειναι διαμε-

σος στην ΑΓ (Κ μεσο της ΑΓ) και (α) ΑΚ = ΚΓ ΑΓ

ΕΚ = ΑΚ = 2

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Οποτε το τριγωνο ΑΕΓ ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την ΑΓ .

γ)

● ΕΓ || ΒΔ (καθετες και οι δυο στην ΑΕ) .

● ΕΔ τεμνει την ΑΔ στο Δ, αρα τεμνει και καθε παραλληλη της, οποτε οι ΕΔ και ΒΓ τεμνονται

(ΒΓ || ΑΔ)

Δηλαδη το τετραπλευρο ΔΒΓΕ ειναι τραπεζιο .

Ομως

Η ΚΔ ειναι μεσοκσθετη της ΑΕ και ΑΒΓΔ

παραλληλογραμμοΕΔ = ΑΔ = ΒΓ

Αρα,

το τετραπλευρο ΔΒΓΕ ειναι ισοσκελες τραπεζιο .


Α Β

Δ Γ

Ε

Η

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 4 9 ο 4645

Στο παρακατω τετραπλευρο ΑΒΓΔ ισχυουν: AΔ = ΒΓ , ΑΓ = ΒΔ και AB < ΓΔ .

α) Να αποδειξετε οτι τα τριγωνα ΑΟΒ Α Β

και ΔΟΓ ειναι ισοσκελη. (Μοναδες 8) Ο β) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι τραπεζιο. Κ Λ (Μοναδες 8)

γ) Αν επιπλεον ισχυει οτι ΓΔ = 3AB και

Κ, Λ τα μεσα των διαγωνιων ΒΔ και ΑΓ Δ Γ

αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι το τετρα-

πλευρο ΑΒΛΚ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 9)

321



. . . χ ρ η σ ι μ ο



322

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ ειναι ισα

γιατι :

ΑΒ = κοινη

ΑΔ = ΒΓ (υποθεση) (Π - Π - Π)

ΒΔ = ΑΓ (υποθεση)


τους ισα και ΑΒΔ = ΒΑΓ

που σημαινε

ι οτι το τριγωνο ΑΟΒ

ειναι ισοσκελες με βαση ΑΒ και

ΟΑ = ΟΒ

ΑΓ

- ΟΓ = ΒΔΒΔ = ΑΓ

- ΟΔ

ΟΓ = ΟΔ

που σημαινει οτι το τριγωνο ΔΟΓ ειναι ισοσκελες με βαση ΓΔ .

β)

● Τα τριγωνα του (α) ερωτηματος ειναι ισοσκελη και εχουν τις γωνιες της κορυφης τους Ο ισες

(κατακορυφη), οποτε και οι γωνιες της βασης τους θα ειναι ισες .

Ετσι, ΑΒΔ = ΒΔΓ που ειναι εντος εναλλαξ των ΑΒ, ΓΔ τεμνομενες απ’την ΒΔ .

● Το ΑΒΓΔ δεν ειναι παραλληλογραμμο (ΑΒ < ΓΔ), οποτε ΑΔ, ΒΓ τεμνονται .

Τα παραπανω εξασφαλιζουν οτι το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι τραπεζιο .

γ)

Τα Κ, Λ ειναι τα μεσα των διαγωνιων του τραπεζιου ΑΒΓΔ, οποτε

ΔΓ = 3ΑΒ

ΑΓ = ΒΔ

ΑΒΛΚ ειναι παραλληλογραμμο ΚΛ || ΓΔ || ΑΒ(δυο απεναντι πλευρες του ΔΓ - ΑΒ 3ΑΒ - ΑΒ 2ΑΒ

ΚΛ = = = = ΑΒ ισες και παραλληλες)2 2 2

ΑΓ ΒΔ ΑΛ = = = ΚΒ

2 2

Το ΑΒΛΚ ειναι ορθογωνιο (παραλληλογραμμο με διαγωνιες ισες) .


Α Β

Δ Γ

Ο

Κ Λ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 0 ο 4648

Απο εξωτερικο σημειο Ρ ενος κυκλου κεντρου Ο φερουμε τα εφαπτομενα τμηματα ΡΑ, ΡΒ και τη διακεντρικη ευθεια ΡΟ που τεμνει τον κυκλο στα σημεια Δ και Γ αντιστοιχα. Η εφαπτομενη του κυκλου στο σημειο Γ τεμνει τις προεκτασεις των ΡΑ και ΡΒ στα σημεια Ε και Ζ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: Ε

α) ΔΑΡ = ΔΒΡ

(Μοναδες 8)

β) ΕΑ = ΖΒ

(Μοναδες 9)

γ) Το τετραπλευρο ΑΒΖΕ ειναι ισοσκελες Γ Ο Δ Ρ τραπεζιο

(Μοναδες 8)

Β

Ζ

323





. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α



324

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Ειναι

● ΡΑ = ΡΒ (1)

Εφαπτομενα τμηματα απ’το Ρ στο κυκλο.

● 1 2Ρ = Ρ (2)

ΡΟ η διακεντρικη του σημειου Ρ .

α)

1 2

Τα τριγωνα ΑΔΡ και ΒΔΡ ειναι ισα

γιατι :

ΡΔ = κοινη

ΡΑ = ΡΒ (1) (Π - Π - Π)

Ρ = Ρ (2)


τους ισα και ΔΑ Ρ = ΔΒ Ρ .

β)

● OΓ ⊥ EZ (ΟΓ ειναι ακτινα και ΕΖ η εφαπτομενη στο σημειο επαφης Γ) .

● Στο τριγωνο ΕΡΖ, η ΡΓ ειναι διχοτομος και υψος, οποτε το τριγωνο ειναι ισοσκελες και η ΡΓ ει-

ναι και διαμεσος και

(1 )

ΡΕ = ΡΖ + ΕΑ = + ΖΡ Β ΕΑ = ΖΑ ΡΒ Β

γ)

● Στα ισοσκελη τριγωνα ΑΡΒ, ΕΡΖ, η ΡΓ ειναι διχοτομος της κοινης γωνιας τους Ρ , οποτε η ΡΓ

ειναι η μεσοκαθετη των βασεων τους . Ετσι

ΕΖ ΡΓ

ΕΖ || ΑΒΑΒ ΡΓ

● ΕΑ, ΖΒ τεμνονται στο Ρ .

● ΕΑ = ΖΒ (απ’το (β) ερωτημα) .

Απ’τα παραπανω, το τετραπλευρο ΑΒΖΕ (τραπεζιο με ισες τις μη παραλληλες πλευρες) ειναι ισο-

σκελες τραπεζιο .


Ε

Α

Γ Δ Ρ

Β

Ζ

Ο 1

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 1 ο 4650

Στο παρακατω σχημα δινεται τριγωνο ΑΒΓ, η διχοτομος του Βx της γωνιας Β του τριγωνου ΑΒΓ και η διχοτομος Βy της εξωτερικης γωνιας Β. Αν Δ και Ε ειναι οι προβολες της κορυφης Α του τριγωνου ΑΒΓ στην Βx και Βy αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΑΔΒΕ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 7) Α

β) Η ευθεια ΕΔ ειναι παραλληλη προς y x τη ΒΓ και διερχεται απο το μεσο Μ της ΑΓ. (Μοναδες 10)

γ) Το τετραπλευρο ΚΜΓΒ ειναι τραπε- ζιο και η διαμεσος του ειναι ιση με Β Γ

3α4

, οπου α = ΒΓ .

(Μοναδες 8)

325


● Οι διχοτομοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων σχηματιζουν ορθη γωνια .

● Οι διαγωνιες του ορθογωνιου ειναι ισες και διχοτομουνται .


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ε Κ Δ Μ



326

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Η διχοτομος μιας γωνιας τριγω-

νου και η διχοτομος της αντιστοι-

χης εξωτερικης της ειναι καθε-

τες (διχοτομοι δυο εφεξης και

παραπληρωματικων γωνιων) .

Ετσι η γωνια 0ΕΒΔ = 90 .

Οποτε το τετραπλευρο ΑΔΒΕ

ειναι ορθογωνιο αφου εχει τρεις

ορθες γωνιες ( 0ΕΒ Δ = ΑΔ Β = Ε = 90 ) .

β)

● Οι διαγωνιες του ορθογωνιου ΑΔΒΕ ειναι ισες και διχοτομουνται .

Ετσι, το τριγωνο ΒΚΔ ειναι ισοσκελες (ΚΒ = ΚΔ, μισα ισων) και

2 1

1 1

2 1

Β = Δ Δ = Β

Β = Β (Βx διχοτομος της Β)

που ειναι εντος εναλλαξ των ΕΔ και ΒΓ και

τεμνονται απ’την ΒΔ. Αρα ΕΔ || ΒΓ .

● Στο τριγωνο ΑΒΓ, το Κ ειναι μεσο της πλευρας ΑΒ, η ΚΜ (ΕΔ) || ΒΓ, οποτε το Μ ειναι μεσο

της ΑΓ .

γ)

● Το ΚΜΓΒ ειναι τραπεζιο, αφου ΚΜ ||ΒΓ και οι ΚΒ, ΜΓ τεμνονται στο σημειο Α .

● Αν δ η διαμεσος του τραπεζιου, τοτε

ΒΓΚ, Μ μεσα των ΑΒ, ΑΓ : ΚΜ =

2

ΒΓ = α

α α + 2α+ αΚΜ + ΒΓ 3α2 2δ = = = =

2 2 2 4


Α

x

y

Ε Μ

Β Γ

Κ

2

1 3

4

Δ 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 2 ο 4653

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και εστω Ο το σημειο τομης των διαγωνιων ΑΓ και ΒΔ. Φερνουμε την ΑΕ καθετη στη διαγωνιο ΒΔ. Αν Ζ ειναι το συμμετρικο του Α ως προς τη δια-γωνιο ΒΔ, τοτε να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΑΔΖ ειναι ισοσκελες.

(Μοναδες 7)

β) ΖΓ = 2 ΟΕ (Μοναδες 9)

γ) Το ΒΔΖΓ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. . (Μοναδες 9)

327





. . . χ ρ η σ ι μ ο



328

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΑΔΖ, το ΔΕ ειναι υψος

και διαμεσος, οποτε το τριγωνο ειναι

ισοσκελες .

β)

Στο τριγωνο ΑΖΓ, τα Ε, Ο ειναι μεσα

των πλευρων του ΑΖ και ΑΓ αντιστοι-

χα .

Ετσι

● ΖΓ

ΟΕ = ΖΓ = 2ΟΕ2

και

● ΟΕ (ΔΒ) ||ΖΓ (1)

γ)

ΒΔ || ΖΓ (1)

ΖΔ ||

ΑΕΒΓ

τραπεζιο ΑΔ || ΒΓ ΖΔ, ΒΓ τεμνονται ΒΔΖΓ

ισοσκελες τραπεζιοΖΔ = ΑΔ (τριγωνο ΑΔΖ ισοσκελες)ΖΔ = ΒΓ

ΒΓ = ΑΔ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)


Ζ

Δ Γ

Α Β

Ε

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 3 ο 4655

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ και εστω Ο το σημειο τομης των διαγωνιων ΑΓ και ΒΔ. Φερνουμε την ΑΕ καθετη στη διαγωνιο ΒΔ. Αν Ζ ειναι το συμμετρικο του Α ως προς τη δια-γωνιο ΒΔ, τοτε να αποδειξετε οτι: α) Να αποδειξετε οτι: i) Τα τετραπλευρα ΒΔΓΕ και ΒΔΖΓ ειναι παραλληλογραμμα.

(Μοναδες 7)

ii) Τα σημεια Ε, Γ και Ζ ειναι συνευθειακα. (Μοναδες 9)

β) Αν Κ και Λ ειναι τα μεσα των ΒΕ και ΔΖ αντιστοιχα, τοτε KΛ || ΔB και 3

ΚΛ = ΔΒ2

.

(Μοναδες 9)

329



. . . χ ρ η σ ι μ ο



330

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

ΔΓ || ΑΒ || ΒΕΔΓ ||= ΒΕ

ΔΓ = ΑΒ = ΒΕ

που σημαινει οτι το τετραπλευρο

ΒΔΓΕ ειναι παραλληλογραμμο (δυο

απεναντι πλευρες του ειναι ισες και

παραλληλες) .

ΒΓ || ΑΔ || ΔΖΒΓ ||= ΔΖ

ΒΓ = ΑΔ = ΔΖ

που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΒΔΖΓ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του ει-

ναι ισες και παραλληλες) .

ii) ΕΓ, ΖΓ

ταυτιζονται

ΒΔΓΕ παραλληλογραμμο : ΕΓ || ΒΔ ΕΓ || ΖΓ Ε, Γ, Ζ συνευθειακα

ΒΔΖΓ παραλληλογραμμο : ΖΓ || ΒΔ Γ κοινο σημειο

β)

● Το ΔΒΕΖ ειναι τραπεζιο, αφου ΔΒ ||ΖΕ και οι ΔΖ, ΒΕ τεμνονται στο σημειο Α .

● ΚΛ η διαμεσος του τραπεζιου, και

Δ, Β μεσα των ΑΖ, ΑΕ :

ΖΕΔΒ = 2ΔΒ = ΖΕ

2

ΔΒ + ΖΕ ΔΒ + 2ΔΒ 3ΔΒΚΛ = = =

2 2 2


A B K E

Δ Γ

Λ

Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 4 ο 4737

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με 0Β = 60 . Φερνουμε τα υψη ΑΔ και ΓΕ που τεμνονται στο Η.

Φερνουμε ΚΖ διχοτομο της γωνιας Ε ΗΑ και ΘΗ καθετο στο υψος ΑΔ. Να αποδειξετε οτι: Α α) ΖΗ = 2ΖΕ (Μοναδες 9)

β) Το τριγωνο ΘΖΗ ειναι ισοπλευρο. Ζ


γ) Το τετραπλευρο ΘΗΚΒ ειναι ισο- Θ σκελες τραπεζιο. Γ (Μοναδες 8) Β Δ Κ

331




. . . χ ρ η σ ι μ ο



332

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΒ:

0 0 0 0 1 1 1Α + Β = 90 Α + 60 = 90 Α = 30

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΕΗ:

0 0 0 1

ΗΕ διχοτομος 0 0

1της γωνιας ΕΗΑ

Α + ΕΗΑ = 90 30 + ΕΗΑ = 90

ΕΗΑ = 60 Η = 30

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΖΕΗ, 0 1Η = 30 :


0ΖΗΖΕ = ΖΗ = 2ΖΕ και ΕΖΗ = 60 (1)

2

β)

● ΘΗ ||ΒΓ (2) (καθετες στην ιδια ευθεια ΑΔ) .

● Στο τριγωνο ΘΖΗ ειναι

0

0

0

εντος εκτος και επιταυταΖΕΗ = 60 = Β

ΘΗ || ΒΓ (2), τεμνονται απο ΑΒ ΖΗΘ = 60

ΕΖΗ = 60 (λογω της (1))

Οποτε το τριγωνο ΘΖΗ ειναι ισοπλευρο (ολες οι γωνιες του ισες με 600) .

γ)

0

0

0 0

ΘΗ || ΒΚ(ΒΓ) (2) ΘΗΚΒΘΗΚΒΒΘ, ΚΗ τεμνονται στο Ζ τραπεζιο

ισοσκελες τραπεζιοΒ = 60

(τραπεζιο με ισες τις Β = ΒΚΖΣτο τριγωνο ΒΖΚ

ΒΚΖ = 60 Β = 60 και ΕΖΗ = 60 (1)

γωνιες βασης)


Α

Ζ

Ε

Θ

Γ

Β

Κ

Η

Δ 600

1

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 5 ο 4765

Σε τριγωνο ΑΒΓ οι διχοτομοι των γωνιων Β και Γ τεμνονται στο Δ. Η εξωτερικη διχοτομος

της Β τεμνει την προεκταση της ΓΔ στο Ε. Δινεται οτι 0ΑΒ Ε = 70 = 2ΓΕΒ . Ε

α) Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΑΒΓ. (Μοναδες 8) Α β) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΓΒΕ ειναι τραπεζιο . (Μοναδες 9) Δ

γ) Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ΓΒΕ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 8) Γ Β

333


● Οι διχοτομοι δυο εφεξης και παραπληρωματικων γωνιων σχηματιζουν ορθη γωνια .

● Ενα παραλληλογραμμο θα ειναι ρομβος αν : ● Δυο διαδοχικες πλευρες του ειναι ισες (ορισμος). ● Οι διαγωνιοι του ειναι καθετες και διχοτομουν τις γωνιες του .


. . . χ ρ η σ ι μ ο



334

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● 0 εξΒ = 140

0 εξ(ΑΒ Ε = 70 , ΒΕ διχοτομος Β )

● 0ΓΕΒ = 35ΑΒ Ε (1)= 2ΓΕΒ

● 0 0 1 2Β = 40 Β = Β = 20

0 0 0(Β = 180 - 140 = 40 )

● Στο τριγωνο ΕΒΓ:

0 0ΕΒΓ = 70 + 40 0

2 2

0 0 0

0

2

0

2Γ = 35 (2)

Γ + ΕΒΓ + Γ = 180

35 + 110 + Γ = 180

Ετσι, αφου ΓΕ διχοτομος της Γ

Γ = 70

● 0 0 0 0 0 0Α = 70 αφου : Α = 180 - Β - Γ = 180 - 40 - 70 = 70

β)

● ΘΗ ||ΒΓ (2) (καθετες στην ιδια ευθεια ΑΔ) .

● Εστω ΑΕ || ΒΓ (ΑΓΒΕ παραλληλογραμμο) .

Τοτε

0 0 2Α = 40 , Ε = 70 (απεναντι γωνιες παραλληλογραμμου ισες) και ΓΕ διχοτομει τις γωνιες

Γ, Ε που σημαινει οτι το ΑΓΒΕ ειναι ρομβος .Ομως πρεπει και η ΑΒ να διχοτομει τις γωνιες

Α, Β , που δεν συμβαινει .

Αρα ΑΕ και ΒΓ δεν ειναι παραλληλες και τεμνονται .

Απ’τα παραπανω προκυπτει οτι το το τετραπλευρο ΑΓΒΕ ειναι τραπεζιο .

γ)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι το τριγωνο ΓΒΕ ειναι ισοσκελες, αφου οι γωνιες της βασης του

ειναι ισες .


Ε

Α

Γ Β

1

700 700 1

2 2

Δ

1

350

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t h

s 5

8 d

e m

o

.b l

o g

s p

o t

. g

r


Θ ε μ α 1 5 6 ο 4767

Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ με 0Α = 90 . Στην πλευρα ΒΓ θεωρουμε τα σημεια Κ, Μ, Λ ωστε BK = KM = MΛ = ΛΓ . Αν τα σημεια Δ και Ε ειναι τα μεσα των πλευρων ΑΒ και ΑΓ αντι-στοιχα, να αποδειξετε οτι: Α

α) Το τετραπλευρο ΔΕΛΚ ειναι παραλ- ληλογραμμο. (Μοναδες 13) Δ Ε β) Η διαμεσος του τραπεζιου ΚΔΑΜ

ισουται με 3

ΒΓ8

.

(Μοναδες 12) Β Κ Μ Λ Γ

335






. . . χ ρ η σ ι μ ο



336

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

Ειναι

ΒΚ = ΚΜ = ΜΛ = ΛΓ , οποτε

ΒΓΚΛ = (1)

2

α)

Στο τριγωνο ΑΒΓ, τα Δ, Ε ειναι μεσα

των πλευρων του ΑΒ και ΑΓ αντιστοι-

χα .

Ετσι

(1 )ΒΓΔΕ = ΚΛ το τετραπλευρο ΔΕΛΚ ειναι παραλληλογραμμοΔΕ =

2ΔΕ || ΒΓ (δυο απεναντι πλευρες του ισες και παραλληλες)

ΔΕ || ΒΓ

β)

Εστω ΘΗ η διαμεσος του τραπεζιου ΚΔΑΜ .

Τοτε

ΑΒΓ ορθογωνιο, ΑΜ διαμεσος στην ΒΓ: Δ, Κ μεσα των ΑΒ, ΒΜ:

ΑΜ ΒΓΔΚ = ΑΜ =

2 2

ΑΜ ΒΓ+ ΑΜ 3ΔΚ + ΑΜ 3ΑΜ 3ΒΓ2 2ΘΗ = = = = =

2 2 4 4 8


Α

Θ

Δ Ε

Β Κ Η Μ Λ Γ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 7 ο 4769

Δινεται ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ || ΓΔ, ΓΔΒ = 2Γ και ΑΒ = ΒΓ = ΑΔ =

2.

Φερουμε τη διχοτομο της γωνιας Β, η οποια τεμνει το ΔΓ στο Κ και η καθετη απο το Κ προς τη ΒΓ το τεμνει στο Μ. Α Β

α) Να υπολογισετε τις γωνιες του ΑΒΓΔ.

(Μοναδες 10) Μ β) Να αποδειξετε οτι: i) Το τετραπλευρο ΑΒΚΔ ειναι ρομβος. (Μοναδες 8) Δ Κ Γ ii) Το σημειο Μ ειναι το μεσο του ΒΓ.

(Μοναδες 7)

337



● Στον ρομβο, ολες οι πλευρες του ειναι ισες .

● Στο ισοπλευρο τριγωνο τα υψη του ειναι και διχοτομοι και διαμεσοι και ολες οι γωνιες του

ισες με 60 0 .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



338

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Οι γωνιες Β και Γ ειναι εντος και επι τα

αυτα μερη των παραλληλων ΑΒ, ΓΔ που

τεμνονται απο τη ΒΓ.

Ετσι

●

Β =2 Γ 0 0Β + Γ = 180 2Γ + Γ = 180

0 03Γ = 180 Γ = 60

● 0Β = 2 Γ Β = 120

Επειδη το ΑΒΓΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο:

● 0 0Α = 120 = Β και Δ = 60 = Γ

β)

i)

H ΒΚ ειναι διχοτομος της γωνιας Β , οποτε 0 1 2 1Β = Β = 60 = Κ και το τριγωνο ΚΒΓ ειναι ισο-

πλευρο με ΓΔ

ΒΓ = 2 ΓΔ

= ΚΓ = ΒΓ = = ΑΒ = ΒΚ = ΚΔ = ΑΔ ΑΒΚΔ ρομβος2= ΒΓ =

ΒΚ KΔ

ΑΒ ΑΔ

.

ii)

Το τριγωνο ΚΒΓ ειναι ισοπλευρο και το ΚΜ ειναι υψος του, οποτε ειναι και διαμεσος του .

Ετσι το Μ ειναι μεσο του ΒΓ.


Α Β

Μ

Δ Κ Γ

1

2

1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 8 ο 4771

Εστω τετραγωνο ΑΒΓΔ και Μ το μεσο της πλευρας ΔΑ. Προεκτεινουμε το τμημα ΔΑ (προς

την πλευρα του Α) κατα τμημα ΑΔ

ΑΝ =2

. Φερουμε τα τμηματα ΓΜ και ΒΝ και θεωρουμε τα

μεσα τους Κ και Λ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: Δ Μ Α Ν

α) Το τετραπλευρο ΜΝΒΓ ειναι

παραλληλογραμμο.

(Μοναδες 8) Κ Λ β) Το τετραπλευρο ΑΔΚΛ ειναι παραλληλογραμμο. (Μοναδες 9) γ) Το τετραπλευρο ΑΜΚΛ ειναι Γ Β ισοσκελες τραπεζιο. (Μοναδες 8)

339





. . . χ ρ η σ ι μ ο



340

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o g

s p

o t

. g r

α)

● ΜΝ (ΑΔ) || ΒΓ (1)

● ΑΔ ΑΔ

ΜΝ = ΜΑ + ΑΝ = + =2 2

= ΑΔ = ΒΓ (2)

Απ’τις (1), (2) : το τετραπλευρο ΜΝΒΓ ει-

ναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευ-

ρες του ειναι ισες και παραλληλες) .

β)

● ΜΚ (ΜΓ) || ΝΛ (ΝΒ) απ’το (α)

● (α)ΜΓ ΝΒ

ΜΚ = = = ΝΛ2 2

Οποτε, το τετραπλευρο ΜΝΛΚ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του ειναι ισες και

παραλληλες) με ΚΛ || = ΜΝ =ΑΔ .

Απ’την τελευταια σχεση προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΑΔΚΛ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απενα-

ντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες) .

γ)

● ΚΛ || = ΜΑ (ΔΑ)

● ΛΛ τεμνει την ΒΝ, αρα και καθε παραλληλη της (ΒΝ ||ΜΚ (ΜΓ)), οποτε ΑΛ, ΜΚ τεμνονται .

●

ΔΚ διαμεσος στην υποτεινουσατου ορθογωνιου τριγωνου ΜΔΓΑΔΚΛ

ΜΓπαραλληλογραμμοΔΚ = = ΚΓ = ΜΚ

2

ΑΛ = ΔΚ = ΜΚ

Αρα το τετραπλευρο ΑΜΚΛ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (τραπεζιο με τις μη παραλληλες πλευρες του

ισες) .


Δ Μ Α Ν

Λ

Γ Β

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 5 9 ο 4774

Εστω κυκλος με κεντρο Ο και δυο καθετες ακτινες του ΟΒ και ΟΓ. Εστω Α το μεσον του το-ξου ΒΓ. Απο το Α φερουμε καθετες στις ακτινες ΟΒ και ΟΓ που τις τεμνουν στα Δ και Ε αν-τιστοιχα. Οι προεκτασεις των ΑΔ και ΑΕ τεμνουν τον κυκλο στα σημεια Ζ και Η αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι:

α) ΑΖ = ΑΗ Ζ

(Μοναδες 4) Β β) Το ΑΔΟΕ ειναι ορθογωνιο. Δ

(Μοναδες 7) Α γ) Τα σημεια Ζ και Η ειναι αντιδια- Ο μετρικα.

(Μοναδες 7) Ε δ) Το τετραπλευρο ΒΓΗΖ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. Η

(Μοναδες 7)

341

● Η καθετος που φερεται απο το κεντρο ενος κυκλου προς μια χορδη του διχοτομει τη χορδη και το αντιστοιχο τοξο της.




● Η εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε ημιπεριφερεια, ειναι ορθη .

● Τα τοξα που περιεχονται μεταξυ παραλληλων ευθειων ειναι ισα και αντιστροφα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



342

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Τα ΟΔ, ΟΕ ειναι αποστηματα των χορδων ΑΖ, ΑΗ

αντιστοιχα, οποτε τα σημεια Β και Γ ειναι μεσα των

αντιστοιχων τοξων ΑΖ και ΑΗ.

Ετσι

ΑΖ ΑΗΑΒ = ΑΓ = ΑΖ = ΑΗ

2 2 (1)

Ομως, σε ισα τοξα αντιστοιχουν ισες χορδες, οποτε

AZ = AH .

β)

Το τετραπλευρο ΑΔΟΕ ειναι ορθογωνιο, αφου εχει

τρεις ορθες γωνιες ( 0Ο = Δ = Ε = 90 ) .

γ)

Το τετραπλευρο ΑΔΟΕ ειναι ορθογωνιο και 0Α = 90 , που ειναι εγγεγραμμενη στο τοξο ΖΗ .

Ετσι το τοξο ΖΗ ειναι 180 0 που σημαινει οτι τα σημεια Ζ, Η ειναι αντιδιαμετρικα (ΖΗ διαμετρος

του κυκλου) .

δ)

●

ΖΑ = ΑΗ

ΑΒ = ΑΓ

ΒΖ = ΓΗΖΒ = ΖΑ - ΑΒ = ΑΗ - ΑΓ = ΓΗ

ΒΓ || ΖΗ (σχολικο βιβλιο σ. 124 σχολιο)

● ΖΒ, ΓΗ τεμνονται, γιατι αν ειναι παραλληλες, τοτε το τετραπλευρο ΒΓΗΖ ειναι παραλληλο-

γραμμο και BΓ = ZH , δηλαδη η ΒΓ διαμετρος, που ειναι ατοπο .

Αρα το τετραπλευρο ΒΓΗΖ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (τραπεζιο με τις μη παραλληλες πλευρες του

ισες) .


Ζ

Β

Α

Γ

Η

Ο

Δ

Ε


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 0 ο 4778

Εστω παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ > ΒΓ και Β < 90 0 θεωρουμε σημειο Ζ στην προεκταση της ΒΓ (προς το Γ) τετοιο ωστε ΓΖ = ΒΓ. Αν Ε ειναι σημειο της ΑΒ, τετοιο ωστε ΕΓ = ΓΒ. Να αποδειξετε οτι: α) Η γωνια ΒΕΖ ειναι ορθη.

(Μοναδες 8) β) Το τετραπλευρο ΑΕΓΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

(Μοναδες 8) γ) Το τετραπλευρο ΑΓΖΔ ειναι παραλληλογραμμο.

(Μοναδες 9)

343





. . . χ ρ η σ ι μ ο



344

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΒΕΖ, η ΕΓ ειναι διαμεσος στην ΒΖ

(Γ μεσο της ΒΖ) και ΒΖ

ΓΒ = υποθεση 2 ΒΖ

ΕΓ = ΓΒ = 2

Αν η διαμεσος ενος τριγωνου ισουται με το μισο της αντιστοιχης πλευρας, τοτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα αυτη. Οποτε το τριγωνο ΒΕΖ ειναι ορθογωνιο με υπο-

τεινουσα την ΑΓ και 0ΒΕΖ = 90 .

β)

● ΑΕ || ΔΓ (ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο)

● ΕΓ τεμνει την ΒΓ και καθε παραλληλη της, α-

ρα και την ΑΔ (ΑΔ || ΒΓ, ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο) .

● ΕΓ = ΓΒ = ΑΔ (υποθεση και τεμνει ΑΒΓΔ παραλληλογραμμο) .

Αρα το τετραπλευρο ΑΕΓΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (τραπεζιο με τις μη παραλληλες πλευρες

του ισες) .

γ)

ΒΓ = ΓΖΑΔ || ΒΓ ΑΔ || ΓΖΑΒΓΔ παραλληλογραμμο

ΑΔ = ΒΓ ΑΔ = ΖΖ

το τετραπλευρο ΑΓΖΔ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του ισες και πα -

ραλληλες)


Α Ε Β

Δ Γ

Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 1 ο 4788

Δινεται παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ ||ΓΔ, ΔΓ = 4ΑΒ και ΒΓ = 2ΑΒ . θεωρουμε σημειο Ζ της ΓΔ, ωστε ΔΖ = ΑΒ. Αν η γωνια Γ ειναι 60 0 και ΒΕ το υψος του τραπεζιου, να αποδειξετε οτι: Α Β

α) Το τετραπλευρο ΑΒΓΕ ειναι παραλληλογραμμο. (Μοναδες 8) β) Το τριγωνο ΖΑΕ ειναι ισοπλευρο. (Μοναδες 8) γ) Τα τριγωνα ΔΑΖ και ΓΑΕ ειναι ισα. Δ Ζ Ε Γ (Μοναδες 9)

345




● Ενα ισοσκελες τριγωνο με μια του γωνια ιση με 60 0 , ειναι ισοπλευρο .

● 1 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π – Γ – Π ) Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



346

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΕΖ,

0 0 0 1Β = 90 - 60 = 30

Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια γωνια του ισουται με 30°, τοτε η απεναντι πλευρα απ’τη γωνια αυτη ειναι το μισο της υπο- τεινουσας.

υποθεσηΒΓ 2ΑΒ

= = 2 2

ΕΓ = ΑΒ

● Στο ΑΒ || ΔΓ || ΕΓ

Αρα, το τετραπλευρο ΑΒΓΕ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες του ειναι ισες και πα-

ραλληλες)

β)

● 0 1Ε = Γ = 60 εντος εκτος και επιταυτα , των παραλληλων ΑΕ, ΒΓ που τεμνονται απ’την ΔΓ .

● Απ’την υποθεση

ΔΖ = ΕΓ = ΑΒ ΔΓ = 4ΑΒ

ΒΓ = ΑΕΒΓ = 2ΑΒ

(α)

ΔΖ = ΑΒ ΔΖ + ΕΓ = 2ΑΒ ΔΓ - ΕΖ = 2ΑΒ 4ΑΒ - ΕΖ = 2ΑΒ

ΕΖ = 2ΑΒ ΕΖ = ΒΓ ΕΖ = ΑΕ

Οποτε το τριγωνο ΖΑΕ ειναι ισοπλευρο (ισοσκελες τριγωνο, με μια γωνια του ιση με 600) .

γ)

0 1 1

Τα τριγωνα ΔΑΖ και ΓΑΕ ειναι ισα γιατι :

ΑΖ = ΑΕ (τριγωνο ΖΑΕ ισοπλευρο)

ΔΖ = ΕΓ = ΑΒ (Π - Γ - Π)

ΔΖΑ = ΑΕ Γ (παραπληρωματικες ισων γωνιων, Ζ = Ε = 60 )


Α Β

Δ Ζ Ε Γ

1

1 600 1


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 2 ο 4790

Δινεται ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ ||ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ = ΑΒ . Φερουμε τμηματα ΑΕ και

ΒΖ καθετα στις διαγωνιες ΒΔ και ΑΓ αντιστοιχα . Να αποδειξετε οτι:

α) Τα σημεια Ζ και Ε ειναι μεσα των Α Β διαγωνιων ΑΓ και ΒΔ αντιστοιχα. (Μοναδες 5) β) ΑΕ = ΒΖ (Μοναδες 7) Ε Ζ γ) Το τετραπλευρο ΑΕΖΒ ειναι ισοσκε- λες τραπεζιο. (Μοναδες 7) Δ Γ

δ) Η ΒΔ ειναι διχοτομος της γωνιας Δ. (Μοναδες 5)

347


● Στα ισα τριγωνα ολα τα στοιχεια τους ειναι ισα



. . . χ ρ η σ ι μ ο



348

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ισοσκελες (ΑΒ = ΑΔ) και

το υψος ΑΕ στη βαση του ΒΔ ειναι και διαμεσος.

Οποτε Ε ειναι μεσο της ΒΔ .

● Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες (ΑΒ = ΒΓ) και

το υψος ΒΖ στη βαση του ΑΓ ειναι και διαμεσος.

Οποτε Ζ ειναι μεσο της ΑΓ .

β)

Τα ισοσκελη τριγωνα ΑΒΔ, ΑΒΓ ειναι ισα γιατι

● ΑΒ = ΑΔ = ΒΓ

● ΒΔ = ΑΓ (διαγωνιες ισοσκελους τραπεζιου ΑΒΓΔ)

(Π – Π – Π)

Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ειναι, οπως τα υψη στις αντιστοιχα ισες πλευρες τους.

Δηλαδη, ΑΕ = ΒΖ (υψη στις ισες βασεις τους) .

γ)

ΕΖ || ΑΒ (Ε,Ζ μεσα διαγωνιων του ΑΒΓΔ)

ΑΕ, ΒΖ τεμνονται, γιατι αν ηταν παραλληλες ΑΕΖΒ

και οι καθετες τους ΑΓ, ΒΔ παραλληλες τραπεζιο

που ειναι ατοπο .

ΑΕ = ΒΖ (μισα των

ΑΕΖΒ

ισοσκελες τραπεζιο

(τραπεζιο με ισες τις μη

παραλληλες πλευρες) ισων διαγωνιων του ΑΒΓΔ)

δ)

2 1

1 2

1 1

Δ = Β (τριγωνο ΒΑΔ ισοσκελες με βαση ΒΔ)

Δ = ΔΑΒ || ΔΓ (ΑΒΓ ισοσκελες τραπεζιο) Δ = Β (εντος εναλλαξ

ΑΒ, ΔΓ τεμνονται απ'την ΒΔ

που σημαινει οτι η ΒΔ ειναι διχοτομος της γωνιας Δ .


Α Β

Δ Γ

1

1

2

Ε Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 3 ο 4792

Δινεται ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ. Στην προεκταση της ΒΓ (προς το Γ) θεωρουμε τμημα ΓΔ = ΒΓ . Αν Μ, Κ και Λ ειναι τα μεσα των πλευρων ΒΓ, ΑΒ και ΑΔ αντιστοιχα, τοτε: α) Να υπολογισετε τις γωνιες του τριγωνου ΒΑΔ. (Μοναδες 7) Α β) Να αποδειξετε οτι: i) Το τετραπλευρο ΚΛΓΜ ειναι ισοσκελες Κ Λ τραπεζιο με τη μεγαλη βαση διπλασια Ν απο τη μικρη. (Μοναδες 8) Β Μ Γ Δ ii) Το τριγωνο ΚΜΛ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 10)

349

● Στο ισοπλευρο τριγωνο, ολες οι γωνιες του ειναι ισες με 60 0 .




. . . χ ρ η σ ι μ ο



350

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοπλευρο και

ΓΔ = ΒΓ οποτε το τριγωνο ΑΓΔ ειναι

ισοσκελες (ΑΓ = ΓΔ) με 1Α = Δ = x .

● Στο τριγωνο ΑΒΓ ειναι

● 0Β = 60 (ΑΒΓ ειναι ισοπλευρο)

● 0+ Γ = 120Α

0 0 + x = 126 x 00 +

0 0 0

0 0 0

Δ = 30 2x = 60 x = 30

Α = 60 + 30 Α = 90

β)

i)

ΚΛ || ΜΓ(ΒΔ) (Κ,Λ μεσα των ΑΒ, ΑΔ)ΚΛΓΜ

ΚΜ τεμνει ΑΒ και την παραλληλη τηςτραπεζιο

ΛΓ (Λ, Γ μεσα των ΑΔ, ΒΔ και ΛΓ || ΑΒ

ΑΓ Κ,Μ μεσα των ΑΒ, ΒΓ : ΚΛ =

2

Λ,Γ μεσα των ΑΔ, ΒΔ : ΛΓ

ΑΓ=ΑΒ

ΚΛΓΜ


(τραπεζιο με τις μη

παραλληλες πλευρες ισες)ΚΛ = ΛΓΑΒ

=2

Τα Κ, Λ. Μ, Γ ειναι μεσα των ΑΒ, ΑΔ, ΒΓ, ΒΔ και

ΒΔ 2ΒΓΚΛ = = = ΒΓ = 2ΜΓ

2 2

ii)

(βi)

ΑΛΓΚ παραλληλογραμμο (ΛΓ ||= ΑΚ) οποτε Ο μεσο των ΑΓ, ΚΛ) τριγωνο ΚΜΛ

ΟΜ διαμεσος του τριγωνου ΚΜΛ

ΚΛΟΜ

2

στην ΚΛ ορθογωνιο με

υποτειΑΒ ΒΓ Ο, Μ μεσα των ΑΓ, ΒΓ : = = =

2 2

νουσα ΚΛ


Α

Κ Ο Λ

Β Μ Γ Δ

Ν

1 600

600

x

x


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 4 ο 4796

Δινεται ισοσκελες τραπεζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ||ΓΔ) και Ο το σημειο τομης των διαγωνιων του. Η ΑΓ ειναι καθετη στην ΑΔ και η ΒΔ ειναι καθετη στη ΒΓ. Θεωρουμε τα μεσα Μ, Ε και Ζ των ΓΔ, ΒΔ και ΑΓ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: Α Β

α) ΜΕ = ΜΖ Ο (Μοναδες 6) Ε Ζ

β) Η ΜΖ ειναι καθετη στην ΑΓ. (Μοναδες 6)

γ) Τα τριγωνα ΜΔΕ και ΜΖΓ ειναι ισα. Δ Μ Γ (Μοναδες 7)

δ) Η ΟΜ ειναι μεσοκαθετος του ΕΖ. (Μοναδες 6)

351




● Τα σημεια της μεσοκαθετου ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ, ισαπεχουν απ’τα ακρα του τμηματος Α, Β . ● Οι γωνιες της βασης ισοσκελους τριγωνου, ειναι ισες .

. . . χ ρ η σ ι μ ο



352

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Τα Μ, Ε ειναι μεσα των ΔΓ, ΔΒ αντιστοιχα

και ΒΓ

ΜΕ = (1)2

ΜΕ || ΒΓ (2)

● Τα Μ, Ζ ειναι μεσα των ΔΓ, ΑΓ αντιστοιχα

και ΑΔ

ΜΖ = (3)2

ΜΖ || ΑΔ (4)

● ΑΔ = ΒΓ (5) (ΑΒΓΔ ισοσκελες τραπεζιο)

Απ’τις (1), (3), (5) : ΜΕ = ΜΖ

β)

ΜΖ || ΑΔ (λογω της (4))ΜΖ ΑΓ

ΑΔ ΑΓ (υποθεση)

γ)

Τα τριγωνα ΜΔΕ και ΜΖΓ ειναι ισα γιατι :

ΜΕ || ΒΓ (λογω της (2)) ειναι ορθογωνια απ'το (β) και ΜΕ ΒΔ

ΒΔ ΒΓ (υποθεση)

ΜΕ = ΜΖ (λογω (α))

ΜΔ = ΜΓ (Μ

μεσο του ΔΓ)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΕΔΜ = ΖΓΜ (6) ΕΔ = ΖΓ (7)

δ)

● Απ’την (6), το τριγωνο ΔΟΓ ειναι ισοσκελες με ΟΔ = ΟΓ (8), οποτε και τα αντιστοιχα υψη

τους ειναι ισα, δηλαδη ΜΕ = ΜΖ .

● (7)

(8)ΟΕ = ΟΔ - ΕΔ = ΟΓ - ΖΓ = ΟΖ

Τα Ο, Μ ισαπεχουν απ’τα Ε και Ζ και οριζουν τη μεσοκαθετη του ΕΖ. Αρα η ΟΜ ειναι μεσοκαθε-

τη του ΕΖ .


Α Β

Δ Μ Γ

Ο

Ε Ζ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 5 ο 4832

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΓΔ) και ΑΔ διαμεσος . Στο τμημα ΑΔ θεωρουμε τυχαιο σημειο Κ απο το οποιο φερνουμε τα τμηματα ΚΖ και ΚΕ καθετα στις ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. α) Να αποδειξετε οτι:

i) Δ Δ

ΑΒΚ = ΑΓ Κ (Μοναδες 6)

ii) Το τριγωνο Δ

Ζ Κ Ε ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 6) iii) Το τετραπλευρο ΖΕΓΒ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. (Μοναδες 7) β) Ενας μαθητης στο α) i. ερωτημα εδωσε την εξης απαντηση: ≪ Το τμημα ΑΔ ειναι διαμεσος στη βαση του ισοσκελους αρα υψος και διχοτομος του τριγωνου ΑΒΓ και μεσοκαθετος του ΒΓ. Οποτε το τριγωνο ΒΚΓ ειναι ισοσκελες.

Tα τριγωνα Δ Δ

ΑΒΚ και ΑΓ Κ εχουν

1. ΒΚ = ΚΓ

2. ΒΑΚ = Γ ΑΚ επειδη ΑΚ διχοτομος της γωνιας Α .

3. ΑΒΚ = ΑΓΚ ως διαφορες ισων γωνιων ισοσκελων τριγωνων. Αρα τα τριγωνα ειναι ισα βαση του κριτηριου Γωνια Πλευρα Γωνια.≫ Ο καθηγητης ειπε οτι η απαντηση του ειναι ελλιπης. Να συμπληρωσετε την απαντηση του μα-θητη ωστε να ικανοποιει το κριτηριο Γωνια- Πλευρα –Γωνια διατηρωντας τις πλευρες ΒΚ και ΚΓ. (Μοναδες 6)

353


● 1 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π – Γ – Π ) Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες ισες, τοτε ειναι ισα .

● 2 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Γ – Π – Γ ) Αν δυο τριγωνα εχουν μια πλευρα και τις προσκειμενες σε αυτη γωνιες ισες μια προς μια, τοτε τα τριγωνα ειναι ισα.



. . . χ ρ η σ ι μ ο



354

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

1 2

Τα τριγωνα ΑΒΚ και ΑΓΚ ειναι ισα γιατι :

ΑΚ = κοινη

ΑΒ = ΑΓ (ΑΒΓ τριγωνο ισοσκελες) (Π - Γ - Π)

Α = Α (ΑΔ διχοτομος της Α)

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα : ΚΖ = ΚΕ (1)

ii)

Aπ’την (1) προκυπτει οτι το τριγωνο ΖΚΕ ειναι ισοσκελες με

βαση την ΖΕ και ΚΖΕ = ΚΕΖ (2).

iii)

(2) 0 0

0 0 ΒΖΕ = 90 + ΚΖΕ = 90 + ΚΕΖ = ΖΕΓ 2ΒΖΕ = 2Β = 360 ΒΖΕ = Β = 180 Β = Γ (ΑΒΓ ισοσκελες)

Οποτε

ΖΕ || ΒΓ (εντος - επιταυτα των ΖΕ, ΒΓ που τεμνονται απ'την ΑΒ) ΖΕΓΒ

ΒΖ, ΓΕ τεμνονται στο Α ισοσκελες

τραπεζιο Β = Γ

(τραπεζιο με ισες τις γωνιες της βασης)

β)

Tα τριγωνα Δ Δ

ΑΒΚ και ΑΓ Κ εχουν

1. ΒΚ = ΚΓ

2. ΒΑΚ = Γ ΑΚ επειδη ΑΚ διχοτομος της γωνιας Α .

3. ΑΒΚ = ΑΓΚ ως διαφορες ισων γωνιων ισοσκελων τριγωνων. Αρα τα τριγωνα ειναι ισα βαση του κριτηριου Γωνια Πλευρα Γωνια.

Για να ισχυει το κριτηριο «Γωνια Πλευρα Γωνια» πρεπει στο (2.) να ειναι οι γωνιες ΑΚ Β = ΑΚ Γ που η ισοτητα τους δικαιολογειται απ’το γεγονος οτι οι αλλες δυο γωνιες των τριγωνων ειναι ισες

μια προς μια (οποτε και οι τριτες γωνιες ειναι ισες) .


Α

Ζ Ε

Β Δ Γ

1 2

Κ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 6 ο 5886

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με AB < AΓ και το υψος του ΑΗ. Αν Δ, Ε και Ζ ειναι τα μεσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι: α) το τετραπλευρο ΔΕΖΗ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

(Μοναδες 8) β) οι γωνιες ΗΔΖ και ΗΕΖ ειναι ισες.

(Μοναδες 8) γ) οι γωνιες ΕΔΖ και ΕΗΖ ειναι ισες.

(Μοναδες 9)

355


● 1 ο κ ρ ι τ η ρ ι ο ( Π – Γ – Π ) Αν δυο τριγωνα εχουν δυο πλευρες ισες μια προς μια και τις περιεχομενες σε αυτες γωνιες

. . . χ ρ η σ ι μ ο



356

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Τα Δ, Ε, Ζ ειναι μεσα των πλευρων ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ

του τριγωνου ΑΒΓ και

● ΔΕ || ΗΖ (ΒΓ) (1)

● ΖΕ || ΑΒ (2)

● ΑΒ

ΕΖ =2

(3)

● Η ΔΗ τεμνει την ΑΒ, αρα και την παραλληλη της

ΕΖ (απ’το 2) (4)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΗΒ, Η ΔΗ ειναι διαμε-

σος στην υποτεινουσα και

(3)ΑΒ

ΔΗ = = ΕΖ2

(5)

Aπ’τις (1), (2) και (5) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΔΕΖΗ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (τραπεζιο

(απ΄τις (1), (4)) που εχει ισες τις μη παραλληλες πλευρες του ( απ’την (5)) .

β)

Τα τριγωνα ΔΗΖ και ΕΖΗ ειναι ισα γιατι :

ΗΖ = κοινη

ΔΖ = ΕΗ (διαγωνιες του ισοσκελους τραπεζιου ΔΕΖΗ) (Π - Γ - Π)

ΔΗΖ = ΕΖΗ (γωνιες βασης του ισοσκελους τραπεζιου ΔΕΖΗ)

οποτε και τα

υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΗΔΖ = ΗΕΖ (6)

γ)

εντος εναλλαξ ΖΕΔ = ΕΔΗ (απο (α))

ΔΕ||ΗΖ, τεμνονται απ'την ΕΗ (6)

Ειναι

ΕΗΖ = ΗΕΔ = ΖΕΔ - ΗΕΖ = ΕΔΗ - ΗΔΖ = ΕΔΖ


Α

Δ Ε

Β Η Ζ Γ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 7 ο 5902

Δινεται οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ με AB < AΓ . Α

Απο το Β φερουμε καθετη στην διχοτομο ΑΜ της

γωνιας Α, η οποια τεμνει την ΑΜ στο Η και την ΑΓ

στο Δ. Στην προεκταση της ΑΗ θεωρουμε σημειο

Ζ τετοιο, ωστε AH = HZ και εστω Θ το μεσο της

πλευρας ΒΓ. Δ

Να αποδειξετε οτι: Η

α) το τετραπλευρο ΑΒΖΔ ειναι ρομβος. Β Μ Θ Γ

(Μοναδες 9)

β) το τετραπλευρο ΗΒΖΘ ειναι τραπεζιο.

(Μοναδες 9)

γ) η διαμεσος του τραπεζιου ΗΒΖΘ ειναι

ιση με ΑΒ + ΑΓ

4.

(Μοναδες 7)

357





●Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της.

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ζ



358

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο τριγωνο ΑΒΔ, ΑΗ ειναι υψος και διχοτομος, οπο-

τε αυτο ειναι ισοσκελες και ΑΗ ειναι διαμεσος.

Δηλαδη ΒΗ = ΗΔ και επειδη ΑΗ = ΗΖ, το τετραπλευ-

ρο ΑΒΖΔ ειναι ρομβος (οι διαγωνιες του ΑΖ, ΒΔ δι-

χοτομουνται καθετα) .

β)

Τα Η, Θ ειναι μεσα των πλευρων ΒΔ, ΒΓ του τριγω-

νου ΒΓΔ και

● ΗΘ || ΔΓ (ΑΔ)

Ομως απ’το (α) ΑΔ || ΒΖ

Ετσι ΗΘ || ΒΖ (1) και ΔΓ

ΗΘ =2

(2)

● ΑΒΖΔ 0

ρομβοςΗΒΖ + ΘΖΒ < ΑΒΖ + ΔΖΒ = 180

ΒΗ, ΖΘ τεμνονται (3)

Απ’τις (1) και (3) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΗΒΖΘ ειναι τραπεζιο .

γ)

Εστω δ η διαμεσος του τραπεζιου, οποτε

(2) ΑΒΖΔ ρομβος

ΑΒΖΔ ρομβος

ΔΓ ΑΓ - ΑΔ + 2ΑΒ+ ΑΒΗΘ + ΒΖ ΑΓ - ΑΒ + 2ΑΒ ΑΒ + ΑΓ2 2δ = = = = =

2 2 2 4 4


Α

Δ

Β Γ

Ζ

Η

Θ

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 6 8 ο 5911

Εστω ορθογωνιο ΑΒΓΔ με AB > BΓ τετοιο, ωστε οι διαγωνιοι του να σχηματιζουν γωνια 60°. Απο το Δ φερουμε ΔΜ καθετη στην ΑΓ. α) Να αποδειξετε οτι:

i) το σημειο Μ ειναι μεσο του ΑΟ οπου Ο το κεντρο του ορθογωνιου.

(Μοναδες 8)

ii) 1

ΑΜ = ΑΓ4

(Μοναδες 7)

β) Αν απο το Γ φερουμε ΓΝ καθετη στη ΒΔ, να αποδειξετε οτι το ΜΝΓΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο.

(Μοναδες 10)

359


● Στο ισοσπλευρο τριγωνο, η διχοτομος στη βαση, ειναι διαμεσος και υψος , ενω ολες οι

γωνιες του ειναι 60 0 .



. . . χ ρ η σ ι μ ο



360

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

ΑΓ, ΒΔ ειναι οι διαγωνιες του ορθογωνιου που ει-

ναι ισες και διχοτομουνται στο Ο, δηλαδη

AO = ΟΔ που σημαινει οτι το τριγωνο ΟΑΔ ειναι

ισοσκελες.

Ομως 0ΑΟΔ = 60 οποτε το τριγωνο ΟΑΔ ειναι ισο-

πλευρο και το υψος του ΔΜ ειναι και διαμεσος,

δηλαδη το Μ ειναι μεσο του ΟΑ .

ii)

Ειναι

Μ μεσο ΑΟ Ο μεσο ΑΓΑΓ

ΑΟ ΑΓ2ΑΜ = = =2 4 4

β)

● Τα Μ, Ν ειναι μεσα των πλευρων ΟΑ, ΟΒ του τριγωνου ΒΓΔ (τα τριγωνα ΑΟΔ, ΒΟΓ ειναι ισο-

πλευρα και ΔΜ, ΓΝ υψη, αρα και διαμεσοι) οποτε

ΜΝ || ΑΒ || ΔΓ (1) (ΑΒΓΔ ορθογωνιο) .

● ΑΒΓΔ 0 0 0

ορθογωνιοΜΔΓ + ΝΓΔ < Δ + Γ = 90 + 90 = 180 ΔΜ, ΓΝ τεμνονται (2)

● Τα τριγωνα ΑΟΔ, ΒΟΓ ειναι ισοπλευρα και ισα (ισοσκελη με μια γωνια 600 και ΑΔ = ΒΓ) .

Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και τα υψη, ΔΜ, ΓΝ .

Δηλαδη ΔΜ = ΓΝ (3)

Απ’τις (1), (2) και (3) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΜΝΓΔ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (τραπεζιο

(1, 2) με ισες τις μη παραλληλες πλευρες(3)) .


Α Β

Δ Γ

600 600

Μ Ν

Ο



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



1 2 . E γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς Γ ω ν ι ε ς





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς Γ ω ν ι ε ς

Θ ε μ α 1 6 9 ο 2806

Δυο κυκλοι (Κ, ρ) , (Λ, R) τεμνονται σε δυο σημεια Α,Β. Αν Γ και Δ ειναι τα αντιδιαμετρικα σημεια του Α στους δυο κυκλους, τοτε να αποδειξετε οτι:

α) 0ΑΒΓ = 90 . (Μοναδες 5) β) τα σημεια Γ, Β, Δ ειναι συνευθειακα. (Μοναδες 10) γ) το τετραπλευρο ΚΛΓΔ ειναι τραπεζιο. Γ Β Δ (Μοναδες 10)

363

● Η εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε τοξο 180 0 (ημιπεριφερεια) ειναι ορθη .


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Κ Λ

Α



364

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Η γωνια 0ΑΒ Γ = 90 γιατι ειναι εγγεγραμμενη σε

ημιπεριφερεια .

β)

Ειναι

● Η γωνια 0ΑΒ Δ = 90 γιατι ειναι εγγεγραμμενη

σε ημιπεριφερεια .

● 0 0 0ΓΒ Δ = ΑΒΓ + ΑΒ Δ = 90 + 90 = 180

που σημαινει οτι τα σημεια Γ, Β, Δ ειναι συνευ-

θειακα .

γ)

● Τα Κ, Λ ειναι μεσα των πλευρων ΑΓ, ΑΔ του τριγωνου ΒΓΔ και

ΚΛ || ΓΔ (1)

● ΚΓ, ΔΛ τεμνονται στο Α (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΚΛΓΔ ειναι τραπεζιο .


Α

Γ Β Δ

Κ Λ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 0 ο 2810

Δινεται το ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ που ειναι εγγεγραμμενο στον Α κυκλο με κεντρο Ο και ακτινα ρ. Τα τμηματα ΓΖ και ΒΖ ειναι τα εφαπτομενα τμηματα του κυκλου στα σημεια Γ και Β αντιστοιχα. Αν το τμημα ΘΗ ειναι καθετο στο τμημα ΑΖ στο Ζ, Ο να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΖΒΓ ειναι ισοπλευρο. (Μοναδες 7) β) Το τετραπλευρο ΑΓΖΒ ειναι ρομβος. (Μοναδες 8)

γ) Το τετραπλευρο ΒΓΗΘ ειναι τραπεζιο, Θ Ζ Η με BΘ = BZ και ΘH = 2BΓ. (Μοναδες 10)

365

● Η γωνια που σχηματιζεται απο μια χορδη κυκλου και την εφαπτομενη στο ακρο της χορδης ισουται με την εγγεγραμμενη γωνια που βαινει στο τοξο της χορδης.


● Το κεντρο του ισοπλευρου τριγωνου συμπιπτει με το κεντρο του περιγεγραμμενου κυκλου του .

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Β Γ

Ε



366

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΖΒ = ΖΓ (1)

(εφαπτομενα τμηματα απ’το Ζ προς το κυκλο)

● Η 1Γ ειναι υπο χορδης και εφαπτομενης .

Η γωνια που σχηματιζεται απο μια χορδη κυκλου και την εφαπτομενη στο ακρο της χορδης ισουται με την εγγεγραμμενη γωνια που βαινει στο τοξο της χορδης.

0 1Α = Γ = 60 (2)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει οτι το τριγωνο ΖΒΓ ειναι ι-

σοσκελες με μια γωνια του ιση με 600, δηλαδη ισοπλευρο .

β)

Τα τριγωνα ΑΒΓ και ΒΓΖ ειναι ισοπλευρα με κοινη πλευρα (ΒΓ), αρα ειναι ισα και

ΑΓ = ΓΖ = ΖΒ = ΒΑ,

που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΑΓΖΒ ειναι ρομβος (ολες οι πλευρες του ισες ) .

γ)

ΒΓ ΑΖ (διαγωνιες ρομβου)ΒΓ || ΘΗ ΒΓΗΘ

ΘΗ ΑΖ (υποθεση)τραπεζιο

ΘΒ, ΗΓ τεμονται στο Α

● Οι ΒΕ, ΓΕ διχοτομοι των γωνιων 0 0ΓΒΖ = ΒΓΖ = 60 οποτε ΓΒΕ = ΒΓΕ = 30 και

0ΑΒΕ = ΑΓΕ = 90 και αφου ΘΗ ⊥ ΑΖ τοτε,

τα τμηματα ΘΒ, ΘΖ, ΗΖ, ΗΓ ειναι εφαπτομενα τμηματα του περιγεγραμμενου κυκλου στο ΒΖΓ

απ’τα σημεια Θ και Η.

Ετσι, ΒΘ = ΘΖ = ΗΖ = ΗΓ που σημαινει οτι τα τριγωνα ΒΘΖ και ΓΗΖ ειναι ισοσκελη με μια γω-

νια τους ιση με με 600, δηλαδη ισοπλευρα ( 0 0 0ΒΖΘ = ΓΖΗ = 90 - 30 = 60 ) .

Οποτε

● ΒΘ = ΒΖ

● ΘΗ = ΘΖ + ΖΗ = ΒΓ + ΒΓ ΘΗ = 2ΒΓ


Α

Β Γ

Θ Ζ Η

Ε

Ο

1

600


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 1 ο 3714

Σε κυκλο κεντρου Ο θεωρουμε τα ισα τοξα ΑΒ και ΑΓ, το καθενα ισο με 0120 . Εστω Δ και Ε τα μεσα των τοξων ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα. Α Να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοπλευρο. (Μοναδες 8) β) Τα τριγωνα ΑΖΔ και ΑΗΕ ειναι ισα και να υπολογισετε τις γωνιες τους. (Μοναδες 10) Β Γ

γ) Η χορδη ΔΕ τριχοτομειται απο τις χορδες ΑΒ και ΑΓ. (Μοναδες 7)

367

● Το μετρο μιας εγγεγραμμενης γωνιας ισουται με το μισο του μετρου του αντιστοιχου τοξου της.

● Οι εγγεγραμμενες γωνιες που βαινουν στο ιδιο η σε ισα τοξα του ιδιου η ισων κυκλων ειναι ισες και αντιστροφα.

● Το ισοπλευρο τριγωνο εχει ισες ολες τις γωνιες του (60 0) .

. . . χ ρ η σ ι μ ο

●Ο

Δ Ζ Η Ε



368

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

0 0 0ΑΒ = ΑΓ = 120 = ΒΓ (= 360 - 240 )

οποτε και οι αντιστοιχες χορδες τους ειναι ισες

και ΑΒ = ΑΓ = ΒΓ που σημαινει οτι το τριγωνο

ΑΒΓ ειναι ισοπλευρο .

β)

Ειναι

● 0ΑΔΖ = ΔΑΖ = ΕΑΓ = ΑΕΔ = 30 (1)

εγγεγραμμενες που βαινουν σε τοξα 600

● 0 0 0ΑΖΔ = 180 - 2 30 = 120 = ΑΗ Ε

● ΑΔ = ΑΕ (2)

χορδες με ισα τα αντιστοιχα τοξα

0

Τα τριγωνα ΑΖΔ και ΑΗΕ ειναι ισα γιατι :

ΑΔ = ΑΕ (2) (Γ - Π - Γ)

ΑΔΖ = ΔΑΖ = ΕΑΓ = ΑΕΔ = 30 (1)

Γ)

Ειναι

0 0

0

ΑΖΗ = ΑΗΖ = 60 (παραπληρωματικες των ΑΖΔ = ΑΗΕ = 120 ) τριγωνο ΑΖΗ

ισοπλευροΒΑΓ = 60

Ετσι

ΑΖ = ΑΗ = ΖΗ (τριγωνο ΑΖΗ ισοπλευρο)ΔΖ = ΖΗ = ΗΕ

ΑΖ = ΖΔ = ΑΗ = ΗΕ (τριγωνα ΑΖΔ, ΑΗΕ ισοσκελη)


Α

Δ Ε

Β Γ

600

600 600

600

Ζ Η


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 2 ο 3759

Δινεται κυκλος ( Ο, R ) με διαμετρο ΒΓ. Θεωρουμε σημειο Α του κυκλου και σχεδιαζουμε το τριγωνο ΑΒΓ. Η προεκταση της ΑΟ τεμνει τον κυκλο στο σημειο Ζ. Φερουμε το υψος του ΑΔ, η προεκταση του οποιου τεμνει τον κυκλο στο σημειο Ε. α) Να αποδειξετε οτι: Α i) ΖΓ = ΑΒ = ΒΕ (Μοναδες 8) ii) Το τετραπλευρο ΒΕΖΓ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. Ο Γ (Μοναδες 7) Β Δ

β) Aν 0Γ = 30 , να αποδειξετε οτι η περιμετρος του τραπεζιου ΒΕΖΓ ειναι ιση με 5R, οπου R η ακτινα του κυκλου. . (Μοναδες 10)

369

● Σε ισα τοξα αντιστοιχουν ισες χορδες και αντιστροφα .






. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ε Ζ



370

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

● ΟΔ ειναι αποστημα της χορδης ΑΕ, οποτε διχοτο-

μει το τοξο ΑΒΕ . Ετσι

ΑΒ = ΒΕ ΑΒ = ΒΕ (1)

Σε ισα τοξα αντιστοιχουν ισες χορδες . ● ΑΒ = ΓΖ (2)

ΑΒΖΓ ειναι ορθογωνιο, αφου οι διαγωνιες του

ειναι ισες (διαμετροι) και διχοτομουνται (Ο) .

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει το ζητουμενο .

ii)

Επειδη

ΒΕ = ΓΖ τοτε ΒΕ = ΓΖ

Ετσι

ΒΕ = ΓΖ ΒΓ || ΕΖ (σχολικο βιβλιο σ. 124 σχολιο) τετραπλευρο ΒΕΖΓ

ΒΕ τεμνει την ΑΒ αρα και την παραλληλη της ΓΖ ισοσκελες τραπεζιο

ΒΕ = ΓΖ (απ'το (α) ερωτημα) (τραπεζιο με τις

μη παραλ -

ληλες πλευρες του ισες)

β)

Aν 0Γ = 30

● τοτε στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ειναι

ΒΓ 2R

ΑΒ = = = R = ΒΕ = ΖΓ2 2

● 0ΑΒ = 60 = ΒΕ = ΓΖ

0

0 0 0 0

ΕΖ = 180 - ΒΕ - ΓΖ =

= 180 - 60 - 60 = 60

ΕΖ = ΒΕ = ΖΓ = R

Οποτε η περιμετρος του τραπεζιου ΒΕΖΓ ειναι

ΒΕΖΓΠ = ΒΓ + ΓΖ + ΕΖ + ΒΕ =

= 2R + R + R + R = 5R


A

Β Γ

Ε Ζ

Ο

Δ

A

Β Γ

Ε Ζ

Ο

Δ

600

600

600

300


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 3 ο 3767

Δινεται κυκλος (Ο, R) και μια επικεντρη γωνια του ΑΟΒ ιση με 120 ο . Οι εφαπτομενες του κυκλου στα σημεια Α και Β τεμνονται στο σημειο Ρ. Θεωρουμε σημειο Μ του τοξου ΑΒ και φερουμε τις χορδες ΑΜ και ΒΜ, οι οποιες προεκτεινομενες τεμνουν τις ΡΒ και ΡΑ στα σημεια Δ και Ε αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΑΡΒ ειναι ισοπλευρο.

(Μοναδες 8)

β) 0ΜΑΒ + ΜΒΑ = 60 Ε

(Μοναδες 8) Ο Ρ

γ) Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΡΕΒ ειναι ισα. Μ

(Μοναδες 9) Δ

371



● Καθε εγγεγραμμενη γωνια ισουται με το μισο της επικεντρης που βαινει στο αντιστοιχο τοξο.



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Α

Β



372

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

● ΡΑ = ΡΒ (1)

εφαπτομενα τμηματα απ’το Ρ .

Οποτε το ΑΡΒ ειναι ισοσκελες

τριγωνο .

● Η ΡΟ διακεντρικη του Ρ και δι-

χοτομει τις γωνιες Ο, Ρ .

Απ’το ορθογωνιο τριγωνο ΟΑΡ

προκυπτει

0 0 1Ρ = 30 Ρ = 60

Α λ λ ι ω ς

ΒΑΡ υπο χορδης και εφαπτομενης, οποτε 0ΒΑΡ = 60 αφου η αντιστοιχη επικεντρη 0Ο = 120

Δηλαδη το ισοσκελες τριγωνο ΑΡΒ, που εχει μια γωνια ιση με 600, ειναι ισοπλευρο .

β)

ΜΑΒ = ΜΒΔ 0

υπο χορδης και εφαπτομενηςΜΑΒ + ΜΒΑ = ΜΒΔ + ΜΒΑ = ΑΒ Ρ = 60

Α λ λ ι ω ς

0 0 0 0

0 0 0 0

Η ΑΜ Β βαινει σε τοξο 360 - 120 = 240 , οποτε ΑΜ Β = 120 .

Στο τριγωνο ΑΜΒ :

ΑΜ Β + ΜΑΒ + ΜΒΑ = 180 120 + ΜΑΒ + ΜΒΑ = 180 ΜΑΒ + ΜΒΑ = 60

γ)

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΡΕΒ ειναι ισα γιατι :

ΑΒ = ΡΒ (απ'το (α) ερωτημα)

ΔΑ Β = ΕΒ Ρ (υπο χορδης και εφαπτομενης) (Γ - Π - Γ)

ΔΒΑ = Ρ (απ'το (α) ερωτημα)


Α

Ε

Ρ

Δ

Β

Ο

600

Μ 600

300

300

1

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 4 ο 3781

Εστω κυκλος ( Ο, ρ ) και Ε το μεσον του τοξου του ΒΓ. Μια ευθεια (ε) εφαπτεται στο κυκλο στο Ε. Οι προεκτασεις των ΟΒ,ΟΓ τεμνουν την ευθεια (ε) στα σημεια Ζ και Η αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: α) ΒΓ || ΖΗ Ζ Ε Η ε (Μοναδες 5) β) ΟΖ = ΟΗ Β Γ (Μοναδες 5)

γ) Αν Β το μεσον του ΟΖ

i) να αποδειξετε οτι Ζ ΟΗ

ΒΕ Ζ =4

.

(Μοναδες 8) ii) Να αποδειξετε οτι τα τριγωνα ΑΟΓ και ΓΒΔ ειναι ισα. (Μοναδες 7)

373


● Το ισοσκελες τριγωνο εχει ολες τις γωνιες του ισες με 60 0 .

● Ο φορεας του αποστηματος χορδης ΑΒ, διχοτομει τη χορδη και το αντιστοιχο τοξο της.


● Αν σε ορθογωνιο τριγωνο μια πλευρα του ειναι το μισο της υποτεινουσας τοτε η απεναντι γωνια απ’τη πλευρα αυτη ισουται με 30°.

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ο



374

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● ΖΗ ⊥ ΟΕ (1)

ΟΕ ειναι ακτινα και η ΖΗ εφαπτομενη του

κυκλου στο Ε, ισχυει οτι

● ΒΓ ⊥ ΟΕ (2)

Ε ειναι μεσο του τοξου ΒΓ και ΟΕ ειναι ο

φορεας του αποστηματος της χορδης ΒΓ.

Απ’τις (1), (2) προκυπτει :ΒΓ || ΖΗ

β)

Το τριγωνο ΒΟΓ ειναι ισοσκελες (ΟΒ = ΟΓ = ρ) οποτε

1 1Β = Γ (3) και ΟΔ διχοτομος της ΖΟΗ (4) (αφου ειναι υψος) .

1

(3)

1

εντος - εκτος και επι ταυταΒ = Ζ

ΒΓ || ΖΗ, τεμνονται απ'την ΟΖ τριγωνο ΖΟΗΖ = Η ΟΖ = ΟΗ

ισοσκελεςεντος - εκτος και επι ταυταΓ = Η

ΒΓ || ΖΗ, τεμνονται απ'την ΟΗ

γ)

i)

υπο χορδης και εφαπτομενης (4)

ιση με το μισο της αντιστοιχης επικεντρης

ΖΟΗΖΟΔ ΖΟΗ2ΒΕΖ = = =

2 2 4

ii)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΖΕΟ, η ΕΒ ειναι διαμεσος στην υποτεινουσα και ΕΒ = ΒΖ = ΟΒ = ρ (5).

Δηλαδη το τριγωνο ΒΕΟ ειναι ισοπλευρο με καθε γωνια του ιση με 600 . Ετσι

0 0 0 1

0

0

0

Ε = 90 - 60 = 30 οποτε

Ζ = 30 (το τριγωνο ΕΒΖ ειναι ισοσκελες, ΕΒ = ΒΖ (5))

Η = 30 (Ζ = Η αφου το τριγωνο ΖΟΗ ειναι ισοσκελες (ΟΖ = ΟΗ = 2ρ)

ΖΟΗ = 120 (η τριτη γωνια του τρ

0ιγωνου ΖΟΗ : Ζ + Η + ΖΟΗ = 180 )

Α λ λ ι ω ς

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΖΕΟ, ΟΖ = 2R = 2ΟΕ, οποτε

● 0Ζ = 30 = Ε (τριγωνο ΖΟΗ ισοσκελες)

● 0ΖΟΗ = 120 (η τριτη γωνια του τριγωνου ΖΟΗ)


Ζ Ε Η

Β Γ

Ο

1

1 1 Δ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 5 ο 4756

Δινεται κυκλος (Ο, ρ) και ΑΓ μια διαμετρος του. Θεωρουμε τις χορδες AΔ = ΒΓ . Εστω Κ και Λ τα μεσα των χορδων ΔΓ και ΒΓ αντιστοιχα. Α Να αποδειξετε οτι: α) Οι χορδες ΑΒ και ΔΓ ειναι παραλληλες. Β (Μοναδες 6) β) Το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι ορθογωνιο.

(Μοναδες 6) γ) Η ΒΔ ειναι διαμετρος του κυκλου. Λ

(Μοναδες 7) Δ

δ) Το τετραπλευρο ΟΛΓΚ ειναι ορθογωνιο. Κ

(Μοναδες 6) Γ

375



● Ενα τετραπλευρο θα ειναι ορθογωνιο αν εχει τρεις ορθες γωνιες .


. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ο



376

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

ΑΔ = ΒΓ ΑΔ = ΒΓ ΑΒ || ΔΓ (1)

(σχολικο βιβλιο σ. 124 σχολιο)

β)

0 0

ΑΔ = ΒΓ ΑΔ = ΒΓ

180 - ΔΓ = 180 - ΑΒ

ΔΓ = ΑΒ ΑΒ = ΔΓ (2)

0 Β = 90 (3)

(εγγεγραμμενη που βαινει σε ημιπεριφερεια)

Απ’τις (1), (2) και (3) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΑΒΓΔ ειναι ορθογωνιο (παραλληλογραμμο

με μια του γωνια ορθη) .

γ)

Η εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε τοξο 180 0 (ημιπεριφερεια) ειναι ορθη .

Απ’το (β) : 0Α = 90 και εγγεγραμμενη, οποτε βαινει σε τοξο 180 0 (ημιπεριφερεια) και η ΒΔ

ειναι διαμετρος .

δ)

● ΟΚ, ΟΛ αποστηματα των χορδων ΔΓ, ΒΓ αντιστοιχα, οποτε

0Κ = Λ = 90 (4)

● 0Γ = 90 (5)

Απ’τις (4) και (5) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΟΛΓΚ ειναι ορθογωνιο

(εχει τρεις ορθες γωνιες) .


Α

Β

Δ

Γ

Ο

Κ

Λ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 6 ο 4804

Εστω κυκλος με κεντρο Ο και διαμετρο ΚΛ. Εστω Α σημειο του κυκλου ωστε η ακτιναι ΟΑ να ειναι καθετη στην ΚΛ. Φερουμε τις χορδες AB = AΓ = ρ . Εστω Δ και Ε τα σημεια τομης των προεκτασεων των ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα με την ευθεια της διαμετρου ΚΛ. Να αποδειξετε οτι:

α) 0ΒΑΓ = 120 (Μοναδες 7) β) Τα σημεια Β και Γ ειναι μεσα των ΑΔ και ΑΓ αντιστοιχα (Μοναδες 9) Δ Κ Ο Λ Ε γ) ΚΓ = ΛΒ

(Μοναδες 9)

377





. . . χ ρ η σ ι μ ο

Β Γ

Α



378

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Ειναι

OA = OB = OΓ = AB = AΓ = ρ , οποτε τα

τριγωνα ΟΑΒ, ΟΑΓ ειναι ισοπλευρα και 0 0ΒΑΟ = ΑΟΓ = 60 ΒΑΓ = 120

β)

0 0

0 0

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΟΔ

Δ = 30 (αφου ΔΑΟ = 60 )

Ετσι

ΑΔ ΟΑ = 2ΟΑ = ΑΒ + ΒΔ 2ρ = ρ + ΒΔ ΒΔ = ρ

2 Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΟΕ

Ε = 30 (αφου ΕΑΟ = 60 )

Ετσι

ΑΕ ΟΑ = 2ΟΑ = ΑΓ + ΓΕ 2ρ = ρ + ΓΕ Γ

2

Ε = ρ

Οποτε Β, Γ ειναι μεσα των ΑΔ και ΑΕ (ΑΒ = ΒΔ = ρ = ΑΓ = ΓΕ) .

γ)

Ειναι

● Β, Γ μεσα των ΑΔ, ΑΕ και ΒΓ || ΔΕ || ΚΛ

● 0 0ΒΚΛ + ΓΛΚ < 180 (εγγεγραμμενες που βαινουν στα τοξα ΒΑΛ = ΓΑΚ < 180 )

Δηλαδη οι ΚΒ, ΛΓ τεμνονται .

●

0ΚΑ = ΑΛ = 90

ΑΒ = ΑΓ = ρ ΑΒ = ΑΓ ΚΒ = ΚΑ - ΑΒ = ΑΛ - ΑΓ = ΓΕ ΚΒ = ΓΕ

Αρα το τετραπλευρο ΒΓΛΚ ειναι ισοσκελες τραπεζιο (τραπεζιο με ισες τις μη παραλληλες πλευ-

ρες) και εχει ισες διαγωνιες, δηλαδη ΚΓ = ΒΛ .


Α

Β Γ

Δ Κ Λ Ε

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 7 ο 4822

Εστω ορθογωνιο τριγωνο ΓΑΒ ( 0Α = 90 ) . Με διαμετρο την πλευρα του ΑΓ φερουμε κυκλο που τεμνει την υποτεινουσα ΒΓ στο Δ. Απο το Δ φερουμε εφαπτομενο τμημα το οποιο τεμνει την ΑΒ στο Μ. Να αποδειξετε οτι: Γ

α) Γ ΑΔ = Β (Μοναδες 9) β) Το τριγωνο ΔΜΒ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 9) Ο Δ γ) Το Μ ειναι το μεσο του ΑΒ. (Μοναδες 7)

Α Μ Β

379



. . . χ ρ η σ ι μ ο



380

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)


0ΑΔΓ = 90 και το τριγωνο ΑΔΓ ειναι ορθο-

γωνιο με 0ΓΑΔ = 90 - Γ (1)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ

0Β = 90 - Γ (2)

Απ΄τις (1), (2) προκυπτει το ζητουμενο .

β)

Ειναι

τρ. ΔΟΓ ισοσκελες (ΟΓ = ΟΔ) 0 0

ΟΔΓ = Γ

(2) 0

ΜΔΒ = 180 - 90 - ΟΔΓ =

= 90 - Γ = Β Οποτε το τριγωνο ΔΜΒ ειναι ισοσκελες με βαση ΔΒ .

γ)

● το τριγωνο ΔΜΒ ειναι ισοσκελες με βαση ΔΒ και ΜΔ = ΜΒ (3)

● ΜΔ = ΜΑ (4) (εφαπτομενα τμηματα στον κυκλο απ’το Μ)

Απ’τις (3) και (4) προκυπτει : ΜΑ = ΜΒ που σημαινει οτι το Μ ειναι μεσο του ΑΒ .


Β Γ

Δ

Α Μ Β

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 8 ο 5910

Δινεται τριγωνο ΑΒΓ με AB < AΓ , εγγεγραμμενο σε κυκλο με κεντρο Ο. Θεωρουμε το μεσο Μ του κυρτογωνιου τοξου ΒΓ και το υψος ΑΔ του τριγωνου ΑΒΓ. Να αποδειξετε οτι: Α

α) ΑΜ διχοτομος της γωνιας ΔΑ Ο . (Μοναδες 8)

β) ΟΑΓ = ΔΑΒ (Μοναδες 8) Ο

γ) ΔΑ Ο = Β - Γ (Μοναδες 9) Β Δ Γ Ζ

381


● Ο φορεας του αποστηματος χορδης ΑΒ, διχοτομει τη χορδη και το αντιστοιχο τοξο της.


● Το αθροισμα των οξειων γωνιων ορθογωνιου τριγωνου ειναι 1 ορθη.

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Μ



382

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Το τριγωνο ΑΟΜ ειναι ισοσκελες (ΟΑ = ΟΜ = ρ)

και 2Α = Μ (1)

● ΟΜ ειναι φορεας του αποστηματος της χορδης ΒΓ

αφου Μ μεσο του τοξου ΒΓ . Ετσι ΟΜ ⊥ ΒΓ

Ομως ΑΔ ⊥ ΒΓ , οποτε ΑΔ || ΟΜ .

1Α = Μ (2) εντος εναλλαξ των ΑΔ, ΟΜ που

τεμνονται απ'την ΑΜ .

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει : 1 2Α = Α που σημαινει

οτι η ΑΜ ειναι ιδχοτομος της γωνιας ΔΑ Ο .

β)


0ΑΓΖ = 90 και το τριγωνο ΑΔΓ ειναι ορθογωνιο με 0ΟΑΓ = 90 - Ζ (3)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΔΒ : 0ΔΑΒ = 90 - Β (4)

● Β = Ζ (5) (εγγεγραμμενες γωνιες που βαινουν στο τοξο ΑΓ) .

Απ΄τις (3), (4) και (5) προκυπτει : ΟΑ Γ = ΔΑ Β

γ)

Ειναι

0

0

0 0 0

Α+Β+Γ=180

Γ = 180 - Α -

(

5)

Β

ΔΑ Ο = Α - ΟΑ Γ - ΔΑ Β = Α - (90 - ) - (90 - Β) = Α - 180 + + Β =

= Β - (180 - Α -

Ζ

Β) =

Β

Β - Γ


Α

Β Δ Γ

Ζ

1 2

Ο

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 7 9 ο 6879

Δινεται οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμενο σε κυκλο (O, R ) . Εστω σημειο Δ του τοξου ΑΒ

τετοιο, ωστε ΔB ⊥ BΓ .

α) Να αποδειξετε οτι AΔ ⊥ ΑΓ .

(Μοναδες 8) β) Εστω Η το ορθοκεντρο του τριγωνου ΑΒΓ. Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο

ΑΔΒΗ ειναι παραλληλογραμμο.

(Μοναδες 9)

γ) Αν Μ το μεσο της ΒΓ, να αποδειξετε οτι

ΑΗΟΜ =

2 .

(Μοναδες 8)

383

● Η εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε τοξο 180 0 (ημιπεριφερεια) ειναι ορθη


. . . χ ρ η σ ι μ ο



384

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Η εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε τοξο 180 0 (ημιπεριφερεια) ειναι ορθη .

0 ΔΒ ΒΓ ΔΒ Γ = 90 ΓΔ διαμετρος

του κυκλου .

Η ΔΑ Γ εγγεγραμμενη γωνια που βαινει σε

ημιπεριφερεια (ΓΔ), οποτε ειναι ορθη .

Ετσι, ΑΔ ΑΓ

β)

Εστω ΒΖ το υψος του τριγωνου ΑΒΓ στην ΑΓ .

ΒΖ ΑΓΒΖ || ΔΑ (ΒΗ)

ΔΑ ΑΓ τετραπλευρο ΑΔΒΗ (απεναντι πλευρες παραλληλες)

παραλληλογραμμοΑΕ ΒΓΑΕ(ΑΗ) || ΔΒ

ΔΒ ΒΓ

γ)

Ο, Μ ειναι τα μεσα των πλευρων ΓΔ, ΒΓ του τριγωνου ΔΒΓ και


ΑΔΒΗ

παραλληλογραμμο

ΔΒ ΑΗΟΜ = =

2 2


Α

Δ

Β Γ

Ε Μ

Ο

Η

Ζ



Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r



2 ο Θ ε μ α



1 3 . E γ γ ρ α ψ ι μ α

Τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ α





Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r

Ε γ γ ρ α ψ ι μ α Τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ α

Θ ε μ α 1 8 0 ο 2796

Δινεται κυκλος με κεντρο Ο και εστω ΑΒ μια διαμετρος του, Γ το μεσο του ενος ημικυκλιου του και Δ τυχαιο σημειο του αλλου. Στην προεκταση της ΔΒ (προς το Β) θεωρουμε σημειο Ε ωστε BE = AΔ. α) Να αποδειξετε οτι: Γ

i) Τα τριγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ ειναι ισα . (Μοναδες 8)

ii) Η ΓΔ ειναι καθετη στην ΓΕ. Ε (Μοναδες 8) Α Ο Β β) Να αιτιολογησετε γιατι, στην περιπτωση που το σημειο Δ ειναι το αντιδιαμετρικο του Δ Γ, η ΓΕ ειναι εφαπτομενη του κυκλου. (Μοναδες 9)

387


● Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ο τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο :

Λεγεται το τετραπλευρο που οι κορυφες του ειναι σημεια του ιδιου κυκλου. (Ο κυκλος ειναι σχεδιασμενος). ● Ε γ γ ρ α ψ ι μ ο τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο : Λεγεται το τετραπλευρο για το οποιο υπαρχει κυκλος που να διερχεται απο τις κορυφες του. (Ο κυκλος δεν ειναι σχεδιασμενος).

● Καθε γωνια ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου ΑΒΓΔ , ισουται με την απεναντι εξωτερικη

γωνια του.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



388

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

● Ειναι, ΓΑ Δ = ΓΒ Ε (1)

το τετραπλευρο ΑΓΒΔ ειναι εγγραψιμο και καθε

γωνια του ισουται με την απεναντι της εξωτερικη.

0

Τα τριγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ ειναι ισα γιατι :

ΑΔ = ΒΕ (υποθεση)

ΑΓ = ΓΒ (ΑΓ = ΓΒ = 90 ) (Π - Γ - Π)

ΓΑ Δ = ΓΒ Ε (λογω της (1))


ΑΓΔ

= ΒΓΕ (2)

ii)

(2) (2)

ΒΓΑ εγγεγραμμενη που 0

βαινει σε ημιπεριφερεια

ΕΓΔ = ΒΓΕ + ΒΓΔ = ΑΓΔ + ΒΓΔ =

= ΒΓΑ = 90

Αρα, ΓΔ ΓΕ

β)

Οταν το Δ ειναι αντιδιαμετρικο του Γ, τοτε η ΟΓ

ειναι ακτινα του κυκλου .

Συμφωνα με το (αii) ερωτημα ΓΔ ⊥ ΓΕ η ΟΓ ⊥ ΓΕ, που σημαινει οτι η ΓΕ ειναι εφαπτομενη του

κυκλου.


Γ

Ε

Α Β

Δ

Γ Ε

Α Β

Δ

Ο

Ο


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 1 ο 2804

Στο διπλανο σχημα δινεται τριγωνο ΑΒΓ, τα υψη του ΒΔ και ΓΕ που τεμνονται στο σημειο Η και Μ το μεσο της πλευρας ΒΓ. α) Να αποδειξετε οτι: Α

i) ΜΔ = ΜΕ Δ

(Μοναδες 10)

ii) Η ευθεια ΑΗ τεμνει καθετα τη ΒΓ και οτι Ε

ΑΗΔ = Γ οπου Γ η γωνια του τριγωνου

ΑΒΓ . (Μοναδες 5) Β Μ Γ β) Να βρειτε το ορθοκεντρο του τριγωνου ΑΒΗ. (Μοναδες 10)

389


● Ε γ γ ρ α ψ ι μ ο τ ε τ ρ α π λ ε υ ρ ο : Λεγεται το τετραπλευρο για το οποιο υπαρχει κυκλος που να διερχεται απο τις κορυφες του. (Ο κυκλος δεν ειναι σχεδιασμενος).


γωνια του.

● Καθε πλευρα ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου ΑΒΓΔ , φαινεται απ’τις απεναντι κορυφες

απο ισες γωνιες.

● Οι απεναντι γωνιες ενος εγγεγραμμενου τετραπλευρου ΑΒΓΔ σε κυκλο (Ο,R) ειναι παρα- πληρωματικες.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



390

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Στα ορθογωνια τριγωνα ΒΕΓ και ΒΔΓ, τα ΕΜ,

ΔΜ ειναι διαμεσοι στις υποτεινουσες τους,

οποτε

ΒΓΕΜ =

2 ΕΜ = ΔΜΒΓ

ΔΜ =2

ii)

● Τα ΒΔ, ΓΕ υψη του τριγωνου ΑΒΓ και το Η ει-

ναι το ορθοκεντρο του τριγωνου .

Αρα το ΑΗ ειναι τμημα του τριτου υψους του, δηλαδη AH ⊥ BΓ .

● ΑΗΔ = Γ γιατι ειναι οξειες γωνιες με καθετες τις πλευρες τους (AH ⊥ BΓ, ΗΘ ⊥ ΑΓ) .

Α λ λ ι ω ς

● Το τετραπλευρο ΕΔΓΒ ειναι εγγραψιμο (η πλευρα ΒΓ φαινεται απο ισες γωνιες απ’τις κορυ-

φες Ε, Δ) : ΑΕΔ = Γ (1) (ΑΕΔ εξωτερικη του ΕΔΓΒ)

● Το τετραπλευρο ΑΔΗΕ ειναι εγγραψιμο (απενται γωνιες του εχουν αθροισμα 1800) :

ΑΕΔ = ΑΗΔ (2) (εγγεγραμμενες που βαινουν στο τοξο ΑΔ)

Απ’τις (1) και (2) προκυπτει : ΑΗΔ = Γ

β)

Το τριγωνο ΑΒΗ (αμβλυγωνιο) εχει υψη τα

ΗΕ (στη πλευρα ΑΒ)

ΑΔ (στη πλευρα ΗΒ) Γ το σημειο τομης των υψων του ΑΒΗ (ορθοκεντρο)

ΒΖ (στη πλευρα ΑΗ)


Α

Δ

Ε

Β Ζ Μ Γ

Η


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 2 ο 3731

Δινεται κυκλος (Ο, ρ) και σημειο Μ εξωτερικο του. Απ’το Μ φερουμε τα εφαπτομενα τμηματα ΜΑ και ΜΒ του κυκλου και εστω οτι το σημειο Γ ειναι το συμμετρικο Ο ως προς την ευθεια ΜΒ. α) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΜΒΟ

ειναι εγγραψιμο σε κυκλο . Α Μ (Μοναδες 9) β) Να προσδιορισετε το κεντρο Λ του περιγεγραμ- μενου κυκλου του τετραπλευρου ΑΜΒΟ και να Ο αιτιολογησετε την απαντηση σας . (Μοναδες 9) Β γ) Να αποδειξετε οτι ΒΛ || ΜΓ . Γ (Μοναδες 7)

391




● Αν σε ενα τετραπλευρο δυο απεναντι γωνιες του ειναι παραπληρωματικες τοτε αυτο ειναι εγγραψιμο.

. . . χ ρ η σ ι μ ο



392

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα MA, MB ειναι εφαπτομενα τμηματα στον κυκλο, ο-

ποτε ειναι καθετα στις ακτινες OA, OB αντιστοιχα, και 0ΜΑΟ = ΜΟΒ = 90 (1)

Αν σε ενα τετραπλευρο δυο απεναντι γωνιες του ειναι πα ραπληρωματικες τοτε αυτο ειναι εγγραψιμο. Δηλαδη, το AMBO ειναι εγγραψιμο τετραπλευρο σε κυ-

κλο (δυο απεναντι γωνιες του ειναι παραπληρωματικες).

β)

Απ’την (1) προκυπτει οτι η ΟΜ ειναι διαμετρος του πε-

ριγεγραμμενου κυκλου στο ΑΜΒΟ , Οποτε το κεντρο Λ

αυτου του κυκλου ειναι το μεσο της ΟΜ .

γ)

Στο τριγωνο ΟΜΓ, τα Β, Λ ειναι μεσα των πλευρων του ΟΓ και ΟΜ αντιστοιχα .

Το ευθυγραμμο τμημα που ενωνει τα μεσα των δυο πλευρων τριγωνου ειναι παραλληλο προς την τριτη πλευρα και ισο με το μισο της. Ετσι, ΒΛ || ΜΓ .


Α Μ

Β

Γ

Ο

Λ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 3 ο 3771

Δινεται ημικυκλιο διαμετρου ΑΒ και δυο χορδες του ΑΓ και ΒΔ, οι οποιες τεμνονται στο ση-

μειο Ε. Φερουμε EZ ⊥ AB .

Να αποδειξετε οτι: Δ

α) ΔΑΓ = ΔΒΓ

(Μοναδες 7) Ε Γ β) Τα τετραπλευρα ΑΔΕΖ και ΕΖΒΓ ειναι εγγραψιμα. (Μοναδες 9)

γ) Η ΕΖ ειναι διχοτομος της γωνιας ΔΖΓ . Α Ο Ζ Β (Μοναδες 9)

393







. . . χ ρ η σ ι μ ο



394

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

ΔΑ Γ = ΔΒ Γ (1)

Εγγεγραμμενες γωνιες που βαινουν στο

ιδιο τοξο ΔΓ.

β)

Ειναι

● 0ΕΖΑ = ΕΖΒ = 90 (ΕΖ ΑΒ)

● 0ΑΔ Β = ΑΓ Β = 90

(εγγεγραμμενες γωνιες που βαινουν σε ημιπεριφερεια) .

Οποτε, τα τετραπλευρα ΑΔΕΖ και ΕΖΒΓ ειναι εγγραψιμα, αφου εχουν τις απεναντι γωνιες τους

παραπληρωματικες .

γ)

● Στο εγγραψιμο τετραπλευρο ΑΔΕΖ, η ΔΕ φαινεται απ’τις κορυφες Α, Δ απο ισες γωνιες .

Ετσι, 1ΔΑ Ε (ΔΑ Γ) = Ζ (2)

● Στο εγγραψιμο τετραπλευρο ΕΖΒΓ, η ΓΕ φαινεται απ’τις κορυφες Β, Γ απο ισες γωνιες .

Ετσι, 2ΕΒ Γ (ΔΒ Γ) = Ζ (3)

Απ’τις (1), (2), (3) προκυπτει

1 2Ζ = Ζ που σημαινει οτι η ΕΖ ειναι διχοτομος της γωνιας ΔΖ Γ .


Δ

Γ

Α Ο Ζ Β

Ε

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 4 ο 3787

Εστω Α,Β,Γ συνευθειακα σημεια με AB = 2BΓ . Θεωρουμε το μεσο Μ της ΑΒ. Προς το ιδιο ημι-επιπεδο κατασκευαζουμε τα ισοπλευρα τριγωνα ΑΔΒ, ΒΕΓ. Να αποδειξετε οτι: Δ α) Το τετραπλευρο ΑΔΕΒ ειναι τραπεζιο (ΑΔ || ΒΕ) .

(Μοναδες 9) Ε β) Τα τριγωνα ΔΜΒ, ΔΕΒ ειναι ισα. (Μοναδες 8)

γ) Το τετραπλευρο ΔΜΒΕ ειναι εγγραψιμο. Α Μ Β Γ (Μοναδες 8)

395





. . . χ ρ η σ ι μ ο



396

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΑΔΒ και ΒΕΓ ειναι ισοπλευ-

ρα και οι γωνιες τους ειναι ισες με 600 .

● 0Α = ΕΒ Γ = 60 εντος εκτος και επι

ταυτα μερη των ΑΔ, ΒΕ που τεμνονται

απο την ΑΒ.

Αρα ΑΔ || ΒΕ (1)

● Οι ΔΕ, ΑΒ τεμνονται (2), γιατι

αν ειναι παραλληλες, τοτε το τετρα-

πλευρο ΑΔΕΒ ειναι παραλληλογραμμο

(οι απεναντι πλευρες του παραλληλες )

και ΑΔ = ΒΕ, ατοπο (ΑΔ = 2 ΒΕ)

Απο τις (1), (2) προκυπτει οτι το τετραπλευρο ΑΔΕΒ ειναι τραπεζιο.

β)

Μ μεσο ΑΒ = 2ΒΓ

της ΑΒ ΒΕ =ΒΓ

εντος εναλλαξ ΑΔ||ΒΕ 0

που τεμνονται απ'την ΔΒ

Τα τριγωνα ΔΜΒ και ΒΕΓ ειναι ισα γιατι :

ΔΒ = κοινη

ΑΒ 2ΒΕ ΜΒ = ΒΕ (ΜΒ = = = ΒΕ )

2 2

ΔΒΜ = 60 = ΔΒ Ε (ΔΒ Ε = = ΑΔ

0

0

(Π - Γ - Π)

Β = 60 )

οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και ΑΜ Β = ΔΕ Β = 90 (3)

γ)

Λογω της (3) : 0 0ΑΜ Β = ΔΕ Β = 90 ΑΜ Β + ΔΕ Β = 180

Οποτε, το τετραπλευρο ΔΜΒΕ ειναι εγγραψιμο, αφου εχει τις απεναντι γωνιες του παραπληρω-

ματικες .


Δ

Ε

Α Μ Β Γ

600 600


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 5 ο 3793

Δινεται οξυγωνιο τριγωνο ΑΒΓ. Κατασκευαζουμε εξωτερικα του τριγωνου τα ισοπλευρα τρι-γωνα ΑΕΒ , ΑΓΔ. Ονομαζουμε Ζ το σημειο τομης των τμηματων ΒΔ, ΓΕ. Να αποδειξετε οτι: Δ α) Τα τριγωνα ΑΕΓ και ΑΒΔ ειναι ισα και να γραψετε τα ζευγη των ισων γωνιων. Α (Μοναδες 10) Ε β) Τα τετραπλευρα ΑΖΓΔ, ΑΖΒΕ ειναι εγγραψιμα. (Μοναδες 10) Ζ

γ) 0ΒΖΓ = 120 Β Γ

(Μοναδες 5)

397




γωνια του.



. . . χ ρ η σ ι μ ο



398

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

0

Τα τριγωνα ΑΕΓ και ΑΒΔ ειναι ισα

γιατι :

ΑΕ = ΑΒ (ΑΕΒ ισοπλευρο τριγωνο)

ΑΓ = ΑΔ (ΑΓΔ ισοπλευρο τριγωνο)

ΕΑ Γ = ΒΑ Δ = 60 + ΒΑ Γ

(Π - Γ - Π)


ισα

και

ΑΔ Β = ΑΓ Ε (1) ΑΕ Γ = ΑΒ Δ (2)

Απο τις (1), (2) προκυπτει οτι το τετραπλευρο

β)

● Απ’την (1) :

Στο τετραπλευρο ΑΖΓΔ, η πλευρα ΑΖ φαινεται απ’τις κορυφες Γ, Δ απο ισες γωνιες .

Ετσι το τετραπλευρο ειναι εγγραψιμο .

● Απ’την (2) :

Στο τετραπλευρο ΑΖΒΕ, η πλευρα ΑΖ φαινεται φαινεται απ’τις κορυφες Ε, Β απο ισες γωνιες .


γ)

● Στο εγγραψιμο τετραπλευρο ΑΖΓΔ η 0 1 1Ζ ειναι εξωτερικη του και : Ζ = Ε = 60 (3)

● Στο εγγραψιμο τετραπλευρο ΑΖΒΕ η 0 2 2Ζ ειναι εξωτερικη του και : Ζ = Δ = 60 (4)

Απο (3) + (4) : 0 0 0 0

1 2Ζ + Ζ = 60 + 60 = 120 ΒΖ Γ = 120


Δ

Α

Ε

Β Γ

600

600

Ζ

1 2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 6 ο 3800

Θεωρουμε ισοπλευρο τριγωνο ΑΒΓ και τα σημεια Δ και Ε των πλευρων ΑΒ και ΑΓ αντιστοιχα, ωστε να ειναι AΔ = ΓE . Εστω Ο το σημειο τομης των ΓΔ και ΒΕ. Α α) Να αποδειξετε οτι:

i) ΒΕΓ = Γ Δ Α

(Μοναδες 10) Β Ε

ii) 0ΒΟΓ = 120

(Μοναδες 10)

β) Να εξετασετε αν το τετραπλευρο ΑΕΟΔ ειναι εγγραψιμο. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. Γ (Μοναδες 5)

399




γωνια του.

. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ο

Δ



400

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

i)

Τα τριγωνα ΒΕΓ και ΑΔΓ ειναι ισα γιατι :

Α = κοινη

ΒΓ = ΑΓ (ΑΒΓ ισοπλευρο τριγωνο) (Π - Γ - Π)

ΕΓ = ΑΔ (υποθεση)


ΒΕ Γ = ΓΔ Α

ΕΒ Γ = ΑΓ Δ (1)

ii)

Ειναι

εξωτερικη του (1)

τριγωνου ΟΕΓ

0 0 0 0

ΒΟ Γ = ΟΕ Γ + ΑΓ Δ = ΟΕ Γ + ΕΒ Γ =

= 180 - Γ = 180 - 60 = 120

β)

Ειναι 0 0ΒΟ Γ = 120 ΕΟ Γ = 60 = Α

Στο τετραπλευρο ΑΕΟΔ, μια εξωτερικη γωνια του ειναι ιση με την απεναντι εσωτερικη .



Α

Δ

Β Ε

Γ

Ο

600


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 7 ο 3919

Δινεται ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ με AB = AΓ και ΑΔ, ΒΕ τα υψη του. Α


α) ΒΓ = 2ΕΔ Ε (Μοναδες 6)

β)

Α

ΒΕ Δ =2

(Μοναδες 7)

γ) Το τετραπλευρο ΑΕΔΒ ειναι εγγραψιμο. Β Δ Γ

(Μοναδες 6)

β) ΑΒΕ = ΑΔ Ε

(Μοναδες 6)

401





. . . χ ρ η σ ι μ ο



402

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΕΓ, η ΕΔ ειναι διαμεσος στην

υποτεινουσα ΒΓ .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υπο- τεινουσας.

Ετσι, ΒΓ

ΕΔ = ΒΓ = 2ΕΔ2

β)

Εστω ΓΖ το τριτο υψος και Η το ορθοκεντρο .

0

1

ΑΔ υψος στην ΒΔ και διχοτομος

1 2τριγωνο ΑΒΓ ισοσκελες

οξειες γωνιες με

1 1πλευρες καθετες

ΗΕΓΔ εγγραψιμο (Δ + Ε = 180 )

1η ΗΔ φαινεται απ'τις ΒΕΔ , Γ

ΑΑ = Α =

2

Α = Γ

ΒΕΔ = Γ

Α

ΒΕΔ = 2

γ)

Απ’το (β) ερωτημα, η πλευρα ΒΔ του τετραπλευρου ΑΕΒΔ φαινεται απ’τις κορυφες Α και Ε απο

ισες γωνιες .


δ)

Απ’το (γ) ερωτημα, το ΑΕΔΒ ειναι εγγραψιμο και η πλευρα του ΑΕ φαινεται απ’τις κορυφες Β, Δ

απο ισες γωνιες, οποτε ΑΒ Ε = ΑΔ Ε .


Α

Ζ Ε

Β Δ Γ

1 2

1

Η


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 8 ο 3966

Δινονται ορθογωνια τριγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ με 0Α = Δ = 90 και Μ, Ν τα μεσα των ΒΓ και

ΑΔ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: Α

α) ΑΜ = ΜΔ Ν (Μοναδες 10) Δ

β) Η ΜΝ ειναι καθετη στην ΑΔ.

(Μοναδες 10)

γ) Γ ΒΔ = Γ ΑΔ Β Μ Γ

(Μοναδες 5)

403






. . . χ ρ η σ ι μ ο



404

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στα ορθογωνια τριγωνα ΒΑΓ, ΒΔΓ οι

ΑΜ, ΜΔ ειναι διαμεσοι στη κοινη υπο-

τεινουσα ΒΓ .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γω- νιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινου- σας. Ετσι,

ΒΓΑΜ =

2 ΑΜ = ΜΔΒΓ

ΜΔ =2

β)

Η ΜΝ ειναι διαμεσος στη βαση του ισοσκελους τριγωνου ΑΜΔ (ΑΜ = ΜΔ), οποτε ειναι και υψος

που σημαινει οτι η ΜΝ ειναι καθετη στην ΑΔ.

γ)

Η πλευρα ΒΓ του τετραπλευρου ΑΔΓΒ φαινεται απ’τις κορυφες Α και Δ απο ισες γωνιες (ορθες).

Ετσι, το τετραπλευρο ειναι εγγραψιμο και η πλευρα του ΔΓ φαινεται απ’τις κορυφες Α, Β απο ισες

γωνιες, οποτε ΓΒ Δ = ΓΑ Δ .


Α

Ν

Δ

Β Μ Γ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 8 9 ο 4753

Δινεται κυκλος με κεντρο Ο και ακτινα ρ. Εστω σημειο Α εξωτερικο του κυκλου και τα εφα-

πτομενα τμηματα ΑΒ και ΑΓ ωστε να ισχυει 0ΒΑΓ = 60 . Εστω οτι η εφαπτομενη του κυ-

κλου στο Δ τεμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ αντιστοιχα. Να αποδειξετε οτι: α) Το τετραπλευρο ΑΒΟΓ ειναι εγ- Β γραψιμο με OA = 2OB . Ζ (Μοναδες 6)

β) Το τριγωνο ΑΕΖ ειναι ισοπλευρο. Α Ο

(Μοναδες 6)

γ) 2ΖΒ = ΑΖ Γ (Μοναδες 7) δ) Το τετραπλευρο ΕΖΒΓ ειναι ισοσκελες τραπεζιο. (Μοναδες 6)

405








. . . χ ρ η σ ι μ ο

Ε



406

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● 0Β = Γ = 90

ΟΑ, ΟΒ ειναι ακτινες και ΑΒ, ΑΓ εφαπτομε-

να τμηματα .

Στο τετραπλευρο ΑΒΟΓ οι απεναντι γωνιες

ειναι παραπληρωματικες ( 0Β + Γ = 180 ), ο-

ποτε ειναι εγγραψιμο.

● Η ευθεια ΑΟ ειναι η διακεντρικη του Α και

διχοτομει τη γωνια Α , δηλαδη

0 0 1 2Α = Α = 30 (Α = 60 )

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΟΑΒ, με 0 1Α = 30

ειναι ,

ΟΑΟΒ = ΟΑ = 2ΟΒ

2

β)

Η ΖΕ ειναι εφαπτομενη του κυκλου στο Δ, οποτε ΖΕ ⊥ ΟΔ (1).

Στο τριγωνο ΑΖΕ το ΑΔ ειναι υψος και διχοτομος, που σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοσκελες.

Ομως 0Α = 60 , οποτε το τριγωνο ειναι ισοπλευρο.

γ)

Τα ZB, ZΔ ειναι εφαπτομενα τμηματα και ZB = ZΔ . (β) (β) (1)

ΑΖ = ΖΕ = 2ΖΔ = 2ΖΒ

δ)

ΒΓ ΟΑ (ΟΑ διακεντρικη του Α)ΒΓ || ΖΕ ΕΖΒΓ Ε

ΖΕ ΟΑ (λογω (1))τραπεζιο

ΒΖ, ΓΕ τεμνονται στο Α

Τριγωνο ΑΒΓ ισοσκελεςΑΒ Γ = Α ΓΒ

ΑΒ = ΑΓ, εφαπτομενα τμηματα απ'το Α

ΖΒΓ


τραπεζιο με ισες

τις γωνιες βασης


Β

Ζ

Α

Ε

Γ

Ο Δ 1

2


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 9 0 ο 4757

Στις πλευρες Αx΄ και Αx γωνιας x΄ Α x θεωρουμε σημεια Β και Γ ωστε AB = AΓ . Οι καθετες στις Αx΄ και Αx στα σημεια Β και Γ αντιστοιχα, τεμνονται στο Δ. Αν οι ημιευθειες Αy και Αz χωριζουν τη γωνια x΄Αx σε τρεις ισες γωνιες και τεμνουν τις ΒΔ και ΔΓ στα σημεια Ε και Ζ αντιστοιχα, να αποδειξετε οτι: Α α) Το τριγωνο ΕΑΖ ειναι ισοσκελες. (Μοναδες 8) β) Το Δ ανηκει στη διχοτομο της

γωνιας x’Αx. (Μοναδες 8) Β Γ

γ) Οι γωνιες ΓΒΔ και ΓΑΔ ειναι ισες. x’ Ε Ζ x (Μοναδες 9) y z

407





. . . χ ρ η σ ι μ ο

Δ



408

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Τα τριγωνα ΑΒΕ και ΑΓΖ ειναι ισα γιατι :


ΑΒ = ΑΓ (υποθεση)

Α ΒΑΕ = ΓΑΖ =

3οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα και

ΑΕ = ΑΖ που σημαινει οτι το τριγωνο ΕΑΖ

ειναι ι

σοσκελες με βαση ΕΖ .

β)

Τα τριγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ ειναι ισα γιατι :


ΑΔ = κοινη



ΒΑΔ = ΓΑΔ που σημαινει οτι η ΑΔ ειναι διχοτομος

της γωνιας x'Α x .

γ)

Τα ZB, ZΔ ειναι εφαπτομενα τμηματα και ZB = ZΔ . (β) (β) (1)

ΑΖ = ΖΕ = 2ΖΔ = 2ΖΒ

δ)

0 0ΑΒ Δ = ΑΓ Δ = 90 ΑΒ Δ + ΑΓ Δ = 180

Οποτε, το τετραπλευρο ABΔΓ ειναι εγγραψιμο, αφου εχει τις απεναντι γωνιες του παραπληρω-

ματικες .

Tο τετραπλευρο ABΔΓ ειναι εγγραψιμο και η πλευρα του ΔΓ φαινεται απ’τις κορυφες Α, Β απο

ισες γωνιες, οποτε ΓΒ Δ = ΓΑ Δ .


Α

Β Γ

x’ E Z x

y Δ z


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 9 1 ο 4793

Δινεται τετραπλευρο ΑΒΓΔ και ο περιγεγραμμενος του κυκλος (Ο, ρ) ωστε η διαγωνιος του ΔΒ να ειναι διαμετρος του κυκλου. Η γωνια Β ειναι διπλασια της Δ και οι πλευρες ΑΒ και ΒΓ ειναι ισες. Φερουμε καθετη στη ΒΔ στο Ο, η οποια τεμνει τις πλευρες ΑΔ και ΓΔ στα Ε και Ζ αντιστοιχα. α) Να υπολογισετε τις γωνιες του τετραπλευ- Α ρου ΑΒΓΔ. (Μοναδες 6) Ε Β

β) Να συγκρινεται τα τριγωνα ΔΑΒ και ΔΓΒ.

(Μοναδες 6) Ο

γ) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΒΓΟ ειναι ρομβος. (Μοναδες 7) δ) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΑΒΟΕ ειναι εγγραψιμο σε κυκλο. (Μοναδες 6)

409


● Το ισοσκελες τριγωνο που εχει μια γωνια ιση με 60 0, ειναι ισοπλευρο .


● Ρομβος ειναι το τετραπλευρο που εχει ολες τις πλευρες του ισες .



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Δ Ζ Γ



410

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● 0Α = Γ = 90 (εγγεγραμμενες σε ημιπεριφερεια)

●

0Β = 2Δ 0 0

0

Δ = 60Β + Δ = 180 2Δ + Δ = 180

Β = 120

β)

0

Τα τριγωνα ΔΑΒ και ΔΓΒ ειναι ισα γιατι :


ΒΔ = κοινη



ΑΒΔ = ΓΒΔ = 60 (1)

γ)

Τα τριγωνα ΑΟΒ (ΟΑ = ΟΒ = ρ) και ΒΟΓ (ΟΒ = ΟΓ = ρ) ειναι ισοσκελη και εχουν μια γωνια τους

ιση με 600 (1), οποτε ειναι ισοπλευρα και

ΟΑ = ΑΒ = ΒΓ = ΟΓ, που σημαινει οτι το τετραπλευρο ΑΒΓΟ ειναι ρομβος (ολες οι πλευρες του

ισες) .

δ)

0 0ΕΑ Δ = ΕΟ Β = 90 ΕΑ Δ + ΕΟ Β = 180

Οποτε, το τετραπλευρο ABΟΕ ειναι εγγραψιμο, αφου εχει τις απεναντι γωνιες του παραπληρω-

ματικες .


Α

Β

Δ

Γ

Ο

Ζ

Ε


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 9 2 ο 5895

Δινοναι τα ορθογωνια τριγωνα ΑΒΓ 0 0( Α = 90 ) και ΔΒΓ ( Δ = 90 ) (οπου Α και Δ εκα-

τερωθεν της ΒΓ) και το μεσο της ΒΓ. Α Να αποδειξετε οτι: α) Το τριγωνο ΑΜΔ ειναι ισοσκελες . (Μοναδες 9)

β) ΑΜΔ = 2ΑΓΔ

(Μοναδες 9)

γ) Γ ΒΔ = Γ ΑΔ Δ

(Μοναδες 7)

411





● Καθε εγγεγραμμενη γωνια ισουται με το μισο της επικεντρης που βαινει στο αντιστοιχο τοξο.



. . . χ ρ η σ ι μ ο

Β Μ Γ



412

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

Στα ορθογωνια τριγωνα ΒΑΓ, ΒΔΓ οι ΑΜ, ΜΔ

ειναι διαμεσοι στη κοινη υποτεινουσα ΒΓ .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερου- με απο την κορυφη της ορθης γωνιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινουσας. Ετσι,

ΒΓΑΜ =

2 ΑΜ = ΜΔΒΓ

ΜΔ =2

που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΜΔ ειναι ισοσκε-

λες με βαση ΑΔ .

β)

0 0Α = Δ = 90 Α + Δ = 180

Οποτε, το τετραπλευρο ABΔΓ ειναι εγγραψιμο, αφου εχει τις απεναντι γωνιες του παραπληρωμα-

τικες .

Η γωνια ΑΜΔ ειναι επικεντρη και η γωνια ΑΓΔ ειναι εγγεγραμμενη του περιγεγραμμενου κυ-

κλου στο ΑΒΔΓ, που βαινουν στο τοξο ΑΒΔ .

Καθε εγγεγραμμενη γωνια ισουται με το μισο της επικεντρης που βαινει στο αντιστοιχο τοξο. Ετσι ΑΜΔ = 2ΑΓΔ

γ)

Tο τετραπλευρο ABΔΓ ειναι εγγραψιμο (β) και η πλευρα του ΔΓ φαινεται απ’τις κορυφες Α, Β

απο ισες γωνιες, οποτε ΓΒ Δ = ΓΑ Δ .


Α

Β Γ

Δ

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b

l o

g s

p o

t .

g r


Θ ε μ α 1 9 3 ο 6878

Σε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ 0 0( Α = 90 ) εχουμε οτι Β = 30 . Φερουμε το υψος ΑΗ και

τη διαμεσο ΑΜ του τριγωνου ΑΒΓ. Απο την κορυφη Β φερνουμε καθετη στη διαμεσο ΑΜ, η ο-ποια την τεμνει στο σημειο Ε οπως φαινεται στο διπλανο σχημα. Να αποδειξετε οτι: Γ

α)

ΑΒΒΕ =

2 Α Η (Μοναδες 7)

β) ΑΗ = ΒΕ

(Μοναδες 7)

γ) το τετραπλευρο ΑΗΕΒ ειναι εγγραψιμο. Β Α (Μοναδες 6) δ) ΑΗ || ΑΒ (Μοναδες 5)

413








. . . χ ρ η σ ι μ ο

Μ



414

Τ α

κ η

ς Τ

σ α

κ α

λ α

κ ο

ς

h t

t p

:// d

r m

a t

h s

5 8

d e

m o

.b l o

g s

p o

t . g

r

α)

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΒΑΓ, η ΑΜ ει-

ναι διαμεσος στην υποτεινουσα ΒΓ .

Η διαμεσος ορθογωνιου τριγωνου που φερουμε απο την κορυφη της ορθης γω- νιας ειναι ιση με το μισο της υποτεινου- σας.

Ετσι, ΒΓ

ΑΜ = ΒΜ = ΓΜ =2

που σημαινει οτι το τριγωνο ΑΜΒ ειναι

ισοσκελες με βαση ΑΒ και 0ΜΑ Β = 30 .

● Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΕΒ ειναι 0ΜΑ Β = 30 .


Ετσι, ΑΒ

ΒΕ =2

(1)

β)

Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΗΒ ειναι 0ΜΒ Α = 30 (υποθεση).


Ετσι, (1)ΑΒ

ΑΗ = = ΒΕ2

γ)

0Α Ε Β = ΑΗ Β = 90

Οποτε, το τετραπλευρο AΗΕΒ ειναι εγγραψιμο, αφου η πλευρα του ΑΒ φαινεται απ’τις κορυφες Ε

και Η απο ισες γωνιες .

δ)

Απ’το ερωτημα (β) :

ΒΕ = ΑΗ ΒΕ = ΑΗ ΕΗ || ΑΒ (σχολικο βιβλιο σ. 124 σχολιο)


Γ

Ε Η

Β Α

300

600

Μ


Τ α

κ η

ς

Τ σ

α κ

α λ

α κ

ο ς

h

t t

p :

//

d r

m a

t h

s 5

8 d

e m

o

.b l

o g

s p

o t

. g

r

Μετα απο καιρο, αποφασισα να ασχοληθω με την τραπεζα θεματων δια -

βαθμισμενης δυσκολιας και να παρουσιασω ενα βοηθημα, που το επιμελη -

θηκα με πολυ μερακι .

Πιστευω, μια “ αξιοπρεπης“ προσπαθεια με σκοπο να βοηθησει τους μα -

θητες της Α Λυκειου να προσπαθησουν να λυσουν τις ασκησεις της τρα -

πεζας η εστω να τις διαβασουν χωρις ιδιαιτερο κοπο .

Ελπιζω το βοηθημα αυτο να ανταποκριθει στις προσδοκιες μου και στις

προσδοκιες των μαθητων που θα το χρησιμοποιησουν .

(με τον ιδιο τροπο, θα συνεχισω)

Τακης Τσακαλακος

Κερκυρα 2014


Education

τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light