المملكة العربية السعودية

وزارة التعليم العالي

جامعة الطائف

إدارة النشر العلمي

املعادالت التفاضلية

النظرية والتطبيق

الدكتور

بخيت نفيع المطرفي

الدكتور

عبد هللا عبد هللا موسى

الطبعة األولى م 2132 -هـ3311

النظرية والتطبيق : المعادالت التفاضلية بخيت نفيع مرزوق المطرفي. د عبد اهلل عبد اهلل محمد موسى. د

حقوق النشر محفوظة لجامعة الطائف©

الحوية -جامعة الطائف 47912 :رمز بريدي

المملكة العربية السعودية

هـ7211جامعة الطائف ( ح) فهرسة مكتبة الملك فهد الوطنية أثناء النشر

المطرفي، بخيت نفيع مرزوقـــة والتطبيـــق: المعـــادالت التفاضـــلية ـــع مـــرزوق المطرفـــي، /. النظري بخيـــت نفي هـ7211الطائف، -عبد اهلل عبد اهلل موسى

س42×71ص، 190 913-601-3061-99-6: ردمك

(مؤلف مشارك)عبداهلل موسى، عبداهلل . المعادالت التفاضلية أ العنوان -ب

2139/7211 565ديوي 2139/7211: رقم اإليداع

913-601-3061-99-6: ردمك النحيف مجدي حسين/التصميم المعلوماتي والجرافيكي د

م4074/ه7211: الطبعة األولى

المقدمة

___________________________________________________________ -هـ -

مقدمــــــــة والصــ و والســ م علــى خيــر خلــق ، الحمــد هلل رب العــالمين، بســم اهلل الــرحمن الــرحيمالرســوا الصــادق الوعــد األمــين صــلى اهلل عليــ وعلــى لــ ، اهلل أجمعــين محمــد بــن عبــد اهلل

أما بعد .. وصحب أجمعين

فهــ ا هــو أحــد المؤلفــات فــي سلســلة مؤلفــات عربيــة نســما اهلل أن يوف نــا إلكمالهــا وهــو لاـــة ال ـــر ن .. الانيـــة فـــي ألفاظهـــا مفرداتهـــامؤلـــف بلاتنـــا العربيـــة ، تلـــك اللاـــة الثريـــة فـــي

وأننــا ا ا ن ــدم هــ ا الجهــد المتواضــع الــ ي نضــيف الــى مــا . الكــريم، لاــة العــرب ولاــة العلــمبيــة فــي علــم الرياضــيات البــد أن نــ كر أن هــ ا الكتــاب ال يــزاحم أقرانــ فــى كتــب باللاــة العر نما يضيف اليهم أفكارا جديدو ومتطورو، فعلى الـرمم مـن وجـود العديـد مـن ، ه ا المضمار وا

الكتب العربية عن موضوع ه ا المؤلف اال أننا نحسب ه ا الكتـاب قـد يسـد بعـق ال صـور التـي لـم يـتم تناولهـا األخـر معالجـة بعـق المواضـيع الموجود في بعق المواضيع وكـ لك

.باإلضافة الى ثرائ باألمثلة المتنوعة التي تطرح العديد من األفكار

صورت ه ه والتـي نظنهـا ناقصـة وتفت ـر الـى الكمـاا والكمـاا فيوب لك ظهر الكتاب ا الكتــاب اال ومـا هـ . فـي وضـع فـي صــورو الئ ـة واجتهــدناوحسـبنا أننـا حاولنـا .. هلل وحـده

ثمـــرو جهـــد دؤوب وعمـــا متواصـــا مـــن التحصـــيا والتـــدريس والبحـــ طيلـــة ســـنوات عـــدو المعــادالت التفاضــلية العاديــة، وهــ ا الكتــاب فــيللمــؤلفين، ويدعــد هــ ا الكتــاب مرجعــا هامــا

موجـــ اساســـا لطـــ ب المراحـــا المتوســـطة والمتـــمخرو مـــن كليـــات الهندســـة والمعاهـــد الفنيـــة . أن يتج أيضا لط ب العلوم التطبي ية األخر من رياضيات وفيزيـاء وكيميـاءكما . العليا

تصــلم منهاجــا لطــ ب الدراســات العليــا فــى أنكــ لك يتضــمن الكتــاب أجــزاء كثيــرو يمكــن ول ـد راعينـا أن تكـون . التخصصات الهندسية المختلفـة وكـ لك تخصصـات العلـوم التطبي يـة

ـــ ـــة بطري ـــي معالجـــة المســـائا العلمي ـــم تنت ـــا ال ـــدأ بالصـــيامة والنم جـــة ث ـــة تب ة رتيبـــة منهجيبتفســــير النتـــائل ومحاولـــة اعطائهـــا التفســـير الهندســــي تنتهـــياإلجـــراءات والحـــا ثـــم أخيـــرا

والفيزيائي

الكتاب بعرق لمفهوم المعادالت التفاضلية وتبسـيط كـا المفـاهيم الخاصـة بهـا يبتدئفـى األبـواب الثـاني والثالـ . يقمن خ ا تحليا بسيط وتتابع ش، لها ال ارئومحاولة ج ب

المقدمة

___________________________________________________________ -وـ -

وكـــ لك الرتـــب ، والرابـــع تـــم ت ـــديم المعـــادالت التفاضـــلية مـــن الرتبـــة األولـــى والدرجـــة األولـــىالعليــا وأيضــا المعــادالت التفاضــلية مــن الــدرجات العليــا وطــرق حلهــا مــع ت ــديم العديــد مــن

حليــا ومحاكــاو نظــم التطبي ــات الفيزيائيــة والهندســية لجعــا المحتــو أكثــر تشــوي ا وأقــرب لتبالعديــد األبــوابهندســية ومشــاكا واقعيــة عــن كونــ أداو لحــا مســائا رياضــية ، و يلنــا تلــك

. من التمارين العامة المتنوعة

وقـــد أع ـــب لـــك البـــاب الخـــامس وفيـــ تـــم دراســـة حـــا المعـــادالت التفاضـــلية بـــالطرق ، وتـم فـي البـاب السـادس ، و لك عوضا عن حلها تحليليـا (استخدام المتسلس ت ) الت ريبية

دراســة حــا المعــادالت التفاضــلية عــدديا و لــك حــين يصــعب ايجــاد حــا تحليلــي لهــا، وتــم مـن خـ ا عمـا بـرامل لحـا المعـادالت التفاضـلية MATLAB" المـات ب"توظيف برنامل و يـا هـ ان ، لتوقيع تلك الحلوا بيانيا، وتـم سـرد العديـد مـن الطـرق استخدام عدديا وك لك

و فـي البـاب السـابع واألخيـر تـم ت ـديم تحويـا . لبابان بالعديد من التمـارين العامـة المتنوعـةاالبــ س لمــا لــ مــن أهميــة بالاــة فــي حــا المعــادالت التفاضــلية، حيــ يعــد تحويــا البــ س من أقو األدوات المسـتخدمة لحـا المعـادالت التفاضـلية الخطيـة، وتـم تـ ييا البـاب بالعديـد

.العامة المتنوعةمن التمارين

، ولـيس MATLAB" المـات ب"وختمنا الكتاب بملحق يحتوي على مرشد وجيـز فـي ه ا سو مرشد لينير بداية الطريق بحيـ يـر الباحـ درجـات السـلم التـي البـد أن يرت يهـا ليصا الى حي يريد، ونرجو أن يكون ه ا الكتاب فاتحة لسلسلة مـن المؤلفـات التـي نسـما

ثراء للمعرفة اهلل تعالى .أن يساعدنا على انجازها خدمة للعلم وا

.وهو ولي التوفيق.....واهلل تعالى من وراء ال صد

المؤلفان هـ7211محرم –الطائف

ارســـــــــالفه

المحتويات فهرس

___________________________________________________________

- -ط‌

فهرسالمحتويات:أولا و-هـ المقدمــــــــة17-1 المبادىءاألساسيةوتصنيفالمعادلتالتفاضلية:الباباألول19-97ىوالدرجةاألولىالمعادلتالتفاضليةمنالرتبةاألول:البابالثانى

12 مقدمـــــــة‌ 11 (Separation of variables)فصل المتغيرات : أولا ‌معادلت يمكن تحويلها إلى معادلت يتم حلها بفصل : اا ـــــــــــــثاني‌

المتغيرات28

32 المعادلت التفاضلية ذات المعامالت المتجانسة : اا ــــــــــــــثالث‌ 36 معادلت تفاضلية تؤول إلى معادلت تفاضلية متجانسة: اا ـــــــــرابع‌ 41 (Exact)المعادلة التفاضلية التامة : خامساا ‌ 45 إلى تامة عن طريق عامل المكاملة تحولمعادلت تفاضلية : سادساا ‌ 57 المعادلت التفاضلية الخطية : اا ــسابع‌ 60 ؤول إلى معادلت تفاضلية خطيةمعادلت ت: اا ـــــثامن‌ 67 معادلة ريكاتي : تاسعاا ‌ 70 (Variation of Parameters)طريقة تغيير البارامترات : عاشراا ‌ 72 تبديل المتغيرات المستقلة مكان المتغيرات التابعة: الحادي عشر ‌ 76 تطبيقات على المعادلت التفاضلية : الثاني عشر ‌

179-99 المعادلتالتفاضليةالخطيةمنالرتبالعليا:البابالثالث 101 مقدمـــــــة‌ 109 المعادلت التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت الثابتة : أولا ‌ 117 ( Particular Solution)الحل الخاص إيجاد طرق : ثانيـــــــــــــاا ‌ 117 التفاضلي العكسيطريقة المؤثر ( 2-1)‌‌ 130 متراتاطريقة تغيير البار ( 1-1)‌‌ 141 طريقة المعامالت غير المحددة( 3-1)‌‌

المحتويات فهرس

___________________________________________________________

- -ي‌

152 المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت المتغيرة :ثالثــــــــــــــاا ‌ Cauchy-Euler) ) 221معادلة كوشي أويلر ( 2-3)‌‌ 225 الخطية ادلة ليجندرمع( 1-3)‌‌ 206 (Method of Factorization)طريقة التحليل ( 3-3) ‌ 203 (Reduction of order)تخفيض الرتبة ( 4-3) ‌ 174 ية الخطية اآلنيةمجموعة من المعادلت التفاضل: رابعـــــــــاا ‌

181-179 والدرجاتالعلياالمعادلتالتفاضليةمنالرتبةاألولى:البابالرابع 283 مقدمـــــــة‌ 184 األولى بمعادلت تفاضلية من الدرجة تستبدلمعادلت تفاضلية : أولا ‌ x 186معادلت يمكن حلها بالنسبة إلى : ثانيـــــــــــــاا ‌ y 188معادلت يمكن حلها بالنسبة الى: ثالثــــــــــــــاا ‌ 191 (Clairaut Equation)معادلة كليرو : رابعـــــــــاا ‌ 194 (Lagrange's Equation)معادلة لجرانج : خامساا ‌

177-042لمتسلسالتالالنهائيةحلالمعادلتالتفاضليةباستخداما:البابالخامس 201 مقدمـــــــة‌ 205 (Taylor)مفكوك تيلور : أولا ‌ 210 الحل قرب النقطة العادية: ثانيـــــــــــــاا ‌ 222 (Frobenius( )فروبينيس)الحل قرب النقطة الشاذة المنتظمة : ثالثــــــــــــــاا ‌

041-088ةالعاديةالحلولالعدديةللمعادلتالتفاضلي :السادسالباب 143 مقدمـــــــة‌ 244 لحل المعادلت التفاضلية العادية( Euler)طريقة أويلر: أولا ‌ 253 لحل المعادلت التفاضلية طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية: ثانيـــــــــــــاا ‌ 263 رونج كوتا من الرتبة الرابعةطريقة :ثالثــــــــــــــاا ‌لحل مجموعة من من الرتبة الرابعة طريقة رونج كوتا : رابعـــــــــاا ‌

المعادلت التفاضلية ذات الرتبة األولى 271

المحتويات فهرس

___________________________________________________________

- -ك‌

لحل المعادلت التفاضلية من الرتبة الرابعة طريقة رونج كوتا : خامساا ‌ من الرتبة الثانية

273

280 لية العاديةطريقة الفروق المحدودة لحل المعادلت التفاض: سادساا ‌ لبالستحويالت: البابالسابع 339-087

291 مقدمـــــــة‌ 294 تحويالت لبالس لبعض الدوال: أولا ‌ 298 خواص تحويالت لبالس: ثانيـــــــــــــاا ‌ 310 تحويالت لبالس العكسي: ثالثــــــــــــــاا ‌تحويالت لبالس لحل المعادلت التفاضلية الخطية العادية : رابعـــــــــاا ‌

ذات المعامالت الثابتة325

331 حل مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية : خامساا ‌ 333 (Volterra integral equation) معادلة فولترا التكاملية: سادساا ‌

MATLAB 344-337المرشدالوجيزفي : الـملحق 302 المراجع

369 دليلالمصطلحات

األشكال فهرس

___________________________________________________________

- -س‌

األشكالفهرس:ثانيـــــــــــــاا عائلة الدوال (:1-1)شكل 3 2y x c لقيم مختلفة من الثابتc

عائلة الدوال (:1-0)شكل 21

2x

2y ce لقيم c 1, 2, 3قانون نيوتن الثاني للحركة (:0-1)شكل 14منحنى السرعة مع الزمن: (0-0)شكل 10سقوط جسم (:0-3)شكل 50هبوط الجهد لكل من المكثف والملف والمقاومة (:4-2)شكل 59ة وملفدائرة كهربية تحتوي على مقاوم (:0-5)شكل 86 .دائرة كهربية تحتوي على مقاومة مكثف (:0-4)شكل 82 .دائرة كهربية تحتوي على مقاومة وملف (:0-9)شكل 81 مشكلة تخفيف التركيز (:0-8)شكل 80 تحت المماس وتحت العمودى (:0-7)شكل 852عائلة المنحنيات التي تمثل المعادلة : (0-12)شكل 88 4( )x y c المسارات المتعامدة (:0-11)شكل 89 تمثيل المسارات المتعامدة (:0-10)شكل 92 دائرة كهربية تحتوي على مقاومة وملف (:0-13)شكل 90 مفكوك تيلوربوالحل العالقة ما بين الحل التحليلي (:1-5)شكل 160مفكوك تيلوربالعالقة مابين الحل بالطرق العددية والحل (:2-5)شكل 168)كثيرات حدود ليجندر (:5-3)شكل 116 )nP x الخطوة األولى باستخدام طريقة أويلر (:6-1)شكل 142 العالقة التكرارية باستخدام طريقة أويلر: (6-2)شكل 140 بالحل التام 0.2hعند بيي مقارنة الحل التقري (:6-3)شكل 149.أويلتأثير تغير طول الخطوة على دقة الحل باستخدام طريقة (:4-4)شكل 149 .الحل التقريبي باستخدام طريقة أويلر والحل التحليلي (:4-5)شكل 122 بالحل التام 0.1h، عند طريقة هينزب مقارنة الحل التقريبي (:4-4)شكل 128

األشكال فهرس

___________________________________________________________

- -ع‌

0.2hمقارنة الحل التقريبي للثالثة طرق بطول خطوة مقداره (:4-9)شكل 101 والحل التام نتائج الحل باستخدام طريقة رونج من الرتبة الرابعة: (4-8)شكل 102 تغير درجة الحرارة بالكلفن مع الزمن : (4-7)شكل 156 xمع y,vالعالقة مابين كل من :(4-12)شكل 155 وصف حركة البندول :(4-11)شكل 155 الحركة المخمدة لحركة البندول :(6-10)شكل 159 عتب مثبت على دعامات (:4-13)شكل 182 لفرقي المقسم األوسطالتقريب االفروق المحدوده باستخدام طريقة (:4-14)شكل 18225hباستخدام 75xإلى 0xالفروق المحدوده من :(6-15)شكل 181 0xالفروق المحدوده من : (6-16)شكل 184 1إلىx 0.25باستخدامh التصال المجزأ :(7-1)شكل 191 دالة خطوة الوحدة (:7-2)شكل 194 حالة خاصة من دالة خطوة الوحدة (:7-3)شكل 194 كدالة في دالة خطوة الوحدة G(t)الدالة :(7-4)شكل 366 t>0لقيم معرفةp>0دالة دورية دورتها (:7-5)شكل 365 t>0معرفة لقيم p=1دالة دورية دورتها (:7-6)شكل 368 t>0معرفة لقيم p=2دالة دورية دورتها (:9-9)شكل 369 ونة البرنامج فور إعدادهظهر أيق (:1-م)شكل 341 الواجهة األساسية للبرنامج فور تشغيلة (:0-م)شكل 343نافذة األوامر (:3-م)شكل 344نافذة فضاء العمل (:4-م)شكل 344نافذة فضاء العمل (:5-م)شكل 344المسار الحالي نافذة (:4-م)شكل 344المتغيراتنافذة الوامروفضاء العمل لدخال بعض (:9-م)شكل 342التخصيص (:8-م)شكل 342

األشكال فهرس

___________________________________________________________

- -ف‌

لالدخال دوال بناء(:7-م)شكل 340بناء متجه(:12-م)شكل 340 a,bإدخال متغيرين هما (:11-م)شكل 345نافذة الوامروفضاء العمل للمتغيرات(:10-م)شكل 345 بناء ملف بيانات وتحميلة فى فضاء العمل(:13-م)شكل 345 العملفضاء (:14-م)شكل 348 عمليات غير تقليدية على المصفوفات(:15-م)شكل 349 matlabالخاص helpالستعانة (:14-م)شكل 326 إليجاد أكبر قيمة maxالدالة (:19-م)شكل 322 Forجملة (:18-م)شكل 323 Forصورة أخرى لجملة (:17-م)شكل 323 بناء مسارات متداخلة (:02-م)شكل 324 whileجملة (:01-م)شكل 324 Ifجملة (:00-م)شكل 322 Script fileبناء (:03-م)شكل 325 Script fileتنفيذ (:04-م)شكل 328 مباشرة Script fileتنفيذ (:05-م)شكل 328 بناء دالة بسيطة لتقوم بإيجاد جذور معادلة تربيعية (:04-م)شكل 3292إيجاد جذور المعادلة التربيعية (:09-م)شكل 329 2 3 0 x x دخال المتغيرات (:08-م)شكل 306 1بناء الملف وا 2 3, ,v v v 1منحنى المتغيرات (:07-م)شكل 302 2,v v hold onأستخدام المر (:32-م)شكل 3021رسم(:31-م)شكل 301 2,v v 1وكذلك 3,v v Subplotأستخدام المر(:30-م)شكل 3011تقسم نافذة الرسم الى نافذتين(:33-م)شكل 301 2( )

األشكال فهرس

___________________________________________________________

- -ص‌

تخصيص المتغيرات الرمزية(:34-م)شكل 303 بناء دالة بإستخدام المتغيرات الرمزية(:35-م)شكل 304 أيجاد التفاضل والتكامل لدالة رمزية(:34-م)شكل 304

الجداولفهرس

___________________________________________________________

- -ش‌

فهرسالجداول:ثالثــــــــــــــاا

243 لمجموعة من الدوالاألساسية مجموعة الدوال (:3-1)جدول 128 رونج كوتا من الرتبة الرابعةمثال على طريقة (:4-1)جدول 195تحويالت لبالس لمجموعة من الدوال(:9-1)جدول 349المصفوفاتالعمليات التى يمكن إجراؤها على (:1-م)جدول 326 دوال تتعامل مع كميات قياسية(:0-م)جدول 322 دوال تتعامل مع كميات متجهة(:3-م)جدول 321 دوال المصفوفاتبعض(:4-م)جدول Matlab 320العالقات فى (:5-م)جدول Matlab320العالقات المنطقية فى (:4-م)جدول 302نقشة خط الرسمعالمات للتحكم في نوع ولون و (:9-م)جدول

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌

‌‌

‌

الباب األول

املبادىء األساسية وتصنيف املعادالت التفاضلية

لباب األولا

___________________________________________________

-3-

صور مختلفة، منهاا علاى سابي الدراسات السابقة معادالت جبرية على يلقد درسنا ف المثا المعادلة التربيعية 2 8 15 0x x، وكاا دادفنا ما تا تلاع المعاادالت داو

فنجااد القااي ،الجبريااة المعادلااةتلااع يتقاا الاا xايجاااد ميمااة المت ياار 3, 5x x .بمعنى نها تتققها ، الجبرية تلو لتلع المعادلةدي

التااي تتتااو تلااع المعااادالت ودااي ماا سااب نفسااب ينلباا علااى المعااادالت التفا االية و

علاى الصاور التفا الية معادلاة الت التفا لية وابسل صور المعادال، على مشتقات بداخلها ( )y f x ، عتبااار المعادلاااة التفا ااالية إ ،فعلاااى سااابي المثاااا 2y x وداااي تعناااي

التااي yالدالااة إلااى إيجاااد نسااعىومعنااى تاا المعادلااة ،2xيساااو yتفا اا الدالااة تتق المعادلة التفا لية السابقة ويكو ت تلع المعادلة على الشك

2

2 2

2

dyy x x

dx

dy xdx y x c

2y x c يمثااااا التااااا العاااااا(General solution) للمعادلاااااة التفا ااااالية 2y x تيث يعتبر الثابتc مار داو عادد وامع األفي العا ، ود ا الت ختيار اثابت

ولاا ا cلقااي مختلفااة ماا الثاباات (Particular solutions)ماا التلااو الخاصااة يالنهااا علاى التا ويمكا نللا (Arbitrary constant)االختياار يسمى د ا الثابت بالثابت

(Family of functions) و عا لاة الادوا (Family of curves)العاا عا لاة المنتنيااتيو ااااال عا لاااااة التاااااالي والشاااااك ،(Family of solutions) و عا لاااااة التلاااااو

الدوا 2y x c للمعادلة التفا لية 2y x ختلفة م الثابت لقي مc.

عا لة الدوا ( :1-1)شكل 2y x c لقي مختلفة م الثابتc.

المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية

___________________________________________________

-4-

علاااى تتتاااو معادلاااة ريا اااية داااي المعادلاااة التفا ااالية إقاااو الماااا ساااب يمكااا مو و كثااااار بالنسااااابة إلاااااى مت يااااار ( Dependent) يااااار تاااااابعلمت ( Derivatives) مشاااااتقاتالصاااور العاماااة للمعااااادالت (1.1)العالماااة وتمثااا و كثااار، (Independent) مساااتق

(Ordinary Differential Equations)عادية الالتفا لية ( ), , ,..., 0nF x y y y ----------------------- (1.1)

وواتاااد و كثااار مااا ،yومت يااار تاااابع ،xمت يااار مساااتق تمثااا عالماااة باااي تياااث المشاتقات ( ),..., ny y . داا ا الكتااع معااا اللاار المختلفااة فااي وبعااو ات تعااالى سانقد

سانقو ،ادالت التفا اليةساساية للمعالدراساة المباادا األ ،العادياة لت المعادالت التفا اليةعلااى مشاتقة و كثاار لمت ياار يتتااو مجموعااة ماا المعاادالت التفا االية، كاا منهاا بعار

كما يليق و كثر تتابع بالنسبة إلى مت ير مس

( sin )dy x x dx ------------------ (1.2)

54 2

4 2

td x d x dxe

dt dt dt ------------------ (1.3)

dy k

y xdx dy dx

------------------ (1.4)

3 222

21

d y dykd x dx

------------------ (1.5)

22 3

2 3

v vk

x x ------------------ (1.6)

2 2

2 20

u u

x y ------------------ (1.7)

المعادالت التفا لية في واآل سننامش سويا بع التعريفات والمصللتات الهامة

:(Ordinary differential equations)المعااادالت التفا االية العاديااة :(1-1)تعريففف

علااى مشااتقات بالنساابة لمت ياار مسااتق واتااد فقاال ومنهااا التااي تتتااو تلااع المعااادالت دااي (. 1.5-1.2)المعادالت

لباب األولا

___________________________________________________

-5-

وداي : (Partial differential equations)الت التفا الية الجئ ياة دالمعاا :(1-2)تعريفكثااار مااا مت يااار مساااتق ، وبهااا ا ياهااار بهاااا علاااى مشاااتقات ألتتتاااو يتلاااع المعاااادالت التااا . (1.7)، (1.6)دلتا اوم مثلتها المع ، (Partial derivatives)التفا الت الجئ ية

عااااااادإتاااااادادما المعااااااادالت التفا اااااالية ماااااايدناااااااع نااااااوع تتااااااى اآل لنااااااااهاااااار (Ordinary) يجئ ااااواآلخاااار (Partial) ولكاااا كياااا لنااااا نااااتمك ماااا تصااااني تلااااع ،

تصاااني فاااي اماامد عليهتسااانع ساسااايي ي سااان كر تعااريف يفيمااا يلااا . التفا ااالية المعااادالت .ودما رتبة ودرجة المعادلة التفا لية الت التفا ليةدالمعا

رتبااة دااي رتبااة المعادلااة التفا االية : (Order)المعادلااة التفا االية رتبااة :( 1-3) تعريففف

ماا الرتبااة ( 1.3)علااى سابي المثااا المعادلاة فلتفا االية، االمعادلاة فااي كبار مشااتقة تاهار

المشتقة الرابعة الرابعة و لع التتوا ها على4

4

d x

dtتي المعادلاة في كبر مشتقة بها، يود

و لااع علااى ولااى، المشااتقة األ يمشااتقة بهااا داا كباار ألولااى ماا الرتبااة األ( 1.4)، (1.2)ماااا الرتبااااة ف 1.6))لمعادلااااة ا ماااااالرتبااااة الثانيااااة ،ماااا ف( 1.7) ،(1.5) تي عكاااام المعااااادل

.الثالثة درجاة داي درجاة المعادلاة التفا الية : (Degree)درجة المعادلة التفا الية :(1-4) تعريف

تالمعادلااااااااااة التفا اااااااااالية ، وعلااااااااااى لااااااااااع فالمعااااااااااادال يقة موجااااااااااود فاااااااااات علااااااااااى مشاااااااااا .ولىجميعه م الدرجة األ( 1.7)،(1.3)،(1.2)

=yعلااااى الصااااور يوالتاااا( 1.3) دعنااااا نتاماااا المعادلااااة اآل xdy k

dx dy dx ثاااا

دعنااا ! !! ال تتساار ؟ ولااىماا الدرجااة األتلااع المعادلااة التفا االية داا ، اا بساايل نسااا ساا االا dy فاااايالمعادلااااة لرفااااي المقااااا ب اااارع نااااتخل ماااا

dx الااااى المعادلااااة الجديااااد انااااار ،

2

y = xdy dy

kdx dx

الدرجة الثانية، معناى لاع الباد ، ؟ بال بل ديدرجة م

تي نالتااا ا المعااادلوعلااى لااع يمكاا ماا تبساايل المعادلااة مباا التكاا علااى درجتهااا .م الدرجة الثانية ا ي( 1.6)،(1.5)

المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية

___________________________________________________

-6-

عالماة تاربل المت يار التاابع باالمت ير المساتق : تا المعادلاة التفا الية :(1-5)تعريفللمعادلاااة التفا ااالية، ويمكااا تقساااي تااا المعادلاااة وتتقااا المعادلاااة التفا ااالية تسااامى تاااالا

:لى نوعي إالتفا لية

تاا صااريل(Explicit) : يااة المت ياار المسااتق المت ياار التااابع بمعلومكتابااة ودااو )الصور كما في )y x. يتااااا اااااامن (Implicit) : يكمااااااا فاااااا مت يااااااري فااااااي ودااااااو عبااااااار عاااااا عالمااااااة

)الصور , ) 0x y ينتج ع اشتقامها منيا المعادلة التفا لية يوالت.

على سبي المثا 2xy ce عادلاة التفا اليةدو ت الم 2y y ا إنناا و لاع أل تسبنا 22 xy ce المعادلاة التفا الية نتصا علاى متلابقاةفاي عوي بهماا توممناا باال 2 بمعنااى 22 2x xce ce، التاا التااا ي ااا 2xy ce يتقاا المعادلااة التفا االية arbitrary) بالثابااات االختياااار c ولااا ا يسااامى الثابااات، cميماااب تقيقياااة للمت يااارأل

constant) . إيجائدا كما يليوتكو تلو المعادالت التفا لية على عد صور يمك:

التاا العااا( : (Generalلعاديااة ماا الرتبااة تاا المعادلااة التفا االية ا يساامىn .Gsyويرمئلب بالرمئ م الثوابت االختيارية بالت العا nوال يتتو على

الت الخا(Particular): دو ت يت التصو عليب ما التا العاا و لاع .Pyويرمئلب بالرمئ ميماا متدد ( جميعها و بع ها )يارية بإعلاء الثوابت االخت

الشاااااا التااااا (Singular): داااااو تااااا للمعادلاااااة التفا ااااالية العادياااااة ال يمكااااا .ختياريةاإلمهما ت يرت مي الثوابت التصو عليب م الت العا

يقااا لمجموعااة الثواباات :(Arbitrary Constant) الثواباات االختياريااة (:1-6)تعريففف

الموجااود بعالمااة مااا بانهااا ثواباات اختياريااة إ ا لاا يكاا ماا الممكاا اسااتبدا داا المجموعااة فمااااثالا . ماااا الثواباااات بعاااادد ماااا ماااا الثواباااات، بتيااااث تتااااتفا العالمااااة باااانفم خصا صااااها

2العالمة y x x بهاا ثابتاا اختيارياا دماا, تياث ال يمكا اساتبدالهما بثابات ،واتاااد فقااال ، ماااا العالماااة by ax c 0 إبتياااثb فهاااي تتتاااو علاااى ثاااابتي فقااال

فنتصااا علاااى bولااايم ثالثاااة ، تياااث يمكااا مسااامة المعادلاااة علاااى a c

y xb b

والتاااي

لباب األولا

___________________________________________________

-7-

كتابتهاااا علاااى الصاااور يمكااا y y تياااث ،, a c

b bويجاااع مالتااااة

ونفاام تاصاا اارع ثااابتي دااو ثاباات واتااد و تاصاا جمااع ثااابتي دااو ثاباات واتااد ي اااا . بالنسبة لتالتي القسمة واللرح مر األ

3 التاا العااا للمعادلااة التفا االية :(1-1)مثففال 2y x y دااو

4

4y

x c

بو ااع و

1c نجاااد4

4

1y

x

، المعلاااا التفا ااالية خاااا للمعادلاااة التااا يمثااا ال والااا

0yبينما الت كماا ناب ال يمكا التصاو علياب ، يتققهااناب إتياث ، لهاا شاا داو تا . ميمة متدد cالثابتلاء م الت العا بإع

3كو المعادلة التفا لية التي تلها دو :(1-2)مثال x xy ae b e، تياثa b,

ثابتا اختياريا اااااااااالت

على الصور لدينا ت لمعادلة تفا لية3 x xy ae b e ----------------------- (1.8)

a,على ثابتي ودو يتتو b تلاع تا الباد ما لكي نتصا علاى المعادلاة التفا اليةو فا ا ماارتي بالنسابة الااىنقاو بعمليااة التولا لع ماا المعادلاة التفا االية الثوابات االختيارياة

x تيث نتص على 33 x xdy

ae b edx

----------------------- (1.9) 2

3

29 x xd y

ae b edx

----------------------- (1.10)

نتص على ( 1.10)، ( 1.9)وبجمع المعادلتي 2

3

26 xd y dybe

dx dx ----------------------- (1.11)

على نتص ( 1.9)و( 1.8) بجمع المعادلتي ي ا و 32 xdy

y bedx

----------------------- (1.12)

ص على نت، معاا (1.12)و ( 1.11)دلتي اواآل سنقو بت المع

المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية

___________________________________________________

-8-

2 2

3 3

2 2

2 2

2 2

6 3 2

3 4 3 0

x xd y dy d y dybe be

dx dx dx dx

d y dy dy d y dyy y

dx dx dx dx dx

ودي معادلة تفا لية م الرتبة الثانية والدرجة األولى rدوا ر ات نصاااا ملاااار ثاباااات وجااااد المعادلااااة التفا اااالية لمجموعااااة الاااا :(1-3) مثففففال

. الصادومراكئدا تقع على المتور اااااااااالت

كما يلي ديو د المجموعة م الدوا ر وال نسعى إليجاد معادلة

2 2 20x y c r معادلااة لاادينا تاا لاآلو . الصاااد ثاباات ويمثاا الجاائء المقلااو ماا المتااور c إتيااث

بالنساابة جراء التفا اا إبااو لااع لاا لع البااد ماا تاا الثاباات cتفا االية تتتااو علااى ثاباات xللمت ير

2 2 0 0( ) ( )x y c y x y c y )بالتعوي ع و )y c التفا لية المللوبة على المعادلة نتص الدوا ر معادلةفي ديو

2

22 2 2 2 2 0x

x r x r y xy

ولى والدرجة الثانية ودي معادلة تفا لية م الرتبة األ

1كو المعادلاة التفا الية التاي تلهاا العاا داو :(1-4)مثال 2cos siny c t c t ، 1تيث 2 , ,c c ثوابت.

اااااااااالت

1 2 1 2cos sin sin cosdy

y c t c t c t c tdt

2 2

2 2 2

1 2 1 22 2cos sin cos sin

d y d yc t c t c t c t

dt dt

لباب األولا

___________________________________________________

-9-

1 إوتيث 2cos siny c t c t 1 لمقداريمك إستبدا ا 2cos sinc t c t نتص على لالمعادلة التفا لية في yبا

2 2 2

2 2 2

2 2 20cos sin

d y d y d ya t b t y y

dt dt dt

.والدرجة األولىمعادلة تفا لية م الرتبة الثانية يود يقاا للمعادلاة تياث واآل سو ننامش سوياا خلية وتجانم المعادالت التفا لية العادياة،

نها خلية إ ا مك التعبير عنها كما يلي (1.1) التفا لية( )

0

( ) ( ) 0n

i

i

i

a x y r x

----------------------- (1.13)

) إتيث ), ( )ia x r x تمث دوا متصلة في المت يرx ويمك إيجائ لع في التعري التالي

يقاااا للمعادلاااة التفا ااالية نهاااا : (Linear)المعادلاااة التفا ااالية الخلياااة (:1 -7)تعريفففف

:خلية إ ا تتق فيها شرلا )وجميااع مشااتقاتب yالمت ياار التااابع .1 ),...., ny y تكااو ماا ( 1.14)فااى المعادلااة

.الدرجة األولى0كاااا المعااااامالت .2 1( ), ( ),..., ( )na x a x a x تعتمااااد علااااى المت ياااار دوا متصاااالة و

.المستق فقل .دما معادلتا خليتا ( 1.7)،(1.2) المعادلتي إبناءاا على لع القو ويمك

وعلاى . خلياة إ ا لا تكا خلياة ادلة التفا لية العادية نها معادلة تفا الية يياريقا للمع .معادالت تفا لية يير خلية( 1.3،1.4،1.5،1.6) لع تكو المعادالت

يقااااا للمعادلااااة التفا اااالية نهااااا معادلااااة : المعادلااااة التفا اااالية المتجانسااااة (:1-8)تعريففففف

وعلااى يتتاو علااى المت يار المسااتق وتاد ، تفا الية متجانساة إ ا لاا يكا ماا تادوددا)تكاااو متجانساااة إ ا كاااا ( 1.13) لاااع فاااإ المعادلاااة ) 0r x ومااا مثلتهاااا المعاااادالت

(1.7 -1.4)التفا لية

المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية

___________________________________________________

-10-

يقاااا للمعادلاااة التفا ااالية نهاااا ييااار : المعادلاااة التفا ااالية ييرالمتجانساااة (:1-9)تعريففففوماااا مثلتهااااا ،تاااادوددا يتتااااو علااااى المت ياااار المسااااتق وتااااد متجانساااة إ ا وجااااد ماااا

(1.2)،(1.3.) xالمقاااااادار تاااااادد داااااا :(1-5)مثففففففال xy x e xe ( ) تاااااا للمعادلااااااة التفا اااااالية 2

y y y 2 . ال 0 اااااااااالت

)بتفا )y x نتص على ، -

- -

( ) 2 ( ) -

( ) ( )

x x x x

x x x x

y x e xe y x e xe

y x e xe e xe

المعادلة التفا لية نتص على يف yوyبالتعوي بقي

x x x x x

x

y y y

xe e xe e xe

xe

2

( ) 2( ) (2 )

xe 2 xxe 2 xe 2 xxe 0

لتلع المعادلة التفا لية نب يعتبر تالا ييعن د او نب تق المعادلة التفا لية نالتا

xyي ب: (1-6) مثال x ce( yدو ت عا للمعادلة التفا الية ( y ، ثا 0y(0)ا ا كا وجد الت الخا .ياالبتدا هاشرل 3

اااااااااالتباستخدا xy(x) ce على ، نتص xy ce . ة المعادل ي فيعو بالتث نتص على التفا لية

xy y ce xce 0 الشااااارل إوتياااااث . للمعادلاااااة التفا ااااالية ناااااب يتققهاااااا وبهااااا ا فهاااااو يعتبااااار تاااااالا بمعناااااى y(0)ياالبتدا xعناد 3تسااو y ميماة بما يعني معلى، 3 يعو تالبا، و 0

العالمة يف xy(x) ceنتص علىc وبه ا فإ الت الخا دو ، 3 xy(x) 3e بتيااث 2cو1cوجااد ميمااة كاا ماا أ(: 1-7)مثففال 2x x

1 2y(x) c e c e 2sinx ق الشرول االبتدا ية تت y(0) 0,y (0) 1 .

لباب األولا

___________________________________________________

-11-

اااااااااالتفاإ y(0)=0 إتياث 1 2c c 2 إوتيااث ، 0

1 2( ) 2sinx xy x c e c e x ،2تص على ن

1 2( ) 2 2cosx xy x c e c e x إتيث و y (0) فإ 1 1 22c c 1 معا نتص على ي المعادلتت ب 1 2c 1,c 1

بااي العالمااة :( 1-8)مثففال 2 2( , ) 4x y x y تعتباار تااال اامنيا للمعادلااة

dyالتفا لية x

dx y

اااااااااالت2 للعالمة منيجراء تفا إب 2 4( x,y) x y نتص على

2 2( ) ( ) 0 2 2 0d d dy dy xx y x y

dx dx dx dx y

للمعادلة التفا لية وب لع تصلنا على المعادلة التفا لية ول ا فهي تعتبر تالا

تمثلها المعادلة التي وجد المعادلة التفا لية لعا لة المنتنيات :(1-9)مثال 3y cx اااااااااالت

23y بإجراء تفا للمعادلة نتص على cx لك لدينا

3

yc

x2الى ي د مما

3

33

y yy x

x x

xyدي فإ المعادلة التفا لية المللوبة وبالتالي y 3 0

وجد المعادلة التفا لية للعا لة التالية م المنتنيات ات الثابتي (:1-11)مثال1 2

x xy c e c e x اااااااااالت

نتص على والثاني و شتقامي األبإجراء اال1 2 1 21, x x x xy c e c e y c e c e

y المعادلة التفا لية بلرح المعادلتي نتص على y x

المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية

___________________________________________________

-12-

(:1-11)مثال

بي ك عنصر م عا لة الدوا .أ

2x

2y ce يمث تالا للمعادلة التفا لية y xy.

.برس عد عناصر م عا لة الدوا على نفم المتاور( )و ل الفقر .ع وجد ت المعادلة التفا لية .ج y xy ال يتق الشرل االبتدا يy(0) 5. ة وجد ت المعادلة التفا لي .د y xy ال يتق الشرل االبتدا يy(1) 2.

اااااااااالت

بالعالمةبالتعوي .

2x

2y ce نتص على المعادلة التفا لية يف

2 2 2 2

2 2 2 22 /2x x x x

y ce y ce x cxe x ce xy

للمعادلة التفا لية وبالتالي فهو يتق المعادلة التفا لية وب لع يعتبر تالا

نقو برس عا لة الدوا .ع2x

2y ce عند مي c 1, 2, لنتص على عا لة 3 (.1-2)شك فيالمنتنيات كما

-3 -2 -1 0 1 2 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

c=1

c=2

c=3

c=-1

c=-2

c=-3

عا لة الدوا (: 1-2)شكل

2x

2y ce لقي c 1, 2, 3.

y(0) يشرل االبتدا ستخدا الاب .ج يكما يل c نسعى للتصو على ميمة الثابت 5 0y(0) 5 ce 5 c 5

وعلى لع يكو الت دو

2x

2y 5e y(1) يستخدا الشرل االبتدا اب .د يكما يل cى ميمة الثابتنسعى للتصو عل 2

لباب األولا

___________________________________________________

-13-

1 1

2 2(1) 2 2 2y ce c e

وعلى لع يكو الت دو

22

1 xx 1 /2

2 2y 2e e 2e باااي كااا فااارد مااا عا لاااة الااادوا (:1-12)مثفففال

t

t

1 cey

1 ceللمعادلاااة الا يمثااا تااا

التفا لية 21y (y 1)

2.

اااااااااالت لع كما يليو ، نقو بالتعوي بب في المعادلة التفا لية لنتاكد م كونب تالا لها ال

ولى كما يلينقو بتساع المشتقة األ

2 2 2 2

2 2

2

1 ( ) 1 ( )

1 1

2

1

t t t t t t t t

t t

t

t

ce ce ce ce ce c e ce c ey

ce ce

ce

ce

نتص علىيم للمعادلة التفا لية اللر األ يفبالتعوي

2 22

2

2

2

1 11 1 1 1( 1) 1

2 2 21 1

1 4 2

2 (1 )1

t tt

tt

t t

tt

ce cecey

ce ce

ce ce

cece

.لتفا لية وب لع يعتبر تالا للمعادلة التفا ليةوبالتالي فهو يتق المعادلة االعالمااااة ثباااات (: 1-13)مثففففال

4

4y

x c

للمعادلااااة التفا اااالية تمثاااا تااااالا عاماااااا

3 2y x y و وجاااد ميماااة الثاباااتc إ ا علاااy(0) 1 التااا بااات اث، ثااا y 0 .للمعادلة التفا لية شا اا يمث تالا

الت بااالتعوي بالعالمااة

4

4y

x c

كمااا yادلااة التفا االية و لااع بتساااع ميمااة المااع يفاا

يلي

المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية

___________________________________________________

-14-

3

24

16xy

x c

3ودو يمث 2x y للمعادلة التفا لية عاماا بمعنى يتققها وبه ا يعتبر تالا. y(0)نعو بالشرل cإليجاد ميمة الثابت cنتص على 1 4 y مااا بالنساابة للتاا 0 وال يمكاا عادلااة التفا االية تيااث نااب يتققهااا فهااو يعتباار تااال للم

.cمهما كانت ميمة الثابت الت العا التصو عليب م

لباب األولا

___________________________________________________

-15-

(1-1) تمارينوبي إ ا كانت المعادلة تية تدد درجة ورتبة ك م المعادالت التفا لية اآل (1)

.متجانسة الوبي ك لع كونها التفا لية خلية يير خليةi. 5 3

dyx

dx

ii. 22

22 1y d y dy

edx dx

iii. 3 2

3 24 (sin ) 5 0d y d y

x xydx dx

iv.

3 7 223

2

d3 5

y dy dyy y x

dx dx dx

v. 2

2 2

2

d 6 xy dy

x y edx dx

vi. 2 2

2 24 0

y y

t x

vii. 22

2

d6 x

y dyx y e

dx dx

viii. 2

2

d6 xy dy

y y edx dx

ix. 2

2

2

dcos

y dyx y

dx dx

x.

3 7 223

2

d3 5

y dy dyy y x

dx dx dx

xi.

2 2 22

2

d3 4 5

y dy dy

dx dx dx

لمعادلة التفا لية المناار و وجد ميمة الثابت ل تية تمث تالا ثبت الدوا اآل (2)

ةيتق د ا الت الشرول االبتدا ية المرافق يلكi. -1, 1, (0) 2.5xy y y ce y

ii. 2

2 , , (1) 4xy xy y ce y

المبادىء األساسية وتصنيف المعادالت التفاضلية

___________________________________________________

-16-

iii. 22 , , (2) 12xy y y cx y iv. 2 2, - , (0) 1yy x y x c y v. cot , sin , (- /2) 2y y x y c x y

vi. 2 20, , ( 2) 2yy x x y c y vii. 2 1

2 , , (0) 03

x x xy y e y ce e y

viii. 2 2(1 ) 2 , 2 1 , (0) 0x y xy x y c x y ix.

sincos , , (0) 1

xxy y x y y

cx

تية وجد ت ك م المعادالت التفا لية اآل (3)

i. -2xy e ii.

2xy xe iii. -cos

2

xy

iv. 48y x v. tany x

ومراكئدا تقع r وجد المعادلة التفا لية لمجموعة الدوا ر ات نص ملر ثابت (4) .على المتور السيني

.تمر بنقلة االص يلية لمجموعة الخلول المستقيمة الت وجد المعادلة التفا (5) .(e,0)نقلة التمر ب ي وجد المعادلة التفا لية لمجموعة الخلول المستقيمة الت (6) ثبت (7) 1y x x للمعادلة التفا لية تمث تالا 2xy y x تجع الدالة يالت kت وجد ميمة الثاب (8) siny kt تتق المعادلة التفا لية

9 0y y ولقي ،k اثبت عا لة الدوا ،تلع sin cosy a kx b kx ي ا ت للمعادلة التفا لية يد .

2yالمعادلة التفا لية وجد ت (9) 0.5(y 1) ياالبتدا يتق الشرل وال y(0) 2.

23y الدالة ثبت (11) cosx x التالية تتق المعادلة التفا لية 2y xy 2y xsinx 12 .

لباب األولا

___________________________________________________

-17-

وجد ت المعادلة التفا لية (11) 22 x xy y / y e e بتيث يكو2xعلى الصور xy ae be .

وجد المعادلة التفا لية للقلاعات النامصة المتتد الب ر ، إ ا كا البعد بي (12)دي المعادلة العامة للقلاعات النامصة متتد الب ر : إرشاد. )2aب رتيها

2 2

2 2 21

x y

c c a

( .اختيار ثابت cث تي