Огъванеhttps://www.facebook.com/SYPROMAT

1. Определения2. Чисто специално огъване Му 0 (Mz0)3. Напречно специално огъване My0; Qz0 (Mz0;

Qy0)4. Център на огъване при тънкостенни пръти

а а

Р Р

чисто огъване

напречно огъване

напречно огъване

Pа Pа

Qz

My

P

P

y

z

1.Определения•Чисто огъване имаме, когато единственото разрезно усилие е Мог.•Ако векторът на огъващия момент е насочен по главна инерционна ос на напречното сечение Мог Му или Мог Мz имаме чисто

специално огъване. •При наличие и на срязваща сила по главна инерционна ос имаме напречно специално огъване.

фиг. 1

2. Чисто специално огъване Му 0 (Мz 0)

равнина на симетрия

2.1. Хипотеза на БернулиИзчислителната схема на чистото огъване е показана на фиг.2.

Поради симетрията на натоварването и конструкцията напречното сечение разположено в оста на симетрията ще остане равнинно. Ако разделим модела с равнината на симетрия и повторим разсъжденията за получените части можем да докажем, че при чисто огъване всички сечения остават равнинни.

фиг.2

2.2. Закон на разпределение на нормалните напрежения

•Разглеждаме диференциален елемент от гредата с дължина ds , натоварен само с Му (фиг.3).

•Долната част на сечението ще се разпъне, а горната ще се свие.

•След натоварването сеченията се завъртат (като остават равнинни) и сключват по между си ъгъл d.

•Правата ос на гредата се деформира и придобива кривина, чийто радиус е .

•Линията, около която сеченията се завъртат се нарича неутрална линия.

d

ds

ds

dz

(2)

z

d

zd

ds

dsx

z

EE xx

•Разглеждаме слой на разстояние z от неутралната линия. •Удължението на слоя е ds •Относителната деформация на слоя ще бъде :

Използваме закона на Хук:

фиг. 3

(1)

yx

z x

z

y

F

dF

Нормалната сила в сечението трябва да е равна на нула.

00 yy

FFF

x SSE

zdFE

dFz

EdFN

Огъващият момент Мz също трябва да е равен на нула.

00 yzyz

FFF

xz JJE

yzdFE

dFz

yEdFyM

Щом като центробежния момент е равен на нула, осите на сечението са главни централни инерционни оси.

След като статичният момент е равен на нула следва, че неутралната линя минава през центъра на тежестта на сечението.

y

FFF

xy JE

dFzE

dFz

zEdFzM

2

y

y

EJ

M

1

zJ

M

y

yx

Да изразим огъващият момент Му

Получаваме израз за кривината:

Произведението EJy в знаменателя на (3) се нарича коравина на огъване.

От формули (2) и (3) се получава:

(3)

(4)

y

y

y

y

y

yx W

M

z

J

Mz

J

M

max

maxmax

maxz

JW yy

3264

612;

61234

2323

dWW

dJJ

hbW

hbJ

bhW

bhJ

zyzy

zzyy

За стандартни профили и типични сечения съпротивителните моменти са дадени в таблици.

Законът на разпределение на нормалните напрежения е линеен.

Най-големи са нормалните напрежения в най-отдалечените от неутралната линия точки на сечението.

(5)

(6)

За правоъгълно и кръгло напречно сечение се получава съответно:

Величината Wy се нарича съпротивителен момент на огъване (осов съпротивителен момент).

y

z

x

z

x(z)

•За греди от ниско въглеродни стомани и други материали, при които границата на провлачване при опън и натиск е приблизително еднаква се правят симетрични сечения фиг.6.•Вижда се, че при правоъгълното и особено при кръглото сечение има много материал, там където напреженията са малки. •Най- рационално е материалът да се разполага далеч от неутралната линия, както е при двойно”Т” образния профил; при “П” образния или при кухия правоъгълник.

2.3. Рационална форма на сечението

фиг.6

При крехки материали , за които границата на разрушение при опън е значително по-малка от тази при натиск се правят несиметрични сечения. Стремежът е опъновата зона да се направи по-малко отдалечена от неутралната линия.

x

z

y

z

x(z)

фиг.7

Трябва да се знае, че при значително изтъняване и удължаване на стените може да настъпи местна загуба на устойчивост.

Поради разликата в огъващият момент за две съседни сечения и наличие на срязваща сила се получава се депланация на сеченията. Хипотезата на Бернули не е в сила.

3. Напречно специално огъване My0; Qz0 (Mz0; Qy0)

z

ds

A’ A” B’ B”

фиг.8

3.1. Нормални напрежения

3.1.1. При Qz=const две съседни сечения на разстояние ds се депланират по подобен начин. На фиг.8 с пунктир е показан деформираният елемент при чисто огъване.

За слоя на разстояние z от неутралната линия разстоянията А’А”В’В”.

Следователно удължението на влакното се получава същото както при чисто огъване.

От това следва, че формули (1) до (6) остават в сила и при напречно специално огъване.

3.1.2. При Qzconst с помощта на “Теория на еластичността” е доказано, че формулите получени по-горе дават отклонение от точните от порядък h/l. Тъй като при гредите това отношение е от порядъка1:10 формулите (1)(6) се използват за избягване на сложните изчисления.

Разглеждаме диференциален елемент от участък в състояние на напречно специално огъване фиг.9.

В дясното сечение огъващият момент нараства с dMy, а напреженията с dx.

Правим следните предположения:•Тангенциалните напрежения са успоредни на срязващата сила•Тангенциалните напрежения са постоянни по линии успоредни на неутралната линия•Напречното сечението е постоянно по оста на гредата•По околната повърхнина на гредата няма тангенциални напрежения

3.2. Тангенциални напрежения. Формула на Журавски

ds

z

My+dMyMy

Qz Qz

x+dxx

фиг.9

N*

N*+dN*

dsb(z)

zx

xzF*

•Отделяме част от елемента на фиг.9 с равнина на разстояние z от неутралната линия. Разглеждаме тази част, която не съдържа центъра на тежестта (фиг.10).• Върху запазената част от напречното сечение F* се получава равнодействаща на нормалните напрежения N*. •Нормалните напрежения в дясното сечение, (нараснали с dx ) дават равнодействаща N*+dN*.

фиг.10 Условието за равновесие на силите по оста на гредата е:

dsbdN

dsbNdNNXi

zzx

zzx

)(

)(

*

0***0

*

** *

* yy

y

Fy

y

F F y

yx S

J

MzdF

J

MzdF

J

MdFN

** yy

y SJ

dMdN

Изразяваме нормалната сила N* чрез напреженията, използвайки формула (4).

След диференциране получаваме:

*)( y

y

yzzx S

J

dMdsb

yz

yzxz Jb

SQ

)(

*

Изравняваме получените два израза за dN*:

(7)

Тук Sy* е статичния момент на площта F* спрямо ос у. Законът на разпределение на тангенциалните напрежения по височина се определя от отношението на Sy*/b(z) .

Отчитайки, че dMy/ds=Qz и zx=xz получаваме формулата на Журавски:

F

Q

F

Q

F

Q

F

Q zxz

zxz

zxz

zxz 2

2

3

3

4

2

3 maxmaxmaxmax

фиг.11

Прилагайки формула (7) за типичните сечения, показани на фиг. 11 се получава:

h/6

•Нека допуснем, че за овалното сечение от фиг. 12 в точка, разположена в близост до околната повърхнина, тангенциалното напрежение е успоредно на Qz. •Разлагаме по тангентата и нормалата на контура. Според закона за взаимност на тангенциалните напрежения по околната повърхност трябва да има n’ , но такива липсват. •Следователно t и пълното тангенциално напрежение действа успоредно на тангентата към контура.

Qz

t

n

n’

Формулата на Журавски е изведена за правоъгълник.

При кръг, триъгълник и др. първото предположение в близост до околната повърхнина не се изпълнява.

фиг. 12

][

max][

max

yH

yy

y

x

MW

W

M ][

max

min)(

max*max

yz

yzxz Jb

SQ

][4 23,

23,3, xzx

IIIекв

3.3. Оразмеряване при напречно специално огъване

а) при жилаво-пластични материали•Оразмеряването започва с най-големия по модул огъващ момент – формула (8)•След това се проверява с максималната по модул срязваща сила – формула (9)•Проверява се еквивалентното напрежение в застрашените точки на опасното сечение – формула (10)

(10)

(9)(8)

Опасното сечение в случая се определя от най-неблагоприятното съчетание на голям огъващ момент и голяма срязваща сила. Застрашена точка е тази, в която има неблагоприятно съчетание на големи нормални и големи тангенциални напрежения.

б) при крехки материали се проверяват поотделно опъновата и натисковата зона със съответните допустими напрежения

][

16][

32

2)(

)()(

)(

Ps

dd

sP

W

МS

SSy

Syx

Ако определяща е формула (8) и искаме във всички точки напреженията да са близки до допустимите се получава греда с равна якост. За греда на две опори със сила в средата и кръгло напречно сечение се получава:

(11)

На фиг.13 с пунктир е показано решението по формула (11). На практика тази теоретична крива се обвива със степенчати цилиндрични повърхнини.

P

фиг.13

При наличие на значителни срязващи сили и при крехки материали (например бетон) е важно да се знае направлението на главните напрежения и по тези направления да се постави арматура.

q

Qz

My

h

1

фиг.14 фиг.15 фиг.16

Напрегнатото състояние се изменя по височината на гредата h и е показано на фиг.15.

Траекторията на първото главно напрежение и примерно поставяне на арматура на стоманобетонна греда е показано на фиг. 16.

4. Център на огъване при тънкостенни пръти

y

yzx J

SQ

*

(12)

За извода на формулата на Журавски при тънкостенни пръти се прави предположение, че тангенциалните напрежения са равномерно разпределени по дебелината и са успоредни на тангентата към средната линия на сечението. Формула (7) се трансформира в (12).

y

z

F*

Qz

Разпределението на тангенциалните напрежения е показано на фиг.17.По поясите то е линейно, по стеблото параболично.

Cy

z

Qz

R1

R1

Rz

фиг.17

Тангенциалните напрежения по поясите се редуцират до R1, а по стъблото до Rz = Qz. Вижда се, че тангенциалните напрежения по поясите създават момент, който усуква сечението. За да не става това външната сила трябва да се прилага в т. С така, че моментът и да компенсира момента на двоицата на R1.

Точка от равнината на сечението, спрямо която моментът на тангенциалните напрежения е нула се нарича център на огъване.

За някои сечения определянето на центъра на огъване е очевидно – фиг. 18.

Фиг. 18