Embed Size (px)
Citation preview
2.1 ТЕОРЕМА ЗА ИЗМЕНЕНИЕ НА КИНЕТИЧНИЯ МОМЕНТ НА СИСТЕМА ОТ ТЕЛА
Зад.1Показаната на фиг.1.1 система в началния момент е в покой. Системата се привежда в движение от
теглото на тяло 1. Да се определи законът за движение на тяло 1, ако триенето в лагерите се дава с момента .
Фиг. 1.1
Дадено: Търси се:kg
kg
kg mNm
m
Решение:
Записваме теоремата за изменение на кинетичния момент във векторен вид:
, (1)
където е кинетичният момент на системата за т. , а е главният момент на системата сили за същата
точка. Определяме и последователно и след заместване в (1) получаваме закона за движение на 1.
1. Определяне на кинетичния момент на системата за т.О
Фиг. 1.2
Търсим закона за движение на тяло 1 и затова изразяваме скоростите на тела 2 и 3 чрез тази на тяло 1 (Фиг.1.2):
,
.1.1 Кинетичен момент на тяло 1 за т. Тяло 1 извършва транслация, затова кинетичният му
момент се определя по формулата:
, (2)
където е количеството на движение на тяло 1. Тогава (2) става:
.
1.2 Кинетичен момент на тяло 2 за т. Тяло 2 извършва ротация и затова кинетичният му
момент се дава с формулата:
,
където е инерционният момент на тяло 2 спрямо т. /по-
коректно е да се каже спрямо оста, минаваща през т. и перпендикулярна на равнината на движение/.
,
.
1.3 Кинетичен момент на тяло 3 за т.
1
Тяло 3 извършва транслация и затова кинетичният му момент се определя по формулата:
, (3)
където е количеството на движение на тяло 3. Тогава (3) става:
.
1.4 Общ кинетичен момент на системата от тела спрямо т.
. (4)
2. Определяне на главния момент на външните сили за т.О.
Фиг. 1.3
Поставяме действащите върху системата сили и моменти. Това са теглата на трите тела , и , приложени в центровете им на тежестта и насочени вертикално надолу, моментът с посока, обратна на посоката на въртене и
опорните реакции и в неподвижната опора (Фиг.1.3).
Главният момент на системата сили за т. е:
Nm. (5)
Тук , и не дават момент, защото пресичат т. (Фиг.1.3).
3.Определяне на закона за движение на тяло 1
Замествайки (4) и (5) в (1), получаваме:
.
Решаваме това диференциално уравнение (то е с отделящи се променливи) по следния начин:
,
,
и като краен резултат получаваме законът за скоростта и законът за движение на тяло 1 с точност до две интеграционни константи:
,
,
които определяме от началните (граничните) условия на движението:,
.
Окончателно, законът за движение на тяло 1 е:
.
Зад.22
Еднородна квадратна плоча с маса kg и страна m е свързана с вертикална ос и се върти
около нея с ъглова скорост s-1. В произволен момент, върху нея започва да се движи топче с маса
kg по закона [ m, s].
Да се определи ъгловата скорост на плочата във функция на времето след започване на движение на топчето.
Забележка: Всички съпротивления да се пренебрегнат!
Фиг. 2.1
Дадено: Търси се:kg
kg
m
s-1
Решение:
Записваме теоремата за изменение на кинетичния момент:
, (1)
където е кинетичния момент на системата спрямо оста , а е главния момент на системата сили спрямо същата ос.
1. Определяне на
Фиг. 2.2
При тази задача решението започва с определяне на . За целта първо ще поставим действащите на системата сили – това са теглото на квадрата , теглото на топчето и опорните реакции. Всички сили обаче, не дават момент спрямо оста – теглата на телата, защото са успоредни на нея, а опорните реакции – защото я пресичат.
В такъв случай и в сила е законът за съхранение на кинетичния момент:
,
(2)
В (2) е кинетичният момент на системата в първия
момент от движението, а е кинетичния момент на системата в
момента, за който търсим . Ще определим последователно двата кинетични момента, ще ги заместим в (2) и след решаване на уравнението ще получим .
2. Определяне на
3
Фиг. 2.3
В първия момент от движението, плочата се върти около оста , а топчето е неподвижно върху нея /топчето е в покой спрямо плочата/ (Фиг.2.3).
2.1 Определяне на кинетичния момент на
плочата
Плочата извършва ротационно движение около оста . Тогава кинетичния й момент е:
,
където е инерционния момент на плочата
спрямо оста , а е ъгловата скорост на
системата в началния момент: .
Определяне на
Инерционния момент за главна ос е:
,
където и .
В нашия случай обаче, оста , около която се върти плочата, не е главна. В такъв случай инерционният момент се определя с помощта на теоремата на Щайнер.
Фиг. 2.4
За инерционните моменти по осите и получаваме (Фиг.2.4):
,
,
а за инерционния момент по :
= .
kgm2/s.
2.2 Определяне на кинетичния момент на топчето
Движението на топчето се състои от две компоненти – релативна и преносна. Релативният закон за движение е , а релативната скорост . Това означава, че в момент релативната
скорост на топчето също е нула, т.е. единствената скорост на топчето е преносната .
Тогава, кинетичният му момент е:
,
където е количеството на движение на топчето в първия момент:
4
,
,
.
Тогава кинетичният момент на топчето става:
kgm2/s.
2.3 Определяне на
kgm2/s.
3. Определяне на
Фиг. 2.5
В следващия момент от движението плочата продължава да се върти около оста , а топчето вече се движи праволинейно върху нея по едната му страна (Фиг.2.5).
3.1 Определяне на кинетичния момент на плочата
Плочата извършва ротационно движение около оста . Тогава кинетичния й момент е:
,
където е инерционния момент на плочата спрямо оста ,
а е търсената ъглова скорост на системата – . Инерционният момент на плочата не се променя:
.
Тогава:
.
3.2 Определяне на кинетичния момент на топчето
В разглеждания момент топчето вече се движи върху едната страна на плочата. Това означава, че
скоростта му има две компоненти – релативна и преносна . Кинетичният му момент е:
.
Знакът пред е минус, тъй като движението на топчето спрямо плочата е обратно на въртенето й!
Определяне на
Релативното движение на топчето е праволинейно по страната на плочата. Релативната му скорост е успоредна на тази страна, а кинетичният момент от това движение е:
,
където е количеството на движение на топчето, дължащо се на релативното движение:
.
Релативната скорост е първата производна на закона за релативно движение:
,
.В крайна сметка:
.
Определяне на
Кинетичният момент от преносното движение е:
5
,
където е количеството на движение на топчето, дължащо се на преносното движение, а е разстоянието
от оста на ротация до положението на топчето в разглеждания момент (Фиг.2.5). За количеството на движение имаме:
,
,
.
Кинетичният момент на топчето е:
.
По теоремата на Питагор (Фиг.2.5):.
В такъв случай:
.
Определяне на
.
3.3 Определяне на
4. Определяне на
Заместваме в уравнение (2) със стойностите за и :
,след което преработваме полученото уравнение:
,
, /:
.
В крайна сметка, за се получава:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Зад. 3Показаната на фиг.3.1 система в началния момент е в покой, а пружината е ненапрегната.Системата се
привежда в движение от теглото на тяло 1. Да се определи законът за движение на тяло 1, ако триенето в лагерите се дава с момента .
Фиг. 3.1
Дадено: Търси се: kg
kg
m
m
N/m Nm
Решение:
Записваме теоремата за изменение на кинетичния момент:
6
, (1)
където е кинетичния момент на системата спрямо т.О, а е главния момент на системата сили спрямо
същата точка. Определяме и заместваме в (1) и получаваме закона за движение на тяло 1.
1. Определяне на кинетичния момент на системата за т.О
Фиг. 3.2
Понеже търсим закона за движение на
тяло 1, изразяваме скоростите чрез (Фиг.3.2):
.
1.1 Кинетичен момент на тяло 1 за т.О Тяло 1 извършва транслация затова кинетичния му момент се определя по формулата:
,
(2)където е количеството на движение на 1. Тогава (2) става:
.
1.2 Кинетичен момент на тяло 2 за т.ОТяло 2 извършва ротация и кинетичния му момент се дава с формулата:
,
където е инерционния момент на тяло 2спрямо т.О.
,
.
1.3 Общ кинетичен момент на системата от тела
.
(3)
2. Определяне на главния момент на външните сили за т.О.
Поставяме действащите върху системата от тела сили и моменти. Това са теглата на двете тела и
/вертикални сили, насочени надолу/, приложени в центровете на тежестта, момента /обратен на
посоката на въртене/, даващ триенето в лагерите, опорните реакции и в неподвижната опора, силата
на триене , нормалната реакция и пружинната сила /обратна на посоката на движение/ (Фиг.3.3).
Пружинната сила трябва да се изрази във функция на преместването на тяло 1, което е свързано с пружината посредством барабана 2 (Фиг.3.3). Тогава, за да определим пружинната сила трябва да намерим предавателното отношение на 2. За целта е необходимо да определим отношението между скоростта в т.
/точката на свързване на тяло 1 с барабана/ и скоростта в т. /точката на свързване на пружината с барабана/ – точно това е търсеното предавателно отношение.
Изразяваме :
7
.
Предавателното отношение е 1,5. Това означава, че ако тяло 1 се премести на разстояние , то
пружината ще се разтегне с дължина . Тогава за пружинната сила се получава:
.
Фиг. 3.3
2.2 определяне на
Главният момент на системата за т.О е:
,
,
. (4)
Тук , и не дават момент, защото пресичат т. , а понеже , но с противоположни
посоки, моментът на двете сили за т. е нула!
3. Определяне на закона за движение на тяло 1
Заместваме (3) и (4) в (1) и получаваме:
.
Пред имаме константа, затова я изнасяме отпред:
.
Знаем, че . Тогава горното уравнение добива вида:
.Преработваме го и получаваме:
. (5)Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред. То се решава по следния начин:Решаваме хомогенното уравнение:
8
.Характеристичното му уравнение е:
,
а корени са комплексните числа: .Тогава общото решение на нехомогенното диференциално уравнение (5) има вида:
,
където е частното решение:, защото най-малката производна от лявата страна на (5) е нулева, а полиномът вдясно
е от нулева степен.Определяме първата и втората производна на : и , след което ги заместваме в (5)
като отговаря на , а на . Получаваме:
.Тогава:
,
.
Сега трябва да определим интеграционните константи и . Това става с помощта на гранични (в нашия случай – начални) условия на движение. В условието е казано, че в началния момент системата е била в покой . Това означава, че тяло 1 не е имало преместване и скорост в този момент, т.е. и .
В такъв случай: ,
.
Окончателно, законът за движение на тяло 1 е:
.
2.2 РАВНИННО ДВИЖЕНИЕ НА ТВЪРДО ТЯЛО
Зад.1Макара с маса kg, вързана с безтегловна неразтежима нишка към стена, се търкаля по наклонена
равнина, плъзгайки се (Фиг.1.1). Коефициентът на триене при плъзгане е . Да се определят:1) Закона за движение на макарата, ако в началния момент тя е била в покой;2) Усилието в нишката.
9
Фиг. 1.1
Дадено: Търси се: kg 1) Закона за движение m на макарата. 2) Усилието в нишката
Решение:
1. Определяне на закона за движение на макарата
Макарата извършва равнинно движение – центърът й на тежестта се премества праволинейно със скорост , а самата тя се върти с ъглова скорост . Поставяме в центъра на тежестта на макарата инерциална координатна система и записваме диференциалните уравнения на движението й:
(1)
(2)
или (3)
Първите две уравнения ни дават транслационното движение на макарата – тук и са проекциите
на ускорението на т. по двете оси, а и са сумите от проекциите на действащите върху макарата сили по същите оси.
Третото уравнение ни дава ротацията на макарата – то е записано по два начина. Първият е за центъра на тежестта като е инерционния момент на макарата за т. , е ъгловото ускорение, а е сумата от моментите на действащите върху макарата сили за т. . Вторият запис е за моментния център на скоростите – тук е инерционния момент на макарата за т. , отново е ъгловото ускорение, а е сумата от моментите на действащите върху макарата сили за т. .
С кой от двата начина на записване на (3) ще се работи зависи от това в кой от тях има по-малко неизвестни – записваме и двата и преценяваме. Важно е само да се помни, че законът за движение на равнинно движещо се тяло се състои от три компоненти – две за транслацията и една за ротацията, така че използваните уравнения трябва да бъдат три!
Продължаваме решението на задачата с поставяне на силите, действащи върху макарата (Фиг.1.2):- силата на тежестта (вертикална, насочена надолу сила, приложена в центъра на тежестта); - силата на триене (понеже имаме търкаляне с приплъзване знаем посоката на – тя е обратна на
движението, приложена в точката на допир до земята); - нормалната реакция (насочена по , перпендикулярно на движението, приложена в точката на
допир до земята); - усилието в нишката (приемаме го да бъде на опън, т.е. обратно на движението, приложено в т. –
връзка на макарата с нишката).
10
Фиг. 1.2
С тези сили заместваме в (1), (2) и (3) и получаваме:, (1’)
, (2’)
или . (3’)Да разгледаме (3’) и да преценим с кое от двете уравнения да работим. В първото имаме две неизвестни
- и , а във второто само една - . В такъв случай логично е да изберем второто затова ще разглеждаме само него. Системата уравнения става:
, (1’)
, (2’)
. (3’)
Имаме три уравнения с четири неизвестни – , , и . Трябва ни връзка между някои от неизвестните, която да използваме за четвърто уравнение. Такава връзка е отношението между ъгловата скорост на макарата и линейната скорост на центъра й (Фиг.1.2):
(4’)
Решаването на системата уравнения започваме с (2’):От схемата виждаме, че центърът на тежестта на макарата се движи само по ос , а това означава, че
, и . Тогава (2’) става:
,откъдето следва, че .
Продължаваме с уравнение (3’) като първо определяме :
.
Уравнение (3’) става:,
,
11
s-2.Интегрираме два пъти и получаваме закона за ротацията на макарата с точност до две интеграционни
константи:,
,
които определяме от началните условия на движението:,
.
В крайна сметка .
От (4’) определяме :
m/s2,
а след интегриране два пъти получаваме и :
,
.
Понеже граничните условия са същите отново получаваме и . Тогава .
Окончателно, законът за движение на макарата е:
2. Определяне на усилието в нишката
В уравнение (1’) заместваме с m/s2 и получаваме:
,
,
,N.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Зад.2Под действието на въртящ момент Nm колело с маса kg се търкаля без плъзгане по
наклонена грапава равнина (Фиг.2.1). Да се определят:1) Закона за движение на колелото, ако в началния момент то е било в покой;2) Опорните реакции (в този случай – силата на триене и нормалната реакция )
Дадено: Търси се:
1) Закона за движение на колелото 2) ,
12
Фиг. 2.1
Решение:
1. Определяне на закона за движение на колелото
Колелото извършва равнинно движение. Поставяме в центъра му на тежестта координатна система и записваме закона за движение:
(1)
(2)
или (3)След това поставяме силите, действащи върху колелото (Фиг.2.2):- задвижващия момент ;- силата на тежестта ;- силата на триене (понеже имаме търкаляне без плъзгане – посоката на е неизвестна и затова
я приемаме);- нормалната реакция .
Фиг. 2.2
С тези сили заместваме в (1), (2) и (3) и получаваме:, (1’)
, (2’)
или . (3’)Да разгледаме (3’) и да преценим с кое от двете уравнения да работим. В първото имаме две неизвестни
- и , а във второто само една - . В такъв случай логично е да изберем второто затова ще разглеждаме само него. Системата уравнения става:
, (1’)
, (2’)
. (3’)
Имаме три уравнения с пет неизвестни - , , , и . От уравнение (2’) обаче, можем да
определим , защото центърът на тежестта на макарата извършва движение само по , а това означава, че
, и . Тогава:
N.
13
Остават ни две уравнения с три неизвестни – , и ( вече не е функция на , защото имаме търкаляне без плъзгане!). За да определим неизвестните ни трябва връзка между някои от тях, която да използваме за четвърто уравнение. За целта използваме отношението между ъгловата и линейната скорост:
(4’)
Продължаваме решението с уравнение (3’) като първо определяме :
.
Уравнение (3’) става:,
,
s-2.Интегрираме два пъти и получаваме закона за въртене с точност до две интеграционни константи:
,
,
които определяме от началните условия на движението:,
.
В крайна сметка .
От (4’) определяме :
m/s2,
а след интегриране два пъти получаваме и :
,
.
Понеже граничните условия са същите отново получаваме и . Тогава:
.
Окончателно, законът за движение на колелото е:
2. Определяне на опорните реакцииПо-горе определихме NСега ще определим и като в уравнение (1’) заместим с m/s2:
,
NЗнакът е положителен, което означава, че избраната посока на е правилна!
14
15
