Embed Size (px)
Citation preview
ТЕОРЕМА ЗА ИЗМЕНЕНИЕ НА КИНЕТИЧНАТА ЕНЕРГИЯ НА СИСТЕМА ОТ ТЕЛА
Зад. 1В началния момент показаната на фиг.1.1 система е в покой. Тя се привежда в движение от теглото на
тяло 1. Да се определи закона за движение на тяло 1.Забележка: Триенето в лагерите на тяло 2 да се пренебрегне.
Фиг. 1.1
Дадено: Търси се: m
m
m m m
Решение:
Записваме диференциалната форма на теоремата за изменение на кинетичната енергия:
, (1)
където е кинетичнaта енергия на системата, а е мощността на системата сили. Определяме и поотделно и след заместване в (1) ще получим закона за движение на тяло 1.
1. Определяне на кинетичната енергия на системата
Системата се състои от три тела, затова кинетичната й енергия ще бъде сумата от кинетичните енергии на трите тела:
. (2)Кинетичната енергия е във функция на скоростта и понеже търсим закона за движение на тяло 1, ще
изразим скоростите на всички тела чрез :
; ;
; .
1.1 определяне на Тяло 1 извършва транслационно движение. Тогава кинетичната му енергия е:
. (2')
1
Фиг. 1.2
1.2 определяне на Тяло 2 извършва ротационно движение и кинетичната му енергия е:
,
където е инерционният момент.
.
. (2'')
1.3 определяне на Тяло 3 извършва равнинно движение и кинетичната енергия е:
,
където е инерционният момент.
. (2''')
1.4 определяне на Заместваме (2'), (2'') и (2''') в (2) и получаваме за общата кинетична енергия:
,
,
. (3)
2. Определяне на мощността на системата сили
Поставяме действащите върху системата сили. Това са теглата на трите тела , и , приложени в
центровете им на тежестта, силата на триене , нормалната реакция и опорните реакции и в неподвижната опора (Фиг.1.3).
Както знаем, мощността на една сила е произведението на големината й със скоростта на приложната й точка. Тогава в нашия случай мощност ще имат само , и . Останалите сили няма да имат мощност,
защото: и са перпендикулярни на движението на тяло 1, а в тази посока няма движение, т.е. скоростта е
нула; , и са приложени в неподвижната опора, а самото й име говори, че скоростта й е нула.Общата мощност на силите е:
. (4)
Знаците пред и са минуси, защото силите действат срещу посоката на движение!
(4')
(4'')
(4''') Заместваме (4'), (4'') и (4''') в (4):
. (5)
2
Фиг. 1.3
3. Определяне на закона за движение на тяло 1
Заместваме (3) и (5) в (1) и получаваме:
,
Знаем, че . Тогава:
,
,
.
,
,
.
За определянето на и ще използваме условията в началния момент от движението – скоростта и преместването са равни на нула:
и .Заместваме с тях и получаваме:
,
.
Окончателно, законът за движение на тяло 1 е:
Зад. 2
3
В началния момент, дадената трипрътова система заема положението показано на фиг.2.1. Да се определи ъгловата скорост на тяло , когато то се намира в хоризонтално положение.
Фиг. 2.1
Дадено: Търси се: kg
kg
kg
m/s
Решение:
Записваме интегралната форма на теоремата за изменение на кинетичната енергия: , (1)
където е кинетичнaта енергия на системата в началния момент на движението (положение “1” на ),
е кинетичнaта енергия на системата в момента от движението, за който търсим ъгловата скорост
(положение “2” на ), а е работата на външните сили за преминаване на системата от положение “1”
в положение “2”. Определяме , и последователно, след което заместваме в (1) и получаваме
търсената ъглова скорост .
1. Определяне на кинетичната енергия на системата в началния момент на движение, при положение “1” на
1.1 Определяне на скоростите в началния момент (Фиг.2.2) вид на движението на телата - тяло извършва ротация около т. - тяло извършва равнинно движение- тяло извършва ротация около т. скорости
s-1; m/s; s-1.
1.2 Определяне на Кинетичната енергия на системата е сума от кинетичните енергии на отделните тела в началния момент:
.
4
Фиг. 2.2
oпределяне на
Тяло извършва ротация:
,
където е инерционния
момент на спрямо т. . Тогава:
kgm/s2
Определяне на
Тяло извършва транслация:
kgm/s2
Oпределяне на
Тяло извършва ротация:
, където е инерционния момент на спрямо т. .
kgm/s2
Определяне на
kgm/s2
2. Определяне на кинетичната енергия на системата при положение “2” на
Фиг. 2.3
1.2 Определяне на скоростите във втория момент (Фиг.2.3) вид на движението на телата - тяло извършва ротация около т.- тяло извършва равнинно движение
- тяло извършва ротация около т. скорости – получаваме ги във функция
на , понеже това е търсената скорост
2.2 Определяне на Кинетичната енергия на системата е сума от кинетичните енергии на отделните тела във втория момент:
5
.
Определяне на
Тяло извършва ротация:
,
където отново е инерционния момент на спрямо т. .
.
Определяне на
Тяло извършва равнинно движение:
,
където е инерционния момент на тяло спрямо центъра му на тежестта, а
m.
,
.
Определяне на
Тяло извършва ротация:
,
където отново е инерционния момент на спрямо т. .
.
Определяне на
.
3. Определяне на работата на външните сили за преминаване на системата от положение “1” в положение “2”
Работата на една сила е произведението на големината й с преместването на приложната й точка по направление на силата. В нашия случай, външните сили са теглата на трите тела , и и опорните
реакции, но за преминаване на системата от положение “1” в положение “2”, работа дават само ,
и , защото приложните точки и на опорните реакции не се преместват.Определяме поотделно работите на силите на тежестта на телата и след сумирането им получаваме
общата работа:.
Преди това, за наше улеснение предварително ще определим преместването на центровете на тежестта на , и по направление на силите , и – търсим само вертикалните премествания , и
,понеже силите са вертикални (Фиг.2.3).
6
Фиг. 2.3
определяне на
определяне на и
С използване на косинусовата теорема определяме ъглите в триъгълника :
,
)(cos.4.5.24 2222 BDA ,
6992,04.5.2
61,345)(cos
222
222
BDA 0222 64,45)( BDA .
,
,
.
m,
m.
m,
m.
3.1 Oпределяне на работите на силите на тежестта kgm2/s
kgm2/s
kgm2/s
3.2 Oпределяне на
7
kgm2/s
4. Определяне на ъгловата скорост на тяло във втория момент от движението
Заместваме в (1) с получените по-горе стойности за , и и получаваме:
s-1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Зад. 3Показаната на фиг.3.1 система в началния момент е в покой, а пружината е ненапрегната. Системата се
привежда в движение от теглото на тяло 1. Да се определи закона за движение на тяло 1.
Фиг. 3.1
Дадено: Търси се: m
m
m
m N/m
Решение:
Записваме диференциалната форма на теоремата за изменение на кинетичната енергия:
, (1)
където е кинетичнaта енергия на системата, а е мощността на силите, действащи върху системата.
Определяме и и след заместване в (1) ще получим закона за движение на тяло 1.
2. Определяне на кинетичната енергия на системата
Системата се състои от две тела и кинетичната й енергия е сумата от кинетичните енергии на двете тела: . (2)
Кинетичната енергия е функция на скоростта и понеже търсим закона за движение на тяло 1, ще изразим скоростите на всички тела чрез (Фиг.3.2).
; .
8
Фиг. 3.2
1.1 Определяне на Тяло 1 се движи транслационно със
скорост затова кинетичната му енергия е:
.
1.2 определяне на Движението на тяло 2 може да бъде
разгледано по два начина: равнинно движение – в такъв случай
кинетичната му енергия е:
,
където е инерционния момент на тяло 2 спрямо центъра му на тежестта – т. .
ротация около т. (МЦС за 2) – тогава кинетичната му енергия е:
,
където е инерционния момент на тяло 2 за
моментния му център на скоростите – т. .
С кой от двата начина ще се работи е въпрос на избор – важно това да е по-лесния. Нека изберем втория, т.е. разглеждаме движението на тяло 2 като ротация около т. . Първо определяме инерционния момент:
,
,
след което и кинетичната енергия на тяло 2:
.
1.3 определяне на .
2. Определяне на мощността на системата сили
Поставяме действащите върху системата сили (Фиг.3.3). Това са теглата на двете тела и ,
пружинната сила (насочена по направление на пружината, обратна на посоката на движение) и усилието в
нишката (прието като опънно). Както знаем, мощността на една сила е произведението на големината й със
скоростта на приложната й точка. В нашия случай мощност дават , и . Усилието в нишката няма дава мощност, защото приложната му точка е в моментния център на скоростите на тяло 2, чиято скорост е нула.
Цялата мощност на системата сили ще бъде сумата от мощностите на отделните сили:
Тук знакът пред е минус, защото силата е обратна на посоката на движение.
Определяне на и
9
Фиг. 3.3
Определяне на
Знаем, че пружинната сила е функция на преместването . Тогава, за да определим големината й ни е необходимо предавателното отношение на тяло 2. По-горе намерихме скоростта
във функция на скоростта , а коефициентът пред е точно предавателното отношение. Това означава, че ако тяло 1 се премести на разстояние , то пружината ще се разтегна с дължина
. В такъв случай, големината на пружинната сила е:
, а мощността й:
Определяне на
3. Определяне на закона за движение на тяло 1
Заместваме в (1) с получените стойности за и и получаваме:
Знаем, че . Тогава:
След като заместим с , разделим на и прехвърлим изразите съдържащи отляво, имаме:
.Това е нехомогенно диференциално уравнение от втори ред. То се решава по следния начин:Решаваме хомогенното уравнение:
.Характеристичното му уравнение е:
,а корените му са комплексните числа:
.Тогава общото решение на нехомогенното диференциално уравнение има вида:
,
където е частното решение.
10
, защото най-малката производна от лявата страна на нехомогенното уравнение е нулева и полиномът вдясно е от нулева степен.
Определяме първата и втората производна на : и , след което ги заместваме в нехомогенното уравнение като отговаря на , а на . Получаваме:
В крайна сметка:
.
Сега трябва да определим интеграционните константи и . Това става с помощта началните условия на движението. В условието е казано, че в началния момент системата е била в покой . Това означава, че тяло 1 е било неподвижно, т.е и . В такъв случай:
,
Окончателно, законът за движение на тяло 1 е:
.
11
