א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

שדות:1 על קצתN = {1, 2, 3 . . .∞}

הטבעיים. המספרים ־קבוצת

Z = {−∞ . . .− 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 . . .∞}השלמים. המספרים קבוצת ־

Q ={−∞ . . .− 6,− 12

5 , 7,149 , . . .∞

}הרציונליים. המספרים קבוצת )־n ∈ Q|n = a

b , (a, b ∈ Z))

R ={−∞, . . . ,−π,−

√5,−1, 0,

√2, π, . . . ,∞

}הממשיים. המספרים ־קבוצת

הגדרה:חשבון: פעולות שתי מוגדרות שעליה F קבוצה זוהי שדה

הבאות האכסיומות שמתקיימות כך ,(·) וכפל (+) חיבורהשדה: אכסיומות

:21 ח' אכסיומה ~הסכום a, b ∈ F איברים: שני לכל החיבור: קשירותערך רק ישנו (כלומר, חד־ערכית ומוגדר a + b ∈ F

כזה). אחד

:2 ח' אכסיומה ~a + b = מתקיים a, b ∈ F לכל החיבור: קומוטטביות

.b+ a

:3 ח' אכסיומה ~(a+ b) + c = a + לכל החיבור: אסוציאטיביות

.(b+ c) : a, b, c ∈ F

:4 ח' אכסיומה ~F ב־ איבר קיים לחיבור): ביחס ניטרלי (איבר אפסלכל ,a + 0 = a ש־ כך ,0 ־ ומסומן אפס, שנקרא

.a ∈ F

:5 ח' אכסיומה ~a′ נגדי איבר F ב־ יש a ∈ F איבר לכל נגדי: איבר

.a+ a′ = 0 שמקיים

:1 כ' אכסיומה ~המכפלה a, b ∈ F איברים שני לכל הכפל: קשירות

חד־ערכית. ומוגדרת a · b ∈ F

:2 כ' אכסיומה ~.a ·b = b ·a מתקיים a, b ∈ F לכל הכפל: קומוטטיביות

:3 כ' אכסיומה ~(a · b) · c = : a, b, c ∈ F לכל הכפל: אסוציאטיביות

.a · (b · c)

:4 כ' אכסיומה ~F ב־ איבר קיים לכפל): ביחס ביחס ניטרלי (איבר אחד.a ∈ F לכל a · 1 = a ש־ כך ,1 ־ ומסומן אחד, שנקרא

:5 כ' אכסיומה ~a′ הופכי איבר F ב־ קיים ,0 6= a ∈ F איבר לכל

.a · a′ = 1 שמקיים:

ח': כ' ־ 11 אכסיומה ~a·(b+ c) = :a, b, c ∈ F לכל הדיסטריביוטיבי: החוק

.a · b+ a · cאחרים בפרקים לעזור יכול והוא היות בקצרה, זה פרק את סוקר 1(אני

וקטוריים") "מרחבים כמו יותר מאוחריםכפל. פירושו וכ'־ חיבור 2ח'־פירושו

:12 אכסיומה ~0 6= 1

Zp = שדה. הוא Zp ־ p ראשוני מספר כל עבור(ראו האפס איבר הוא עצמו p כאשר {0, 1, 2 . . . p− 1}

מציין). איבר של הגדרה למטה גם:ch (F ) מציין איבר

מסומן אשר n > 0 טבעי מספר הוא שדה של מציין איבר

ביותר הקטן הטבעי המספר היא ומשמעותו ch (F ) כ־

אם כי ch (Z5) = 5 למשל: .nF = 0F ־ מקיים אשר.0 נקבל פעמים 5 לעצמו אותו ונחבר Z5 ב־ 1 את ניקחהפעמים מספר זה אומר ch (F ש־( מה אחרות, במילים לכן,כזה, איבר אין אם ל־0. להגיע כדי 1F את לחבר שנצטרך

.ch (F ) = 0 אזי.ch (Zp) = p לזכור: חשוב

חזקות: חוקי

.(ab)n = an · bn .1

.an · am = an+m .2

.(ab

)n= an

bn .3

.(an)m

= an·m .4

חלקי: שדהפעולות אזי .F ל־ חלקית Kקבוצה תהי כלשהו. שדה F יהיחלק כבר K (כי K אברי בין מוגדרות F של והכפל החיבוראז ,(F (של אלו לפעולות ביחס שדה היא Kעצמה אם .(F מ־

.(F של חלקי (שדה .F של תת־שדה הוא Kש־ אומרים

המטריצה: הגדרת

כך: מוגדרת A מטריצהעמודות. nו־ שורות m עם מטריצה היא Am×n(F )

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

...am1 am2 · · · amn

.j ובעמודה i בשורה שנמצא האיבר פירושו aij האיבר

A = [aij ]m×n מקוצר: בכתיב או

מטריצות: בין כפל(זה עמודות. kו־ שורות m עם Am×n ·Bn×k = (AB)m×k

המטריצות). בין לכפול שניתן לכך התנאי גםכך בנויה מאוד!) חשוב כאן הסדר (אגב, AB מטריצההאיברים) את (סוכמים Bב־ בטור A שורה את שכופליםניתן מתמתטית, מבחינה .AB במטריצה הספציפי האיבר וזה

כך: זאת להציג:1 ≤ j ≤ k ו־ 1 ≤ i ≤ m עבור

(AB)ij =

n∑t=1

Ait ·Btj

1

א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

גם לבדוק, חשוב תמיד לכן מוגדר Bל־A בין הכפל תמיד לאAB = תמיד לא אזי ריבועיות, מטריצות בשתי מדובר אם"מטריצות ־ נקראות המטריצות אזי כך, אכן זה (ואם BA

מתחלפות").מוגדרת. BAש־ אומר לא זה אזי מוגדרת AB אם בנוסף:

להיזהר. כדאי כאן גם.A · (B · C) = (A ·B) · C אזי: מוגדר, הכפל אם

המטריצה: של תכונות כמה עוד

חיבור: ~

.A,B ∈Mm×n (F ) לכל A+B = B +A �

A,B,C ∈ לכל A+ (B + C) = (A+B) +C �

.Mm×n (F )

O ∈ שמוגדרת: האפס מטריצת קיימת �

:0 הם אבריה וכל Mm×n (F )

.A ∈Mm×n (F ) לכל A+O = O ∗מטריצה קיימת A ∈ Mm×n (F ) מטריצה לכל �

.A+(−A) = O ש: כך −A ∈Mm×n (F ) נגדית

בסקלר: כפל ~

A,B ∈ לכל t · (A+B) = t · A + t · B �

.Mm×n (F )

A ∈Mm×n (F ) לכל (t+ s) ·A = t ·A+ s ·A �

.t, s ∈ F ולכל

. −1 ·A = −A , 1 ·A = A ,O ·A = O �

.s · (t ·A) = (s · t) ·A �

משוואות של כמערכת גם להגדיר ניתן המטריצה אתלינאריות:

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

...am1 am2 · · · amn

·

x1x2...xm

=

b1b2...bm

יותר: מקוצרת בצורה או

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

......

......

am1 am2 · · · amn bm

של המורחבת" המקדמים "מטריצת נקראת זאת מטריצה

המשוואות. מערכתבמטריצה שורה וכל למערכת, הפתרונות וקטור הוא b̄ כאשר

במערכת. משוואה היאהמטריצה. את לדרג עלינו המערכת, את לפתור בשביל כעתצריך מדורגתת והיא המטריצה את שדירגנו אחרי כעת,

הפתרונות: מצב את לבדוק

מהסוג: שורה ישנה אם .1אזי ־ 0 0 0 0 0 . . . 0 b (b 6= 0)

סותרת"). "מערכת גם (נקראת פתרון אין למערכת

תקינה מערכת היא אזי ־ סותרת איננה המערכת אם .2לאחור. ההצבה בשיטת שלה הפתרונות את ומוצאים

משתנים משתנים: סוגי שני לנו יהיו מדורגת במערכת .3תלויים. ומשתנים תלויים) בלתי (או: חופשיים

, אפסים שורת שאינה בשורה אפס שאינו הראשון האיברפיבוט. ־ אחר בשם או השורה של הפותח האיבר נקראפיבוט. מופיע שלו שבעמודה משתנה זהו תלוי: משתנה

לא שלו שבעמודה משתנה זהו תלוי): בלתי (או חופשי משתנהפיבוט. מופיע

הנ"ל: במטריצה למשל,

1 2 3 4 30 0 1 5 20 0 0 3 2

0 0 0 0 0

(בלתי־ חופשיים משתנים הינם במלבן שמוקפים המשתניםע"י אלא ספציפי מספר ע"י יוגדרו (לא x2, x4 ־ תלויים)..x1,x3 ־ תלויים משתנים הינם המשתנים שאר ואילו פרמטר)

אפשרויות: שתי יש תקינה למערכת

יש אזי ־ חופשיים משתנים אין המדורגת במטריצה אם .1יחיד. פתרון

אז אחד) אפילו (מספיק חופשיים משתנים ישנם אם .2אז ־ אינסופי הוא השדה אם פתרונות: הרבה ישנם(למשל סופי הוא השדה אם אבל פתרונות, אינסוף ישנםמספר q־ (qk פתרונות: של סופי מספר יש אזי ־ (Zp

החופשיים. המשפנים מספר ־ k בשדה, האיברים(כולל אפסים שכולה שורה יש אינסופי בשדה למשל, (אם

פתרונות). אינסוף למערכת יש אז ־ (bה־

ממספר גדול במערכת הנעלמים מספר אם (הערה): .3יהיה שלמערכת ייתכן לא אזי (n > m) המשוואות

יחיד. פתרון

הומוגנית: מערכתמערכת להיות יכולה לא אפסים. ה־b־ים כל שבה מערכת זוהיסותרת). הומוגנית מערכת (כלומר, תקינה שאינה הומוגנית

אפשרויות: שתי ישנןפתרון זה ־ טריוויאלי פתרון שיש היא הראשונה האפשרותהמקדמים שכל פשוט והוא הומוגנית מערכת כל עבור שקייםכי תקינה תהיה לא שהיא להיות יכול לא (לכן, אפסים הםהמערכת. של היחידי הפתרון זהו בטוח). קיים הזה הפתרון

שזה ־ טריוויאלי לא פתרון שיש היא השנייה האפשרותהטריוויאלי הפתרון את (יש אחד מפתרון יותר שיש אומרזאת לבדוק ניתן .(0 הם המקדמים כל לא שבו פתרון עוד +משתנים ויש המערכת את מדרגים אם המערכת: דירוג ע"י

. טריוויאלי לא פתרון יש למערכת אזי חופשייםלמשל:

־ טריוויאלי פתרון יש זו למערכת ־

1 2 5 00 2 7 00 0 8 0

אפסים. הם המקדמים שכל היא היחידה האפשרות

טריוויאלי לא פתרון יש זו למערכת ־

1 2 5 0

0 3 2 00 0 0 0

הטריוויאלי לפתרון בנוסף ולכן, ,x2 ־ חופשי משתנה ישנו ־

2

א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

פתרונות. עוד ישנם

גדול הנעלמים מספר הומוגנית במערכת אם משפט:לא פתרון קיים ההומוגנית למערכת אזי המשוואות, ממספר

טריוויאלי.

שורה: שקולת מטריצהלהגיע ניתן אם שקולות מטריצות נקראות B ,A מטריצות

.A ≈` B מסמנים: לשניה. אחת ממטריצה

ריבועית: מטריצההשורות. למספר שווה העמודות מספר שבה מטריצה היינה

.An (F ) אותה: ומסמנים m = n

אבריה שכל ריבועית מטריצה הינה אלכסונית: מטריצהיהיו באלכסון שגם להיות (יכול האלכסון מלבד אפסים

בכולו). לא אבל אפסים,

הפיכות: מטריצותיורחב "הפיכה" המושג (על הפיכה תהיה שמטריצה בשבילהמטריצות כל לכן ריבועית, להיות חייבת היא ־ בהמשך)

ריבועיות.... הן זה בפרק שיוזכרוהפיכה. איננה היא אזי ־ ריבועית שאיננה מטריצה ישנה אם

היחידה: מטריצתאחד הם שלה האלכסון איברי שכל אלכסונית מטריצה הינה

למשל: אפסים, והשאר1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

מודבר כי ־ משנה לא זה אבל ,(In (או .Iב־ אותה ומסמניםהיא היחידה מטריצת אזי A3 (F ) גודל מסדר מטריצות עליחידה מטריצת יש למשל בדוגמא .I3 ־ גודל סדר מאותו גם

.I4

היחידה: מטריצת לגבי כללים כמה.An (F ) לכל A · I = A

סדר (מאותו B מטריצה קיימת אם היפכה מטריצה הינה Aאת לסן נהוג B ·A = I וגם A ·B = I שמתקיים כך גודל).A·A−1 = A−1 ·A = I ש: כך A−1 ב־ ההופכית: המטריצהעוד תיתכן לא כלומר יחידה היא A של ההופכית המטריצה

.A ·D = I ש־ כך מטריצה

ההופכית? המטריצה את למצוא ניתן כיצדשונות: דרכים שתי ישנן

ולהצמיד (הריבועית) המטריצה את לקחת היא ־ הראשונההבא: באופן היחידה למטריצת אותה

a1 a2 a3 1 0 0a4 a5 a6 0 1 0a7 a8 a9 0 0 1

המטריצה. איברי הם ה־a־ים כל כאשר

היחידה מטריצת את שמקבלים עד המטריצה את מדררגיםההופכית המטריצה זאת ימין בצד שקיבלנו מה שמאל, בצד

שלה....

להשתמש נצטרך השנייה הדרך את להראות בשביל ־ השנייהאלמנטרית. מטריצה של בהגדרה

רק עליה שנעשתה יחידה מטריצת היא אלמטרית מטריצהלמשל: אחת, אלמנטרית) פעולה

יחידה מטריצת הינה זאת מטריצה ־

1 0 02 1 00 0 1

.2R1+R2 → R2 אחת: אלמנטרית פעולה רק עליה שנעשתה

מכיוון אלמנטרית מטריצה גם זאת ־

3 0 00 1 00 0 1

.3R1 → R1 אחת: אלמנטרית פעולה רק עליה שנעשתה

־ יווניות באותיות המטריצה על אלו פעולות את לסמן נהוג.A מטריצה על אלמטרית פעולה פירושו ϕ־ (A) :ϕ,ψ

הנ"ל). הסימון (ע"פ E = ϕ (I) אלמטרית: מטריצהמטריצה כופלים אם (ובמילים: E · A = ϕ (A) וכמו־כן:כמו היא התוצאה אז A במטריצה משמאל E אלמנטרית

.A על E של הפעולה ביצוע

הפוכות: אלמנטריות פעולותהופכית אלמנטרית פעולה קיימת ϕ אלמנטרית פעולה לכל

ומתקיים: ,ϕ−1 ־ יחידה.ϕ−1 (ϕ (A)) = A וגם ϕ

(ϕ−1 (A)

)= A

ההופכיות: הפעולות טבלתϕ−1 ϕ

1cRi → Ri c ·Ri → Ri (c 6= 0) .1Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj .2

(−c)Ri +Rj → Rj cRi +Rj → Rj .3E−1 = ϕ−1 (I) אזי E = ϕ (I) אם

אלמנטרית, מטריצה זאת מה שראינו אחרי עכשיו,כך ע"ׁי היא A−1 את למצוא אפשר שדרכה השניה הדרךשורת ישנה אם קנונית3: בצורה המטריצה את שמדרגיםלמטריצת מגיעים אם הפיכה. אינה המטריצה ־ אפסיםהיחידה למטריצה מגיעים (אם הפיכה המטריצה ־ היחידהפעולות ע"י להגיע שניתן כלומר ,A ∼ I לסמן: נהוג

.(I למטריצה A ממטריצה אלמטריותהוא: לזכור שחשוב מהאזי: ־ הפיכה A אם

I = Ek · Ek−1 · · ·E2 · E1 ·Aהחשובות: הנוסחאות ושתי

A = (Ek · · ·E2 · E1)−1

= E−11 · E−12 · · ·E−1k

A−1 = Ek · · ·E2 · E1

למכפלה: לפרק ניתן A ∈Mm×n (F ) מטריצה כל־ C ∈ Mm (F ) ו־ B ∈ Mm×n (F ) כאשר A = C · B

הפיכה. מטריצהB = Ek · · ·E1 ·A

A =(E−11 · E−12 · · ·E

−1k

)︸ ︷︷ ︸C

·B

ל־1. שווים (הפיבוטים) השורות של הפותחים האיברים כל 3כלומר:

לפיבוט. ומתחת מעל אפסים מכילה ,(1 (שהוא פיבוט שמכילה עמודה כל וגם

3

א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

המוחלפת: המטריצהמסומנת המוחלפת הטריצה A ∈Mm×n (F ) מטריצה עבור

הפוך). גודל (סדר At ∈Mn×m (F ) ע"י ומוגדרת At ־למשל:

.At =

1 42 53 6

,A =

[1 2 34 5 6

].At

ij = Aji :1 ≤ j ≤ m ולכל 1 ≤ i ≤ n לכל ההגדרה:תכונות:

:λ ∈ F ו־ A,B ∈Mm×n (F ) עבור:

(At)t

= A (1)

(A±B)t

= At ±Bt (2)

(λ ·A)t

= λ ·At (3)

(A ·B)t

= Bt ·At (4)

הפיכה ריבועית מטריצה A ∈Mn (F ) עבור:

(At)−1

=(A−1

)t(5)(

A−1)t ·At = I (6)

את מקיימת אשר ריבועית מטריצה היא סימטרית: מטריצה.At = A הבא: התנאי

מקיימת אשר ריבועית מטריצה היא אנטי־סימטרית: מטריצה.At = −A התנאי: את

סימטרית: למטריצה דוגמא 1 2 32 4 53 5 8

אנטי־סימטרית: למטריצה דוגמא

האלכסון סימטרית אנטי (במטריצה

0 4 5−4 0 7−5 −7 0

אפסים). תמיד הוא

מטריצות: בכתיב לינארית מערכתהגדרה:

איברים. n עם עמודה וקטור ־ Fn

איברים. n עם שורה וקטור ־ F (n)

x̄ = נעלמים: וקטור ,A ∈ Mm×n (F ) מטריצה נתונה

להציג ניתן אזי ,̄b =

b1...bm

פתרונות: ווקטור

x1...xn

למשל: A · x̄ = b̄ כ־ המערכת 1את 2 6 0

3 4 1 29 0 8 5

·x1x2x3x4

=

241

משפט:

אזי: b ∈ Fn ו־ ריבועית, מטריצה A אםזה ובמקרה הפיכה A ⇔ פתרון יש A · x̄ = b̄ למערכת

.c̄ = A−1 · b̄ הוא: היחיד הפתרון

משפט:למערכת אם ריבועית). (מטריצה A ∈ Mn (F ) תהיהפיכה. A ⇔ טריוויאלי פתרון רק יש A · x̄ = 0̄ ההומוגנית4

משפט:A·x̄ = b̄ המערכת אם ריבועית). (מטריצה A ∈Mn (F ) תהי

הפיכה. A אז ,̄b ∈ Fn לכל תקינה מערכת היא

לסיכום: חשובים דברים כמה

שקולות: הבאות הטענות אזי A ∈Mn (F ) תהי

הפיכה. A .1

אלמנטריות. מטריצות של מכפלה היא A .2

.(Iל־ שקולה A) A ∼ I .3

יחיד. פתרון יש A · x̄ = b̄ למערכת ,̄b ∈ Fn לכל .4

פתרון יש A · x̄ = b̄ שלמערכת כך b̄ ∈ Fn וקטור קיים .5יחידה.

טריוויאלי. פתרון רק יש A · x̄ = 0̄ ההומוגנית למערכת .6

תקינה. מערכת היא A · x̄ = b̄ המערכת ,̄b ∈ Fn לכל .7

הדטרמיננטה:הדטרמיננטה.... של נוסחאות בעיקר אכלול זה, בפרק

אבריה שכל מטריצה הינה עליונה: משולשית מטריצהאפסים: הם הראשי לאלכסון מתחת

a11 a12 · · · a1n

0 a22. . .

......

. . .. . .

...0 · · · 0 ann

.1 ≤ j < i ≤ n לכל Aij = 0 התנאי

כל הפוך: רק רעיון אותו תחתונה: משולשית מטריצהאפסים: הם הראשי האלכסון מעל האיברים

.1 ≤ i < j ≤ n לכל Aij = 0 התנאי

הדטרמיננטה אזי ־ כלשהי משולשית מטריצה לנו יש אםהיא: שלה

מכפלת זה ־n∏

i=1aii ־ (כאשר det (A) = (−1)

n·(n−1)2 ·

n∏i=1

aii

הראשי5). האלכסון אברי

משפט:כאשר A′ = ϕ (A) נגדיר ריבועית. מטריצה A ∈ Mn (F )

:A שורות על אלמנטרית פעולה היא ϕ

אזי: ־ (c 6= 0) cRi → Ri היא: ϕ אם .1.det (A′) = c · det (A)

.det (A′) = −det (A) אזי: Ri ↔ Rj היא: ϕ אם .2

.det (A′) = det (A) אזי: cRi+Rj → Rj היא: ϕ אם .3

.2 בעמוד ההומגנית המערכת על 4הסברים

הנגדי) הראשי האלכסון מכפלת גם להיות יכולה זו 5(בעיקרון

4

א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

המשפטים: מן מסקנות כמה

של גודל הסדר = n) .det (c ·A) = cn · det (A) .1הדטרמיננטה).

det (A) = אזי: בדטרמיננטה זהות שורות שתי ישנן אם .2־ עובדים אנחנו שבו שבשדה לבדוק חשוב (רק .0

.(ch (F ) 6= 2

אחרת שורה של כפולה היא במטריצה אחת שורה אם .3.det (A) = 0 אזי: בסקלר

ביצוע ע"י ל־0 להפוך יכולה לא היא det (A) 6= 0 אם .4אלמנטריות. פעולות

אזי A ∼ B וגם A,B ∈ Mn (F ) אם .5.det (B) = 0⇔det (A) = 0

det (A) 6= 0 אזי והפיכה, ריבועית מטריצה A אם.6

שלמדנו: מה לפי אז אלמנטרית. מטריצה E = (ϕ) תהי

det (E) =

c cRi → Ri : ϕ

−1 Ri ↔ Rj : ϕ

1 cRi +Rj → Rj : ϕנוספים: משפטים כמה

.det (A ·B) = det (A) · det (B) .1

שניתן שכמו להסיק ניתן ומכאן ־ det (At) = det (A) .2העמודות... לגבי גם כך הדטרמיננטה, שורות את לפתח

.det (A+B) 6= det (A) + det (B) .3

det(A−1

)=

1

det (A).4

הגדרה: ,A ∈Mn (F ) ריבועית מטריצה נתונההדרטמיננטה ופירושו mij (A) מסומן: ,A של ijה־ המינורועמודה i שורה השמטת אחרי Aמ־ המתקבלת המטריצה של(n− 1) × של גודל מסדר סמטריצה מדובר לכן .Aמ־ j

.(n− 1)ע"י מוגדר והוא cij (A) מסומן A של ij של המסומן המינור

.cij (A) = (−1)i+j

mij (A) :מסמנים: אזי ריבועית, מטריצה Aש־ נניח

cof (A) =

c11 (A) · · · · · · cn1 (A)

.... . .

. . ....

.... . .

. . ....

c1n (A) · · · · · · cnn (A)

ע"י: ומוגדרת adj (A) מסומנת A של המצורפת המטריצה

.adj (A) = cof (A)t

אזי: הפיכה, A אם

A−1 =1

det (A)· adj (A)

קרמר: שיטת ע"פ פתרוןנסמן: והפיכה, ריבועית A מטריצה עבור

Aמ־ j עמודה הוצאת לאחר המתקבלת המטריצה הינה ־ Aj

במקום. b̄ הפתרונות וקטור והכנסת

.j = 1, . . . , n עבור: xj =det (Aj)

det (A)

וקטוריים מרחבים

תת־מרחבשני לבדוק צריך מרחב תת־ היא קבוצה אם לבדוק בשביל

בסקלר לכפל ביחס וסגירות לחיבור ביחס סגירות דברים:

קבוצה).מבחינת באותה נמצא האפס שוקטור לוודא (וגם

לאכסיומות דומים מאוד מאוד הם ־ והכללים האכסיומות

השדה. וחוקי

חשובים: ומשפטים הגדרות כמה

ויהיו ,F שדה מעל וקטורי מרחב V יהי הגדרה: .1.V ב־ וקטורים α1, . . . , αn

כוקטור מוגדר הנ"ל הוקטורים של לינארי צירוף (א)כאשר t1α1 + . . . + tnαn שהוא: V ב־

.t1, . . . , tn ∈ Fשל לינארי צירוף הוא V ב־ α שוקטור אומרים (ב)ב־ t1, . . . , tn סקלרים קיימים אם α1, . . . , αn

. α = t1α1 + . . .+ tnαn ש־ כך ,Fאזי "מופיעים", הוקטורים כל לא שגם לזכור חשובבסקלר מוכפל הוא מופיע, שלא שוקטור לומר ניתן

.0

קבוצת K = {α1, . . . , αn} וקטורים קבוצת תהי .2הצירופים כל קבוצת זוהי sp (K) אזי ,V ב־ וקטורים

הלינארים:sp (K) = sp {α1, . . . , αn} =

.{t1α1 + . . .+ tnαn |t1, . . . , tn ∈ F}אזי sp {α1, α2, α3} = sp {β1, β2, β3} ש: צ"ל אםצירוף הוא אחת בקבוצה וקטור שכל להראות צריך

וההפך. השניה בקבוצה הוקטורים של לינארי

.V את יוצרת K ש־ אומרים אזי sp (K) = V אם .3

מספר כלומר, וקטורים, של סופית קבוצה היא K אם .4מרחב ־ נקרא V אזי ־ V את יוצר וקטורים של סופיאו F (n) סופית: נוצר למרחב דוגמא סופית. נוצר

.F [X] סופית: נוצר לא למחרב דוגמא F [X]n

5

א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

קיימים אם לינארית תלויה K קבוצה לינארית: תלות .5ש־ כך אפסים כולם שלא t1, . . . , tn ∈ F סקלריםשל ההגדרה נובעת גם מכאן . t1α1 + . . .+ tnαn = 0(בלתי־ בת"ל היא בלתי־תלויה־לינארית וקטורים קבוצתt1α1 + . . . + tnαn = 0 אם ורק אם לינארית) תלויההמקדמים כל (כלומר, t1 = t2 = · · · = tn = 0 ש־ כך

אפסים).

. (1 וקטור שמכילה (קבוצה K = {α} ש־ נניח .6.α = 0 ⇔ לינארית תלויה K אז

.α 6= 0 ⇔ בת"ל K או:

אם ת"ל K אזי וקטורים, משני יותר ישנם Kב־ אם .7אברי שאר של לינארי צירוף הוא Kב־ הוקטורים אחד

.K

היא האפס וקטור את מכילה אשר וקטורים קבוצת כל .8לינארית. תלויה

אחד אם ורק אם ת"ל היא וקטורים שני המכילה קבוצה .9האחר. הוקטור של בסקלר כפולה הוא הוקטורים

אחרות: ובמילים ת"ל, L⇐ ת"ל K אם אזי K ⊆ L אם .10בת"ל. K גם אז בת"ל L אם

אם בת"ל וקטורים של מקסימלית קבוצה נקראת K .11מקיימית: היא

בת"ל. K (א)

Kל־ שייך איננו אך V ל־ ששייך α וקטור לכל (ב)ת"ל. היא K ∪ {α} ־ הקבוצה

ותהי ,F שדה מעל וקטורי מרחב V יהי בסיס: הגדרה: .12אומרים .V מ־ וקטורים קבוצת B = {α1, . . . , αn}

אם: V של בסיס היא Bש־

.V את יוצרת B (א)

בת"ל. B (ב)

לבסיס: שקולות הגדרות .13

.V של בסיס היא B (א)

.V של מינימלית יוצרים קבוצת היא B (ב)

וקטורים של מקסימלית יוצרים קבוצת היא B (ג)בת"ל.

וקטור כל אם ורק אם V של של בסיס היא B (ד)של לינארי כצירוף יחידה להצגה ניתן α ∈ V

.B אברי

במרחב וקטורים של לינארית תלויה בלתי קבוצה כל .14.V של לבסיס להשלמה ניתנת V סופית נוצר וקטורי

.V של בסיס מכילה V של יוצרים קבוצת כל .15

הריקה הקבוצה V = {0} הטריוויאלי: הוקטורי המרחב .16זה. למרחב הבסיס היא) (ורק ־ ∅ ־

בסיס. קיים F שדה מעל סופית נוצר וקטורי מחרב לכל .17

בכל אזי: .F שדה מעל סופית נוצר וקטורי מרחב V יהי .18וקטורים. של מספר אותו את יש V של הבסיסים

.F שדה מעל סופית נוצר וקטורי מרחב V יהי הגדרה: .19ומסומן: V של המימד נקרא: V בבסיס הוקטורים מספר

. dimVדוגמאות:

.dimFn = dimF (n) = n (א)

.dimF [X]n = n+ 1 (ב)

.dimMm×n (F ) = m× n (ג)

אזי: ,dimV = n אם .20

n לפחות להכיל חייב V של יוצרים קבוצת כל (א)וקטורים.

תלויה היא V ב־ וקטורים nמ־ יותר של קבוצה כל (ב)לינארית.

היא וקטורים n שמכילה V של יוצרים קבוצת כל (ג)בסיס). בהכרח היא (כי בת"ל בהכרח

גם היא ,V ב־ בת"ל וקטורים n של קבוצה כל (ד)בסיס). להיות חייבת היא (כי V של יוצרת

dimV = n שאם למעלה למשפטים להוסיף, ניתן .21אזי, ,V ב־ וקטורים קבוצת K = {α1, . . . , αn}ו־

שקולות: הבאות הטענות

.V את יוצרת K (א)

בת"ל. K (ב)

.V של בסיס היא K (ג)

הפיכה A :A ריבועית מטריצה עבור חשוב: משפט עוד .22פתרון רק יש Ax̄ = 0̄ ההומוגנית למערכת ⇐⇒

לנו). (ידוע טריוויאלי

שקולים: הבאים התנאים ־ אזי A ∈Mn (F ) תהי .23

הפיכה. A (א)

.Fnב־ בת"ל וקטורים הם A עמודות (ב)

.Fn את יוצרות A עמודות (ג)

.Fnל־ בסיס מהוות A עמודות (ד)

.F (n)ב־ בת"ל וקטורים הם A שורות (ה)

.F (n) את יוצרות A שורות (ו)

.F (n)ל־ בסיס מהוות A שורות (ז)

לזכור: כדאי:A ריבועית מטריצה עבור

⇔ טריוויאלי לא פתרון יש ⇔ det (A) = 0שהם שאומר (מה לינארית. תלויים הוקטוריםהפיכה. לא A ⇔ וקטורי). למרחב בסיס אינם

⇔ טריוויאלי פתרון יש ⇔ det (A) 6= 0שאומר (מה לינארית. תלויים בלתי הוקטורים

הפיכה. A ⇔ וקטורי). למרחב בסיס שהם

6

א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

נתונה: במטריצה הקשורים וקטורים מרחבים

מטריצה: של האפס מרחב .1מטריצה. A ∈Mm×n (F ) תהי

n משווואת, m] A · x̄ = 0̄ ההומוגנית: במערכת נסתכלנעלמים].

ההומוגנית: המערכות של הפתרונות קבוצתשל האפס מרחב היא S = {c ∈ Fn |A · c̄ = 0}

.Fn של תת־מרחב היא S ־ S ⊆ Fn המטריצה.

מטריצה: של העמודות ומרחב השורות מרחב .2

.1 ≤ i ≤ m לכל ־ r̄i(A) ∈ F (n) :A שורות (א).dim ≤ m

.1 ≤ j ≤ n לכל ־ c̄j (A) ∈ Fn :A עמודות (ב).dim ≤ n

השורות מרחב בעצם הוא A של העמודות מרחב (ג)של השורות במרחב רק לדון מספיק לכן, .At של

המטריצה.

.sp {α1...αi...αn} = sp {α1...c · αi...αn} (ד).0 6= c ∈ F לכל

sp{α1, . . . , αi, . . . , αj , . . . , αn}= sp{α1, . . . , αj , . . . , αi, . . . , αn}

(ה)

sp{α1, . . . , αi, . . . , αj , . . . , αn}= sp{α1, . . . , αi, . . . , αj + c · αi, . . . , αn}

(ו)

פעולה ביצוע האחרונים: משלושת מסקנהאת משנה אינו ,A מטריצה שורות על אלמטרית

המטריצה. של השורות מרחב

שאינן השורות מדורגת, A ∈ Mm×n מטריצה עבור .3.A של השורות למרחב בסיס מהוות אפסים שורות

דרגת נקרא: A של העמודות) (או השורות מימד הגדרה: .4או rank (A) ומסומן: .A של העמודות) (או השורותדרגת גודל, סדר מכל מטריצה, (לכל .r (A) בקיצור:

העמודות). לדרגת שווה השורות

מדרגים ,A של השורות למרחב בסיס למצוא כדי (א)אפסים שורות שאינן השורות את ולוקחים A את

בסיס. בתור המדורגת במטריצה

מדרגים ,A של העמודות למרחב בסיס למצוא כדי (ב)אפסים שורות שאינן השורות את ולוקחים At את

כעמודות. אותן ומציגים המדורגת במטריצה

של העמודות) (או השורות דרגת את למצוא כדי (ג)כמה וסופרים ,(At את (או A את מדרגים ,Aאפסים. שורות אינן המדורגת במטריצה שורות

:A ∈Mm×n (F ) עבור: .5

.0 ≤ rank (A) ≤ min (n,m) (א)

.A = O ⇐⇒ rank (A) = 0 (ב)

(הדבר בת"ל A שורות ⇐⇒ rank (A) = m (ג).(m ≤ n כאשר רק אפשרי

(הדבר בת"ל A עמודות ⇐⇒ rank (A) = n (ד).(n ≤ m כאשר רק אפשרי

(או שורות של המקסימלי הסמפר הוא rank (A) (ה).Aב־ בת"ל עמודות)

.0 ≤ rank (A) ≤ n אז A ∈Mn (F ) אם (ו)הפיכה. A⇔ rank (A) = n אם לכך, ובהמשך

:A ∈Mm×n (F ) , B ∈Mn×k (F ) עבור: (ז)

.rank (A ·B) ≤ rank (A) .i

.rank (A ·B) ≤ rank (B) .iiאותן אז ת"ל, הן A של מסוימות שורות אם

ת"ל. יהיו ABב־ שורותABב־ מסוימות שורות אם אחרות: במילים

בת"ל. הן Aב־ שורות אותן אזי בת"ל, הן

rank (AB) = אז הפיכה B ∈ Mn (F ) אם (ח).rank (A)

rank (CA) = אז הפיכה C ∈ Mn (F ) אם (ט).rank (A)

האינטרפולציה פולינום

ונדרמונדה מטריצת ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ע"פ1 x0 x20 · · · xn01 x1 x21 · · · xn1...

......

......

1 xn x2n · · · xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.n ממעלה פולינום לנו יש לכן ־ נקודות n+ 1 לנו נתונות

המתאימה בשורה שלה xה־ את ומציבים נקודה כל לקוחיםהשניה, בשורה השני את הראשונה, בשורה הראשון xה־ (אתתלוי n ־ (זכרו nה־ עד משנה) ממש לא שהסדר למרות

נקודות). n+ 1 לנו ויש היות הנקודות, במספר(בוקטור השורה. בסוף המתאים במקום מציבים yה־ את

הפתרונות).הפולינום... וזה ־ למטריצה פתרון מוצאים

דוגמא:T = {(0, 2) , (1, 3) , (2, 4)} הנקודות: קבוצת את ניקח

אלו: נקודות שלושת דרך שעובר הפולינום את נמצאהמטריצה ולכן ־ a+ bx+ cx2 שניה: ממעלה פולינום לנו יש

היא: aשלנו b · x0 c · x20a b · x1 c · x21a b · x2 c · x22

=

y0y1y2

ונקבל: ונדרמונדה במטריצת הנקודות את נציב a 0 0 2

a b c 3a 2b 4c 4

⇐=

a b · 0 c · 0a b · 1 c · 12a b · 2 c · 22

=

234

המשוואת שלושת את לפתור זה לעשות שצריך מה כל ועכשיו

לנו): פתורה כבר (שאחת

נקבל וכך המקדמים את =⇐נקבלa = 22 +b +c = 32 +2b +4c = 4

הפולינום... את

לגרנז' של ההצגה ע"פ פתרון

i 6= j לכל xi 6= xj מקיימת: אשר T נקודות קבוצת עבורמתקיים:

פולינום: קיים 0 ≤ i ≤ n לכל

Li (x) =n∏

j=0,j 6=i

(x− xj)(xi − xj)

.(n (ממעלה פולינומים n+ 1 לנו יש נקודות n+ 1 עבור

7

א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

הוא: המבוקש הפולינוםp (x) = y0L0 (x) + y1L1 (x) + . . . + ynLn (x)

(מטריצת הקודמת בדוגמא גם שהיו הנקודות עבורונדרמונדה):

L0 (x) =(x− x1) (x− x2)

(x0 − x1) (x0 − x2)=

(x− 1) (x− 2)

(0− 1) (0− 2)=

1

2x2 − 3

2x+ 1

L1 (x) =(x− x0) (x− x2)

(x1 − x0) (x1 − x2)=

(x) (x− 2)

(1− 0) (1− 2)=

−x2 + 2x

L2 (x) =(x− x0) (x− x1)

(x2 − x0) (x2 − x1)=

(x) (x− 1)

(2− 0) (2− 1)=

1

2x2 − 1

2x

במשוואה הפולינומים את להציב זה שנותר מה כל עכשיופולינום כל לכפול (צריך המבוקש הפולינום את ולקבל למעלה

ולחבר). המתאים yב־

שאלות: לפתור דרכים

לינארית מערכת של תקינות

האם לבדוק ועלינו F במרחב וקטורים לנו שנתונים נניחהוקטורים של לינארים לא צירוף הוא (α) כלשהו וקטור

אם: לבדוק עלינו לא, או הנ"לומכסנים סוגריים פותחים ־ α = t1 · α1 + · · · + tn · αn

האם: נבדוק למשל, איברים,(1, 3, 4) = t1 (1, 2, 6) + t2 (3, 2, 0) + t3 (5, 0, 1)

(1, 3, 4) = (t1 + 3t2 + 5t3) + (2t1 + 2t2) + (6t1 + t3)אם ובודקים המורחבת, המקדמים מטריצת את בונים עכשיו

תקינה: היא

אם ובודקים המטריצה את מדרגים ־

1 3 5 13 2 0 35 0 1 4

של לינארי צירוף הוא α הוקטור כן, אם ־ הפיכה/תקינה היא

לינארי. צירוף לא הוא ־ תקינה לא המערכת אם השאר,וקטור ליצירת התנאים מה לבדוק ניתן בדיוק הדרך באותהוקטור שמקום רק ־ הוקטורים שאר של לינארי צירוף שהוא

־ (a, b, c) נציב: (1, 3, 4) הפתרונות

שיופיע ומה אפסים, שורת לקבל ננסה

1 3 5 a3 2 0 b5 0 1 c

כאן שמופיע מה לא (זה למשל התנאי, זה הפתרונות בוקטורהמחשה): לשם רק בראש שעולה משהו משהו אלא בדוגמא,כזה וקטור ליצירת שהתנאי רואים אנחנו ומכאן a− 2c = 0הוקטור של הכללית הצורה לכן, ,a = 2c ⇒ c = 1

2a הוא:.a, b ∈ R

(a, b, 12a

)הינה:

שום אין ־ אזי תקינה) (והמערכת אפסים שורת לנו אין אם.(a, b, c) a, b, c ∈ R ־ יתאים שנבחר מספר כל תנאי

A מטריצה של האפס מרחב מציאת

הבאה: המטריצה את ניקח דוגמא: 1 2 0 1 32 1 1 −1 13 3 1 0 4

לפתור נצטרך המטריצה של האפס מרחב את למצוא בשביל

המטריצה את נדרג ,A · x̄ = 0 ההומוגנית המערכת אתונקבל: 1 2 0 1 3 0

0 −3 1 −3 −5 00 0 0 0 0 0

שאר את ונמצא אותיות החופשיים למשתנים ניתן כעת,

המשתנים:x5 = 3tx4 = sx3 = 3r

x2 =−x3 + 3x4 + 5x5

3= r − s− 5t

x1 = −2x2 − x4 − x5 = −2r + s+ 7tA · x̄ = 0̄ המערכת של הפתרונות שוקטור מכך לראות ניתן

הוא:

S =

−2r + s+ 7tr − s− 5t3r53t

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣r, s, t ∈ R

:Sב־ איבר של כללית צורה לראות ניתן מכאן

r

−21300

+ s

1−1010

+ t

7−5003

ששלושת בבירור לראות ניתן .S את יוצרים אלו וקטורים

.Sל־ בסיס מהווים הם ⇐ בת"ל הנ"ל הוקטורים.dimS = 3 ־ וכמובן

מטריצה של העמודות ומרחב השורות למרחב בסיסA

המטריצה: את למשל ניקח 1 −1 2 13 1 1 11 3 −3 −1

ונקבל: המטריצה את נדרג 1 −1 2 1

0 4 −5 −20 0 0 0

הוא: השורות למרחב שהבסיס מכאן

.dimA = 2 ,B = {(1,−1, 2, 1) , (0, 4,−5, 2)}תלויות... שאינן שורות שתי כל ־ לבסיס אפשרויות אינוסף ישנעשה שהפעם רק ־ רעיון אותו בדיוק ־ העמודות מרחב לגביהוא: שנקבל מה המטריצה, דירוג אחרי .At שורות על זה את

1 3 10 1 10 0 00 0 0

לבחירת אפשרויות אינסוף (יש ־ B′ =

1

31

, 0

11

.(A של בת"ל עמודות שתי למשל, הבסיס,

.dimB′ = 2

8

א' לינארית אלגברה ־ תשע"בסיכום ־ א' סמסטר

מהאתר: לקוח הסיכוםhttp://www.letach.net

.(http://comp.kef.li נוספת: (כתובת

נתאי. ע"י: נכתב

האתר). (דרך בכך אותי תיעדו אם אשמח טעות? נפלה שגיאה? מצאתם

9