เมทรกซ(matrix) รายวชา นวตกรรมการศกษา

สอนโดย อาจารย ดร.อนชา โสมาบตร

จดท าโดย นางสาวพรพมล จนทรสวาง

รหสนกศกษา 5630501113 ชนปท 2 คณะศกษาศาสตร สาขาวชาคณตศาสตรศกษา

มหาวทยาลยขอนแกน

สารบญ

เรอง หนาท เมทรกซ คอ อะไร 1 ลกษณะการเขยนเมทรกซ 3 ประเภทของเมทรกซ 4 การด าเนนการบนเมทรกซ 7 ดเทอรมแนนตของเมทรกซ 12 เมทรกซผกผน 18 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ 20 แบบฝกหดเสรมสรางความร 25

เอกสารอางอง 27

ค าน า

สมดเลมเลกเลมนเปนสวนหนงของรายวชานวตกรรมการศกษา ซงเปนการน าเอาวชาความรทมอยแลวของเรา มาประยกตใหเขากบโลกสมยใหม โดยใชนวตกรรมทกาวหนามาพฒนาวชาชพใหดขน และเรองทน ามาใหศกษานน คอ เมทรกซ ซงเมทรกซเปนสาขาหนงของพชคณตเชงเสน ซงสามารถน าไปประยกตใชประโยชนตางๆมากมาย หากเนอหามขอบกพรองประการใด กขออภยไว ณ ทนดวย

จดท าโดย นางสาวพรพมล จนทรสวาง

คณตศาสตร เมทรกซ

เมทรกซ คอ

เมทรกซเปนสาขาหนงของพชคณตเชงเสน (linear algebra) ซงสามารถน าไปประยกตใชประโยชนตางๆมากมาย เชน การแกระบบสมการเชงเสน การวเคราะหเชงพชคณตและเรขาคณต ใชจดเกบขอมลตางๆ (MS Excel) ใชในการเกบ -วเคราะหขอมลของโปรแกรมตางๆ (JAVA, C++) รวมถงการวเคราะหเกยวกบอเลกตรอนและอนภาคอนๆในสาขาฟสกสนวเคลยร

เมทรกซ ( Matrix) คอ กลมของจ านวนทน ามาเขยนเรยงกนอยางมระเบยบภายในเครองหมายวงเลบ โดยจ านวนเหลานจะเรยงกนเปนแถว ซงในแตละแถวจะมจ านวนหลกเทากนทกแถว

1

2

เมทรกซ คณตศาสตร

เราเรยกจ านวนทอยในเมทรกซวา สมาชกของเมทรกซ ซงเราจะระบต าแหนงของสมาชกในเมทรกซ โดยบอกแถว (row) และหลก (column) ของสมาชก

เรามกใชตวอกษรภาษาองกฤษตวใหญแทนเมทรกซ และใชตวอกษรภาษาองกฤษตวเลกซงเขยนตวเลข 2 ตวหอยตอไวทางดานขวาแทนสมาชก (เชน aijคอ สมาชกของเมทรกซ A ทอยทแถวท i หลกท j)

ขนาดของเมทรกซจะเรยกวา มตของเมทรกซ โดยเมทรกซทม m แถว n หลกจะมขนาด m x n มต

3

ลกษณะการเขยนเมทรกซ

คณตศาสตร เมทรกซ

4

เมทรกซ คณตศาสตร

ประเภทของเมทรกซ

1. เมทรกซศนย(Zero matrix) คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย เขยนแทนดวย 0

2. เมทรกซแถว (Row matrix) คอ เมทรกซทมแถวเพยงแถวเดยว

คณตศาสตร เมทรกซ

3. เมทรกซหลก (Column matrix) คอ เมทรกซทมหลกเพยงหลกเดยว

4. เมทรกซจตรส (Square matrix) คอ เมทรกซทมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก (มมต n x n)

5

6

คณตศาสตร เมทรกซ

เมทรกซจตรสยงอาจแบงประเภทยอยๆไดเปน

4.1 เมทรกซเอกลกษณ(Identity matrix) คอ เมทรกซจตรส (หรอเมทรกซทแยงมม) ทมตวเลขบนเสนทแยงมมเปน 1 ซงสมมตใหเสนทแยงมมนนลากจากสมาชกบนซายไปยงสมาชกขวาลาง (เฉยงลง) สวนสมาชกทเหลอเปน 0 ทงหมด เขยนแทนดวยสญลกษณ In หรอเพยงแค I (ไอ) สวนทางกลศาสตรควอนตมจะ

4.2 เมทรกซสามเหลยม (Triangular matrix) คอ เมทรกซซงมสมาชกทอยเหนอหรอใตเสน

คณตศาสตร เมทรกซ

7

การด าเนนการบนเมทรกซ

1. การเทากนของเมทรกซ

เมทรกซ A และ B จะเทากนกนได กตอเมอ - A และ B ตองมมตเทากน (m = p และ n = q) - สมาชกทอยในต าแหนงเดยวกนตองมคาเทากน (aij = bij)

2. การบวก-ลบเมทรกซ

การบวก-ลบ เมทรกซท าไดโดยน าสมาชกทต าแหนงเดยวกนมาบวก-ลบ กน ซงเราจะบวก-ลบ เมทรกซ ไดเมอ เมทรกซทน ามาบวก-ลบกน มมตเทากน

คณตศาสตร เมทรกซ

8

3. สมบตเกยวกบการบวกของเมทรกซ

ก าหนด A , B และ C เปนเมทรกซมตm x n 1. สมบตปดของการบวก A , B เปนเมทรกซมต m x n แลว A + B เปนเมทรกซมต m x n 2. สมบตการสลบทของการบวก A + B = B + A 3. สมบตการเปลยนกลมของการบวก (A + B) +C = A + (B + C) 4. สมบตการมเอกลกษณของการบวก จะมเมทรกซ 0 ซงท าให A + 0 = 0+ A = A เรยก 0 วา เอกลกษณของการบวกของเมทรกซ 5. สมบตการมอนเวอรสของการบวก ส าหรบเมทรกซ A จะมเมทรกซ -A ซงท าให A + (-A) = (-A) + A = 0 เรยก -A วา อนเวอรสของการบวกของ A

คณตศาสตร เมทรกซ

9

4. การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง

การคณเมทรกซดวยจ านวนจรงท าไดโดย น าสมาชกทกต าแหนงในเมทรกซคณดวยจ านวนจรงนน

5.การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

ก าหนด A = [a ] ij m n และ B = [b ] ij p q เปนเมทรกซ - เมทรกซ A และ B จะคณกนไดเมอ n = p (จ านวนหลกของ A เทากบจ านวนแถวของ B) - เมทรกซผลคณ A x B จะเปนเมทรกซมต m x q - สมาชกแถวท i หลกท j ของเมทรกซผลคณ A x B จะหาไดโดยการ น าสมาชกในแถวท i ของ A มาคณกบสมาชกในหลกท j ของ B เปนคๆ แลวน ามาบวกกน

10

ก าหนด A , B และ C เปนเมทรกซ 1. สมบตปดของการคณ A , B เปนเมทรกซแลว A x B ยงคงเปนเมทรกซ 2. สมบตการเปลยนกลมของการคณ (A x B) x C = A x (B x C) 3. สมบตการมเอกลกษณของการคณ จะมเมทรกซ I ซงท าให A x I = I x A = A เรยก 0 วา เอกลกษณของการบวกของเมทรกซ 4. สมบตการมอนเวอรสของการคณ ส าหรบเมทรกซ A จะมเมทรกซ A-1 ซงท าให A x A-1= A-1 x A = I เรยก A-1วา อนเวอรสของการบวกของ A (มเฉพาะบางเมทรกซ) 5. สมบตการแจกแจง A x (B + C) = A x B + A x C

ขอควรระวง ! เมทรกซไมมสมบตการสลบทและสมบตการมอนเวอรสส าหรบการคณ ดงนน สมบตทเปนจรงบางประการในระบบจ านวนจรง จะไมเปนจรงในเมทรกซ

คณตศาสตร เมทรกซ

6.สมบตเกยวกบการคณของเมทรกซ

11

คณตศาสตร เมทรกซ

7.ทรานสโพสของเมทรกซ

ทรานสโพสของเมทรกซกคอ การสรางเมทรกซใหมโดยการเปลยนจากแถวเปนหลกนนเอง

สมบตของทรานสโพสของเมทรกซ

ก าหนด A = [a ] ij m n และ B = [b ] ij m n เปนเมทรกซ และ k เปนจ านวนจรงใดๆ 1. (A )t t = A 2. (A บวก/ลบ B)t = At บวก/ลบ Bt 3. (kA)t = kAt 4. (AB)t = Bt x At 5. (Am)t = (At)m 6. (A-1)t = (At)-1

คณตศาสตร เมทรกซ

12

ดเทอรมแนนตของเมทรกซ

ในหวขอน เราจะมาศกษาสมบตอกประการหนงของเมทรกซ นนคอ ดเทอรมแนนต ( determinant) และนอกจากนจะศกษาเกยวกบสมบตของเมทรกซอนๆ ทเกยวของกบดเทอรมแนนท ไดแก ไมเนอร ตวประกอบรวมเกยว (Cofactor) และ เมทรกซผกพน (Adjoint matrix) ดเทอรมแนนต เปนสมบตของเมทรกซจตรส ซงเราจะน าไปใชในการหาเมทรกซผกผนและแกระบบสมการหลายตวแปรตอไป ดเทอรมแนนตของเมทรกซ A เขยนแทนดวยสญลกษณ det(A) หรอ /A/

13

คณตศาสตร เมทรกซ

1.ดเทอรมแนนตของเมทรกซมต 2 x 2 และมต 3 x 3

ก าหนด เมทรกซ A มขนาด 2 x 2 ซง

ก าหนด เมทรกซ A มขนาด 3 x 3 ซง

แลว det(A) จะหาไดโดยการน าหลกท 1 และ 2 ของ A มาเขยนตอจากหลกท 3 และ หาผลบวกของผลคณในแนวเฉยงลง ลบกบผลบวกของผลคณในแนวเฉยงขน จะได

det(A) = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa +idb)

คณตศาสตร เมทรกซ

2. ไมเนอร และ ตวประกอบรวมเกยวของเมทรกซ

ก าหนด A = [a ij ] n x n เปนเมทรกซจตรส เมอ n มากกวาหรอเทากบ 2

ไมเนอร (minor) ของ aij คอ ดเทอรมแนนตของเมทรกซทไดจากการ

ตดแถวท i และหลกท j ของ A ออก เขยนแทนดวยสญลกษณ Mij(A)

ตวประกอบรวมเกยว (cofactor) ของ aij เขยนแทนดวยสญลกษณ Cij

(A) โดย

สมบตของไมเนอร 1. Mij(kA) = kn-1 x Mij(A) 2. Mij(At) = Mji(A)

14

เมทรกซ

15

3. เมทรกซผกผน

ก าหนด A = [a ij ] n x n เปนเมทรกซจตรส เมอ n มากกวาหรอเทากบ 2

เมทรกซผกพน (adjoint matrix) ของ A เขยนแทนดวย

สญลกษณ adj(A) โดย

สมบตของเมทรกซผกพน 1. adj(A) x A = A x adj(A) = det(A) x I

2. adj(kA) = kn-1 x adj(A) 3. adj(A-1) = [adj(A)]-1 4. adj(AB) = adj(B)adj(A) 5. adj(At) = [adj(A)]t

คณตศาสตร

16

2.1 ในกรณทเลอกแถวท i ของเมทรกซ A จะไดวา det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) +... + ainCin(A)

2.2 ในกรณทเลอกหลกท j ของเมทรกซ A จะไดวา det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + ... + anjCnj(A)

คณตศาสตร เมทรกซ

4. ดเทอรมแนนตของเมทรกซมต n

ส าหรบเมทรกซมต n x n (n มากกวาหรอเทากบ 2 ) เราสามารถหาดเทอรมแนนตได โดยวธการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวหรอหลก ซงมขนตอนดงน 1. เลอกแถวหรอหลกของเมทรกซ An x n ขนมา 1 แถว 2. หาคาดเทอรมแนนตตามสตร โดยแบงออกเปนสองกรณ

เมทรกซ

17

ก าหนด A และ B เปนเมทรกซจตรสมต n x n และ k เปนจ านวนจรงใดๆ

1. det(At) = det(A) 2. det(kA) = kn det(A) 3. det(AB) = det(A) x det(B) 4. det(Am) = [det(A)]m 5. det(A-1) = 1/det(A) 6. det(I) = 1 , det(0) = 0 7. det(adj(A)) = [det(A)]n-1 8. det(A) = 0 9. ถา A เปนเมทรกซ

สามเหลยมแลว det(A) จะ

เทากบผลคณของสมาชกใน

แนวเสนทแยงมมหลก

(A และ B ตองเปนเมทรกซจตรสทมมตเทากน)

(เมอ A-1หาคาได)

เมอ - มบางแถว (หรอบางหลก) ของเมทรกซเปนศนยทงหมด - มบางแถว (หรอบางหลก) ของเมทรกซซ ากน - มบางแถว (หรอบางหลก) ของเมท

รกซเปน k เทาของอกแถว (หรอ

หลก)

5. สมบตของดเทอรมแนนต

คณตศาสตร

18

ก าหนด A เปนเมทรกซจตรสมต n x n แลว เมทรกซผกผนของเมทรกซ

A คอ

1. เมทรกซผกผนของเมทรกซมต 2 x 2 ก าหนด แลว

เมทรกซผกผน (อนเวอรสการคณ) ของเมทรกซ A คอ

2. เมทรกซผกผนของเมทรกซมต n x n

คณตศาสตร เมทรกซ

เมทรกซผกผน

19

ก าหนด A, B เปนเมทรกซไมเอกฐาน m เปนจ านวนเตมบวก และ k

เปนจ านวนจรงใดๆ

1. A x adj(A) = adj(A) x A = det(A) x I 2. (kA)-1 = 1/k(A-1) 3. (A-1)t = (At)-1 4. (A-1)m = (Am)-1 5. (A x B)-1 = B-1 x A-1 6. det(A-1) = 1/det(A)

คณตศาสตร เมทรกซ

3. สมบตของเมทรกซผกผน

20

คณตศาสตร เมทรกซ

การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ

1. ระบบสมการเชงเสน

ส าหรบระบบสมการเชงเสนทม n ตวแปร m สมการ ซงม x1, x2, x3, ... , xnจะมรปแบบเปน

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

ซงผลลพธทจะเกดขนจากระบบสมการจะแบงได 3

แบบ คอ

ระบบสมการมค าตอบเดยว

คณตศาสตร เมทรกซ

21

ระบบสมการมค าตอบเปน

จ านวนอนนต

ระบบสมการไมมค าตอบ

22

พจารณาระบบสมการเชงเสน 3 ตวแปร 3 สมการ ax + by + cz = m dx + ey + fz = n gx + hy + iz = p

ซงเราสามารถเขยนเปนสมการเมทรกซไดเปน

เมทรกซ คณตศาสตร

2. การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซผกผน

การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซผกผน

จะอยในรป A x X = B โดยเราเรยกเมทรกซ A วา เมทรกซ

สมประสทธ ( Coefficient Matrix) เรยก เมทรกซ B วา เมทรกซคาคงตว

และเรยกเมทรกซ X วา เมทรกซตวแปร ซงสามารถหาค าตอบของสมการ

เมทรกซนไดจาก X = A-1 x B (เมอ A-1 หาคาได)

เมทรกซ คณตศาสตร

23

3.การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคารเมอร

ก าหนดระบบสมการเชงเสน n ตวแปร n สมการ โดย AX = B

(A เปนเมทรกซสมประสทธ X เปนเมทรกซตวแปร และ B เปนเมท

รกซคาคงตว) เปนสมการเมทรกซซงสมพนธกบระบบสมการดงกลาว

ถา det(A) ไมเทากบ 0

เมทรกซ คณตศาสตร

24

4.การแกระบบสมการเชงเสนโดยใช Row-Operation

พจารณาการแกระบบสมการเชงเสน 2 ตวแปร 2 สมการ เทยบ

กบการด าเนนการกบเมทรกซทสรางขนใหม (เรยกเมทรกซนวา เมทรกซ

แตงเตม : augmented matrix)

จบบทเรยนแลวจา อยาลมท าแบบฝกหดดวยนะ

คณตศาสตร เมทรกซ

25

แบบฝกหดเสรมสรางความร

ลองท าๆ

ไมยากๆ แกสมการ

งายนดเดยว

4. ถา = จงหา x, y, z

5. ถา = จงหา x, y

6. จงหาจ านวนจรง x และ y ทท าให A = B เมอก าหนดให

A = และ B =

142

23 yx

z42

513

14

5yx

yx4

53

4

2 31

yx

x

1

30

y

26

ก าหนด A = , B = จงหา 1. 2A + 2B

2. 2 ( A + B )

3. 3A + 5A

4. ( 3 + 5 ) A

5. 0 A

6. ( 2 3 ) A , 2 ( 3A )

10

12

21

53

ปรศนานาคด

คณตศาสตร เมทรกซ

27

เอกสารอางอง

http://www.clipvidva.com/wp-

content/uploads/

downloads/2012/12/Matrix.pdf

คณตศาสตร เมทรกซ