Производная сложной функции

Репетитор по математике Фельдман Инна Владимировна

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

1

22

Понятие функции

3333


𝑿 𝒀

44444


𝑿 𝒀

𝒙 𝒚

55555


𝑿 𝒀

𝒙 𝒚𝒚=𝒇 (𝒙)

66666


𝑿 𝒀


Область определения

77777


𝑿 𝒀


Область определения Множество значений

88888


𝑿 𝒀


Область определения Множество значений

Соответствие между числовым множеством X и числовым множеством Y, при котором каждому элементу множества

X соответствует единственный элемент множества Y называется числовой функцией.

9



1010


𝒙 𝒚𝒚=𝒇 (𝒙)Аргумент

(независимая переменная )Значение функция

(зависимая переменная )

111111



𝒇 (𝒙 )=𝒙𝟓

Аргумент(независимая переменная )

Значение функция(зависимая переменная )

12121212


𝒙 𝒚𝒚=𝒇 (𝒙)Аргумент(независимая переменная )

Функция(зависимая переменная )

𝒇 (𝒙 )=𝒙𝟓

𝟑𝒚=𝒇 (𝟑 )=𝟑𝟓 𝟐𝟒𝟑

13131313


𝒙 𝒚𝒚=𝒇 (𝒙)Аргумент(независимая переменная )

Функция(зависимая переменная )

𝒇 (𝒙 )=𝒙𝟓

𝟑𝒚=𝒇 (𝟑 )=𝟑𝟓 𝟐𝟒𝟑

𝒚=𝒇 (𝟐𝒌 )=(𝟐𝒌)𝟓𝟐𝒌 𝟑𝟐𝒌𝟓

14

Понятие сложной функции

𝒇 (𝒙 )=(𝒔𝒊𝒏𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒙 )𝟓

15



𝒙 𝒖 𝒚𝒖=𝒈(𝒙)

𝒈 (𝒙 )=𝒔𝒊𝒏𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒙

1616





𝒚=𝒇 (𝒖)

𝒇 (𝒖 )=𝒖𝟓

17171717





𝒚=𝒇 (𝒖)

𝒇 (𝒖 )=𝒖𝟓

𝑿 𝑼 𝒀

18181818





𝒚=𝒇 (𝒖)

𝒇 (𝒖 )=𝒖𝟓

𝑿 𝑼 𝒀Пусть функция определена на множестве и – множество

значений этой функции. Пусть областью определения функции является множество (или его подмножество).

Поставим каждому числу из множества число Тем самым на множестве будет задана функция Ее называют

композицией функций или сложной функцией.

19


𝒇 (𝒙 )=(𝒍𝒏(𝒔𝒊𝒏𝒙 ))𝟑

2020202020



𝒙 𝒖𝒖=𝒈(𝒙)

𝒈 (𝒙 )=𝒔𝒊𝒏𝒙𝑿 𝑼

212121212121



𝒙 𝒖 𝒗𝒖=𝒈(𝒙)

𝒈 (𝒙 )=𝒔𝒊𝒏𝒙𝑿 𝑼

𝒗=𝒑 (𝒖)

𝒑 (𝒖 )=𝒍𝒏(𝒖)𝑽

222222222222



𝒙 𝒖 𝒗𝒖=𝒈(𝒙)

𝒈 (𝒙 )=𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇 (𝒗 )=𝒗𝟑

𝑿 𝑼 𝒀

𝒚𝒚=𝒇 (𝒗 )𝒚=𝒑 (𝒖)

𝒑 (𝒖 )=𝒍𝒏(𝒖)𝑽

23

Как отличить сложную функцию от комбинации элементарных функций

,

2424


, 𝒚=𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟑 𝒙𝟐

252525


,

26262626


,

2727272727


,

Если аргументом элементарной функции

является не , а функция от , следовательно, мы

имеем дело со сложной функцией.

2828282828

Производная сложной функции

𝒚=𝒇 (𝒈 (𝒙 ))

𝒙 𝒖 𝒚𝒖=𝒈(𝒙) 𝒚=𝒇 (𝒖)

𝑿 𝑼 𝒀

292929292929


𝒚=𝒇 (𝒈 (𝒙 ))

𝒙 𝒖 𝒚𝒖=𝒈(𝒙) 𝒚=𝒇 (𝒖)

𝑿 𝑼 𝒀Производная сложной функции вычисляется по

формуле:

или

30

Таблица производных

3131


,

3232


,

3333


,

3434


,

3535


,

3636


,

3737


,

3838


,

3939


,

4040


,

4141


,

4242


,

4343


,

4444


, ,

45


4545

Найти производную функции

,

4646


4646


, 1. Запишем корень в виде степени:

4747


4747



4848


4848



2. Выявим внешнюю функцию:

4949


4949




5050


5050




5151


5151




5252


5252




5353


5353


,

545454


5454


, 1. Выявим внешнюю функцию:

555555


5555



565656


5656



2. Найдем производную:

57575757


5757




585858


5858



2.

5959595959


5959




60606060


6060


,

6161616161


6161



6262626262


6262



2.

6363636363


6363



646464646464


6464



656565656565


6565



66666666666666


6666


,

6767676767676767


6767


, 1. Преобразуем выражение:

686868686868686868


6868



696969696969696969


6969



707070707070707070


7070




717171717171717171


7171




Это производная произведения:

727272727272727272


7272





737373737373737373


7373





747474747474747474


7474





757575757575757575


7575





767676767676767676


7676





777777777777777777


7777





787878787878787878


7878





797979797979797979


7979


,

80808080808080808080


8080


, 1. Возьмем от обеих частей равенства

8181818181818181818181


8181



8282828282828282828282


8282



2. Вынесем показатель степени за знак логарифма:

8383838383838383838383


8383




3. Возьмем производную:

8484848484848484848484


8484





8585858585858585858585


8585





8686868686868686868686


8686





8787878787878787878787


8787





4. Найдем производную произведения:

8888888888888888888888


8888


,


898989898989898989898989


8989


,


909090909090909090909090


9090


,


919191919191919191919191


9191


,


,

929292929292929292929292


9292


,


,

939393939393939393939393


9393


,


,

949494949494949494949494


9494


,


,

959595959595959595959595


9595


,


,

96

97

989898989898989898989898


9898



,

99999999999999999999999999


9999



,

Education

Производная сложной функции