УДК 517.5

Э. А. Локтионова, М. С. Серпилина

НЕКОТОРЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ФУНКЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЭКОНОМИКЕ

В данной статье рассматриваются модели математических функций, используемых в экономических исследованиях. В ней отражены взгляды представителей научных школ экономической теории.

Ключевые слова: модели экономического роста, факторы производства, теория производительности,

функция полезности, функция издержек, экономические издержки, минимизация затрат, производственная функция, функция Кобба-Дугласа, производственная функция Тинбергена, коэффициент эластичности.

UDC 517.5

E.A.Loktionova, M.S.Serpilina

SOME MULTIDIMENSIONAL FUNCTIONS IN ECONOMY

In the article mathematical functions models used in economic researches are considered. The viewpoints of

representatives of scientific schools of economic theory are reflected. Keywords: models of economic growth, production factors, productivity theory, utility function, costs function,

economic costs, expenses minimization, production function, Kobb-Duglas function, Tinbergen production function, elasticity factor.

Математические функции широко применяются в экономической теории и практике. Количество ис-

пользуемых функций весьма разнообразно: от простейших линейных до функций, которые получаются по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений и связывают состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

В конце 60-х начале 70-х годов 20-го столетия общество обратило внимание на модели экономического роста, которые разрабатывались по принципам неоклассических теорий. Их создатели старались решить про-блемы равновесного и устойчивого роста экономики, найти способы достижения динамического равновесия, используя при этом математическую основу. Основное значение этих моделей состоит в том, чтобы найти спо-собы достижения цели оптимального роста экономики.

Российские ученые рассматривают экономику как целостную, неструктурированную единицу, на входе которой поступают ресурсы, а на выходе получается результат функционирования экономики в форме валового выпуска (продукта). Ресурсы рассматриваются как аргументы, а валовый выпуск – как функция, на основе ко-торой разрабатывают модели межотраслевого баланса, преимуществом которых является их динамический ха-рактер. На основе этих моделей вычисляют межотраслевые пропорции, валовой и конечный продукт, производ-ственное и личное потребление [4].

Модели экономического роста, разработанные на Западе, сначала носили статический характер и были двухотраслевыми. Если параметры производственной функции не меняются во времени, то такая модель – ста-тична. Со временем в них стали применять некоторые реальные факторы, которые могли повлиять на экономи-ческий рост (например, деньги, акции, финансовые активы). Модели экономического роста состоят из трех подсистем: домашнего хозяйства, сферы предпринимательства и государственного сектора. Такие модели стро-ятся на основе отдельных кейнсианских, монетарных и других концепций.

Значительный вклад в развитие моделей экономического роста внесли работы известных ученых Д. Ф. Неймана, В. Фелпса («Золотое правило экономического роста», 1961 г.), Р. Дорфмана, П. Самуэльсона, Р. Солоу («Линейное программирование и экономический анализ», 1958 г.), Я. Тинбергена («Математические модели экономического роста», 1962 г.) и другие.

Наряду с трехфазными существуют модели смешанного типа, в которых совместно объединены теории потребления, капитала, денег, занятости и т.д. Такие модели называются гамильтоновской экономикой, по-скольку в них занесен принцип детерминированности движения из физики. В них широко используются также элементы теории принятия решений и теории игр. Тем самым совершенствуется аппарат исследования, обога-щаясь математическими моделями с элементами теории принятия решений и теории игр.

Среди производственных функций выделяют двухфакторную, определяющую зависимость общей вели-чины национального продукта (национального дохода) от затрат капитала, труда, земли.

Производственная функция в общем виде выглядит следующим образом: (1)

где K – накопленный труд в форме производственных фондов (капитал);

L – настоящий (живой) труд; X – валовой выпуск (либо валовой внутренний продукт, либо национальный доход). Производственная функция называется неоклассической, если она удовлетворяет следующим четырем

условиям: 1) при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

2) , с ростом ресурсов выпуск растет;

3) , с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

4) при увеличении одного из ресурсов выпуск растет.

Наиболее распространенной производственной функцией, используемой в экономике, является муль-типликативная функция Кобба-Дугласа, имеющая следующий вид:

(2)

где α и β – неотрицательные числа, удовлетворяющие условию α + β ≤ 1; K – капитал (объем фонда в стоимостном выражении); L – объем трудовых ресурсов. Функция (2) является наиболее простой двухфакторной моделью производственной функции, с помо-

щью которой раскрывается взаимосвязь труда (L) и капитала (К). Эти факторы взаимозаменяемые и взаимодо-полняемые. Из экономический смысл заключается в следующем: α – эластичность выпуска по капиталу; β – эластичность выпуска по труду.

Функция (2) является дифференцируемой, экономический смысл ее производных состоит в следу-ющем: частная производная функции по переменной К называют предельный капитал (предельная фондо-отдача):

(3)

Частная производная функции Кобба-Дугласа по труду представляет экономически предельную произ-

водительность труда: (4)

В качестве примере рассмотрим функцию вида: Y = K0.5L0.5, при K = 4, L = 25. Требуется определить

величину предельной производительности труда: Для решения этой задачи будем использовать формулу (4), после дифференцирования подставив зна-

чения K = 4, L = 25, получим:

YL' = K0.5*0.5L0.5-1 = 1/2*(√K/√L) = 1/2*(√4/√25) = 1/5 В 1928 году американские ученые — экономист П. Дуглас и математик Ч. Кобб — создали макроэко-

номическую модель, с помощью которой стало возможным оценивать вклад различных факторов производства в расширение объема производства или величины национального продукта.

Данная функция строится при допущении об абсолютной взаимозаменяемости труда и капитала, о постоянной отдаче каждой единицы любого фактора.

На основе анализа коэффициентов эластичности в производственной функции Кобба - Дугласа можно выделить:

1) пропорционально возрастающую производственную функцию, когда (α+ β=1); 2) непропорционально – возрастающую (α+ β>1); 3) убывающую (α+ β<1).

Дальнейшее изменение производственной функции Кобба — Дугласа связано с явным учетом в ней влияния научно-технического прогресса. Один из возможных видов таких функций — производственная функ-ция Тинбергена, в которой научно-технический прогресс учитывается через показательную функцию:

(5)

где δ – коэффициент эластичности выпуска продукции в зависимости от инновации. Ян Тинберген считает главными параметрами экономического роста норму отдачи по приросту про-

дукции и долю чистых инвестиций. Эти параметры не произвольны, они зависят от научно-технического про-гресса, совокупности экономических отношений, определенных изменений в структуре производства и создав-шейся ситуации на мировом рынке. Тинберген считает, что капитал является единственным узкоотраслевым фактором [1].

Наряду с производственной функцией в экономике также используются другие многомерные функции. Например, функция полезности (функция предпочтения) есть зависимость результата, эффекта некоторого дей-ствия от уровня (интенсивности) этого действия. Она также является неубывающей функцией.

В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, заключающаяся в том, что каждый из них, осуществляя выбор наборов благ при заданных ценах и имеющемся доходе, преследует одну главную цель – увеличить уровень удовлетворения своих потребностей до максимума. Для определения предпочтений эконо-мических субъектов используют функцию полезности:

(6)

где X1 – количество продукта первого вида, которое готов приобрести потребитель; X2 – количество продукта второго вида, которое готов приобрести потребитель. Выбирая между различными наборами благ, потребитель, скорее всего, предпочтет те из них, полез-

ность которых будет больше. Поэтому функцию полезности иногда также называют функцией предпочтений. Основоположным условием замысла функции полезности является осмысленное поведение потребите-

ля, выражающееся в выборе из огромного количества альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокую степень полезности. В микроэкономике замысел функции полезности служит для того, чтобы осмыс-лить поведения потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике его используют в качестве изображения предпочтений государственных интересов.

Функция издержек (формула 7) – есть зависимость издержек в стоимостной форме выражения от объе-мов выпускаемой продукции. Она также неубывающая.

(7) Экономические издержки выпуска товара зависят от числа используемых ресурсов и цен на услуги

факторов производства. Если предприниматель использует не приобретаемые, а собственные ресурсы, то в этом случае цены должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения для истинного выражения ве-личины затрат. Функция издержек описывает связь между производством продукции и минимально возмож-ными затратами, необходимыми для его осуществления. Технология и цены на производственные ресурсы в большинстве случаев берутся как данные при выражении функции издержек. Изменение цен на какой-либо ресурс или употребление усовершенствованной технологии выразится на величине минимальных затрат при выпуске такого же объема продукции. Функция издержек связана с производственной функцией. Минимизация затрат для производства любого данного объема продукции несколько зависит от производства максимально возможного объема продукции при данном сочетании факторов [3].

Помимо перечисленных функций существуют еще многомерные функции с экономическим содержа-нием. Рассмотрим их на следующих примерах.

Пусть предприятие имеет участок производства и склад. Склад обеспечивает ритмичность работы – ес-ли продукцию не удается сбыть сразу, то ее можно хранить на складе. Наличие склада приводит к издержкам хранения. В простейшем случае эти издержки за единицу времени пропорциональны числу изделий I, храня-щихся на складе, то есть они равны произведению издержек хранения одного изделия в течение одной единицы времени на число изделий: Издержки производства за единицу времени в простейшем случае также равны произведению – число произведенных за единицу времени изделий U на себестоимость производ-ства одного изделия C.

К этим издержкам добавляются еще дополнительные расходы K (расходы в единицу времени на под-держание рабочего состояния предприятия), они практически не зависят от интенсивности работы и включают на охрану, дежурных рабочих и т. д. Все издержки за единицу времени получаются равными общей сумме.

Пусть M — общее количество денег в обращении, V — скорость их обращения, Q— количество товар-ных сделок, P — уровень цен. Эти величины могут быть связаны функциональной зависимостью вида:

(7)

Отсюда, правая часть данного уравнения является товарной и показывает объем реализованных на рынке товаров, а левая – денежная, показывает количество денег, уплаченных при покупке товаров. Связывая все эти величины, получим уравнение денежного обращения — основное уравнение классической количе-ственной теории денег, так называемое макроэкономическое уравнение обмена Фишера.

Любая из переменных M, V, P, Q может рассматриваться, как функция трех остальных. Например, Видим, что если правительство увеличит количество денег M в обращении в 2 раза (т. е. просто деньги

напечатают), то и цены возрастут в 2 раза (при условии, что остальные величины, т. е. V и Q, останутся неиз-менными). Такие действия чаще всего и есть причина инфляции [2].

Как свидетельствует экономическая теория, в экономике действуют устойчивые количественные зако-номерности, поэтому возможно их строго формализованное математическое описание. Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную стороны. Предвидеть их возможно лишь на осно-ве концептуальных моделей развития экономики, опирающихся на прошлый опыт. В свою очередь концепту-альные модели и составляют фундамент математических моделей. Таким образом, для выработки правильных экономический решений необходим скрупулезный учет как всего прошлого опыта, так и результатов, получен-ных по концептуальным и математическим моделям, наиболее адекватным данной экономической ситуации.

Список литературы:

1. Электронная библиотека [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.bibliotekar.ru . Дата об-ращения: 30. 04. 2013.

2. Образовательно-справочный сайт по экономике [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://50.economicus.ru Дата обращения: 30. 04. 2013..

3. Колемаев, В.А. Математическая экономика [Текст] /В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ, 2005. -342с.

Серпилина Маргарита Сергеевна студентка 1 курса финансово-экономического факультета

Орловского государственного института экономики и торговли е-mail: Rita_Serpilina@mail.ru

Локтионова Эльвира Анатольевна

к. п. н., доцент кафедры математики, анализа и статистики Орловского государственного института экономики и торговли

т: 8(4862)416145