آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ارشد)

:مدرس

فرشید شیرافکن

دانشگاه تهران دانشجوی دکتری (بیو انفورماتیک: دکتری( )کامپیوتر نرم افزار: کارشناسی و کارشناسی ارشد )

کنکور کارشناسی ارشد رابطه های بازگشتی

1

رابطه های بازگشتی در طراحی گسستهالگوریتم و ساختمان

faradars.org/fvsfte102

فرادرس

FaraDars.org

رابطه های بازگشتی

fact (n){if (n==0)

return 1;else

return n*fact(n-1);}

1)1(1

00)(

nnT

nnT

2

:فاکتوریلتابعدرضرب هاتعدادبرایبازگشتییرابطهیک



فرادرس

FaraDars.org

رابطهزیر،هایعبارتازیککدامباشد،Mystery(n)توسطشدهچاپهایستارهتعدادT(n)اگر

دهند؟مینشاندرستیبهراT(n)بازگشتی

(87دولتی -ITمهندسی )

void mystery(int n) {

if (n>=2) {

mystery (n-1);

print "***";

mystery (n-2);

print "****";

mystery (n-1);

}

}

1)T(n) = 1 + T(n-3) + 2 + T(n-4) +

12)T(n) = 5 T(n-1) + 4 T(n-2)

3)T(n) = 3 T(n-1) + 4 T(n-2)

4)T(n) = 2T(n-1) + T(n-2) + 7

3



فرادرس

FaraDars.org

4

:استزیرصورتبههاخرگوشجمعیترشدمدلوداردوجودنوزادمادهونرخرگوشجفتیکجزیرهیکدر

.رسندمیبلوغسنبهتولدازپسماهیکهاخرگوش(الف)ردیگخرگوشجفتیکبالغ،خرگوشجفتهرماهههمهبعدبهآنازوبلوغسنبهرسیدنازپسماهیک(ب)

.کندمیتولید.میرندنمیهرگزهاخرگوش(ج)

دهد؟مینشانامnماهشروعدرراهاخرگوشتعدادزیربازگشتیروابطازکدامیک

1)2)

3)4)

1)2(,1)1(

3),2()1()(

ff

nnfnfnf

1)1(

2),1(2)(

f

nnfnf

2)2(,1)1(

3),2(2)(

ff

nnfnf

1)2(,1)1(

3),2()1(2)(

ff

nnfnfnf

(91دولتی -علوم کامپیوتر)



فرادرس

FaraDars.org

5



فرادرس

FaraDars.org

برج هانوی

6

12 n

na

1

12

1

1

a

aa nn11 1 nnn aaa



فرادرس

FaraDars.org

7

(89دولتی -مهندسی کامپیوتر)

صورتبهراF(1,1)مقداربخواهیمرابطهاینازاگر.بگیریدنظردررازیربازگشتیهایرابطه؟دهیمانجامبایدرا"جمع"عملبارچندکنیم،حسابکارا

F(x,0)=F(x+1,0) + F(x+1,1) , if x<n

F(x,1)=2F(x+1,0) + F(x+1,1) , if x<n

F(n,0)=1

F(n,1)=0



فرادرس

FaraDars.org

پاسخ

:n=3ازایبه،F(1,1)محاسبهمثال

F (x , 0) = F (x+1 , 0) + F (x+1 , 1) , if x < 3

F (x , 1) = 2*F(x+1 , 0) + F (x+1 , 1) , if x < 3

F (3 , 0) = 1

F (3 , 1) = 0

عملدومرحلههردر.رسیممیجواببهمرحلهn-1ازبعدوکردشروعبایدF(n,1)وF(n,0)از،F(1,1)محاسبهبرای:بااستبرابر،F(1,1)محاسبهبرایجمععملانجامدفعاتتعدادپس.آخرمرحلهازغیربهاستنیازجمع

8

)(321)1(2 nOnn



فرادرس

FaraDars.org

روش های حل رابطه های بازگشتی

جایگذاریباتکرار-1

بازگشتدرخت-2

اصلیقضیه-3

همگنبازگشتیهایرابطه-4

9



فرادرس

FaraDars.org

10

تکرار با جایگذاری



فرادرس

FaraDars.org

.کنیدحلفرضبارابازگشتیرابطه T(n) T(n 1) n T(1) 1

n

i 1

T(n) n T(n 1)

n (n 1) T(n 2)

n (n 1) (n 2) T(n 3)

....

n (n 1) (n 2) ... 2 T(1)

n (n 1) (n 2) ... 2 1

n(n 1)i

2

11

مثالرابطه های بازگشتی در طراحی

گسستهالگوریتم و ساختمان faradars.org/fvsfte102

فرادرس

FaraDars.org

چیست؟زیرالگوریتمزمانیمرتبه

A(n){if(n>0) {

A(n-1);print(n);A(n-1);}

}

1)

2)

3)

4)


n2

2n

n22

nlogn 2

12



فرادرس

FaraDars.org

13

12

122...2

122...2)(2

...

122)3(212))1)3(2(2

12)2(21))1)2(2(2

1)1(2)(

21

21

232

2

n

n

nn nnT

nTnT

nTnT

nTnT

)2()( nnT



فرادرس

FaraDars.org

درست است؟T(n)کدام یک از موارد زیر درمورد

1T(n) T(n 1) ,n 1

n

T(1) 1

1)

2)

3)

4)

T(n) O(n)

T(n) O(logn)

T(n) O(Lnn)


)()( 2nOnT

n

knTnT )1()( )ln(.)( nknT

14



فرادرس

FaraDars.org

15

n

nnn

Tnnn

nTnnn

nTnn

nTn

nT

ln

1

1

2

1...

2

1

1

11

)1(2

1...

2

1

1

11

....

)3(2

1

1

11

)2(1

11

)1(1

)(



فرادرس

FaraDars.org

در مورد مرتبه بزرگی تابع بازگشتی کدام مناسبتر است؟

1)

2)

3)

4)


)1(

1)1()(

nn

nnTnT

0)0( T

)n(O)n(T

)n(lnO)n(T

)n

1(O)n(T

)n(O)n(T

n

1)1n(T

)1n(n

1n)1n(T)n(T

16



فرادرس

FaraDars.org

f(n)ت؟اسصحیحگزینهکدام.استشدهمحاسبهزیربازگشتیرابطهمطابقالگوریتمیاجرایزمان

2f (n) n nf (n 1)

f (1) a

1)

2)

3)

4)

nf (n) (2 )

f (n) (n!)

n!f (n) (2 )

2f (n) (n!)

(84دولتی -هوش -مهندسی کامپیوتر)

2f (n) (n!) (n!) n n. ((n 1)!) (n!)

17



فرادرس

FaraDars.org

2:تکرارباجایگذاریروش

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

f (n) n nf (n 1)

n n[(n 1) (n 1)f (n 2)]

n n(n 1) n(n 1)f (n 2)

n n(n 1) n(n 1)[(n 2) (n 2)f (n 3)]

n n(n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2)f (n 3)

n n(n 1) n(n 1)(n 2) ... kn!

f:بنابراین (n) (n!)

18



فرادرس

FaraDars.org

بازگشتیرابطه جواب

nT(n) b c

k

nT(n) T( ) b

a

T(1) c ,a 1

naT(n) lg b c

aT(n) T(n 1)

n T(n) a.ln(n)

T(n) aT(n 1) b

T(0) c

nna 1

T(n) b a ca 1

نکته

19

T(n) T(n k) b

T(0) c



فرادرس

FaraDars.org

20

درخت بازگشت



فرادرس

FaraDars.org

(recursion tree)روش درخت بازگشت

.کردحلیاحدسرابازگشتیهایرابطهتوانمیروشاینکمکبه

ازطحسهردرکهراثابتیمقدارنیزوبازگشتیعبارتیکگذاریجاینحوهروشایندر،سطوحتمامثابتمقادیرکردنجمعبا.شودمیدادهنشانآیدمیدستبهعبارتآن

.آیدمیبدستجواب

راحلوتقسیمالگوریتمیکاجرایزمانبازگشتی،رابطهکهزمانیبازگشتهایدرخت.هستندمفیدکندمیتوصیف

21



فرادرس

FaraDars.org

:رسم درخت بازگشت T(8)n

T(n) 2T( ) n2

T(1) 1

22

مثال

T(8) 2T(4) 8 T(4) 2T(2) 4

T(2) 2T(1) 2



فرادرس

FaraDars.org

nT(n) 2T( ) n

2

T(1) 1

:هزینه

(8) (4 4) (2 2 2 2) (1 1 1 1 1 1 1 1) 4 8 32

23



فرادرس

FaraDars.org

nT(n) 2T( ) n

2

T(1) 1

24

مثال

(lgn 1) n nlgn n

:حل رابطه بازگشتی



فرادرس

FaraDars.org

n nT(n) T( ) T( ) cn

a b

hi

i 0

1 1n ( )

a b

) (و ارتفاع سمت راست ) ( حداکثر مقدار بین ارتفاع سمت چپ : ارتفاع درخت

: جمع ضریب ها برابر با یک

: جمع ضریب ها کمتر از یک

nalog

nblog

T(n) (nlgn)

T(n) (n)

25

فرمول



فرادرس

FaraDars.org

جواب رابطه بازگشتی n 9n

T(n) T( ) T( ) n10 10

hi

i 0

hi

i 0

1 9T(n) n ( )

10 10

n (1) (nlgn)

26

مثال

n nT(n) T( ) T( ) cn

a b

hi

i 0

1 1n ( )

a b



فرادرس

FaraDars.org

است؟بازگشتیرابطهجوابزیرعباراتازیککدامn 7n

T(n) T( ) T( ) n5 10

n5log

i

i 0

7T(n) ( ) n

10

n10/7log

i

i 0

9T(n) ( ) n

10

n2/5log

i

i 0

9T(n) ( ) n

10

n n10/7 10/7log log

i i

i 0 i 0

1 7 9T(n) n ( ) n ( )

5 10 10


1)2)

3)4)

27

n10log

i

i 0

7T(n) ( ) n

10



فرادرس

FaraDars.org

بهتدرخارتفاعکنیم،استفادهبازگشتدرختاززیربازگشتییرابطهحلبرایاگر

است؟ترنزدیکزیرهایگزینهازکدامیک


28

n kT(n,k) T( ,k) T(n, ) kn

2 4

T(*,1) a

T(1,*) a



فرادرس

FaraDars.org

: T(8,16)رسم درخت بازگشت n k

T(n,k) T( ,k) T(n, ) kn2 4

29

n k2 4log log 1

:ارتفاع



فرادرس

FaraDars.org

؟رابطه بازگشتی زیر از چه مرتبه ای است



2 4

30



فرادرس

FaraDars.org

31

n k n n k n k knk k n k n ...

2 4 4 2 4 2 4 16

3 9nk nk nk ...

4 16

23 3nk 1 ( ) ... (nk)

4 4


2 4



فرادرس

FaraDars.org

؟رابطه بازگشتی زیر از چه مرتبه ای است

1 2 1 2k k

T n,k T n , T n , nk n n n2 2

T n,1 T 1,k 1


1)nk2)n^23)nlgk4)lgk

32



فرادرس

FaraDars.org

1 2 3 4 5 6k k k k k k

nk (n n ) (n n n n ) ...2 2 4 4 4 4

33

1 2 3 4 5 6k k

nk (n n ) (n n n n ) ..2 4

1 2k k

nk n (n n ) ...2 4

k k 1 1nk n n ... nk(1 ...) nk

2 4 2 4

1 2 1 2k k

T n,k T n , T n , nk n n n2 2

T n,1 T 1,k 1



فرادرس

FaraDars.org

34

قضیه اصلی



فرادرس

FaraDars.org

قضیه اصلی

n:باشیمداشتهاگرT(n) aT( ) f (n)

b

a 1,b 1

a ab b

ab

ab

log log

log

log

(n ) f (n) n

T(n) (f (n).lgn) f (n) n

(f (n)) f (n) n

35



فرادرس

FaraDars.org

36

nT(n) 4T( ) lgn

2

42log

lg nn

)( 2n

a 4

b 2

f (n) lgn

مثال



فرادرس

FaraDars.org

37

34log

lg nnn

)lg( nn

مثال

nnn

TnT lg)4

(3)(



فرادرس

FaraDars.org

38

12/3log

1 n

)(lgn

مثال

1)3

2()(

nTnT



فرادرس

FaraDars.org

چیست؟مرتبه زمانی رابطه بازگشتی


2n)2

n(T3)n(T

2log32 nn

39



فرادرس

FaraDars.org

چیست؟مرتبه زمانی رابطه بازگشتی

(91دولتی -علوم کامپیوتر )

n)4

n(T2)n(T

40

nn 24log



فرادرس

FaraDars.org

تابع بازگشتی زیر کدام است؟ جواب


10099log

n nlogn

41

nT(n) 100T( ) nlgn

99



فرادرس

FaraDars.org

1)2)

3)4)

T(n) 2T(n 2) 1 7nT(n) T( ) 8n 1

8

2nT(n) 3T( ) n

2

2T(n) T(n 1) n


کدام T(0)=T(1)=1.تعریف شده اند و داریمn>2رابطه های بازگشتی زیر برای اعداد صحیح ؟ نداردیک از این رابطه ها، پاسخ چند جمله ای

42



فرادرس

FaraDars.org

:باشدنمیایجملهچنداولگزینهفقط.استشدهنوشتهآنمقابلدرکدامهراجراییمرتبه

.استشدهحلاصلیقضیهباسومودومرابطهوجایگذاریوتکرارروشباچهارمواولرابطه

7nT(n) T( ) 8n 1 T(n) (n)

8

2 2nT(n) 3T( ) n T(n) (n )

2

2 3T(n) T(n 1) n T(n) (n )

43



فرادرس

FaraDars.org

،نباشدبزرگترازایجملهچندصورتبهf(n)یعنیباشد،اگراصلی،قضیهدر

:بااستبرابرT(n)مرتبهآنگاه،باشدمرتبهازf(n)اگر

ablog

f (n)n

n

ablog

n

ablog k

n .lg n

ablog k 1

n .lg n

نکته

44



فرادرس

FaraDars.org

45

nT(n) 2T( ) nlgn

2

nlgnlgn n

n

2T(n) (nlg n)

a 2

b 2

f (n) nlgn

مثال



فرادرس

FaraDars.org

مصرفیزمانباشد،بابرابرالگوریتمیکبرایبازگشتیزمانیمعادلهاگر

:بااستبرابرالگوریتم

1)2)3)4)

22nT(n) T (lgn)

3

2(n )

2/3(n )(nlgn)

0 2 1 3T(n) (n (lgn) ) ((lgn) )

))n(lg 3

(دولتی-مهندسی کامپیوتر)

46



فرادرس

FaraDars.org

کدام است؟ رشد ترین حد باالی تابع بازگشتی کم

1 )2 )3 )4 )

2nT(n) 4T( ) n lgn

2

T(1) 1

3O(n )

2O(n lg(lgn))2 2

O(n (lgn) )2

O(n lgn)


47



فرادرس

FaraDars.org

48

تغییر متغیر



فرادرس

FaraDars.org

.کنیدمشخصرابازگشتیرابطهاجراییمرتبه

:فرض

T(n) T( n) 1

49

مثال

m

m 2T(2 ) T(2 ) 1

mS(m) S( ) 1

2

mn 2

S(m) (lgm)

T(n) (lglgn)

)2

()2()()2( 2m

STmSTm

m



فرادرس

FaraDars.org


درست است؟ T(n)کدام یک از روابط زیر برای. در نظر بگیریدرا تابع

O(lglgn)O(n.lg lgn) O(lgn.lg lgn)

T(n) 2T( n ) lgn

1)2)3)4)

50

mmm TT 2lg)2(2)2( 2/

mm

SmS )2

(2)( )lg( mm )lglg.(lg nn



فرادرس

FaraDars.org

مورد رابطه بازگشتی زیر کدام گزینه صحیح است؟در

(13 )

(24 )

T(n) 4T( n) 1

T(2) 1

21 4T(n) (lgn)

3 3

n4 1T(n) (4)

3 3

24 1T(n) (lgn)

3 3

24 1T(n) (n )

3 3


k kaT(n) a T( n) 1 (lgn)

51



فرادرس

FaraDars.org

T(n) 4T( n) 1 mn 2

m m/2T(2 ) 4T(2 ) 1

mS(m) 4S( ) 1

2

42log 2

S(m) (m ) (m )

2T(n) (lgn)

52



فرادرس

FaraDars.org

(13 )

(14 )

(89آزاد -مهندسی کامپیوتر)

n

)n(log

n

)n(T4)n(T

2

)logloglog

(2

n

nn)loglog(log 2 nn

در مورد رابطه بازگشتی زیر کدام گزینه صحیح است؟

)logloglog( nnn)logloglog

(n

nn

53



فرادرس

FaraDars.org

54

2)n(log)n(Tn4)n(nT

2)n(log)n(K4)n(K

22/mm m)2(K4)2(K

2)2

(4)( mm

TmT )mlog.m()m(T 2 )nloglogn(log)n(K 2

.بودیمکردهضربnدرراعبارتابتدادرچونشود،تقسیمnبربایدجوابنهایتدر

n

)n(log

n

)n(T4)n(T

2

)logloglog

(2

n

nn



فرادرس

FaraDars.org

55

رابطه های بازگشتی همگن



فرادرس

FaraDars.org

.کنیممیپیداراآنمشخصهمعادلهابتداثابت،ضرایببادوممرتبههمگنبازگشتیروابطحلبرای

:داشتنفرضبامعادلهاینحلازبعدجواب

:,مجزایجوابدو-الف

:مضاعفحقیقیریشهیک-ب

n n1 1 2 2c r c r

n n1 2c r c nr

1r2r

56

r



فرادرس

FaraDars.org

57

مثال

T(n) T(n 1) 2T(n 2) T(0) 2

T(1) 7

2r r 2 0

n:کلیجواب n1 2T(n) c 2 c ( 1)

T(n) T(n 1) 2T(n 2) 0

0 01 2T(0) 2 2 c 2 c ( 1) 1 2c c 2

1 11 2T(1) 7 7 c 2 c ( 1) 1 22c c 7

1 2c 3,c 1

n nT(n) 3 2 ( 1)

1 2r 2,r 1



فرادرس

FaraDars.org

58

مثال

T(n 2) 4T(n 1) 4T(n) T(0) 1

T(1) 3

2r 4r 4 0

n n1 2T(n) c 2 c n2 :کلیجواب

T(n 2) 4T(n 1) 4T(n) 0

0 01 2T(0) 1 c 2 c 0 2 1

1 11 2T(1) 3 c 2 c 1 2 3

1c 1

1 22c 2c 3

1 21

c 1,c2

n n 1T(n) 2 n2

1 2r 2,r 2



فرادرس

FaraDars.org

T(n) 3T(n 1) 4T(n 2)

T(0) 0,T(1) 1 2

n

n4

n2 lgn

4n lgn


زینه است؟ مرتبه زمانی الگوریتمی با تابع زمانی زیر، برابر کدام گ

1 )

2 )

3 )

4 )

2r 3r 4 0

n n1 2T(n) c 4 c ( 1)

nT(n) (4 )

59



فرادرس

FaraDars.org

چقدر است؟ تابع زیر به ازای مقدار n 2

n n5 6

n n3 2

n n3 2

n n5 6

(83دولتی -هوش-مهندسی کامپیوتر )

function g(n)

begin

if n<=1 then

g = n

else

g= 5*g(n-1) – 6 * g(n-2)end

1 )

2 )

3 )

4 )

g(2) 5g(1) 6g(0) 5 1 6 0 5 .شودمی5برابرn=2ازایبه2گزینهتنها

60



فرادرس

FaraDars.org

g(n) 5g(n 1) 6g(n 2)

2

1 2

g(n) 5g(n 1) 6g(n 2) 0

r 5r 6 0

r 2,r 3

n n1 2g(n) c 3 c 2

n ng(n) 3 2

61



فرادرس

FaraDars.org

62

پایان

: مشاوره با مدرس شیرافکن(کالس تست زنی-جزوه)

09121972028



فرادرس

FaraDars.org



این اسالید ها بر مبنای نکات مطرح شده در فرادرسآموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته»

« (تست کنکور ارشد-مرور ).تهیه شده است

برای کسب اطالعات بیشتر در مورد این آموزش به لینک زیر مراجعه نماییدfaradars.org/fvsfte102



فرادرس

FaraDars.org

Education

آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ارشد)