of 16/16
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μια Συλλογή Ασκήσεων Συστήματα Συναρτήσεις Τριγωνομετρία Πολυώνυμα Εκθ - Λογαρ Επανάληψη Αρχή Επιμέλεια : Καλαθάκης Γ. Προτάθηκαν και λύθηκαν από μέλη του Mathematica.gr

καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)

  • View
    3.251

  • Download
    7

Embed Size (px)

Text of καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β'...

  • -

    : .

    Mathematica.gr

  • http://www.mathematica.gr/ - 2

    1.

    1. : 2

    (k 1)x my 2012, k,m,x,y R

    k x (k m)y 2013

    m R , k R ,

    x,y

    2. 2x2 x,y x yD,D ,D D Z

    :

    3D 1 (5 3D) 0 2 2x x y yD 8D D 4D 19D 1 0 .

    . .

    .

    2x 5y 4 6

    2 x 1 y 3 2

    , , , .

    3. :

    5 x 2 y 2

    7 x 2y

    x,y R .

    , R .

    4. 2x2 x , y x yD,D ,D D Z .

    4 3D 3D 7 0 2 2x x y yD 8D 4D D 5D 30 0 .

    5. , :

    (1 )x ( 1)y 5

    (3 1)x 3y 10

    6. a, , : 2x y a 1

    x 8y a 1

    7. 2( 1) x (3 2)y 3

    (1 )x (3 )y 1

    , (x,y) (1,1) ;

    8. : ( 2)x ( 7)y 0

    x ( 1)y 0

    .

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31695http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44317http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31437http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31571http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31111http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31075http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31037http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31027

  • http://www.mathematica.gr/ - 3

    1. : 2 2 2

    3 3 3

    x y z 2

    x y z 4

    x y z 5

    2. : 2 2

    2

    x xy y 21

    y 2xy 15

    3. :

    2 2

    2

    2 2

    2

    2 2

    2

    1x 2 (y z)

    y

    1y 2 (z x)

    z1

    z 2 (x y)x

    4.. x y x y 72

    x y x y 30

    5. R x y x 1

    y x y 1

    6. 2 2

    3 2

    2x 5xy 5y x 10y 35 0

    x 5xy 42 0

    7. : 2 2

    2 2

    4x x y y 3

    x xy y 3

    8. : 2 2

    2 2

    x y 4x 2y 15 0

    3x 7xy 9x 2y 2y 12

    9. x y 3 2

    y y x 10 1

    10. : x(x y) 9

    y(x y) 16

    11.

    2

    2

    4 2

    2x xy 1

    9x 3xy1

    2(1 x) 2(1 x)

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=30778http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33297http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34147http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=31926http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41619http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41450http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41350http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41344http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41183http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40628http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40441

  • http://www.mathematica.gr/ - 4

    2.

    1. f : f(x) 0,1 x 1

    f(x 1) x1 f(x)

    . f

    T 3 .

    2. , , :

    3 2f(x) x 4x 4x, x *9

    g(x) , xx

    .

    3. : 5f(x) 2x 4 .

    5 : 2 3 4625 125 25 5 0.

    3.

    1. 90 x 180 2

    sinx cosx3

    , sinx cosx .

    1. f : f(x) x x ,

    x [0,2] .

    2.

    1 3 7

    , , , , , 7 2 2 2 8

    3. .

    i)2x

    f(x) cos3

    ii)

    3xf(x) tan

    iii) f(x) sin x iv)

    3xf(x) sin 5

    4

    1. *x,y R , : 2x 2xsin(xy) 1 0

    2. : sin(cos2x) 1

    3.

    x x 0,x 0,4 4

    4. 4 3 2x cos sin x cos 2 x sin x 2 0

    x 1

    5. :

    cos cosx sin sinx2 2

    6. : 2 2 2cos (x)+x 2x 16 4 sin (x)

    7. : 5x

    cos4x sin 2 ,x R3

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43922http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45447http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40467http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34250http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45394http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41124http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39075http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33912http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33552http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=3227http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45428http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40601http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40502http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40471

  • http://www.mathematica.gr/ - 5

    8. 2 21

    cos x sinx tan x 21 sinx

    .

    9. : sin2x sinx cosx 2

    10. : 2013 2014cos x sin x 1

    11. *x,y R , 2x 2xsin(xy) 1 0

    12. : sin(cos2x) 1

    13. : 11

    x x6 6

    4.

    1. P P(P(x))=9x+8, x .

    2. P(x) , Q(x) P(a) a P( a) ,

    P(0) 0 Q(x) P P(x) P(x) , x . Q(x) 1 .

    3. 3 2P(x) x x x .

    ,,, : 4P(1) P(2) P(3) ... P() .

    4. P 3 P(0) 0 : 2P(x 1) P(x) x .

    : 2 2S 1 2 ... n , n .

    5. p(x) :2p(x) p(1 x) 3x 3x 1, x .

    6. P : P(P(x))=9x+8, x .

    7. f,g f(x)+g(x)=f(x)g(x), x ,

    .

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38539http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=17024http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34213http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33912http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33552http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33341http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34595http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43528http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42007http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39421http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39144http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34595http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34596

  • http://www.mathematica.gr/ - 6

    1. 3 2 2P(x) x a x a b , a,b b

  • http://www.mathematica.gr/ - 7

    12. a 4 3 2 2P(x) x 2ax 2a x 2ax 1 , .

    13. 5 4 3 2 2013P(x) (8x 4x 10x 17x 13x 3) .

    3 2 1

    P .2

    1. P(x) 1

    P(2) P( )2

    .

    1Q (x) 2Q (x) P(x) x 2 2x 1

    , :

    ) x 2 2Q (x)

    ) x 1 1 2Q (x) Q (x)

    2. 81 49 25 9 3x x x x x : x x

    3. 3 2P(x) x ax bx c a,b,c .

    2Q(x) x 2x 1 P(x) : |a| |b| |c| 3

    4. 4 3 2P(x) x (k m)x 2kx 5x 4 , x ,k ,m R .

    k ,m ,

    x 1 .

    5. 2 2010 2 2011P(x) (x 4x 4) (x 5x 5) .

    i) .

    ii) x 3 .

    iii) 2010 20119 11 4.

    6. 3 2P(x) ax bx x 2 . a,b R , P(x) :

    ) x 1 x 2 ) 2x 3x 2

    ) 2(x 1) ) 2x x 1

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35520http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34803http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42430http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42547http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41813http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41200http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38885http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35975

  • http://www.mathematica.gr/ - 8

    1. : 4 3 2(a 1)x 3ax x 3ax (a 1) 0

    2. : 3

    2 3 2a 3a x x , a9

    .

    3. x 3 2 26x (4a 3)x 4ax 4a 0 , x R ,

    a R .

    4. 3 2(1 x)(x 1) x

    5. : (x 2)(x 4)(x 3)(x 5) 360

    6. R : 10 8 6 4 2x x 8x 24x 32x 48 0

    7. : 4 3 2(a 1)x 3ax x 3ax (a 1) 0

    1. R : 3 2 3 2

    3 2 3 2

    3x 2x x 1 3x 2x 5x 13

    3x 2x x 1 3x 2x 5x 13

    2. : 23 5 17 19

    x -11x-4 = + + + .x-3 x-5 x-17 x-19

    3. 2

    2

    x 25 100 2x 3 x 6

    2x 20x 50 x 5 2x 10

    , .

    4. R : 3 2 3 2

    3 2 3 2

    3x 2x x 1 3x 2x 5x 13

    3x 2x x 1 3x 2x 5x 13

    1. R : 3 3 32 x 1 2 x 1 7

    2. : 3 33x 1 3x 6 3

    3. : 332 2x 1 x 1

    4. : 68x 3x x 1 0

    5. 32x 1 5 x 2 .

    6. 2 2(x 2) x x 1 (x 1) x 3x 3 3 .

    7. 2

    3x 3 x 14

    x x x 1

    .

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34381http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42433http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40473http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39912http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39418http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38704http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34381http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34606http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43958http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41892http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34606http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34193http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43406http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43825http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44143http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=45434http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42130http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40127

  • http://www.mathematica.gr/ - 9

    8. : 2x 4x 1 x 1 , ?

    9. : x 2x 1 x 2x 1 10

    10. : y 1x 1

    1x y

    11. : 2 2 2x 2x 15 2x 4x 7 3x 6x 10

    12. 2x 2x 3 2 x x 1

    1. :

    4 3x x x 1 0 [ 1,1].

    2. 4 3 2P(x) x kx mx nx 2,k,m,n Z

    k, n, m :

    P(x) 0 x 1 x>2.

    1. 3 3

    2

    x 1 23 0.

    x 2

    1. : x 2 x 1 x x 2 x 1 2 ,x R

    1. , t 0 8km (

    ) ,

    y t t t3 24 9 6 8 , t (min) y (km).

    . ,

    . (t=0)

    . ,

    8km.

    . 7km ;

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40026http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=39120http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=37023http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35947http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35562http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42974http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43017http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36462http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44018http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42415

  • http://www.mathematica.gr/ - 10

    5. -

    1. : x x

    x x

    8 27 7

    12 18 6

    2. R 2x x 1 2x153 3415 5 0

    3. x x x x34 25 43 52

    4. k R , x x4 k2 k 3 0 ,

    x R .

    5. : x x 2014 2014 2014 x(2 3 ) (2 3 )

    6. : 2014

    12014 x x x xa) x x , x R b) 2014 2014 4028 , x R

    7. : x 1

    3x 44x

    3 4 1 3

    4 3 2

    8. ) x2 6x 40 0 b) x7(11 6 2) 3 2

    9. a 0 , a 1 , x R , : 2

    (x 1)(x 2) (x 1)(x 3) (x 2)(x 3)

    1 1 2a

    a a a

    10. : x x

    5 57 4 3 7 4 3 194

    11. : x x

    7 48 7 48 14 , x R

    12. : x2 x2 2 6 .

    13. : x2 x 3x 1033 4 2

    8 .

    2.

    1. a,b,c 1

  • http://www.mathematica.gr/ - 11

    3. :

    x y

    11yx

    4 25 100

    2 5 10

    4. : 1) x y

    x y

    2 3 7

    4 9 25

    2)

    x y

    x y

    x y 12

    x y3

    2

    5. : y 5

    y 2

    x 3

    9 10 4x

    4.

    1. k ,

    2ln(x 3) ln(kx) .

    2. : 2X x x2 3 logx 2 3 logx 3

    10 .

    3. 4 22 2log 2log xlog x log x 6

    4. R : 3 3 33 2logx 1 logx 1 logx 2

    5. x 2 2x 1 x 1e ln x 2x 2 e 2e e .

    5.

    1. 3 25

    log loglog5 32A 2 3 5

    A x x3log (16 212 ) 2x A

    2. a,b , a

  • http://www.mathematica.gr/ - 12

    6.

    1. f(x) ln(x a) 5

    f( ) f( ) ln26 3

    1) N a

    2) To

    3) [0,2]

    ln(cos ) f( ) f( )12 24

    4) N

    f(x ) f(x )6 6

    1sin(e )cos(e )

    2

    2. tanx cotx

    f(x) 1tanx cotx

    .

    . f .

    . :

    i. f(x) tanx . ii.

    f(x) f x2

    . iii. f(x) f( x) .

    . f .

    .

    f(x)tan x 12

    , fx D .

    3. : x x9 1 23 cosx

    4. 3 2 2P(x) x x x 2a a 1

    1) N x 1

    2) (a) , a (a)

    (a)

    3) a :

    i) x 2a x 2a 8ax425 16 4 ii) 1

    ln2lnx 2a

    1( ) 4 5x2a

    4) N 8ax 4ax 4ax 1 4ax 13 9 114 4

    5.

    sinxx 0

    f(x) x1 x 0

    .

    . f .

    . f 1 .

    . fC 1 1

    y , yx x

    . 1 1

    f(x) , x 0x x

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34549http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=42706http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43881http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43920http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=43932

  • http://www.mathematica.gr/ - 13

    6. 1) a fC 431((tan ) , ln2)

    6

    2) a 1 : i)

    ii) f(x) ln(x 1 2 x) ln(1 x)

    iii) 1

    f( )4

    3 1 sinx 1 ( ) ( ) x (0, )

    2 tanx 1 cosx e 2

    iv) 2f(x ) 0,5

    7. f x k

    x k

    ef x ,k R

    e 1

    , x R ,

    e

    A 1,e 1

    : A.k 0 . B. f R

    . f x f x 1 , x R : 2 4

    2 f f 5 5

    8. 3 2P x x 2x 5x 2 4 x xf x ln e e f R .

    A. P x 0 .

    B. f 0x 0 .

    . g g R , :

    xln g x 2e 1 f x x R . x xg(x) e e , x R g R .

    . : 6 4 2 2 5 6 0

    . : 1 2

    lnx 10.

    x x

    1 2 , P x .

    9. : x

    xf(x)

    ln(e 1)

    ) ) : f(x) 2

    ) : f(x) x

    10. 2 3 2 2 2

    P x 3 4 x 2 x a 2 x 12

    0,2 . P x x 1 , :

    . ,, R

    . ,, . :

    i. P(x) 0

    ii. 0, , : P 0

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44262http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44656http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44666http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44675http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=44715

  • http://www.mathematica.gr/ - 14

    11. 2 3f(x) 3sin ax cosax 5 ,

    a 2 .

    ) f

    ) 2f(x 2x 3) 5

    ) 8

    f(1)3

    , :

    i) cosa ii) : cos a sin a

    Atan a cot a2 2

    373 (49 ) 9 ( )

    24 (51 ) 5 (2 )

    11. 1) : 4 4

    x y 4

    x y 82

    2) : 4 441 x 41 x 4

    12. :

    1) y x xe

    y

    log x y log x y

    2 22

    2

    3 2

    1

    1

    3 ( 2 6) 2 ( 2) 1

    2) 2 3

    2 3

    log 1 sinx log (3cosy)

    log 1 3cosy log (3sinx)

    3)

    2012

    2012

    3 3 3

    x 2

    log (x 1) log (x 1) log 4

    (2012 1)(x 3x 2) 0

    4) 2 2

    2 22 2

    x xy y

    log (x y ) 1 log xy

    3 81

    5)

    2012 83 9

    3 2

    1 1log x log y 0

    2012 4

    |x| y 2y 0

    13. f , , 2 2f (0) f (7) 10f(0) 6f(7) 34 g 3g(x) ax bx a,b

    3 24

    1g(1) g(2)

    3g(2) 4g(1) 4

    g(1)g(2) 3

    .

    ) f(0),f(7),g(1) g(2)

    ) a 1 b 2 ) g

    ) g

    ) g f

    ) 2f(f(x 6x) 3) 5

    14. (1) mx 1

    x (2m 1) m

    xD,D D .

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41397http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41090http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41011http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40391http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=40208

  • http://www.mathematica.gr/ - 15

    ) (1)

    ) 0 0(x , ) (1),

    0 0A 2 x

    ) , , (2) x, x D ,D ,D

    :

    x

    D D0

    D D

    x

    D A2D

    D A

    , A ().

    (2) , . ) m 1

    i) (x,) (1) 2 2x 2 1

    ii)

    mx 2 3z 1

    2x m 4z 2

    3x 4 (m 4)z 15

    15.

    x (0, )2

    cotx tanxsinx cosx 2 2 .

    16. x 1 x2 4 x 1 . 17. f,g :

    x xf(x) 25 25 1 g(x) 2 3x

    ) ) f(x) g(x)

    18. 3 2P(x) x (3 log)x (5 log)x log4

    3 2 6 2 26

    Q(x) x (log log 3)x ( log log )x log4

    10 , , 0 .

    ) P(x) Q(x) , ,

    ) P(x) (x 1)(x 2)

    i) N 2, 125

    ii) P(x) 0

    iii) A P(x) 0 , x 1 x 23 3 10

    ) 2 Q(0)sin x 10

    ) P(1) 0

    P(2) 2 0

    , , 0 .

    19. f,g 1 x

    f(x) ln , g(x) f(x)1 x

    .

    ) f, g ) g(x) ln3 .

    ) f(x) ln7 .

    ) f(x)2

    x 1e

    2(x 1) x 1

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38587http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38550http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=38330http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=37247http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36955

  • http://www.mathematica.gr/ - 16

    20. x

    3 f x

    1

    .

    . R f x R . . R f . . 0 , :

    i. 3 2

    2 f x 5 f x 6f x 9 0 ii. 3

    f x3

    21. : 2log x 80 x x 2x 80 x x 21

    22. ln(3x 11)

    f(x)ln(x 5)

    ) . ) f(x) 2

    ) x>6 f(x) 1

    23. 4 3 2P(x) 16x 32x ax bx c a,b,c ,

    24x dx 3 . 1) a,b,c,d 2) P x( ) 0

    3) : 4 3 21

    32cos x 4cos x sin x 3cosx8

    24. f(x) ln(x a) 5

    f( ) f( ) ln26 3

    1) N a 2) To

    3) [0,2]

    ln(cos ) f( ) f( )12 24

    4) N

    f(x ) f(x )6 6

    1sin(e )cos(e )

    2

    25. x 2x

    1e lne

    e , R .

    26. 1) : 4 4

    x y 4

    x y 82

    2) : 4 441 x 41 x 4

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36955http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=36560http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34870http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=35315http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=34549http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=33225http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=41090