Решение текстовых задач по математике

31

Решения. Ответы.

Группа А

01

а) Ответ: 32 км.

Горизонтальную часть расстояния обозначим – х, а часть,

ведущую в гору – у. Из этого следует, что искомое расстояние

состоит S = x + y.

Путь в одном напрпавлении

S V t

х 10 4

у 6

Путь в обратном напрпавлении

S V t

х 10 3

у 12

Составим систему уравнений

;31210

,4610ух

ух

, решив ситему получим х = 20, у = 12.

Тогда S = 20 + 12 = 32.

б) Ответ: 26 км.

Аналогично составим систему уравнений:

;21412

,3712ух

ух

решив ситему, получим х = 12, у = 14.

Следовательно, S = 12 + 14 = 26.

02



;5,3108

,558

ух

ух

Решив ситему, получим х = 16, у = 15.




;5,31210

,5610

ух

ух

Решив ситему получим х = 20, у = 18.


03

а) Ответ 21 час.

Пусть х – скорость поезда. х

420 – время прохождения поезда

первую половину пути. 2

420

х – время прохождения поезда

второй половины пути. х

840 – запланированное время. Составим

уравнение:

ххх

840

2

420

2

1420

. (1)

Перенося все члены уравнения в левую часть, приведя дроби к

общему знаменателю и сложив их, получим уравнение

0)2(2

420)2(24202)2(

хх

хххх (2)

Сначала найдем корни уравнения 0168022 хх . Это

будут числа х1 = 40, х2 = – 42. Ни одно из этих чисел не

обращает знаменатель (2) уравнения в нуль. Но по смыслу

33

задачи х > 0, значит, поезд планировал пройти весь путь со

скоростью 40 км/ч. Тогда его время, потраченное на весь путь,

840 : 40 = 21 час.

б) Ответ: 20 км/ч.

Пусть х км/ч – скорость мотоциклиста, соответственно скорость

велосипедиста будет (х+10) км/ч. Тогда, 6120

10

120

хх.

Решая уравнение, получим х1 = 20, х2 = – 10. Так как второй

корень не удовлетворяет условие задачи, получаем, что скорость

мотоциклиста 20 км/ч.

04

а) Ответ 80 км/ час.

Пусть х км/ч – скорость поезда. х

224 – время прохождения

поезда первую половину пути. 10

224

х – время прохождения

поезда второй половины пути. х

448 – запланированное время.

Составим уравнение: ххх

448

10

224

5

2224

. Перенося все

члены уравнения в левую часть, приведя дроби к общему

знаменателю и сложив их, получим квадратное уравнение

.05600102 xx

Решением данного уравнения будут числа х1 = 70, х2 = – 80. Ни

одно из этих чисел не обращает знаменатель уравнения в нуль.

Но по смыслу задачи х > 0, значит, поезд планировал пройти

весь путь со скоростью 70 (км/ч), а после остановки он двигался

со скоростью 70 + 10 = 80 (км/ч)


Аналогично составим уравнение:

5

156

5

1156

5

156

5

1156312

хх

ххх

0390052 хх

Решив квадратное уравнение, получим х1 = 60, х2 = – 65. Но по

смыслу задачи х > 0 значит, скорость поезда после остановки

65 км/ч.

05

а) Ответ: через 20 минут.

Пусть велосипедисты встретились через х мин после выхода из

своих сел. Тогда первый затратил на весь путь (х + 16) мин., а

второй (х + 25) мин. Первый в час проезжает 16

1

х, второй

25

1

х часть всего пути, за час они сблизились на

25

1

16

1

хх или на

х

1 всего пути. Составим уравнение:

.1

25

1

16

1

ххх

решив уравнение, найдем его

единственный положительный корень 20.

б) Ответ: через 30 минут.

Пусть пешеходы встретились через х мин после выхода из своих

сел. Тогда первый затратил на весь путь (х + 25) мин, а второй

(х + 36) мин. Первый в час проходит 25

1

х, второй

36

1

х

часть всего пути, за час они сблизились на 36

1

25

1

хх или

на х


.1

36

1

25

1

ххх



06

а) Ответ: через 18 минут.

Пусть велосипедисты встретились через х мин после выхода из

своих сел. Тогда первый затратил на весь путь (х + 12) мин, а

35

второй (х + 27) мин. Первый в час проезжает 12

1

х, второй

27

1

х часть всего пути, за час они сблизились на

27

1

12

1

хх или на

х


.1

27

1

12

1

ххх

решив уравнение, найдем его единственный

положительный корень 18.

б) Ответ: через 40 минут.

Пусть пешеходы встретились через х мин после выхода из своих

сел. Тогда первый затратил на весь путь (х + 32) ч, а второй

(х + 50) ч. Первый в час проходит 32

1

х, второй

50

1

х часть

всего пути, за час они сблизились на 50

1

32

1

хх или на

х

1

всего пути. Составим уравнение:

.1

50

1

32

1

ххх



07

а) Ответ: 20 км/ч.

Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде.

S V t

75 х+5 75/(х+5)

75 х–5 75/(х–5)

80 8 80/х

Составим уравнение:

ххх

802

5

75

5

75

Решив данное уравнение получим х1 = 20, х2 = –20. Второй

корень уравнения не подходит по смыслу задачи, значит

скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

б) Ответ: 3 км/ч. Пусть х км/ч – скорость плота.

S V t

Плот 20 х 20/х

Моторная

лодка

20 х+12 20/(х+12)


3

15

12

2020

хх

Решив данное уравнение получим х1 = 3, х2 = –15. Второй

корень уравнения не подходит по смыслу задачи, значит

скорость плота 3 км/ч.

08

а) Ответ: 56 с.

Обозначим длину эскалатора за S м, а скорости пассажира

(собственную) и эскалатора за х м/с, и у м/с.

Получим систему:

.42

),(24

xS

yxS

Далее найти y

S , исключив из системы переменную х.

xS

xуS

xS

yxS

42

2424

42

2424 56,

244

7

y

S

yS

S.

б) Ответ: 9 км/ч

Если на весь путь вестовой тратит 2

1 ч, то за это время колонна

проходит 1,5 км. Значит, вестовой проезжает всего 4,5 км, тогда

он движется со скоростью 95,0

5,4 км/ч.

09

а) Ответ: 35 ц; 40 ц.

Обозначим через х – площадь участка первого звена, составим

соответствующее уравнение:

37

035011,5875

2

920 2

хххх

Решая квадратное уравнение, найдем х1 = 25, х2 = – 14. Но по

смыслу задачи х > 0 значит, площадь участка первого звена

25 га, значит, первое звено собрало с 1 га своего участка

3525

875 (ц), а второе звено 40

23

920 (ц).

б) Ответ: 44 т; 48 т.

Обозначим через х – площадь первого участка, составим

соответствующее уравнение:

03745,4748

2

720 2

хххх

Решая квадратное уравнение, найдем х1 = 17, х2 = – 22. Но по

смыслу задачи х > 0 значит, площадь первого участка 17 га,

значит, с первого участка собрали 4417

748 (т), а со второго

участка 4815

720 (т).

10

а) Ответ: 250 деталей.

Пусть х – количество деталей по плану. По плану токарь должен

выполнить работу за 25

х дней, но он обточил на 50 деталей

больше за 35

50х дней. Составим соответствующее уравнение

235

50

25

хх.

Откуда находим х = 250.

б) Ответ: 300 деталей.

Пусть х – количество деталей по плану. По плану токарь должен

выполнить работу за 20

х дней, но он обточил на 20 деталей

меньше за 28

20х дней. Составим соответствующее уравнение

528

20

20

хх.

Откуда находим х = 300.

11

а) Ответ: 60 дней; 20 дней.

Пусть х – количество дней, за которое первая бригада

самостоятельно выполняет задание, значит, вторая бригада

выполняет работу за (х – 40) дней. Совместно они работали

15 дней. Составим уравнение:

.060070

140

1115

2

хх

хх

Решая квадратное уравнение, находим х1 = 60; х2 = 20. Так как

20 < 40, второй корень не соответствует условию задачи.

б) Ответ: 48 дней; 24 дней.

Пусть х – количество дней, за которое первая бригада

самостоятельно выполняет задание, значит, вторая бригада

выполняет работу за (х – 24) дня. Совместно они работали 16

дней. Составим уравнение:

.038456

124

1116

2

хх

хх

Решая квадратное уравнение, находим х1 = 48; х2 = 8. Так как

8 < 24, второй корень не соответствует условию задачи.

12

а) Ответ: 30 мин; 45 мин.

39

Пусть х мин – время заполнения бассейна отдельно первой

трубой; (х+15) мин – время заполнения второй трубы. Составим

уравнение:

115

1118

хх. Преобразовывая данное уравнение, получим

квадратное уравнение 0270212 хх . Решая квадратное

уравнение, находим х1 = 30; х2 = – 9. Так как

–9 < 0, второй корень не соответствует условию задачи. Значит,

первая труба заполняет бассейн за 30 мин, вторая за

30 + 15 = 45 (мин)

б) Ответ: 40 мин; 60 мин.

Составим аналогичное уравнение:

120

1124


квадратное уравнение 0480282 хх . Решая квадратное

уравнение, находим х1 = 40; х2 = –12. Так как –12 < 0,

второй корень не соответствует условию задачи. Значит, первая

труба заполняет бассейн за 40 мин, вторая за

40 + 20 = 60 (мин)

13

а) Ответ: 6 ч.

Пусть х ч – время заполнения бассейна отдельно первой трубой,

а (х + 5) ч – время заполнения бассейна отдельно второй трубой.


15

15,7

15

хх. Преобразовывая данное уравнение,

получим квадратное уравнение 0255,72 хх . Решая

квадратное уравнение, находим х1 = 10; х2 = – 2,5. Так как

–2,5 < 0, второй корень не соответствует условию задачи.

Значит, первая труба наполняет бассейн за 10 ч, а вторая за

15 ч. Пусть z ч – время совместной работы обеих труб.

115

1

10

1

z . Решая уравнение, получаем z = 6. Значит,

работая вместе, две трубы наполнят бассейн за 6 ч.

б) Ответ: 24 дня; 12 дней.

Пусть х дней – время выполнения всей работы отдельно первой

бригадой; (х–12) дней – время выполнения всей работы

отдельно второй бригадой. Составим уравнение:

112

15

114


получим квадратное уравнение 0168312 хх . Решая

квадратное уравнение, находим х1 = 24; х2 = 7.

Так как 7 < 12, второй корень не соответствует условию задачи.

Значит, первая бригада выполняет всю работу за 24 дня, вторая

за 24 – 12 = 12 дней.

14

а) Ответ: 5 ч; 7 ч.

Пусть х ч – время работы первого насоса, (х+2) ч – время

работы второго насоса. Составим уравнение:

12

11

12

35


получим квадратное уравнение 035236 2 хх . Решая

квадратное уравнение, находим х1 = 5; х2 = .6

7

Так как

6

7

< 0, второй корень не соответствует условию задачи.

Значит, первый насос, работая отдельно, очистит пруд за 5 ч, а

второй насос за 5 + 2 = 7(ч).

б) Ответ: 6 ч; 10 ч.

41


14

11

4

15


квадратное уравнение 03072 2 хх . Решая квадратное

уравнение, находим х1 = 6; х2 = – 2,5. Так как –2,5 < 0,

второй корень не соответствует условию задачи. Значит, первый

экскаватор выполнит работу за 6 ч, второй за

6 + 4 = 10 (ч).

15

а) Ответ: 12 ч и 8 ч.

Пусть х ч – время работы второй трубы, (1,5∙х) ч – время работы

первой трубы. Составим уравнение:

11

45,1

16

хх. Преобразовывая данное уравнение, находим

х = 8. Значит, одна втора труба наполнит бассейн за 8 ч, а первая

за 12 ч.

б) Ответ: 30 ч и 45 ч.

Пусть х ч – время выполнения всего задания бригады слесарей,

тогда (х+15) ч – время выполнения всего задания бригады

учеников. Составим уравнение:

.6,015

118

16

хх Преобразовывая данное уравнение,

находим х1 = 30, х2 = – 5. Так как второй корень не

соответствует условию задачи, время работы бригады слесарей

30 ч, а бригады учеников 45 ч.

16


Пусть первая труба одна заполнит бассейн за х ч, тогда 4

1

бассейна наполнит за (0,25х) ч, а 4

3 бассейна за (0,75 х) ч. Пусть

вторая труба одна заполнит бассейн за у ч, тогда 4

3 бассейна

наполнит за (0,75у) , а 4

1 бассейна за (0,25 у).

По условиям задачи составим систему уравнений:

.725,075,0

,575,025,0

ух

ух

Система имеет единственное решение х = 2, у = 6.

Следовательно, одна вторая труба заполнит бассейн за 6 ч.

б) Ответ: 10 ч.

Составим аналогичную систему уравнений:

.3

191,09,0

,49,01,0

ух

у

Система имеет единственное решение х = 10, у = .3

13

Следовательно, одна первая труба заполнит бассейн за 10 ч.

17


Пусть первый кран разгрузит баржу за х ч, а второй за у ч. Тогда

за 1 ч первый выполняет х

1 работы, а второй

у

1 работы, а за 1

ч совместной работы оны выполняют ух

11 или

18

1 задания.

Составим первое уравнение: .18

111

ух

43

Если первый кран увеличит производительность труда в 1,5

раза, то будет выполнять х

5,1 работы за 1 ч, тогда при

совместной работе за 1 ч краны выполняют ух

15,1 или

15

1

работы. Составим второе уравнение: .10

115,1

ух

Чтобы найти х и у, нужно решить систему уравнений:

..15

115,1

,18

111

ух

ух (1)

Введем новые неизвестные ,1

,1

bу

ах

тогда система

примет вид

..15

15,1

,18

1

ba

ba (2)

Система (2) имеет единственное решение: .30

1,

45

1 bа

Тогда решения системы (1) таковы: х = 45, у = 30.

б) Ответ: 21 ч.


..12

115,1

,14

111

ух

ух (1)

Введем новые неизвестные ,1

,1

bу

ах

тогда система

примет вид

..12

15,1

,14

1

ba

ba (2)

Система (2) имеет единственное решение: .21

1,

42

1 bа

Тогда решения системы (1) таковы: х = 42, у = 21.

18

а) Ответ: за 5 ч.

Пусть х – время проезда туриста на поезде, у – на автобусе.

Составим соответствующую систему уравнений:

;3

22125,430

,5,110

;3

6523

,2032

;3

14

5

2

5

3

,45

3

5

2

уу

ух

ух

ух

ух

ухОткуда

находим ,3

13у

.5

3

10

2

310 х

б) Ответ: за 3 ч.

Пусть х – время который турист прошел пешком, у – на

велосипеде. Составим соответствующую систему уравнений:

.4

12

3

1

3

2

,5,13

2

3

1

ух

ух

Откуда находим ,3х

.4

3у

19

а) Ответ: 60 рабочих.

45

Пусть х рабочих выполняют задание за у дней. Тогда

производительность рабочего будет .1

ху Если рабочих будет

(х + 20), а дней (у – 5), тогда производительность одна рабочего

будет .)5)(20(

1

ух Если же рабочих будет

(х – 20), а дней ( у + 10), тогда производительность одна

рабочего будет .)10)(20(

1

ух

Составим систему уравнений:

.1

)10)(20(

1

,1

)5)(20(

1

хуух

хуух

Она имеет единственное решение: х = 60, у = 20.

б) Ответ: 20 рабочих.


.1

)10)(5(

1

,1

)6)(5(

1

хуух

хуух

Она имеет единственное решение: х = 20, у = 30.

20

а) Ответ: 180 мужчин и 1200 женщин.

Пусть х – количество мужчин, отдыхавших в пансионате в

прошлом году, а у – количество женщин. В этом году

количество мужчин составило (х – 0,1х) = 0,9х, а количество

женщин у + 0,2у = 1,2у, также обще количество отдыхающих

составило 1200 + 0,15 ∙ 1200 = 1380. Исходя из условия задачи,

составим систему уравнений:

;13802,1)1200(9,0

,1200

;13802,19,0

,1200

уу

ух

ух

ух

Откуда находим у = 1000, х = 200. Значит в этом году в

пансионате отдыхали 0,9 ∙ 200 = 180 мужчин, и 1,2 ∙ 1000 = 1200

женщин.

б) Ответ: 24; 21.

Пусть х – количество депутатов первой партии, у – количество

депутатов второй партии. Значит, после выборов в первой

партии стало 1,2х депутатов, а во второй 1,75у, и их общее число

стало 50 – 5 = 45. Составим систему уравнений:

;4575,1)50(2,1

,50

;457,02,1

,50

уу

ух

ух

ух

Откуда находим у = 30, х = 50–30 = 20. Значит, в городской думе

от первой партии было избрано 1,2 ∙ 20 = 24 депутата, от второй

партии 0,7 ∙ 30 = 21 депутата.

21

а) Ответ: 42 золотых и 68 серебреных медалей.

Пусть х – количество золотых медалей прошлого года,

у – количество серебреных медалей. Значит, в этом году

количество золотых медалей стало 1,2х, а серебреных 0,8у, и их

общее число стало 120 – 10 = 110. Составим систему уравнений:

;1108,0)120(2,1

,120

;1108,02,1

,120

уу

ух

ух

ух

Откуда находим у = 85, х = 120–85 = 35. Значит, в этом году

выпускники города N получили 1,2 ∙ 35 = 42 золотых и 0,8 ∙ 85 =

68 серебреных медалей.

б) Ответ: 60000; 121000.

47

Пусть х – количество книг в первой библиотеке в прошлом году,

значит, во второй было (160000 – х) книг. Составим уравнение:

0,2х + 0,1(160000 – х) = 21000

Откуда находим х = 50000 (количество книг в первой

библиотеке), 160000 – 50000 = 110000 (количество книг во

второй библиотеке). Значит, после увеличения их стало 60000 и

121000.

22

а) Ответ: 56 %.

Пусть х длина всего пути. В первый день турист прошел 0,3х

пути, во второй 0,7х ∙ 0,2 = 0,14х, значит за два дня турист

прошел 0,3х + 0,14х = 0,44х. Туристу остается пройти

х – 0,44х = 0,56х, т.е. 56%.

б) Ответ: 3000 га.

Пусть х площадь поля. Составим уравнение:

0,56х + 0,33 х + 330 = х

х = 3000.

23

а) Ответ: 9 : 35.

Пусть взято х частей первого металла и у частей второго

металла. Тогда ),(44

17

5

2

3

1ухух откуда .

9

35ху

б) Ответ: 9 г.

Пусть взято х частей первого металла и у частей второго

металла. Тогда ,19

719

5

2

3

1 ух откуда .10565 ух

Решая уравнение в целях числах, находим х = 9.

24


Пусть х – себестоимость продукции. Себестоимость после

повышения составляет 1,1х, после понижения 0,88х. Значит,

себестоимость продукции понизилась на 100 – 88 = 12%.

б) Ответ: 68 %.

Пусть ху – произведение двух чисел. После увеличения

первого и второго числа произведение этих чисел стало

1,2х ∙ 1,4у = 1,68ху. Значит, произведение увеличилось на

168 % – 100 % = 68 %.

25

а) Ответ: 47.

Обозначим искомое число (10х + у). Составим систему

уравнений:

;25128

,12

;258

,12

;25)(2)10(

,3)(410

хх

ху

ух

ху

ухух

ухух

.246 х Отсюда находим х = 4. Значит, у = 2 ⋅ 4 – 1; y = 7.

б) Ответ: 32.

Обозначим искомое число (10х + у). Составим систему

уравнений:

;24

525

4

5210

,4

52

;2510

,2)(610

уу

уу

ух

хуух

ухух

.0124425 2 уу Отсюда находим у1 = 2, у2 = – 0,24. Второй

корень уравнения рассматривать не будем, т.к. не удовлетворяет

условию задачи. Значит, х = ;4

252

3x .

26

а) Ответ: 285714.

Пусть abcde2 – первоначальное шестизначное число. Из

условия задачи следует:

49

210360000

2103)200000(

232

abcdeabcde

abcdeabcde

abcdeabcde

85714

5999987

abcde

abcde

Значит, искомое шестизначное число 285714.

б) Ответ: 1596 год.

Пусть abcd – искомое число. Из условия задачи следует:

;5355

,21

dcbaabcd

dcbа

;1010010005355101001000

,21

abcddcba

dcba

Преобразуя второе уравнение, получим

.59510111,

595)(10)(111

yxdcyadx

bcad

Последнее уравнение в целых числах. Откуда выходит

х = 5, у = 4.

Так как d > a, c > b , также удовлетворяющее данное уравнение

определим, а = 1, b = 5, c = 9, d = 6.

Группа В

27

а) Ответ: 10 участников.

Пусть n – количество участников. Каждый участник сыграл

(n – 1) партию. Если количество очков лучшего игрока 15,

значит, остальные участники набрали 15 ∙ 5 = 75 очков,

получается общее количество очков 90. Всего сыгранных

партий n∙(n – 1) .

Получаем уравнение n (n – 1) = 90, откуда следует n = 10.

б) Ответ: 12 участников.


(n – 1) партию. Если количество очков лучших игроков 44,

значит, остальные участники набрали 44∙2 = 88 (очков),


партий n∙(n – 1) .

Получаем уравнение n∙(n – 1) = 132, откуда следует n = 12.

28

а) Ответ: 11 участников.


(n – 1) партию. Если количество очков слабых игроков 22,



партий n (n – 1).

Получаем уравнение n (n – 1) = 110, откуда следует n = 11.

б) Ответ: 13 участников.


(n – 1) партию. Если количество очков слабых игроков 26,



партий n (n – 1).

Получаем уравнение n(n – 1) = 156, откуда следует n = 13.

29


Пусть v1, v2 – скорость велосипедиста и автобуса

соответственно. Исходя из условия задачи, составим систему

уравнений

51

.15

,3

,3

5,4

5

15,4

,3

,

5,45

1

5,4

,129)(

1

12

11

12

2

2

1

221

v

vv

vv

vv

v

v

v

vvv

б) Ответ: 24 мин.

Пусть v км/ч – скорость автобуса, t мин – интервал движения

соответственно. Исходя из условия задачи, составим систему

уравнений

.24

,45

,

8,160

5

8,1

,6060

27)5(

t

v

v

vt

vt

v

30

а) Ответ: на 2 км.

Из условия задачи следует, что когда мотоциклист догнал

велосипедиста, он продвинулся относительно пешехода на 9 км,

ликвидировав отставание на 6 км и обогнав его на 3 км. За это

время велосипедист продвинулся относительно пешехода на 3

км. Следовательно, относительная скорость мотоциклиста по

отношению к пешеходу втрое больше относительной скорости

велосипедиста по отношению к пешеходу. Таким образом, когда

мотоциклист ликвидирует отставание от пешехода в 6 км,

велосипедист обгонит пешехода на 2 км.

б) На 10 км.

Из условия задачи следует, что когда мотоциклист догнал

пешехода, ликвидировав отставание в 10 км, то велосипедист

продвинулся на 5 км. Следовательно, относительная скорость

мотоциклиста по отношению к пешеходу вдвое больше

относительной скорости велосипедиста по отношению к

пешеходу. Таким образом, когда велосипедист ликвидирует

отставание от пешехода в 5 км, мотоциклист обгонит пешехода

на 10 км.

31

а) Ответ: скорость мотоциклиста составляет 12 км/ч в гору,

30 км/ч под гору.

Пусть х км/ч – скорость мотоциклиста в гору, у км/ч – его

скорость под гору. Из условия задачи следует, что когда

мотоциклист следовал из В в А его скорость в гору и под гору

было такой же когда он ехал из А в В. Исходя из этого составим

систему уравнений:

.30

,12

;5

363

,20

963

;60

161

18

1263

,60

71

18

1263

y

x

xy

yx

xy

yx

б) Ответ: расстояние межу А и В 330 км, длина шоссе равна

210 км.

Пусть х км – длина пути по шоссе, а у км – длина пути по

грунтовой дороге. Исходя из условий задачи, составим систему

уравнений:

.120

,210

;93240

,3

26

3045

;9230545

,60

408

3045y

x

ух

ух

ух

ух

Значит, весь путь составляет S = x + y = 210 + 120 = 330 (км).

32

а) Ответ: 80 км/час.

Пусть х км/ч – первоначальная скорость поезда. Так как весь

путь составляет 103 км, найдем расстояния от А до места

задержки:

53

103 + 23 = 80, 80 : 2 = 40 (км). Составим соответствующее

уравнение: .4

140

4

63

хх

Преобразуя его, получим квадратное уравнение:

.0640882 хх Откуда находим х1 = 80, х2 = 8. Так как скорость поезда не

может столь маленьким числом , второй корень уравнения

рассматривать не будем. Значит первоначальная скорость

поезда составляла 80 км/ч.


Пусть АВ = х км, ВС = х + 20 км.

Скорость всадника из А – 5

х км/ч, всадника из

С – 5

20хкм/ч. По условию ,

48

1

20

55

хх

откуда х = 60 км.

Тогда СВ = х + 20 = 80 (км).

33

а) Ответ: 12 ч и 15 ч.

Пусть х – время выполнения всей работы первого рабочего, у –

время выполнения всей работы второго рабочего. Работая

отдельно, они выполнили 2

1всей работы, а работая вместе

45,005,02

1 всей работы.

Составим соответствующую систему уравнений:

.4

5

,104

;45,033

,104

;45,011

3

,2

115

12

ху

хуху

хуху

хуху

ух

ух

Откуда находим х1 = 0 и х2 = 12. Первый корень не

соответствует условию задачи, значит первый рабочий

выполнит всю работу за 12 ч, а второй рабочий за 15 ч.

б) Ответ: 10 ч и 8 ч.

Пусть 1-й рабочий может выполнить всю работу за х ч, второй –

у ч. Производительность 1-го: ;1

х 2-го: ;

1

у

По условию

,122

,20

912

13

1

ух

ух откуда х = 10, у = 8.

34

а) Ответ: 13,5 кг.

В данном сплаве содержится 8,19100

5536

(кг) цинка.

Чтобы это же количество цинка составляло уже 40 % всего

сплава нужно добавить 5,132,1640

608,19

(кг) меди.

б) Ответ: 1,5 кг.

В данном сплаве содержится 4,5100

4512

(кг) меди и 6,6 кг

олова. Чтобы это же количество меди составляло уже 40 %

всего сплава нужно добавить 5,16,640

604,5

(кг) олова.

55

35

а) Ответ: 20 кг.

Пусть х кг – масса необходимых свежих фруктов.

Так как 20 % сухих фрутов вода, то оставшиеся 80 % составляет

28 % свежих фрутов, т.е. 6,5100

807

(кг). Значит, ;

28

1006,5 х

20x .

б) Ответ: 6,75 кг.

Пусть х кг – масса сухой малины.

Так как 85 % свежей малины вода, то оставшиеся 15 %

составляет 80 % сухой, т.е. 4,5100

1536

(кг). Значит,

80

1004,5 х ; 75,6x .

36


Пусть х – первоначальная цена товара, значит до второго

понижения цена составляла 0,8х, затем 0,8х – 0,25х = 0,55х.

Значит, первоначальную цену товара снизила на

100 – 55 = 45 %.

б) Ответ: 2500 тг.

Пусть х тг – первоначальная цена фотоаппаратов, значит до

второго понижения цены 205080

1001640

х , что составляет

18 % первоначальной цены, 250082

1002050

х

37

а) Ответ: 40 т первого сорта и 100 т второго сорта.

Возьмем х т первого сорта; в нем будет 0,05х т никеля. Второго

сорта нужно взять (140 – х) т с содержанием никеля в нем

0,40 (140 – х) т. В общем количестве 140 т стали по условию

содержится 0,3·140. Отсюда х = 40.

б) Ответ: 20 л первого раствора и 80 л второго раствора.

Возьмем х л первого раствора; в нем будет 0,3х л азотной

кислоты. Из второго раствора нужно взять (100 – х) л с

содержанием в нем азотной кислоты 0,55 (100 – х) л. В 100 л

раствора по условию содержится 50 л азотной кислоты.

Составим уравнение 0,3∙ х + 0,55∙ (100 – х) = 50 .

Откуда находим х = 20 л. Значит, чтобы получить 100 л 50

процентного раствора азотной кислоты нужно взять из первого

раствора 20 л, а из второго 80 л.

38

а) Ответ: 75%

Пусть х человек – коренное население острова. Тогда

по-английски говорят 0,68х человек их коренного населения.

Летом население острова составляет 1,28х человек. Из них

по-английски говорят 0,68х + 0,28х = 0,96х человек. Поэтому

доля населения, говорящая по-английски летом равна

%754

3

128

96

28,1

96,0

х

х

б) Ответ: 60%

Пусть х человек – коренное население острова. Тогда

по-немецки говорят 0,3х человек их коренного населения.

Летом население острова составляет 1,75х человек. Из них

по-английски говорят 0,3х + 0,75х = 1,05х человек. Поэтому

доля населения, говорящая по-английски летом равна

%605

3

175

105

75,1

05,1

х

х

39

а) Ответ: 30000 тенге.

57

Пусть S тенге – первоначальная сумма денег на первом счете.

После первого перечисления денег на нем осталось 0,5S тенге, а

после второго перечисления (0,5S – 3000) тенге. На второй счет

всего было перечислено

0,5S + 3000 + 0,05(0,5S – 3000), и эта величина составляет 31%

от 60000 тенге, т.е. 18600 тенге. Таким образом, 0,5S + 3000 +

+ 0,05(0,5S – 3000) = 18600, откуда 0,525S = 15750 и,

следовательно, S = 30000.

б) Ответ: 6000 тенге.

Пусть S тенге – первоначальная сумма денег на первом счете.

После первого перечисления денег на нем осталось 0,75S тенге,

а после второго перечисления (0,75S – 500) тенге. На второй

счет всего было перечислено (0,25S + 500 0,1(0,75S – 500)), и

эта величина составляет 6% от 40000 тенге, т.е. 2400 тенге.

Таким образом,

0,25S + 500 + 0,1 (0,75S – 500) = 2400, откуда 0,325S = 1950 и,

следовательно, S = 6000.

40

а) Ответ: 119.

Пусть n – искомое натуральное число и пусть оно было

увеличено в m раз. По условию задачи при делении числа mn на

(n – 13) в частном получается 10 и в остатке 11, т.е.mn = 10 (n –

13) + 11. При этом n – 13 > 11, так как делитель всегда больше

остатка от деления. Таким образом, задача сводится к решению

в натуральных числах системы

.24

11)13(10

n

nmn

Преобразуем уравнение системы к виду 10n – mn = 119, откуда

n(10 – m) = 119. Значит, натуральное число n является делителем

числа 119. Так как 119 = 7·17, то делителями числа 119

являются числа 1, 7, 17, 119. Учитывая, что n>24, получаем, что

возможен только случай, когда n = 119 и, следовательно,

10 – m = 1, т.е. m = 9. Нетрудно проверить, что при делении

числа 9·119, т.е. 1071, на 106 в частном получается 10 и в

остатке 11.

б) Ответ: 119.

Пусть n–искомое натуральное число и пусть оно было

увеличено в m раз. По условию задачи при делении числа mn на

(n – 14) в частном получается 9 и в остатке 7, т.е.mn = 9(n – 14) +

7. При этом n – 14 > 7, так как делитель всегда больше остатка

от деления. Таким образом, задача сводится к решению в

натуральных числах системы

.21

7)14(9

n

nmn

Преобразуем уравнение системы к виду 9n – mn = 119, откуда

n(9 – m) = 119. Значит, натуральное число n является делителем

числа 119. Так как 119 = 7·17, то делителями числа 119

являются числа 1, 7, 17, 119. Учитывая, что

n > 21, получаем, что возможен только случай, когда n = 119 и,

следовательно, 9 – m = 1, т.е. m = 8. Нетрудно проверить, что

при делении числа 8·119, т.е. 952, на 105 в частном получается 9

и в остатке 7.

41

а) Ответ: 280 избирателей.

Пусть х – число избирателей, принявших участие в выборах.

Тогда 10

,4

3,

14

ххх – число избирателей, проголосовавших за

обоих кандидатов, только за первого и только за второго

кандидата соответственно. Так как числа 10

,4

3,

14

ххх – целые, то

число х должно делиться на 14, 4 и 10. Поскольку 14 = 2·7, 4 =

22 и 10 = 2·5, то х делится на указанные числа в том и только в

том случае, когда х делится на 22·5·7, т.е. на 140. Значит, х =

140k,

59

k N. Недействительными было признано

140

11

104

3

14

ххххх

бюллетеней, и по условию задачи

30140

11

х, или 30

140

14011

k. Отсюда

11

82k и, следовательно,

наибольшее возможное значение х равно 140·2 = 280.

б) Ответ: 150 избирателей.

Пусть х – число избирателей, принявших участие в выборах.

Тогда 10

,25

18,

15

ххх – число избирателей, проголосовавших за

обоих кандидатов, только за первого и только за второго

кандидата соответственно. Так как числа 10

,25

18,

15

ххх– целые,

то число х должно делиться на 15, 25 и 10. Поскольку 15 = 3·5,

25 = 52 и 10 = 2·5, то х делится на указанные числа в том и

только в том случае, когда х делится на 2·3·52, т.е. на 150.

Значит, х = 150k,

k N. Недействительными было признано

150

17

1025

18

15

ххххх

бюллетеней, и по условию задачи

30150

17

х , или 30150

15017

k . Отсюда 17

131k и, следовательно,

наибольшее возможное значение х равно 150·1 = 150.

42

а) Ответ: 225 студентов.

Обозначим через х – наименьшее число студентов, которые

могли сдавать экзамен. Согласно условию задачи имеем:

.225

,375

1

,3100

22

100

70

15

11

,3100

22

100

70

15

1

х

х

х

хххх

б) Ответ: 175 студентов.

Обозначим через х – наименьшее число студентов, которые

могли сдавать экзамен. Согласно условию задачи имеем:

175

,535

1

,5100

15

100

75

14

11

,5100

15

100

75

14

1

х

х

х

хххх

43

а) Ответ: в 2,5 раза.

Пусть х м – путь, который пробежала собака, тогда (х–3) м –

путь, пройденный хозяином. Поскольку вместе они прошли 2

расстояния от дома до калитки, то пройденная вместе длина

пути составляет 7 м, следовательно

х + (х + 3) = 7,

2х = 10,

х = 5.

Собака пробежала 5 метров, следовательно, за то же время

хозяин прошел 2 метра. Пусть Vx–скорость хозяина, Vс–

скорость собаки, t – время, за которое собака и хозяин прошли

свой путь.

61

.5,22

52:

5

5,5

2,2

ttx

V

tVtVc

tVtVx

c

с

х

б) Ответ: в 2,6 раза.

Поскольку хозяин прошел 2,5 м, а расстояние от дома до

калитки 4,5 м, значит, собака пробежала 4,5 + 2 = 6,5 м. Пусть Vx

– скорость хозяина, Vс – скорость собаки, t – время, за которое

собака и хозяин прошли свой путь.

.6,25,2

:5,6

ttx

Vc

44

а) Ответ: расстояние от пристани А до пристани В 290 км;

скорость притока 2 км/ч.

Обозначим через v км/ч скорость притока, а через у км –

расстояние по реке от места впадения притока в реку до пункта

В. На движение вниз по притоку пароход затратил 18

80

v ч, а на

движение по реке до пристани затратил 15

yч. Так как на этот

путь пароход всего затратил 18 ч, то 181518

80

y

v. (1)

На обратное движение пароход затратил по реке 21

yч, а по

притоку v18

80 ч, что составляет 15 ч, следовательно,

1518

80

21

v

y. Из равенства (1) )

18

8018(15

vy , т.е.

18

122930

v

vy . Подставляя

18

122930

v

v вместо у в равенство

(2), получаем уравнение для нахождения v:

1518

80

18

1229

7

10

vv

v.

Так как по условию задачи 0 < v < 18, то это уравнение

равносильно уравнению v2

+ 64v – 132 = 0, которое имеет два

корня: v1 = 2 и v2 = – 66. В промежуток 0 < v < 18 попадает лишь

один из них, а именно: v1 = 2. Значит, значит скорость притока 2

км/ч. Поскольку расстояние между пристанями А и В равно s =

80 + y, т.е. ,18

12293080

v

vs то, подставляя в это равенство v

= 2, получаем что s = 290 км.


Обозначим через v км/ч собственную скорость парохода, vпр

км/ч – скорость притока vр км/ч– скорость реки. На движение

вниз по притоку пароход затратил

прvv

60 ч, а на движение по

пристани

рvv

65 ч. На путь от пристани А до реки пароход

тратит 3 часа 45 минут значит, .16,4

33

60vv

vvпр

пр

.15,1 vvvv ррпр

Из условия задачи составим уравнение

,10)16(

60

)15(

65

,106065

vvvv

vvvv прр

63

.10162

60

152

65

vv

Откуда находим v1 = 14, v2 = 7,75.

45

а) Ответ: 4 м/с; 3 м/с.

Пусть первая точка проходит полный оборот за х с, а вторая

точка – за у с. Тогда

минмy

смy

v

минмх

смx

v

/3600

/60

,/3600

/60

2

1

Будем полагать, что x < y, тогда из условия задачи у – х = 5.

Так как, точки встречаются каждую минуту, и первая движется

быстрее, то она должна за 1 мин пройти полный круг 60 м и еще

столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая точка, т.е.

у

3600 м.

Отсюда имеем второе уравнение: .6036003600

ух

Составим систему и решим ее:

.20

,15

;16060

,5

;6036003600

,5

у

х

ух

ху

ух

ху

Тогда ./320

60,/4

15

6021 cмvcмv

б) Ответ: .90

1;

80

1

Пусть: v1, v2 – скорости вращения точек, l – длина окружности,

х – длина дуги окружности между точками после 1 с вращения.

По условию имеем систему

,720720

,1011

21

12

lvv

vv

откуда

.901

,8021

vv

l

46

а) Ответ: 900 руб., 360 руб., 150 руб.

Пусть первый изобретатель получил х руб. Тогда второй

получил

60

3

1х руб., третий получил

50

93060

3

1

3

1 хх руб.

Из условия следует уравнение: 1410509

603

1

ххх ,

откуда .1505090

900;36060900

3

1;900 х


Если весь путь мы обозначим через х, то из условия задачи

следует уравнение: ,2580

2320

4

160

5

1хххх откуда

.400х

Группа С

47

а) Ответ: 84 км; скорость пешехода А – 6 км/ч;

пешехода В – 4 км/ч.

Пусть vA = x км/ч, SKD = 8 x км; vВ = у км/ч, SMD = 9y км.

65

Тогда время, которое затратит А на путь из М в D, чx

yt A

9 , а

время которое затратит В на путь из К в D, чy

xtB

8 .

По условию задачи 8х – 9у = 12. Так как пешеход В вышел

раньше, чем А, на 6 ч, то на основании этого составим

уравнение: .698

х

у

у

х

Составим систему уравнений и решим ее:

.5,1

;4

3

,1298

;,6

98

,1298

;698

,1298

1

2

a

а

ух

ау

хгде

аа

ух

х

у

у

х

ух Составим систему

уравнений и решим ее:

.5,1

;4

3

,1298

;,6

98

,1298

;698

,1298

1

2

a

а

ух

ау

хгде

аа

ух

х

у

у

х

ух

а2 не удовлетворяет условию, так как .0y

x

.6

,4

,2

3

,1292

38

;2

3

,1298

x

у

yx

уy

у

х

ух

Расстояние МК = 8∙6+9∙4 = 84 км.

б) Ответ: через 10 с.

Чтобы определить спустя какое время они встретятся нужно

определить их скорости. Скорость второго тела

v2 = 12 м/с. Необходимо найти какой промежуток пути пройдет

первое тело за 5 с. Так как с каждой секундой движения путь его

прохождения увеличивалось на 6 м по сравнению с

предыдущим, то

.902

5)306(,306,6,5 1

nn Sadan

Значит, за 5 с тело пройдет 90 м, а его скорость v1 = 18 м/с. Так

как первое тело прошло до выхода второго уже 90 м, то им

осталось пройти 300 м. И после выхода второго тела они

встретятся через 101218

300

t с.

48


Пусть скорость встречного поезда х м/с. Скорость поезда, в

котором ехал пассажир, 40 км/ч или см /9

100

3600

40000 .

Встречный поезд за 3 с прошел 3х м, а поезд с

пассажиром – .3

133

9

1003м

Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно,

;7533

133 х )/(50

10009

3600125/

9

813 чкмсмх

б) Ответ: 75,6 км/ч; 147 м.

Пусть vп – постоянная скорость поезда, а х км – длина поезда.

Чтобы полностью миновать платформу поезд должен проехать и

свою длину, т.е. (378 + х) (км), а так как наблюдатель

неподвижен, то поезд за 7 с пройдет свою длину. Исходя из

этого, составим систему уравнений:

.21

,147

;37825

,7;

25

378

,7

ппп

п

п

п

v

х

vv

vхх

v

vх

Значит длина поезда 147 м, а ее скорость

67

60 км

х км

6,751000

360021

км/ч.

49

а)Ответ: 0< v ≤20 км/ч.

Пусть х км/ч – первоначальная скорость велосипедиста. Из

условия задачи следует, что x

t AB

60 ч, а

3

11

4

60

x

хtBА

ч, С – точка остановки на расстоянии

х км от В. Особенность задачи в том, что для решения

требуются составить неравенство.

Так как ABBА tt , то .

60

3

11

4

60

хх

х

Решая это неравенство, получим

.0)4(

)36)(20(,0

)4(

720162

хх

хх

хх

хх

Следовательно, 0 < v ≤ 20.

б) Ответ: .3

2

Пусть l – длина дистанции, v1, v2, vм – скорости первого, второго

автомобилей и мотоцикла соответственно. По условию имеем

систему:

(60-х) км

А С В 1 ч

,66060

,4

,60

111

2

1

12

lvv

vv

vv

m

м

откуда v1 = 120l, v2 = 40l, vм= 30l или v1 = 20l, v2 = 15l,

vм= 5l.

Так как ,60

10

mv

l то значение vм= 5l не подходит, поэтому

v2 = 40l. Тогда второй автомобиль за 1 мин проходит 3

2

60

40

l

l

дистанции.

50

а) Ответ: 10 ч и 5ч.

Пусть S – расстояние, которое необходимо пройти, v1, v2 –

скорости первого и второго пешеходов.

Из условия задачи составим систему уравнений

,5)(3

10

),(3

10

,5

,3

13

2

21

1

21

21

21

21

v

vv

v

vv

vvS

v

S

v

S

vv

S

.5,1

),(3

10

2

1

1

2

21

v

v

v

v

vvS

tv

v

1

2 , тогда последнее уравнение системы примет вид

.5,0,25,11

ttt

t

69

Если 21

2 v

vзначит, 5,10

21

v

S

v

S.

б) Ответ: 3ч. 40 мин и 2 ч 12 мин.

Пусть v1, v2 – скорости первого и второго туристов

соответственно, х – время, за которое второй турист проходит

то расстояние, который первый проходит за 2 часа. По условию,

имеем систему

).28(12060

,120

1122

12

xvvvxv

vхv Из первого уравнения

выражаем

2

1

v

v и подставляем во второе уравнение. Из

полученного уравнения находим х = 72 мин. Тогда первый

турист затратил на весь путь 120 + 72 + 28 = 220 (мин), а второй

60 + 72 = 132 (мин).

51

а) Ответ: 16.

Пусть х – число каменщиков в бригаде. Каждый каменщик

должен был укласть х

432 (м2) , но так как на работу вышли на 4

человека меньше, то каждый уклал 4

432

х (м

2). Из условия

задачи следует следующее уравнение:

.9432

4

432

хх

Преобразуя, получим следующее квадратное уравнение:

.019242 хх откуда находим х1 = 16, х2 = –12. Второй корень не

соответствует условию задачи, значит, каменщиков в бригаде

было 16.

б) Ответ: 9.


.4007200

3

7200

хх

Преобразуя, получим следующее квадратное уравнение:

.05432 хх откуда находим х1 = 9, х2 = – 6. Второй корень не соответствует

условию задачи, значит, рабочих в бригаде было 9.

52

а) Ответ: 24 дня

Решение. Обозначим через р1, р2, р3 производительности бригад

в долях задания в день. Из условия следует система

)1(

12

1

,18

1

,36

1

1)(12

,1)(18

,1)(9

.31

32

32

31

32

21

pp

pp

pp

pp

pp

pp

Вычитая из второго неравенства системы (1) первое, получаем

следствие .72

13 p При максимально возможном значении

72

13 p имеем

p

p

p

,72

5

,24

1

,24

1

1

2

2

следовательно,

p

p

p

,72

1

,24

1

,72

5

3

2

1

71

Причем полученная тройка чисел удовлетворяет системе (1).

Таким образом, одна вторая бригада выполняет задание за

241

2

р

(дня).

б) Ответ: 16 часов

Решение. Обозначим через р1, р2, р3 производительности

насосов в долях. Из условия следует система

)1(

24

1

,6

1

,8

1

1)(12

,1)(6

,1)(8

23

23

.21

31

32

21

pp

pp

pp

pp

pp

pp

Вычитая из второго неравенства системы (1) третье, получаем

следствие .48

52 p При максимально возможном значении

48

52 p имеем

p

p

p

16

1

,16

1

,48

1

3

3

1

p

p

p

,16

1

,48

5

,48

1

3

2

1

Причем полученная тройка чисел удовлетворяет системе (1).

Таким образом, один третий насос выполняет задание за

161

3

р

(ч).

53

а) Ответ: 4.

НОК(30,36,45) = 180 (мин). Отсчитывая этот отрезок времени от

1115

, находим все моменты встреч, попадающих в указанный в

условии промежуток: 815

, 1115

, 1415

, 1715

. Всего – 4 раза.

б) Ответ: 6.

НОК(10,12,15) = 60 (мин). Отсчитывая этот отрезок времени от

1305

, находим все моменты встреч, попадающих в указанный в

условии промежуток: 1005

, 1105

, 1205

, 1305

, 1405

, 1505

. Всего – 6

раза.

54

а) Ответ: 2 млн.400 тыс.тенге и 3 млн.600 тыс.тенге.

Пусть первый пакет акций был приобретен за х тыс.тенге, а

второй – за у тыс.тенге. Тогда

.3600

,2400,

76802.14.1

,6000,

76802.14.1

,7680)(28.1

у

х

yх

ух

ух

ух

б) Ответ: 5400 руб. и 8100 руб.

Пусть цена костюма составляет х руб., а плаща - у руб. Тогда

.5400

,8100

;13500

,16202,0

;13500

,91806,08,0

у

у

ух

у

ух

ух

55

а) Ответ: 20 рабочих, 6 часов.

Предположим, что бригада состоит из n рабочих,

продолжительность рабочего дня t часов, а производительность

труда одного рабочего - p долей задания в час. Тогда по

условию задачи имеем

.1)2)(10(21

,1)1)(4(30

,142

ptn

ptn

ntp

Подставляя p из уравнения в неравенства, получаем

73

.240204

,220205

;42)2)(10(21

,42)1)(4(30

nttn

nttn

nttn

nttn

Из этой системы неравенства следует

4n + 20t + 40 ≤ 5n +20t + 20; n ≥ 20.

При минимально допустимом n = 20 последняя система

принимает вид

.6;4012020

,4012020

t

tt

tt

б) Ответ: 40 лесорубов, 8 часов.

Предположим, что бригада состоит из n рабочих,

продолжительность рабочего дня t часов, а производительность

труда одного рабочего p долей задания в час. Тогда по условию

задачи имеем

.1)3

22)(20(7

,1)3

11)(8(10

,114

ptn

ptn

ntp

Подставляя p из уравнения в неравенства, получаем

.3160608

,3806010

;14)3

8)(20(7

,14)3

4)(8(10

nttn

nttn

nttn

nttn

Из этой системы неравенства следует

8n + 60t + 160 ≤ 10n + 60t + 80; n ≥ 40.

При минимально допустимом n = 40 последняя система

принимает вид

.8;12048060

,12048060

t

tt

tt

56


Пусть расстояния АВ = х, ВС = y, CD = z (км). Тогда

.

,15

,2522

2 xzy

yx

zух

Исключая переменные х, z приходим к уравнению

у2 + 25у – 150 = 0. Из двух его корней у1 = 5; у2 = – 30 по смыслу

задачи подходит лишь первый.


Пусть расстояния АВ = х, ВС = y, CD = z (км). Тогда

.2

,21

,252

2 xyz

zy

zух

Исключая переменные х, у приходим к уравнению z2

+ 25z –

84 = 0. Из двух его корней z1 = 3; z2 = – 28 по смыслу задачи

подходит лишь первый.

57


Пусть у – количество исходного раствора, а х – количество соли

в нем. Тогда по условию

.38

3

,05.01

y

x

y

x

y

x

y

х

Отсюда у = 19, х = 17.1. Итак, .9.0y

x

б) Ответ: 30 %.

75

Пусть у – количество исходного раствора, а х – количество соли

в нем. Тогда по условию

.32

,15,03

y

x

y

x

y

x

y

х

Отсюда у = 3, х = 0,9. Итак, .3,0y

x

58


Пусть v км/ч – первоначальная скорость велосипедистов, t ч –

время, прошедшее с момента выезда велосипедистов до

момента изменения скорости первым велосипедистом.

Известно, что на весь путь первый велосипедист затратил 15 ч.

Поэтому

623180)15)(10( tvtvvt . (1)

Возможны два случая.

1 случай. Встреча произошла до момента или в момент

изменения скорости первым велосипедистом. Из условий задачи

получаем уравнение

.15

10,01505,3

102

180

2

180 2

v

vvv

vv

Подходит только положительное значение v = 10. Тогда из (1)

получаем t = 12. Следовательно, в момент t = 12 ч первый

велосипедист находился в 120 км, а второй велосипедист – в

(180–120) = 60 (км) от пункта А. Значит, расстояние между ними

было равно 60 < 70 (км). Таким образом, первый случай

отвечает условиям задачи.

2 случай. Встреча произошла в момент t0 > t. Тогда

0102

2180t

v

vtt

В случае движения первого велосипедиста с увеличенной

скоростью с самого начала имеем 3102

1800

t

v.

Исключая t0 и учитывая уравнение (1), получим систему

.7

,3

20

,623

,1535,

623

,35

t

v

tv

vt

tvv

vtt

Расстояние между велосипедистами в момент t равно

,703

2607

3

2021802180

vt

Что противоречит условию задачи. Итак, v = 10.


Пусть v км/ч – первоначальная скорость велосипедистов, t ч –

время, прошедшее с момента выезда велосипедистов до

момента изменения скорости первым велосипедистом.

Известно, что на весь путь первый велосипедист затратил 11 ч.

Поэтому

38211,60)11)(2( tvtvvt .

Возможны два случая.

1 случай. Встреча произошла до момента или в момент

изменения скорости первым пешеходом. Из условий задачи

получаем уравнение

.6

5,030,1

22

60

2

60 2

v

vvv

vv

Подходит только положительное значение v = 5. Тогда из (1)

получаем t = 8,5. Следовательно, в момент t = 8,5 (ч) первый

пешеход находился в 42,5 км, а второй пешеход ( (60–42,5) =

17,5) км от пункта А. Значит, расстояние между ними было

77

равно 17,5 < 20 (км). Таким образом, первый случай отвечает

условиям задачи.

Также рассматривая и второй случай определим что , v = 5.

59

а) Ответ: 120 грибов и 5 девочек.

Пусть х – число девочек, у – количество грибов.

Из условия задачи следует, что первая девочка получила (20 +

+ 0,04 · (у – 20)) грибов, вторая девочка получила (21 + (у – 20 –

21 – 0,04 (у – 20))) грибов. Так как все девочки получили

одинаковое количество грибов, то приравняем количество

грибов первой девочки и второй.

.120

,192,00016,0

),8,004,041(04,0218,004,020

у

у

ууу

Значит, девочки собрали 120 грибов. Теперь можно посчитать,

сколько взяла первая девочка: 20 + 0,04 · 100 = 24, таким же

образом можно определить, что и вторая девочка взяла 24 гриба.

Значит, девочек было 120 : 24 = 5.

б) Ответ: 162 рыбы и 9 мальчиков.


.162

,62,101,0

)2,01,06(1,042,01,02

)),2(1,042(1,04)2(1,02

у

у

ууу

ууу

Значит, улов мальчиков составил 162 рыбы.

Теперь можно посчитать, сколько получил первый мальчик:

2 + 0,1 · 160 = 18 штук рыбы, таким же образом можно

определить, что и второй мальчик получил 18 штук рыбы.

Значит, мальчиков было 162 : 18 = 9.

Education

Решение текстовых задач по математике