ـتاذاألس أعداد

جديدة طبعة

ومنقحة

للعام الدراسي

2017

لجميع أمثلة وتمارين الفصل الثالثمفصل شرح .

للفصل الثالثحلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية .

أسئلة أضافية محلولة.

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

159

تطبمات التفاضل /الفصل الثالث

المواعد األساسة للمشتمة ) مراجعة (

رمشتمة الدالة الثابتة تساوي صف: الماعدة األولى

(𝟏) ( ) 𝟑 ( ) 𝟎

(𝟐) ( ) √𝟒 ( ) 𝟎

(𝟑) ( ) 𝟐

𝟓 ( ) 𝟎

( ) : أذا كان الماعدة الثانة ( ) فأن ( 𝟏)

(𝟏) ( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟐

(𝟐) ( ) √ .𝟏𝟐/ ( )

𝟏

𝟐 .

𝟏𝟐/

𝟏

𝟐√

(𝟑) ( ) 𝟕 ( ) 𝟕 𝟖 𝟕

𝟖

( ) : أذا كان الماعدة الثالثة ( ) فأن حث (𝟏 ) ( )

(𝟏) ( ) 𝟔 𝟒 ( ) 𝟐𝟒 𝟑

(𝟐) ( ) 𝟕√ 𝟕 .𝟏𝟐/ ( ) 𝟕(

𝟏

𝟐) .

𝟏𝟐/

𝟕

𝟐√

(𝟑) ( ) 𝟓 𝟑 ( ) 𝟏𝟓 𝟒 𝟏𝟓

𝟒

(𝟒) ( ) 𝟗 ( ) 𝟗

: مشتمة مجموعة دوال = مجوع مشتماتها الماعدة الرابعة

(𝟏) ( ) 𝟑 𝟕 ( ) 𝟑 𝟐 𝟕

(𝟐) ( ) 𝟔 𝟒 𝟏

( ) 𝟐𝟒 𝟑

𝟏

𝟐

(𝟑) ( ) 𝟕√ 𝟐

𝟓 ( ) 𝟕 .

𝟏𝟐/ 𝟐 𝟏 𝟓

( ) 𝟕 (𝟏

𝟐) .

𝟏𝟐/ 𝟐 𝟐 𝟓

( ) 𝟕

𝟐√ 𝟐

𝟐 𝟓

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

160

] مشتمة الدالة األولى مشتمة الدالة الثانة + الدالة الثانة مشتمة حاصل ضرب دالتن = الدالة األولى [: الماعدة الخامسة

( ) (𝟒 𝟑 𝟕 )(𝟐 ) ( ) (𝟒 𝟑 𝟕 )(𝟐) (𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐 𝟕) 𝟖 𝟑 𝟏𝟒 𝟐𝟒 𝟑 𝟏𝟒

: مشتمة لسمة دالتن = الماعدة السادسة الممام مشتمة البسط البسط مشتمة الممام

(الممام)𝟐

( ) 𝟐 𝟑 𝟏

𝟒 𝟏 ( )

( 𝟒 𝟏)(𝟔 ) (𝟐 𝟑 𝟏)(𝟒 𝟑)

( 𝟒 𝟏)𝟐 𝟔 𝟓 𝟔 𝟖 𝟔 𝟒 𝟑

( 𝟒 𝟏)𝟐

( ) ن : مشتمة مجموعة دوال مرفوعة ألس مع الماعدة السابعة ( ) فأن ( ) (𝟏 )-( ) , , ( )-

(𝟏) ( ) (𝟒 𝟑 𝟕 )𝟓 ( ) 𝟓(𝟒 𝟑 𝟕 )𝟒 (𝟏𝟐 𝟐 𝟕) (𝟔𝟎 𝟐 𝟑𝟓)(𝟒 𝟑 𝟕 )𝟒

(𝟐) ( ) ( 𝟏)𝟐 (𝟐 𝟐)𝟑 ( ) ( 𝟏)𝟐 ,𝟑(𝟐 𝟐)𝟐(𝟐)- (𝟐 𝟐)𝟑 ,𝟐( 𝟏)(𝟏)-

( ) 𝟔( 𝟏)𝟐(𝟐 𝟐)𝟐 𝟐(𝟐 𝟐)𝟑( 𝟏)

(𝟑) ( ) 𝟐√𝟒 𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 (𝟒 𝟑 𝟐 )𝟏𝟐

( ) 𝟐 6(𝟏

𝟐) (𝟒 𝟑 𝟐 )

𝟏𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐)7 (𝟒 𝟑 𝟐 )

𝟏𝟐 ,𝟐 -

𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐)

𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 )𝟏𝟐

𝟐 (𝟒 𝟑 𝟐 )𝟏𝟐

( ) 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 (𝟒 𝟑 𝟐 )

𝟐(𝟒 𝟑 𝟐 )𝟏𝟐

𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖 𝟐

𝟐√𝟒 𝟑 𝟐

المواعد األساسة ألشتماق الدوال الدائرة

(𝟒) ( ) ( ) 𝟐( )

(𝟏) ( ) ( ) ( )

(𝟓) ( ) ( )

(𝟐) ( ) ( ) ( )

(𝟔) ( ) ( )

(𝟑) ( ) ( ) 𝟐( )

بعض الموانن والعاللات المهم

(𝟐 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

161

(𝟐 ) 𝟐

𝟏 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐

( )

𝟏 𝟐

𝟏 (𝟐 )

𝟐

𝟐 𝟏 (𝟐 )

𝟐

( )

( ) (تعكس األشارة)

مشتمة كال مما أت : جد/ مثال

(𝟏) ( ) √ ( ) 𝟏

𝟐 √

(𝟐) ( )

𝟐 ( )

𝟏

𝟐

(𝟑) ( )

( ) ( ) ( 𝟏) ( )

𝟏

(𝟒) ( ) ( )

(𝟓) ( ) √ ( ) 𝟏

𝟐√ √

(𝟔) ( ) √ ( ) 𝟏

𝟐√

(𝟕) ( ) 𝟐 ( )𝟐 ( ) 𝟐

(𝟖) ( ) 𝟐 ( )𝟐 ( ) 𝟐

(𝟗) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 𝟐 𝟐 ( ) (𝟐 )

(𝟗) ( ) ( ) 𝟐 𝟏 ( ) ( 𝟐 𝟏) 𝟏 ( ) 𝟐

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

162

المشتمات ذات الرتب العلا

0دالة تتوافر فها شروط األشتماق فأن مشتمتها األولى ه ( ) أذا كانت

وه تمثل 1( )

فأن مشتمتها الثانة تكون أضا دالة جددة ورمز لها بالرمز دالة جددة , والدالة الجددة أذا كانت لابلة لألشتماق

0حث 𝟐

𝟐, والدالة الجددة أذا كانت لابلة لألشتماق فأن مشتمتها الثالثة تكون أضا دالة 1( )

0حث لرمز جددة ورمز لها با 𝟑

𝟑عدد صحح موجب فأن المشتمة (n)وهكذا فأذا كان 1( )

( ) 0تكون كالتال (n) من الرتبة

( )1

مالحظات عامة

لذا فأن : ( )تمثل أزاحة الجسم عند أي زمن ( )حث - ( ) ,أذا كانت

( )تمثل السرعة اللحظة للجسم ورمز لها بالرمز وه )المشتمة األولى( ① ( )

𝟐

𝟐 ( ))معدل تغر السرعة ( ورمز لها بالرمز للجسم التعجلتمثل وه ( الثانة )المشتمة ② ( )

𝟑

𝟑 تغر الزمن للتعجل(التمثل )معدل وه )المشتمة الثالثة( ③ ( )

شتمة بعض الدوال لابلة لألشتماق أكثر من مرة , لذا فأن مشتمة ناتج األشتماق األول تسمى بالمشتمة الثانة , وم ④

ق الثان تسمى بالمشتمة الثالثة ناتج األشتما

ضمنة المشتمـــــــــة ال

بعد ( )نضف ( )ـ بالنسبة لل ( )و ( )فعند أشتماق معادلة تحتوي على ( )دالة بداللة ( ) أذا كانت

كما ف المثال التال : أكبر من واحد ( ( )) وتستخدم المشتمة الضمنة عندما كون لمة أس ( )كل مشتمة لل

لكال مما أت : ( )أوجد / مثال

① 𝟐 𝟐 𝟒

( 𝟐)⇒

② 𝟐 𝟐 𝟑

( ) ( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

163

فجد 𝟐 أذا كان /(1(مثال 𝟒

𝟒

/الحل

𝟐

( 𝟐 )(𝟐) 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 ( 𝟐 𝟐 )(𝟐) 𝟒 𝟐

𝟑

𝟑 (𝟒 𝟐 )(𝟐) 𝟖 𝟐

𝟒

𝟒 (𝟖 𝟐 )(𝟐) 𝟏𝟔 𝟐

𝟐 علمت بأن أذا /( (مثال 𝟐 على أن : فبرهن 𝟏 𝟑

𝟑 𝟑

𝟐

𝟐

𝟎

/الحل

𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 (

) 𝟐 𝟎 ( 𝟐)

(

) (واالن نشتك الطرفن بالنسبة للمتغر ) 𝟎

4 𝟐

𝟐5 (

) (

) 𝟏 𝟎

4 𝟐

𝟐5 (

)𝟐

𝟏 (واالن نشتك الطرفن بالنسبة للمتغر مرة أخرى ) 𝟎

. 𝟑

𝟑/ .

𝟐

𝟐/

𝟐

. 𝟐

𝟐/ 𝟎 𝟎 .

𝟑

𝟑/ 𝟑.

𝟐

𝟐/

𝟎

𝟑

𝟑 𝟑

𝟐

𝟐

(وهو المطلوب) 𝟎

𝟏𝟑 لتكن / مثال فجد المشتمة الثانة 𝟎 𝟎 حث 𝟎

/الحل

𝟎 𝟎

المشتمة األولى 𝟎

𝟐

𝟐

𝟎 (𝟏) 𝟎

𝟐 𝟎 𝟐

المشتمة الثانة

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

164

( ) كانت أذا /مثال 𝟐 (𝟏) وكان (𝟏) وكان 𝟓 (𝟏) وكان 𝟑 فجد 𝟒

/الحل

(𝟏) (𝟏)𝟐 (𝟏) معادلة ① 𝟓 𝟓

( ) 𝟐 (𝟏) 𝟐 (𝟏) معادلة ② 𝟑 𝟐 𝟑

( ) 𝟐 (𝟏) نعوض ف ② 𝟐 𝟒 𝟐

𝟐 𝟑 𝟐( 𝟐) 𝟑 𝟑 𝟒 𝟕 نعوض ف ①

( 𝟐) (𝟕) 𝟓 𝟓 𝟐 𝟕 𝟎

فبرهن أن أذا كانت /مثال 𝟐

𝟐 𝟐

/الحل

𝟐

𝟐 ( ) 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

(𝟑 تمارين(𝟏

جد / 1س 𝟐

𝟐 :لكل مما أت

( ) √𝟐 𝟐

/الحل

(𝟐 )𝟏𝟐

𝟏

𝟐 (𝟐 )

𝟏𝟐 ( 𝟏)

𝟏

𝟐 (𝟐 )

𝟏𝟐

𝟐

𝟐 ( 𝟏

𝟐 ) ( 𝟏

𝟐) (𝟐 )

𝟑𝟐 ( 𝟏)

𝟏

𝟒(𝟐 )𝟑𝟐

𝟏

𝟒 √(𝟐 )𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

165

( ) 𝟐

𝟐 𝟐

/الحل

(𝟐 )( 𝟏) (𝟐 )(𝟏)

(𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐

(𝟐 )𝟐

𝟒

(𝟐 )𝟐 𝟒(𝟐 ) 𝟐

𝟐

𝟐 ( 𝟒)( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑(𝟏)

𝟖

(𝟐 )𝟑

( ) 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 𝟐 𝟎

/الحل

𝟐 [

] 𝟒

𝟎 𝟎

𝟐

𝟐 𝟒

𝟎

(𝟐 𝟒) 𝟐

𝟐

(𝟐 𝟒)

𝟐 6 𝟐

𝟐

7 𝟐

𝟒

𝟐

𝟐 𝟎

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟒

𝟐

𝟐 𝟎

𝟐

𝟐 (𝟐 𝟒) 𝟒

𝟐

𝟐 (𝟐 𝟒) ( 𝟒)

𝟐

(𝟐 𝟒)

𝟐

𝟐

𝟖

(𝟐 𝟒)𝟐

𝟖

𝟒( 𝟐)𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

( 𝟐)𝟐

السؤالطرمة أخرى لحل

𝟐 𝟒 𝟓

(𝟐 𝟒) 𝟓 𝟓

(𝟐 𝟒)

𝟓

𝟐( 𝟐)

𝟓

𝟐( 𝟐) 𝟏

𝟓

𝟐( 𝟏)( 𝟐) 𝟐(𝟏)

𝟓

𝟐( 𝟐) 𝟐

𝟐

𝟐 𝟓

𝟐( 𝟐)( 𝟐) 𝟑(𝟏) 𝟓( 𝟐) 𝟑

𝟐

𝟐

𝟓

( 𝟐)𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

166

جد / 2س :لكل مما أ ت (𝟏)

( ) ( ) 𝟒√𝟔 𝟐 𝟑

/الحل

( ) 𝟒(𝟔 𝟐 )𝟏𝟐 ( ) 𝟒 (

𝟏

𝟐) (𝟔 𝟐 )

𝟏𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 )

𝟏𝟐

( ) 𝟒 ( 𝟏

𝟐) (𝟔 𝟐 )

𝟑𝟐 ( 𝟐) 𝟒(𝟔 𝟐 )

𝟑𝟐

( ) 𝟒(

𝟑

𝟐) (𝟔 𝟐 )

𝟓𝟐 ( 𝟐) 𝟏𝟐(𝟔 𝟐 )

𝟓𝟐

𝟏𝟐

(𝟔 𝟐 )𝟓𝟐

(𝟏)

𝟏𝟐

(𝟔 𝟐)𝟓𝟐

𝟏𝟐

(𝟒)𝟓𝟐

𝟏𝟐

(𝟐𝟐)𝟓𝟐

𝟏𝟐

(𝟐)𝟓 𝟏𝟐

𝟑𝟐 𝟑

𝟖

( ) ( )

/الحل

( ) ( )

( ) ( ) 𝟐

( ) 𝟐 ( ) 𝟑

(𝟏) 𝟑 (𝟏) 𝟑( 𝟏) 𝟑

( ) ( ) 𝟑

𝟐 𝟐

/الحل

( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟏 ( ) 𝟑(𝟐 ) 𝟐 ( 𝟏) (𝟐 ) 𝟐

( ) 𝟑( 𝟐)(𝟐 ) 𝟑 ( ) (𝟐 ) 𝟑

( ) ( )(𝟐 ) 𝟒 ( 𝟏) 𝟏𝟖(𝟐 ) 𝟒

𝟏𝟖

(𝟐 )𝟒

(𝟏)

( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

167

فبرهن أن أذا كانت / 3س 𝟐

𝟐 𝟐 (𝟏 حث (𝟐

(𝟐 𝟏)

𝟐

/الحل

𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 ) 𝟐 (𝟏 𝟐)

(𝟒) : فبرهن أن أذا كانت / 4س 𝟒 𝟎

/الحل

(𝟏)

𝟐

𝟐 ( ) (𝟏) 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟑

𝟑 𝟐

𝟒

𝟒 𝟐

𝟒

𝟒 𝟐 𝟐

𝟒

𝟒 /و هـ م. 𝟎 𝟒 (𝟒) 𝟎 𝟐 𝟐

المعدالت المرتبطة

نتبع الخطوات التالة :وه أحدى تطبمات المشتمة الضمنة لحل مسائل المعدالت المرتبطة بالزمن

حــدد العاللــة نضــع لهــا الرمــوز ونحــدد المترــرات والثوابــت ونألة )أن أحتجــت الــى ذلــن ( وــــــــم مخطــط للمســـــــــنرس ① الرئسة لحل السؤال

نحاول أجاد عاللة أخرى بن المتررات لك مل عدد المتررات الداخلة ف الحل ②

)الزمن( tنشتك الطرفن بالنسبة للمترر ③

نعوض معطات السؤال من المتررات بعد األشتماق فنتج المطلوب ④

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

168

رب منه ــــتس 𝟐 ضلعها سطوح مستطلة لاعدته مربعة طول خزان مملوء بالماء على شكل متوازي(/1مثال )

𝟑 𝟒 𝟎الماء بمعدل tجد معدل ترر أنخفاض الماء ف الخزان عند أي زمن ⁄ 2د / 2013وزاري 1د / 2011وزاري

/الحل

{

نفرض ارتفاع الماء ف الخزان

مســـــــــــــاحة الماعـــــــــدة

نفرض حجم الماء ف الخزان

tأي زمن ف

[ مساحة الماعدة األرتفاع] = ( )العاللة ه لانون حجم الخزان

(𝟐)𝟐 𝟒

األن نشتك بالنسبة للزمن

𝟒

𝟎 𝟒 𝟒

𝟎 𝟒

𝟒 𝟎 𝟏 ( ⁄ )

⁄ 𝟏 𝟎)معدل ترر أنخفاض الماء ف الخزان = ∴ )

بحـث ⁄ 𝟐تمـدد طولــــــها بمعـدل 𝟐 𝟗𝟔صفحة مستطلة من المعـدن مسـاحتها تسـاوي (/2مثال ) 𝟖صان ف عرضها عندما كون عرضها تبمى مساحتها ثابتة , جد معدل النم

2د / 2011وزاري 3د / 2014وزاري /الحل

8نفرض طول المستطل

نفرض عرض المستطل t ف اي زمن

- , = ( )العاللة ه مساحة المستطل

𝟗𝟔 (نحسب لمة ) معادلة①

𝟗𝟔 (𝟖) 𝟗𝟔

𝟖 𝟏𝟐

بالنسبة للزمن األن نشتك معادلة ①

𝟎

(𝟏𝟐)

(𝟖)(𝟐) 𝟎

𝟏𝟔

𝟏𝟐 𝟒

𝟑 ( ⁄ )

.معدل التنالص ف عرض المستطل = ∴ 𝟒

𝟑 ⁄ /

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

169

فـأذا بـدأ الجلـد , مرطـى بطبمـة مـن الجلـد بحـث شـكله بمـى مكعـب 𝟖مكعب صلد طـول حرفـه (/3مثال )

𝟑 𝟔بمعدل بالذوبان 𝟏فجد معدل النمصان بسمن الجلد ف اللحظة الت كون فها هذا السمن = ⁄ 1د / 2015وزاري /الحل

8نفرض سمن الجلد

نفرض حجم الجلد tف أي زمن

.المطلوب حساب

.حث ( 𝟏 )عندما /

𝟔 𝟑 ⁄ /

حجم المكعب مغطى بالجلد حجم المكعب األصل حجم الجلد

(𝟖 𝟐 )𝟑 (نشتك بالنسبة للزمن) 𝟑(𝟖)

𝟑(𝟖 𝟐 )𝟐(𝟐)

𝟎

𝟔 𝟔(𝟖 𝟐(𝟏))𝟐

𝟏 (𝟏𝟎)𝟐

𝟏

𝟏𝟎𝟎 ⁄

0.01 ⁄ لذا فأن معدل النمصان ف سمن الجلد =

الطـر اذا انزلـك على حائط رأســــ , ف السفل على أرض أفمة وطرفه العلويستند طرفه ا 𝟏𝟎سلم طوله (/4مثال )

:عن الحائط فجد 𝟖عندما كون الطر األسفل على بعد ⁄ 𝟐 مبتعد مبتعدا عن الحائط بمعدل لسفاأل

سرعة ترر الزاوة بن السلم واألرض ②معدل أنزالق الطر العلوي ①

1د / 2012وزاري 2د / 2014وزاري ① /الحل

أي لحظة ف عن الحائطنفرض بعد الطر األسفل

أي لحظة عن األرض ف بعد الطر األعلى نفرض

نفرض لـــــاس الزاوـــــة بــــن الســــلم واألرض

𝟐 𝟐 (فثاغورس) 𝟏𝟎𝟎

𝟔𝟒 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟑𝟔 𝟔

𝟐 𝟐 (نشتك الطرفن) 𝟏𝟎𝟎

𝟐

𝟐

𝟎

𝟐(𝟖)(𝟐) 𝟐(𝟔)

𝟎

𝟑𝟐 𝟏𝟐

𝟎 𝟏𝟐

𝟑𝟐

𝟖

𝟑 ( ⁄ )

معدل انزالق الطرف العلوي ∴𝟖

𝟑 ⁄ =

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

170

② /الحل

(نشتك الطرفن)

( نعوض لمة )

( نضرب الطرفن ب 𝟏𝟎 )

( نمسم الطرفن على 𝟖 )

( ⁄ سرعة تغر الزاوة بن السلم واالرض (

وطــول لطــر 𝟐𝟒 اوي ـــــــه الــى االســفل ارتفاعــه ســــــــمرشــح مخروطــ لاعدتــه أفمــة ورأس (/5مثــال )

𝟑 𝟓صب فه سائل بمعدل 𝟏𝟔لاعدته 𝟑 𝟏بنما تسرب منه السا ئل بمعـدل ⁄ جـد معـدل ⁄ 𝟏𝟐اللحظة الت كون فها عمك السائل السائل ف ترر عمك

/الحل

{

نفرض أرتفاع الســـــــائل

نفرض نصف لطر الماعدة

نفرض حجم الســــــــائل

tف أي زمن

معدل تغر حجم السائل معدل الصب معدل التسرب

𝟓 𝟏 𝟒 ( 𝟑 ⁄ )

مالحظة

العاللة ه حجم السائل ف المرشح المخروط

𝟏

𝟑 معادلة① 𝟐

نعوض ف معادلة①

𝟏

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 (

𝟑)𝟐

𝟏

𝟐𝟕 𝟑

𝟐𝟕 (نشتك بالنسبة للزمن) 𝟑

𝟐𝟕 𝟑 𝟐

𝟗 𝟐

𝟒

𝟗 (𝟏𝟐)𝟐

(𝟒)(𝟗)

𝟏𝟒𝟒 𝟏

𝟒 ( ⁄ معدل أزداد أرتفاع السائل (

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

171

𝟐 نمطــة متحركــة علــى منحنــ المطــع المكــاف Mلــتكن (/6مثــال ) بحــث كــون معــدل أبتعادهــا عــن النمطــة 𝟒

𝟒 عنــــدما كــــون Mللنمطــــة جــــد المعــــدل الزمنــــ لترــــر األحــــداث الســــن ⁄ 𝟐 𝟎 ســــاوي (𝟎 𝟕)

/الحل

( ) للمطع المكافئلتكن النمطة

( ) لتكن النمطة

S المسافة بنN , M

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)𝟐

√( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐

√ 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟒 ( 𝟐 𝟒 )

√ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗 ( 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗)𝟏 (نشتك بالنسبة للزمن) 𝟐

𝟏

𝟐( 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗)

𝟏𝟐 (𝟐 𝟏𝟎)

𝟐 𝟏𝟎

𝟐 √ 𝟐 𝟏𝟎 𝟒𝟗

𝟎 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟏𝟎

𝟐 √(𝟒)𝟐 𝟏𝟎(𝟒) 𝟒𝟗

𝟎 𝟐 𝟐

𝟐√𝟐𝟓

𝟎 𝟐

𝟐

𝟏𝟎

𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

𝟏 ( ⁄ )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

172

(𝟑 تمارين(𝟐

ن ـسلم ستند طرفه األسفل على أرض أفمة وطرفـه األعلـى علـى حـائط رأسـ فـأذا أنزلـك الطـر األسـفل مبتعـدا عـ / 1س

فجد معدل أنزالق الطر العلوي عندما كون لاس الزاوة بن السلم واألرض تساوي 𝟐الحائط بمعدل

𝟑

/الحل

①الطريقة

{

نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم

نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار

نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض

نفرض الزاوة بن الســــــــلم و األرض

tف أي زمن

ه فثاغورس العاللة

𝟐 𝟐 𝟐 معادلة①

𝟑

√𝟑

𝟐

𝟑

𝟏

𝟐

بالنسبة للزمن ①األن نشتك المعادلة

𝟐

𝟐

𝟎 𝟐 (

𝟏

𝟐 ) (𝟐) 𝟐4

√𝟑

𝟐 5

𝟎

𝟐 √𝟑

𝟎

𝟐

√𝟑 𝟐

√𝟑 ( ⁄ )

= الطر العلوي للسلم معدل االنزالق 𝟐

√𝟑 m/s

②الطرمة

𝟑

√𝟑

√𝟑

بالنسبة للزمن ①األن نشتك المعادلة

𝟐

𝟐

𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐(√𝟑 )

𝟎

𝟒 𝟐√𝟑

𝟎

𝟒

𝟐√𝟑 𝟐

√𝟑 ( ⁄ )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

173

ــود طول / 2س ـــعم ــه مصــباح تحــرن رجــل طول 𝟐 𝟕 ه ــ ــ نهات ـــــــــف ــود 𝟖 𝟏 هـ ــدا عــن العم مبتع

1د / 2013وزاري جد معدل ترر طول ظل الرجل ⁄ 𝟑𝟎رعة ــــوبس

/الحل

8نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح

نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل حث tف أي زمن

𝟑𝟎

(tan)او أستعمال العاللة ه تشابه مثلثات

𝟕 𝟐

ف المثلث الكبر

𝟏 𝟖

ف المثلث الصغر

𝟕 𝟐

𝟏 𝟖

𝟒

𝟏

(نشتك بداللة ) 𝟑 𝟒

𝟑

. /

𝟑 𝟑𝟎

𝟑 𝟏𝟎 ( ⁄ )

⁄ ) 𝟏𝟎= معدل ترر طول ظل الرجل )

𝟐 جد النمط الت تنتم للدائرة / 3س 𝟐 والت عندها كون المعدل الزمن 𝟏𝟎𝟖 𝟖 𝟒

3د / 2012وزاري tبالنسبة للزمن ( )ساوي المعدل الزمن لترر ( )لترر

/الحل

𝟐 )وه العاللة معطاة 𝟐 حث (𝟏𝟎𝟖 𝟖 𝟒

𝟐

𝟐

𝟒

𝟖

𝟎 (

ب

( نعوض بدل كل

𝟐

𝟐

𝟒

𝟖

𝟎 (𝟐

(نمسم المعادلة على

𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 ( نعوضها ف العاللة المعطاة)

(𝟐 )𝟐 𝟐 𝟒(𝟐 ) 𝟖 𝟏𝟎𝟖

𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟖 𝟏𝟎𝟖

𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗𝟔

𝟐 𝟖 𝟒𝟖 𝟐 𝟖 𝟒𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟐)( 𝟒) 𝟎

𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎

𝟒 𝟐 ( 𝟒) 𝟔

النمطتان( )( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

174

عندما كون المعدل الزمن ألبتعادها Mجد أحداث النمطة 𝟐 نمطة تتحرن على المطع المكاف M لتكن / 4س

𝟎.عن النمطة 𝟑

𝟐 2د / 2012وزاري Mساوي ثلث المعدل الزمن لترر األحداث الصا دي للنمطة /

/الحل

( ) للمطع المكافئلتكن النمطة

𝟐

𝟑

𝟎. لتكن النمطة 𝟑

𝟐 /

S المسافة بنN , M

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟑

𝟐)𝟐

√ 𝟐 ( 𝟑

𝟐)𝟐

√ ( 𝟐 𝟑 𝟗

𝟒)

( 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒)

𝟏𝟐 (نشتك بالنسبة للزمن)

𝟏

𝟐( 𝟐 𝟐

𝟗

𝟒)

𝟏𝟐 (𝟐

𝟐

)

(𝟐 𝟐)

𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗𝟒/

𝟏𝟐

𝟐

𝟑

(𝟐 𝟐)

𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗𝟒/

𝟏𝟐

𝟐

𝟑

𝟐( 𝟏)

𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟗𝟒

𝟐√ 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒 ( تربع الطرفن ) (𝟏 )𝟑

𝟒( 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒) 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟏)

𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟗 𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟓 𝟐 𝟏𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎

تهمل(𝟎 𝟎) 𝟎 𝟎

𝟐 √𝟐 ( √𝟐 𝟐)

( √𝟐 𝟐)

⁄ 𝟑 𝟎)متوازي سطوح مستطلة ابعاده تترر بحث تبمى لاعدتـه مربعـة الشـكل ز ـزداد طـول ضـلع الماعـدة بمعـدل / 5س )

⁄ 𝟓 𝟎)وأرتفاعه تنالص بمعدل ( 𝟑)واالرتفاع ( 𝟒)جد معدل ترر الحجم عندما كون طول ضلع الماعدة (

/الحل

{

نفرض طول ضلع الماعدة

نفرض ارتفاعـــــــــــــه

حجمــــــــــــــــــــــه

tف أي زمن

الطول العرض االرتفاع العاللة ه لانون الحجم حث

(نشتك بالنسبة للزمن) 𝟐

𝟐

(𝟐 )

( نعوض المجاهل)

(𝟒)𝟐 ( 𝟎 𝟓) (𝟑) (𝟐 𝟒)(𝟎 𝟑)

(𝟏𝟔)( 𝟎 𝟓) (𝟎 𝟗)(𝟖) 𝟖 𝟕 𝟐 𝟎 𝟖 ( 𝟑 ⁄ )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

175

أمثلة أضافة محلولةسلم ستند طرفه األسفل على أرض أفمة وطرفه األعلى على حائط رأس فأذا أنزلك الطر األسفل مبتعدا /مثال

فجد معدل أنزالق الطر العلوي عندما كون لاس الزاوة بن السلم واألرض ( 𝟐)عـن الحائط بمعدل

تساوي

𝟒

/ الحل

①الطريقة

{

نــــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم

نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار

نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض

نفرض الزاوة بن الســــــــلم و األرض

tف أي زمن

العاللة ه فثاغورس

𝟐 𝟐 𝟐 معادلة①

𝟒

𝟏

√𝟐

𝟒

𝟏

√𝟐

بالنسبة للزمن ①األن نشتك المعادلة

𝟐

𝟐

𝟎 𝟐 (

𝟏

√𝟐 ) (𝟐) 𝟐(

𝟏

√𝟐 )

𝟎

𝟐√𝟐 √𝟐

𝟎

𝟐√𝟐

√𝟐 𝟐( ⁄ )

( ) 𝟐معدل االنزالق = ∴

②الطريقة

𝟒

𝟏

بالنسبة للزمن ①األن نشتك المعادلة

𝟐

𝟐

𝟎 𝟐( )(𝟐) 𝟐( )

𝟎

𝟒 𝟐

𝟎

𝟒

𝟐 𝟐( ⁄ )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

176

وحـدة مربعـة فـأذا أزداد طـول محـوره ( 𝟔𝟎)لطعة معدنة على شكل لطـع نـالص بمسـاحة ثابتـة تسـاوي /مثال

وحــدة طول/دلمـة فجـد معــدل النمصـان فـ طــول محـوره االكبـر عنــدما كـون طـول محــوره (𝟐 𝟎)األصـرر بمعـدل

وحدة طول (𝟏𝟐)االصرر

/ الحل

8 نفرض طول المحور االكبر

نفرص طول المحور االصغر tف اي زمن

حثالعاللة ه لانون المساحة

𝟔𝟎

𝟔𝟎 .

𝟐/ .

𝟐/ (

( نضرب الطرفن ب

𝟐𝟒𝟎 𝟐𝟒𝟎

(نشتك بالنسبة للزمن) 𝟏 𝟐𝟒𝟎

𝟐𝟒𝟎 𝟐

( 𝟐𝟒𝟎

𝟐)

( 𝟐𝟒𝟎

(𝟏𝟐)𝟐) (𝟎 𝟐)

𝟒𝟖

𝟏𝟒𝟒 𝟏

𝟑

دلمة ) معدل النمصان ف طول محوره االكبر ∴ ⁄وحدة طول ) 𝟏

𝟑

******************************************************************

𝟑 𝟑 ) بمعدلكــرة مملــؤة بالرــاز تســرب منهــا الرــاز : 1س ⁄ جــد معــدل النمصــان فــ طــول نصــ لطرهــا (

.كون حجمها اـــــعندم𝟑𝟐

𝟑 /

𝟐 √ نمطة مادة تتحرن على المنحن الذي معادلته : 2س نـر األحداث الســـــفأذا كان معدل تر 𝟕

⁄ 𝟑)للنمطة = (0,0)جد معدل ترر بعد النمطة عن نمطة األصل , x=4عندما (

عـن بتعـاد ذا أخـذ الرجـل باالافـ (m 7)م أمام مصباح رتفع عن سطح األرض (cm 175)رجل طوله : 3س

فجد معدل ازداد طول ظل الرجل (m/s 6)لاعدة المصباح بمعدل

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

177

والممة المتوسطة رول تامبرهن

فأن :- ,دالة معرفة على الفترة المرلمة أذا كانت أذا وفمط أذا : - , حث تأخذ لمة عظمى عند ①

𝒙 , - لكل ( ) ( ) أذا وفمط أذا : - , حث تأخذ لمة صررى عند ②

𝒙 , - لكل ( ) ( )

لمـة عظمـى أو لمـة صـررى وكان للدالة - ,دالة معرفة على الفترة المرلمة أذا كانت (𝟏 𝟑) مبرهنة

( ) فأن ةموجود ( ) وأن ( ) ث ـح Cعند 𝟎

مبرهنة (critical number)بأنه عدد حرج Cن العدد ــــــــمال عـ Cمعرفة عند العدد الدالة لتكن (𝟐 𝟑)

( ) أذا كان بالنمطة الحرجة (( ) )وتسمى Cة غر لابلة لالشتماق ف ــــأو ان الدال 𝟎

-𝟏 𝟏 , لتكن (/1مثال ) ( ) تمتلن لمة عظمى او صررى , بن هل الدالة | |

/ الحل

𝟎 عند وتمتلن أصرر لمة 𝟏 𝟏 تمتلن أعظم لمة عند كل من الدالة

( ) غر موجودة وهذا ال شترط أن كون (𝟎) أي أن 𝟎 غر لابلة لألشتماق عند الدالة 𝟎

وأن غر موجودة لذا مال أن العدد " صفر " هو العدد الحرج للدالة (𝟎) ) والحظ أن الدالة معرفة عند الصفر وأن

ه النمطة الحرجة (ز ((𝟎) 𝟎)النمطة

( ROLLE'S THEOREMمبرهنة رول )

f اذا كانت الدالة

( ) ③ ( )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ② - ,مستمرة ف الفترة المرلمة ① ( )

( ) بحث ( )نتم الى الفترة ت لمة واحدة فأنه وجد على األلل كما مبن أدناه 𝟎

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

178

مالحظات

ا وجود نمطة واحدة على األلل تنتم للمنحن وتكون موازة لمحور السنات ـهذه النظرة تعن هندس 𝟏

تنطبك الثالثة فأن مبرهنة رول العند عدم توفر أحد الشروط 𝟐

الممكنة : بن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالة ؟ ثم جد لمة (/2مثال )

( ) ( ) (𝟐 )𝟐 ,𝟎 𝟒-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟒 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟒 𝟎)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟎) (𝟒) نوجد ③

( ) (𝟐 𝟎)𝟐 (𝟐)𝟐

( ) (𝟐 𝟒)𝟐 ( 𝟐)𝟐

(𝟎) (𝟒)

( ) ونفرض ( )تحمك مبرهنة رول لذا نفرض الدالة ضمن الفترة المعطاة 𝟎

( ) (𝟐 )𝟐 ( ) 𝟐(𝟐 )

( ) 𝟐(𝟐 ) 𝟐(𝟐 ) 𝟎

𝟐 (𝟎 𝟒)

( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟏-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟏 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟏 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟏) (𝟏 ) نوجد ③

( ) 𝟗(𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 (𝟏)𝟑 𝟗 𝟑 𝟏

( ) 𝟗( 𝟏) 𝟑( 𝟏)𝟐 ( 𝟏)𝟑 𝟗 𝟑 𝟏

( 𝟏) (𝟏)

تحمك مبرهنة رول ألن الشرط الثالث لم تحمك الالدالة

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

179

( ) ( ) { 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟐-

𝟏 , 𝟒 𝟏-

/ الحل

-𝟐 𝟒 ,مجال الدالة

الشرط األول ①

( 𝟏)

( 𝟐 𝟏) 𝟐 𝟏

( 𝟏)

( 𝟏) 𝟏 𝟐

𝟏 -𝟐 𝟒 ,ف الفترة الدالة غر مستمرة ألن 𝟐 ال تحمك مبرهنة رول الدالة

( ) ( ) , -

/ الحل

النها دالة ثابتة - ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

( )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

( ) ( ) نوجد ③ ( ) ( ) ( ) ( )

( )مكن أن تكون أي لمة ضمن الفترة تحمك مبرهنة رول وأن لمة الدالة

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة عند تحمك المبرهنة بن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالة ؟ ثم جد لمة /مثال

(𝟏) ( ) 𝟒 𝟖 𝟐 , 𝟐 𝟐-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟐 𝟐 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

(𝟐 𝟐 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟐 ) (𝟐) نوجد ③

(𝟐) (𝟐)𝟒 𝟖(𝟐)𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔

( 𝟐) ( 𝟐)𝟒 𝟖( 𝟐)𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟔

( ) ( )

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) 𝟒 𝟖 𝟐 ( ) 𝟒 𝟑 𝟏𝟔

( ) 𝟒( 𝟑) 𝟏𝟔( ) 𝟒 ( 𝟐 𝟒) 𝟎

𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟒 𝟐 ( 𝟐 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

180

(𝟐) ( ) ,𝟎 𝟐 -

/ الحل

ألنها دالة دائرة - 𝟐 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

( 𝟐 𝟎)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

( 𝟐) (𝟎) نوجد ③

( ) (𝟎)

(𝟐 ) (𝟐 )

(𝟎) (𝟐 )

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) ( )

( ) ( ) ( )

𝟐

𝟐 (𝟎 𝟐 )

𝟑

𝟐

𝟑

𝟐 (𝟎 𝟐 )

(𝟑) ( ) 𝟗 ,𝟓 𝟗-

/ الحل

النها دالة ثابتة -𝟗 𝟓,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

(𝟗 𝟓)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ② (𝟗) (𝟓) نوجد ③

( ) 𝟗 ( ) 𝟗 (𝟓) (𝟗)

(𝟗 𝟓)مكن أن تكون أي لمة ضمن الفترة تحمك مبرهنة رول وأن لمة الدالة

(𝟒) ( ) √𝟏𝟔 𝟐 , 𝟐 𝟐-

/ الحل

𝟏𝟔 𝟐 𝟎 𝟐 أوسع مجال للدالة -𝟒 𝟒 , 𝟒 𝟏𝟔 النها مستمرة على المجموعات الجزئة -𝟒 𝟒 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ① الحظ (𝟒 𝟒 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

( ) 𝟐

𝟐√𝟏𝟔 𝟐

√𝟏𝟔 𝟐

(𝟐 ) (𝟐) نوجد ③

( ) √𝟏𝟔 (𝟐)𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐

( ) √𝟏𝟔 ( 𝟐)𝟐 √𝟏𝟔 𝟒 √𝟏𝟐 (𝟐) ( 𝟐)

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( )

√𝟏𝟔 𝟐 ( )

√𝟏𝟔 𝟐 𝟎 𝟎 ( 𝟒 𝟒)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

181

(𝟓) ( ) √ 𝟐𝟑

, 𝟏 𝟏-

/ الحل

Rالنها مستمرة على المجموعة الحممة -𝟏 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

ألنها غر معرفة عند الصفر الحظ (𝟏 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة غر ②

( ) 𝟐

𝟑 𝟏

𝟑 𝟐

𝟑4 𝟏 𝟑5

𝟐

𝟑 √ 𝟑

ألن الشرط الثان غر متحمك مكن تطبمها وال ال تتحمك مبرهنة رول ∴

******************************************************************

الممكنة Cالتالة ؟ وجد لمة بن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال

(𝟐) ( ) 𝟒 𝟒 𝟐 الفترة-𝟓 𝟓 , 𝟏

(𝟏) ( ) 𝟑 𝟐 الفترة-𝟒 𝟒 , 𝟏𝟏 𝟏𝟐

(𝟒) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 الفترة-𝟎 𝟏 , 𝟑

(𝟑) ( ) (𝟐 الفترة-𝟒 𝟒 , 𝟐(

(𝟔) ( ) { 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟑-

𝟏 , 𝟓 𝟏-

(𝟓) ( ) الفترة- ,

(𝟖) ( ) ( 𝟐 الفترة-𝟒 𝟏 , 𝟐(𝟑

(𝟕) ( ) 𝟑 𝟐 الفترة-𝟑 𝟓 , 𝟗

(𝟏𝟎) ( ) 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟏-

(𝟗) ( ) الفترة-𝟑 𝟑 , 𝟒(𝟏 )

(𝟏𝟐) ( ) الفترة-𝟑 𝟓 , |𝟑 𝟐|

(𝟏𝟏) ( ) الفترة- 𝟐 𝟐 , 𝟐

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

182

(THE MEAN VALUE THEOREMمبرهنة الممة المتوسطة )

فأنه وجد على األلل ( )الفترة المفتوحة علىولابلة لالشتماق - ,دالة مستمرة ف الفترة المرلمة اذا كانت

( ) وتحمك ( )تنتم الى Cلمة واحدة ( ) ( )

( ) او كتب ( ) ( ) ( )

المخطط التال بن التفسر الهندس لمبرهنة الممة المتوسطة

المماس وازي الوتر ①

ساوي مل الوتر المار بالنمطتن ②

( ) ( )

/( ) .ػنذ = المشتقت األولى للذالت ميل المماس للمنحن ػنذ ③ أ

ان لذا تساوى ملهما , أي أن ـــــــــــــــــــر متوازـــــــــالمماس والوت ④

( ) ( ) ( )

مالحظات

مبرهنة رول تعتبر حالة خاصة من مبرهنة الممة المتوسطة 𝟏

( ) ألن الشرط السبب/ غر موجود ف مبرهنة الممة المتوسطة ( )

( ) ن أي أن ـــــــــــــــــور الســــــــالمحوازي ــــــــما ــــــر كالهــــــــــاس والوتــــــالمم: ف مبرهنة رول 𝟐 𝟎

𝟎اي فرق الصادات 𝟎لذا صبح المل

( ) الت تحمك Cألجاد لمة 𝟑 ( ) ( )

: جب توافر الشرطن التالن

- ,دالة مستمرة ف الفترة المرلمة أن تكون ①

( )لابلة لالشتماق ف الفترة المفتوحة أن تكون ②

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

183

: جد لمة برهن أن الدوال األتة تحمك شروط مبرهنة الممة المتوسطة و أو (/3مثال )

( ) ( ) 𝟐 ⁄ د 𝟑 -𝟕 𝟏 , 𝟒 𝟔 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟐

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟕 𝟏 , الدالة مستمرة ف الفترة المرلمة ①

النها كثرة حدود (𝟕 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟐 𝟔 ( ) ( مل المماس) 𝟔 𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟕) ( 𝟏)

𝟕 ( 𝟏) 𝟏𝟏 𝟏𝟏

𝟏𝟖 ( مل الوتر) 𝟎

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 ( 𝟏 𝟕)

( ) ( ) √𝟐𝟓 𝟐 , 𝟒 𝟎-

/ الحل

𝟐𝟓 𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟐 ( أوسع مجال للدالة ) -𝟓 𝟓 , 𝟓

(𝟎 𝟒 )نبحث أستمرارة الدالة ف الفترة المفتوحة ①

( 𝟒)

( ) ( 𝟒)

.√𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟏𝟔 √𝟗 𝟑

(𝟎)

( ) (𝟎)

.√𝟐𝟓 𝟐/ √𝟐𝟓 𝟎 √𝟐𝟓 𝟓

-𝟎 𝟒 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ∴

(𝟎 𝟒 ) لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟐

𝟐√𝟐𝟓 𝟐

√𝟐𝟓 𝟐 ( )

√𝟐𝟓 𝟐 ( مل المماس)

( ) ( ) ( )

(𝟎) ( 𝟒)

𝟎 ( 𝟒) 𝟓 𝟑

𝟒 𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 / مل الوتر.

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟏

𝟐

√𝟐𝟓 𝟐 √𝟐𝟓 𝟐 (تربع الطرفن) 𝟐

𝟐𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟓 √

√ ( 𝟒 𝟎) √ ( 𝟒 𝟎)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

184

- 𝟎, أذا كانت (/4مثال ) ( ) 𝟑 𝟒 𝟐

تحمك مبرهنة الممة المتوسطة عند وكانت 𝟐

𝟑 فجد لمة

/ الحل

( ) 𝟑 𝟐 𝟖 ( ) 𝟑

(𝟐

𝟑) 𝟑 (

𝟐

𝟑)

(𝟐

𝟑) 𝟑 (

𝟒

𝟗)

𝟏𝟔

𝟑 𝟒

𝟑 𝟏𝟔

𝟑 𝟏𝟐

𝟑 ( ) ( مل المماس) 𝟒

( ) ( ) ( )

( ) (𝟎)

𝟎 𝟑 𝟒 𝟐 𝟎

𝟐 ( مل الوتر) 𝟒

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة Cالمعطاة ثم أوجد لمة ( )الفترة على مبرهنة الممة المتوسطةتحمك شروط اثبت ف كل مما أت /مثال

(𝟏) ( ) 𝟐 𝟐 𝟏 ,𝟎 𝟏-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟏 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

(𝟏 𝟎)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟐 𝟐 ( ) ( مل المماس) 𝟐 𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟏) (𝟎)

𝟏 𝟎 𝟐 ( 𝟏)

𝟏 / مل الوتر. 𝟑

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏

𝟐 (𝟎 𝟏)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

185

(𝟐) ( ) √𝟒 ,𝟎 𝟒- / الحل

𝟒 ( أوسع مجال للدالة ) 𝟒 𝟎

النها مستمرة على المجموعات الجزئة -𝟒 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

(𝟒 𝟎) لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

تحمك المبرهنة الت C نبحث عن النمطة

( ) 𝟏

𝟐√𝟒 ( )

𝟏

𝟐√𝟒 ( مل المماس)

( ) ( ) ( )

(𝟒) (𝟎)

𝟒 𝟎 𝟎 (𝟐)

𝟒 𝟏

𝟐 / مل الوتر.

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟏

𝟐√𝟒 𝟏

𝟐

𝟏

√𝟒 (تربع الطرفن) 𝟏

𝟏

𝟒 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 (𝟎 𝟒)

(𝟑) ( ) 𝟐 ,𝟎 -

/ الحل

ألنها دالة دائرة - 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

( 𝟎)لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الذالت ②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( مل المماس) ( )

( ) ( ) ( )

(𝟐 ) 𝟎

𝟎 𝟐

/ مل الوتر. 𝟐

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟐 ( ) 𝟐 ( ) 𝟎

𝟐 (𝟎 )

******************************************************************

Cالمعطاة ثم أوجد لمة ( )على الفترة الممة المتوسطةمبرهنة تحمك شروط اثبت ف كل مما أت

(𝟐) ( ) 𝟒 𝟏 ,𝟏 𝟒-

(𝟏) ( ) 𝟐 𝟏 , 𝟐 𝟒-

(𝟑) ( ) ( 𝟐 𝟑)𝟐 , 𝟏 𝟏-

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

186

(نتجة مبرهنة الممة المتوسطة التمرب بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة )

فأن ( )و أعتبرنا ـــــول ( )تماق ف ـــــولابلة لألش - ,دالة مستمرة ومعرفة على ذا كانت أ

-فأنه بموجب مبرهنة الممة المتوسطة نحصل على : 𝟎 حث ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( لانون التغر التمرب للدالة ) ( )

صررة وصبح الوتر صررا ونهاته لربتان من ( )لربا كافا تكون ف هذه الحالة ( )من ( )وعندما كون ألتراب

وصبح : ( )سكون مماسا للمنحن عند نمطة لربة جدا من النمطة حث ( ), أي أن المماس عند ( )

( ) ( ) الترر التمرب للدالة ( ) ومال للممدار ( )

هنان ثالث أنواع لمسائل التمرب

(5مثال )عندما تكون الدالة غر موجودة ف السؤال الحظ :النوع األول

𝟐𝟔√جد بأستخدام نتجة مبرهنة الممة المتوسطة تمربا مناسبا للعدد (/5مثال )

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟐𝟓 )نفرض

معطى (𝟐𝟔 )نفرض

𝟐𝟔 𝟐𝟓 𝟏

( ) √ ( ) .𝟏𝟐/ ( )

𝟏

𝟐 . 𝟏𝟐/

𝟏

𝟐 .𝟏𝟐/ ( )

𝟏

𝟐√

( ) √ (𝟐𝟓) √𝟐𝟓 (𝟐𝟓) 𝟓

( ) 𝟏

𝟐√ (𝟐𝟓)

𝟏

𝟐√𝟐𝟓 (𝟐𝟓)

𝟏

(𝟐)(𝟓) 𝟏

𝟏𝟎 (𝟐𝟓) 𝟎 𝟏

( ) ( ) ( )

(𝟐𝟓 𝟏) (𝟐𝟓) (𝟏) (𝟐𝟓) (𝟐𝟔) 𝟓 (𝟏)( ) 𝟓 𝟏

√𝟐𝟔 𝟓 𝟏

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

187

(6مثال )عندما تكون الدالة موجودة ف السؤال الحظ :النوع الثان

( ) أذا كانت (/6مثال ) 𝟑 𝟑 𝟐 (𝟎𝟎𝟏 𝟏) فجد بصورة تمربة 𝟓 𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏 ) نفرض

معطى (𝟎𝟎𝟏 𝟏 )نفرض

𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟓 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟒

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟓 (𝟏) (𝟏)𝟑 𝟑(𝟏)𝟐 𝟒(𝟏) 𝟓 (𝟏) 𝟏𝟑

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟒 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔(𝟏) 𝟒 (𝟏) 𝟏𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏) (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 (𝟎 𝟎𝟎𝟏)(𝟏𝟑)

(𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎 𝟎𝟏𝟑 (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟏𝟑 𝟎𝟏𝟑

(7مثال )ذلن الحظ ما شابهعندما تكون الدالة ف السؤال عبارة عن لانون مساحة او حجم او :النوع الثالث

مبرهنة الممة المتوسطةنتجة جد حجمه بصورة تمربة بأستخدام ( 𝟗𝟖 𝟗)مكعب طول حرفه (/7مثال )

/ الحل

( ) الذي طول حرفهحجم المكعب لكن

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟎 ) نفرض

معطى (𝟗𝟖 𝟗 )نفرض

𝟗 𝟗𝟖 𝟏𝟎 𝟎 𝟎𝟐

( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟐

( ) 𝟑 (𝟏𝟎) (𝟏𝟎)𝟑 (𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎

( ) 𝟑 𝟐 (𝟏𝟎) 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 (𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎

( ) ( ) ( )

(𝟏𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏𝟎) ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟏𝟎)

(𝟗 𝟗𝟖) 𝟏𝟎𝟎𝟎 ( 𝟎 𝟎𝟐)(𝟑𝟎𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟔 (𝟗 𝟗𝟖) 𝟗𝟗𝟒 𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

188

( ) لتكن (/8مثال ) √ 𝟐𝟑

فما ممدار الترر التمرب للدالة ؟ 𝟎𝟔 𝟖 الى 𝟖 من فاذا تررت

/ الحل

معطى(𝟖 ) نفرض

معطى (𝟎𝟔 𝟖 )نفرض

𝟖 𝟎𝟔 𝟖 𝟎 𝟎𝟔

( ) √ 𝟐𝟑

( ) ( ).𝟐𝟑/ ( )

𝟐

𝟑 ( ).

𝟏𝟑/ ( )

𝟐

𝟑 √ 𝟑

( ) 𝟐

𝟑 √ 𝟑 (𝟖)

𝟐

𝟑 √𝟖𝟑 (𝟖)

𝟐

𝟔 (𝟖)

𝟏

𝟑

( ) (𝟖) (𝟎 𝟎𝟔) (𝟏

𝟑) ممدار التغر التمرب 𝟎𝟐 𝟎

أوجـد حجـم الطـالء بصـورة ( 𝟏𝟓 𝟎)فـأذا كـان سـمن الطـالء ( 𝟏𝟎)مكعب طـول حرفـه راد طالء (/9مثال )

نتجة مبرهنة الممة المتوسطةتمربة وبأستخدام

/ الحل

( ) حجم المكعب الذي طول حرفه لكن

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟎 ) نفرض

(𝟑 𝟏𝟎 )نفرض

𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟎 𝟑

( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟐

( ) 𝟑 𝟐 (𝟏𝟎) 𝟑(𝟏𝟎)𝟐 (𝟏𝟎) 𝟑𝟎𝟎

( ) (𝟏𝟎) (𝟎 𝟑)(𝟑𝟎𝟎) حجم الطالء بصورة تمربة 𝟑 𝟗𝟎

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

189

بأســــــــــــتخدام نتجــة مبرهنــة الممــة المتوســـــــــــطة جــد وبصــورة تمربــــــــــــة وممربــا لــثالث (/10مثــال )

ل كال من :مراتب عشرة على األل

( ) √𝟕 𝟖𝟑

( ) √(𝟎 𝟗𝟖)𝟑𝟓

(𝟎 𝟗𝟖)𝟒 𝟑

( ) √𝟎 𝟏𝟐𝟑

( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕𝟒

( ) √(𝟎 𝟗𝟖)𝟑𝟓

(𝟎 𝟗𝟖)𝟒 𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏 ) نفرض

معطى (𝟗𝟖 𝟎 )نفرض

𝟎 𝟗𝟖 𝟏 𝟎 𝟎𝟐

( ) √ 𝟑𝟓

𝟒 𝟑 ( ) ( ).𝟑𝟓/ 𝟒 𝟑

( ) 𝟑

𝟓 ( ).

𝟐𝟓/ 𝟒 𝟑 ( )

𝟑

𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑

( ) ( ).𝟑𝟓/ 𝟒 𝟑 (𝟏) (𝟏).

𝟑𝟓/ 𝟏𝟒 𝟑 (𝟏) 𝟓

( ) 𝟑

𝟓 √ 𝟐𝟓 𝟒 𝟑 (𝟏)

𝟑

𝟓 √𝟏𝟐𝟓 𝟒(𝟏)𝟑

𝟑

𝟓 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟔

( ) ( ) ( ) (𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟏) (𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐)(𝟒 𝟔)

(𝟎 𝟗𝟖) 𝟓 𝟎 𝟎𝟗𝟐 √(𝟎 𝟗𝟖)𝟑𝟓

(𝟎 𝟗𝟖)𝟒 𝟑 𝟒 𝟗𝟎𝟖

( ) √𝟕 𝟖𝟑

⁄ د𝟏 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟖 )نفرض

معطى (𝟖 𝟕 )نفرض

𝟕 𝟖 𝟖 𝟎 𝟐

( ) √ 𝟑 ( ) .

𝟏𝟑/

( ) 𝟏

𝟑 . 𝟐𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 .𝟐𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 √ 𝟐𝟑

( ) √ 𝟑 (𝟖) √𝟖

𝟑 (𝟖) 𝟐

( ) 𝟏

𝟑 √ 𝟐𝟑 (𝟖)

𝟏

𝟑 √𝟖𝟐𝟑

𝟏

(𝟑) √𝟔𝟒𝟑

𝟏

(𝟑)(𝟒)

𝟏

𝟏𝟐 (𝟖) 𝟎 𝟎𝟖𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟖 ( 𝟎 𝟐)) (𝟖) ( 𝟎 𝟐) (𝟖) (𝟕 𝟖) 𝟐 ( 𝟎 𝟐)(𝟎 𝟎𝟖𝟑)

(𝟕 𝟖) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟔𝟔 √𝟕 𝟖𝟑

𝟏 𝟗𝟖𝟑𝟒

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

190

( ) √𝟏𝟕 √𝟏𝟕𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟔 )نفرض

معطى (𝟏𝟕 )نفرض

𝟏𝟕 𝟏𝟔 𝟏

( ) √ √ 𝟒 ( )

.𝟏𝟐/

.𝟏𝟒/

( ) 𝟏

𝟐 . 𝟏𝟐/ 𝟏

𝟒 . 𝟑𝟒/ ( )

𝟏

𝟐 .𝟏𝟐/

𝟏

𝟒 .𝟑𝟒/ ( )

𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟒 √ 𝟑𝟒

( ) √ √ 𝟒 (𝟏𝟔) √𝟏𝟔 √𝟏𝟔

𝟒 𝟒 𝟐 (𝟏𝟔) 𝟔

( ) 𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟒 √ 𝟑𝟒 (𝟏𝟔)

𝟏

𝟐 √𝟏𝟔

𝟏

𝟒 √(𝟏𝟔)𝟑𝟒

𝟏

(𝟐)(𝟒)

𝟏

(𝟒)(𝟖)

(𝟏𝟔) 𝟏

𝟖

𝟏

𝟑𝟐 𝟒 𝟏

𝟑𝟐

𝟓

𝟑𝟐 (𝟏𝟔) 𝟎 𝟏𝟓𝟔

( ) ( ) ( )

(𝟏𝟔 𝟏) (𝟏𝟔) (𝟏) (𝟏𝟔) (𝟏𝟕) 𝟔 (𝟏)(𝟎 𝟏𝟓𝟔 )

(𝟏𝟕) 𝟔 𝟎 𝟏𝟓𝟔 √𝟏𝟕 √𝟏𝟕𝟒

𝟔 𝟏𝟓𝟔

( ) √𝟎 𝟏𝟐𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟐𝟓 𝟎 )نفرض

معطى (𝟏𝟐 𝟎 )نفرض

𝟎 𝟏𝟐 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟓

( ) √ 𝟑 ( ) .

𝟏𝟑/

( ) 𝟏

𝟑 . 𝟐𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 .𝟐𝟑/

( ) √ 𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) √𝟎 𝟏𝟐𝟓

𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓

( ) 𝟏

𝟑 .𝟐𝟑/ (𝟎 𝟏𝟐𝟓)

𝟏

(𝟑)(𝟎 𝟏𝟐𝟓).𝟐𝟑/

𝟏

(𝟑)((𝟎 𝟓)𝟑).𝟐𝟑/

𝟏

(𝟑)(𝟎 𝟐𝟓)

(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏

𝟎 𝟕𝟓 𝟏𝟎𝟎

𝟕𝟓 𝟒

𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟎 𝟏𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)) (𝟎 𝟏𝟐𝟓) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓) (𝟎 𝟏𝟐𝟓)

(𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟎𝟓)(𝟏 𝟑𝟑𝟑) (𝟎 𝟏𝟐) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟔𝟓 √𝟎 𝟏𝟐

𝟑 𝟎 𝟒𝟗𝟑𝟑𝟑𝟓

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

191

(𝟑 تمارين(𝟑

: ف كل مما أترول ها مبرهنة الت تعن Cأوجد لمة / 1س

( ) ( ) 𝟑 𝟗 , 𝟑 𝟑-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟑 𝟑 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ① النها كثرة حدود (𝟑 𝟑 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ② (𝟑 ) (𝟑) نوجد ③

(𝟑) (𝟑)𝟑 𝟗(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎 ( 𝟑) ( 𝟑)𝟑 𝟗( 𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟎 (𝟑) ( 𝟑)

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) 𝟑 𝟗 ( ) 𝟑 𝟐

( ) 𝟑 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟎 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑

√𝟑 ( 𝟑 𝟑)

( ) ( ) 𝟐 𝟐

[

𝟏

𝟐 𝟐]

/ الحل

0مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①𝟏

𝟐𝟎الن 𝟐1 0

𝟏

𝟐 𝟐1

.لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الذالت ②𝟏

𝟐𝟎الن /𝟐 0

𝟏

𝟐 𝟐1

. نوجد ③𝟏

𝟐 / (𝟐)

(𝟏

𝟐 ) 𝟐(

𝟏

𝟐)

𝟐

.𝟏𝟐/ 𝟏 𝟒 𝟓 (𝟐) 𝟐(𝟐)

𝟐

(𝟐) 𝟒 𝟏 𝟓

.𝟏

𝟐/ (𝟐)

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐

𝟐

𝟐

( ) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 𝟏 (𝟏

𝟐 𝟐) نهمل السالب

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

192

( ) ( ) ( 𝟐 𝟑)𝟐 , 𝟏 𝟏-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟏 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟏 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ② (𝟏 ) (𝟏) نوجد ③

(𝟏) (𝟏𝟐 𝟑)𝟐 (𝟏 𝟑)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟒 ( 𝟏) (( 𝟏)𝟐 𝟑)𝟐 (𝟏 𝟑)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟒 (𝟏) ( 𝟏)

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) ( 𝟐 𝟑)𝟐 ( ) 𝟐( 𝟐 𝟑)(𝟐 ) 𝟒 ( 𝟐 𝟑)

( ) 𝟒 ( 𝟐 𝟑) 𝟒 ( 𝟐 𝟑) 𝟎

𝟒 𝟎 𝟎 ( 𝟏 𝟏)

𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟑 √𝟑 ( 𝟏 𝟏)

/ 2س : لكل مما أت بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة جد تمربا

( )√𝟔𝟑 √𝟔𝟑𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟔𝟒 نفرض

معطى 𝟔𝟑 نفرض

𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏

( ) √ √ 𝟑 ( ) √ ( )

.𝟏𝟑/ ( )

𝟏

𝟐 √ 𝟏

𝟑 ( ).

𝟐𝟑/

𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟑 √ 𝟐𝟑

( ) √ √ 𝟑 (𝟔𝟒) √𝟔𝟒 √𝟔𝟒

𝟑 (𝟔𝟒) 𝟖 𝟒 (𝟔𝟒) 𝟏𝟐

( ) 𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟑 √ 𝟐𝟑 (𝟔𝟒)

𝟏

𝟐 √𝟔𝟒

𝟏

𝟑 √(𝟔𝟒)𝟐𝟑

(𝟔𝟒) 𝟏

(𝟐)(𝟖)

𝟏

(𝟑)(𝟏𝟔)

(𝟔𝟒) 𝟏

𝟏𝟔 𝟏

𝟒𝟖 𝟑 𝟏

𝟒𝟖 𝟒

𝟒𝟖 𝟏

𝟏𝟐 (𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟖𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) (𝟔𝟒)

(𝟔𝟑) 𝟏𝟐 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟖𝟑) 𝟏𝟐 𝟎 𝟎𝟖𝟑 (√𝟔𝟑 √𝟔𝟑𝟑

) 𝟏𝟏 𝟗𝟏𝟕

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

193

( ) (𝟏 𝟎𝟒)𝟑 𝟑(𝟏 𝟎𝟒)𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟏 نفرض

معطى b= 𝟏 𝟎𝟒 نفرض

𝟏 𝟎𝟒 𝟏 𝟎 𝟎𝟒

( ) 𝟑 𝟑 𝟒 ( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑

( ) 𝟑 𝟑 𝟒 (𝟏) (𝟏)𝟑 𝟑(𝟏)𝟒 (𝟏) 𝟒

( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟏𝟐(𝟏)𝟑 (𝟏) 𝟏𝟓

( ) ( ) ( )

(𝟏 𝟎 𝟎𝟒) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟒) (𝟏)

(𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟒) (𝟏𝟓) 𝟒 𝟎 𝟔 (𝟏 𝟎𝟒) 𝟒 𝟔

( ) 𝟏

√𝟗𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟖 نفرض

معطى 𝟗 نفرض

𝟗 𝟖 𝟏

( ) 𝟏

√ 𝟑

𝟏

.𝟏𝟑/ .

𝟏𝟑/ ( )

𝟏

𝟑( ).

𝟒𝟑/

( ) . 𝟏𝟑/ (𝟖) (𝟖).

𝟏𝟑/ (𝟖) (𝟐𝟑).

𝟏𝟑/ (𝟐) 𝟏

𝟏

𝟐 (𝟖)

𝟏

𝟐

( ) 𝟏

𝟑( )

( 𝟒𝟑 ) (𝟖)

𝟏

𝟑(𝟖)

( 𝟒𝟑 ) (𝟖)

𝟏

𝟑.𝟐𝟑/

( 𝟒𝟑 ) (𝟖)

𝟏

(𝟑).𝟐𝟒/

(𝟖) 𝟏

(𝟑)(𝟏𝟔) 𝟏

𝟒𝟖 (𝟖)

𝟏

𝟒𝟖

( ) ( ) ( )

(𝟖 𝟏) (𝟖) (𝟏) (𝟖)

(𝟗) 𝟏

𝟐 (𝟏) (

𝟏

𝟒𝟖)

𝟏

𝟐 𝟏

𝟒𝟖 𝟐𝟒 𝟏

𝟒𝟖 𝟐𝟑

𝟒𝟖 (𝟗) 𝟎 𝟒𝟕𝟗

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

194

( ) 𝟏

𝟏𝟎𝟏

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟏𝟎𝟎 نفرض

معطى 𝟏𝟎𝟏 نفرض

𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏

( ) 𝟏

𝟏 ( ) 𝟏 ( ) 𝟐

( ) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) (𝟏𝟎𝟎) 𝟏 𝟏

𝟏𝟎𝟎 (𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟏

( ) 𝟏 ( ) 𝟐 (𝟏𝟎𝟎) 𝟏 (𝟏𝟎𝟎) 𝟐 (𝟏𝟎𝟎) 𝟏

(𝟏𝟎𝟎)𝟐

(𝟏𝟎𝟎) 𝟏

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟏𝟎𝟎) 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏

( ) ( ) ( )

(𝟏𝟎𝟎 𝟏) (𝟏𝟎𝟎) (𝟏) (𝟏𝟎𝟎)

(𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 (𝟏) ( 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟏 (𝟏𝟎𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗𝟗

( ) √𝟏

𝟐⁄ د 𝟐 ⁄ د 𝟐 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟐 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟒𝟗 𝟎 نفرض

معطى 𝟓𝟎 𝟎 نفرض

𝟎 𝟓𝟎 𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏

( ) √ ( ) 𝟏

𝟐√

( ) √ (𝟎 𝟒𝟗) √𝟎 𝟒𝟗 (𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕

( ) 𝟏

𝟐√ (𝟎 𝟒𝟗)

𝟏

𝟐√𝟎 𝟒𝟗

𝟏

(𝟐)(𝟎 𝟕) 𝟏

𝟏 𝟒 (𝟎 𝟒𝟗) 𝟎 𝟕𝟏𝟒

( ) ( ) ( )

(𝟎 𝟒𝟗 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟒𝟗) (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟒𝟗)

(𝟎 𝟓) 𝟎 𝟕 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟏𝟒) 𝟎 𝟕 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟏𝟒 (𝟏

𝟐) 𝟎 𝟕𝟎𝟕𝟏𝟒

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

195

بأسـتخدام جـد كمـة الطـالء بصـورة تمربـة ( 𝟏 𝟎)طلت بطالء سمكه ( 𝟔)نص لطرها كرة / 3س

1د / 2014وزاري زمبرهنة الممة المتوسطة

حجم الكرة –حجم كمة الطالء = حجم الكرة مع الطالء / الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟔 نفرض

ومثل نص المطر للكرة مضافا له كمة الطالء ز 𝟏 𝟔 ونفرض

𝟔 𝟏 𝟔 𝟎 𝟏

𝟒

𝟑 𝟑

𝟒

𝟑 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟐

( ) 𝟒 𝟐 (𝟔) 𝟒 (𝟔)𝟐 (𝟔) 𝟏𝟒𝟒

( ) (𝟔) (𝟎 𝟏) (𝟏𝟒𝟒 ) ( كمة الطالء بصورة تمربة) 𝟑 𝟒 𝟏𝟒

بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة ز بصورة تمربة نص لطرها جد (𝟑 𝟖𝟒) حجمهاكرة / 4س

/ الحل

نفرض الحجم

نفرض نص المطر

𝟒

𝟑 𝟑

𝟖𝟒 𝟒

𝟑 𝟑 𝟑

(𝟑)(𝟖𝟒 )

𝟒 ( )(𝟐𝟏) 𝟔𝟑 √𝟔𝟑

𝟑

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟔𝟒 نفرض

معطى 𝟔𝟑 نفرض

𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏

( ) √ 𝟑 .

𝟏𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 ( ).

𝟐𝟑/

( ) .𝟏𝟑/ (𝟔𝟒) (𝟔𝟒).

𝟏𝟑/ (𝟒𝟑).

𝟏𝟑/ (𝟔𝟒) 𝟒

( ) 𝟏

𝟑 ( ).

𝟐𝟑/ (𝟔𝟒)

𝟏

𝟑 (𝟔𝟒).

𝟐𝟑/ (𝟔𝟒)

𝟏

𝟑 (𝟒𝟑).

𝟐𝟑/ 𝟏

𝟑 (𝟒)( 𝟐)

(𝟔𝟒) 𝟏

(𝟑)(𝟒𝟐)

𝟏

(𝟑)(𝟏𝟔)

(𝟔𝟒) 𝟎 𝟎𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) (𝟔𝟒)

(𝟔𝟑) 𝟒 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) 𝟒 𝟎 𝟎𝟐 (𝟔𝟑) 𝟑 𝟗𝟖

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

196

فجـد حجمـه ( 𝟗𝟖 𝟐)كان ارتفاعه ساوي مخروط دائري لائم أرتفاعه ساوي طول لطر الماعدة فأذا / 5س

أو نتجتها زبصورة تمربة بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة

/ الحل

نفرض األرتفاع

نفرض نص المطر

𝟑 𝟐 ( 𝟐

𝟏

𝟐 )

𝟑 (

𝟐)𝟐

𝟏𝟐 𝟑

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟑 نفرض معطى 𝟗𝟖 𝟐 نفرض

𝟐 𝟗𝟖 𝟑 𝟎 𝟎𝟐

𝟏𝟐 𝟑

𝟏𝟐 (𝟑 𝟐)

𝟒 𝟐

( )

𝟏𝟐 𝟑 (𝟑)

𝟏𝟐 (𝟑)𝟑

𝟐𝟕

𝟏𝟐 𝟗

𝟒 (𝟑) 𝟐 𝟐𝟓

( ) 𝟏

𝟒 𝟐 (𝟑)

𝟏

𝟒 (𝟑)𝟐 (𝟑)

𝟗

𝟒 (𝟑) 𝟐 𝟐𝟓

( ) ( ) ( )

(𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟐)) (𝟑) ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟑)

(𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟓 ( 𝟎 𝟎𝟐) (𝟐 𝟐𝟓 ) 𝟐 𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟒𝟓 (𝟐 𝟗𝟖) 𝟐 𝟐𝟎𝟓 𝟑

Cبن أن كل دالة من الدوال التالة تحمك مبرهنة رول على الفترة المعطاة ازاء كل منها ثم جد لمة / 6س

( ) ( ) د𝟐 -𝟑 𝟏 , 𝟒(𝟏 ) ⁄ وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟑 𝟏 ,الدالة مستمرة ف الفترة المرلمة ①

النها كثرة حدود (𝟑 𝟏 )الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ②

(𝟏 ) (𝟑) نوجد ③

( 𝟏) ( 𝟏 𝟏)𝟒 ( 𝟐)𝟒 𝟏𝟔

(𝟑) (𝟑 𝟏)𝟒 (𝟐)𝟒 𝟏𝟔

( 𝟏) (𝟑)

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) ( 𝟏)𝟒 ( ) 𝟒( 𝟏)𝟑

( ) 𝟒( 𝟏)𝟑 𝟒( 𝟏)𝟑 𝟎

( 𝟏)𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟑)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

197

( ) ( ) 𝟑 ⁄ د -𝟏 𝟏 , وزاري

/ الحل

حدود ال كثرة النها -𝟏 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة الحدود (𝟏 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الذالت ②

(𝟏) (𝟏 ) نوجد ③

( ) ( 𝟏)𝟑 ( 𝟏)

( ) (𝟏)𝟑 (𝟏)

( 𝟏) (𝟏)

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) 𝟑 ( ) 𝟑 𝟐 𝟏

( ) 𝟑 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟐

𝟏

√𝟑 ( 𝟏 𝟏)

( ) ( ) 𝟐 𝟑 , 𝟏 𝟒-

/ الحل

النها كثرة الحدود -𝟒 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة الحدود (𝟒 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟒) (𝟏 ) نوجد ③

( 𝟏) ( 𝟏)𝟐 𝟑( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟒

(𝟒) (𝟒)𝟐 𝟑(𝟒) 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒

( 𝟏) (𝟒)

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) 𝟐 𝟑 ( ) 𝟐 𝟑

( ) 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟐 𝟑

𝟐 ( 𝟏 𝟒)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

198

( ) ( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) , 𝟎 𝟐 -

/ الحل

- 𝟐 𝟎,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

( 𝟐 𝟎) لة لالشتماق على الفترةلابالدالة ②

( 𝟐) (𝟎) نوجد ③

(𝟎) ( 𝟎) 𝟐 (𝟎) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑

(𝟐 ) ( 𝟒 ) 𝟐 (𝟐 ) 𝟏 𝟐(𝟏) 𝟑

(𝟎) (𝟐 )

( ) ونفرض ( )الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض 𝟎

( ) ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) ( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( )

( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( ) 𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐 ( )

( 𝟐 ) ( ) 𝟎 𝟐 ( ) ( ) ( ) 𝟎 ( ),𝟐 ( ) 𝟏- 𝟎

( ) 𝟎 𝟎 𝟐 𝟑 (𝟎 𝟐 )

𝟐 ( ) 𝟏 ( )

( السالب مع ف الربع الثان و الثالث)

𝟑

𝟐

𝟑 ف الربع الثان ( 𝟐 𝟎)

𝟑

𝟒

𝟑 ف الربع الثالث ( 𝟐 𝟎)

. أختبر أمكانة تطبك مبرهنة الممة المتوسطة للدوال األتة على الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـبب / 7س

الممكنة Cوأن تحممت المبرهنة جد لم

( ) ( ) 𝟑 𝟏 , 𝟏 𝟐-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟐 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟐 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟑 𝟐 𝟏 ( ) 𝟑 𝟐 ( مل المماس) 𝟏

( ) ( ) ( )

(𝟐) ( 𝟏)

𝟐 ( 𝟏) 𝟓 ( 𝟏)

𝟑 𝟔

𝟑 / مل الوتر.

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏

( 𝟏 𝟐) ( 𝟏 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

199

( ) ( ) 𝟐 𝟒 𝟓 , 𝟏 𝟓-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟓 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟓 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟐 𝟒 ( ) ( مل المماس) 𝟒 𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟓) ( 𝟏)

𝟓 ( 𝟏) 𝟏𝟎 𝟏𝟎

𝟓 𝟏 𝟎

𝟔 ( مل الوتر) 𝟎

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 ( 𝟏 𝟓)

( ) ( ) 𝟒

𝟐 , 𝟏 𝟐-

/ الحل

𝟐 ألن -𝟐 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ① , 𝟏 𝟐-

𝟐 ألن (𝟐 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ② ( 𝟏 𝟐)

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟒

( 𝟐)𝟐 ( )

𝟒

( 𝟐)𝟐 ( مل المماس)

( ) ( ) ( )

(𝟐) ( 𝟏)

𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟒

𝟑 𝟑

𝟑 ( مل الوتر) 𝟏

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟒

( 𝟐)𝟐 𝟏 ( 𝟐)𝟐 /جذر الطرفن . 𝟒

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏 𝟐)

𝟐 𝟐 𝟒 ( 𝟏 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

200

( ) ( ) √( 𝟏)𝟐𝟑

, 𝟐 𝟕-

/ الحل

-𝟕 𝟐 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

𝟏 ألن (𝟏 ) عند لابلة لالشتماقالدالة غر ② ( 𝟐 𝟕)

(𝟏 ) عند لابلة لالشتماقالدالة غر ال مكن تطبك نظرة الممة المتوسطة ألن ∴

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة . األتـة علـى الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـببأختبر أمكانة تطبك مبرهنة الممة المتوسطة للدالة /مثال

الممكنة Cوأن تحممت المبرهنة جد لم

( ) 𝟑 𝟐 𝟏 , 𝟏 𝟑-

/ الحل

النها كثرة حدود -𝟑 𝟏 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة حدود (𝟑 𝟏 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

متحممة مبرهنة الممة المتوسطة الشروط متحممة

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟑 𝟐 ( مل المماس) 𝟏 𝟐

( ) ( ) ( )

(𝟑) ( 𝟏)

𝟑 ( 𝟏) 𝟏𝟔 𝟎

𝟒 𝟏𝟔

𝟒 / مل الوتر.

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟎 (𝟑 𝟓)( 𝟏) 𝟎

𝟓 𝟑 أما 𝟎 𝟑 𝟓 𝟓

𝟑 ( 𝟏 𝟐)

𝟏 أو 𝟎 𝟏 ( 𝟏 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

201

جد تمربا لكل مما أت بأستخدام مبرهنة الممة المتوسطة أو نتجتها : /مثال

(𝟏) √𝟖𝟐𝟒

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟖𝟏 )نفرض معطى (𝟖𝟐 )نفرض

𝟖𝟐 𝟖𝟏 𝟏

( ) √ 𝟒 ( ) .

𝟏𝟒/ ( )

𝟏

𝟒 . 𝟑𝟒/

( ) √ 𝟒 (𝟖𝟏) √𝟖𝟏

𝟒 (𝟖𝟏) 𝟑

( ) 𝟏

𝟒 . 𝟑𝟒/ (𝟖𝟏)

𝟏

𝟒(𝟖𝟏).

𝟑𝟒/ (𝟖𝟏)

𝟏

𝟒(𝟑𝟒).

𝟑𝟒/

(𝟖𝟏) 𝟏

𝟒(𝟑)( 𝟑)

𝟏

𝟒 𝟏

(𝟑)𝟑

𝟏

𝟏𝟎𝟖 (𝟖𝟏) 𝟎 𝟎𝟎𝟗

( ) ( ) ( ) (𝟖𝟐) 𝟑 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟎𝟗) 𝟑 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟖𝟐) 𝟑 𝟎𝟎𝟗

(𝟐) √𝟎 𝟏𝟐𝟔𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏𝟐𝟓 𝟎 )نفرض معطى (𝟏𝟐𝟔 𝟎 )نفرض

𝟎𝟏𝟐𝟔 𝟎 𝟏𝟐𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏

( ) √ 𝟑 ( ) .

𝟏𝟑/ ( )

𝟏

𝟑 . 𝟐𝟑/

( ) √ 𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) √𝟎 𝟏𝟐𝟓

𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟎 𝟓

( ) 𝟏

𝟑 . 𝟐𝟑/ (𝟎 𝟏𝟐𝟓)

𝟏

𝟑(𝟎 𝟏𝟐𝟓).

𝟐𝟑/ (𝟎 𝟏𝟐𝟓)

𝟏

𝟑((𝟎 𝟓)𝟑).

𝟐𝟑/

(𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏

𝟑(𝟎 𝟓)( 𝟐)

𝟏

𝟑

𝟏

(𝟎 𝟓)𝟐

𝟏

𝟎 𝟕𝟓 (𝟎 𝟏𝟐𝟓) 𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑

( ) ( ) ( ) (𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑) 𝟎 𝟓 𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟑 (𝟎 𝟏𝟐𝟔) 𝟎 𝟓𝟎𝟏𝟑𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

202

(𝟑) √ 𝟑𝟏𝟓

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟑𝟐 )نفرض

معطى (𝟑𝟏 )نفرض 𝟑𝟏 ( 𝟑𝟐) 𝟏

( ) √ 𝟓 ( ) .

𝟏𝟓/ ( )

𝟏

𝟓 . 𝟒𝟓/

( ) √ 𝟓 ( 𝟑𝟐) √ 𝟑𝟐

𝟓 ( 𝟑𝟐) 𝟐

( ) 𝟏

𝟓 . 𝟒𝟓/ ( 𝟑𝟐)

𝟏

𝟓( 𝟑𝟐).

𝟒𝟓/ ( 𝟑𝟐)

𝟏

𝟓(( 𝟐)𝟓)

. 𝟒𝟓/

( 𝟑𝟐) 𝟏

𝟓( 𝟐)( 𝟒)

𝟏

𝟓 𝟏

(𝟐)𝟒 𝟏

𝟖𝟎 ( 𝟑𝟐) 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓

( ) ( ) ( ) ( 𝟑𝟏) 𝟐 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟓 ( 𝟑𝟏) 𝟏 𝟗𝟖𝟕𝟓

( ) أذا كانت /مثال 𝟑 ولثالث مراتب عشرة (𝟎𝟎𝟏 𝟏) جد بصورة تمربة 𝟐 𝟑

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏 )نفرض معطى (𝟎𝟎𝟏 𝟎 )نفرض

𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟏

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 (𝟏) (𝟏)𝟑 𝟑(𝟏)𝟐 (𝟏) 𝟒

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔(𝟏) (𝟏) 𝟗

( ) ( ) ( ) (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 (𝟎 𝟎𝟎𝟏) (𝟗) 𝟒 𝟎 𝟎𝟎𝟗 (𝟏 𝟎𝟎𝟏) 𝟒 𝟎𝟎𝟗

( ) أذا كانت /مثال (𝟗𝟗 𝟎) جد بصورة تمربة 𝟏 𝟑√

/ الحل

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟏 )نفرض معطى (𝟗𝟗 𝟎 )نفرض

𝟎 𝟗𝟗 𝟏 𝟎 𝟎𝟏

( ) √𝟑 𝟏 ( ) (𝟑 𝟏).𝟏𝟐/ ( )

𝟑

𝟐 √𝟑 𝟏

( ) √𝟑 𝟏 (𝟏) √𝟑(𝟏) 𝟏 (𝟏) 𝟐

( ) 𝟑

𝟐 √𝟑 𝟏 (𝟏)

𝟑

𝟐 √𝟑(𝟏) 𝟏 (𝟏)

𝟑

𝟒 (𝟏) 𝟎 𝟕𝟓

( ) ( ) ( ) (𝟎 𝟗𝟗) 𝟐 ( 𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟕𝟓 (𝟎 𝟗𝟗) 𝟏 𝟗𝟗𝟐𝟓

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

203

(𝟐 𝟓𝟎)جد بصورة تمربة طول ضلع مربع مساحته مبرهنة الممة المتوسطة بأستخدام /مثال

/ الحل

مربع طول الضلعمساحة المربع = ∵

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه (𝟒𝟗 )نفرض

معطى (𝟓𝟎 )نفرض 𝟓𝟎 𝟒𝟗 𝟏

𝟐 𝟓𝟎 𝟐 √𝟓𝟎

( ) √ ( ) 𝟏

𝟐 √

( ) √ (𝟒𝟗) √𝟒𝟗 (𝟒𝟗) 𝟕

( ) 𝟏

𝟐 √ (𝟒𝟗)

𝟏

𝟐 √𝟒𝟗 (𝟒𝟗)

𝟏

𝟏𝟒 (𝟒𝟗) 𝟎 𝟎𝟕𝟏

( ) ( ) ( ) (𝟓𝟎) 𝟕 (𝟏) (𝟎 𝟎𝟕𝟏) 𝟕 𝟎 𝟎𝟕𝟏 (𝟓𝟎) 𝟕 𝟎𝟕𝟏

******************************************************************

: أتكل مما مبرهنة الممة المتوسطةبأستخدام جد بصورة تمربة

( ) √𝟐𝟕 𝟏𝟒𝟑

( ) √𝟏𝟓 𝟖𝟖

( ) √𝟑𝟏 𝟐𝟖𝟓

( ) √𝟖𝟎𝟒

( ) (𝟖 𝟏𝟐)𝟐𝟑 (𝟖 𝟏𝟐)

𝟓𝟑 ( ) √ 𝟗 𝟏𝟐

𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

204

دراســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــة الدالة

( ) ة والت كون عندها له النمطة الت تنتم لمنحن الدا: النمطة الحرجة غر معرفة زأو تكون 𝟎

كفة اجاد النمط الحرجة( ) ثم نجعل ( ) نجد :الحالة األولى ثـم (.…, X1 ,X2 , X3)ولتكن (X)ثم نحل المعادلة المتكونة ونجد لم 𝟎

ه النمط الحرجة …,(X3,Y3),(X2,Y2),(X1,Y1)الممابلة لها فتكون (Y)ف الدالة األصلة ونجد لم (X)نعوض لم

: جد النمط الحرجة للدوال التالة / مثال توضح

( ) ( ) 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟏

( ) 𝟐 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟐

𝟐 ( ( ) 𝟎)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟎 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎

𝟏 (𝟏) 𝟏 𝟐 𝟑

النمطة الحرجة ه(𝟑 𝟏)

( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟔

( ) 𝟔 𝟔 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟔 𝟔 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔(𝟏) 𝟑

النمطة الحرجة ه(𝟑 𝟏)

( ) ( ) 𝟑

( ) 𝟑 𝟏

( ) 𝟑 𝟐

( ) 𝟑

𝟐 ( ( ) 𝟎)

𝟑

𝟐 𝟎 𝟑 (غر ممكن ) 𝟎

التوجد نمطة حرجة

( ) ( ) 𝟐 𝟑

( ) 𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟐 (غر ممكن ) 𝟎 ( ) 𝟎

التوجد نمطة حرجة

( ) ( ) (𝟐 𝟏)𝟑 𝟔 ( ) 𝟑(𝟐 𝟏)𝟐(𝟐) 𝟔

( ) 𝟔(𝟐 𝟏)𝟐 𝟔

𝟔(𝟐 𝟏)𝟐 𝟔 𝟎 ( 𝟔 )

(𝟐 𝟏)𝟐 𝟏 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 ( 𝟒 )

𝟐 𝟎 ( 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟓 النمط الحرجة ه(𝟏 𝟎)(𝟓 𝟏)

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗 𝟓 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗

( ( ) (نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑 ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏 (𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟓 𝟐𝟐 ( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓 𝟏𝟎

النمط الحرجة ه(𝟐𝟐 𝟑) (𝟏𝟎 𝟏 )

( ) ( ) 𝟑 𝟏

𝟏 𝟐

𝟏

𝟐

( ) (𝟏 𝟐 )(𝟑) (𝟑 𝟏)( 𝟐)

(𝟏 𝟐 )𝟐

( ) 𝟑 𝟔 𝟔 𝟐

(𝟏 𝟐 )𝟐

( ) 𝟏

(𝟏 𝟐 )𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟏

(𝟏 𝟐 )𝟐 (غر ممكن ) 𝟎 𝟎

التوجد نمطة حرجة

( ) ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) 𝟒 𝟑 𝟒

( ( ) (نجعل 𝟎

𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟒 )

𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎

النمط الحرجة ه(𝟎 𝟏 )(𝟎 𝟏) (𝟏 𝟎)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

205

اذا أعطت نمطة حرجة ستفاد من ذلن ف أجاد الثوابت ف الدالة المعطاةالحالة الثانة:

( ) لتكن /①توضح مثال 𝟑 𝟐 فجـد (𝟏𝟎 𝟏 )وكانت للدالـة نمطـة حرجـة هـ 𝟓

لم الثوابت

/ الحل

𝟏𝟎تحمك دالة المنحن (1,10-) 𝟏 𝟓 𝟔 ( ①معادلة )

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑( 𝟏)𝟐 معادلة②. 𝟐 𝟑 𝟐 𝟎 /

𝟑 وبحل المعادلتن أنا نحصل على : 𝟗

( ) لتكن /②توضح مثال 𝟐

فجد لم الثوابت (1,3)وكانت للدالة نمطة حرجة ه

/ الحل

) تحمك دالة المنحن (𝟑 𝟏) ①معادلة 𝟑 )

( ) 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 (𝟏) 𝟐 (𝟏)

(𝟏)𝟐

معادلة②. 𝟎 𝟐 /

𝟏 وبحل المعادلتن أنا نحصل على : 𝟐

األولىأختبار التزاد والتنالص للدالة بأستخدام المشتمة

:فأذا كانت (𝑎 𝑏)ة المفتوحة ولابلة لألشتماق ف الفتر - ,دالة مستمرة ف الفترة المرلمة لتكن

( ) ( ) ① متزادة 𝟎

② ( ) ( ) متنالصة 𝟎

طرمة أجاد مناطك التزاد والتنالص

o ز مساوة للصفر أو غر موجودة كما تعلمنا سابما االولى الت تجعل المشتمة ( )نجد لم

o نختبر المم على خط األعداد فأذا كانت

الدالة متزادة ) ( ) )

( ) الدالة متنالصة ) )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

206

( ) لتكن (/1مثال ) لتزاد والتنالص از جد مناطك 𝟐

/ الحل

( ) . ( ) / نجعل 𝟎

( )

متزادة ف + * ( )

متنالصة ف + *

جد مناطك التزاد والتنالص لكل من الدالتن األتتن : (/2مثال )

( ) ( ) 𝟗 𝟑 𝟐 𝟑

/ الحل

( ) 𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 . ( ) / نجعل 𝟎

𝟗 𝟔 𝟑 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎 ( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏

𝟑 𝟏 المشتمة األولى بالتعوض بمم مجاورة للعددن إشارةط األعداد خعلى نختبر

ف +𝟑 * +𝟏 * متنالصة

ف الفترة المفتوحة (𝟑 𝟏 ) متزادة

( ) ( ) √ 𝟐𝟑

/ الحل

( ) ( )𝟐𝟑 ( )

𝟐

𝟑 ( )

𝟏𝟑 ( )

𝟐

𝟑 √ 𝟑

عدد حرج (𝟎 )أي ان (𝟎 )معرفة أذا كانت غر ( )

𝟎 ددالمشتمة األولى بالتعوض بمم مجاورة للع إشارةط األعداد خنختبر على

ف +𝟎 * متنالصة

ف +𝟎 * متزادة

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

207

النهاة العظمى والنهاة الصررى المحلة

ــتكن ــرة ل ــى الفت ـــتمرة عل ــة مســــــــ ــد - ,دال ــة لألشــتماق عن ـــرة ( )ولابل ــى الفتــ ـــ ال ــ تنتمـــ الت :فأذا كانت ( )المفتوحة

( ) ( ) 𝟎 ( ) ( ) 𝟎 ( ) ( ) 𝟎

( ) ( ) 𝟎 ( ) ( ) 𝟎 ( ) ( ) 𝟎

مالحظة

( ) ( )اذا كانت النمطة حرجة فمط ( ) نمطة نهاة عظمى ( ) نمطة نهاة صغرى

ف حالة وجودها أذا علمت أن : fجد نمط النهاات العظمى والصررى المحلة للدالة (/3مثال )

( ) ( ) 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐𝟒 ( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐)𝟐 ( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐)𝟐

( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐)𝟐 / الحل

( ) ( 𝟐) . ( ) / نجعل 𝟎

𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

(𝟐) 𝟏 (𝟐 𝟐)𝟐 𝟏

متنالصة ف + *

متزادة ف + *(𝟏 𝟐) تمثل نمطة نهاة صررى محلة النمطة ((𝟐) 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

208

( ) ( ) 𝟏 ( 𝟐)𝟐 / الحل

( ) ( 𝟐) . ( ) / نجعل 𝟎

𝟐( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐

(𝟐) 𝟏 (𝟐 𝟐)𝟐 𝟏

متنالصة ف +𝟐 *

متزادة ف + *(𝟏 𝟐) محلة عظمىتمثل نمطة نهاة النمطة ((𝟐) 𝟐)

( ) ( ) 𝟑 𝟗 𝟐 𝟐𝟒

/ الحل

( ) 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 . ( ) / نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟐𝟒 𝟎 ( 𝟑)⇒ 𝟐 𝟔 𝟖 𝟎

( 𝟒)( 𝟐) 𝟎 𝟒 𝟐

(𝟐) (𝟐)𝟑 𝟗(𝟐)𝟐 𝟐𝟒(𝟐) 𝟖 𝟑𝟔 𝟒𝟖 𝟐𝟎

(𝟒) (𝟒)𝟑 𝟗(𝟒)𝟐 𝟐𝟒(𝟒) 𝟔𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟔

متنالصة ف الفترة المفتوحة ( )

متزادة ف + * + *(𝟐𝟎 𝟐) محلة عظمىتمثل نمطة نهاة النمطة ((𝟐) 𝟐)

(𝟏𝟔 𝟒) محلة ىصررتمثل نمطة نهاة النمطة ((𝟒) 𝟒)

تمعر وتحدب المنحنات ونمط األنمالب

ة أذا كانـت ـــــبأنهـا محدب ة ـــــفمال عن الدال ( )ة ـــة لابلة لألشتماق ف الفترة المفتوحـــــدال fأذا كانت

متزادة خالل تلن الفترة متنالصة زخالل تلن الفترة وتسمى ممعرة اذا كانت

مالحظة

على انة ـــــتمة ثـــــتمة أولى ومشــــــولها مش :ا ــفأنه ( )- , ـــــعرفة فـــــم fانت ـــــأذا ك

( ) ( ) أذا حممت الشرط األت : ( )على رة ـممعتكون 𝟎

( ) ( ) أذا حممت الشرط األت : ( )على محدبةتكون 𝟎

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

209

أدرس تمعر وتحدب كل من الدالتن : (/1مثال )

( ) ( ) 𝟑 ( ) ( ) 𝟐

( ) ( ) 𝟐

/ الحل

( ) ( )

( ) ( الدالة ممعرة على )

/ الحل

( ) ( ) 𝟑

( ) 𝟐 ( )

( ) نجعل جاد مناطك التمعر والتحدب أل 𝟔 𝟎 𝟎 (𝟎) 𝟎

ممعرة ف + *

محدبة ف + *(𝟎 𝟎)النمطة نمطة أنمالبتسمى ((𝟎) 𝟎)

نمطة األنمالب :

مـن حالـة التحـدب الـى حالـة التمعـر أو بـالعكس ة والت عندها نملب المنحن ــــمنحن الداله النمطة الت تنتم ل

تنتمـ لمنحنـ الدالـة والمشـتمة ( ) ه نمطة أنمـالب أذا كانـت النمطـة ( ) النمطة )أو بأسلوب أخر(

( ) )الثانة عندها تساوي صفر )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

210

كفة اجاد نمط األنمالب

م نجـدـــن ثــوم ( ) نجد : الحالة األولى ل ـــنجعثـم ( )

( ) م ــــــــة المتكونـة ونجـد لــــل المعادلـــثـم نح 𝟎

(X) ولـتكن( X1 ,X2 , X3,.. ) عوض لـم ــــــم نـــــــث(X) م ـــــــة ونجـد لـــــــــفـ الدالـة األصل(Y) ا ــــــــــــة لهـــــالممابل

ه نمط االنمالب …,(X3,Y3),(X2,Y2),(X1,Y1)فتكون

طرمة أجاد مناطك التمعر والتحدب : مالحظات حول

الممابلة لها ( )ومن ثم نجد لم الت تجعل المشتمة الثانة مساوة للصفر ( )نجد لم

الدالة ممعرة .نختبر المم على خط األعداد فأذا كانت ( ) / الدالة محدبة . أو

( ) /

إشارةاذا لم تترر فأن النمطة ه لست نمطة أنمالب وأنما ه نمطة حرجة ( )

( ) جد نمطة األنمالب للمنحن : (/2مثال ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟏

/ الحل

( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟏𝟐 ( ) 𝟏𝟐 𝟔

( ) نجعل جاد مناطك التمعر والتحدب أل 𝟏𝟐 𝟔 𝟎 𝟏𝟐 𝟔

𝟏

𝟐 (

𝟏

𝟐)

𝟏𝟏

𝟐

موجبة 2 الن ( )

3 ممعرة ف

سالبة الن ( ) 2

3 محدبة ف

.النمطة 𝟏

𝟐 𝟏𝟏

𝟐/ .

𝟏

𝟐 (

𝟏

𝟐 نمطة أنمالب ه /(

جد مناطك التحدب والتمعر ونمط األنمالب أن وجدت للدوال التالة : (/3مثال )

( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒

( ) ( ) 𝟏

𝟎

( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐)𝟒

( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐

( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

211

/ الحل

( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟒

( ) 𝟐 𝟒 𝟑 ( ) 𝟐

( ) نجعل جاد مناطك التمعر والتحدب أل

𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐)⇒ 𝟐 𝟎

( ) 𝟎 𝟐 𝟎

(𝟐) 𝟏𝟔 (𝟎) 𝟎

محدبة ف + * و + *

ممعرة ف الفترة المفتوحة ( ) أنمالبهما نمطتا ( ) ( ) النمطتان

/ الحل

( ) ( )

𝟏

𝟎

( ) 𝟏

𝟐 ( )

𝟐

𝟑

(𝟎) غر معرفة

محدبة ف + *

ممعرة ف + *

ال نتم لمجال الدالة 0ال توجد نمطة أنمالب ألن

/ الحل

( ) ( ) 𝟒 ( 𝟐)𝟒

( ) ( 𝟐)𝟑 ( ) ( 𝟐)𝟐

( ) نجعل جاد مناطك التمعر والتحدب أل ( 𝟐)𝟐 𝟎 ( 𝟐)𝟐 𝟎 𝟎 𝟐

الدالــــــــة محدبة ف+𝟐 * و +𝟐 *

ألن الدالـة محدبـة ( ) ال توجد نمطـة أنمـالب عنـد ∴

على جهتها

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

212

/ الحل

( ) ( ) 𝟑 𝟐 𝟐

( ) 𝟐 𝟐 ( )

( ) ال مكن جعل

الدالــــــــة محدبة ف

ال توجد نمطة أنمالب ∴

/ الحل

( ) ( ) 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑

( ) 𝟒 𝟑 𝟔 ( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟎

لذا ال توجد نمطة أنمالبالدالــــــــة ممعرة ف

أختبار المشتمة الثانة لنمط النهاات العظمى والصررى المحلة

: الثانة ف فحص ومعرفة نوعة النمط الحرجة دون دراستها على خط االعداد وكما لستفاد من المشتمة

( ) عنـد المـرور بالنمطـة الحرجـة حـث فبدال مـن مالحظـة كفـة ترـر إشـارة فأنـه مكننـا أسـتخدام

محلة وذلن بأستخدام أختبار األختبار التال لنمرر فما أذا كانت النمطة الحرجة تمثل نمطة نهاة عظمى أو صررى

المشتمة الثانة وكما أت :

( ) أذا كانت ( ) ( ) وأن ز ( )تمتلن نهاة عظمى محلة عند فأن

( ) أذا كانت ( ) ( ) وأن ز ( )ى محلة عند صررتمتلن نهاة فأن

( ) أذا كانــت ( ) غــر معرفــة فــال صــح هــذا األختبــار ) وعــاد األختبــار بواســطة الطرمــة ( ) أو

ز ( السابمة عن طرك المشتمة األولى

:مالحظة

ستفاد من نمطة االنمالب ف أجاد الثوابت كما هو الحال ف النمطة الحرجة

: النهاات المحلة للدوال األتة بأستخدام أختبار المشتمة الثانة أن أمكن , جد (/1مثال )

( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟏

( ) ( ) 𝟒

𝟐 𝟎

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗

( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏)𝟒

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

213

/ الحل

( ) ( ) 𝟔 𝟑 𝟐 𝟏

( ) 𝟔 𝟔 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏 (𝟏) 𝟎

( ) 𝟔 (𝟏) 𝟔 𝟎

∵ (𝟏) (𝟏) و 𝟎 𝟔 𝟎

(𝟏 ) توجد نهاة عظمى محلة عند ∴

(𝟏) ه :محلة العظمى النهاة ال ∴ 𝟔(𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟏 𝟐

/ الحل

( ) ( )

𝟒

𝟐 𝟎

( ) 𝟏 𝟖

𝟑 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟏 𝟖

𝟑 𝟎 𝟑 𝟖 𝟎 𝟑 𝟖 𝟐 ( 𝟐) 𝟎

( ) 𝟐𝟒

𝟒 ( 𝟐)

𝟐𝟒

𝟏𝟔 𝟎

∵ ( 𝟐) (𝟐 ) و 𝟎 𝟎

(𝟐 ) توجد نهاة عظمى محلة عند ∴

(𝟐 ) ه :محلة العظمى النهاة ال ∴ 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐 𝟏 𝟑

/ الحل

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟗

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟔 𝟗 𝟎 ( 𝟑)⇒ 𝟐 𝟐 𝟑 𝟎

( 𝟑)( 𝟏) 𝟎 𝟑 𝟏

( ) 𝟔 𝟔

𝟏 عندما

(𝟏 ) فأن (𝟏 ) و 𝟎 𝟏𝟐 𝟎

(𝟏 ) توجد نهاة عظمى محلة عند ∴

(𝟏 ) ه :محلة العظمى النهاة ال ∴ ( 𝟏)𝟑 𝟑( 𝟏)𝟐 𝟗( 𝟏) 𝟏 𝟑 𝟗 𝟓

𝟑 عندما

(𝟑) فأن (𝟑) و 𝟎 𝟏𝟐 𝟎

(𝟑 ) ى محلة عند صررتوجد نهاة ∴

(𝟑) ه :محلة الى الصررنهاة ال ∴ (𝟑)𝟑 𝟑(𝟑)𝟐 𝟗(𝟑) 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟐𝟕

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

214

( ) ( ) 𝟒 ( 𝟏)𝟒

/ الحل

( ) 𝟒( 𝟏)𝟑 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟒( 𝟏)𝟑 𝟎 ( 𝟏)𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 ( 𝟏) 𝟎

( ) 𝟏𝟐( 𝟏)𝟐 ( 𝟏) 𝟎

∵ ( 𝟏) (𝟏 ) بجوار إشارةأذن هذه الطرمة ال تنفع لذا نعود الى مالحظة ترر 𝟎

f 𝟏 * متزادة ف+ f 𝟏 * ة فمتنالص+

(𝟏 ) ه :نهاة عظمى محلة توجد ∴ 𝟒 ( 𝟏 𝟏)𝟒 𝟒

( ) لتكن (/2مثال ) 𝟐

𝟎

ال تمتلـن نهاـة عظمـى , ثـم بـن أن الدالـة علمـا أن الدالـة تمتلـن نمطـة أنمـالب عنـد فجـد لمـة محلة ز

/ الحل

( ) 𝟐

𝟐 ( ) 𝟐

𝟐

𝟑 (𝟏) 𝟐

𝟐

(𝟏)𝟑 𝟐 𝟐 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏

( ) 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐

𝟏

𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎 𝟐 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑

𝟏

𝟐 √

𝟏

𝟐

𝟑

( ) 𝟐 𝟐

𝟑 ( ) 𝟐

𝟐

. 𝟏𝟐 /

𝟐 𝟒 ( ) 𝟔 𝟎

√ 4 ى محلة عند صررتوجد نهاة ∴𝟏

𝟐

𝟑5

ال تمتلن نهاة عظمى محلة الدالة ∴

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

215

3د/ 2013وزاري 2د / 2013وزاري 1د / 2012وزاري

𝟑 ة ـلك كون لمنحن الدال عن لمت الثابتن (/3مثال ) 𝟐 نهاة عظمى محلة زثم جد نمطة األنمالب 𝟐 ونهاة عظمى محلة عند 𝟏 عند

/ الحل

𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐

𝟏 للدالة نهاة عظمى محلة عند ∵ ⇐ 𝟎

𝟎 𝟑( 𝟏)𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 ( معادلة ) 𝟎 𝟐

𝟐 ى محلة عند صررللدالة نهاة ∵ ⇐ 𝟎

𝟎 𝟑(𝟐)𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟏𝟐 ( معادلة ) 𝟎 𝟒

( أنا نحصل على : 2( و )1وبحل المعادلتن )

𝟑

𝟐 𝟔

𝟑 𝟑𝟐 𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟔 𝟑 ( (نجعل 𝟎

𝟔 𝟑 𝟎 𝟔 𝟑 𝟏

𝟐

4𝟏

𝟐5 4

𝟏

𝟐5

𝟑

𝟑𝟐4𝟏

𝟐5

𝟐

𝟔4𝟏

𝟐5

𝟏

𝟖 𝟑

𝟖 𝟑

𝟏 𝟑 𝟐𝟒

𝟖 𝟐𝟔

𝟖 4

𝟏

𝟐5

𝟏𝟑

𝟒

2ممعرة ف f الدالة𝟏

𝟐 3

2محدبة ف f الدالة𝟏

𝟐 3

∴ .𝟏

𝟐 𝟏𝟑

𝟒 نمطة أنمالب /

( ) كان منحن الدالة أذا (/4مثال ) 𝟑 𝟐 +𝟏 *ـدب ف ومح +𝟏 *ـ ممعـــر فــ

فجد لم األعداد الحممة (𝟏 𝟑)عند النمطة 𝟐𝟖 𝟗 ومس المستمم : / الحل 1د / 2014وزاري

+𝟏 *ومحـــدبة ف +𝟏 *ممعـــرة فــــ الدالة مستمرة ألنها كثرة الحدود و ∵

𝟏 الدالة تمتلن نمطة أنمالب عند ∴

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟔 𝟐 (𝟏) 𝟔 𝟐 . (𝟏) /نجعل 𝟎

𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟐) ( معادلة ) 𝟑 𝟎 𝟑 ⇒

)هو 𝟐𝟖 𝟗 مل المماس للمستمم ∵ 𝟑 عند (𝟗

𝟑 عند fهو مل المماس لمنحن الدالة (𝟑) ∴

(𝟑) 𝟐𝟕 𝟔 𝟗 𝟐𝟕 𝟔 ( 𝟑)⇒ 𝟑 / معادلة . 𝟐 𝟗

( ) تحمك معادلة منحن الدالة (𝟏 𝟑)النمطة 𝟑 𝟐

𝟏 ( معادلة ③) 𝟗 𝟐𝟕 ( نحصل على : 2( ف )1وبتعوض المعادلة )

𝟑 𝟗 𝟔 𝟑 𝟑 𝟏 𝟑 نحصل على : (3)( ف المعادلة 𝟑 ( و )𝟏 وبتعوض )

𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕 𝟏

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

216

( ) أذا كان للدالة (/5مثال ) , و نمطة األنمالب 8ة تســــاوي نهاة عظمى محلــ

2د / 2015وزاري فجد لمة عند / الحل

𝟑 𝟐 𝟔 𝟔 𝟔

⇐ 𝟏 عند نمطة أنمالب للدالة ∵ 𝟎

𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏

⇐ (𝟖) تساوي ى محلة عظمللدالة نهاة ∵ 𝟎

𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟑 ( 𝟐)

𝟎 𝟐

******************************************************************

( ) أذا كان للدالة /بواج , و نمطة األنمالب 4ى محلــــة تســــاوي صررنهاة

فجد لمة عند

(𝟑 تمارين(𝟒

( ) لتكن / 1س 𝟐 اذا كانت : جد قيمة +𝟖 𝟒 * , حيث 𝟔

ممعرة fالدالة محدبة )ب( f)أ( الدالة

الحل/

( ) 𝟐 𝟔 ( ) 𝟐 𝟔 ( ) 𝟐

/أ. أذا كانت الدالة محدبة

( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟒

/ب. أذا كانت الدالة مقعرة

( ) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟎 𝟖

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

217

( ) ة لمنحن الدالة ـــــتمثل نمطة حرج (2,6)أذا كانت / 2س وبن نوع فجد لمة 𝟒( )

زالحرجة النمطة الحل/

( ) 𝟒( )𝟑(𝟏) ( ) 𝟒( )𝟑 ( ) ) عندما 𝟐 ألن النمطة (𝟔 𝟐) نمطة حرجة (نجعل 𝟎

𝟎 𝟒(𝟐 )𝟑 ( 𝟒)⇒ 𝟎 / بالجذر الثالث . 𝟑( 𝟐)

𝟎 𝟐 ( ) تحمك معادلة منحن الدالة (𝟔 𝟐) النمطة ( 𝟐)𝟒

𝟔 (𝟐 𝟐)𝟒 𝟔 𝟎 𝟔

:نالحظ الرسم لبان نوع النمطة الحرجة ( ) 𝟒( 𝟐)𝟑

عظمى محلة تمتلن نهاة ( )النمطة ∴

( ) أذا كان / 3س 𝟑 𝟐 ( ) وكان 𝟏 ان عند متماســـــــ وكان كل من 𝟏𝟐

فجد لم الثوابت (11- ,1) نمطة أنمالب f نمطة األنمالب وكانت للدالة

2د / 2014وزاري الحل/

متماستان عند نمطة األنمالب ( ) ( ) الدالتن ∵

( ) أن متساوان أي ( )عند ( ) ( ) مل الدالتن ∴ ( )

( ) 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟏 𝟏𝟐 ( ) 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 (𝟏)𝟐 𝟐 (𝟏) 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ( ①معادلة )

( ) ) ⇐ ( ) نمطة أنمالب لدالة ( )النمطة ∵ ( )عندما (𝟎

( ) 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐

( 𝟐)⇒ 𝟑 𝟎 ( ②معادلة )

( ) تحمك معادلة الدالة ( )النمطة

( ) 𝟏𝟏 ( ③معادلة )

أنا سو نحصل على ③و ②و ①وبحل المعادالت

( ①معادلة )

(

③معادلة ) بالطرح

(

②معادلة ) بالطرح

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

218

( ) ة ــــتمثل نهاة صررى محلة لمنحن الدال (𝟔)أذا كانت / 4س 𝟑 𝟐 𝟑 ثم جد فجد لمة

؟ نمطة انمالبه فالمماس للمنحن معادلة الحل/

( ) 𝟑 𝟐 𝟑 ( ) 𝟔 𝟑 𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟎 𝟔 𝟑 𝟐 ( 𝟑)⇒ 𝟐 𝟐 𝟎 (𝟐 ) 𝟎 𝟐

( ) تنتم لمنحن الدالة ( )النمطة

( ) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟑(𝟎)𝟐 (𝟎)𝟑 𝟔

( ) 𝟔 𝟑 𝟐 ( ) 𝟔 𝟔 . ( ) /نجعل 𝟎

𝟎 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏

( ) 𝟑 𝟐 𝟑 (𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 (𝟏)𝟑 𝟔 𝟑 𝟏 𝟔 𝟖 (𝟏) 𝟖

( عندما ( ) ) اي نحسب تمثل نمطة أنمالب وه نمطة مل المماس ( )النمطة ∴

(𝟏) 𝟔(𝟏) 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 (𝟏) 𝟑

( ) 𝟖 𝟑( 𝟏) 𝟖 𝟑 𝟑

( معادلة المماس للمنحن)

( ) أذا كانت / 5س 𝟑 𝟐 (𝟏 ) ةومحدبــــــ (𝟏 )ــرة ـــممعـ وكانت

فجد لم الثوابت (𝟓 𝟏 ) نمطة نهاة عظمى محلة ه fوللدالة 3د / 2012وزاري الحل/

( ) تحمك دالة المنحن (𝟓 𝟏 )النمطة ( ) 𝟑 𝟐 𝟓 ( 𝟏)𝟑 ( 𝟏)𝟐 ( 𝟏) 𝟓 ( ①معادلة )

( ) ⇐ fللدالة نمطة نهاة عظمى محلة (𝟓 𝟏 )النمطة (𝟏 )عندما 𝟎

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 ( 𝟏)𝟐 𝟐 ( 𝟏) 𝟑 𝟐 𝟎 ( ②معادلة )

(𝟏 ) ةـــــومحدب (𝟏 )رة ـــممع الدالة ∵

عندما (𝟏 ) النه توجد نمطة انمالب ∴( ) نجعل 𝟎

( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 (𝟏) 𝟐 𝟔 𝟐 𝟎 ( ③معادلة )

أنا سو نحصل على ③و ②و ①وبحل المعادالت

( ①معادلة )

(

②معادلة ) بالجمع

( )

(

③معادلة ) بالجمع

( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

219

( ) لتكن / 6س

ال تمتلن نهاة عظمى محلة ز برهن أن الدالة

1د / 2013وزاري الحل/

( ) 𝟐 𝟏 ( ) 𝟐 𝟐 ( ) 𝟐

𝟐 ( ( ) (نجعل 𝟎

𝟎 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟑 𝟑

𝟐 / معادلة .

( ) 𝟐 𝟐 𝟑 ( ) 𝟐 𝟐

𝟑 / معادلة .

( نحصل على : 2) ف( 1)المعادلة وبتعوض

( ) 𝟐 𝟐

. 𝟐/ 𝟐

𝟐

𝟏4𝟐 5 𝟐 𝟒 𝟔 ( ) 𝟔

( ) ألن تمتلن نهاة صررى محلة الدالة ∴ 𝟔 𝟎

( )مهما كانت لمة عظمى محلة ال تمتلن نهاة الدالة ∴

𝟐 مس المنحن 𝟕 𝟑 تمم ـــالمس / 7س ـة ـــوكانت له نهاــ (𝟏 𝟐)عند

محلة عند 𝟏

𝟐 , وما نوع النهاة ؟ جد لمة

1د / 2016وزاري 1د / 2015وزاري الحل/

(𝟐 𝟏 ) تحمك معادلة المنحن : حث نعوض (𝟏 𝟐)النمطة

𝟐 𝟏 (𝟐)𝟐 (𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ①معادلة )

محلة عند للمنحن نهاة ∵𝟏

𝟐 ⇐

عندما

𝟐 𝟎 𝟐 (

) 𝟎 ( ②معادلة )

: نجد معادلة مل المستمم المماس من معادلته

معامل

معامل

( عندما نجد مل منحن الدالة عند نمطة التماس ) اي نجد

𝟐 𝟒 مل منحن الدالة عند نمطة التماس مل المستمم المماس ∵

𝟒 𝟒 𝟑 ( ③معادلة )

( 3) و( 2) لمعادلتنا بحل نحصل على : أنا

( ②معادلة )

(

③معادلة ) بالطرح

( ② (نعوض ف معادلة

( 𝐜 معادلة ① ألجاد وضنع ف )

( ) ( )

( ) 𝟐 𝟑

𝟏

𝟐

𝟏

𝟒 𝟏

𝟐 𝟑 𝟑

𝟏

𝟒

.النمطة ∴ 𝟏

𝟐 𝟑

𝟏

𝟒 تمثل نهاة صررى محلة /

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

220

أمثلة أضافة محلولة الحرجة ولم نماط النهاات للدوال األتة:جد أن وجدت مناطك التزاد والتنالص والنمط /مثال

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐

( ) . ( ) / نجعل

( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟎

𝟒 𝟎 𝟎

النمط الحرجة ه( )( )

نهاة عظمى محلة 0,0)النمطة)

( )لمة النهاة العظمى المحلة تساوي نهاة صررى محلة 4-,2)النمطة)

( )لمة النهاة الصررى المحلة تساوي

2مناطك التزاد

3

( )مناطك التنالص = الفترة

( ) ( ) 𝟐 𝟔 𝟒

( ) . ( ) / نجعل

𝟑 𝟗 𝟏𝟖 𝟒 𝟓

النمط الحرجة ه(𝟓 𝟑)

نهاة صررى محلة 5-,3)النمطة )

( )لمة النهاة الصررى المحلة تساوي + * مناطك التزاد + *مناطك التنالص

( ) ( ) 𝟒

( ) . ( ) / نجعل

𝟎

النمط الحرجة ه(𝟎 𝟎)

نهاة صررى محلة 0,0)النمطة)

( )لمة النهاة الصررى المحلة تساوي + * مناطك التزاد

+ *مناطك التنالص

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

221

( ) ( ) 𝟐 𝟑

( ) . ( ) /المكن جعل 𝟎

ال توجد نمط حرجة

+ *مناطك التزاد

( ) ( ) 𝟐 𝟏

𝟐 𝟒

( ) ( 𝟐 𝟒)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 )

( 𝟐 𝟒)𝟐

𝟐 𝟑 𝟖 𝟐 𝟑 𝟐

( 𝟐 𝟒)𝟐

𝟏𝟎

( 𝟐 𝟒)𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟏𝟎

( 𝟐 𝟒)𝟐 𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟎

𝟏

𝟒

(𝟎 𝟏

𝟒النمط الحرجة ه(

𝟎.النمطة 𝟏

𝟒 نهاة عظمى محلة /

لمة النهاة العظمى المحلة =

}مناطك التزاد

الفترة( )}و مناطك التنالص

الفترة( )

( ) ة ــــــــــأذا كان لمنحن الدال جد لم الثوابت /مثال نمطة نهاة صررى

( )محلة ه

الحل/

(𝟑 )عندما عندها تساوي صفر األولى تحمك دالة المنحن والمشتمة (5-,3)النمطة

( ) 𝟐 𝟒 𝟓 𝟗 𝟑 𝟒 𝟗 𝟗 𝟑 ( 𝟑)①معادلة 𝟑 𝟑 ⇒

( ) 𝟐 . ( ) / نجعل

𝟎 𝟐 (𝟑) 𝟔 𝟎 ② معادلة

حال أنا نحصل على : ②والمعادلة ①وبحل المعادلة

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

222

( ) ــةـــأذا كان لمنحن الدالـ جد لم الثوابت /مثال ـة ــنمطة نهاـــ ( ) ( )صررى محلة ه

تحمك دالة المنحن والمشتمة عندها تساوي صفر (𝟔 𝟏)النمطة الحل/

( ) ( ) 𝟔 ①معادلة ( )

( ) ( ) . ( ) / نجعل

𝟎 ( )

( 𝟐)⇒ 𝟏 ② معادلة

فنحصل على : ①ف المعادلة ②ض المعادلة نعو ( ) 𝟔 𝟎 ( 𝟑)( 𝟐) 𝟎

(همل)

( ) لتكن /مثال ة ـــاذا علمت أن للدالة نمطة نهاة عظمى محل جد لم الثوابت ( )ونهاة صررى محلة عندما ( )عندما

فمطاألولى ف هذا السؤال حدد نماط النهاات العظمى والصررى فمط لذلن نعتمد ف الحل على المشتمة الحل/ ( )

( ) ( ) ثم نعوض لم . / نجعل 𝟎

𝟏 ( ) ( ) 𝟒 𝟑 ( ①معادلة )

𝟑 ( ) ( ) ( معادلة②) 𝟐𝟕

حال أنا نحصل على : ②والمعادلة ①وبحل المعادلة

𝟏𝟔 𝟐𝟒 𝟑

𝟐 ① نعوض ف معادلة

( 𝟑

𝟐)

( ) تمثل نهاة عظمى محلة للدالة (5)أذا كانت /مثال 𝟑 فجد لمة 𝟑 𝟑

اة عظمى ـــــحتى كون للدالة نمطة نه فمط لذا جب أجاد لم (𝟓 )ف هذا السؤال لم تعطى النمطة كاملة وأنما لمة الحل/ ( ) ) او صررى محلة عندما مشتمة الدالة تساوي صفر محلة 𝟎)

( ) . ( ) / نجعل 𝟎

( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏

نهاة عظمى محلة وتحمك الدالة 1,5-)) النمطة

( ) 𝟑 𝟑 𝟏

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

223

( ) أذا علمت أن لمنحن الدالة /مثال

فجد لمة (3,10)نمطة نهاة صررى محلة ه

تحمك دالة المنحن والمشتمة عندها تساوي صفر (3,10)النمطة الحل/

( )

𝟏𝟎 𝟑

𝟏𝟎 𝟑

( 𝟐)⇒ 𝟐𝟎 𝟔 ( ①معادلة )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( نجعل

( )

( )

( 𝟒)( معادلة②) 𝟎 𝟒 ⇒

حال أنا نحصل على : ②والمعادلة ①وبحل المعادلة 𝟏𝟎 𝟐𝟎 𝟐 ② نعوض ف معادلة

( )

( ) أذا كانت /مثال 𝟑 𝟐 (𝟏 ) وكانت 𝟗 (𝟑) و 𝟓 فجد لم 𝟎

الحل/

( ) ( 𝟏) ( ) ( ) ( )

𝟓 𝟒 ( ①معادلة )

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟗 (𝟑) 𝟑 (𝟑)𝟐 𝟐 (𝟑) 𝟗

𝟎 𝟎 معادلة②. 𝟑 𝟐 𝟗 /

جد أن وجدت مناطك التحدب ومناطك التمعر ونمط االنمالب للدوال التالة : /مثال

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐

( ) ( ) . ( ) / نجعل

𝟏

النمطة( ) نمطة انمالب مرشحة

نمطة انمالب ( ) النمطة + *مناطك التحدب + *مناطك التمعر

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

224

( ) ( ) ( 𝟏)𝟒

( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) / نجعل

( ) ( ) 𝟏

النمطة(𝟎 𝟏) حرجة مرشحة

{+ * *مناطك التمعر

( ) ( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟐

( ) ( ) . ( ) / نجعل 𝟎

( ) ( ) ( )

النمطة(𝟐𝟖 𝟏 )نمطة انمالب مرشحة

+𝟏 *مناطك التحدب +𝟏 *مناطك التمعر

( ) لتكن /مثال 𝟐 +𝟓 𝟐 * وكان حث

محدبة ( )ممعرة ( )اذا كانت الدالة Aفجد لمة

الحل/

تكون الدالة محدبة أو ممعرة اعتمادا على أشاره لذلن سو نجد ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) أذا الدالة ممعرة

( )

( ) أذا الدالة محدبة

( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

225

( ) ةــــــــــــــمنحن الدال /مثال 𝟑 𝟐 (2,0)نات عند النمطة ـــور الســمس مح 𝟓

فجد لم الثوابت (0,5)ة أنمالب ه ــــــوله نمط

عندها تساوي صفر ( )ولمة عندها تساوي صفرالثانة تحمك دالة المنحن والمشتمة (𝟓 𝟎)النمطة الحل/

( ) 𝟑 𝟐 𝟓 ( ) (𝟎) (𝟎) (𝟎) ( ال نفع) 𝟓

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟔 𝟐 𝟎 𝟔 (𝟎) 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎

تحمك دالة المنحن (𝟎 𝟐)النمطة

( ) 𝟑 𝟐 ① معادلة 𝟓 𝟐 𝟖 𝟓

ألنها تمس محور السنات (𝟐 )عندما صفر((تساوي (𝟎 𝟐)النمطة عند ( ) األولىالمشتمة

( ) 𝟐 ( ① ( نعوضها ف معادلة

𝟖 𝟐 𝟓 𝟖 𝟐( 𝟏𝟐 ) 𝟓 𝟖 𝟐𝟒 𝟓 𝟏𝟔 𝟓

𝟓

𝟏𝟔 (

𝟓

𝟏𝟔)

( ) لتكن /مثال 𝟑 𝟐 ررى ــــــة نهاة صـــــــاذا علمت أن للدال جد لم كل من

(𝟏 )عندما انمالبونمطة (𝟒 )محلة عندما

الحل/

( ) 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( ) 𝟔 𝟐

( ) ( )

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 ( )( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

226

( ) تمثـل نهاـة عظمـى محلـة للدالـة (6)أذا كانت /مثال 𝟑 𝟑 𝟐 ثـم جـد فجـد لمـة

ز للمنحن عند نمطة انمالبه معادلة المماس

الحل/

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ( ) ( نجعل

𝟎 𝟑 𝟐 𝟔 𝟐 𝟐 ( )

نمطة نهاة عظمى محلة وتحمك الدالة (0,6)النمطة

( ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟎 𝟔

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ) 𝟔 𝟔 .

( ) / نجعل 𝟎

𝟔 𝟔 ( ) 𝟑 𝟔

نمطة انمالب وتحمك معادلة مل المماس ( )النمطة

ونستخدم لانون معادلة المماس حث )مل المماس = المشتمة األولى( عند نمطة األنمالب األن نجد مل المماس

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑(𝟏)𝟐 𝟔(𝟏) 𝟑 𝟔 𝟑

𝟏 ( 𝟏) 𝟒 𝟑( 𝟏) 𝟒 𝟑 𝟑

𝟑 𝟕 ( معادلة المماس للمنحن عند نمطة انمالبه ) 𝟎

******************************************************************

: الحرجة ولم نماط النهاات للدوال األتةجد أن وجدت مناطك التزاد والتنالص والنمط

( ) ( ) 𝟐 𝟏

𝟑

( ) ( ) 𝟏

𝟑 𝟑 𝟐

( ) ( ) 𝟐 𝟏

( ) ( ) 𝟑(𝟒 )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

227

رســم المخطط البان للدالة

: والت تمثل النمط األساسة للرسم نتبع الخطوات التالة معطاة لرسم المخطط البان ألي دالة

وما نتج عنها ( ) دراسة ❺المحاذات ❹التناظر ❸نمط التماطع مع المحورن ❷اوسع مجال للدالة ❶

دراسة ❻ تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها ❼وما نتج عنها ( )

( ) ورــالحممة الت لها ص ( )فأن أوسع مجال للدالة هو كل لم ( )ه دالة الى أذا كانت اوسع مجال للدالة : ❶

ولهذا مكن تمسم الدوال الى ثالث أشكال حسب المتررات الموجودة فها ( )بواسطة الدالة

ⓐ غــر موجــود فــ ممــام الدالــة وكــذلن غــر موجــود فــ داخــل ( )وهــ الــدوال التــ متررهــا :الــدوال كثــرات الحــدود

الجذر وكون اوسع مجال لها

ⓑ ع ــــــــــون اوســـــــــــة وكـــــــــــموجــــود فــــ ممــــام الدال ( )ا ــــــــــ الــــدوال التــــ متررهــــــــــوه رة:ــــــــــــــالــــدوال الكس

هاــال لــــــمج

{المم الت تجعل الممام 𝟎}

ⓒ موجود ف داخل الجذر وه نوعان ( )وه الدوال الت متررها ذرة:الجـــــــــــــــالدوال:

معرفاالت تجعل الجذر ( )دوال جذرة دلل جذرها فردي وكون اوسع مجال لها هو لم : النوع األول

معرفاالت تجعل الجذر ( )وكون اوسع مجال لها هو لم زوج دوال جذرة دلل جذرها النوع الثان:

: جد أوسع مجال لكل من الدوال التالة/ ①مثال توضح

( ) ⓐ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

( ) ⓑ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

( ) ⓒ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨ ( )

( ) ⓓ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨ ( )( )

( ) Ⓔ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

( ) Ⓕ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

( ) Ⓖ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨ √

√

( ) Ⓗ ( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨ √

( أوســـــــــع مجال للدالة ألنها كثيرات الحدود) ➨

Ⓘ ( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

228

: جد أوسع مجال لكل من الدوال التالة/ ②مثال توضح

① ( ) 𝟐 𝟑

𝟐 ➨ *𝟐+⁄

② ( ) 𝟐

𝟐 𝟒 ➨ * 𝟐+⁄

③ ( ) 𝟏

𝟐 𝟏 ➨ * 𝟏+⁄

ال تستخذم طرق تبسيظ المقام النها تؤدي الى الحل الخاطئ

( ) 𝟏

𝟐 𝟏

𝟏

( 𝟏)( 𝟏)

𝟏

( 𝟏) * 𝟏+⁄ ( حل خاطئ)

④ ( ) 𝟐 𝟑

. 𝟑𝟐 /

( ) (𝟐 𝟑 ) (𝟐

𝟑) ➨ * 𝟑+⁄

( ) 𝟑 𝟐

➨ *𝟎+⁄

الجذرة ولم عط أي مثال علها لذلن سأضع أمثلة لالطالعأما الدوال الجذرة فالمنهج خال من الدوال

جد أوسع مجال لكل من الدوال التالة:/ ③مثال توضح

① ( ) √𝟐 𝟖𝟐

➨ * 𝟒+

② ( ) √𝟏

𝟐 𝟖

𝟐

➨ *𝟒+⁄

:وهو على نوعن :نمط التماطع مع المحورن ❷

(a) الجاد لم (𝟎 )نجعل ( )ألجاد نمط التماطع مع المحور: ( ) التماطع مع المحور الصادي( )

(b) الجاد لم (𝟎 )نجعل ( )ألجاد نمط التماطع مع المحور: ( ) التماطع مع المحور السن( )

: جد نمط التماطع لكل من الدوال التالة/ ④مثال توضح

( ) ( ) 𝟑 𝟒

𝟎 𝟎

𝟎 𝟑 𝟒 𝟎 ( 𝟐 𝟒) 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎

نمط التماطع ( 𝟎 𝟎) (𝟎 𝟐 ) (𝟎 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

229

( ) ( ) ( 𝟐)𝟑

𝟎 𝟖

𝟎 ( 𝟐)𝟑 𝟎 𝟐

نمط التماطع ( 𝟖 𝟎) (𝟎 𝟐)

( ) ( ) 𝟑

𝟒

𝟎 𝟑

𝟒

𝟎 𝟑

𝟒 𝟎 𝟑 𝟑

(𝟑 𝟎) (𝟎 𝟑

𝟒 ) نمط التماطع

وهو على نوعن : التناظر : ❸

(a) حن متناظر مع المحور الصادينكون الم(y-axis) اذا كانت أسس المترر(x) كلها زوجة أي أن ( ) أنأي ( )

( ) ➨ ( ) ( )

(b) اذا كانت أسس المترر حول نمطة األصل حن متناظرنكون الم(x) أي أن فردةكلها ( ) أي أن ( )

( ) ➨ ( ) ( )

: ثم برهن ذلن ف حالة وجود التناظر جد التناظر لكل من الدوال التالة/ ⑤مثال توضح

( ) ⓐ / متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨

( ) ⓑ / متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨

( ) ⓒ / متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨

/ متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨ⓓ ( )

/ متناظرة مع الصادي الن أسس كلها زوجية. ➨Ⓔ ( )

( ) Ⓕ / متناظرة مع نقطة االصل الن أسس كلها فرديـــــــة. ➨

( ) Ⓖ / متناظرة مع نقطة االصل الن أسس كلها فرديـــــــة. ➨

( ) Ⓗ / متناظرة مع نقطة االصل الن أسس كلها فرديـــــــة. ➨

( ال يوجد تناظر الختالف اسس المتغيير ) ➨

Ⓘ

( )

( )

( ) ( ) }

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

230

لذا سنبرهن مثال لكل نوع من التناظر السابمة متشابه ف جمع األمثلة البرهان

Ⓔ ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Ⓕ ( ) ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( )

محاذات تمتصر على الدوال الكسرة فمط دراستنا لل: المحاذات ❹

المحاذي األفم الموازي لمحور السنات

األولى :الطرمة

نجعل ( )

( )( ) ثم نجعل فه تمثل معادلة المستمم األفم ز ( )ولتكن ( )ونجد لم 𝟎

الطرمة الثانة :

ل لسمة معامل الحد االكبر درجة من البسط على معامل الحد االكبر درجة من ـــهذا العدد هو حاص عدد ادلته تكون مع

الدرجتنالممام بشرط تساوي

المحاذي الشالول الموازي لمحور الصادات

الطرمة األولى :

نجعل ( )

( )( ) ثم نجعل فه تمثل معادلة المستمم الشالول ز ( )ولتكن ( )ونجد لم 𝟎

الطرمة الثانة :

زف الممام عند حساب أوسع مجال Rالعدد الذي ستثنى من المجموعة هذا العدد هو عدد تكون معادلته

: جد أوسع مجال ومعادالت المستممات المحاذة لكل من الدوال التالة/ ⑥مثال توضح

( ) ( ) 𝟑 𝟒

𝟐

𝟐 𝟎 𝟐 المستمم المحاذي الشالول

( ) 𝟑 𝟒

𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟐 ( 𝟑) 𝟒 𝟐

𝟒 𝟐

𝟑 𝟑 𝟎 𝟑 المستمم المحاذي األفم

او الحظ الطرمة الثانة * +⁄

المستمم المحاذي الشالول

𝟑 𝟒

𝟐

𝟑

المستمم المحاذي األفم

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

231

( ) ( ) 𝟑

𝟐 𝟒

* +⁄

المحاذات الشالولة

المحاذات االفمة 𝟑

𝟐 𝟒

𝟎 𝟐 𝟑

𝟐 𝟒(نساوي الدرجتن)

( ) ( ) 𝟐 𝟑 𝟑

𝟓

* +⁄

المحاذات الشالولة

المحاذات االفمة 𝟐 𝟑 𝟑

𝟓

𝟐 𝟑 𝟑

𝟎 𝟐 𝟓 (نساوي الدرجتن)

غر معرف

( ) ( ) 𝟓

* +⁄

المحاذات الشالولة

المحاذات االفمة 𝟓

𝟎 𝟓

(نساوي الدرجتن)

( ) :أرسم باألستعانة بمعلوماتن ف التفاضل منحن الدالة (/1مثال ) 𝟓

الحل/ أوسع مجال للدالة المنحن متناظر حول نمطة األصل ألن : /التناظر

( ) ➨ ( ) ( ) ( ) ( )𝟓 𝟓 ( )

كسرة ( المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة ( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

النمطة (𝟎 𝟎) نمطة تماطع مع المحورن األحداثن

3د / 2013وزاري

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

232

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) 𝟓 𝟒 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟓 𝟒 𝟎 𝟎 ( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟐𝟎 𝟑 .

( ) / نجعل 𝟎

𝟐𝟎 𝟑 𝟎 𝟎 ( ) 𝟓 (𝟎) 𝟎 𝟎

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

233

( ) :أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة (/2مثال ) 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) ( )𝟑 𝟑( )𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟒 وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن : ال ∴

( ) ( ) ( ) ( )

كسرة ( المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة ( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟒

( ال مكن حل المعادلة) 𝟎

النمطة (𝟒 𝟎) التماطع مع المحور الصادينمطة

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟑 𝟐 𝟔 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟎 𝟎 𝟐 (𝟎) 𝟒 𝟒 (𝟎 𝟒) (𝟐) 𝟎 𝟎 (𝟐 𝟎)

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟔 𝟔 .

( ) / نجعل 𝟎

𝟔 𝟔 𝟎 𝟔 𝟔 𝟏 (𝟏) 𝟐 𝟐 (𝟏 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

234

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

( ) :أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة (/3مثال ) 𝟑 𝟏

𝟏

الحل/ {1-}/ أوسع مجال للدالة

التناظر/

ة لذلن فالمنحن غر متناظر مع محور ــــــال نتم الى مجال الدال (𝟏 )نتم الى مجال الدالة ولكن العدد (𝟏)العدد ∵

الصادات وغر متناظر مع نمطة األصل

وجد تناظر ال ∴

/ المحاذات

𝟏 𝟎 𝟏 المستمم المحاذي الشالول

( ) 𝟑 𝟏

𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 ( 𝟑) 𝟏

𝟏

𝟑 𝟑 𝟎 𝟑 المستمم المحاذي األفم

نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 𝟑 𝟏

𝟏 𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏

𝟏

𝟑

. نالتماطع مع المحور نمط𝟏

𝟑 النمط (𝟏 𝟎) /𝟎

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

𝟒

( 𝟏)𝟐 𝟎 𝟒 ( غر ممكن) 𝟎

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

235

وما نتج عنها ( ) دراسة

( )

( 𝟏)𝟐(𝟎) 𝟒,𝟐( 𝟏)-

( 𝟏)𝟒 𝟖( 𝟏)

( 𝟏)𝟒

𝟖

( 𝟏)𝟑

( ) ( غر ممكن)

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

( ) : أرسم المنحنمعلوماتن بالتفاضل بأستخدام (/4مثال ) 𝟐

𝟐 𝟏

الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) ( )𝟐

( )𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏 ( )

( ) المنحن متناظر حول محور الصادات ألن : ∴ ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟏 ال وجد محاذي عمودي 𝟎

( ) 𝟐

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟏)

𝟐

𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 المستمم المحاذي األفم

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

236

نمط التماطع مع المحورن 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

التماطع مع المحورن ةنمط (𝟎 𝟎)

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

𝟐

( 𝟏)𝟐 𝟎

وما نتج عنها ( ) دراسة

( )

( ) ( ) , ( )-

( ) ( ), -

( )

( )

. ( ) / نجعل

( )

( )⇒

√

( )

(

√ )

(

√ )

(

√ )

. /

. /

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

237

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

(𝟑 تمارين(𝟓

أرسم بأستخدام معلوماتن ف التفاضل الدوال التالة :

(𝟏) ( ) 𝟏𝟎 𝟑 𝟐

الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟏𝟎 𝟑( ) ( )𝟐 𝟏𝟎 𝟑 𝟐

ألن :وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ال ∴ ( ) ( ) ( ) ( )

كسرة ( المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟏𝟎 ( )( ) 𝟓 𝟐

نمط التماطع ( 𝟏𝟎 𝟎) (𝟎 𝟐) (𝟎 𝟓 )

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟑 𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟐 𝟑

𝟐

. 𝟑

𝟐/ 𝟏𝟎 𝟑.

𝟑

𝟐/ .

𝟑

𝟐/𝟐 𝟏𝟎

𝟗

𝟐 𝟗

𝟒 𝟒𝟎 𝟏𝟖 𝟗

𝟒

𝟒𝟗

𝟒

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

238

.النمطة 𝟑

𝟐 𝟒𝟗

𝟒 نمطة نهاة عظمى محلة /

2 𝟑

𝟐 ( ) متزادة ف3

{ 𝟑

𝟐 ( ) متنالصة ف{

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) ( سالب دائما مهما تكون لمة فلهذا منحن الدالة محدب دائما وال توجد نمطة انمالب )

( ) محدبة ف+ *

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

(𝟐) ( ) 𝟐 𝟒 𝟑

الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) ( )𝟐 𝟒( ) 𝟑 𝟐 𝟒 𝟑

وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن : ال ∴ ( ) ( ) ( ) ( )

كسرة ( المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟑

( )( )

نمط التماطع ( 𝟑 𝟎) (𝟎 𝟏 ) (𝟎 𝟑 )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

239

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏

ى محلة صررنمطة نهاة (𝟏 𝟐 )النمطة

( ) متزادة ف+𝟐 *

( ) متنالصة ف+𝟐 *

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟐 ( موجب دائما مهما تكون لمة فلهذا منحن الدالة ممعر دائما وال توجد نمطة انمالب )

∴ ( ) ممعرة ف+ *

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

(𝟑) ( ) (𝟏 )𝟑 ⁄ د𝟐 𝟏 ⁄ د𝟐 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟏 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟑

الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) (𝟏 ( ))𝟑 𝟏 (𝟏 )𝟑 𝟏

وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن : ال ∴ ( ) ( ) ( ) ( )

كسرة( / ال توجد ألن الدالة لست نسبة المحاذات( نمط التماطع مع المحورن

𝟎 (𝟏 𝟎)𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐

(𝟏 )𝟑 𝟏 (𝟏 )𝟑 بالجذر الثالث للطرفن

نمط التماطع ( 𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

240

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( نجعل

( ) ( )

(نجذر الطرفن ) ( )

( ) (𝟏 )𝟑 𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟏)𝟑 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏

نمطة حرجة فمط (𝟏 𝟏)النمطة

( ) متنالصة ف +𝟏 * +𝟏 *

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) ( ) ( )

( ) ( ) . ( ) / نجعل

( )

نمطة أنمالب (1,1)النمطة ∴

( ) ممعرة ف+ 𝟏 *

( ) محدبة ف+ 𝟏 *

ثم رسمهاتحدد النمط الخاصة بالرسم ومن

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

241

(𝟒) ( ) ⁄ د𝟏 𝟑 𝟔 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟓

الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟔( ) ( )𝟑 𝟔 𝟑 (𝟔 𝟑)

ألن : حول نمطة األصل تناظر ال ∴ ( ) ( )

المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟎 𝟔 𝟑 (𝟔 𝟐)

أما

𝟔 أو 𝟐 𝟐 √

نمط التماطع ( 𝟎 √ ) (𝟎 √) (𝟎 𝟎)

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) ( ( ) ( نجعل 𝟎

√

( )

(√ ) (√ ) (√ ) √ √ √

( √𝟐) 𝟔( √𝟐) ( √𝟐)𝟑 𝟔√𝟐 𝟐√𝟐 𝟒√𝟐

نهاة عظمى محلة ( √ √)النمطة

نهاة صررى محلة ( √ √ )النمطة

( ) متزادة ف ( √ √ )

( ) متنالصة ف {𝟐√ } {𝟐√ }

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) .

( ) / نجعل 𝟎

نمطة أنمالب (0,0)النمطة ∴

( ) ممعرة ف+ 𝟎 *

( ) محدبة ف+ 𝟎 *

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

242

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

(𝟓) ( ) 𝟏

الحل/ = 𝟎* أوسع مجال للدالة+ التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟏

(

𝟏

)

ألن : نمطة األصلالتناظر مع ∴ ( ) ( )

المحاذات

𝟎 المستمم المحاذي الشالول

( ) 𝟏

𝟏

𝟏

𝟎 المستمم المحاذي األفم

نمط التماطع مع المحورن

𝟎)تماطع مع محور الصادات الن ال وجد (𝟎 الن 𝟏

𝟎)تماطع مع محور السنات الن ال وجد (𝟎 الن 𝟏

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟏 ( ) 𝟐 𝟏

𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟏

𝟐 𝟎 𝟏 (غر ممكن) 𝟎

ال توجد نمطة حرجة ∴

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

243

وما نتج عنها ( ) دراسة

( )

.

( ) / نجعل 𝟎

(غر ممكن)

ال توجد نمطة أنمالب ∴

( ) ممعرة ف+ 𝟎 *

( ) محدبة ف+ 𝟎 * تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

(𝟔) ( ) 𝟏

𝟏

الحل/ أوسع مجال للدالة * +

التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟏

𝟏

وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن : ال ∴ ( ) ( ) ( ) ( )

/ المحاذات

𝟏 𝟎 𝟏 المستمم المحاذي الشالول

( ) 𝟏

𝟏 𝟏 𝟏 ( 𝟏) 𝟏

𝟏

𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 المستمم المحاذي األفم

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

244

نمط التماطع مع المحورن 𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 𝟏

𝟏 𝟏 𝟎 𝟏

التماطع مع المحورن نمط النمط (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏)

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) ( 𝟏)(𝟏) ( 𝟏)(𝟏)

( 𝟏)𝟐 𝟏 𝟏

( 𝟏)𝟐

𝟐

( 𝟏)𝟐

𝟐

( 𝟏)𝟐 𝟎

ال توجد نمطة حرجة

وما نتج عنها ( ) دراسة

( )

( ) ( ) , ( )-

( ) ( )

( )

( )

( ) ( غر ممكن)

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

245

(𝟕) ( ) ( 𝟐)( 𝟏)𝟐

الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) ( 𝟐)( 𝟏)𝟐

:وجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن ال ∴ ( ) ( ) ( ) ( )

/ كسرة( ال توجد ألن الدالة لست نسبة المحاذات(

نمط التماطع مع المحورن 𝟎 (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏)𝟐 (𝟐)(𝟏) 𝟐 𝟎 𝟎 ( 𝟐)( 𝟏)𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 ( 𝟏)𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏

التماطع مع المحورن نمط النمط (𝟐 𝟎) (𝟎 𝟐 ) (𝟎 𝟏)

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) ( 𝟐),𝟐( 𝟏)- ( 𝟏)𝟐 (𝟏) ( 𝟏),𝟐 𝟒 𝟏- ( ) ( 𝟏),𝟑 𝟑- ( ( ) ( نجعل 𝟎 ( 𝟏),𝟑 𝟑- 𝟏 𝟎 𝟏 (𝟏) (𝟏 𝟐)(𝟏 𝟏)𝟐 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏 ( 𝟏) ( 𝟏 𝟐)( 𝟏 𝟏)𝟐 𝟒

نماط حرجة (𝟎 𝟏) (𝟒 𝟏 )النماط

( ) متزادة ف +𝟏 * +𝟏 * ( ) متنالصة ف الفترة المفتوحة (𝟏 𝟏 )

صررى محلة (𝟎 𝟏)النمطة ∴

عظمى محلة (𝟒 𝟏 )النمطة ∴

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) ( )( ) ( )( )

( ) .

( ) / نجعل 𝟎

𝟔 𝟎 (𝟎) (𝟎 𝟐)(𝟎 𝟏)𝟐 𝟐

نمطة أنمالب (𝟐 𝟎)النمطة ∴

( ) محدبة ف +𝟎 *

( ) ممعرة ف +𝟎 *

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

246

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

(𝟖) ( ) 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏

الحل/ 𝟐 ) ألن أوسع مجال للدالة 𝟏 𝟎 ➨ 𝟐 𝟏 )

التناظر/

( ) ➨ ( ) ( )𝟐 𝟏

( )𝟐 𝟏 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏

( ) ألن الصادات تناظر مع محورال ∴ ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟏 ال وجد مستمم المحاذي الشالول 𝟎

( ) 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐( 𝟏) 𝟏

𝟐 𝟏

𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 المستمم المحاذي األفم

نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 𝟐 𝟏

𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 ( 𝟏)( 𝟏) 𝟎 𝟏

التماطع مع المحورن نمط النمط (𝟏 𝟎) (𝟎 𝟏) (𝟎 𝟏 )

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 ) ( 𝟐 𝟏)(𝟐 )

( 𝟐 𝟏)𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐

( 𝟐 𝟏)𝟐

( ) 𝟒

( 𝟐 𝟏)𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

( ) 𝟎

(𝟏) 𝟏 𝟏

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

247

نهاة صررى محلة نمطة (𝟏 𝟎) النمطة ∴

( ) متزادة ف +𝟎 *

( ) متزادة ف +𝟎 *

وما نتج عنها ( ) دراسة

( )

( ) ( ) ( )( ( )( ))

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ), -

( ) , -

( ) , -

( )

( )

( ) .

( ) / نجعل 𝟎

𝟐

( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐

𝟐

𝟏

√𝟑

(𝟏

√𝟑)

𝟐 𝟏

𝟐 𝟏

(𝟏

√𝟑)𝟐

𝟏

(𝟏

√𝟑)𝟐

𝟏

𝟏𝟑 𝟏

𝟏𝟑 𝟏

𝟏𝟑

𝟑𝟑

𝟏𝟑

𝟑𝟑

𝟐𝟑𝟒𝟑

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐

( 𝟏

√𝟑)

𝟐 𝟏

𝟐 𝟏

( 𝟏

√𝟑)𝟐

𝟏

( 𝟏

√𝟑)𝟐

𝟏

𝟏𝟑 𝟏

𝟏𝟑 𝟏

𝟏𝟑

𝟑𝟑

𝟏𝟑

𝟑𝟑

𝟐𝟑𝟒𝟑

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐

.النماط ∴𝟏

√𝟑 𝟏

𝟐 / .

𝟏

√𝟑 𝟏

𝟐 نماط أنمالب /

{ 𝟏

√𝟑} {

𝟏

√𝟑} ( ) محدبة ف

( 𝟏

√𝟑

𝟏

√𝟑) ( ) ممعرة ف

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

248

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

(𝟗) ( ) 𝟐 𝟐 ⁄ د𝟐 𝟒 وزاري 𝟐𝟎𝟏𝟐

الحل/ أوسع مجال للدالة التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐( )𝟐 ( )𝟒 𝟐 𝟐 𝟒

التناظر مع محور الصادات ألن : ∴ ( ) ( )

كسرة () المحاذات / ال توجد ألن الدالة لست نسبة نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐(𝟐 𝟐)

𝟐 أما

𝟐 أو 𝟐 𝟐 √

نمط التماطع ( 𝟎 √ ) (𝟎 √) (𝟎 𝟎)

وما نتج عنها ( ) دراسة ( ) 𝟒 𝟒 𝟑 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟒 𝟒 𝟑 𝟎 ( 𝟒)⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟏 𝟏

( ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟏

نهاة صررى محلة ( )النمطة

نهاة عظمى محلة ( )النمطة

نهاة عظمى محلة ( )النمطة

( ) متزادة ف (𝟏 𝟎) +𝟏 *

( ) متنالصة ف (𝟎 𝟏 ) +𝟏 *

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

249

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 .

( ) / نجعل 𝟎

𝟎 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 ( 𝟒)⇒ 𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐

𝟏

𝟑

𝟏

√𝟑

( 𝟏

√𝟑) 𝟐(

𝟏

√𝟑)𝟐

(𝟏

√𝟑)𝟒

𝟐

𝟑 𝟏

𝟗 𝟔 𝟏

𝟗

𝟓

𝟗

)النمط 𝟏

√𝟑 𝟓

𝟗) (

𝟏

√𝟑 𝟓

𝟗 نمط أنمالب مرشحة (

( 𝟏

√𝟑 𝟏

√𝟑 ( ) ممعرة ف(

8 𝟏

√𝟑9 8

𝟏

√𝟑9 ( ) محدبة ف

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

250

(𝟏𝟎) ( ) 𝟔

𝟐 𝟑

الحل/ 𝟐 ) ألن أوسع مجال للدالة 𝟑 𝟎 ) التناظر/

( ) ➨ ( ) 𝟔

( )𝟐 𝟑

𝟔

𝟐 𝟑

( ) ألن الصادات التناظر مع محور ∴ ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟑 ال وجد محاذي الشالول 𝟎

( ) 𝟔

𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟔 𝟑

𝟐 𝟔 𝟑

𝟎 المستمم المحاذي األفم

نمط التماطع مع المحورن

𝟎 𝟐

𝟎 𝟎 𝟔

𝟐 𝟑 𝟎 𝟔

النمطة (𝟐 𝟎) التماطع مع المحور الصادي ةنمط

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) ( )( ) ( )

( ) 𝟏𝟐

( ) ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟏𝟐 𝟎

(𝟎) 𝟐 𝟐

محلة عظمىنمطة نهاة (𝟐 𝟎) النمطة ∴

( ) متزادة ف +𝟎 *

( ) متنالصة ف +𝟎 *

وما نتج عنها ( ) دراسة

( )

( ) ( ) ( )( ( )( ))

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( ), ( ) -

( )

( )

( )

( ) . ( ) / نجعل 𝟎

𝟐 𝟎 𝟐 𝟐

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

251

( ) 𝟔

(𝟏)𝟐 𝟑 𝟔

𝟒 𝟑

𝟐

( ) 𝟔

( 𝟏)𝟐 𝟑 𝟔

𝟒 𝟑

𝟐

𝟏 .النماط ∴𝟑

𝟐/ .𝟏

𝟑

𝟐 نماط أنمالب /

( ) ممعرة ف +𝟏 * +𝟏 *

( ) محدبة ف (𝟏 𝟏 )

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

******************************************************************

باستخدام معلوماتن ف التفاضل أرسم منحن كل من الدوال األتة (/1مثال )

( ) ( ) 𝟓 ( ) ( ) (𝟐 𝟏)𝟑

( ) ( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏 ( ) ( ) 𝟐 𝟐 𝟒

( ) أذا كانــت (/2مثــال ) 𝟐 ومــن ثــم (b)متنــاظرة حــول محــور الصــادات جــد لمــة 𝟏 (𝟏 )

ز استخدام معلوماتن ف التفاضل وأرسم منحن الدالة

( ) أذا كانــت الدالــة (/3مثــال )

𝟐 نمطــة تمــاطع المحاذــات االفمــة والعمودــة )-(1,3وكانــت النمطــة

ز ومن ثم استخدام معلوماتن ف التفاضل وأرسم منحن الدالة للدالة جد كل من

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

252

تطبمــــــات عملة على النهاــات العظمى والصررى المحلة:

ظهرت فـ الفزـاء الكثـر مـن المسـائل التـ أدت الـى تطـور حسـاب التفاضـل والتكامـل ومـن هـذه المسـائل مسـائل

علـى أو األحساب ألصى أرتفاع تصله لذفة أطلمت بزواا مختلفة أو ألصى أرتفاع صله جسم ممذو شالولا الـى

ومسائل من الصناعات مثل ألل مساحة وأكبر حجم وألل محط , ززز ألخ ز أو ألل زمن ألل كلفة

:لحل المسائل المتعلمة بهذا الموضوع نتبع الخطوات التالة

Ⓘ نرسم رسـم توضـح للمسـألة كلمـا كـان ذلـن ممكنـا ونثبـت علـى الشـكل كـل المترـرات والثوابـت ومـن ثـم نبـدأ

ز, ماه ,عن ,احسب, ززز ( أي نكون الفرضة على أساس المطلوب بتكون الفرضة الت تعتمد على كلمة )جد

بمعنــى أخــر نبحــث فــ المســألة عــن ا زـــــــاد النهاــة العظمــى أو الصــررى لهـــــــة المطلــوب أجــــــنكــون الدال ②

ل ـــــمكـن , الا ــــثل )اكبـر مـا مكـن , اصـرر مــــات العظمى أو الصررى المحلـة مـــــالكلمات الت تدل على النها

لانون )ثم نبدأ بتكون الدالة على أساس هذه الكلمات وف أكثر األحان تكون هذه الدالة كمة , اطول مسافة , ززز(

فثاغورس , تشابه مثلثات , دوال دائرة , ززز(, حجم , مساحة , محط

اجاد عاللـة بـن المترـرات لتكـون دالـة ذات اذا كانت الدالة المكونة اعاله تعتمد على اكثر من مترر لذا جب ③

مترر واحد وأكثر االحان هذه العاللة ه )لانون حجم , مساحة , ززززززززززز( مشابهة للموانن السابمةز

أخر نبدأ بدراسة الدالة المتكونة والت تحتوي على مترر واحد ألجاد النهاة العظمى أو الصررى المحلة كما ④

ــــــا ســــــا ــــــرةبما تعلمن ــــــ أطــــــرا الفت ــــــك أجــــــاد األعــــــداد الحرجــــــة ف ــــــة أي ) عــــــن طر ــــــم الدال (زأجــــــاد ل

: جد العدد الذي أذا أض الى مربعه كون الناتج أصرر ما مكن (/1مثال )

الحل/

= الؼذدنفرض : الفرضيت

𝟐 مربغ الؼذد =

الؼذد + مربؼو : الذالت

( ) 𝟐

:الذراست ( ) 𝟏 𝟐 ( ( ) ( نجؼل 𝟎

𝟏 𝟐 𝟎 𝟏

𝟐

( ) 𝟐 4

𝟏

𝟐5 𝟐 𝟎

ى محلية عندما صغرتوجد نهاية ∴ 𝟏

𝟐

.العدد هو ∴ 𝟏

𝟐/

األختبار

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

253

وذلـن بمـص أربـع ( 𝟏𝟐)صنع صندوق مفتوح من لطعة مـن النحـاس مربعـة الشـكل طـول ضـلعها (/2مثال )

؟ ثم ثن األجزاء البارزة لها ز ما هو الحجم األعظم لهذه العلبة مربعات متساوة األبعاد من أركانها األربعة

1د / 2015وزاري الحل/

ضلع المربع الممطوع طول نفرض : الفرضة

𝟏𝟐 )أبعاد الصندوق = 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 )

= حاصل ضرب أبعاده الثالثةه لانون حجم الصندوق :الدالة

(𝟏𝟐 𝟐 )(𝟏𝟐 𝟐 )( ) (𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟒 𝟐)( ) 𝟏𝟒𝟒 𝟒𝟖 𝟐 𝟒 𝟑

ال نحتاج الى عاللة الن المعادلة تحتوي مترر واحد : العاللة

: الدراسة

𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟏𝟒𝟒 𝟗𝟔 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) 𝟏𝟐 𝟖 𝟐 𝟎 (𝟔 )(𝟐 ) 𝟎

ال مكن 𝟔

𝟐

توجد نهاة عظمى للحجم تساوي : (𝟐 )عندما ∴

(𝟖)(𝟖)(𝟐) 𝟏𝟐𝟖 𝟑

) لألطالع ( األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

254

ثـم بـرهن ( 𝟏𝟐)جد بعدي أكبر مثلث متساوي السالن مكن أن وضع داخـل دائـرة نصـ لطرهـا (/3مثال )

رة كنسبةأن نسبة مساحة المثلث الى مساحة الدائ𝟑√𝟑

𝟒

الحل/

𝟐طول لاعدة المثلث = h= نفرض أرتفاع المثلث : الفرضة

ه لانون مساحة المثلث :الدالة

𝟏

𝟐(𝟐 )( )

فثاغورس :العاللة

𝟐 ( 𝟏𝟐)𝟐 (𝟏𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟒 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟒𝟒

𝟐 𝟐𝟒 𝟐 √𝟐𝟒 𝟐

.√𝟐𝟒 𝟐 / √𝟐𝟒 𝟑 𝟒

:الدراسة

𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑

(𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒 (

( نجعل 𝟎

𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑

(𝟐)√𝟐𝟒 𝟑 𝟒 𝟎

𝟕𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝟎 ( 𝟒) 𝟐(𝟏𝟖 ) 𝟎

(المكن ) 𝟎

𝟏𝟖

√𝟐𝟒(𝟏𝟖) (𝟏𝟖)𝟐 √(𝟏𝟖)(𝟔) 𝟔√𝟑

تساوي : طول لاعدة المثلث ∴

𝟐 𝟐(𝟔√𝟑 ) 𝟏𝟐√𝟑

مساحة الدائرة :نسبة مساحة المثلث الى 𝟏

𝟐 (𝟏𝟐)𝟐 مساحة الدائرة 𝟐 𝟏𝟒𝟒

𝟐 𝟏

𝟐(𝟐 )( ) (𝟔√𝟑)(𝟏𝟖)

𝟐 𝟏𝟎𝟖√𝟑 مساحة المثلث 𝟐

مساحة المثلث

مساحة الدائرة 𝟐 𝟏 𝟏𝟎𝟖√𝟑

𝟏𝟒𝟒 𝟑√𝟑

𝟒

) لألطالع ( األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

255

بحـث (cm 18)وأرتفاعـه (cm 24)جد بعدي أكبر مستطل مكن أن وضع داخل مثلـث طـول لاعدتـه (/4مثال )

2د / 2013وزاري زساله علىماعدة والرأسن البالان تمعان أن رأسن متجاورن من رؤوسه تمعان على ال

الحل/

:بعدي المستطل نفرض: الفرضة

حاصل ضرب بعده المستطل ه مساحة :الدالة

اوي زوااهما المتناظرة لذا ـــ) لتس btr , bcqبه المثلثات تشـــــــا :العاللة

أضالعهما المتناظرة وكذلن أرتفاعهما (تتناسب

𝟐𝟒 𝟏𝟖

𝟏𝟖

𝟐𝟒 (𝟏𝟖

𝟏𝟖)

𝟒

𝟑(𝟏𝟖 )

(𝟒

𝟑(𝟏𝟖 ))

𝟒

𝟑(𝟏𝟖 𝟐)

:الدراسة

𝟒

𝟑(𝟏𝟖 𝟐 ) (

( نجعل 𝟎

𝟒

𝟑(𝟏𝟖 𝟐 ) 𝟎 (

𝟒

𝟑)

𝟏𝟖 𝟐 𝟎 𝟗 𝟏𝟐

(𝟏𝟐) (𝟗)بعدي المستطل هما ∴

) لألطالع ( األختبار:

: لألختبار طرمة ثانة 𝟐

𝟐 𝟒

𝟑( 𝟐)

𝟖

𝟑 𝟎

( 𝟗 ) مساحة نهاة عظمى محلة عندمالدالة هذا عن أن ل

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

256

أثبـت أنـه عنـدما كـون مجمـوع مسـاحت الشـكلن أصـرر مـا ( 𝟔𝟎)مجموع محط دائرة ومربـع (/5مثال )

3د / 2013وزاري زالمربع مكن فأن طول لطر الدائرة ساوي طول ضلع

الحل/

R cmونص لطر الدائرة = x cmنفرض طول ضلع المربع = : الفرضة

ه مساحة المربع+ مساحة الدائرة :الدالة

𝟐 𝟐

𝟑𝟎 𝟐 𝟑𝟎 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 (𝟑𝟎 𝟐

)𝟐

𝟐 𝟏

(𝟑𝟎 𝟐 )𝟐 𝟐

𝟏

(𝟗𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟒 𝟐)

cm 60محط المربع + محط الدائرة= :العاللة

𝟔𝟎 𝟒 𝟐 ( 𝟐)

𝟐

𝟏

( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) (

( نجعل 𝟎

𝟐 𝟏

( 𝟏𝟐𝟎 𝟖 ) 𝟎 .

𝟐/

𝟔𝟎 𝟒 𝟎 ( 𝟒) 𝟔𝟎

𝟔𝟎

𝟒 طول ضلع المربع

لطر الدائرة 𝟐 𝟐4𝟏

(𝟑𝟎 𝟐 )5

𝟐

(𝟑𝟎

𝟏𝟐𝟎

𝟒)

لطر الدائرة 𝟐

(𝟑𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟐𝟎

𝟒)

𝟐

(𝟑𝟎

𝟒)

𝟔𝟎

𝟒

:الدراسة

𝟐

𝟐 𝟐

𝟏

(𝟖) 𝟎

األختبار :

هذا عن أن الدالة تمتلن نهاة صررى محلة

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

257

𝟐 مطع الزائد جد نمطة أو نماط تنتم لل (/6مثال ) 𝟐 (𝟒 𝟎)بحث تكون ألرب ما مكن للنمطة 𝟑

الحل/

******************************************************************

مالحظات :

Ⓘ للشكل أكبر أو أصرر مسطحف بعض األحان دالة المساحةمكن المول عن

للشكل أكبر أو أصرر مجسمف بعض األحان دالة الحجم أو السعةمكن المول عن ②

)فمط ف العاللة, الدالة, الفرضةف كال الحالتن أعاله كون الحل هو نفس الحل السابك عن طرك أجاد ③

االختبار, الدراسةحالة وجود أكثر من مترر( ,

𝟐 ه من نمط المنحن ( ) نفرض أن النمطة : الفرضة 𝟐 (𝟒 𝟎)بحث تكن ألرب ما مكن للنمطة 𝟑

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟒)𝟐

لانون المسافة ه :الدالة

√( 𝟐 𝟑) 𝟐 𝟖 𝟏𝟔

√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑

𝟐 ) :العاللة 𝟐 𝟑)

√ 𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟔

𝟒 𝟖

(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑 (

( نجعل 𝟎

𝟒 𝟖

(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟏𝟑 𝟎

𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎

𝟐

𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏

:الدراسة

(𝟐 𝟏 ) (𝟐 𝟏)النماط ه

1د / 2013وزاري 2د / 2011وزاري

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

258

(𝟑 تمارين(𝟔

زوحاصل ضرب أحدهما ف مربع األخر أكبر ما مكن (75)جد عددن موجبن مجموعهما / 1س

الحل/

والعدد الثان = نفرض العدد األول =: الفرضة

مربع العدد الثان = حاصل ضرب العدد األول

ه عاللة عددة : الدالة

𝟐 (معادلة )

𝟕𝟓

𝟕𝟓 (معادلة ②)

ف معادلة ②نعوض معادلة (𝟕𝟓 ) 𝟐 𝟕𝟓 𝟐 𝟑

:الدراسة

𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐 ( ( نجعل 𝟎

𝟏𝟓𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 ( 𝟑) 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 (𝟓𝟎 ) 𝟎

(همل) 𝟎

𝟓𝟎 𝟕𝟓 𝟕𝟓 𝟓𝟎 𝟐𝟓

(𝟓𝟎)والعدد الثان (𝟐𝟓)العدد األول

لألطالع األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

259

3د / 2012وزاري √𝟒جد أرتفاع أكبر أسطوانة دائرة لائمة توضع داخل كرة نص لطرها / 2س

الحل/

ونفرض الحجم = 𝟐 ونفرض أرتفاع االسطوانة = = نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة : الفرضة

ه لانون حجم االسطوانة : الدالة

(معادلة ) ( 𝟐)𝟐

فثاغورس: العاللة

𝟐 𝟐 .𝟒√𝟑/𝟐

𝟐 𝟒𝟖 (معادلة②) 𝟐

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 𝟐 (𝟒𝟖 𝟐) (معادلة③) (𝟑 𝟒𝟖) 𝟐

:الدراسة

𝟐 (𝟒𝟖 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟐 (𝟒𝟖 𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟐 ) 𝟒𝟖 𝟑 𝟐 𝟎 ( 𝟑) 𝟏𝟔 𝟐 𝟎 (𝟒 )(𝟒 ) 𝟎

( همل ) 𝟒

𝟒

𝟐 𝟒𝟖 𝟐 𝟒𝟖 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟒√𝟐

أكبر ارتفاع لالسطوانة :𝟐 𝟐(𝟒 ) 𝟖

) لألطالع ( األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

260

1د / 2012وزاري √𝟒جد بعدي أكبر مستطل وضع داخل نص دائرة نص لطرها / 3س

الحل/

A ونفرض مساحة المستطل = نفرض عرض المستطل 𝟐 = نفرض طول المستطل : الفرضة

ه لانون مساحة المستطل : الدالة

(معادلة ) 𝟐

(ABC)ف المثلث المائم فثاغورس :العاللة

𝟐 𝟐 .𝟒√𝟐/𝟐

𝟐 𝟐 𝟑𝟐

√𝟑𝟐 (معادلة②) 𝟐

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 .√𝟑𝟐 𝟐/

𝟐 .√𝟑𝟐 𝟐 𝟒/ √𝟒(𝟑𝟐 𝟐 𝟒)

√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒 :الدراسة

𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑

𝟐 .√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒/ (

( نجعل 𝟎

𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑

𝟐 (√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒) 𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟏𝟔 𝟑 𝟎

𝟏𝟔 𝟑 𝟎 ( 𝟐)

( همل) 𝟎

𝟐

(همل السالب ) 𝟒

( عرض المستطل ) 𝟒

√𝟑𝟐 𝟐 √𝟑𝟐 √

𝟐 𝟐(𝟒) ( طول المستطل ) 𝟖

لألطالع األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

261

√𝟖جد أكبر مساحة لمثلث متساوي السالن طول كل من ساله / 4س

الحل/

ونفرض مساحة المثلث = 𝟐ونفرض طول لاعدة المثلث = المثلث أرتفاعنفرض : الفرضة

ه لانون مساحة المثلث : الدالة

𝟏

𝟐 (معادلة ) ( 𝟐)

فثاغورس: العاللة

𝟐 𝟐 .𝟖√𝟐/𝟐

𝟐 𝟐 𝟏𝟐𝟖

𝟐 𝟏𝟐𝟖 𝟐 √𝟏𝟐𝟖 (معادلة②) 𝟐

ف معادلة ②نعوض معادلة

.√𝟏𝟐𝟖 𝟐/

√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒 :الدراسة

𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑

𝟐 (√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒) (

( نجعل 𝟎

𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑

𝟐(√𝟏𝟐𝟖 𝟐 𝟒) 𝟎 𝟐𝟓𝟔 𝟒 𝟑 𝟎

𝟔𝟒 𝟑 𝟎 (𝟔𝟒 𝟐) 𝟎

𝟎 ( همل)

𝟔𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟔𝟒

( همل ) 𝟖 األرتفاع 𝟖

𝟐 𝟐(𝟖) ( طول لاعدة المثلث) 𝟏𝟔

اكبر مساحة للمثلث :

(𝟖)(𝟖) 𝟔𝟒 𝟐

لألطالع األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

262

𝟐 𝟏𝟔جد ألل محط ممكن للمستطل الذي مساحته / 5س

الحل/

= المستطل ونفرض محط ونفرض عرض المستطل = = المستطل طولنفرض : الفرضة المستطل = ونفرض مساحة

ه لانون محط المستطل :الدالة

(معادلة ) 𝟐 𝟐

مساحة المستطل: لعاللةا

𝟏𝟔 𝟏𝟔

(معادلة②)

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐4𝟏𝟔 5

𝟐 𝟑𝟐 𝟏

:الدراسة

𝟐 𝟑𝟐 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟐 𝟑𝟐 𝟐 𝟎 ( 𝟐) 𝟏 𝟏𝟔 𝟐 (نضرب المعادلة ب 𝟐 ) 𝟎

𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒 𝟒

ألل محط ممكن : 𝟐 𝟐 𝟐(𝟒) 𝟐(𝟒) 𝟏𝟔

لألطالع األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

263

(cm 3)حجم أكبر مخروط دائري لائم مكن وضعه داخل كرة نص لطرها جد / 6س

الحل/

ونفرض الحجم = ونفرض أرتفاع المخروط = = نفرض نص لطر لاعدة المخروط : الفرضة

ه لانون حجم المخروط : الدالة

𝟏

𝟑 (معادلة ) 𝟐

( ABC) للمثلث المائم الزاوة فثاغورس :العاللة 𝟐 ( 𝟑)𝟐 (𝟑)𝟐

𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟗 𝟐 (معادلة②) 𝟐 𝟔

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟏

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 (𝟔 𝟐)

𝟑(𝟔 𝟐 𝟑)

:الدراسة

𝟑(𝟏𝟐 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟏𝟐 𝟑 𝟐) 𝟎 ( 𝟑)

𝟒 𝟐 𝟎 ( )

𝟒 𝟐 𝟎 (𝟒 ) 𝟎

( همل) 𝟎

األرتفاع 𝟒 𝟐 𝟔 𝟐 𝟔(𝟒) (𝟏𝟔) 𝟖

√𝟖 𝟐√𝟐 نصف المطر

أكبر حجم للمخروط :

𝟏

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 (𝟐√𝟐)

𝟐(𝟒)

𝟑𝟐

𝟑 𝟑

لألطالع األختبار :

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

264

والذي صنع مع المحورن ف الربع األول أصرر مثلث (6,8)معادلة المستمم الذي مر بالنمطة جد / 7س

الحل/

نمطة تماطع المستمم مع المحور (𝟎 )نفرض : الفرضة Aونفرض مساحة المثلث = x , y نفرض أبعاد المثلث =

ه لانون مساحة المثلث : الدالة

𝟏

𝟐 (معادلة )

) مل لانون المل :العاللة = مل ) تنتم للمستمم (𝟖 𝟔) النمطة

𝟐 𝟏 𝟐 𝟏

𝟖

𝟎 𝟔 𝟖 𝟎

𝟔

( 𝟖)(𝟔 ) 𝟒𝟖

𝟔 𝟒𝟖 𝟖 𝟒𝟖 𝟔 𝟖 𝟎

(𝟔 ) 𝟖 𝟖

𝟔 (معادلة②)

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐 (

𝟖

𝟔 )

𝟒 𝟐

𝟔 (معادلة③)

:الدراسة

(𝟔 )( 𝟖 ) ( 𝟒 𝟐)( 𝟏)

(𝟔 )𝟐 𝟒𝟖 𝟖 𝟐 𝟒 𝟐

(𝟔 )𝟐

𝟒𝟖 𝟒 𝟐

(𝟔 )𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟒 𝟐 𝟒𝟖

(𝟔 )𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 ( نمسم على 𝟒 ) 𝟎 𝟒𝟖

𝟐 𝟏𝟐 𝟎 ( 𝟏𝟐) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟏𝟐

) المحور السن ( نمطة تماطع المستمم مع المحور (𝟎 𝟏𝟐) ∴

( ) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏

𝟖 𝟎

𝟔 𝟏𝟐 𝟖

𝟔

𝟒

𝟑

.الذي مله (6,8)الذي مر بالنمطة معادلة المستمم 𝟒

𝟑 :ه /

𝟏 ( 𝟏)

𝟖 ( 𝟒

𝟑) ( 𝟔)

( 𝟑)⇒ 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟐𝟒

𝟒 𝟑 𝟒𝟖 𝟎

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

265

( ) ة ـــــع داخــل المنطمــة المحــددة بالدالــــــتطل وضــــــأكبــر مسبعــدي جــد / 8س 𝟏𝟐 ومحــور 𝟐

, ثم جد محطه زعلى المنحن والرأسان األخران على محور السنات هرأسان من رؤوس ,نات ـــــالس

2د / 2012وزاري الحل/

مساحة المستطل ونفرض نفرض عرض المستطل = 𝟐 =المستطل طولنفرض : الفرضة

ه لانون مساحة المستطل : الدالة

(معادلة ) 𝟐

𝟏𝟐 )المعادلة : العاللة 𝟐)

𝟏𝟐 (معادلة②) 𝟐

ف معادلة ②نعوض معادلة 𝟐 𝟐 (𝟏𝟐 𝟐) 𝟐𝟒 𝟐 𝟑

:الدراسة

𝟐𝟒 𝟔 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟐𝟒 𝟔 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎

الطول 𝟒 𝟐 𝟐

𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟐 العرض 𝟖 𝟒

أكبر محط للمستطل : 𝟐(𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐(𝟖) 𝟖 𝟏𝟔 𝟐𝟒

) لألطالع ( األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

266

وطـول ( 𝟖)ه ــــاحة أكبر أسطوانة دائرة لائمة توضـع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعــــــــجد مس / 9س

( 𝟏𝟐)لطر لاعدته

الحل/

V ونفرض حجم المخروط= h = األسطوانةونفرض أرتفاع R نفرض نص لطر لاعدة األسطوانة =: الفرضة

ه لانون حجم االسطوانة : الدالة

(معادلة ) 𝟐

(ADE , ABC)تشابه مثلثات : العاللة

𝟖

𝟖 𝟔

(

𝟏

𝟐 ( نقسم الطرفين على

𝟒 𝟐𝟒 𝟑 𝟐𝟒 𝟒 𝟑

/معادلة②.

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 (𝟐𝟒 𝟒

𝟑)

𝟑(𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟑)

:الدراسة

𝟑(𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐) 𝟎 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝟎 ( 𝟒 )

𝟒 𝟐 𝟎 (𝟒 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟒 𝟖

𝟑

: ) لألطالع ( أكبر مساحة لألسطوانة األرتفاع) (محط الماعدة مساحة الماعدتن

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟒) (𝟖

𝟑) 𝟐 (𝟒)𝟐

𝟔𝟒

𝟑 𝟑𝟐

𝟔𝟒 𝟗𝟔

𝟑 𝟏𝟔𝟎

𝟑 𝟐

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

267

حول دورة كاملة 𝟑√𝟔جد حجم أكبر مخروط دائري ناتج من دوران مثلث لائم الزاوة طول وتره / 10س

1د / 1201وزاري 1د / 2014وزاري أحد ضلعه المائمن

الحل/

V ونفرض حجم المخروط= h ونفرض أرتفاع المخروط = R نفرض نص لطر لاعدة المخروط = : الفرضة

ه لانون حجم المخروط : الدالة

𝟑 (معادلة ) 𝟐

على المثلث المائم الزاوة فثاغورس: العاللة

𝟐 𝟐 (𝟔√𝟑)𝟐

𝟐 𝟏𝟎𝟖 (معادلة②) 𝟐 ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟑 𝟐

𝟑(𝟏𝟎𝟖 𝟐)

𝟑(𝟏𝟎𝟖 𝟑)

:الدراسة

𝟑(𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟏𝟎𝟖 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟎 ( )

𝟑𝟔 𝟐 𝟎

( همل) 𝟔

𝟔

𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟑𝟔 𝟕𝟐

√𝟕𝟐

حجم للمخروط :أكبر

𝟑 𝟐

𝟑(√𝟕𝟐)

𝟐(𝟔)

(𝟕𝟐)(𝟔)

𝟑 𝟏𝟒𝟒 𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

268

احة ــــــجـد أبعادهـا عنـدما تكـون مس (𝟑 𝟏𝟐𝟓)أسـطوانة الشـكل مفتوحـة مـن األعلـى سـعتها علبة / 11س

زما مكن للالمعدن المستخدم ف صناعتها أ

الحل/

A ونفرض المساحة الكلة بدون غطاء = h نفرض أرتفاع األسطوانة = R = االسطوانة نص لطرنفرض : الفرضة

المساحةالجانبة مساحة لاعدة واحدة ه لانون المساحة : الدالة

𝟐 (معادلة ) 𝟐

لانون حجم األسطوانة :لعاللةا

𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟐𝟓

𝟐 (معادلة②)

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟏𝟐𝟓

𝟐)

𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟏

:الدراسة

𝟐 𝟐𝟓𝟎 𝟐 𝟐

𝟐𝟓𝟎

𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟐 𝟐𝟓𝟎

𝟐 𝟎

( 𝟐 )⇒

𝟏𝟐𝟓

𝟐 𝟎 ( 𝟐 )

( 𝟑 𝟏𝟐𝟓) 𝟎

𝟓 𝟏𝟐𝟓

𝟐 𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟓 𝟓

) لألطالع ( األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

269

خزان على شكل متوازي سطوح مستطلة طول لاعدته ضـع عرضـها فـأذا كانـت مسـاحة المعـدن المسـتعمل فـ / 12س

جد أبعاد الخزان لك كون حجمه أكبر ما مكن علما ان الخزان ذو غطاء كامل 𝟐 𝟏𝟎𝟖صناعته

الحل/

Vونفرض حجم الخزان= yونفرض االرتفاع = 2x=ونفرض طول الماعدة xنفرض عرض الماعدة =: الفرضة

ه لانون حجم الخزان : الدالة

(𝟐 )( )( ) (معادلة ) 𝟐 𝟐

مساحة المعدن :العاللة

مساحة المعدن المساحة الجانبة مساحة الماعدتن

𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟐(𝟑 ) 𝟒 𝟐 ( 𝟐) 𝟓𝟒 𝟑 𝟐 𝟐

𝟑 𝟓𝟒 𝟐 𝟐 𝟓𝟒 𝟐 𝟐

𝟑 (معادلة②)

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 4𝟓𝟒 𝟐 𝟐

𝟑 5

𝟐

𝟑(𝟓𝟒 𝟐 𝟑)

:الدراسة

𝟐

𝟑(𝟓𝟒 𝟔 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟐

𝟑(𝟓𝟒 𝟔 𝟐) 𝟎 𝟓𝟒 𝟔 𝟐 𝟎 ( 𝟔 )

𝟗 𝟐 𝟎

طول الماعدة 𝟔 𝟐 𝟑

𝟓𝟒 𝟐 𝟐

𝟑 𝟓𝟒 𝟏𝟖

𝟗 𝟑𝟔

𝟗

عرض الماعدة 𝟒

لألطالع ( ) األختبار:

مالحظة للتذكر: ) لوانن المساحة لمتوازي السطوح المستطلة (

المساحت الجانبيت = محيظ القاػذة × االرتفاع

المساحت الكليت = المساحت الجانبيت + مجمىع مساحت القاػذتين

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

270

أمثلة أضافة محلولة

جد أكبر حجم لهذا المخروط ز (cm 12)مخروط دائري لائم مجموع نص لطر لاعدته وأرتفاعه /مثال

الحل/

Vونفرض حجم المخروط = h ونفرض أرتفاع المخروط = R = نفرض نص لطر المخروط : الفرضة

ه لانون حجم المخروط :الدالة

𝟑 (معادلة ) 𝟐

:العاللة

𝟏𝟐 𝟏𝟐 (معادلة②)

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟑 𝟐

𝟑 𝟐(𝟏𝟐 )

𝟑(𝟏𝟐 𝟐 (معادلة③) (𝟑

:الدراسة

𝟑(𝟐𝟒 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟐𝟒 𝟑 𝟐) 𝟎 (𝟖 𝟐) 𝟎

𝟖 𝟐 𝟎 (𝟖 ) 𝟎

(المكن ) 𝟏𝟐 𝟎

𝟖 𝟒

للمخروط :أكبر حجم

𝟑 𝟐

𝟑(𝟖)𝟐(𝟒)

𝟐𝟓𝟔

𝟑 𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

271

أحسـب أرتفـاع االسـطوانة لكـ كـون 𝟗 اسطوانة دائرـة لائمـة موضـوعة داخـل كـرة نصـ لطرهـا /مثال

ز حجمها أكبر ما مكن

الحل/ h 2 = االسطوانةونفرض أرتفاع R = لاعدة االسطوانةنفرض نص لطر : لفرضةا

االسطوانةه لانون حجم : الدالة

(معادلة ) ( 𝟐)𝟐

فثاغورس :العاللة

𝟐 𝟐 𝟗𝟐 𝟐 𝟖𝟏 (معادلة②) 𝟐

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 𝟐 (𝟖𝟏 𝟐) (معادلة③) (𝟑 𝟖𝟏) 𝟐

:الدراسة

𝟐 (𝟖𝟏 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟐 (𝟖𝟏 𝟑 𝟐) 𝟎 ( )⇒ 𝟖𝟏 𝟑 𝟐 𝟎

𝟖𝟏 𝟑 𝟐 ( )⇒ 𝟐 𝟐𝟕

( همل) 𝟑√𝟑

𝟑√𝟑 𝟑√𝟔

: ارتفاع لالسطوانةأكبر األرتفاع 𝟐 𝟐(𝟑√𝟑 ) 𝟔√𝟑

جد هذان العددان بحث كون حاصل ضربهما أكبر ما مكن ز (12)عددان الفرق بنهما /مثال

𝟏𝟐 والعدد الثان = xنفرض العدد األول = : الفرضة

yوحاصل ضربهما = عاللة عددةه : الدالة

( 𝟏𝟐) 𝟐 𝟏𝟐

:الدراسة

𝟐 𝟏𝟐 ( ( ) ( نجعل 𝟎

𝟐 𝟏𝟐 𝟎 𝟔 𝟎 𝟔

(𝟔 )والعدد الثان (𝟔)العدد األول

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

272

بحث كون محطه ألل ما مكن 𝟐 𝟐𝟓جد بعدي مستطل مساحته /مثال

الحل/ m ونفرض محطه = x, yنفرض بعدي المستطل هما : لفرضةا

المستطله لانون محط : الدالة

(معادلة ) 𝟐 𝟐

مساحة المستطل :العاللة

𝟐𝟓

(معادلة②)

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐(𝟐𝟓

) (معادلة③) 𝟏 𝟓𝟎 𝟐

:الدراسة

𝟐 𝟓𝟎 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟐 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐𝟓 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐𝟓 𝟎 𝟐 𝟐𝟓

( همل) 𝟓 𝟓

𝟓 𝟓

حــوض علــى شــكل متــوازي ســطوح مســتطلة لاعدتــه مربعــة الشــكل , فــأذا كــان مجمــوع محــط لاعدتــه /مثــال

,جد ابعاد الحوض لك تكون سعته )حجمه ( أكبر ما مكنز m 24وأرتفاعه

الحل/ V = حجمهونفرض x, y , x نفرض ابعاد الحوض: لفرضةا

حجم الحوض ه لانون :الدالة

(معادلة ) 𝟐

للحوض (االرتفاع )محط الماعدة المربعة + : العاللة

𝟒 𝟐𝟒 𝟐𝟒 (معادلة②) 𝟒

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 (𝟐𝟒 𝟒 ) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟑

:الدراسة

𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎 (𝟒 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟒 𝟖

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

273

𝟏𝟎𝟎 حطهمستطل م أكبر جد بعدي /مثال

الحل/ A = مساحتهونفرض x, yنفرض بعدي المستطل هما : لفرضةا

المستطل ساحةه لانون م :الدالة

(معادلة )

حط المستطل م :لعاللةا

𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝟓𝟎 𝟓𝟎 /معادلة②.

ف معادلة ②نعوض معادلة

(𝟓𝟎 ) 𝟓𝟎 𝟐

:الدراسة

𝟓𝟎 𝟐 (

( نجعل 𝟎

𝟓𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟎

𝟐𝟓 𝟐𝟓

أدر حول أحد أضالعه فكون أسطوانة دائرـة لائمـة , جـد بعـدي هـذا المسـتطل (cm 30)مستطل محطه /مثال

لك كون حجم األسطوانة المتكونة أكبر ما مكن ز

الحل/ V ونفرض الحجم = y ونفرض أرتفاع االسطوانة = x= نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة : الفرضة

ه لانون حجم االسطوانة : الدالة

(معادلة ) 𝟐

محط المستطل :العاللة

𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟏𝟓 𝟏𝟓 (معادلة②)

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐(𝟏𝟓 ) (𝟏𝟓 𝟐 𝟑)

:الدراسة

(𝟑𝟎 𝟑 𝟐) (

( نجعل 𝟎

(𝟑𝟎 𝟑 𝟐) 𝟎 𝟏𝟎 𝟐 𝟎 (𝟏𝟎 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟏𝟎 𝟓

(cm , 5 cm 10)بعدي األسطوانة ه

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

274

ونصـ (cm 12)أرتفاعـه دائـري لـائم جد حجم أكبر أسطوانة دائرة لائمـة مكـن وضـعها داخـل مخـروط /مثال

ز بحث أحد لاعدت األسطوانة والمخروط متماستان (cm 9)لطر لاعدته

الحل/ V ونفرض الحجم = h ونفرض أرتفاع االسطوانة = R = نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة : الفرضة

ه لانون حجم االسطوانة :الدالة

(معادلة ) 𝟐

تشابه مثلثات :العاللة

𝟗 𝟏𝟐

𝟏𝟐 ( 𝟑 )

𝟑𝟔 𝟑 𝟒 𝟑𝟔 𝟒 𝟑

𝟑𝟔 𝟒

𝟑 (معادلة②)

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 (𝟑𝟔 𝟒

𝟑)

𝟑(𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑)

:الدراسة

𝟑(𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟑(𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐) 𝟎 𝟕𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟎 ( )

𝟔 𝟐 (𝟔 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟔 𝟒

أكبر حجم لالسطوانة :

𝟐 (𝟔)𝟐(𝟒) 𝟏𝟒𝟒

******************************************************************

𝟐 جد مساحة أكبر مستطل رأسان منه معان على المنحن 𝟒 والرأسان األخران معان على المستمم 𝟖

( 𝟐)جد مساحة أكبر مستطل مكن رسمه داخل دائرة نص لطرها ②

𝟗 أوجد النمط الت تنتم لمنحن الدالة ③ 𝟏

𝟐 بحث تكون ألرب ما مكن من نمطة األصل 𝟐

( 𝟗)ونص لطر لاعدته ( 𝟏𝟐)جد حجم أكبر أسطوانة دائرة لائمة مكن وضعها داخل مخروط دائري أرتفاعه ④

:جد العدد الذي ⑤

⒜ زيادته على مربعه يكون أكبر ما يمكن

⒝ عند أضافته الى مربعه يكون أصغر ما يمكن

⒞عند أضافته الى مقلوبه يكون الناتج أصغر ما يمكن

أكبر ما مكن 𝟐 الت تجعل x , yجد لم كل من 𝟐𝟒 𝟒 أذا كان ⑥

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

275

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الثالث

جد / 6س

مرتبطة بموضوع التكامل ( )الفروع لكل مما أت :

( ) 𝟑 𝟐 𝟐 𝟓 𝟑

𝟑 (𝟐

) 𝟐(𝟑 𝟐) 𝟐

𝟓 𝟐 𝟑

𝟐

𝟓 𝟑 𝟐 𝟐

𝟐 𝟑

𝟐

𝟓 𝟑 𝟐 𝟐

(𝟐 𝟑 𝟐) 𝟓 𝟑 𝟐 𝟐

𝟓 𝟑 𝟐 𝟐

𝟐 𝟑 𝟐

( ) 𝟒 𝟐

𝟒 𝟐 𝟐 (𝟐) 𝟐 𝟒 (𝟒) 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒

للدالة Cأستخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة الممة المتوسطة ألجاد لم / 7س

( ) 𝟒 𝟐 𝟐 , 𝟐 𝟐-

3د / 2013وزاري 2/د2013وزاري /الحل

النها كثرة الحدود -𝟐 𝟐 ,مستمرة ف الفترة المرلمة الدالة ①

النها كثرة الحدود (𝟐 𝟐 )لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة الدالة ②

(𝟐) (𝟐 ) نوجد ③

(𝟐) (𝟐)𝟒 𝟐(𝟐)𝟐 𝟏𝟔 𝟖 𝟖

( 𝟐) ( 𝟐)𝟒 𝟐( 𝟐)𝟐 𝟏𝟔 𝟖 𝟖

(𝟐) ( 𝟐)

( ) ونفرض ( )لذا نفرض مبرهنة رول الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك أوال : 𝟎

( ) 𝟒 𝟐 𝟐 ( ) 𝟒 𝟑 𝟒

( ) 𝟒 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( )⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎

𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

276

مبرهنة الممة المتوسطةالدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك : ثانا

الت تحمك المبرهنة Cنبحث عن النمطة ∴

( ) 𝟒 𝟑 𝟒 ( ) 𝟒 𝟑 ( مل المماس) 𝟒

( ) ( ) ( )

(𝟐) ( 𝟐)

𝟐 ( 𝟐) 𝟖 𝟖

𝟒 𝟎

𝟒 / مل الوتر.

مـــــــل الممـــــاس = مـــــــل الوتـــــــر ∵

𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 ( )⇒ 𝟑 𝟎 ( 𝟐 𝟏) 𝟎

𝟎 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐) 𝟏 ( 𝟐 𝟐)

( ) / 8س 𝟐 𝟐 فـأذا كانـت - 𝟏 ,دالة تحمك شـروط مبرهنـة رول علـى الفتـرة 𝟓 𝟒 فجد لمة ( 𝟏 )تنتم للفترة

/ الحل

تحمك شروط مبرهنة رول ز الدالة

( ) 𝟎 (𝟐) 𝟎 ( ) 𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟏

( ) ( ) ( 𝟏) ( ) ( 𝟏)𝟐 𝟒( 𝟏) 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐 𝟒 𝟓 𝟏𝟎 𝟐 𝟒 𝟓 𝟎 ( 𝟓)( 𝟏) 𝟎

𝟓 أما 𝟎 𝟓

𝟏 أو همل 𝟏 𝟎

متوازي سطوح مستطلة لاعدته مربعة و أرتفاعه ثالثة أمثال طول لاعدته , جد الحجم التمرب لـه عنـدما / 9س ( 𝟗𝟕 𝟐)كون طول لاعدته

/ لحل ا

طول الماعدةنفرض

𝟑 األرتفاع ∴

( ) 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟑 ( ) 𝟑 𝟑

( ) 𝟗 𝟐

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟑 نفرض

معطى 𝟗𝟕 𝟐 نفرض

𝟐 𝟗𝟕 𝟑 𝟎 𝟎𝟑

(𝟑) 𝟑(𝟑)𝟑 𝟑(𝟐𝟕) 𝟖𝟏 (𝟑) 𝟗(𝟑)𝟐 𝟗(𝟗) 𝟖𝟏

( ) ( ) ( )

(𝟑 ( 𝟎 𝟎𝟑)) (𝟑) ( 𝟏) (𝟑)

(𝟐 𝟗𝟕) 𝟖𝟏 ( 𝟎 𝟎𝟑) (𝟖𝟏) 𝟖𝟏 𝟐 𝟒𝟑 (𝟐 𝟗𝟕) 𝟕𝟖 𝟓𝟕 𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

277

ـــه / 10س ــائم حجمـــ ــري ل ــان (𝟑 𝟐𝟏𝟎) مخــروط دائ ــه أذا ك ــة لنصــ لطــر لاعدت ـــة التمرب جــد الممــ

2د / 2013وزاري ( 𝟏𝟎)أرتفاعه

/ لحل ا

𝟏

𝟑 𝟐 𝟐𝟏𝟎

𝟏

𝟑 𝟐(𝟏𝟎) 𝟐

(𝟐𝟏𝟎)(𝟑)

𝟏𝟎 𝟐 (𝟐𝟏)(𝟑)

𝟐 𝟔𝟑 √𝟔𝟑

ألرب رلم للعدد سهل حسابه 𝟔𝟒 نفرض

𝟔𝟑 نفرض

𝟔𝟑 𝟔𝟒 𝟏

( ) √ ( ) (𝟔𝟒) √𝟔𝟒 𝟖

( ) 𝟏

𝟐 √ ( ) (𝟔𝟒)

𝟏

𝟐 √𝟔𝟒

𝟏

(𝟐)(𝟖) 𝟏

𝟏𝟔 𝟎 𝟎𝟔𝟑

( ) ( ) ( )

(𝟔𝟒 ( 𝟏)) (𝟔𝟒) ( 𝟏) (𝟔𝟒)

(𝟔𝟑) 𝟖 ( 𝟏) (𝟎 𝟎𝟔𝟑) 𝟖 𝟎 𝟎𝟔𝟑 (𝟔𝟑) 𝟕 𝟗𝟑𝟕

( ) أذا كانـــت / 11س √𝟑𝟏 𝟏𝟓

جـــد بأســـــــتخدام نتجـــــــة مبرهنـــة الممــــــة المتوســــــطة الممــــــة

1د / 2013وزاري (𝟎𝟏 𝟏) التمربة الى

/ لحل ا

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟏 نفرض

معطى 𝟎𝟏 𝟏 نفرض

𝟏 𝟎𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏

( ) √𝟑𝟏 𝟏𝟓

(𝟑𝟏 𝟏)𝟏𝟓 (𝟏) (𝟑𝟏 𝟏)

𝟏𝟓 (𝟑𝟐)

𝟏𝟓 .𝟐𝟓/

𝟏𝟓 𝟐

( ) 𝟏

𝟓(𝟑𝟏 𝟏)

𝟒𝟓 (𝟑𝟏)

𝟑𝟏

𝟓(𝟑𝟏 𝟏)𝟒𝟓

(𝟏) 𝟑𝟏

𝟓(𝟑𝟐)𝟒𝟓

𝟑𝟏

𝟓(𝟐𝟓)𝟒𝟓

𝟑𝟏

𝟓(𝟐)𝟒 𝟑𝟏

𝟖𝟎 𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓

( ) ( ) ( )

(𝟏 (𝟎 𝟎𝟏)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟏) (𝟏)

(𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟏) (𝟎 𝟑𝟖𝟕𝟓) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟕𝟓

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

278

𝟐 بأستخدام معلوماتن ف التفاضل أرسم المنحن البان للدالة / 12س 𝟏

الحل/

𝟐 𝟏 𝟏

𝟐

أوسع مجال للدالة ⁄ *𝟎+

ألن : المحور الصاديالمنحن متناظر حول /التناظر

( ) ➨ ( ) ( )

( ) 𝟏

( )𝟐 𝟏

𝟐 ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟎 𝟎 المستمم المحاذي الشالول

𝟏

𝟐 𝟐

𝟏

𝟎 المستمم المحاذي األفم

𝟎 𝟎 ال وجد تماطع مع المحورن ألن ⁄نمط التماطع مع المحورن

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟏

𝟐 𝟐 ( ) 𝟐 𝟑

𝟐

𝟑 ( ( ) 𝟎 )

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟔 𝟒

𝟔

𝟒 .

( ) 𝟎 /

+𝟎 * +𝟎 *الفترتن الدالة ممعرة ف

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

279

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

******************************************************************

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الثالث

1/د96سؤال وزاري

𝟐 جد نمطة على الدائرة الت معادلتها 𝟐 زxمعدل ازداد لمساوا yكون عندها معدل ازداد 𝟒 𝟒

الحل:

( )

- (

) نمسم على

( )

( )

نمسم على ( ) ⇒ ( )

النمطة ( )

النمطة ( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

280

X

Y

السارة

3m

1/د97سؤال وزاري

( عن سطح األرض وبعد أن ابتعدت 3m( اجتازت إشارة مرورة حمراء ارتفاعها )30m/sسارة تسر بسرعة )

اصطدمت بسارة أخرى نتجة عدم االلتزام بموانن المرورز جد سرعة ترر المسافة بن ( 𝟑√𝟑)عنها مسافة

السارة واالشارة الضوئةز

الحل:

√

فثاغورس

( √ )

√

√

√ ( )

√

√

1/د98سؤال وزاري

( ) ( تمثل نهاة صررى محلة للدالة 1,6إذا كانت ) 𝟐 الحممتن , bجد لمة كل من 𝟐( )

وجبتنزمال

( ) الدالة الحل:

تحمك معادلتها ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) -

( )

( )( )

همل

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

281

1/د98سؤال وزاري

جد ابعادها إذا كانت مساحة المعدن المستخدم ف (𝟑 𝟐𝟏𝟔)حاوة على هئة اسطوانة دائرة لائمة حجمها

صناعتها ألل ما مكنز مع العلم أن الحاوة مفتوحة من األعلىز

المانون الرئس الحل:

العاللة

.

/

( )⇒

( )

1/د98سؤال وزاري

( ) إذا كان المنحن 𝟑 𝟐 جد لمت x=1( وكانت للدالة نمطة انمالب عند 2,2-مر بالنمطة )

زfثم جد نمطة النهاة العظمى المحلة للدالة

( ) الدالة الحل:

( ) تحمك معادلتها ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )→ ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) نهاة عظمى محلة تزاد تزاد تنالص

+++++++ - - - - - - - ++++++ ( x) شارةإ

3 -1

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

282

2/د 98سؤال وزاري

(ز3cmجد أبعاد مخروط دائري لائم حجمه ألل ما مكن وحط بكرة نص لطرها )

r ,hنفرض أبعاد المخروط الحل:

المانون الرئس

:bالمائم الزاوة ف abcف المثلث

( ) √

نحصل على: abc ,adeمن تشابه المثلثن

√

بالتربع ( ) √

( ) ( )

( ) ( )

,( ) -

( ) العاللة

( )

( )

( ) ( )

( ) , ( ) ( )-

( )

, -

( ) ( )

( ) ( )

( )

نضع

( ) ( )⇒ ( )

همل

( )

( ) ( )

√

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

283

1/د99سؤال وزاري

ز 𝟐√𝟔جد إبعاد اسطوانة دائرة لائمة مساحتها الجانبة أكبر ما مكن موضوعة داخل كرة نص لطرها

لتكن المساحة الجانبة المانون الرئس الحل:

r, 2hنفرض أبعاد االسطوانة

( √ ) فثاغورس

العاللة √

√ √ ( ) ( )

( )

( )

( )

√

( ) ( )→ ( )

( )

همل

√ √

( ) االرتفاع

2/د2000سؤال وزاري

cm/s 0.5اسطوانة دائرة لائمة زداد ارتفاعها بمعدل ) مساوا جد (𝟑 𝟑𝟐𝟎)( بحث ظل حجمها دائما

(زcm 5معدل ترر نص لطر الماعدة عندما كون االرتفاع )

الحل:

العاللة

( ) ( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

284

2/د2000سؤال وزاري

جد ابعاده 𝟐 𝟐𝟏𝟔خزان من الحدد ذو غطاء كامل على شكل متوازي سطوح مستطلة لاعدته مربعة وحجمه

ة ألل ما مكنزنعلتكون مساحة الصفائح المستخدمة ف ص

المانون الرئس المساحة الكلة Aلتكن الحل:

y, االرتفاع xنفرض طول المربع

العاللة

.

/

( )⇒

( )→

1/د2001سؤال وزاري

عندما كون 𝟐 𝟐𝟒جد بعدي علبة اسطوانة دائرة لائمة مسدودة من نهاتها, مساحتها السطحة تساوي

حجمها أكبر ما مكنز

r , hنفرض ابعاد االسطوانة الحل:

المانون الرئس

( )⇒

العاللة

( ) ( )

( ) ( ) ( )⇒

( )⇒

محط الماعدة ×االرتفاع

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

285

1/د2002سؤال وزاري 𝟐 لتكن (6,0نمطة تنتم إلى المنحن وتكون ألرب ما مكن إلى النمطة )جد 𝟖 (x ,yنفترض النمطة ) الحل:

√ ( ) ( )√ المانون الرئس

العاللة

√ √ ( )

( )

( )

√ ( ( نجعل

( ) (4-,2( , )2,4النماط )

2/د2002سؤال وزاري

( ) جد نمطة االنمالب لمنحن الدالة 𝟑 ثم جد معادلة مماس المنحن عند نمطة انمالبهز 𝟐 𝟑

( ) الحل: ( )

( )⇒ ( )

( ) نمطة انمالب

مل المماس ( ) ( ) ( ) ( )

معادلة المماس

2/د2003سؤال وزاري 𝟐 مس المنحن 𝟕 𝟑المستمم ( وللمنحن نهاة صررى 1-,2عند النمطة )

محلة عند𝟏

𝟐 جد لمة

الحل:

المل ( )

المل معامل

معامل

( )

( ) (

𝟏

𝟐( عند

⇒ ( )

( )

تحمك معادلتها ( ) الدالة

( ) ( )

بالطرح

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

286

1/د2004سؤال وزاري

ع من األولى دائرة ومن الثانة مستطل طوله نص عرضه صنلطعت إلى لطعتن بحث cm 8لطعة سلن طولها

جد طول كل لطعة لكون مجموع مساحت المستطل والدائرة ألل ما مكنز

xلكن محط الدائرة الحل:

yنفرض عرض المستطل

x-8محط المستطل هو

2yطول المستطل =

( ) المانون

محط المستطل ( )

العاللة( )

محط الدائرة

العاللة ( )

(

)

.

/

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

طول المطعة االولى

طول المطعة الثانة (

)

محط الماعدة × االرتفاع

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

287

1/د2005سؤال وزاري ( ) لتكن 𝟑 𝟐 هل ( نمطة نهاة عظمى محلة للدالةز جد لمت 1,2-, ) 𝟏

توجد نمطة انمالب للدالة؟ز

( ) الدالة الحل:

تحمك معادلتها

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

(

)

. تمثل نمطة انمالب

/

1/د2007سؤال وزاري

𝟑 إذا كانت ( ز1,2إذا علمت أن المنحن الدالة نمطة انمالب ه ) جد لمة 𝟐

( ) الدالة تحمك معادلتها ( ) ( ) الحل:

( )

( ) ( )

(𝟐 𝟏) نمطة انمالب ⇐ ( ) (𝟏 )عندما 𝟎

( ) -

( )

( ) بالطرح

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

288

2/د2007سؤال وزاري

( ومجموعهما اصرر ما مكنز فما العددان؟ز16عددان موجبان حاصل ضربهما )

المانون الرئس x, yنفرض العددان الحل:

العاللة

( )⇒

2/د2008سؤال وزاري

𝟑√𝟒جد مساحة أكبر مستطل مكن رسمه داخل مثلث متساوي االضالع وارتفاعه

A=2x yالمانون الرئس 2x, yنفرض أبعاد المستطل الحل:

:bالمائم الزاوة ف abcف المثلث

√

√

√

√ √

نحصل على: abc ,decمن تشابه المثلثن

√

√ √ ( )

العاللة √ √

( √ √ )

√ √

√ √ √ √ ( √ )

√ √ √

( )( √ ) √

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

289

2سارة

1سارة

Z

X

m

Y

1/د2009سؤال وزاري

كل منهما ف طرك وكان معدل سرعة السارة mز تحركت سارتان من نمطة mطرمان متعامدان لتمان ف

ز جد معدل االبتعاد بن السارتن بعد ربع ساعة من بدء 60km/hومعدل سرعة السارة الثانة 80km/hاألول

زmالحركة من

الحل:

.

/ المسافة الت لطعتها السارة األولى بعد ربع ساعة

.

/ المسافة الت لطعتها السارة الثانة بعد ربع ساعة

فثاغورس

( ) ( )

-

.

/ ( ) ( )

1/د2009سؤال وزاري

( ) إذا كانت 𝟐 الموجبتن ثم بن نوع النمطة b,a( حرجةز جد لمة 2-,1والنمطة ) 𝟐( )

الحرجةز

( ) الدالة تحمك معادلتها ( ) الحل:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) -

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

290

( )

( )( )

همل

( ) ( )

( ) نهاة صغرى محلة

2/د2009سؤال وزاري

( ) مماسا للدالة 𝟐𝟖 𝟗 إذا كان المستمم 𝟑 𝟐 ز ( جد لمة 3,1عند النمطة ) 𝟏

( ) الدالة تحمك معادلتها ( ) ( ) الحل:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( مل المماس)

مل المماس معامل

معامل

( )⇒ ( )

وبضرب المعادلة( ) بالعدد( ) نحصل

( )لحساب لمة المعادلة(𝟏)نعوض ف

( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

291

X

Y

5m

13m

2/د2009سؤال وزاري

جد 4m/s( رتكز على حائط شالولز فاذا تحرن الطر األسفل للسلم مبتعدا من الحائط بمعدل 13mسلم طوله )

من الحائطز 5mمعدل انزالق الطر األعلى للسلم عن األرض ف اللحظة الت كون فها الطر األسفل على بعد

الحل:

فثاغورس

( )

( )

( ⁄ )

2/د2010سؤال وزاري (زcm 6مكن رسمه داخل دائرة نص لطرها )جد مساحة أكبر مثلث متساوي السالن

2x, hالحل: نفرض ابعاد المثلث

( )

المانون الرئس

( )

العاللة √

√ √ ( )

( )

( ) ( )

( )

( )⇒ ( )

همل

√( )( ) √ √

( √ )( ) √

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

292

1/د2014سؤال وزاري عندما كون المعدل الزمن ألبتعادها ( )جد أحداث النمطة 𝟐 نمطة تتحرن على المطع المكاف ( ) لتكن

𝟎. عن النمطة 𝟑

𝟐 ( )المعدل الزمن لترر األحداث الصا دي للنمطة ساوي ثلث/

/الحل

( ) للمطع المكافئلتكن النمطة

𝟏

𝟑

𝟎. لتكن النمطة 𝟑

𝟐 /

S المسافة بنN , M

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟑

𝟐)𝟐

√ 𝟐 ( 𝟑

𝟐)𝟐

√ ( 𝟐 𝟑 𝟗

𝟒)

( 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒)

𝟏𝟐 (نشتك بالنسبة للزمن)

𝟏

𝟐( 𝟐 𝟐

𝟗

𝟒)

𝟏𝟐 (𝟐

𝟐

)

(𝟐 𝟐)

𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗𝟒/

𝟏𝟐

𝟏

𝟑

(𝟐 𝟐)

𝟐 . 𝟐 𝟐 𝟗𝟒/

𝟏𝟐

𝟏

𝟑

𝟐( 𝟏)

𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟗𝟒

√ 𝟐 𝟐 𝟗

𝟒 ( تربع الطرفن ) (𝟏 )𝟑

𝟐 𝟐 𝟗

𝟒 𝟗( 𝟐 𝟐 𝟏) ( 𝟒)

𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟑𝟔 𝟐 𝟕𝟐 𝟑𝟔

𝟑𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐𝟕 𝟎 ( 𝟑𝟐)⇒ 𝟐 𝟐

𝟐𝟕

𝟑𝟐 𝟎

𝟐 𝟐 𝟐𝟕

𝟑𝟐 (نضف العدد (𝟏) الى طرف المعادلة لك صبح مربع كامل)

𝟐 𝟐 𝟏 𝟐𝟕

𝟑𝟐 𝟏

( 𝟏)𝟐 𝟓

𝟑𝟐 (جذر الطرفن)

𝟏 √𝟓

𝟑𝟐 𝟏 √

𝟓

𝟑𝟐

𝟐 𝟏 √𝟓

𝟑𝟐 √𝟏 √

𝟓

𝟑𝟐

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

293

3/د2014سؤال وزاري ( ) د معادلــة المنحنــ ــــــج 𝟑 𝟐 نمطــة أنمــالب لــه ومــل الممــاس (𝟒 𝟏 )حــث النمطــة

(𝟏)عندها ساوي

( ) الدالة /الحل

( ) تحمك معادلتها ( ) ( ) ( ) ( )

(1)مل المماس عند نمطة األنمالب ساوي

∴ ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

تحل أنا ( )

( ) ⇐نمطة أنمالب ( )النمطة

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

تحل أنا

نعوض ف معادلة ( )

( ) نعوض ف معادلة ( )

( ) ( ) ( )

3/د2014سؤال وزاري العدد الذي أذا أض الى نظره الضرب كون الناتج أكبر ما مكن ز د ــــج

/الحل

= الؼذدنفرض : الفرضيت

النظير الضرب للؼذد = 𝟏

الؼذد + نظيره الضرب : الذالت

( ) 𝟏

:الذراست

( ) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏

𝟐 ( ( ) ( نجؼل 𝟎

𝟏 𝟏

𝟐 𝟎 𝟏

𝟏

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

( ) 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐

𝟑

(𝟏) 𝟑 𝟎 ( 𝟏) 𝟏 𝟎

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

294

𝟏 توجد نهاية عظمي محلية عندما ∴

3/د2014سؤال وزاري

( ) أرسم منحن الدالة 𝟑

𝟐 بأستخدام معلوماتن ف التفاضل

الحل/ أوسع مجال للدالة ⁄ *𝟎+

ألن : المحور الصاديالمنحن متناظر حول /التناظر

( ) ➨ ( ) ( )

( ) 𝟑

( )𝟐 𝟑

𝟐 ( )

/ المحاذات

𝟐 𝟎 𝟎 المستمم المحاذي الشالول

𝟏

𝟐 𝟐

𝟏

𝟎 المستمم المحاذي األفم

𝟎 𝟎 ال وجد تماطع مع المحورن ألن ⁄نمط التماطع مع المحورن

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟑

𝟐 𝟑 𝟐 ( ) 𝟔 𝟑

𝟔

𝟑 ( ( ) 𝟎 )

وما نتج عنها ( ) دراسة

( ) 𝟏𝟖 𝟒

𝟏𝟖

𝟒 .

( ) 𝟎 /

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

295

+𝟎 * +𝟎 *الفترتن الدالة ممعرة ف

تحدد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها

1 √𝟑

2 √𝟑

𝟐

3 𝟏

2/د 2015سؤال وزاري

( ) أذا كان 𝟏

√ ؟ 𝟎𝟏 𝟒 الى 𝟒من ذا تررت أممدار الترر التمرب للدالة جد

/ الحل

معطى(𝟒 ) نفرض

معطى (𝟎𝟏 𝟒 )نفرض

𝟒 𝟎𝟏 𝟒 𝟎 𝟎𝟏

( ) 𝟏

√ ( ) ( )

. 𝟏𝟐/ ( )

𝟏

𝟐 ( )

. 𝟑𝟐/ ( )

𝟏

𝟐 √ 𝟑

( ) 𝟏

𝟐 √ 𝟑 (𝟒)

𝟏

𝟐 √(𝟒)𝟑 (𝟒)

𝟏

𝟐(𝟖) 𝟏

𝟏𝟔 (𝟒) 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓

( ) (𝟒) (𝟎 𝟎𝟏)( 𝟎 𝟎𝟔𝟐𝟓) ممدار التغر التمرب 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟐𝟓 𝟎

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

296

2/د 2015سؤال وزاري 𝟐 جد نمطة تنتم للمنحن 𝟐 (𝟎 𝟒)نمطة لك تكون ألرب ما مكن من ال 𝟓

الحل/

𝟐 ه من نمط المنحن ( ) نفرض أن النمطة : الفرضة 𝟐 (𝟎 𝟒)بحث تكن ألرب ما مكن للنمطة 𝟓

√( 𝟒)𝟐 ( 𝟎)𝟐

لانون المسافة ه :الدالة

√ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 ( 𝟐 )

√𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏

𝟐 ) :العاللة 𝟐 𝟓)

√ 𝟐 𝟖 𝟏𝟔 𝟐

𝟒 𝟖

(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏 (

( نجعل 𝟎

𝟒 𝟖

(𝟐)√𝟐 𝟐 𝟖 𝟐𝟏 𝟎

𝟒 𝟖 𝟎 𝟐 𝟎

𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 𝟗 𝟑

:الدراسة

(𝟑 ) (𝟑 𝟐)النماط ه

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

297

2/د 2015سؤال وزاري مبتعـدا عــن متــر تحـرن 𝟔 𝟏 ـــه ـــطولـــ متـر مثبـت علــى عمـود شــالول وشـخص 𝟒 𝟔 مصـباح علـى أرتفــاع

ترر طول ظل الرجل سرعةجد ⁄ 𝟑𝟎رعة ــــالعمود وبس

/الحل

8نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح

نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل حث tف أي زمن

𝟑𝟎

(tan)العاللة ه تشابه مثلثات او أستعمال

𝟔 𝟒

ف المثلث الكبر

𝟏 𝟔

ف المثلث الصغر

𝟔 𝟒

𝟏 𝟔

( 𝟏 𝟔)⇒

𝟒

𝟏

(نشتك بداللة ) 𝟑 𝟒

𝟑

. /

𝟑 𝟑𝟎

𝟑 𝟏𝟎 ( ⁄ )

⁄ ) 𝟏𝟎= معدل ترر طول ظل الرجل )

3/د 2015سؤال وزاري كانــت ســرعة حركــة طرفــه األســفل فــأذا حــائط شــالول وطرفــه األســفل علــى أرض أفمــة ,علــى ســلم رتكــز طرفــه األعلــى

.𝟏

𝟓بن السلم واألرض المحصورة الزاوة ف اللحظة الت تكون ه األعلىطرف,جد معدل أنزالق /

𝟑

/الحل

①الطريقة

{

نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم

نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الحائط

نفرض بعد رأس السلم عن األرض

نفرض الزاوة بن الســــــــلم و األرض

tف أي زمن

العاللة ه فثاغورس

𝟐 𝟐 𝟐 معادلة①

𝟑

√𝟑

𝟐

𝟑

𝟏

𝟐

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

298

بالنسبة للزمن ①األن نشتك المعادلة

𝟐

𝟐

𝟎 𝟐 (

𝟏

𝟐 ) (

𝟏

𝟓) 𝟐4

√𝟑

𝟐 5

𝟎

𝟏

𝟓 √𝟑

𝟎

𝟓√𝟑 𝟏

𝟓√𝟑 ( ⁄ )

معدل االنزالق الطر العلوي للسلم = 𝟐

√𝟑 m/s

②الطرمة

𝟑

√𝟑

√𝟑

بالنسبة للزمن ①األن نشتك المعادلة

𝟐

𝟐

𝟎 𝟐( ) (

𝟏

𝟓) 𝟐(√𝟑 )

𝟎

𝟐

𝟓 𝟐√𝟑

𝟎

𝟐

𝟏𝟎√𝟑 𝟏

𝟓√𝟑 ( ⁄ )

3/د 2015سؤال وزاري

( ) أذا كانت √𝟐 𝟔𝟑

(𝟎𝟐 𝟏) ة التمربة لـجد بأستخدام نتجة مبرهنة الممة المتوســطة الممـ

/ لحل ا

ألرب رلم للعدد المعطى سهل حسابه 𝟏 نفرض

معطى 𝟎𝟐 𝟏 نفرض

𝟏 𝟎𝟐 𝟏 𝟎 𝟎𝟐

( ) √𝟐 𝟔𝟑

(𝟐 𝟔)𝟏𝟑 (𝟏) (𝟐 𝟔)

𝟏𝟑 (𝟖)

𝟏𝟑 .𝟐𝟑/

𝟏𝟑 𝟐

( ) 𝟏

𝟑(𝟐 𝟔)

𝟐𝟑 (𝟐)

𝟐

𝟑(𝟐 𝟔)𝟐𝟑

(𝟏) 𝟐

𝟑(𝟖)𝟐𝟑

𝟐

𝟑(𝟐𝟑)𝟐𝟑

𝟐

𝟑(𝟐)𝟐 𝟏

𝟔 𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔

( ) ( ) ( )

(𝟏 (𝟎 𝟎𝟐)) (𝟏) (𝟎 𝟎𝟐) (𝟏)

(𝟏 𝟎𝟐) 𝟐 (𝟎 𝟎𝟐) (𝟎 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔) 𝟐 𝟎 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑 (𝟏 𝟎𝟏) 𝟐 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

299

3/د 2015سؤال وزاري سم 𝟔 داخل نص دائرة نص لطرها جد مساحة أكبر مستطل مكن رسمه

الحل/

A ونفرض مساحة المستطل = نفرض عرض المستطل 𝟐 = نفرض طول المستطل : الفرضة

ه لانون مساحة المستطل : الدالة

(معادلة ) 𝟐

(ABC)ف المثلث المائم فثاغورس :العاللة

𝟐 𝟐 (𝟔)𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔

√𝟑𝟔 (معادلة②) 𝟐

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 .√𝟑𝟔 𝟐/

𝟐 .√𝟑𝟔 𝟐 𝟒/ √𝟒(𝟑𝟔 𝟐 𝟒)

√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒 :الدراسة

𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑

𝟐 .√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒/ (

( نجعل 𝟎

𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑

𝟐 (√𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟒) 𝟎 𝟐𝟖𝟖 𝟏𝟔 𝟑 𝟎

𝟏𝟖 𝟑 𝟎 ( 𝟐)

( همل) 𝟎

𝟐

(همل السالب ) 𝟐√𝟑

( عرض المستطل ) 𝟐√𝟑

√𝟑𝟔 𝟐 √𝟑𝟔 √ 𝟑√𝟐

𝟐 𝟐(𝟑√𝟐) ( طول المستطل ) 𝟐√𝟔

𝟐 (𝟔√𝟐)(𝟑√𝟐) مساحة أكبر مستطل 𝟐 𝟑𝟔

لألطالع األختبار:

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

300

3/د 2015سؤال وزاري 𝟐 مــس المنحنــ 𝟕 𝟑 المســـــتمم ـة ـــــنهاــ وكــان للمنحنــ (𝟏 𝟐)عنــد

جد لمة 𝟓 عند صررى محلة

الحل/

تحمك معادلة المنحن (𝟏 𝟐)النمطة

𝟐 𝟏 (𝟐)𝟐 (𝟐) 𝟒 𝟐 𝟏 ( ①معادلة )

عندما ⇐ 𝟓 محلة عند للمنحن نهاة صررى ∵

𝟐 𝟎 𝟐 ( ) 𝟏𝟎 𝟎 ( ②معادلة )

: نجد معادلة مل المستمم المماس من معادلته

معامل

معامل

( عندما نجد مل منحن الدالة عند نمطة التماس ) اي نجد

𝟐 𝟒 مل منحن الدالة عند نمطة التماس مل المستمم المماس ∵

𝟒 𝟒 𝟑 ( ③معادلة )

( أنا نحصل على : 3( و )2بحل المعادلتن )

( ②معادلة )

(

③معادلة ) بالطرح

( ② (نعوض ف معادلة

(

) ( 𝐜 دألجا معادلة ① وضنع ف )

(

) ( )

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

301

1/د 2016سؤال وزاري وطـول لطــر ( 𝟔)ه وضـــــع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعـــــة تــــطوانة دائرـة لائمــــــأكبـر أس أبعـادجـد

( 𝟏𝟎)لاعدته

الحل/

V ونفرض حجم المخروط= h ونفرض أرتفاع المخروط = R األسطوانة =نفرض نص لطر لاعدة : الفرضة

ه لانون حجم االسطوانة : الدالة

(معادلة ) 𝟐

(ADE , ABC)تشابه مثلثات : العاللة

𝟔

𝟔 𝟓

𝟔 𝟑𝟎 𝟓 𝟑𝟎 𝟔 𝟓

/معادلة②.

ف معادلة ②نعوض معادلة

𝟐 𝟐 (𝟑𝟎 𝟔

𝟓)

𝟓(𝟑𝟎 𝟐 𝟔 𝟑)

:الدراسة

𝟓(𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐) (

( نجعل 𝟎

𝟓(𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐) 𝟎 𝟔𝟎 𝟏𝟖 𝟐 𝟎 ( 𝟔)

𝟏𝟎 𝟑 𝟐 𝟎 (𝟏𝟎 𝟑 ) 𝟎

( همل) 𝟎

𝟏𝟎 𝟑 𝟎 𝟏𝟎

𝟑

𝟑𝟎 𝟔

𝟓 𝟑𝟎 𝟔 .

𝟏𝟎𝟑 /

𝟓 𝟑𝟎 𝟐𝟎

𝟓 𝟏𝟎

𝟓

𝟐

, 𝟐أبعاد أكبر أسطوانة ه : ∴𝟏𝟎

𝟑

مالحظة : مكن كتابة العاللة ف السؤال السابك بالشكل التال :

(ADE , ABC)تشابه مثلثات : العاللة

𝟓

𝟔

𝟔

𝟔 𝟑𝟎 𝟓 𝟑𝟎 𝟔 𝟓

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

302

1/د 2016سؤال وزاري احتها ـــــبحـث تبمـى مس ⁄ 𝟐ها بمعـدل عرضـتمـدد 𝟐 𝟗𝟔مسـاحتها الشكلمستطلة معدنة فحة ــــص

𝟏𝟐 الطول مساوا لـعندما كون ترر الطول ثابتة , جد معدل /الحل

8نفرض طول المستطل

نفرض عرض المستطل t ف اي زمن

- ,= ( )العاللة ه مساحة المستطل

𝟗𝟔 (نحسب لمة ) معادلة①

𝟗𝟔 (𝟏𝟐) 𝟗𝟔

𝟏𝟐 𝟖

بالنسبة للزمن األن نشتك معادلة ①

𝟎

(𝟏𝟐)(𝟐) (𝟖)

𝟎

𝟐𝟒

𝟖 𝟑 ( ⁄ )

⁄ 𝟑 )المستطل = طولمعدل التنالص ف ∴ )

1/د 2016سؤال وزاري ـــت ( ) أذا كان 𝟑 ـــث 𝟐 𝟒 - 𝟎, ح ـــت ـــك م وكان ــــتحم ــــبرهنة الممــ ــــة المتوســ طة ـــ

ندما ـــع𝟐

𝟑 فجد لمة

/الحل

( ) 𝟑 𝟒 𝟐 ( ) 𝟑 𝟐 𝟖

الدالة تحمك شروط مبرهنة الممة المتوسطة

( ) ( ) ( )

مـــــــل الممـــــاس ) وتـــــــرال ( مـــــــل

𝟑 𝟐 𝟖 ( 𝟑 𝟒 𝟐) (𝟎)

𝟑(𝟐

𝟑)𝟐

𝟖(𝟐

𝟑)

( 𝟐 𝟒 )

𝟒

𝟑 𝟏𝟔

𝟑 𝟐 𝟒

𝟏𝟐

𝟑 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟎 ( 𝟐)( 𝟐) 𝟎 𝟐

𝟎𝟕8𝟏083𝟕05𝟎 حمد عل األستاذ/ أعداد التفاضل تطبمات / لثالثا الفصل

303

الطول)𝟐 محط المستطل ( العرض حجم المخروط

𝟐

𝟑

الطول مساحة المستطل العرض حجم المكعب ( طول الضلع) 𝟑

محط المربع (طول الضلع)𝟒 المساحة السطحة للمكعب ( طول الضلع)𝟔 𝟐

( طول الضلع) مساحة المربع𝟐المساحة الجانبة لمتوازي المستطالت محط الماعدة األرتفاع

المساحة الكلة لمتوازي المستطالت 𝟐 الدائرة محط المساحة الجانبة مساحة الماعدتن

مساحة الدائرة 𝟐 حجم متوازي المستطالت مساحة الماعدة األرتفاع

مساحة الكرة 𝟒 𝟐 محط المثلث مجموع أطوال أضالعه الثالثة

𝟐 حجم األسطوانة مساحة المثلث

𝟏

𝟐(األرتفاع)(الماعدة)

حجم الكرة 𝟒

𝟑 𝟑 المسافة √( 𝟏)𝟐 ( 𝟏)𝟐

المل 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏

𝟏 𝟏

فدة جدالوانن م