ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 2 للأستاذ علي حميد

𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎 الفصــــــــــل الثان/ المطــــــــــــــــــــــوع المخروطة أعــــــــــــداد/ األستاذ عل حمــــــد

62

المطوع المخروطة/الفصل الثان

مستمم ثابت ف 𝟎 نمطة ثابتة ف المستوي ولكن (𝟏 𝟏 )لكن : المطع المخروط

الى بعدها عن المستمم (𝟏 𝟏 )مجموعة كل النماط الت نسبة بعد كل منها عن النمطة لذا فانالمستوي نفسه

هو مجموعة النمط أو تكون شكل هندس سمى بالمطع المخروط ( )تساوي عدد ثابت 𝟎

الت بعدها عن نمطة معلومة ساوي بعدها عن مستمم معلوم

: مفاهم أساسة تعن بها وه حث ان لكل شكل مخروط عدة

( )تسمى بإرة المطع المخروط (𝟏 𝟏 )النمطة الثابتة ①

( )سمى دلل المطع المخروط 𝟎 المستمم الثابت ②

حث أذا كان ( )تسمى باالختالف المركزي ( )النسبة ③

( 𝟏) (𝟏 ) نوع القطع مكافئ نوع القطع ناقص ( 𝟏) نوع القطع زائد

| 𝟐|المسافة بن البإرة والدلل = ④

تسمى (𝟎 ) ةثابت نمطةف المستوي والت كون بعدها عن ( ) هو مجموعة النمط : كافئالمطع الم

والذي سمى الدلل وهو ال حتوي البإرة ( ) مساوآ دائمآ لبعدها عن مستمم معلوم 𝟎 البإرة حث

ون بعدها عن نمطة معلومة مساوا لبعدها عن مستمم كهو مجموعة من النمط داخل مستوي والت أو بمعنى أخر

. معلوم

: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور السنات

باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باستخدام

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏

( من تعرف القطع المكافئ )

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎

𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒

والذذذرأس فذذذ x-axis) ) الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذ لمحذذذور السذذذناتهذذذ المعادلذذذة الماسذذذة للمطذذذع المكذذذافئ هذذذذ و

ومعادلذذذذة دللذذذذه (𝟎 ) بإرتذذذذه بذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حذذذذث "O"تسذذذذمى النمطذذذذة حذذذذثنمطذذذذة األصذذذذل

𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات حث 𝟎 𝟒


63

: والرأس ف نمطة األصل xis)a-(yمعادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتم لمحور الصادات

باستخدام التعرف مكن أجاد المعادلة الماسة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بن نمطتن

√( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 (قانون البعد) 𝟐(𝟏


√( 𝟎)𝟐 ( )𝟐 √( )𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 (المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟎 𝟒

والذرأس فذ نمطذة ) )ات صذادوهذ ه المعادلة الماسة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذ لمحذور ال

حذث 𝟎 ومعادلة دلله ( 𝟎) برأس المطع المكافئ حث بإرته "O"األصل حث تسمى النمطة

𝟐 وبنفس األسلوب مكن أثبات 𝟒

أحداهما عندما كون على (𝟎 𝟎)نالحظ مما سبك انه وجد معادلتن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل

.والجدول أدنا وضح ذلن ور الصادي حالمحور السن واألخرى عندما كون على الم

( )عىدما كن عه محر انصاداث ( )عىدما كن عه محر انسىاث

( )البإرة تنتم لمحور الصادات ① ( )انبؤرة تىتم نمحر انسىاث ①

ومعادلة الدلل ( 𝟎) البإرة ② معادنت اندنم (𝟎 ) انبؤرة ②

𝟎 معادلة محور المطع ه③ 𝟎 معادنت محر انمطع ③

المحور السن وازيالدلل ④ انمحر انصاد اساندنم ④

التناظر حول محور الصادات⑤ انتىاظز حل محر انسىاث⑤

نصف الدللالمحور الصادي ⑥ المحور السن نصف الدلل⑥

𝟐 المانون ⑦ 𝟐 المانون ⑦ 𝟒 𝟒

: مالحظات عامة أشار البإرة عكس أشار الدلل والعكس صحح ❶

2p= المسافة بن البإرة والدلل ❷

كل نمطة تنتم للمطع المكافئ فه تحمك معادلته )أي أن المطع المكافئ مر بها ( ❸

المكافئ بعدها عن البإرة ساوي بعدها عن الدللكل نمطة تنتم للمطع ❹

𝟐 )رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممز الخاصة به ه ❺ 𝟒 𝟎) الجدول أدنا وضح تفاصل أكثر عن معادالت المطع المكافئ ❻

المعادلة البإرة الدلل المحور أتجا المطع التناظر

x-axis المن x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒 x-axis السار x-axis ( 𝟎) 𝟐 𝟒

y-axis األعلى y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒 y-axis األسفل y-axis (𝟎 ) 𝟐 𝟒


64

𝟐 ئ جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكاف /(1(مثال 𝟖

𝟐 الحل / 𝟖

𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت) 𝟒

𝟒 𝟖 𝟖

𝟒 𝟐

( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟐 )

𝟐 معادنت اندنيم

. والرأس ف نمطة األصل (3,0)ة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته جد معادل/(2(مثال

𝟔 𝟐الدلل ب ( معادلة ورأسه ف نمطة األصل . 𝟎

(𝟎 ) أ ( الحل / البؤرة (𝟎 𝟑)

𝟑 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

___________________________

𝟔 𝟐 ب ( معادلة الدلل 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

𝟐 بإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ جد /(3(مثال ثم أرسمه 𝟒

الحل /

𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒

𝟒 𝟒 𝟒

𝟒 𝟏

( 𝟎) انبؤرة (𝟎 𝟏)

𝟏 معادنت اندنيم

𝟐 4 𝟒(𝟏) 𝟒 𝟐√

𝟐 𝟏 𝟎

𝟐√ 2 𝟎


65

والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟑√)المكافئ أذا علم أن بإرته جد معادلة المطع بؤستخدام التعرف /(4(مثال

ولذذتكن النمطذذة نمطذذة تنتمذذ الذذى منحنذذ المطذذع المكذذافئ ( ) ولذذتكن النمطذذة (𝟎 𝟑√) البذذإرة الحذذل /

فمن تعرف المطع المكافئ على الدلل ( )نمطة تماطع العمود المرسوم من ه ( 𝟑√ )


√( √𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( √𝟑)

𝟐 ( تربع الطرفن) 𝟐( )

( √𝟑 )𝟐 𝟐 ( √𝟑 )

𝟐

𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟑√𝟒

𝟐 𝟑 جد البإرة ومعادلة دلل المطع المكافئ /(5(مثال 𝟐𝟒 𝟎

الحل /

𝟑 𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟑 𝟐 ( وقسم طرفي انمعادنت عهى 𝟑) 𝟐𝟒

𝟐 𝟖 𝟐 ( بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟒 𝟖 𝟖

𝟒 𝟐

(𝟎 ) انبؤرة (𝟐 𝟎)

𝟐 معادنت اندنيم

. ف نمطة األصل هرأسو (𝟓 𝟎)جد معادلة المطع المكافئ أذا علم : أ ( بإرته /(6(مثال ورأسه ف نمطة األصل . 𝟕 ب ( معادلة الدلل

( 𝟎) أ ( الحل / البؤرة (𝟓 𝟎)

𝟓 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎

___________________________

( بانمقاروت مع معادنت اندنيم) 𝟕 ب (

𝟕 𝟐 ( انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ) 𝟒

𝟐 𝟒(𝟕) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟖


66

ورأسه نمطة األصل ( 𝟒 𝟐) (𝟒 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ الذي مر بالنمطتن /(7(مثال

الحل /

ثابتة لم تتغر ( النمطتان متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة 𝟐 انمعادنت انماست نهمطع انمكافئ 𝟒

(𝟒 𝟐)وعض أحد انىمطته انهته تحممان معادنت انمطع انمكافئ ألو مز با نتكه انىمطت

(𝟒)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟏𝟔 𝟖 𝟏𝟔

𝟖 𝟐

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟐) 𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟖

(𝟓 𝟑)جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر دلل المطع المكافئ بالنمطة /(8(مثال

الحل/

ما : االحتمانهتحدد انبؤرة , وجد أحتمالن للمعادلة الماسة للمطع المكافئ لعدم

ثانا : البإرة تنتم لمحور السنات أوال : البإرة تنتم لمحور الصادات

𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒

(معادلة الدلل) 𝟓

𝟓 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟓)

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟎

𝟐 ( المعادلة القاسة للقطع المكافئ) 𝟒

(معادلة الدلل) 𝟑

𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟑)

𝟐 معادنت انقطع انمكافئ 𝟏𝟐

(𝟐 تمارين(𝟏

:جد المعادلة للمطع المكافئ ف كل مما ؤت ثم أرسم المنحن البان لها /1 س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟓)البإرة ) أ (

الحل/

(𝟓 𝟎)

𝟓 𝒙 معادنت اندنيم 𝟓

𝒚 𝟒 𝟐 𝒚 𝟒(𝟓) 𝟐 𝒚 𝟐 المعادلة القاسة 𝟐𝟎

𝟐 𝟏 𝟎

2√ 2√5 𝟎


67

والرأس ف نمطة األصل (𝟒 𝟎)البإرة ) ب (

الحل/

(𝟎 𝟒)

𝟒 y معادنت اندنيم 4

𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒(𝟒) 2 𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟏𝟔

4√2 4 𝟎

2 𝟎

والرأس ف نمطة األصل ( 𝟐√ 𝟎)البإرة ) ج (

الحل/

(𝟎 √𝟐 )

√𝟐 y معادنت اندنيم 𝟐√

𝑥 𝟒 2 𝑥 2 المعادلة القاسة (𝟐√)𝟒

2√2 2√√𝟐

𝟎

√𝟐 𝟎

𝟑 𝟒 معادلة دلل المطع المكافئ ) د ( والرأس ف نمطة األصل 𝟎

الحل/

𝟒 𝟑 𝟎 𝟒 𝟑 y 3

4معادنت اندنيم

p 3

4 F

3

4 البؤرة

𝑥 𝟒 2 𝑥 𝟒 23 4

𝑥 2 المعادلة القاسة 𝟑

√6 √𝟑 𝟎

𝟐 𝟎


68

:ف كل مما ؤت جد البإرة والرأس ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ /2 س

( ) 𝟐 𝟒

الحل/

𝟒 𝟒 𝑝 البؤرة(𝟏 𝟎)

( معادلة المحور) 𝟎 ( معادلة الدلل) 𝟏 الرأس(𝟎 𝟎)

( ) 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟎

الحل/

𝟏𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟖 𝟒

𝟏

𝟖 p

𝟏

𝟑𝟐 (

𝟏

𝟑𝟐 𝟎) البؤرة

دلةمعا المحور) 𝟎 ) 𝟏

𝟑𝟐( معادلة الدلل) الرأس(𝟎 𝟎)

والرأس ف نمطة األصل (𝟓 𝟐) (𝟓 𝟐)جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتن /3 س

𝟐 )والمانون البإرة تنتم لمحور السنات متناظرتان حول المحور السننمطتان ال ∵ الحل/ 𝟒 )

ونعوضها ف المعادلة الماسة (𝟓 𝟐)النمطة نؤخذ لذاالمطع المكافئ مر بهما المعادلة الن انالنمطتان تحمم

(𝟓)𝟐 𝟒 (𝟐) 𝟐𝟓 𝟖𝒑 𝒑 𝟐𝟓

𝟖

𝟐 𝟒 𝟒 25

8 𝟐

𝟐𝟓

𝟐معادلة القطع المكافئ

والذرأس فذ نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه (𝟒 𝟑 )أذا كان دلل المطذع المكذافئ مذر بالنمطذة /4 س

تنتم ألحد المحورن

(𝟒 )والثان (𝟑 )هنان دلالن هما األول (𝟒 𝟑 )الدلل مر بالنمطة ∵ الحل/

ان هنان لطعان مكافئ

) البإرة تنتم لمحور السنات( المطع المكافئ األول 𝟑 𝟑

𝟐 المانون 𝟒

𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐

ات(الثان ) البإرة تنتم لمحور الصادالمطع المكافئ 𝟒 𝟒

𝟐 المانون 𝟒

𝟐 𝟒(𝟒) 𝟐 𝟏𝟔


69

𝟐 لطع مكافئ معادلته /5 س أرسم المطع وثم جد بإرته ودلله Aجد لمة (𝟐 𝟏)بالنمطة مر 𝟎 𝟖

( 𝟐 𝟏)النمطة بالمطع المكافئ مر ∵ الحل/

𝟐 ) تحمك معادلة المطع المكافئ ( 𝟐 𝟏)النمطة 𝟖 𝟎)

(𝟏)𝟐 𝟖(𝟐) 𝟎 A 6 𝟐 𝟖 𝟎 ( 𝟏𝟔) 6

𝟐 𝟏

𝟐 𝟎 𝟐

𝟏

𝟐 ( 𝟐 (بالمقارنة مع المعادلة القاسة 𝟒

𝟒𝒑𝟏

𝟐 𝒑

𝟏

𝟖

F( 𝑝) F 𝟏

𝟖 البؤرة

𝟏

𝟖 معادلة الدلل

y x

0 0

𝟏

𝟏

√𝟐

𝟐

:باستخدام التعرف جد معادلة المطع المكافئ /6 س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟕)البإرة ) أ (

الحل/

𝟕 𝒙 𝟕 معادلة الدلل

( تعرف القطع المكافئ)

√( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟕)𝟐 (بتربع الطرفن) 𝟐( )

( 𝟕)𝟐 ( 𝟎)𝟐 ( 𝟕)𝟐

𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗 𝟐 𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗

𝟏𝟒 𝟐 𝟏𝟒 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟐𝟖

1د / 2011وزاري


70

والرأس ف نمطة األصل 𝟑√ معادلة الدلل ) ب (

الحل/

√𝟑 𝑝 √𝟑

(𝟎 ) البؤرة (𝟑√ 𝟎)

( تعرف القطع المكافئ)

√( 𝟎)𝟐 ( √𝟑)𝟐 √( )𝟐 ( √𝟑)

𝟐 (بتربع الطرفن)

𝟐 ( √𝟑)𝟐 ( √𝟑)

𝟐

𝟐 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑 𝟐 𝟐√𝟑 𝟑

𝟐 𝟐√𝟑 𝟐√𝟑 𝟐 ( معادلة القطع المكافئ) 𝟑√𝟒

******************************************************************

أمثلة أضافة محلولة

: الذي رأسه نمطة األصل وحمك الشروط التالةجد معادلة المطع المكافئ /مثال

(𝟎 𝟓)بإرته (1)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور السنات /انحم 𝟒

( 𝟎) (𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟒(𝟓) 𝟐 𝟐𝟎 𝟎

(𝟑 𝟎)بإرته (2)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒

(𝟎 ) (𝟎 𝟑) 𝟑 𝟐 𝟒(𝟑) 𝟐 𝟏𝟐 𝟎

𝟔 𝟐معادلة دلله (3) 𝟎 /انحم

𝟐 𝟔 𝟎 𝟐 𝟔 𝟑 البؤرة (𝟑 𝟎) 𝟑

𝟐 𝟒

𝟐 𝟒( 𝟑) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟏𝟐


71

𝟐√)مر بالنمطة بإرته تنتم لمحور الصادات و(4) 𝟏

𝟐)

𝟐 معادلة المطع المكافئ ه البإرة تنتم لمحور الصادات /انحم 𝟒

𝟐√)النمطة 𝟏

𝟐 تنتم للمطع فه تحمك معادلته (

(√𝟐)𝟐 𝟒

𝟏

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

𝟐 𝟒 𝟒(𝟏) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟒

جد معادلته ومعادلة دلله (𝟓√ 𝟏) (𝟓√𝟐 𝟏)مر بالنمطتن (5)

𝟐 معادنت ثابتة لم تتغر ( xالنمطتن متناظرتان حول محور السنات )ألن لمة /انحم 𝟒

وعض أحد انىمطته ألو مز با ∴

(𝟐√𝟓)𝟐 𝟒 (𝟏) 𝟐𝟎 𝟒 𝟓 معادنت اندنيم 𝟓

𝟐 𝟒 𝟒(𝟓) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟐𝟎

(𝟒 𝟐)بؤرت تىتم نمحر انسىاث دنه مز بانىمطت (6)

𝟐 معادنت انمطع انمكافئ بؤرت تىتم نمحر انسىاث /انحم 𝟒

𝟐 ألن اندنم مطع األحداث انسى معادنت اندنم 𝟐 نذا فأن (𝟒 𝟐)دنه مز بانىمطت

𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒( 𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖

𝟐 رأس ومطت األصم بؤرت مزكش اندائزة انت معادنتا (7) 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎

) =مزكش اندائزة / انحم (معامم )

𝟐 (معامم )

𝟐) =(

𝟎

𝟐 ( 𝟒)

𝟐 = انبؤرة (𝟐 𝟎)= (

𝟐 انبؤرة تىتم نمحر انصاداث معادنت انمطع انمكافئ 𝟐 𝟒

𝟐 𝟒 𝟒(𝟐) 𝟐 معادلة القطع المكافئ 𝟖

( 𝟏 𝟐 )مز بانىمطت 𝟎 دنه اس انمحر انصاد معادنت محري (8)

( 𝟏 𝟐 )اندنم اس انمحر انصاد مز بانىمطت /انحم

اندنم مطع األحداث انسى انسانب انبؤرة تمع عه األحداث انسى انمجب

𝟐 معادنت انمطع انمكافئ 𝟒 نذا ف تحمم ( 𝟏 𝟐 )انمطع مز بانىمطت

𝟐 𝟒 (𝟏)𝟐 𝟒 ( 𝟐) 𝟏 𝟖 𝟏

𝟖

𝟐 𝟒 𝟏

𝟖 𝟐

𝟏

𝟐 معادلة القطع المكافئ


72

(𝟏𝟎) وحداثلطعت طنا 𝟒 مطع مه انمستمم (9) /انحم

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 رأسي انقطع انمكافئ (𝟓 𝟒)(𝟓 𝟒)

𝟐 معادنت انمطع انمكافئ انتىاظز حل محر انسىاث تحمم (𝟓 𝟒)انىمطت 𝟒

𝟐 𝟒 (𝟓)𝟐 𝟒 (𝟒) 𝟐𝟓

𝟏𝟔

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐

𝟐𝟓

𝟒

جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وحمك الشروط التالة /مثال

𝐳بإرته الصغة الدكارتة للعدد (1) 𝟒+𝟐𝐢

𝟐 𝐢

/انحم

𝐳 𝟒 𝟐𝐢

𝟐 𝐢×𝟐 𝒊

𝟐 𝒊 𝟖 𝟒𝒊 𝟒𝒊 𝟐

𝟓 𝟏𝟎

𝟓 الصغة الدكارتة (𝟎 𝟐 ) 𝟐

( 𝟐 𝟎) (𝒑 𝟎) البؤرة 𝐩 𝟐

𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒( 𝟐)𝒙 𝒚𝟐 𝟖𝒙 معادلة القطع المكافئ

(3,4)بإرته تنتم ألحد المحورن ودلله مر بالنمطة (2) 𝒑وجد دلالن ولم حدد الي المحورن وازي (3,4)مطة الدلل مر بالن ∵ /انحم 𝟑 𝒑 𝟒

مما عن وجدود لطعان مكافئان (𝟎 𝟑 )والثانة (𝟒 𝟎)وجد بإرتان االولى

𝒚𝟐 𝟒𝒑𝒙 𝟒(𝟑)𝒙 𝒚𝟐 𝟏𝟐𝒙 معادلة القطع المكافئ األول

𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒(𝟒)𝒚 𝒙𝟐 𝟏𝟔𝒚 معادلة القطع المكافئ انثاوي

mثم أوجد لمة 𝑨(𝟎 𝟎) 𝑩( 𝟐 𝟒) 𝑪(𝟐 𝒎)حث ABCمر برإوس المثلث (3)

تمع أما ف الربع األول أو الرابع (m,2)النمطة ∵ /انحم

للربع األول لك تحمك المطع (m,2)النمطة

𝒙𝟐البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝟒𝒑𝒚

فه تحممه (𝟒 𝟐 )المطع مر بالنمطة ∵

( 𝟐)𝟐 𝟒𝒑(𝟒) 𝒑 𝟒

𝟏𝟔 𝐩

𝟏

𝟒 𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒

𝟏

𝟒 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 معادنت انقطع

المطعتمع على المطع لذا فه تحمك معادلة (m,2)النمطة ∵ (𝟐)𝟐 𝐦 𝐦 𝟒

𝟐𝒚 √𝟑رأسه نمطة األصل ومعادلة دلله (4) 𝟎 /نحم ا

𝟐𝒚 √𝟑 𝟎 𝟐𝐲 √𝟑 𝐲 √𝟑

𝟐 𝐩

√𝟑

𝟐

𝒙𝟐 𝟒𝒑𝒚 𝟒 √𝟑

𝟐 𝒚 𝒙𝟐 𝟐√𝟑𝒚 معادلة القطع المكافئ


73

: : ف كل مما ؤت جد البإرة ومعادلت المحور والدلل للمطع المكافئ 1س

( ) 𝟐 𝟖

( ) 𝟐 𝟒 𝟎

( ) 𝟐 𝟐𝟖 𝟎

والرأس ف نمطة األصل فجد معادلته علما أن بإرتــــــه (𝟓 𝟐 ): أذا كان دلل المطع المكافئ مر بالنمطة 2س

تنتم ألحد المحورن

معادلة المطع المكافئ الذي :: ف كل مما ؤت جد 3س

والرأس ف نمطة األصل . (𝟎 𝟕 ))أ( بإرته

𝟑 𝟐)ب( معادلة الدلل له والرأس ف نمطة األصل . 𝟎

والرأس ف نمطة األصل . (𝟔 𝟑))ج( بإرته تنتم لمحور السنات ومر بالنمطة

والرأس ف نمطة األصل . (𝟓 𝟒 ))د( بإرته تنتم لمحور السنات و دلله مر بالنمطة

𝟑√ 𝟐الدلل له )ب( معادلة والرأس ف نمطة األصل . 𝟎

:ة المطع المكافئ الذي بؤستخدام التعرف جد معادل: 4س

والرأس ف نمطة األصل (𝟎 𝟒) بإرته ) أ ( 𝟓 ) ب ( معادلة الدلل والرأس ف نمطة األصل 𝟎


74

: ) الرأس ف نمطة األصل (نالصالمطع ال

البإرتذان تسذمان ثذابتتن نمطتذن عذن منهذا نمطة أي بعدي مجموع كون الت ( ) المستوي نماط مجموعة هو

( 𝟐) تساوي لمته ثابتا عددا تساوي

ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات

𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐

√( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐 √( )𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐(𝟎 )

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟒 √( )𝟐 ( )𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒)

√ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (بتربـــــــع الطرفن )

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )

( ) ( )حث أن

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 وبإرتا ه (𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 رأسا المطع النالص هما

بذذذنفس األسذذذلوب مكننذذذا أجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذ

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐وبإرتذذذذذا هذذذذذ ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا حذذذذث أن 𝟏

𝟐(𝟎 ) 𝟏(𝟎 )


75

الحظ الشكل التال :

مالحظات :

(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①

𝟐طول المحور الكبر ②

𝟐طول المحور الصغر ③

𝟐البعد بن البإرتن ④

𝟐 دائما كون ⑤ 𝟐 𝟐

االختالف المركزي ⑥

√ 𝟐 𝟐

𝟐 √ )ولمة (𝟏 )حث الحظ أنه كون 𝟐 )

مساحة المطع النالص ⑦

√ 𝟐 محط المطع النالص ⑧ 𝟐+ 𝟐

𝟐 )حث أن

𝟐𝟐

𝟕)

النسبة بن طول محوره ⑨𝟐

𝟐

( ) هو واألصغر ( )هو واألكبر ( ) أو ( ) أما هو الثان فاإلحداث صفر إحداثاتها أحد بنمطة المطع مر أذا ⑩

أدنا :الحظ الجدول ⑪

لطع نالص بإرتا على محور السنات لطع نالص بإرتا على محور الصادات

المعادلة 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐المعادلة 𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 البإرتان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 البإرتان

(𝟎 )𝟏 (𝟎 )𝟐 الرأسان ( 𝟎)𝟏 ( 𝟎)𝟐 الرأسان


76

المركزي واالختالفتن والرأسن ف كل مما ؤت جد طول كل من المحورن وأحداث كل من البإر (/9مثال )

① 𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏 ② 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐

𝟒

𝟑

(1)الحل

بالممارنة مع المعادلة الماسة للمطع النالص 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c

𝟐 𝟐(𝟓) طول المحور الكبر وحدة 𝟏𝟎

𝟐 𝟐(𝟒) طول المحور الصغر وحدة 𝟖

𝟐 𝟐(𝟑) البعد البؤري وحدة 𝟔

البؤرتان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓)𝟏

𝟓االختالف المركزي 𝟏

𝟑

(2)الحل

𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟒

𝟑 ×

𝟑

𝟒

𝟒 𝟐

(𝟒𝟑)

𝟑 𝟐

(𝟒𝟑)

𝟏 𝟐

(𝟏𝟑)

𝟗 𝟐

𝟒 𝟏

𝟐

(𝟏𝟑)

𝟐

(𝟒𝟗)

𝟏

𝑎 𝟒

𝟗 2

𝟐

𝟑 𝟐

𝟏

𝟑 𝑎

𝟏

√𝟑 𝟐 b 𝑎 𝟐

𝟒

𝟗 𝟏

𝟑

𝟏

𝟗 2

𝟏

𝟑 c

𝟐 𝟐 𝟐

𝟑

𝟒

𝟑 طول المحور الكبر وحدة

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟑

𝟐

√𝟑 طول المحور الصغر وحدة

𝟏 𝟎 𝟐

𝟑 𝟐 𝟎

𝟐

𝟑𝟏 الرأسان 𝟎

𝟏

𝟑 𝟐 𝟎

𝟏

𝟑 البؤرتان

𝟏

𝟑

(𝟐

𝟑)

( ) 𝟏

𝟑 𝟑

𝟐 𝟏

𝟐 االختالف المركزي 𝟏


77

ــــا النمطـــــتـــان ـورأس (𝟎 𝟑)𝟏 (𝟎 𝟑 )𝟐 ـص الذي بإرتــــــا ـــــة المطع النالـــجد معادل (/10مثال ) ومركز نمطة االصل . (𝟎 𝟓)𝟏 (𝟎 𝟓 )𝟐

الحل/

⇐ البإرتان والرأسان معان على محور السنات والمركز ف نمطة األصل ∵ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟑 𝑪 𝟗 𝟐

𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

𝑪 𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝑪 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝒃 𝟐 𝟏 𝟔

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏 معادلة القطع الناقص

اإلحداثنـن نطبك محورا على المحورـــــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وـجد معادل (/11مثال )

ثم وحدة,(𝟏𝟐)ادات جزءا طوله وحدات ومن محور الص (𝟖)ـنات جزءا طوله محور السمن ومطع جد المسافة بن البإرتن ومساحة منطمته ومحطه .

الحل/

المحور الكبر 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔 (البؤرة تقع على الصادات)

المحور الصغر 𝟐 𝟖 b 4 𝑏2 6

𝑥

𝟏𝟔

2 𝒚

𝟑𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐𝟎

𝐜 √𝟐𝟎 𝟐√𝟓

𝟐𝐜 ( انمسافت بيه انبؤرتيه) 𝟓√𝟒

انمساحت (وحدة مربعة ) 24 (4)(6)

انمحيط 2 √ 2 2

22 √

𝟑𝟔 𝟏𝟔

22 √

𝟓𝟐

2

𝐩 (وحدة ) 𝟐𝟔√2

االختالف المركزي 𝟐√𝟓

𝟔 √𝟓

𝟑


78

𝟐 لتكن (/21مثال ) 𝟒 𝟐 ــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتــــــــهة لطع نالـــــــص ممعادلـــ 𝟑𝟔

1د / 2015وزاري جد لمة (𝟎 𝟑√) الحل/

𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

𝟐

𝟑𝟔 𝟒 𝟐

𝟑𝟔 𝟏

𝟐

(𝟑𝟔 ) 𝟐

𝟗 𝟏

المانون تنتم لمحور السنات (𝟎 𝟑√)البإرة ∵ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

√𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝑎

𝟑𝟔

2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟑𝟔

𝟗 𝟑

𝟑𝟔

𝟏𝟐

𝟑𝟔

𝟏𝟐 𝐤 𝟑

ـــنات والمسافة بن األصل وبإرتا على محور الســــص الذي مركز نمطة ـــة المطع النالـجد معادل (/31مثال )

وحدة . (𝟐)والفرق بن طول المحورن وحدات (𝟔) البإرتن الحل/

𝟐 𝟔 c 3

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏 ( )𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟏 𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟗 𝟐 𝟐 𝟖 𝐛 𝟒 𝒂 𝟓

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ئ بإرته بإرة المطـــع المكافــــــل وأحدى لذي مركز نمطــــــة األصـــص اـــة المطع النالــجد معادل (/41مثال )

𝟐 وحدات . (𝟏𝟎)وطول محور الصغر ساوي 𝟎 𝟏𝟐 : من المطع المكافئ المعطى الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 2 p 3 ( البورة 3)

𝟑 (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏 البإرتان :المطع النالص ⇐

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟐𝟓 𝟗 2 𝑎 𝟑𝟒 2

𝒙

𝟑𝟒

𝟐 𝑦

𝟐𝟓( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2


79

بؤستخدام التعرف , جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا : (/51مثال )

𝟔والعدد الثابت (𝟎 𝟐)𝟏 (𝟎 𝟐 )𝟐 . الحل/

𝟏 𝟐 ( تعرف القطع الناقص) 𝟐

√( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟑)

√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟔 √( 𝟐)𝟐 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐

𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐

𝟏𝟐√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟖 ( 𝟒)

𝟑√( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟗 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐) 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔

𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒𝟓 ( 𝟒𝟓)

𝟐

𝟗 𝟐

𝟓 𝟏 ( معادلة القطع الناقص )

مالحظة

لرسم لطع نالص ولكن المطع 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 نتبع الخطوات التالة : 𝟏

(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن النمطتن ①

( 𝟎)𝟐 ( 𝟎)𝟏 نعن النمطتن ②

بالترتب حتى تكون منحن متصل 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 نصل بن النماط األربعة ③

(𝟎 )𝟐 (𝟎 )𝟏 نعن البإرتن ④


80

(𝟐 تمارين(𝟐

واالخذتالفثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن والمطبذن والمركذز عذن كذل مذن البذإرتن والرأسذن /1 س

: نهمطع انىالصت انمبىت معادالتا ف كم مما أتالمركزي

ⓐ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏

الحل/

𝟐

𝟏

𝟐

(𝟏𝟐)

𝟏 𝑎 𝟏 2 𝑎 𝑏 𝟏

𝟐 2 b

𝟏

√𝟐

𝟐𝒂 𝟐(𝟏) طىل انمحىرانكبير ) وحدة 𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐طىل انمحىرانصغير ) وحدة 𝟐√ )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝟏

√𝟐

𝟐 𝟐 𝟏

√𝟐انمسافت بي انبؤرتيه ) وحدة 𝟐√ )

الرأسان (𝟎 𝟏 )𝟐 (𝟎 𝟏)𝟏

𝟏 𝟏

√𝟐 𝟎 𝟐

𝟏

√𝟐 البؤرتان 𝟎

𝟏 𝟎 𝟏

√𝟐 𝟐 𝟎

𝟏

√𝟐 القطبن(طرفا المحور الصغر)

االختالف المركزي

𝟏

√𝟐

𝟏

𝟏

√𝟐 𝟏

(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر


81

ⓑ 𝟗 𝟐 𝟏𝟑 𝟐 𝟏𝟏𝟕

(𝟏𝟏𝟕)بالمسمة على الحل/

𝟐

𝟏𝟑 𝟐

𝟗 𝟏 𝑎 𝟏𝟑 2 𝑎 √𝟏𝟑 𝑏 𝟗 2 b 𝟑

𝟐𝒂 𝟐 √𝟏𝟑( ) √𝟏𝟑𝟐 ىرانكبيرانمح ) وحدة طىل )

𝟐 𝟐(𝟑) طىل انمحىرانصغير ) وحدة 𝟔 )

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃 𝟐 𝟏𝟑 𝟗 𝟒 𝟐

𝟐 𝟐(𝟐) انمسافت بي انبؤرتيه ) وحدة 𝟒 )

الرأسان (𝟎 𝟏𝟑√ )𝟐 (𝟎 𝟏𝟑√)𝟏

البؤرتان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐) 𝟏

القطبن (𝟑 𝟎)𝟐 (𝟑 𝟎) 𝟏

االختالف المركزي

𝟐

√𝟏𝟑 𝟏

(𝟎 𝟎)والمركز (𝟎 )ومعادلة المحور الصغر (𝟎 )معادلة المحور الكبر

: ؤتجد المعادلة الماسة للمطع النالص الذي مركز ف نمطة األصل ف كل مما /2 س

وحدة (𝟏𝟐)وطول محور الكبر ساوي (𝟎 𝟓) و (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان )أ(

الحل/

𝟏(𝟓 𝟎) 𝟐( 𝟓 𝟎) 𝟓 𝟐 𝟐𝟓

𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝟑𝟔 𝟐𝟓 𝒃 𝟏𝟏 𝟐

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 y

𝟏𝟏( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2


82

𝟒 وتماطع مع محور السنات عند (𝟐 𝟎)البإرتان هما )ب(

الحل/

𝟏(𝟎 𝟐) 𝟐(𝟎 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟒 ( البؤرتان تنتمان الى محور الصادات)

𝟐 (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 )تمثل المطبن وه 𝟒 عند مع محور السنات نمط التماطع 𝟏𝟔 ⇐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟒 𝟐 𝒂 𝟐𝟎 𝟐

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 y

𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

على الترتبوحدة 𝟏 𝟓 عددنمحور الكبر بال نهات أحدى بإرته تبعد عن ج()

الحل/

𝟐 𝟏 𝟓 2𝑎 6 𝑎 3 𝑎 𝟗 2

𝟐 𝟓 𝟏 2c 4 𝑐 2 𝑐 𝟒 2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 𝒄 𝟗 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓

وهما :لمعادلة المطع النالص هنان حالتن

عندما البإرتان تنتم لمحور السنات

𝒙

𝟗

𝟐 y

𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

عندما البإرتان تنتم لمحور الصادات

𝒙

𝟓

𝟐 y

𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2


83

االختالف المركزي )د(𝟏

𝟐 وحدة طولة (𝟏𝟐) وطول محور الصغر

الحل/

𝟏

𝟐

𝟏

𝟐

𝑐

𝑎

𝟐 c 𝟐

𝟐

𝟒

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝒃𝟐 𝟑𝟔

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟑𝟔 𝟐

𝟒 𝟐 𝒂

𝟏𝟒𝟒 𝟐

𝒂

𝟒

𝟐

4𝒂𝟐 44 𝒂𝟐 3𝒂𝟐 44 𝟐 𝟒𝟖

هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :

𝒙

𝟒𝟖

𝟐 y

𝟑𝟔 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

عندما البإرتان تنتم لمحور السنات

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 y

𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2


وحدة (3)وحدات ونصف محور الصغر ساوي (𝟖)المسافة بن بإرته تساوي )هـ(

الحل/

𝟏

𝟐 (𝟐 ) 𝟑 𝑏 3 b2 9

𝟐 𝟖 𝟒 c2 6

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟗 𝟏𝟔 𝟐 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

هنان حالتن لمعادلة المطع النالص وهما :

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 y

𝟗 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

السنات عندما البإرتان تنتم لمحور

𝒙

𝟗

𝟐 y

𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2



84

: باستخدام التعرف جد معادلة المطع النالص أذا علم /3 س

ⓐ ومركز ف نمطة االصل (𝟑 𝟎)ورأسا النمطتان (𝟐 𝟎)إرتا النمطتان ب .

الحل/

𝟐 𝟑

𝟏 𝟐 ( حسب التعرف) 𝟐

√( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 √( 𝟎)𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐(𝟑)

√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 √ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔

√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟔 √ 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐(𝟐 )

𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒

𝟏𝟐√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 𝟖 𝟑𝟔 ( 𝟒)

𝟑√ 𝟐 ( 𝟐)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟗 𝟐

𝟗( 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏

𝟗 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟑𝟔 𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟖𝟏

𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟖𝟏 𝟑𝟔

𝟗 𝟐 𝟓 𝟐 𝟒𝟓 ( 45 )

𝑥2

5 𝑦2

9 ( معادلة القطع الناقص)


85

ⓑ والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذنات ومركذز فذ (𝟏𝟎)والعذدد الثابذت وحذدة (𝟔) المسافة بذن البذإرتن

.نمطة االصل

الحل/

البؤرتان (𝟎 𝟑 ) 𝟑 𝟔 𝟐

الراسان(𝟎 𝟓 ) 𝟓 𝟏𝟎 𝟐

على تعرف المطع النالص وباالعتماد

𝟏 𝟐 𝟐

√( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟑)𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐(𝟓)

√( 𝟑)𝟐 𝟐 √( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎

√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟎 √( 𝟑)𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐

𝟐 𝟔 𝟗 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐

𝟐𝟎√( 𝟑)𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 ( 𝟒)

𝟓√( 𝟑)𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐𝟓 𝟑

𝟐𝟓( 𝟐 𝟔 𝟗 𝟐) 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓

𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟓𝟎 𝟔𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎)

𝑥2

25 𝑦2

6 ( معادلة القطع الناقص)


86


بإرتذذه هذذ بذذإرة المطذذع المكذذافئ ىجذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل واحذذد /4 س

𝟐 )الذي معادلته (𝟑√ 𝟑√𝟐)علما ان المطع النالص مر بالنمطة (𝟎 𝟖

: المطع المكافئ ف الحل/

𝟐 𝟖 ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 𝟒 𝟖 𝒑 𝟐 ( 𝟐 𝟎 ( البورة

المطع النالص :ف

𝟎 𝟐)البإرتان ) ( 𝟐 𝟎 𝟐 والمانون هو ( ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟑√ 𝟑√𝟐)النمطة

𝟐√𝟑( )

𝟐

𝒂

𝟐

√𝟑( )

𝟐 𝟏

𝟐

𝟏𝟐

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟑 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟒 ①( ( وعىض في

𝟐 𝟑𝟏𝟐 (𝒃𝟐 𝟒 ) (𝒃𝟐 𝟒 𝟐 ) 𝟐 𝟑𝟏𝟐 𝒃𝟐 𝟒𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟎

( 𝟐 𝟏𝟐)( 𝟐 𝟏) 𝟎

𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟔

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝒚

𝟏𝟐 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

𝟐 همل 𝟏

وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذنات ومذذذر جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل /5 س

(𝟐 𝟔) (𝟒 𝟑)بالنمطتن

المانون هو ⇐على محور السنات البإرتان ∵ الحل/𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟐 𝟔)النمطة ∵

(𝟔)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟐)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟑𝟔

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟒 𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ①) 𝟐

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟒 𝟑)النمطة ∵

(𝟑)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟒)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟗

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔𝟗 𝒂 𝟐 𝒂 𝟐 ( معادلة ②) 𝟐

وبحل المعادلتن انا بالطرح نحصل على المعادلة التالة

𝟐 𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒂 𝟐 𝟎 𝟏𝟐 𝒂 𝟐 𝟐 𝟐𝟕 𝟒 𝒂 𝟐 𝟐𝟗 𝒂 𝟐 𝟐𝟗

𝟒

①( ( وعىض في

𝟐 𝟒𝟑𝟔 𝟐𝟗

𝟒

𝟐𝟗

𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗

𝟐𝟗

𝟒 𝟐 𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟗

𝟒 𝟐 𝟒 𝟏𝟖𝟎 𝟗

𝟒𝟗 𝟐 𝟏𝟖𝟎 𝟎 𝟒 𝟐 𝟐𝟎 𝟎 𝟐( 𝟐 ) 𝟐𝟎 𝟎 𝟐 𝟐𝟎 𝟐 𝟒𝟓

𝒙

𝟒𝟓

𝟐 𝒚

𝟐𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


87

نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذ وبإرتذذذا لــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصـــــذذذـة المطذذذع النالــــــذذذـد معادلـــــذذذـج /6 س

𝟐 𝟐 𝟐 مع محور الصادات ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟔 𝟑 𝟏𝟐

𝟐 )المنحن ∵ الحل/ 𝟐 𝟎 مطع المحور الصادي (𝟏𝟔 𝟑 ⇐

𝟐 𝟏𝟔 𝐲 𝟒

𝟒 𝟎)البإرتان ) (𝟎 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 والمانون هو ( ⇐𝒙

𝟐

𝟐 𝒚𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

المعطىمن المطع المكافئ

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟐 𝒑 𝟑

𝐱 𝐩 𝒙 دنيم انقطع انمكافئ 𝟑 وقطت انتماس (𝟎 𝟑 )

تحمك معادلة المطع النالص ألنه مر بها (𝟎 𝟑 )النمطة ∵

( 𝟑)

𝟐

𝟐 (𝟎)𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

𝟗

𝒃 𝟏

𝟐 𝟐 𝟗

𝑎2 𝑏2 𝑐2 9 6 𝒂 𝟐𝟓 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝒚

𝟐𝟓 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐

ل ــذـنات ومركذز فذ نمطذة األصـذــــــــتنتمذ الذى محذور الس الذذي بإرتذا د معادلة المطع النذالص ـــــــــج /7 س

𝟐 وطذذول محذذور الكبذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغر ومطذذع المطذذع المكذذافئ عنذذد النمطذذة التذذ 𝟎 𝟖

(𝟐 )احداثها السن

المانون هو تنتم لمحور السنات البإرتان ∵ الحل/ ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

طول المحور الكبر ضعف طول المحور الصغر ∵

𝟐 𝟐(𝟐 ) 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

(𝟐 )المعطى نعوض لمة من المطع المكافئ

𝟐 𝟖 𝟎 𝟐 𝟖( 𝟐) 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟎 𝟒

تنتم للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فه تحمك معادلة المطع النالص النقطتان (𝟒 𝟐 ) (𝟒 𝟐 )

( 𝟐)𝟐

𝒂

𝟐

(𝟒)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟒

𝒂

𝟐 𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟒 𝟐

𝟒

𝟐 𝟏

𝟏𝟔 𝟐

𝟏

𝟐 𝟏

𝟏𝟔

𝟐

𝟏 𝟏𝟕

𝟐 𝟏𝟕

𝟐 𝟒 𝟐 𝟒(𝟏𝟕) 𝟐 𝟔𝟖

𝒙

𝟔𝟖

𝟐 𝒚

𝟏𝟕ادلةمع القطع الناقص) 𝟏 )

𝟐


88

𝟐 معادلته لطع نالص /8 س 𝟐 محوره نمطة االصل ومجموع مربع طول و مركز 𝟑𝟔

𝟐 واحد بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي معادلته (𝟔𝟎)ساوي ما لمة كل من 𝟑√𝟒

المعطىمن المطع المكافئ الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟑√𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟒√𝟑 𝒑 √𝟑 √𝟑( 𝟎 ( البؤرة

⇐ بإرتا المطع النالص √𝟑( 𝟎 √𝟑) ( 𝟎 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑 𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

𝒙𝟐

(𝟑𝟔

𝒉

)

𝒚

(𝟑𝟔

) 𝟏

𝟐

𝒂 𝟐 𝟑𝟔

𝒉 𝟐

𝟑𝟔

𝟔𝟎مجموع مربع طول محوره = ∵

(𝟐 )𝟐 (𝟐 )𝟐 𝟔𝟎 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟏𝟓 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟓 𝟐 𝟐 3 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟔 𝟐 𝟗

𝒂 𝟐𝟑𝟔

𝒉

𝟗

𝟑𝟔 𝟒

𝒃 𝟐𝟑𝟔

𝒌

𝟔

𝟑𝟔 𝟔

دى بإرتذه هذ بذإرة المطذع ـــذـل واحـذـــــــة االصـــــــذـنمط الذذي مركذز ص ــذـة المطذع النالــذـد معادلـــذـج /9 س

𝟐 المكافئ .وحدة (𝟑𝟔)ومجموع طول محوره 𝟐𝟒

المعطىمن المطع المكافئ الحل/

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐𝟒 𝐩 𝟔 𝟎( 𝟔 ( البؤرة

⇐ بإرتا المطع النالص 𝟎( 𝟔 𝟎) ( 𝟔 ) 𝟐 ⇐المانون 𝟑𝟔 𝒙

𝟐

𝟐 𝒚𝟐

𝒂 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝒂 𝒃 𝟏𝟖 𝒂 𝟏𝟖 𝒃

𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟏𝟖 )𝟐 𝟐 36 𝒃 𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 36

𝟑𝟐𝟒 𝟑𝟔 36 𝟑𝟔 288 𝐛 𝟖 𝟐 𝟔𝟒

𝒂 𝟏𝟖 𝒃 𝟏𝟖 𝟖 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝒚

𝟏𝟎𝟎 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐



89

تنتمذ للمطذع النذالص والنمطذة (𝟎 𝟒)𝟐 (𝟎 𝟒 )𝟏 الذذي بإرتذه جذد معادلذة المطذع النذالص /10 س

1د / 0142وزاري .وحدة (𝟐𝟒) ساوي 𝟐 𝟏 بحث أن محــــــط المثلث

الحل/

𝟏( 𝟒 𝟎) 𝟐(𝟒 𝟎)

𝟒 𝐂𝟐 𝟏𝟔

∵ النالص : وحدة وحسب تعرف المطع (𝟐𝟒)ساوي 𝟐 𝟏 محــــــط المثلث

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 (معادلة ① ) 𝟐𝟒

𝟏 𝟐 𝟐𝐂 𝟐(𝟒) ( المسافة بن البؤرتن) وحدة 𝟖

𝟏 𝟐 𝟐𝒂 (حسب تعرف القطع الناقص )

نحصل على ما ل : وبالتعوض ف (معادلة ① )

𝟐 𝟖 𝟐𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝟐 𝟔𝟒

𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟐 6 𝟐 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟒𝟖

⇐ بإرتا المطع النالص المانون (𝟎 𝟒) (𝟎 𝟒 ) 𝒙𝟐

𝒂 𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝒚

𝟒𝟖 ( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


90

أمثلة أضافة محلولة جد معادلة المطع النالص الذي : لكل مما ؤت/ مثال

ⓐ األصل نمطة ومركز ( 𝟏𝟎 وحدات) الكبر المحور وطول (𝟎 𝟑) (𝟎 𝟑 ) بإرتا

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟑 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔 𝟒

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦


2

ⓑ األصل نمطة ومركز ( 𝟖 وحدات) الصغر المحور وطول (𝟔 𝟎) (𝟔 𝟎) رأسا

𝟐 𝟖 𝟒 𝟔

𝒚

𝟑𝟔

𝟐 𝑥


2

ⓒ تساوي بإرته بن والمسافة الصغر محور طول بن والنسبة األصل نمطة ومركز (𝟒 𝟎) بإرته أحدى (𝟑

𝟒)

𝟐

𝟐 𝟑

𝟒 𝟒 𝟑 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝟐𝟓 𝟓

𝒚

𝟐𝟓

𝟐 𝑥

𝟗( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓓ ثم جد مساحته ومحطه (𝟎 𝟒 ) (𝟑 𝟎)ومر بالنمطتن األصل نمطة مركز

𝟒 𝟑 𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝑦


2



2 2 √

𝟏𝟔 𝟗

2 2 √

𝟐𝟓

2 (وحدة ) 𝟐√5


91

ⓔ 𝟖 𝟐نمطت تماطع المستمم ؤحدى مر بوأحد لطبه مركز نمطة األصل

( )ألجاد لم (𝟎 )ثم نجعل ( )جد لم نثم (𝟎 )ألجاد نمط التماطع نجعل الحل /

𝟎 𝒚 𝟖 (𝟎 𝟖 ) 𝒊𝒇 𝒚 𝟎 𝟐𝒙 𝟖 (𝟒 𝟎 )

𝟖 𝟒 𝒙

𝟐

𝟐 𝑦

𝟐( القانون ) 𝟏

2

𝒙

𝟏𝟔

𝟐 𝑦

𝟔𝟒( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓕ محذور وطذول (𝟏𝟎 وحدات)والبعذد الثابذت لذه السذنات محذور على نطبك الكبر ومحور األصل نمطة مركز

(𝟔 وحدات) الصغر

𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝟔 b 3𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦


2

ⓖ ومركز نمطة األصل والنسبة بن طول محوره تساوي (𝟑 𝟎)أحدى بإرته(𝟒

𝟓)

𝟑 𝟐

𝟐 𝟒𝟓 𝒃

𝟒𝟓

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 6

25

𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒂 𝟐𝟓𝟐 𝒂 𝟐𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝒂𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝒂 𝟐𝟓 𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟏𝟔

𝒚

𝟐𝟓

𝟐 𝑥


2

ⓗ المركزي واختالفه األصل نمطة ومركز (𝟎 𝟒) بإرته أحدى (𝟏

𝟐)

𝟒

𝟏

𝟐

4

𝑎 𝟖 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟔𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝒃 𝟒𝟖 𝟐

𝑥

𝟔𝟒

2 𝒚

𝟒𝟖( معادلة القطع الناقص) 𝟏

𝟐


92

ⓘ والنسبة بن طول محوره ( 𝟐𝟒)مركز نمطة األصل وبإرتا تنتمان لمحور السنات ومساحته(𝟑

𝟖)

𝟐𝟒 𝑎 24

( معادلة ) 𝑏

𝟐

𝟐 𝟑𝟖 3𝑎 8𝑏

8

𝟑

𝑏

24

𝑏 8

𝟑

𝑏 8𝑏 𝟕𝟐 2 𝑏 𝟗 2 𝟑 𝟖

𝑥

𝟔𝟒

2 𝒚


𝟐

ⓙ وأحدى بإرته ه بإرة المطذع المكذافئ الذذي اإلحداثنمركز نمطة األصل ومحورا نطبمان على المحورن

𝟐 ) معادلته وطول محور الكبر ضعف طول محور الصغر (𝟎 𝟏𝟐

: من المطع المكافئ الحل /

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 4p 2 p 3 ( 3 ( البورة

:المطع النالص من

𝟑 (𝟑 𝟎) (𝟑 𝟎)البإرتان المانون هو ⇐ ⇐ 𝒙

𝟐

𝟐 𝑦2

𝑎 𝟏

2

𝟐 𝑎 𝟐 𝟐 2 𝟐 ( ) 𝟐 𝟗 2 𝟒 𝟐 𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟗 𝟐 𝟑

𝑎 𝟒 𝟐 𝟒(𝟑) 2 𝑎 𝟏𝟐 2 𝒙

𝟑

𝟐 𝑦

𝟏𝟐( معادلة القطع الناقص) 𝟏

2

ⓚ (𝟔 وحدات)والمسافة بن بإرته (𝟑 𝟎)مر بالنمطة

𝟐 𝟔 c 3

b 3 ( ألنه يمر بالنقطة)

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝟗 𝟗 𝒂𝟐 𝟏𝟖 (توجد معادلتن للقطع الناقص)

𝒙𝟐

𝟗

𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏

𝟏𝟖

𝒙

𝟏𝟖

𝟐 𝑦

𝟗( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏

2


93

المركذزي والمحذط واالخذتالفالبذإرتن والرأسذن وإحذداثاتوالبعذد البذإري جذد طذول كذل مذن المحذورن / مثال

𝟐 𝟏𝟔المطع التالة والمساحة لمعادلة 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟏𝟔 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟓 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟏

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝑎 𝟐𝟓 2 𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝑎 𝟒 𝟐 b 𝑎 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 2 𝟑 c

𝟐 𝟐(𝟓) (𝟒)𝟐 𝟐 (المحور الكبر ) وحدة 𝟏𝟎 (المحور الصغر ) وحدة 𝟖

𝟐 𝟐(𝟑) (البعد البؤري) وحدة 𝟔

البؤرتان (𝟎 𝟑 ) (𝟎 𝟑) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)

االختالف المركزي 𝟓

𝟑



2 2 √

𝟐𝟓 𝟏𝟔

22 √

𝟒𝟏

2 (وحدة )

𝟐 لذذذذتكن / مثذذذذال 𝟐 والنسذذذذبة بذذذذن طذذذذول (𝟎 𝟑)معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتذذذذه 𝟒𝟎𝟎

محور الكبر ومحور الصغر 𝟒

𝟓 فجد لم كل من

انحم /

𝟐 𝟐 𝟒𝟎𝟎 ( 𝟒𝟎𝟎) 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟐

𝟒𝟎𝟎 𝟏

𝟐

(𝟒𝟎𝟎 )

𝟐

(𝟒𝟎𝟎 )

𝟏

البإرة تنتم لمحور السنات ∵

𝟑 المانون 𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝑎

𝟒𝟎𝟎

2

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

𝟐

𝟐 𝟒𝟓

𝟒𝟓 𝑏

𝟏𝟔 𝟐

𝟐𝟓 2

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟏𝟔

𝟐𝟓 𝟐 𝟗


94

𝟐𝟓 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝑏 𝟏𝟔 2

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟐𝟓 𝟏𝟔

𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟐𝟓

𝒙

𝟐𝟓

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2

والذذذذي كذذذون البعذذذد بذذذن بإرتذذذه مسذذذاوا للبعذذذد ( 𝟖𝟎)جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مسذذذاحته /مثذذذال

𝟐 )بن بإرة المطع المكافئ ودلله (𝟎 𝟐𝟒

من المطع المكافئ انحم /

𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟒 𝟐 𝟒

4p 24 p 6 2|p| 2

2 2 c 6 𝑐2 36

: المطع النالص من

𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝑎

(معادلة ) 2

𝑎 𝟐 𝟐 2 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎

2

𝑎 𝟑𝟔

2 𝟒 𝟑𝟔 𝑎 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎 2

(𝑎2 )( 𝑎2 ) 𝟎 64

either 𝑎2 𝟐 𝟔𝟒 𝑜𝑟 𝑎2 يهمم 64

𝒙𝟐

𝟏𝟎𝟎

𝑦2( معادلة القطع الناقص األولى ) 𝟏

𝟔𝟒

𝒙

𝟔𝟒

𝟐 𝑦

𝟏𝟎𝟎( معادلة القطع الناقص الثانة ) 𝟏

2


95

أذا كانت /مثال 𝟐

𝟑 𝟐 الذذي النذالص المطذع معادلذة جذد (𝟐 𝟏 ) بالنفطذة مذر دلله مكافئ لطع معادلة 𝟎

محوره بن النسبة طول ومربع ( 𝟎) بإرته أحد𝟑

𝟒

نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السن لذا فؤن معادلة الدلل له من المطع المكافئالحل /

( [ 𝟏] 𝟏 ألنه مع على المحور السن (

𝟐 (𝟑 𝟐) ( بانمقاروت مع) 𝟐 𝟒 (𝟑 𝟐) 𝟒 𝟑 𝟐 4 M 2

والمانون هو (𝟐 𝟎) (𝟐 𝟎)بإرتا :المطع النالص من 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟒 𝟐

𝟒 𝟐 𝟑

𝟒 𝟐

𝟑

𝟒 𝟐 𝟐 𝟒

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟐 𝟑

𝟒 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟐

𝒙

𝟏𝟐

𝟐 𝑦

𝟏𝟔( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2

ومذر خذالل (𝟎 𝟔√)𝟐 (𝟎 𝟔√ )𝟏 مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا جد معادلة المطع النذالص الذذي /مثال

𝟐 بإرة المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟏 𝟎

من المطع المكافئ الحل /

𝟐 ف الطرف األخر ( )ف طرف وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟏

بشكل مربع كامل ( )الى طرف معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود (𝟏)نضف

𝟐 𝟐 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝟏 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟐 (𝒚 𝟏) 𝟏𝟐( 𝟏) 𝟐

𝟐( )بانمماروت مع انمعادنت انماست نهمطع انمكافئ وحصم عه ( ) 𝟒

𝟏 𝟏 ( ) انرأس(𝟏 𝟏 )

𝟒 𝟏𝟐 𝟑 F(𝑝 ℎ 𝑘) 𝐹 𝟑 𝟏( ) 𝐹 𝟐( ( (تحقق معادنت انقطع انىاقص)

لص :من المطع النا

𝟐 المانون هو (𝟎 𝟔√) (𝟎 𝟔√ ) بإرت المطع النالص ∵ 𝟔 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏 ⇐

)𝟐انىمطت ( تحمك معادنت انمطع انىالص ألو مز با ) بؤرة انمطع انمكافئ (


96

𝟒

𝟐

𝟏

𝟐 𝟏

(× 𝟐 𝟐 ) 𝟒 𝟐 𝟐 ( معادلة ① ) 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟔

𝟒 𝟐 𝟐 𝟔 ( 𝟐 𝟔) 𝟐 𝟓 𝟐 𝟔 𝟒 𝟔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟎

(𝒃𝟐 )(𝟑 𝒃𝟐 ) 𝟎 𝟐

𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑏2 2 𝟐 𝟖 𝑜𝑟 𝑏2 يهمم 3

𝒙

𝟖

𝟐 𝑦

𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

2

ورن للمطذذذذذذع حذذذذذذالمجذذذذذذد أحذذذذذذداث البذذذذذذإرتن والرأسـذذذذذذـن والمطبذذذذذذن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن /مثذذذذذذال

𝟐 𝟒) النالص 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 ؟ eثم جد لمة (𝟎

:مربع كامل وكما ل ( )وحدود ( )نرتب المعادلة بحث تكون حدود انحم /

𝟒 𝟐 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 𝟒( 𝟐 𝟐 ) 𝟗( 𝟐 𝟒 ) 𝟒

بشكل مربع كامل ( )وحدود ( )حتى تكون حدود انىالصالى طرف معادلة المطع (𝟒𝟎)بإضافة

𝟒( 𝟐 𝟐 𝟏) 𝟗( 𝟐 𝟒 𝟒) 𝟒 𝟒𝟎 𝟒( 𝟏)𝟐 𝟗( 𝟐)𝟐 𝟑𝟔 ( 𝟑𝟔)

( 𝟏)𝟐

𝟗 ( 𝟐)𝟐

𝟒 معادلة القطع الناقص 𝟏

بانمماروت مع انمعادنت انماست نهمطع انىالص ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 وحصم عه 𝟏

𝟏 𝟐 ( ) مركز القطع الناقص (𝟐 𝟏)

𝟐 𝟗 𝟑 𝟐 𝟒 𝑎 b 2 𝟐 5 𝑐 √5

𝟐 𝟐(√ ) 5 2√ 5 وحدة انمسافت بي انبؤرتيه ) )

𝑦 𝑘 𝑦 𝑥 (معادنت انمحىرانكبير) 2 ℎ 𝑥 (معادنت انمحىرانصغير)

(ℎ ) 2(ℎ ) ( √ 2) 2( 5 √ 5 انبؤرتان (2

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان (2 2 )2 (2 4)

االختالف المركزي √

3 𝟏

5


97

المركذزي االخذتالفوممذدار جذد أحذداث البذإرتن والرأسذن والمطبذن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورن /مثال

ومحذور الكبذر ذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتذه تبعذد عذن (𝟒 𝟏)ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز

وحدة طول 10 ,2الرأسن بالبعدن

𝟐انفزق به انبعده 𝟐مجمع انبعده ∵انحم /

𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝟐𝐜 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝐜 𝟖 𝐜 𝟒

انمعادنت انماست نهمطع انىالص ⇐ محري انكبز اس محر انصاداث ∵ ( )𝟐

𝟐

( )𝟐

𝟐 𝟏

𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒃 𝟐 𝒂𝟐 𝒄 𝟐 𝒃 𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟎 𝟏 𝟒

( 𝟏)𝟐

𝟐𝟎 ( 𝟒)𝟐

𝟑𝟔دلةمعا القطع الناقص 𝟏

𝟐 𝟐( ) 4 8 وحدة انمسافت بي انبؤرتيه ) )

𝑥 ℎ 𝑥 𝑦 (معادنت انمحىرانكبير) 𝑘 𝑦 (معادنت انمحىرانصغير) 4

(ℎ ) 2(ℎ ) انبؤرتان (8 )2 ( )

(ℎ ) 2(ℎ ) انرأسان ( )2 (2 )

االختالف المركزي 𝟔

4

𝟑 𝟏

2

******************************************************************

للمطذوعواالخذتالف المركذزي المحذورن مذن كذل ومعادلذة طذول و والمطبذن والرأسذن البذإرتن أحداث جد : 1س

التالة :النالصة

( ) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐𝟐𝟓

( ) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟏𝟔

( ) 𝟏𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟑𝟎𝟎

:ة المطع المكافئ الذي معادلبؤستخدام التعرف جد : 2س

.ومركز نمطة االصل (𝟎 𝟔 )ورأسا النمطتان (𝟎 𝟑 )بإرتا النمطتان ) أ ( ه ـــــــــــــــــأحد بؤرت تبعد عه انزأس ومركز نمطة االصلبإرتا تمعان على محور السنات ) ب (

. حدة طل 8 ,2بانبعده


98

) الرأس ف نمطة األصل ( : لمطع الزائد:ا

تسذمى تكون الممة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتن ثذابتتن الت ( ) تويــالمس نماط ةـــمجموع هو

( 𝟐) ) البإرتن ( ساوي عددا ثابتا لمته

ومركز نمطة األصل xis)a-(xمعادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمان لمحور السنات

| 𝟏 𝟐| ( حسب تعرف القطع الزائد) 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐

√(𝒙 𝒄)𝟐 (𝒚 𝟎)𝟐 √( )𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟐

√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚

√(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚𝟐 𝟐 √( )𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن ) 𝟐

(𝒙 𝒄)𝟐 𝒚 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝟐 𝒚 𝒚

(𝒙 𝒄) 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 ( )𝟐 𝒚

𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒚

𝟒 √( )𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 ( 𝟒) 𝒚

√( )𝟐 𝟐 𝟐 𝒚 (بتربـــــــع الطرفن )

𝟐( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐) 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐

𝟐( 𝟐 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐( 𝟐 𝟐 حث 𝟎 ] (𝟐 𝟐 [نفرض 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( 𝟐 𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐( معادلة القطع الناقص ) 𝟏

والمعادلة (𝟎 ) (𝟎 )وبإرتا ه (𝟎 ) (𝟎 )هما دئـزارأسا المطع ال ⦁ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

الذي بإرتا تنتمان لمحور الصادات وه زائدبنفس األسلوب مكننا أجاد معادلة المطع ال ⦁ 𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 حث أن 𝟏

( 𝟎) ( 𝟎)وبإرتا ه ( 𝟎) ( 𝟎)هما زائد رأسا المطع ال


99

مالحظات :

(𝟎 )حث أن ( ) ( )دائما ①

𝟐 حممطول المحور ال ②

𝟐 المرافكطول المحور ③

𝟐البعد بن البإرتن ④

)االختالف المركزي ⑤

(𝟏 )حث الحظ أنه كون (

𝟐 دائما كون ⑥ 𝟐 𝟐

( )وتمثل لمة س المطع الزائدأر تمثلمر بها المطع الزائد على احد المحورن و تمع تال ةالنمط ⑦ (منتصف المطر البإري تسمى المسافة بن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتم للمطع ) ⑧

عن البإرتن والرأسن وطول كل من المحورن الحمم والمرافك للمطع الزائد (/61مثال ) 𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟑𝟔 𝟏

الحل/

𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟖 𝟐𝒂 طىل انمحىر انحقيقي وحدة 𝟏𝟔

𝟐 𝟑𝟔 𝒃 𝟔 𝟐𝒃 طىل انمحىر انمرافق وحدة 𝟏𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝒄 𝟏𝟎

𝐕𝟏(𝟖 𝟎) 𝐕𝟐( 𝟖 𝟎) رأسا انقطع انزائد

𝑷𝟏(𝟎 𝟔) 𝑷𝟐(𝟎 𝟔) قطبا انقطع انزائد

𝐅𝟏(𝟏𝟎 𝟎) 𝐅𝟐( 𝟏𝟎 𝟎) بؤرتا انقطع انزائد


100

𝟔جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمم (/17مثال ) ـتالف وحدات واالخ والبإرتان على محور السنات (𝟐)المركزي ساوي

الحل/

𝟐 𝟔 𝒂 𝟑 𝒂𝟐 𝟗

𝟐

𝟑 𝒄 (𝟐)(𝟑) 𝐜 𝟔 𝒄𝟐 𝟑𝟔

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟗 𝟐 𝟐𝟕

𝟐

𝟗 𝟐

𝟐𝟕 معادلة القطع الزائد 𝟏

ـما هــــبإرتا ووحدات (𝟒)وطول محور المرافك جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل (/18مثال )

(𝟖√ 𝟎)𝟐 (𝟖√ 𝟎)𝟏 النمطتان

تنتم لمحور الصاداتالبإرتان ∵ الحل/

المعادلة الماسة للمطع الزائد ه 𝒚𝟐

𝒂 𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟒 𝟐 𝒃 𝟒 𝟐

√𝟖 𝒄 𝟖 𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒 𝟐 𝟒

𝟐

𝟒 𝟐

𝟒 معادلة القطع الزائـد 𝟏

أعال نالحظ أن طول المحور الحمم مساو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع (18)المثال ف

( ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفه كون ضالع بالمطع الزائد المائم او متساوي األالزائدة دعى )

. ( 𝟐√)ممدار ثابت لمته ( )المركزي االختالف


101

(𝟐 تمارين(𝟑

االتت : شائدةنهمطع انعن كل من البإرتن والرأسن ثم جد طول كل من المحورن واألختالف المركزي /1 س

ⓐ 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒𝟖

(𝟒𝟖)ومسم طزف انمعادنت عه /الحل

𝟐

𝟒 𝟐

𝟏𝟐 𝟏

𝑎 𝟒 2 𝑎 2 2𝑎 وحدة 4 طىل انمحىر انحقيقي

𝑏 𝟏𝟐 2 b 𝟐√𝟑 2𝑏 √𝟑4 وحدة طىل انمحىر انمرافق

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝒄 𝟐 𝟏𝟔 𝟒

البؤرتان (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟐 )𝟐 (𝟎 𝟐)𝟏

𝟒

𝟐 االختالف المركزي 𝟏 𝟐

ⓑ 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒

(𝟏𝟒𝟒)ومسم طزف انمعادنت عه الحل/

𝟐

𝟗 𝟐

𝟏𝟔 𝟏

𝑎 9 2 𝑎 3 2𝑎 وحدة 6 طىل انمحىر انحقيقي

𝑏 𝟏𝟔 2 b 𝟒 2𝑏 وحدة 8 حىرانم انمرافق طىل

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄 𝟐 𝟗 𝟏𝟔 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟓

البؤرتان (𝟎 𝟓 )𝟐 (𝟎 𝟓) 𝟏 الرأسان (𝟎 𝟑 )𝟐 (𝟎 𝟑)𝟏

𝟓

𝟑 االختالف المركزي 𝟏


102

الحاالت التالة ثم ارسم المطع : معادلة المطع الزائد ف أكتب /2 س

ⓐ ومركز ف نمطة االصل 𝟑 وتماطع مع محور السنات عند (𝟎 𝟓 )البإرتان هما النمطتان.

الحل/

⇐ بإرتا المطع الزائد ∵ المانون 𝟓 ( 5) 2 ( 5 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟑 المطع الزائد تماطع مع محور السنات عند ∵

𝟐 ( 3) ( 3 )الراسان ∴ 𝟗 ⇐

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝐲

𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐


103

ⓑ وحذذذذدات ونطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى (𝟏𝟎)وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك (𝟏𝟐)طذذذذول محذذذذور الحممذذذذ

.المحورن االحداثن ومركز نمطة االصل

الحل/

𝟐 𝟏𝟐 𝒂 𝟔 𝒂𝟐 𝟑𝟔

𝟐 𝟏𝟎 𝒃 𝟓 𝒃𝟐 𝟐𝟓

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 25 36 𝑪𝟐 𝟔𝟏

-: د وهما ـــــــن للمطع الزائـــــــان حالتــــهن ∴

عندما وازي محور السنات عندما وازي محور الصادات

𝑭𝟏(𝟎 √𝟔𝟏 ) 𝑭𝟐(𝟎 √𝟔𝟏) الرأسان

𝑽𝟏(𝟎 𝟔) 𝑽𝟐(𝟎 𝟔) البؤرتان

𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟐𝟓 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝑭𝟏(√𝟔𝟏 𝟎) 𝑭𝟐( √𝟔𝟏 𝟎) الرأسان

𝑽𝟏(𝟔 𝟎) 𝑭𝑽𝟐( 𝟔 𝟎) البؤرتان

𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟐𝟓 معادلة القطع الزائد 𝟏

ⓒ وحذدة واختالفذه المركذزي (𝟐√𝟐)مركز نمطة االصل وبإرتذا علذى محذور الصذادات وطذول محذور المرافذك

(𝟑)ساوي

المانون ⇐ بإرتا المطع الزائد تنتم لمحور الصادات ∵ الحل/ 𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟐√𝟐 𝒃 √𝟐 𝒃𝟐 𝟐

𝟑 𝒄 𝟑𝒂

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟗𝒂 𝟐 𝒂𝟐 𝟐

𝟖𝒂 𝟐 𝟐 𝒂𝟐 𝟏

𝟒 𝑪𝟐

𝟗

𝟒

(𝟎 ) 𝟎 𝟑

𝟐 𝟎

𝟑

𝟐 البؤرتان

(𝟎 ) 𝟎 𝟏

𝟐 𝟎

𝟏

𝟐 الراسان

𝐲

(

𝟐

𝟏)

𝟒

𝒙

𝟐( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐

2د / 2013 /وزاري


104

ونطبذك (𝟎 𝟐√𝟐)(𝟎 𝟐√𝟐 )جد باستخدام تعرف المطع الزائد الذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتذه /3 س

وحدات (𝟒)حداثن والممة المطلمة للفرق بن بعدي اة نمطة عن بإرته ساوي محورا على المحورن اال

الحل/

𝟐 𝟒 𝒂 𝟐

للمطع الزائد ( ) نفرض ان النمطة

| 𝟏 𝟐| (من تعرف القطع الزائد) 𝟐

𝟏 𝟐 𝟐

√( 𝟐√𝟐)𝟐 ( 𝟎)𝟐 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 ( 𝟎)𝟐 𝟒

√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟒 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐

( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )

𝟐 𝟐 ( 𝟐√𝟐)

𝟐 𝟐

𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟖 √( 𝟐√𝟐 )𝟐 𝟐 𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐

𝟖√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟖√𝟐 ( 𝟖)

√( 𝟐√𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 ( بتربع الطرفن وفك األقواس) 𝟐√

𝟐 𝟒√𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟒√𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐 𝟒 ] ( 𝟒) 𝑥2

4 𝑦2

4 معادلة القطع الزائد


105

وحدات واحدى بإرته ه بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة (𝟔)محور الحمم طول لطع زائد /4 س

. جد معادلت المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)االصل ومر بالنمطتن

1د / 2014وزاري 3د / 2013وزاري . الزائد الذي مركز نمطة االصل

:من المطع المكافئ الحل/

تنتم للمحور السنن لذا فالبإرة ــمتناظرة مع المحور الس (𝟓√𝟐 𝟏)(𝟓√𝟐 𝟏)النمطتان ∵

𝟐 )والمانون 𝟒 )

تحمك معادلة المطع المكافئ ) ألنه مر بها ( (𝟓√𝟐 𝟏)النمطة ∴

𝟐𝟎 𝟒 (𝟏) 𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 ( البؤرة 𝟎 𝟓)

𝟐 ( معادلة القطع المكافئ ) 𝟐𝟎

:الزائدالمطع ف

𝟐 𝟔 𝟑 𝒂 𝟗 𝟐

⇐بإرتا المطع الزائد ∵ ( 𝟓 𝟎)(𝟓 𝟎) 𝟐 ⇐المانون 𝟐𝟓 𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒃 𝟏𝟔 𝟐

𝒙

𝟗

𝟐 𝐲

𝟏𝟔( معادلة القطع الزائد) 𝟏

𝟐

𝟐 ومعادلتذه ل ـــــــــذـمركذز نمطذة االصلطذع زائذد /5 س 𝟐 (𝟐√𝟔)وطذول محذور الحممذ 𝟗𝟎

𝟐 𝟗ه ـوحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرت المطذع النذالص الذذي معادلتذ 𝟏𝟔 𝟐 ة كذل ـــــذـد لمــذـج 𝟓𝟕𝟔

الت تنتم الى مجموعة االعداد الحممة من

: نالصمن المطع ال الحل/

𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟓𝟕𝟔 ] ( 𝟓𝟕𝟔) 𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟑𝟔 𝟏

𝟐 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟐𝟖 𝟐√𝟕

( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 )بإرتا المطع النالص : زائدالمطع ال من

⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟕√𝟐 ( 𝟕√𝟐) ( 𝟕√𝟐 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟖 𝟏𝟖 𝟐 𝟏𝟎 𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟏𝟎 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝟐 𝟐 𝟗𝟎 𝟐

(𝟗𝟎 )

𝟐

(𝟗𝟎 ) 𝟏

𝟐 𝟗𝟎

𝟗𝟎

𝟐 𝟗𝟎

𝟏𝟖 𝟓

𝟐 𝟗𝟎

𝟗𝟎

𝟏𝟎 𝟗



106

د راسذذه بعذذد عذذن البذذإرتن ـــذذـاذا علمذذت ان اح لـــــذذـاكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص /6 س

3د / 2012وزاري . نبك محورا على المحورن االحداثوحدات على الترتب ونط 𝟗 𝟏 بالعددن

الحل/

𝟐 𝟏 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 𝒄 𝟓 𝒄𝟐 𝟐𝟓

𝟓 𝟏 𝒂 𝟒 𝒂𝟐 𝟏𝟔

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃 𝟐 𝒄𝟐 𝒂 𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒃 𝟗 𝟐

الن لمعادلة المطع الزائد ـــــــــــــهنان أحتم ∴

𝟐

𝟏𝟔 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد سنة 𝟏

𝟐

𝟏𝟔 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد صادة 𝟏

𝟐 جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته /7 س 𝟑 𝟐 والنسبة 𝟏𝟐

بن طول محوره 𝟓

𝟑 3د / 2013وزاري . ومركز نمطة االصل

: زائدمن المطع ال الحل/

𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 ] ( 𝟏𝟐) 𝟐

𝟏𝟐

𝟐

𝟒 𝟏

𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝟐 𝟏𝟔 𝟒

( 𝟒) ( 𝟒 ) زائدبإرتا المطع ال ∴

:لنالص المطع ا من

⇐ نالصبإرتا المطع ال المانون 𝟒 ( 𝟒) ( 𝟒 ) ⇐𝒙𝟐

𝒂

𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐

𝟐

𝟓

𝟑

𝒂

𝟐

𝟐𝟓

𝟗

𝟐

𝟐 𝟐𝟓 𝟐

𝟗

𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝟐 𝟏𝟔

( 𝟗) 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟐 𝟗

2 25 2

9

25 (9)

9 2 25

2

25 2

9 معادلة القطع الناقص


107

𝟐 تنتم الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته ( 𝟔) النمطة /8 س 𝟑 𝟐 جد كال من: 𝟏𝟐

ب. طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم ف الجهة المنى من النمطة لمة . أ

تنتم الى المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∵ )أ( الحل/

𝟐 )تحمك معادلة المطع الزائد ( 𝟔) النمطة ∴ 𝟑 𝟐 𝟏𝟐)

(𝟔)𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟑 𝟐 24 𝟑 𝟐 𝟐 𝟖 L 2√ 2

𝟏(𝟔 𝟐√𝟐) 𝟐(𝟔 𝟐√𝟐)

: زائدمن المطع ال )ب(

𝟐 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟐

𝟏𝟐 𝟐

𝟒 𝟏 𝟐 𝟐𝟏𝟐 𝟒

𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝒄 𝟏𝟔𝟐 احداث البؤرة االمن (𝟎 𝟒)

𝟏 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 (𝟐√𝟐 𝟎)𝟐

√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐

𝟐 𝟏 √( 𝟐 𝟏)𝟐 ( 𝟐 𝟏)

𝟐 √(𝟔 𝟒)𝟐 ( 𝟐√𝟐 𝟎)𝟐

√𝟒 𝟖 √𝟏𝟐 (وحدة طول) 𝟑√𝟐

1د / 5201وزاري 2د / 4201وزاري 1د / 2011وزاري

ه ـالذذذذذي معادلتذذذذالنذذذذالص المطذذذذع ا بذذذذإرتــــذذذذـالذذذذذي بإرتذذذذا همالزائذذذذد جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع /9 س 𝟐

𝟗

𝟐

𝟐𝟓 𝟏

𝟐 ومس دلل المطع المكافئ 𝟏𝟐 𝟎


𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟏𝟐 𝟐 𝟒

𝟒 𝟏𝟐 𝐩 𝟑

𝐲 𝟑 ( معادلة الدلل )

: نالصمن المطع ال

𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟏𝟔 𝟐 𝟒

(𝟎 𝟒 ( البؤرتان (𝟒 𝟎)

:زائدالمطع المن

وه راس المطع الزائد (𝟑 𝟎)دلل المطع المكافئ مطع المحور الصادي عند النمطة ∵

𝟑 𝟐 𝟗

⇐ بإرتا المطع الزائد (𝟎 𝟒 المانون 𝟒 ( (𝟒 𝟎) ⇐𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟕 𝟐

𝟗 𝟐

𝟕دالزائ 𝟏 معادلة القطع


108

أمثلة أضافة محلولة

وطذذول المحذذور ادات ـــذذـوالبإرتذذان علذذى محذذور الصل ــــذذـجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االص/ مثذذال

𝟏𝟔الحمم له والنسبة بن المسافة بن بإرته وطول محور الحمم 𝟓

𝟒

الحل/

𝟐 𝟏𝟔 𝒂 𝟖 𝒂𝟐 𝟔𝟒

𝟐

𝟐 𝟓

𝟒

𝒄

𝟖 𝟓

𝟒 𝐜 𝟏𝟎 𝒄𝟐 𝟏𝟎𝟎

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐 𝟑𝟔 𝟐

𝟔𝟒 𝟐

𝟑𝟔 معادلة القطع الزائد 𝟏

𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرته بإرة المطع المكافئ / مثال وطول محور المرافك 𝟐𝟎

ساوي البعد بن بإرت المطع النالص 𝟐

𝟗

𝟐

𝟏𝟔 𝟏


𝟐 ( بانمقاروت مع) 𝟐𝟎 𝟐 𝟒

𝟒 𝟐𝟎 𝐩 𝟓 𝟎( 𝟓 ( البؤرة

: نالصمن المطع ال

𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟗 𝟐 𝟐 𝒄 𝟐 𝒄 𝟕 𝟐 √𝟕 البعد البؤري 𝟕√𝟐 𝟐

: زائدالمطع ال من

𝟐 طول المحور المرافق 𝟕√𝟐 √𝟕 𝟐 𝟕

⇐ بإرتا المطع الزائد 𝟎( 𝟓 𝟎) ( المانون 𝟓 ( 𝟓 ⇐𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟕 𝟐 𝟏𝟖 𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟕لزائدا 𝟏 معادلة القطع


109

(𝟔 𝟑) (𝟐√𝟑 𝟎)جد معادلة المطع الزائد الذي مر بالنمطتن / مثال

الحل/

لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولمذذذذذذذذة (𝟐√𝟑 𝟎)مذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ∵

والمانون هو (𝟐√𝟑 )𝒚𝟐

𝒂

𝟐

𝒙

𝟐 𝟏

𝟐

تنتم للمطع الزائد لذا فه تحمك معادلته النقطة (𝟔 𝟑)

( 𝟔)𝟐

𝟑√𝟐( )

𝟐

(𝟑)

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐

𝟏 𝟑𝟔

𝟏𝟖

𝟗 𝟐

𝟐 𝟏

𝟗 𝟐

𝟏 𝟗

𝟐 𝟗

𝒚𝟐

𝟏𝟖

𝒙𝟗لةمعاد القطع الزائد) 𝟏 )

𝟐

ا المطذذع النذذالص ـــــــــذذـبإرتذذا رأسجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي /مثذذال 𝒙

𝟏𝟎𝟎

𝟐 𝒚

𝟔𝟒ور ــــذذـوطذذول مح 𝟏

𝟐

وحدة (𝟏𝟐)الحمم

: نالصمن المطع ال /الحل

𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒 𝒂 𝟏𝟎 راسا القطع الناقص (𝟎 𝟏𝟎) (𝟎 𝟏𝟎 )

: زائدالمطع ال من

⇐ بإرتا المطع الزائد المانون 𝟏𝟎 ( ) ( ) ⇐𝒙𝟐

𝒂 𝟐

𝒚

𝟐 𝟏

𝟐

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔

𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒 𝟐

𝟑𝟔 𝟐

𝟔𝟒ئدالزا 𝟏 معادلة القطع


110

ل محذذور تنتمذذ لمحذذور الصذذادات وطذذوجذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذ نمطذذة االصذذل و بإرتذذا : 1س

𝟐 )البعذد بذن بذإرة المطذع المكذافئ المرافك سذاوي ودللذه وطذول محذور الحممذ ثالثذة امثذال طذول ( 𝟏𝟐

محور المرافك

الذذذذي جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 2س

𝟗𝒚)معادلته 𝟏𝟔𝟐 𝒙 ( وحدة طول (𝟏𝟔)ومجموع طول المطع النالص 𝟏𝟒𝟒𝟐

لطعذذذان مخروطذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا مذذذر ببذذذإرة االخذذذر . فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة : 3س

𝟐 )احدهما 𝟐 فجد معادلة االخر (𝟑

وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور (𝟏 𝟑)( 𝟏 𝟑)الذذذذذذذذذي مذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتن جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص : 4س

وحدة (𝟐𝟓)الكبر ساوي

الذي معادلته بإرة المطع النالص و أحدى بإرتا هجد معادلة المطع الزائد الذي مركز ف نمطة االصل : 5س

𝒙

𝟑𝟔

𝟐 𝒚

𝟐𝟎𝟐 وأحد رأسه ه بإرة المطع المكافئ 𝟏 𝟖 𝟎

𝟐

الذذذذي جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذ نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذ بذذذإرت المطذذذع الزائذذذد : 6س

𝟖𝒚)معادلته 𝟐 𝒙 𝟐 )ومس دلل المطع المكافئ 𝟑𝟐𝟐 𝟏𝟔 𝟎) )

𝒚)لذذذذذذذذتكن : 7س 𝟐 𝒙 لص معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذا 𝟑𝟐 )

فجد لمة (𝟔√ 𝟎)والذي احد بإرته (𝟐 𝟏 )الذي مر بالنمطة

𝟓𝒚)لذذذذذتكن: 8س 𝟒𝟐 𝒙 الذذذذذذي معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتذذذذذه هذذذذذ بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ 𝟐 )

𝟐 𝟓√ 𝟒)معادلته فجد لمة (𝟎

) لذذذذذذذتكن: 9س 𝒙 𝟐 𝑵𝒚 معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتذذذذذذذه هذذذذذذذ بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص 𝟗𝟎𝟐 )

𝟐 𝟗)الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه 𝟏𝟔𝒚 𝟐√𝟔 وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحممذذذذذذذذذذذ (𝟓𝟕𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لمذذذذذذذذذذذة 𝟐

𝟓𝒚)لذذذذذذذذتكن : 10س 𝟒𝟐 𝒙 معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتذذذذذذذذه هذذذذذذذذ بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع 𝟐 )

𝟐 𝟓 𝟒)الذي معادلته المكافئ فجد لمة (𝟎


111

حلول التمارن العامة الخاصة بالفصل الثان

3د / 2014وزاري ل ولطع زائد نمطة تماطع محوره نمطة األصذل أحذدهما مذر ببذإرة األخذر ـــــــلطع نالص مركز نمطة األص / 3س

𝟐 𝟗فؤذا كانت 𝟐𝟓 𝟐 :معادلة المطع النالص فجد 𝟐𝟐𝟓 مساحة المطع النالص . )ب( محط المطع النالص .)أ(

)ج( معادلة المطع الزائد ثم أرسمه . )د( األختالف المركزي لكل منهما . )أ( /الحل

𝟗 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟐𝟓 ( 225)

𝟐

𝟐𝟓 𝟐

𝟗 𝟏

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑

𝒂𝒃 (𝟓)(𝟑) 𝟏𝟓 𝝅 وحدة مربعة

)ب(

المحط 𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐

𝟐 𝟐𝝅√

𝟐𝟓 𝟗

𝟐 𝟐 𝝅√

𝟑𝟒

𝟐 وحدة 𝟏𝟕√ 𝟐

من المطع النالص :)ج(

𝟐 𝟐𝟓 𝟓 𝟐 𝟗 𝟑

𝟐 𝒃 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟏𝟔 𝐜 𝟒

البؤرتان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒) الرأسان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓)

: من المطع الزائد

المطع الزائد مر ببإرة المطع النالص

البؤرتان (𝟎 𝟓 ) (𝟎 𝟓) الرأسان (𝟎 𝟒 ) (𝟎 𝟒)


112

𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟗

𝟐

𝟏𝟔

𝟐

𝟗معادنت انقطع انزائد 𝟏

)د(

𝟒

𝟓 األختالف المركزي للقطع الناقص 𝟏

𝟓

𝟒 األختالف المركزي للقطع الزائد 𝟏


113

3د / 2015وزاري 2د / 2011وزاري

احة ـــذذـنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـــذذـبإرتذذا تنتمذان لمحذذور الس الذذذينذذالص المطذذع ة الجذد معـــــذذـادل / 4س

.وحدة 𝟏𝟎وحدة مربعة ومحطه ساوي 𝟕منطمته

/الحل

𝒂𝒃 𝟕 𝝅 𝒃 𝟕

𝒂 ( معادلة ① )

𝒑 𝟐𝝅√ 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟎𝝅 𝟐𝝅√

𝟐 𝟐

𝟐

( 𝟐 ) 𝟓 √

𝟐 𝟐

𝟐 ( معادلة ② )

نحصل على : ②ف المعادلة ①بتعوض المعادلة

𝟓√

𝟐

𝟕 𝟐

𝟐

𝒂 𝟓

√ 𝟐

𝟒𝟗𝒂𝟐

𝟐( تربيع الطرفين )

𝟐𝟓 𝟐

𝟒𝟗𝒂𝟐

𝟐 𝟓𝟎 𝟐

𝟒𝟗

𝒂𝟐

( نضرب طرف المعادلة ب 𝟐 ) 𝟓𝟎 𝟐 𝟒 𝟒𝟗

𝟒 𝟓𝟎 𝟐 𝟎 ( 𝟐 𝟒𝟗)( 𝟐 𝟏) 𝟎 𝟒𝟗

𝟐 𝟒𝟗 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟕 𝟒𝟗

𝒃 𝟕

𝒂 𝟏 𝟐 𝟏 𝟕

𝟕

𝟐

𝟒𝟗

𝟐

𝟏معادنت انقطع انىاقص 𝟏

𝟐 𝟏 𝟎 𝟐 ( نعوض ف معادلة ① ) 𝟏 𝟏

𝒃 𝟕

𝒂 𝟕 همل 𝟕

𝟏

.ف المطع النالص ( )ر من لمة كبأجب أن تكون ( )ألن لمة


114

حلول األسئلة الوزارة الخاصة بالفصل الثان

1/د98سإال وزاري

𝟐 لطع زائد معادلته 𝟐 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرت المطذع 𝟐√𝟔وطول محور الحمم 𝟗𝟎

𝟐 𝟗النالص الذي معادلته 𝟏𝟔 𝟐 .k ,hجد لمة 𝟓𝟕𝟔

الحل:

: الناقصف القطع

[9 2 6 2 576] 576

2

2

2 64 2 36

2 2 2 64 36 2

2 28 2√7

( 7√2 ) ( 7√2) البؤرتان

( 7√2 ) ( 7√2) الزائد : البؤرتان ف القطع

c 2√7 2 6√2 3√2

2 2 2 8 2 28 2

ℎ 2 2 9 ] 9 2

9 ℎ

2

9

2

8

8ℎ 9 ℎ 5

2

9 9


115


)النمطة 𝟏

𝟑تنتم إلى المطع المكافئ الذي رأسه ف نمطة األصل وبإرته تنتم إلى محور السنات والت هذ (𝟐

النسبة بن طول محوره , احدى بإرت المطع النالص𝟓

𝟒 جد معادلة كل من المطعن المكافئ والنالص. ,

الحل:

2 : المكافئ 4 (2)2 4 (

) 4

البؤرة ( 3) 3

2 4(3) 2 2

3 ⇐ الناقص البؤرتان هما ( 3 ) ( 3)

2

2 5

4 4 5

5

4

2 2 2 25 2

6 2 9 ] ( 6)

25 2 6 2 44 9 2 44

2 6 4

5( )

5

معادلة القطع الناقص 2

25

2


𝟐 جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرت المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟑 𝟐 والنسذبة بذن 𝟏𝟐

طول محورة 𝟓

𝟑

الحل:

2 الزائد: ف المطع 3 2 2( 2)

2

2

2

2 2 2 4

2 2 2 2 2 4 2 6 4

( 4) ( 4 ) البؤرتان

4 ⇐ البؤرتان ( 4) ( 4 )الناقص: ف القطع

2

2

5

3 5

5

( )

2 2 2 25 2

2 6 25 2 9 2 44

6 2 44 2 9 3 5( )

5

قصمعادلة القطع النا 2

25

2


116


𝟐 𝟑جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرت المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟓 𝟐 𝟏𝟐𝟎

النسبة بن طول محور الحمم والبعد بن بإرته تساوي و𝟏

𝟐

الحل:

2 3 النالص: ف المطع 5 2 2 ( 2 )

2

2

2 2 4 2 24

2 2 2 2 4 24 2 6 4

( 4) ( 4 ) البؤرتان

4 ⇐ ( 4) ( 4 )الزائد: البؤرتان ف القطع

2

2

2

4

2 2 4 2

2 2 2 4 2 6 2 2

2

2



𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذن المكذافئن: 𝟐𝟎 𝟐 والفذرق بذن 𝟐𝟎

وحدة. 2طول محوره الحمم والمرافك =

الحل:

2 المكافئ:ف المطع 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5 ) البؤرة ( 5)

5 ⇐( 5,0-( , )5,0البؤرتان ) :ف المطع الزائد

2 2 2 ( 2)

2 2 2 ( )2 2 25 2 2 2 25

2 2 2 24 ( 2) 2 2

( 4)( 3)

4 همل 4

3 3

3 4

2

6

2

9


117


( 8جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذنات والمسذافة بذن بإرتذه تسذاو )

وحدة. 16وحدات ومجموع طول محوره

4 8 2 الحل:

2 2 6 8 8

2 2 2 (8 )2 2 6 64 6 2 2 6

6 48 3 8 3 5

2

25

2

معادلة القطع الناقص


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟗 𝟐 والنسذبة بذن طذول محذور الحممذ 𝟑𝟔

إلى البعد بن بإرته = 𝟏

𝟐

الحل:

النالص ف المطع 2

2

2 36 6

الرأسان ( 6) ( 6 )

البؤرتان ( 6) ( 6 ) c ⇐ ف القطع الزائد 6

2

2

2

2 2 6 3

2 2 2 9 2 36 2 27

2

2



𝟐 لطع نالص معادلته 𝟒 𝟐 جد طول كل من محوره وأحداث كل من بإرته ورأسه. 𝟒

الحل:

2 4 2 4( )

2

2

2 4 2

2

2 2(2) طول المحور الكبر 4

2 2( ) طول المحور الصغر 2

الرأسان ( 2) ( 2 )

2 2 2 4 2

2 3 √3

البؤرتان ( 3√) ( 3√ )


118

1/ د2004سإال وزاري

( 5,0-( واحد بإرته )3,0معادلة المطع المخروط الذي محورا محوري االحداثات والذي احد رإوسه )جد

الحل:

3 5

2 2 2 9 2 25 2 ( ألن ) القطع الزائد 6

2

2

معادلة القطع الزائد


لطع زائد ولطع نالص احدهما مر ببإرت اآلخر. جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص ه 𝟐

𝟐𝟓

𝟐

𝟗 علما أن محورهما على محوري االحداثات. 𝟏

الحل:

2 النالص: ف المطع 25 5 الرأسان ( 5) ( 5 )

2 9 2 2 2

25 9 2 2 البؤرتان ( 4) ( 4 ) 4 6

4 ⇐ لزائدا الرأسان ( 4) ( 4 ) ف القطع

5 ⇐ البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 2 2 6 2 25 2 9

2

2



( ثم جد معادلة دلله.3,6( , )3,6-جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )

الحل:

القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى القطع متناظر حول محور الصادات

2 4 (3)2 4 (6) 9 24

2 4 (

) 2

2 معادلة القطع المكافئ

معادلة الدلل

2/ د2006سإال وزاري

( ثم جد معادلة دللة.1,3( , )3-,1جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل ومر بالنمطتن )

الحل:

القطع من النوع السن وفتحة القطع إلى المن. القطع متناظر حول محور السنات

2 4

(3)2 4 ( ) 9 4

2 4 9

4 2 معادلة القطع المكافئ 9

معادلة الدلل


119


المطذذع الزائذذد ( وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا8جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذن بإرتذذه ) 𝟐

𝟏𝟔

𝟐

𝟗 𝟏 .

الحل:

الزائدف المطع 2

2

2 6 2 9

2 2 2 6 9 2 2 25 5

البؤرتان ( 5) ( 5 )

4 ⇐ ف القطع الناقص 8 2

5 ⇐ الرأسان هما ( 5) ( 5 )

2 2 2 25 2 6 2 25 6 2 9

2

25

2



𝟐 لتكن 𝟐 𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرته بإرة المطع المكافئ 𝟑 .hجد لمة 𝟖

الحل:

8 4 المكافئ:ف المطع البؤرة ( 2) 2

c 2 ⇐ البؤرتان ( 2) ( 2 ) ف القطع الزائد

2 ℎ 2 3

2

3 2

3ℎ

2 3 2 3

ℎ

2 2 2 3

4

ℎ 3


جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟐

𝟒𝟏

𝟐

𝟏𝟔 ( وحدات.8وطول محور المرافك ) 𝟏

الحل:

2 النالص: ف المطع 4 2 6 2 2 2 2 4 6

2 25 5

البؤرتان ( 5) ( 5 )

5 ⇐ ف القطع الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4 2 2 2 2 6 25

2 9

2

2



120


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎

وحدات. 8 المرافك =

2 الحل: المكافئ: 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )

5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4

2 2 2 2 6 25 2 9

2

2


1/د 2008سإال وزاري

𝟐 𝟒لطع نالص معادلته 𝟐 𝟐 .Lوحدة. جد لمة 𝟑√𝟐والبعد بن بإرته =

3√2 2 الحل: √3

4 2 2 2 ] 2

2

2

2

2 2

2 2

2 2 2

2

4 3

4 3 2


𝟐 𝟗جد معادلة المطع النالص الذي مر ببإرت المطع الزائد 𝟏𝟔 𝟐 ومطع من محور السنات جزءا 𝟏𝟒𝟒

( وحدة.12طوله )

الحل:

2 9 الزائد: ف المطع 6 2 44 ( )

2

2

2 6 2 9

2 2 2 6 9 2 2 25 5

البؤرتان (5 ) (5 )

6 2 2 5 النالص:ف المطع

2

2

25 معادلة القطع الناقص


121


جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورن االحداثن ومر ببذإرة المطذع المكذافئ

𝟐 وحدة مربعة. 𝟐𝟎ومساحة منطمة المطع النالص 𝟏𝟔

الحل:

2 المكافئ:ف المطع 6 4 6 4

البؤرة ( 4)

2 2 : النالصف المطع 2

( )

ما تمثل رأس أو لطبأ( 4,0النمطة ) ( 4,0المطع النالص مر بالنمطة )

4 2

اوهذ غر ممكن 5

b 4 4 2

4 2 5

والمطع من النوع الصادي

2

25

2



𝟐 𝟑 𝟐 مع محور الصادات علما أن مساحة 𝟑√ 𝟐لطع نالص مر بنمطة تماطع المستمم

حث بإرتذا تنتمذان لمحذور السذنات ومركذز نمطذة وحدة مساحة. جد لمة 𝟑√𝟐منطمته تساوي

االصل.

3√ 2الحل: المستمم:

y √3 ⇐ 2( ) √3 ⇐ عندما

نقطة التقاطع (3√ )

𝟑√ ⇐بما أن المطع من النوع السن النالص: ف المطع

ℎ 2 3 2 2

2

2

2

2

2

( ألن القطع من النوع السن)

2√3 2√

2√

√ 2

4

2 3

2

3ℎ 2 ℎ 4


122

1/ د2012وزاري

16جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السنات ومجموع طول محوره =

𝟐 وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرت المطع الزائد الذي معادلته 𝟐 𝟐 𝟔

الحل:

2 المطع الزائد: ف 2 2 6

2

2

2 6 2 3

2 2 2 6 3 2 2 9 3

البؤرتان ( 3 ) ( 3)

c البؤرتان المطع النالص:ف 3 ⇐ (3 ) ( 3 )

2 2 6 2 8 8

2 2 2 (8 )2 2 9 64 6 2 2 9

6 64 9 6 55 55

8 55

2 55

2

(

)2

2

(

)2

2

2

2

2

2

2


2/د2012وزاري جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل ونطبك محورا على المحورن االحداثن ومطع من محور

وحدة مساحة. 𝟐𝟒وحدات ومساحة منمطته 8السنات جزءا طوله

24 24 الحل: 2

وحدات فؤن هذا الجزء أما مثل طذول المحذور الكبذر ( 8)بما أن المطع النالص مطع من محور السنات جزا طوله الكبر فكون:أو طول المحور الصغر. فؤذا كان هذا الجزء مثل طول المحور

2 8 4 2

6

دائما ف المطع النالص. لذا فؤن الجزء الممطوع مثل طول المحور الصغر: وهذا غر ممكن ألن

2 8 4 6

والمطع من النوع الصادي:

2

2



123

1/د2013وزاري

, جد معادلته. 2واختالفه المركزي = (𝟎 𝟒 )𝟐 (𝟎 𝟒)𝟏 لطع مخروط بإرتا

الحل:

4 ⇐ ⇐ القطع زائد الن 2

2

2 4 2

2 2 2 4 2 6 2 6 4 2 2

2

2


2/د2015وزاري

– 𝟐 𝟓لتكن 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓√ 𝟒لطذع زائذد أحذدى بإرتــذـه هذ بذإرة المطذع المكذافئ معادلة 𝟎

. جد لمة

الحل:

ف المطع المكافئ :

𝟒 √𝟓 𝟐 𝟎 𝟒 √𝟓 𝟐 𝟐 𝟒

√𝟓

𝟐 𝟒 𝟒 𝟒

√𝟓

𝟏

√𝟓 𝟎

𝟏

√𝟓 البؤرة

𝟎) البإرتانف المطع الزائد : 𝟏

√𝟓 ) (𝟎

𝟏

√𝟓 ) ⇐ c =

𝟏

√𝟓

𝟓 𝟐 – 𝟒 𝟐 ( )

𝟐

𝟓

𝟐

𝟒

𝟏 𝟐

𝟓 𝟐

𝟒

𝟐 𝟐 𝟐 [𝟏

𝟓

𝟓

𝟒 ]

(×𝟐𝟎) 𝟒 𝟒 𝟓 𝟗 𝟒

𝟗

𝟒


124

2/د2015وزاري

وحذذذذذدة مسذذذذذاحة 𝟑𝟐جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات , مسذذذذذاحته

والنسبة بن طول محوره 𝟏

𝟐

الحل:

𝟐

𝟐

𝟏

𝟐 𝟐

𝟑𝟐 𝟐 × 𝟑𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟒 𝟖

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝟏

𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟏𝟔 معادلة المطع النالص 𝟏


𝟐 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرت المطعن المكافئن 𝟐𝟎 𝟐 وطول محور 𝟐𝟎

وحدات. 8 المرافك =

2 الحل: المكافئ: 2 2 2

4 2 5 4 2 5

البؤرة ( 5) البؤرة ( 5 )

5 ⇐ الزائد البؤرتان ( 5) ( 5 )

2 8 4

2 2 2 2 6 25 2 9

2

2



125


جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوا لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن

𝟐 دلله 𝟐 𝟖𝟎, أذا علمت أن مساحة المطع النالص 𝟎 𝟐𝟒

الحل:

ف المطع المكافئ :

𝟐 𝟐𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 ( بالمقارنة مع) 𝟐𝟒 𝟒

𝟐𝟒 𝟒 ( 𝟒) (البعد بن بؤرة القطع المكافئ ودله) 𝟏𝟐 𝟐 𝟔

ف المطع النالص :

𝟐 𝟏𝟐 𝟔 𝟐 𝟑𝟔

𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑𝟔 (𝟏)

𝟖𝟎 𝟖𝟎

(𝟐)

فنتج : (𝟏)ف المعدلة (𝟐)نعوض المعادلة

𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟑𝟔

(× 𝟐) 𝟒 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟔 𝟐 𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎 𝟎

( 𝟐 𝟏𝟎𝟎)( 𝟐 𝟔𝟒) 𝟎

𝟐 أما 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟐 𝟔𝟒𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟔𝟒

𝟐 أو همل 𝟔𝟒

هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتن غر محدد وهما : ∴

𝟐

𝟏𝟎𝟎 𝟐

𝟔𝟒 𝟏

𝟐

𝟔𝟒

𝟐

𝟏𝟎𝟎 𝟏


126


أذا كذذذان كذذذل مذذذر ببذذذإرت األخذذذر وكالهمذذذا معذذذان علذذذى محذذذور السذذذنات جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص

وحدة طول . 𝟔وحدة طول وطول المحور الحمم ساوي 𝟐√𝟔 وطول المحور الكبر ساوي

الحل:

كل من المطعن مر ببإرة األخر

د ئرأسا المطع النالص مثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزا ∴

: المطع الزائدف : المطع النالصف

𝟐 𝟔√𝟐 𝟑√𝟐 𝟐 𝟏𝟖

𝟐 𝟗

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗

𝟐

𝟏𝟖 𝟐

𝟗 معادلة القطع الناقص 𝟏

𝟐 𝟔 𝟑 𝟐 𝟗

𝟐 𝟏𝟖

𝟐 𝟐 𝟐

𝟐 𝟏𝟖 𝟗 𝟐 𝟗

𝟐

𝟗 𝟐

𝟗 معادلة القطع الزائد 𝟏

Education

ملزمة الرياضيات للسادس العلمي الأحيائي 2017 الفصل 2 للأستاذ علي حميد