Embed Size (px)
Citation preview
מ המסודרים לפי אינדקס הזמן "ס הוא סדרה של מ"ת
תזכורת
}:{ TtXX t
הגדרנו מושג של תהליך אקראי
כעת נחשוב אילו שאלות מעניינות אפשר לשאול על תהליכים אקראיים שונים
ס שאלות חשובות"ת
מניהמחיר
שאלות וסוגיות מעניינות:
מניהמחיר
שאלות וסוגיות מעניינות:
האם אפשר לחזות מחיר עתידי של מניה?
האם חזאי שלנו טוב?
כמה מידע אנו צריכים כדי לנבות מחיר למחר?
מה מידת התלות? האם מחירים ביומים שונים הם תלוית?
וכו'
מניהמחיר
אקלים
שאלות וסוגיות מעניינות:
האם קיימת סכנת התחממות גלובלית?
להבין ולנתח תהליך אקראיאיך ?
אקראיםלתהליכים האם בכלל ניתן לעשות אנליזה?
אקלים
כדי שנוכל לאפיין תהליך סטוכסטי כללי וכדי שנוכל לענות על , מתברראנו צריכים להיות מסוגלים לחשב פונקציות , השאלות הסתברותיות עליו
:כלומר, nההסתברות המשותפות לכל
תהליכים סטוכסטים
),....,( 1 nXXP
כדי שנוכל לאפיין תהליך סטוכסטי כללי וכדי שנוכל לענות על , מתברראנו צריכים להיות מסוגלים לחשב פונקציות , השאלות הסתברותיות עליו
:כלומר, nההסתברות המשותפות לכל
לא תמיד אפשרי לדעת כל הפונקציות ההסתברות המשותפות
תהליכים סטוכסטים
),....,( 1 nXXP
כדי שנוכל לאפיין תהליך סטוכסטי כללי וכדי שנוכל לענות על , מתברראנו צריכים להיות מסוגלים לחשב פונקציות , השאלות הסתברותיות עליו
:כלומר, nההסתברות המשותפות לכל
לא תמיד אפשרי לדעת כל הפונקציות ההסתברות המשותפות
שעבורם לא נצטרך לדעת מענינים ופשוטים יותר אולי נוכל למצוא מודלים ?את כל הפונקציות הסתברות משותפות
תהליכים סטוכסטים
),....,( 1 nXXP
כדי שנוכל לאפיין תהליך סטוכסטי כללי וכדי שנוכל לענות על , מתברראנו צריכים להיות מסוגלים לחשב פונקציות , השאלות הסתברותיות עליו
:כלומר, nההסתברות המשותפות לכל
לא תמיד אפשרי לדעת כל הפונקציות ההסתברות המשותפות
שעבורם לא נצטרך לדעת מענינים ופשוטים יותראולי נוכל למצוא מודלים ?את כל הפונקציות הסתברות משותפות
התשובה היא כן!
תהליכים סטוכסטים
),....,( 1 nXXP
עולם של תהליכים סטוכסטיים
עולם של תהליכים סטוכסטיים
ממודל יחסית נתחיל את ההכירות שלנו עם עולם של תהליכים סטוכסטיים שרשרת מרקוב בזמן בדיד –מעניין ושימושי , פשוט אבל חשוב
Discrete-Time Markov Chains
ס הסופר את כמות הסטודנטים בשיעור מסוים"נחזור לדוגמא של ת
Discrete-Time Markov Chains
}50,...,2,1,0{
}14,..3,2,1{
X
t
}:{ TtXX t
ס הסופר את כמות הסטודנטים בשיעור מסוים"נחזור לדוגמא של ת
שיעורים ראשונים ורוצים לדעת את 5-נניח אנו יודעים כמה סטודנטים היו ב :כלומר, סטודנטים kיהיו 6ההסתברות שבשיעור מספר
Discrete-Time Markov Chains
}50,...,2,1,0{
}14,..3,2,1{
X
t
}:{ TtXX t
ס הסופר את כמות הסטודנטים בשיעור מסוים"נחזור לדוגמא של ת
שיעורים ראשונים ורוצים לדעת את 5-נניח אנו יודעים כמה סטודנטים היו ב :כלומר, סטודנטים kיהיו 6ההסתברות שבשיעור מספר
Discrete-Time Markov Chains
}50,...,2,1,0{
}14,..3,2,1{
X
t
}:{ TtXX t
?),,,,|( 55443322116 xXxXxXxXxXkXP
ס הסופר את כמות הסטודנטים בשיעור מסוים"נחזור לדוגמא של ת
שיעורים ראשונים ורוצים לדעת את 5-נניח אנו יודעים כמה סטודנטים היו ב ,כלומר, סטודנטים kיהיו 6ההסתברות שבשיעור מספר
נשתמש בנוסחת של הסתברות מותנה כדי לחשב את ההסתברות
Discrete-Time Markov Chains
}50,...,2,1,0{
}14,..3,2,1{
X
t
}:{ TtXX t
),,,,|( 55443322116 xXxXxXxXxXkXP
),,,,(
),,,,,(
5544332211
55443322116
xXxXxXxXxXP
xXxXxXxXxXkXP
ס הסופר את כמות הסטודנטים בשיעור מסוים"נחזור לדוגמא של ת
שיעורים ראשונים ורוצים לדעת את 5-נניח אנו יודעים כמה סטודנטים היו ב ,כלומר, סטודנטים kיהיו 6ההסתברות שבשיעור מספר
נשתמש בנוסחת של הסתברות מותנה כדי לחשב את ההסתברות
כדי שנוכל , אין ברירה חייבים לדעת את פונקצית הסתברות המשותפת להמשיך את החישוב
Discrete-Time Markov Chains
),,,,|( 55443322116 xXxXxXxXxXkXP
),,,,(
),,,,,(
5544332211
55443322116
xXxXxXxXxXP
xXxXxXxXxXkXP
ס "ערך עתידי של ת, אם נניח שבהינתן כל ההיסטוריה, מה יקרה: הפשטה
תלוי רק בערך הנוכחי
Discrete-Time Markov Chains
ס "ערך עתידי של ת, אם נניח שבהינתן כל ההיסטוריה, מה יקרה: הפשטה
: כלומר אם נניח, תלוי רק בערך הנוכחי
עתיד עבר הווה
Discrete-Time Markov Chains
)|(),,,,|( 55655443322116 xXkXPxXxXxXxXxXkXP
ס "ערך עתידי של ת, אם נניח שבהינתן כל ההיסטוריה, מה יקרה: הפשטה
: כלומר אם נניח, תלוי רק בערך הנוכחי
עתיד עבר הווה
Discrete-Time Markov Chains
)|(),,,,|( 55655443322116 xXkXPxXxXxXxXxXkXP
ס "ערך עתידי של ת, אם נניח שבהינתן כל ההיסטוריה, מה יקרה: הפשטה
: כלומר אם נניח, תלוי רק בערך הנוכחי
עתיד עבר הווה
מצד שני נותנת אוסף של , מסתבר שההפשטה זו מצד אחד מפשטת את המודל מודלים מענינים וחשובים בתיאוריה ופרקטיקה
Discrete-Time Markov Chains
)|(),,,,|( 55655443322116 xXkXPxXxXxXxXxXkXP
נקרא שרשרת מרקוב בזמן בדיד ס"ת :הגדרה (DTMC)
:אם מתקיים
Discrete-Time Markov Chains
}:{ TtXX t
n
nnnnnnnnnn
xxxn
xXxXPxXxXxXxXP
,...,,
)|(),...,,|(
21
11112211
נקרא שרשרת מרקוב בזמן בדיד ס"ת :הגדרה (DTMC)
:אם מתקיים
"עתיד בהינתן הווה לא תלוי בעבר"
Discrete-Time Markov Chains
}:{ TtXX t
n
nnnnnnnnnn
xxxn
xXxXPxXxXxXxXP
,...,,
)|(),...,,|(
21
11112211
נקרא שרשרת מרקוב בזמן בדיד ס"ת :הגדרה (DTMC)
:אם מתקיים
"עתיד בהינתן הווה לא תלוי בעבר"
Discrete-Time Markov Chains
}:{ TtXX t
n
nnnnnnnnnn
xxxn
xXxXPxXxXxXxXP
,...,,
)|(),...,,|(
21
11112211
נקרא שרשרת מרקוב בזמן בדיד ס"ת :הגדרה (DTMC)
:אם מתקיים
"עתיד בהינתן הווה לא תלוי בעבר"
הגדרה :DTMC נקראת הומוגנית בזמן אם מתקיים:
Discrete-Time Markov Chains
}:{ TtXX t
n
nnnnnnnnnn
xxxn
xXxXPxXxXxXxXP
,...,,
)|(),...,,|(
21
11112211
)|()|(:,, 011 aXbXaXbXPban nn
נקרא שרשרת מרקוב בזמן בדיד ס"ת :הגדרה (DTMC)
:אם מתקיים
"עתיד בהינתן הווה לא תלוי בעבר"
הגדרה :DTMC נקראת הומוגנית בזמן אם מתקיים:
כלומר הסתברות לעבור ממצבa למצבb לא תלויה במספר צעד
נסמן הסתברות זו ב-
Discrete-Time Markov Chains
}:{ TtXX t
n
nnnnnnnnnn
xxxn
xXxXPxXxXxXxXP
,...,,
)|(),...,,|(
21
11112211
)|()|(:,, 011 aXbXaXbXPban nn
1abp
בקורס שלנו אנו לא נלמד שרשראות מרקוב בזמן בדיד ולא הומוגניות בזמן
ואז . הכוונה תיהי לשרשרת הומוגנית בזמן DTMCולכן כל פעם שנדבר על :בצעד אחד באופן הבא bלמצב aאנו נוכל להגדיר הסתברות לעבור במבצ
Discrete-Time Markov Chains
11 )|(:,, ababnn ppaXbXPnba
סיכום
