Дослідити методом Дослідити методом диференціального численнядиференціального числення

функцію і побудувати графік функцію і побудувати графік .. ..

2x5xxy

2

2x

Розвязання. Будемо діяти за загальною схемою дослідження функції і побудувати її графік.1) Функція існує при будь-якому значенні (при x=2 знаменник дробу перетворюється в нуль ). Отже,

. 2;;2xD

2) Очевидно, що задана функція неперіодична.2) Очевидно, що задана функція неперіодична.Перевіримо її на парність . Для цього знайдемо:Перевіримо її на парність . Для цього знайдемо:

.

2x5xx

2x5xx

xy22

xyxy Легко бачити, що і

Отже, задана функція не володіє властивостями парності. В точці x =2 функція має розрив, при всіх інших значення аргументу вона неперервна.

.xyxy

3) Користуючись правильними знаходження границь, знайдемо границі функції на нескінченності та односторонні границі функції в точці розриву x=2

x;

2x5xx 2

;2x

5xx 2

lim

lim lim

lim x

;

2x

5xx 2

02x 2x;

2x5xx 2

З рівностей (2) випливає, що для даної функції x=2 є точкою розриву другого роду.

4) Границя функції на нескінченність не існує (рівності (1)), то графік даної функції горизонтальних асимптот не має. Оскільки lim y = (рівності (2)) , то x=2 - вертикальна асимптота графіка даної

функції 2x

xx

Похилі асимптоти будимо шукати у вигляді y = kx + b, де:

12xx

5xxlim2xx5xxlim

xylimk 2

22

x

2x5xxlimxylimkxylimb

2

x x

x x

x

Отже, kx + b = 1 x + 3 = x + 3 і пряма y = x + 3 є похилою асимптотою графіка даної функції .

3.2x53xlim

2х2хх5ххlim

22

5) Користуючись правилами диференціювання і таблицею похідних, знайдемо похідну заданої функції. Матимемо:

2

222

2x5xx2x2x5xx

2x5xxy

.2x

34xx2x

5xx12x12x2

2

2

2

Очевидно, що знайдена похідна існує на всій числовій прямій, крім точки x = 2, в якій знаменник дробу перетворюється в нуль.Але в точці х = 2 функція не визначена, то ця точка не є критичною точкою заданої функції.

Прирівняємо похідну до нуля і, розвязавши за теоремою Вієтта отримане рівняння , знайдемо критичні точки функції :

0,

2x34xx

2

2

3х .21х ,1

0,2x0,34xx 2

,,

3xx4xx

21

21

Визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів, на які розбивають область визначення функції знайденні критичні точки : та

: y х

21 3

Звідси випливає:

,3;;1х yа) якщо то >0 і функція зростає;

1х ,1 3х2

,2;31;2х yб) якщо то < 0 і функція спадає;

yв) при переході через критичну точку похідна змінює свій знак з «+» на «-», то є точкою

максимуму заданої функції ;

yг) при переході через критичну точку похідна

змінює свій знак з «-» на «+», то є точкою мінімум у заданої функції;

д) задана функція не має інших критичних точок , то вона не має й інших точок екстремуму.

1х1

1х1

3х2

3х2

Таким чином ми встановили всі токи екстремумів заданої функції .Знайдемо екстремуми цієї функції :

а ) ─ локальний максимум

даної функції, який досягається в точці А(1;3);

313

215111уху

2

1

б) ─ локальний мінімум

даної функції, який досягається в точці В(3;7).

717

235333уху

2

2

6) Користуючись правилами диференціювання і таблицею похідних, знайдемо другу похідну заданої функції. Матимемо:

4

2222

2

2

2x34xx2x2x34xx

2x34xxyy

.2x

22x

34xx22x42x2x

34xx2x22x42x33

2

4

22

Знайдена похідна існує на всій числовій прямій, крім точки х = 2, в якій знаменник дробу перетворюється в нуль. Але в точці х = 2 функція не визначена, то ця точка не є критичною точкою другого порядку .

Очевидно, що при будь-якому значенні х .0у Таким чином ми встановили , що задана функція не має критичних точок другого порядку, а тому її графік не має точок перетину.Визначимо знак другої похідної заданої функції на її області визначення:

y х0Звідси випливає :

2

;2х у а) якщо , то < 0 і графік заданої функції опуклий ; б) якщо , то > 0 і графік заданої функції вгнутий.

;2;х у

0х

2,5.25

205000у

2

7) Підставивши у функцію значення аргументу

, , знайдемо координати точки перетину графіка функції з віссю О у :

Отже, графік функції перетинає вісь О у в точці С(0;2,5).

Прирівнявши функцію до нуля і розвязавши отримане рівняння, знайдемо точки перетину графіка функції з віссю О х :

0,2х

5хх 2

0,2х0,5хх 2

21,51414acbD 2

21.0,50,52

211Db

2ax1,2

Отже, графік заданої функції перетинає вісь О х в двох точках :

21;0Е0,50,5D і .21;00,50,5Е

Складемо таблицю для більш точної побудови заданої функції

x y=x²+x-5/x-2 y=x+3 х y=x²+x-5/x-2 y=x+3 х y-6 -3,13 -3 2 15,10 5,1 2 10-6 -2,83 -2,7 2 8,63 5,3 2 10-5 -2,54 -2,4 3 7,50 5,5 2 9-5 -2,24 -2,1 3 7,13 5,7 2 9-5 -1,95 -1,8 3 7,01 5,9 2 8-5 -1,65 -1,5 3 7,01 6,1 2 8-4 -1,36 -1,2 3 7,07 6,3 2 7-4 -1,07 -0,9 4 7,17 6,5 2 7-4 -0,78 -0,6 4 7,29 6,7 2 6-3 -0,49 -0,3 4 7,43 6,9 2 6-3 -0,20 0 4 7,58 7,1 2 5-3 0,09 0,3 4 7,73 7,3 2 5-2 0,37 0,6 5 7,90 7,5 2 4

-2 0,66 0,9 5 8,07 7,7 2 4-2 0,94 1,2 5 8,24 7,9 2 3-2 1,21 1,5 5 8,42 8,1 2 3-1 1,49 1,8 5 8,60 8,3 2 2-1 1,76 2,1 6 8,79 8,5 2 2-1 2,02 2,4 6 8,97 8,7 2 1-0 2,27 2,7 6 9,16 8,9 2 10 2,50 3 6 9,34 9,1 2 00 2,71 3,3 6 9,53 9,3 2 -11 2,89 3,6 6 9,72 9,5 2 -11 2,99 3,9 7 9,91 9,7 2 -21 2,95 4,2 7 10,10 9,9 2 -22 2,50 4,5 7 10,30 10,1 2 -32 -0,20 4,8 7 10,49 10,3 2 -3

8) Використовуючи результати дослідження будуємо графік функції.

4-3-2-1-012345678910

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x

y