Міністерство освіти і науки України

Всеукраїнська Мала академія наук

Донецьке територіальне відділення Малої академії наук України

Відділ освіти Волноваської райдержадміністрації

Новотроїцька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №4

Секція: Математика

Базова дисципліна: математика

Розв’язання завдань з параметрами

(систем лінійних рівнянь, лінійних та квадратних нерівностей,

ірраціональних рівнянь)

АВТОР РОБОТИ:

Криворучко Джемма Валеріївна

Учениця 10 класу

Новотроїцької загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів №4

Домашня адреса: с. Новотроїцьке,

пров. Центральний, буд. 8

Науковий керівник

Грішко Олена Володимирівна

ВОЛНОВАХА-2011

ЗМІСТ

ВСТУП……..……………………………………..………………………………….3

РОЗДІЛ I. Теоретичні основи розв’язання завдань з параметрами…..…………6

РОЗДІЛ ІІ. Аналіз шкільних підручників з алгебри…………………..……....…9

РОЗДІЛ ІІІ. Основні види завдань з параметрами………….…………………...11

3.1 Дрібно-раціональні рівняння………………….………….………….11

3.2 Лінійні нерівності………………………………………….…………..13

3.3 Ірраціональні рівняння…………………………..…………………..15

3.4 Системи лінійних рівнянь з двома змінними…………………..……17

РОЗДІЛ IV. Аналітичний метод розв’язання рівнянь з параметрами…….19

4.1 Поиск решений уравнений, содержащих параметр

Метод «ветвления»…………………………………………………........19

4.2 Параметр и количество решений уравнений,

содержащих параметр………………………………………………….22

4.3 Параметр и свойства решений уравнений,

содержащих параметр………………………………………………….25

ВИСНОВКИ………………..………………………………………………….…...28

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ……………………………………….29

ДОДАТКИ

2

ВСТУП

Изучение многих физических процессов и геометрических

закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр.

Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало

внимания. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у

учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного

курса математики, и рассматривается только на немногочисленных

факультативных занятиях.

Интерес к теме объясняется тем, что уравнения с параметрами

предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Поэтому очень трудно

рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала

"параметрическую терапию", смогут в жесткой атмосфере конкурсного

экзамена успешно справиться с подобными задачами.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими

их особенностями:

Обилие формул и методов, используемых при решении уравнений

данного вида;

Возможность решения одного и того же уравнения, содержащего

параметр различными методами.

Совершенно очевидно, что к "встрече" с такими заданиями надо

специально готовиться.

Мы поставили себе цель: создать мини-учебник по обучению решать

задания с параметрами. Часть работы была проделана в прошлом году (были

рассмотрены основные методы решений уравнений с параметрами следующих

типов: линейные уравнения; квадратные уравнения; дробно-рациональные

уравнения.

Данная работа является логическим продолжением предыдущей работы.

3

Главной целью создания этого мини-учебника являются расширение и

углубление знаний, теоретических основ решения уравнений с параметрами,

основными их видами и рекомендациями к решению, развитие интереса

учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс

обучения строится как совместная исследовательская деятельность учащихся.

Актуальность темы данной работы определяется необходимостью уметь

решать задания с параметрами на вступительных экзаменах в высшие учебные

заведения, при подготовке к независимому внешнему тестированию.

Цель данной работы: рассказать о решении заданий с параметрами (систем

линейных уравнений, линейных и квадратных неравенств, иррациональных

уравнений).

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие

задачи:

дать определения понятиям уравнение (неравенство) с параметрами;

показать принцип решения данных уравнений (неравенств) на общих

случаях;

рассмотреть случаи решения заданий с параметрами (систем линейных

уравнений, линейных и квадратных неравенств, иррациональных

уравнений);

рассмотреть аналитические методы решения неравенств, уравнений и

систем уравнений с параметрами;

познакомить учащихся с некоторыми методами решения заданий,

содержащих параметр;

показать применение различных методов при решении заданий одного

типа;

формировать умение видеть рациональный метод для решения

конкретных типов заданий, содержащих параметр;

формировать логическое мышление;

формировать настойчивость, целеустремленность, трудолюбие через

решение сложных задач;

4

развивать математическую речь с присущей ей краткостью, точностью

и лаконичностью;

подготовить учащихся к поступлению в вузы.

Объектом исследовательской работы было аналитическое решение

заданий с параметрами (систем линейных уравнений, линейных и квадратных

неравенств, иррациональных уравнений).

Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть,

заключение, библиографический список.

Курс рассчитан на систематизацию методов решения заданий, содержащих

параметр и их классификацию. Необходимо рассмотреть основные методы

решения наиболее часто встречаемых на выпускных и вступительных

экзаменах, а именно, методы решения заданий с параметрами (систем

линейных уравнений, линейных и квадратных неравенств, иррациональных

уравнений), аналитический метод решения уравнений, неравенств, систем

уравнений.

5

РОЗДІЛ I. Теоретичні основи розв’язання завдань з параметрами

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического

мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает

у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение

(неравенство) с параметрами представляет собой целый класс обычных

уравнений (неравенств), для каждого из которых должно быть получено

решение. Такие задачи предлагаются на вступительных экзаменах в вузы.

Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать

знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с

соответствующими разделами школьной программы по математике.

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не

конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они

называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обозначающих неизвестное

(X, Y, Z), содержат другие буквы, называемые параметрами (a, b, c). Тогда мы

имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений (неравенств).

Известно, что в программах по математике для неспециализированных

школ этим задачам отводится незначительное место. Поэтому, в первую

очередь укажем разделы общеобразовательной математики, в которых вообще

присутствует сама идея параметра.

Так, с параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых

понятий. Не приводя подробных определений, рассмотрим в качестве примеров

следующие объекты:

функция прямая пропорциональность: у = кх (х и у – переменные; к –

параметр, к ≠ 0);

линейная функция: у = кх+b (х и у — переменные; к и b –

параметры);

линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);

6

уравнение первой степени: ах + b = 0 (х – переменная; а и b –

параметры, а ≠ 0);

квадратное уравнение: ах2 + bх + с = 0 (х – переменная; а, b и с –

параметры, а ≠ 0);

система линейных уравнений:

а1 х + в1 у = с1;

а2 х + в2 у = с2 (х, у – переменные, а1, а2, в1, в2, с1, с2 – параметры);

система уравнений

а1 х2 + в1 у2 = с1;

а2 х + в2 у = с2 (х, у – переменные, а1, а2, в1, в2, с1, с2 – параметры);

линейное неравенство: ах < (>) b (х – переменная, а, в – параметры);

квадратичное неравенство ах2 + вх + с < (>) 0 (х – переменная, а, в, с

– параметры).

Для уравнений (неравенств), в решении которых рассматривается

различные значения параметра, будем пользоваться следующим алгоритмом

решения.

Алгоритм.

1. Находим область значений параметра.

2. Для тех значений параметра, которые входят в область:

a) Находим особые значения параметра, при которых, содержащее

параметр выражение, на которое происходит деление,

обращается в 0. Для них рассматриваем уравнения (неравенства),

которые получились при подстановке значений параметра.

b) Решаем уравнение (неравенство), исключая эти значения.

3. Для тех значений параметра, которые не входят в область – корней нет.

4. Собираем все значения параметра и соответствующие им значения

неизвестной записываем ответ.

7

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения заданий с

параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам,

где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В

подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных

результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы

решения.

Итак, подведем итог. При решении заданий, содержащих параметр,

существуют особые способы решения. Главным отличием является то, что при

решении происходит перебор значений параметра и рассмотрения для этих

значений соответствующего значения неизвестной.

8

РОЗДІЛ II. Аналіз шкільних підручників з алгебри

Проанализируем действующие учебники курса алгебры и начала анализа,

чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие

понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.

1) Кравчук В., Янченко Г. «Алгебра. 7 класс»

При изучении систем линейных уравнений представлено четыре задания с

параметром (№№947, 966, 967, 986 – уровень В). Рассматриваются простейшие

системы линейных уравнений, но коэффициент при переменных х или у

является параметром и необходимо исследовать систему на количество

решений.

2) Бевз Г.П., Бевз В.Г. «Алгебра. Учебник для 7-9 классов

общеобразовательных учебных заведений.»

7 класс

При изучении темы «Системы линейных уравнений» (Глава IV) в учебнике

представлено три задания с параметром (№№396, 397, 398). Рассматриваются

простейшие системы линейных уравнений, но коэффициент при переменной х

или у является параметром и необходимо исследовать уравнение на количество

корней или при каком значении параметра уравнение будет иметь корень

равный заданному числу.

В данном учебнике для 8 и 9 класса заданий с параметром не

представлено.

3) Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. "Алгебра. Учебник для 8

класса общеобразовательных учебных заведений.»

При изучении темы "Квадратные корни. Арифметический квадратный

корень" (п.12 из §2 "Квадратные корни") предложены два задания (№№ 416*,

417*) с квадратными корнями типа: решить уравнение для каждого значения а

(а даже без упоминания термина "параметр").

Большое внимание уделяют параметру при повторении. Предлагаются

задания, содержащие параметр, в основном, для повторения квадратных

9

уравнений (№№ 802, 827, 876, 888, 890, 892). Все номера одного характера –

исследовать корни иррационального уравнения, то есть найти количество

корней или сами корни в зависимости от значений параметра.

4) Шкиль М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса

общеобразовательных учебных заведений, 2003.

При изучении темы "Иррациональные уравнения и неравенства" (§17 из

главы 3 «Степенная функция») предложены пять заданий (№№ 126 (3), 128 (2),

130 (4), 140 (2) и 141 (3)) с иррациональными уравнениями (задание «решить

уравнение», слово параметр не упоминается). Все задания из уровня В.

В новых учебниках:

1) Бурда М.И. Математика: учебник для 10 класса общеобразовательных

учебных заведений: уровень стандарта, 2010;

2) Г.П. Бевз, В.Г. Бевз Математика: учебник для 11 класса

общеобразовательных учебных заведений: уровень стандарта, 2010

заданий с параметрами не представлено. При повторении курса алгебры

и начала анализа 10 и 11 классов в системе задач не встречается заданий с

параметром и можно утверждать, что в системе изучения этого курса авторы не

уделяют внимания к параметру как таковому.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

в каждом рассмотренном учебнике задания, содержащие параметр,

используются для проверки знаний и умений, приобретенных во

время изучения той или иной темы. Предлагаются задания

творческого характера, требующие от учащихся применения

полученных знаний и умений в нестандартных условиях;

ни в одном из рассмотренных учебников не даётся чёткого

определения параметра;

во всех учебниках задания однотипны.

10

РОЗДІЛ III. Основні види рівнянь з параметрами

3.1 Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр,

сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной

схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей

уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего

учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая

посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в

нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь,

чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра,

обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие

уравнения относительно параметра.

Пример 1. Определить число натуральных n, при которых уравнение

не имеет решения.

Решение: х ≠ 0, n ≠ 10.

Уравнение х2 – 8х – n(n – 10) = 0 не имеет решения, если его

дискриминант меньше 0, т.е.

16 + n(n-10) < 0;

n2 -10n +16 < 0;

(n-2) (n-8) <0;

2 < n < 8.

В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая

условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых

уравнение не имеет решений, равно 6.

Ответ: 6.

11

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Значение а = 0 является контрольным. При a = 0 уравнение

теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после

преобразований уравнение примет вид:

х2 + 2 (1 – а) х +а2 – 2а – 3=0.

Найдем дискриминант уравнения = (1 – a)2 – (a2 – 2а – 3) = 4. Находим

корни уравнения: х1 = а + 1, х2 = а – 3. При переходе от исходного уравнения к

уравнению х2 + 2 (1 – а) х +а2 – 2а – 3=0 расширилась область определения

уравнения, что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому

необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х1 + 1 = 0, х1 + 2 = 0, х2 + 1 = 0, х2 + 2 = 0.

Если х1 + 1 = 0, т.е. (а + 1) + 1 = 0, то а = – 2.

Таким образом, при а = – 2 х1 – посторонний корень уравнения.

Если х1 + 2 = 0, т.е. (а + 1) + 2 = 0, то а = – 3.

Таким образом, при а = – 3 x1 – посторонний корень уравнения.

Если х2 + 1 = 0, т.е. (а – 3) + 1 = 0, то а = 2.

Таким образом, при а = 2 х2 – посторонний корень уравнения.

Если х2 + 2 = 0, т.е. (а – 3) + 2 = 0, то а = 1.

Таким образом, при а = 1 х2 – посторонний корень уравнения.

При а = - 3 получаем х= – 6; при a = – 2 х = – 5;

При a=1 х = 1 + 1 = 2; при a = 2 х = 2 + 1 = 3. Итак, можно записать

Ответ: 1) если a = - 3, то х = - 6;

2) если a = -2, то х = - 5;

3) если a=0, то корней нет;

4) если a = 1, то х=2;

5) если а=2, то х=3;

12

6) если , то х1 = а + 1, х2 = а – 3.

3.2 Линейные неравенства

Неравенства вида ax + b > 0,   ax + b ≥ 0,   ax + b < 0,   ax + b ≤ 0,

где a, b R,   x – переменная, называются неравенствами первой степени

(линейными неравенствами).

Поскольку все неравенства решаются аналогично, приведем решение лишь

первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи:

1) a > 0, тогда ax + b > 0     ax > -b     x > -b/a и, следовательно,

множество решений неравенства ax + b > 0   (a > 0) есть (-b/a; +);

2) a < 0, тогда ax + b > 0     ax > -b     x < -b/a и, следовательно,

множество решений неравенства ax + b > 0   (a < 0) есть (-; -b/a);

3) a = 0, тогда неравенство примет вид 0·x + b > 0 и для b > 0 любое

действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство

не имеет решений.

Разберем алгоритм решения линейных неравенств с параметрами:

1) решение линейных неравенств с одной переменной и положительным

коэффициентом при этой переменной;

2)  решение линейных неравенств с одной переменной и отрицательным

коэффициентом при этой переменной;

3)  решение неравенств с коэффициентом, равным нулю. Данный момент

требует особенно пристального рассмотрения. Результат разбора

полезно записать в виде таблицы.

Алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной

13

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. ax ≤ 1;

Решение. В зависимости от знака a рассмотрим три случая:

1. если a > 0, то x ≤ 1/a;

2. если a < 0, то x ≥ 1/a;

3. если a = 0, то неравенство примет вид 0·x ≤ 1 и, следовательно, любое

действительное число является решением исходного неравенства.

Таким образом,

Ответ. Если a > 0, то x є (-∞; 1/a],

если a < 0, то x є [1/a; +∞),

и если a = 0, то x є R.

Пример 2. abx + b > ax + 3;

Решение. abx + b > ax + 3;  

  abx - ax > 3 – b;

  a(b - 1)·x > 3 - b.

Далее рассмотрим следующие случаи:

1. если a(b - 1) > 0, то есть a > 0 и b > 1, или a < 0 и b < 1, то

2. если a(b - 1) < 0, то есть a > 0 и b < 1, или a < 0 и b > 1, то

14

3. если a = 0,   b ≠ 1 то неравенство примет вид

0·x > 3 - b

и для b > 3 любое число является решением, а если b є (-∞; 1) и (1; 3], то

множество решений неравенства пусто.

4. если a ≠ 0,   b = 1, то неравенство примет вид

0·x > 2

и, очевидно, что оно решений не имеет.

Следовательно,

Ответ. Если a > 0 и b > 1, или a < 0 и b < 1, то

если a > 0 и b < 1, или a < 0 и b > 1, то

если a = 0 и b є (3; +∞), то x є R;

если a = 0 и b є (-∞; 1) и (1;3) или a ≠ 0 и b = 1,

то неравенство не имеет решений.

3.3 Иррациональные уравнения, содержащие параметр

Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:

1. ограничение области определения неизвестной х, так как она

меняется в зависимости от значения параметра.

2. в решении уравнений вида при возведении в квадрат

необходимо учитывать знак и проводить проверку корней.

При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей

иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного

уравнения с параметром.

Рассмотрим несколько примеров и попробуем заметить эти особенности

при решении.

Пример. Решить уравнение с параметром .

Решение. В данном случае контрольные значения параметра

определяются областью допустимых решений уравнения.

15

Найдем ОДЗ уравнения:

При всех значениях x из ОДЗ обе части уравнения можно возвести в

квадрат:

.

Получилось линейное уравнение, решение которого зависит от знака

коэффициента при неизвестной x. Если , то уравнение примет вид , и

такое уравнение не имеет решений. Если же , то уравнение имеет одно

решение . Остается выяснить, при каких значениях параметра данное

решение удовлетворяет ОДЗ уравнения. Для этого нужно решить две системы

неравенств, которые получатся, если в ОДЗ вместо x подставить его значение

:

или

Решив эти две системы, получим, что .

Ответ. При уравнение имеет единственное решение

. При уравнение не имеет решений.

3.4 Системы линейных уравнений с двумя переменными

Определение: Система вида

A1x+B1y=C

A2x+B2y=C2

16

где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у –

неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических

уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример. Решите систему уравнений

x+(m+1)y=1

x+2y=n

Решение:

а) , т.е. при m 1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n 1 исходная система решений не

имеет;

17

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n 1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество у – любое, x=n-2y

в) если m 1 и n - любое, то y= x=

18

РОЗДІЛ IV. Аналітичний метод розв’язання рівнянь з параметрами

4.1 Поиск решений уравнений, содержащих параметр. Метод

«ветвления»

В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий

психологический барьер, который обусловлен противоречивыми

характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует

считать величиной известной, а с другой – он может принимать различные

значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестная известная,

переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает

существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.

Именно этот факт и позволяет нам решать уравнения с параметром таким

методом («ветвления»).

Пример 1. Решить уравнение х - = 1.

Решение: метод решения: возведем в квадрат обе части иррационального

уравнения с последующей проверкой полученных решений.

Перепишем исходное уравнение в виде:

При возведении в квадрат обеих частей исходного уравнения и проведения

тождественных преобразований получим:

2х2 – 2х + (1 - а) = 0,

D = 2а – 1.

Особое значение: а = 0,5. Отсюда:

1) при а > 0,5 х1,2 = 0,5∙(1 ± );

2) при а = 0,5 х = 0,5;

3) при а <0,5 уравнение не имеет решений.

Проверка:

19

1) при подстановке х = 0,5 в исходное уравнение, получим неверное

равенство. Значит, х = 0,5 не является решением уравнения.

2) при подстановке х2 = 0,5 (1 - ) в уравнение получим:

-0,5 ( 1 + ) =

Так как левая часть равенства отрицательна, то х2 не удовлетворяет

исходному уравнению.

3) Подставим х1 = 0,5 ( 1 + ) в уравнение:

.

Проведя равносильные преобразования, получим:

Если , то можно возвести полученное равенство в квадрат:

.

Имеем истинное равенство при условии, что .

Это условие выполняется, если а ≥ 1. Так как равенство истинно при а ≥ 1,

а х1 может быть корнем исходного уравнения при а > 0,5, следовательно, х1–

корень уравнения при а≥1.

Ответ.

1. при а ≥ 1 х = 0,5∙(1 + );

2. при а <1 уравнение не имеет решений.

Пример 2. Решите неравенство (a – 1)x ≤ a2 – 1 относительно переменной x.

Решение. Рассмотрим три случая.

1. a – 1 = 0. Тогда неравенство примет вид 0∙x ≤ 0, и его решением является

любое значение переменной x.

2. a – 1 > 0. Тогда (a – 1)x ≤ a2 – 1 ⇔ x ≤ a + 1.

20

3. a – 1 < 0. Тогда (a – 1)x ≤ a2 – 1 ⇔ x ≥ a + 1.

Ответ: при a = 1 x ∈ R;

при a > 1 x ≤ a + 1;

при a < 1 x ≥ a + 1.

Пример 3. Для всех значений параметра а решить .

 Решение. .

Если скобка перед положительна, т.е. при , то

.

Если скобка перед отрицательна, т.е. при   , то .

Если же или , то решений нет.

Ответ. при , ;

при   , ;

или , то решений нет.

21

Пример 4. Для всех значений параметра а решить систему уравнений

ах-3ау=2а+3

х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х = 1-ау и подставим в I уравнение

а (1 - ау) - 3ау = 2а + 3;

а -а2у - 3ау = 2а + 3;

-а2у - 3ау = а + 3;

-а (а + 3) у = а + 3.

Возможны случаи:

1) а = 0. Тогда уравнение имеет вид 0*у = 3 [у ].

Следовательно, при а = 0 система не имеет решений.

2) а = -3. Тогда 0*у = 0.

Следовательно, у . При этом х = 1 – ау = 1 + 3у

3) а 0 и а -3. Тогда у=- , х=1-а(-1 / а) = 1 + 1 = 2.

Ответ:

1) если а = 0, то (х; у) ;

2) если а = -3, то х = 1 + 3у, у

3) если а 0 и а -3, то х = 2, у = - .

4.2 Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр

Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается

какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие

формулировки:

«При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два

решения, бесконечно много, ни одного»;

Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то

подмножество множества действительных чисел и другие.

22

Пример 1. При каких значениях параметра уравнение

имеет единственное решение?

Решение. Уравнение переписываем в равносильную систему

Решением неравенства является объединение промежутков

. Уравнение системы имеет один корень когда .

, то есть при .

Теперь проверим, принадлежит ли корень нашим интервалам:

.Тогда при уравнение имеет единственное решение.

Ответ. При уравнение имеет единственное решение.

Пример 2. При каких значениях параметра a хотя бы одно решение

неравенства будет являться решением неравенства 3 – 0,5x > a?

Решение. Решив первое неравенство относительно x, получим:

8x – 8a – 12a – 12x ≤ 96,

x ≥ –5a – 24.

Решив второе неравенство относительно x, получим: x < 6 – 2a. Для того,

чтобы хотя бы одно решение первого неравенства являлось решением второго,

необходимо, чтобы 6 – 2a >–5a – 24. Откуда a > –10.

Ответ: при a > –10.

Пример 3. 3(4a - x) < 2ax + 3;

Решение. После элементарных преобразований получим

3(4a - x) < 2ax + 3;

23

12a - 3x < 2ax + 3;

12a - 3 < 2ax + 3x;

x(2a + 3) > 3(4a - 1).

Далее рассмотрим три случая:

1. если 2a + 3 > 0, то есть a > -3/2, то

2. если 2a + 3 < 0, то есть a < -3/2, то

3. если 2a + 3 = 0, то есть a = -3/2, то неравенство примет вид 0·x > -21

и, так как 0 > -21 - истинное числовое неравенство, следует, что любое

действительное число является решением исходного неравенства.

Следовательно,

Ответ. Если то

если то

если a = -3/2, то x R.

Пример 4. При каких значениях параметра а система

2х - 3у = 7

ах - 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

Решение:

а) , а = 4

б) , а 4

Ответ:

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а 4, то решение единственное.

4.3 Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр

24

В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы

ответ был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения

на множество значений переменной х.

Пример 1. При каких значениях параметра оба корня уравнения

больше 3?

Решение. Корнями данного уравнения будут

Для условия необходимо выполнение системы

Первое неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в

том случае если выражение под корнем равно нулю.

Решим уравнение .

Ответ. Ни при каких значениях параметра оба корня данного уравнения

не могут быть больше 3.

Пример 2. При каких значениях параметра a каждое решение неравенства

(3x + 1)2 – 3 ≥ 9x(x + 2) – a является решением неравенства 3x + a ≤ 2x + 1?

Решение. Решим первое неравенство:

9x2 + 6x + 1 – 3 ≥ 9x2 + 18x – a,

12x ≤ a – 2,

Решим второе неравенство: x ≤ 1 – a. Чтобы каждое решение первого

неравенства являлось решением второго, необходимо, чтобы

Отсюда: a – 2 ≤ 12 – 12a,

25

Ответ: при

Пример 3. Найти все значения a , при которых неравенство

выполняется для всех x из отрезка [1, 3] .

Решение. Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить,

какой корень больше. и . Т.о.,

при и чтобы неравенство выполнялось для всех x из

отрезка [1, 3], нужно, чтобы

.

При и чтобы неравенство выполнялось для всех x

из отрезка [1, 3], нужно, чтобы .

При (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае

неравенство приобретает вид : .

Ответ. .

Пример 4. При каких значениях параметра a решением системы

уравнений является пара положительных значений x и y?

Решение. Решая систему способом сложения, получим:

26

откуда

так как x > 0 и y > 0, то получим систему неравенств

Отсюда a > 3.

Ответ: при a > 3 решением системы является пара положительных чисел.

Выскажем два соображения по поводу роли параметра в приведенных

примерах. Во-первых, искомые значения х выступали в роли зависимой

переменной, а параметр – независимой. Отсюда и возникло "расслоение"

решения с учетом определенных значений параметра. Во-вторых, условие задач

отводило параметру скромное место, – не ясно было, повлияет ли его

присутствие на ход решения.

Надеемся, что самостоятельное решение упражнений создаст неплохой

задел для дальнейшей работы.

27

ВИСНОВКИ

При решении приведенных выше задач с параметрами происходит

повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных

вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют

интеллект, при этом происходит развитие математического, логического

мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с

параметрами – это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит

формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность,

усидчивость, сила воли и точность.

При проведении исследования были решены следующие задачи:

1) проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре с

целью выявления использования параметра и методов решения

уравнений с параметром. Проведенный анализ позволяет сделать

следующие выводы, что в каждом проанализированном учебнике

задания, содержащие параметр, используется для проверки знаний и

умений, приобретенных во время изучения той или иной темы.

Предлагаются задания творческого характера, требующие от

учащихся применения полученных знаний и умений в нестандартных

условиях;

2) выделены классы уравнений, содержащих параметр, и общие их

методы решения;

3) показано, что методы, изложенные в данной работе, применимы для

решения всех видов уравнений, содержащих параметр;

По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна

изучаться не только на дополнительных занятиях, но и в школьной программе,

так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у

школьников. Учащимся знания по этой теме помогут подготовиться и сдать

внешнее независимое тестирование и вступительные экзамены в ВУЗы.

28

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Задачи с параметрами». –

Москва – Харьков: "Илекса", "Гимназия", 2002 г.

2. Н.Ю. Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы». – М.:

Просвещение, 1994 г.

3. В.В. Локоть «Задачи с параметрами». – Москва – Харьков: "Илекса",

"Гимназия", 2003 г.

4. Г.А. Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры».

– К.: Рад. шк., 1972 г.

5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. «Математика: справ. материалы: Кн. для

учащихся. – М.: Просвещение, 1988 г.

6. В.С. Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и

начала анализа», М.: Просвещение, 1994 г.

7. «Математика. Решение задач повышенной сложности». – М.:

Просвещение, 2004 г.

8. А.П. Карп «Даю уроки математики…». – К.: Рад. шк., 1992 г.

9. Гайштут О. Г., Литвиненко Г. М. Розв’язування алгебраїчних задач. – К.:

Рад. шк., 1991.

10. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных

экзаменов по математике. – М.: Наука, Главная редакция физико-

математической литературы, 1980.

11. Письменный Д. Т. Готовимся к экзамену по математике. – М.: Айрис,

1996.

12. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Учеб. пособие/

В. К. Егерев, Б. А. Кордемский, В. В. Зайцев и др.; Под ред. М. И. Сканави.

– 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1988.

13. Сборник конкурсных задач по математике с методическими указаниями и

решениями для поступающих в Харьковский авиационный институт.

Книга 2 / И. В. Брысина, А. В. Головченко, А. Г. Николаев, В. А. Рвачев,

29

Е.П. Томилова, Е. Г. Ушакова, В. В. Хоменко. – Харьков: Харьк. авиац. ин-

т, 1996.

14. Уравнения с параметрами. http :// www . ref . by / refs /49/10079/1. html

15. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных

учебных заведений. – К.: Зодиак-ЭКО, 2007.

16. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра: Учебник для 8 класса

общеобразовательных учебных заведений. – Х.: Гимназия, 2008.

17. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: Учебник для 7-9 классов средней школы. –

К.: "Освіта", 1998.

30

ДОДАТКИ

1. Определить, при каких значениях параметра t уравнения имеют

положительные решения: 4 – t = .

2. Найти все х, удовлетворяющие условию:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Ответы

2. а) Если а = 0, то нет решений; если а 0, то х = .

в) Если а = 0, то нет решений; если а 0, то х = .

г) Если а = 0, то нет решений; если а 0, то х = .

31

ДОДАТКИ

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

1. Найти все значения параметра а, для каждого из которых числа х и у,

удовлетворяющие системе уравнений

х + у = а,

2х – у = 3,

удовлетворяют также неравенству х > у.

2. Найти все значения параметра b, для каждого из которых числа х и у,

удовлетворяющие системе уравнений

2х + у = b + 2,

х – у = b,

удовлетворяют также неравенству х – у < 0.

3. Найти все значения параметра c, для каждого из которых числа х и у,

удовлетворяющие системе уравнений

х + 7у = c,

2х – у = 5,

удовлетворяют также неравенству х > у – 2.

4. Найти все значения параметра b, при каждом из которых система

уравнений

bx + 2y = b + 2,

2bx + (b + 1)y = 2b + 4 имеет хотя бы одно решение.

5. Найти все значения параметра d, при каждом из которых система

уравнений

(2 – d)x + d2y = 3d2 + 2,

(2d – 1)x + dy = d – 1 имеет хотя бы одно решение.

6. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система

уравнений

2x + (9а2 - 2)y =6а – 2,

x + y = 1 не имеет ни одного решения.

32

7. Найти все значения параметра с, при каждом из которых система

уравнений

– 4х + су = 1 + с,

(6+ с)х + 2у = 3 + с не имеет ни одного решения.

8. Определить, при каких значениях параметра а система уравнений имеет

ровно два решения.

а) х2 + у2 = 2 (1 + а),

(х + у)2 = 14.

б) х2 + у2 = 2 а,

ху = а – .

в) (х – у)2 = ,

х у = 5а – .

г) (х – у)2 = 6а – 14,

х2 + у2 = 3 (2+ а).

ОТВЕТЫ

1. a < 6.

2. b < 0.

3. c < 70.

4. – < b < 0, 0 < b < + .

5. – < d < – 1, – 1 < d < 1, 1 < d <+ .

6. a = .

7. c = – 4.

8. а) а = ; б) а = ; в) а = ; г) а = .

33

ДОДАТКИ

НЕРАВЕНСТВА

1. При каких значениях параметра а неравенство справедливо

при всех значениях х?

Решение.

Так как х2 + х + 1>0 для всех значениях х, то полученное неравенство примет

вид: 2х2 + (a+3)x +2>0

Так как старший коэффициент положительное число ,то должны выполняться

условия: D<0, то есть

(а+3)2 – 16 < 0

a2 + 6a + 9 – 16 < 0

a2 + 6a -7 < 0,

a2 + 6a – 7=0,

a1 = 1, a2 = -7.

a (-7;1)

2) Решите неравенство ax + b > cx + d;

34

Решение.

Исходное неравенство равносильно следующему

(a - c)x > d - b

откуда следует, что

1. если a > c, то a - c > 0 и, следовательно,

2. если a < c, то 

3. если a = c и d ≥ b, то множество решений неравенства пусто;

4. если a = c и d < b, то x є R.

35