Embed Size (px)
Citation preview
№ 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
22
МАТ
ЕМАТ
ИКА
В Ш
КОЛ
АХ У
КРАЇ
НИ
Не секрет, что в первых числах сентября, в самом начале нового учебного года, препо-давателям приходится приводить ребят в необ-ходимую форму, а иногда даже и в чувство — после длительных летних каникул. Конечно, хочется потратить на это как можно меньше времени. Тем более, что не за горами — оче-редные математические регаты, карусели, бои, олимпиады… И здесь, в деле скорейшего вос-становления формы, существенна роль таких задач, которые нетрудны и игривы — с одной стороны — и вместе с тем качественны и полез-ны — с другой. Они позволяют быстро вспом-нить и повторить важнейшие факты, формулы, теоремы.
Вот о таких задачах, которые представ-ляются целесообразными в начале девятого класса (и даже в сильном восьмом классе), мы и поведем разговор. Во всех из них вопрос (ес-ли очень кратко) будет один и тот же: КАК? Вариантов ответа получается ровно два: НИ-КАК! или ВОТ КАК! Понятно, что оба варианта должны быть сопровождены соответствующими (порой весьма короткими) пояснениями. Итак, приступаем…
Задача 1. Как построить треугольник, в ко-тором инцентр делит биссектрису пополам?
НИКАК! Пусть инцентр I (точка пересечения бис-
сектрис) делит биссектрису AL треугольника ABC пополам, то есть AI IL= (рис. 1). По-
скольку известно, что
AI
IL
b c
a= +
(важнейшее свойство инцентра), то получаем:
b c a+ = .
Однако это противоречит неравенству треуголь-ника:
b c a+ > .
А
b c
I
a
L BC
рис. 1
Задача 2. Как провести на плоскости хотя бы одну прямую, равноудаленную от трех дан-ных точек?
ВОТ КАК!Если три данные точки лежат на одной пря-
мой (например, l), то любая прямая, проведен-ная параллельно l, будет искомой. Если же три данные точки образуют, скажем, треугольник ABC, то искомой будет любая из прямых, со-
держащих среднюю линию треугольника ABC. Например, KN BC|| (рис. 2). Действительно,
AD BE CF= = (покажите!).
А
F K N E
D
C B
рис. 2
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
день ГеоМетрических Знаний 9 класс
Г. Б. Филипповский, г. Киев
№ 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
23
МАТ
ЕМАТ
ИКА
В Ш
КОЛ
АХ У
КРАЇ
НИ
описанный около треугольника ABC. Если же в треугольник ABC один из углов не меньше 90° (например, A ≥ °90 ), то искомым будет круг, построенный на BC как на диаметре (рис. 4). Действительно, для всех других кру-гов BC будет лишь хордой, но не диаметром.
Самостоятельно покажите, какой круг бу-дет «наименьшим», если точки A, B и C ле-жат на одной прямой.
Задача 5. Как найти гипотенузу прямоуголь-ного треугольника с радиусом вписанной окружности 4 и одним из катетов, равным 6?
НИКАК!Пусть a и b — катеты ( a = 4), c — гипо-
тенуза и r = 4. Тогда согласно формуле
ra b c= + −
2
имеем:
ra c b a= − − <2 2 2
— радиус вписанной окружности должен быть меньше половины любого из катетов. А у нас
46
23> = .
Задача 6. Как быстро измерить толщину ли-ста бумаги?
ВОТ КАК!Возьмем стопку из большого количества
листов (например, 100 листов). Измерим тол-щину стопки и разделим на 100.
Задача 7. Как найти углы треугольника ABC, если около четырехугольника BICT
можно описать окружность, где T — точка, симметричная инцентру I относительно сто-роны BC (рис. 5)?
НИКАК!Известно, что
∠ = ° +BICA
902
.
Тогда и
∠ = ° +BTCA
902
(из соображений симметрии). Так как сумма этих двух углов больше, чем 180°, то около четыре-хугольника BICT нельзя описать окружность.
Задача 3. Как разделить отрезок AK на три равные части, не прибегая к использованию теоремы Фалеса?
ВОТ КАК!Через точку K произвольно проводим пря-
мую и откладываем на ней отрезки KB KC= (рис. 3). Соединяем точку A с точкой B и C. Делим AC пополам (точка N) и прово-дим медиану BN в треугольнике ABC. Тог-да M BN AK= ∩ — точка пересечения медиан в треугольнике ABC. А это значит, что
AM MK: := 2 1.
Остается разделить отрезок AM пополам (точ-ка T):
AT TM MK= = .
А
TN
M
C K B
рис. 3
Задача 4. Как построить круг наименьшего радиуса, содержащий три данные точки A, B и C?
ВОТ КАК!
А
BC
рис. 4
Если данные точки образуют остроугольный треугольник ABC, то, очевидно, это будет круг,
№ 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
24
МАТ
ЕМАТ
ИКА
В Ш
КОЛ
АХ У
КРАЇ
НИ
∠ = ° +AFBC
902
( F AL BD= ∩ ).
А
QF
C K B
рис. 6
А
C L B T
D
F
рис. 7
Задача 11. Как, проведя не более трех ли-ний, построить в данном квадрате ABCD угол, равный 15°?
ВОТ КАК!Из вершин A и D раствором циркуля,
равным стороне квадрата, делаем две засечки. Пусть они пересекаются в точке T. Тогда тре-тья линия TB дает искомый угол: ∠ = °TBC 15 (рис. 8). Действительно,
B
А
C
D
T2 3
1
рис. 8
А
I
T
BC
рис. 5
Задача 8. Как найти углы выпуклого 360-угольника, если все они выражаются целым числом градусов?
ВОТ КАК! Если внутренний угол выража-ется целым числом градусов, то и внешний — тоже целым числом градусов. Известно, что сумма всех внешних углов равна 360°. Тогда (поскольку все они равны целому числу граду-сов) каждый внешний угол равен 1°. Тогда все искомые углы равны по 359°.
Задача 9. Как найти точку Q на стороне AC треугольника ABC, чтобы медиана AK
делила отрезок BQ пополам?НИКАК!Пусть такая точка Q найдена и BF FQ= ,
где F AK BQ= ∩ (рис. 6). Тогда FK — средняя линия в треугольнике BQC. То есть, отрезок FK должен быть параллелен CQ. Но прямые CQ и FK пересекаются в точке A. Противо-речие…
Задача 10. Как найти углы треугольника ABC, в котором внешняя биссектриса угла A
параллельна внутренней биссектрисе угла B?НИКАК!Пусть AT — внешняя биссектриса угла A
и BD — внутренняя биссектриса угла B. Про-ведем AL — внутреннюю биссектрису угла A (рис. 7). Очевидно, ∠ = °LAT 90 — угол между биссектрисами смежных углов. Согласно усло-вию AT BD|| . Следовательно, и угол между AL и BD равен 90°, чего быть не может. Поскольку
№ 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
25
МАТ
ЕМАТ
ИКА
В Ш
КОЛ
АХ У
КРАЇ
НИ
А
BC
рис. 10
А
C BK
N
T
12
3
рис. 11
Задача 15. Как, пользуясь только линейкой, построить в каждой из двух пересекающихся окружностей по хорде, чтобы эти хорды были параллельны друг другу?
ВОТ КАК!Пусть окружности пересекаются в точках
A и B. Через точку A проведем произволь-но секущую C A D− − . А через точку B (тоже
∠ = ° − ° = °1 90 60 30 .
Тогда
∠ = ∠ = ° − ° = °2 3180 30
275 .
А ∠ = ° − ∠ = ° − ° = °TBC 90 2 90 75 15 .
Задача 12. Как расположить на плоскости 6 точек, чтобы любые три из них были верши-нами равнобедренного треугольника?
ВОТ КАК!Такими точками могут быть вершины пра-
вильного пятиугольника ABCDE и его центр O (рис. 9).
А
E BO
D C
рис. 9
Задача 13. Как нарисовать на плоскости че-тыре разные окружности и три различные пря-мые — таким образом, чтобы каждая прямая касалась любой из окружностей?
ВОТ КАК! Рис. 10! Это как раз тот случай, когда три прямые
в пересечении образуют треугольник ABC, а окружности — это вписанная в него окруж-ность, а также три вневписанные окружности этого треугольника.
Задача 14. Как построить прямую, образую-щую равные углы со сторонами треугольника?
НИКАК!Пусть такая прямая N K T− − существует
и ∠ = ∠ = ∠1 2 3 (рис. 11). Но ∠ = ∠1 3 — вну-тренние накрест лежащие, из чего следует, что прямые BA и CA — параллельны. А они пересекаются в вершине A.
№ 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
26
МАТ
ЕМАТ
ИКА
В Ш
КОЛ
АХ У
КРАЇ
НИ
1 4
32
C
K А B N
рис. 14
ВОТ КАК!Пусть
∠ = ∠ =1 2 a и ∠ = ∠ =3 4 b.
Тогда 90 2 2 180° + + = °a b — сумма углов треугольника ( ∆KCN). Следовательно,
2 2 90a b+ = ° и a b+ = °45 .
Значит,
∠ = ° + + = ° + ° = °KCN 90 90 45 135a b .
Задача 19. Как на медиане AK треугольни-ка ABC построить точку Q такую, чтобы
∠ = ∠CQK BAK ( AC AB> )?
ВОТ КАК!
2
1
А
C B
Q
D
N
K
рис. 15
Из точки C раствором циркуля, равным AB, делаем засечку на медиане AK (вторая
точка пересечения будет на продолжении ме-дианы). Получим искомую точку Q. И вот по-чему: проведем перпендикуляры BD и CN к прямой AK (рис. 15). Они равны, так как ∆ ∆BDK CNK= — по гипотенузе и острому углу.
произвольно) — секущую K B N− − (рис. 12). Покажем, что CK DN|| . Соединим точки A и B. Обозначим ∠ACK через a. Тогда
∠ = ° −ABK 180 a.
А смежный с ним ∠ =ABN a. Поскольку четы-рехугольник ABND — вписанный, то
∠ = ° −ADN 180 a .
Углы KCD и NDC — внутренние односторон-ние при прямых CK и DN. Так как их сумма равна 180°, то CK DN|| .
C
K
B
АD
N
a
a180° − a
180° − a
рис. 12
Задача 16. Как нарисовать два треугольни-ка, чтобы каждая сторона первого была боль-ше каждой стороны второго, а площадь была большей у второго?
ВОТ КАК! — рис. 13.
1ый 2ой
рис. 13
Задача 17. Как построить треугольник, у ко-торого центры вписанной и описанной окруж-ностей совпадают, а точки пересечения высот и медиан — нет?
НИКАК!Если любые две из указанных четырех то чек
совпадают, то совпадают и все четыре, и тре-угольник является правильным. Покажите!
Задача 18. Как найти величину угла KCN в предложенной на рис. 14 конструкции?
№ 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
27
МАТ
ЕМАТ
ИКА
В Ш
КОЛ
АХ У
КРАЇ
НИ
Тогда равны треугольники ABD и CNQ — по катету и гипотенузе. Следовательно,
∠ = ∠1 2, или ∠ = ∠CQK BAK.
Задача 20. Как найти основание BC равно-бедренного треугольника ABC ( AB AC= ), в ко-тором радиусы вписанной и описанной окруж-ностей соответственно равны
r = 3 см и R = 5 см?
НИКАК!Такого треугольника не существует, по-
скольку в любом треугольнике должно быть выполнено неравенство R r≥ 2 (покажите!).
Несколько задачек на предложенную тему можно порекомендовать для самостоятельного решения.
Задача 21. Как построить точку K внутри треугольника ABC, чтобы ∠BKC был меньше, чем ∠BAC?
Задача 22. D, E, F — точки касания впи-санной в треугольник ABC окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Как найти углы треугольника ABC, если треуголь-ник DEF — прямоугольный?
Задача 23. Как найти расстояние между ортоцентром (точкой пересечения высот) и цен-тром описанной окружности для прямоугольно-го треугольника с гипотенузой, равной 13?
Задача 24. Как определить вид треугольни-ка, в котором расстояние от одной из вершин до центроида (точки пересечения медиан) равно радиусу вписанной в этот треугольник окруж-ности?
Задача 25. Как построить треугольник, все высоты которого меньше 1 см, а площадь — больше, чем 1 м2?
Замечание 1. Ответы НИКАК! Будут содер-жаться в задачах с номерами: 21, 22, 24.
Замечание 2. Очевидно, каждый преподава-тель может предложить свой набор задач для быстрейшего восстановления формы учащими-ся. Все зависит от вкуса, предпочтений, опыта. Важно только, чтобы они приносили пользу и вызывали интерес у ребят.
№ 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
