07 02 distribucion de proporciones muestrales

ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

CIENCIAS DE LA SALUD.

CAPÍTULO 7: MÉTODOS DE

MUESTREO Y DISTRIBUCIÓN DE

PROPORCIONES MUESTRALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Agosto de 2015.

Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las proporciones muestrales.

Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

6.3.- LA DISTRIBUCIÓN DE LAS PROPORCIONES MUESTRALES.

Distribución de las proporciones muestrales

De cualquier población es posible obtener muchas muestras diferentes de un tamaño

dado. Cada muestra tendrá su propia proporción de éxitos (p). Sin embargo, al igual que

con las medias, el valor esperado de la distribución muestral de las proporciones será igual

a la proporción de éxitos en la población.

)( pE , donde

p es la proporción de éxito de la muestra

es la proporción de éxito de la población

El valor esperado (medias) de la distribución muestral es: k

ppE

)(

El error estándar es: n

p

)1(

Si 05.0N

n, se requiere de un factor de corrección, por lo tanto el error estándar se

determina de la siguiente manera: 1

)1(

N

nN

np

Distribución en el muestreo de una proporción muestral

Sea p la proporción de éxito en una muestra aleatoria de n observaciones, entonces:

La distribución muestral de la proporción (p) tiene media , es decir: )( pE .

La distribución muestral de la proporción tiene desviación estándar o error estándar:

np

)1(

Nota: Si el tamaño muestral n no es una fracción pequeña del tamaño poblacional N,

entonces, al error estándar se le aplicará un factor de corrección, es decir:

Si 05.0N

nse requiere de un factor de corrección, por lo tanto, el error estándar a utilizar

sería: 1

)1(

N

nN

np



Si la distribución de la población es normal, entonces p

pZ

sigue una distribución

normal estándar.

A medida que aumenta el tamaño de la muestra, es decir, a medida que n , la

distribución muestral de la proporción se aproxima a la distribución normal

independientemente de la distribución de la población de origen de la muestra. La

aproximación es suficientemente buena cuando 30n , entonces, el teorema del límite

central es aproximadamente válido y se aplica la distribución normal estándar (z).

Ejemplo 7.15.

[AW] Un anunciante pregunta a toda la población N = 4 clientes si vieron el anuncio

publicitario en el periódico esta mañana. Se registró la respuesta de “si” como éxito, y de

“no” como fracaso. Los cuatro clientes respondieron S1, N2, N3 y S4. Considere todas las

muestras posibles de tamaño dos que pueden obtenerse sin reemplazo de esta población.

Encuentre:

a) La proporción poblacional de éxitos.

b) El valor esperado de la distribución de las proporciones muestrales.

c) La desviación estándar de la distribución de las proporciones muestrales.

Solución.

4N Tamaño de la población.

2n Tamaño de la muestra.

a) Proporción de éxitos en la población.

Éxito: El cliente responde “Si”.

Número de éxitos: 2x

N

xp

4

2p

5.0p

Distribución de las proporciones muestrales.



Para muestras de tamaño 2. Cantidad de muestras:

nN Ck

24 Ck

6k muestras.

Las proporciones muestrales se muestran a continuación.

Muestra Elementos de

la muestra

Número de

éxitos en la

muestra.

Proporción de

éxitos en la

muestra, ip

1 S1 - N2 1 0.5

2 S1 – N3 1 0.5

3 S1 – S4 2 1

4 N2 – N3 0 0

5 N2 – S4 1 0.5

6 N3 – S4 1 0.5

6 3

Valor esperado de la distribución de las proporciones muestrales.

k

ppE

)(

6

3)( pE

5.0)( pE

Se verifica que el valor esperado de la distribución de las proporciones muestrales es igual

a la proporción poblacional.

d) Desviación estándar de la distribución de proporciones muestrales.

k

ppi

p

2)(

6

)5.05.0()5.05.0()5.00()5.01()5.05.0()5.05.0( 222222 p

2886.0p

Este valor se puede determinar de manera directa con la fórmula apropiada tal como se

muestra a continuación.



Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario determinar la relación N

n

para conocer si se debe aplicar el factor de corrección por población finita.

4

2

N

n

5.0N

n

Puesto que 05.0N

n, se debe aplicar el factor de corrección por población finita, por lo

tanto la desviación estándar de la proporción poblacional se calcula a partir de la ecuación:

1

)1(

N

nN

np

14

24

2

)5.01(5.0

p

2886.0p

Ejemplo 7.15.

[WM] Los siguientes datos representan las respuestas obtenidas de la población de rectores

del Consejo Nacional Electoral a la pregunta: “¿Tiene usted actualmente intenciones de

lanzarse a la reelección?”. Las respuestas fueron: N1, Y2, N3, N4, N5, donde Y es si y N es

no. Determine la distribución de las proporciones muéstrales para muestras de tamaño 3 sin

reemplazo, el valor esperado y el error estándar.

Solución.



Proporción de éxitos en la población.

Éxito: El rector responde “Si”.

Número de éxitos: 1x

N

xp



5

1p

2.0p



nN Ck

35 Ck

10k muestras.

Las proporciones muestrales se muestran a continuación.

Muestra Elementos de

la muestra

Número de éxitos en la

muestra.

Proporción de éxitos en la

muestra, ip

1 N1 – Y2 – N3 1 0.3333

2 N1 – Y2 – N4 1 0.3333

3 N1 – Y2 – N5 1 0.3333

4 N1 – N3 – N4 0 0.0000

5 N1 – N3 – N5 0 0.0000

6 N1 – N4 – N5 0 0.0000

7 Y2 – N3 – N4 1 0.3333

8 Y2 – N3 – N5 1 0.3333

9 Y2 – N4 – N5 1 0.3333

10 N3 – N4 – N5 0 0.0000

2.0000


k

ppE

)(

10

2)( pE

2.0)( pE



Desviación estándar de la distribución de proporciones muestrales.



k

ppi

p

2)(

10

)3333.00000.0()3333.03333.0(...)3333.03333.0()3333.03333.0( 2222 p

1633.0p




n


5

3

N

n

6.0N

n

Puesto que 05.0N



1

)1(

N

nN

np

15

35

3

)2.01(2.0

p

1633.0p

Ejemplo 7.16.

Se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos defectuosos. Se van a

seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la distribución muestral de

proporciones para el número de piezas defectuosas.

Solución.

Éxito: El artículo es defectuoso.




4x Número de éxitos en la población.


Proporción de éxitos en la población.

N

xp

12

4p

3333.0p



nN Ck

512Ck

792k muestras.

Las proporciones muestrales se muestran a continuación. Obsérvese que es imposible

obtener 5 artículos defectuosos en la muestra, pues solo hay 4 defectuosos, y siendo la

muestra de tamaño 5, siempre en la muestra hay por lo menos uno no defectuoso.

Artículos

defectuosos en

la muestra

Artículos no

defectuosos en

la muestra

Proporción de artículos

defectuosos en la muestra

( ip )

Número de maneras en

que se puede obtener la

muestra ( in )

0 5 0.0 565804 CC

1 4 0.2 2804814 CC

2 3 0.4 3363824 CC

3 2 0.6 1122834 CC

4 1 0.8 81844 CC

792


k

pnpE

ii)(



792

88.01126.03364.02802.0560.0)(

pE

3333.0)( pE



Desviación estándar de la distribución de proporciones muestrales.

k

ppn ii

p

2)(

792

)3333.08.0(8)3333.06.0(112...)3333.02.0(280)3333.00.0(56 2222 p

1682.0p




n


12

5

N

n

4167.0N

n

Puesto que 05.0N



1

)1(

N

nN

np

112

512

5

)3333.01(3333.0

p

1682.0p



Ejercicios propuestos.

48. [JF] Los siguientes datos representan las respuestas obtenidas de una población de

universitarios a la pregunta: “¿Tiene usted actualmente acciones bursátiles de cualquier

tipo?”. Las respuestas fueron: N1, N2, Y3, N4, Y5 y Y6, donde Y es si y N es no.

Determine la distribución de las proporciones muéstrales, el valor esperado y el error

estándar para muestras de tamaño a) 2 y b) 3 sin reemplazo.

Ejemplo 7.15.

[RV] Se sabe que el 60% de los adultos de un área geográfica asiste regularmente a los

servicios religiosos. Se obtiene una muestra de 150 adultos de esta área. ¿Cuál es la

probabilidad de que la proporción muestral esté comprendida entre 0.50 y 0.70, ambos

inclusive?

Solución.

60.0 Proporción de la población.


?)70.050.0( pP

Desviación estándar de la distribución muestral de proporciones.

np

)1(

150

)60.01(60.0 p

04.0p

ppp

pPpP

70.050.0)70.050.0(

04.0

60.070.0

04.0

60.050.0)70.050.0( zPpP

)50.250.2()70.050.0( zPpP



)50.2()50.2()70.050.0( pP

)50.2(2)70.050.0( pP

)4938.0(2)70.050.0( pP

9876.0)70.050.0( pP

Ejemplo 7.16.

Un fabricante de desodorantes recibe cada semana lotes de 10000 válvulas para los tarros

rociadores. Para aceptar o rechazar dichos lotes, selecciona al azar 400 válvulas de cada

lote. Si el 2% o más resultan defectuosas, se rechaza el lote. En caso contrario se acepta el

lote. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga el 1% de las válvulas

defectuosas?

Solución.




?)02.0( pP


n


10000

400

N

n

04.0N

n



Puesto que 05.0N

n, no se debe aplicar el factor de corrección por población finita, por lo

tanto la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones se calcula a partir

de la ecuación:

np

)1(

400

)01.01(01.0 p

004975.0p

pp

pPpP

02.0)02.0(

004975.0

01.002.0)02.0( zPpP

)01.2()02.0( zPpP

)01.2(5.0)02.0( pP

4778.05.0)02.0( pP

0222.0)02.0( pP



Ejemplo 7.18 Toma de decisiones en base a una distribución de las proporciones

muestrales y probabilidades.

[AW] Nokia adquiere componentes para sus teléfonos celulares en lotes de 200 de una

firma en Palo Alto. El componente tiene una tasa de defectos del 10%. Una política

establecida recientemente por Nokia establece que si el siguiente envió tiene:

a) Más del 12% de defectos, definitivamente buscará un nuevo proveedor.

b) Entre el 10 y el 12% de defectos, considerará un nuevo proveedor.

c) Entre el 5 y el 10% de defectos, definitivamente no conseguirá un nuevo proveedor.

d) Menos del 5% de defectos, incrementará sus pedidos.

¿Cuál decisión es más probable que tome la empresa?

Solución.



a) ?)12.0( pP

b) ?)12.010.0( pP

c) ?)10.005.0( pP

d) ?)05.0( pP

Desviación estándar de la distribución muestral de proporciones.

np

)1(

200

)10.01(10.0 p

0212.0p

a)

pp

pPpP

12.0)12.0(

0212.0

10.012.0)12.0( zPpP

)94.0()12.0( zPpP



)94.0(5.0)12.0( pP

3264.05.0)12.0( pP

1736.0)12.0( pP

b)

ppp

pPpP

12.010.0)12.010.0(

0212.0

10.012.0

0212.0

10.010.0)12.010.0( zPpP

)94.000.0()12.010.0( zPpP

)94.0()12.010.0( pP

3264.0)12.010.0( pP

c)

ppp

pPpP

10.005.0)10.005.0(

0212.0

10.010.0

0212.0

10.005.0)10.005.0( zPpP



)00.036.2()10.005.0( zPpP

)36.2()10.005.0( pP

4909.0)10.005.0( pP

d)

pp

pPpP

05.0)05.0(

0212.0

10.005.0)05.0( zPpP

)36.2()05.0( zPpP

)36.2(5.0)05.0( pP

4909.05.0)05.0( pP

0091.0)05.0( pP

En base a los resultados de probabilidad de los ítem a, b, c y d, la decisión más probable

que tome la empresa es definitivamente no conseguir un nuevo proveedor.



Ejercicios propuestos.

49. [AW] Una corporación va a hacer una nueva emisión de acciones. La ley exige que a

los accionistas actuales se les debe dar la primera opción de compra de toda nueva emisión.

La gerencia considera que el 45% de los accionistas actuales desearán comprar. Se

selecciona una muestra aleatoria de 130 accionistas, 63 de los cuales expresan su deseo de

comprar.

a) ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?

b) ¿Cuál es la media de la distribución de las proporciones muestrales?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener los resultados descritos en el problema si 45.0 ?

Respuesta: a) 0.044; b) 0.45; c) 0.2483.

50. Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman

cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de

que la proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55.

Respuesta: 0.0017.

51. [AW] Traki ha determinado que el 17% de todas las comprar hechas durante la época

de navidad son devueltas. Si la tiene vende 150 video juegos, ¿cuál es la probabilidad de

que máximo el 20% sea devuelto?

52. Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios

pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los

usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar

estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la

muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.

Respuesta: 0.1685

53. [AW] Un proceso industrial general el 8% de unidades defectuosas. Usted compra 100

unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que menos del 10% sean defectuosas?

Respuesta: 0.7704.

54. [AW] Las cifras nacionales muestran que el 32% de todos los estudiantes pierde su

primer examen de estadística. Si se seleccionan aleatoriamente 100 estudiantes, ¿cuál es la

probabilidad de que más de 40 lo pierdan?



55. [MS] Se ha encontrado que 2% de las herramientas producidas por cierta máquina son

defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que de un cargamento de 400 de estas

herramientas sean defectuosas a) 3% o más, b) 2% o menos?

Respuesta: a) 0.1056; b) 0.5714.

56. [JF] Millones de personas organizan sus planes de viaje por Internet. De acuerdo con un

artículo publicado en una revista, el 77% de los viajeros compran boletos de avión por

Internet. Si usted selecciona una muestra aleatoria de 200 viajeros. Determine: ¿Cuál es la

probabilidad de que la muestra contenga entre el 75% y el 80% de viajeros con boleto

comprado en Internet?

57. Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricados por una

firma es de 4%. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60

tenga:

a) Menos del 3% de los componentes defectuosos.

b) Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas.

Respuesta: a) 0.2327; b) 0.3290.

57. [MS] Encuentre la probabilidad de que de los siguientes 200 bebés que nazcan a) menos

del 40% sean niños, b) entre 43% y 57% sean niñas, c) más de 54% sean niños. Suponga

que la probabilidad de nacimiento de niña y niño es igual.

Respuesta: a) 0.0029; b) 0.9596; c) 0.1446;

58. [MS] De 1000 muestras cada una de 200 infantes, ¿en cuántas esperaría usted encontrar

que a) menos de 40% son niños, b) entre 40% y 60% son niñas, c) 53% o más son niñas? d)

Desarrolle el problema si en lugar de considerar muestras de 200, se toman de 100, y

explique la diferencia.

Respuesta: a) 2; b) 996; c) 218; d) 18, 867, 185.

59. [MS] Un fabricante despacha 1000 lotes, cada uno de 100 bombillas eléctricas. Si

normalmente el 5% de las bombillas es defectuoso, ¿en cuántos lotes esperaría usted

encontrar a) menos de 90 bombillas buenas, b) 98 o más bombillas buenas?

Respuesta: a) 19; b) 125.



60. [MS] Una urna contiene 80 canicas de las cuales 60% son rojas y 40% son blancas. De

50 muestras de 20 canicas, cada una seleccionada con reemplazo, ¿cuántas muestras pueden

esperarse que consten de a) número igual de canicas rojas y blancas?, b) 12 canicas rojas y

8 blancas, c) 8 canicas rojas y 12 blancas, d) 10 o más canicas blancas?

Respuesta: a) 6, b) 9, c) 2; d) 12.



BIBLIOGRAFÍA.

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IBARRA, R, Módulo de distribuciones muestrales, 2a ed., IMPREUPEL, Caracas, 2005.

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MILTON, S y ARNOLD, J, Probabilidad y Estadística con aplicaciones para ingeniería y

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MONTGOMERY, D., y RUNGER, G, Probabilidad y estadística aplicadas a la

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WEBSTER, A, Estadística Aplicada a los negocios y la economía., Tercera Edición.,

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Education

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