Βασικές έννοιες: Μέτρηση, μονάδες μέτρησης, μήκος, εμβαδόν, όγκος

Στόχοι

• Μέτρηση μήκους και απόστασης

• μέτρηση του εμβαδού γεωμετρικών και μη γεωμετρικών σχημάτων

• μέτρηση του όγκου ενός στερεού και υγρού.

Χάρακας, μετροταινία, χαρτί μιλιμετρέ, νερό, ογκομετρικός σωλήνας, κομμάτια πλαστελίνης

Μέτρηση μήκους

α. Με το χάρακά μετρήστε πέντε φορές το μήκος, το πλάτος και το πάχος του βιβλίου σας (ή του τετραδίου σας) και καταχωρίστε τις τιμές στον πίνακα που ακολουθεί:

μήκος βιβλίου πλάτος βιβλίου πάχος βιβλίου

1η μέτρηση

2η μέτρηση

3η μέτρηση

4η μέτρηση

5η μέτρηση

μέση τιμή

H μέση τιμή = Άθροισμα των μετρήσεων/Πλήθος μετρήσεων = Μ1 +Μ2 +Μ3 +Μ4+Μ5/5

β. Μέτρησε πόσες σελίδες έχει το βιβλίο ή το τετράδιο και υπολόγισε τώρα το πάχος κάθε σελίδας του:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

1

Μέτρηση εμβαδού

α. Μέτρηση εμβαδού γεωμετρικών σχημάτων

Μετρήστε το εμβαδόν των γεωμετρικών σχημάτων που ακολουθούν και καταχωρίστε τις μετρήσεις σας στον

πίνακα που ακολουθεί.

σχήμα 1 σχήμα 2 σχήμα 3

σχήμα 4 σχήμα 5

εμβαδόν γεωμετρικού σχήματος

σχήμα 1

σχήμα 2

σχήμα 3

σχήμα 4

σχήμα 5

2

1. Εμβαδόν τριγώνου 2ώ

ά x ύAτριγ νου

β ση ψος=

2. Εμβαδόν ορθογωνίου . /Aά x ύορθ παρ µου β ση ψος=

3. Εμβαδόν κύκλου 2

2

4ύA rκ κλουδπ π= ⋅ = ⋅

4. Εμβαδόν τραπεζίου 2ί

ά ά ή άAύτραπεζ ου

εγ λη β ση µικρ β ση ψοςΜ += ⋅

β. Μέτρηση εμβαδού μη γεωμετρικού σχήματος

Να μετρήσετε το εμβαδόν του σχήματος.

Εμβαδόν: ………………………………………………………………………………………………………………………………..

3

Μέτρηση όγκου

α. Μέτρηση όγκου μη γεωμετρικών σχημάτων

Γεμίζουμε τον ογκομετρικό σωλήνα με νερό μέχρι τη μέση περίπου και

σημειώνουμε στον πίνακα που ακολουθεί την ένδειξη του ογκομετρικού

σωλήνα. Στη συνέχεια τοποθετούμε μέσα στο νερό ένα μικρό κομμάτι

πλαστελίνης και σημειώνουμε πάλι τη νέα ένδειξη στο σωλήνα. Η διαφορά

θα μας δώσει τον όγκο της πλαστελίνης. Το πείραμα μπορεί να γίνει τρεις

φορές για καλύτερα αποτελέσματα.

όγκος νερού χωρίς πλαστελίνη όγκος με πλαστελίνη όγκος πλαστελίνης

1η μέτρηση

2η μέτρηση

3η μέτρηση

β. Μέτρηση όγκου γεωμετρικών σχημάτων

Να υπολογίσετε τον όγκο των γεωμετρικών σχημάτων που ακολουθούν:

Όγκος σφαίρας ………………………………….

Όγκος κύβου ……………………………………

4

1. 34

3ίV rσφα ρας π=

2. 3ύVκ βου α=

Για τη μέτρηση μηκών με μεγαλύτερη ακρίβεια χρησιμοποιούμε παχύμετρα ή μικρόμετρα.

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΩΝ ΜΕ ΠΑΧΥΜΕΤΡΟ

11. Πρώτα εξετάζουμε τη διακριτική ικανότητα του βερνιέρου, δηλαδή εάν πρόκειται για μετρητικό με διακριτική ικανότητα 0,1, 0,05 ή 0,02 mm (πολλές φορές συμβολίζεται και ως 1/10, 1/20 και 1/50).

2

32. Διαβάζουμε τα χιλιοστά στην ένδειξη της ακίνητης κλίμακας (κανόνας)

43. Διακρίνουμε ποια γραμμή από τις διαβαθμίσεις του βερνιέρου αποτελεί προέκταση των γραμμών του κανόνα και αποφαινόμαστε για τα δεκαδικά. (ΠΡΟΣΟΧΗ στη διακριτική ικανότητα του οργάνου για να αποφανθούμε σωστά για το πόσα και ποια είναι τα δεκαδικά ψηφία της μέτρησης).

5

6

5

Ζ = 3,58 mm

ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΩΝ ΜΕ ΜΙΚΡΟΜΕΤΡΟ

11. Τα μικρόμετρα μας παρέχουν ενδείξεις ακριβείας της τάξεως του 0,01 mm

22. Διαβάζουμε την ένδειξη που είναι ορατή στο σταθερό κανόνα, στο άκρο του βαθμολογημένου τυμπάνου σε mm

33. Στη συνέχεια προσθέτουμε τα δεκαδικά ψηφία (εκατοστά του mm) που διαβάζουμε στον περιστρεφόμενο κανόνα, στην ευθεία που τέμνεται με τον σταθερό.

ΣφάλματαΗ Έννοια της Μέτρησης.

Μέτρηση είναι η σύγκριση ενός µεγέθους µε ένα πρότυπο αναφοράς. Ανάλογα µε τον τρόπο που γίνεται η σύγκριση αυτή, διακρίνουµε τις µετρήσεις σε άµεσες και έµµεσες. Μια µέτρηση είναι άµεση όταν η τιµή του µετρούµενου µεγέθους προκύπτει από µια και µόνο σύγκριση µε ένα συγκεκριµένο πρότυπο αναφοράς. Για παράδειγµα, η µέτρηση του µήκους ενός δρόµου είναι άµεση αφού το µήκος αυτό είναι ίσο µε τον αριθµό των διαδοχικών προτύπων µέτρων που απαιτούνται για να καλυφθεί το διάστηµα από την αρχή µέχρι το τέλος του δρόµου.

Μια µέτρηση είναι έµµεση, όταν η τιµή του µετρούµενου µεγέθους προκύπτει από τον αλγεβρικό συνδυασµό παραµέτρων των οποίων η τιµή έχει προκύψει από άµεσες µετρήσεις. Για παράδειγµα, η µέτρηση της ταχύτητας ενός κινητού είναι έµµεση δεδοµένου ότι για τον προσδιορισµό της πρέπει πρώτα να µετρήσουµε µε χρονόµετρο το χρόνο που απαιτείται να διανύσει το κινητό κάποιο διάστηµα. Το διάστηµα και ο χρόνος µετρούνται άµεσα ενώ η ταχύτητα προκύπτει από το πηλίκο «διάστηµα δια χρόνος».

Με τα δεδοµένα της σύγχρονης τεχνολογίας µπορούµε να ισχυριστούµε µε βεβαιότητα ότι είναι αδύνατη η πραγµατοποίηση µιας µέτρησης µε απόλυτη ακρίβεια. ∆εν επιτρέπεται σε καµιά περίπτωση να δηλώνουµε ότι το «µέγεθος Χ µετρήθηκε µε απόλυτη ακρίβεια». Αυτό προκύπτει και από την εξέλιξη του Μετρικού Συστήµατος η οποία έχει ως στόχο τον προσδιορισµό Προτύπων Αναφοράς τα οποία να εξασφαλίζουν την µέγιστη δυνατή ακρίβεια. Σε κάθε µέτρηση απαιτείται όπως κάθε µετρούµενο µέγεθος να συνοδεύεται και µε µια παράµετρο η οποία να δηλώνει το µέτρο

6

της ακρίβειας της µέτρησης. Η παράµετρος αυτή εκφράζει το σφάλµα της µέτρησης. Όσο πιο µικρή είναι η τιµή του σφάλµατος τόσο πιο µεγάλη είναι και η ακρίβεια της µέτρησης.

Σφάλµατα µετρήσεων.

Σε κάθε πειραµατική διαδικασία, η µέτρηση ενός φυσικού µεγέθους δίνει µια αριθµητική τιµή Χ η οποία αποκλίνει πάντοτε από την πραγµατική τιµή Α κατά ποσότητα δx. Η απόκλιση αυτή οφείλεται σε ανακρίβειες ή σφάλµατα τα οποία είναι αναπόσπαστα συνδεδεµένα τόσο µε τα µετρητικά όργανα όσο και µε τον τρόπο χρήσης των οργάνων αυτών, αλλά και µε τον παρατηρητή που κάνει τη µέτρηση. Ανεξάρτητα µε την προέλευσή τους, τα σφάλµατα διακρίνονται σε συστηµατικά και σε τυχαία σφάλµατα.

Συστηµατικά Σφάλµατα.

Τα συστηµατικά σφάλµατα ονοµάζονται και σταθερά σφάλµατα επειδή αυτά επηρεάζουν κατά τον ίδιο τρόπο µια πειραµατική µέτρηση. Αυτό σηµαίνει ότι η απόκλιση δx από τη πραγµατική τιµή του µετρούµενου µεγέθους έχει την ίδια τιµή, όσες φορές και αν γίνει η µέτρηση µε το ίδιο µετρητικό σύστηµα. Με άλλα λόγια, η µετρούµενη τιµή θα είναι πάντοτε µεγαλύτερη ή µικρότερη από τη πραγµατική τιµή κατά δx.

Ανάλογα µε τα αίτια που προκαλούν τα συστηµατική σφάλµατα, αυτά διακρίνονται στις παρακάτω κατηγορίες:

α. Σφάλµατα Οργάνων.

Τα µετρητικά όργανα αποτελούν τη βάση τόσο των µετρήσεων όσο και των σφαλµάτων που υπεισέρχονται σε αυτές. Κάθε όργανο µέτρησης αποτελείται κυρίως από ένα µηχανικό ή ηλεκτρονικό σύστηµα του οποίου η λειτουργία στηρίζεται πάνω σε συγκεκριµένη φυσική αρχή και το οποίο προσδιορίζει την τιµή που αντιστοιχεί στο µετρούµενο µέγεθος. Η τιµή αυτή αποδίδεται στον παρατηρητή κατά έµµεσο τρόπο µε τη βοήθεια βαθµονοµηµένης κλίµακας (π.χ. µετροταινίες, αναλογικά ηλεκτρικά όργανα) ή άµεσα µε τη βοήθεια ειδικής οθόνης (π.χ. ψηφιακά πολύµετρα). Όσον αφορά στο µηχανικό ή στο ηλεκτρονικό σύστηµα του οργάνου, είναι δυνατό δυο όργανα µε τις ίδιες λειτουργικές δυνατότητες, το ένα να έχει διαφορετική αξιοπιστία από το άλλο και φυσικά το όργανο µε την καλύτερη αξιοπιστία να είναι και ακριβότερο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι συνιστώσες των οργάνων µε µεγάλη αξιοπιστία είναι κατασκευασµένες από υλικά ειδικών προδιαγραφών τα οποία δεν επηρεάζονται από τις επιδράσεις του περιβάλλοντος (π.χ. τη θερµοκρασία, την υγρασία, τη σκόνη, τα εξωτερικά ηλεκτρικά πεδία, τους κραδασµούς κλπ.) αλλά και από τους αδέξιους χειρισµούς των παρατηρητών.

7

Το πιο κλασικό συστηµατικό σφάλµα που εισάγει ένα όργανο σε µια µέτρηση είναι η µετάθεση του µηδενός.

Παρατηρούµε ότι το µηδέν (0) της κλίµακας απέχει από την αρχή του χάρακα απόσταση δx, οπότε η αναµενόµενη θα είναι µεγαλύτερη κατά από την αντίστοιχη µετρούµενη κατά δx:

Χ (αναµενόµενη τιµή) = Χ (µετρούµενη τιµή) + δx

Αντίθετα, στο δεύτερο σχήμα παρατηρούµε ότι η αρχή του χάρακα είναι µετατοπισµένη δεξιά από το µηδέν της κλίµακας κατά ποσότητα δx. Στην περίπτωση αυτή, η αναµενόµενη τιµή θα είναι µικρότερη από την αντίστοιχη µετρούµενη τιµή κατά δx:

Χ (αναµενόµενη τιµή) = Χ (µετρούµενη τιµή) -δx

Τα ίδια ακριβώς ισχύουν και στην περίπτωση όπου η µέτρηση γίνεται µε αναλογικό ηλεκτρικό όργανο στο οποίο η βελόνη ενδείξεων δεν δείχνει µηδέν όταν το µετρούµενο µέγεθος (π.χ. η διαφορά δυναµικού, η ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος κλπ.) είναι µηδέν.

Από το παραπάνω παράδειγµα προκύπτει ότι τα συστηµατικά σφάλµατα που οφείλονται στην µετάθεση του µηδενός της κλίµακας του µετρητικού συστήµατος είναι δυνατόν να εκτιµηθούν και να απαλειφθούν από την µέτρηση.

Πέρα όµως από την µετάθεση του µηδενός, συστηµατικά σφάλµατα έχουµε και στις περιπτώσεις όπου η λειτουργία του µετρητικού οργάνου επηρεάζεται από εξωτερικούς περιβαλλοντικούς παράγοντες, π.χ. τη θερµοκρασία, την υγρασία, τον φυσικό φωτισµό κλπ.

β. Θεωρητικά Σφάλµατα.

Τα σφάλµατα αυτά εκδηλώνονται στις περιπτώσεις όπου η τιµή ενός φυσικού µεγέθους είναι αποτέλεσµα έµµεσης µέτρησης και ειδικότερα στις περιπτώσεις εκείνες όπου η θεωρητική σχέση που χρησιµοποιείται είναι προσεγγιστική.

8

γ. Προσωπικά Σφάλµατα.

Τα σφάλµατα αυτά οφείλονται στις προσωπικές ιδιοµορφίες και ικανότητες του παρατηρητή. Όσο πιο παρατηρητικός, προσεκτικός και υπεύθυνος είναι ο πειραµατιστής, τόσο πιο περιορισµένα είναι τα προσωπικά σφάλµατα. Το πιο συνηθισµένο παράδειγµα τέτοιου σφάλµατος είναι η εσφαλµένη ανάγνωση της ένδειξης του οργάνου, π.χ. ο αριθµός 3 µπορεί να καταγραφεί εκ παραδροµής ως 8. Αυτό φυσικά οδηγεί σε αποτελέσµατα που αποκλίνουν από τα πραγµατικά.

Αλλά και η σχετική θέση του παρατηρητή ως προς το µετρητικό όργανο είναι δυνατόν να επηρεάσει τη µέτρηση ενός µεγέθους.

Τυχαία Σφάλµατα Άµεσης Μέτρησης.

Τα τυχαία σφάλµατα που υπεισέρχονται κατά την άµεση µέτρηση ενός µεγέθους οφείλονται σε ακαθόριστους και τυχαίους παράγοντες, οι οποίοι είναι αναπόσπαστα συνδεδεµένοι τόσο µε το µετρητικό σύστηµα όσο και µε το αποτέλεσµα της µέτρησης. Ποσοτικά, τα τυχαία σφάλµατα καθορίζουν την περιοχή µέσα στην οποία είναι δυνατό να βρεθεί η αναµενόµενη και η πραγµατική τιµή του µετρούµενου µεγέθους. Πράγµατι, αν δx είναι το τυχαίο σφάλµα που συνοδεύει την µετρούµενη τιµή x ενός µεγέθους µε συγκεκριµένο µετρητικό σύστηµα, τότε η αναµενόµενη τιµή Α θα ευρίσκεται µέσα στο διάστηµα:

x – δx ≤ A ≤ x + δx

ή

Α = x ± δx

9