จำำนวนจรง

จำำนวนจรง

คอจำำนวนทสำมำรถจบคหนงตอหนงกบจดบนเสนตรงทมควำมยำวไมสนสด (เสนจำำนวน) ได คำำวำ จำำนวนจรง นนบญญตขนเพอแยกเซตนออกจำกจำำนวนจนตภำพจำำนวนจรงเปนศนยกลำงกำรศกษำในสำขำคณตวเครำะหจรง(real analysis)

คณสมบตและกำรนำำไปใช

หลกเกณฑในกำรแบงจำำนวนจรงอยหลำยเกณฑ เชน จำำนวนตรรกยะ หรอ จำำนวนอตรรกยะ; จำำนวนพชคณต (algebraic number) หรอ จำำนวนอดศย; และ จำำนวนบวก จำำนวนลบ หรอ ศนย จำำนวนจรงแทนปรมำณทตอเนองกน โดยทฤษฎอำจแทนไดดวยทศนยมไมรจบ และมกจะเขยนในรปเชน 324.823211247… จดสำมจด ระบวำยงมหลกตอๆไปอก ไมวำจะยำวเพยงใดกตำม

กำรวดในวทยำศำสตรกำยภำพเกอบทงหมดจะเปนกำรประมำณคำสจำำนวนจรง กำรเขยนในรปทศนยม (ซงเปนจำำนวนตรรกยะทสำมำรถเขยนเปนอตรำสวนทมตวสวนชดเจน) ไมเพยงแตทำำใหกระชบ แตยงทำำใหสำมำรถเขำใจถงจำำนวนจรงทแทนไดในระดบหนงอกดวย จำำนวนจรงจำำนวนหนงจะกลำวไดวำเปนจำำนวนทคำำนวณได (computable) ถำมขนตอนวธทสำมำรถใหไดตวเลขแทนออกมำ เนองจำกมจำำนวนขนตอนวธนบได (countably infinite) แตมจำำนวนของจำำนวนจรงนบไมได จำำนวนจรงสวนมำกจงไมเปนจำำนวนทคำำนวณได กลมลทธเคำโครง(constructivists) ยอมรบกำรมตวตนของจำำนวนทคำำนวณไดเทำนน เซตของจำำนวนทใหนยำมไดนนใหญกวำ แตกยงนบได

สวนมำกคอมพวเตอรเพยงประมำณคำของจำำนวนจรงเทำนน โดยทวไปแลว คอมพวเตอรสำมำรถแทนคำจำำนวนตรรกยะเพยงกลมหนงไดอยำงแมนยำำโดยใชตวเลขจดลอยตวหรอตวเลขจดตรงจำำนวนตรรกยะเหลำนใชเปนคำประมำณของจำำนวนจรงขำงเคยงอนๆ เลขคณตควำมละเอยดไมแนนอน (arbitrary-precision arithmetic) เปนขนตอนในกำรแทนจำำนวนตรรกยะโดยจำำกดเพยงหนวยควำมจำำทม แตโดยทวไปจะใชจำำนวนของบตควำมละเอยดคงทกำำหนดโดยขนำดของรจสเตอรหนวยประมวลผล (processor register) นอกเหนอจำกจำำนวนตรรกยะเหลำน ระบบพชคณตคอมพวเตอรสำมำรถจดกำรจำำนวนอตรรกยะจำำนวนมำก (นบได) อยำงแมนยำำโดยบนทกรปแบบเชงพชคณต (เชน "sqrt(2)") แทนคำประมำณตรรกยะ

นกคณตศาสตรใชสญลกษณ R (หรอ R- อกษร R ในแบบอกษร blackboard bold) แทนเซตของจำานวนจรง สญกรณ Rn แทนปรภม n มตของจำานวนจรง เชน สมาชกตวหนงจาก R3 ประกอบดวยจำานวนจรงสามจำานวนและระบตำาแหนงบนปรภมสามมต

นยำม

กำรสรำงจำกจำำนวนตรรกยะ

จำานวนจรงสามารถสรางเปนสวนสมบรณของจำานวนตรรกยะ สำาหรบรายละเอยดและการสรางจำานวนจรงวธอนๆดท construction of real numbers (กำรสรำงจำำนวนจรง)

วธสจพจนให R แทนเซตของจำำนวนจรงทงหมด แลว

• เซต R เปนฟลด หมำยควำมวำมกำรนยำมกำรบวกและกำรคณและมคณสมบตตำมปกต

• ฟลด R เปนฟลดอนดบ หมำยควำมวำมอนดบเชงเสน (total order) ≥ ซงสำำหรบทกจำำนวนจรง x y และ z: – ถำ x ≥ y แลว x + z ≥ y + z – ถำ x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว xy ≥ 0

• อนดบนนมควำมบรบรณเดเดคนท (Dedekind-complete) กลำวคอทกสบเซตทไมใชเซตวำง S ของ R ซงมขอบเขตบน ใน R ม ขอบเขตบนนอยสด ใน R

คณสมบตสดทำยนเปนตวแบงแยกจำำนวนจรงออกจำกจำำนวนตรรกยะ ตวอยำงเชน เซตของจำำนวนตรรกยะทมกำำลงสองนอยกวำ 2 มขอบเขตบน (เชน 1.5) แตไมมขอบเขตบนนอยสดทเปนจำำนวนตรรกยะ เพรำะวำรำกทสองของ 2 ไมเปนจำำนวนตรรกยะ

จำำนวนจรงนนมคณสมบตขำงตนเปนเอกลกษณ พดอยำงถกตองไดวำ ถำมฟลดอนดบทมควำมบรบรณเดเดคนท 2 ฟลด R1 และ R2 จะมสมสณฐำนฟลดทเปนเอกลกษณจำก R1 ไปยง R2 ทำำใหเรำสำมำรถมองวำทงคเปนวตถเดยวกน

คณสมบต

ความบรบรณ

เหตผลหลกในการแนะนำาจำานวนจรงกเพราะวาจำานวนจรงมลมต พดอยางเปนหลกการแลว จำานวนจรงมความบรบรณ (โดยนยของ ปรภมองระยะทาง หรอ ปรภมเอกรป ซงตางจากความบรบรณเดเดคนทเกยวกบอนดบในสวนทแลว) มความหมายดงตอไปนลำาดบ (xn) ของจำานวนจรงจะเรยกวา ลำาดบโคชถาสำาหรบ ε > 0 ใดๆ มจำานวนเตม N (อาจขนอยกบ ε) ซงระยะทาง |xn − xm| นอยกวา ε โดยท n และ m มากกวา N และอาจกลาวไดวาลำาดบเปนลำาดบโคชโคชถาสมาชก xn ของมนในทสดเขาใกลกนเพยงพอ

ลำำดบ (xn) ลเขำสลมต x ถำสำำหรบ ε > 0 ใดๆมจำำนวนเตม N (อำจขนอยกบ ε) ซงระยะทำง |xn − x| นอยกวำ ε โดยท n มำกกวำ N และอำจกลำวไดวำลำำดบมลมต x ถำสมำชกของมนในทสดเขำใกล x เพยงพอเปนเรองงำยทจะเหนวำทกลำำดบลเขำเปนลำำดบโคช ขอเทจจรงทสำำคญหนงเกยวกบจำำนวนจรงคอบทกลบของมนกเปนจรงเชนกน :

ลำำดบโคชทกลำำดบของจำำนวนจรงลเขำ

นนกคอ จำำนวนจรงนนบรบรณ

สงเกตวำจำำนวนตรรกยะนนไมบรบรณ เชน ลำำดบ (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) เปนลำำดบโคชแตไมลเขำสจำำนวนตรรกยะจำำนวนใดจำำนวนหนง (ในทำงกลบกน ในระบบจำำนวนจรง มนลเขำสรำกทสองของ 2)กำรมอยของลมตของลำำดบโคชทำำใหแคลคลสใชกำรได รวมไปถงกำรประยกตมำกมำยของมนดวย กำรทดสอบเชงตวเลขมำตรฐำนเพอระบวำลำำดบนนมลมตหรอไมคอกำรทดสอบวำมนเปนลำำดบโคชหรอไม ถำเรำไมทรำบลมตเหลำนนลวงหนำ

ตวอยำงเชน อนกรมพนฐำนของฟงกชนเลขชกำำลง

ลเขาสจำานวนจรงจำานวนหนงเพราะวาสำาหรบทกคาของ x ผลรวม

สามารถทำาใหมคานอยลงเพยงพอโดยเลอก N ทมคามากเพยงพอ นพสจนวาลำาดบนเปนลำาดบโคช ดงนนเรารวาลำาดบลเขาแมกระทงเราไมรวาลมตคออะไร

จบ เรอง จำานวนจรง

สวสดคบ