ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2

ΠΛΗ20ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Μάθηµα 2.2: Ταυτολογική Συνεπαγωγή

∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Β.Θεωρία

1. Σύνολα Τύπων

1. Ικανοποιήσιµο Σύνολο Τύπων

2. Αντιφατικό Σύνολο Τύπων

2. Ταυτολογική Συνεπαγωγή

1. Συµβολισµός της ταυτολογίας

3. Ταυτολογικά Ισοδύναµοι Τύποι

Γ.Ασκήσεις

1. Ασκήσεις Κατανόησης

2. Ερωτήσεις

3. Εφαρµογές

2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.2: Ταυτολογική Συνεπαγωγή

Α. Σκοπός του Μαθήµατος

Επίπεδο Α Ικανοποίησιµο και αντιφατικό σύνολο τύπων

Ταυτολογική Συνεπαγωγή

Ταυτολογικά Ισοδύναµοι Τύποι

Επίπεδο Β (-)Επίπεδο Γ (-)


B. Θεωρία1. Σύνολα Τύπων


ppT ¬∧=

Ορισµός:Σύνολο Τύπων Τ είναι ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του Τ(Γ0)

Ορισµός:Ένα σύνολο τύπων Τ θα λέµε ότι είναι ικανοποιήσιµο αν υπάρχει αποτίµηση που κάνει όλους τους τύπους αληθείς ταυτόχρονα

• Πιο τυπικά αν υπάρχει αποτίµηση α: α(φ)=Α ∀φ∈Τ

Ορισµός:Ένα σύνολο τύπων Τ θα λέµε ότι είναι µη ικανοποιήσιµο (αντιφατικό) αν δεν υπάρχει αποτίµηση που κάνει όλους τους τύπους αληθείς ταυτόχρονα

• …δηλαδή δεν είναι ικανοποίησιµο!

Εξετάζουµε ότι ένα σύνολο είναι ικανοποιήσιµο:Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας όλων των τύπων και βρίσκουµε µια γραµµή που όλοι οι τύποι είναι Αληθείς

Εξετάζουµε ότι ένα σύνολο είναι αντιφατικό:Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας όλων των τύπων και δεν πρέπει να υπάρχει γραµµή που είναι όλοι οι τύποι Αληθείς

B. Θεωρία1. Σύνολα Τύπων


ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν το σύνολο τύπων

είναι ικανοποίησιµο:

Λύση: Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας των τύπων του συνόλου τύπων:

Παρατηρούµε ότι στην αποτίµηση p=A,q=A αληθεύουν όλοι οι τύποι του συνόλου τύπων, άρα είναι ικανοποίησιµο

qpqpT ¬∨→= ,

Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Α

Ψ Α Α Ψ

Ψ Ψ Α Α

qp →p q qp ¬∨

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν το σύνολο τύπων

είναι ικανοποίησιµο:

Λύση: Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας των τύπων του συνόλου τύπων:

Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχει αποτίµηση που να κάνει όλους τους τύπους Α ταυτόχρονα, άρα είναι ένα µη ικανοποιήσιµο σύνολο τύπων.

qpqppqT ↔¬∧→= ,,

Α Α Α Ψ Α

Α Ψ Α Α Ψ

Ψ Α Ψ Ψ Ψ

Ψ Ψ Α Ψ A

pq →p q qp ¬∧ qp ↔

B. Θεωρία2. Ταυτολογική Συνεπαγωγή


Ορισµός:Έστω Σύνολο Τύπων Τ και τύπος . Θα λέµε ότι :• το σύνολο τύπων Τ ταυτολογικά συνεπάγεται τον τύπο ή

• Ο είναι σηµασιολογική συνέπεια του Τ• και συµβολίζουµε µε ⊨

αν και µόνο αν

• για κάθε αποτίµηση που ικανοποιούνται οι τύποι του Τ ικανοποιείται και ο

Εξετάζουµε µία ταυτολογική συνεπαγωγή ως εξής:1. Εξετάζουµε αν ο φ είναι ταυτολογία. Αν ναι, ισχύει η

ταυτολογική συνεπαγωγή. Αλλιώς προχωράµε στο βήµα 2.2. Εξετάζουµε αν το σύνολο τύπων Τ είναι αντιφατικό. Αν ναι,

ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή. Αλλιώς προχωράµε στο βήµα 3.

3. Εφαρµόζουµε τον ορισµό.1. Βρίσκουµε όλες τις αποτιµήσεις των µεταβλητών που

ικανοποιούνται όλοι οι τύποι του T2. Ελέγχουµε αν ο φ αληθεύει σε αυτές τις αποτιµήσεις. Αν

ναι, ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή. Αλλιώς δεν ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή

Πιο εποπτικά:1. … ⊨ Α.2. Ψ ⊨ ⋯.3. Εφαρµογή του ορισµού



ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή:

Λύση: Ο τύπος ∨ είναι ταυτολογία συνεπώς ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή.

→ , ∨ ⊨ ∨


Λύση: Το σύνολο τύπων: ∧ , → είναι αντιφατικό. Άρα ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή

∧ , → ⊨ ∨


Λύση: Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας των τύπων:

→ , ∨ , ↔ ⊨ →

→ ∨ ↔

Α Α Ψ Α Ψ

Α Ψ Α Α Α

Ψ Α Α Α Α

Ψ Ψ Α Ψ Ψ

→

Α

Α

Α

Ψ

Στις αποτιµήσεις που ικανοποι-είται το σύνολο τύπων, ό τύπος φείναι αληθής, άρα ισχύει η ταυτο-λογική συνεπαγωγή.




Λύση: Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας των τύπων:

∧ → , ∨ , ↔ ⊨ → ∧

∧ → ∨ ↔

A Α Α Α Α Α

A Α Ψ Ψ Α Ψ

A Ψ Α Α Α Α

A Ψ Ψ Α Ψ Ψ

Ψ Α Α Α Α Ψ

Ψ Α Ψ Α Α Α

Ψ Ψ Α Α Α Ψ

Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α

→ ∧

Ψ

Ψ

Α

Ψ

A

A

A

A

Στις αποτιµήσεις που ικανοποι-είται το σύνολο τύπων, ό τύπος φδεν αληθεύει πάντα, άρα δεν

ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή.

Όταν ισχύει µία ταυτολογική συνεπαγωγή, σηµαίνει ότι:• Όταν ισχύουν (αληθεύουν) οι τύποι του Τ (αναφέρονται και ως υποθέσεις της

ταυτολογικής συνεπαγωγής)• αληθεύει και ο τύπος φ (συµπέρασµα της ταυτολογικής συνεπαγωγής)Ή µε πιο απλά λόγια:• Κάτω από τις υποθέσεις του συνόλου τύπων Τ,• αληθεύει ο τύπος φ.

B. Θεωρία2. Ταυτολογική Συνεπαγωγή 1. Συµβολισµός της Ταυτολογίας


Με αυτόν τον συλλογισµό ο συµβολισµός:⊨

• Θα σηµαίνει ότι ο τύπος φ αληθεύει ανεξαρτήτως υποθέσεων

• που σηµαίνει ότι ο τύπος φ είναι ταυτολογία.• (στην πραγµατικότητα συντοµογραφία της αναπαράστασης ∅ ⊨ )

Πρακτικά:Αν µας ζητηθεί να αποδείξουµε ⊨ , αρκεί να δείξουµε ότι ο τύπος φ είναι ταυτολογία

B. Θεωρία3. Ταυτολογικά Ισοδύναµοι Τύποι


Ορισµός:Έστω προτασιακοί τύποι φ,ψ. Θα λέµε ότι οι δύο τύποι είναι ταυτολογικά ισοδύναµοι και θα συµβολίζουµε µε

≡

ανν ισχύει φ ⊨ και ⊨ φ

(σηµείωση: Μπορούµε να γράφουµε φ ⊨ ως συντοµογραφία της παράστασης φ ⊨ όταν το σύνολο τύπων Τ είναι µονοσύνολο)

Πρακτικά:∆ύο τύποι θα είναι ταυτολογικά ισοδύναµοι αν έχουν τον ίδιο πίνακα αλήθειας, αφου:φ ⊨ δηλαδή όταν φ=Α, τότε ψ=Α και ψ ⊨ δηλαδή όταν ψ=Α, τότε φ=Α

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ισχύει ότι ∨ ≡ →

Λύση: Κατασκευάζοντας τον πίνακα αλήθειας των δύο τύπων παρατηρούµε ότι αληθεύουν στις ίδιες

αποτιµήσεις, άρα είναι ταυτολογικά ισοδύναµοι

∨ q →

Α Α Α Α

Α Ψ Ψ Ψ

Ψ Α Α Α

Ψ Ψ Α Α

Γ. Μεθοδολογία1. Ταυτολογική Συνεπαγωγή


ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ:Είναι ιδιαίτερα σηµαντικό να εξάγουµε µε ταχύτητα αν ισχύει ή όχι µία ταυτολογική συνεπαγωγή. Θα πρέπει να εντοπίζουµε γρήγορα αν ισχύει κάποιος από τους εµπειρικούς κανόνες: … ⊨ Α ή Ψ ⊨ ⋯

Αν αναγκαστούµε να εφαρµόσουµε τον τυπικό ορισµό (δηλαδή δεν εµπίπτει η άσκηση σε κάποιον από τους εµπειρικούς κανόνες, ενδείκνυται η αποφυγή της κατασκευής του πίνακα αλήθειας, δηλαδή θα πρέπει να προσπαθούµε να βρίσκουµε τις αποτιµήσεις των µεταβλητών που αληθεύουν όλοι οι τύποι του συνόλου τύπων µε παρατηρήσεις.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ:

Α) Να µελετηθούν τα σύνολα τύπων

Τ1 ∧ , → , →

Τ2 ∧ , →

Τ3 → , →

Συγκεκριµένα να εξεταστεί αν είναι ικανοποιήσιµα ή αντιφατικά και σε περίπτωση που είναι ικανοποιήσιµα να βρεθούν όλες οι αποτιµήσεις των µεταβλητών που ικανοποιούν τους τύπους



(…συνέχεια…)Λύση:

Τ1 ∧ , → , →

Για να αληθεύει ο 1ος τύπος ∧ πρέπει Ψ και q A. Ωστόσο µε την αποτίµηση αυτή, ο 2ος τύπος → είναι ψευδής. Άρα το σύνολο τύπων T1 είναι αντιφατικό.

Τ2 ∧ , →

Για να αληθεύει ο 1ος τύπος: ∧ πρέπει Α και q Ψ. Άρα ο 2ος τύπος γίνεται →

Ψ → r που αληθεύει είτε αν r=A, είτε αν r=Ψ. Συνεπώς το σύνολο τύπων Τ2 είναι ικανοποιήσιµο και συγκεκριµένα ικανοποιείται µε τις αποτιµήσεις των µεταβλητών: Α, q Ψ, r A και

Α, q Ψ, r Ψ

Τ3 → , → ,

Ο 1ος τύπος δεν αληθεύει στην αποτίµηση Α και q Ψ και ο 2ος τύπος δεν αληθεύει στην αποτίµηση Ψ και q Α. Άρα αληθεύουν στις υπόλοιπες αποτιµήσεις. Λόγω του 3ου τύπου πρέπει r=Ψ. Άρα είναι ικανοποιήσιµο και ικανοποιείται µε τις αποτιµήσεις των µεταβλητών: Α, q Α, r Ψ και Ψ, q Ψ, r Ψ



(…συνέχεια…)Β) ∆ίδονται και οι τύποι:

φ1 ∨ →

φ2 $ → % ∨ $ → %

φ3 $ → ∨ % ∧ $ → ∨ %

Να εξάγετε χωρίς αληθοπίνακα αν είναι ταυτολογίες ή αντιφάσεις.

Λύση:

Οτύποςφ1 είναιικανοποιήσιμος.Π.χ.μετηναποτίμησηpA, qA, rA.Δενείναιταυτολογία,διότι

βγαίνειψευδήςμετηναποτίμησηpA, qA, rΨ.

Οτύποςφ2 είναιταυτολογία,διότιείναιτηςμορφής ∨

Οτύποςφ3 είναιαντίφαση,διότιείναιτηςμορφής ∧



(…συνέχεια…)Γ) Εξετάστε αν ισχύουν οι ταυτολογικές συνεπαγωγές:

1% Τ1 ⊨ 1

2% Τ1 ⊨ 2

3% Τ1 ⊨ 3

4% Τ2 ⊨ 1

5% Τ2 ⊨ 2

6% Τ2 ⊨ 3

7% Τ3 ⊨ 1

8% Τ3 ⊨ 2

9% Τ3 ⊨ 3

Απότηνμελέτημαςέχουμε:

Τ1 αντιφατικό

Τ2 ικαν/μογιατιςαποτιμήσεις:

Α, q Ψ, r A και

Α, q Ψ, r Ψ

Τ3 ικαν/μογιατιςαποτιμήσεις

Α, q Α, r Ψκαι Ψ, q Ψ, r Ψ

ΛΥΣΗ:1) Ισχύει διότι το Τ1 αντιφατικό (Ψ ⊨ ⋯%

2) Ισχύει διότι το Τ1 αντιφατικό (Ψ ⊨ ⋯%

3) Ισχύει διότι το Τ1 αντιφατικό (Ψ ⊨ ⋯%

4) Εξετάζω τον ορισµό. Στις αποτιµήσεις που αληθεύουν οι τύποι του Τ2

1) Α, q Ψ, r A. Ο τύπος φ1 ∨ →

Α ∨ Ψ → Α Α → Α Α

2) Α, q Ψ, r Ψ. Ο τύπος φ1 ∨ →

Α ∨ Ψ → Ψ Α → Ψ Ψ

Συνεπώς δεν ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή.5) Ισχύει διότι φ2 ταυτολογία (… ⊨ Α%

6) ∆εν ισχύει διότι Τ2 ικανοποιήσιµο και φ3 αντίφαση (δεν ισχύει ο ορισµός)

7) Εξετάζω τον ορισµό. Στις αποτιµήσεις που αληθεύουν οι τύποι του Τ3

1% Α, q Α, r Ψ Ο τύπος φ1 ∨ →

Α ∨ Α → Ψ Α → Ψ Ψ

Συνεπώς δεν ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή.

8) Ισχύει διότι φ2 ταυτολογία (… ⊨ Α%

9) ∆εν ισχύει διότι Τ3 ικανοποιήσιµο και φ3 αντίφαση (δεν ισχύει ο ορισµός)

∆. ΑσκήσειςΆσκηση Κατανόησης 1


Ελέγξτε αν τα παρακάτω σύνολα τύπων είναι ικανοποιήσιµα

Τ1 → ,

Τ2 , → ,

Τ3 → , ∨ , ∧

Τ4 → , → , ∨



Ελέγξτε αν ισχύουν οι ακόλουθες ταυτολογικές συνεπαγωγές

1. ∨ , → ⊨ ∧

2. ∨ , ∨ ⊨ → ∨

3. → , ∨ ⊨ → $ → %



Έστω ότι ο τύπος φ είναι ταυτολογία, ο τύπος ψ είναι αντίφαση και ο τύπος χ είναι ικανοποιήσιµος (αλλά όχι ταυτολογία). Να εξετάσετε αν ισχύουν οι ταυτολογικές συνεπαγωγές:

1. ⊨

2. ⊨

3. ⊨ L

4. ⊨

5. ⊨

6. ⊨ L

7. L ⊨

8. L ⊨

9. L ⊨ L

∆. ΑσκήσειςΕρωτήσεις 1


Θεωρούµε το σύνολο προτασιακών τύπων T = p1 ∨ ¬p2 , p1 ∧ p2 , p1 ∨ p3 Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν και ποιες όχι;

1. T |= ¬p1 → (p1 ∧ p2)

2. T |= (p1 ∧ p2) → p3

3. T |= (p2 ∨ p3) → (p1 ∧ p3)

4. T |= (p1 ∨ p2) → (¬p1 → ¬p3)



Ο τύπος 1 → 1 → 2 είναι:

1. Ταυτολογία

2. Ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον 2

3. Ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον 1 ∧ 1 → 2

4. Ταυτολογικά ισοδύναµος µε τον 1 → $2 → 1%



Έστω p1 και p2 προτασιακές µεταβλητές. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές;

1. Ο προτασιακός τύπος (p1 → p2) → (¬p2 → ¬p1) είναι ταυτολογία.

2. Ο προτασιακός τύπος (p1 → p2) → (¬p1 ∧ ¬p2) είναι αντίφαση.

3. p1 ∧ ¬p1 |= p2 ∧ ¬p2

4. (p1 ∧ ¬p1) → p2 |= p2

∆. ΑσκήσειςΕφαρµογή 1


Να δείξετε ότι:1 → 2, 2 → 3, … , 10 → 1 ⊨ $1 ∧ 2 ∧ ⋯∧ 10% ∨ $ 1 ∧ 2 ∧ ⋯∧ 10%

χωρίς την χρήση αληθοπίνακα



Έστω Τ σύνολο τύπων και φ,ψ προτασιακοί τύποι για τους οποίους ισχύει:Τ ⊨ φ και Τ ⊨ .

Να αποδείξετε ότι ισχύει: Τ ⊨ φ → $ψ → φ%



Έστω προτασιακοί τύποι φ,ψ,χ για τους οποίους ισχύουν φ ⊨ , ψ ⊨ L, χ ⊨

Να αποδείξετε διαδοχικά ότι ισχύουν:

1. φ ⊨ L

2. ψ ⊨

3. χ ⊨

4. φ ≡

5. ψ ≡ L

6. φ ≡ ψ ≡ L

Education

ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.2