презентацлек

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №1

Теория систем и системный анализ – это научная дисциплина, разрабатывающая общие принципы исследования сложных объектов с учетом их системного характера, методология исследования объектов посредством представления их в качестве систем и анализа этих систем.

Теория иерархических систем – математическая теория, исследующая совместное поведение элементов многоуровневой иерархической структуры. Рассматривается «цепочка» из многих элементов, где на каждом уровне имеется только один элемент – «начальник» по отношению к элементам нижнего уровня, но «подчиненный» по отношению к верхним уровням. Каждый элемент имеет свои формализованные критерии, связанные с его местом в структуре и его интересами, причем выбор возможных действий, ограниченный некоторым числом заданных альтернатив, определяется «управляющей» информацией сверху и информацией, поступающей от следующих звеньев снизу.


ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ И СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ

Категории систем по характеру иерархического расположения образующих систему элементов:

1. Одноуровневые одноцелевые системы.2. Одноуровневые многоцелевые системы.3. Многоуровневые многоцелевые системы.

Виды систем по количеству вариантов реализации:1. Однорежимные системы.2. Многорежимные системы.


Классификация систем на основе их сложности:

1. Морфологические системы – такие, которые описываются при помощи сети структурных взаимосвязей.

2. Каскадные системы – показывают пути прохождения вещества и энергии (информации) в системе.

3. Системы типа действие-реакция объединяют указанные системы и показывают способ, которым структура привязана к процессу жизнедеятельности.

4. Управляющие системы – это системы, подобные указанным в п.3, в которых основные компоненты контролируются человеком.


Классификация систем на основе взаимодействия с внешней средой:

1. Изолированные – это такие системы, границы которых закрыты для экспорта и импорта вещества и энергии (информации).

2. Закрытые – это такие системы, границы которых закрыты для экспорта и импорта вещества, но открыты для энергии (или информации).

3. Открытые – обмениваются и веществом, и энергией (информацией) с внешней средой.


Классификация развивающихся экономических систем:

Экономико-демографические системы

Межотраслевыесистемы

Развивающиеся экономическиесистемы

Социально-экономическиесистемы

Технико-экономическиесистемы

Экономико-политические

системы

Природно –экологические

системы

Отраслевыесистемы

Региональныесистемы


Существенные характеристики, присущие всем иерархическим системам: последовательное вертикальное расположение подсистем, составляющих данную систему; приоритет действий или право вмешательства подсистем верхнего уровня; зависимость действий подсистем верхнего уровня от фактического исполнения нижними уровнями своих функций.

Полная система

Вход Выход Вмешательство Обратная связь Вход Выход Вмешательство Обратная cвязь Вход Выход

Подсистема уровня 1

Подсистема уровня n-1

Подсистема уровня n


Основные виды иерархий

Введем три понятия уровней: а) уровень описания или абстрагирования; б) уровень сложности принимаемого решения; в) организационный уровень.

Страты. Уровни описания или абстрагирования

Страта 2.Матеметические

операции

Страта 1.Физические

операции

Вход

Вход Выход

Выход

Страта 2.Обработка информации и

управление

Страта 1. Физические процессы

Страта 3. Экономические

факторы

Вмешательство

Обратнаясвязь

ОбратнаясвязьУправление

СырьеГотоваяпродукция


Некоторые общие характеристики стратифицированного описания системы:

1. Выбор страт, в терминах которых описывается данная система, зависит от наблюдателя, его знания и заинтересованности в работе системы.

2. Аспекты описания функционирования системы на различных стратах, в общем случае, не связаны между собой, поэтому принципы и законы, используемые для характеристики системы на любой страте, не могут быть выведены из принципов, используемых на других стратах.

3. Существует асимметричная зависимость между условиями функционирования системы на различных стратах.

4. На каждой страте имеется свой собственный набор терминов, концепций и принципов.

5. Понимание системы возрастает при последовательном переходе от одной страты к другой: чем ниже мы опускаемся по иерархии, тем более детальным становится раскрытие системы, чем выше мы поднимаемся, тем яснее становится смысл и значение всей системы.


Многоэшелонные системы – организационные иерархии.

Процесс

Обратная связь

Обратная связь

Иерархия принятия решений

Решающий элемент

Координация

Управление


1. Планирование перевозок грузов – важнейшая задача, занимающая особое место среди других проблем планирования. Пусть используется транспорт нескольких типов, обслуживающий несколько маршрутов, причем перевозки по каждому из маршрутов заранее заданы. Известно, сколько груза может перевезти единица транспорта каждого типа на каждом из маршрутов и сколько единиц транспорта каждого типа имеется.

Пусть iju – количество транспорта i-го вида на j-м маршруте mjni ,1,,1 ; ijl –

количество груза, который может перевезти единица i-го транспорта на j-м маршруте; ia

– число единиц транспорта i-го вида; jb – количество груза, который необходимо

перевезти на j-м маршруте. Тогда условия полной перевозки груза будут иметь вид:

n

ijijij mjbul

1

.,1,

Условия использования лишь того транспорта, который имеется в наличии, имеют вид:

m

jiij niau

1

.,1,

Кроме того, имеется условие неотрицательности величин

.,1,,1,0 mjniuij

Цель при планировании перевозок грузов – обеспечить минимум затрат на перевозку, поэтому при выборе плановых решений за критерий оптимальности принимается следующий:

mn

jiijijucuJ

,

1,

min, (1.1)

где ijc – стоимость эксплуатации единицы i-го транспорта на j-м маршруте.


2. Проблемы управления запасами возникают при рассмотрении разнообразных экономических объектов. При анализе розничной торговли рассматриваются оптимальные запасы некоторого товара в магазине. Управлять запасами приходится и на производстве, при планировании работы любой производственной единицы, т. к. чрезмерно большой запас приводит к нерациональному использованию оборотных средств, а нехватка сырья или инструмента – приводит к перебоям в производстве.

Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.

Количество продукта на складе в момент времени t обозначим tu , при этом продукт расходуется с постоянно заданной интенсивностью . При управлении запасами обычно

принимается следующая стратегия: выбирается уровень запаса 1u такой, что при достижении этого уровня запаса посылается заказ на пополнение запаса в количестве

0u . Цель исследования систем хранения запасов состоит в выборе наилучшей стратегии управления запасами. В задачах управления запасами оптимальными вариантами управления являются те из них, на которых издержки достигают наименьшего значения. Следовательно, цель управления запасами – обеспечить минимальные издержки, поэтому критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией издержек, которая имеет вид:

min,1

0210

dttucucc

TuJ

T

(1.2)

где T – время производственного цикла; 0с – стоимость издержек, не зависящая от

объема заказа и возникающая в связи с самим фактом произведения заказа; 1с –

стоимость издержек, пропорциональная количеству заказанного товара; 2с – стоимость издержек, связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.


3 . П р и ст р ат еги ч еск о м п л ан и р о в ан и и о р ган и зац и и в аж н о й за д ач ей я в л я ет ся р азв и т и е м ат ер и ал ь н о -т ех н и ч еск о й б азы ф и р м ы . П р и это м ц ел ь о п ти м ал ь н о ст и п р о ц есса р азв и т и я м ат ер и ал ь н о -т ех н и ч еск о й б азы ф и р м ы м о ж н о зад ать сл ед ую щ и м (к р и т ер и ем ) ф ун к ц и о н ал о м [5 ]:

T

TVdttVJ0

2н min, (1 .3 )

гд е , – в есо в ы е к о эф ф и ц и ен т ы ,0,0,1 VV ,н – н ео св о е н н ы е О П Ф (к ап и т ал ь н ы е в л о ж ен и я ) и о св о ен н ы е О П Ф со о т в ет ст в ен н о . Э к о н о м и ч еск и й см ы сл к р и т ер и я о п т и м ал ь н о сти зак л ю ч ает ся в сл ед у ю щ ем . М и н и м и зац и я п ер в о го сл агаем о го в в ы р аж ен и и ф ун к ц и о н ал а (1 .3 ) :

T

dttVJ0

2н1

о тр аж ает тр еб о в ан и е м ак си м ал ь н о й эк о н о м и и к ап и т ал ь н ы х в л о ж ен и й . В то р о е сл агаем о е в в ы р аж ен и и ф ун к ц и о н ал а (1 .3 )

TVJ 2

и е го м и н и м и зац и я р ав н о си л ь н о м ак си м и зац и и tV зн ач ен и я О П Ф с в есо в ы м

к о эф ф и ц и ен то м в к о н ц е п л ан о в о го п ер и о д а T,0 . Т ак и м о б р азо м , в ф ун к ц и о н ал е (1 .3 ) о т р аж ен ы д в а п р о т и в о п о л о ж н ы х т р еб о в ан и я к п р о ц ессу – эк о н о м и и к ап и т ал о в л о ж ен и й с о д н о й ст о р о н ы и ув ел и ч ен и ю О П Ф п р ед п р и я т и я – с д р уго й .


4. Выход на потребность в продукции, обусловленной рыночным спросом, за минимальное время является одной из важных задач коммерческой организации. Пусть tPP – потребность в продукции предприятия, которая здесь считается известной функцией времени в рассматриваемом интервале времени.

Здесь в отличие от предыдущей задачи интервал T,0 заранее не задан. Но задана потребность в конечной продукции как функция времени, которой требуется достичь как можно быстрее. Следовательно, целью данной задачи является минимальное время достижения потребности в продукции, а критерий оптимизационной задачи примет вид:

.min0

T

dtJ (1.4)


5 . П р и с т р а т е г и ч е с к о м п л а н и р о в а н и и в а ж н о й з а д а ч е й я в л я е т с я р а с п р е д е л е н и е р е с у р с о в м е ж д у п р о и з в о д с т в е н н ы м и п о д р а з д е л е н и я м и . П у с т ь н е к о т о р а я ф у н к ц и я ii VЭ н о т р а ж а е т у в е л и ч е н и е в ы п у с к а п р о д у к ц и и н а i - м п р е д п р и я т и и з а с ч е т р е а л и з а ц и и н а н е м к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й в о б ъ е м е iV н . П о к а з а т е л ь ii VЭ н я в л я е т с я к р и т е р и е м э ф ф е к т и в н о с т и к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й [ 5 ] . П у с т ь к о л и ч е с т в о п р е д п р и я т и й д а н н о й о р г а н и з а ц и и n , а з а д а н н ы й ф о н д

к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й niAVA i ,1,0 н , п р и э т о м в о п т и м а л ь н о м п л а н е в е с ь ф о н д к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й д о л ж е н б ы т ь п о л н о с т ь ю р е а л и з о в а н . П р е д п о л о ж и м , ч т о в с е ф у н к ц и и ii VЭ н в о з р а с т а ю щ и е , т о е с т ь

nidVd Э ii ,1,0н , т о е с т ь э ф ф е к т и в н о с т ь р е а л и з а ц и и к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й в о з р а с т а е т с у в е л и ч е н и е м и х о б ъ е м а . М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь р а с п р е д е л е н и я к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й м е ж д у п р е д п р и я т и я м и и м е е т с л е д у ю щ и й в и д :

.,1,0,

max,

н1

н

1н

niVAV

VЭ

i

n

ii

n

iii

( 1 . 5 )

С л е д о в а т е л ь н о , ц е л ь р а с п р е д е л е н и я к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й м е ж д у п р е д п р и я т и я м и – д о б и т ь с я м а к с и м у м а с у м м а р н о й э ф ф е к т и в н о с т и п р и р а с п р е д е л е н и и с р е д с т в м е ж д у п о д р а з д е л е н и я м и о р г а н и з а ц и и .


6 . К а к и з в е с т н о , п р о ц е с с к о н т р о л я с о с т о и т и з у с т а н о в к и с т а н д а р т о в ( у с т а н о в к и к о н к р е т н ы х ц е л е й ) , и з м е р е н и я ф а к т и ч е с к и д о с т и г н у т ы х р е з у л ь т а т о в и п р о в е д е н и я к о р р е к т и р о в к и в т о м с л у ч а е , е с л и д о с т и г н у т ы е р е з у л ь т а т ы с у щ е с т в е н н о о т л и ч а ю т с я о т у с т а н о в л е н н ы х с т а н д а р т о в .

О т к л о н е н и я о т р е ж и м а п л а н о в о г о р а з в и т и я , в ы з в а н н ы е и з м е н е н и я м и в н е ш н е й о к р у ж а ю щ е й с р е д ы о р г а н и з а ц и и , х а р а к т е р и з у ю т с я с л е д у ю щ и м и в е л и ч и н а м и :

,, ннн tVtVtVtVtVtV г д е с и м в о л ( * ) о з н а ч а е т р е ж и м п л а н о в о г о р а з в и т и я . Т о г д а ц е л ь ю п р о ц е с с а с т а б и л и з а ц и и п л а н о в о г о р а з в и т и я о р г а н и з а ц и и я в л я е т с я м и н и м и з а ц и я о т к л о н е н и я о т р е ж и м а п л а н о в о г о р а з в и т и я О П Ф о р г а н и з а ц и и п р и м и н и м а л ь н ы х з а т р а т а х и н в е с т и ц и й . К р и т е р и й п р о ц е с с а с т а б и л и з а ц и и в э т о м с л у ч а е п р и м е т в и д :

min,0

2н

2

dttVtVJ ( 1 .6 )

г д е , – в е с о в ы е к о э ф ф и ц и е н т ы 1,0,0 , T – б е с к о н е ч н ы й г о р и з о н т п л а н и р о в а н и я .


7. Главная задача организации, занимающейся бизнесом – это получение определенной прибыли при ограниченных затратах. Эта ее задача отражается в таких целях, как рентабельность и производительность. Поэтому целевым критерием системы будет норма рентабельности организации, которая имеет вид [18]:

T

n dttVtWtUtCVW

R000

max,1 (1.7)

где dttWT

WT

0

01

– средняя стоимость ОбПФ, dttVT

VT

0

01

– средняя стоимость ОПФ, tC – цена единичной

продукции в момент времени t, tU – валовой выпуск в натуральном измерении, tV – стоимость ОПФ в момент времени t, tW – стоимость ОбПФ в момент времени t, T – интервал времени (например, один год), – коэффициент амортизации ОПФ.

8. Цель оптимального развития экономики однопродуктовой макроэкономической системы – удовлетворение потребности общества какого-либо региона в данном продукте. Поэтому целевым параметром (критерием) системы является критерий, предусматривающий рост потребления и возможность наращивать определенный экономический потенциал к конечному моменту времени, который может быть выражен функционалом следующего вида [5]:

.max,0

T

t TVdttPgeJ (1.8)

Здесь первое слагаемое представляет собой суммарное взвешенное потребление на промежутке [0,T], терминальный член имеет смысл накопления производственного потенциала в конечный момент времени. Весовые коэффициенты , говорят о приоритете, который имеет каждое из этих слагаемых. Если отдается предпочтение

потреблению, то , а если накоплению производственного потенциала, то . Подынтегральное выражение

tPge t , – дисконтированное потребление, tPg , – функция полезности, – коэффициент дисконтирования, TV –

стоимость ОПФ в момент времени T и непроизводственное потребление tP .


Логистическая функция описывается уравнением вида [6]:

,exp1

max

bta

XtX

(2.1)

где tX – численность популяции в единице объема выпуска системы в мо-мент времени t; maxX – максимальная численность популяции; a, b – констан-ты. Из рис. 2.1 видно, что логи-

стическая кривая начинается в

точке aX 1max , симметрична

и имеет точку перегиба с коорди-

натами

.2,ln maxпп XXbat

Константа a определяет по-

ложение логистической кривой по

времени (сдвиг влево или вправо),

константа b – наклон кривой. Эти

константы очень легко вычисля-

ются по формулам:

0max

2

0

max 1,1

tt

dt

dX

aX

ab

tX

Xa . (2.2)

X maxX

2maxX

a

X

1max t

0 t1 ln a/b t2

Рис. 2.1


В м о д е л и Р и д е н у р а п р е д п о л а г а е т с я б е з о с о б о й с т р о г о с т и э к с п о н е н ц и а л ь н ы й з а к о н р о с т а , к а к о б щ и й з а к о н т е х н и к о - э к о н о м и ч е с к о г о р а з в и т и я . П р и э т о м с ч и т а е т с я , ч т о с т е п е н ь п р и з н а н и я к а к о г о - т о н о в о г о п р о д у к т а ( т е х н о л о г и и ) о б щ е с т в о м п р о п о р ц и о н а л ь н а ч и с л у п о т е н ц и а л ь н ы х п р о и з в о д и т е л е й , о з н а к о м и в ш и х с я с н и м :

,ALdt

dL ( 2 . 9 )

г д е A – к о э ф ф и ц и е н т п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и . К о э ф ф и ц и е н т A о п р е д е л я е т с я к а к в е р о я т н о с т ь т о г о , ч т о ч е л о в е к , в п е р в ы е о з н а к о м и в ш и с ь с т е х н о л о г и е й , с т а н е т п о т е н ц и а л ь н ы м е е п о т р е б и т е л е м . Э т а в е р о я т н о с т ь а п п р о к с и м и р у е т с я с о о т н о ш е н и е м :

max

1L

LaA , ( 2 . 1 0 )

г д е a – к о н с т а н т а . П о д с т а в л я я в ы р а ж е н и е ( 2 . 1 0 ) в ф о р м у л у ( 2 . 9 ) , п о л у ч и м

.1max

L

LaL

dt

dL ( 2 . 1 1 )

Р е ш е н и е м у р а в н е н и я ( 2 . 1 1 ) я в л я е т с я л о г и с т и ч е с к а я ф у н к ц и я с л е д у ю щ е г о в и д а :

,

exp110

max

max

atL

L

LtL

( 2 . 1 2 )

г д е 00

ttLL – н а ч а л ь н о е з н а ч е н и е в е л и ч и н ы .


С в о й с т в а П Ф . П р и в е д е м о б щ и е с в о й с т в а п р о и з в о д с т в е н н ы х ф у н к ц и й . П Ф в с е г д а н е о т р и ц а т е л ь н а : 0,, tLVF . П Ф н е п р е р ы в н а и о б р а щ а е м а в н у л ь . Б у д е м п о л а г а т ь , ч т о ф у н к ц и я

tLVF ,, н е п р е р ы в н а п о V и L и 0,0,,,0 tVFtLF . П Ф – м о н о т о н н о в о з р а с т а ю щ а я ф у н к ц и я п о к а ж д о м у и з а р г у м е н т о в :

.0,0 L

F

V

F

П Ф – д в а ж д ы д и ф ф е р е н ц и р у е м а я с у б ы в а ю щ и м и т е м п а м и р о с т а :

.0,02

2

2

2

L

F

V

F

П Ф о б л а д а е т с в о й с т в о м а д д и т и в н о с т и , т о е с т ь .,,, 22112121 LVFLVFLLVVF

О б ъ е д и н е н и е у с и л и й д в у х с и с т е м д а е т р е з у л ь т а т ы , п о к р а й н е й м е р е , н е х у д ш и е , ч е м р е з у л ь т а т ы к а ж д о й с и с т е м ы в о т д е л ь н о с т и . У с л о в и я а д д и т и в н о с т и о к а з ы в а ю т с я н е с п р а в е д л и в ы м и , е с л и и м е е т с я « д е ф и ц и т н о с т ь » ф а к т о р о в п р о и з в о д с т в а , к о т о р ы е н е у ч и т ы в а ю т с я в д а н н о й м о д е л и . П Ф о б л а д а ю т с в о й с т в о м м у л ь т и п л и к а т и в н о с т и , к о т о р о е д а е т в о з м о ж н о с т ь о т р а з и т ь э ф ф е к т м а с ш т а б а п р о и з в о д с т в а . П у с т ь э т и ф а к т о р ы и з м е н я ю т с я в n р а з , т о г д а

tLVFntnLnVF ,,,,


Характеристики ПФ. 1. Коэффициенты эластичности выхода системы по входным ресурсам:

L

F

L

F

V

F

V

F

, .

2. Предельная норма замещения ресурсов. Под предельной нормой замещения ресурсов понимают количество фондов, которое необходимо дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу, если выпуск продукции остается неизменным. Предельная норма замещения S определяется из уравнения изокванты (линия равного выпуска продукции):

.0 dLL

FdV

V

FdX

Отсюда

VF

LF

dL

dVS

.

Формула (2.25) показывает взаимосвязь между ресурсами V, L. Знак «–» означает, что с увеличением V, L должно убывать, чтобы обеспечить постоянный выпуск системы. 3. Эластичность замещения системы определяется следующим образом:

LV

S

dS

LVd .

Введем дополнительные обозначения: LVv – фондовооруженность труда; VX – фондоотдача; LXx – производительность труда. Тогда эластичность замещения системы определится так:

v

S

dS

dv .

Следовательно, эластичность замещения системы показывает, на сколько процентов надо изменить фондовооруженность системы при сохранении постоянства выпуска, чтобы предельная норма замещения изменилась на 1%.


О б щ е е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е д л я о п р е д е л е н и я р а з л и ч н ы х п р о и з в о д с т в е н н ы х ф у н к ц и й .

,LL

FV

V

FX

г д е L

Fw

V

Fr

, – п р е д е л ь н а я п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь ф а к т о р о в

п р о и з в о д с т в а . В ы в е д е м ф о р м у л у д л я э л а с т и ч н о с т и з а м е щ е н и я :

,

1

1

2

2v

vv

v

vv

v

fvf

ffvf

f

fff

fv

f

vS

vS

.

v

vv

fvf

ffvf

Э т о о б щ е е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е д л я о п р е д е л е н и я П Ф . П е р е п и ш е м е г о в б о л е е у д о б н о й ф о р м е :

.02 fffvfvf vvv


П р о и з в о д с т в е н н а я ф у н к ц и я Л е о н т ь е в а .0,0 t И з у р а в н е н и я ( 2 . 3 0 ) п о л у ч и м :

02 fffv vv и , с л е д о в а т е л ь н о , и м е е м д в а р е ш е н и я :

а ) .const,0 0 aff v

б ) .,,0 1 vafv

dv

f

dfffv v

П е р е х о д я к п о л н ы м п е р е м е н н ы м , п о л у ч и м :

,)

;)

11

0

VaL

VLaLfXб

LaLfXa

т о е с т ь ., 10 aXVaXL Н а й д е м у р а в н е н и е и з о к в а н т ы П Ф Л е о н т ь е в а и з у с л о в и я X = c o n s t = X 0

и п о л у ч и м ., 1000 aXVaXL


П р о и з в о д с т в е н н а я ф у н к ц и я К о б б а – Д у г л а с а . Р а с с м о т р и м с н а ч а л а о б щ и й с л у ч а й , к о г д а .1,0

.0222 uu

uu

uuu

uu effefeffefe

С о к р а щ а я н а ue

, п о л у ч и м : .01 2 uuu fffff

С д е л а е м е щ е о д н у з а м е н у п е р е м е н н ы х

,,, Pdx

dP

du

dx

dx

dP

du

dP

du

xdtuxPx u

u

С д р у г о й с т о р о н ы , и з в е с т н о , ч т о uuuu fxfxfx ,, . С л е д о в а т е л ь н о , в ы р а ж е н и е м о ж н о п е р е п и с а т ь т а к :

,01 2 PPfdx

dPPf

.0,01 PPfdx

dPf

Т е п е р ь у р а в н е н и е ( 2 . 3 5 ) м о ж н о с в е с т и к п о л н о м у д и ф ф е р е н ц и а л у , в о с п о л ь з о в а в ш и с ь м е т о д о м и н т е г р и р у ю щ е г о м н о ж и т е л я , п р е д в а р и т е л ь н о з а п и с а в е г о в с л е д у ю щ е м в и д е :

.01 Pxdx

dPx

Р е ш е н и е у р а в н е н и я ( 2 . 3 6 ) б у д е м и с к а т ь в в и д е : 1CxxP .

П о д с т а в и в з н а ч е н и е P , б у д е м и м е т ь

.1 Cxxdu

dx

Р а с с м о т р и м о д и н и з в о з м о ж н ы х с л у ч а е в :

.,1,0,1 11

uCeCxCxdu

dxt

У ч и т ы в а я , ч т о vuvfx ln, , п о л у ч и м

,11

ln11

CvC vCeCvf CC

C

LVCL

VLCLfF

1

1

1

1

и л и , п о л а г а я C 1 , п о л у ч и м ф у н к ц и ю К о б б а – Д у г л а с а : 1

1 LVCX .


О б о б щ е н и е п р о и з в о д с т в е н н о й ф у н к ц и и К о б б а – Д у г л а с а , ф у н к ц и я С о л о у :

, RSLAVX г д е ,,,,A – к о н с т а н т ы . Т е п е р ь р а с с м о т р и м б о л е е с л о ж н ы й с л у ч а й : ,t, 01

1Cxxdu

dx – э т о у р а в н е н и е Б е р н у л л и .

,,1

1

v

dv

Cxx

dxCxx

dv

dxv

а э т о у р а в н е н и е л е г к о и н т е г р и р у е т с я , и р е ш е н и е в н е я в н о м в и д е б у д е т : .1

110

11 avax

г д е 10 , aa – к о н с т а н т ы . Д л я п о л у ч е н и я П Ф п о д с т а в и м LXxLVv , в у р а в н е н и е ( 2 .4 1 ) , п о л у ч и м :

.111

11

011

11

aL

Va

L

X

О б о з н а ч и м . 11 Т о г д а п о л у ч и м :

.1

10 LaVaX

Э т о п р о и з в о д с т в е н н а я ф у н к ц и я с п о с т о я н н о й э л а с т и ч н о с т ь ю з а м е щ е н и я ( П Э З ) . О б о б щ е н и е м д л я П Ф П Э З н а с л у ч а й n п е р е м е н н ы х с л у ж и т п р о и з в о д с т в е н н а я ф у н к ц и я У д з а в ы :

,...1

2211

nn XXXAX

г д е n ,...,, 21 – к о н с т а н т ы ,

1

1 – э л а с т и ч н о с т ь з а м е щ е н и я с и с т е м ы .


Э к з о г е н н а я м о д е л ь и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и

И н н о в а ц и о н н а я д е я т е л ь н о с т ь п р о я в л я е т с я в т о м , ч т о н а с м е н у с т а р о й т е х н о л о г и и п р и х о д и т н о в а я . Т е х н о л о г и я о п и с ы в а е т с я п р о и з в о д с т в е н н о й ф у н к ц и е й с и с т е м ы , с л е д о в а т е л ь н о , м о ж н о в ы р а з и т ь И Д с м е н о й п р о и з в о д с т в е н н ы х ф у н к ц и й . В п р о с т е й ш е м с л у ч а е э ф ф е к т о т И Д м о ж н о в ы р а з и т ь , в в е д я я в н у ю з а в и с и м о с т ь П Ф о т в р е м е н и :

.0,,, dtdXtLVFX З д е с ь у ч и т ы в а е т с я ф а к т и ч е с к и й т р е н д П Ф . У ч и т ы в а е м а я т а к и м

о б р а з о м и н н о в а ц и о н н а я д е я т е л ь н о с т ь н а з ы в а е т с я э к з о г е н н о й .

Н е й т р а л ь н а я э к з о г е н н а я м о д е л ь И Д . Н а р я д у с в о з д е й с т в и е м И Д н а с и с т е м у в ц е л о м , м о ж е т б ы т ь в ы д в и н у т р я д г и п о т е з о т н о с и т е л ь н о е е в о з д е й с т в и я н а п е р е м е н н ы е :

v

vv

fvf

ffvfv

dvdf

fS

dv

dfvfw

dv

dfr

,,, .

М о д е л ь И Д н а з ы в а е т с я - н е й т р а л ь н о й , е с л и с у щ е с т в у е т г л а д к а я ф у н к ц и я , у д о в л е т в о р я ю щ а я у р а в н е н и ю

.0,,,,, Swrvx


Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о Х и к с у . Г и п о т е з а : п р и ф и к с и р о в а н н о й ф о н д о в о о р у ж е н н о с т и co n st LVv п р е д е л ь н а я н о р м а з а м е щ е н и я co n stS .

vgtTtvf , и л и , п е р е х о д я о т о т н о с и т е л ь н ы х п е р е м е н н ы х к п о л н ы м , п о л у ч и м

LVGtTtLVF ,,, .

Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о Х а р р о д у . Г и п о т е з а : п р и ф и к с и р о в а н н о й ф о н д о о т д а ч е ( э ф ф е к т и в н о с т и к а п и т а л о в л о ж е н и й ) в е л и ч и н а п р е д е л ь н о й п р о и з в о д и т е л ь н о с т и о с н о в н ы х ф о н д о в ( ф о н д о е м к о с т ь ) о с т а е т с я п о с т о я н н о й .

П е р е х о д я к п о л н ы м п е р е м е н н ы м и о б о з н а ч а я 1q ч е р е з g , п о л у ч и м

VTLGFL

V

V

TLgf

L

V

V

TLqf ,,,1

.

Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о Х а р р о д у я в л я е т с я т р у д о с б е р е г а ю щ е й . Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о С о л о у . Г и п о т е з а : п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь т р у д а п о с т о я н н а п р и п о с т о я н с т в е п р е д е л ь н о й п р о и з в о д и т е л ь н о с т и ж и в о й с и л ы :

,co n st,co n st, d L

d Fwf

L

Xtvx

и л и co n st,co n st, vfvfwf

О б о з н а ч а я 1q ч е р е з g , п о л у ч и м

.,, LtVTGFvTgvf Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о С о л о у я в л я е т с я к а п и т а л о с б е р е г а ю щ е й .


Э н д о г е н н а я м о д е л ь и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и

.0

d

tttdt

dX XL

L

XV

V

X

У р а в н е н и е п о л у ч и л о н а з в а н и е п р о и з в о д с т в е н н ы й ф у н к ц и о н а л . З а д а ч а м о д е л и р о в а н и я э н д о г е н н о й И Д с в о д и т с я к в ы ч и с л е н и ю э т о г о п р о и з в о д с т в е н н о г о ф у н к ц и о н а л а .

Д л я в ы ч и с л е н и я и н т е г р а л а н е о б х о д и м о з а д а т ь с я т и п о м н е й т р а л ь н о с т и э н д о г е н н о й И Д , д е й с т в у ю щ е й н а с и с т е м у . Р а с с м о т р и м д в а с л у ч а я :

XX ; ( 2 . 5 8 )

.VV

XXX

( 2 . 5 9 )

Т и п н е й т р а л ь н о с т и ( 2 . 5 8 ) о п р е д е л я е т э н д о г е н н у ю И Д , н е й т р а л ь н у ю п о Х и к с у , а т и п ( 2 . 6 9 ) – И Д , н е й т р а л ь н у ю п о Х а р р о д у .


Моделирование технико-экономических систем Моделирование простого производственного объекта

Рассмотрим производственный объект (ПО), производящий

однотипную продукцию, на вход которого поступают основные (ОПФ) и оборотные производственные фонды (ОбПФ), а выходом является готовая продукция в натуральном или денежном выражении.

Производственный объект, выпуск которого измеряется одной скалярной функцией, а вход двумя скалярными функциями, называется простым производственным объектом.

Vвн V Y

Wвн W X U

VTос

1

WTос

1

VD1

WD1

Vm

1

Wm

1 ОМ


В соответствии с функционально-структурной схемой движение в процессе производства ОПФ и ОбПФ и выпуск готовой продукции можно записать так:

,,

,,1

,,0,,1

00внос

00внос

tmtVtYtmtWtX

WtWtWT

tWdt

tdW

TtVtVtVT

tVdt

tdV

VW

tWW

tVV

,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

где WV, – коэффициенты выбытия ОПФ и ОбПФ;

WVTT осос, – время

освоения неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли; T – горизонт планирования.


М о д е л и р о в а н и е с л о ж н о г о п р о и з в о д с т в е н н о г о о б ъ е к т а

V н I V в н

U Z P W в н W н Т

Б З V

Б З W

П р о и з в о д с т в о

R U

R Z

V н + V в н 1Y

1X 1U

U

nY

W н + W в н nX nU

Vb 1

Vnb

VD 1

1

VnD

1

1НЭ Wb 1

Wnb W

nD 1

1С

nC

WD 1

1

nНЭ


М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь о т р а с л и с у ч е т о м с т р у к т у р е е п о д р а з д е л е н и й :

,,1,,

,,0,,1,,

00внн

00внн

niXtXtWtWbtXdt

tdX

TtniYtYtVtVbtYdt

tdY

itiW

iiWi

i

itiV

iiVi

i

,1 tYtXtU iii

.1

n

iii tUCtU

М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь з а м к н у т о г о п р о и з в о д с т в е н н о г о о б ъ е к т а в м а т р и ч н о й ф о р м е :

,,

,,

00внн

00внн

XtXtWtWBtXdt

tdX

YtYtVtVBtYdt

tdY

t

WW

t

VV

,1 tYtXtU ,tCUtU ,н tUatW

,1н tUadtV

.11 tUadtP

Э т и у р а в н е н и я п о л у ч е н ы б е з у ч е т а з а п а з д ы в а н и я в о с в о е н и и О П Ф и О б П Ф , т . е . к о г д а tTtWtItV нн , .


М о д е л и р о в а н и е з а п а з д ы в а н и я п р и о с в о е н и и к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й и п р о и з в о д с т в е н н ы х з а т р а т

М а т е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь з а м к н у т о г о п р о и з в о д с т в е н н о г о о б ъ е к т а с

у ч е т о м и н е р ц и о н н о г о з а п а з д ы в а н и я в в о д а о с н о в н ы х ф о н д о в и п р о ц е с с а п р о и з в о д с т в а в с л е д у ю щ е м в и д е :

,,

,,

,,

,,

н00ннн

0н0ннн

00н

00н

WtWtWtTdt

tdW

VtVtVtIdt

tdV

XtXtWBtXdt

tdX

YtYtVBtYdt

tdY

t

t

tWW

tVV

,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

,tCUtU ,1

,

tUadtI

tUatT

,11 tUadtP г д е .1,1 инин


М о д е л и р о в а н и е м н о г о о т р а с л е в о й э к о н о м и к и

М а т е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь в м а т р и ч н о й ф о р м е з а м к н у т о й м н о г о о т р а с л е в о й э к о н о м и к и :

,,1,,

,,1,,

0внн

0внн

0

0

siXtXtWtWBtXdt

tdX

siYtYtVtVBtYdt

tdY

ittiiiWii

Wi

i

ittiiiVii

Vi

i

,tUCtU iii ,,1,1 sitYtXtU iii

,,1,1

н sitUatWs

jjiji

.,1,

,,1,

111

11н

sitUatUdtUatUtP

sitUatUdtV

s

lljlj

s

jij

s

jjijii

s

lljlj

s

jiji


Пример. Рассмотрим вышеизложенный подход к моделированию на примере двухпродуктовой модели народного хозяйства.

Э К О Н О М И К А

Vн21

Vн11 ОТРАСЛЬ 1

V1вн Y1 U1 Z1 V1

W1вн X1 P1 Wн1

Wн11

Wн12

Vн12 ОТРАСЛЬ 2 Vн22

V2вн

U2 Z2 V2 W2вн X2 P2 Wн2

Wн22 Wн21

ОПФ1

ОбПФ1

RU1 RZ1

RV1

RW1

ОПФ2

ОбПФ2

RU2

RZ2

RV2

RW2

ОМ1

ОМ2

Рис. 2.12


М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь в м а т р и ч н о й ф о р м е з а м к н у т о й д в у х о т р а с л е в о й э к о н о м и к и :

,2,1,,

,2,1,,

0внн

0внн

0

0

iXtXtWtWBtXdt

tdX

iYtYtVtVBtYd t

tdY

ittiiiW

iiW

ii

ittiiiV

iiV

ii

,2,1,1 itYtXtU iii

,при0

,при1

tYtX

tYtX

ii

ii

,2,1, itUCtU iii ,

,

2221212н

2121111н

tUatUatW

tUatUatW

,11

,11

12 12 2112 121 22 12 22 22н

21 2112 21 212 11 211111н

tUadadtUadadtV

tUadadtUadadtV

.1111

,1111

1112 12 22 121 22 12 22 22

22 21 2111 212 11 211111

tUaddatUaddatP

tUaddatUaddatP


Д и н а м и ч е с к о е м о д е л и р о в а н и е э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м ы с у ч е т о м д е я т е л ь н о с т и и н н о в а ц и о н н о г о о б ъ е к т а

Р а с с м о т р и м п р о и з в о д с т в е н н ы й о б ъ е к т ( П О ) , п р о и з в о д я щ и й о д н о т и п н у ю п р о д у к ц и ю , н а в х о д к о т о р о г о п о с т у п а ю т о с н о в н ы е ( О П Ф ) и о б о р о т н ы е п р о и з в о д с т в е н н ы е ф о н д ы ( О б П Ф ) , а в ы х о д о м я в л я е т с я г о т о в а я п р о д у к ц и я в н а т у р а л ь н о м и л и д е н е ж н о м в ы р а ж е н и и . З а д а д и м м е х а н и з м в о з д е й с т в и я И Д н а п р о и з в о д с т в е н н ы й о б ъ е к т в в и д е о б р а т н о й с в я з и с п о м о щ ь ю с т р у к т у р н о - ф у н к ц и о н а л ь н о й б л о к - с х е м ы :

В е л и ч и н ы tV вн и tW вн я в л я ю т с я в н е ш н и м и п о с т у п л е н и я м и О П Ф и

О б П Ф в п р о и з в о д с т в е н н ы й о б ъ е к т , н а п р и м е р , з а с ч е т п о л у ч е н и я б а н к о в с к о г о к р е д и т а . В е л и ч и н а tU – в а л о в о й в ы п у с к ( г о т о в а я п р о д у к ц и я ) п о д р а з д е л е н и я о т р а с л и в с т о и м о с т н о м и л и н а т у р а л ь н о м в ы р а ж е н и и

.1 tYtXtU В е л и ч и н а tu – у п р а в л я ю щ е е в о з д е й с т в и е И Д н а П О , к о т о р о е я в л я е т с я

в ы х о д н о й в е л и ч и н о й С К Б ,tUttu

V в н W в н U ( t )

V ( t ) W ( t )

u ( t )

С К Б

П О


М о д е л ь П О с о б р а т н о й с в я з ь ю п о И Д : ,,

,,0,,

00

00

XtXtutXdt

tdX

TtYtYtutYdt

tdY

tWW

tVV

,, tXttutYttu WWVV ,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

и л и , и с к л ю ч а я у п р а в л е н и я , ,,

,,0,,

00

00

XtXtXtd t

tdX

TtYtYtYtd t

tdY

tWW

tVV

.1 tYtXtU


Инновационная деятельность увеличивает эффективность использования внешних поступлений как основных, так и оборотных производственных фондов:

,,

,,0,,

00вн

00вн

XtXtwtutXdt

tdX

TtYtYtvtutYdt

tdY

tWW

tVV

,1 tYtXtU

где WV TtWtwTtVtv освнвносвнвн , – потоки внешних поступлений ОПФ

и ОбПФ; twttwtvttv WVвнвнвнвн , ;

WV TT осос, – время освоения неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли.

Vвн Y

Vu

U

Wu

Wвн X

VD 1

WD 1

t

1

V

V

T

t

ос

W

W

T

t

ос


В ч а с т н о м с л у ч а е , к о г д а в е л и ч и н ы в н е ш н и х п о с т у п л е н и й О П Ф и О б П Ф и о б о б щ е н н ы е п о к а з а т е л и и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и п о с т о я н н ы и

я в л я ю т с я и з в е с т н ы м и в е л и ч и н а м и ( constвн V и constвн W , constV и constW ) , с и с т е м а у р а в н е н и й п р и м е т в и д :

.,exp

,,0,,exp

00вн0ос

00вн0ос

XtXtWmT

ttX

dt

tdX

TtYtYtVmT

ttY

dt

tdY

tWW

WWW

tVV

VVV

,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX

А н а л и т и ч е с к и е з а в и с и м о с т и м о щ н о с т и и в ы п у с к а П О с у ч е т о м И Д

С К Б :

,expexpexp

,,0,expexpexp

0ос

вн0

0ос

вн0

ttmT

WtXtX

TtttmT

VtYtY

WWWWWW

WW

VVVVVV

VV

,1 tYtXtU

,при0

,при1

tYtX

tYtX


С т р у к т у р н о - ф у н к ц и о н а л ь н а я д и н а м и ч е с к а я м о д е л ь м а к р о э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м ы с у ч е т о м и н н о в а ц и й

И с х о д я и з к л а с с и ч е с к и х п р е д с т а в л е н и й т е о р и и у п р а в л е н и я , п р е д л а г а е т с я н о в а я ф у н к ц и о н а л ь н о - д и н а м и ч е с к а я м о д е л ь , в к о т о р о й у п р а в л я ю щ а я р о л ь и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и в р а з в и т и и м а к р о э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м ы у ч и т ы в а е т с я с п о м о щ ь ю м е х а н и з м а о б р а т н ы х с в я з е й . П р и э т о м н о в а я ф у н к ц и о н а л ь н о - д и н а м и ч е с к а я м о д е л ь р а з в и т и я с и с т е м ы о п и с ы в а е т с я н е л и н е й н ы м и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и у р а в н е н и я м и э в о л ю ц и о н н о г о т и п а . А н а л и т и ч е с к о е о п и с а н и е с т р у к т у р н о - ф у н к ц и о н а л ь н о й д и н а м и ч е с к о й м о д е л и :

.,

,,

,,

0tWFttWF

tXtWt

ttWFtX

W 1

W 2 X ( t ) W m

t

,WF

WX ,


К А Ч Е С Т В Е Н Н Ы Й А Н А Л И З М О Д Е Л Е Й Р А З В И В А Ю Щ И Х С Я Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М

И с с л е д о в а н и е у с т о й ч и в о с т и р а з в и в а ю щ и х с я с и с т е м Р а с с м о т р и м р а з в и в а ю щ у ю с я э к о н о м и ч е с к у ю с и с т е м у , о п и с ы в а е м у ю д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и н е л и н е й н ы м и у р а в н е н и я м и в т о р о г о п о р я д к а с л е д у ю щ е г о в и д а [ 6 ] :

,2,1, iXfdt

dXi

i

г д е 2,1if i – н е п р е р ы в н ы е ф у н к ц и и , о п р е д е л я е м ы е в н е к о т о р о й о б л а с т и R д в у х м е р н о г о е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а и и м е ю щ и е в э т о й о б л а с т и п р о и з в о д н ы е п о р я д к а н е н и ж е п е р в о г о . С о с т о я н и е с и с т е м ы в к а ж д ы й м о м е н т

в р е м е н и о п р е д е л я е т с я п а р о й з н а ч е н и й н е и з в е с т н ы х 21 , XX . П о д у с т о й ч и в о с т ь ю с и с т е м ы п о н и м а е т с я с в о й с т в о с и с т е м ы

в о з в р а щ а т ь с я к с о с т о я н и ю у с т а н о в и в ш е г о с я р а в н о в е с и я п о с л е у с т р а н е н и я

в о з м у щ е н и я , н а р у ш и в ш е г о у к а з а н н о е р а в н о в е с и е .


В вопросах суждения об устойчивости развивающихся систем имеют большое практическое значение общие теоремы устойчивости, сформулированные А.М. Ляпуновым:

1. Нелинейная система устойчива в «малом», то есть при малых начальных отклонениях, если отрицательны все вещественные части корней характеристического уравнения системы, составленного для ее линейного приближения.2. Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы одна вещественная часть корня характеристического уравнения ее линейного приближения положительна.При наличии чисто мнимых корней указанного уравнения вопрос об устойчивости системы требует в каждом случае дополнительного исследования.


2 2

1 1

а б


Запишем теперь аналитические выражения для различных типов особых точек:

«фокус» ( 21, – комплексные величины) ,042 «центр» ( 21, – чисто мнимые величины) ,, 00

«седло» ( 21, – вещественные величины различных знаков) ,, 040 2

«узел» ( 21, – вещественные величины одного знака) ., 040 2 Если коэффициенты линейного оператора L зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут соответственно изменяться и . При изменении соотношения между и происходит изменение фазового портрета системы.

2

1

v u

2Z

1Z


А н а л и з у с т о й ч и в о с т и м а к р о с и с т е м с у ч е т о м и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и

Р а с с м о т р и м д в у х м е р н у ю м а к р о с т р у к т у р у , к о т о р а я х о р о ш о м о д е л и р у е т в з а и м о д е й с т в и е д в у х с м е ж н ы х п о д о т р а с л е й ч е р е з И Д : р а з р а б о т к у и д о б ы ч у г а з а ( н е ф т и ) и т р а н с п о р т и р а с п р е д е л е н и е г а з а ( н е ф т и ) . У р а в н е н и я , о п и с ы в а ю щ и е т а к у ю м а к р о э к о н о м и ч е с к у ю с т р у к т у р у :

,

,

21212

222222

21122

111111

XXXXdt

dX

XXXXdt

dX

г д е

,

11,

11 211211

111121

211212

22122

211212

221212

211211

11111 aaC

FCa

aaC

FC

aaC

FCa

aaC

FC

,1

1,

1

,1

,1

1

21121222

211211

2121

211212

1212

21121111

aaCaaC

a

aaC

a

aaC

,2,1,21

iL

Lb

V

Vb

i

ii

i

iii


Н а й д е м с о с т о я н и я р а в н о в е с и я д в у х м е р н о й м а к р о с т р у к т у р ы и з у с л о в и я

р а в е н с т в а н у л ю л е в ы х ч а с т е й у р а в н е н и й , т о е с т ь ( 2,1,0

iX i ) : 1 ) ;0,0 2010 XX

2 ) ;,022

22010

XX

3 ) ;0, 2011

110 XX

4 ) .,21122211

11221120

21122211

22112210

XX


1 ) .0,0 2010 XX В э т о м с л у ч а е ,, 2121

42

1 22,1

о т к у д а ., 2211

Е с л и 0,0 21 , т о и м е е м к о р н и в е щ е с т в е н н ы е , о д н о г о з н а к а и , с л е д о в а т е л ь н о , э т о с о с т о я н и е р а в н о в е с и я п р е д с т а в л я е т с о б о й н е у с т о й ч и в ы й « у з е л » . Ф и з и ч е с к и э т о о з н а ч а е т , ч т о с и с т е м а н е м о ж е т н а х о д и т ь с я п р и н у л е в о м в ы п у с к е и п р и м а л е й ш и х и з м е н е н и я х п а р а м е т р о в о б я з а т е л ь н о н а б л ю д а е т с я и н т е н с и в н ы й р о с т в ы п у с к а к а к в п е р в о й , т а к и в о в т о р о й п о д о т р а с л и .


2) .,022

22010

XX

Для этого случая

,,22

212122

22

2121

., 222212211

Здесь имеем критическую точку 01 при .22

2121

При

22

2121

система будет устойчива, а состояние равновесия представляет

собой устойчивый «узел». При 22

2121

состояние равновесия

представляет собой особую точку типа «седло», которое всегда неустойчиво.


3 ) .0, 2011

110 XX

В э т о м с л у ч а е

,,11

121211

11

1212

., 121121121 З д е с ь и м е е м к р и т и ч е с к у ю т о ч к у 01 п р и 112112 и с и с т е м а в н е й н е й т р а л ь н о у с т о й ч и в а . П р и 112112 с и с т е м а б у д е т у с т о й ч и в а , а с о с т о я н и е р а в н о в е с и я п р е д с т а в л я е т с о б о й у с т о й ч и в ы й « у з е л » . П р и

112112 с о с т о я н и е р а в н о в е с и я п р е д с т а в л я е т с о б о й о с о б у ю т о ч к у т и п а « с е д л о » , к о т о р о е в с е г д а н е у с т о й ч и в о . К а к в о в т о р о м , т а к и в т р е т ь е м с л у ч а е к р и т и ч е с к а я т о ч к а я в л я е т с я т о ч к о й п е р е х о д а и з у с т о й ч и в о г о « у з л а » к н е у с т о й ч и в о м у « с е д л у » , и н а о б о р о т .


4 ) .,21122211

11221120

21122211

22112210

XX

В э т о м с л у ч а е

,21122211

12221122111221

,.

21122211

122221112211

.

2

2

21122211

1222211122112

21122211

12221122111221

21122211

122211221112212,1

Е с л и п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е п о л о ж и т е л ь н о , т о с о с т о я н и е р а в н о в е с и я б у д е т п р е д с т а в л я т ь с о б о й у с т о й ч и в ы й « у з е л » , п р и и з м е н е н и и з н а к а п о д к о р е н н о г о в ы р а ж е н и я с о с т о я н и е р а в н о в е с и я п р е в р а щ а е т с я в у с т о й ч и в ы й « ф о к у с » . В к р и т и ч е с к о й т о ч к е , к о г д а п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е р а в н о н у л ю , с и с т е м а п е р е с к а к и в а е т и з у с т о й ч и в о г о « ф о к у с а » в у с т о й ч и в ы й « у з е л » и л и н а о б о р о т .


Д л я п р о в е д е н и я и с с л е д о в а н и й у с т о й ч и в о с т и м а к р о с т р у к т у р ы н е о б х о д и м о р а с с м о т р е т ь к о н к р е т н ы й в а р и а н т з а в и с и м о с т е й в ы п у с к о в м а к р о с и с т е м о т а г р е г и р о в а н н ы х р е с у р с о в и о б о б щ е н н о г о п о к а з а т е л я И Д . Р а с с м о т р и м м о д е л ь в з а и м о д е й с т в и я И Д и п р о и з в о д с т в а в в и д е м о д и ф и ц и р о в а н н о й ф у н к ц и и т и п а К о б б а – Д у г л а с а :

,2,1,exp0 itLVaX iiiiiii

г д е 2,1, iii – э л а с т и ч н о с т ь в ы п у с к а п о с о о т в е т с т в у ю щ е м у р е с у р с у i - й м а к р о с и с т е м ы

.2,1,,

iL

X

X

L

V

X

X

V

i

i

i

ii

i

i

i

ii

Д л я п е р в ы х т р е х с о с т о я н и й р а в н о в е с и я м а к р о с т р у к т у р ы л е г к о о п р е д е л и т ь в р е м я п о п а д а н и я с и с т е м ы в к р и т и ч е с к у ю т о ч к у . В п е р в о м с л у ч а е и з у с л о в и я р а в е н с т в а н у л ю о д н о г о и л и д в у х к о р н е й х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я п о л у ч и м :

2121

12кр

1

a

at

и л и ,1

1212

21кр a

at

в о в т о р о м с л у ч а е

1212212121

212112кр

11

aaa

aaat

и л и ,1

1212

21кр a

at

в т р е т ь е м с л у ч а е

2121121212

121221кр

11

aaa

aaat

и л и ,1

2121

12кр a

at

и в ч е т в е р т о м с л у ч а е

1212212121

212112кр

11

aaa

aaat

и л и

,11

2121121212

121221кр aaa

aaat

п р и э т о м д о л ж н о в ы п о л н я т ь с я у с л о в и е .12112 aa


А н а л и з в л и я н и я и н н о в а ц и й и з с м е ж н ы х п о д о т р а с л е й н а у с т о й ч и в о с т ь и х в з а и м н о г о ф у н к ц и о н и р о в а н и я . Д л я п р о в е д е н и я и с с л е д о в а н и й у с т о й ч и в о с т и и п р о г н о з и р о в а н и я в о з н и к н о в е н и я к р и з и с н ы х с и т у а ц и й н е о б х о д и м а о п р е д е л е н н а я и н ф о р м а ц и я п о д в у м п о д о т р а с л я м – г а з о д о б ы в а ю щ е й и г а з о т р а н с п о р т н о й , к о т о р а я с в е д е н а в т а б л . 1 и 2 .

Т а б л и ц а 1 Г а з о д о б ы в а ю щ а я п о д о т р а с л ь

Г о д ы О с н о в н ы е ф о н д ы V 1 , м л н р у б .

Ч и с л е н н о с т ь р а б о т а ю щ и х L 1 , т ы с . ч е л .

В ы п у с к X 1 , м л р д м 3

1 9 9 0 2 9 4 3 9 2 4 , 5 7 3 7 8 5 1 9 9 5 3 5 9 2 9 2 6 , 9 7 4 9 5 3

Т а б л и ц а 2

Г а з о т р а н с п о р т н а я п о д о т р а с л ь Г о д ы О с н о в н ы е ф о н д ы

V 2 , м л н р у б . Ч и с л е н н о с т ь р а б о т а ю щ и х

L 2 , т ы с . ч е л . В ы п у с к

X 2 , м л р д м 3 к м 1 9 9 0 6 5 2 8 0 7 3 , 7 1 9 2 0 1 1 1 5 5 1 9 9 5 8 3 2 0 0 8 0 , 9 2 0 2 6 3 8 4 2 6

П р е д п о л а г а е м , ч т о к о э ф ф и ц и е н т ы 2,1,, jiiji м е д л е н н о

и з м е н я ю т с я в о в р е м е н и и м о г у т п р и в е с т и м а к р о э к о н о м и ч е с к у ю с т р у к т у р у к к р и т и ч е с к о й г р а н и ц е .


Задавая экспертным путем ijb весовые коэффициенты, которые определяют значимость различных первичных показателей ИД:

,55,0,45,0,55,0,45,0 22211211 bbbb определим 2,1ii – средневзвешенные темпы роста ресурсов на входе i-й макросистемы по формулам:

,2,1,21

iL

Lb

V

Vb

i

ii

i

iii

Так как i – обобщенный показатель инновационной деятельности – в i-й макросистеме определяется по формуле

2

1

,2,1,j

ij

jiji iX

Xa

изменяя коэффициенты ija той доли выпуска соответствующей макросистемы, которая идет на формирование ИД в связанной с ней смежной макросистеме в диапазоне (0< ija<1) можно построить границу критической области.


12a 1,0 21a

0,9 0,9 0,893 0,8 0,8 0,7 0,7 Область 0,6 устойчивости 0,6 Область 0,5 0,5 устойчивости 0,4 0,4 0,3 0,3 Область Область 0,2 неустойчивости 0,2 неустойчивости 0,1 0,1

крt крt

0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70


С б а л а н с и р о в а н н ы й р о с т в о д н о п р о д у к т о в о й м а к р о э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м е

Р а с с м о т р и м о д н о п р о д у к т о в у ю м о д е л ь р а з в и т и я р е г и о н а и л и о т р а с л и . В з а и м о с в я з ь п р о и з в о д с т в а и п о т р е б л е н и я , а т а к ж е д и н а м и к у т а к и х э к з о г е н н ы х ф а к т о р о в , к а к р а б о ч а я с и л а и о с н о в н ы е п р о и з в о д с т в е н н ы е ф о н д ы , м о ж н о о т р а з и т ь с п о м о щ ь ю м о д е л е й а г р е г и р о в а н н ы х с и с т е м . Н а и б о л е е п р о с т а я м о д е л ь в з а и м о д е й с т в и я м е ж д у п р о и з в о д с т в о м и п о т р е б л е н и е м п р е д л о ж е н а Ф . Р а м с е е м [ 6 ] . У р а в н е н и я м о д и ф и ц и р о в а н н о й м о д е л и м о ж н о з а п и с а т ь в с л е д у ю щ е м в и д е :

,0,

,exp,,,

,,

0н

0

н

VVtqVtVtV

tLtLtLVFtX

tPtVtZtZtaXtX

V


Другая форма уравнения модели:

.0,,1 0vvtvfaqdtvtv V

Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором технико-экономические показатели растут с постоянным темпом. Оказывается, что темпы роста этих показателей не только постоянны, но и равны. Найдем стационарные (равновесные) точки системы из условия

,,1,0 vtvfaqdtv V

откуда получаем два искомых решения 0tv , vtv . Очевидно, точка v

существует не всегда. Действительно, при ,0v ,,1 vtvfaqd V ,0v ,,1 vtvfaqd V

точка v отсутствует.


Рассмотрим случай, когда возможно нетривиальное решение. Из рис. 3.6 видно, что для всех точек

vv0 справедливо

неравенство ,,1 vtvfaqd V то есть

,0,1

vtvfaqdtv V следовательно, tv будет непрерывно расти во времени. В момент времени vtv этот рост прекратится.

При vtv выражение

,0,1

vtvfaqdtv V поэтому опять v будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет величины v. Причем малые случайные возмущения не приводят к существенным

отклонениям от v. Это означает, что равновесная точка vtv устойчива.

x vV

tvfaqd ,1

v

v Рис. 3.6


Таким образом, если vtv , то получаем: .exp,11

,exp,11

,exp,11

,exp,,

,exp

0

0н

0

0

0

tLtvfatXatZ

tLtvfadtPtXatV

tLtvfadtLtptP

tLtvftLtvftX

tLvtLtvtV

Такую ситуацию будем называть режимом сбалансированного роста. Режим сбалансированного роста обладает тем свойством, что к нему сходятся все траектории модели при постоянной доле капиталовложений d.


А Н А Л И З О П Т И М А Л Ь Н О Г О Р А З В И Т И Я Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М

И с с л е д о в а н и е о п т и м а л ь н о г о р а з в и т и я о д н о п р о д у к т о в о й м а к р о м о д е л и э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м ы

Р а с с м о т р и м э к о н о м и к у , м о д е л ь к о т о р о й о п и с ы в а е т с я с л е д у ю щ и м и у р а в н е н и я м и :

.0

,,11

0vv

tvfauqtvtv

О г р а н и ч е н и е н а у п р а в л е н и е du : ,u 10

а о г р а н и ч е н и я н а О П Ф з а м е н и м о г р а н и ч е н и я м и н а ф о н д о в о о р у ж е н н о с т ь : .з tvtv

З а д а ч а о п т и м и з а ц и и д а н н о й э к о н о м и к и с о с т о и т в т о м , ч т о б ы н а й т и т а к о е у п р а в л е н и е п р о ц е с с о м р а з в и т и я , к о т о р о е о б е с п е ч и л о б ы н а и б о л ь ш е е с р е д н е д у ш е в о е п о т р е б л е н и е н а р а с с м а т р и в а е м о м и н т е р в а л е в р е м е н и [ 0 , T ] с у ч е т о м д и с к о н т и р о в а н и я п о т р е б л е н и я , т о е с т ь

T

dtttL

tPJ

0

.exp


v

0v

0v

t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 u 1,0 0,8442 0,5 t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


О д н о п р о д у к т о в а я м а к р о с и с т е м а . П у с т ь у п р а в л я е м а я с и с т е м а п р е д с т а в л я е т с о б о й э к о н о м и к у р е г и о н а и л и о т р а с л и , м о д е л и р у е м у ю с п о м о щ ь ю о д н о п р о д у к т о в о й м о д е л и , т о е с т ь п р о ц е с с э к о н о м и ч е с к о г о р а з в и т и я з а д а е т с я у р а в н е н и е м

,0

,,1

0vv

tptvfaqtvtv

г д е tp – у п р а в л я ю щ а я ф у н к ц и я . Д о п у с т и м ы м у п р а в л е н и е м н а з о в е м л ю б у ю к у с о ч н о - н е п р е р ы в н у ю ф у н к ц и ю tp , к о т о р а я у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю и г р а н и ч н о м у у с л о в и ю

.,0,,110 Tttvfadtp


Т е п е р ь н а д о у т о ч н и т ь п о н я т и е о п т и м а л ь н о с т и . О ч е в и д н о , к р и т е р и е в о п т и м а л ь н о с т и м о ж е т б ы т ь м н о ж е с т в о . Р а с с м о т р и м н а и б о л е е о б щ и й к р и т е р и й – ф у н к ц и о н а л б л а г о с о с т о я н и я с и с т е м ы в в и д е :

.exp0

dtttpgJT

З а д а ч а о п т и м и з а ц и и с о с т о и т в в ы б о р е т а к о г о у п р а в л е н и я tp в з а д а н н о м и н т е р в а л е в р е м е н и , ч т о б ы с о о т в е т с т в у ю щ е е е м у р е ш е н и е у р а в н е н и я д о с т а в л я л о м а к с и м у м ф у н к ц и о н а л у . В с л у ч а е к о н е ч н о г о г о р и з о н т а п л а н и р о в а н и я д о л ж н ы в ы п о л н я т ь с я у с л о в и я н а к о н ц е т р а е к т о р и и 1vTv . Д л я б е с к о н е ч н о г о г о р и з о н т а п л а н и р о в а н и я и н т е г р а л б л а г о с о с т о я н и я м о ж е т о к а з а т ь с я р а с х о д я щ и м с я , п о э т о м у н е о б х о д и м о з а д а в а т ь о г р а н и ч е н и я н а н а ч а л ь н ы е у с л о в и я

,0 0 vvv т о е с т ь н а ч а л ь н а я к а п и т а л о в о о р у ж е н н о с т ь д о л ж н а б ы т ь м е н ь ш е п р е д е л ь н о д о с т и ж и м о й .


Д в у х п р о д у к т о в а я м а к р о с и с т е м а . Н а р я д у с о д н о п р о д у к т о в о й м о д е л ь ю м о ж н о п о с т р о и т ь и м н о г о п р о д у к т о в ы е . Р а с с м о т р и м д л я п р и м е р а д в у х п р о д у к т о в у ю м о д е л ь . П у с т ь и м е ю т с я р а з л и ч н ы е в и д ы о с н о в н ы х п р о и з в о д с т в е н н ы х ф о н д о в и о д н о р о д н ы й т р у д . Т о г д а м а к с и м а л ь н о в о з м о ж н о е п о т р е б л е н и е п о а н а л о г и и м о ж н о з а п и с а т ь в в и д е П Ф :

,,,,, 2121 нн VVVVLtP

г д е ,, 22221111 VVVqVVVq нн

11 нVq – ч а с т ь п о т о к а в ы п у с к а , к о т о р а я и д е т н а у в е л и ч е н и е О П Ф т и п а 1 , 22 нVq – ч а с т ь п о т о к а в ы п у с к а , к о т о р а я и д е т н а у в е л и ч е н и е О П Ф т и п а 2 . П р е д п о л а г а я , ч т о tP – о д н о р о д н а я ф у н к ц и я , и в з я в е е у д е л ь н о е з н а ч е н и е , п о л у ч и м

.,,, н2н121 vvvvtv М о д е л ь р а з в и т и я д в у х п р о д у к т о в о й э к о н о м и к и и м е е т в и д

,0,0

,,

202101

2н222

1н111

vvvv

vvqdt

dvvvq

dt

dv

г д е 2,1,нн jLVtv jj – у п р а в л я ю щ и е ф у н к ц и и .


В в е д е м , к а к и р а н е е , к р и т е р и й – ф у н к ц и о н а л б л а г о с о с т о я н и я с и с т е м ы в в и д е :

.,exp,,, 210

н2н121 TvTvGdttvvvvgJT

Т о г д а з а д а ч у о п т и м и з а ц и и м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь т а к : с р е д и д о п у с т и м ы х у п р а в л е н и й 2,1, jv jн , н а й т и т а к о е , ч т о б ы с о о т в е т с т в у ю щ е е е м у р е ш е н и е с и с т е м ы у р а в н е н и й д о с т а в л я л о м а к с и м у м ф у н к ц и о н а л у . Д л я р е ш е н и я п о с т а в л е н н о й з а д а ч и в о с п о л ь з у е м с я п р и н ц и п о м м а к с и м у м а . Ф у н к ц и я Г а м и л ь т о н а в э т о м с л у ч а е б у д е т

,,,,exp 2н2221н111н2н121 vvqbvvqbvvvvgtH

г д е .exp,exp 2211 ttbtttbt О п т и м а л ь н о е у п р а в л е н и е о п р е д е л и м т а к :

,0,0н2н1

v

H

v

H


В в о д я э л а с т и ч н о с т ь з а м е щ е н и я c ф у н к ц и и п о л е з н о с т и , п о л у ч и м :

.1

,1

2н

2н

2н

2

1н

1н

1н

1

2

1

tpdtdq

pdt

dp

tpdtdq

pdt

dp

v

v

v

v

v

v

v

v

С о п о с т а в л я я д в а у р а в н е н и я , в и д и м

.н2

н2

н2

2

н1

н1

н1

1 21

v

v

v

v

v

v

v

v dtdqdtdq

Э т о и е с т ь о с н о в н о е у с л о в и е э ф ф е к т и в н о с т и .


Оптимальное управление запасами товаров и сырья

Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части. Количество продукта на складе в момент времени t обозначим tu , при этом продукт расходуется с постоянно заданной интенсивностью . При управлении запасами обычно принимается следующая стратегия: выбирается уровень запаса 1u такой, что при достижении этого уровня запаса посылается

заказ на пополнение запаса в количестве 0u . Пусть заказ выполняется через некоторый заранее известный промежуток времени 0 (рис. 4.2).

Тогда по истечении отрезка времени продолжительностью после выполнения заказа уровень запасов увеличится на величину

02 uuu . Запишем уравнение

для запаса tu , полагая, что в начальный момент времени запас был равен 2u :

tnututu 2 ,

где tn – полное число поставок за период t,0 .

tu

2u

1u

0u

T t

Рис. 4.2


Обозначим через 01 uuu потребление товара за период между моментом проведения заказа и моментом получения заказанного количества товаров. Поскольку интенсивность потребления постоянна и равна , то

u . Поэтому в момент получения заказанного товара его количество достигает на складе величины 2u , которая подсчитывается по формуле:

uuuu 12 . Будем для определенности считать, что в начальный момент времени уровень запаса равнялся 2u . Тогда уровень запаса товара достигнет

первый раз величины 1u в момент , определяемый соотношением

12 uu . В момент подается заказ, который удовлетворяется через промежуток времени , т. е. tu становится равным 2u и все повторяется сначала.

Число tn легко определить, исходя из количества полных циклов за период времени t,0 , т. е. Tttn , где обозначает целую часть числа. При этом время производственного цикла

.02 uuuT (4.53) Поэтому

. utTttn (4.54)


Таким образом, получаем, что количество запасов в момент времени t описывается соотношением

.0 ututuutu (4.55)

Критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией издержек, которая имеет вид:

,1

0210

dttucucc

TuJ

T

(4.56)

где 0с – стоимость издержек, не зависящая от объема заказа и возникающая в связи с самим фактом произведения заказа; 1с – стоимость издержек, пропорциональная количеству заказанного товара; 2с – стоимость издержек, связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.

В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №69

4.4. Планирование оптимального развития основных фондов предприятия

Уравнение материального баланса ОПФ будет иметь вид [4]: .,0,н TttqVtV

dt

tdV V (4.82)

Начальное значение ОПФ будем считать заданным .0,00

tVVtVt

(4.83)

Следовательно, tV описывает состояние процесса развития ОПФ, а функцию tqVtu н будем считать управлением.

Критерий оптимальности:

T

TVdttuJ0

2 min, (4.84)

где , – весовые коэффициенты .0,0,1 Ставится следующая задача: среди всех допустимых управлений tu

найти такое, чтобы функционал (4.84) достигал наименьшего значения с учетом связей (4.82), (4.83).

Введем функцию Гамильтона ,2 tutVttuH V (4.85)

где t – множитель Лагранжа, который определяется из сопряженной системы

.,

Tt

V tttV

H

dt

td (4.86)


Так как на управление ограничения отсутствуют, оптимальное управление можно определить из условия

.2

1,0 ttqItu

u

H

(4.87)

Для получения уравнения оптимальной траектории развития ОПФ фирмы подставим в (4.82) оптимальное управление (4.87) и с учетом сопряженной системы (4.86) получим

,,0,,2

100

TtVtVttVdt

tdVt

V

Tt

V ttdt

td, (4.88)

Однако эту задачу можно разрешить аналитическим путем, так как второе уравнение системы (4.88) содержит только t и может быть проинтегрировано независимо от первого уравнения. Интегрируя его, получим

,exp1 tCt (4.89) где 1C – постоянная интегрирования, которая определяется из условия

,exp,exp 11 TCTC VV откуда получим

.exp Ttt V (4.90)


Теперь подставим решение (4.90) в уравнение (4.88), получим дифференциальное уравнение относительно tV :

,,0,,exp2 00

TtVtVTttVdt

tdVt

V

(4.91)

Education

презентацлек