1

เรอง การแยกตวประกอบพหนาม รายวชาคณตศาสตรพนฐาน

รหสวชา ค31101

จดท าโดย นายนรนทรโชต บณยนนทสร

คร คศ.3

โรงเรยนจตรพกตรพมานรชดาภเษก อ.จตรพกตรพมาน จ.รอยเอด ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 27 ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

กระทรวงศกษาธการ

2

ค าน า บทเรยนส าเรจรป รายวชาคณตศาสตรพนฐาน 1 รหสวชา ค31101 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง การแยกตวประกอบพหนาม จดท าขนเพอใชเปนสอการเรยนการสอนใน ซงผเรยนสามารถศกษาหาความรดวยตนเอง ทงยงสามารถประเมนผลการเรยนดวยตนเองไดในชวระยะหนง แตทงนผเรยนจะตองตงอยบนพนฐานของความซอสตย จงจะรวามความสามารถในดานสตปญญา ในการแกไขปญหามากนอยเพยงใด สาระทปรากฏอยในบทเรยนส าเรจรปนน จะชวยใหผเรยนเขาใจเนอหาเปนอยางด กอใหเกดความร ความเขาใจ และสามารถน าไปใชใหเกดประโยชน ในชวตประจ าวนได

ขาพเจาหวงเปนอยางยงวา บทเรยนส าเรจรปชดน คงจะเปนประโยชนตอการเรยน การสอนไดเปนอยางด

นายนรนทรโชต บณยนนทสร

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

3

ค าแนะน าส าหรบคร

1. ใชบทเรยนส าเรจรปชดนประกอบการเรยนร เรอง การแยกตวประกอบ 2. ศกษาบทเรยนส าเรจรปตงแตกรอบแรกจนถงกรอบสดทาย ทงเนอหาและกจกรรม ให

เขาใจกอน 3. ศกษาวากจกรรมในกรอบใดทครตองเปนผใหค าแนะน าชวยเหลอ หรอ

ใหค าปรกษาบาง 4. ชแจงใหนกเรยนอานค าแนะน าในการใชบทเรยนส าเรจรป และปฏบตตามทกขนตอน

ทกกรอบ ทงเนอหา กจกรรม ค าถาม ค าตอบหรอแบบทดสอบ กอนเรยน และหลงเรยน

4

ค าแนะน าส าหรบนกเรยน บทเรยนทนกเรยนก าลงศกษาอยนเรยกวา บทเรยนส าเรจรป ไมใชขอทดสอบ นกเรยนจะสามารถเรยนรในเรอง “การแยกตวประกอบ” ไดดวยตนเอง ขอใหนกเรยนท าตามค าแนะน าตอไปน 1. นกเรยนตองซอสตยตอตนเอง ไมดเฉลยกอนท าแบบทดสอบหรอแบบฝกหด 2. กอนทนกเรยนจะศกษา ควรท าแบบทดสอบกอนเรยนเปนอนดบแรก 3. ตงใจท าและศกษาเนอเรองไปตามล าดบทละกรอบอยางรอบคอบ ไมเปดขามเพราะจะท าใหสบสน 4. อานค าอธบายและค าถามชา ๆ ใหเขาใจ คดใหด แลวจงตอบค าถามลงในกระดาษเปลา อยาขดเขยนขอความใดๆ ลงในบทเรยนส าเรจรปน 5. เมอตอบค าถามเสรจกรอบหนง จงเปดดค าตอบในกรอบตอไป เพอตรวจสอบดวา ถกหรอผด ถาตอบถกจงท ากรอบตอไป ถาตอบผด ใหยอนกลบไปอานทบทวน ท าความเขาใจกบเนอเรองเดมอกครง เมอเขาใจดแลวจงแกค าตอบทผดใหถกตอง 6. ศกษาเนอเรองไปเรอย ๆ “เหนอยกพก” สกครแลวคอยศกษาตอไป 7. เมอศกษาจบทกกรอบแลว ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนดวย เสรจแลว ตรวจค าตอบในเฉลยหนาตอไป เพอดความกาวหนาของตนเอง

5

จดประสงคการเรยนร

สามารถแยกตวประกอบพหนามดกรสองไดถกตอง

6

สารบญ

หนา

ค าน า ค าแนะน าส าหรบคร ค าแนะน าส าหรบนกเรยน แบบทดสอบกอนเรยน 1 การแยกตวประกอบ กรอบท 1 การแยกตวประกอบพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง 4 กรอบท 2 การแยกตวประกอบพหนามดกรสอง cbxax 2 เมอ a=1, c0 8 กรอบท 3 การแยกตวประกอบพหนามดกรสอง cbxax 2 เมอ a1, c0 12 แบบทดสอบหลงเรยน 17 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน 19 เอกสารอางอง 20

7

แบบทดสอบกอนเรยน

รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ค41101 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง การแยกตวประกอบพหนาม ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย x ในกระดาษค าตอบหนาขอ ก,ข,ค, และ ง ทถกตอง 1. ตวประกอบของ 562 xx ตรงกบขอใด ก. (x+5)(x-1) ข. (x-5)(x-1) ค. (x+5)(x+1) ง. (x+3)(x+2) 2. ตวประกอบของ 57162 xx ตรงกบขอใด ก. (x+19)(x-3) ข. (x-19)(x+3) ค. (x-19)(x-3) ง. (x+19)(x+3) 3. (x+5)(x-7) เปนตวประกอบของพหนามในขอใด ก. x2+2x – 35 ข. x2-12x – 35 ค. x2-2x + 35 ง. x2-2x-35 4. (x-4)(x-6) เปนตวประกอบของพหนามในขอใด ก. x2+10x+24 ข. x2-10x+24 ค. x2-10x-24 ง. x2-2x+24 5. ตวประกอบของ 3103 2 xx ตรงกบขอใด ก. )3)(13( xx ข. (3x+3)(x+1) ค. (3x-1)(x-3) ง. (x+3)(3x-1)

8

6. (2x-3)(x+5) เปนตวประกอบของพหนามในขอใด ก. 2x2-7x-15 ข. 2x2-7x+15 ค. 2x2+7x+15 ง. 2x2+7x-15 7. (3x-5)(x+1) เปนตวประกอบของพหนามในขอใด ก. 3x2+4x-5 ข. 3x2-4x-5 ค. 3x2-2x-5 ง. 3x2-2x+5 8. ตวประกอบของ 2x2+2x-4 ตรงกบขอใด ก. (2x-4)(x-1) ข. (2x+4)(x-1) ค. (x+4)(2x-1) ง. (x-4)(2x+1) 9. ขอใดตอไปนถกตอง ก. x2-11x+30 = (x+5)(x+6) ข. x2-x-72 = (x+9)(x-8) ค. x2+8x+12 = (x+6)(x+2) ง. x2+11x-80 = (x-16)(x+5) 10. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก. x2+11x+18 = (x+9)(x+2) ข. x2-13x+42 = (x-6)(x-7) ค. x2-16x-39 = (x-13)(x-3) ง. x2+8x-48 = (x-12)(x+4)

9

สวสดครบนอง ๆ พมเรองมาฝากใหนองชน ม.4 พรมาวาตอนนนอง ๆ ก าลงเรยนคณตศาสตร เรอง การแยกตวประกอบ กนอยใชไหมครบ อยากรอะไรเกยวกบการแยกตวประกอบเปดเขาไปดไดเลยครบ

10

บทนยาม การแยกตวประกอบของพหนาม หมายถง การเขยนพหนามใหอยในรป ผลคณของพหนามทมดกรต ากวา

การแยกตวประกอบพหนาม ในการเขยนสญลกษณแทนจ านวน นยมใชตวอกษรภาษาองกฤษตวเลก เชน x, y แทนจ านวน

และเรยกอกษรเหลานนวาตวแปร ส าหรบตวเลขทแทนจ านวน เชน 1, 2, 3 เรยกวา คาคงตว เรยก

ขอความในรปสญลกษณ เชน 2, 3x, 5+x, x-8, 2

x วานพจน เรยกนพจนทเขยนใหอยรปการคณของคา

คงตวกบตวแปรตงแตหนงตวขนไปทมเลขชก าลงของตวแปรเปนจ านวนเตมบวกหรอศนย เชน -3, 2x, 3xy, x2 วา เอกนาม และเรยกนพจนทสามารถเขยนในรปของเอกนามหรอการบวกเอกนามตงแตสองเอกนามขนไปวา พหนาม 1. การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง สมบตการแจกแจง ถา a, b, c เปนจ านวนจรงใด ๆ แลว )()()( cabacba ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง 1. xx 22 2. xx 33 2 3. xx 416 2 4. 2255 pp วธท า 1. xx 22 = x.x+2.x = x(x+2) 2. xx 33 2 = 3.x.x+3x = 3x(x+1) 3. xx 416 2 = 42x.x-4.x = 4x(x-4) 4. 2255 pp = 5.p-5.5.p.p = 5p(1-5p)

11

คราวนลองท าแบบฝกหดเองบางนะครบ

นอง ๆ คงจะเขาใจแลวใชไหมครบวาวธการการแยกตวประกอบนนเราสามารถโดยใชสมบตการแจกแจงเขามาชวยได

12

แบบฝกหดกรอบท 1

จงแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง

1. xx 52 2. yy 636 2 3. xx 24 2 4. 293 pp 5. 7m-49m2 6. m-3m2 7. 25aa 8. 242 aa 9. 2255 aa 10. pp 189 2 11. 2164 qq 12. 2749 xx

13

เฉลยแบบฝกหดกรอบท 1

จงแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยใชสมบตการแจกแจง

1. )5(52 xxxx 2. )16(6636 2 yyyy 3. xx 24 2 = )12(2 xx 4. 293 pp = )31(3 pp 5. 7m-49m2 = 7m (1-7m) 6. m-3m2 = m (1-3m) 7. 25aa = )51( aa 8. 242 aa = )21(2 aa 9. 2255 aa = )51(5 aa 10. pp 189 2 = )21(9 pp 11. 2164 qq = )41(4 qq 12. 2749 xx = )7(7 xx

เขาใจแลวใชไหมครบวา การแยกตวประกอบโดยใชสมบตการแจกแจงท าไดอยางไร คราวน มารจกกบการแยกตวประกอบทอยในรป ax2+bx+c นนมวธการคดอยางไร ตามมาเลยครบ

14

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป cbxax 2 เมอ a=1, c0

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 1072 xx วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได 10 และบวกกนได 7 เพราะวา 52 = 10 และ 5+2 = 7 ดงนนตวประกอบของ 1072 xx = )2)(5( xx

การแยกตวประกอบของ เมอ a, b, c เปนคาคงตว และ a=1, c0 ดงนนจะได การแยกตวประกอบสามารถท าไดดงน

หาจ านวนท และ ดงนนตวประกอบของ =

การแยกตวประกอบพหนามดกรสองในรป เมอ a=1, c0 มวธการดงน

15

ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 62 xx วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได -6 และบวกกนได 1 เพราะวา (-2)3 = -6 และ (-2)+3 = 1 ดงนนตวประกอบของ 62 xx = )3)(2( xx ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 232 xx วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได 2 และบวกกนได -3 เพราะวา (-2)(-1) = 2 และ (-2)+(-1) = -3 ดงนนตวประกอบของ 232 xx = )1)(2( xx ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 92 x วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได -9 และบวกกนได 0 เพราะวา (-3)(3) = -9 และ (-3)+3 = 0 ดงนนตวประกอบของ 232 xx = )3)(3( xx ตวอยาง จงแยกตวประกอบของ 5052 xx วธท า หาจ านวนสองจ านวนทคณกนได -50 และบวกกนได -5 เพราะวา (-10)(5) = -50 และ (-10)+5 = -5 ดงนนตวประกอบของ 5052 xx = )5)(10( xx

16

แบบฝกหดกรอบท 2

จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. 962 xx 2. 1492 xx 3. 2082 xx 4. 1662 xx 5. 36122 xx 6. 49142 xx 7. 1002 x 8. 812 x 9. 11102 xx 10. 5052 xx

17

เฉลยแบบฝกหดกรอบท 2

จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน

1. 962 xx = )3)(3( xx 2. 1492 xx = )2)(7( xx 3. 2082 xx = )2)(10( xx 4. 1662 xx = )2)(8( xx 5. 36122 xx = )6)(6( xx 6. 49142 xx = )7)(7( xx 7. 1002 x = )10)(10( xx 8. 812 x = )9)(9( xx 9. 11102 xx = )1)(11( xx 10. 5052 xx = )5)(10( xx

18

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรป cbxax 2 เมอ a1, c0

การแยกตวประกอบของ cbxax 2 เมอ a, b, c เปนคาคงตว และ a1, c0 ดงนนจะได cbxax 2 การแยกตวประกอบสามารถท าไดดงน เชน จงแยกตวประกอบของ 144 2 xx 1) หาพหนามดกรหนงสองพหนามทคณกนได 24x เชน (2x)(2x) หรอ (4x)(x) เขยนสองพหนามทไดใหเปนพจนหนาของผลคณของพหนามใหมดงน (2x )(2x ) หรอ (4x )(x ) 2) หาจ านวนสองจ านวนทมผลคณเทากบ 1 ซงเทากบ (1)(1) หรอ (-1)(-1) เขยนจ านวนทงสองเปนพจนหลงของพหนามในขอ 1) ดงน (2x +1)(2x + 1) หรอ (4x +1)(x + 1) (2x - 1)(2x - 1) หรอ (4x -1)(x - 1)

การแยกตวประกอบพหนามดกรสองในรป เมอ a1, c0 มวธการดงน

19

3) หาพจนกลางของพหนามจากผลคณของพหนามแตละคในขอ 2 ทมผลบวก เทากบ -4x จะได -2x

จากผลคณ (2x - 1)(2x - 1) ไดพจนกลางเทากบ -4x -2x ดงนน พหนาม 144 2 xx = (2x - 1)(2x - 1) หรอ (2x-1)2 ตวอยาง จงแยกตวประกอบของพหนาม 1) 4106 2 xx 2) 8192 2 xx วธท า 1) 4106 2 xx = )13)(42( xx หรอ )2)(26( xx 2) 8192 2 xx = )9)(92( xx

20

นองอยาลมนะครบ

การแยกตวประกอบนนยงฝกท าเยอะเทาไหรนอง ๆ กจะสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองไดเรวเทานน ทดสอบความเขาใจดวยการท าแบบฝกหดนะครบ

21

แบบฝกหดกรอบท 3

จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1) 3103 2 xx 2) 62 2 xx 3) 12 2 xx 4) 328 2 xx 5) 954 2 xx 6) 1543 2 xx

22

เฉลยแบบฝกหดกรอบท 3

จงแยกตวประกอบของพหนามตอไปน 1) 3103 2 xx = )3)(13( xx 2) 62 2 xx = )2)(32( xx 3) 12 2 xx = )1)(12( xx 4) 328 2 xx = )12)(34( xx 5) 954 2 xx = )1)(94( xx 6) 1543 2 xx = )3)(53( xx

23

แบบทดสอบหลงเรยน รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ค41101 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง การแยกตวประกอบ

ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมาย x ในกระดาษค าตอบหนาขอ ก,ข,ค, และ ง ทถกตอง 1. ตวประกอบของ 562 xx ตรงกบขอใด ก. (x+5)(x-1) ข. (x-5)(x-1) ค. (x+5)(x+1) ง. (x+3)(x+2) 2. ตวประกอบของ 57162 xx ตรงกบขอใด ก. (x+19)(x-3) ข. (x-19)(x+3) ค. (x-19)(x-3) ง. (x+19)(x+3) 3. (x+5)(x-7) เปนตวประกอบของพหนามในขอใด ก. x2+2x – 35 ข. x2-12x – 35 ค. x2-2x + 35 ง. x2-2x-35 4. (x-4)(x-6) เปนตวประกอบของพหนามในขอใด ก. x2+10x+24 ข. x2-10x+24 ค. x2-10x-24 ง. x2-2x+24 5. ตวประกอบของ 3103 2 xx ตรงกบขอใด ก. )3)(13( xx ข. (3x+3)(x+1) ค. (3x-1)(x-3) ง. (x+3)(3x-1)

24

6. (2x-3)(x+5) เปนตวประกอบของพหนามในขอใด ก. 2x2-7x-15 ข. 2x2-7x+15 ค. 2x2+7x+15 ง. 2x2+7x-15 7. (3x-5)(x+1) เปนตวประกอบของพหนามในขอใด ก. 3x2+4x-5 ข. 3x2-4x-5 ค. 3x2-2x-5 ง. 3x2-2x+5 8. ตวประกอบของ 2x2+2x-4 ตรงกบขอใด ก. (2x-4)(x-1) ข. (2x+4)(x-1) ค. (x+4)(2x-1) ง. (x-4)(2x+1) 9. ขอใดตอไปนถกตอง ก. x2-11x+30 = (x+5)(x+6) ข. x2-x-72 = (x+9)(x-8) ค. x2+8x+12 = (x+6)(x+2) ง. x2+11x-80 = (x-16)(x+5) 10. ขอใดตอไปนไมถกตอง ก. x2+11x+18 = (x+9)(x+2) ข. x2-13x+42 = (x-6)(x-7) ค. x2-16x-39 = (x-13)(x-3) ง. x2+8x-48 = (x-12)(x+4)

25

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

รายวชาคณตศาสตรพนฐาน ค41101 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง การแยกตวประกอบ

ขอท ค าตอบ ขอท ค าตอบ 1 ข 6 ง 2 ก 7 ค 3 ง 8 ข 4 ข 9 ก 5 ก 10 ง

26

เอกสารอางอง ศกษาธการ กระทรวง. หนงสอเรยนสาระการเรยนรพนฐาน คณตศาสตร เลม 1

ชนมธยมศกษาปท 4. พมพครงท 1. กรงเทพมหานคร ; 2546. ทรงวทย สวรรณธาดา. คมอคณตศาสตร ม.3 เลมท 2. กรงเทพมหานคร; 2541