Bai Tap Luong Giac

1 Bài tập lượng giác – ThS. Lương Ngọc Tiến, Trường THPT Nguyễn Trãi

I. HÀM SÔ LƢỢNG GIÁC Bài toán 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau

a) sin 2

cos

xy

x b) tan cot 2y x x c)

2

sin cosy

x x

d) 2 cos

sin 3 cos

xy

x x e)

1 sin

1 cos

xy

x f) cot 2 2

6y x

Bài 2: Tìm tập xác định các hàm số sau

a) tan

1 tan

xy

x b) tan cos

2y x c)

2 1tan cot 2007

cos siny x x

x x

d) sin2

1 2sin

xy

x e)

1cos

1

xy

x f)

cot

cos 1

xy

x g)

sin

xy

x

Bài toán 2: Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kì của hàm số

Hàm số sin( ) & cos( )y A kx B y A kx B trong đó A ,B, k , là các hằng số và A.k

khác 0 là những hàm tuần hoàn có chu kì 2

Tk

.

Hàm số tany A kx B trong đó A ,B, k , là các hằng số và A.k khác 0 là những hàm tuần hoàn có

chu kì Tk

.

Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

a) cos2y x x b) 1 cos

1 cos

xy

x c) sin cosy x x d) 2sin .cos tany x x x

Bài 4: Tìm chu kì của các hàm số sau

a) 2sin 43

y x b) 2sin 2 1y x c) 2tany x d) 1

siny

x

Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 5:Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

a) 2sin3 1y x b) 5cos 33

y x c) 16cosy x d) 2 23 4sin cosy x x

e) 21 4 cos

3

xy f) 2 sin2 5y x

Bài 6:

a) 2x3 sin2 cosy x b) sin 3 cos 7y x x c) sin( ) 3 sin( ) 12

y x x

d) 2 24sin 3 3 sin2 2cos 4y x x x

e) 2 2( 3 1)sin 3 sin2 ( 3 1)cos 7y x x x f) 22sin 4sin .cos 3y x x x

Bài 7:Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau trên khoảng đã chỉ ra:

a) siny x trên đoạn ;02

b) cosy x trên đoạn ;2 2

Bài 8:Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

a)3 cos

2 sin

xy

x d)

cos 2sin 3

2cos sin 4

x xy

x x


e) 2sin

sin cos 2

xy

x x f)

sin 2cos 1

2 sin cos

x xy

x x

g)

cos 2 sin cos 12 2 2

cos 2cos sin 12 2 2

x x x

yx x x

Bài 9: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

a) 23sin 2sin 1y x x b) 2sin 4cos 4y x x

c) 2sin 2 sin 3y x x

d) 2sin cos 4(sin cos ) 4y x x x x e) sin2 2sin 2cos 1y x x x

f) sin2 2 sin cos 2y x x x

Bài 10: Cho sin 1

2 cos

m xy

x. Tìm m để min 1y

Bài 11: Cho hàm số (1 sin cos ) sin

cos 2

m x x xy

x

a) Khi m = 1, hãy tìm GTLN, GTNN của hàm số.

b) Tìm m để hàm số trên tồn tại GTLN, GTNN. Với các giá trị m vừa tìm được, hãy tìm GTLN, GTNN

của hàm số.

II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIAC CƠ BẢN

Bài 1. Giải các phương trình sau :

a. anxtan t2

x b. osxsin 2 sin5x x c

c. 2 1sin2 sin

2x x d. inx-cosx+2sin3x=03 s


a. anx=2 inx1 t 2 s b. 2os2 3sin cos3 sin3 sin 4x x c x x x

c. inx.cot5x

os9x

s1

c d. 2 tan3 3 0x


a. os2x2

sin3

x c b. 2cos2 sin 0x x

c. 2sin 2cos 1 3x x d. inx

sin22cos 0

1 s

xx


a. 2

2 tan cot 3sin2

x xx

b. 4os

anx+cotx4sin 1

tsin2 2

x c x

x

c. osx-sinx= os2 3c c x d. 1

os2x

1 1

sin2 sin 4x c x


a. 3osx=cosx+8cosx.cos2cos10 2cos 4 6cos3 . 3x x x c x

b. anx+cotx=2 sin2x+cos2xt



a. os4xos2x

2 2cot tan16 1

x xc

c b. 22sin 1 sin3x x

c. sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x *. 2cos 2cos 3d x

Bài 7.Giải các phương trình sau :

a. 6 4 4 6sin sin cos cosx x x x b. 2 2sin cos 3x x

c. tan 2 tan 14 2

xx d. . tan cot 3 0

3 2x x .

Bài 8 .Giải các phương trình sau :

a. os x5 1

sin3 2c b. os 3x+

5sin 3 0

6 4x c

Bài 9 . Tìm các giá trị gần đúng nghiệm phương trình sau , trong khoảng đã cho :

a. 2

sin 2 ;6 5 3 6

x x b. os2

22 ;4

3

xc x

b. 3 7

tan 3 ;5 2 6

xx c. os x-5

3;

2c x

Bài 9. Tìm t t cả các tham số m để phương trình: 2 sin4

x m c nghiệm 0;4

x ?

Bài 10. Xác định tham số m để phương trình:

13 5cos 2 1 sin 9 5 7 2cos

2 2m x m x m x c đúng m t nghiệm

5;6 6

x ?

Vận dụng giải đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng

1) (2cos 1)(2sin cos ) sin2 sinx x x x x [ĐH-khối D-2004]

2) 22sin 2 sin7 1 sinx x x [ĐH-khối B-2007]

3) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x [ĐH-khối B-2002]

4) sin cos 1 sin2 cos2 0x x x x [ĐH-khối B-2005]

5) 2 2 2sin tan cos 02 4 2

x xx [ĐH-khối D-2003]

6) cot sin 1 tan tan 42

xx x x [ĐH-khối D-2005]

7) 3 sin

tan 22 1 cos

xx

x [DBĐH-khối D-2005]

8) cos3 cos2 cos 1 0x x x [ĐH-khối D-2006]

9) cos3 4cos2 3cos 4 0x x x [ĐH-khối D-2002]

10)cot sin 1 tan tan 42

xx x x [ĐH-khối B-2006]

11) 1 1 7

4 sinsin 43

sin2

xx

x

[ĐH-khối A-2008]

12) 2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cosx x x x [ĐH-khối D-2008]

13) 2(1 2sin ) cos 1 sin cosx x x x

[CĐ-khối A,B,D-2009]


III. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX A. NHẬN DẠNG :

* Là phương trình c dạng : a.sinx+b.cosx=c B. CÁCH GIẢI

1. Chia hai vế phương trình cho : 2 2 0a b

2. Phương trình c dạng : inx+ osx=2 2 2 2 2 2

sa b c

ca b a b a b

3. Đặt : 2os = os = d/k:c 2 2

2 2 2 2 2 2sin ; ; ;

a b cc c a b

a b a b a b.

4. Khi đ phương trình trở thành : inx.sin +cosx.cos =cos cos x- oss c

5. Giải : 2 2

2 2

x k x kk Z

x k x k

C. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) sin cos 1x x b) cos2 3 sin2 3x x c) 2sin2 cos 2 / 3x x

d) cos 3 sin 0x x e) 2sin 3 sin cos 0x x x

f) 2sin 3 sin cos 2sin 0x x x x

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)2

2sin( ) cos( ) 34 4 2

x x b)4sin 3cos 5x x

c)2sin2 3cos2 13 sin14x x x d) 22sin 3 sin2 3x x

e) 3 cos2 sin2 2sin(2 ) 2 26

x x x f) sin(2 ) 3 sin( 2 ) 12

x x

Bài 3: Tìm để phương trình sau đây c nghiệm x = 1

( 2cos 3sin 3) ( 3 cos 3sin 2) sin cos 3 0x x

Bài 4:Giải các phương trình sau:

a) 22 3 sin( )cos( ) 2cos ( ) 38 8 8

x x x b)2

3cos 4 sin 33cos 4 sin 6

x xx x


a. os osx=22

2

sin 32

x xc c b.

osx

inx

1 2sin3

1 2sin 1 s

x c

x

c. 3inx+cosxsin2x+ 3 os3x=2 cos4x+sins c x d. os5x-2sin3xcos2x-sinx=03c


a. 4os44 sin 3 sin4 2x c x x b. inx+cosx osx=3+cos2x2 2 s c

c. inx+cosxcos2 3 sin2 2 sx x d. 4os inxcosx+14sin 2 3 sx c x


a. os2 4

4 sin sin sin 4 3 cos 23 3 3 3

x x x x c x

b. 22sin4 16sin 3cos2 5x x x c. 6os 631 sin 4 sin8

x c x x



a. os6x= 3 os8xsin8 sin6x c x c b. os7x-sin5x= 3 os5x-sin7xc c

c. 3os9x=1+4sin3sin3 3 3x c x d. os5x+sin5x-2cos2x=03c

Bài 9. Tìm tham số m để phương trình: 2 sin cos 2x m x m c nghiệm

Bài 10. Tìm tham số m để phương trình: (2 1)sin ( 1)cos 3m x m x m c nghiệm?

Vận dụng giải đề thi Đại học – Cao đẳng:

1) 33sin3 3 cos9 1 4sin 3x x x [ĐH-Mỏ địa chất Hà Nội-1995]

2) cos7 cos5 3 sin2 1 sin7 sin5x x x x x [ĐH-Mỹ thuật CN Hà Nội-1996]

3) 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x [ĐH-GTVT Hà Nội-2000]

4) 2 3

2 cos 6 sin 2sin 2sin5 12 5 12 5 3 5 6

x x x x

[ĐH tổng hợp Lômônôxôp]

5) Cho hàm số 2 cos 1

cos sin 2

m x my

x x (m là tham số)

a) Với m = 1, hãy tìm maxy và miny

b) Tìm m để maxy đạt GTNN (theo m). [ĐHQG TP.HCM-1997]

6)

2

sin cos 3 cos 22 2

x xx [ĐH-khối D-2007]

7) 2cos2 1

cot 1 sin sin21 tan 2

xx x x

x [ĐH-khối A-2003]

8) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x [ĐH-khối B-2008]

9) sin3 3 cos3 2sin2x x x [CĐ-khối A,B,D-2008]

10) (1 2sin )cos

3(1 2sin )(1 sin )

x x

x x [ĐH-khối A-2009]

11) 3sin cos .sin2 3 cos3 2(cos4 sin )x x x x x x [ĐH-khối B-2009]

12) 3 cos5 2sin3 .cos2 sin 0x x x x [ĐH-khối D-2009]

13) (sin2 cos2 )cos 2cos2 sin 0x x x x x [ĐH-khối B-1010]

14) sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x [ĐH-khối D-2010]

IV. PHƢƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

____________________

1. ĐỊNH NGHĨA :

*Là phương trình c dạng :

2os

2

2

2

.sin sin 0

. sin 0

.tan tan 0

.cot .cot 0

a u b u c

a c u b u c

a u b u c

a u b u c

. (1). Với u=u(x)

2. CÁCH GIẢI :


- Đặt : osu=t t 2

sin 1

10 2

tan

cot

u t t

cat bt c

u t t R

u t t R

- Giải phương trình (2) để tìm t

- Kiểm tra điều kiện đối với t , để chọn t phù hợp .

- Sau đ giải phương trình : u=u(x)=t .

3. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG .


a. cos3x+sin3x

inx+ os2x5 s 31 2sin2

cx

b. 2os2x-cos2cos 3 . 0x c x

b. os x-4 4 3cos sin .sin 0

4 4 2x x c x d. 2inxcosx+3sin4.s 6sinx x

Bài 2. Giải các phương trình sau

a. 2os os2 2 2sin 3 4 sin 5 6x c x x c x b. 2os2 2sin tan 02 4 2

x xx c

c. tan 2 tan 2 22 2x x d. inx-2=3 1-sinx 25.s .tan x


a. 1

inx osx

12sin 3 2cos3

sx x

c b.

osx 2sinx+3 22 2cos 11

1 sin2

c x

x

c. x x x

os os inx.sin2 2 2

3 1cos . . s .sin

2 2

xx c c d. 34cos 3 2 sin2 8cosx x x


a. os 2x- inxcos 2 4 sin 2 2 1 s4 4

x c x

b. osx2 23cot 2 2 sin 2 3 2x x c c. osx

2 24 sin 2 6sin 9 3cos20

x x x

c


a. 25sin 5cos .sin2 2

x xx b. 2sin2 cot tan2 4cosx x x x

c. 2 62cos 1 3cos5 5

x x d. anx-13tan t

4x


a. 4

4osos

4sin 2 24

tan tan4 4

x c xc x

x x

b.

4os 2

1 248 1 cot2 .cot 0

sinx x

c x x

c. 8 10os os os2x8 10 5sin 2 sin

4x c x x c x c d.

os2x

1+tanx

2 1cot 1 sin sin2

2

cx x x



a. sin2 2tan 3x x b. 2

anx+4sin2x=sin2x

cot tx

c. anx anx1 t 1 sin2 1 tx d. anxsin4 tx


a. 4 4 4 9sin sin sin

4 4 8x x x b.

inx 3 2s 2 2cos 2sin 11

1 sin2

x x

x

c. 44cos 3 2 sin2 8cosx x x d. 2os4

cos3

xc x


a. sin2 2 sin4

x x b. 2 3 42cos 1 3cos

5 5

x x

c. 23cos4 2cos 3 1x x d. 3tan2x-4tan3x= 2tan 3 .tan2x x


a. 2os2xcos3x+cos3

cos cos 4 42

x x c x b. 6 2os os6 13sin 2

8c x x c x

c. 3 1 3

sin sin10 2 2 10 2

x x d.

6os

os

6

2 2

sin 1tan24sin

c x xx

c x x

e. 2 2 2os os os os2 32 3 4

2c x c x c x c x

Bài 11. Cho phương trình cos2 (2 1)cos 1 0x m x m

a) Gải phương trình khi 3

2m b) Tìm m để pt c nghiệm thu c

3( ; )2 2

Bài 12. Cho phương trình: 2 2cos 6sin 4 2x x m . Tìm tham số m để phương trình c nghiệm Vận dụng giải các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng

1) cos2 3cot2 sin 4

2cot2 cos2

x x x

x x [ĐHKT TP.HCM-1990]

2) 2 24 sin 2 6sin 3cos2 9

0cos

x x x

x [ĐHBK Hà Nội-1994]

3) cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)

1sin2 1

x x x x x

x [ĐHTS Nha Trang-2001]

4) cos 3 sin 3

5 sin 3 cos21 2sin2

x xx x


5) 2 2cos 3 .cos2 cos 0x x x [ĐH-khối A-2005]

6) 4 4 3cos sin cos .sin 3 0

4 4 2x x x x [ĐH-khối D-2005]

7) 25sin 2 3(1 sin )tanx x x [ĐH-khối B-2004]

8) 6 62(sin cos ) sin cos

02 2sin

x x x x


9) 2

cot tan 4 sin2sin2

x x xx

[ĐH-khối B-2003]

10) cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x [ĐH Hàng hải-1999]


11)

(1 sin cos2 )sin14 cos

1 tan 2

x x xx


V. PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

1. NHẬN DẠNG :

* Là phương trình c dạng : a( sinx+cosx)+bsinx.cosx=c .(1)

a( sinxcosx)+bsinx.cosx=c; sin cos sin cosa x x b x x c

2. CÁCH GIẢI (1) .

- Đặt t= sinx+cosx, điều kiện : 2t .

- Tính : sinxcosx=2 2

21 1. 2 2 0

2 2

t ta t b c bt at b c (2)

- Giải phương trình (2) tìm t . Sau đ kiểm tra điều kiện đối với t , chọn t thích hợp .

- Cuối cùng giải : osx=0

sin 2 sin4

x c x t

3. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :

Bài 1 Giải các phương trình:

a)(2 2)(sin cos ) 2sin cos 2 2 1x x x x

b) 6(sin cos ) sin cos 6x x x x c) cos sin 3sin2 1 0x x x

d) 2(sin cos ) ( 2 1)(sin cos ) 2 0x x x x e) sin2 2 sin( ) 14

x x

f) 2sin2 3 3(sin cos ) 8 0x x x g) 3(sin cos ) 2sin2 3x x x

h) sin cos 4sin2 1x x x i) 2sin2 8 3 6 sin cosx x x


a. 2 3inx+sin oss 0x c x b. 3os3 3sin 1 sin2

2x c x x

c. inx+cosx anx+cotx2 s t d. osx anx-sinx3 cot 5 t 2x c


a. 2

3 1+sinxanx+

os

3 23 tan t 8 cos4 2

xx

c x b. 3inx=2cos osx+cos2x32sin sx x c

c. 3osx+cos os os2 3 4 2 4sin sin sin sinx x x x c x c x c x

Bài 4 . Giải các phương trình sau :

a. 3os2 3tan 1 sin 1 0x x c x b. 2sin cot 2sin2 1x x x

c. Cho phương trình : inx+cosx+1s 1 sin2m x .

Tìm m để phương trình c nghiệm thu c đoạn 0;2

Bài 5. Cho phương trình : 3os 3sin sin cosc x x m x x

a. Giải phương trình khi m= 2

b. Tìm m để phương trình c nghiệm .


Bài 6. Cho phương trình : 1

inx+cosx anx+cotx+sinx osx

1 1s 1 t 0

2m

c .

a. Giải phương trình với m=1/2

b. Tìm m để phương trình c nghiệm trên khoảng 0;2

Bài 7. Cho f(x)= 2os sinx+cosx3

2 2 3sin2c x x m .

a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3

b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để 2

( ) 36f x x R

Bài 8. Giải các phương trình :

a. osx inx-cosxcos2 5 2 2 sx c b. 3 3os os2xsinc x x c

c. 2 23tan 4 tan 4cot 3cot 2 0x x x x

d. 2 2 3 3tan cot tan cot tan cot 6x x x x x x

Bài 9. Cho phương trình : 3 3cos sinx x m

a. Giải phương trình với m=1

b. Tìm m sao cho phương trình c đúng hai nghiệm thu c đoạn ;4 4

Bài 10. Cho phương trình :

2inxcos inx+cosx22cos2 sin cos s sx x x x m


b. Tìm m để phương trình c ít nh t m t nghiệm thu c đoạn 0;2

Bài 11. Cho phương trình : 2

anx+cotxos

21cot t 2 0x m

c x


2

b. Tìm m để phương trình c nghiệm


a. os inx-cosx3 3sin sx c x b. sin2 2 sin 14

x x

c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 . d. sinx+cosx

1sin2 1x


a. 3os2x os

os2x 3

1 1

1 1 sin

c c x

c x b. inx+cosx os3x=25 s sin3 2 2 sin2x c x

c. 2os2x+sinx=cos osx2sin cos sinx x c x x c

d. os3x34sin 1 3sin 3x x c

Bài 14. Cho phương trình : anx+cotx2

2

33 tan t 1

sinx m

x


b. Tìm m để phương trình c nghiệm .


VI. PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX

1. Nhận dạng :

* Là phương trình c dạng :

3a.sin

2 2

2 2 3

sin cos sin cos 0

sin cos sin cos cos 0

a x b x c x x d

x b x x c x x d x

2. Cách giải :

- Nhận xét : cosx=0 c là nghiệm hay không . Nếu là nghiệm , giải viết nghiệm .

- Khi cosx . Ta chia hai vế của phương trình cho cosx (với lũy thừa bạc cao nh t)

- Chuyển phương trình đã cho thành phương trình chứa m t hàm số lượng giác tanx. Sau đ đặt

t=tanx

- Phương trình đã cho trở thành dạng f(t)=0 ( Bậc hai , bậc ba đối với t)

3. Một số bài tập áp dụng :


a. 3 2os inxcos3 2sin 3 s 3 sin cosx c x x x x

b. anx+1 osx-sinx2sin t 3sin 3x x c


a. os3x38 cos3

x c b. 3osx-4sinsin 0x c x

c. 2 2cos 3 sin2 1 sinx x x d. inx=03 3 2cos 4sin 3cos sin sx x x x


a. 4 2 2 43cos 4sin cos sin 0x x x x b. 3sin sin2 sin3 6cosx x x x

c. os2x

1+tanx

2 1cot 1 sin sin2

2

cx x x d. sin3x +cos3x +2cosx=0


a. osx3 5sin 4 .

6sin 2cos2cos2

x cx x

x b. 3inx-4sin osx=0s x c

c. os2x+sinxcosx2 2tan sin 2sin 3x x x c

Bài 5. Cho phương trình :

inx+2 m-2 osx=03 24 6 sin 3 2 1 s sin cos 4 3m x m x x m c


b. Tìm m để phương trình c nghiệm duy nh t thu c đoạn 0;4


a. 3 2os inx-3sins cos 0c x x x b. os2x+sinx=022cos x c

c. 2os2

2

1tan

1 sin

c xx

x d. anx=2 inx1 t 2 s


a. 3os inx-cosx3sin sx c x b. anx osx-sinx2sin 1 t 3sin 3x x c

c. 3 2 2 3sin 5sin cos 3sin cos 3cos 0x x x x x x

d. 2 23tan 4 tan 4cot 3cot 2 0x x x x


Bài 8. Tìm m để phương trình sau c nghiệm: 2 22sin sin2 2(2 )cos 4x m x m x

VII. MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÁC

I. DÙNG BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài 1. Giải các phƣơng trình sau đây:

1) cos cos3 sin2 sin6 sin4 sin6 0x x x x x x 2) sin sin7 sin3 sin5x x x x

3) sin4 sin5 sin4 sin3 sin2 sin 0x x x x x x 4)cos5 sin4 cos3 sin2x x x x

5)2sin cos2 2sin2 cos3 sin2x x x x x 6)3 2sin sin3 3cos2x x x

7) 3cos cos2 cos3 1 2sin sin2x x x x x 8) sin5 cos3 sin9 cos7x x x x

9) 1 3

cos sin3 6 4

x x 10) sin 3 sin2 sin4 4

x x x

11) sin6 .sin2 sin5 .sin3x x x x

12)cos 4 cos2

cos4 cos3 sin5 sin22

x xx x x x 13)cos7 cos sin5 cos3x x x x

II. DÙNG BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Bài 1.Giải các phƣơng trình sau đây:

1) sin3 sin5 sin7 0x x x 2) sin5 sin3 sin4x x x

3) cos cos3 2cos5 0x x x 4) sin cos2 sin3x x x

5) cos4 cos2 2 cos 0x x x 6) cos5 cos3 sin6 sin2x x x x

7) 1 cos cos2 cos3 0x x x 8) sin2 1 2 cos cos2x x x

9) 1 sin cos sin2 cos2

0tan2

x x x x

x 10)

5cos sin5 cos2

2x x x

11)cos3 cos2 cos sin2 sin 1x x x x x 12) tan tan2 tan3x x x

13) sin sin2 sin3 cos2 cos 1x x x x x 14) sin sin2 sin3 sin4 0x x x x

15)cos3 cos2 cos sin2 sin 1x x x x x 16)cos10 cos8 cos6 1x x x

17) sin sin2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x


1) cos cos2 cos3 cos4 0x x x x [Học viện Quan hệ quốc tế-1999]

2) sin sin2 sin3 sin4 sin5 sin6 0x x x x x x [ĐHSP Vinh-1997]

3) sin3 sin sin2 0x x x [ĐH Đà Nẵng-khối B-1997]

4) 1 sin cos3 cos sin2 cos2x x x x x [ĐH Ngoại thƣơng TP.HCM-2000]

III. DÙNG CÔNG THỨC HẠ BẬC


1) 2 2 2 3

sin sin 2 sin 32

x x x 2) 22cos 4 sin10 1x x

3) + 2 2cos5 cos7 2(cos 2 sin 3 )x x x x 4) 2tan2 2sin sin2x x x

5) 2 2 2 2sin 3 sin cos 2 cos 4x x x x 6)

48cos 1 cos4x x

7) 4 4sin cos cos4x x x 8)

2 2 23cos 2 cos 3sinx x x

9) 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x 10) 2 2 2sin 3 sin 2 sin 0x x x

11) 2 2 2 3

cos cos 2 cos 32

x x x 12) 2 2 2cos cos 2 cos 3 1x x x

13) 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x 14)

2 2 2sin cos 2 cos 3x x x

15) 2 2 2 2sin cos 4 sin 5 cos 6x x x x 16) 2 2 2 1

sin sin 2 sin 32

x x x

17) 2 2cos7 sin 2 cos 2 cosx x x x 18)

4 6cos cos2 2sin 0x x x

19) 2 2sin3 sin5 2(cos 2 sin 3 )x x x x 20)

4 6cos2 4sin 8cosx x x


21) 2 23sin 5cos 2cos2 4sin2 0x x x x 22) 2 23cos sin sin2 0x x x

Vận dụng giải đề thi Đại học-Cao đẳng:

1) 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x [ĐHQG Hà Nội-1998]

2) 2 25 9cos3 sin7 2sin 2cos

4 2 2

x xx x [ĐH TDTT-2001]

3) 4 4sin cos 14

x x [ĐH hàng hải-1995]

4) 4 4

4sin cos 2cos 4

tan tan4 4

x xx

x x

[ĐH xây dựng-1997]

5) 4 4 7sin cos cot cot

8 3 6x x x x [ĐH giao thông-1999]

6) 8 8 217sin cos cos 2

16x x x [ĐH ngoại thƣơng TPHCM-1995]

7) 8 8 97sin cos

128x x [Vô địch New York 1973]

8) 2 2 22cos 2cos 2 2cos 3 3 cos4 (2sin2 1)x x x x x [ĐHSP.TPHCM-2000]

III. DÙNG CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Bài 1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau đây:

1) 2 2

2

2 2

sin 2 4 sin1 2 tan

sin 2 4 sin 4

x xx

x x 2)

2

2

3 1 cos2cot cot

2 sin

xx x

x

3) 2 sin 3 tan2

xx 4)

1 1sin2

3 tan 3 tanx

x x

5) 2(1 cos4 )sin2 cos 2x x x 6) cos2 5sin 3 0x x

7) cos2 2(cos sin )x x x 8) (cos6 1)cot3 sin3x x x

9) 1 cos6 tan3x x 10) sin2 4cos2 4x x

11)2cos4 2cos 1x x 12)2sin2 3tan 5x x

13)2 sin 3 tan2

xx 14) 2(1 cos4 )sin2 cos 2x x x

15)(cos6 1)cot3 sin3x x x 16)2sin2 3tan 5x x

Vận dụng giải đề tuyển sinh Đại học-Cao đẳng

1) 4 6cos sin cos2x x x [ĐH Y khoa Hà Nội-1997]

2) 32sin cos2 cos 0x x x [ĐH Nông nghiệp I Hà Nội-1999]

3) 4cos 2cos2 cos4 1x x x [ĐH Ngoại thƣơng Hà Nội-1995]

4) cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x [ĐH Hàng hải-1999]

5) 3 3sin cos cos2x x x [ĐH Y khoa Hà Nội-2000]

6) 32sin cos2 sinx x x [ĐH Huế-1998]

7) 4sin2 3cos2 3(4sin 1)x x x [ĐHQG Hà Nội-1995]

8) 3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x [ĐHQG Hà Nội-1998]

9) 8 8 10 10 5sin cos 2(sin cos ) cos2

4x x x x x [ĐH Ngoại thƣơng Hà Nội-2000]

10) sin4 cos4 1 4(sin cos )x x x x [Học viện công nghệ BCVT-1998]

11) (1 tan )(1 sin2 ) 1 tanx x x [ĐH Tài chính kế toán Hà Nội-1997]

12) 2 2tan sin 2sin 3(cos2 sin cos )x x x x x x [ĐH Mỏ Địa chất-1999]


13) 1 3tan 2sin2x x [ĐHQG Hà Nội-D-2000]

14) sin4 tanx x [ĐH Y Hà Nội-2000]

Bài 2. Đƣa các phƣơng trình sau đây về dạng tích và giải chúng:

1) 2tan2 2sin sin2x x x 2)3

2

3

1 costan

1 sin

xx

x

3) 2(2sin cos )(1 cos ) sinx x x x 4)1 3tan 2sin2x x

5) sin2 2cos2 1 sin 4cosx x x x 6)1 1 2

cos sin2 sin 4x x x

7) 2 3 4

2 3 4

sin sin sin sin1

cos cos cos cos

x x x x

x x x x 8)

1 tan1 sin2

1 tan

xx

x

9)3sin 2cos 2 3tanx x x 10)3 3sin cos

cos22cos sin

x xx

x x

11)9sin 6cos 3sin2 cos2 8x x x x 12)cot tan sin cosx x x x

13)1 sin cos2 sin cos2x x x x 14) 32cos cos2 sin 0x x x

15)+

1 2(cos sin )

tan cot cot 1

x x

x x x 16)2sin cot 2sin2 1x x x

17) sin2 cos2 3sin cos 2x x x x 18)cot cos 1 cot cosx x x x

19) 3(cot cos ) 5(tan sin ) 2x x x x 20) 2(1 cos4 )sin2 cos 2x x x

21)2sin cos2 1 2cos2 sin 0x x x x 22)cot tan sin cosx x x x

VIII. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

A. TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM

1 2

2 2

12 2 2

1 1 2 2

( ) 0. ( ) . ( ) 0

( ) 0

( ) 0

( ) ( ) ...... ( ) 0 ...............

( ) 0

m m mn

n n

n

f xa f x b g x

g x

f x

a f x a f x a f x

f x

BÀI TẬP ÁP DỤNG


a. 2anx+3tan24sin 2 3 t 4sin 2 0x x x b. 2 2 2tan tan 2 cot 3 1x x x

c. osx+2 3 anx+4=02 24cos 3tan 4 3 tx x c d. 2 2 2 9sin sin sin

4x y x y

B. PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ

I. Cần giải phƣơng trình: ( ) ( )f x g x ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f x M g x f x M

f x g x x D g x M

II. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG :

1. Dạng 1.


a. 2os3x+ 2-cos 23 2 1 sin 2c x x b. 3os3 4sin 2 sinx c x x


b. osx osx+13 2c c d. 2 2 5tan cot 2sin4

x x x

2. Dạng 2.


a. os4x=14cos 2cos2x x c b. inxcos2xcos3x

1tan2 tan3 0

sx x

c. 2os2cos 3 cos2 0x x c x d. os4x-cos2x25 sin3c x

Documents

Bai Tap Luong Giac