2012_chuyen de Luong Giac

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015

CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

1. Hệ thức cơ bản giữa các ham số

lượng giác:

2. Giá trị hàm số lượng giác của các

cung đặc biệt

5. Các cung liên quan đặc biệt

Cung đối nhau:

sin(- x) = - sinx

cos(- x) = cosx

tan(- x) = - tanx

cot(- x) = - cotx

Cung bù nhau:

sin( - x) = sinx

cos( - x) = - cosx

tan( - x) = - tanx

cot( - x) = - cotx

Cung phụ nhau:

sin(/2 - x) = cosx

cos( /2 - x) = sinx

Chuyên đề: Phương trình lượng giác

1


Cung

Hàm

sinx 1 0

cosx 1 -1

tgx 1||

0

cotgx || 1 ||

3. Công thức cộng

cos (a ± b) = cosacosb sinasinb

sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa

4. Công thức nhân đôi, nhân ba

tan( /2 - x) = cotx

cot(/2 - x) = tanx

Cung hơn kém

sin(x ) = - sinx

cos(x ) = - cosx

tan(x ) = tanx

cot(x ) = cotx

6. Biểu diễn cosa , sina , tga theo

t = (tham khảo)

7. Công thức biến đổi tích thành

tổng

8. Công thức biến đổi tổng thành

tích


2


9. Một số công thức đặc biệt :

II. CÁC PTLG THƯỜNG GẶP1. Phương trình lượng giác cơ bản

Các phương trình đặc biệt

sinx = 0 x = k; sinx = -1 ; sinx = 1

cosx = 0 ; cosx = -1 ; cosx = 1 ;


3


tgx = 0 x = k; tgx = -1 ; tgx = 1

cotgx =0 ; cotgx = -1 ; cotgx =1

2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)

Phương pháp:

* Cách 1: Dùng góc phụ

Điều kiện để phương trình có nghiệm: c2 ≤ a2 + b2

Ta có: asinx + bcosx = c

sinx +

sinx + tgαcosx = (Với tgα = , - /2 < α < /2)

sinx + cosx =

sinxcosα + sinαcosx = cosα sin(x + α) = cosα (1)

Với điều kiện đầu bài ta được: cosα = sinβ ; -/2 ≤ β ≤ /2

Từ (1) ta được phương trình cơ bản:

* Cách 2: (Tham khảo)

Đặt (với x ≠ + k2 )


4

sin(x + α) = sinβ

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015Ta có: a.sinx + b.cosx = c

(b + c)t2 – 2.a.t + c –b = 0 (2)

Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t0, ta sẽ có phương trình

cơ bản:

Ta thử lại xem x = (2k +1) có là nghiệm phương trình không.

* Cách 3: Chia 2 vế cho và đặt

; ; ta đưa về dạng: sin(x + ) =

3. Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác

Các dạng phương trình:

asinx = b (acosx = b)

atgx = b (acotgx = b)

- Thông thường ta gặp các phương trình mà phải qua một số phép biến đổi

lượng giác cơ bản ta mới đưa được về một trong các dạng phương trình trên.

- Cách giải:

+ Đưa chúng về dạng PTLG cơ bản

+ Chú ý: |sinu| 1, |cosu| 1

4. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

PT dạng: asin2x + bsinx + c = 0 (hay acos2x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0

Phương pháp:

Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 (Hay t = cosx)

Phương trình trở thành:

a.t2 + b.t + c = 0

Nếu PT này có nghiệm t0 (-1≤ t0 ≤ 1), ta được PT cơ bản: Chuyên đề: Phương trình lượng giác

5

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015sinx = t0 (hay cosx = t0)

PT dạng: atg2x + btgx + c = 0 (hay acotg2x + bcotgx + c = 0) với a ≠ 0

Phương pháp:

Đặt t = tgx , t R (hay t = cotgx)

Phương trình trở thành:

a.t2 + b.t + c = 0

Nếu phương trình có nghiệm t0 ta được phương trình cơ bản:

tgx = t0 hay (cotgx = t0)

Nhớ để tgx có nghĩa x ≠ /2 +k

5. Phương trình đẳng cấp: asin2x + bsinxcosx +ccos2x = 0 (1)

Phương pháp giải: (Nếu cho ở dạng: asin2x + bsinxcosx +ccos2x = d 0

thì thay d = d(sin2x +cos2x) đưa về dạng (1) )

* Cách 1: Thay sin2x = ; sinx.cosx = ; cos2x = ; Ta

có: a. (1 – cos2x) + b. .sin2x + c. .(1+cos2x) = 0

b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c)

Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải)

* Cách 2:

Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành:

bsinx.cosx +c.cos2x = 0

cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải.

Nếu a ≠ 0; x = /2 + k không là nghiệm của phương trình nên:

x ≠ /2 + k cosx ≠ 0, Chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:

a.tg2x + b.tgx + c = 0


6

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015 (Đã biết cách giải)

6. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx = -

sinx.cosx = : Phương trình trở thành: bt2 + 2.a.t +2c – b = 0

Nếu phương trình có nghiệm t0, ta giải phương trình:

= t0 với

Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx – cosx = cách giải tương tự.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(PT LG cơ bản và PTLG thường gặp)Bài 1: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Giải các phương trình sau:


7

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015Bài 3: Giải các phương trình sau:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI

THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) cos3x + sinx – sin3x = 0

2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x

3)

4)


1) 5sin2x – 4sinx – 1 = 0

2) cos2x – 3cosx – 4 = 0

3) 3tg2x – 3tgx - = 0

4) 4cotg2x =

5) 2tgx + cotg2x = 2 sin2x +


8

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015Bài 3: Giải các phương trình sau:

1) 2cos7x cosx = 2cos6x cos2x + cos22x + sin2x – 1

2) 3(cos2x + ) + 5(cosx + ) = 2

3) 4sin5x cosx – 4cos5x sinx = cos24x + 1

4) sin4x + cos4x – cos2x + sin22x = 2

5)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)Giải các phương trình sau:

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤPGiải các phương trình sau:

1) 2sin2x – 3cos2x + 5sinx cosx = 2

2) cos3x – 5sin3x + 7sinx - cosx = 0


9

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 20153) 14sin4x + 2sin2xcos2x – 14sin2x - 8sinxcosx – 1 = 0

4) 2cosx3x + 3cosx – 8sin3x = 0

5) 6sinx – 2cos3x =

6) sin3(x + ) = sinx

7) 3 cosx – sinx = cos3x + 3 sinx sin2x

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNGGiải các phương trình sau:

1) 4 (sinx + cosx) + 3sinx – 11 = 0

2) (sinx + cosx)3 + sinx cosx – 1 = 0

3) (sinx - cosx)4 - 6sinx cosx – 1 = 0

4) 1 + 2sinx cosx = |cosx – sinx|

5) sinx + cosx + 2 + tgx + cotgx + + = 0

6) cos3x – sin3x = cos2x

7) (1 - sin2x)(sinx + cosx) = cos2x

C. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PTLG ĐẶC BIỆTI. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP

II. BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

III. ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ĐƯA VỀ PTLG THƯỜNG GẶP


10

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015Chú ý:

Các dạng phương trình bậc ba: Đã biết cách giải

Các dạng phương trình bậc bốn:

Dạng 1: Phương trình bậc bốn trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)

Đặt t = x2 0

Dạng 2: Phương trình bậc bốn: (x + a)4 + (x + b)4 = c

Đặt t = x + đưa về phương trình trùng phương

Dạng 3: Phương trình bậc bốn:

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = K (Với a + b = c + d)

Đặt t = (x + a)(x + b)

Dạng 4: Phương trình bậc bốn đối xứng

ax4 + bx3 cx2 + bx + a = 0

Ta chia hai vế phương trình cho x2 (x 0), đặt t = x

VD: Giải các phương trình:

a) (sin2x + 3)4 + cos8x =

b)

c) tg2x – 2tgx + sin2x = 0

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

Phương pháp: Giải phương trình f(x) = g(x):

- Ta đi chứng minh MGT của f(x) và g(x) chỉ chứa 1 số A chung duy nhất.

- Hay đi CM: f(x) g(x) (hoặc f(x) g(x))

Ví dụ: Giải phương trình:

a) sin2003x + cos2004x = 1


11

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015b) 5cos2x + 1 = sin27x

c) sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + cos2x

d) sin2008x + cos2004x =

V. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp:

- Sử dụng các hằng đẳng thức (a b)2, (a b c)2

để đưa phương trình về dạng: A2 + B2 + C2 = 0

- Chú ý: A 0, B 0 A + B = 0

Ví dụ: Giải phương trình:

a) sin2x – 2sin2x – 4cosx + 6 = 0

b) 2sin2x + cos2x + 2 sinx – 4 = 0

D. CÁC DẠNG TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ (Tham khảo)

I. CÁC BÀI TOÁN: 1. BÀI TOÁN 1: Tìm tham số (m…) để PTLG có nghiệm Phương pháp: Dùng phương pháp giải tích (đã học):

- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t.

- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m)

- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)

- PTLG có nghiệm g(m) MGT của f(t)


12

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 2015 (Chú ý: Tính bị chặn, MGT của các hàm số: sinu, cosu, tgu cotgu)

2. BÀI TOÁN 2: Tìm tham số (m…) để PTLG có n nghiệm Phương pháp:

Cách 1: Dùng PP giải tích:

- Đặt t = h(x) - biểu thức nào đó trong PTLG, Tìm MGT của t.

- Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m) (1)

- Từ PT: t = h(x): Ta lý luận quan hệ về số nghiệm giữa t và x.

- Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thiên của f(t)

Từ đó suy ra số nghiệm của (1) giá trị m cần tìm.

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Cho phương trình: cos4x + (cosx – 1)4 = m3 (1)

a) Tìm m để (1) có nghiệm x

b) Tìm m để (1) có đúng 3 nghiệm x

Bài 2: a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

cos2x + 2mcosx – 4m +1 = 0

b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x :

cos2x + 2(1 + m)sinx – 3 – 2m = 0

c) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt x :

mcos2x – 4cosx + 3m = 0

Bài 3: Cho phương trình: cos2x + 4mcosx – 4m+1 = 0 (1)


13


Tìm m để (1) có đúng 3 nghiệm x

Bài 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm x

cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (ĐH Y DƯỢC TP.HCM 2000)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

THEO SIN VÀ COS (a.sinu + b.cosu = c)

Bài 5: Cho phương trình: m.sinx + (2m – 1)cosx = 3m + 1 (1)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm x

Bài 6: Cho phương trình: 2(m - 1)sinx + 4m2 cosx = (1)

Tìm m để (1) có đúng hai nghiệm x

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Bài 7: Cho phương trình: 2sin2x + (m – 2)sin2x +3mcos2x = 1 (1)

Tìm m để (1) có nghiệm x

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Bài 8: Cho phương trình: 2(m – 2)(sinx + cosx) +msin2x + 3m -1 = 0 (1) Chuyên đề: Phương trình lượng giác

14


a) Tìm m để (1) có nghiệm x

b) Tìm m để (1) có 3 nghiệm x

Bài 9: Cho phương trình: msin2x + (m – 1)(sinx + cosx) +2m -1 = 0

Tìm m để (1) có nghiệm x

Bài 10: Cho phương trình: 2 + sinx + cosx = m (1)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có đúng 4 nghiệm x

E. GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THI ĐH (2000 – 2010)

Bài 1: Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:

cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 (KD – 2002)

Bài 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình:

5(sinx + ) = cos2x + 3 (KA – 2002)

Bài 3: Giải phương trình:

1) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (KB – 2002)

2) (KD – 2003)

3) cotgx – tgx + 4sin2x = (KB – 2003)


15


4) cotgx – 1 = + sin2x - sin2x (KA – 2003)


Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện:

Tính ba góc của tam giác ABC (KA – 2004)


1) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tg2x (KB – 2004)

2) (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx (KD – 2004)

3) (KD – 2005)

4) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (KB – 2005)

5) cos23x cos2x – cos2x = 0 (KA – 2005)

6) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (KD – 2006)

7) cotgx + sinx(1 + tgx.tg ) = 4 (KB – 2006)

8) (KA – 2006)

9) (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x (KA – 2007)

10) (KB – 2007)

11) 2sin22x + sin7x – 1 = sinx (KD – 2007)

12) (KA – 2008)

13) sin3x – cos3x = sinx.cos2x – sin2x.cosx (KB – 2008)

14) 2sinx(1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx (KD – 2008)


16


15) . (KA – 2009)

16) (KB – 2009)

17) (KD – 2009)

18) sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010)

19) (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB – 2010)

20) (KA – 2010)

F. BÀI TẬP LÀM THÊM:DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

1) 2)

3) 4) cos3x sin4x = 0

5) 6) sinx(3sinx +4) = 0


1) 2) 3) tan3x.tanx = 1 4) cot2x.cot

5) 6)

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra:

1) 2)


17


3) tan3x2tan4x+tan5x = 0 , x (0; 2) 4)

5) Tìm tất cả các nghiệm x của pt: sin(2x + = 1 + 2sinx

Bài 4: Giải các phương trình sau:1) 4cos2(2x - 1) = 1 2) 2sin2 (x + 1) = 1 3) cos2 3x + sin2 4x = 1

4) cos2 (x – ) = sin2(2x + ) 5) sin2x + cos2x = sin3x

6) cos3x – sinx = (cosx –sin3x ) 7)

8) sin3x = cos(x – /5) + cos3x 9) sin(x + /4) + cos(x + /4) = cos7x

10) cos22x – sin28x = sin( ) 11) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

12) 13) 14) 4sin32x + 6sin2x = 3

15) 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 cos4x = 3

16) =

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI

Bài 1: Giải các phương trình sau:1) 2cosx - = 0 2) tanx – 3 = 0 3) 3cot2x + = 0 4) sin3x – 1 = 0Bài 2: Giải các phương trình sau:1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0 3) 2cos2x + cosx – 2 = 0

4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 cosx + 3 = 0 Bài 3. Giải các phương trình:1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 2) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 03) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0Bài 4. Giải các phương trình:

1) 2) 4sin3x + 3 sin2x = 8sinx 3) 4cosx.cos2x + 1 = 0

4) 5) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 6) tanx + - 2 = 0

7) + tanx = 7 8) sin6x + cos4x = cos2x 9) cos2x + 5sinx + 2 = 0

10) sin( ) - 3cos( ) = 1 + 2sinx 11)


18


12) tanx + cotx = 4 13)

14) 15) cos2x + 3cosx + 2 = 0

16) 17) 2cosx - = 1

18). 19)

20) 21)

22) 23)

24) 25)

26) 27)

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) ; 10) 2sin15x + cos5x +

sin5x = 0 12.


19


13) ( cos2x - sin2x) - sinx –

cosx + 4 = 0 14)

15) 16)

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Bài 1: Giải các phương trình sau:1) 2) 3) 4)

5) 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6)

Bài 2: Giải các phương trình sau:1) 3sin2x - sinxcosx+2cos2x cosx=2 2) 4 sin2x + 3 sinxcosx - 2cos2x=43) 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4) sinx - 4sin3x + cosx = 0 5) 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + )cos2x – 5 - = 06) (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7) sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 8) tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 9) 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0 10) 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 11) 2cos3x = sin3x 12) cos3x - sin3x = cosx + sinx 13) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 14) sin3(x - /4) = sinx

DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNGGiải các phương trình sau:1) 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2) sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)

3) 4)

5) 1 + tanx = 2sinx + 6) sin x + cosx= -

7) sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 8) 1- sin3x+ cos3x = sin2x 9) 2sinx + cotx = 2sin2x+1 10) sin2x(sin x + cosx) = 2 11) (1+sin x)(1+cosx) = 2 12) (sin x + cosx) = tanx + cotx

13) 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 14)* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2 Chuyên đề: Phương trình lượng giác

20

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 201515) * cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 016) 17) sinxcosx + = 1

18) cosx + + sinx + = 19)

DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Giải các phương trình sau:

1) cos2x - cos8x + cos4x = 1 2) sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 03) sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4) sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0

5) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6) sin2x + cos2x + cosx = 0

7) 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4

8) 9) 2cos2x - 8cosx + 7 =

10) cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x

11) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x12) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 13) sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

14) 2sin3x - = 2cos3x +

15) tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - ) = 0

16) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17) cos2x - 2cos3x + sinx = 0

18) sin2x = 1+ cosx + cos2x 19) 1 + cot2x =

20) 2tanx + cot2x = 2sin2x + 21) cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0

22) 1 + tanx = sinx + cosx 23) (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

24) 2 = 25) 2tanx + cotx = 26) cotx – tanx = cosx + sinx 27) 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO


21

* a3 b3=(a b)(a2 ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4

* a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) * a6 b6 = ( a2 b2)( a4 a2b2 + b4)


Giải các phương trình sau:

1) sin4 +cos4 =1-2sinx 2) cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3) cos3x+ sin3x= cos2x 4)

5) cos6x - sin6x = cos22x 6) sin4x + cos4x =

7) cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 8) cos3x + sin3x = cosx – sinx 9) cos6x + sin6x = cos4x 10) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

11) cos8x + sin8x = 12) (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0

DẠNG 8: TỔNG HỢP


1) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:

2) tanx.sin2x 2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS:

3) 2sin3x = 2cos3x + (ĐH Thương Mại)

ĐS:

4) 4(sin3x cos2x) = 5(sinx 1) ĐS: với

5) sinx 4sin3x + cosx = 0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: .

HD: sin3x - sin2x + cosx = 0; 3sinx - 4sin3x - 2sinxcosx + cosx = 0 (chia cho cosx)

6) ; (Học Viện BCVT) ĐS:

Đổi sin(x+ ) thanh cos( - x) råi dïng công thức biÕn tÝch thµnh tæng.7) sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x = sin34x ĐS: .

8) Chuyên đề: Phương trình lượng giác

22


HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x = ,

9) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx

HD: Đưa về cung x rồi đặt thừa số ĐS:

10) sin2x + cos2x = 1 + sinx – 3cosx (1).HD: (1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.

2cos2x + (2sinx + 3)cosx – (sinx + 2) = 0

11) 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0.HD: (1+sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x = 0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x) = 0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …

12) ĐS:

13) cos3xcos3x – sin3xsin3x =

HD: Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = .

14) HD: Phương trình (cosx – sinx)2 – 4(cosx – sinx) – 5 = 015) (cosx + 1)(cos2x – mcox) = msin2x khi m = -2 (ĐH QG TP HCM)16) sin2008x + cos2008x = 1 17) sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (ĐHKTQD HN)

18) (ĐH HUẾ) a) sin4x + cos4x = cos4x b) sin6x + cos6x =

19)

20) a) b) = 0

Bài 2: Giải các phương trình:

1) sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 2) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

3) sin2x + sin23x - 3cos22x = 0 4) cos3x + sin7x = 2sin2( ) - 2cos2

5) cos4x - 5sin4x = 1 6) 4sin3x - 1 = 3 - cos3x 7) sin22x + sin24x = sin26x 8) sin2x = cos22x + cos23x


23

LTĐH MÔN TOÁN NĂM 20159) (sin22x + cos42x - 1): = 0 10) 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x11) sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12) 8cos3(x + ) = cos3x

13) = 1 14) cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15) sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16) 3cos4x – 2cos23x =117) sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi18) sin24x - cos26x = sin( ) víi 19) 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 cos4x = 3 20) cos4xsinx - sin22x = 4sin2( ) - víi < 3 21) 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0 22) cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x


24

Documents

2012_chuyen de Luong Giac