REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”

FACULTAD DE INGENIERIA

CABUDARE – ESTADO LARA

ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS DE CORRIENTE ABIERTA:

Teorema de Malla y Principio de Superposición

MARIYULY CAMARGO COLINA

C.I 16.951.818

DAVID ELIEZER GUERRERO

C.I. 17.330.334

ALFONSO CASTILLO

C.I. 19.849.727

ARGENIS PINTO

C.I 11.646.863

FEBRERO, 12 DE 2.011

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La abreviatura AC significa corriente alterna. Esta se podría referir a

cualquier tipo de alternancia, pero el tipo específico de forma de onda alterna

que se presenta con más frecuencia en el análisis de circuitos es la senoide. Y

una de las tareas más importantes del análisis de circuitos es determinar la

respuesta de estado estacionario forzada por una excitación senoidal después

de que la respuesta natural desaparece. Por consiguiente, de acuerdo con la

práctica común, diremos que un circuito de corriente alterna es un circuito

lineal estable que opera con excitación.

Los circuitos de corriente alterna han sido por mucho tiempo el sustento

diario de la ingeniería eléctrica y electrónica en la distribución de energía,

iluminación, productos de consumo y sistemas industriales. Además, la

comprensión de los conceptos de los circuitos de corriente alterna es un

prerrequisito esencial para miles de temas que van desde dispositivos

electrónicos y la maquinaria rotatoria hasta el control automático, las

comunicaciones y el procesamiento de señales.

Por lo tanto, nuestro estudio de los circuitos de corriente alterna tiene

tanto aplicaciones inmediatas como subsecuentes. Fundamentalmente, el

análisis de circuitos de corriente alterna incluye las intimidantes tareas de

formular ecuaciones diferenciales para los circuitos y luego calcular las

soluciones particulares con excitaciones senoidales. Sin embargo, trabajaremos

con técnicas más convenientes que reducen los problemas de circuitos de

corriente alterna a manipulaciones algebraicas relativamente simples.

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ANALISIS DE CORRIENTE DE MALLA Y VOLTAJE DE NODO

El análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia sigue el mismo

procedimiento que se utiliza en los circuitos resistivos; sin embargo, se emplean

impedancias y fasores en lugar de resistencias y funciones en el tiempo. Como

la ley de Ohm puede usarse en el dominio de la frecuencia, se emplea la

relación V = ZI para los elementos pasivos y se procede con las técnicas del

voltaje de nodo y la corriente de malla.

1.- Ejemplo de análisis de Malla:

En la siguiente figura aparece un circuito con 𝜔=10rad/s, L =0.5H y

C=10mF. Determinar el voltaje de nodo v en su forma senoidal estable cuando

el voltaje de la fuente es Vf =10 cos(𝜔t)V.

Solución:

El circuito tiene una fuente dependiente entre dos nodos, por lo que se

identifica un supernodo como se muestra en la figura, donde también aparece

la impedancia de cada elemento en forma fasorial.

Vf

4

Así, la impedancia del inductor es ZL = j𝜔𝐿 = 𝑗5 De igual forma, la impedancia del capacitor es:

𝑍𝑐 =1

𝑗𝜔𝐶=

10

𝑗= −𝑗10

Primero, se nota que Y1 = 1

𝑅1 =

1

100. Ahora se desea conjuntar las dos

admitancias en paralelo para que R2 y C den una admitancia Y2 como se

muestra a continuación:

Entonces obtenemos

Y2 = 1

𝑅2+

1

𝑍𝑐=

1

10+

𝑗

10=

1

10(1 + 𝑗)

Y3 puede obtenerse de la resistencia y la inductancia en serie como:

Y3 = 1

𝑍3

Donde Z3 = R3 + ZL = 5 + 5j Por lo tanto, se tiene

Y3 = 1

5+𝑗5=

1

50(5 − 𝑗5)

Aplicando la LCK en el supernodo de la figura del circuito anterior,

Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 (V + 10I)= 0

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Además, se denota:

I = Y1 (Vf - V)

Sustituyendo la ecuación

I = Y1 (Vf - V) en la Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 (V + 10I) = 0

se obtiene

Y1 (V - Vf) + Y2V + Y3 [V + 10Y1 (V - Vf)]= 0 Reordenando,

(Y1 + Y2 +Y3 – 10Y1Y3)V = (Y1 – 10Y1Y3) Vf En consecuencia,

V = 𝑌1− 10 𝑌1𝑌3 𝑉𝑓

𝑌1+ 𝑌2+ 𝑌3− 10 𝑌1𝑌3

Dado que,

Vf = 20 ∠𝑂º se obtiene

V =

1

10−

1

50 5−𝑗5 10

1

10+

1

10(1+𝑗 )

= 1−(1−𝑗 )

1

10(2+𝑗 )

= 10𝑗

2+𝑗

Por tanto, se tiene

𝒗 = 𝟏𝟎

𝟓 𝐜𝐨𝐬( 𝟏𝟎𝒕 + 𝟔𝟑, 𝟒°) 𝑽

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2.- Ejemplo de análisis de Malla:

Determinar la corriente en estado estable i1, cuando la fuente de voltaje

es Vf = 10 2 cos ( 𝜔t + 45°) V y la fuente de corriente es if = 3cos 𝜔𝑡 A en el

circuito de la figura. En esta figura aparece la impedancia en ohms para cada

elemento a la 𝜔 especificada.

Solución:

Primero se transforman las fuentes independientes a la forma fasorial. La

fuente de voltaje es

Vf = 10 2∠45° = 10(1 + 𝑗)

Y la fuente de corriente es

If = 3∠0°

Se observa que la corriente conecta a las dos mallas y produce una ecuación

restrictiva

I2 –I1 = If

Creando una supermalla alrededor de la periferia de las dos mallas, se escribe

una ecuación de la LVK, obteniendo

I1Z1 + I2 (Z2 + Z3) = Vf

I1Z1 + (If + I1) (Z1 + Z3) = Vf

(Z1 + Z2 + Z3)I1 = Vf – (Z2 + Z3) If

I1 = 𝑉𝑓− ( 𝑍2+ 𝑍3)𝐼𝑓

𝑍1+𝑍2+𝑍3

Sustituyendo las impedancias y las Fuentes

+ Vf

-

7

I1 = 10+𝑗10 − 2−𝑗2 3

2= 2 + 𝑗2 = 8,25∠76°

En consecuencia, el resultado es

i1 = 𝟖, 𝟐𝟓𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 + 𝟕𝟔° 𝑨

3.- Ejemplo de análisis de Malla:

Determinar la corriente senoidal de estado estable i1 en el circuito de la

figura cuando v 10 2 cos (𝜔t 45)V y 𝜔= 100 rad/s. Además, L= 30 mH y

C = 5 mF.

Solución:

Primero se transforma el voltaje de la fuente a su forma fasorial

Vf = 10 2∠45° = 10 + 10𝑗

Ahora se definen las dos corrientes de mallas como i1 e i2, como se muestran a

continuación:

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Puesto que la frecuencia de la fuente es 𝜔 = 100 𝑟𝑎𝑑/𝑠, se determina que la

inductancia tiene una impedancia de

𝑍𝑐 = 1

𝑗𝜔𝐶=

1

𝑗 12

= −𝑗2

Entonces se pueden resumir las corrientes fasoriales del circuito y la impedancia

de cada elemento dibujando el circuito en términos de fasores. Ahora pueden

escribirse las ecuaciones de la LVK para cada malla, obteniendo:

Malla 1: (3 + j3) I1 – j3 I2 = Vf

Malla 2: (3 – j3) I1 – (j3 – j2) I2 = 0

Despejando I1 con la regla de Cramer, se tiene:

I1 = 10 + 𝑗10 𝑗

∆

Donde el determinante es:

∆ = 3 + 𝑗3 𝑗 + 𝑗3 3 − 𝑗3 = 6 + 12𝑗 En consecuencia,

I1 = 10𝑗−10

6 + 12𝑗

Prosiguiendo, se obtiene:

I1 = 10 (𝑗−1)

6 (1 + 1𝑗)=

10( 2∠135°

6( 5∠63,4°)= 1,05∠71,6°

Entonces, la respuesta de estado estable en el tiempo es:

i1 = 1,05 cos (100t + 71,6º) A

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EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

En los circuitos lineales con más de una fuente independiente, la

propiedad de la linealidad hace posible el análisis de estos circuitos sumando

las respuestas debidas a cada fuente por separado esto quiere decir que la

respuesta general de un circuito que contiene varias fuentes es la suma de

las repuestas a cada fuente individual, eliminando las otras fuentes.

Esto se conoce como el principio de superposición, en donde las

fuentes de corrientes se eliminan o son fijadas en cero, reemplazándolas con

circuitos abiertos y las fuentes de voltaje se sustituyen con circuitos

cerrados.

En cuanto a el poder total disipado por un elemento de un circuito

lineal en general no es la suma de los poderes por separado debidos a

cada fuente. Esto se debe a que la potencia es una función no lineal de

las variables de circuito corriente y voltaje. El uso de la superposición está

limitado a cálculo de corrientes y voltajes en circuitos lineales.

La superposición es una poderosa herramienta que nos permite

resolver corrientes y voltajes en circuitos lineales que contienen varias

fuentes al añadir superponer voltajes y corrientes componentes.

En relación con lo antes expuesto este principio se aplica a los

circuitos lineales de CA de la misma manera que se aplican que los

circuitos CD.

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En los circuitos en estado estable AC que contienen fuentes múltiples

con la misma frecuencia, no puede calcularse la potencia superponiendo las

potencias debido a las fuentes se encuentran por separado. Esto finalmente

se aplica a todas la forma de potencia: instantánea, media reactiva o

compleja. La superposición puede utilizarse para obtener corriente voltajes

pero no para fuentes con la misma frecuencia estos componentes deben

superponerse antes de calcular la frecuencia.

En otras palabras este teorema rige la potencia promedio cuando las

fuentes son de frecuencia distintas. De esta forma para calcular la potencia

promedio P en estado estable ac de un circuito excitado por fuentes en

dos o más frecuencias en donde se calcula la frecuencia promedio para cada

frecuencia separadamente y luego se agrega . De igual forma de se puede

obtener la potencia reactiva Q cuando las fuentes son de frecuencias distintas.

Cuando los fasores pueden superponerse (w1 = w2), no puede aplicar

lo mismo con P y Q y cuando los fasores no puedan superponerse (w1≠w2),

esto quiere decir que el teorema funciona para P y q

La superposición, en el caso de fuentes que operan a 2 o más

frecuencias se aplica solo a respuestas en el tiempo. No se pueden superponer

las respuestas fasoriales. Esto quiere decir que la respuesta total se debe

obtenerse sumando las repuestas individuales en el dominio del tiempo.

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1.- Ejemplo utilizando el teorema del principio de Superposición

Usando el principio determinar la corriente de estado estable i en el

circuito de la figura.

R1= 5Ω vf = 10 cos 10 t v

C=10 mf if =3A

R2= 10 Ω

L= 1,5 H

SE RESOLVERA EL EJERCICIO PASO A PASO

Paso 1: Se cambian las fuentes independientes a FUENTES fasoriales

(polar), siempre y cuando trabajen en diferentes frecuencias para que pueda

cumplir el teorema de superposición.

Para la fuente de voltaje trabaja = 10 rad/s.

Representado de la forma fasorial o (polar ) 𝑣𝑓 = 10 ˂ 0˚

En el caso de la fuente de corriente directa por lo tanto el valor de = o

rad/s. representado en la forma fasorial o polar if= 3 ˂ 0˚

+

-

5 Ω

10 mf

1,5 H

3 A 10 cos 10 t V

10 Ω

I1

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Paso 2: Ahora se le realiza el cambio de los elementos del circuito

identificando el dominio de la frecuencia usando impedancia y fasores. Para

ello se utilizaron las siguientes formulas:

Fórmula para las resistencias

Z1= 5 Ω

Fórmula para el inductor o la bobina

Z2== j 15 Ω

Fórmula para el capacitor

Z3= - j 10 Ω

Después de haber convirtiendo las fuentes de corriente, fuentes de voltaje

en su representación fasorial y los elementos del circuitos a impedancia y

fasores, se muestra el dibujo con los cambios realizados en el paso 1 y paso 2 .

+

-

5 Ω

10 Ω

j 15 Ω

j10 Ω

10 ˂ 0˚ 3 ˂ 0˚

Sustituyendo las formulas Z1= 5 Ω

Y lo mismo ocurre la resistencia de R= 10 Ω = z= 10 Ω

Sustituyendo las formulas Z= j *10 rad/s * 1,5 H = j 15 Ω

Sustituyendo las formulas Z=𝟏

𝒋∗𝟏𝒐𝒓𝒂𝒅

𝒔 ∗𝟏𝟎𝒎𝒇

= -j 10 Ω

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Paso 3: Eliminación de fuente de corriente

Se elimina la fuente de corriente ya que trabaja de forma individual y

se sustituye por un circuito abierto a través del resistencia de 10 Ω. Es por

ello que se utiliza la fuente de voltaje para obtener la intensidad de

corriente I1.

En el circuito se observa que la impedancia del capacitador y la

impedancia de la resistencia se encuentran en paralelo se obtiene la

impedancia equivalente

Zeq34= −𝑗10Ω∗ Z4

𝑗10Ω+ Z4 = 5 (1-j)

Ahora se calcula la intensidad de corriente I1. Utilizando la siguiente

formula.

𝐼1 =𝒗𝒇

𝒛𝟏+𝒋𝝎𝒍+𝒛𝒆𝒒𝟑𝟒 =

𝟏𝟎∠𝟎°

𝟓+𝒋𝟏𝟓+(𝟓−𝒋𝟓)=

𝟏𝟎

𝟐𝟎𝟎∠ − 𝟒𝟓°

∴ La corriente en el dominio del tiempo tiene como resultado utilizando la

fuente de voltaje es:

0.71cos10 45

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Paso 4: Eliminación de la fuente de voltaje Al desactivar la fuente de de voltaje ocurre un corto circuito, esto con

lleva a colocar en cero la fuente de voltaje y por eso ocurre el corto. En

cuanto a la impedancia del capacitador se convierte en un circuito abierto

porque 1

𝑗𝜔𝑙= ∞. Sin embargo la impedancia del inductor o bobina se

convierte en corto circuito. A continuación se muestra la figura

Se procede a calcular la intensidad de corriente 2

𝑖2 = −10

10Ω + 5Ω∗ 3 = −2𝐴

Por tanto, usando el principio de superposición, la corriente total de estado estable

It 0.71cos10t 452A

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2.- Ejemplo del principio de Superposición Determinar la potencia promedio adsorbida por la resistencia en la

figura:

Paso 1: Se convierten las fuentes y los elementos del circuito de forma

fasorial

𝜔 = 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝜔 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠

+

-

j 8 Ω

3√2∠0° V √2∠20° A rms 1Ω

-j1

2 𝐹

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Paso 2: Elimínanos la fuente de corriente

Paso 3: Elimínanos la fuente de voltaje

Ahora debemos calcular sus respuestas individuales de circuitos

fasoriales distintos.

I1= 2∠20° 𝑗 15 2

1+𝑗15 2 = 1.40∠27.6° 𝐴 𝑟𝑚𝑠

Calculo de la potencia en 𝜔 = 4 𝑒𝑠

√2∠20° A

rms

j 4 Ω

-j 1Ω

I1

1Ω

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𝑝1 = 𝑟𝑒 𝑧 𝐼1 2 = 𝑅 𝐼1 2 = 1 ∗ 1.40 2 = 1.96 𝑊

Para 𝜔 = 2 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑠:

𝑖2 =3 2∠0

1 + 𝑗3= 1.34 ∠ − 71.6° 𝐴 𝑟𝑚𝑠

Para el cálculo de la potencia:

𝑝2 = 𝑅 𝐼2 2 = 1 ∗ 1.34 2=1.80 W

La potencia promedio absorbida por la resistencia es:

1.96 +1.80 = 3.76 W