Ecuaciónunidad7

Unidad 7Perímetro, área y volumen en

Figuras geométricas

Las actividades que conforman esta unidad didáctica fueron elaboradas en

colaboración con Ángeles Camacho Machín, Antonio Ramón Martín Adrián,

Dulce María Chico García, María del Carmen González Martín, Teresa Padi-

lla Alonso y Matías Camacho Machín. A todos ellos queremos agradecer sus

aportaciones, de manera especial a Teresa Padilla cuya ausencia lamentamos

enormemente puesto que no ha podido ver en letra impresa el fruto de

muchas reuniones de trabajo durante los años ochenta.

La unidad parte de la introducción del concepto de perímetro de figuras planas, del que los alum-nos

tienen una idea previa. A continuación, haciendo uso de una serie de materiales didácticos estructu-rados, se

introduce el concepto de área de figuras planas como concepto general, primeramente utili-zando unidades

de superficie arbitrarias para después hacerlo con unidades convencionales. Es importante destacar la

conveniencia de introducir lo que se entiende por figuras equivalentes y figuras isoperimétri-cas, dado que

distintas investigaciones han mostrado la confusión de ambos conceptos por parte de los estudiantes. Una

posible alternativa que trata de evitar la confusión de tales conceptos consiste en tra-tarlos conjuntamente y

no por separado. A lo largo de la unidad, a medida que se estudie el área de una

figura geométrica, se analizará la variación del perímetro de figuras equivalentes y la variación de áreade figuras isoperimétricas.

Otra idea que preside el diseño de la unidad es considerar tanto el aspecto estático como dinámico

del concepto de área, esto es: Considerar las figuras geométricas como “rellenadas” por cuadrados uni-

dad (sentido estático) y las superficies como engendradas por el movimiento de líneas, en el sentido pro-

puesto por Isaac Newton en su libro Introductio. Tractatus de quadratura curvarum:

“Voy a considerar en esta obra las magnitudes matemáticas no como integra-das

por partes constantes, incluso infinitamente pequeñas, sino como engen-dradas por

un movimiento continuo. Las líneas serán descritas y en conse-cuencia

engendradas, no por adición de partes, sino por un movimiento continuo de puntos;

las superficies, por movimientos de líneas; los sólidos por movimiento de

superficies... Estas generaciones se realizan verdaderamente en la naturaleza y

pueden observarse todos los días en el movimiento de los cuer-pos. Así, nuestros

antepasados indicaron la generación del rectángulo como descrito por un segmento

móvil perpendicular a uno fijo"

Algunas de las actividades que se plantean pueden ser consideradas actividades de extensión. Se han

incluido para conseguir un tratamiento más completo de la unidad didáctica que se presenta. El maes-tro debe

elegir las actividades que considere más oportunas de acuerdo con el nivel de sus alumnos.

Objetivos:

Comprender los conceptos de área y perímetro de figuras planas tanto desde una

perspectiva está-tica como dinámica.

Comprender el concepto de volumen de figuras espaciales tanto desde una perspectiva

estática como dinámica.

Saber deducir informalmente y a través de la manipulación las fórmulas básicas que

permiten cal-cular el área de los polígonos.

Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el área de

distintas figuras cuando su perímetro permanece constante.

Saber deducir informalmente y a través de la manipulación las fórmulas básicas que

permiten cal-cular el volumen y el área lateral de prismas, pirámides, conos y cilindros.

Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el perímetro

de dis-tintas figuras cuando su área permanece constante.

Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el área de un

sólido cuando su volumen permanece constante.

Conocimientos previos:

Idea del cálculo del perímetro como procedimiento de medir

longitudes. Conocimientos del sistema métrico decimal.

Hábito de resolver problemas.

Conocimiento intuitivo de la proporcionalidad.

Contenidos conceptuales

Sentido dinámico del área y perímetro de figuras

planas. Área de una figura plana.

Figuras equivalentes.

Figuras isoperimétricas.

Fórmulas para la obtención del área de:

• RECTÁNGULO

• TRIÁNGULO

• ROMBOIDE

• TRAPECIO

• ROMBO

• POLÍGONO CUALQUIERA

Sentido dinámico del volumen de superficies.

Volumen de un sólido en el espacio.

Áreas lateral y total.

La Medida en la Educación Primaria

Fórmulas para la obtención del área y el volumen de:

• PRISMA

• PIRÁMIDE

• CILINDRO

• CONO

Contenidos de procedimiento

Justificación informal del cálculo de la fórmula del área de los cuadriláteros triángulos,

así como la de un polígono regular cualquiera.

Análisis de la variación experimentada por el área de estos polígonos si los perímetros

permane-cen constantes.

Obtención del polígono de mayor área entre un conjunto de figuras isoperimétricas.

Análisis de la variación experimentada por el perímetro de estos polígonos si sus áreas

permane-cen constantes. Obtención del polígono de menor perímetro entre un conjunto de figuras equivalentes.

Obtención del polígono de mayor área entre un conjunto de figuras isoperimétricas.

Justificación informal del cálculo de la fórmula del volumen del prisma y la pirámide.

Análisis de la variación del volumen de un prisma cuya área lateral es constante.

Justificación informal del cálculo de la fórmula del volumen del cilindro y el cono.

Análisis de la variación del volumen de un cilindro cuya área lateral es constante.

Contenidos de actitud

Valoración de la importancia de la justificación (informal) de fórmulas y propiedades

geométri-cas.

Interés y gusto por la descripción de formas y características geométricas.

Reconocimiento de la importancia de la manipulación de materiales concretos para el

descubri-miento de regularidades y propiedades.

Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada de trabajos y actividades geométricas.

Secuenciación de las actividades

■ El concepto de Perímetro

Actividad 1: Recuerda que se llama perímetro de una figura a la medida del contorno de la

misma. Colorea de rojo el contorno de estas figuras.

Lo que has pintado de rojo es el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . de las figuras. Has dejado rayas por

colorear, ¿por qué?Actividad 2: Colorea el contorno de las siguientes figuras. ¿Cuántas unidades tiene el perímetro de

las mismas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

unidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Actividad 3: Recuerda que el perímetro es la medida del contorno de una figura. Por ejemplo:

El perímetro de esta casita es:

3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm = 13 cm

Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

El perímetro es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El perímetro es ...............................................................................................

NR

EC

El perímetro es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El perímetro es ...............................................................................................

■ Introducción al concepto de área, figuras equivalentes y figuras isoperimétricas: unidades arbitrarias y unidades convencionales

Área de figuras con unidades arbitrarias

Actividades con el tangram

Actividad 1. Separa las piezas que sean iguales y cuéntalas. Completa:

Número de piezas

Triángulos grandes (Tg)

Triángulos medianos (Tm)

Triángulos pequeños (Tp)

Cuadrados (C)

Romboides (R)

Vamos a comparar las piezas:

¿Cuántas veces podrías colocar el Tp dentro del Tm sin que sobre espacio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compruébalo.

¿Cuántos Tp caben en el cuadrado (C)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuántos Tp caben en el R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuántos Tp caben en el Tg? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La unidad de medida usada ha sido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Actividad 2. ¿Cuántos R caben en el tangram (T)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La medida del tangram es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.

Completa esta tabla:

Área del tangram 8 R

Área del tangram Tg

Área del tangram Tm

Área del tangram Tp

Área del tangram C

Con todas las piezas del tangram, construye un triángulo y haz un cuadrado igual que el

anterior. ¿Qué observas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

También se puede construir un rectángulo y un hexágono con todas las piezas. Hazlo.

Utiliza todas las piezas para hacer algunas figuras que se te ocurran.

Actividad 3. Vamos a utilizar como unidad de medida el cuadrado.

¿Cuántos C caben en el Tg? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Sobra espacio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si tu respuesta es

afirmativa, utiliza los resultados de la ficha anterior para dar la respuesta exacta.

¿Cuántos C caben en el Tm? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imagínate que el C representa la superficie de un

parque y el Tm la superficie de una plaza. ¿Dónde crees que tendrías más espacio para

jugar? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuántos C caben es R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Qué relación observas entre estas tres piezas?

C . . . . . . . . . . . . . . . . . R . . . . . . . . . . . . . . . Tm

Actividad 4. En una ficha anterior has construido con todas las piezas del tangram cuatro

figuras de diferente forma (cuadrado, triángulo, rectángulo y hexágono). Todas tienen la

misma área. Decimos entonces que son figuras equivalentes.

Construye con tu tangram las siguientes figuras:

Utilizando el Tp como unidad de medida calcula el área de cada una de ellas.

Haz lo misma utilizando el C como unidad.

¿Podríamos decir que las figuras son equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Actividades de plegado de papel

Actividad 1.

1. Construye un cuadrado de papel y dóblalo por la mitad haciendo coincidir un lado con

otro (mira la figura) y vuelve a doblarlo por la mitad, de la misma forma que antes.

Desdóblalo y córtalo por los dobleces; obtenemos cuatro tiritas iguales.

2. Si colocamos los rectángulos en dos filas, obtenemos un rectángulo. ¿Tiene el mismo perímetro

que el cuadrado inicial?

¿Y la misma área?

3. Si los ponemos en una sola fila, el nuevo rectángulo ¿tiene el mismo perímetro que el cuadrado?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Y la misma área? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hazlo primero sin medir, y comprueba después las respuestas anteriores.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unidades didácticas

Actividades con los pentaminos

Actividad 1. Sobre la cuadrícula para pentaminos mide cuántos cuadrados tiene cada uno,

es decir, su área, y mide el perímetro. Rellena el siguiente cuadro:

Pentamino número Área Perímetro

1 unidades cuadradas unidades

2 u2 u

3 u2 u

4 u2 u

5 u2 u

6 u2 u

7 u2 u

8 u2 u

9 u2 u

10 u2 u

11 u2 u

12 u2 u

Se dice que DOS FIGURAS SON EQUIVALENTES SI TIENEN LA MISMA ÁREA.

DOS FIGURAS SON ISOPERIMÉTRICAS SI TIENEN EL MISMO PERÍMETRO.

¿Son todos los pentaminos figuras equivalentes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Son todos los pentaminos figuras isoperimétricas?

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