Geometría analítica r. figueroa g

www.freelibros.com

GEOMETRÍA ANALÍTICAPara cen tros de enseñanza su p e rio r

SÉTIMA EDICIÓN 2006

© Impreso en:E D I C I O N E S

Jr. Loreto 1696 Breña (Lima 5) Telefax 423 8469 E-mail: [email protected]

Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley N° 26905

HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 15010599-2572 RAZÓN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCÍA

DOMICILIO: Jr. Loreto 1696 Breña

Este libro no puede reproducirse total o parcialmente por ningún medio electrónico, mecánico o fotocopia u otros medios sin el previo y expreso permiso del autor.

www.freelibros.com

mailto:[email protected]

PROLOGO

Aunque en esta renovada Edición se han conservado ios iineam ientos esenciales de las anteriores ediciones esta obra difiere de aquellas en que se han incluido nuevas m aterias y otras se presentan de un modo más moderno habiéndose añadido una serie completa de nuevos ejercicios.

El contenido de este libro está organizado de acuerdo con el sistema de instrucción personalizada, por lo que , las definiciones y teoremas principales se titulan en forma destacada, se numeran y distribuyen, para fácil referencia y para mantener la estructura más importante del material ante los ojos del lector. El número 2.4, por ejemplo, se refiere a la Sección, Definición o Teorema cuartos del Capítulo 2.

Cada tema desarrollado de los 11 capítulos que consta la obra (Conceptos Preliminares, Gráfica de una ecuación, Lugares Geométricos, Linea Recta, Circunferencia, Transformación de Coordenadas, Parábola, Elipse, Hipérbola, ecuación de Segundo Grado >• Coordenadas Polares) están suficientem ente motivadas y reforzadas por una gran variedad de ejemplos ilustrativos de todos los niveles de dificultad, a lgunos sobre dem ostraciones de teoremas, otros para fija r ideas presentadas en el texto y ayudar al estudiante a alcanzar el dom inio en las técnicas de la geometría analítica y que le perm itirán resolver con éxito los num erosos ejercicios propuestos, cuyas respuestas dadas al final del libro, verificarán las soluciones alcanzadas.

www.freelibros.com

Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecim iento al equipo con quien trabajé durante varios meses, haciendo los dibujos del libro en computadora, armando, revisando y corrigiendo errores, y; en fin, trabajando intensam ente para resolver las dificultades inherentes a la publicación del texto.

Asim ismo una mención especial de gratitud va dirigida a dos personas: al señor Jo ige Galarza E., encargado de la diagramación y a la señorita Abilia Sánchez P. por su dedicación y abnegada labor en el tipeo de la obra. Creo que la excelente colaboración de ambos ha sido inestimable.

Finalmente, se ha tenido especial cuidado en reducir las erratas lo más posible. A un cuando todo autor sueña con producir un libro excento de errores ninguno ha logrado esa aspiración, al menos que yo sepa. Por tanto, agradecería que me hagan notar cualquier error que pueda haber persistido todavía.

EL AUTOR

DEDICATORIA

. t la memoria de mi querida e inolvidable madre, a cuyos sacrificios debo el haberme aficionado al estudio, dedico

■ ” testa obra como símbolo de mi gratitud.

www.freelibros.com

V

CONTENIDO

Q CONCEPTOS PRELIMINARES_________

1.1 Campo de la Geometría Analítica 11.2 Segmentos orientados 1

1.3 Sistema coordenado lineal 3Ejercicios : Grupo 1 10

1.4 El sistema coordenado rectangular 121.5 Distancia entre dos puntos 13

Ejercicios : Grupo 2 191.6 División de un segmento en una razón dada 20

Ejercicios : Grupo 3 301.7 Pendiente de una recta 331.8 Rectas paralelas y perpendiculares 35

Ejercicios : Grupo 4 421.9 Fórmula del ángulo entre dos rectas 44

Ejercicios : Grupo 5 491.10 El área del triángulo 50

Ejercicios ; Grupo 6 561.11 Demostraciones analíticas 57

Ejercicios : Grupo 7 60

G RAFICA DE UNA ECUACION

2.1 Introducción 632.2 Coordenadas al origen 652.3 Criterios de simetría 662.3.1 Simetría respecto al eje X 672.3.2 Simetría respecto al eje Y 672.3.3 Simetría respecto al origen 682.4 Extensión 69

www.freelibros.com

VI Contenido

2.5 Asíntotas / 722.5.1 Asíntotas horizontales 732.5.2 Asíntotas verticales 732.5.3 Asíntotas oblicuas 75

© Gráficas de funciones racionales 76

© Gráficas de ecuaciones de la formayJ = función racional o x! = función racional 82

© Gráficas de ecuaciones que contienen raíces cuadradas 90

© Gráficas de ecuaciones con valor absoluto 93Ejercicios : Grupo 8 96

2.6 La gráfica por factorización 972.7 Intersección de curvas 100


LUGARES GEOMETRICOS

3.1 Introducción 1053.2 Deducción de la ecuación de un lugar geométrico 105

Ejercicios : Grupo-10 119

LA ILINEA RECTA

4.1y

Introducción 1234.2 Ecuaciones para una recta 1234.2.1 La forma punto - pendiente 1244.2.2 La forma de los dos puntos 124

Ejercicios : Grupo II 1324.2.3 La forma pendiente y ordenada al origen 1344.2.4 La forma de las coordenadas al origen 134

Ejercicios : Grupo 12 1384.2.5 La forma general 1394.3 Relaciones entre dos rectas coplanares 1404.3.1 Rectas paralelas 1414.3.2 Rectas coincidentes 1414.3.3 Rectas perpendiculares 1414.3.4 Rectas oblicuas 142

Ejercicios : Grupo 13 1544.4 Forma normal de la ecuación de una recta 1574.5 Reducción a la forma normal 1594.6 Distancia y sentido de un punto a una recta 160

www.freelibros.com

Contenido V II

4.7 Bisectriz de un ángulo 169ejercicios : Grupo 14 171

4.8 Familia de rectas en el plano 1734.8.1 Familia de rectas paralelas a una recta dada 1734.8.2 Familia de rectas perpendiculares a una recta dada 1744.8.3 Familia de rectas qUe pasan por la intersección de dos rectas 174

Ejercicios : Grupo 15 1814.9 Puntos arriba y debajo de una recta 183


LA CIRCUNFERENCIA

5.1 Introducción 191Ejercicios : Grupo 17 204

5.2 Ecuación general de una circunferencia 2065.3 La circunferencia y tres condiciones 2075.4 Potencia de punto con relación a una circunferencia 208

Ejercicios : Grupo 18 2145.5 Familia de circunferencias 2165.5.1 Familia de circunferencias que pasan por la intersección

de dos circunferencias dadas 2165.5.2 El eje radical 217

Ejercicios : Grupo 19 2235.6 Tangentes a una circunferencia 225

Ejercicios : Grupo 20 2325.7 Lugares geométricos relativos a una circunferencia 233

Ejercicios : Grupo 21 2365.8 Conjunto de puntos asociados con circunferencias 238


TRANSFORM ACION DE COORDENADAS

6.1 Introducción 2456.2 Traslación de ejes 2456.3 Simplificación de una ecuación por traslación 2466.4 Otras aplicaciones de la traslación de ejes 248

Ejercicios : Grupo 23 2536.5 Rotación de ejes 255


INTRODUCCION A LAS SECCIONES CONICAS 267

www.freelibros.com

LA PARABOLA

V III ________________________________________________________________ Contenido

7.1 Introducción 2737.2 Elementos de una parábola 2737.3 Formas cartesianas de. la ecuación de una parábola 274

Primera forma : Parábola de eje coincidente con el eje X 274Segunda forma : Parábola de eje coincidente con el eje Y 275Ejercicios : Grupo 25 280Tercera forma : Parábola de eje paralelo al eje X 281Cuarta forma : Parábola de eje paralelo aleje Y 281Ejercicios : Grupo 26 287

7.4 Ecuación general de una parábola 288Ejercicios : Grupo 27 292

7.5 Ecuación de la tangente a una parábola 293Ejercicios: Grupo 28 302

7.6 Cuerda de contacto 3047.7 Diámetro de una parábola 3057.8 La función cuadrática 307

Ejercicios : Grupo 29 3127.9 Propiedades de una parábola 313

Ejercicios : Grupo 30 3247.10 Aplicaciones de la parábola 326

Ejercicios: Grupo 31 3307.11 Lugares geométricos relativos a una parábola 331

Ejercicios: Grupo 32 3357.12 Conjunto de punto asociados con parábolas 336

Ejercicios : Grupo 33» ‘.i *v-

339

LA ELIPSE

8.1 Definición 3418.2 Formas cartesianas de la ecuación de una elipse 341

Primera forma : Elipse con centro en el origen y eje mayorcoincidente con el eje X 341

Segunda forma : Elipse con centro en el origen y eje mayorcoincidente con el eje Y 345

Ejercicios : Grupo 34 350Tercera forma : Elipse con eje mayor paralelo-s^fSje X 352Cuarta forma : Elipse con eje mayor paralelo al eje Y 353Ejercicios : Grupo 35 358

www.freelibros.com

Contenido IX

8.3 Ecuación general de la elipse en posición ordinaria 360Ejercicios : Grupo 36 364

8.4 Ecuación general de la elipse en posición no ordinaria 365Ejercicios : Grupo 37 370

8.5 Tangente a una elipse 371Ejercicios : Grupo 38 377

8.6 Cuerda de contacto 3798.7 Diámetro de una elipse 3818.7.1 Diámetros conjugados 382

Ejercicios : Grupo 39 3848.8 Propiedades de la elipse 385

Ejercicios : Grupo 40 3938.9 Lugares geométricos relativos a una elipse 394

Ejercicios: Grupo 41 3988.10 Conjunto de puntos asociados con elipses 399


LA HIPERBOLA

9.1 Definición 4039.2 Formas cartesianas de la ecuación de una hipérbola 403

Primera forma : Hipérbola con centro en el origen y ejetransverso coincidente con el eje X 403

Segunda forma : Hipérbola con centro en el origen y ejetransverso coincidente con el eje Y 405

Asíntotas de una hipérbola 406Ejercicios: Grupo 43 412Tercera forma : Hipérbola con eje focal paralelo al eje X 413Cuarta forma : Hipérbola con eje focal paralelo al eje Y 414Ejercicios: Grupo 44 418

9.3 Hipérbola equilátera 4199.4 Casos especiales de hipérbolas equiláteras 4209.5 Hipérbolas conjugadas 424

Ejercicios : Grupo 45 4269.6 Ecuación general de una hipérbola en posición ordinaria 427

Ejercicios : Grupo 46 4309.7 Ecuación general de una hipérbola en posición no ordinaria 430

Ejercicios : Grupo 47 4349.8 Tangentes a una hipérbola 435

Ejercicios : Grupo 48 4399.9 Cuerda de contacto 440

www.freelibros.com

X Contenido

9.10.1 Diámetros conjugados 443Ejercicios: Grupo 49 445

9.11 Propiedades de la hipérbola 445Ejercicios : Grupo 50 457

9.12 Lugares geométricos relativos a una hipérbola 459Ejercicios : Grupo 51 462

9.13 Conjunto de puntos asociados con hipérbolas 463Ejercicios : Grupo 52 465

I ] LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO

10.1 Clasificación de las cónicas de ecuación A x2+C y2+D x+E y+F = 0

10.2 Ecuación general de las cónicas Ejercicios : Grupo 53

10.3 Clasificación de las cónicas de ecuación general Ejercicios : Grupo 54

COORDENADAS POLARES

467467478479 488

1 1 . 1 definiciones 4911 1 . 2 Relaciones entre coordenadas polares y rectangulares 493

Ejercicios : Grupo 55 49611.3 Distancia entre dos puntos 49811.4 Area del Triángulo 498

Ejercicios : Grupo 56 49911.5 Ecuación polar de la recta 5001 1 .6 Ecuación polar de la circunferencia 505

Ejercicios : Grupo 57 50611.7 Ecuación polar de las cónicas 507

Ejercicios: Grupo 58 5111 1 .8 Gráficas de ecuaciones polares 512

Ejercicios : Grupo 5911.9 Intersecciones de gráficas para ecuaciones polares 522

Ejercicios : Grupo 60 5241 1 . 1 0 Lugares geométricos en coordenadas polares 525


RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS 530

www.freelibros.com

CONCEPTOS PRELIMINARES

f f f f l CAMPO DE LA GEOMETRIA A N A LIT IC A

La Geometría Analítica es una de las partes de las Matemáticas que tiene por objeto el estudio de las relaciones entre el álgebra y la geometría euclidiana. Difiere en procedimiento de la que se estudia en la escuela secundaria por el hecho de que aquella emplea un sistema de coordenadas.

La geometría analítica comprende en su estudio de puntos, rectas, curvas, ángulos y superficies a los números reales, por lo que debemos estar familiarizados con algunas de sus propiedades. Aunque en este libro no se toma interés en mostrar como tales propiedades se derivan de los axiomas de adición, multiplicación y orden, ya que estas consideraciones pertenecen al curso de Matemática Básica, sin embargo, dada su importancia y con la finalidad de darle mayor objetividad al curso, indicaremos en su oportunidad ¡as propiedades aplicadas. Así, pues, emplearemos parte de nuestro tiempo en aprender a construir una curva que corresponda a una ecuación dada, y el resto en formar una ecuación cuando se den las condiciones suficientes para determinarla.

Por la geometría plana se sabe que un segmento rectilíneo es una porción de recta ( comprendida entre dos puntos A y B , cuya longitud se representa por AB o BA. No se hace mensión de su sentido. En el estudio de la geometría analítica es necesario considerar tanto la longitud como el sentido.

El sentido de un segmento es el de la traslación de un móvil que lo recorre partiendo del origen o punto inicial A al extremo o punto final B. Se indica escribien

C D SEGMENTOS ORIENTADOS

www.freelibros.com

2 Capítulo I: Conceptos preliminares

do primero el origen y después el extremo , esto es :ÁB

El segmento AB será positivo o negativo según que su sentido sea el positi-* /

vo o el negativo de la recta t que lo contiene. Así, si la recta í está orientada positivamente, de izquierda a derecha, como lo indica la flecha (Figura 1.1), entonces el segmento orientado AB tiene longitud positiva y el segmento BA, longitud negativa. Por lo que podemos escribir:

ÁB = - BA (1)de donde :

ÁB + BA = 0

l --------------- 4 -------------------£------------ ^ (Sentido)V____________________________________________________ )

FIGURA 1.1

Consideremos ahora la posición de un tercer punto C, sobre el segmento orientado, con relación a los puntos A y B

TEOREMA 1.1 Teorema de Chasles_______________________________________Cualquiera que sea la posición de tres puntos A , B y C, de una

misma recta , se verifica siempre la relaciónÁC = ÁB + BC

V____________________________________________________________________________

Demostración. En efecto, existen 3! = 6 ordenaciones posibles de los puntos A , B, y C sobre una misma recta l , dos de las cuales se muestran en la

Figura 1.2

FIGURA 1.2

En la Figura 1,2a se tiene : AC + CB = BAPero, según la relación (1), CB = - BC , por lo que :

ÁC - BC = ÁB => ÁC = ÁB + BC En forma similar, en la Figura 1.2b : CB = CA + AB Por ser, CB = - BC y CA = - AC , la relación anterior se convierte en :

- BC = - ÁC + ÁB ■=> ÁC = ÁB + BC □

www.freelibros.com

Sección 1.3: Sistema coordenado lineal 3

La demostración del Teorema 1.1 para las otras cuatro posiciones diferentes de ¡os puntos A , B y C se deja como ejercicio.

m SISTEM A COORDENADO LIN EAL__________________________

Sobre una recta orientada X’X cuya dirección positiva es de izquierda a derecha, coloquemos el punto fijo O , llamado origen. Si A es un punto a una unidad y a la derecha de O, entonces el punto P, contiene x, veces la unidad establecida de longitud OA ; luego diremos que el punto P, corresponde al número positivo x r Análogamente, si P,es un punto cualquiera de la recta X'X situado a la izquierda O, diremos que el punto que el punto P2 corresponde al número negativo \r De esu, modo cualquier número real x puede representarse por un punto P sobre la recta X’X. recíprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta X’X representa un número real x, cuyo valor numérico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo o negativo según que P esté a la derecha o a la izquierda de O. A esta correspondencia biunívoca que existe entre puntos de una recta numérica y los números reales se llama sistema coordenado lineal.

X’ <-0 A

(Xj) (0) (1) (x,) (x)

FIGURA 1.3

El número real x correspondiente al punto P se llama coordenada del punto P y se le representa por (x). El punto P con su coordenada (x) es la representación geométrica del número real x , y se escribe P(x) o P = (x). (Figura 1.3)

TEOREMA 1.2 Distancia dirigida

En un sistema coordenado lineal, la distancia dirigida entre dos puntos A(x,) y B(x2) sobre una recta está dada por ;

d(A , B) = Xj - x, (2)

Demostración. En efecto, sean A(x,) y B(x,) dos puntos cualesquiera de la recta dirigida X’X. (Figura 1.4)

Por el teorema de Chasles :ÓA + ÁB = ÓB

www.freelibros.com

4 Capítulo 1: Conceptos preliminares

Pero , OA = x, , AB = d(A , B) y OB = entonces : x, + d(A , B) = x, de donde :

d(A , B) = x2 - x, □

| OBSERVACIONES

(1) La distancia dirigida entre dos puntos de un sistema coordenado lineal se obtiene restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.

(2) Cuando la distancia de A(x,) a B(x,) está en el sentido positivo , x2 > x , , entonces x2 - x, es un número positivo (Figura 1.4). Es dec ir:AB > 0 , si A está a la izquierda de B.

(3) Cuando la distancia de A(x,) a B(x,) está en el sentido negativo, x2 < x , entonces x2 - x, es un número negativo (Figura 1.5). Es d ec ir: FIGURA 1.5AB < 0, si A está a la derecha de B.

X'-(x2) (0) (x,)

X

(0)A-O-

(x.) (x2)X

FIGURA 1.4

DEFINICION 1.1 Distancia no dirigida

En un sistema coordenado linea l, la distancia no dirigida entre dos puntos A(xt) y B(x2) se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos , esto es :

d(A , B) = I x - x I = V(x, - x )2 (3)

Los signos de valor absoluto se usan en esta ecuación para no especificar cuál de las coordenadas x, y x, es la m ayor, pues : | x2 - x, I = I x, - x2l

| OBSERVACION 1.1 Si í es una recta orientada, entonces existe una funciónd : ( x ( - > R

llamada distancia no dirigida entre dos puntos A y B de l , que cumple las siguientes propiedadesa) d( A , B) > 0 , V A . B e Rb) d(A , B) = 0 A = Bc) d(A , B) = d(B , A) , VA , B e Rd) d(A , C) < d{A , B) + d{B , C) , VA , B , C e R (Desigualdad triangular).

www.freelibros.com

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 5

ü E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S

( e j e m p l o T ) Segmentos orientados

Sobre una recta l se ubican consecutivamente los puntos A , C , D y B ; siendo D punto medio de AB. Demostrar que

CD = ~ (CB - ÁC)

Demostración. En efecto, por el teorema de Chasles

ÁD = ÁC + CD => CD = ÁD - Á C (1)También: CB = CD + D B = > C D = CB-DB (2)Sumando ambos extremos de (1) y (2) se tiene :

2CD = ÁD - ÁC + CB - DB Como D es punto medio de AB <=> AD = DB , por lo que :

2CD = CB - ÁC => CD = i(C B - ÁC) □

( E J E M P L O 2 ) Segmentos orientados

Sobre una recta ( se dan los puntos A , B , C y E ; de modo que

AB = BC , CE = 2AC y AD = | (AE). Demostrar que AD = AB + AC.

Demostración. Efectivamente, por el teorema de Chasles se tiene :ÁE = ÁC + CE

=> ÁE = ÁC + 2ÁC = 3ÁC

Si ÁD = ^(ÁÉ) => ÁD = |(Á C )

Luego , 2ÁD = 3(ÁC) = ÁC + 2ÁC = (ÁB + BC) + 2ÁC

Como ÁB = BC ■=> 2ÁD = 2ÁB + 2ÁC ■=> ÁD = ÁB + ÁC □

( E J E M P L O 3 J Segmentos orientados_____________________________________

Sobre una recta t se toman los puntos consecutivos A , B , C y D en el cual M es punto medio de AD (M en BC). Si MC - MB = 2 y AC + BD = 24, calcular AD.

Solución. Por el teorema de Chasles : AC = AM + MC (1)BD = BM + MD

2 ACD

FIGURA 1.6

www.freelibros.com

Capítulo I: Conceptos preliminares

Como MD = ÁM <=> BD = BM + AM sumando ambos extremos de las re laciones (1 ) y (2 ) obtenemos :ÁC + BD = 2AM + MC + B~M

= AT> + (MC - MB)<=> 24 = AD + 2 , de donde : AD = 22

(2)

c

1)<J B M C D

FIGURA 1.7

□

( E J E M P L O 4 J Trazado de puntos en la recta real

En un sistema coordenado lineal trazar los puntos P(3) y Q(-V5)

Solución. Sobre una recta numérica fijamos el origen O. En seguida a 3 unidades establecidas, a la derecha de O, ubicamos el punto P. Para encontrar el

punto Q, construimos un triángulo rectángulo BAC , de catetos AB = 1 y AC = 2. Por el teorema de Pitágoras obtenemos : BC = V( 1)J + (2)2 = V5 . Luego con un compás, haciendo centro en O, trasladamos la magnitud BC sobre el eje real, a la izquierda de O , y ubicamos de este modo el punto A(-V5)

(-V5) (3)□

(~ E JE M P LO 5 j Trazado de un conjunto solución en la recta real

Trazar los puntos, cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones :a) I x - 2 I = 5 b) 13x - 5! = 7 - x c ) | x + 2 | + | x - l | = 5

Solución. Según la propiedad : | x i = a <=> a > 0 a (x = a v x = - a ) ,

se sigue que :a) I x - 2 1 =5 <=> (x - 2 = 5) v (x - 2 = -5)

<=> (x = 7) v (x = -3)Luego , dibujamos en la recta real los puntos A(-3) y B(7)

b) | 3x - 5 I = 7 - x <=> (7 - x > 0) a (3x - 5 = 7 - x) v (3x - 5 = - 7 + x) <=> ( x < 7 ) a ( x = 3 v x = - 1)

www.freelibros.com

EJERCICIOS ILUSTRATIVOS 7

Como ambas soluciones satisfacen la desigualdad x < 7 , ubicamos en la recta real los puntos A(- 1) y B(3)

X ' « ¿----------------- * X(-D (3)

c) |x + 2 l + | x ■ 1 I = 5Según la definición de valor absoluto

x + 2 , si x > -2 , . r x - 1 , si x > 1x + 2 I

r x + ¿ , s i x ¿ -¿ . . r x - l ,"i -x - 2 , si x < -2 ■ l x - l l = i - x + l , si x < 1

Entonces en la ecuación dada :Si x < - 2 ■=> (- x - 2) + (- x + l ) = 5. <=> x = - 3

- 2 < x < 1 ■=> (x + 2) + (- x + 1) = 5 <=> 3 = 5 (Absurdo) x > l ■=$ (x + 2) + ( x - 1) = 5 c=> x = 2

Por lo tanto , trazamos en la recta real los puntos A(- 3) y B(2)

X - * ,■ ■ , § , S------------ > x □(-3) <2)

{ E J E M P L O 6 ) Relación de orden en la recta real_________________________

Si a < b determinar tres números que están entre a y b , y describir la relación de orden entre ellos.

Solución. Si A y B son dos puntos diferentes de una recta X’X, cuyas coordenadas son a y b respectivamente , entonces existe un punto C de dicha recta

tal que C está entre A y B. Según este enunciado , si a < b , entonces a * ^ es tal

que : a < < b

Del mismo modo , si a < a * ^ _ entonces

a < - - y < ^ « a < 3 i ± b < i i b (1)

a ± b +ba + b . a + b _ 2 ■ u 1 1 2 + b , a + 3b . LTambién , si — — < A m C___________________ B____ ^ x(a) |3a + bj + bj â + 3bj (b)

www.freelibros.com


C e j e m p l o 7 ) Trazado de un conjunto solución con intervalos____________

Caracterizar geométricamente la posición de los puntos , cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades dadas.

a) 2x ~ 1 < 1 b) x2 + x - 1 2 > 0 c) I x + 5 1 < 2x - 2

Solución. Aprovechando las propiedades de los números reales para desigualda

des procedemos a resolver cada ejercicio

a) _ 1 < o ü l < ox - 2 x - 2

o ( x + 1 < O a x - 2 > O ) v ( x + 1 > 0 a x - 2 < 0 )

<=í> (x < - ! a x > 2 ) v (x > - 1 a x < 2 )

o ( 0 ) v (- 1 < x < 2)Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo acotado [ -1 , 2 > , esto es , lospuntos que satisfacen la desigualdad dada se encuentran dentro del segmentolimitado por los puntos A (-l) y B (2), incluyendo A.

A B-o-( -1) (2)

b) Completando el cuadrado en la desigualdad dada se tiene :

x2+ x + l > 1 2 + l « (x + i ) 2> ^4 4 V 21 4

De la propiedad : x2>a « x S - V a ó x>Va ,se sigue que

Í V J . 4 5 Y 4 . 1 < 7 , 1 > 7(X + ^J 2 T ~ X + 2 - " 2 0 "2 "2

o x < - 4 ó x > 3Por tanto, la posición de los puntos que satisfacen la desigualdad están dados fuera del segmento limitado por los puntos A(-4) y B(3), incluyendo ambos.

X’ •*-* — o——-------------------------- *— i» ► X(-4) (0) (3)

c) |x + 5| <2 « - 2 < x + 5 < 2 <=> - 7 < x < -3La posición de los puntos que satisfacen la desigualdad se encuentran en elintervalo < -7 , -3 > ; segmento acotado por los puntos A(-7) y B(-3)

X’ «--------------------- o-------------------o-----*---- .— o--------------------- * X □(-7) (-3) (0)

www.freelibros.com


CEJEMPLO 8 ) Hallar las distancias dirigida y no dirigida entre los puntos A(-2) y B(-7)

Solución. Por el Teorema 1.2 : d(A , B) = x2 - x, = -7 - (-2) = -5

y por la Definición 1.1 : d(A , B) = | x, -x , I = |-5 | = 5 O

EJEMPLO 9 ) La distancia entre dos puntos es 4 , si la coordenada de uno delos puntos es (-1) t ha lla r el otro punto. In terpretar

geométricamente el resultado.

Solución. Supóngase que A = (-1), d(A , B) = 4 y B(x2) es el punto buscado. Por L Definición 1.1: d(A , B) = I x2 - x, I , entonces si

I x j - (-1) | =4 <=> |x 2 + I I =4o x2 + 1 = 4 ó x2 + 1 = -4

« x2 = 3 ó x2 = -5Por lo tanto , hay dos soluciones : B(3) y B’(-5)Interpretación geométrica.

(.---------- 4 ----------- + ----------- 4 ----------- ^

X’ «---------------§----- 1------ *------ .----- á ----- *------ .------ -------§--------------- * X □(-5) (-1 ) (3)

( e j e m p l o 1 0 ) Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos A(-8) y B(10)

Solución. Sean P(xt) y Q(x2) los puntos de trisección y M(x) el punto medio del

segmento dirigido AB.

A_________________ P________ M_______Q________________ B(-8) (x,) (x) (x2) ( 10)

AP 1 — —Si pg = y pb = 2A P , y por el Teorema 1.2 : xB - xp = 2(xp - xA)

10 - x, = 2 [x, - (-8) ] , de donde : x, = - 2

O es el punto medio de PB ■=> PQ = QB •=> \Q - xp = xB - \cz» X,- (-2) = 10 - x 2 « x, = 4

M es el punto medio de AB ■=> AM = MB ■=> x - (-8) = 10 - x <=> x = 1En consecuencia , los puntos solución son : P(-2) , Q(4) y M( 1) □

www.freelibros.com


[ e j e m p l o 1 1 ) El segmento orientado de extremos A(-1) y B(3) se prolonga hasta el punto P de manera ue 2AP = 3AB. Hallar la coorde

nada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razón 1/3

Solución. Supóngase que P(x,). Si 2AP = 3AB , entonces por el Teorema 1.2 :2[ x, - (-1) ] = 3[ 3 - (-1) ] , de donde x, = 5 ^ p(5)

S i g = 4 =» 3PQ = QB .=* 3(x - 5) = 3 - X <=> x = 9/2 Q(9/2) □

[E J E M P L O 1 2 ) El punto P(1) divide al segmento AB en la razón 3/2. Si I ABI = 15 , hallar las coordenadas de A y B.

Solución. Sean A(x,) y B(x,)AP 3 — —

S i ^ - = y => 2AP = 3 PB c=> 2(1 -x,) = 3(x,- 1) (Teorema 1.2)■=> 2x, + 3x, = 5 (1)

Dado que (AB I =15 «=> |x 2 - x , | =15 <=> x2 - x, = ± 15 (2)Resolviendo simultáneamente la ecuación (1) con las ecuaciones (2), obtenemos :

Xj = -8 , x2 = 7 ó x, = 10 , x, = -5Por lo tanto , los extremos del segmento AB son :

A(-8) y B(7) ó A(10) y B(-5) □

EJERCICIOS: Grupo 1

1. Sobre una recta í se toma 4 puntos consecutivos A, B, C, y D. Si E y F son pun

tos medios de AB y CD, demostrar que EF = 1(AC + BD). /

2. Sobre una recta ( se toman los puntos consecutivos A, B, C. y D, de modo que

= . Si BC x CD = 28 y CD - BC = 7 , hallar el valor del segmento AC.E3C C/D

3. Sobre una recta /' se dan los puntos consecutivos A, B, C, y D. Se toma M punto medio de AB y N punto medio de CD; si AC = 18 y BD = 4, hallar el valor de MN.

4. Sobre un sistema coordenado lineal trazar los puntos

A(-3/2), B(V3 ) , C(-3/7) , D(V7) , E(- VÍ2 ) 1 \

5. Trazar los puntos cuyas coordenadas satisfacen a las ecuaciones dadas,

a) 13x - 1 | = 2x + 5 J d) 2 - 5 1 - 3 1 = 5x - 8

www.freelibros.com

EJERCICIOS : Grupo I_____ (_ 11

b) I x2 - 4 I = 4 - 2x e) I x - 4 12 - 5 1 x - 4 I + 6 = O

c) I x + 2 1 + 1 x - 3 1 = i y f) 2 1 x + 1 ! - 3 1 x - 2 1 + I x ¿ 5 1 = x + 2

6. Si a < b , ubicar los números dados en la recta real y dar la relación de orden que cumplen . ( Guía: Ejemplo 6)

a + 7b , a + 3h , 7a + b , 3a + b , a + b 8 4 8 4 2 /

7. Caracterizar geométricamente la posición de los puntos cuyas coordenadas satisfacen a las siguientes desigualdades

a) 1 < JL lI < 2 d) U - .8 I - * + I * + 4 | < 35 x + 1 3 x + 2

b) 3x2 - 5x > 2 e) 12x - 3 |2 + 2 12x - 3 1 - 8 < 0

c) x(3x + 2) :£ (x + 2)2 f) I x2 - 5x I < 6

8. En la recta real se consideran cuatro puntos A, B, C, y D que cumplen

-é) | A - B l - l A - C l = I B - C l■LL) | B - A I - I B - D | = I A - D |

¿U ) IA - D | < I C - A |

Ubicar los puntos en dicha recta.

9. En los ejercicios siguientes se dan la distancia entre dos puntos y uno de los puntos; se pide hallar, en cada caso, el otro punto. Interpretar geométricamente el resultado. (Guía: Ejemplo 9)• - A n/ i/ -■ > ¡ 1 ■:a) d(A , B) = 5 , B(-2) / c) d(A , B) = 3 , A(-5)

b) d(A , B) = 8 , A(3) J d) d(A , B) = 6 , B(2 ) P ' h ^^------------------- .S ' ^ í •10. En los ejercicios siguientes se dan los puntos A y B. Hallar los puntos P y Q que

trisecan al segmento AB. (Guía: Ejemplo 10)

a) A(2) , B(14) b) A(-2) , B(9)

14. En un sistema coordenado lineal, A(x,) y B(x2) son los puntos extremos dados de un segmento dirigido. Demostrar que la coordenada (x) de un punto P que

— AP x. + r x,divide a AB en la razón dada r = -Q=- , es : x = —-—— , r * -1

PB 1 + r2. El segmento que une los puntos A(-2) y B(4) se prolonga hasta un punto P(x) ,

de modo que AP = 3BP. Hallar las coordenada del punto P.12.

13. En un segmento rectilíneo limitado por los puntos A(-4) y B(2) se prolonga hasta y el punto P(x), de modo que 5 BP = 2 AP. Hallar la coordenada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razón r = 3/2 (Guía: Ejemplo 11).

. . . .

www.freelibros.com

12 Capítulo /. Conceptos preliminares

14. Dados los puntos A(-1) , B{3) y C(6) . determinar el punto P(x) que divide al segmento AB en la misma razón en que divide al segmento BC.

15. Determinar la coordenada del punto M conociendo :

a) A (-1 ), B(3) y r ^ = - 2 b) A(1) ■ B( '3) V r = g j* = ' 3

16. El punto P(-3) divide al segmento orientado AB en la razón 1/3. Hallar las coordenadas de A y B , sabiendo que I AB I = 8 . (Guía: Ejemplo 12).

17. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres partes iguales por los puntos P(-17) y Q(-5)

18. Dados los punios A(5) y B (-3), determinar:

a) la coordenada del punto M simétrico al punto A con respecto al punto Bb) la coordenada del punto N simétnco al punto B con respecto al punto A

[Sugerencia: a) AM = 2BM , b) BN = 2ANJ.

lO F a EL S ISTEM A COORDENADO RECTANGULAR_____________

Consideremos dos rectas perpendiculares entre si, que se interceptan en el punto O y dividen al plano en cuatro cuadrantes. La recta horizontal OX se llama eje X o eje de las abscisas, y la recta vertical OY se llama eje Y o eje de las ordenadas Su intersección O es el origen de coordenadas. El sentido positivo de la recta horizontal es hacia !a derecha y el de la vertical hacia arriba.

Cualquier punto P en el plano está identificado por un par ordenado ( x , y ) de números reales asociados con él. El número x, llamado abscisa, representa la distancia dirigida desde el eje Y al punto, y el número y, llamado ordenada, ia distancia dirigida desde eje X al punto. Ambos números constituyen las coordenadas dei punto P y se simboliza P(x , y) o P = (x , y). El modelo para su representación se llama sistema coordenado rectangular o plano cartesiano y se le simboliza por Rr, esto es

R1 = { (x , y) ¡ x e y son números reales }

Los puntos A y B son, respectivamente, las proyecciones del punto P sobre los ejes X e Y. Sobre el signo que asumen las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes del plano se indica en la Figura 1.8.

En seguida dos afirmaciones que nos permiten identificar cada punto del plano cartesiano con los elementos del mismo.

a) A cada par de números reales (x , y) le corresponde uno y solamente un punto P del plano coordenado.

www.freelibros.com

Sección 1.5: Distancia entre dos punios 13

FIGURA 1.8

b) Recíprocamente a cada punto P del plano le corresponde uno y solamente un par de coordenadas (x , y).

La localización de un punto en el plano por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto. Por ejemplo, para trazar el punto P(-4,5), señalamos primero el punto A sobre el eje X, cuatro unidades a la izquierda del eje Y, luego el punto B, sobre el eje Y, cinco unidades arnba del eje X. La intersección de las paralelas a ambos ejes trazados de los puntos A y B localizan al punto P. (Figura 1.9)

I OBSERVACION 1.2Todos los puntos situados sobre una recta paralela al eje Y tienen la misma coordenada x , y todos los puntos sobre una recta paralela al eje X tienen la misma coordenada y. Así, los puntos A (2 , l ), B(2 ,4), C(2 , -3) están sobre una línea vertical, y los puntos D(-3 , 3), E(0 , 3), F(5 , 3) están sobre una línea horizontal.

0 9 D ISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

TEOREMA 1.2 La fórmula de la distancia

La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano A(Xj , y,) y B(x2 , y2) viene dada por la fórmula

d(A , B) = V(x2 - x,)! + (y, - y ,)2 (4)

Demostración. Sean P(x( , y) y Q (x ,, y) dos puntos cualesquiera sobre una línea horizontal. Entonces, por la Definición 1.1 :

www.freelibros.com

14 Capítulo I: Conceptos preliminar'^

¿ ( P , Q ) = | x 2 -x, I ‘ (1)Del mismo modo,-si M (x , y r) y N(x , y,) son dos puntos cualesquiera sobre una línea vertical, entonces

d(M . N) = I y2 - y , ! (2)Consideremos ahora A (x ,, y,) y B (x ,, y2) dos puntos cualesquiera en el plano (Figura 1.10). Si la recta que contiene a A y B no es paralela a ninguno de los ejescoordenados, dibujamos una recta que pase por A paralela al eje X y una recta que pase por B paralela al eje Y, si C es el punto de intersección de estas paralelas, sus coordenadas, según la Observación 1.2, son (x2, y,).Luego, por el Teorema de Pitágoras :

I ÁB 12 = IÁC 12 + I CB I :Pero, por (1) y (2):

I AC I = I x, - x, I , I CB | = I y2 - y, I c=> I ÁB 12 = (x2- x ,)2 + (y2 - y ,)2 Por lo que :

d (A , B) = V(x2 - x ,)2 + (y2 - y ,)2

□ E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S

( EJEM PLO 1 ) La abscisa dé un punto es -6 y su distancia al punto A(1 ,3) es V74. Hallar la ordenada del punto.

Solución. Sqa P(-6 , y) el punto cuya ordenada se desea conocer.Si d (A , P) = V74 <=* V(-6 - 1)2 + (y - 3)2 = V74 (Teorema 1.3)

Elevando al cuadrado ambos extremos de esta ecuación obtenemos 49 - (y - 3)2 = 74 <=> (y - 3)2 = 25 <=> y - 3 = 5 ó y - 3 = -5

« - y = 8 ó y = -2 Q

[E JE M P L O 2 j Demostrar mediante la fórmula de la distancia que los puntos A(-3 , 10) , B(1 , 2) y C(4 , -4) son colipeales, es decir, que

están sobre una misma línea recta.

Demostración. Si A, B y C son puntos colineales, entonces por el Teorema de Chasles, se debe verificar que : I AC I = ! AB I + I BC I

www.freelibros.com

Sección 1.5: Distancia entre dos punios 15

En efecto, por la fórmula de la distancia, tenemos :I ÁC I = V(4 + 3)2 + (-4 - I0)2 = 7 V5 I ÁB I = V(1 + 3)2+ (2 - 10)2 = 4 VJ |BC| = V(4 - l )2 + (-4 - 2)2 = 3 <5

Dado que : 7 V5 = 4 V5 + 3 \5 I ÁC I = I ÁB I + I BC |

V v O '

K , > > /a ' '

□

r EJEMPLO 3 J Hallar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos A(4 , 3), B(2 , 7) y C(-3 , -8).

Solución. Sea P(x , y) el punto que equidista de los puntos A, B y C. Entonces se debe verificar que :

s j d( A , P) = d( B , P) = d(C , P)Si d(A , P) = d(B , P) => V(x - 4)2 + (y - 3)2 = V(x - 2)2 + (y - 7)J <=> x - 2y + 7 = 0 (1)Si d(B , P) = d(C , P) <=> V(x - 2)’ + (y - 7)! = V(x + 3)2 + (y + 8)2 <=> x + 3y + 2 = 0 (2)De (1) y (2), por simultáneas, se obtiene las coordenadas del punto buscado, esto e s , x = 5 , y = -1 , oseaP(5 , - l ) Q

( EJEMPLO 4 ) Demostrar que el triángulo de vértices A(4 , 7), B(-1 , -8) yC(8 , -5) es un triángulo rectángulo. Hallar el perímetro y su

área.

Demostración. Si A, B y C son los vértices de un triángulo rectángulo (Figura 1.11), entonces por el Teorema de Pitágoras se debe verificar que :

I ÁB 12 = I BC12 + IC A 12 En efecto, por el teorema de la distancia, se tiene :I ÁB I = V(-l - 4)-’ + ( - 8 - 7)2 = V25Ó = 5 VTo I b c ! = V(8 + l )2 + (-5 + 8)2 = V90 = 3 VToI CA I = V(4 - 8)2 + (7 + 5)2 = VÍ6Ó = 4 v'lO Dado que : (y¡250)2 = (V90y + (VTóO)2

| AB 12 = I BC 12 + I CA |2

Perímetro del AABC:2p = (5 + 3 + 4) VÍO = 12 VIO

a(AABC) = —[ I BC I ) ( I CA I ) = |(3 V l0 ) ( 4 ^ ) = 60 u2

I Nota. Aunque la Figura 1.11 no era esencial para resolver el ejemplo 4, se recomienda al lector que maneje figuras auxiliares al resolver problemas.

www.freelibros.com

16 Capitulo I . Conceptos prp/,,, (

( EJEM PLO 5 J Demostrar que elêoádrilátero cuyos vértices son A(-6 -2 ) B(-2 , -1), C(-1 , 3), D(-5 , 2) es un rombo. Hallar su área

Demostración. Debemos probar que I AB I = I BC I = I CD | = i DA I y I AC ! ^ | Bf> En efecto, por el Teorema 1.3

) AB | = V(-2 + 6)2 + (-1 + 2)- = VÍ7

I BC I = V(-l + 2)2 + (3 + l ) 2' = \rf7

ICD I = V(-5 + \y+ (2-3): = Vj7 ! DA I = V(-6 + 5)2 + (-2 - 2)2 = VT7 IÁC I = V(-l +6) ’ +(3 + 2)J = 5 VI

IbdI = V(-5 + 2)-’ + (2 + 1)“' = 3 VI Por lo que :IÁB I = I BC I = I CD I = I DA I y I ÁC I ^ BD

C E J E M P L O 6 ^ Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(3 , 1) y B(-1 , -1). hallar las coordenadas del tercer vértice.

Solución. Sean (x , y) las coordenadas del tercer vértice CPara que el triángulo sea equilátero es necesario que I AB I = I BC I = ICA |

I ÁB I = V(-1 - 3)2 + (-1 - l )2 = 2 V5

De I ÁB I = I BC I : 2 V5 = V(x + 1)2 + (y + 1)’-

o x2 + y2 + 2x + 2y = 18 (1 )

De | ÁB I = i CÁ | : 2 V5 = V(x - 3)2 + (y - l )2

c=> x2 + y2 - 6x - 2y ) = 10 (2 )Restando (1) - (2) se obtiene

2x + y = 2 ■=> y = 2 - 2 x (3)Como se sabe, (3) representa la mediatriz del segmento AB. Sustituyendo (3) en (1) se tiene : x2 + (2 -2x)2 + 2x + 2(2 - 2x) = 18 <=> x2 - 2x - 2 = 0

de donde : x, = 1 - VI ó x, = 1 + VIValores que sustituidas en (3) dan :

y, = 2 VI ó y, = -2 VI Hay , por lo tanto, dos soluciones : C(1 - VI , 2 VI) ó C’(l + VI , -2 VI) □

www.freelibros.com

Sección 1.5: Distancia entre dos puntos 17

f EJEMPLO 7 ) Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 3^5, son A(10 , -8) y B(7 , 1). Determinar las coordenadas

del centro de ésta.

Solución. Sea C(x , y) el centro de la circunferencia

d(A , C) = d(B , C ), por ser radios => \/(x - 10)2 + (y + 8)2 = V(x - 7)2 + (y - l )2,de donde x = 3y + 19 (1)Dado que : IBCI = 3^5 «=> V(x - 7)2 + (y - l )2 = 3^5

*=> x2 + y2 - 14x - 2y + 5 = 0 (2)Resolviendo, por simultáneas (1) y (2), obtenemos

C(13 , -2) ó C(4 , -5) □

( EJEMPLO 8 J Determinar el punto Q simétrico al punto P(-1 , 6) con respecto a la recta que pasa por los puntos A(-5 , -1) y B(3 , 3)

Solución. Como se sabe la recta que pasa por los puntos A y B es mediatriz del segmento de extremos P y Q, pues ambos están a la misma distancia de

dicha recta. En consecuencia I AP| = IAQ | ■=> V(-l + 5)2 + (6 + 1 )2 = V(x + 5Y + (y + l )2

x2 + y2 + 1 Ox + 2y = 39 (1)I BPI = I BQ | <=> V(-l - 3)2 + (6 - 3)2 = V(x - 3)2 + (y - 3)2

.=> x2 + y2 - 6x - 6y = 7 (2)Restando (1) - (2 )obtenemos2x + y = 3 <=* y = 4 -2 x Sustituyendo este valor en (2 ) , se tiene : x2 + (4 - 2x)2 - 6x - 6(4 - 2x) = 7 o x2 - 2x - 3 = 0

<=> x = 3 ó x = -1Dado que x = -1 es la abscisa de P, entonces x = 3 es la abscisa de Q , luego y = 4 - 2(3) = -2 . Por lo que , Q = (3 , -2). CD

I OBSERVACION 1.3 En un sistema coordenado rectangular, la proyección de un segmento AB, de extremos A (x , , y,) y B(x2, y2), sobre el eje

OX se indica con el símbolo X = ProyxAB , y la proyección sobre el eje OY, con el símbolo Y = ProyecAB.Ambas proyecciones pueden calcularse por las fórmulas

X = x2 - x, (5)

Y = y2 - y , (6)

\:

>

\CL

V__

___

\V ^ R ( 3 ,3)

• ^ V s . - T T ~V

' " " T I " A - ~ OQ(x.y)

, VFIGURA 1.15

www.freelibros.com

18 Capitulo 1: Conceptos preliminares

Si a es el ángulo de inclinación del seg- mentó AB con respecto al eje pos itiv tí'bx . y d = d(A , B) , las fórmulas

X = d Cos a Y = d Sena (7) expresan las proyecciones de un segmento arbitrario sobre los ejes coordenados mediante su longitud y su ángulo de inclinación o ángulo polar a. De las ecuaciones (7) se deducen las fórmulas

d = dX2 + Y3 Cosa = X Sena =

FIGURA 1.16 Y

VX2 + Y2(8)

dX2 + Y2

que expresan la longitud y el ángulo polar del segmento mediante sus proyecciones sobre los ejes coordenados. □

( e j e m p l o 9 ) Dadas las proyecciones del segmento AB sobre los ejes coordenados X = 5 , Y = -4 ; hallar las coordenadas de su extremo,

sabiendo que su origen está en el punto A(-2 , 3)

Solución. Haciendo uso de las ecuaciones (5) y (6) tenemos :X = x -x , •=> 5 = x, - (-2) ■=* x , = 3

j- B(3 , -1)Y = y - y c* -4 = y2 -(3) =* y = - l □

( e j e m p l o 1 0 ) La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto M(3 , -2), la proyección sobre el eje de abscisas es igual

a -12. Hallar las coordenadas del extremo de este segmento, si forma con el eje de ordenadas : a) un ángulo agudo , b) un ángulo obtuso.

Solución. Supóngase que N = (x2 - y2)Si X = -12 => x2 - x, = -12

y como x, = 3 => x, = 3 - 12 = -9 | MN 1 = 13 «=> V(-9 - 3)2 + (y2 + 2)2 = 13 , de donde :(y, + 2)2 = 25 « y2 + 2 = 5 ó y2 + 2 = -5

o y2 = 3 ó y2 = -7 Luego, los puntos buscados son :

a) N(-9 , 3) , b) N’(-9 , -7) □

fNc

Y j "Ni

N’<v

<3 "1 >X1

-JFIGURA 1.17

www.freelibros.com

EJERCICIOS : Grupo 2 19

EJERCICIOS: Grupo 2

1. Hallar la distancia que separa a los puntos A y B. escribir el resultado en la forma más simplificada posible.

a) A(m , n ) , B (m- 1^ , n + ^ ^ ) b) A(Sena , C osa ), B(- Sen(3, CosP)

2 . La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5 , -2 ) es 2V4T; liailar la abscisa del punto. (Guía: Ejemplo 1). v •=• /

3. Determinar el valor de b si la distancia entre los puntos A(7 , 1 ) y B(3 , b) es 5.

4. Usando la fórmula de la distancia, demostrar que los puntos dados son colineales (Guía: Ejemplo 2). a) A(-2 ,-5) , B(1 ,-1) , C(4 , 3)

5. Determinar la naturaleza de cada uno de los siguientes triángulos cuyos vértices son los puntos dados. (Guía: Ejemplo 4)a) A(-5 , 3 ), B(3 , 2 ), C(-1 ,-4) c) A(3 ,1) ,B( -1 , -1 ) , C ( 1 - , 2 V3)b) A(2 , -1) , B(6 , 7) , C(-4 , -3) d) A(6 , 5 ), B(3 , 7 ), C(2 , -1)

6. Hallar las coordenadas del punto P que equidista de los tres puntos dados (Guía: Ejemplo 3). a) A(-11 , 3) , B(6 , 10) , C(1 , 11)

b) R(2 , 3 ), S(4 , -1), T(5 , 2)

7. Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son A(-8 , -3), B(-2 , 6) , C(8 , 5) y D(2 , -4) es un paralelogramo. (Guía: Ejemplo 5. Lados iguales dos a dos y diagonales de diferente longitud).

8 . Demostrar que el cuadrilátero con vértices en A(-2 , -1), B(5 , -4), C(-1 , -18) y D(-8 , -15) es un rectángulo. (Guía: Ejemplo 5. Lados iguales dos a dos y diagonales de igual longitud).

9. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A(2 , -1) y B(-1 , 2) y los lados iguales miden cada uno unidades, hallar el vértice opuesto al lado desigual. (Guía: Ejemplo 6).

10. Hallar un punto sobre la gráfica de SB = {(x , y) | x - 3y - 9 = 0} que equidista de los puntos A(3 , 3) y B(8 , -2)

11. Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 5, son A(2 , 6) y B(1 , -1). Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia.

12. Dos vértices de un triángulo equilátero son los puntos A(1 , 0) y B(-1 , 2^3). Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Guía: Ejemplo 6).

www.freelibros.com

20 Capitulo I: Conceptos preliminares

13. Dados tres vértices A(3 , -7) , B(5 , -7) , C(-2 , 5) de un paralelogramo ABCD, cuyo cuarto vértice D es opuesto a B, determinar las longitudes de las diagonales de este paralelogramo.

14. El lado de un rombo es igual a 5V10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P(4 , 9) y Q(-2 , 1) Calcular el área de este rombo.

15. Los puntos A(-\3 . 1 ) . B(0 , 2) y C(-2\;3 , 2) son vértices de un triángulo. Calcular su ángulo externo con el vértice en el punto A (Sug. Calcular las longitudes de los lados del triángulo y luego aplicar la ley de los cosenos).

16. La longitud del segmento MN es igual a 17, su extremo está en el punto N(-7 , 3) y la proyección sobre el eje de ordenadas es igual a 15. Hallar las coordenadas del origen de este segmento, si se sabe que forma con el eje de abscisas ,a) un ángulo agudo , b) un ángulo obtuso. (Guía: Ejemplo 9).

17. Hallar en el eje X un punto M, cuya distancia hasta el punto N(2 , -3) es igual a 5.

18. Dados los puntos M(2 , 2) y N(5 , -2), hallar en el eje de abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto.

19. Por el punto M(1 , -2) se ha trazado una circunferencia de radio 5 , tangente al eje X. Determinar el centro de la misma.

20. Determinar las coordenadas del punto P, simétrico al punto Q(1 . 2) con respecto a la recta que pasa por los puntos A(-1 , 0) y B(-1 , -2). (Guía: Ejemplo 8).

21. Los vértices de un triángulo son : A(-3 . 6) , B(9 , -10) y C(-5 , 4). Hallar el centro C y el radio r de la circunferencia circunscrita en él. (Guía: Ejemplo 3).

D IV IS IO N DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Sean A ( x , y,) y B (x . , y,) dos puntos del plano que determinan el segmento dirigido AB. Trataremos de hallar las coordenadas x e y de un punto P que esté contenido en él o en su prolongación, de modo que divida a éste es una razón dada, esto es :

M = r (1)Para determinar x , por los puntos A , P y B tracemos perpendiculares al eje X , tal como se indica en la Figura 1.18. Llamemos a los pies de estas perpendiculares C , Q y D respectivamente.

www.freelibros.com

Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada 21

Por la geometría elemental sabemos que tres rectas paralelas determinan sobre dos secantes segmentos proporcionales. Esto es

AP CQ PB QD

Dado que CQ = x - \t y QD = x2 - x , entoncesAP _ x - X, m

PB x, - xLuego, de (1 ) y (2) se sigue que :

x - xl _ x, + r x2 r * -1Xj- x i + rDe manera semejante, podemos comprobar que

y . + r y2+ r r * - l

Hemos demostrado pues el siguiente teorema.

FIGURA 1.18

TEOREMA 1.4 Si A ( x , , y,) y B (x ,, y2) son los extremos de un segmento diri- rigido AB , las coordenadas de un punto P(x , y) que divide a

este segmento en la razón dada , r = , son :

x =x, + r x,

1 + r ’ y 1 + ra) Si r > 0 , el punto P es interno al segmento dirigido ABb) Si r < 0 , el punto P es externo al segmento dirigido AB

_ y, + r y2 t * - l (5)

Para el caso particular en que r = ) tenemos el siguiente corolario.COROLARIO Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos

extremos son A(x, , y,) y B(x2 , y2) están dadas por :

x = i ( x , + x2) , y = I ( y , + y2) a (6)

□ E JE M P L O S IL U S T R A T IV O S ñ ♦ - 1

( EJEM PLO 1 ) El segmento que une A(-2 , -1) con B(2 ,2) se prolonga hasta C. Sabiendo que BC = 3AB , hallar las coordenadas de C.

Solución. Resolveremos el problema por dos métodos.

www.freelibros.com

22 Capítulo!: Conceptos preliminares

Método 1. Consiste en hacer uso de las"éGuaciones (5) del Teorema 1.4

AComo el punto C(x , y) está en la prolongación de AB , entonces r = - 4/3 , luego :

„ _ x, + r x2 -2 + (-4/3)(2) _ ~ T T T ~ 1-4/3 " ,4

y = Y, + r Y, _ -1 +(-4/3)(2) } C(14 , 11)

1 + r 1-4/3

Método 2. Consiste en escribir directamente la razón dada y hacer uso del Teorema 1 .2 , esto es , s i :

BC = 3 ^ xc - xB _ yc - yB _ 3 _ x - 2 _ y - 2 _AB xB- x A yB- y A 2 - (-2) " 2 - (-1)de donde : x = 14 , y = 1 , por lo que C( 14 , 1 1 ) IZ1Es evidente que este método es mucho más práctico que el anterior, pues aquí no es necesario conocer, de antemano, el signo de la razón y recordar las fórmulas del Teorema 1.4.

( EJEM PLO 2 ) Hallar los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos A(-5 , 3) y B(4 , 21).

Solución. Sean P y Q los puntos de trisección del segmento AB. Entonces s i :

ap _ i . . Xi> - xA yp - y a i .PB ~ 2 xB - xp yB - y„ 2 j 1 * r 1

x - (-5) _ y - 3 1 A p Q B^ 4 - x 21 - y 2 - 'i ? ) \

de donde : x = -2 , y = 9 , por lo que P(-2 , 9)Q es punto medio de PB , entonces, según las ecuaciones (6), tenemos :

x = | ( -2 + 4) = 1 , y = 1 (9 + 21)= 15 . Porto tanto : Q (1 , 15) □

\Jv'VJSKi

( EJEM PLO 3 ) Si A es punto medio del segmento cuyos extremos son Q (-5 ,2) y R(1 , 6) y B es el punto que está a una tercera parte de la

distancia que separa a S(-2 , 6) de T(1 , 9), hallar la d(A , B). >.

Solución. Si A es punto medio de QR => a ( — <=> A(-2 , 4)

Sean (x , y) las coordenadas de B.

www.freelibros.com


s¡ — ^/3 _ ^ - Xs _ v y s _ tB T “ 2/3 " 2 ~ yT - y ¡ - 2 |*--------1/3 ------- +------------------- 2/3------------------i

o----------------o oX - (-2) _ y -6 _ J_ S B T

1 - x 9 - y 2

de donde obtenemos : x = -1 , y = 7 <=> B (-l , 7)

d (A , B) = V (-l + 2)2 + (7 - 4)2 = VTÓ □

( EJEMPLO 4 ) Sean los puntos A(-1 , -2) y B(0 , 0 ), y sea r la razón en que elpunto P(a , b) de la gráfica de SU : 2y = 4 + x , divide al segmen

to AB . Hallar el valor de r y las coordenadas de P.

Solución. Si P(a , b) e SÉ ■=> 2b = 4 + a => b = - i (4 + a) (1)AP Xp - xA _ Vp - yAPB xB - x,, y , - yp

V = b j ^ ) , de donde : b = 2a (2)0 <J[ ) 0 - b

Al resolver, por simultáneas, (1) y (2) obtenemos : a = 4/3 y b = 8/3

Por lo que : P(4/3 , 8/3) y r Á - ~L □

( EJEMPLO 5 ) Hallar las coordenadas del punto P que está a 3/5 partes de la distancia de A(7 , 4) a B(-3 , 2). Si M es el punto medio de AB,

calcular la d{P , M).

Solución. Sea r = * 1 --------------- (■-----------------3/5-----------------1— - 2/5 iPB 2/5 2 o------------------------- »— o o

A M P BXp - xA _ Yp - Ya _ _3 xb - xp y„-yr 2 /

■=> = y —- = > de donde : x = 1 , y = 14/5 >=> P(1 , 14/5)

M es punto medio del segmento AB ■=> <=> M(2 , 3)

d(P , M) =V(2- l )2 + (3 - 14/5)2 _ V26 □5

( EJEMPLO 6 ) El segmento de extremos A(-2 , 4) y B(1 , 0) es dividido por los puntos P y Q en las razones -3/2 y -2/3 respectivamente. Hallar

la d (P , Q).

www.freelibros.com

24 Capítulo I: Conc¿p!(,s preliminares

Solución. Como las razones son negativas, los puntos P y Q se encuentran en la prolongación del segmentó AB. Luego , si P = (x , y ) , y

AP _ _3 xP- x A _ yP- yA _ 3.PB ' 2 x - xp y - y 2

-oX - (2) _ y - (-4) 3 Q A B P

^ 1 - x 0 - y ' 2

de donde : x = 7 , y = 8 ■=> P(7 , 8)

x, - (-2) y , -(-4) 21 - x, 0 - y , 3

de donde : x, = -8 , y, = - 12 => Q = (-8 , -12)

d(P , Q) = V(7 + 8)-’ + (8 + 12)2 = 25 □

[E JE M P L O 7 J Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados

son M(-2, 1) , N (5 , 2 ) y P(2 ,-3).

Solución. Sean A (x , , y , ) , B(x2, y2) y C (x ,, y j las coordenadas de los vértices del triángulo. Si M , N y P son puntos medios de la lados AB , BC y AC

respectivamente, tenemos: r ,r 10 o.x, + x3 = 2(5) = 10 / ' V V M (2 )

. ‘ - A - r v j. v _ i /m - axi + x, = 2(2) = 4 (3)Sumando : 2(x, + x2 + x3) = 10 =» x, + x, + x, = 5 (4)Resolviendo (4) con (1), (2) y (3) obtenemos :

x, = -5 , x2 = 1 , x, = 9 Análogamente para las ordenadas tenemos :

y , + y 2 = 2(1) = 2y 2 + y, = 2(2 )= 4 y, + y, = 2(-3) = -6

Sumando : 2(y, + y2 + y,) = 0 ■=> y, + y, + y, = 0 Resolviendo esta última ecuación con las tres primeras resulta : y, = -4 , y 2 = 6 , y, = -2Por lo que, los vértices son :

A(-5 , -4) , B(1 , 6) y C(9 , -2) O

www.freelibros.com


(/E JEM PLO 8 ) En el triángulo de vértices A(x, , y,) , B(x2 , y2) y C(x3 , y3) demostrar que las coordenadas del baricentro G(x , y) son :

x = ^ (x , + x2 + x3) , y 1(y, + y 2 + y 33 \J 1 1 . '2 ' > 3 /

Demostración. En efecto, por la geometría elemental, se sabe que las medianas de un triángulo se cortan en un punto, llamado baricentro, qui

está a una distancia 2/3 del vértice y a 1/3 de la base. (Figura 1.20)

Luego :

r - AC = =2GD 1/3X G ' X A 1 0 > 1

X D ” X G

1 1

Cl

1

X - X, y-y2 + y3

= 2-y

' ' f o-V c i

2 2 de donde obtenemos:

x = { (x , + x2 + x3) , y = -^y, + y, + y,)V fix r-S

( EJEMPLO 9 ) Si G(2 , 3) es el baricentro de un triángulo ABC y G,(4 , 6) , G2(3 , -1) son los baricentro de dos triángulos formados unien

do G con los vértices A, B y C; determinar las coordenadas de estos vértices.

Solución. Sean A(x , , y , ) , B(x2 , y2) y C(x3 , y3) las coordenadas de los vértices del triángulo

Según las fórmulas obtenidas en el ejemplo anterior: x, + x2 + x, = 3(2) = 6 (1)yi + y2 + y3 = 3(3) = 9 (2)

En el AAGC : 4 = y(x , + 2 + <=$ x, + x? = 10 (3)

6 = -j(y, + 3 + y,) ■=> y, + y , = 15 (4)

En el AGBC : 3 = - j(x 2 + 2 + x,) => x, + x3 = 7 (5)

-1 = j ( y 2 + 3 + y,) =» y2 + y, = -6 (6) FIGURA 1.21

Resolviendo (3) y (5) con (1) se tiene : x, = -1 , x2 = -4 , x, = 11y de (4) y (6) con (2) se obtiene : y t = 15 , y2 = -6 , y3 = 0

A(-l , 15) , B(-4 , -6) y C( l l ,0) □

www.freelibros.com


(EJEM PLO 10) Sea da el triángulo A( 1 ,1), B( 1 , 3) y C(-2 , -3). Hallar la longitud de los lados, el centro de gravedad y la longitud de la bisectriz

del ángulo A.

Solución, a) Longitud de los ladosIÁB I = Vfl - 1): + (3 - l ) ! = 1 I BC I = \ r(-1 - l ) ‘ + (-3 - 3)2 = 3\'5 ICÁI = V(1 + 2)3 + (1 +})> = 5

b) Coordenadas del baricentro : G(x , y)Según las fórmulas obtenidas en el Ej. 8 ;

x = I ( x 1 + x2+ x , ) = | ( 1 + 1 - 2 ) = 0

y = ^(y, + y2 + y , ) = + 3 - 3 ) = i

Por lo que : G = (0 , 1/3)RP ARc) Por el teorema de la bisectriz : crL LA

FIGURA 1.22

Luego , xp - xR y p -y By c - y.

x - 1-2 - x

BP _ PC "

y - 3-3 -7

de donde obtenemos : x = 1/7 , y = 9/7 P = (1/7, 9/7)

En consecuencia : IAPI = V(l/7 - l )2 + (9/7 - l )2 = ^VTo □

(EJEMPLO 1 l ) Sea el triángulo de vértices A(6 , 7), B(2 ,1 ) y C(-1 ,3). Por el punto D en que la bisectriz del ángulo externo del vértice B

interseca a la prolongación del lado AC, se traza una paralela al lado BC; hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela interseca a la prolongación del lado ÁB.

Solución. I AB I = \'(2 - 6): + (1 - 7)J = 2\T3 I BC I = V (-1 -2)-’ + (3- 1 ): = V ñ

Por el Teorema de la bisectriz :

ÁD _ AB ^ AD _DC BC DC

Como D es exterior al segmento AC => r = -2 Luego :

x - 6• — " ¿ A — - O -N.=> D = (-8S } -1)

FIGURA 1.23

www.freelibros.com

Sección 1.6: División de un segmento en uno razón dada 27

Se sabe por geometría elemental que una paralela a uno de los lados de un triángulo, determina sobre los otros dos, segmentos proporcionales, esto es,

’ A - Is A x = - 2 - 2Si BC II PD ^ ^ » S ~8+ 1 X' l

CD BP \ -3 - 7 _ 1 -7-1-3 y - I

P = (-2 , -5) □

■=> y = - 5 -1-3 y - 1 1

( e j e m p l o 1 2 ) Se tiene un triángulo ABC. El punto P(19/3,11/3) divide al segmento AB en la relación AP : PB = 1 : 2. El punto A(13/3 , 4/31

divide al segmento BC en la relación BQ : QC = 1 : 2. El punto R(13/3 , 8) divide al segmento AC en la relación AR : RC = 2 : 1. Hallar las coordenadas de los vértices del triángulo.

Solución. Sean A(x , , y , ) , B(x2, y;) y C(x3, y,) las coordenadas de los vértices del triángulo.

19/3 - x, = _1c¡ AP _ 1 _ /Sl PB ~ 2 ~ 1 , , , , „

= i => 2y , + y 2= l l (2 )

x, - 19 /3 = 2 ^ 2x. + x< = 19 <1>

J2 2

13T M = T ■=» 2xr + x 3= 13

4/3 - y2 _ 1

“ = 2 o j X> ' 13' 3RC {13/3- X , = 2 cr» x, + 2x =13 (5)

^ = 2 <=* y, + 2y, = 24 (6)

Sumando (1) + (3) + (5) y luego (2) + (4) + (6) , obtenemos respectivamentex, + x2 + x3 = 15 (7)y, + y2 + y3= 13 (8)

Resolviendo por simultáneas (1), (3) y (5) con (7) se tiene : x, = 7 , x2 = 5 , x, = 3luego (2), (4) y (6) con (8) resulta : y, = 20/3 , y, = -7/3 , y3 = 26/3Por lo tanto : A(7 , 20/3), B(5 , -7/3), C(3 , 26/3).

www.freelibros.com


[EJEMPLO 13) Los vértices de un cuadrilátero son A(-4 , 6), B(-2 , -1), C(8 , 0)y D(6 ,11). Hallar la razón r = BP : PD en que la diagonal AC

divide a BD, donde P es el punto de intersección de las diagonales.R P A PSolución. Sean r = y r, = ^

Haciendo uso de las fórmulas (5) del Teorema í.4 se tiene :

„ _ -2 + r (6) -4 + r, (8)1 + r ~ 1 + r,

de donde : r, 5r+ 1r + 5

y =_ -1 + r ( I I ) _ 6 + r, (0)

1 + r 1 + r.

de donde : r, = 5r-1-- 1 1 - I Ir

De (1) y (2) se sigue que : 5r + 1 r + 5

5r - 7 1 - 1 Ir

■=> 5r: + 2 r - 3 = 0 o r = 3/5 ó r = -l Dado que r * -1 , entonces r = 3/5

[EJEM PLO 1 4 ) En el triángulo ABC de vértices A(-1 , 6), B(-3, -4) y C(5 , 0) cada lado está dividido en tres partes iguales: el lado AB por los

puntos D y E , el lado BC por los puntos F y G , el lado CA por los puntos H e 1. Hallar los puntos L , M y N intersecciones de los segmentos BI y CD , AF y CE , AG y BH respectivamente.

Solución. Hallemos los puntos de trisección de cada lado del triángulo

Lado A B : AD _ 1 DB 2

. => x + 1-3 - x

_ y -6 _ 1-4 - y 2

0 x = - 5/3 , y = 8/3 :D = (-5/3 , 8/3)

fc= (--5/3 - 2

3 8/3 - 1 2 w - - !>

Lado AC : AI _ 1 1C 2 - í - ’ x' *

y - 6 _ 10 - y 2

<=> x = 1 , y = 4 C=> 1 = (1 ,4)

H - ( 1 + 5 2 . 4 : ° ) = (3 ,2)

Lado BC : BF _ 1FC 2

, x + 3 _ 5 - x

y + 4 _ 10 - y 2

<=> x = -1/3 , y = -8/3 ^ F = (-1/3 , -8/3)

www.freelibros.com

Sección 1.6: División de un segmento en una razón dada

La intersección L(x , y) de las medianas BI y CD de los triángulos ABH y ACT respectivamente, determina sobre estos, segmentos proporcionales, esto es :

x + 3 _ x - 5 <=> x = 0BLLI l d \ y ± 4 = 2 J<=> v = 2

4 - y 8/3 - y JPara el punto M(x , y) y las medianas AF y EC, tenemos

x + I _ x -5 ^ x = _ 1/2AM CM MF ME

--------------------- — W A — " 1 / ¿ -n

- 1/3' X -7/3’ X \ M = (-1/2 .-1/2)= o y = . 1/2 J<=> y = - 1/2

-8/3 - y -2/3 - y Jy para el punto N(x , y) y las medianas BH y AG :

ANNG

x + ! _ x + 3 ^ x = y2

Í = - M N ^ / 7/3' x 3 ' x \ N Í (372 ,7/2)* NH \ _ ^ 6 _ = y ± 4 0 v = 1/2 / / V . J r .

-4/3 - y 2 - y ^ y 1/2

(EJEMPLO 15) En una lámina homogénea que tiene la forma de un cuadrado, de lado igual a 12, se ha hecho un corte cuadrangular (Figura

1.26), las rectas del corte pasan por el centro del cuadrado; los ejes coordena*dos están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de esta, lámina.

Solución. El centro de gravedad de una lámina homogénea es el punto de equilibrio de dicha placa. Como se sabe, la posición del centro de gravedad

de una lámina triangular es el baricentro (intersección de las medianas), el de una lámina rectangular es su centro geométrico (intersección de sus diagonales), el de un polígono regular y lámina circular es su centro geométrico, etc. Entonces para

www.freelibros.com

30 Capítulo /. Conceptos prelii uñares

hallar el centro de gravedad de una lámina homogénea cualquiera, se divide ésta en n subláminas homogéneas, todas de figuras geométricas cuyos centros de gravedad conocemos. Luego, si A, , A2 , A , An son respectivamente, las áreas decada sublámina y G ^ x , , y , ) , G,(x2, y2) , G,(x.,, y , ) ,. -Gn(xn , y j son sus respectivos centros de gravedad, entonces las coordenadas del centro de gravedad G de la lámina dada, están dadas p o r :

I x A^ i c ♦

nX a .

y G =X y , A t

¿= 1_____nX a ,

)

Por las condiciones del problema dividimos la lámina dada en tres subláminas cuadradas (Figura 1.27) cuyos centros de gravedad son G,(3 , 9) , G,(3 , 3) y G,(9 , 3). Ahora, en concordancia con las fórmulas (7) podemos escribir :

x,A, + x2A2 + x.A,A, + A2 • y c =

y,A, + y2A2 + y,A,A, ’ A, + A2 + A j

Pero como A, = A2 = = A (área del cuadrado del lado 6) , entonces :

=A(x, + x2 + X3) i

3A “ = 3 ’ (XI + X2 + X,) ■ r o - 3A - 3

Hemos obtenido así las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices G. y G, (Figura 1.27). Por lo tanto :

xG= j ( 3 + 3 + 9 )= 5 , yc = I ( 9 + 3 + 3) = 5 ^ G(5 , 5)

A(y, + y2 + y,) i . ,; = - T T — L = T (y. + *2 + y>)

□

EJERCICIOS: Grupo 3

1. Hallar las coordenadas de un punto P(x , y) que divide al segmento que determinan A y B en la relación r = AP : PBa) A(-2 , 1 ) , B(3 , -4), r = - 8/3 b) A(-5 , 2 ), B(1 , 4 ), r = - 5/3

2. Dos vértices de un triángulo son A(2 , -3) y B(-5 , 1). El tercer vértice C está sobre el eje Y y el punto de intersección de las medianas sobre el eje X. Hallar el punto C.

3. En los ejercicios siguientes, calcular los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son S y T. (Guía: Ejemplo 2)a) S(2 , 5 ), T(-10 , -1) b) S(-5 , 3 ) , T(4 , 21)

4. Sean m y n enteros positivos, demostrar que las coordenadas del punto P(x , y) que divide al segmento de recta P,P2 en la razón m/n , son :

www.freelibros.com

EJERCICIOS Grupo.! 31

x = nx' + mx* y = ny’ + my?m + n ’ y m + n

5. El segmento que une A(-1 , 2) con B(2 , -5) se prolonga hasta C(x , y), sabiendo que AC = 3 AB , hallar las coordenadas de C: (Guia: Ejemplo 1).

6. El punto A está a 2/3 de distancia de P(1 , 10) a Q(-8 , 4) y B está en el punto medio del segmento que une R(0 , -7) con T(6 , -11). Hallar la cl(A , B) (Guía: Ejemplo 5).

7. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P(2 , 5), Q(4 , 2) y R(1 , 1). Hallar las coordenadas de los tres vértices. (Guía: Ejemplo 7).

8 . Un triángulo tiene por vértices A(-1 , 3), B(3 , 5) y C(5 , -1). Por el punto E(15, 4, 11/4) del lado BC se traza una paralela a AC que corta al lado AB en el punto D. Hallar las coordenadas de D.

9. Dados los puntos P(2 , 1) y Q(5 , 3) tales que PB = 2AP , 3AQ = 4AB ; hallar las coordenadas de los puntos A y B.

10. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P(2 , 2) y Q(1 , 5).

11. Si G(3 , 4) es el baricentro de un triángulo ABC y G,(4/3 , 2 ), G2(3 ,19/3) son losbaricentros de los triángulos formados uniendo G con los vértices A , B y C; determinar las coordenadas de estos vértices. (Guía: Ejemplo 9).

12. El punto P(3, 6) es la intersección de los segmentos OA y BC . Si P divide a ambos segmentos en la misma relación y 0 (0 , 0), A(5 , 1 0 ) , B(5 , 2 ) , hallar las coordenadas del extremo C.

13. Dado el triángulo de vértices A(1 , 3), B(-2 , -3), C(3 , -1), hallar la longitud de la bisectriz trazada desde el vértice A.

14. Los vértices de un triángulo son A(2 , -5), B(1 , -2) y C(4 , 7); hallar el punto de intersección del lado AC con la bisectriz del ángulo interno el vértice B. (Guía: Ejemplo 10).

15. Los vértices de un triángulo son A(3 , -5) , B(-3 , 3) y C(-1 , -2). Determinar la longitud de la bisectriz del ángulo interno del vértice A.

16. Los vértices de un triángulo son A(-1 , -1), B(3 , 5) y C(-4 ,1). Hallar el punto de intersección de la bisectriz del ángulo externo del vértice A con la prolongación del lado BC.

www.freelibros.com


X17. Los vértices de un triángulo son A(3 , -£>), B(1 , -3) y C(2 , -2). Hallar la longitud

de la bisectriz del ángulo externo del vértice B.

18. Hallar el punto de intersección de la bisectriz del ángulo interior en B con el lado AC , del triángulo de vértices A(-2 , 2), B(2 , 5) y C(11 , -7). (Guía: Ejemplo 10)

19. Sean A(2 , 1), B(5 , 5) y C(8 , 1) los vértices de un triángulo. Si P divide a BC en la razón r = 2 y Q divide a AC en la misma razón; mostrar que R, intersección de AP y BQ, divide a estos segmentos en la razón s = 3.

20. Los vértices de un cuadrilátero son A(-3 , 12), B(3 , -4), C(5 , -4) y D(5 , 8). Hallar la razón r = BP : PD en que la diagonal AC divide a BD, donde P es el punto de intersección de las diagonales. (Guía: Ejemplo 13).

21. En el triángulo ABC de vértices A(2 , 9), B(-5 , -3) y C(5 , -1), cada lado está dividido en tres partes iguales: El lado AB por los puntos D y E, el lado BC por los puntos F y G, el lado CA por los puntos H e I. Hallar los puntos L , M y N intersecciones de los segmentos Bl y CD , AF y CE , AG y BH respectivamente. (Guía: Ejemplo 14).

22. En una lámina homogénea que tiene la forma de un rectángulo, con los lados iguales a a y b, se ha hecho un corte rectangular (Figura 1.28); las rectas del corte pasan por el centro, los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de esta lámina. (Guía: Ejemplo 15).

23. De una lámina homogénea que tiene la forma de un cuadrado de lado 2a, se ha recortado un triángulo (Figura 1.29); la línea de córte une los puntos medios de los lados adyacentes y los ejes coordenados están dirigidos por los lados de la lámina. Determinar el centro de gravedad de la misma. (Guía: Ejemplo 15).

FIGURA 1.28 FIGURA 1.29

www.freelibros.com

Sección 1.7: Pendientes de una recta 33

K Q PENDIENTES DE UNA RECTA______________________________

Dada una recta 31 en el plano R2, indicaremos su dirección por el ángulo que forma con el eje X; es decir, por la inclinación de una recta 3J se entiende el ángulo a que hace 31 con la parte positiva del eje X, medido en sentido antihorario, desd-'» el eje X al encuentro de 31 (Figura 1.30)

DEFINICION 1.2 Pendiente de una recta___________________________________

La pendiente de una recta no vertical es la tangente de su ángulo de inclinación, se denota por m , y se escribe

m = Tgacomo un enunciado simbólico.

V__________________________________ JUna recta vertical no tiene pendiente, ya que la tangente de 90° no existe. Todas las demás rectas tienen pendiente. Cuando al ángulo de inclinación es agudo (Figura 1.30a), es decir, si 0 < a < 90, la pendiente m es positiva. Cuando el ángulo de inclinación es obtuso (Figura 1.30b), es decir, si 90 < a < 180, la pendiente es negativa.Consideremos ahora una recta no vertical y seleccionemos sobre ella puntos distintos A(x, , y,) y B(Xj , y2) como en la Figura 1.31. Al movernos de A hasta B, el cambio de altura es y, - y ( (elevación) , mientras que el cambio horizontal ha sido x, - x, (desplazamiento o avance). El cociente (y, - y () / (x, - x,) es una medida de la

FIGURA 1.30

La inclinación de una recta paralela o coincidente con el eje X se define como cero. Para cualquier otra recta : 0° < a < 180°La dirección de una recta se expresa convenientemente por la tangente de su ángulo de inclinación, por lo que establecemos la siguiente definición.

a) 0 £ a < 90“ b) 90“ < a S 180°

www.freelibros.com


inclinación de la recta, de modo que

m - elevación _ y¡ ~ y¡ desplazamiento x2 - x,

TEOREMA 1.5 La pendiente m, de la recta no vertical que pasa por los puntos A ( x , , y,) y B(x2 , y2) es :

m :

Demostración. En efecto, sean los puntos A , B y Q la intersección de una horizontal por A con una vertical por B, cuyas coordenadas se muestran

en la Figura 1.31.En a), la inclinación de la recta es el ángulo a, y como a = 9, entonces, Tga = Tg0 , de modo q u e :

= o)AQ * 2 -x,

La inclinación de la recta en la Figura 1.31b es el ángulo obtuso a, y como a y 9 son suplementarios, se deduce que :

Tga = - Tg0 =

= |2)X, -X2 X j-X ,

Por tanto, de (1) y (2) vemos que la pendiente de una recta que pasa por A y B es :y2-y.m =

a) Recta con m > 0 b) Recta con m < 0

• y j

y.) Q(*i • y.)

FIGURA 1.31

www.freelibros.com

Sección 1.8. Recias paralelas y perpendiculares 35

C T 1 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

(TEOREMA 1.6 Pendientes de rectas paralelas

a

y Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si, sus pendientes son iguales. Esto es :

á? 11 .2? <=* m, = m2 (9)v s ' J

Demostración. En efecto, es claro, como se muestra en la Figura 1.32 que si dos rectas son paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, pe

tanto, si2?||.2? a, = o, y Tga, = Tga2 (1)

Recíprocamente e sigue de la ecuación (1) que dos rectas ,2? y ^ no verticales tienen la misma pendiente y que dos rectas con la misma pendiente son paralelas, esto es, si

m, = m2 .=> .2? || á?2 (2 )esto completa la demostración del teorema. Q

TEOREMA 1.7 Pendientes de rectas perpendiculares

Dos rectas ^ y 5? con pendientes m, y m? son perpendicularessi sólo si

m( .m2 = -l (10)Es decir, la pendiente de cada una es el negativo del recíproco de la pendiente de la otra.

FIGURA 1.33FIGURA 1.32

www.freelibros.com


Demostración. Si las rectas JZ? y S2, son perpendiculares, entonces a, y a , difieren en 90s. En efecto, por el punto de intersección de 3/ y 5?, dibuja

mos una recta horizontal como se muestra en la Figura 1.33, en donde se observaque a2 = a t + 90°. Por tanto, si

1 % => Tga2 = Tg(oc, + 90°) = - Cotg«, = -

esto es, si 31. ± ,5?. ■=> m = - >=> m. . m, = -1 (1)i 2 2 m , 1 2

Recíprocamente, si m2 = --|J- ■=> Tga2 = -C otga i , y oc2 = a, + 90°

es decir ,s i ml . m ¡ = - 1 =» J ? ,l (2 )En consecuencia, de (1) y (2), se sigue que :

« m m = - l □


( EJEM PLO 1 j Demostrar que los puntos A(1 , -1), B(3 , 2) y C(7 , 8) son colineales en dos formas : a) Usando la fórmula de la distancia, b)-

Usando pendientes.

Demostración. En efecto, haciendo uso de las fórmulas (4) y (8) tenemos :a) Por distancias : b) Por pendientes

I ÁB I = V(3 - 1)2 + (2+ 1 )2 = V n m _ 2+ 1 _ 3*B 3 -1 2I BC I = V(7 - 3)2 + (8 - 2)1 = 2VT3

I ÁC I =V(7- l )2 + (8 + 1)’- = Como : 3VI3 = 2VT3 + V ñ

=> | AC I = I ÁB I +1 A , B y C son colineales

AC I = V(7 - l )2 + (8 + 1)- = 3VÍ3 mBC = = |

m - 8 + 1 - 3| AC I = I AB I + I BC I m* c " 7 -1 ~ 2

A , B y C son colineales

( EJEM PLO 2 ) Un punto P(x , y) equidista de los puntos A(-2 , 3) y B(6 , 1), y la pendiente de la recta que une dicho punto a C(5 , 10) es 2.

Hallar sus coordenadas.

Solución. Si P(x , y) equidista de A y B, entonces d(A , P) = d(B , P), por lo que :V(x + 2)2 + (y - 3)2 = V(x - 6)2 + (y - l )2 => 4x - y = 6 (1)

V - 10Dado que mcp = 2 ■=> x ^ = 2 « 2x - y = 0 (2)

www.freelibros.com

Sección 1.8: Rectas paralelas y perpendiculares 37

Resolviendo por simultáneas (1) y (2) obtenemos : x = 3 , y = 6P = (3 , 6) □

( EJEM PLO 3 ) Si la recta ^ que contiene a los puntos A(a , 2) y B(0 , 2a) esparalela a la recta 3tv que contiene a los puntos C(-a , 3) v

0(1 , -2 a ) , hallar el valor de a.

Polución. Si A y B 6 ■=> m, = m ^ = 2a ' 2U - 3

C y D e 3 => m2 = mCD =

Luego, por el Teorema 1.6 : 11 &2 <=> m, = m2 ■=> 2? a 2 = 3~a 2a

de donde : a = - 2/3 O

( EJEM PLO 4 ) Si la recta ^ que contiene a los puntos A(1 , -2 ) y B(3 , a) es perpendicular a la recta que contiene a los puntos C(-3 , 1)

y D(a , 4), hallar el valor de 5m, + m2.

Solución. Si A y B e ■=> m ,= a * 2 (1)

C y D e .2? => m2 = G - ^ (2)

Si ^ ± se2 <=> m, . m2 = - 1 1=» (-y y ) (g-G-y) = - 1 , de donde a = - 12/5

Sustituyendo en (1) y (2) obtenemos : m, = - 1/5 , m2 = 55m, + m2 = 4 Q

( EJEM PLO 5 ) Demostrar que los puntos A(-1 , 3), B(5 , 0), C(7 , 4) y D(1 , 7) son los vértices de un paralelogramo.

Solución. En efecto, por el Teorema 1.5, tenemos :

m = ^ G = . ! m = ± J = . lAB 5+1 2 ’ ^ 7 -1 2

Dado que m ^ = m^. ■=> AB 11 DC Del mismo modo, para los lados ÁD y BC, se tiene :

mAD= f n = 2 ’ mBc= 7 T 3 = 2 Como mAD = mBC <=> AD i I BCPor lo tanto, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo. FIGURA 1.34

www.freelibros.com


Obsérvese que las pendientes de los lados AB y DC son cada una el negativo del recíproco de las pendientes de los lados AD y BC, por lo que el cuadrilátero ABCD tiene lados opuestos paralelos y dos lados adyacentes perpendiculares y concluimos que ABCD es también un rectángulo. Q

l EJEM PLO 6 ) Una recta de pendiente m = 7/3 pasa por el punto A ' 1 2 );hallar las coordenadas de dos puntos sobre la recta c n

V58 unidades de A.

Solución. Sea P(x , y) uno de los puntos buscados

Si ^ i r f = i ** y - 2 = i ( x - '> w

Se sabe además que d(A , P) = V58 ■=* V(x - 1 )2 + (y - 2)J = V58 Teniendo en cuenta (1) y elevando al cuadrado obtenemos :

( x - l ) - + 4p (x - l )2 = 58 =* (x - 1)2 = 9' ' 9 ' q a P

» x - l = 3 ó x - l = - 3 o--------------------- — ------- °. . h------ 458------ +-------V58------- i» x = 4 o x = -2

Sustituyendo en (1) se tiene : y = 9 ó y = - 5Por lo tanto, los puntos requeridos son : p(4 , 9) y Q(-2 , -5) d

l E J E M P L O 7 J El punto A(-2 , 1) es el vértice correspondiente al ángulo recto de un triángulo rectángulo isósceles. El punto P(1 , 4) divide al

cateto AC en la relación AP : AC = 1 : 2. Hallar las coordenadas del vértice B.

Solución. Sean los vértices B = (x , y) y c = (x, , y t)

- <-2) _ 4 - I _ J_y . - i

Si AP = 1 0AC 2 x, - (-2) y, - 1 2

de donde obtenemos : x, = 4 , y, = 7 *=> c = (4 , 7)Como el AABC es isósceles ■=> | AB I = | a c j . es decir

V(x + 2)2 + (y - l )2 = \'(4 + 2)! + (7TJp =» (x + 2)2 + (y - l )2 = 72 (1 )

Pendiente de AC : m, = 7 - 14 + 2— V - 1Pendiente de AB : m, = ——-

2 x + 2Si AC ± AB <=> m, . m,

= 1

Y j

4

A

S __________ r }

’ 1 1 1 1 1 1

-2 \

v______

1

J

=> y - i = - (x + 2) (2)FIGURA 1.35

Sustituyendo (2) en (1) se tiene : (x + 2)! = 36 « x + 2 = 6 ó x + 2 = - 6

www.freelibros.com

Sección 1.8: Rectas paralelas y perpendiculares 39

o x, = 4 ó x, = - 8

Luego, en (2): y, = - 5 ó y2 = 7Por lo tanto, hay dos soluciones : B(4 , -5) o B(-8 , 7) □

( EJEM PLO 8 J Sean A(-2 , 1 ) y B(4 , 7) los vértices de un triángulo ABC ; sabiendo que las alturas se cortan en el punto P(4/3 , 5/3), hallar

las coordenadas del vértice C.

Solución. Sean (x , y) las coordenadas del tercer vértice C.

De la Figura 1.36 obtenemos lo siguiente :

7 - (5/3)_ (5/3) -1 = I *>■ (4/3) + 2 5

Si AP _L BC <=> mBC =

Si PB _L AC « mAC = •

4 - (4/3)

. y -7

= 2

= -5 mAP x - 4

.=> 5x + y -2 5 = 0 (1)

1 — y - 1 _ 1mpB x + 2

c=» x + 2y = 0 (2 )Resolviendo, por simultáneas , (1) y (2) obtenemos :

x = 6 , y = -3 <=> C = ( 6 , - 3 ) □

r 7

i

h - b

x / t i

W / 1 1X / i 1r / i 1

-----\ í 1

*2 0

-3L

4 1 ; >x■ 1 i i

rí

FIGURA 1.36

( EJEMPLO 9 ) Dado el triángulo de vértices en A(-10 , -13), B(-2 , 3) y C(2 , 1 );hallar la longitud de la perpendicular bajada desde el vértice B

a la mediana trazada desde el vértice C.

Solución. Si M es punto medio de AB , entonces

M = ( ^ ^ , (-6,-5)

Los puntos M, P y C son colineales, luego :

- 1 +5x + 6

Pendiente de MC : mu

Si BP1M C « mMP = -

1 + 6

. 1 + 5 ‘ 2 + 8

1

■=> 3x - 4y = 2 (1)

y - 3 _ 4mMC x + 2 3

=» 4x + 3y = 1 (2)Resolviendo, por simultáneas, (1) y (2) obtenemosx - 2/5 , y = - 1/5 ■=> P = (2/5 , - 1/5)

I BPI = V(2/5 + 2)2 + (- 1/5 - 3)2 = 4

FIGURA 1.37

□www.freelibros.com

40 Capítulo h: Conceptos preliminares

(E J E M P L O 1 0 ) Los puntos A(1 . 1), ¡3(5 , -2) y C(3 , 4) son tres vértices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto

vértice.

Solución. El problema admite tres soluciones : los paralelogramos ABCD , AD’BC y

ABD"C. Como AB 11 DD” , Á C 11 D’D” y BC 11 D’D, los puntos A, B y C constituyen los vértices de un triángulo mediano, es decir, son los puntos medios de los lados del triángulo fundamental DD’D” . En consecuencia, para resolver el problema, usaremos el método empleado en el ejemplo 7 de la página 24, esto es, sean D = (x, , y,),D’ = (x2, y,) y D" = ( x , , y,) las coordenadas del cuarto vértice , entonces :x , + x , = 2 (l ) = 2

x2 + x3 = 2(5) = 10

x,-+ X, = 2(3) = 6

y, + y2 = 2( 1) = 2

y2 + y, = 2(-2) = - 4 y, + y, = 2(4) = 8 FIGURA 1.38

Sumando miembro a miembro cada una de estas ecuaciones tenemos :2(x, + x2 + x,) = 18 , 2(y, + y, + y3) = 6

=> x, + x2 + x, = 9 , y, + y2 + y, = 3Finalmente, resolviendo por simultáneas, estas ecuaciones con las anteriores, obtenemos :

D = (-1 ,7)

. x, = 7 ; y, = 7 . y 2 = - 5 D ' = ( 3 , - 5 ) y D” = (7 , 1) □

(EJEMPLO i T ) Tres vértices de un paralelogramo ABCD son A(-4 ,1), B(2 , 3)y C(8 , 9).

a) Hallar el vértice D, sabiendo que AC es una de las diagonalesb) Sean M. N los puntos de trisección de AD , hallar M y Nc) Hallar el punto S , punto de intersección del segmento BM con la diagonal AC.

Solución. Como las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio,entonces, P es punto medio de la diagonal AC, luego

P = , 4 * ) = (2 ,5 )

P también es punto medio de BD ; si D = (x , y)j i ± l = 2 « x = 2 .

1 ^ = 5 0 y = 7 I=* D = (2 , 7)

www.freelibros.com

Sección !.H: Rectas paralelas y pcrpe/u :nres

b) Sean (x , y) las coordenadas del punto M

Si AM x + 4 _ y - 1 2 - x 7 - yMD 2

de donde : x = - 2 , y = 3 = N es punto medio de M D :

-2 + 2 3 + 7N = ("

M = (-2 , 3)

)= (0,5)2 ’ 2

c) Sean (x , y) las coordenadas del puntoS = { BM } f l { ÁC } _____

Como ios puntos M, S y B son colineales, entonces FIGURA 1.39

41

x + 2 2 + 3 J(Obsérvese que los puntos M, S y B están sobre una línea horizontal, pues mMB = 0) También los puntos A , S y C son colineales, entonces

m = m ■=* X l i - J - l i = 1 ^ 2x - 3y + II = 0as a c x + 4 8 + 3 3 J

Para y = 3 ■=> 2x - 3(3) + 11=0 <=> x = - 1 ■=> S = (-1 , 3) Q

[EJEM PLO 12) Desde el punto A(9 , 1) se traza una perpendicular a una recta 3¡ que pasa por P(-1 , -1) y Q(1 , 2) y que la corta en B ;

tomando AB como base de un triángulo isósceles cuyo tercer vértice C se encuentra sobre el eje X, determinar el baricentro del triángulo ABC.

Solución. La pendiente de la recta .2? es miv = +-

Como P, Q y B(x , y) son colineales

3 y - 2 3

de donde : 3x - 2y + 1 = 0 (1)

Si AB 1 <£ o m.„ = - 1m

y -1x - 9

FIGURA 1.40<=> 2x + 3y = 21 (2)

De (1) y (2) por simultáneas, se obtiene : x = 3 , y = 5 B = (3 , 5)

Siendo ABC un triángulo isósceles, entonces :I ÁC I = I BC I => V(x - 9)2 + (1 - O)2 = V(x - 3)2 + (5 - O)2, de donde : x = 4 C = (4 , 0) Coordenadas del baricentro;

x = 1(9 + 4 + 3) = - y , y = 1 ( 1 + 0 + 5 ) = 2 ^ G = (16/3,2) □

www.freelibros.com

Capítulo /. Conceptos preliminares

EJERCICIOS; Grupo 4

1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P(3 , -4) y por A(x , -2) y B(-7 , y). Hallar la abscisa de A y la ordenada de B.

2. Una recta de pendiente -3/2 pasa por el punto P(6 , -2) y por los puntos A(x ,x + 2) y B(x + 6 , y). Hallar la distancia entre A y B.

3. Un punto P(x , y) equidista de los puntos A(-3 , 2) y B(5 , -2) y la pendic larecta que une dicho punto a C(-1 , -2) es -1/2. Halle sus coordenadas.

4. En los ejercicios siguientes determinar los valores de k para los cuales los puntos dados son colineales. (Guía: Ejemplo 1)

a) A(k , 3) , B(-4 , -5 - k) , C(2k + 1 , 8 )b) A(-1 , k - 6) , B(2k - 1 , 3 ) , C(-9 , 4 - k).

5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo. (Guía: Ejemplo 5).

a) A(9 ,2 ) , B(11 , 6) , C(3 , 5) , D(1 , 1)b) A(4 , 0) , B(7 , 5) , C(-2 , 3) , D(-5 , -2)c) A(-1 , -5) , B(2 , 1) , C(1 ,5 ) , D(-2.-1)

6. Hallar los valores de k de modo que los puntos dados sean vértices de un triángulo rectángulo, recto en B.

a) A(-1 , k - 4) , B(2k , -1) , C(-2 , 2k + 3)b) A(2k , 5) , B(1 , k) , C(2k - 1 ,-7)c) A(3 , k) , B(k , k - 3) , C ( 2 - k , - 1 )

7. Por medio de pendientes, demostrar que el cuadrilátero de vértices A(1 , -4), B(8 , -2), C(-4 , 16) y D(-3 , 2) es un trapecio.

8. Los puntos dados son los vértices de un cuadrilátero ABCD, usando pendientes mostrar si es o no un rectángulo.

a) A(-2 , -1 ) , B(5 , -4) , C(-1,-18) y D(-8,-15)b) A(-1 , 3) , B(5 , 7) , C(9 , 1) y D(3 , -3)

9. Dados los puntos A(-1 , 5 ), B(3 , 2) y C(4 , 3 ), hallar la pendiente de la recta <2? que pasa por C y que divide al segmento AB en la razón - 3/2.

10. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une A(-4 , 4) con B(2 , 2) y el punto que está a los 3/5 de la distancia de C(5 , 3) a D(-3 , -2).

www.freelibros.com

Sección 1.9: Fórmula del ángulo entre dos rectas 43

11. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento queune los puntos M(-3 , 2) y N(7 , 6) y el punto P(x , y) tal que AP : PB = 1 : 2,siendo A(0 , 2) y B(5 ,0).

12. Un punto M(x , y) dista del punto C(2 , 5), VTo unidades. La pendiente del segmento que une a M con A(7 , 5) es 1/2; hallar las coordenadas de M.

13. La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3 , 2) es igual a 3/4. Situar dos puntos P y Q sobre la recta que distan 5 unidades de A. (Guía: Ejemplo 6).

14. Sea P(x, y) un punto que equidista de los puntos A(-3, 4) y B(3,2). Si la pendiente de la recta que pasa por P y el origen es 3/5, halle las coordenadas de P.

15. Sean A(3 ,1) y B(-2 , -6) los vértices de un triángulo, sabiendo que las alturas se cortan en el punto P(4 , -4), hallar las coordenadas del tercer vértice.

16. Los puntos A, B y C dados , son tres vértices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto vértice. (Guía: Ejemplo 10).

a) A(0 , 0) , B(1 ,4 ) , C(5 , 1)b) A(3 , 12) , B(8 , 1) , C(-2 , -5)

17. Sean A (5 , 3), B(-1 ,2) y C(1 , -1) tres vértices de un paralelogramo ABCD, hallar la distancia del cuarto vértice D al punto P(-2 , 6).

18. Se tiene un triángulo de vértices A(-4 , -3), B(1 , 4) y C(7 , 10). Por el punto E cuya ordenada es 8 y está sobre BC, se traza una paralela al lado AB. Hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela corta a AC.

19. Dado el triángulo de vértices A(1 , 2), B (5, 3) y C(4 , 4); calcular las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el vértice B a la mediana trazada desde el punto C.(Guía: Ejemplo 9).

20. Los puntos A(-2 , 5), B(1 , -1), C(7 , 1) y D son vértices de un paralelogramo

ABCD, siendo B y D vértices opuestos. Sean M e AB tal que AM = ^ AB y N

punto medio de BC. Hallar la intersección de los segmentos MC y DN.

f i n FORM ULA DEL ANGULO ENTRE DOS RECTAS___________

Consideraremos dos rectas cualesquiera no perpendiculares 3 y 3L ninguna de las cuales es paralela al eje Y, y deduciremos una fórmula para el ángulo de 3? a en función de sus pendientes.

www.freelibros.com


Dado que al cortarse dos rectas coplanares se forman varios ángulos, para evitar confusión hacemos la siguiente definición.

DEFINICION 1.3 Angulo entre dos rectasSi dos rectas se cortan, designemos por ,2?2 la recta con mayor

inclinación a 2 (recta final), y por JZ, la recta de menor inclinación a, (recta inicial). Entonces el ángulo 0 entre las rectas se define por

9 = a , - a.

FIGURA 1.41v____________________

FIGURA 1.42

La Figura 1.41 muestra un caso en que el ángulo 0 de .2? a ^ es agudo, y la Figura 1.42, un caso en que ese ángulo es obtuso.

TEOREMA 1.8 Si Sf. y 3>. son dos rectas que se cortan con pendientes m, y m„I l L

respectivamente, y si 0 es el ángulo en y ,2?, entonces

TgB= (11)1 + r r i j . m2con tal que ^ sea la recta con mayor inclinación , y 0 * 90°.

Demostración. En efecto, en las Figuras 1.41 y 1.42 se observa claramente quea, = a, + 0

ya que a, es un ángulo externo de un triángulo cuyos ángulos internos no adyacentes son a, y 0. Por consiguiente

0 = a 2 - a.Si aplicamos tangentes a ambos extremos de esta igualdad resulta que :

_ Tgct, - Tgg,1 + Tga, . Tga,

www.freelibros.com

Sección 1.9: Fórmula deI ángulo entre « celas 45

y si designamos Tga2 y Tga, por m, y m, respectivamente, obtenemosm, - m,

Tg9 = ■=— i !—s I + mt . m2Hay dos casos especiales en que no se puede emplear esta fórmula :

(1) Si las dos rectas son perpendiculares entre si, entonces m, m2 + l = 0, y la división entre cero no tiene sentido

(?.) Si o S2 es paralela al eje Y, entonces TgO, o TgO, no está definida.

‘Jota. En ocasiones, cuando se desconoce el lado de la recta de mayor o menor ángulo de inclinación a , se puede hacer uso de la fórmula

l m -m . iT g o = I r V m '-. m j <12>

□ EJEMP’ OS ILUSTRATIVOS

( EJEMPLO 1 ] El ángulo que forma la recta .2? que pasa por A(2 , -1) y B(x , 3), con la recta &2, que pasa por C(-1 , 5) y D(8 , 2) es 135“ Halle

la abscisa de B.

Solución. Si (A y B) e ^ ■=» m, = ^ + 1 - 4

y si (C y D) e m =

x - 2 x - 2

2 -5 1J 8+1

13 x - 2Luego , si Tg9 = ----- — Tg 135° = . .—

l+(-í)(lT2)Como Tg 135° = -1 -■=> -1 = ~* + , de donde : x = 10 D3x - 6 - 4

( EJEM PLO 2 ) Hallar el ángulo obtuso que forman las rectas -2? con pendiente

m y la recta .5? con pendiente m ~ 1 .m + 1

Solución. Por la fórmula (11) del Teorema 1.8 , se tiene :

www.freelibros.com


{ EJEM PLO 3 ) Dos rectas se cortan formando un ángulo cuya tangente es 3/2.Si una de las rectas pasa por los puntos A(-2 , -1) y B(2 , 3),

hallar la pendiente de la otra recta.

Solución. Obsérvese que en este ejemplo se desconoce el lado de la recta de mayor o menor inclinación , por que lo si designamos con m, = mAU

o m, = 2 ~+ \ = 4 • y m la Pend'en,e de la otra recta, entonces según la fórm'-'~ '12):

Toe = 1 = I _m - 1/2 I = i M d l D 2 11+ ( l/2)m I lm + 2*

■=>3|m + 2 | = 2 | 2 m - l | < = > m = 8 ó m = -4/7 Q

( EJEM PLO 4 j Demostrar que A(-2, 5 ), B(-3, -3) y C(5 , 1) forman los vértices de un triángulo isósceles, mostrando para ello que dos de sus

ángulos son iguales.

Demostración. La orientación, en sentido antihorario, de los lados del triángulo se muestra en la Figura 1.43. Hallemos la pendiente de cada uno de

e llos:4m, = m 5 + 3 = 8 , m = m = ' —AB . 2 + 3

1 + 3 12■bc 5 + 3

Aplicando la fórmula (11) en cada vértice se tiene :n y m, _ .4/7 . 8 _ 12

TgA =

Tgc

1 + m.i • mj 1-32/7

m,- m, 8- 1/21 + m: . m. 1 + 8/2 "

m,- m2 1/2 + 4/7

p ~A . . Y - i

llI

m, I *I II iI 1 11 i

-------------( - ^ V c

-3; 1 - 2 0 5

----- -3

VFIGURA 1.43

-4/14 2Dado que TgB =TgC <=> m(^B) = m(.£C), por lo tanto, el triángulo ABC es isósceles.

[~EJEM PLO 5 ) Hallar la pendiente de la recta 5 que biseca el ángulo que la recta 7\, que pasa por A(10 , 9) y B(3 , -15), hace con la recta

7‘2 que pasa por A( 10 , 9) y C(2 , 3).

Solución. Si (A y B) e •=* m, = = y

www.freelibros.com

Sección 1.9: Fórmula del ángulo entre di - v rectas 47

( A y C ) e <=> m, =

/AComo Tg(y) = ^

9 - 3

10-2m, - m

m . m. y Tg(A) =

Entonces (24/7>' m - m ’ (3/4>■ 1 + (24/7)rn “ 1 + (3/4)m

de donde : 117m! - 88m - 117 = 0

[ EJEM PLO 6 J Hallar un punto situado en la parte positiva del eje X, desde el cual se ve el segmento de extremos A(-3 , 4) y B(3 , 8), bajo un

ángulo de 45®.

Solución. Sea P = (x , 0) el punto buscado.Uniendo P con los extremos del

segmento dado , tenemos :

m„ =m , = - A - , m.„ = m ,= ' 4•b p i x - 3 ’ AP 2 x + 3

- 4 8m, - m, * * * .- iTg 45» = — 1------!— ,=> | = * + J x J1 • rr» m1 + m ,. m, , ^ ( ¿ L )

de donde : x2 - 4x - 13 = 0 <=> x = 2± VTT Como x > 0 ■=> P = (2 + V l7 , 0) Q FIGURA 1.45

( EJEM PLO 7 J Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles tiene pendiente m , hallar la suma de las pendientes de los catetos.

Solución. Por ser el AABC rectángulo isósceles,los ángulos iguales A y C miden 45°

m - m m - m,Luego, si TgC = -¡— —— <=> 1 = A—a a 1 + m . m, 1 + m . m.

de donde : m, = m - 1' m + 1

AB 1 BC «=> m2 = - l/m 1 t=> m2 = -

Por lo que : m, + m = -A ™^ 1 2 1 - m-

m + 1 m - 1

□

www.freelibros.com

48 Capítulo I : Conceptos prelim inares

[ E J E M P L O 8 ) Si A(-3 , 2) y B(2 , 5) son dos vértices de un triángulo rectángulo ABC recto en B, y el vértice C está en el eje X; hallar la

medida del ángulo A.

5 - 2Solución. Pendiente de AB : m, = _ —2 2 + 3 5

0 -5S iA B IB C c=> m ,= - I /m , =>- x - 2

de donde obtenemos x = 5 => C = (5 , 0)

0 - 2 1Pendiente de AC : m, =

Por lo que , si TgA

' 5 + 3

m, - m,

TgA = 3/5 + 1/4 + (3/5)(-1/4)

1 + m, . m,

= 1 => A = 45°

, entonces

r

k 5 m,

- -

ti

1__ B

1\ i \\

\2 1 \

111, 1-3 O

V2 • C(x , 0) ' A

□FIGURA 1.47

[ E J E M P L O 9 J Los vértices de un triángulo son A(3 , 3), B(1 , -3) y C(-1 , 2).Hallar el valor del ángulo agudo que forma la mediana que co

rresponde al lado AB con la mediatriz del lado AC.

Solución. Las coordenadas de M, punto medio de ÁB, son :

M = . ^ x ) = (2.0)

Pendiente de la mediana CM : m, =

Pendiente del lado ÁC : m =

0 - 2 2 + 1

2 -3 I- 1- 3 4

Pendiente de la mediatriz del lado AC : mt = - 4

Luego , T g a : - mi _ (- 2/3) + 4 _ jo1 + m ,. m 1 + C-2/3)(-4) 11

a = are Tg( 10/11)

( e j e m p l o 1 0 ) Dados dos vértices opuestos A(3 , 0) y C(-4 , 1) de un cuadrado, hallar las coordenadas de los otros dos vértices.

Solución. Sean B = ( x, , y,) y D = (x: , y2) las coordenadas de los otros dos vértices.

Pendiente de la diagonal AC : m = 1 -0 - 4-3

www.freelibros.com

Sección ¡ 9: Fórmula del ángulo entre Jos recias 49

_ m - m,En el AABC : Tga - ( 1)1 + m . mDado que el cuadrilátero ABCD es un cuadrado la m(a) = 45°, por lo que en (1) se tiene :

-1/7- m,I = -— , . , de donde : m, = - 4/3

« . 4x + 3y = 12

» 3x, - 4y, = - 16

™ab= ^ =AB X] . 3

- 1BC x,+ 4

De (2) y (3), por simultáneas, obtenemos : x, = 0 , y, =4 => B = (0 , 4)

M es punto medio de AC => M = - ~

M es también punto medio de BD

(2)

(3)

0+ 12

f0 + x. 4 + y;( - 4 • i ) = ( 2 • - !

Por igualdad de pares ordenados obtenemos : x; = - I , y = - 3 <=> D = (-1 , -3) CU

EJERCICIOS: Grupo 5

1. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45° La recta de menor inclinación pasa por P(-2 , 1) y Q (9 , 7 ), y la recta de mayor inclinación pasa por A(3 , 9) y B(-2 , y). Hallar la ordenada de B. (Guía: Ejemplo 1).

2. Hallar el valor del ángulo determinado por la recta que pasa por A(-3 , 1) y B(4 , 3) con la recta que pasa por C(1 , 2) y D(6 , 7).

3. Hallar el ángulo que forman la recta que pasa por A(-4 , 5) y B(3 , 9) pon la recta que pasa por C(-2 , 4) y D(9 , 1).

4. Hallar las tangentes de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos dadosa) A(-2 , 1 ) , B(3 , 4 ) , C(5 , 2) ' • b) A(4 , 1) , B(-1 , 3 ), C(-5 , -2)

5. Demostrar que A(-1 , 2 ) , B(3 , -2) y C (6 , 5) forman los vértices de un triángulo isósceles, mostrando para ello que dos de sus ángulos son iguales.

6. Tres rectas .S?, , -3| y .S?3 se interceptan en M(-6 , 4 ), si y .2j^copt¡enen a los puntos A(2 , 2) y B (0 , 0) respectivamente y 2?, es bisectriz del ángulo que hacen 5?, y hallar la pendiente de (Guía: Ejemplo 5).

www.freelibros.com

50 Capitulo I: Conceptos preliminares

7. Los vértices de un triángulo son A(-4 , -1), B(4 , b) y C(-6 , 13). Hallar el valor de b si la altura que pasa por C intercepta a la mediatriz que pasa por B formando un ángulo de 45®.

8. Dado el triángulo A(-2 , 3), B(-4 , -4) y C(3 , -2), hallar el ángulo que forman la mediatriz del lado ÁB con la mediana trazada desde C. (Guía: Ejemplo 9).

9. Hallar las coordenadas de los puntos situados sobre el eje X, desde los cuales se ve el segmento que une A(-2 , 3) con 8(5 , 7) bajo un ángulo de 45

10. Sea r la recta que pasa por los puntos A(2 , 1) y B(4 , -3). Cuál es la pendiente de una recta St tal que el ángulo entre r y & es 45a.

11. Dados dos vértices opuestos de un cuadrado A (2 , 2) y C(-5 , 3), hallar los otros dos vértices. (Guía: Ejemplo 10).

C T O EL AREA DEL TRIANG ULO _________________________________

En esta sección desarrollaremos una fórmula para el área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices. Se presentan dos casos.

CASO 1. Cuando uno de los vértices coincide con el origen

Sean A(x, , y,) y B(x2 , y,) las coordenadas de los otros dos vértices. En la Figura 1.50 podemos observar que

a(AOAB) + a(AOMA) = a(AONB) + a(NMAB)

=> a(AOAB) + I(x ,y ,) =

= ^ ( x 2y2) + ^ (y , + y2)(x, - x2)

= j ( x , y. - x 2y , + x , y 2)

^ a(AOAB) = i ( x , y 3 - x2y,)

Esta fórmula del área puede recordarse más fácilmente escribiéndola como un determinante , esto es :

I NOTA. Si los vértices son numerados en sentido antihorario, esta fórmula da el área. Si no son numerados de esta manera, obtenemos el negativo del área. Sin embargo, ello

FIGURA 1.50

www.freelibros.com

Sección 1.10: El área del triángulo 51

no importa, pues la expresión que está dentro de las barras en el segundo miembro de (13), es el valor absoluto del desarrollo del determinante.

CE J E M P L O 1 ) Hallar el área del triángulo de vértices A(0 , 0) , B(-2 , 3) y C(4 , 2).

\Solución. Usaremos la fórmula (13) con los vértices numerados en sentido horario

y antihorario,a) En sentido horario :

a(AABC) = I I ' 2 3 |2 I 4 2 I

= i I (-2)(2) - (4)(3) I = -i- I -16 I = 8u2

■y I (4)(3) - (”2)(2) I = I |16| = 8u2

b) En sentido antihorario :i 14 2i

a(AABC) = 3|

CASO 2. Cuando ninguno de los vértices coincide con el origen

Sea el triángulo de vértices A (x ,, y , ) , B(x2, y2)C(x3, y3). En la Figura 1.51 , se tiene :

a(AABC) = a(AOAB) + a(AOBC) - a(AOAC)Según el caso 1 :

a(AOAB) = | ( x ,y 2- x 2y,)

a(AOBC) = I ( x 2y3-X jy2)

a(AOAC) = I (x ,y , - x3y,)

Luego : a(AABC) = -~y, + i X 2 y 2 . i x , y, i

X 2 y 2 2 x , y 3 2 X 3 y j

FIGURA 1.51

_ i x . y, x , y, x r y *l 1- +2 X 2 y 2 X 3 y, X 3 y, l J

La expresión entre corchetes es el desarrollo , por los elementos de la tercera columna, del determinante

\ y , 1 x 2 y 3 > x, y ,1

Así, hemos demostrado el siguiente teorema.

www.freelibros.com

Capitulo i: Conceptos preliminares

TEOREMA 1.9 El área del triángulo

El área de un triángulo que tiene por vértices los puntos A(x, , y,) , B(x2 , y2) y C (x ,, y,) está dado por

x , y . 1^ y 2 1

x, y 3 1

debiéndose tomar el valor absoluto del determinante.

S - — 2 (14)

Para fines prácticos, el determinante de la fórmula (14) se puede escribir

x ^ y ,y,' y ,

(15)

cuyo desarrollo es :

s = x , y 2 + x 2y 3 + x, y , - x , y 3 - x , y 3 - x 2y , 1

I OBSERVACIONES

1 .

2.

En la fórmula (15) , los productos que se indican por flechas con trazo lleno se toman con su propio signo, mientras que los productos señalados por flechas con trazo punteado se toman con signo contrario.

La fórmula (15) se puede generalizar para calcular el área de cualquier polígono en función de las coordenadas de sus vértices. Así, si los vértices de unpolígono son los puntos P,(x( , y,), P2(x2 , y2)........ Pn(xn , yJ, entonces su áreaestá dado p o r:

S = T

y.y 2

y .y,

(16)

3. Si tres puntos diferentes son colineales , pueden ser considerados como los vértices de un triángulo cuya área es cero. En consecuencia , por el Teorema 1.9, si los tres puntos diferentes A(x, , y,), B(x2 , y,) y C (x ,, y.) son colineales, entonces S = 0 , esto es

www.freelibros.com


y,y>y3y,

= 0 (17)

f EJEM PLO 2 j Sean los conjuntos de puntos :a) A(-5 , 7 ), B(-1 , 4) y C(3 ,1 )b) A(1 , 6 ), B(-3 , -4) y C(2 , -2)

Determinar si son colineales; en caso contrario, hallar el área del triángulo determinando por tales puntos.

Solución. Por el determinante de la fórmula (17) se tiene :

a)

-5 - i

3 -5

= ¡ (-5)(4) + (-!)(!) + (3)(7) - (-5)(1) ; (3)(4) - (-1)(7) I

= 1 -2 0 - 1 + 2 1 + 5 -1 2 + 71 = 0 Luego , los puntos A(-5 , 7 ), B(-l , 4) y C(3 , 1) son colineales

b)

1 6-3 -4

2 - 2 1 6

= I (O H ) + (-3)(-2) + (2)(6) - (l)(-2) - (2)(-4) - (-3)(6) I

= 1-4 + 6+ 12 + 2 + 8+ 18 I =42 Luego , los puntos A(1 ,6), B(-3 , -4) y C(2 ,2) no son colineales, son vértices de un triángulo cuya área, según la fórmula (15) es

S = 4r 142 I = 21 u2 □

( EJEM PLO 3 ) Hallar el área del pentágono de vértices A(1 , 5) , B(-2 , 4) C(-3 , -1), D(2 , -3) y C(5 ,1).

Solución. Haciendo uso de la fórmula (16) se tiene :

1 5-2 4 - 3 - 1

2 - 3 5 1 1 5

= i | 4 + 2 + 9 + 2 + 25 - (1 - 1 5 - 2 - 12 - 10)1 = ^ 142 - (-38) I

S = 40 u2 □

www.freelibros.com


f EJEM PLO 4 j Si dos vértices de un triángulo son A(-4 , 6) y B(3 , -8), hallar las coordenadas del tercer vértice y el área del triángulo sabiendo

que las medianas se intersecan en el punto G(2 , 6).

Solución. Sean C = {x , y) las coordenadas del tercer vértice. Si G(2 , 6) es el bari

centro del triángulo , entonces : 2 = i (-4 + 3 + x) y 6 = ^-(6 - 8 + y)

de donde obtenemos x = 7 e y = 20 >=> C = (7 , 20)Conocidos los tres vértices del triángulo, usaremos la fórmula (15) para c a v ia r suárea, esto es:

S =

-4 6 3 -8 7 20

-4 6

= i I 32 + 60 + 42 + 80 + 56 - 18 I = 126 u2 □

( EJEM PLO 5 j El área de un triángulo es S = 24.5 u2 , dos de sus vértices son los puntos A(-3 , 4) y B(6 , 2); el tercer vértice está sobre la

recta X : 2x + y - 5 = 0. Halle las coordenadas de C.

Solución. Sean ( x , , y,) las coordenadas del tercer vértice C

Si S = 24.5 =>

-3x6

- 3

4. y ,

2 4

= 24.5 ■=> I -3y, + 2x, + 24 + 6 - 6y, - 4x, I = 49

=* |-2x, - 9y, + 301 =49 « -2x, - 9y, + 30 = 49 ó -2x, - 9y, + 30 = -49 <=> 2x, + 9y, + 19 = 0 ó 2x, + 9y, - 79 = 0 Como C(x, , y,) e => 2x, + y, - 5 = 0 En consecuencia :(2x, + y, = 5) n (2x, + 9y, + 19 = 0 )= ¿(4 , -3)(2x, + y, = 5) D (2x, + 9y, = 79) = C’(-17/8 , 37/8) La Figura 1.52 muestra una solución para C. □

<

V ...

.. —

-

"N

\ \ /

-3 O

-3

\ \ i / r > x

i #

c \

FIGURA 1.52

( EJEM PLO 6 ^ El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos B(-1 , -4) y C(3 , 2). Calcular las coordenadas del

tercer vértice A sabiendo que el área del triángulo es 26 u2.

www.freelibros.com


Solución. Sean (x , y) las coordenadas delvértice A. Dado que el AABC es isós

celes , entonces IBAI = | CA |=* V(x + l)2 + (y + 4)2 = V(x - 3)2 + (y - 2)2

De donde obtenemos la ecuación de la mediatriz del segmento BC, esto es ,

A e . 2 ? : 2 x + 3 y + l = 0 Por otro lado , a(AABC) = 26 , entonces

3 2

26 =x y

- I -43 2

= y 13y - 4x - 2 + 12 + y - 2x I

=* | 2y - 3x + 5 I =26 o 2y - 3x + 5 = 26 ó 2y - 3x + 5 = -26<=> SH2: 3x - 2y + 21 = 0 ó á?: 3x - 2y - 31 = 0

Son dos ecuaciones que contienen a las coordenadas del vértice A. En consecuencia :

D $2 = (2x + 3y + 1 = 0) D (3x - 2y + 21 = 0) = A(-5 , 3)^ 0 = (2x + 3y + 1 = 0) f l (3x - 2y - 31 = 0) = A ’(7 , -5)

( EJEM PLO 7 ) El área de un triángulo es S = 9u2, dos de sus vértices son los puntos A(3 , 1) y B(1 , -3); el centro de gravedad de este trián

gulo está situado en el eje X. Determinar las coordenadas del tercer vértice C.

Solución. Sean (x , y), las coordenadas del vértice C

3

Si S = 9 ■=> 9 = 4

■=» 18 = 13y - 3x + I + 9 - y - x Ide donde : 12x - y - 5 1 =9Si G( x , 0) es el baricentro , entonces

0 = y (1 - 3 + y) <=> y = 2

Luego , en (1): 12x - 7 1 =9 <=> 2x - 7 = 9 ó 2x - 7 = -9o x = 8 ó x = -1

Por tanto, hay dos soluciones : C(8 , 2) y C’(-l , 2) □

www.freelibros.com


En (1), las variables x e y no llevan subíndices porque representan a las coordenadas de C o D.Dado que G( x , 0) es la intersección de las diagonales, entonces es punto medio de AC y BD.

Luego, para ÁC : 0 = -1(3 + y,) y, = -3

y para BD : 0 = - i (4 + y2) =* y2 = -4

Sustituyendo estos valores en (1) tendremos :y, = -3 c=> | x, - 5 I =12 <=> x, - 5 = -12 ó x, - 5 = 12

x, = -7 ó x, = 17 y2 = -4 <=> I Xj - 6 1 =12 <=> x2 - 6 = -12 ó x2 - 6 = 12

o x2 = -6 ó x2 = 18Por tanto , hay dos soluciones para cada vértice

C(-7 , -3) ó C’(17 , -3) ; D(-6 , -4) ó D'(18 , -4) □

EJERCICIOS: Grupo 6

1. Hallar el área de los polígonos cuyos vértices sona) A(V2 , 2 ), B(-4 , 6) , C(4 , -2<2)b) A(2 , 5) , B(7 , 1), C(3 , -4) , D(-2 , 3)c) A(3 , 2) , B(-1 , 4) , C(-5 , 1), D(-3 , -3), E(1 , -4)

2. El área de un triángulo es S = 8u2, dos de sus vértices son los puntos A(1 , -2)y B(2 , 3) y el tercer vértice C está sobre la recta CP : 2x + y - 2 = 0 Hallar suscoordenadas. (Guía: Ejemplo 5).

FIGURA 1.55

( E J E M P L O 8 ) El área de un paralelogramo es 12 u2, dos de sus vértices son los puntos A(-1 , 3), y B(-2 , 4). Hallar los otros dos vértices de

este paralelogramo, sabiendo que el punto de intersección de sus diagonales está situado en el eje de abscisas.

Solución. Supóngase que (x , , y,) y (x2, y2) sean las coordenadas de C y D respec

tivamente.El área del AABC es la mitad del área del paralelogramo

3

, de donde I x + y - 2 1 = 12 (1)^ 6 = 2

www.freelibros.com

3. Sea A(2 , 0) y B (3 ,3) la base de un triángulo ABC. Hallar el tercer vértice sabiendo que está en el primer cuadrante y que el área del triángulo es de 5 u2 y que la recta que une C con el origen forma 459 con el eje X.

4. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A(3 , -1) y B(6 , 2). Hallar las coordenadas del tercer vértice C si el a(AABC) = 7.5 u2 .

5. El lado de un rombo es igual a 5^2 unidades y dos de sus vértices opuestos son P(4 , 9) y Q(-2 , 1). Hallar su área.

ü Dados los puntos A(2 , -3) y B(5 , 1), hallar las coordenadas de un tercer punto je , unido a las anteriores formen entre si un triángulo de área S = 15 u2 y cuya

distancia al primero sea 3^5 unidades. (Cuatro soluciones)

7. Dado el triángulo de vértices A(5 , 15) y B(-7, -1) y C(8 , -6), hallar la longitud de la altura trazada del vértice C sobre AB.

8. El área de un triángulo es S = 3 u2, dos de sus vértices son los puntos A (3,1) y B(1 , -3), el tercer vértice C está situado en el eje Y. Halle sus coordenadas.

9. El área de un triángulo es S = 4 u2, dos de sus vértices son los puntos A(2 , 1) y B(3 , -2); el tercer vértice C está situado en el eje X. Halle sus coor.: nadas.

10. El punto P(x , y) equidista de los puntos A(2 , 2) y B(10 , 8) . Si el a( a APB) = 25 u2, hallar la$,£pordenadas del punto P.

11. Dado el trapecio de vértices A(-4 , - 2 ) , B(8 , 2) , C(4 , 6) y D(-2 , 4). Si sus diagonales se cortan en el punto P, hallar la razón entre las áreas de los triángulos APB y BPC.

12. El área de un paralelogramo es S = 17 u2, dos de sus vértices son los puntos A(2 , 1) y B(5 , -3). Hallar los otros dos vértices, sabiendo que el punto de intersección de sus diagonales está en el eje Y. (Guía: Ejemplo 8).

t m DEMOSTRACIONES A N ALIT IC AS__________________________

Los métodos analíticos se pueden emplear en forma muy efectiva para demostrar teoremas de la geometría euclidiana plana. Las demostraciones se pueden llevar a cabo empleando las coordenadas cartesianas de algunos puntos y haciendo uso de todas las fórmulas estudiadas anteriormente.

Cuando se emplean coordenadas para demostrar un teorema puede facilitarse a veces la demostración si los ejes coordenados se orientan de alguna manera

Sección 1.11: Demostraciones analític _____________ ______________________57

www.freelibros.com


particular con respecto a la figura de que se trate; no se pierde generalidad haciendoesto, puesto que la orientación y colocación de los ejes en el plano es arbitrario.

( E J E M P L O 1 j Demostrar que las longitudes de los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. t

Solución. La posición más sencilla, con relación a los ejes coordenados, r ^ a un paralelogramo cualquiera es el de la Figura 1.56.

Empezamos por elegir el origen de coordenadas sobre el vértice A , luego asignamos los vértices B = (b , c) y D(a , 0). Como BC 11 AD , la ordenada de C es igual a la ordenada de B. Además BC =AD , luego la abscisa de C es a unidades mayor que la de B ; entonces C = (a + b , c).Hipótesis : ABCD es un paralelogramo Tesis : I ÁB I = I DC I y I BC I = I Á D I Demostración. En efecto, conociendo las coorde

nadas de los cuatro vértices se puede emplear la fórmula de la distancia entre dos puntos para calcular las longitudes de los lados

I AB I = V(b - O)2 + (c - O)2 = 'JbrTC

I DC I = V(a + b - a)5 + (c - O)2 = V tF + F

I BC I = \'(a + b - b)2 + (c - c)2 = a I AD I = V(a - O)2 + (0 - O)2 = a

En consecuencia, las longitudes de los lados opuestos son iguales. Q

( EJEMPLO 2 j Demostrar analíticamente que los segmentos de recta que unen los puntos medios de cada dos lados opuestos de un cuadrilá

tero se bisecan entre si.

Solución, Dibujemos un cuadrilátero general ABCD y f i jemos el origen de

coordenadas sobre el vértice A y el eje X a lo largo del lado AD. Este método simplifica ias coordenadas de los otros dos vértices sobre el eje X, tal como se incida en la Figura 1.57.Hipótesis : ABCD es un cuadrilátero , P es punto

medio de AD , Q es punto medio de FIGURA 1.57

www.freelibros.com

Sección l . l l : Demostraciones analíticas\

59

BC, R es punto medio de AB y S es punto medio de DC.Tesis : PQ y RS se bisecan entre si, es decir, se cortan en un mismo punto medio. Demostración. En efecto, usaremos la fórmula del punto medio para obtener las

coordenadas de P , Q , R y S; esto es :

P . ( ! , 0 ) ; Q = £ ± á . s ± í ) . R = ( | , | ) y S = ( A * ¿ . < )

Ahora, si'M es punto de PQ <=> M =

y si N es punto medio de RS ■=> N = +- -+ ^

En consecuencia, como M = N, los segmentos PQ y RS se bisecan el uno al otro. Cj

( E J E M P L O 3 ) Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante de los vértices del triángulo.

Solución. Dibujemos el triángulo rectángulo BAC,recto en A, de modo tal que el vértice B f A

coincida con el origen de coordenadas y la hipote Y> ' A(¿ . c)

nusa BC con el eje X. Designemos las coordenadasde los otros dos vértices por : A = (b , c) y C = (2a, 0)Hipótesis : BAC es un triángulo rectángulo; M es

/ : A \ 3 . .punto medio de BC. B H M C J X

Tesis : I BM I = I MC I = I MA IDemostración. En efecto, si M es punto medio FIGURA 1.58

de BC ■=> M = (a , 0)Luego : IBM I = | a - 0 1 = a

IMC | = 12a - a | = aEn el triángulo rectángulo AHM : | M A I - = I AH 12 + I HM 12 = b2 + (a - b)2 (1)Pero , en un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media propor cional entre los segmentos en que divide a ésta, esto es :

I AH 12= ( I BH I) (I HCl) => b2 = b (2a - b)Entonces en (1) se tiene : | MA 12 = b(2a - b) + (a - b)3 = a2 <=* I MÁ | = aPor lo tanto : I BM I = I MC | = | MA I , es decir, M equidista de los tres vértices. Q

( E J E M P L O 4 ) Demostrar que los dos segmentos que se obtienen uniendodos vértices opuestos de un paralelogramo con los punto

medios de dos lados puestos son iguales y paralelos.

www.freelibros.com

60 Capítulo 1. Concepu

Solución. Sea el paralelogramo ABCD , cuyas coordenadas de sus vértices, mostra

das en la Figura 1.59, se determinan como en el Ejemplo 1.Hipótesis : ABCD es un paralelogramo , M punto

medio de DC y N punto medio de ÁB. Tesis : IBMI = IÑD I y BM 11 ÑD

Demostración. Efectivamente: FIGURA 1.59

Si N es punto medio de AB =* N =

M - p f S . f )y si M es punto medio de DC

Luego : I BM I = b - b)~ + (-| - c)~ = 1 V(2a - b)2 + c2

i ÑD I = V(a - | ) ' + (0- - |)2 = ~ V(2a - b)- + c-’

Por lo que : | BM | = | ND |Demostraremos ahora que MB11 DN . En efecto :

Pendiente de MB : m = B w1 - x„c - c/2

b - 2a + b b - 2a

Pendiente de DN : m, = yN • yD c/2 - o

En consecuencia , si m = m, <=> MB 11 DN. □

EJERCICIOS: Grupo 7

1. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

2. Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

3. Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un mismo punto.

4. Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

5. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las bases e igual a su semisuma.

6. Demostrar que las diagonales de un trapecio y la recta que une los puntos me-

www.freelibros.com

Sección 1.11: Demostraciones analíticas 61

dios de los lados no paralelos, se cortan en un mismo punto.

7. Demostrar que la suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.

8. Demostrar que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero cualquiera dado y el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de dicho cuadrilátero, se intersecan en sus puntos medios. (Guía: Ejemplo 2).

9. ostrar que los ángulos de la base de un trapecio isósceles son iguales.

10. Demostrar que la suma de los cuadrados de las distancias de cualquier punto de un plano a dos vértices opuestos de cualquier rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus distancias a los otros dos vértices.

11. Demostrar que si O , A , B y C son vértices consecutivos de un paralelogramo, y D y E los puntos medios de los lados AO y BC, respectivamente, los segmentos DB y OE trisecan a la diagonal AC.

12. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son perpenr! :ulares, entonces éste es un rombo.

www.freelibros.com

62 Capitulo 2: Gráfica de una ecuación

PRIMER PROBLEMA FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRIA ANALITICA

TRAZADO DE CURVAS)

www.freelibros.com

GRAFICA DE UNA ECUACION

i ? ! INTRODUCCION■ !■ '■ ■Li...-------------------------------------------------------------------------------- ------

Siempu que referimos una situación geométrica a un sistema de coordenadas y consideramos las relaciones posibles entre las coordenadas, estamos empleando método analíticos. Esta interacción la hemos visto entre el álgebra y la geometría euclidiana. Ahora, nos proponemos a desarrollar esos métodos analíticos con mayor amplitud.

Una igualdad de la forma E(x , y) = 0 se llama ecuación de dos. variables xe y si se verifica para cierto par de números x e y. Se dice que los números x = x0,y = y0 satisfacen a una ecuación E(x , y) = 0, si al sustituir estos números en la ecuación, en lugar de las variables x e y, el primer miembro se convierte en cero. Por ejemplo, los números x0 = 2 , y0 = 1/2 satisfacen a la ecuación

E(x , y ) : x2y - x2 + 4y = 0

pues, E(2 , 1/2) = (2)2( 1/2) - (2)2 + 4(1/2) = 4(1/2) - 4 + 4(1/2) = 0.

Es posible generalmente, que la ecuación E(x , y) = 0, acepte una infinidad de parejas de números como soluciones y cada una de ellas se puede interpretar como las coordenadas de un punto. Estos puntos están distribuidos en el plano de modo que forman una figura geométrica, que se conoce con el nombre de curva representativa de la ecuación (*) y que se le simboliza por la letra V. Así, podemos decir, que una curva representada por una ecuación es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Simbólicamente :

= {(x , y) e f l2|E(x , y) = 0} (1)(*) Nota. La definición de curva que se emplea en este libro es distinta a la que se normalmen

te se usa. Una curva representada por una ecuación no tiene que ser realmente “curva"; puede ser una recta. Así mismo puede tener puntos aislados o puede estar formada de varias partes distintas, e inclusive puede ser u n punto.

www.freelibros.com

64 Capítulo 2: Gráfica de una ecuación

Es evidente que al trazar una curva es imposible calcular y fijar la posición de todos los puntos que contiene. Generalmente bastará seleccionar e indicar algunos puntos y unirlos mediante una curva continua. Entonces se dice que se ha trazado la gráfica de la curva o bien que se ha trazado la gráfica de ¡a ecuación. Llamamos a este método de trazar una gráfica el método de marcar puntos. Su proceso queda sintetizado en el siguiente esquema

1. Tabular algunos puntos solución de la ecuación E(x , y) = 02. Marcar esos puntos en el plano3. Conectarlos con una curva continua.

Este proceso tan simple es en realidad uno de los problemas fundamentales de la geometría analítica.

Al trazar la gráfica de una curva, es conveniente algunas veces , despejar ya sea x o y en función de la otra variable, ya que al transponer uno o más términos de la ecuación, no se modifica sus soluciones. Por ejemplo, para la ecuación E(x , y ) : y - xJ = 0 , inicialmente despejamos y = x2, después siguiendo el esquema anterior:1. Tomamos x = 0, ±1 , +2 , ±3 , .... , y obtenemos los correspondientes y = 1, 4 , 9,

Estos valores se anotan en una Tabla (tabulación), como se indica en laFigura 2.1a.

2. Marcamos los puntos (0 , 0 ), (±1 , 1), (±2 , 4 ), (±3 , 9 ) ....................en un planocoordenado.

3. Uniendo estos puntos mediante una línea continua , obtenemos la gráfica de la ecuación tal como se muestra en la Figura 2.1b

En seguida veremos ciertas pruebas preliminares que permiten reducir considerablemente el trabajo de trazar la gráfica de una ecuación. Antes de situar cualquier punto analizaremos lo siguiente:

www.freelibros.com

Sección 2.2: Coordenadas al origen 65

1. Coordenadas al origen (Intersecciones con los ejes coordenados)2. Criterios de simetría3. Extensión : Dominio y rango de la ecuación4. Asíntotas : Horizontales , verticales y oblicuas5. Trazado de la gráfica

€ 3 COORDENADAS AL ORIGEN________________________________

Hallar las coordenadas de los puntos de la gráfica de una curva í?, cuya ecuación es E(x , y) = 0 resulta más fácil cuando una de sus coordenadas es cero, puesto que esos puntos se encuentran en los ejes X o Y. Si P(a , 0) e *&, entonces a es la abscisa en el origen de í?. Si Q(0 , b) e # , entonces b es la ordenada en el origen de í?.

Una gráfica puede tener una, varias o ninguna coordenada al origen. El modo de averiguarlo es el siguiente :a) Intersecciones con el eje X.

Hacemos y = 0 , y resolvemos la ecuación E(x , 0) = 0

b) Intersecciones con el eje Y.Hacemos x = 0 , y resolvemos la ecuación E(0 , y) = 0

( EJEM PLO 11 Dada la ecuación E(x , y ) : x2 + y2 + 4xy + 5x - y - 6 = 0, hallarlas coordenadas al origen de su gráfica.

Solución.

a) Haciendo y = 0 se tiene :E(x , 0) x2 + 5x - 6 = 0 => (x + 6)(x - I ) = 0 x = -6 ó x = lLuego. -6 y I son las abscisas al origen y los puntos A(-6 , 0) y B(1 ,0 ) son losinterceptos de la curva con el eje X.

b) Haciendo x = 0 se tiene :E(0 , y ) : y ! - y - 6 = 0 => (y + 2)(y - 3) = 0 « y = -2 ó y = 3Luego, -2 y 3 son las ordenadas al origen y los puntos C (0, -2) y D(0 , 3) son losinterceptos de la curva con el eje Y. CU

I Nota. Por el proceso de tabulación, dos puntos son suficientes para dibujar la gráfica de una línea recta. Estos puntos suelen ser sus interceptos con los ejes coordenados.

Por ejemplo si queremos dibujar la gráfica de la ecuación X : 3x - 2y + 6 = 0 , basta hallar sus coordenadas al origen, esto es :

www.freelibros.com

66 Capítulo 2: Gráfica de una ec uación

Si y = O 3x + 6 = O « x = -2 es la abscisa en el origen

Si x = O ■=> -2y + 6 = <=> y = 3 es la ordenada en el origen

Uniendo los puntos A(-2 , 0) y B(0 , 3) por una línea continua obtenemos su gráfica, mostrada en la Figura 2.2, que simbólicamente se escribe :

Gr(J?) = {{x , y) € R21 S? : 3x - 2y + 6 = 0}

0 0 CRITERIOS DE S IM ETR IA

Se consideran sólo dos tipos de simetría : respecto a un punto y respecto a una recta.

DEFINICION 2.1 Simetría respecto a un puntoSe dice que dos puntos P y Q, están localizados simétricamente

con respecto a un tercer punto F, si y sólo si F es punto medio del segmento que los une. En ese caso, F es un centro o foco de simetría del segmento PQ . (Figura 2.3)

DEFINICION 2.2 Simetría respecto a un punto_________________________________Una curva es simétrica con respecto a un punto C si para cada

punto P e ? , hay otro punto Q e ? tal que P y Q están localizados simétricamente con respecto a C. Así, una circunferencia es simétrica respecto a su centro. (Fig. 2.4).

DEFINICION 2.3 Simetría respecto a una rectaSe dice que dos puntos P y Q están localizados simétricamente

con respecto a una recta SP, si y sólo si 1‘ es la mediatriz del segmento que los une. Al punto Q se le denomina reflexión o imagen del punto P respecto a la recta íV. (Figura 2.5)

www.freelibros.com

Sección 2.3: Criterios de simetría 67

DEFINICION 2.4 Simetría respecto a una rectaUna curva <V es simétrica respecto a una recta ¡P si para cada

punto P e & hay otro punto Q e rC , tal que P y Q están localizados simétricamente con respecto a la recta T (Figura 2.6). Esta recta se llama eje de simetría.

Veamos ahora el uso de estas definiciones en la simetría de una gráfica, con respecto a los ejes coordenados y al origen.

E S SIM ETR IA RESPECTO A L EJE X

Si un conjunto re tiene por ecuación E(x , y) = 0, entonces se dice que í? es simétrico respecto al eje X si al sustituir y por -y se obtiene una ecuación equivalente

E(x , y) = ± E(x , -y)Es decir, para cada punto P(x , y) e ■'ó'debe haber un punto correspondiente Q(x , -y) e V. (Figura 2.7) Por ejemplo, para la curva 'Cde ecuación

E(x , y ) : x2y2 - 2x + y2 = 0se tiene :E(x , -y) = x2( y)2 - 2x + (-y)2 <=> E(x , - y ) : x:y2 - 2x + y2 = 0Vemos que E(x , y) = E(x , - y ) , por tanto , 'g'es simétrico respecto al eje X.

S IM ETR IA RESPECTO AL EJE Y

Si un conjunto V tiene por ecuación E(x , y) = 0, entonces se dice que es simétrico respecto al eje Y si al sustituir x por -x se obtiene una ecuación equivalente :

K(x , y) = ± E(-x , v)

www.freelibros.com


Esto es, para cada punto P(x , y) e í?debe haber un punto correspondiente Q(-x , y) e ^ (Figura 2.8)Por ejemplo , para la curva rC de ecuación

E(x , y ) : x2 - x2y - y3 = 0se tie ne :E(-x , y) = (-x)2 - (-x)2y - y3 <=> E(-x , y ) : x2 - x2y - y3 = 0 Como E(x , y) = E(-x , y) , la curva es simétrica respecto al eje Y.

| OBSERVACIONES 2.1

¿) Una curva es simétrica respecto al eje X si su ecuación E(x , y) = 0 no contiene potencias impares de y.

i¿ ) Una curva es simétrica respecto al eje Y si su ecuación E(x , y) = 0 no contiene potencias impares de x.

0 0 0 S IM ETR IA RESPECTO A L ORIGEN_______________________

Si un conjunto tiene por ecuación E(x , y) = 0 entonces se dice que es simétrico respecto al origen si al sustituir simultáneamente x por -x e y por -y se obtiene una ecuación equivalente :

E(x , y) = ± E(-x , -y)Es decir, el conjunto atiene como centro de simetría el origen si y sólo si, para cada punto P(x , y) e , existe un punto Q(-x , -y) e (Figura 2.9)

I Nota. Una gráfica es simétrica respecto al origen si no cambia bajo una rotación de 180e

( EJEM PLO 2 ) Para una curva ’g'de ecuación E(x , y ) : 12x - y I + 1 y - 4x I = 1, discutir su simetría respecto a los ejes coordenados y del ori

gen.

Solución.

a) Con el eje X. E(x , - y ) : 12x + y I + 1 -y - 4x I =1Como I -a | = | a I , entonces E(x , - y ) : 12x + y I + 1 y + 4x I =1Vemos que E(x , -y) * E(x , y ) , por lo que rCr\o es simétrica respecto al eje X.

b) Con el eje Y. E(-x , y ) : I -2x - y I + | y + 4x I =1 =» 12x + y i + | y + 4x I =1

FIGURA 2.9

www.freelibros.com

Sección 2.4: Extensión 69

E(-x , y) * E(x , y ) , por lo tanto ífn o es simétrica respecto al eje Yc) Con el origen. E(-x , - y ) : I -2x + y I + I -y + 4x I =1

Por la propiedad descrita en a ) ; E(-x , - y ) : f 2x - y I + I y - 4x i =1Luego , E(-x , -y) = E(x , y) , en consecuencia, la curva Mes simétrica respectoal origen.

I Nota. Es útil conocer la simetría de una gráfica antes de intentar dibujarla por el método de marcar puntos, porque en tal caso sólo necesitamos tabular la mitad de los puntos.

( EJEM PLO 3 ) Utilidad de la simetría para dibujar una gráfica__________

Esbozar la gráfica de la curva cuya ecuación esE(x , y ) : x = y2- 4

Solución. La curva es simétrica respecto al eje X, pues su ecuación no con

tiene potencias impares de y (Observación 2.1). Entonces dando tres valores positivos de y tales como y = 0 , y = 2 , y = 3 , obtenemos los correspondientes :x = - 4 , x = 0 , x = 5 ;de modo que uniendo los puntos (-4 , 0 ), (0 , 2) y (5 , 3) dibujamos la parte de la gráfica arriba del eje X, para luego reflejarla , tal como se muestra en la Figura 2.10. FIGURA 2.10

m EXTENSION__________________________________________________

En ciertas ocasiones , al despejar de alguna ecuación una de las variables , por ejemplo y = /(x ) , se observa que para determinados valores de x se obtienen valores imaginarios de y. Dado que no es posible trazar una gráfica de tales parejas de valores, esta situación determina ciertas regiones del plano, llamadas bandas vacías, en las cuales no hay curva.

Para determinar donde se localiza la gráfica de una ecuación se recurre a lo siguiente

a) Despejar, si es posible, cualquiera de las dos variables y = / ( * ) . Para hallar el dominio de la ecuación.x = g (y ) . para hallar el rango de la ecuación.

b) Si la ecuación dada es una función racional de la forma

www.freelibros.com


F(x) = /(X)g(x)

donde /(x ) y g(x) son polinomios que no tengan factores comunes que contengan a x , tratar de factorizar el denominador y excluir aquellos valores de x para los cuales g(x) = 0

c) Si la ecuación dada tiene la formay2 = función racional

tratar de factorizar el segundo miembro y mediante inecuaciones determinar los intervalos o regiones del plano en los cuales y2 & 0, y excluir los valores de x para los cuales y2 < 0,El análisis que se hace sobre las regiones del plano que pueden o no ser ocupa

das por una curva, es una discusión de la extensión de la gráfica.

[ E J E M P L O 4 ) Discutir la extensión de la gráfica de ecuaciónE(x , y ) : 4x2 + 9y2 = 36

Solución. Despejando y = /(x ) , obtenemos : y = ± y >/9 - x2

La variable y es real <=> 9 - x2 S 0 , o sea : x2 < 9 <=> -3 < x < 3Entonces, Dom(E) = [O , 3]. Valores excluidos : x e <- <*>, -3> U <3 , + ~>>Luego, se sombrea las regiones excluidas, a la derecha de x = 3 y a la izquierda de x = -3. ( \ \ \ \ \ )Análogamente para determinar el rango despeja mos x = g(x) y obtenemos

3x = ±-|V4 - y2 La variable x es real 4 - y2 > 0

=* y2<4 <=> -2 < y < 2 Entonces , Ran(E) = [-2 , 2]Valores excluidos : y e <- ~ , -2> U <2 , +~>Se sombrea las regiones excluidas arriba de la recta y = 2 , y debajo de la recta y = -2. ( l i l i /).Estas consideraciones sólo dejan disponible la región rectangular no sombreada que se ve en la Figura 2.11.Dado que la curva está encerrada en un rectángulo de dimensiones finitas se trata de un caso de gráfica acotada. Q

( E J E M P L O 5 ) Analizar la extensión de la gráfica de ecuaciónE(x , y ) : x2y? - x - 2y2 1 = 0

www.freelibros.com

Sección 2.4: Extensión 71

Solución. Para hallar el dominio despejamos y = / ( x ) , y obtenemos :

yx - 2 ( 1)

La variable y es real <=> £ 0 <=> (x + 1 > O a x - 2 > 0 ) v (x + 1 < O a x - 2<0 )

<=> (xS-1 a x > 2 ) v (x < -1 a x< 2 ) o (x > 2) v (x < -I)

Entonces , Dom(E) = < -~ , -1 ] U <2 , +°°>Valores excluidos : x e <-1 , 2]Se sombrea la región entre las rectas x = - 1 y x = 2 ( / / / / / )Para hallar el rango despejamos x = g (y ) :

2y2 + 1x =

¡ 1

Yi

i

i

y = i

0 ,

> *! ¡ M

É |. . . . . J

FIGURA 2.12

(y + i ) ( y - 1 )Valores excluidos , y = -1 , y = 1

=> Ran(E) = R - { -1 ,1}En (1) observamos que si x > 2 ■=» y > 1 o y < -1 ;entonces existe banda vacía a la derecha de x = 2 y entre las rectas y - 1 ex < - I , entonces y < 1 o y > - 1, es decir, existe una banda vacía a lax = -1 , sobre y = 1 y debajo de y = -1.Las regiones no sombreadas indican que se trata de una gráfica no acotada, (la

- -1. Si rda ce

curva se extiende indefinidamente). □

{ EJEMPLO 6 ) Hallar el dominio y el rango de la ecuación

E(x , y ) : y = x3~*2 + * -1

Solución. Factorizando el numerador de la función racional se tiene :

y =_ x2(x - 1) + (x - 1) _ (x - l)(x2 + 1) ■=> y = x2 + 1 , si x *■ 1

x - l x - 1Vemos que 3y , V x e f f - j l } => Dom(E) = R - { I }Observamos también que si x * 1 ■=> y * 2Despejando x = g(y) obtenemos : x = ± Vy - 1 ■=> 3x <=> (y - l > 0) a (y * 2)

» (y > 1) a (y * 2 )

.{ Ran (E) = [1 , +~> - {2} □

C e j e m p l o T ) Si D es el dominio de la ecuación y = V4 - ! x2 ± 2x + 1 I y R el rango de lx + 4 l + l y + 1 l = 1 , hallar D - R.

Solución. Si y = V4 - 1 x + 1 i 2 ■=> 3y <=> 4 - 1 x + I 1 () => I x + 112 < 4

www.freelibros.com


Pero sabemos que I a ¡2 = a2, entonces :(x + 1)- > 4 « -2 < x + 1 < 2 « -3 < x < 1 <=> D = [-3 , 1]

S i | x + 4 l + | y + l l = l = > l x + 4| = l - | y + l |Por definición de valor absoluto , 1 - 1 y + I ] > 0

t=> I y + 11 < 1 <=> -1 < y + 1 < 1 <=> -2 < y < 0 <=> R = [-2 , 0]Llevando D y R a una escala real obtenemos

> + oo

□D - R = [-3 , -2> U <0 , 1 ]

[ EJEM PLO 8 ) Dada la ecuación E(x , y ) : xys - x + 3y2 + 1 = 0 , hallar la intersección de su dominio con el complemento de su rango.

Solución. Despejando y = /(x ) obtenemos , y = ± V * ~ ^

Luego , 3y <=> * 7 j >0 » (x - 1 > 0 a x + 3 > 0 ) v (x -1 < 0 a x +3<0)« (x > 1 a x > -3) v (x 1) v (x < -3) ■=> Dom(E) = <- °° , -3> U (1 , +°°>

1 + 3y2Ahora, despejando x = g(y) se tiene : x = ------- ^ — r(1 - y )0 - y)

Entonces x es real si y * ± I , por lo que , Ran(E) = R - {-1 , 1} ■=> cRan(E) = {-1 , 1}

Dom(E) n cRan(E) = { 1} □

Í T 1 ASINTOTAS__________________________________________________

Si para una curva Wexiste una recta c£ tal que si nos movemos a lo largo de îndefinidamente, la distancia entre (J y V tiende a cero, entonces se dice que fZ-es una recia asíntota de % o que V es asintótica a K

Es posible que Wse aproxime a 'J por cualquier lado y en cualquier sentido; es posible que V intercepte a T en una o más veces, y siga siendo asintótica a 5?.

Una curva puede tener una, varias o ninguna asíntota. Entre las clases de asíntotas que puede tener una curva figuran las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

Veamos ahora como se determinan cada una de estas asíntotas

www.freelibros.com

Sección 2.5: Asíntotas 73

^ 1 ASINTOTAS HORIZONTALES ; Tienen la forma : y = k

Para hallar las asíntotas horizontales de una curva se ordena su ecuación E(x , y) = 0 en potencias decrecientes de x y se hace cero, si es posible, el coeficiente de la mayor potencia de x , luego se despeja y.

Por ejemplo , si queremos hallar las asíntotas horizontales de la curva de :'ación E(x , y ) : x2y2 + xy2 - x2 -1 = 0, ordenamos ésta en potencias decrecientes

d<. esto esE(x , y ) : (y2 - l)x 2 + y2x -1 = 0

Vemos que la mayor potencia de x es x2, y su coeficiente es y2 - 1. Luego, si y2 -1 = 0 <=> y = -1 o y = 1 son dos asíntotas horizontales de la curva.Si la ecuación E(x , y) = 0 es una función racional de la forma

a„xn + ax " ' 1 + ........ + ay = i r ;-------------- r 2- I an * 0 . ó,, * 0b0xm + b ^ 1" 1 + .........+ bm 0 0

con m y n positivos, su gráfica tiene asíntota horizontal en :a) y = 0 , si n < m

ab) y = —5- , si n = m

4>c) Si n > m , la gráfica no tiene asíntotas horizontales

Por ejemplo, para la ecuación 2xy + 4y - 3x = 0 , se tiene : y = ——— . Luego, se-2x + 4

gún lo expuesto en b ) , la asíntota horizontal de la curva es y = 3/2.

ASINTOTAS VERTICALES : Tienen la forma : x = h___________

Para hallar las asíntotas verticales de una curva de ecuación E(x , y) = 0, se ordena ésta en potencias decrecientes de y, se hace cero, si es posible, el coeficiente de la mayor potencia de y, luego se despeja x.

Por ejemplo, si queremos hallar las asíntotas verticales de !a ecuación E(x , y) : x2y - xy - 2y - 1 = 0

ordenamos su ecuación en potencias decrecientes de y, esto es :E(x , y) : (x2 - x - 2)y - 1 = 0

Como la mayor potencia de y es y misma, y su coeficiente x2 - x - 2 ; entonces si x2- x - 2 = 0 <=* x = 2 ó x = - I son dos asíntotas verticales de la curva.I Nota. Cuando se trata de hallar asíntotas verticales de una curva, se debe calcular previa

mente el dominio de la ecuación, pues su desconocimiento puede conducir a res. ' >dos erróneo--. El ejemplo que sigue t u n a paraba de ello

www.freelibros.com


f E J E M P L O 9 J Hallar las asíntotas verticales de la curva de ecuaciónE(x , y ) : x2y2 - x2 - 4 = 0

Solución. La mayor potencia de y es y2, y su coeficiente x2; luego , según la regla : x2 = 0 x = 0

Jv2 _ ADespejando y = /(x ) obtenemos : y = ± ------—La variable y es real » {x * 0) a (x2 - 4 > 0)

«=> (x * 0) a (x2 > 4) « x > 2 ó x < -2Por lo que el Dom(E) = < -<*>, -2] U [2 , + °°>. Valores excluidos : x e<-2 , 2>Como 0 e <-2, 2> es un error pensar que x = 0 da una asíntota vertical, ya que no hay puntos de la curva entre x = -2 y x = 2Por consiguiente, la curva no tiene asíntotas verticales. CU

(E J E M P L O 1 o ) La gráfica de la ecuación E(x , y ) : (2x - h + k)(y - h - k) = 2 , tiene una asíntota vertical que pasa por (4 , 0) y una asíntota

horizontal que pasa por (0 , 3). Hallar los valores de h y k.

Solución. Según la regla para determinar las asíntotas horizontales y verticales, una ecuación de la forma xy = a, tiene por asíntotas las rectas x = 0,

y = 0 (ejes coordenados). Análogamente, una ecuación de la forma (x - h)(y - k) = atiene por asíntotas las rectas x = h , y = k; esto es, las asíntotas se obtienen igualando a cero cada uno de las factores del primer miembro. Por lo tanto, para la ecuación dada tenemos :a) Asíntota vertica l, <l\ : 2x - h + k = 0

Si (4 , 0) e ,2? ^ 2(4) - h + k = 0 « h - k = 8 (1)b) Asíntota horizontal, 2? : y - h - k = 0

Si (0 , 3) e 22? => 3 - h - k = 0 o h + k = 3 (2)Resolviendo (1) y (2) por simultáneas obtenemos : h = 11/2 , k = -5/2 □

(E J E M P L O T i l Dada la ecuación £(x , y) : xy + 2y - x - 3 = 0, establecer elvalor de verdad de las siguientes afirmaciones

a) El Dom(E) = R - {-2} y el Ran(E) = R - {1}b) y = 1 es una asíntota horizontalc) La gráfica es simétrica respecto del punto (2 ,1 )

Solución.

a) Para y = /(x ) se tiene : y = ■* <=$ y e R <=> x * - 2 ■=> Dom(E) = R - {-2}

www.freelibros.com

Sección 2.5: Aasíntolas 75

3 - 2Yy para x = g(y) obtenemos : x = —— o x e K « y * I <=> Ran(E) = / ? - { ! }

Por lo tanto, la afirmación es verdadera v ± 3

b) Si y = ' + 0 , al dividir los coeficientes de x obtenemos y = I ; es una asíntota

horizontal, luego, la afirmación es verdadera.

c) Una gráfica de ecuación xy = a es simétrica respecto del origen. Así mismo, la gráfica de ecuación (x - h)(y - k) = a es simétrica del punto (h , k). Luego, si

v = - * ^ 1 = I + — ~ r y - I = — o (x + 2)(y - 1) = I x + 2 x + 2 x + 2 ' v /Entonces, la gráfica de E es simétrica respecto del punto (-2 , 1).La afirmación es falsa. Q

I OBSERVACION 2.2 Las ecuaciones que tienen la forma E(x , y ) : y - * C ,

be - cd 0 , se llaman funciones homográficas y tienen la particularidad de que pueden reducirse a la forma equivalente E(x , y): (x - h)(y - k) = a, donde x = h e y = k son, respectivamente, las asíntotas vertical y horizontal d i curva y (h , k) es el centro de simetría de la misma.

ASINTOTAS OBLICUAS : Tienen la forma de y = mx + b , m * 0

El método para hallar las asíntotas oblicuas de una curva es el siguiente :

1. Se sustituye y = mx + b en la ecuación de la curva E(x , y) = 0 , de modo que E(x , mx + b) = 0 quede sólo en función de x.

2. Se efectúan las operaciones indicadas ordenando la ecuación en potencias decrecientes de x.

3. Se iguala a cero los coeficientes de las dos potencias más altas de x.4. Se resuelve las ecuaciones obtenidas en (3), de donde se determinan los va

lores de m y b.

[E J E M P L O 13J Determinar las asíntotas oblicuas de la curva de ecuaciónE(x , y) : 2x2 + xy - y2 + 4x - 2y - 6 = 0.

Solución. Sea la asíntota oblicua : y = mx + b (1)Sustituyendo en la ecuación dada se tiene

1. E(x , mx 4- b ) : 2x’ + x(mx + b) - (mx * b)' + 4x - 2(mx + b) - 6 = 0

www.freelibros.com


2. E(x , mx + b) : (2 + m - m2)x2 + (b - 2bm - 2m + 4)x - (b2 + 2b) = O3. Entonces : 2 + m - m2 = 0 y b - 2bm - 2m + 4 = 04. De la primera ecuación : mJ - m - 2 = 0 <=> m( = 2 o m, = -1

En la segunda ecuación : Si m| = 2 => b - 4b - 4 + 4 = 0 <=> b =0y si m, = -1 t=> b + 2b + 2 + 4 = 0 «=>b2 = -2

Por lo tanto, en (1), las ecuaciones de las asíntotas oblicuas sony = 2x ó y = -x - 2 CD

I Nota. Si la ecuación de la curva es una función racional de la forma :y - M

3(x)donde /(x) y g(x) son polinomios y en la que el grado de /(x) es una unidad mayor que el grado de g(x), se presenta una situación especial en lo referente a asíntotas oblicuas.

(EJEMPLO 14) Halle las asíntotas oblicuas de la curva de ecuación

y = F(x) = x --: 2y 2 J v ' x + 2

Solución. Si el numerador se divide entre el numerador se obtiene

* F(x) = x - 4 + - 1 0 - (1 )

En (1) se observa que cuando x > -2 entonces F(x) > x - 4 , de modo que la gráfica de F está por encima de la recta y = x - 4 , y cuando x < -2 , F(x) < x - 4 , por lo que la gráfica de F está por debajo de la recta y = x - 4. También, conforme x —» + °°

(significa x tiende a + <*>) o bien x -»-<*>, entonces 10 ■ -» 0 . En consecuencia,x + 2

de (1) se puede concluir que confojme x -> + o bien x - <*>, entonces F{x) x -4 Por esta razón se dice que la recta y = x - 4 es una asíntota oblicua de la gráfica de F. A continuación veremos algunos ejemplos ilustrados sobre el análisis del trazado de curvas utilizando las cuatro pruebas preliminares estudiadas individualmente.

Q EJEMPLOS ILUSTRATIVOS____________________________

© CHANCAS d e FUNCIONES ra c io n a l e s ___

En la secciórV 2.4 se definió una función racional como a aquella que puede expresarse como el cociente de dos funciones polinómicas. Esto es, si / y g son funciones polinómicas y F es la función definida por

/ W „ C/..4 /(y)

www.freelibros.com

Sección 2.5: Asíntotas 77

entonces, F es una función racional, cuyo dominio es R excepto los ceros de g.

( E J E M P L O 1 ) Discutir y gráficar la ecuación E(x , y ) : xy - x - 4y + 2 = 0Indicar las regiones o bandas vacías y emplear pequeñas fle

chas para sugerir el comportamiento asintótico de la curva.

Solución.

1. intersecciones con los ejes coordenadosa) Con el eje X. E(x , 0 ) : - x + 2 = 0 « x = 2 <=> x - intersección = A(2 , 0)b) Con el eje Y. E(0 , y ) : -4y + 2 — 0 o y = 1/2 Y - intersección = B(0 , 1/2)

2. Simetría. Como la ecuación no contiene potencias pares de x e y, la curva noes simétrica respecto a los ejes coordenados y al origen.

3. Extensión.x - 2a) Despejando y = /(x ) se tiene , y =

b) Despejando x = g(y) obtenemos , y =

x -4 4y + 2y - I

Dom(E) - R - {4} (a)

=> Ran(E) = / ? - { ! } (P)

En (a) podemos notar que si x > 4 ■=> y > I , es decir, hay una rec, n vacía a la derecha de x = 4 y debajo de y = 1 (se sombrea esta región).Si x < 4 t=> y < 1 , luego , se sombrea la región a la izquierda de x = 4 y encima de y = 1.

4. Asíntotas.En (a) vemos que la ecuación dada es un función racional homográfica, por lo

ques i : x ^ | = (x - 4) + 2 s \ + 2 0 (x . 4) ( y -1) = 2x - 4 x - 4 x - 4

Entonces x = 4 e y = I son, respectivamente, las asíntotas vertical y horizontal de la curva.Comportamiento asintótico de la curvaEn (a) vemos que si- x 4+ (significa, xtiende a 4 por la derecha, o sea x > 4), entonces y -> 4‘ (significa, x tiende a 4 por la izquierda, o sea x < 4) , entonces y * ->*>.En ((3) , si y —> 1+ (significa , y tiende a 1, por encima de I , o sea y > I ), entonces x -»+oo . Si y -» 1' (significa, y tiende a 1 , por debajo de 1, o sea y < 1), entonces x -> -■*>

r

Y/ x = 4 j U

! y yA -1* * x\ i\ i\ ^\ r** i

FIGURA 2.13

www.freelibros.com

78 Capítulo 2: Gráfica.de una ecuación

5. Trazado de la gráfica (Figura 2.13)

a) Se trazan las líneas de guía (asíntotas) x = 4 , y = 1. Se sombrea las regiones vacías

b) Se fijan los interceptos con los ejes X e Y : A(2 , 0) y B(0 , 1/2)c) Cuando x e < 4 , +=»> , la curva se extiende asintóticamente a la derecha de

x = 4 y arriba de y = 1Cuando x e <-«= , 4> , la curva-pasa por A y B y se extiende asintóticamente hacia las rectas x = 4 , y = 1 CD

( EJEM PLO 2 ) Discutir y graficar E(x , y ) : y = ? ~ * ~ x2

Solución. Factorizando el numerador y denominador se tiene :

1. Intersecciones con los ejes coordenadosa) Con el eje X. E(x ,0 ) : x + 2 = 0 <=> x = -2 ■=> X - intersección = A(-2 , 0)

b) Con el eje Y. E(0 , y ) : y = - ^-y-y = - 2 >=> Y - intersección = B(0 , -2)

2. Simetría. En (a) tenemos una función homográfica , entonces si

y = - i + J = . O L L l i l i = - i - _ L « (X+ i )(y+ |) = . i (p)X + 1 X + I X + 1

La curva no es simétrica respecto a los ejes coordenados, tampoco lo es con el origen. La curva es simétrica respecto al punto (-1 , -1).

3. Extensión.

a) y = /(x ) = * y = * yyy-y , x * I o Dorn(E) = R - {-1 , 1}

b) En (a) vemos que si x * 1 <=* y * -3/2 ■=> c(l , -3/2) <t Gr(E), es un “punto ciego”

, si x * 1 , -1 (a)x + 1

, y * - l ^ Ran(E) = / ? - { - ! ,-3/2}

Regiones vacías : En ( a ) , si x < -1 <=> y > 1,luego se sombrea la re

gión a la izquierda de x = -1 y debajo de y = -1. Si x > -1 ■=> y < -1 , se sombrea la región a la derecha de x = -1 y encima de y = - 1

4. Asíntotas. De (P): (x + l)(y + 1) = -1, entonces x = -1 e y = -I son, respecti

vamente, asíntotas vertical y horizontal de la curva. FIGURA 2.14

www.freelibros.com


Comportamiento asintótico de la curvaEn (a) , s ¡ x - » -1+ , entonces y -» -~ , y si x -> - l ' , entonces y -> +~

En x = - . sí y —> - 1+ , entonces x - * -°° , y si y - » - 1 ' , entonces x +~


a) Se trazan las asíntotas : x = -1 , y = - <■ ombrea las regiones vacías)b) Si fijan los interceptos A(-2 , 0). B(0 , -1) y punto ciego” C(1 , -3/2)

En x e<-°°, -1 > , la curva pasa por A y se expende asintóticamente hacia las "ectas x = -1 , y = -1En x € <-1 , +°°>, la curva pasa por B, se interrumpe en C, para luego seguir asintóticamente a la recta y = - I . □

C EJEM PLO r Discutir y construir la gráfica de la ecuaciónE(x , y ) : x2 - xy + y = 0

Solución.

1. Intersecciones con los ejes coordenados

La curva intercepta a los ejes coordenados en el origen, pues su 'ación carece de término constante.

2. Simetría

a) Con el eje X. E(x , - y ) : x2 - x(-y) + (-y) = 0 <=> x2 + xy - y = 0 * E(x , y)b) Con el eje Y. E(-x , y ) : (-x)2 - (-x)y + y = 0 ■=> x2 + xy + y = 0 * E(x , y)c) Con el origen. E(-x , - y ) : (-x)2 - (-x)(-y) + (-y) = 0 =* x2 - xy - y = 0 * E(x , y)

Por tanto, la curva no es simétrica respecto a los ejes coordenados y al origen.

3. Extensión.

a) Al despejar y = /(x ) obtenemos la función

racional y = o Dom(E) = R - { 1}

b) Despejando x = g(y) se tiene :

x = I ( y ± Vy2 - 4y )

==> x e / f <=> y2- 4 y > 0 <=> y < 0 v y > 4 <=p Ran(E) = <-<*>, 0] U [4 , +<»>Valores excluidos : y e <0, 4>

4. Asíntotas. E(x , y) : x2 - xy + y = 0

a) No hay asíntotas horizontales, pues el coeficiente de mayor potencia de x es constante FIGURA 2 15

www.freelibros.com


b) Asíntotas verticales, (x - l)y - x2 = 0 ■=> x - 1 = 0 <=> x = I es una A.V.

c) Asíntotas oblicuas, y = — 7 = x + 1 + —L- <=> y = x + 1 es una A.O.x - I x - 1 J


a) Se trazan las líneas de guía, o sea las asíntotas x = 1 , y = x + 1 Luego, se sombrea la región y e <0 , 4>

b) Cuando x e <-°° , 1> , la curva pasa por el origen y se extiende acercándose a las asíntotas.Cuando x e <1 , +■»> , se extiende arriba de y = 4, hacia las asíntotas. Q

( EJEM PLO 4 ) Discutir y graficar la ecuación E(x , y ) : y2 - xy - 4 = 0

Solución.


a) Con el eje X. E(x , 0 ) : 0 - 0 - 4 = 0<=> No hay interceptosb) Con el eje Y. E(0, y ) : y2 - 4 = 0 « y = + 2 <=» Y - intersección = A(0 ,2), B(0, -2)

2. Simetría.

a) Con el eje X. E(x , - y ) : (-y)2 - x(-y) - 4 = 0 >=> y2 -4 = 0 ^ E(x , y)b) Con el eje Y. E(-x , y ) : y2- (-x)y - 4 = 0 =» y 2 + xy - 4 = 0 £ E(x , y)c) Con el origen. E(-x , - y ) : (-y)2- (-x)(-y) - 4 = 0 => y2 - xy - 4 = 0 3 E(x , y)

Por lo tanto, la curva sólo es simétrica respecto del origen

3. Extensión.

a) Despejando y = /(x ) se tiene : y = i (x + V x2 + 16)

Entonces , y e f i , V x e f i , e s dec ir, Dom(E) = R

b) jx = F(y) => x = y y 4 (función racional) ■=> Ran(E) = R - {0}

4. Asíntotas.

a) yx - y2 + 4 = 0 => y = 0 es una asíntota horizontal

b) No hay asíntotas verticales porque el coeficiente de la mayor potencia de y es constante.

y 2 - 4 4c) Si x = ¿~y ~ => x = y - y

Luego , x = y es una asíntota oblicua. FIGURA 2.16

www.freelibros.com



a) Se trazan las asíntotas y = x , y = 0 (Eje X)b) Se ubican los interceptos con los ejes coordenados : A(0 , 2) y B(0 , -2)c) Cuando y e <0, +°°> , la curva pasa por A y se extiende hacia las asíntotas.

Cuando y e <-oo , Q> , la curva pasa por B y se extiende hacia las asíntotas.

{ E J E M P L O 5 ) Discutir y graficar las ecuación E(x , y ) : x2y - 4x + y = 0

Solución.

1. Intersecciones con lós ejes coordenados

No hay intersecciones con los ejes coordenados, la curva pasa por el origen.

2. Simetría.

a) Con el e X. E(x , - y ) : x2(-y) - 4x - y = 0 => -x2y - 4x - y = 0 í E(x , y)b) Con el eje Y . E(-x , y ) : (-x)2y - 4(-x) + y = 0 ■=> x2y + 4x + y = 0 í E(x , y)c) Con el origen. E(-x , -y ) : (-x)2(-y) - 4(-x) + (-y) = 0 ■=> x2y - 4x + y = 0 = E(x , >*)

Por lo tanto, la curva es simétrica sólo respecto al origen.

3. Extensión.A y

a) Al despejar y = / ( x ) , se tiene : y = ■=> Dom(E) = R

2 + V4 - Y2b) Despejando x = g (x ) , obtenemos : x = — —

■=> x e / f <=> 4 - y 2>0 => y2 <4 <=> - 2 < y < 2 ■=> Ran(E) = [-2 , 2]Valores excluidos : y e <-«>, -2> U <2 , +~>

4. Asíntotas.

a) Por inspección , de 3b , y = 0 es unaA.H.

b) (x2+ l)y -4x = 0 x2 + 1 = 0 No existe asíntota vertical.


a) Trazamos la asíntota horizontal y = 0, que es el eje X.

b) Como la curva pasa por el origen , ésta se extiende simétricamente alo largo del eje X. D

www.freelibros.com

82 Capitulo 2: Gráfica Je una ecuac ión

® GRAFICAS DE ECUACIO NES DE LA FORMA _______ _. . '.y : = Función racional o x2 = Función racional

Las gráficas de y- = f ( x ) se caracterizan por ser simétricas respecto del eje X, mientras que las gráficas de x2 = g(y), por se simétricas respecto del eje Y.

( E J E M P L O eT| Discutir y graficar la ecuación E(x , y ) : y2 + 2x - x2y2 = 0

Solución. Despejando v2 obtenemos : y2 = -----rr • (a)(x + l)(x - 1)


Como la ecuación carece de término constante , la curva pasa por el origen

2. Simetría.

La gráfica de la ecuación es simétrica únicamente respecto del eje X.

3. Extensión.

a) De ( a ) : y = ± a / ■■ 2x --y V(X+ i)(x - l)

Entonces y e K «=» — > 0 (P)(x + l)(x - 1)

Ubicando los valores críticos x = 0 , x = - l , x = l e n una escala real, los signos de los intervalos de variación que determinan , son :

. . . _______________ 1W / / / / / / / 1 m m n m u ..© -i © o o i ©

Recuerde que cuando los factores de una desigualdad tal como (P) son de multiplicidad simple, se anotan con signo (+) el último intervalo, luego en los demás intervalos se alteran los signos (•) . (+) . (■) de derecha a izquierda.En consecuencia, los intervalos que satisfacen (P) son los positivos, por lo que el Dom(E) = <-1 , 0] U <1 , +~>Valores excluidos : x e <-« , -1 ] U <0, 1 ]

b) Despejando x = g(y) se tiene :

x = - V' - y4 => Ran(E) = /? - {0}^ ‘'V'.

4. Asíntotas.

a) y Jx2- 2 x - y 2 = 0 ■=> y2 = 0 ■=> y = 0 es una asíntota horizontal.

www.freelibros.com


b) (1 - xz)yl + 2x = 0 <=* l - x 2 = 0 » x = ±l son dos asíntotas verticales.

5. Trazado de la curva. (Figura 2.18)

a) Se trazan las asíntotas :x = - l , x = l , y = 0Luego , se sombrea las regiones vacías (valores excluidos).

b) La curva pasa por el origenc) Para x e <-1 , 0] , la curva se extiende simétricamente hacia la línea x = -1.

Para x e <1 , +<*», la curva se extiende simétrica y asintóticamente hacia lasrectas x = 1 , y = 0 CU

f EJEMPLO 7 ) Discutir y graficar E(x , y ) : x2y2 - 4xy2 + 3y2 -4 = 0

, , 4Solución. Despejando y- se tiene : y1 = —— — ——


a) Con el eje X. E(x , 0 ) : -4 = 0 , no hay interseccionesb) Con el eje Y. E(0 , y ) : 3y2 - 4 = 0 <=> y = -2/V3 o y = 2/V I

=* Y - intersecciones = A(0 , -2/VI) y B(02. Simetría. La curva es simétrica respecto al eje X.

3. Extensión.

(a)

ñ )

a) De ( a ) : y ■ ±2V(x - l)(x - 3)

y e R <=> (x - l)(x - 3) > 0 <=> x < l ó x > 3

Luego, Dom(E) = <-°o , l> u <3 , +°°>Valores excluidos : x e [ 1 , 3]

2v +b) Despejando x = g(y) se tiene : x = y ------

Como y2 + 4 > 0 , V y e R => x e / í o y * o <=> Ran (E) = R - {0}

4. Asíntotas.a) De 3b, por inspección , y = 0 es una asínto

ta horizontalb) De ( a ) : x - I = 0 y x - 3 = 0 ■=> x = l y x = 3

son dos asíntotas verticales.5. Trazado de la curva. (Figura 2.19)

a) Dibujamos las asíntotas : y = 0 , x = 1 y x = 3 , luego sombreamos la región vacía en x e [ 1 ,3 ]

b) Fijamos los interceptos A(0 , - 2 / V I ) y B(0 , 2/VI ) FIGURA 2.19

Y>

1 ' ' V 1 1 1 1

/ \/ ! 1 Vf i v - Vx' ’ 1 1

~ ~~ 0 . - a - -

\ l 1 c♦I I 1 • ♦

__

www.freelibros.com

84 Capítulo 2: Gráfica tle una ecuación

c) En 3a, cuando x —> I e n t o n c e s y —» ±°° . es decir, la curva pasa por A y B extendiéndose asintóticamente a la línea x = I , y simétricamente al eje X. También, cuando x -> 3+ , entonces y -> ±°° > es dec ir, la curva se extiende simétrica y asintóticamente hacia las rectas y = 0 y x=.3. □

{ E J E M P L O 8 ) Discutir y graficar la ecuación E(x , y ) : xy2 - x + 2y2 + 3 = 0

Solución. Despejando y- obtenemos : y-’ = * ^ (a)


a) Con el eje X. E(x , 0 ): -x + 3 = 0 <=> x = 3 => X - intersección = A(3 , 0)b) Con el eje Y. E(0 , y ) : 2y-’ + 3 = 0 . No existe intersección.

2. Simetría. La curva es simétrica sólo respecto al eje X.

3. Extensión.

a) De ( a ) : y = ± => y e R « -2 ^ 1 > 0 « x < - 2 ó x > 3

=» Dom(E) = <-oo , -2> U [3 , +~>Valores excluidos : x e [-2 , 3>

b) Despejando x = g(y) se tiene : x = + ,3

=> x € í y * ± l , luego : Ran(E) = « - { - 1 , 1 }

4. Asíntotas.

a) Asíntotas horizontales :Por inspección^ de 3b , 1 - y2 = 0 => y = -1 o y = l son dos asíntotas horizontales

b) Asíntotas verticales :También, por inspección de 3a : x + 2 = 0 ■=> x = -2es una A.V.

5. Construcción de la gráfica.

a) Trazamos las asíntotas x = -2, y = -1, y = 1 , luego sombreamos la región vacía en x e [-2 , 3>

b) Ubicamos el intercepto A(3 , 0)c) En 3a : cuando x —> -2", en

tonces y —> ±°= , es decir si x < -2 , la curva se extiende

www.freelibros.com


asintóticamente arriba de la recta y = 1 y por debajo de la recta y = -1.Cuando x > 3 , la curva pasa por A y se extiende simétrica y asintóticamente


a) Con el eje X. E(x , 0 ): x(x + 2)(x - 2) = 0 o x = 0 , x = - 2 , x = 2■=> X - intersección = A(-2 , 0 ), B(2 , 0) y 0(0 , 0)

b) Con el eje Y. E(0 , y ) : y2 = 0 ■=> y = 0. La curva pasa por el origen.

2. Simetría. La curva es simétrica sólo respecto al eje X

3. Extensión. De (a ) : y = + Vx(x + 2)(x - 2) ■=> y e R <=> x(x + 2)(x - 2) > 0 (p)Fijando los valores críticos x = -2 , x = 0 y x = 2es una recta real,

los intervalos de variación que determinan son los siguientes :

hacia las rectas y = +1. □

( EJEM PLO 9 ) Discutir y graficar la ecuación E(x . y ) : x3 - 4x - y2 = 0

Solución. Despejando y2 se tiene : y2 = x(x + 2)(x - 2) (a)

Í / / / / / / / / ÍO -2 © 0•2 © 0 0 2 ©

Luego, según (P ): Dom(E) = [-2 , 0] U (2 , +~> Valores excluidos : x e < -~ , -2> U <0 , 2>

4. Asíntotas. Como los coeficientes de laspotencias más altas de x e y

son constantes, la curva no tiene asíntotashorizontales ni verticales.

5. Construcción de la curva (Figura 2.21)

a) Como la curva no tiene asíntotas, fijamos los interceptos A(-2 , 0 ), 0(0 , 0) y B(2 , 0), luego sombreamos las regiones vacías constituidas por los valores excluidos.

b) La tabla que da a continuación es una ayuda más para trazar la curva.

x -1 3 □ FIGURA 2.21

y ± V3 ± Vl5

www.freelibros.com

86 Capitulo 2: Gráfica ile una ecuación

[ e j e m p l o 1 0 ) Discutir y graficar la ecuación E(x , y ) : x3 - xy2 + 2y2 = 0v3

Solución. Despejando y2 obtenemos : y = ——- (a)


a) Con el eje X. E(x , 0): x ' = 0 ■=> x = 0b) Con el eje Y. 2y2 = 0 ■=> y = 0. La curva pasa por (0 , 0)

2. Simetría. La curva es simétrica sólo respecto al eje X.

3. Extensión. De (a ) : y = ± x

<=> y e R <=> x 9 > 0 «=> (x < 0) v (x > 2)

Luego , Dom(E) = <-°° , 0] U <2 , + ~ > . Valores excluidos : x e <0 , 2j

4. Asíntotas.

a) Asíntotas horizontales. Como el coeficiente de x1 es constante, la curva notiene asíntotas horizontales.

b) Asíntotas verticales. (2 - x)y2 + x1 = 0 t=> 2 - x = 0 <=> x = 2 es una A.V.c) Asíntotas oblicuas, y = mx + b

Sustituyendo en la ecuación dada se tiene : x3 - x(mx + b)2 + 2(mx + b)2 = 0 ■=> (1 - m2)x5 + (2m2 - 2bm)x2 + (4bm - b2)x + 2b2 = 0 De acuerdo con la regla :(1 - m2 = 0) a (2m2 - 2bm = 0)■=> (m2 = 1) a (b = m)<=> m = +1 y b = ±1 Luego, hay dos asíntotas oblicuas :

y = x + I ó y = -x - 1

5. Trazado de la curva. (Figura 2.22)

a) Trazamos las líneas de guía, o sea las asíntotas : x = 2 , y = x + 1 , y = -x - 1

b) Se sombrea la región vacía constituida por los valores excluidos : . x e <0 , 2]

c) Cuando x < 0 , la curva se extiende simétrica al eje X y asintótica- mente hacia las líneas y = -x - 1 e y = x + 1

b2)x + 2b2 = 0r

Y J>’S'iV V. ;

. ' 1 / A// 'x = 2

^ ____

o i - b > x s 1■ N Y >v \

|l JFIGURA 2.22

www.freelibros.com


También, cuando x > 2 , la curva se extiende simétricá al eje X y asintóticamente hacia las líneas x = 2 ,y = x + l e y = - x - l Q

[E J E M P L O 1 1 ) Discutir y esbozar la gráfica de la ecuaciónE(x , y ) : x2y2 - 4x2 - y - 1 = 0

Solución. Al despejar x2 se tiene : x2 = y + 1y2-4 (a)


a) con el eje X. E(x , 0 ): 0 - 4x2 - 0 - 1 = 0 ■=> 4x2 + l = 0. No hay interceptosb) Con el eje Y. E(0, y ) : 0 - 0 - y - l = 0 >=> y = -l Y - intersección = A(0 , l)

2. Simetría. La curva es simétrica sólo respecto al eje Y.

3. Extensión. De ( a ) : x = ± "J-—MY + 2 (<(» * 2)(y -2) “ * € * " 2 ° ®

Los valores críticos y = -2 , y = -1 e y = 2 determinan en una recta real, los siguientes intervalos de variación.

• oo m n u m L , . .©O -2 © -t O 2

Entonces, según (P): Ran (E) = <-2, - 1 ] U <2 , +<*»

Valores excluidos : y e <-<*>, -2] U <-1 , 2]

4. Asíntotas..a) Asíntotas horizontales

E(x . y) - (y2 - 4)*2 - (y + l) = 0 =* y2- 4 = 0 o y = -2 ó y = 2 son dos A.H.b) Asíntotas verticales

E(x , y ) : x2y2 - y - 4x3 - 1 = 0 <=* x2 = 0 , luego , x = 0 es una asíntota vertical.

5. Construcción de la curva (Figura 2.23)a) Se trazan las asíntotas: x = 0, y = -2,

y = 2 , luego, se sombrea las regiones vacías (valores excluidos).

b) Se fija el intercepto A(0 , -l)c) Para y e <-2, - I ] , la curva pasa por A

y se extiende simétricamente hacia la línea y = -2.Para y e <-2 , +°=> , la curva se extiende simétrica y asintóticamente hacia las rectas x = 0 e y = 2. LÜ

i y = 2i1

FIGURA 2.23

www.freelibros.com


[ e j e m p l o 1 2 ) Discutir y construir la gráfica de la ecuaciónE(x , y) :4y2 - x2y2 - 4x2 =(x - I )2

Solución. Al despejar y2 se tiene : y2 =_ (x - 0 ;4 - X2 (a)


a) Con el eje X. E(x , 0 ) . ( x - l)2 = 0 <=> x = l ■=> X - intersección = A (l ,0)b) Con el eje Y. E(0 , y ) : y2 = 1/4 <=> y = ± 1/2

■=> Y - intersección = B(0 , I /2 ) , C(0 , -1/2)

2. Sinfjjtría.

La curva es simétrica respecto al eje X, pues E(x , -y) = E(x , y)

x - 13. Extensión. De ( a ) : y = ±V4 - .

y e f i <=> 4 - x 2>0 « - 2 < x < 2 ^ Dom(E) = <-2 , 2>Valores excluidos : x e <-~ , -2] U [2 , +°°>

4. Asíntotas.

a) Asíntotas horizontalesE(x , y ) : (y2 + l)x 2 - 2x + 1 - 4y2 = 0 y2 + 1 = 0 , la ecuación no tiene raíces reales , por lo que la curva no tiene asíntotas horizontales.

b) Asíntotas verticalesE(x , y ) : (4 - x2)y2 - (x -1 )2 = 0 <=> 4 - x2 = 0 o x = -2 ó x = 2 son dos A.V.

5. Construcción de la curva (Figura 2.24)

a) Se trazan las asíntotas : x = -2 , x =2 , luego se sombrean las regiones vacías.

b) Se ubican los interceptos con los ejes coordenados A(1 , 0) , B(0 , -1/2) y C(0 , 1/2)

c) En (3) se observa que cuando x -> -2+ ó x —» 2‘ , entonces y -> ±°o , es decir, la curva se extiende a partir de A, simétrica al eje X y asintóticamente hacia las rectas x = -2 y x = 2. □ FIGURA 2.24

I II '

X = -2 I

' ■ % *II

Y j

C /v #

• " AI I

11 - l x = 2

f l -

t v .1 V V

-2I

II111 1

*1 0B \

*2 4 ■

1 ' " V

i 111 1.II , f- l l J

(e j e m p l o 1 3 ) Discutir y construir la gráfica de la ecuaciónE(x , y ) : (x2 - 9)y2 - x2 +4 = 0

www.freelibros.com

EJEMPLOS ILUSTRA TIVOS 89

Solución. Al despejar y2 se tiene : y2 = (x-~t~ 2^ x zJ) (a). (x + 3)(x - 3) '


a) Con el eje X. E(x , 0) : -x2 + 4 = 0 <=> x = ± 2>=> X - intercepción = A(-2 , 0) y B(2 , 0)

b) Con el eje Y. E(0 , y ) : -9y2 + 4 = 0 <=> y = í V3=> Y - inte'sección = C(0, - 2/3) y D (0, 2/3)

2. Simetría. Dado que la ecuación contiene potencias pares de x e y, la curva essimétrica respecto a los ejes coordenados y al origen.

3. Extensión. De ( a ) : y = ± ' \ T X + 2^ x— => x e /f <=> (x + 2^ x ~ > q (ft)v (x + 3)(x - 3) (x + 3)(x - 3)

Ubicando los valores críticos x = - 3 , x = - 2 , x = 2 y x = 3en una escala real, lossignos de los intervalos de variación que determinan son los siguientes

m w / t í / i ± i1H U T Í/Í! i M / iu r n3 ©

> + ■© - 3 0 - 2 © 2 O

Los intervalos con signo positivo satisfacen (p) , luego :Dom (E) = <-<*>, -3> U [-2, 2) U <3 , +<*>>. Valores excluidos: x e [-3 , -2> U <2, 3]

Análogamente, al despejar x = g(y) se tiene : x

C ? X E í O w - T ■ - i \ - j ____-21 >0 y 6 < - t

, J (3 y + 2)(3\(y + i)(y - 1) (y)

(3y + 2)(3y - 2) > n ^ ( y + l ) ( y - l )

l> U t-2/3 , 2/3J U <1 , +~>

4. Asíntotas. Por inspección, de (y): (y + l)(y - 1) = 0 <=> y = -1 , y = 1 son dos A.H.y de ( a ) : (x + 3)(x - 3) = 0 o x = - 3 , x = 3 son asíntotas verticales.

5. Construcción de la curva (Figura 2.25)a) Se trazan las líneas guías : x = -3 ,

x =3 , y = -1 , y = 1.b) Se fijan los interceptos A(-2 , 0 ) ,

B(2 , 0 ), C(0 , -2/3) y D(0 , 2/3)c) En el paso (3) se observa que x -»

-3' o x •+ 3+, entonces y -» +°°, es deciry e < -~ , -1>U <1, +°°>; significa que la curva se extiende simétrica al eje X y asintóticamente a las líneas guía.En x e [ - 2 ,2 ] tenemos el caso de una gráfica acotada , puesy e [-2/3, 2/3], □

.... —

Jp *

1i r ~

í '1m i

í t z ' i—-NB T

a

L1 s P M

n !1

II iir-/

FIGURA 2.25

www.freelibros.com


(3 ) GRAFICAS DE ECUACIONES QUE CONTIENEN RAICES CUADRADAS

(E J E M P L O 1 4 ) Discutir y construir la gráfica de la ecuaciónE(x , y ) : y = - Vx2 - 4x

Solución.


a) Con el eje X. E(x , 0): 0 = x2 - 4x <=> x = 0 , x = 4■=> X - intersección = (0 ,0 ) , A(4 , 0)

b) Con el eje Y. E(0 , y ) : y = - V0 - 0 <=> y = 0 Y - intersección = (0,0)

2. Simetría.

a) Con el eje X. E(x , - y ) : -y = - Vx2 - 4x <=> y = Vx2 - 4x t E(x , y)b) Con el eje Y. E(-x , y ) : y = - V(-x)2 - 4(-x) •=> y = Wx2 + 4x í E(x , y)c) Con el origen. E(-x , - y ) : -y = - Vx2 + 4x ■=> y = Vx2 + 4x # E(x , y)

La curva no es simétrica respecto a los ejes coordenados y al origen.

3. Extensión.

a) y = - Vx2 - 4x ■=> y e / ? x2 - 4x > 0 o x < 0 ó x > 4Luego, Dom(E) = <-~ , 0] U [4 , +°°>. Valores excluidos : x e <0 , 4>

b) Si Vx2 - 4x = -y ■=> -y > 0 , v x e Dóm(E), esto es , y < 0 ■=> Ran(E) = <-°°, 0] Valores excluidos : y e <0 , +°°> , esto significa que la gráfica de la curva se extiende indefinidamente debajo del eje X.

4. Asíntotas. La curva no tiene asíntotas horizontales ni verticales, pues los coeficientes de las potencias más altas de x e y son constantes.

c) Asíntotas oblicuas : y = mx + bSustituyendo en la ecuación dada se tiene : mx + b = - Vx2 - 4x de donde : (m2 - l ) x2 + 2(bm + 2)x + b2 = 0 Según la regla : m2- l = 0 « m = l ó m = -l

bm + 2 = 0 o b = -2 ó b = 2 Hay dos asíntotas oblicuas :

y = x - 2 ó y = -x + 2


a) Se trazan las líneas guía : y = x - 2 , y = -x + 2 , luego se sombrean las regiones vacías

b) Se fijan los interceptos :(0 , 0) y A(4 , 0)c) A partir de estos puntos la curva se

www.freelibros.com


extiende indefinidamente acercándose a las asíntotas, tal como se muestra en la Figura 2.26. O

(E J E M P L O 1 5 ) Discutir y qraficar la ecuación E(x , y ) : y = ,x + ■*V9 - x2

Solución. En las relaciones que no sean funck . .es racionales es conveniente discutir, en primer lugar, la extensión de la curva.

1. Extensión. Si y = x + 1V9 - x2 <=> -3 < x < 3 «=> Dom(E) = <-3 , 3>

Valores excluidos : x 6 <-°°, -3] U [3 , +°°>


a) Con el eje X. E(x , 0): 0 = x + 1 » x = -l ■=» X - intersección = A (-l , 0)

b) Con el eje Y. E(0 ,y) :y = 0+ I y = -=• <=p Y - intersección = B(0 , 1/3)

■i'- ■

V9 + 0 3

3. Simetría. Por simple inspección se puede observar que la gráfica de la ecuaciónno es simétrica con ninguno de los ejes coordenados ni con el origen.

4. Asíntotas.

a) La gráfica de la ecuación no tiene asíntotas horizontales.. b) Por inspección se obtiene haciendo 9 - x2 = 0 que hay dos asíntotas verticales,

que son x = -3 y x = 3.

5. Construcción de la curva.

a) Se trazan las líneas guía: x = -3, x = 3 luego se sombrean las regiones vacías.

b) Se ubican los interceptos A(-l , 0) y B (0 , 1/3)

c) En la ecuación dada vemos que cuando x - » -3+ entonces y - » -~ , y cuando x - r 3* , entonces y +°°. Esto significa que la curva se extiende indefinidamente hacia la recta x = -3 , debajo del eje X, y hacia la recta x = 3, arriba del eje X, tal como se muestra en la Figura 2.27 Q

FIGURA 2.27

www.freelibros.com


[E J E M P L O 1 6 ) Discutir y construir la gráfica de la ecuación

Solución.

1. Extensión.

a) y e R <=> x2- 4 > 0 « x < - 2 ó x > 2 ■=> Dom(E) = <-~ , -2> U <2 , +■»> Valores excluidos : x e [-2,2]

b) Como > 0 y Vx2 - 4 > 0 , v x e Dom(E), entonces : Ran(E) = <0 , +°°>X . -J,


a) Con el eje X. E(x , 0 ) : x - l = 0- » x = l <t Dom(E). No hay interceptos.b) Con el eje Y. E(0 , y) : y no definida, por lo que tampoco hay interceptos.

3. Simetría.

La curva no es simétrica con los ejes coordenados ni con el origen.

4. Asíntotas.

a) Asíntotas horizontales : y x Vx2 - 4 = x - l <=> y = 0es una A.H.b) Asíntotas verticales : y = /(x ) ■=> x2- 4 = 0 « x = ± 2 son dos A.V.

a) Con el eje X. E(x , - y ) : - y = — i- f—x Vx2 - 4

x -1 y =

b) Con el eje Y. E(-x . y ) : y = =* y = * E(x , y)

c) Con el origen. E(-x , - y ) : - y = ^ \ 4 «=» y = - x ^ _ ' 4 * E(x . y)

5. Construcción de la curva.

c) En la ecuación dada se observa que cuando x -> -T y x -> 2+ entonces y -» +<*>, y como y > 0 , v x e Dom(E), la curva se extiende indefinidamente arriba del eje X , asintóticamente a las líneas x = -2 y x = 2 , tal como se muestra en la Figura 2.28. Q

a) Se trazan las asíntotas x = -2 , x = 2 , y = 0

b) Se sombrean las regiones vacías.

FIGURA 2.28

www.freelibros.com


( í ) GRAFICAS DE ECUACIONES CON VALOR ABSO LUTO

Para efectos del trazado de gráficas de ecuaciones con valor absoluto, a parte de la definición

el lector debe tener en cuenta las siguientes propiedadesP.1 : v x e R , Ix I > 0 P.4 : | x I = a <=> (a > 0) a (x = a v x = - a)P.2 : v x e / f . l x l = I -x I P . 5 : S i a > 0 y | x | < a » - a < x < aP.3 : v x e R , I x I = VÍP P.6: Si I x I > a «=> x > a v x < - a

(e je m plo 17) Discutir y construir la gráfica de la ecuaciónE(x , y ) : I x I + 1 y I = a , a > 0

Solución.


a) Con el eje X. E(x , 0): I x I = a <=> x = a ó x = - a (P.4)<=s X - intersección = A(a , 0), B(-a ))

b) Con el eje Y. E(0 , y) : l yl = a «=> y = a ó y = - a (P.4)>=> Y - intersección = C(0 , a ) , D(0 , -a)

2. Simetría.

a) Con el eje X. E(x , -y) : lxl + l-yl = a Ixl + lyl = a = E(x , y) (P.2)b) Con el eje Y. E(-x , y ) : I -x I + 1 y I = a <=* Ixl + I y I = a = E(x , y) (P.2)c) Con el origen. E(-x , -y): I -x I + 1 -y I = a >=> Ixl + I y I = a & E(x , y) (P.2)

La gráfica de la ecuación es simétrica respecto a los ejes coordenados y alorigen.

3. Extensión. „

a) y = /(x) ■=» Iy I = a - 1x I , comolyl > 0 => a - 1x I > 0de donde: I x I < a » - a < x < a ■=> Dom(E) = [- a , a]

b) Análogamente para x = g(y) se obtiene : Ran(E) = [- a , a]

4. Asíntotas. Como la gráfica de la ecuación es de dimensiones finitas (gráficaacotada), no tiene asíntotas de ninguna especie.


Si Ixl + lyl = a ■=> lyl = a - 1 x IEn este caso aplicaremos la definición de valor absoluto para x y luego, la propiedad P.4 para lyl, esto es :

www.freelibros.com

94 Capítulo 2: Gráfico Je tina ecuación

a) Si x > 0 ■==> I x I = x , entonces : rVi

N

| y | = a - x <=> (a - x > 0) a (y = a - x ó y = - a + x)I / VC

<=> ( 0 < x < a ) A ( y = a- x ó y = x - a ) y = x + a f ^ ^ y = a - xb) S i x < 0 <=> I x I = - x , entonces :

I y I = a + x o (a + x > 0 ) A ( y = a + x ó y = -a-x) • afbV o ------

<=> ( - a < x < 0 ) A ( y = x + a ó y = -x-a)Trazando cada segmento de recta en el intervalo

y = -x - f y - x - a

indicado obtendremos la gráfica de E , un cuadra Ddo de diagonal 2a , mostrada en la Figura 2.29. J

FIGURA 2.29

I OBSERVACION 2.3. Con respecto a las gráficas de funciones definidas por/ ( x ) = lg(x)I

como por definición de valor absoluto , f(\) > 0 , v x e Dom(/) , y

f M = í 9(x) ■ si g(x) " °>- -g(x) , si g(x) < 0

se observa dos aspectos fundamentalesa) Las restricciones : g(x) > 0 y g(x) < 0b) Las imágenes : / (x) = g(x) y /(x ) = - g(x)

Esto significa que la Gr(/) se obtiene a partir de la Gr(g) y ocurre que si g es positiva la Gr(/) = Gr(g) y cuando es negativa, la Gr(/) se obtiene por reflexión de la Gr(g) sobre el eje X. En consecuencia, la Gr(/) siempre se mantendrá en el semiplano superior del eje X.

[EJEM PLO 18) Discutir y construir la gráfica de /(x ) = | ^ ' x |

4 - vSolución. Sea la ecuación E(x , y ) : g(x) = - —^

1. Intersecciones con los ejes coordenados.

a) Con el eje X. E(x , 0 ) : 0 = 4 - x <=> x = 4 <=> X - intersección = A(4 , 0)

b) Con el eje Y. E(0 , y ) : y = o y = -2 ■=> Y - intersección = B(0, - 2)

2. Simetría. La Gr(g) no es simétrica respecto de los ejes coordenados y el origen,pues su ecuación no contiene potencias pares de x e y.

3. Extensión.

a) y = 9(x) y = 7 ^ ■=* Dom(g) = AT-{2}

www.freelibros.com

EJEM PLOS ILU STRATIVO S95

b) X = h(y) => X = ; luego , Ran(g) = K - { - I } <=> Ran(/) = • +“ >

4. Asíntotas. Si y = ^ y = - I + «=> (x - 2)(y + 1) = 2

Entonces , x = 2 e y = -1 son , respectivamente, las asíntotas vertical y horizontalde la gráfica de g

5. Construcción de la Gr(f) a partir de la Gr(g.)

a) Se trazan las asíntotas x = 2 e y = 1, simétrica de y =-1,b) Se ubican los interceptos A(4 , 0) y B’(0 , 2 ) , simétrico de B(0 , -2).

c) Obsérvese en y = , cuando

x -» 2 ', entonces y - » - es decir, la Gr(g) se extiende indefinidamente entre las rectas x = 2 e y = -1 , la cual se refleja integramente sobre el eje X , obteniéndose así la Gr(/) para x < 2. Cuando x -» 2+ , entonces y. -> +«», es decir, la Gr(g) se extiende indefinidamente a través de las rectas x = 2 e y = - l . Como en x e <2 , 4] , g es positiva , la Gr(g) =G r(/) , y dado que en x e [4 , +<*>> , g es negativa , la Gr(/) se obtiene por reflexión de la G r(g), tal como se muestra en la Figura 2.30 Q

I OBSERVACION 2.4 Con relación a las ecuaciones que tienen a una de la dos variables con dos o más términos con valor absoluto, se

sigue el método de los puntos críticos para determinar los intervalos de variación y eliminar las barras de valor absoluto según el signo que adopten en cada intervalo.

(E JE M P L O 1 9 ) Discutir y graficar la ecuación E(x , y ) : y = x '

Solución. En este caso , los puntos críticos son x = 0 y x = 2 , y los intervalos de variación que determinan son

x < o o 0 < X < 2 2 x > 2< — j ■ ■ o------------------------------>

I X | = - X ( l XI = X ( Ix l = XI x - 2 I = - (x - 2) ( I x - 21 = - (x - 2) , I x - 2 1 = + (x - 2)

FIGURA

www.freelibros.com


Luego , en E(x , y) , para : x < 0 => y =

0 < x < 2

x > 2

y =

-(X - 2) -x - 2

-(x - 2)x - 2

x - 2

x - 2 X + 2

(1)

x - 2= 1

Nótese que en los dos últimos intervalos la gráfica de E es una línea horizontal, mientras que en (1):

y = i ± Í T T í ’ ''772” (x + 2) ( y » " 4Esto es , para x < 0 , la gráfica de la ecuación tiene por asíntotas x = -2 e y = 1.Por la restricción del dominio, la gráfica no es simétrica con ninguno de los ejes coordenados, ni con el origen. Además para determinar que aplicación debe darse a las asíntotas, observamos en (1) que si x < - 2 ■=¿ y > 1 , es dec ir, la gráfica se extiende indefinidamente entre las dos asíntotas , y s i - 2 < x < 0 => y < - 1 , es decir, la gráfica se extiende por debajo de la recta y = - 1 , acercándose a la asíntota x = - 2 , tal como se muestra en la Figura 2.31. □

FIGURA 2.31

EJERCICIOS: Grupo 8

Discutir cada ejercicio en relación con intersecciones , simetría , extensión y asíntotas. Indicar las regiones o bandas vacías. Cuando sea necesario emplear pequeñas flechas para sugerir el comportamiento asintótico de la curva y construir la gráfica correspondiente.

1. xy - x - 3y + 2 = 0

3. x2y - x2 - 4xy + 4y = 0

5. x2y - x2 - 4y - 1 = 0

7. x2y + y - 3x2 + 11 x - 6 = 0

9. x3 + y2 - 4y + 4 = 0

2. xy - x + 2y - 1 = 0

4. x2y - 4y - x = 0

6. x2 - xy + 2y = 0

8. (x3 + 2x2 - 5x - 6)y = x2 + x - 2

10. x2y2 - 4x2 - 4y2 = 0

www.freelibros.com

Sección 2.6: La gráfica por factrización 97

11. x2y2 - 4x2 - y = O

13. x3 + xy2 - 2y2 = O

15. x3 + xy2 - 6x2 + 2y2 = O

17. x2y2 + (y2 -1 )x - 2y2 -3 = 0

19. (x2 + 3x - 4)y2 = x2

21. 9y2 - x2y2 = x2 - 2x + 1

23. x2y2 = x2 + xy2 -1

25. xy2 - x + 3y2 + 1 = O

27. x3 + xy2 + ax2 = ay2

29. x3 + xy2 = 2ay2

31. y = n/x2 - 2x - 3

33‘ y = l T 7

35‘ y = v r a r T

37. I x - y I + 1 x I = 3

39 ¡ X I + 1I X I -1

41. |y - 1 I = |x + 3 l - 2

43. y = f

12. xy2 - x - 2y2 + 1 = 0

14. y2 = x(x + 3)(x - 2)

16. x2y2 + 4x2 - 4y2 = O

18. y(x2 - 3x) = x2 - 3x + 2

20. (x2 - x)y2 = x + 1

22. (x2 - 3x - 10)y2 = 2x + 1

24. y2(x2 + 1) = x(2y2 + 1)

26. (x2 + x - 6)y = x3 + x2 - 2x

28. x3 + xy2 + ay2 = 3ax2

30. (a2 - x2)y2 = a2x2. a * O

32. x = - 2Vy2 - 3y

36. y

(x + 1 )(x - 3)

_ x2 - 2x - 3x - 2

38. y = V(x + 1)2 + V(x - 2)2

40. y = * i * ^ ÜIx I

42. I x - y l -Ixl =1

' X 2 - X

X2 - x - 6 144. y =

x - 2

2 0 LA GRAFICA POR FACTORIZACION

Si una ecuación E(x , y) = O tiene por primer miembro un producto de dos o más factores variables, entonces la gráfica de dicha ecuación consiste en la unión de las gráficas de cada uno de los factores resultantes. Esto es, si

E(x , y) = u . v w..........................

www.freelibros.com

98 Cai>ilulo 2: Gráfica de una ecuación

r u = E, (x,y) = Q c=> E(x , y) = O <=> E(x , y ) : v = E,(x , y) = O

l_w = E , ( x , y ) = 0

( EJEM PLO 1 ) Esbozar la gráfica de la ecuaciónE(x , y ) : (2x + y - 4)(y3 - xy2 - 4xy + 4x2) = O

Solución. En el segundo factor se tiene :E(x , y) : (2x + y - 4)[y’(y - x) - 4x(y - x)] = (2x + y - 4)(y - x)(y2 - 4x) = 0

{ u = E:(x , y ) : 2x + y - 4 = 0 v = E,(x , y ) : y - x = 0 w = E,(x , y ) : y2 - 4x = 0

Obsérvese que E, y E, , son líneas rectas cuyas gráficas son fáciles de dibujar , mientras que la gráfica de E, es una parábola simétrica al eje X , con dominio en x e [0 , + “ >. Seleccionando algunos puntos de cada ecuación obtenemos :

E, :X 0 2

y 4 0E2:

x 0 4y ¡¡ 0 4

E ,:x !! 0 i 4

O>> ±2 ±4

Dado que la Gr(E) = G(E,) U Gr(E,) U Gr(E,), colocamos cada pareja en un sistema coordenado rectangular y uniendo los puntos de cada ecuación , con un trazo continuo , obtenemos la Gr(E) mostrada en la Figura 2.32.

( E J E M P L O 2 ) Discutir y esbozar la gráfica de la ecuación E(x , y ) : x2y2 + y + x4y + x2 = 0

Solución. Se trata de una ecuación factorizable. En efecto ,E(x , y ) : y(x2y + l) + x3(x2v + l) = (x2y + l)(y + x2) = 0

M ^ + l = 0Entonces , si E(x , y) = u. v o J ' ' ’ J '

f u = E,(x , y) : l v = E,(x , y ) : y + x2 = 0

Luego , la Gr(E) = G rjE j U Gr(EJObserve que ambas gráficas son simétricas respecto del eje Y. El Dom(E,) = K - {0} y Ran(E,) = <-~ , 0> , es deci r , su gráfica se extiende debajo del eje X , teniendo como asíntotas x = 0 , y = 0 (los ejes coordenados). Ei Dom(E,) = R y Ran(E2) = <-<*= , 0]. También su gráfica se extiende debajo del eje X. Seleccionando algunos puntos de cada ecuación obtenemos

E, :X ± i ± 2 | ± I / 2

y - 1 - 1/4! - 4 -..... . - . -E ,:

X 0 ± i ± 2

y 0 - 1 - 4

www.freelibros.com

/

Sección 2.6. La gráfica de factorización 99

Situando cada par ordenado (x , y) en un sistema rectangular y uniendo los puntos resultantes de cada ecuación obtenemos la Gr(E) mostrada en la Figura 2.33.

( T j e m p l o 3 ) Discutir y graficar la gráfica de la ecuación E(x , y ) : x2(y2 - 4) = y2 + 2y

Solución. Es una ecuación factorizable , pues :E(x , y ) : x:(y + 2)(y - 2) = y(y + 2) <=> E(x , y) : (y + 2)(x-y - 2.\ y) = 0

r u = E,(x , y ) : y + 2 = 0 Luego , si E(x , y) = u . v ■=> -<

l v = E,(x , y ) : x2y - 2x: - y = 0

La gráfica de E, es una recta horizontal, por lo que sólo discutiremos la ecuaciónE,(x , y ) : x:y - 2x- - y = 0


a) Con el'eje X. E,(x , 0 ) : -2x-’ = 0 =» x = 0b) Con ei eje Y. E,(0 , y ) : - y =.() y = 0 . La curva pasa por el origen

(a)

= > X € R o > 0

2. Simetría. Despejando xJ se tiene : x: =

La curva es simétrica sólo respecto al eje y

3. Extensión. De (a) : x = ± y] —V y - 2 jr - ¿de donde : Ran(E,) = <-■» , 0] U <2 , +=«>. Valores excluidos : y e <0 , 2]

4. Asíntotas.

Por inspección se obtiene de (a), haciendo x: = I (I es la división de los coeficientes de y) que hay dos asíntotas verticales que son x = - I y x = I. Además haciendo y - 2 = 0 se tiene la asíntota horizontal y = 2.

www.freelibros.com


5. Construcción de la curva (Figura 2.34)a) Se trazan las asíntotas x = - I , x = 1,

y = 2. Se sombrea la región vacía (valores excluidos).

b) Se traza la gráfica de E,(x , y ) : y = - 2c) Para y e <- ° ° , 0 ], la curva pasa por

el origen extendiéndose simétrica y asintóticamente hacia las rectas x = -1 e x = I. Para y e <2 , +<*>> , la curva se extiende simétrica al eje Y, a través de sus asíntotas. D

0 9 INTERSECCION DE CURVAS_______________________________

Los puntos de intersección de dos curvas son aquellos puntos comunes a ambas ; es dec ir, son los puntos cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones de las dos curvas. Por consiguiente , las coordenadas de las intersecciones se obtienen resolviendo las dos ecuaciones simultáneamente. A estos puntos comunes se les llaman puntos de intersección de las curvas.I Nota. Una solución que contenga un número imaginario no se puede emplear como coorde

nada de un punto y por tanto no corresponde a una intersección de las curvas.

(" e j e m p l o 4 ) Hallando puntos de intersección

Hallar los puntos de intersección de las gráficas deE,(x , y ) : y = 2x - 5 y E2(x , y ) : (y - 1)2 = 2x

Solución. Comencemos por construir las gráficas de ambas ecuaciones en un mismo plano coordenado, como muestra la Figura 2.35. En ella pode

mos observar que aparentemente ambas gráficas tienen dos puntos de intersección. En efecto , de la ecuación E, : 2x = y + 5 (1)Sustituyendo en la ecuación E2: (y - l)2 = y + 5Entonces , y2 - 3y - 4 = 0 o y = - ] o y = 4Ahora , al sustituir cada uno de estos valores en (1) se obtienen , respectivamente :

x, = 2 ó x, = 9/2Por tanto , las intersecciones de ambas curvas están en los puntos A(2 , -I) y B(9/2 ,4). □

www.freelibros.com

Sección 2.7: Intersecciones de cunas 101

[ E J E M P L O 5 j Una aplicación de los puntos de intersecci ó n _________

Dadas las curvas E((x , y) : xy - x - y = 0 y E2(x , y) : 4x2 + y2 - 8x - 2y = 0 , obtener él perímetro y el área del cuadrilátero formado al unir los puntos de intersección de las dos curvas.

Solución. Empecemos por hallar los puntos de intersección de ambas curvas.

De la ecuación E, despejamos , y

Sustituyendo en la ecuación de E2 se tiene :x- 0„ 2x

x - (1)

4x2 + 8x - = 0(x - l)2 x - I

de donde : x(4x} - 16x! + 19x - 6) = 0 <=> x(2x - l)(2x - 3)(x - 2) = 0 Entonces: xt =0 , x, = 1/2 , x} = 3/2 , x4 = 2Reemplazando cada uno de estos valores en (1), obtenemos :

y , = o . y2 = -i . y, = 3 , y4 = 2 Luego , los cuatro puntos de intersección son

A(0 , 0) . B( 1/2 , -I) , C(3/2 , 3) y D(2 , 2)El cuadrilátero que determinan estos cuatro puntos se muestran en la Figura 2.36 Entonces: IABI = V(l/2)2 + (-1)2 = V5/2 , IÁCI = V(3/2)J + (3Y = 3^5/2

I CD I = V(2 - 3/2)2 + (2 - 3)2 = V5/2 , I BD I = V(2 - 1/2)2 + (2 + 1)J = 3^5/2 Por lo tanto :Perímetro del cuadrilátero : 2p = I AB I + 1 CD I + I AC I + I BD I = 4^5

0 0

Area del cuadrilátero : S = - i1/2 - 12 2

3/2 30 0

1 + 6 + 0 - 0 - 3 + 2 - 01 = 3 u ! □


www.freelibros.com


{ E J E M P L O 6 ^ Dadas las ecuaciones E(x , y ) : y2(x2 - 4) = x2 + 2x y E,(x , y ) : 9x - 8y + 8 = 0 , esbozar la gráfica de ambas ecuaciones y

hallar el área del triángulo formando al unir los puntos de intersección de las dos curvas con el punto P(4 , 0).

Solución. La ecuación de E es factorizable , pues siy 2(x + 2)(x - 2) - x(x + 2) => E(x , y) : (x + 2)(xy2 - 2y2 - x) = 0

Luego , si E = U . V ■=»U (x , y ) : x + 2 = 0

V (x , y ) : xy2 - 2y2 - x = 0

La gráfica de U es una recta vertical, por lo que sólo discutiremos la ecuaciónV(x , y ) : (x - 2)y- - x = 0


a) Con el eje X. V(x , 0) : (x - 2)(0)2 - x = 0 .=> x = 0b) Con el eje Y. V(0 , y ) : (0 - 2)y2 -0 = 0 => y = 0

La curva pasa por el origen de coordenadas.

2. Simetría. Despejando y2 se tiene ; - 2 - xy2 ~ x - 2 (a)

La curva es simétrica sólo respecto al eje X, pues : V(x , -y) s V(x , y)

3. Extensión. De ( a ) : y = ± - <=> y e R <=> XQ- > 0

Luego , Dom(V) = <-~ , Oj U <2 , +°°>. Valores excluidos : x e <0 , 2]

4. Asíntotas. En ( a ) , haciendo y2 = I (1 es el resultado de la división entre loscoeficientes de x), se obtiene las asíntotas horizontales y = -1 , y = 1;

además , haciendo x - 2 = 0 se tiene la asíntota vertical x = 2.

5. Construcción de las gráficas de V , U y E ¡

a) Se trazan las asíntotas x = 2 , y = - I , y = 1. Luego se sombrea la región vacía (Valores excluidos).

b) Para x s <--» , 0] , la curva pasa por el origen y se extiende simétrica y asintóticamente hacia las rectas y = -1 , y = 1.Para x e <2 , +°°> , la curva se extiende simétrica al eje X, a través de sus asíntotas.

c) Se traza la gráfica de U , la recta x = -2FIGURA 2.37

www.freelibros.com

EJERCICIOS Grupo 9 103

d) La Gr(E) = Gr(V) U GR(IJ) se muestra en la Figura 2.37, junto con la gráfica de E,e) Al trazar la gráfica de E, , la recta : 9x - 8y + 8 = 0 , podemos observar que

existen dos puntos de intersección. En efecto :(x = -2) n (9x - 8y + 8 = 0) = A(-2 , -13/4)

[y- = Fl (9x - 9y + 8 = 0) = B(8/3 , 2)

a(APBA) = |

48/3

0 I2 i

13/4 j0 I

49 u- □

EJERCICIOS: Grupo 9

En los ejercicios 1 al 12, trazar la gráfica de cada ecuación después de factorizar.

2. x4 - 4x2y - x2y2 + 4y3 = 0

4. 3x3 - 12x2 - 2x2y + 11 xy 2y2 = 0

6. I x I y2 - 1 y I y2 - 1 x I + 1 y I + 1 - y2 = 0

8. x2y3 - 3x2y2 + 2x2y - y2 + 1 = 0

10. x4y + 4x2y - 8x2 - x2y2 - 4y2 + 8y = 0

1. y3 + xy2 - 4xy - 4x2 = 0

3. x3 - 4x2 + x2y - 4xy + xy2 + y3 = 0

5. x l x l - 3 x + x l y l - l x | + 3 - l y ! = 0

7. x3y2 - x3 - x2y3 + x2y - xy2 + y3 = 0

9. x2y - x2 + xy2 + y2 = 0

11. x3y2 - x2y3 + 4y3 - 4x3 + 4x2y - 16y = 0

12. x2(y2 - y - 2) = 4y2 + 4y

13. Hallar el área de la región limitada por las ecuaciones :a) E(x , y ) : xy2 + x2y - 6x3 - 2y2 - 2xy + 12x2 = 0b) E(x , y ) : y3 - yx2 - 3v2 + 3x2 = 0

14. Hallar el'área de la región limitada por las ecuacionesa) t x - y j + | xl = 3b) ¡ X i y2 - 1 y | y2 - y2 - 4 I x I + 4 I y I + 4 = 0

15. Representar los siguientes pares de ecuaciones y resolver gráficamente el sistema que forman. Comprobar algebraicamente los resultados.a) 4y = x2 , x2y + 4y - 8 = 0 c) 2x2 - 5xy + 2y2 = 0 , x2 + y2 = 5b) x2 + y2 = 20 , y2 - 2x = 12 d) x2 - y 2=12 , x2 + 3xy = -8

www.freelibros.com

Capítulo 3: Lugares geométricos

SEGUNDO PROBLEMA FUNDAMENTAL DE LA GEOMETRIA ANALITICA

LUGARES GEOMETRICOS )

En cualquier posición del punto P se verifica d (P, F) = d (P,

www.freelibros.com

LUGARES GEOMETRICOS

G D INTRODUCCION_____________________________________________

Vamos a enfocar ahora nuestra atención sobre el segundo problema fundamental de la geometría analítica, que es, dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.

Al describir una curva es frecuente emplear las expresiones: lugar geométrico de los puntos, trayectoria del punto móvil o curva generada por ef punto móvil, y podemos considerar que tienen, esencialmente el mismo significado.

El término de lugar geométrico, o gráfica, de una ecuación de dos variables E(x , y ) = 0, se aplica normalmente al conjunto de todos los puntos que tienen alguna característica geométrica común. Por ejemplo, para la gráfica de la página anterior, los puntos P, P’, P” , etc. caracterizan a la curva í? y describen el lugar geométrico.

^ = {(x , y) e E I (P , F) = d(P , SB)} donde F es un punto fijo y Sé una recta fija.

Podemos decir entonces que una ecuación E(x , y) = 0 es la expresión matemática de Sg y que í? es la gráfica de la ecuación E si y sólo si la ecuación queda satisfecha por las coordenadas de cada punto en % y recíprocamente, cada punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación está en rfi.

J Q D ED U CCIO N DE LA EC U A C IO N DE UN L U G A R G EO M ET R IC O ___________

Los pasos previos que hay que seguir para hallar la ecuación de un lugar geométrico se pueden resumir de la siguiente manera:

1. Suponer un punto cualquiera P(x , y) del lugar geométrico (L.G) que satisface lá condición o condiciones geométricas dadas.

2. Expresar analíticamente la condición o condiciones dadas por medio de una

www.freelibros.com

I Oh Capitulo 3: Lugares geométricos

ecuación en las variables x e y.

3. Efectuar las transformaciones necesarias para simplificar la ecuación resultante.

La ecuación final que contiene a las variables x e y, así como las constantes dadas en el problema, será la ecuación del lugar geométrico buscado.

ü E JE M P L O S IL U S T R A T IV O S

( E J E M P L O 1 ) Obtener una ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidisten de los puntos A(-3,2) y B(2, -5).

Solución. Conviene empezar dibujando los puntos A y B y el punto genérico P(x , y ) en el plano , como muestra la Figura 3.1.

1. Sea P( x , y ) un punto cualquiera del lugar geométrico.2. Si P equidista de A y B , entonces :

d(A , P) = d(B , P) o V (x + 3)2 + (y - 2)2 = V (x - 2)2+ (y + 5)2

3. Elevando al cuadrado y simplificando se obtiene, 5x - 7y - 8 = 0Esta es la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos A y B , esto es,

$ = { P (x , y) I Si d(A , P) = d(B , P) <=> 5x - 7y = 8 } □

FIGURA 3.2

[ e j e m p l o 2 ) y n pUnto se mueve de tal manera que su distancia al punto A (2 , 3) es siempre igual a su distancia del eje Y aumentada en

2. Hallar la ecuación del lugar geométrico.

Solución. En un mismo plano cartesiano dibujamos el punto A(2 , 3 ) , el punto

www.freelibros.com


genérico P y el punto D a x unidades de P, como muestra la Figura 3.21. Sea P = (x , y) un punto cualquiera del lugar geométrico2. Si d(A , P) = d(P , D) + 2 => V (x - 2)2 + (y - 3)2 = x + 23. Elevando al cuadrado y simplificando obtenemos, y2 - 8x - 6y + 9 = 0 que es la

ecuación de una parábola. □

EJEMPLO 3 Dos vértices de un triángulo son los puntos fijos A(1 , 0) y B(5 ,0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice

C si se mueve de tal manera que la diferencia entre las longitudes de los lados ACy BC es siempre igual a la mitad de la longitud del lado AB.

Solución.

1. Sea C = (x , y) un punto del lugar geométrico.

2. Si I AC I - 1 BC I = ^ I AB I , entonces

V (x - 1 )2 + (y - O)2 - V (x - 5)2 + (y - O)2 = 1 (4 )

=* V (x - 1)2+ y2 = 2 + V (x - 5)2+ y2

3. Elevando al cuadrado se tiene:

2x - 7 = d x2 + y2 - lOx + 25 de donde, elevando nuevamente al cuadrado obtenemos, 3x2- y2 - 18x + 24 = 0 que es la ecuación de la hipérbola. □

EJEM PLO 4 Hallar la ecuación del L.G. de los puntos medios del segmento AB, donde A = (2 ,2 ) y B es un punto del L.G. de aquellos cuya

distancia al origen es de 3 unidades.

Solución. Sean (x ,, y,) los puntos B que cumplen la propiedad, d(0 , B) = 3

■=> V x,2 + y,2 = 3 <=> í?; x,2 + y,2 = 9

El lugar geométrico de los puntos B es una circunferencia de radio r = 3

1. Sea P = (x , y) un punto cualquiera del L.G. buscado.

2 + x. 2 + y,2. Luego, si x = — • y = —^— <=> x, = 2x - 2 , y, = 2y - 2

3. Como (x ,. y,) e W ■=> (2x - 2)2 + (2y - 2)2 = 9 <=> (x - 1)2+ (y - I)2 = 9/4 que es la ecuación de una circunferencia de centro C(1 , 1) y radio r = 3/2 □

www.freelibros.com

ION Capítulo 3: Lugares geométricos

EJEM PLO 5 Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P que dividen al segmento AB en la razón 2/3, cuando A = (1 , 1) y

B se mueve sobre la curva :JC: x y = -1.

Solución.

1. Sea P = (x , y) un punto del lugar geométrico, y sean (x,, y,) las coordenadas de B

2. Si PB

de donde despejando x, e y, obtenemos: x, = i(5 x - 3), y, = i(5 y - 3)

•p yB-yp

x i e3. Pero como B ( x , , y,) e .7 f ■=> x, y, = -1

5:

es la ecuación del lugar geométrico buscado.

y,- y 3

= 2'

Por lo que : i ( 5 x - 3 ). i(5 y - 3) = -1 <=> flf: 25xy - 15x - 15y + 13 = 0

□

EJEM PLO 6 J Sea la circunferencia ^ = {(x , y) I x2+ y 2= 1} y el punto A(1 ,0).Si B e y P es el punto de intersección de las medianas

(baricentro) del triángulo O AB, hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por P al desplazarse B sobre # .

Solución. La Figura 3.4 muestra la semicircunferencia junto con el AOAB y el baricentro P.

1. Sea P = (x , y) un punto del lugar geométrico y sean (x ,, y,) las coordenadas de B.

2. Como P es el baricentro del AOAB, entonces

x = i . ( o + 1+ x,) <=> x, = 3x - 1

y = j ( 0 + 0 + y,; «=> y, = 3y

Ai

0r A >x J

3. Si B (x ,, y,) e «j ■=> x,2 + y (2= 1 c=> (3x - l)2 + (3y)2= 1 de donde, (x - l/3)2+ y2 = 1/9 , es la ecuación del L.G.

FIGURA 3.4

□

^ ^ J E M P L O J T J Se considera un segmento AB de 6 unidades de longitud y un punto P de dicho segmento a 4 unidades de A. Hallar la ecua

ción del L.G. de P cuando el segmento se desplace de forma que los puntos A y B se apoyen constantemente sobre los semiejes positivos de coordenadas, si el punto A está en el eje Y.

Solución. La Figura 3.5 muestra el segmento AB y el ángulo a que forma con

www.freelibros.com


el eje X1. Sea P (x , y) un punto del L. G.

2. En el ABDP: Cos a = => Cos a = —BP 4

En el APCA: Sen a = <=> Sen « = y

3. Como Sen2a + Cos2a = 1 ■=> ~ + — = |4 16

■=> f : x2 + 4y2 = 16, que es la ecuación de

EJEMPLO 8 Un segmento AB de 3 unidades de longitud se mueve manteniendo siempre su extremo A en el eje Y y su extremo B en el

en el eje X. Determinar la ecuación del lugar geométrico del punto P que divide al segmento AB en la razón AP : PB = -8 : 5.

Solución. Si IO A I = a y IOBI = b ,entonces A = (0, a) y B = (b , 0).

1. Sea P (x , y) el punto genérico del L.G.

y,- y a _ 82. Si A? = . 8 ^ x? ' xa _____PB 5 xb- xp yB- y P

x - 0 _ y - a _ 8b - x " 0 - y “ "5

3 8de donde obtenemos: b = —x , a = - y y

3. Dado que:

I AB | = 3 ■=> b2 + a2 = 9 <=> xj + y) =9

Efectuando operaciones se tiene , ¿ : 25x2 + 64y2 = 1600 □

EJEMPLO 9 En un triángulo ABC, los vértices A (a , 0) y B (- a , 0) son fijos. Hallar el lugar geométrico del tercer vértice C, el cual se mueve

de manera que m( ^CAB) + m(^CBA) = 3n/4.

FIGURA 3.5 una elipse. □

Solución. En la Figura 3.7: a = m( ^CAB) yP = m (jt CBA)

1. Sea C(x , y) el punto genéricoîel lugar geométrico.

www.freelibros.com

no Capítulo 3: Lugares geométricos

i Si a + P = 371/4 c=> Tg (a + P) = Tg (3tc/4) = -I

Tga + TgP _^ l - Tga . Tgp _

« Tga + TgP = -1 + Tga . TgP ( * )

3. Pero, Tga = — r y TgP = — ,X - a a + a

entonces en (« ) se tiene

y y y2x - a + X + a " ' + x’- - a2 ’

de donde: x2 + 2xy - y2 = a2 □

EJEM PLO 10 j Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferenciasque son las tangentes al eje X y que cortan al eje Y determi

nando un segmento de longitud constante d.

Solución.En la Figura 3.8, si IOAI = a y I AB I = d, entonces A(0 , a) y B(0 , a + d).P es punto medio de AB ■=> I AP I = d!2.

1. Sea C (x,y) un punto del lugar geométrico2. CD = ÓP r=> CD = ÓÁ + ÁP

■=> y = a + di 2■=> y - a = di 2

3. Pero, CD = AC (radios) ■=> y = Vx2 + (y - a)2 de donde, ,yf : y2 - x2 = d'l4 La ecuación obtenida representa a una curva llamada hipérbola. □

EJEM PLO 1 l l Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A(0 , 0) y B(3 , 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice

opuesto C si se mueve de tal manera que el ángulo de la base CAB es siempre igualal doble del ángulo de la base CBA.

Solución. En la Figura 3.9, m( -i CBA) = a , entonces m( ^ CAB) = 2a

www.freelibros.com


1. Sea C(x , y) un punto del L. G.

2. m = Tg 2a => - =2 Tga

x i - Tg2a

v 2x(Tga) = y (1 -T g 2a) ( • )

m ^ = Tg(n - a) = - Tga

y=> Tga = -x - 3

3. Reemplazando en ( * ) :y

x - 3' ' i (x - 3)2‘de donde obtenemos , .yC : 3x2 - y2 - 12x + 9 = 0 , x * 3 Esta es la ecuación del L.G., que representa a una hipérbola. □

E J E M P L O 1 2 ] Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x , y), siendo P los pies de las perpendiculares del origen de coorde

nadas sobre la hipotenusa de los triángulos rectángulos de área 4 u? y cuyo : catetos están contenidos en los ejes coordenados.

Sokición. La Figura 3.10 muestra el triángulo rectángulo AOB , de catetos IO Á | = a y lO B l = b

1. Sea P (x , y) un punto del L. G. s Y é2. Si a(AAOB) = 4 ¡=> 2- ab = 4 J i B-

■=> ab = 8 (a) D. y)

"x “En el AOPA : OP2 + pX2 = OA! / 1=> OP2+ ( PC2 + CA2) = ÓA2 y / ,y

/ 1■=> (x*2 + y2) + [ y2 + (a - x)2] = a2 / 11f / i > \Ete6 toando obtenemos: o x C w A '

a - x‘ + y1 i¡\4----- ---------- o ►

JX FIGURA 3.10

En el AOPB : OP2 + PB2 = ÓB2

=> OP2 + ( PD2 + BD2) = ÓB2 (x2 + y2) + [ x2 + (b - y)2] = b2

de donde se tiene : b = * (2)

3. Sustituyendo (1) y (2) en (a ): ( ^ ~ ) = 8 « (x'’ + y')J = 8xy □

www.freelibros.com

112 Capítulo 3: Lugares geométricos

EJEM PLO 1 3 ] En el rectángulo ABCD, el vértice A(4 , 8) es fijo, el vértice B se desplaza sobre el eje Y. Determinar el lugar geométrico

determinado por los vértices D de tal manera que la prolongación del lado DC pase por el origen. Graficarlo.

Solución.1. Sea D(x , y) un punto del L. G.2. En cualquier posición de D se debe

verificar que AD ± CD , por lo que :

m Ao • m c o " '

3. Entonces, ( ^ ) (£ ) =-1

■ 8y = 0x>

4x'x - 4 l

de donde: x2+ y 2- o (x2 - 4x + 4) + (y2 - 8y + l c* : (x - 2)2 + (y - 4)2 = 20 La ecuación representa a una circunferencia de centro (2 ,4) y radio r = V20 , cuya gráfica se muestra en la Figura 3.11 con linea punteada. □

FIGURA 3.11

EJEM PLO 14 Hallar la expresión del lugar geométrico de los puntos P del plano, tal que la recta PM contiene a la bisectriz del ángulo

interior del triángulo APB, siendo A = (1 , 5), B = (7 , -1) y M = (3 , 3).Solución.

La Figura 3.12 muestra el AAPB, donde:m, m„ y ^*3_ ^bp

1. Sea P (x , y) un punto del L. G.2. Si a = (3 (PM es bisectriz del £APB),

entonces:Tga = Tgp « " V °?i = " V

3. Luego,

y -3 x - 3

l + m,.m2 1 + m,.m

y - sx - 1

y + 1X - 7

f y - 3 ii ^ y o i / y o ) 1 + ( jx - \‘ 'x - i 1 x - 3

de donde obtenemos : (x + y - 6) (x2+ y2 +2x - 14y + 18) = 0

La ecuación x + y - 6 = 0 es una recta y la ecuación í?: x2 + y2 + 2x - ]4y +18 = 0 representa a una circunferencia con centro en C (-1 , 7) y radio r = 4V2. □

www.freelibros.com


E J E M P L 0 ^ 1 5 j Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P de R!tales que para A = (-2 , 5) . B = (6 , 1) y C en la gráfica de la

ecuación & : 3x + 2y2 = 0 , se tiene que APBC es un paralelogramo , con A y B vértices opuestos.

Solución. La Figura 3.13 muestra la gráfica de y y el paralelogramo APBC. Entonces:

1. Sea P (x , y) un punto del L. G. y sean (x ,, y,) las coordenadas delvértice C.

2. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio , luego , si M es este punto , entonces:

1-2 + 6 5 + 1\M = ('■

y (2.3) = (

2x + x,

{X + X

y + y¡

L) = (2.3)

, 1 1 * )

= 4 = 6

de donde: x, = 4 - x , y, = 6 - y 3. Como C (x ,, y,) e & <=> 3x, + 2y,2 = 0 ■=> 3(4 - x) + 2(6 - y)2 = 0

Realizando operaciones obtenemos : 2y2 - 24y - 3x + 84 = 0 La ecuación del lugar geométrico representa a una parábola. □

EJEMPLO 1 6 ) La base de un triángulo es AB , en donde A = (-4 , 0) y B = (4 , 0). Hallar el lugar geométrico del tercer vértice P, si la

suma de los ángulos de la base es 45®.

Solución. Resolveremos el problema considerando el signo que adopten las ordenadas de P.

Primer caso. Los puntos P están sobre el eje X (Figura 3.14)

1. Sea P 7y) un punto del L.G., con y > 0

2. Si a + p = 45° ■=> Tg (a + P) = 1

^ Tgg -e Tgp _ }1 - Tga . TgP

www.freelibros.com

1Í4 Capitulo 3: Lugares geométricos

•=> Tga + Tgp = 1 - Tga . Tgp ( * )

Como la Tga = mAP c=> Tga =

y Tg(7i - P) —mBP => - T g p = - J L ^ T g p = . _ 1 _

Luegoen ( * ) tendremos: — ------- — = i - f— \ I - ——)x + 4 x - 4 \x + 4/ \ x - 41

3. De donde obtenemos la ecuación del L .G .:r<g = {(x , y) e /?2| x2 + y2 + 8y - 16 = 0 , y > 0}

Segundo caso. Los puntos P están debajo del eje X. (Figura 3.15)

1. Sea P = (x , y) un punto del L.G., con y < 0

2. Tg(rc - a) = - Tga = mAP => Tga = -

Tgp = mBP =» Tgp = ^

Luego, en ( * ) :

- - J L + J L = 1 .-L .) ( J L )X + 4 X - 4 ' x + 4 ' ' x - 4 7

3. De donde, W = {(x , y) s K2I x2 + y2 - 8y - 16 = 0 , y < 0}En ambos casos las ecuaciones representan a arcos de circunferencias. □

E J E M P L O 1 7 } Sea A = (a , 0) un punto fijo, (a > 0). Un móvil parte del origen de coordenadas y se moviliza sobre el eje Y. Por A se traza

una perpendicular al segmento AB, donde B es la posición del móvil; luego por B pasa la perpendicular al eje Y; ambas perpendiculares se intersecan en M. Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por M y graficarlo.

Solución.1. Sea M = (x , y) el punto genérico del L.G.2. STAB 1 AM => mAB . = - 1 ( * )

Como M = (x , y) ■=> B = (0 , y), pues ambos puntos están sobre una línea horizontal. Luego , en ( * ) se tiene:

3. De donde : & = {(x,y) e R11 y2 = a (x - a)}

FIGURA 3.15

www.freelibros.com


Es la ecuación del lugar geométrico que representa a una parábola cuya gráfica se muestra en la Figura 3.16 con trazo discontinuo. Q

( e j e m p l o 1 8 ) Un hombre de 2 mts. de altura hace ronda desplazándose por la gráfica de la ecuación y = 4 - x2. En el punto A(-2 , 0) se

encuentra parado un poste de 6 mts. de altura en cuya parte superior hay un foco luminoso. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el extremo “ libre” de la sombra del hombre.

Solución. En la figura 3.17, IAF I es la altura del poste,y I BH I la estatura del hombre. Entonces :

1. Sean P(x , y) un punto del L. G. y sea (x , , y,) las coordenadas del punto B.

2. El AFAP « AHBP - = —BH PB 2 PB

Como P es exterior al segmento AB ,entonces:a p - o « U í a _ y j_ y * _ ,P B - ‘ J ~ X . - X - yB-y

X + 2 y - 0 « ------- = l ----- = - 3v x y , - y

de donde obtenemos: x, = y (x - 1). y, = y yFIGURA 3.17

3. Dado que B (x ,, y () e (y = 4 - x2) ■=> y, = 4 - x,J o | y = 4 y ( x - l ) !

Efectuando se tiene: SP = {(x,y) e R113y = 16 + 4x - 2x2}Esta es la ecuación del lugar geométrico que representa a una parábola. q

E J E M P L O 1 9 ] Desde el punto A(-4 , 0) se traza la recta AB con B(0 , p) y OB = BP, donde O = (0 , 0) y P e AB es un punto entre A y P.

Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por P (p es variable).

Solución.1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico2. Si I OB | = | BP | c=> p = V x2 + (y - p)2

Como los puntos A , B y P son colineales , entoncesp y y - p

www.freelibros.com


p ySi 7 = - JLl¡ *=» 4 x +-4

p y - pSi - - = ------ =>4. x

V X 2 + ( y - p2 ) :4y

x + 4 (•)

y - p =px

y - p = x yx + 4

3. Sustituyendo en ( * ) :

4i . + l J Ü L Í . J f i L'x + 4' x + 4

De donde obtenemos la ecuación del

lugar geométrico : y3 = x* (-4 — )'4 - x'

Yjc

Ns

, y)

' u t o , p)

P

A (-4 , 0) 0r x

JFIGURA 3.18

□

[E J E M P L O 2 0 j Sean A(3 ,1 ) y M un punto que se desplaza sobre la gráfica de la ecuación 8x - y2= 8. Si M es punto medio del segmento AB,

hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el punto P que divide al segmento AB en la razón 3/5.

Solución. La Figura 3.19 muestra la gráfica de la ecuación (?: y2 = 8(x - 1), junto con

los puntos colineales A, P, M, y B. Entonces:

1. Sea P (x , y) un punto del lugar geométrico , y sean (x, , y,) y (x2, y2) las coordenadas de los puntos M y B respectivamente.

2. Si M (x ,, y,) es punto medio de AB, entonces

3 + x,

y, =

2

+ y2

Xj = 2x, - 3= Z X , - J ^

= ? v - 1 j» y2 = 2y, -1

AP 3

<X

a.X

1 y P - y ,

PB 5 Y - X B A P

1

CD

x - 3 y -1^ X j - X

IIv

;,

i

(*)

. 3 ' 5

25

B ( x , , y,)

de donde obtenemos:

x2= y (8 x * 15). y2= j ( 8 y - 5 )

FIGURA 3.19

www.freelibros.com

EJEM PLO S ILU STRATIVO S 117

Luego en (•) tenemos : -L (8x - 15) = 2x, - 3 x _ 4x - 3 1 3

1 , 4y - 1i - (8y - 5) = 2y, - 1 ^ y, =3 ~J i ' ' i 3

3. Como M (x, ,'y,) e & ■=* y,2 = 8(x, - 1) => ( ^ . _ i ) ‘ = 8 ( ^ ~ ^ - l)4y 0/4x - 3

16y2 - 8y - 96x + 145 = 0es la ecuación del lugar geométrico que representa a una parábola. □

E JE M P LO 21 I Sea ABCD un rectángulo donde A = (2 , 4), B en el eje Y y CD (lado opuesto a AB) está es una recta $ que pasa por el ori

gen. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el vértice C. (A y C son vértices opuestos).

y' 'Solución.1. Sea C(x , y) un punto del lugar geométrico y sean

B = (0, y,) y m la pendiente de lá recta 31.

y 4 -y, y - y ,4 - y, .ÍT10C — x • rT1BA — 2 ’ mBC ~ X<-> y 4 - V

.2? II AB <=> m = m.„ <=>—■ = ———4 x - 2 y

y . = — ¡ r -

3’ ±BC => m = - - f - ^ 1 = - _JL _ y =m, v \i. \i ■> ix2 + y2

4x - 2y x2 + y2 3. Por lo que : — y—¿ = — ~ ~ <=> x’ + xy2 - 4xy + 2y

y - y ,3 .

cY;

D

A(2 i) se\

/

X.

0

yx - y ~ ~ T "J - "v -r FIGURA 3.20

es la ecuación del lugar geométrico descrito por el punto C. □

E JE M P LO 2 2 j Introduciendo una tercera variable_______________________

Sea OA = 2a el diámetro de una circunferencia fija y 31: x = 2a la tangente de la circunferencia en A. Trácese por el origen O

una recta que corte a la circunferencia en D y a ,2? en E. Sobre OE tómese una distancia OP igual a DE.Hallar el lugar geométrico de P al girar OE alrededor de O. Dibújese el lugar geométrico obtenido.

Solución. 1. Sea P (x , y) un punto cualquiera del lugar geométrico tal que OP = DE , y sea 8 el ángulo variable formado por el diámetro fijo

www.freelibros.com


OA con la recta OE (Figura 3.21)

2. Si ÓP = DÉ <=> ÓP = ÓE - ÓD ( * )

En el AOAE : CosG = 2 ^ .=» ÓE =OE CosG

y en el AODA : OD = OA . CosG ■=> OD = 2a CosG

Sustituyendo en ( * ) se tiene : OP = - - - - - - 2a CosG = 2a SenG TgGCosG

3. Ahora, expresamos la ecuación obtenida en términos de las variables x e y

2a Í T T T ? ) ® ~ = aT T iEl lugar geométrico obtenido se conoce como la cisoide de Diocles.La curva es simétrica respecto al eje X , pues la variable y tiene exponente p a r; pasa por el origen de coordenadas y tiene como asíntota vertical a la recta x = 2a. Además , si

J x . xy = ± x V 2 a - x ■=> y es real o — - — >0 ■=> x e [ 0 , 2 a >

2a - x

es el dominio de la curva cuya gráfica se muestra en la Figura 3.22 Q

rYj

\¿ >/oX

c—

o

IIII

[ I

yFIGURA 3.21 FIGURA 3.22

www.freelibros.com

EJERCICIO S : Grupo 10 119

EJERCICIOS: Grupo 101. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(-3 ,5) es siempre

igual a su distancia al eje X disminuida en una unidad. Hallar la ecuación del lugar geométrico (Guía: Ejemplo 2).

2. Dados los puntos A(-3 , 2) y B(2 , 6), hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P de manera que la pendiente de PA sea el recíproco negativo, aumentada en 2, de la pendiente de PB.

3. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P tales que el producto de sus distancias a dos puntos dados S (b , 0) y T(-b , 0) es una constante iguala a2.

4. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos A(-5 , 2) y B(1 , -3); la longitud de la mediana que pasa por B es constante e igual a 4, hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice C.

5. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes al eje Y y que pasan por el punto A(1 , 0).

6. Dos vértices de un triángulo son los puntos fijos A(0 , -2) y B(0 , 4). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la diferencia entre las longitudes de los lados AC y BC es siempre igual a 1/3 de la longitud del lado AB. (Guía: Ejemplo 3).

7. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P que divide al segmento AB, que tiene sus extremos A en el semieje positivo de las X y B en el semieje positivo de las Y, en la razón AP : PB = 3:4, si el segmento AB forma con los semiejes triángulos de área constante igual a 1.5 u2.

8. Sea A (-12 , -8) y B (21 , 18) los extremos de un segmento AB. Hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que AP y PB forman un ángulo recto.

9. Hallar la expresión del lugar geométrico de los puntos P del plano, tal que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los puntos A(-1 , 3) y B(7 , 3) es igual a 4. (Guía: Ejemplo 3).

10. Un segmento AB de 5 unidades de longitud se mueve apoyando sus extremos A en el eje X y B sobre el eje Y. Hallar el lugar geométrico de los puntos P colineales con A y B tal que P divide a AB en la razón r=-3/2. (Guía: Ejemplo 8).

11. Sean A(2 , 8) y B(4 , 6) vértices del triángulo ABC. Hallar la ecuación del lugar

www.freelibros.com

120 Capitulo 3: Lugares geométricos

geométrico formado por el baricentro del triángulo al desplazarse C sobre la curva r(S: x! + y2 = 16. (Guía: Ejemplo 6).

12. Dos de los vértices de un triángulo son A(0 , 0) y B(6 , 0). Hallar el lugar geométrico del tercer vértice si la pendiente de la mediana de A es una unidad mayor que la pendiente de la mediana de B.

13. Sean los puntos A(1 , 2) y B(-1 ,2). Un punto P se mueve de manera que siempre mt + m2 = 3, donde m, es la pendiente del segmento AP y m2 la pendiente del segmento BP. Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por P.

14. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos A(0 , 0) y B(2 , 0). El tercer vértice C se desplaza sobre la curva &= {(x , y) e R* 19x2 + y2 = 9}. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el baricentro del triángulo (Guía: Ejemplo 6)r

15. Sea U cualquier punto de la gráfica de í? = {(x , y) e R21 x2 - y + 2 = 0} y sean S y T las proyecciones de U sobre los ejes X e Y respectivamente. Hallar la ecuación del lugar geométrico formado por los puntos P(x , y) tales que TP : PS = 1:3.

16. Sea U cualquier punto de la gráfica de ¿P = {(x , y) e /H y = x2} y sean S y T las proyecciones de U sobre los ejes X e Y respectivamente. Hallar la ecuación del lugar geométrico formado por los puntos medios M de ST.

17. Una cuerda de 10 cm. de longitud tiene sus extremos atados a los puntos A(-4 , 0) y B(4 , 0) los cuales son ubicados en una hoja de papel. Con un lapicero se tiempla la cuerda y a partir de un punto P(x , y) se hace “rotar” el lapicero de tal manera que la punta de éste se desliza sobre la hoja describiendo una curva cerrada. Hallar la ecuación que representa a dicha curva.

18. En la Figura 3.23, hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P que son vértices de los triángulos ABP, siendo Tga +Tgp = 2. (Guía: Ejemplo 9)


www.freelibros.com


19. En la Figura 3.24, hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos C(x , y), y * 0, si A = .{1 0) y B(5 , 0). (Guía; Ejemplo 11)

20. La base de un triángulo es AB, en donde A = (-4 , 0). Hallar el lugar geométrico del tercer vértice C, si la diferencia de los ángulos de la base es 45°. (Guía: Ejemplo 16).

21. Sea el triángulo variable ABP r donde A = (0 , 0) y B = (4 , 0). Si sus ángulos interiores a y p adyacentes a la base AB son tales que a + ¡3 = Jt/4, hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P que están en el primer cuadrante.

22. Un segmento AB es tal que A = (2 , 2) . mientras que B se mueve de tal modo que está sobre la circunferencia ^ : x2 + y? = 1. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios dél segmento.

23. Sea el segmento AB de 10 unidades de longitud y un punto P(x , y) situado sobre él a 6 unidades de A. Cuál es el lugar geométrico de P cuando el segmento se desplace de modo que los puntos A y B se apoyen constantemente sobre los ejes X e Y respectivamente. (Guía: Ejemplo 7).

24. Dados los puntos A(-6 , 0), B(-2 , 0} y C(4 , 0), determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos desde los cuales los segmentos AB y BC se ven bajo un mismo ángulo. (Guía: Ejemplo 14)

25. Por el punto A(3 , 0) se traza una recta que corta al eje Y en B. En el segmento AB se toma un punto P tal que BP = OB. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto P cuando la recta que pasa por A gira alrededor de este punto. (Guía: Ejemplo 19)

26. Un triángulo variable OAB tiene dos vértices fijos O = (0 , 0) y A = (a , 0), siendo a > 0. Si el vértice B varía de tal forma que el área del triángulo tiene siempre el valor de i ah , hallar una ecuación del lugar geométrico del punto P(x , y) en que la bisectriz interior del ángulo AOB interseca al lado AB.

27. Un niño de un metro de altura camina perpendicularmente al plano XY sobre la circunferencia de centro (0 , 2) y radio 2 mts. Sobre el origen de coordenadas y a una altura de 4 mts. se encuentra un foco luminoso. Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el extremo de la sombra del niño. (Guía: Ej. 18)

28. Hallar la ecuación del lugar geométrico formado por los pies de las perpendiculares trazadas desde (a , 0) a la hipotenusa del triángulo rectángulo con vértices en (a , 0), (0 , 0) y (a , z), donde z es variable. Además a es una constante mayor que cero.

www.freelibros.com

122 Capitulo 4: La línea recta

ECUACIONES PARA UNA RECTA

Las rectas y segmentos en el plano se pueden definir por medio de ecuaciones cartesianas. En este capítulo se presentarán las formas más útiles de estas ecuaciones y se discutirán las relaciones que existen entre ellas. Asi mismo veremos los puntos asociados con rectas en el plano.

1. Forma punto pendiente : y - y, = m(x - x,)

2. Forma de los dos puntos : ^ ^ = i r —v~X - x ( X 2 - X :

3. Forma de pendiente y ordenada al origen : y = mx + b

4. Forma general: Ax + By + C = 0X V

5. Forma de las coordenadas al origen : — + = 1a b

6. Forma simétrica : - __r _ s

7. Forma paramétrica : x = x, + rty = y, + si

www.freelibros.com

€ LA LINEA RECTA

£ D INTRODUCCION_____________________________________________

Comenzaremos en este capítulo con el estudio detallado de la línea recta, debido a que su ecuación es la más simple. En capítulos posteriores consideraremos problemas sobre conjuntos de puntos que conducen a ecuaciones de segundo grado.

Nuestra finalidad inmediata es la de poder escribir la ecuación de una recta. Para este fin, el concepto de pendiente es fundamental, pues si de los pu . de una recta se elige un conjunto de puntos, podemos esperar que las coordenad.'. > asignadas a estos puntos nos indiquen, por medio de pendientes, que son colineales. Esta propiedad permite definir a una recta como un lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera del lugar, el valor de la pendiente m resulta constante.

f n ECUACIONES PARA UNA RECTA___________________________

Las rectas que tienen cualquier propiedad geométrica especial, se puede asociar con ecuaciones que tiene alguna propiedad algebraica especial. A continuación estudiaremos esto con más detalle.

Si una recta es paralela al eje Y, su abscisa es constante y la ecuación tiene la forma:

® - í ( x , y ) I x = a}

donde a da la distancia y la dirección desde el eje Y. En la Figura 4.1 obsérvese que cuando a = 0, la recta 2! coincide con el eje Y, esto es, la ecuación del eje Y es x = 0.

Si una recta es paralela al eje X, su ordenada es constante y su ecuación tiene la forma:

www.freelibros.com

124 Capítulo 4: La línea recta

¡P = { (x , y) I y = b }

donde b da la distancia y dirección desde el eje X. En la Figura 4.2 nótese que cuando b = 0, la recta á? coincide el eje X, esto es, la ecuación del eje X es y = 0.

f Y/ « ' "i

x = a

o

V

(a . 0) *

J

/Y/ k

y = i

(0 . b )

0

V yFIGURA 4.1 FIGURA 4.2

CJ2D l a f o r m a p u n t o p e n d ie n t e _________________

r ~TEOREMA 4.1 La ecuación punto-pendiente

-\La ecuación de una recta no vertical & que pasa por el punto

fijo P, (x, , y,) y de pendiente dada m, es :y - y, = m(x - x,) (1)

V J

Demostración. En efecto,

1. Sea P(x , y) un punto cualquiera del lugar geométrico , diferente del punto fijop ,(x, , y,)

2. Por definición de recta , para cualquier posición de P. se debe verificar quey - y ,m = -x - x,

3. De donde obtenemos : y - y , = m(x - x,)

LA FO R M A DE LOS DOS P U N TO S__________________________

TEOREMA 4.2 La recta que pasa por dos puntos fijos P ^ x ,, y,) y P2( x , , y2) tiene por ecuación

L 2 i u (2)

www.freelibros.com

Sección 4.2: Ecuaciones para una recta 125

Demostración. En efecto :

1. Sea P(x , y) un punto cualquiera del lugar geométrico, diferente de P, y P?

2. Si m, = mpp ■=> m, = y - y ,X - X,

y si m2 = mpP m3 =y 2 - y.

3. Como P, P, y P2 son colineales, entonces m, = m2, esto es:

y - y , y 2- y .X , * X ,

ü EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

f E JE M P LO 1) Hallar por dos métodos diferentes, la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos A(-3 , -4) y B(5 ; 2)

Método 1. Por la forma punto-pendiente

Sea M punto medio de AB

r-3 + 5 -4 + 2\■=* M = ( — = 0 --O

r, 2 + 4 3Pendiente de AB : m, = = -1 5 + 3 4

Sea P(x , y) e SP , entonces

AB 1 PM o m . m . = - l = > m = - - 1 3

Luego, por la fórmula (1), la ecuación

de la mediatriz es :

y -(-1 ) = - | ( x - 1) » 4x + 3y - 1 = 0

Método 2. Por la fórmula de la distancia

En cualquier posición de P 6 3} se debe verificar que d(A , P) = d(B , P)

■=> V (x + 3)J + (y + 4)2 = V (x - 5)2 + (y - 2)2 » 3>\ 4x + 3y -1 = 0 □www.freelibros.com

126 Capitulo 4: Im línea recta

[ E JE M P LO 2 ^ Dado el triángulo de vértices A (-2,1), B (4,7) y C (6,-3); hallar las ecuaciones de las medianas relativas a los lados AC y BC,

y las, coordenadas del baricentro.Solución. Sean M y N los puntos medios los lados AC y BC, respectivamente.

Entonces :

M = , ^ ) = ( 2 , - 1 ) y N = ( i± £ , ! l 2 ) = (5 , 2)

según la fórmula (2) se tiene :Mediana BM :

y - 7 7 +x - 4 4 - 2

Mediana AN :y - 1 2 -1x + 2 = 5 + 2

o r£ ; 4x - y - 9 = 0

<=> : x - 7y + 9 = 0

coordenadas del baricentro :3',n 2 \ = G (8/3 , 5/3) □

( E JE M P LO 3 ^ Hallar las ecuaciones de dos alturas y las coordenadas del ortocentro del triángulo del ejemplo 2.

Solución. Tenemos : A(-2,l), B(4,7) y C(6,-3)Sean m| y m ¡ las pendientes de las alturas BP y AQ, respectivamente.

•3 - 1 _ l2

Entonces m.^ =6 + 2

7 + 3 .= ------ = -54 -6BC

Como AC IB P ■=> ^^ = 2 y B C l A Q ■=> m, = 1/5 Haciendo uso de la ecuación punto-pendiente se tiene;

altura BP : y - 7 = 2(x - 4) « iZ? : 2x - y - 1 = 0

altura AQ : y - 1 = (x + 2) <=> : x - 5y + 7 = 0

Coordenadas del ortocentro : 5? D = H(4/3 , 5/3)

( E JE M P LO 4 ) Dado el triángulo de vértices A(-10,-1), B(-3,7) y C(2,5), hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice B y

trisecan al lado opuesto AC.

www.freelibros.com

Sección 4.2: Ecuaciones para una recia 127

Solución. En la Figura 4.6 se tiene el AABC y los puntos de trisección P y Q del lado AC.

a p _ * P- * A _ yP- y A _** xc - xp " yc - y P “ 2

x + 10 y + 1 I

2

SiPC

2 - x

Q es punto medio de PC

5- y

Q= ( ^ r ’ ^ r ) = ("2,3)Por la ecuación de los dos puntos se tiene:

7 - I<=> 2x - y + 13 = 0

— y - 7Ecuación de BP :

— y - 7Ecuación de BQ :

x + 3 -3 + 67 -3

x + 3 -3 + 2<=> 4x + y + 5 = 0 □

(E J E M P L O 5 ) Sean las rectas : 2 x - 3y + 6 = 0 y : y - 4 = 0 . La recta Se interseca a iü? en B y a .2? en C. Si ¡e pasa por P(9 , 6) y

BP : PC = 2 : 3, hallar la ecuación de la recta

Solución. Sean B = (x, , y,) y C = (x2 , y,)

Si C(x2, y3) e «=> y2 - 4 = 0 <=> y2 = 4

xP ■ xb yP- y B 2

xc - xP - yc - y P ~ 39 - x , 6 - y, 2

3

BP 2-— = — ■=> PC 3

x, - 9 4 - 6de donde obtenemos : y, = 22/3

Como B (x, , y,) e <=* 2x, - 3y, + 6 = 0

■=> 2x, - 3(22/3) + 6 = 0 <=> x, = 8

Luego, si B = (8 , 22/3) entonces,6 - 2 2 / 3 4

n~) — mRP — ------------ — —y 9 . 8 3

Por lo que, la ecuación de es : y - 6 = - -^(x - 9) <=> % : 4x + 3y - 54 = 0 □www.freelibros.com


{ E JE M P LO 6 ) Entre las rectas que pasan por P(6 , 4) hallar una de maneraque el segmento comprendido entre las rectas á?: x - y + 2 = 0

y 2 ? : x + 3 y - 1 0 = 0 sea dividido por la mitad por el punto P.

Solución. Sean A = (x , y ) y B = (x , y2)

Pendiente de BP : m=

Si P es punto medio de AB, entoncesx , + x 2 = 2 ( 6 ) = 1 2 ( 1 )

y, + y2 = 2 (4) = 8 (2)Pero A e ^ => x, - y, + 2 = 0 (3)

Be 2? <=> x2 + 3y2- 10 = 0 (4)Sumando (3) y (4) se tiene :12 - y, + 3y2 - 8 = 0 => 3y2 - y, = -4 (5)De (2) + (5) resulta y, = 1 , luego en (4): x2 = 7 ■=> B(7 , 1)

4 - 1 6 -7

Ecuación de 2 : y - 4 = -3(x - 6) o 2! : 3x + y = 22FIGURA 4.8

( E J E M P L O 7 J Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3 , 5) a igual distancia de los puntos A(-7 , 3) y B(11 , -15).

Solución. A las condiciones del problema satisfacen dos rectas, una de

ellas pasa por el punto P y el punto medio del segmento AB (J^), la otra por el punto P y es paralelo al segmento AB (.2?). Por lo que :

Punto medio deÁB:M = ( '7 - t ü , = (2,-6)

hendiente de MP : m, = 5 —-6- = 113 -2

— -15-3Pendiente de AB : m ,= --------- =-1 FIGURA 4.911+7

Ecuación de : y - 5 = 11 (x - 3) <=> 22?,: 11 x - y - 28 = 0Ecuación de : y - 5 = - l (x - 3) <=>á?2: x + y - 8 = 0 Q

f E JE M P LO 8 ) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto

www.freelibros.com


P(-5 . 3) y que forman cada una un ángulo de 459 con la recta & que pasa por los puntos A(2 , -3) y B(4 , -2).

Solución. Pendiente de AB : = -2 + 3 = —0 4 -2 2

I m ‘ mn ISi Tq0 = -------------- , entonces paraI I + m . m0 1

0 = 45° y m0 = 1/2, se tiene :

1- I m ~ 1/2 I _ 12m - 11 ' 1 + (l/2)m I * m + 2 1

Si I 2m - 1 I = I m + 2 1<=> 2m - i = m + 2 ó 2m - 1 = -m - 2 <=> m, = 3 ó m, = - 1/3

Por lo tanto, las ecuaciones requeridas son:

y - 3 = 3(x + 5) ó y - 3 = - - (x + 5 ) o .5^: 3x - y + 18 = 0 ó í?2:x + 3 y - 4 = oC II

( E JE M P LO 9 ) Hallar la proyección del punto P(-8 , 12) sobre la recta que pasa por los puntos A(2 , -3) y B(-5 , 1)

Solución. El punto buscado se halla en laintersección de la recta que

pasa por A y B, con la recta ,2? 1 .2?, quepasa por P, luego :Pendiente de AB : m, = ■ = - —

1 -5 - 2 74

Ecuación de ^ : y + 3 = - y (x - 2)

<> SPt : 4x + 7y+13 = 07

Ecuación de 5? : y - 12 = - ( x + 8)

<=> .á?2 : 7x - 4y + 104 = 0 Q = ^ n ^ 2 = (-12,5) □

(E JE M P LO 1 o ) Un móvil parte del punto A(2 , 5) para ir a B(7 , 4) debiéndo tocar P(0 , y) y Q(x , 0) sobre ambos ejes. Determinar P y Q

para que el recorrido sea mínimo y calcular éste.

Solución. Los simétricos de A y B respecto a los ejes coordenados son, respecti-

www.freelibros.com

130 Capítulo 4: Im línea reda

vamente , A’(-2,5) y B’(7 , -4). Entonces la ecuación de A’B’ es :

y - 5 _ 5 + 4 x + 2 - 2 - 7

<=> x + y - 3 = 0

Intersectando esta recta con los ejes coorde- denados obtenemos :

P = (0 , 3) y Q = (3 , 0)

El mínimo recorrido será:

ÁP + PQ + QB = ÁV + PQ + QB’ = ÁB'

Por lo que:

d(A’ , B’) = V (-2 - 7 )'- + (5 + 4)2 =9^2 □

(E J E M P L O 1 l ) Hallar en la recta que pasa por C(0 , -5) y D(4 , 3) un punto P de manera que la suma de sus distancias a los puntos A (-7 ,1)

y B(-5 , 5) sea mínima.

Solución. Construimos B’, simétrico de B, respecto de la recta 5? que pasa por Cy D. Resulta evidente que AP + PB’ es mínima.

Luego la pendiente de CD es,™ 3 + 5 -m = = 2

1 4 -0Ecuación de : y + 5 = 2(x - 0)

<=> JZ- : 2x - y - 5 = 0 La ecuación de la recta ¡P 1 ^ , que pasa por B es:

y - 5 = - (x +5) o á?: x + 2y - 5 = 0

Como M € ( ^ í l Ü?) ■=> M = (3 , 1) siendo M punto medio de BB1 se deduce fácilmente que B' = (11, -3)

1 + 3 _ 2 9

A

N

d /

Ci

V yPendiente de AB’ : m, =- FIGURA 4.13

-7-11Ecuación de la recta S| que pasa por A y B’ : y -1 = - ~(x + 7) o í j : 7x + 9y + 5 = 0

Por consiguiente, si P e (2- í l r/Q ■=> P = (2 , -1)

www.freelibros.com

Sección 4.2: Ecuaciones para una recia 131

( e j e m p lo 1 2 ) En (a Figura 4.14, si S, y S2 son las áreas de los triángulos APO y OPB, hallar la ecuación de la recta que pasa por P y es per

pendicular a AB, y tal que S, : S2 = 3 : 2

Solución. Por la geometría elemental se sabe que:S, OP x AP AP S i ~ OP x PB “ PB

Luego, siAP _ 3 x p - XA y P - y * 3PB ~

c=> —2 xB - xp y B - y P 2

x + 5 y -12 3

5 - x 2 - y 2

de donde obtenemos :

x = 1 , y = 6 ■=> P = (1 , 6)

Pendiente de AB : m. = ——- = -1_ ' -5 - 5

Si AB 1 & «=> m| . m = - l => m = l Por lo que, la ecuación de la recta S0 es :

y - 6 = l(x - 1) á?: x - y + 5 = 0 □

(e jem p lo 13) Las rectas .2?, y , cuyas pendientes son positivas , se cortan en P(-2 , 1) y forman un ángulo de 135®. El área del triángulo

formado por las rectas con el eje Y es igual a 5 u?. Hallar las ecuaciones de dü? y &2.

Solución. Sean A = (0 , y) y B = (0, y + b)

a (AABP) = j (b) (abscisa de P)

<=> 5 = i ( b ) I - 2 1, de donde b = 5 ■=* B = (0 , y + 5)

(y + 5 )- 1 y + 4itidu = m, = — ;— -— ■=> m, =

Si Tg 135° =

0 + 2

y - 12

m, - m,

( 1)

y - I y + 4

1 + m, m2

www.freelibros.com


de donde : y : + 3y - 10 = 0 y = -5 ó y = 2 Sustituyendo y = 2 en (I) obtenemos : m, = 3 y m, = 1/2 Ecuación de : y - 1 = 3(x + 2) «=> 9\ : 3x - y + 7 = 0

Ecuación de ¡Bt : y - 1 = y (x + 2) « SB : x - 2y + 4 = 0 tD

(E J E M P L O 1 4 ) En la Figura 4.16, el área de la parte sombreada mide 16u2, si!J.\ 1 5?, hallar la ecuación de , si P = (-4 , 2).

Solución. Area del trapecio = y (OB + AP)OA

c=> 16 = y (6 + 2) (4), de donde: 6 = 6 => B = (0 , 6)

- 9Pendiente de á?: m, = —— = 1

1 1 0 + 4Si 1 J2? <=> m, . m, = -l => m2 = -l

Ecuación de : y - 6 = -1 (x - 0) «=> á | : x + y - 6 = 0

E J E R C I C I O S : 6 / v / p o f /

1. Hallar la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento que une a los puntos A(7 ,4) y B(-1 ,1). (Guía: Ejemplo 1)

2. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 9’ : 4x - 3y = 12. (Guía : Ejemplo 1)

3. Los vértices de un triángulo son A(4 , 3), B (0 , 5) y C(-4 , 1). Hallar las ecuaciones de las medianas, mediatrices y las alturas, así como las coordenadas del baricentro, circunscentro y el ortocentro. (Guía: Ejemplo 2 y 3).

4. Demostrar que los puntos de intersección de las medianas, mediatrices y alturas del triángulo del ejercicio 3 son colineales y hallar la ecuación de la recta que determinan (Recta de Euler).

5. Los vértices de un trapecio son A(-2 , 3), B(-3 , -2), C(5 , 2) y D(2 , 5). Se prolongan los lados no paralelos BA y CD hasta cortarse en P. Determinar las coordenadas del baricentro del triángulo APD asi formado.

6. Hallar las coordenadas del punto de la recta V: x - 2y + 13 = 0 que equidista de los puntos A(-3 , 5) y B( 6 , 2)

www.freelibros.com

EJERCICIO S : Grupo I I 133

7. Dado el triángulo de vértices A(-4 , 3) y B(5 , -1) y C(7 , 5), hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el vértice C y trisecan al lado opuesto ÁB.

8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(2 , 5) y el punto Q que divide al segmento que une los puntos A(2 , -3) y B(-1 , -2) en la razón AQ : QB = 4 :3 (Guía: Ejemplo 5)

9. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan p el punto P(6, -1) y forman un ángulo de 135® con la recta que pasa por los puntos A(-3 , 1) y B(1 , -5).

10. Un móvil parte de A(2 ,3) para ir a B(9,8) debiendo tocar P(0, y) y Q(x , 0) sobre ambos ejes. Determinar P y Q para que el recorrido sea mínimo y calcular éste. (Guía: Ejemplo 10).

11. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1 , 2) a igual distancia de los puntos A(-5 , 2) y B(1 , 6). (Guía: Ejemplo 7)

12. Hallar, en el eje de ordenadas, un punto P de modo que la diferencia de sus distancias a los puntos A(-3 , 2) y B(2 , 5) sea máxima.

13. Hallar un punto Q simétrico al punto P(8 , -9) relativo a la recta que pasa por los puntos A(3 , -4) y B(-1 , -2).

14. Hallar en la recta que pasa por M(1 , 2) y N (0 , -1) un punto P de manera que la diferencia de sus distancias a los puntos A(4 , 1) y B(0 , 4) sea máxima.

1:5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(3,4) y tal que el segmento comprendido entre las rectas 5 ^ : 2 x - y + 4 = 0 y . 2 | : 2 x + 3 y - 6 = 0 sea dividido por el punto P por la mitad. (Guía: Ejemplo 6)

1.6i Hallar la proyección del punto P(-5 , 8) sobre la recta que pasa por los puntos A(3 , -2) y B(-3 ,1).

17. Un segmento AB se apoya sobre los ejes coordenados de modo que A está sobre el eje X y B sobre el eje Y. Si el punto P(3 , -1) pertenece al segmento AB y se cumple PA + 2PB = 0, hallar la ecuación de la recta que contiene al segmento ÁB.

18. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3 , -2). Si la abscisa del otro extremo es 6, hallar la ecuación de la recta perpendicular que contiene al segmento que pasa por el punto (3 , -2).

19. Si B y C son los puntos de trisección del segmento AD, donde A = (-1 , 2 ), D = (5 , 8 ) ; & es la recta que pasa por B y forma un ángulo de 45® con la recta AD (r. jdido desde S hacia AD), 2? es la recta que pasa por C y forma un ángulo

www.freelibros.com

134i

Cm.iuib 4. Iju línea recta

de 1359 con la recta (medido desde ¡P hacia 5?’).a) Hallar las ecuaciones de V y S-’b) Hallar E, punto de intersección de las rectas 2" y T 'c) Hallar el área del triángulo BCE

20. Para 0(0 , 0) se tiene un triángulo ABO, recto en B. Si (2, -1) es el punto de la hipotenusa OA que divide a ésta en la razón r = 2/3 y OB es > cateto contenido en la recta que pasa por (2,1) .a) Hallar las coordenadas del punto Ab) Hallar la ecuación de la recta AB y las coordenadas del punto Bc) Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x , y) tales que la pendiente de la

recta PB es el triple de la recta OP.d) Es cierto que el punto (3 , 3/2) pertenece al L. G. obtenido en c) ?

E E 0 FO RM A PENDIENTE Y O R D EN AD A A L O R IG EN __________

TEOREMA 4.3 La recta cuya pendiente es m y cuya ordenda en el origen es b, tiene por ecuación

y = m x + b (3 )

Demostración. En efecto:

1. Sea P(x , y) un punto cualquiera del lugar geométrico y sea (0 , b) otro punto del lugar geométrico situado en el eje Y.

2. Por el teorema 4.1, la ecuación de la recta es: y - b = m(x - 0)

3. De donde obtenemos :31\ y = mx + b

FO R M A DE LA S C O O R D EN AD AS A L O R IG E N____________

Esta forma de la ecuación de una recta, llamada tambiér rma simétrica, es un caso especial de la forma de los dos puntos, en la cual I puntos son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados.

www.freelibros.com

Seccjón 4.2: Ecuaciones para una reda 135

TEOREMA 4.4 La recta cuyas intersecciones con los ejes X e Y son a * 0 y b * 0, respectivamente, tiene por ecuación:

^ =1 (4)a b

□ EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( E JE M P LO 1 ) Una recta cuya ordenada en el origen es el doble que la de .2?, : 7x - 4y + 3 = 0 es paralela a la recta que pasa por A(3 , 1)

y B(1 , 6) Hallar su ecuación.

Solución. Sea la recta, SP : y = mx + b (1)

siendo SP 11 AB => m = m = = —| _ 3 2

Aoernas, en SBX, si x = 0 =* b, = 3/4. Como b = 2b => b = 3/2

i 1 : en (1), se tiene : y = - 1 x + j « SP : x + 2y - 3 = 0 □

Demostración. Efectivamente:1. Sea P(x , y) un punto cualquiera del L. G. y

sean (a , 0) y (0 , b) los interceptos del L. G. con los ejes X e Y respectivamente.

2. Por el Teorema 4.2, la ecuación del L. G. esy - 0 0 - bx - a a - 0

3. De donde obtenemos :

=> ay = - bx + ab

OBSERVACIONESFIGURA 4.18

1. Si en el paso (2) escribimos y = - — x + b , y comparamos con la ecuación3

y = mx + b , se deduce fácilmente que : m -----3

2. En la Figura 4.18 se observa que los ejes coordenados y la recta .3? forman un triángulo rectángulo, cuya área se puede calcular por la fórmula :

www.freelibros.com

136 Ca/n'tní, 4: La Linca reda

{ E JE M P LO 2 ) Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada en el origen es -5 y que pasa por el punto P que está a 2/3 de distancia de AB,

siendo A(-2 , 5) y B(7 , 2).

Solución. Sea la recta y = mx + b ■=> í£\ y = mx - 5 (1)— AP 9 / 1

Como P(x , y) está a 2/3 de AB => r = — = — =PB 1/3

p . AP „ xp - x A yp - y A x + 2 y - 5S i —— = 2 ■=> -------------- = - 2 <d> = = 2

PB x8 - x p yB- y p 7 - x 2 - y

de donde : x = 4 , y = 3 ■=> P = (4 , 3). Si P s & ■=> 3 = m(4) - 5 « m = 2

Por tanto, en (1): J2?: 2 x - y - 5 = 0 □

[ E J E M P L Q 3 J Hallar la ecuación de la recta de pendiente -3/4 y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 24 u2

x ySolución. Sea la recta 3} : — + — = i (1)

a bt) 3

Si m = — = — => a = 4k y b = 3k (k = factor de proporcionalidad) a 4

S = — I a . b i ■=>24 = ^1 (3k) (4k)I =» k1- = 4 <=> k = ± 2 *=> a = ±8 y b = ±6

x y x yPor tanto, en (1), hay dos soluciones: — + — = l ó — + — = 1

' ' 8 6 - 8 - 6

« : 3x + 4y - 24 = 0 ó : 3x + 4y + 24 = 0 □

( E J E M P L O 4 ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2 , -4) y cuya suma de sus intersecciones con los ejes coordenados es 3.

x ySolución. Sea la recta (£\ — + — = 1a b

Si a + b = 3 .=9 b = 3 - a , luego, £ : (3 - a)x + ay = a(3 - a) (1)

Si A(-2 ,-4) e X (3 - a)(-2) + a(-4) = a(3 - a) ==> a2- 5a - 6 = 0 « a , = 6 , a, = -1

Sustituyendo en (1) obtenemos:<e. : x - 2y - 6 = 0 ó 3}t : 4x - y + 4 = 0 Q

www.freelibros.com


( EJEM PLO 5 ) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen suman 7, y cuya pendiente es -11/3.

x ySolución. Sea la recta SP\ — + — = i ■ (1 )

a b

Si m = — = - — o a = 3k y b = 11 k a 3

tío a + b = 7 ‘= > 3 k + l l k = 7 « k = 1/2 , luego: a = 3/2 , b = 11/2

Poi tanto, en (1) se tiene SB : 22x + 6y - 33 = 0 |~]

f E JE M P LO 6 ) Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 2.5 u2.

x ySolución. Si 4x + 5y + k = 0 «=* —— + =1 <=> a = -k/4 y b = -k/5

(-K/4) (-k/5)

C o m o S = i | a . b | => | = ! ] ( - £ ) ( . | ) | « k2 = 100

k = 10 ó k = -10 □

( E J E M P L O 7 ) Una recta SP determina en el eje Y un segmento de 6 unidades de longitud, y pasa por el punto P de ordenada -4, que perte

nece a la recta -2- : 3x - 4y - 34 = 0. Hallar la ecuación de 91.

Solución. Sea la recta SU : y = mx + b . Si I b I = 6 ■=> SP : y = mx ± 6 ( I )

Si P(x, . 4 ) 6 ^ O 3x, - 4(-4) - 34 = 0 <=> x, = 6 ■=> P = (6 , -4)

También P(6 , -4) e SP <=> -4 = 6m ±6 <=> m, = -5/3 ó = 1/3

Por tanto, en (1), hay dos soluciones :SP : 5x + 3y - 18 = 0 ó 21: x - 3y - 18 = 0 □

( E JE M P LO 8 j Una recta pasa por el punto A(2 , 4/3) y forma con los ejes coordenados un triángulo de perímetro igual a 12. Halle su ecua

ción.x y

Solución. Sea la recta f£ : — + — = 1 (1)a b

Perímetro del APOQ a + b - PG = 12

www.freelibros.com

138________________________________ Capítulo 4: La línea recia

■=> a + b + Va3 + b2 =12 <=> Va2 + b2 = 12 - (a + b)Elevando al cuadrado obtenemos :

ab - 12(a + b) + 72 = 0 (2)Si A(2 , 4/3) e & entonces :

2 4/3 , 4a— + ---- = 1 =^ b = ---------- (3)a b 3(a - 2) v 1

Sustituyendo (3) en (2) se tiene :2a2- 1 5 a + 27 = 0 « at = 3 ó a, = 9/2

Luego, en (3 ) : b , =4 ó b2 = 12/5Finalmente en (1) obtenemos dos soluciones: FIGURA 4.19

á?: 4x + 3y - 12 = 0 ó & : 8x + 15y - 36 = 0

[E J E M P L O 9 ^ Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(12 , 6) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual

a 150 u2.

x ySolución. Sea la recta OH : — + — = l (a)

a b

Si P( 12 , 6 ) e $ => ^ + £ - = 1 <=> 12b + 6a = ab (1)a b

S = -\ a . b l => lab I = 300 « { 3b " 300 (2)2 l a b = -300 (3)

Resolviendo (1) y (2) se tiene : a, = 20 ó a2 = 30=> b, = 15 ó b2 = 10

y de (1) y (3) resulta : a, = -60 ó a4 = 10o b ,= 5 ó b4 = -30

Sustituyendo cada uno de estos valores en (a) obtenemos :2?: 3x + 4y = 60 ó ^ : x + 3y = 30 ; : x - 12y + 60 = 0 ó 2>A: 3x - y - 30 = 0 □

EJERCICIOS: Grupo 12

1. Una recta pasa por el punto P(2 , 3) y la suma de los segmentos que determinasobre los ejes coordenados es 10. Hallar la ecuación de la recta. (Guía: Ej. 4).

www.freelibros.com


2. Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman cero,y que contiene al punto P(2 , 4). (Guía: Ejemplo 4)

3. Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2, y cuya pendiente es 9/5. (Guía. Ejemplo 5).

4. Una recta pasa por el punto A(-6 , 7) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 10.5 u2. Hallar su ecuación. (Guía: Ejemplo 9).

5. El producto de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a -6. Hallar la ecuación de la recta si su pendiente es igual a 3.

6. Hallar el valor de k para que la recta f£ : 2x + 3y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 3 u2. (Guía: Ejemplo 6)

7. Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa al origen suman -1, yque pasa por el punto S(2 , 2). (Guía: Ejemplo 4)

8. Hallar la ecuación de la recta para la cual el producto de la ordenada y abscisa al origen es 6, y que pasa por S(3/2 , -3)

9. Hallar la ecuación de una recta cuya ordenada al origen es doble de de 2x - 3y + 5 = 0 , sabiendo que pasa por el punto P que está a 1/3 de diste- ia de A a B, siendo A(3 , -1) y B(-2 , 8). (Guía: Ejemplo 2)

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(5 , -5) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área 50 u2. (Guía: Ejemplo 9)

11. Una recta & determina en el eje Y un segmento de 4 unidades de longitud, y pasa por el punto P de abscisa -5, que pertenece a la recta ¿Z? : 4x - 3y + 26 = 0. Hallar la ecuación de £. (Guía: Ejemplo 7)

Cualquier ecuación de primer grado en x e y se puede escribir de la forma

en donde A, B y C son constantes arbitrarias, con A y B no nulas simultáneamente. La ecuación (7) recibe el nombre de forma general de la ecuación de una recta. Veamos los casos que se presentan.

CASO 1. Si A * 0 , B * 0 y C * 0, la ecuación general se puede escribir de la forma:

LA FORMA GENERAL

Ax + By + C = 0 (7)

www.freelibros.com

140 Cap • 4: La línea recta

Comparando con la ecuación y = mx + b, se deduce que

CASO 2. Si A * 0, B * 0 y C = 0, la ecuación general toma la forma

Ay x o y = mx

BSe dice entonces que la recta pasa por el origen de coordenadas.

CASO 3. Si A * 0. B = 0 y C * 0, la ecuación general toma la formaC

x = - — o x = a A

Se dice entonces que la recta es vertical, de pendiente indefinida o paralela al eje Y

CASO 4. Si A = 0 , B * 0 y C * 0, la ecuación general toma la forma

Se dice entonces que la recta es horizontal, de pendiente cero o paralela al eje X

En consecuencia, vemos que en todos los casos la ecuación (7) representa una recta.

R E LA C IO N E S E N TR E DOS REC TAS C O P LA N A R E S

Consideremos dos rectas cualesquiera representados por

^ : A,x + B,y + C, = 0 y Q : A2x + B2y + C2 = 0

Dos rectas en un sistema de coordenados rectangulares, tales como & y ^ 2, pueden asumir las siguientes posiciones relativas:

1. Rectas paralelas2. Rectas coincidentes3. Rectas concurrentes perpendiculares4. Rectas concurrentes oblicuas

Veamos, en cada caso , las condiciones analíticas a que están sujetas ambas rectas.

www.freelibros.com

Sección 4.3: Relaciones entre dos rectas capiculares 141

E J J J RECTAS P A R A LE LA S

A, A, Según la relación (8): m, = - — y m, = — -

B , B1

A ASabemos que si % II <=> m, = m, *=> - — = -

' 2 B, B;

A, B,— = — = k (9)A, B, ' ’

esto es, los coeficientes de x e y son proporcionales.

Q 2 3 RECTAS C O IN C IP E N T E S

Dos rectas coinciden si tienen un punto común y la misma pendiente.Según la relación (8), la intersección de y con el eje Y es respectivamente

c , c 2b, = - — y b = - —

1 B, B2

C i c > B , C.Puesto que b, = b • = > ! = - — <=> _ = _ í‘ 2 B, B, B2 C2

También, por ser iguales las pendientes, entonces según (9):

A, B,A2 = b 2

Comparando estas dos relaciones obtenemosA, B. C

a 2 b 2 c 2= 7^ = k (10)

es decir, dos rectas coinciden si y solo si sus coeficientes correspondientes son proporcionales.

RECTAS P E R P E N D IC U LA R E S

A ASabemos que si 1 « m ,. m2 = -I ■=> (- —1) (- —z) = - 1

le donde obtenemos: 1 2

A, A, + B,B, = 0 (11)

www.freelibros.com

142 Capítulo 4: La linca recia

RECTAS OBLICUAS_______________________________________

En el caso de que las rectas 2- y no sean paralelas geométricamente, ambas se cortan en uno y solamente un punto. Analíticamente si y 9?2 no son paralelas, entonces, de la relación (9) se deduce que

A, B ,* -gí «=> A,B, - AjB, * 0 (12)

Todos estos resultados quedan resumidos en el siguiente teorema.

TEOREMA 4.5 Relación entre dos rectas coplanares

Si las ecuaciones de dos rectas son .2?: A,x + B y + C, = 0 y .2? : A,x+ B2y + C2 = 0, las relaciones siguientes son condiciones necesarias y suficientes para:

A , B,1. Paralelismo: — = — , o sea, A,B2 - A2B, = 02 2

A , B, C,2. C o i n c i d e n c i a _ k k * n

A, " B2 " C2 " ’ u

3. Perpendicularidad : A ^ , + B ^ = 04. Intersección en uno y solamente un punto,

A, B,— * — , o sea, A,B2 - A2B, * 0


EJEMPLO 1 ) La recta de ecuación : 2kx + (k - 4)y + 3k -5 = 0 es perpendicular a la recta .2? : 3x + 2y - 7 = 0 . Hallar la suma de la

abscisa y ordenada en el origen de la recta Wv2k 3

Solución. Según la relación (8 ), tenemos: m, = - ------ y m, = —k - 4 2 2

2k 3Si & 1 St‘ <=> m m = -1 <=> f ) ( — ) = -l , de donde, k= i

' k - 4 n 2 1Luego, en ^ se tiene : 2x - 3y = 2Ahora, interceptando con los ejes coordenados obtenemos , = ¡ y b = -2/3

a + b = 1/3 Q

www.freelibros.com

Sección 4.3:Relaciones entre dos recias coplanares 143

( E J E M P L O 2 ^ Determinar para que valores de m y n la recta2?: (m + 2n - 3)x + (2m - n + 1 )y + (6m + 9) = 0 es paralela al eje

X e intercepta al eje Y en el punto A(0, - 3).A

Solución. Si 2? es paralela al eje X ■=> m = 0 , o sea - — = 0 A = 0

Luego, en la recta W se tiene : m + 2n - 3 = 0 (1)Si A(0, -3) e 2? => (m + 2n - 3)(0) + (2m - n + l)(-3) + 6m + 9 = 0 , de donde n = 2. Sustituyendo este valor en (1) obtenemos : m = 7 HH

( E JE M P LO 3 ) Si la recta 2? : ax + 2y + b - 6 = 0 pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta 2 | : (b - 2)x - 3y + a = 0 , hallar los valores

de a y b.

Solución. Si P(2, -3) e 2? .=* a(2) + 2(-3) + b - 6 = 0 « 2a + b = I 2 (1)

y si 2? 11 2?2 <=> m, = m2 <=> 3a + 2b = 4 (2)

Resolviendo (1) y (2) por simultáneas obtenemos : a = 20 y b = -28 IZI

( E JE M P LO 4 ) Sean las ecuaciones 2?, : 9y + Ax + (A - 3) = 0 y2? : Ay + 4x + B = 0, hallar A y B de manera que la gráfica de

las ecuaciones sea la misma.

Solución. De la relación (10), si 2? y 2? son rectas coincidentes, entonces

2. _ — A ' 3 A " 7 ~ B

De la primera igualdad se tiene : A2 = 36 o A = 6 ó A= -6

Para A = 6, — = - —- <=> B = 2 , y para A = -6 , - — = -2—3 ==> B = 6 □4 B 4 B

( E JE M P LO 5 ) Hallar el valor de k para que la recta 2?: 3x - ky - 8 = 0 forme un ángulo de 45® con la recta 2- : 2x + 5y -17 = 0.

Solución. Según la relación (8) se tiene : m = —k

y m. = - —

Si Tg0 =m - m,

1 + m . m,Tg 45° (3/k) - (-2/5)

1 + (3/k) (-2/5)

de donde : I 5k - 6 I = 115 + 2k I » 5k - 6 = 15 + 2k ó 5k - 6 = -15 -2k « k = 7 ó k = - 9/7 □

www.freelibros.com


[ E JE M P LO 6 ) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por P(5 , 4) y forman con la recta 3x - 2y + 12 = 0 un ángulo cuya tangente

es 1/2.

Solución. Vamos a suponer que S?0 sea 3x - 2y + 12 = 0 ^ m0 = 3/2

m - m 0 ^ 1 - m - (3/2)1 + m . m0 2 1 + (3/2)m

Ahora, si Tg6 =

de donde : f 2 + 3m | = 14m - 6 1 <=> 2 + 3m = 4m - 6 ó 2 + 3m = -4m + 6» m, = 8 ó m2 = 4/7 H

Teniendo el punto P(5 ,4) por donde pasan las rectas y 2BV sus ecuaciones serán:

y - 4 = 8(x - 5) ó y - 4 = y (x - 5) o ^ : 8x - y - 36 = 0 ó % : 4x - 7y + 8 = 0 □

( EJEM PLO 7 ) Un rayo de luz corre a lo largo de la recta : x - 2y + 5 = 0 hasta llegar al espejo cuya ecuación es ,2 |: 3x - 2y + 7 = 0 en

el cual se refleja. Hallar la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.

Solución. De y se tiene : m, = 1/2 y m2 = 3/2

Además, á ? n ^ 2 = P(-l , 2)Como el ángulo de incidencia = ángulo reflejado

=> . Tga = Tgp /

Esto es :m, - m, m - m.

(3/2) - (1/2) m - 3/2o m = 29/2

1 + (3/2)( 1/2) 1 + (3/2) m

Luego, la ecuación que contiene al rayo reflejado será :

y - 2 = y (x + 1) » 29x - 2y + 33 = 0.FIGURA 4.20

□

( EJEM PLO 8 J Hallar el punto simétrico al punto Q(-2, -9) respecto de la recta&■. 2x + 5y - 38 = 0

Solución. Sea P(x , y) el punto buscadoLa pendiente de la recta SP es m = - 2/5

Luego, si SB _L PQ => mPQ = 5/2 Ecuación de la recta que contiene a PQ :

www.freelibros.com

Sección 4.3: Relaciones entre dos rectas coplanares 145

y + 9 = d. (x + 2) o : 5x - 2y - 8 = 0

Por lo que, ^ f l T = M(4 , 6)Siendo M punto medio del segmento PQ, entonces:

x - 2 y - 94 ^ ------ . 6 = - ----- <=> x = 10 , y = 21

P = (10 , 21)

[ E J E M P L O 9 J Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(5 , 3) y forma un triángulo isósceles con las rectas '/\ : x - y = 0 y : x - 7y -1 = 0

Solución. La Finura 4.22 muestra queexisten tres casos : La recta X _

contiene al lado no congruente y las rectas X ' y X " contienen a uno de los lados congruentes.

CASO 1. El AABC es isóscelesm - m , m - m

TgA = TgB

m - lI + m . m

(1/7) - ml + m . m.

m + l l + (l/7)mo 2m2 + 3m - 2 = 0

<=> m = -2 ó m = 1/2 Hay dos soluciones en el caso 1 :

y - 3 = -2(x - 5) ó y - 3 = I ( x - 5 )

o ^ : 2 x + y - 1 3 = 0 ó ^ ? : x - 2 y + l = 0 CASO 2. El AA’B’C es isósceles.

m - m ,<=> TgA’ =TgC »

m, - m

FIGURA 4.22

m - 1I + m . m. 1 + m ,. m. 1 + m1 1 2

de donde obtenemos : m = 7 ■=> y - 3 = 7(x - 5 ) <=> X ' : 7x - y - 32 = 0

CASO 3. El AA"B” C es isósceles

=> TgB” = TgC <=>

de donde : m = - 17/31

m, - m 1 + m ,. m

17,

m, - m2 1 + m, . m2

1/7- m 1 + i m

7

y - 3 = - j L ( x - 5 ) <=> X " : 17x + 31y- 178 = 0

1 - 1/7 1 + 1/7

1 - 1/7 1 + 1/7

□

www.freelibros.com

146 Capítulo 4: La linca recta

(E JE M P LO 1 o ) El punto A(-4 . 5) es el vértice del cuadrado una de cuyas diagonales es .S?: 7x - y + 8 = 0. Hallar las ecuaciones de los

lados y la segunda diagonal de este cuadrado.

Solución. De SBy se tiene , m, = 7Como BD 1 AC <=> mAC = m2 = -1/7

Ecuación de la diagonal AC :

y - 5 = - y (x + 4) : x + 7y - 31 = 0

De í" n se obtiene : M = (-1/2 , 9/2)Siendo M punto medio de AC , se deduce fácilmente que C = (3 , 4).En el AACB :

m, - m 1/7 - mTg459 = — -------- 1 = — ■■— —

1 + m ,. m I + (l/7)mde donde se obtiene : m = - 4/3

— A >Por lo tanto; ecuación de BC : y - 4 = - y (x - 3) o BC : 4x + 3y - 24 = 0

— 4 Hecuación de AD : y - 5 = - -y(x + 4) o AD : 4x + 3y + 1 = 0

— 3 <-4ecuación de AB : y - 5 = — (x + 4) <=> AB : 3x - 4y + 32 = 0

— 3ecuación de CD : y - 4 = — (x - 3) <=> CD ; 3x - 4y + 7 = 0 □

( e je m p lo 1 1 ) Demostrar que si las tres rectas ,3?, : A,x + B,y + C, = 0 , 2tt : A2x + B2y + C2 = 0 y <03: A3x + B3y + C3 = 0 se cortan en un

solo punto, entonces:A, B, l A2 B2 lAj B, l

= 0

Demostración. En efecto, si P0(x0, y0) es el punto común a las tres rectas, entonces

A ,xo + B,y0 = *c ,V o + B2y0 = -C2V o + B3y0 = -C3

Si resolvemos las dos últimas ecuaciones por el método de determinantes, obtenemos: -C2 B2 a 2 -c 2

-C, B, A i -c ,

A, B.. y0-

A, B,a; B3 . A, B,

www.freelibros.com

Sección 4.3:Relaciones entre dos rectas coplanares 147

Sustituyendo en la primera ecuación se sigue que

=> A,

A2 B,A, B,

c 2 B, B,

+ B,

A, -c ,A, -C,

+ C, = 0

> O A, B,- B,

i íA, C, + c ,

2 2 A, B, = 0

El primer miembro de la ecuación es el desarrollo, por los elementos de la primera

fila de un determinante de tercer orden, por lo que :A, B, C,

B,b '

= 0 □

(E J E M P L Q 1 2 ) Determinar para qué valores de a, las rectas y ¡ : 2x - y - 9 = 0, S32: 5x + ay - 17 = 0 y .S|: ax - 2y -14 = 0 se cortan en un punto.

Solución. Según el ejemplo 11 se debe verificar que :2 -1 -95 a -17 = 0a -2 -14

Desarrollando por los elementos de la primera fila se tiene :

a -17 -2 -14 - ( -1) 15 -17

la -14l + (-9)5 ala -2 I = 0

de donde : 9a2 - 1 la - 48 = 0 o a = 3 ó a = - 16/9 □

( e j e m p l o 1 3 ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas, sabiendo que la longitud de su segmento comprendi

do entre las rectas J25¡: 2x - y + 5 = 0 y : 2x - y + 10 = 0 es igual a VlO.

Solución. Una recta que pasa por el origen tiene la forma2?: y = mx (1)

Designemos por A( x , , y () y B(x , y2) los extremos del segmento AB.Si A(x, , y , ) e => 2x, -y, + 5 = 0

B(x2 , y2) 6 i?2 => 2x, - y2 + 10 = 0 Restando la segunda de la primera ecuación se tiene

2(x, ■ *j) - (y, - y.) - 5 = 0

www.freelibros.com


Ahora, si h = x, - x2 y k = y, - y2 <=> 2h - k - 5 = 0=* k = 2h- 5 (2)

I AB I = '/To c=í. s/(x, - x2)2 + (y, - y ¡Y =Vi o entoncesh2 + (2h - 5)2 = 10 h2 - 4h + 3 = 0 <=> h, = 1 ó h, = 3Sustituyendo en (2): k, = -3 ó k, = 1

y - y

Dado que m = — - = — ■=> m = -3 ó m = 1/3x , - x, h

Por lo que, en (1) tenemos,3x + y = 0 Ó Se-, x - 3y = 0 L k FIGURA 4.24

(E J E M P L O 1 4 ) Los lados iguales de un triángulo isósceles están en las rectas .S?,: 3x + 2y - 6 = 0 y á? : 2x + 3y + 6 = 0. Hallar la ecuación de

la recta que contiene al tercer lado de modo que el baricentro del triángulo sea 0 (0 ,0).

Solución. Sean A(x , , y , ) , B(x2 , y2) y SBX f| S#2 = C(6, -6)Si el baricentro del triángulo es 0(0 , 0), entonces

0 = i - ( x , + x2 + 6) =* x , + X 2 = -6 (1) ; 0 = l ( y i + y2-6) =» y, + y2 = 6 (2)

m - m m - m,Si I BC I = I AC I =* Tg9 = Tg02 « ------¡------- = ---------- —

1 + m ,. m 1 + m . m2(-3/2) - Vn m - (-2/3)

--------------- = -------------- « m = 11 + (-3/2)m 1 + (-2/3)m

Pero,

m = f r j =» y. - y 2 = x . - x 2 (3 )

Sumando (2) y (3) se tiene :2y, = 6 + x, - x2 (4)

Si A(x( , y () e j?? => 3x( + 2y, - 6 = 0<=* 3x, + (6 + x, - x2) - 6 = 0=» 4x, - x2 = 0 (5)

De (1) y (5), por simultáneas se obtiene : x, = -6/5 y x, = -24/5 , luego en (4): y, = 24/5Por lo que A = (-6/5 , 24/5)

Ecuación de <£\ y - y = l(x + y ) « x - y + 6 = 0 □

www.freelibros.com

Sección 4.3: Relaciones entre dos recias coplanares 149

Si — = a(AABC) ■=> — =2 2

-7 512 12m

m - 1 m - 19 9m

m + 2 m + 2-7 5

(E J E M P L O 1 5 ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y formacon las rectas J£1 : x - y + 12 = 0 y i 2 | : 2 x + y + 9 = 0un

triángulo, cuya área es igual a 3/2 u2.

Solución. La recta buscada tiene la forma 5?: y = mx {1 )

=> SU n 3B. = A , -*2m ) ; * n $ = B (- — - , - -Ü IL ) y « n JK = C(-7 , 5)1 'm - 1 m -1 ' 2 v m + 2 m + 2' 1 2 2

FIGURA 4.2684m 108m 45 63m 108m 60

m - I ( m- I ) (m + 2) m + 2 m + 2 ( m- l ) ( m + 2) m ij

j j j |20 + 28m 15 + 21m|de donde : — + = i| m -1 m + 2 |

<=> (16m2 + 69m + 27 = 0) v (50m2 + 71m + 23 = 0)<=> ( <> ) v (m = -1/2 ó m = -23/25)

Por tanto, en (1) tenemos dos soluciones, .5?: x + 2y = 0 ó í ? : 23x + 25y = 0 CD

(E JE M P LO 1 6 ) Hallar las ecuaciones de'los lados de un triángulo, conociendo uno de los vértices A (4 , -1) y las ecuaciones de dos bisectrices,

: x - 1 = 0 y t2: x - y -1 = 0.

Solución. El simétrico de A respecto a la bisectriz x = 1 es D(-2, -1) y las ecuacionesde las rectas que pasan por A y D, perpendicualres a i 2 son, respectiva

mente:y + l = - l ( x - 4 ) « ,9?:x + y - 3 = 0y + 1 = - l (x + 2) o ü?2:x + y + 3 = 0

Luego, t2 f l SBy = M(2 , 1 ) y ( 2 fl Z2 = N(-l , -2)Conociendo M , punto medio de EA c=> E = {0 , 3) y N, punto medio de DG => G = (0, -3)

www.freelibros.com


El simétrico de E re es F(2, 3).Ahora , aplicando I; tendremos :Ecuación de AB ,

y + 1 3 + 1x -4 = 2 -4

Ecuación de AC,

y + 1 - 1+3x - 4 = 4_-0

Ecuación de BC, y + 1 3 + 1

x + 2 0 + 2

(E JE M P L O 1 7 )

J? : 3x + y + 11 = 0 y de la mediana : x + 2y + 7 = 0, trazados desde diferentes vértices.

Solución. La Figura 4.28 muestra que B no

pertenece a JZ? y Como BC J_ 5?,

su ecuación será:

y + 7 = - j(x - 2) <=> BC : x - 3y - 23 = 0

BC f l -2? = C(5, - 6)Sea A(x , , y,) y si A e 3 =» 3x, + y ,+ 11 = 0(1)Como M(x0 , y0) es punto medio de AB, entonces :

x0= ^ ( x , + 2) , y0= | ( y , - 7 )

Pero M e ^ => x0 + 2y0 + 7 = 0 => i ( x , + 2) + (y, - 7) + 7 = 0

<=> x, + 2y, + 2 = 0 (2)De (1) y (2) por simultáneas se tiene : A = (-4 , 1)

— y - 1 -7-1 ++Ecuación de AB : -------------- «=> AB : 4x + 3y + 13 = 0

x + 4 2 + 4

_ y - 1 -6 - 1 ++ _Ecuación de AC : ----- = ---------- <=> AC : 7x + 9y + 19 = 0

x + 4 5 + 4 7

aspecto de la bisectriz x =

a forma de los dos puntos

<=> AB : 2x + y - 7 = 0

++<=> AC : x - 2y - 6 = 0

BC: 2x - y + 3 = 0FIGURA 4.27

Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo conociendo uno de sus vértices B(2 , -7) y las ecuaciones de la altura

www.freelibros.com

Sección 4.3: Relaciones entre dos rectas coplanares 151

(E JE M P LO 1 8 ) Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo conociendo uno de sus vértices A(3 , -1) y las ecuaciones de la bisectriz

,!?■ : x - 4y + 10 = 0 y de la mediana ^ : 6x + 10y - 59 = 0, trazadas desde diferentes vértices.

Solución. Sea B(x, , y,) e ^ => x , - 4 y | +10 = 0 (1)

M(x0 , y j es punto medio de A8. entonces

x ,= | ( x , + 3) , y0= j ( y , - 1)

Como M e JZ? => 6x0 + 10y0 - 59 = 0

■=> 3(x, + 3) + 5(y, - l ) - 59 = 0

» 3x, + 5y, - 55 = 0 (2)

De (1) y (2) obtenemos :

x ,= 10, y, =5 =» B = (10 . 5)

5 + 1 _ _6 7

Pendiente de AB : m, =3 10-3

rY-

\V

____- v — " i V /

O

vA (3 , - 1) J

Si Tga = Tgp <=>1 + m, . m

1/4 - m

m3 - m,1 + m, . m,

6/7 - 1/4

FIGURA 4.29

1 + (l/4)m 1 + (6/7)( 1/4)=* m = - 2/9

Ecuación de AB : y + 1 = - 3) « AB : 6x - 7y - 25 = 0

Ecuación de BC : y - 5 = - ^ (x - 10) <=> BC : 2x + 9y - 65 = 0

n BC = C(-7/2, 8) <=> m =8 + 1

,AC_ -7/2-31813

— 18 *■*Ecuación de AC : y + 1 = - yy (x -3 ) » A C : 18x + 13y - 41 = 0 □

(E JE M P LO 1 9 ) Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo ABC, si se dan uno de sus vértices A(1 , 3) y las ecuaciones de dos medianas

ü!? : x - 2y + 1 = 0 y : y - 1 = 0

Solución. En la Figura 4.30 se observa que A no pertenece a S/\ y ^ .

.2, n 4 = M ( i , oConociendo A y M, la ecuación de la tercera mediana es se} : x = 1. Por .2? trazamos ÁM = MD . Como M es punto medio de AD ■=> D = (1 , -1). Siendo MP = PD y CP = I^B, el cuadrilátero BDCM es un paralelogramo (sus diagonales se dividen entre si

www.freelibros.com

152 Cap í l i t 4: La línea recta

por la mitad).Ecuación de BD 11 5? ,

y + l = ^ ( x - l ) c = > B D : x - 2 y - 3 = 0 -

Ecuación de CD 11 22?2 ,

y + 1 = 0(x - 1) «=> C D : y + 1= 0 Luego ,BD n 34 = B(5 , 1) y CD n 2? = C(-3 , -1)Conocidos los vértices del triángulo , las ecuaciones de sus lados, por la forma de los dos puntos , son :++ y - 3 3 -1AB : í— = <=> AB : x + 2y - 7 = 0

x - I 1 -5— y - 1 1 + 1 «-» <-> y - 3 3 +1 |—iBC : - — = <=> BC : x - 4y - 1 = 0 ; AC : - — = ------ « A C : x - y + 2 = 0 u

x - 5 5 + 3 x -1 1+3 7

(E JE M P LO 2 0 ) Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo conociendo uno de sus vértices C(4 , -1) y las ecuaciones de la altura

22?, : 2x - 3y + 12 = 0 y de la mediana 2? : 2x + 3y = 0 trazadas desde un vértice.

Solución. De 22? f| SQ obtenemos. A(-3 , 2)++ y + 1 - 1-2

Ecuación de AC : ----- - = ■ — -x -4 4 + 3« AC : 3x + 7y - 5 = 0

Si % : 2x - 3y + 12 = 0 <=> m, = 2/3

= > m BC = * 3 / 2++ t

Ecuación de BC : y + 1 = - j (x - 4)

<=> BC : 3x + 2y - 10 = 0

Sea B(x, , y,) <=> 3x, + 2y, - LO = 0 (1)M(x0, y0) es punto medio de BC ,

=» xo = ¿ (* . + 4) • y» = 2 (y>'Como M e í?, o 2x0+ 3y0 = 0 v.____________________________________j

=* (*, + 4) + f (y, - 1)= 0 <=> 2x, + 3y, + 5 = 0 (2) FIG'JRA 4 31De (1) y (2) por simultáneas se tiene B = (8 . -7)

Ecuación de AB : ——\ - ~r—\ <=* AB : 9x + 1 ly + 5 = Qx + 3 8 + 3

www.freelibros.com

Sección 4.3: Relacions entre dos rectas copian ares ♦ 153

(E JE M P LO 2 1 ) Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo, conociendo uno de sus vértices A(4 , 3) y las ecuaciones de la mediana

: 4x + 13y -10 = 0 y de la bisectriz : x + 2y - 5 = 0 trazadas desde un vértice.

Solución. La Figura 4.32 muestrael AA8C junto con la me

diana ^ y la bisectriz trazadas des ^ y A ( 4 .3)de el vértice B. Entonces : <¿\ ^

J2? n % = B(9 , -2) srr)j V )

Pendiente de AB : m, = = -1 c * ------a A

Ecuación de AB : y - 3 = - l(x - 4)

«=>AB:x + y - 7 = 0B

Si Tga = Tgp <=>m, - m2

1 + m , . m2

-1 -(-1/2)

FIGURA 4.32

1 + m2. m0

-1/2- m„

1 + (1/2) 1 (-1/2)01,,

de donde obtenemos : m0 = -1/7

Ecuación de BC : y + 2 = - y (x + 9) <=> BC : x + 7y + 5 = OSean C(x, , y,) y M(x0 , y0). Como M es punto medio de AC, entonces :

x o = j ( x i + 4 ) . y 0 = ^ ( y . + 3 )

Además : M e <BX <=> 4x0 + 13y0 - 10 = O

=> 2(x, + 4) + ^ ( y , + 3) -10 = O o 4x, + 13y, + 35 = O«->

C e BC c=> x, + 7y, + 5 = O Resolviendo por simultáneas estas dos últimas ecuaciones obtenemos : C = (-12 , 1)

□— y - 3 Ecuaciones de AC •

x - 4 4 +123 - 1 <->

« AC : x - 8y + 20 = O

(E JE M P LO 2 2 J En un triángulo ABC se conocen: La ecuación de la recta que 1 * <->contiene al lado AB : 5x - 3y + 2 = 0 y las ecuaciones de las

alturas AH : 4x - 3y + 1 = 0 y BG : 7x + 2y - 22 = 0. Hallar los vértices del triángulo yla razón en la que el punto A divide al segmento CG.

Solución. Los vértices A y B se hallan fácilmente resolviendo, por simultáneas, las ecuaciones dadas esto es :

AB D AH = A(-l , -í) y AB f l BG = B(2 , 4)

www.freelibros.com

154 Ca¡ lo 4: La linea t ecla

Para hallar el tercer vértice C necesitamos conocer las ecuaciones de los lados BC y AC . Entonces :Pendiente de AH , m = 4/3 .Si AH 1 BC ■=> mBC = - 3/4 Ecuación de BC : y - 4 = - (x - 2)

o BC : 3x + 4y - 22 = 0

Pendiente de BG , m = - 7/2 .Si BG 1 ÁC ^ m._ = 2/7AC

Ecuación de AC : y + 1 = ^ (x + 1)

« AC : 2x - 7y - 5 = 0 => BCf l AC = C(6, 1)

Por otro lado, BG D AC = G( 164/53 , 9/53)CAAG

Si r= — => r = -I -6 1M + 153

* r = - — 31

□


1. Las rectas í£% : 3ax - (3a + 1)y - (5a + 4) = 0 y .3 |: ax + (a - 1)y - 2(a + 2) = 0 representan a dos rectas paralelas pero no coincidentes. Hallar la suma de la abscisa y ordenada al origen de £r (Guia : Ejemplo 3)

2. Determinar para que valores de m y n, la recta 2’\ (2m - n + 5)x + (m + 3n - 2)y + 2m + 7n + 19 = 0 es paralela al eje Y e interseca en el eje X un segmento igual a 5.

3. Determinar para que valores de k las rectas 5? : ky + (2k - 1)x + 7 = 0 y(k - 1)y + kx - 5 = 0 se cortan en un punto situado en el eje X. Determinar las coordenadas de dicho punto.

4. Si : 2y - kx - 3 = 0 y ig,: (k + 1 )y - 4x + 2 = 0 son las ecuaciones de dos rectas perpendiculares y si m, y m2 son sus pendientes, hallar el valor de m, + m2.

5. Determinar para que valores de a y b la recta S‘ \ (a - 1)x + (2b - 3)y -1 5 = 0 coincide con la recta que es paralela a la bisectriz del primer cuadrante y pasa por el punto P(3 , 2). (Guía : Ejemplo 4).

6. Qué valores habrá que dar a m para que la s rectas U 3x + y - m = 0 y

www.freelibros.com


X2 : mx - y - 3 = 0 se intersecan sobre la bisectriz del segundo cuadrante.

7. Si las rectas S?,: (k + 1 )x + 3y + 2 = 0 y 3 | : 2x + (k - 2)y -3 = 0 son perpendiculares, con pendientes mt y m2 respectivamente, hallar el valor de 2m, + 3m2.

8. Si la recta Xx : (x - 2y + 1)a + (3x - 2)b - 20 = 0 pasa por el punto P(1 , -2) y es perpendicular a ^ 2 : 2x + 3y - 5 = 0, hallar el valor de a.b.

9. Si la recta ,2?: ax + 2y - 6 + b = 0 pasa por el punto (2, -5) y es paralela a la recta j^2 : 3x + y - 8 = 0, hallar a + b. (Guía : Ejemplo 3)

10. En las ecuaciones 2? : ax + (2 - b)y - 23 = 0 y 2 | : (a - 1)x + by = 15, hallar los valores de a y b para que representen rectas que pasan por el punto P(2 , -3).

11. Hallar el valor k de manera que la recta ^ ’:(k + 2)x + (1 - 2k)y+15 = 0 corte al segmento que une A(5 , -2) con B(2 , 3) en la razón AP : PB = - 3 : 2

12. Hallar el simétrico del punto Q(4 , 8) con respecto de la recta 2 ? : x - y + 2 = 0 (Guía : Ejemplo 8)

13. Hallar la ecuación de la recta de pendiente positiva que pasa por el punto P(0 , 1) y forma un ángulo de 45® con la recta X: 3x + 2y - 1 = 0.

14. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, 4) y form a.... la recta X : 2x + 3y - 6 = 0 un ángulo de 45®. (Guía : Ejemplo 6)

15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1 , -4) y forma con la recta X\ 2x + 3y -15 = 0 un ángulo de 135®. (Guía : Ejemplo 6)

16. Hallar el valor de k para que la recta 2?, : 2x + ky + 5 = 0 forme con la recta X2 : 4x - y + 2 = 0 un ángulo cuya tangente es 2. (Guía : Ejemplo 5)

17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2 , -1) y forma con las rectas 2- : 2x - y + 5 = 0 y X2 : 3x + 6y - 1 = 0 un triángulo isósceles. (Guía : Ejemplo 9)

18. Un rayo de luz va dirigido por la recta 3y = 2x - 12, al llegar al eje X se ha reflejado en él. Hallar la ecuación de la recta por donde va el rayo reflejado.

19. Desde el punto P(-2 , 3) se ha dirigido hacia el eje X un rayo de luz con una inclinación de un ángulo a . Se sabe que Tga = 3. El rayo se ha reflejado del eje X. Hallar las ecuaciones de las rectas en la que están los rayos incidente y reflejado.

20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(2 , -5) y forma con al recta X : 3x + 5y = 10 un ángulo cuya tangente es -1/3. (Guía : Ejemplo 6)

www.freelibros.com


21. La recta 5- : bx + ay = ab , forma con los semiejes coordenados un triángulo de área igual a 4u2. Hallar el valor de a + b sabiendo que fi? y la recta : 2x - y = 0 forman un ángulo cuya tangente es 2.

22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P (-5, 4), sabiendo que la longitud de su segmentQ entre las rectas 3?, : x + 2y + 1 = 0 y 3 | : x + 2y -1 = 0, es igual a5. (Guía : Ejemplo 13)

23. El punto A{2 , 4) es el vértice del cuadrado una de cuyas diagonales es la recta: 3x + y -14 = 0. Hallar las ecuaciones de los lados y la segunda diagonal de

este cuadrado. (Guía: Ejemplo 10)

24. Desde el punto A( 9 ,1) se traza una perpendicular a la recta 5?: 3x - 2y + 1 =0 que la corta en B. Tomando AB como base de un triángulo isósceles cuyo vértice se encuentra en el eje X, hallar el área de dicho triángulo.

25. Dada la base de un triángulo isósceles sobre la recta S£\ 2x - y - 13 = 0 , encontrar las ecuaciones de los otros lados si las medianas se cortan en el punto G(17/3 , 5/3) y si además la suma de las coordenadas de un vértice de la base es -4.

26. Dada la recta ¡2?, : 4x - 3y = 21, se traza una recta St2 de pendiente negativa, la cual intersecta a 3?, en un punto P cuya ordenada es igual a 1. Por un punto Q de ordenada mayor que la de P y sobre la recta Sl2 se traza otra recta !£ la cual intersecta a i? en R. Si el AQPR es recto en P, con área 25 u2, QR = 5 V5 unidades y cateto mayor en Hallar la ecuación de 3?.

27. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo conociendo uno de susvértices B(2 , 6) y las ecuaciones de Ist altura x - 7y + 15 = 0 y de la bisectriz 7x + y + 15 = 0, trazadas desde uno de sus vértices.

28. Hallar las ecuaciones de los lados dé un triángulo conociendo uno de susvértices B(2 , -1) y las ecuaciones de la altura 3x - 4y + 27 = 0 y de la bisectrizx + 2y - 5 = 0, trazadas desde diferentes vértices.

29. Entre las rectas que pasan por el punto P(3 , 0) hallar una de manera que el segmento, comprendido entre las rectas 2 x - y - 2 = 0 , x + y + 3 = 0 sea dividido por la mitad en el punto P.

30. Las rectas 3?,: 2x + 3y - 8 = 0 , 3 | : x - 9y - 25 = 0 , 3 | : 5x - 3y + 1 = 0 .contienen a los lados de un triángulo. Determinar las coordenadas de! ^docentro y el área de dicho triángulo.

www.freelibros.com

Sección 4.4: Forma normal de la ecuación de una reda 157

31. Sea á?, una recta que pasa por el punto A(15 , 1) y tiene pendiente 1/7 ; 942 : x - y = 1. Hallar la recta 9? que tiene pendiente positiva que pasa por B(12 , 4) y forma con í- y 942 un triángulo isósceles cuyos lados congruentes están sobre á? y i

32. La base menor AB de un trapecio isósceles ABCD está sobre la recta: x + y - 6 = 0 y l a base mayor está sob: la recta 9 : x + y + 4 = 0. Si la

abscisa de A es 1, la ordenada de B es 0 y la longitud del lado no paralelo es • V52 unidades. Hallar las ecuaciones de los lados no paralelos.

33. Por el punto P(-3 . -1) se han trazado todas las rectas posibles. Demostrar que el segmento de cada una de ellas, comprendido entre las rectas Süx: x - 2y - 3 = 0 y . 5 ? : x - 2 y + 5 = 0se divide por la mitad en el punto P.

W FO R M A N O R M A L DE LA E C U A C IO N DE U N A REC TA

En esta sección hallaremos la ecuación de una recta 94 en términos de la distancia dirigida p del origen a la recta, y el ángulo de inclinación co de este segmento orientado O P , . La posición exacta de este segmento orientado en no coordenado está determinada por el ángulo positivo co, engendrado por el radio vector OP, al girar alrededor del origen. Según esto la longitud p se considera siempre positiva, y la variación de co está dada por: 0 < co < 360®. Deduciremos la ecuación evaluando la pendiente de la recta 94 y las coordenadas del punto P,(x, , y,) en términos de p y co, sustituyéndolas en la forma punto pendiente.

Por trigonometría, para cualquier posición de la recta 94, excepto para aquellos en que la recta pasa por el origen, tenemos: x, = p Cosco, y, =p Senco. Como la recta 94 es perpendicular a su normal N, su pendiente es la recíproca negativa de la pendiente de la normal, esto es : _______________

m = -1

= - Cotgco =Cosco

Tgco " SencoSustituyendo los valores obtenidos en la

ecuación y - y, = m(x - x , ) , se tiene :

Coscoy - p Senco = - (x - p Cosco)Senco

■=> y Senco - p Sen2 co = - Cosco + p Cos2 co

=> x Cosco + y Senco - p{Sen2 co + Cos2 co) = 0 o 9' : x Cosco + y Senco-p = 0 (13) FIGURA 4.34

www.freelibros.com

158 Capitulo 4: La línea recia

La ecuación (13) se conoce como la forma norma! de la ecuación de una recta. Esta es la ecuación de la recta X en términos de la normal, y no la ecuación de la normal.

TEOREMA 4.6 La forma normal de la ecuación de una recta es x Cos® + Senco - p - 0

en donde p es un número positivo, numéricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta, y m es el ángulo positivo, menor que 360a, medido a partir de la parte positiva del eje X a la normal.

f i j E M P L O l ) Hallar la ecuación de la recta a 4 unidades del origen si su normal tiene un ángulo de inclinación de 120-

Solución. Como p = 4 y o) = 120a, laforma normal de la ecuación

de la recta es :X : x Cos 120" + y Sen 120° - 4 = 0 (1)Pero ,Cos 120° = Cos( 180 - 60) = - Cos 60“ = - 1/2

y Sen 120° = Sen( 180 - 60) = Sen 60“ = V3/2

Luego, en (1), X : x (- ~) + y ( y ) - 4 = 0

c* X: X + V3y - 8 = 0 □ FIGURA 4.35

[ E J E M P L O 2 J Hallar la ecuación general de una recta X si se conocen los valores co = 315a y p = 3\Í2. Trazar la recta.

Solución. La forma normal de la ecuación de la recta buscada es :

X : x Cos 315° + y Sen 315° - = 0 (1)

Como, Cos 315“ = Cos(360 - 45) = Cos 45" = 1/V2 y Sen 315“ = Sen(360 - 45) = - Sen 45“ = - 1/V2

Luego, en (1), X : x ( -J=r) + y ■ 3V2 = 0\2

<=>. X : x - y 6 = 0 □'-IGURA 4.36

www.freelibros.com

Sección 4.5: Reducción a la forma normaI 159

R E D U C C IO N A LA FO R M A N O R M A L

Ahora consideraremos el problema de reducir la ecuación 9 : Ax + By + C = 0 a la forma normal. Si esta ecuación y St- : x Cosco + y Senco - p = 0 representan la misma recta, entonces, según la relación (10) debemos tener:

Cosco Senco -p~ A“ = B = ~C

ie k es el factor normalizador. Por lo queCosco = kA (1)Senco = kB (2)

-p = kC (3)Elevando al cuadrado (1) y (2), y sumando luego, obtenemos :

Cos2co + Sen2co = k2 (A2 + B2) .=> k = — 7. 1 ■= ■■ , A2 + B2 * 0 (4)± VA2 + B2

Sustituyendo (4) en cada una de las ecuaciones ( 1 ) , (2) y (3) se tiene :

Cosco = — - - -------, Senco = — - ^ - , p - 9~ - — (5)± Va 2 + B2 • ± Va 2 + b2 ± Va 2 + b2

Por lo que la ecuación general de la recta Se tiene por ecuación en la forma normal

SB : (— A )x + ( — B )y + ( — , C ) = 0± Va2 + b2 ± Va2 + b 2 + Va2 + b2

Para determinar el signo del radical notamos en la ecuación (3) que k y C deben ser de signos diferentes, puesto que p es un número positivo. Por tanto, al radical (4) se le debe dar el signo opuesto al de C.Cuando C = 0 y p = 0, la recta se pasa por el origen. En este caso el signo del radical se determina por la relación (2). Como los valores de co están restringidos al intervalo 0 < co < 180°, en donde Senco es positivo, entonces k y B deben concordar en signo si B * 0 , y , por tanto, al radical (4) se le debe dar el mismo signo que tenga B. Finalmente si B = C = 0, la relación (2) muestra que Senco = 0 => co = 0 y tenemos Cosco = 1, por lo que la relación (1) indica que k y A deben tener el mismo signo. Todo lo expresado queda resumido en el siguiente teorema.

*■-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------sTEOREMA 4.7 La forma general de la ecuación de una recta

Se : Ax + By + C = 0 puede reducirse a la forma normal

Se: x Cosco + y Sen co - p - 0 dividido cada término de Se por r = ± VA2 + B2, en donde el signo que precede al radical r se escoge como sigue:

a) Si C * 0 , r es de signo contrario a Cb)S i C = 0 y B * 0 , r y B tienen el mismo signoc ) S i C = B = 0, r y A tienen el mismo signo

www.freelibros.com

160 Copiado 4: La línea recia

{ EJEM PLO 3 ^ Dadas las rectas 5- : x^Í3 + y + 6 = 0 y : 3x - 3 ^ y + 8 = 0 ;reducir ambas a su forma normal y hallar los valores de to, + to2

y p , / vSolución. En 2[ tenemos :A = V 3 , B = l y C = 6 => r = W'3 + 1 = -2

Luego , Costo, = - V3/2, Sentó, = -1/2 , -px = — => ,"¡ = 3

Como Coso, < 0 y Sen co, < 0 o to, está en el tercer cuadrante , esto es ,

o), = 180“ + 30° = 210°, y la forma normal de cl\ es : - -y x - y y - 3 = 0

En 22? tenemos : A = 3 , B = -3^3 y C = 8 => r = - V(3)2 + (-3>T3)2 = - 6„ 1 _ VJ 8 4Luego, Costo = — , Sentó = :— , -» = — =» p „= —

2 2 2 2 ' 2 -6 3Siendo Costo2 < 0 y Sen2to > 0 <=> to2 está en el segundo cuadrante , o sea ,

o), = 180° - 60° = 120", y la forma normal de Sí es : - - x + — y - — = 02 1 2 2 2 7 3

ü>, + tó2 = 330° y p . . p ¡ = 4 □

f i f i D ISTAN C IA Y SENTIDO DE ÜN PUNTO A UNA RECTA

Tomando como base la forma normal de la ecuación de una recta desarrollaremos una fórmula de la distancia perpendicular d desde un punto cualquiera P,(x, , y,) a una recta 2} dada.

Si se mide p en el sentido de % a P,, entonces d es positiva; de otro modo d será negativa, a menos que P, esté sobre la recta en cuyo caso d es cero. Supongamos que la forma normal de LB es

SB : x Costo + y Sentó - p = 0

Ahora tracemos por P, una recta 42?, 11 ü? y usaremos su ecuación para determinar d. Consideremos dos posiciones relativas de las rectas 2? y ,5?.

FIGURA 4.37www.freelibros.com

Sección 4.6:Distancia y sentido de un punto a una recta 161

CASO 1 Si (J\ y .7" están a un mismo lado del origen la ecuación de la recta 5 11 á?es

■7- : x Cosco + y Senco - (p + d) =0 puesto que 5? está a una distancia p + d del origen.Las Figuras 4.37a y 4.37b ilustran este caso y donde se puede observar que d espositiva en la primera figura y negativa en la segunda figura.

CASO 2 Si el origen está entre 31 y 5?, entonces la ecuación de í? es.2? :x Cosco, + y Senco, - p, = 0 (1)

donde /?, es positivo, ya que el sentido positivo es determinado por co, = co + ji .En la Figura 4.37c, por el Teorema de Chasles (segmentos dirigidos), tenemos :

ÁB = ÁO + ÓB => ÁB = - ÓA + ÓB■=> d = - p - pt < 0 <=> -px~p + d

Por tanto, en (1), : x Cos(co + n) + y Sen(co + re) + (p + d) = 0puesto que pt y p + d son de igual magnitud pero de sentidos positivos opuestos. Además, como Cos(co -»- te) = - Cosco y Sen(co + n) = - Senco , entonces

7?: - x Cosco - y Senco + (p + d) = 0 o JTj: x Cosco + y Senco - (p + d) = 0Vemos que en ambos casos se obtiene la misma ecuación.

Ahora bien, como P ( x , , y,) e 3t{ ■=> x, Cosco + y, Senco -(p + d) = 0, de donde: d = x. Cosco + y, Senco - p

Sustituyendo los valores obtenidos para Cosco , Senco y p , en (5), obtenemosAx, + By, + C

± va¡+ b2 nAmbos casos se expresa en conjunto en el siguiente teorema.

TEOREMA 4. 8 Distancia dirigida de un punto a una rectaLa distancia dirigida de un punto dado P, ( x , , y,) a una recta

dada i?: Ax + By + C = 0 , se obtiene por la formulaAx, + By. + C

d = d ( P , , $ ) = V " (14)v 1 ' ± Va2 + b2 1 ’

en donde el signo del radical se elige según el Teorema 4.7. Si la recta 31 no pasa por el origen, d es positiva o negativa según que el punto P, y el origen estén en lados opuestos o del mismo lado de la recta.Si la recta dada pasa por el origen, d es positiva o negativa según que el punto P, está arriba o abajo de la recta.

En la Figura 4.37a se observa que la distancia dirigida de 31 a .2? es pt - p , y ésta es también la distancia dirigida de 3 a P, . Esto implica que :

c/(P,, 31) = |p, - p I = I x. Cosco + y, Senco - p |

www.freelibros.com


Por lo tanto la distancia que separa a P, de 2 queda determinada al tomarse el valorabsoluto de la expresión que se obtiene al sustituir las coordenadas de P, en elprimer miembro de la ecuación en forma normal de X . Ahora, si sustituimos losvalores obtenidos en las relaciones (5) para Cosco , Senco y p , se sigue que :

lA x + By + C|d = (P, . 2 ) = ----------------- (15)

VA; + B!Esta es la fórmula de la distancia no dirigida de un punto cualquiera P ,(x,, y,) a una recta 2 dada.


( E JE M P LO 2 ) Hallar los valores de k para que la recta .2?: 5x - 12y + 3 + k = 0 y el punto P(-3 , 2) disten 4 unidades.

Solución. Si d(P , 2 ) = 4 , entonces haciendo uso de la fórmula (15) se tiene :

15(-3) • .2 (2 ) » 3 * k I _ , ^ | k . J 6 | = 5 2 „ k . J 6 = l í 2

V(5 Y- + (12)t

<=> k = 88 ó k = -16 □

( EJEM PLO 1 ) Hallar la distancia dirigida que separa al punto P,(-3 , recta cuya pendiente es -3/4, y que pasa por A(2 , 1).

So luc ión . La ecuación de la recta 2 es

y - ! = - - | ( x - 2 ) ^ : 3 x + 4y- 10 = 0

Por la fórmula (14) :

d tp « ) - 3(-3) + 4(-4) - 10 _ -9 -1 6 -1 0 1 ’ + %/(3>2 + (4)2 5

^ d (P, , 2 ) = -7 El signo negativo indica que el punto P, y el origen están del mismo lado de la recta 2 . Q FIGURA 4.38

-4) de la

\

( EJEM PLO 3 ) Hallar la distancia del origen a cada una de las rectas paralelas 2y : Ax + By + C, = 0 y : Ax + By ■- C2 = 0. Deducir de este

resultado la distancia entre las dos rectas.

www.freelibros.com

Sección 4.6: Distancia y sentido de nn punió a una recia 163

Solución. Como p es la distancia dirigida del origen a una recta, entonces

A(0)+ B(0) + C, C,P, = d(O , %) =

p2 = d(0, 2 p =

+ 'Ja 2 + B’ ± VA2 + B2

A(0) + B(0) + C C,

± \/A; + B2 ± Va2 + B2

iego,sip2>p,osipí >p1 ^ d(^t , 2?) = \p2 >,1 = lp , - /? 2l

I c , - c , I I C, - c 2 1 ••• , %) = - - -- = - - □

Va2 + b2 Va2 + b2

( EJEMPLO 4 j Usando la fórmula del Ejemplo 3, hallar la distancia entre lasrectas 2?: 3x + 5y - 11 = 0 y 2? : 6x + 10y - 5 = 0

Solución. Al hacer uso de la fórmula del ejemplo 3, debemos tener presente que los coeficientes de las variables x e y deben ser iguales. Luego, si mul

tiplicamos por 2 la primera ecuación tendremos:

.2? : 6x + lOy - 22 = 0 y 2? : 6x + IOy - 5 = 0

■ ? _ l -»-(-a)l , P . -54 DV(6)2 + (10)2 2V34 4

f EJEMPLO 5 ) Dadas las rectas paralelas 2? : 10x + 15y - 3 = 0 , 2? : 2x +3y + 5 = 0 y 2?: 2x + 3y - 9 = 0 ; determinar si 2? está entre &

y 25 y calcular la razón en que divide la distancia entre ellas.

Solución. Multiplicando por 5 las ecuaciones .2’ y ,2' obtenemos :

2?: lOx + I5y + 25 = 0 y 2 ^ : lüx + I5y - 45 = 0si 2? está entre 2- y .2? se debe verificar que :

d^\ , Z\) + d(£í\, .2;) = ¿(2? , .5?,)En efecto,

* * , ¿ 9 = J 2 L M = J L ; , ! • « • » ) ! =Vi 00 + 225 V325 VlOO+225 V325

j / « r» \ I -45 - 25 I 70 ^ 28 42 70d(U>, 5?,) = - ... ■. = . Como — = + -7= =VlOO+ 225 V325 V325 V325 V325

c* ¿(2? , 5?) + d( 22 , 2') = ¿(2? , 22)

www.freelibros.com

164 Capítuí: 4: La linea recta

Por tanto , 5? está entre y á?.

28 2 r-,r = ------------- = — ■=> r = — □d(&t , 42 3

[ E J E M P L O 6 ) El ángulo de inclinación de cada una de dos rectas paralelas es a. Si una de ellas pasa por el punto P(a , b) y la otra por el

punto Q(h , k), demostrar que la distancia que hay entre ellas es:I (h - a) Sena - (k - b) Cosa !

Demostración. En efecto, la pendiente de cada una de las rectas paralelas es :T Sena m = Tga = --------- .

CosaLas ecuaciones de las rectas , de pendiente m , que pasan por P y Q son , respectivamente

« : y - b = ^ 0na (x - a) « SB' : x Sena - y Cosa + (b Cosa - a Sena) = 0 Cosa

: y - k = (x ' '■ x Sena - y Cosa + (k Cosa - h Sena) = 0

I C - C I | (b Cosa - a Sena) - (k Cosa - h Sena) ISi d( ^ , 3 ) = — ^ «/(¿Z? . á¡) = - i ---------------L

VA2 + B? VSen2a + Cos2a

d(.S?, J2?) = | (h - a)Sena - (k - b)Cosa I q

( EJEM PLO 7 ) Sea & : Ax + By + C cualquiera del plano,

mal de % que : d(P, , ,______Va 2 + b 2

Demostración. Sea Q(x0 , y0) el pie de la per

pendicular bajada de P, a &,^ d{P, , <£) = d(P,, Q)

Por tanto, el objetivo es calcular las coordenadas de Q para hallar la distancia entre dos puntos.La ecuación de la recta que pasa por P( y 1 a 50 es

Y - Y, = f <x ' x ,) <=> ^ : Bx - Ay + Ay, - Bx, = 0

= 0 una recta dada y P ,(x ,, y,) un punto demostrar sin hacer uso de la forma nor- I (Ax, + By, + CI

FIGL (A 4.39

www.freelibros.com

Sección 4.6: Distancia y sentido de un punto a una recta 165

. B-’x, - ABy, - AC A2y, - ABx, - BC ,* n s ¡ - o < v y . > . Q ( — s t t í : )

«=> d{ P,/, B2x ,-A B y ,-A C v t A2y, - ABx, - BC^,

YVX| A2 + B2 ' ^ 1 A2 + B2 '

/ A(Ax, + By,+ C ),2 f

A2 + B; J + L

B (Ax, + By, + C ),2

A2 + B2 -1

/(Ax, + By, + C)2 (A2 + B2) 1 Ax, + By, + C l

^ (A2 + B2)2 VA2 + B2

i EJEMPLO 8 ) Hallar el área del trapecio formado por las rectas á?: 3x - y - 5 = 0,: x - 2y + 5 = 0, ^ : x - 2y = 0 y SBt : x + 3y - 20 = 0

Solución. La Figura 4.40 muestra la gráfica de cada una de las rectas dadas

c = » ^ n ^ = A(2 ,1) , .2? n 5? = B(8 , 4)^ 2n ^ 4 = C (5 ,5 ) , ^ n &7 = D(3 , 4)

I ÁB I = V(8 - 2)2 + (4 - l)2 = 3V5

I CD I = V(5 - 3)2 + (5 - 4)2 = V5Altura del trapecio :

h = , 2?) = l i J E L i = ^•yl + 4

Area del trapecio : S = j ( I AB | + | CD I )h

=> S = ^(3V5 + V5) V5 = 10 u2

( EJEMPLO 9 ) Demostrar que se pueden trazar por el punto P(2 , 7) dos rectas de manera que sus distancias al punto Q(1 , 2) sean ¡guales a

5. Hallar las ecuaciones de estas rectas.

Solución. El problema consiste en probar si desde el punto P se pueden trazar tangentes a la circunferencia de centro Q y radio r = 5, es decir, debemos

probar que IQP I > r . En efecto ,

I QP I = V(2 - 1 )2 + (7 - 2)2 = V26 > 5

_____________ JFIGURA 4.40

□

www.freelibros.com

166 C .mulo 4:La linca recia

Luego, desde P se pueden trazar dos rectas tangentes a la circunferencia de radio 5.Las ecuaciones de las rectas que pasan por P son :

y - 7 = m(x-2) (1)■=> 5? : mx - y + 7 - 2m

I m (l) - (2) + 7 - 2m 'Si d(Q , X) = 5

Vm2 + 1= 5

« I 5 - m I = 5 \m 2 + 1

Elevando al cuadrado se tiene : 12m! + 5m = 0 <=* m = -5/2 ó m = 0 Finalmente en (1) obtenemos dos soluciones

X : 5x + 12y - 94 = 0 ó <2?:y-7 = 0 □

( e j e m p l o 1 0 ) Hallar la ecuación de la recta equidistante de las rectas paralelas á?, : 4x + 3y = 24 y X2 : 4x + 3y = 6

Solución. Sea P(x , y) un punto cualquiera de la recta X equidistante de Xx y XY

En la Figura 4.42 se observa que- d(P , 5?) = d(P , X,) (Teorema 4.8)

^ 4x + 3y - 24 _ 4x + 3y - 6 + Vl6 + 9 + Vl6 + 9

de donde obtenemos

X :4x + 3y- 15 = 0 □

(EJEM PLO 1 l ) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P queequidistan de las rectas paralelas : y = mx + b, y ,4 |: y = mx + b2

Solución. Los puntos P se encuentran en la recta paralela media de Xx y Xv Por lo que sumando ambas ecuaciones se tiene : 2y = 2mx + b, + b2 de

donde , X : y = mx + j (b, + b2) es la ecuación del lugar geométrico. Q

I Nota. El ejemplo 10 se puede resolver por este método escribiendo las ecuaciones de X y S? en la forma y = mx + b

En efecto, ,2¡ :y = - | x + 8 , X{ :y = - | x + 2 ■> •/ y = - 4 > : j (8 + 2)

> 4x + 3y . 5 = 0

www.freelibros.com

Sección 4.6: Distancia y sentido de un punto a una recta 167

( e j e m p l o 1 2 ) Por el punto P(0 , 10) se ha trazado una recta fí ' de pendientepositiva y que dista 2 V5 unidades del origen, interceptando al

eje X en A. Por el punto B(3 , 6) pasa la mediatriz correspondiente a AC donde C e SB. Hallar las coordenadas de los puntos A y C.

Solución. La ecuación de la recta i? es : y = mx + 10 o .2? : mx - y + 10 = 0S i d ( 0 , B B ) = 2V5 ■=> — 1 0 = 2 ^ 5 , d e donde , m2 = 4 o m = -2 ó m = 2

Vm2 + 1Como m > 0 <=> m = 2 , por lo que SB : 2x - y + 10 = 0 Si } = 0 => 2x + 10 = 0 <=> x = -5 <=> A = (-5 , 0)

Ecuación de la mediatriz que pasa por B(3 , 6 ): y - 6 = - (x - 3)

:x + 2 y - 15 = 0

 m, > 0), respectivamente se cortan en el punto A(2 , 3) formando un ángulo

cuya tangente es 1/2 ; .á? corta al eje X en el punto B, siendo d(A , B) = 3d2. Si A , B

y C son los vértices de un triángulo, con C e J y d( C , M) = y V lO , donde M es el pie

de la altura trazada por B. Hallar la ecuación del tercer lado.

So lución. Sea B = ( x , , 0) y si d(A , B) = 3V2 ,

=> V(x, - 2)2 + (0 - 3)2 = 3V2

de donde obtenemos : x, = -1 ó x, = 5 Dado que m, > 0 y m,< m <=> x, = -1 luego B = (-1 ,0 )

Pendiente d e ^ : m, = m.„ = 3 ~ ^ = 11 1 AB 2 + 1

m ~ m 1 rp _ 1Si Tga = ■=----------— «=> 4- = !P -d - <=> m = 3a 1 + m . m( 2 1 + m

Ecuación de la recta SB : y - 3 = 3(x - 2)

o SB : 3x - y - 3 = 0

I BM I = d(B,SB) = l 3H ) ^ 0 - 3 l = - L = IVTO V9+ 1 VIO 5

FIGURA 4.43

S l I C M l V ¡5 = T g p . § M = f * S § « T g p . 1

www.freelibros.com

168 Capí lulo 4: La línea recta

— (-1/3) - m, ->Como BM 1 3J «=> m,_. = - 1/3 , y si ----------— - = — <=> m, = - 9/7

l +( - l / 3 )m, 3 ?

Por lo que , la ecuación de % es : y - 0 = - | (x + I) o 2?,: 9x + 7y + 9 = 0 □

¡E J E M P L O 1 4 ) Sean : el cuadrilátero ABCD (leído en sentido horario), B(3 , 4), la recta 7\:x- y - 3 = 0 es bisectriz del ángulo BAD, y la recta

rJ'2 pasa por C(a , b ) , a - b > 0 y tiene pendiente m2 = 3/7 . 7\ f| 27' = {A}, d(C , 3\) =

2V2, d(B , C) = 2VT0. Si además C es punto del primer cuadrante y D está sobre el

eje X, hallar la ecuación de la recta AD.

Solución. Si I BC | = 2\rÍ0 => V(a - 3)3 + (b - 4)- = 2\rÍ0

c* (a -3)2 + (b - 4): = 40 (1)

y si d(C , 3\) = 2V2 <=> l.a.: b ' 3 ! = 2V2V2

^ a - b = 7 (2)

De (1) y (2), por simultáneas, se tiene : a = 9 y b = 2

Luego, si C(9 , 2) y m, = 3/7, la ecuación de 3i e s :

y - 2 = y (x - 9) o 22? : 3x - 7y - 13 = 0

3 n 5?2 = A(2M) y m, = = ±±1 = 5

m, - mSi Tga = Tgp » -— —— =

1 + m,.m

FIGURA 4.443 -2

m, - m, 1 - m 5 - 11 + m 1+5

, de donde, m = 1/5.

Ecuación de AD :y + 1 = y ( x - 2 ) <í=> AD : x - 5y - 7 = 8 □

(E J E M P L O 15J En la Figura 4.45, el área del AABC es 200 u*, el vértice B e 27', la cual es perpendicular a 3\ : 3x - y -10 = 0. Si (2,6) e c£ y

¿(B , 2?) = 5VlO , hallar la ecuación de la recta de 27' que pasa por B y Q.

So luc ión . Sean : B = ( x , , 0) y C = (x2, y2) e 7;

13x, - 10 ISi d(B , 2?) = 5Vio

=> B = (20 , 0)'iiO

5 \ I 0 le d o n d e x, = 20

www.freelibros.com

Sección 4.7: Bisectriz de un ángulo 169

Si m, = 3 <=> m, = - 1/3 y como (2,6) e (J\ , su ecuación será :

y - 6 = - - i (X - 2) <=> 2?: x + 3y - 20 = O

a(AABC) = 200 =* i ( |ÁB I ) ( |ÁC I) = 200

I (5Vl 0) ( IÁ C I ) =200

I ÁC I = 8Vio

d(C , y;) = -sVió =» *— -3 1~20 = -8VI0 +\To

■=> x2 + 3y2 + 60 = (1)

Como C e 2- «=> 3x2 - y2 - 10 = 0 (2)

De (1) y (2), por simultáneas, se obtiene :

x2 = -3 , y = -19 <=> C(-3 , -19). Pendiente de BC : m =

FIGURA 4.45

0 + 1 9 _ | 9 2320 + 3

Ecuación de 2?: y - 0 = i | ( x - 20) <=> 2? : 19x - 23y - 380 = 0 □* ___e s BISECTRIZ DE UN ANGULO

Supongamos que las ecuaciones de dos rectas dadas son

2 ¡ : A,x + B2y + C, = 0 2? : A2x + B2y + C2 = 0

y designemos por t t y ( 2 a las bisectrices de los ángulos suplementarios formados entre ellas. Por geometría elemental sabemos que para cualquier punto P de la bisectriz , las distancias dt y d} de los lados 2¡ y 2% al punto P son iguales, es decir,

\d, I =\d,\Por la fórmula (15) se tiene :

I A,x + B,y + C, I | A2x + B,y + C2

VA / + B,J VA2! + B22(16)

www.freelibros.com

170 Capitulo 4: La línea recta

Por medio de esta fórmula podemos hallar las ecuaciones de las bisectrices y ( r En particular, si queremos hallar las ecuaciones de la bisectriz de un ángulo dado, aplicamos la distancia dirigida de un punto a una recta.Por ejemplo, si queremos hallar la ecuación de la bisectriz t , según la regla de los signos del Teorema 4.8, se tiene : dt = d2

A,x + B,y + C, A,x + B,y + C2c=> ■ ■ ■ ■ =------- ------

±VA,2 + B,2 ± VA,2 + B,-

En forma similar, para la bisectriz ( 2, se tiene : dt = - d.

A,x + B,y + C, A,x + B,y + C2

± Va7 T b7 _ ± Va ,2 + b /

en donde los signos del radical se eligen de acuerdo con el Teorema 4.7.

(E J E M P L O 1 6 ) Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas Jí? : 7x - y + 7 = 0 y ^ : x - y + 1 = 0.

So luc ión . Haciendo uso de la formula (16) se tiene:

17x - y + 7 I _ I x - y + l l

V49 + 1 Vi + 1«=> I 7x - y + 7 I = 5 I x - y + 1 I <=> 7 x - y + 7 = 5 ( x - y + l ) ó 7x - y + 7 = -5(x - y + 1)

<=> 2x + 4y + 2 = 0 ó 12x-6y+12 = 0

<=>^, :x + 2 y + l = 0 ó t , : 2x - y + 2 = 0 j—jObsérvese que i 1 ( 2 (Propiedad de las bisectrices de ángulos suplementarios)

(E J E M P L O 1 7 ) Hallar la ecuación de la bisectriz del menor ángulo formado entre las rectas U\ \ 9x + 2y - 18 = 0 y : 6x - 7y - 32 = 0.

So luc ión . Sea P(x , y) un punto cualquiera sobre la bisectriz y sean dt y d7 las distan

cias dirigidas a los lados ü\ y .2?, respectivamente.Según el Teorema 4.8, se deduce que : dt = - d,

9x + 2y - 18 6x - 7y - 32 !=> - ■ - = - _ _ _ _ _ _. V81 + 4 V36 + 49

de donde, : 3x - y - 10 = 0 □

www.freelibros.com



1. Reducir cada una de las siguientes ecuaciones a la forma normal y hallar los valores de p y co.

a) V3x - y - 8 = 0 b) 2 x - 2 y + 3 = 0 c) 3V3x + 3y + 10 = 0

2. Reducir las rectas íü?: x - V3y -12 = 0 y : V2x - V2y + 4 = 0 a su forma normal y hallar los valores de to, - to, y + p}.

3. Si <0 = 3159 , hallar el valor de p en la ecuación x Cosco + y Senco -p = 0 paraque la recta SE- pase por el punto P(6, -2).

4. Una recta pasa por el punto P(-5, -3). Si co = 225-, hallar la ecuación general de la recta.

5. Si co = 1509, hallar la ecuación general de la recta sabiendo que pasa por el punto P(-V3,3 )

6. Hallar el valor de k tal que el punto P(k , 4) sea equidistante de las rectas

.2? : 13x - 9y - 10 = 0 y SE2 : x + 3y - 6 = 0.

7. Hallar los valores de k para que la recta J2?:4x-3y + k - 2 = 0 diste del punto P(2, - 3) 5 unidades . (Guía : Ejemplo 2)

8. Hallar los valores de k de manera que la recta 2?: 6x + 2y + 6 - k = 0 diste del punto P(k , 2 ), V io unidades. (Guía : Ejemplo 2)

9. Hallar las coordenadas de un punto en el primer cuadrante que equidiste de los puntos A(4 , 1) y B(-1 , -2) y diste 3 unidades de la recta 2?: 12y - 5x + 30 = 0

10. Hallar la distancia entre las rectas paralelas. (Guía : Ejemplo 4)

a) J2? : 3 x - 4 y - 8 = 0 ; J8|: 6x - 8y + 9 = 0

b) SE, : 7x + 24y - 50 = 0 ; SE2 : 7x + 24y + 75 = 0

c) SE, : 24x - 10y + 39 = 0 ; j2| : 12x - 5y - 26 = 0

11. Los vértices de un triángulo son A(-4 , 1), B(-3 , 3 ), C(3 , -3). Hallar la longitud de la altura bajada de! vértice A sobre el lado BC y el área del triángulo.

12. Dadas las ecuaciones de los lados de un rectángulo <2? : 3x - 2y - 5 = 0 y

2 | : 2 x + 3y + 7 = 0 y uno de sus vértices A(-2 , 1), hallar el área del rectángulo.

13. Los lados AB , BC y CA del AABC vienen dados respectivamente por las ecuaciones x + 21 y - 22 = 0 , 5x - 12y + 7 = 0 y 4x - 33y + 146 = 0. Hallar la

www.freelibros.com


distancia desde el centro de gravedad de este triángulo hasta el lado BC.

14. Hallar los valores de k para que la distancia del punto P(2 , 3) a la rectaJ2?:8x + 15y + k = 0 sea igual a 5 unidades.

15. Hallar el área de un cuadrado que tiene dos lados colineales con : 3x - 4y = 10y Se2: 3x - 4y + 15 = 0

16. Hallar la ecuación de la recta situada a 6 unidades del origen y pasa por el punto P(10 , 0), y corta a la parte positiva del eje Y.

17. Hallar la ecuación de la recta de pendiente negativa cuya abscisa en el origen es -5 y cuya distancia al origen es 3.

18. El punto P(0 , 3) dista de la recta y = 2x + b en 4 unidades. Hallaré para que la recta forme con los ejes coordenados un triángulo de menor área posible.

19. Hallar las ecuaciones de las rectas equidistantes de : (Guía : EjemplolO)

a) .¡2? : 2x - 3y + 8 = 0 , ^ : 4x - 6y - 5 = 0b) : 9x - 15y + 10 = 0 , : 3x - 5y - 6 = 0

20. El punto P(a , b) está en la recta .2? : x + y - 1 = 0 y equidista de las rectas ■2?, :x-y + 8 = 0 y 5 ¿ : x - y - 3 = 0. Hallar sus coordenadas.

21. H allar el l ugar geomét r i co de los puntos equ id istantes de las rectas 12? : 3x - 4y + 3 = 0 y .2 |: 8y - 6x - 5 = 0 (Guía : Ejemplo 11).

22. Sin hallar los vértices, determinar el área del rectángulo de lados colineales con 3x - 4y - 10 = 0 , 6x - 8y + 15 = 0 , 4x + 3y + 5 = 0 , 4x + 3 y - 1 5 = 0.

23. Dados los vértices de un triángulo : A(-10 , -13), B(-2 , 3) y C(2 , 1), hallar lalongitud de la perpendicular bajada desde el vértice B a la mediana trazada desde el vértice C.

24. Demostrar que se pueden trazar por el punto P(2 , 5) dos rectas de manera que sus distancias al punto Q(5 ,1 ) sean iguales a 3. Hallar las ecuaciones de estas rectas. (Guía : Ejemplo 9).

25. Sean la recta 2? : 2x - y - 7 = 0 y el punto A(-1 , 6). Hallar los puntos B y C pertenecientes a 2?, tal que el AABC sea equilátero.

26. El punto P(7 , 1) y la recta 2?: 3x - 2y = 6 determinan un triángulo isósceles de área 8Vl3 y lado no congruente (base) contenido en la recta 2?. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los iados congruente.

27. Un punto P divide al segmento AB en la razón r = -3 , sien - A(3 , 2) y B(9 , 6).

www.freelibros.com

Sección 4.8: Familia de rectas en el plano 173

Por P pasa una recta á? con pendiente m, = 3/2 , y por A , la recta tal que ,S?( n 2? = {R}, í/(R , 2-) = 10Vl3, SB es la recta que contiene al segmento AB. Hallar las coordenadas del punto R.

28. Las rectas <0, : y = m,x + 2 , ,5 |: y = m2x + 5 , m2 < 0 se interceptan en el punto A de abscisa 3, formando un ángulo a (medido desde 2? hacia S|) tal que Tga = -1/3. Por el punto A se traza una recta £' la cual forma con un ángulo (3 (medido desde SBy haciaSB') tal que Tg[J = 3. Por el punto B, intersección de la recta SB2 con la recta de ecuación y = x, se traza la recta SB" la cual forma con SB2 . ángulo y (medido desde 3B2 hacia SB") tal queTgy = 2. Hallar d(P0, 2|) siendo

P0 el punto de intersección de SB' con SB".

29. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectasa) J2?: 13x - 9y = 38 , SBt : x + 3y = 14

b) SBy : 2x + 3y - 8 = 0 , 2? : 18x + y + 2 = 0.

30. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo APB, si A ( 3 , -3), P(1 , -1) y B (8 , 0).

31. Los lados de un triángulo son colineales con las rectas 4x + 3y = 2 5 , 15x - 8y = 68 y 5x - 12y = 52. Hallar las ecuaciones de las bisectrices del triángulo.

U n FAM ILIA DE RECTAS EN EL PLANO_______________________

En secciones anteriores estudiamos la recta y las diversas formas de sus ecuaciones, casi siempre como propiedades de una sola recta. Cuando se trató de paralelismo y perpendicularidad, sólo se enunciaron algunas de sus propiedades comunes. En esta sección estudiaremos, detalladamente, estas propiedades y las familias de rectas que las comparten; trataremos con intersecciones de rectas y, por supuesto, con paralelismo y perpendicularidad.

FAMILIA DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA

Supongamos que la ecuac i ón genera l de la recta dada sea SB : Ax + By + C = 0 , cuya pendiente es m = -A/B.

El conjunto de rectas SB¿ , para / e N, que son paralelas a SB, tendrán por ecuación y = mx + b , o sea, por el criterio de paralelismo,

y = - ^ x + b o £ : Ax + By + bB = 0

www.freelibros.com

174 Capitulo 4: La linca recia

Si sustituimos la cantidad constante bB por 'el parámetro k tendremos la ecuación de la familia de rectas paralelas a 7‘, esto es

2 L : Ax + By + k = 0 (17)La Figura 4.48 muestra la recta 2' y miembros de la familia, paralelas a 2', para valores d e i e N y k e R.

: Ax + By + c = o

: = i

¿ = 2

¿ = 3

A

%

■A

A.X


F A M IL IA D E R E C T A S P E R P E N D I C U L A R E S A U N A R E C T A DADA

Supongamos que U\ , con ú N , sea un conjunto de rectas perpendiculares a la recta dadá 2 : Ax + By + C = 0 con pendiente m = -A/B. Si y = mx + b es cualquiera de las rectas 2 , entonces, por el criterio de perpendicularidad su ecuación será de la forma :

y = ® x + <=> 2 : Bx - Ay + A/> = 0A '

si sustituimos el producto Ab por el parámetro k obtenemos2 : Bx - Ay + k = 0 , i e N , k e R (18)

que representa la ecuación de la familia de rectas perpendiculares a la recta dada 2.

FAMILIA DE RECTAS QUE PASAN POR LA INTERSECCION DE DOS RECTAS

El conjunto de rectas 2 , con ¿ = 1,2,3..... ,n, que pasan por un puntoP e ( 2¡ f l 2 ) , se llama familia de rectas con centro P. Si

2 : A,x + B,y + C, = 0 y : A;x + B,y + C2 = 0

son las rectas dadas que se cortan en P, la ecuación

2 ': a ^ x + B,y + C,) + P(A,x + B,y + C ) =0

www.freelibros.com


en la que a, p e R y a2 + pz * O , determina una.recta que pasa también por el punto P.En efecto:Si á?, y á? son rectas secantes en p = (xo , y(|) , este punto satisface ambas ecuaciones, por lo que ,

V o + B . y0 + c , = 0 y V „ + V o + c 2 = o.¡ora multiplicando 2? por a y por p y

sumando miembro a miembro las dos ecuaciones se sigue que :

“ ( V o + B . y0 + c . ) + P ( V o + V o + V = 0« (oA, + PA2)x0 + (<xB, + PB2)y0 + ctC, + pC2 = 0

••• p(x0 • y o) c &Si a * 0, dividienao los dos miembros de la ecuación de c£ por a y suponiendo de ,

-¿ = K , tendremos :

A(x + B j + C, + k(A;x + B2y + C2) = 0 (19)Por medio de esta ecuación se puede determinar cualquier recta de la 1 lilia con centro en P. El parámetro k es una constante para cada miembro de la familia que varía de recta en recta.

Q EJEMPLOS ILUSTRATIVOS_____________________________

( EJEM PLO 1 ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-2 , 5) y es perpendicular a la recta 3>y : 7x + 2y - 6 = 0

So luc ión. Según (18), la familia de rectas perpendiculares a .5? es

^ : 2 x - 7 y + k = 0 (1)Si P(-2 , 5) e Se c* 2(-2) - 7(5) + k = 0 o k = 39Por tanto, ei miembro de la familia buscado es £ : 2x - 7y + 39 = 0 Q

( E J E M P L O 2 ) Ha l l a r las e c u a c i o n e s de l as r ec t a s p a r a l e l a s a & : 8x - 15y + 34 = 0 que disten de ella 4 unidades

Solución. La familia de rectas paralelas a 5- , según (17), esse: 8 x - l 5 y + k = 0 (1)

www.freelibros.com

176 Capítulo 4: La línea recto

Si J(i2? , Se) = 4 —1- ~3 4 - = 4 <=> I k - 34 | = 6 8V64 + 225

<=> k - 34 = 68 ó k - 34 - - 68 <=> k = 102 ó k = -34

Luego, en (1), las rectas buscadas sonSe : 8x - 15y + 102 = 0 ó S£ : &x - 15y - * * * -0 □

[ EJEM PLO 3 ] De la familia de rectas paralelas a 3?, : 8x -15y + 34 = 0, hallar las que disten 3 unidades de P(-2 , 3)

So luc ión . La familia de realas paralelas a ^ es

se : 8x- 15y + k = 0 (1)

I 8(-2) - 15(3) + k |Si d(P ,S e ) = 3 o -------------------- ------ = 3 <=> | k - 61 I = 51

V64 + 225<=> k - 61 =51 ó k - 61 = - 51 o k = 112 ó k = 10

Luego, en (1) tendremos , S£ : 8x - 15y + 12 = 0 ó se : 8x - 15y + 10 = 0 Q

[ EJEM PLO 4 ) Hallar los puntos de la recta .'£ : 2x + 3y - 4 = 0 que están a la distancia 2 unidades de S£x: 3x + 4y - 6 = 0

Solución. La familia de rectas paralelas a

¿:3x + 4y + k = 0 (1)

I k - (-6) ISi d(& , t ) = 2 <=> — = 2

V9 + 16« I k + 6l =10 « k + 6 =10 ó k + 6 = -10 « k = 4 ó k = -16

Luego, en (1), se tiene :: 3x + 4y + 4 = 0 ó e2 : 3x + 4y - 16 = 0

Por tanto:t t n $ = p(4, -4) y t2nse = q(64, -44) □

S£x es

www.freelibros.com


( e j e m p l o s ) Dada la ecuación de la familia de rectas :3x + 2y - 9 + k (2x + 5y + 5) = 0, determinar el valor de C

para que la recta SU : 4x - 3y + C = 0 pertenezca a esta familia.

Solución. Según la ecuación (19), las rectas S?: 3x + 2y - 9 = 0 y .9?: 2x + 5y + 5 = 0

pasan por el centro P de la familia, entonce fl ^ = P(5 , -3)Ahora, si pertenece a esta familia, de centro P <=> P e á?, esto es :

4(5) - 3(-3) + C = 0 C = -29 □

fE JE M P LO 6 ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 5? : x + 2y + 1 = 0 y ^ : 5x + 3y - 9 = 0 y es perpen

dicular a la recta : x + 5y + 10 = 0.

Soh/ción. Oe ' im ilia de rectas SE : x + 2y + I + k(5x + 3y - 9) = 0 (1)

se tiene, SE: (1 + 5k)x + (2 + 3k)y + (1 - 9k) = 0 ■=> m = - ^ ^

como un miembro de SE es perpendicular a S0y o m . m3 = - 1 , esto es

(- J jJ !L )(- 1 )= - l « k=- 11/20' -J a- Xlr / v <: /2 + 3k ' ' 5 J

Sustituyendo este valor en (1) obtenemos, # : 5 x - y - 1 7 = 0 Q

( EJEM PLO 7 ) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan par la intersección de las rectas : 2x + 3y - 1 = 0 y SE2: x - y + 12 = 0, y que

están a V37unidades del origen.

So luc ión. Del haz de rectas SE\ 2x + 3y - l + k(x - y + 12) = 0 (1)

se tiene la forma general SB : (2 + k)x + (3 - k)y + (12k -1 ) = 0_ 112k + 1 I .—

Si d(0 , SE) = V37 ■=> - .................. = V37 « 7kJ + 5k - 48 = 0V(2 + k)2+ (3 - k)2

<=> k = - 3 ó k = 16/7 Luego, sustituyendo cada uno de estos valores en (1) obtenemos

.5?: x - 6y + 37 = 0 ó .á?: 6x + y + 37 = 0 □

( EJEM PLO 8 ] Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas ^ : 3 x + y - 5 = 0 y í ^ : x - 2 y + 10 = 0 y está a la

distancia 5 unidades del punto C(-1 , -2).

Solución. Sea la ecuación de la familia de rectas ,

www.freelibros.com

178 Capítulo 4; La Línea recia

t : 3x + y -5 + k(x - 2y + 10) = O =» t : (.1 + k)x + (I -2k)y + 10- 5 = 0

1(3 + k) (-1) + (1 - 2k) (-2) + lOk - 5 ISi diC , ( ) = 5 => ' ' — 1 — ^2 = 5

V(3 + k)2 + (I - 2k)2

de donde : 22k2 - 155k - 75 = 0 <=» k = 15/2 ó k = - 5/11Luego, sustituyendo estos valores en (1) obtenemos :

í : 3x - 4y + 20 = 0 ó t : 4x + 3y - 15 = 0

(1)

□

[ E J E M P L O 9 ) Dadas las ecuaciones de dos familias de rectas:5x + 3y -2 + k , ( 3x - y - 4 ) =0y % : x - y + 1 + k,(2x - y -2) = 0,

hallar la ecuación de la recta que pertenece a las dos familias sin determinar sus centros.

Solución. De las ecuaciones dadas se sigue que :

2J: (5 + 3k1) x - ( k , - 3 ) y - ( 4 k l +2) = 0 3{:(\ + 2k,)x - (k, + l )y- (2k, - 1) = 0

Dado que y 3t representan la misma recta para ciertos valores de k, y k2, entonces, según las relaciones (1 0 ), se tiene

5 + 3k, k , - 3 4k, + 2= r

1 + 2k, k, + 1 2k2 - 1

De estas ecuaciones, por simultáneas, obtenemos : r = 14 , k| = - 25 y k, = - 3

Sustituyendo los valores de k, y k2 en 2^ y CJ\ respectivamente, se tiene la ecuación<£ : 5x - 2y - 7 = 0 □

( e j e m p l o 1 0 ) Dada la ecuación de una familia de rectas2x + y + 8 + k(x + y + 3) = 0; hallar las rectas de esta familia,

cuyos segmentos, comprendido entre las rectas á ? , : x - y - 5 = 0 y 3 | : x - y - 2 = 0 sean ¡guales a V5.

Solución. Del haz de rectas dada se tiene£ : (2 + k)x + (I + k)y + (8 + 3k) = 0

1 + k1 + k

S\d = d (£ . ,< R )c = > d =

En la Figura 4.52 : SenG =

(-5)1

VI +

d_

V5

= V2

SenG =Vio

f 1

:e ■----1—

v JFIGURA 4.52

www.freelibros.com

Sección 4.S: Familia de rectas en el plano 179

y por trigonometría : TgO = 3

m, - mSi Tg0 = ! + m, . m

<=> 3 =1 + 2 + k

1 + k

1 -2 + k 1 + k

, de donde : 12k + 3 I =3

o k = 0 ó k = - 3Sustituyendo estos valores en la ecuación de la familia obtenemos

/ . 2 x + y + 8 = 0 ó / : x 4- 2y + 1 = 0 □

[E J E M P L O 1 1 ] La abscisa en el origen de una recta que pasa por la intersección de las rectas 2? : 9x - y + 3 = 0 y 5?: x - 5y + 5 = 0 es igual

al cuadrado de su ordenada en el origen. Hallar la ecuación de esta recta.

Solución. De la familia de rectas ( : 9x - y + 3(x - 5y + 5) = 0 (1)se tiene la forma general, í : (9 + k)x - (1 + 5k)y + (3 + 5k) = 0

Si y = 0 <=> a = -

Dado que a =b2 •=$

3 + 5k 9 + k ’

3 + 5k

y si x = 0 ■=> 6 =3 + 5k1 + 5k

_ i¿+5k\2 ^ 15|<2 + 29k + 14 = 0' i j. <:i/'9 + k

<=> k = -1 ó k = -14/15 Sustituyendo cada uno de estos valores en (1) obtenemos dos soluciones:

¿, :4x + 2 y - l = 0 ó : 121x + 55y - 25 = 0 □

[E J E M P L O 1 2 ] Hallar las ecuaciones de las rectas que pertenecen a la familia í : 3x + 2y - 6 + k(10x + y - 7) = 0 , y que forma con la recta

: x - 7y + 13 = 0 un ángulo de 45°.

Solución. De la familia de rectas dada ( : 3x + 2y - 6 + k(10x + y - 7) = 0 (1)se tiene la forma general, t : (3 + 10k)x + (2 + k)y - (6 + 7k) = 0

3 + lOk<=> m = -

Si Tg0 =

2+ k, y de á?: x - 7y + 13 — 0 <=> m, = 1/7.

m. - m1 + m ,. m

<=> Tg45° =

1 3 + lOk2 + k7 +

j l j /3 + IQkx '7 ' * 2 + k 1

171 k + 23 I = ! 11 - 3k I

« 71k + 23= I I - 3 k ó 71k + 23 = - l l + 3k « k = - 6/37 ó k = - 1/2

Luego, en (1), se tiene dos soluciones :t,-. 51x +68y - 180 = 0 ó ^ : 4 x - 3 y + 5 = 0 □

www.freelibros.com

180 Capítulo 4: La Línea recta

(EJEM PLO 13) Dada la ecuación t : 5x + 2y + 4 + k(x + 9y - 25) = 0 ; escribir las ecuaciones de las rectas de esta familia, que junto con las

rectas ^ : 2x - 3y + 5 = 0 y : 12x + 8y - 7 = 0 forman triángulos isósceles.

Solución. De la ecuación de la familia dada se tiene

í : (5 + k)x + (2 + 9k)y + 4 -25k = 0 m = - 5 + k

Además , m, = 2/3 y m2 = - 3/2

m - m,SiTgO, =Tg02

1 + m . m,

5 + k 2 + 9k

2 + 9k'de donde : (25k - 4)2 = (21k + 19)2 25k-4 = 21k+ 19 ó 25k-4 = -21k- 19

«■ k = 23/4 ó k = - 15/46 Sustituyendo cada uno de estos valores en la ecuación de la familia, obtenemos :

¿ :x + 5y-13 = 0 ó ¿ : 5 x - y + 13 = 0 □

(EJEMPLO 14) Hallar las ecuaciones de los lados del AABC, conociendo uno de sus vértices A(2 , -1) y las ecuaciones de la alturta .2? : 7x -

10y + 1 = 0 y de la bisectriz ,2 |: 3x - 2y + 5 = 0 , trazadas desde un mismo vértice. Resolver el problema sin hallar las coordenadas de los vértices B y C.

Solución. La familia de rectas que pasan por el vértice B es

t : 7 x - I 0y+ 1 + k(3x-2y + 5) = 0 (1)

Como AB pertenece a esta familia y A e £ , entonces7(2) - 10(-1) + 1 + k(6 + 2 + 5) = 0 » k = -25/13

Sustituyendo en (1) obtenemos la ecuación de AB , esto es

AB : x - 5y - 7 = 0La ecuación general de (1) es

g : (7 + 3k)x - (10 + 2k)y + (1 + 5k) = 0 => m =

De .3? , m2 = 3/2 y de AB , m’ = 1/5

SiTgO, = Tg0, >

7 + 3k 10 + 2k

m - m„

(2)

+ m2. m’ 1 + m . m,

www.freelibros.com


(3/2) - (1/5) _ m - (3/2)1 + (3/10) 1 + (3/2) m

7 + 3k

<=> m = - 5

Luego, en (2):10 + 2k

5 » k = -57/13.

Sustituyendo este valor en (1) se tiene ,

BC : 5x + y + 17 = 0 Fir: límente, la ecuación de AC es :

10y + i = - - y (x - 2) AC : lOx + 7y - 13 = 0

□

CK .AI ? ' /

f i

n i \ /

i x 9' ) -B®"' ' J

FIGURA 4.54


1. Usando el método del parámetro, hallar la ecuación de la recta que pasa por P(2, -3) y es paralela a la recta 3 : 5x - y + 11 = 0.

2. Por método del parámetro, hallar la ecuación de la recta que pasa por P(2 , -1) y es perpendicular a la recta 3\ 7x - 9y + 8 = 0 (Guía : Ejemplo 1)

3. Determinar el valor de k de manera que la recta de la familia k2x + (k -1) y +2 = 0 que le corresponda sea perpendicular a la recta y + 2x -1 = 0. Hallar la ecuación de la recta.

4. La ecuación 3x - 2y + 4 + kx + 5ky - k2 = 0 , representa una familia de rectas donde k es un parámetro. Determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen.

5. La ecuación 3x - 4y + k(x - 5) + 6 = 0 representa una familia de rectas donde sus miembros se determinan dando valores a k. ¿Cuánto debe valer fe para que la recta y = 3x + b pertenezca a la familia de rectas dada? (Guía : Ejemplo 5)

6. Dada la familia de rectas 3: 2kx + y + k2 = 0, determinar la tangente del ángulo agudo que forman las rectas de la familia que pasan por el punto P(1 , -8)

7. Las ecuaciones 2 ax + 2y + 3 = 0 y 3 x + y + fe(x-1) = 0 representan dos familiasde rectas. Si a y fe son los valores correspondientes a dos rectas perpendiculares a la recta común a ambas familias, hallar a - fe.

www.freelibros.com

182 Capítulo 4: La línea recia

8. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a .!£': 4x - 8y - 5 = 0 que distan n/5 unidades de ésta. (Guía : Ejemplo 2).

9. La distancia de una recta al origen es 3. La recta pasa por el punto P(3V5 , -3). Hallar su ecuación.

10. Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta SBy \ 5x - y -1 = 0 y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 5 u2.

11. Hallar las ecuaciones de las dos rectas paralelas a á ? : 3 x + 4y-12 = 0 y que disten 10 unidades de ésta. (Guía : Ejemplo 2).

12. De la familia de rectas paralelas a á? : 2x + 6y + k = 0, hallar las rectas que disten VTo unidades de P(-5 , 4). (Guía : Ejemplo 3).

13. Hallar la ecuación de la recta a 7 unidades del origen y es perpendicular a la recta Jg : 24x - 7y + 8 = 0.

14. Hallar la ecuación de la familia de rectas que pasan por P(1 , 2), seleccionar el miembro o miembros que forman un ángulo de 45® con y = 3x + 2.

15. La ecuación 3x - 4y - 6 + k(x + y - 9) = 0 representa una familia de rectas que pasan por un mismo punto P(a , b). Hallar a - b. (Guía : Ejemplo 5).

16. Dada la ecuación de una familia de rectas X : 5x + 3y - 7 + k(3x + 10y + 4) = 0; determinar para que valores de a, la recta J7- : ax + 5y + 9 = 0 no pertenece a esta familia.

17. Hallar la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta !?’ :2x + 7 y - 3 = 0 en su intersección con la recta : 3x - 2y + 8 = 0.

18. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a 21'. 4x - 4y + 78 = 0 y que pasa por la intersección de las rectas 2!y: 23x + 37y -11 = 0 y : 13x - 33y + 28 = 0.

19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de 2?: 4x - 3y + 20 = 0 y : 2x + 7y - 15 = 0 y determina sobre el eje X un segmento igual a 5/4.

20. Hallar la ecuación de la recta 2 que pasa por el punto común a las rectas .S? : x + 2y - 1 = 0 y -Sf: 2x - y + 3 = 0, sabiendo que d(2, P) = 1/V5, siendo P(0 , 1) (Guía : Ejemplo 8).

21. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas 21, : 3x - 4y = 0 y 2¡t : 2x - 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados un triángulo de área 8 u2.

22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas

www.freelibros.com

5? : 2x + 3y -14 = 0 y ^ : 3 x - y - 1 0 = 0 y dista del origen 2^5 unidades.

23. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas á?,: 2x - 3y - 5 = 0 y ■2|:x + 2 y - 13 = 0ye l segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación de dicha recta.

24. Dada la ecuación de una familia de rectas & : I x + 8y - 18 + k(11 x + 3y + 12) = 0; hallar las rectas de esta familia que interceptan en los ángulos coordenados triángulos de área igual a 9 u2.

25. Dada la ecuación de una familia de rectas ( : 2x + y + 4 + k(x - 2y - 3) = 0 , demostrar que entre las rectas de esta familia existe solamente una que está a la distancia d = VTo del punto P(2 , -3). Hallar la ecuación de esta recta.

26. El centro de la familia de rectas ( : 2x + 3y + 5 + k(3x - y + 2) = 0 es uno de los vértices de un triángulo, dos de cuyas alturas se dan por las ecuaciones

: x - 4y + 1 = 0 y SP2: 2x + y + 1 = 0. Hallar las ecuaciones de los lados de este triángulo.

27. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas ^ : 2x + 7y - 8 = 0 y &2 : 3x + 2y + 5 = 0, con une inclinación de 45a respecto de la recta 2x + 3y - 7 = 0. (Guía : Ejemplo 12).

28. El centro de la familia de rectas i : 2x - 3y + 20 + k(3x + 5y - 7 ) = 0 es el vértice de un cuadrado cuya diagonal está en la recta x + 7y - 8 = 0. Hattar fas ecuaciones de los lados y de la segunda diagonal.

E 9 PUNTOS AR R IBA Y DEBAJO DE U N A RECTA____________

Sabemos por intuición, lo que significa que un punto esté arriba o debajo de una recta no vertical

Hay una prueba clara y sencilla para ver si el punto P, (x, , y,) está arriba o debajo de una recta no vertical SP : Ax + By + C = 0 , sin necesidad de trazar la gráfica de CS . Esta prueba consiste en escribir la recta en la forma y = mx + b , y aplicar el siguiente teorema.

Sección 4.9: Puntos arriba y debajo de una recta____________ 183

TEOREMA 4.9 El punto P ,(x ,, y,) está arriba de la gráfica de : y = mx + b si, y sólo s i , y, > mx, + b

y está debajo de ella s i , yjsólo s i , y, < mx, + b

www.freelibros.com


Demostración. En efecto, consideremos un punto P2 sobre la recta 3! y de igual abscisa que P,, esto es : P2 = (x( , y2)

Está claro que si?! está arriba de P2 <=> y, > y2

como P2( x , , y2) e 3 ■=> y2 = mx, + b^ P, está arriba de 3 » y , > m x , +6

Análogamente :P, está debajo de P2 « y, < y2

<=t> P está debajo de 3 <=> y < mx +b Q

FIGURA 4.56

Por ejemplo, determinar si P,(-3 ,1) está arriba o debajo de la recta 3 : 2x - 3y - 3 = 02

Primeramente escribimos 3 : y = — x - I

Luego, tenemos •' y, = 1 y mx, + b = j (-3) - 1 ■=> mx, + b = - 3

Dado que 1 > -3 , se sigue que : y, > mx, + bPor tanto, según el Teorema 4.9 , P, está arriba de 3.

| OBSERVACION. La prueba para ver si un punto está arriba o debajo de una

recta, evidentemente está relacionado con lo siguiente.Como sabemos, toda recta no vertical, que es la gráfica de

& - { (x . y) e R11 y = mx + b }divide al plano coordenado en dos partes, que son las gráficas de las relaciones

R, = { (x , y> e / f21 y < mx + b }

y= { (x , y) e i f 21 y > mx + 6 }

La gráfica de R, está formada por todos los puntos que quedan debajo de 3 y la de R2, por el conjunto de puntos situados arriba de 3 ; cada una de las gráficas de R, y R2 se designa con el nombre de semiplano. La recta 3 recibe el nombre de frontera.

FIGURA 4.55

www.freelibros.com

Sección 4.9: Puntos arriba y debajo de una reda 185

Si SU es una recta vertical de la forma x = a, entonces el semiplano de la derecha es la gráfica de { (x , y) e K21 x > a } y el semiplano de la izquierda es la gráfica de{ (x , y) e 1?2| x <a }.

üEJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( L JEM PLO 1 ) Construir la gráfica de la relación R = { (x , y) e R212x - y - 4 < 0 }

de la frontera S£ : 2x - y - 4 = 0 (con trazo punteado, pues sus puntos no satisfacen a la relación R).Luego escribimos la desigualdad 2x - y - 4 < 0 en su forma equivalente , y > 2x - 4 , de modo que :

R = { (x , y) e 1 y > 2x - 4 }Según el Teorema 4.9 , la gráfica de R está formado por el conjunto de puntos del plano que están situados arriba de la gráfica de SB. Dicha gráfica es la región sombreada en la Figura 4.57.

Y2■-I#'' ' /:/■

j

R7'

V

w

/

FIGURA 4.57 □

( EJEM PLO 2 ) Construir la gráfica de la relación R = { (x , y)eJ?2|3x-2y + 6 > 0 }

Solución. Trazamos la gráfica de SO : 3x - 2y + 6 = 0 , luego escribimos la desi

gualdad 3x - 2y + 6 > 0 en su forma equivalente y < — x + 3 , de modoque :

R = { ( x , y ) e f l 2l y < | x + 3 }

Según el Teorema 4.9, la gráfica de R está formado por el conjunto de puntos situados debajo y sobre la gráfica de la frontera S£ . (Figura 4.58) □

( EJEM PLO 3 ) Construir la gráfica de la relaciónR = { (x , y) € /?21 x + 3 y - 6 > 0 , 2 x - y + 5 > 0 }

Solución. Podemos escribir,R = { (x , y) e I y > - j x + 2 } n { ( x , y ) e / í 2l y < 2 x + 5 }

esto es, la gráfica de R es la intersección de las gráficas de

www.freelibros.com


R, = { (x , y) e R11 y > - x + 2 } y de R, = { (x , y) e R21 y < 2x + 5 }

Como la gráfica de R, está formada por todos los puntos arriba de ^ : x + 3y - 6 = 0 y la de R, contiene a los puntos debajo de 5*: 2x - y + 5 = 0, se infiere que la gráfica de R es la parte sombreada de la Figura 4.59 Q


f EJEM PLO 4 J Construir la gráfica de la relaciónR = {(x , y) e K11 x + 6y -11 > 0 , 3x - 4y + 11 > 0 , 2x + y - 11 < 0}.

Hallar el dominio, el rango y el área de R.

So luc ión . Si escribimos :

R, = { (X , y) I y > ~ x + J }

R2 = { (x , y) I y < j X + J } y

R, = { ( x , y) I y ¿ -2x + 1 1 }Entonces, según el Teorema 4.9 , R es la intersección de los conjuntos de puntos que están debajo de las rectas, : 3x - 4y + 11 =0 y SPy : 2x + y - 11 = 0 , y arriba de la recta

: x + 6y - 11 = 0, cuya gráfica se muestra en la Figura 4.60.Además : f l ^ = A(-l , 2 ) ; ^ D % = B(5 , 1) y á?2n S} = C(3 , 5)Luego, Dom (R) = [-1 , 5] , Ran (R) = [1 ,5)

I ÁB I = V(5+ 1)2 + (1 - 2)2 = V37 ; h = d(C , = j . ^.6(5) - H _ 22Vi + 36 V37

.-. a(AABC) = I IÁB | h = -1 = 11 u22 2 ' T3 7 '

www.freelibros.com

Sección 4.9: Punios arriba y debajo de una recia 187

( EJEM PLO 5 ) Determinar el sistema de inecuaciones lineales que tiene como solución el triángulo de la Figura 4.61, si A(-1 , 0) , B(3 , 1) y

C(2 ,3).y - 0 3 - 0Solución. Ecuación de ACx + 1 2 + 1

o AC : y = x + 1 => = {(x , y) e Rl I y < x + 1} es el, conjunto

de puntos debajo de AC.<-> y -1 3 -1

Ecuación de BC :x - 3 2 -3

« BC : y = -2x + 7

fY>

2-

\ j

co

- l 0 1 2 3

. . yFIGURA 4.61

R2 = { (x , y) £ R* I y S -2x + 7 } es el conjunto de puntos debajo de BC.

Ecuación de A B : y * 0 1 -0 <->o AB : 4y = x + 1

x +1 “ 3+1=* R, = { (x , y) e R11 4y > x + 1 } es el conjunto de puntos arriba de AB.

Si representamos por R la región sombreada, entonces R = R , n R 2n R, = { ( x , y ) e / f J| x - y + l > 0 , 2 x + y - 7 < 0 ( x - 4 y + l S 0 } □

[ E J E M P L O 6 ) Sean R = {(x , y) e /?21 I x l - l y I > 4 } , S = {(x , y) e R2 \ Ixl <6} .Hallar el área de R f| S.

Solución. En R , por definición de valor absoluto, tenemos:

S t x > 0 , y > 0 c=> x - y > 4 o y < x - 4 (1) x > 0 , y < 0 <=> x + y > 4 o y > - x + 4 ( 2 ) x < 0 , y > 0 = > - x - y > 4 y < - x - 4 (3)x < 0 , y < 0 >=> -x + y > 4 < = > y > x + 4 ( 4 )

En S , I x I < 6 <=> (x < 6) a (x > -6)Luego, (x = 6) f l (y = x - 4) = A(6 , 2)

(x = 6) n (y = -x + 4) = B(6 , -2)La gráfica de R f| S consiste en dos triángulos equivalentes cuyas bases miden AB = 2 -(-2) = 4 y sus alturas , h = 6 - 4 = 2

a ( R l l S ) = 2 x | (4)(2) = 8 U2 □

www.freelibros.com



Construir la gráfica de cada una de las siguientes relaciones

1. R = { (x , y) e R 2 1 6x - 5y - 30 > 0 , 2x + 3y - 6 > 0 }

2. R = { (x , y) e K21 2x + y - 5 < 0 , x + y - 2 > 0 }

3. R = { (x , y ) 6 /?J I 2x - 6y + 5 > 0 , 3x - 2y + 1 > 0 }

4. R = { (x , y) e R 2 1 x - 2y - 4 < 0 , 6x + y - 11 > 0 , 4x + 5y - 20 < 0 }

5. R = { (x , y) e R 2 1 x - y > 0 , 3x - 8y -15 < 0 , 4x + y - 20 < 0 }

6. R = { (x , y) e R21 1- x <! y -1 I }

7. R = { (x , y) e R21 I x I < 1 , I y I < 2 , x < y < 4x }

8. R = { (x , y) e /?21 ly - 11 > 2 - x }

9. Hallar el área de la gráfica deR = { ( x , y ) l y 12x I - 4 }

10. Hallar el área de intersección de las gráficas de x > 0 , y > 0 , y < 3 , x - y > 0,2x + y < 7.

11. Hallar el área de la gráfica de la relación R = { (x , y) | 2| x I + 3 I y I < 6 }

12. Sean los conjuntos A = { (x , y) 11 x I + I y I < 4 } y B = { (x , y) 11 x + y ! +I x - y I > 4V2 }. Hallar el área de A n B.

13. Sea R = { ( x , y ) | | x l + l y i < a } , donde a > 0. C es el círculo inscrito en R y Des el círculo circunscrito en R. Hallar el área de (R - C) U (D - R).

14. Hallar el área de la región representada por el sistema de inecuaciones-x + y < 1 , x + 2y < 11 , 3x + y < 18 , 4x + 3y .< 24 , x > 0 , y > 0.

15. Determinar el sistema de inecuaciones lineales que tiene como solución el triangulo de la Figura 4.63 sabiendo que A(-2 , -3). B(-1 , 1) y C( 3 , -1).

16. En la Figura 4.64, la región sombreada es la intersección de las gráficas de las inecuaciones : y > 5x + a , y>b - 2x , 3 y < x + c .Si A(2 , 0), B(3 , 5) y C(0 , 4), hallar el valor de a + b + c.

17. Representar gráficamente los puntos P(x , y), si 11 x I - 1 y I | <2.

18. Graficar en el plano 12x - 3 ! + ly - 1| < 2 , indicando dominio y rango.

19. Si A = { (x , y) e W21 I y i < ------ -------} y B = { (x , y) e R* | |2x I + ly ! < 2 } ,I I x I - 1 I

www.freelibros.com

EJER CICIO S . Grupo 16 189

determinar el dominio y rango de A f| B y graficar.

20. La unión de los gráficos de las ecuaciones I y l = I x I - 2 , 1 y I = 4 encierran una región del plano. Hallar el sistema de inecuaciones que describen el interior de dicha región. ¿Cuál es su área?

21. Hallar el área de la región representada por el sistema de inecuaciones 13x - 6 1 < y , y < x.

www.freelibros.com

190 Capítulo 5: Im circunferencia

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

1. Forma Canónica : x2 + y2 = r2

2. Forma Ordinaria : (x - h)2 + (y - k)2 = r2

3. Forma General: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

PROPIEDADES

Si .2 es la recta tangente y 3}% la recta secante, entonces

1. CT 1 PT , es dec ir, r _L 3

2. | p f | 2 = |ÁP| x | BPl

3. Mayor y menor distancia de un punto a una circunferencia

I PD | = | PC | + | ÉD I => |PD| = | PC | + r

I PE I = I PC I - I CE I => I PE I = | PC| - r

www.freelibros.com

V,

CIRCUNFERENCIA

m DEFINICION

Una circunferencia es el conjunto de puntos réí del plano cuyas distancias (no dirigidas) a un punto fijo son iguales. El punto fijo se llama centro y la distancia constante no dirigida es el radio.

TEOREMA 5.1 La circunferencia de centro C(h , k) y radio r > 0 es la gráfica de la ecuación.

: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 (1)que recibe el nombre de forma ordinaria o reducida de la ecuación de la circunferencia.

- _

Demostración. En efecto:1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico2. Por definición , en cualquier posición del

punto P se debe verificar que I CP I = r , esto es : V(x - h)2 + (y - k)2 = í*>

3. De donde , # : (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Q

Corofario. Si el centro de una circunferenciaestá en el origen, la ecuación de la

circunferencia se reduce a la formax2 + y2 = r2 (2)

que recibe el nombre de forma canónica de la ecuación de una circunferencia.

FIGURA 5.1

www.freelibros.com

192 Capitulo 5: La circunferencia

CASOS PARTICULARES DE LA FORMA ORDINARIAa) Circunferencia tangente al eje X

En este caso , r = I k I y la ecuación (1) toma la forma( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = k2 (1a)

b) Circunferencia tangente al eje YEn este caso , r = | h | y la ecuación (1) toma la forma

(x - h)2 + (y - k)2 = h2 <1b)c) Circunferencia tangente a los ejes coordenados

En este caso , r = |h | = | k I y la ecuación (1) toma la forma(x - h)! + (y - h)2 = h2 (1c)


( E J E M P L O 1 j Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta X : 2x - 3y + 12 = 0, comprendida en el

segundo cuadrante

Solución. Interceptando la recta & con los ejes coordenados se tiene :

Si x = 0 ■=> y = 4 <=> A = ( 0 , 4 ) , y si y = 0 t=> x = -6 B = (-6 , 0)

Como el centro C(h , k) biseca al segmento AB; entonces , h = -3 y k = 2 , luego C = (-3 , 2)

r = d(C , A) = V(0 + 3)2 + (y - 2)2 = V13 Por tanto, f"~ ún (1), la ecuación buscada es

<8 : (x + 3)2+ ( y - 2)2= 13 □

rY4

1<

J

/ / s v y

V

0

JFIGURA 5.2

( E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta St : x + 2 y - 6 = 0 y que pasa por los puntos A(7 , 3) y

B(-3 , -7).

Solución. Por ser radios : I AC I = I BC I => V(h - 7)2 + |k - 3)2 = V(h + 3)2 + (k + 7)2

de donde se tiene : h + k = 0 (1)Si C(h , k) e ^ ■=> h + 2k - 6 = 0 (2)

www.freelibros.com

Sección 5.1: Definición 193

Ahora, de (1) y (2), por simultáneas : h = -6 y k = 6«3 C(-6 , 6)Como r = | ÁC I ■=> r = V(-6 - 7)2 + (6 - 3)2 = VÍ78Luego, la ecuación de la circunferencia es (x + 6)2 + (y - 6)2 = 178 0

f EJEM PLO 3 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje Xen S(4 , 0) y pasa por el punto T(7 , 1)

Solución. La ecuación de la circunferencia según la formula (1a) es

# : (x - h)J + (y - k)2 = k2 (1)como h es igual a la abscisa de S => h = 4 (Figura 5.4)Ademas, por definición : d(S , C) = d(J , C)

V(4 - 4)2 + (k - O)2 = V(4 - 7)2+ (k - l)2 de donde se obtiene , k = 5. Luego , en (1) se sigue que :

4?: (x - 4)2 + (y - 5)2 = 25 □

[E JE M P LO 4 ) El punto C(3 , -1) es el centro de una circunferencia que intercepta a la recta .4? : 2x - 5y + 18 = 0 una cuerda de longitud 6

unidades. Hallar la ecuación de esta circunferencia.

Solución. En una circunferencia , el diámetro es perpendicular a toda cuerda en su punto medio. Según esta propiedad , sea M el punto medio de la cuerda

AB. (Figura 5.5)

12(3) - 5(-l) + 18 I=> CM = d(C , se) = --------¡ = -------- = V29

V4T25

Dado que AB = 6 o IAM I = IMB I = 3En el AAMC : r2 = I a"m 12 + I CM | 3 (Pitágoras)

www.freelibros.com


^ r! = 9 + 29 = 38 Luego, la ecuación de la circunferencia es

: (x - 3)J + (y + 1 )2 = 38 □

( E J E M P L O 5 J Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las dos rectas paralelas jS?t :2 x + y - 5 = 0 y j ^ : 2 x + y + 1 5 = 0y,

a una de ellas, en el punto A(2 , 1).

Solución. Por sustitución de sus coordenadas vemos que A e •2- (Fig. 5.6)

■=> I ÁB I = d(3. , JZ) = = 4V5V4+ 1

Como I AB I = 2r ■=» r = 2V5La ecuación de la recta <2? , perpendicular a .2? y SP2 es

y - 1 = ^ (x - 2) <=> 3 : x - 2y = 0

Ahora, <£[)& = B(-6 , - 3)

C biseca al diámetro AB c=> c ( , ------ ) <=> Cf-2,-1)v 2 2 'Luego, la ecuación de la circunferencia es

^ : (x + 2)2 + (y + l ) 2 = 20 □

( E J E M P L O 6 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta C£ : 2x + y = 0 y es tangente a las rectas Jí?,: 4x - 3y + 10 = 0

y 4 : 4x - 3y - 30 = 0

Solución, r = \ d{&{ , J2?) = 110 ' (' 32U - 2 1 2> 2VI6T9

= 4

Si C(h ,k )e<£ =» 2h + k = 0 (1)

www.freelibros.com


Esta claro que el centro C se encuentra en

la paralela media de ¿2? y ^ ; esto es , si

^ : y = j x + - y y ^ 2 : y = | x - 1 0

=> % :y = + -10)

<=> : 4x - 3y -10 = 0y como C(h , k) e J2? ■=> 4h - 3k - 10 = 0 (2)De (1) y (2). por simultáneas, obtenemos :

h = 1 , k = -2Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es FIGURA 5.7

<€ : ( x - l)2 + (y + 2)3= 16 □

( E J E M P L O 7 j Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por P(12 , 7)y es tangente a la recta ^ : x - 2y - 2 = 0 en el punto T(8 , 3).

So luc ión . Sea C(h , k) el centro de la circunferencia (Figura 5.8)Por definición : d(P , C) = d(T , C)

■=> V(h - 12)2 + (k - 7y = V(h - 8)2 + (k - 3)2 » h + k = 15 (1)Si CT _L á? ■=> mCT . m, = -1

~ ( £ r f ) ( j ) ' = <2>De (1) y (2), por simultáneas, obtenemos : h = 4 , k = 11

r = d(T , C) = V(4 - 8)2 + (11 - 3)2 = V8ÓLuego, la ecuación de la circunferencia es

: (x -4)2+ (y - l l ) 2 = 80 □

FIGURA 5.9

www.freelibros.com

196 Capítulo 5: La circunferencia

( EJEM PLO 8 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta ,2? : x - 4y + 3 = 0 en el punto A(5 , 2) y también a la recta

3¡2: 4x + y - 5 = 0 en el punto B(2 , -3).

So luc ión . Sea C(h , k) el centro de la circunferencia (Figura 5.9)S i ^ : x - 4 y + 3 = 0 <=> m, = 1/4

Como AC ■=> m,r = -k ~ 2 = -4 t=> 4h + k - 22 = 0 (1)AC h -5

También BC 1 3!. <=> n v = - — <=> h - 4k - 14 = 0 (2)2 80 h - 2 - 4

De (1) y (2) obtenemos : h = 6 y k = -2 t=> C(6 , -2)r = d(B , C) = V(6 - 2)2 + (-2 + 3)2 = VI7

Por tanto , la ecuación de la circunferencia es<8 : (x - 6)3 + (y + 2)2 =17 □

( EJEM PLO 9 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta : 2x - y + 6 = 0 en el punto S(-1 , 4), y tiene radio 3^5

Solución. Conocido el radio de la circunferencia, el problema se reduce determinar su centro C(h , k). (Figura 5.10)

Luego, si SC _L .2? >=> msc . m, = -1 ■=> (2) = -1 <=> h + 2k - 7 = 0

r = d(C , &) => 3V5 = 12h ' k + 6 IV4+ 1

=> 12h - k + 6 I =15 « 2h - k + 6 = 15 ó 2 h - k + 6 = -15

« 2h - k - 9 = 0 ó 2h - k + 21 = 0Entonces, (2h - k - 9 = 0) H (h + 2k - 7 = 0) = C,(5 , 1)

(2h - k + 21 = 0) n (h + 2k - 7 = 0) = C2(-7 , 7)Hay dos soluciones, <8t : (x - 5)J + (y - l)2 = 45 y : (x + 7)2 + (y - 7)2 = 45 □

(e j e m p l o T o ) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntosA(-3, -1) y B(5 , 3) y es tangente a la recta : x + 2y - 13 = 0

Solución. Sea C(h , k) el centro de la circunferencia. (Figura 5.11)Si I AC I = I BC I = r , entonces

V(h + 3)2 + (k + 1)J = V(h - 5)2 + (k - 3)2 <=> k = 3 - 2 h (1)

www.freelibros.com


También, si I AC I = d(C , 31) = r => V(h + 3)2 + (k + l)2 = ■ 2k ■ -1—Vi + 4

de donde : 4h2 + k2 - 4hk + 56h + 62k -119 = 0 (2)Sustituyendo (1) en (2) y simplificando obtenemos :4h2 - 23h +19 = 0 <=> h, = 1 ó h, = 19/4

« k, = l ó kj = -13/4

i - d(Ct , $ ) = Ü i )-+ 2(1)' 13J = 2V5Vi +4

r2 = d(C2. <0) = *- (19/4) '■ -3- = ~ ^

Por tanto, las ecuaciones de las circunferencias soní?,: (x - l )2 + (y - l)2 = 20 , % : (x - 19/4)2 + (y + 13/4)2 = 1445/16 □

FIGURA 5.10

(E J E M P L O 1 1 ) Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje X , con centro en la recta 3? : \ + y - 7 = 0 y que pasa por el punto

A(5 ,4 )

Solución. La ecuación de la circunferencia tiene la forma, (x - h)2 + (y - k)2 = k2 (1) Si IÁCI = r => V(h - 5)2 + (k - 4)2 = k <=> h2 - lOh - 8k + 41 = 0 (2)

Si C(h , k ) e á? => h + k - 7 = 0 ■=> k = 7 - h (3)Sustituyendo (3) en (2) obtenemos :

h2 - 2h - 15 = 0 «=> h, = 5 ó h2 = -3 «• k, = 2 ó kj = 10 Por tanto , en (1), las ecuaciones de las circunferencias son :

: ( x - 5 ) 2 + ( y -2 )2 = 4 ó % : (x + 3)2 + (y - 10 )2 = 100 □

FIGURA 5.11

www.freelibros.com


(E J E M P L O 1 2 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(6 , 1) y es tangente a las rectas 5?, : 4x - 3y + 6 = 0 y

\ 12x + 5y ; 2 = 0. (Figura 5.13)

Solución. Si C(h , k) es el centro de la circunferencia ,=* d{c , , m = -d(C, , ?,)

12h + 5k - 2 4h - 3k + 6Vi44 + 25

I c p I = t r/(c, jz?) I

-V16 + 9, de donde : h =11 - 8k

V(h - 6)2 + (k - l ) 2 =14h - 3k + 6 I

Vló + 9

<s> 9h2 + 16k2 + 24hk - 348h - 14k + 889 = 0 Sustituyendo (1) en (2) obtenemos la ecuaciónW . 25k - 37 ■= 0 « k, = I 6 k, = .37/8 y ^ ^ „ 6 ^ ^

o ht = 3 ó h, = 48

I 4(3) - 3(1) + 6Vl6 + 9

= 3 y r2 = d(C2, ^ ) = ^ -

(1)

(2 )

Por tanto, las ecuaciones de las circunferencias buscadas son :: (x - 3)2 + (y - 1)2 = 9 ó : (x - 48)2 + (y + 37/8)2 = 114921/64 □

( e j e m p l o 1 3 ) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta fP : 6x + 7y - 16 = 0 y es tangente a cada una de las

rectas f?; : 8x + 15y + 7 = 0 y JZ2 : 3x - 4y - 18 = 0.

Solución. Por definición : d(C, .5?) = d(C , (Figura 5.1¿'

www.freelibros.com


^ |8h+ 15k + 7 | _ 13h - 4k - 18 I ^ 5 | gh + 15k + 7 I = 17 13h - 4k - 18 Ia/64 + 225 <9 + 16

<=> h - 13k - 31 = 0 ó 91h + 7 k - 271=0

Como C(h , k) e 3! => 6h + 7k - 16 = O(6h + 7k - 16 = 0) n (h - 13k - 31=0) = C(5 . -2)

(6h + 7k - 16 = 0) f l (91 h + 7k - 271 = 0) = C. 3 ,-2/7)

, - * r . . _ l 3 ( 5 ) - 4 ( - 2 ) - l » l 13<3) - 4-OT) - 181 . nV9T T 6 5 7

Por lo tanto, las ecuaciones de las dos circunferencias son

<¡g : ( x - 5 ) 2+(y + 2)2= 1 ó : (x - 3)2 + (y + 2/7)2 = 121/49 □


(EJEMPLO 14 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por P(2 , 3),es tangente a la recta ^ : x + y - 7 = 0, y con centro en

SBt : 3x - y -7 = 0

Solución. Por definición : I PC I = d(C , ¿ZJ) (Figura 5.15)

=> V(h - 2)2 + (k - 3)2 = I h ,^k ' 71 VI + 1

de donde se tiene : h2 + k2 - 2hk + 6h + 2k - 23 = 0 (1)Como C(h , k ) e ^ ■=> 3 h - k - 7 = 0 (2)De (1) y (2), por simultáneas, obtenemos C(3 , 2) ó C,(l , -4) r= d(C , at) = V I y r, = d (C ,, ^ ) = 5a/2 Luego las ecuaciones de las circunferencias son :

: ( x - 3 ) 2 + (y - 2)2 = 2 ó : (x - l )2 + (y + 9)2 = 50 □

www.freelibros.com


(EJEMPLO 15) Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo cuyos lados son .2?: 2 íx - 7y = 60, 2"': 5x - 12y = 70 y 2?: 3x + 4y = 14.

Solución. El centro C(h , k) de la circunferen

cia se encuentra en el incentro del triángulo (punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores).Entonces, tomando distancias dirigidas del centro C a los lados del triángulo, tendremos:

11. = -d. 24h - 7k - 60

' d2= -J, ■=» -

V576 + 49

o 19h - 17k - 110 = 0

5h - 12k - 70

5h - 12k - 70 V25 + 144

V25 + 144 V9+ Í 6

« h + 8k + 12 = 0 (2)De (1) y (2), por simultáneas, obtenemos : h = 4 Luego, la ecuación de la circunferencia es :

% ■ (x - 4)2 + (y + 2)2 = 4

FIGURA 5.16

k = -2 =* C = (4 , -2)

□

(EJEMPLO 16) Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta : 4x - 3y + 5 = 0 , de radio 5 unidades y centro sobre

4 : 2x + y = 0

Solución. Si C(h , k) e 3>2 .=> 2h + k = 0 (Figura 5.17)

r = d(C, &)« 5 . I W h - 3 k * S lV16 + 9

14h - 3k + 5 I = 25 o 4h - 3k - 20 = 0 ó 4h - 3k + 30 = 0

(2h + k = 0) n (4h - 3k - 20 = 0) = C(2 , -4)

(2h + k = 0) n (4h - 3k + 30 = 0) = C,(-3 , 6)Luego, las ecuaciones de las circunferencias son :

: (x - 2)2 + (y + 4)2 = 25 ó % : (x + 3)2 + (y - 6)2 = 25 □

{

www.freelibros.com



(E J E M P L O 1 7 ] Hallar las ecuaciones de las circunferencias que son tangentesa las rectas ^ : 7x - y - 5 = 0 y : x + y + 13 = 0 , a una de

ellas , en el punto P(1 , 2). (Figura 5.18)

Solución. Sea C(h , k). Por simple inspección vemos que P e ^

S i CPXá? c=> mcp . m, = -1 ( A l l ) ( 7 ) = -I <=> h = 15 - 7k (1)

Si r = d(C , &) = I CP i =* | h + jL ^ l3 í = V(h - l)2 + (k - 2)2v m

de donde : h2 + k2 -2hk - 30h - 34k = 159 (2)

Al sustituir (1) en (2) se obtiene : k2- k - 6 = 0<=> k = 3 ó k, = -2<=> h = -6 ó h, = 29

Por lo que, C = (-6 , 3) y C, = (29 , -2) , entonces :

r = d(C , ty = 5 2 y r, = d(C, , 3?) = 20^2 Luego, las ecuaciones de las dos circunferencias son :

1?:(x + 6)2+ ( y - 3 ) 2 = 50 y : (x - 29)- + (y '+ 2)2 = 800 □

(E J E M P L O 1 8 ) El ortocentro de un triángulo ABC es el punto H(0 ,1 ) y dos de sus vértices son M(-3 , 2) y N(1 , -6). Hallar la ecuación de la

circunferencia que contiene a los vértices del triángulo.

Solución. m = - —- = - - I c=> m = 3 0 + 3 3

www.freelibros.com


Ecuación de NP y + 6 = 3(x - 1)

<=> NP : 3x - y - 9 = 01 + 6 I

H ~ 0 - 1 ~ mMP ~ 1

Ecuación de MP : y - 2 = ~(\ + 3)

o M P : x - 7y + 17 = 0

Luego, (NP) n (MP) = P(4 , 3)Como sabemos, el circunscentro C(h , k) es el punto en que concurren las tres mediatices de los lados del triángulo MNP. Por lo que si A y B son puntos medios de los lados MN y NP, respectivamente , entonces ,

A = (-1 , -2) y B = (5/2 , -3/2)

Ecuación de la mediatriz de MN : y + 2 = — (x + 1) <=> y2 : x - 2y - 3 = 0

Ecuación de la mediatriz de NP : y + — = - —(x — ) <=> 5- : x + 3y + 2 = 03 2 3 ' 2' 2

Luego, D %) = C(1 , - l )Radio de la circunferencia : r = ICM I = V(-3 - I)2 + (2 + l)2 = 5Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es

re : (x - l)2 + (y + l)2 = 25 □

(E J E M P L O 1 9 ) Propiedad del cuadrilátero inscrito en una circunferencia

Determinar si el cuadrilátero de vértices P(5 , 3 ) , Q(2 , 6) , R(-6 , 6) y S(-1 , -9) puede ser inscrito en una circunferencia. En caso que lo sea, determinar la ecuación de la circunferencia.

Solución. Por el teorema de Tolomeo : En

todo cuadrilátero inscrito a una

circunferencia, el producto de las diagonales

es igual a la suma de los productos de los

lados opuestos. Probaremos que : l O S l x l P R l = IPQ I x I R S I + IQR I x I PS|En efecto , con los valores I OS I = V(2+ l)2 + (6 + 9)2 = 3>/26

I PR I = V(5 + 6)2 + (3 - 6)2 = n/T30 I PQ I = d(2 - 5): + (6 - 3)2 = 3VT

www.freelibros.com


I RS I = V(-l + 6)2 + (-9 - 6)} = 5>/ToI QR I = 12- (-6) 1 = 8 y I PSI = V(5 + l)2 + (3 + 9) = 6^5 , se tiene :

I QS | x I PR I =. (3^26) (VÍ30) = 78>/5I PQ I x I RS I = (3V2) (5VTo ) = 30V5 y I QR I x I PS I = 8(6^5) = 48^5

con los cuales resulta la identidad : 78VJ = 30v^ + 48VJLuego, el cuadrilátero PC ¡S es inscriptible.Si C(h , k) es el centro de la circunferencia se tendr.| PC I = IQC | c=> V(h-5) + ( k - 3 ) 2 = V(h - 2)J + (k - ó f => h - k + 1 = 0 (1)

I RC I = I SCI =* V(h + 6)2 + (k - 6)2 = V(h + I)2 + (k + 9)2 => h - 3k - 1 = 0 (2)De (1) y (2), por simultáneas, obtenemos : h = -2 , k = - l => C(-2 , -1)Radio de la circunferencia, r = I PC I = V(5 + 2)2 + (3 + I)2 = Vó5

Por tanto, la ecuación buscada es , ^ : (x + 2)J + (y + l)2 = 65 □

( e j e m p l o 2 0 ) Propiedad del cuadrilátero circunscrito a una circunferencia Determinar si el cuadrilátero de vértices A(9 , -4 ), B(9 , 11) , C (3/2,11) y D(-3 , 5) es circunscribióle a una circunferencia. Si

lo es, halle la ecuación de la circunferencia.

Solución. Según el teorema de Pitot:En todo cuadrilátero circuns

crito a una circunferencia la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos Entonces, debemos probar que

lÁBl+ICDl = |ÁD|+|BC|En efecto:

I ÁB I + |CD| = 15+ 15/2 = 45/2

IÁD I + I BC I = 15+ 15/2 = 45/2 =* I ÁB I + ICD I = I ÁD I + I BC I Luego, el cuadrilátero dado es circunscri< bible. Ecuaciones de los lados AB : x - 9 = 0 . CD : 4x - 3y + 27 = 0 BC : y -11 = 0 , AD : 3x + 4y - 11 = 0 El centro I(h , k) de la circunferencia se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos A , B , C y D. Bastará hallar las ecuaciones de dos bisectrices. Bisectriz de B : -dt = -¿2 ■=> -(h - 9) = -(k - 11) <=> h - k + 2 (1)

FIGURA 5.21

www.freelibros.com


Bisectriz de A : -d ,-d . <=> -(h - 9) = 3- * —— <=> 2h + k -14 = 0 (2)

De (1) y (2), por simultáneas, se tiene : h = 4 , k = 6 => 1(4 , 6)Radio de la circunferencia : r = \d¡\ = | h - 9 I = 14 - 9 1 = 5Por tanto, la ecuación de la circunferencia es , V : (x - 4)2 + (y - 6)3 = 25 □


1. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y en el punto S(0 , 3) y que pasa por el punto T(-2 , -1). (Guía: Ejemplo 3)

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y cuyo centro estásobre las rectas ,2? : 3x - 2y - 24 = 0 y : 2x + 7y + 9 = 0

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(-1 , 4) y estangente a la recta que pasa por los puntos A(3 , -2) y B(-9 , 3).

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3 , -2) y B(-1 , -6) y cuyo centro está en la recta 2?: x - 3y + 3 = 0.

5. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es M(-2 , 4). Hallar la ecuación de la cuerda.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,1) y B(-1 ,2) y es tangente al eje X. (Guía: Ejemplo 3).

7. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1 , 6) y B(2 , -1) y es tangente al eje Y.

8. Hallar la ecuación de la cirunferencia tangente a la recta 2? : 2y - x = 5 en el punto T(1 , 3) y que pasa por Q(-1 , 5). (Guía: Ejemplo 7).

9. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 5 ": x - 2y - 3 = 0 en el punto T(-1 , -2) y tiene radio \ !5. (Guía: Ejemplo 9).

10. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje Y con centro en la recta ^ ? : x - y + 3 = 0 y que pasa por el punto P(4 , 5). (Guía: Ejemplo 11).

11. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por A(1 , 0) y son tangentes a las dos rectas : 2x + y + 2 = 0 y : 2x + y -18 = 0. (Guía: Ej. 5).

12. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(3 , 6) y es tangente a las rectas á2 : x + y -11 = 0 y U‘ : x - 7y + 57 = 0. (Guía: Ejemplo 12).

www.freelibros.com


13. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(-2 , 4) y es tangente a las rectas 5? : 4x - 3y = 30 y ,3? : 3x + 4y = 35. (Guía: Ejemplo 12).

14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(4 , -6) y B(-8 , -2) y es tangente a la recta 3 : x - y - 14 = 0. (Guía: Ejemplo 10).

15. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrr i al triángulo cuyos lados son &l : x - y = 0 , . 2 | : x - 7y = 0 y &3 : 7x + y = 20 (Guía: Ejemplo 15).

1 Hallar la ecuación de la c ircunferencia cuyo centro está sobre la rectaS?: y - x -1 = 0 y es tangente a cada una de las rectas : 4x - 3y - 15 = 0 y : 3x + 4y - 10 = 0. (Guía: Ejemplo 13).

17. Una circunferencia tiene su centro en 3 : 2x + y + 3 = 0, pasa por el punto P(3 ,1) y es tangente a 2Py: 4x - 3y = 14. Hallar su ecuación. (Guía: Ejemplo 14).

18. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en ^ : 3x + 4y = 1 , tangente a l 2 | : 3 x - 4 y + 8 = 0 y radio 5. (Guía: Ejemplo 16).

19. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes coordenados y con centro en la recta 3 : x + 2y - 3 = 0.

20. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que teniendo sus centros en larecta .4? : 4x - 5y = 3, son tangentes a las rectas á?, : 2x - 3y = 10 yÜ¡! : 3x - 2y + 5 = 0. (Guía: Ejemplo 13).

21. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta 3 : x + y = 0, es tangente a la recta ^ : x + y - 1 = 0 y que pasa por el punto P(2 , -3).

22. Sea <0 una circunferencia con centro C(h. k), h + k = 6 , h > 0. Si 0 determina sobre el eje Y un segmento AB de 4V3u. de longitud y el área del triángulo ACB es 2V3u2. a) Hallar la ecuación de r0. b) Hallar la ecuación de la circunferencia 4?, con centro C,(-5 , -4) y tangente a r0.

23. Sean la recta X : 2x - y - 7 = 0 y el punto A(-1 , 6). a) Hallar los puntos B y C pertenecientes a 3 , tal que el AABC sea equilátero, b) Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

24. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(2 , 5) y Q (3 ,12), sabiendo que la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda PQ es 5/V2.

25. Una circunferencia es tangente a las rectas ,5? : x - y + 5 = 0 y . S | : x - y + 1=0. Si A (2 .5 ) está en la circunferencia, hallar su ecuación si la suma de las coordenadas del centro es mayor que 7.

www.freelibros.com


26. Dada la recta Sí'-: 7x + y -15V2 = 0 y la circunferencia (x -1 0V2)2 + (y - 5V¡2)2 = 25, se tienen y dos rectas paralelas de pendiente negativa, tangentes a í? y tales que cada una de ellas forman con SP un ángulo 0, donde Tg6 = 3/4. Hallar las ecuaciones de 2? y .2?.

27. Determinar si el cuadrilátero A (-5 , 7), B(-6,2), C(-2, -4) y D(10, 2) es inscriptible a una circunferencia. En caso que lo sea, hallar la ecuación de la circunferencia. (Guía : Ejemplo 19).

28. Determinar si el cuadrilátero de vértices A(19/2 , 8), B(-9/2 , 16), C(-20/3 , -4/3) y D(12 , -12) es circunscribióle a una circunferencia. Si lo es, halle la ecuación de la circunferencia (Guía : Ejemplo 20)

I B ECUACION GENERAL DE LA C IRCUNFERENCIA_________

Si desarrollamos los cuadrados de la ecuación« : (x - h)2 + (y - k)2 = r2 (1)

obtenemos:x2 + y2 - 2hx - 2ky + (h2 + k2 - r2) = 0

Esta ecuación tiene la misma forma quex2 + y1 + Dx + Ey + F = 0 (3)

y que denomina forma general de la ecuación de la circunferencia. Surge ahora lasiguiente pregunta : ¿La gráfica de la ecuación (3), es siempre una circunferencia?Para resolver la cuestión, escribimos dicha ecuación en la forma

(x2 + Dx) + (y2 + Ey) = - F Completando los cuadrados de los binomios en x e y, se tiene :

(x ’ + D x t £?)■, ( y > * E y t ^ ) = - F t

« ( * * 7 ) ' * ( » ♦ ■ § ) ' * ! < D " * E > . 4 F )

Si hacemos t = — (D2 + E2 - 4 F ), se sigue que:

(* + y ) + (y+ "f)2 =tVemos que tiene la forma de la ecuación (1), y podemos afirmar que :a) Si t > 0, la gráfica de (3) es una circunferencia de centro C(-D/2 , -E/2) y radio Vtb) Si t = 0, la gráfica de (3) es un punto (-D/2 , -E/2)c) Si t < 0, la gráfica de (3) es el conjunto vacío

www.freelibros.com

Sección 5.3: La circunferencia y tres condiciones 207

( EJEMPLO 1 J Discusión de la ecuación general de una circunferenciaDeterminar si la gráfica de la ecuación dada es una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. Si la gráfica es una circun

ferencia, dé su centro y su radio.a) í?, : 9x2 + 9y2 - 144x + 12y + 580 = 0b) <&2. 4x2 + 4y2 -12x + 8y + 77 = 0c) % : 36x2 + 36y2 - 48x - 36y + 16 = 0

Soluc ión, a) Dividiendo entre 9 y agrupando los términos de la ecuación se tiene:

(x2 - 16x) + (y2 + l y ) =

Completando cuadrados en losparéntesis obtenemos :

{x2 - 16x + 8:) + (y2 + — y + —) = - + 64 + —' 3 9' 9 9

« % : (x - 8)2 + (y + 2/3)2 = 0Luego, # es una circunferencia punto, es decir, se degeneró en su centroC(8 , -2/3).

b) Análogamente, pasando a su forma ordinaria se tiene :

: (x2 - 3x) + (y2 + 2y) = - 1 => (x2 - 3x + 1 ) + (y2 + 2y + 1) = ^ r —■ +1

<=> : (x -3/2)2+ (y + l ) 2 = -16Luego, 1?2 es una circunferencia imaginaria o conjunto vacío

o) ^ : ( x 2- i x ) + (y2-y) = - l =* (x2- i + 1 ) + (y2-y + ¿) = - i + 1 + 1

o 2/3)2 + (y - 1/3)2 = 1/4Luego, % es una circunferencia real de centro C(2/3 , 1/2) y radio 1/2 Q

m LA CIRCUNFERENCIA Y TRES CONDICIONES____________

Una circunferencia queda determinada por tres puntos distintos cualesquiera en el plano que no sean colineales.En efecto, la ecuación geperal de la circunferencia

x2 + y2 + Dx + Ey +F = 0 (1)conteniendo tres constantes arbitrarias D , E y F, muestra que para su determinación son necesarias tres ecuaciones independientes , que se obtienen mediante tres condiciones geométricas a las que debe satisfacer la circunferencia cuya ecuación particular se pretende determinar.

www.freelibros.com


{ E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5 , 4 ), B(4 , -3) y C(-2 , 5).

Solución. Sea la circunferencia V : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (1)Si A(5 , 4) e r<? ■=* (5)2 + (4)2 + D(5) + E(4) + F = 0 <=> 5D + 4E + F + 4 ] = 0 (2)

B(4 , -3) e í? => (4)2 + (-3)2 + D(4) + E(-3) + F = 0 => 4D- 3E + F + 25 = 0 (3)C(-2 , 5) e (-2)2 + (5)2 + D(-2) + E(5) + F = 0 => -2D + 5E + F + 29 = 0 (4)

Al resolver por simultáneas, las ecuaciones (2), (3) y (4), obtenemosD = -2 , E = -2 , F = -23

que sustituidas en (1) dan la ecuación buscada, esto es :« ' : x 2 + y2- 2 x - 2 y - 2 3 = 0 □

P O T E N C IA DE UN PU NTO CON R E LA C IO N A U N A C IR C U N F E R E N C IA

Potencia de un punto P, con relación a una circunferencia, es el producto constante de las distancias de ese punto a las intersecciones de una secante cualquiera trazada por P, con la circunferencia.

Sea la circunferencia<€\ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

y el punto P, (x, , y,)Si representamos la potencia por p = pot(P,), entonces por definición

p = I P^Á | . I F^B ISea a el ángulo que forma con el eje X, una secante cualquiera s trazada de P, a la circunferencia (Figura 5.22).Las ecuaciones paramétricas de s son :

www.freelibros.com

I.

Sección 5.4: Potencia de nn punto con relación a una circunferencia 209

x = x, + t Cosa -iy = y, + t Sena / ^

en donde el parámetro t es el valor algebraico del segmento que tiene por origen aP|(x, , y,) y por extremo el punto (x , y) generador de s.Sustituyendo las ecuaciones (2) en (1) se tiene(x, + t Cosa)3 + (y, + t Sena)2 + D(x, + t Cosa) + E(y, + t Sena) + F = 0=j> (Sen2a + Cos2a)t2 + (2x,Cosa + 2y,Sena + DCosa + ESena)t + x,2 + y* + Dx,+

Ey, + F = ü<=> t2 + (2\¡Cosa + 2y,Sena + DCosa + ESena)t + x,2 + y,2 + Dx1 + Ey, + F = 0 (3)Las raíces de (3) dan las distancias d[ = I P,A I y d, = I P,B I de P, a las interseccionesde 4 con la circunferencia # . Luego, p será igual al producto de las raíces de la ecuación (3), esto es: " = -

p = d t .d2= \ ‘ + y,2 + Dx1 + Ey, + F (4)Se verifica que i,: potencia de p, con relación a una circunferencia dada <: , igual al valor numérico del primer miembro de la ecuación de la circunferencia cuando se sustituyen las variables x e y, respectivamente, por las coordenadas correspondiente del punto P, (x, , y,).

OBSERVACION 5.1. Si la ecuación de la circunferencia está dada a formaordinaria CC : (x - h)? + (y - k)2 = r2 , el valor de la potencia

será :P = ( x , - h ) 2 + ( y - k ) 2- r 2 (5)

Si designamos por d la distancia del punto P ,(x,, y,) al centro C(h , k),se tiene :

d - V(x, - h)2+ (y, - k)2 luego, la ecuación (5) se puede escribir

p= d 2-r 1 (6)y ocurre que :a) Si d > r , el punto P, es exterior a la circunferencia y la potencia es positiva.b) Si d = r , el punto P, está en la circunferencia y la potencia es nula.c) Si d < r , el punto P, es interior a la circunferencia y la potencia es negativa.

(Ê JE M P L O 3 ) Verificar la situación del punto P, dado con relación a la circunferencia V, indicada.

a) P,(-1 , 3 ), V : x2 + y2 - 3x + 2y - 9 = 0b) P,(1 , -2) , : (x - 5Y + (y + 4)2 = 41c) P,(5 , -1), V : x2 + y2 - 2x + 8y - 8 =-0

www.freelibros.com


Solución, a) Usando la ecuación (4) se tiene :p = (-1)' + (3)2 - 3(-l) + 2(3) - 9 = 1 0 p> 0

Luego, el punto P, es exterior a la circunferencia Y/b) Según la ecuación (5) se sigue que

/; = ( ! - 5)2 + (-2 + 4)2 - 41 = -21 ■=> p < 0Luego, el punto P, es interior a la circunferencia rC.

c) Haciendo uso de la ecuación (4) se tiene :P = (5)2 + (-1 )2 ■ 2(5) + 8(-1) - 8 = 0

El punto P está sobre la circunferencia Y¿. Q

( E J E M P L O 4^) Longitud de la tangente a una circunferencia______________Hallar la longitud de la tangente trazada desde el punto P(6 , 4)

a la circunferencia Y : x2 + y2 + 4x + 6y -19 = 0

Solución. Si d = d(P , C) y l = I PT I

(longitud de la tangente), entonces en el triángulo rectángulo PTC :

d 2 = r; + t2 t2 = d 2 - r2 (1) si comparamos (1) con la ecuación (6) se deduce que : t l = pEs decir, la potencia de un punto P con relación a una circunferencia es igual al cuadrado de la tangente trazada del punto P a dicha circunferencia ; luego t2 = (6)2 + (4)2 + 4(6) + 6(4) - 19=81 => t = 9 □

Q OTROS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS___________________

( E J E M P L O 5 j Determinar el valor o el conjunto de valores de k de modo que la ecuación YZ: x2 + y2 - 6x + 4ky + k + 14 = 0 represente una

circunferencia real; un punto o un conjunto vacío.

Solución. Pasando la ecuación de Y'a su forma ordinaria se tiene :(x2 - 6x + 9) + (y2 + 4ky + 4k2) = - k - 14 + 9 + 4k2

«=> YZ : (x - 3)2 + (y + 2k)2 = 4k2 - k - 5a) rC es una circunferencia real <=> 4k2 - k - 5 > 0 <=> k < -1 ó k > 5/4

www.freelibros.com

O I ROS EJEM PLO S ILU STRATIVO S 211

b) es una circunferencia punto <=> 4k-’ - k - 5 = 0 o k = -l ó k = 5/4c) es un conjunto vacío <=> 4k2 - k - 5 < 0 « -1 < k < 5/4 Q

{ E J E M P L O 6 j Determinar el valor de k para que la recta SP : 3x - 2y + k = 0sea tangente a la circunferencia V : x2 + y2 - 4x + 6y - 39 = 0

Solución. La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es V : (x - 2)2 + (y + 3)-’ = 52

Entonces , C = (2 , -3) y r = '¡52Dado que r = | CT i 1 / <=> r = cl{C , 3 ‘) ,

^ 13(2) - 2(-3) + k Iesto es: v52 = --------- ---------------

V4 + 9de donde, |k + : 2 i =26 k+12 = ±26

<=> k = 14 ó k = -38 □ FIGURA 5.24

( E J E M P L O 7 ) Hallar la ecuación de la circunferencia concént ca con: 4x2 + 4y2 - 16x + 20y + 25 = 0 y que es tangente a la recta

V : 5x - 12y - 1 = 0

Solución. La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es

(x - 2)2 + (y + 5/2)2 = 4Entonces , C = 0,(2 , -5/2) y r1 = 2Radio de la circunferencia buscada :

r= J{C . 2 ) =>f= l 5(2)- 12fr5/2)- I

y25 + 144

Por lo que su ecuación es

<¡g : (x - 2)2 + (y + 5/2) = 9

= 3

□ FIGURA 5.25

( E J E M P L O 8 ) Hallar la máxima y mínima distancia del punto P(10 , 7) a la circunferencia fé : x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

Solución. La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es :

: (x - 2)2 + (y - l)2 = 25

www.freelibros.com


Entonces , C = (2 , 1) y r = 5 La potencia del punto P respecto a la circunferencia 1? esp = (10 - 2)2 + (7 - l ) 2 - 25 = 75 ■=* p > 0 Luego, P es exterior a la circunferencia. Si p = d' - r2 => 75 = ti2 - 25 => ¿y = | PC | =10 Por lo tanto :la máxima distancia es : d(P , B) = d + r = 15 y la mínima distancia : ti(P ,A ) = t i - r = 5 CD

[ E J E M P L O 9 J Hallar la máxima y mínima distancia del punto P(-7 , 2) a la circunferencia í?; x2+ y2 - 10x - 14y -151 = 0

Solución. La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es :

<8 : (x - 5)2 + (y - 7)2 = 225 Entonces , C = (5 , 7) y r = 15 La potencia del punto P respecto a la circunferencia r8 esp = (-7 - 5)2 + (2 - 7)2 - 225 = - 56 o , p < 0 Luego, P es interior a la circunferencia , y si p = d2- r2 => -56 = d2 - 225 => d = I PC I = 13 Máxima distancia : d(P , B) = r + tí = 15 + 13 = 28 Mínima distancia : d(P , A) = r - d = 15 - 13 = 2 □

[e j e m p l o 1 o J Si D y d son la mayor y menor distancia de la circunferencia 8 : x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 a la recta jí? : 3x + 4y + 6 = 0, hallar

el valor de D + d.

So luc ión . Pasando la ecuación de la circunferencia a su forma ordinaria obtene

mos <8 : (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4 => C(2 , 2) y r = 2 (Figura 5.28) Mayor distancia : D = c/(B , i?) = d(C , SU) + rMenor distancia : tí = tí(A , á?) = d(C , 22?) - rSumando ambas igualdades se tiene : .

13(21 + 4(2) + 6 I D + d = 2 d(C , 3!) = 2 I U) ,====------

www.freelibros.com

O I ROS EJtM PLOS ll.U Sl RATIVOS 213

( e j e m p lo T T ) Circunferencia circunscrita a un triánguloHallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices P(-4 , -1) , Q( 12 , 7) y R(-10 , 11). Determinar tam

bién el centro y su radio. (Figura 5.29)

Solución. Usaremos el método de la circunferencia y tres condiciones esto es , sea la circunferencia.

# : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (1)P(-4 , -I) e => 16+ 1 - 4D- E + F = 0 => 4D + E - F= 17 (2)Q( 12 144 + 49 + 12D + 7E + F = 0 => 12D + 7E + F = -193 (3)R(-10 , l l ) e «' o 100+ 121 - I0D+ I IE + F = 0 c=> IOD - 11E - F = 221 (4)

Resolviendo, por simultáneas, las ecuaciones (2), (3) y (4) obtenemos : D = -2 , E = -18 y F = -43. Luego , en ( 1) , se tiene , r<8 : x3 + y3 - 2x - 18y - 43 = 0 Pasando a su forma ordinaria se determina que

(x - 1)3+ (y -9)3= 125 =* C(1 , 9) y r = 5^5 □

E J E M P L O 1 2 ) Propiedad de la circunferencia en relación con una cuerda Dada la ecuación de una familia de rectas 3! : x - 8y + 30 +

k(x + 5y - 22) = 0 , hallar las rectas de esta familia, en las que la circunferencia 3? : x2 + y2 - 2x + 2y = 14 intercepta cuerdas de longitud 2V3.

So luc ión . La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es

: (x - 1)3+ (y + 1)3 = 16Entonces, C = (1 ,-1) y r = 4En una circunferencia el diámetro perpendicular a una cuerda, intercepta a ésta en su punto medio. Según está propiedad, si I AB | = 2V3 => | MB I = V3

www.freelibros.com


En el triángulo rectángulo CMB :I CM 12 = r- - 1 MB | ’ = 16-3 => I CM I = VÍ3 Como I CM I = d(C , X ) y si

X : (1 + k)x + (5k - 8)y + 30 - 22k = Ó

4 ñ = 1(1 + k)( 1) + (Sk- 8)(-1) + 30- 22k[V(l + k)2 + (5k - 8)2

de donde : k2 - 3k + 2 = 0 « k = l ó k = 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la familia de rectas obtenemos:X : 2x - 3y + 8 = 0 ó X : 3x + 2y - 14 = 0 □

FIGURA 5.30


1. Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una circunferencia, un punto o el conjunto vacío. Si la gráfica es una circunferencia, dé su centro y su radio,

a) 9x2 + 9y2 + 12x - 72y - 77 = 0 b) 8x2 + 8y2 - 12x - 20y + 17 = 0

c) 16x2 + 16y2 - 40x + 24y - 110 = 0 d) 25x2 + 25y2 - 20x - 30y - 87 = 0

2. Halle el valor de k de modo que la recta X : 6x - 3y + k - 5 = 0 sea tangente a la circunferencia <8 : 4x2 + 4y2 - 12x+ 16y -11 = 0 (Guía: Ejemplo 6)

3. Determinar el valor o el conjunto de valores de k de modo que la curva 'g' : x2 + y2 - 4x + 2ky + 10 = 0 tiene por gráfica :

a) Una circunferencia b) Un punto c) Un conjunto vacío

4. Existen dos rectas que pasan por el punto P(-2 , -1) y son tangentes a la circunferencia : x2 + y2 - 6x - 4y - 3 = 0. Hallar la distancia de P a los puntos de tangencia. (Guía: Ejemplo 4).

5. La longitud de la tangente trazada del punto P(3 , y) a la circunferencia 18 : x2 + y2 + 10x - 2y - 10 = 0 mide V53 unidades. Hallar la ordenada de P.

6. Determinar el valor de k para que la mínima distancia del punto P(-2 ,5 ) a la circunferencia f?; x2 + y2 - 8x + 6y + k = 0 sea de 6 unidades.

7. Si D y d son la mayor y menor distancia a la circunferencia x2 + y2 - 6x + 5y + 3 = 0 a la recta X : 3x - 4y + 6 = 0, hallar el valor de D + d.

8. Hallar la menor y mayor distancia del punto P(3 , 9) a la circunferencia

www.freelibros.com

EJERCICIOS : Grupo IX 215

í? : x2 + y2 - 26x + 30y + 313 = 0 (Guía. Ejemplo 8).

9. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con r8x : x2 + y2 - 8x + 6y - 5 = 0 y que pasa por el punto P(1 , 2).

10. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con : 4x2 + 4y2 + 16x + 12y + 9 = 0 y tangente al eje Y.

11. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices P(-4 , -7), Q(5 , 8) y R(-3 , 6). (Guía: Ejemplo 11).

12. El punto P(8 , 6) es el centro de una cuerda de la circunferencia x2 + y2 - 12x - 4y - 60 = 0. Hallar la ecuación de la cuerda y su longitud.

13. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio VÍ3 y que es tangente a la circunferencia ^ : x2 + y2 - 4x + 2y - 47 = 0 en el punto P(6 , 5).

14. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y es tangente a la circunferencia '5? : x2 + y2 - 6x - 12y - 7 = 0 en el punto P(-3 , 2).

15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(1 , 4) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 eñ el punte T(-2 1 ).

16. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y es tangente a la circunferencia x2 + y2 - 10x + 6y + 14 = 0 en el punto T(1 , -1).

17. Hallar el punto de la circunferencia <8 : x2 + y2 - 6x - 16y + 69 = 0 más distante de la recta & : x + y - 1 = 0.

18. Dada la circunferencia Vi : x2 + y2 - 10x - 14y + 49 = 0 y la recta JÉ?: x + y - 5 = 0, secante a r8. Determinar el ángulo que forma la recta !£ con cada una de las tangentes en los puntos de intersección.

19. Desde el punto A(k , -4), k > 2 , se trazan rectas tangentes a la circunferencia r8 : x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0. El segmento determinado por el punto de tangencia y el punto A, mide V5. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes.

20. Dada la circunferencia r8 : x2 + y2 + 2x - 2y - 7 = 0 y la recta & : 3x - y -15 = 0; sean y rectas paralelas a X y tangentes a la circunferencia dada en los puntos T, y T2, respectivamente. Hallar las ecuaciones de las rectas .2? y y los puntos de tangencia.

21. Dada la familia de rectas 2x - 3y + 5 + k(x + 4y - 1 1) = 0, hallar dos miembros de esta familia, los cuales interceptan a la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y - 21 = 0, cuerdas de longitud (Guía: Ejemplo 12).

www.freelibros.com


0 * 1 FA M IL IA DE CIRCUNFERENCIAS________________________

Se ha señalado que hay tres constantes esenciales en la ecuación de una circunferencia; por tanto, si se dan condiciones c|ue determinan dos de ellas, la tercera puede elegirse arbitrariamente. Por consiguiente, tenemos un sistema en el que aparece una constátite arbitraria; es decir/tenemos una familia de un parámetro, ya que a cada valor asignado a la constante arbitraria de que disponemos corresponde una circunferencia.

EJEMPLO. Cuál es la ecuación de la familia dé circunferencia con centro en la recta V\ : x - 2y - O y tangente a la recta : x - y = 0. Seleccionar el

miembro o miembros de la familia con radio igual a \2 .

So luc ión . Tenemos las tres constantes esenciales ; h , k y rUsaremos las condiciones dadas para expresar dos de ellas en funcións

a la tercera; esto es :a) Si C(h , k) e S?. >=» h - 2k = O o h = 2k

I h - k l I k lb) Por la propiedad de' las tangentés : r = d(C , £?) ■=> r = — ----- = -----

V2 <2c) Por tanto, si la ecuación ordinaria de la circunferencia es (x , h)2 + (y - k)2 = r2,

k2vemos que: (x - 2k)2 + (y - k)2 — (1)

es la ecuación de la familia de circunferencias buscada.d) Para seleccionar los miembros con radio r = V2, debemos resolver

y = ( V 2 ) 2 .=> k2 = 4 <=> k = 2 ó k = -2

e) Ahora, si sustituimos ambos valores en (1) encontramos que(x - 4)2 + (y - 2)2 = 2 ó (x + 4)2 + (y + 2)2 = 2

son las ecuaciones de los miembros buscados. □

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR LA INTER-

SECCION DE DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS

Sean las circunferencias^ : x2 + y2 + D,x + Ejy + F, = O (1)^ : x2 + y2 + D2x + E2y + Fj = O (2)

Multiplicando la ecuación (2) por k y sumando (1) formamos la ecuaciónx2 + y2 + D,x + E,y + F, + k(x2 + y2 + D2x + E,y + F2) = O (3)

www.freelibros.com

Sección 5.5.2: Eje radical 217

en donde el parámetro k e fi.

Supongamos que ^ y r<?2 se interceptan en dos puntos diferentes P|(x, . Y,) Y Pi(x2 ■ y.)- T°da vez que las coordenadas de P, y P, satisfacen lasecuaciones (1) y (2), ellas también deben satisfacer la (3), que se reduce a la forma 0 + k(0) = 0, para cualquier valor de k. Entonces la ecuación (3) representa la familia de las curvas que pasan por las intersecciones de ^ y í?,.

Para determinar la naturaleza de las curvas de esa familia, escribimos la ecuación (3) de la siguiente forma:

(k + l )xJ + (k + l)y2 + (D( + kD,)x + (E, + kE2)y + (F, + kF2) = 0 (4)

Si k = -I , la ecuación (4) se reduce a una ecuación de una línea recta, llamada ejeradical. Para k * -l , la ecuación (4) representa una circunferencia. En particular, si k = 0 , la ecuación (4) se reduce a la ecuación de r€v

E J E RADICAL__________________________________________________

Es el lugar geométrico de los puntos de igual potencia con rr 'ación a dos circunferencias ^ y ^ ; o bién, es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se pueden trazar tangentes iguales a dos circunferencia del sistema.

= 0Si en la ecuación (4) hacemos k = -I obtenemos.

<?: (D, - D2)x + (E, - E2)y + (F, - FJ = 0 (5)que representa la ecuación del eje radical.Según que el eje radical SP corte a las circunferencias í? y í? en dos, uno o ningún punto, tenemos las siguientes posiciones relativas entre ellas.

1. CIRCUNFERENCIA SECANTES. El eje radical pasa por los puntos de intersección de <Sl y <&1, y ocurre que la distancia

entre los centros es menor que la suma de los radios. (Figura 5.31)</<r, + r2

2. CIRCUNFERENCIA EXTERIORES. El eje radical pasa por el punto medio de lalínea que une los centros C, y C2, y ocurre que

la distancia de los centros es mayor que la suma de los radios. (Figura 5.32)d > r, + r2

3. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES. El eje radical es la tangente común a ambas circunfe

rencias y ocurre que la distancia entre los centros es igual a la suma de los

www.freelibros.com


radios (Figura 5.33)d = r, + r2

4. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES. El eje radical es la tangentecomún a ambas circunferen

cias y ocurre que la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios (Figura 5.34)

d = r , - r 2

I OBSERVACIONES 5.2a) El eje radical es siempre perpendicular a la linea que une los centros de las

circunferencias.b) Cuando las circunferencias son concéntricas no existe eje radical.

( j E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S

www.freelibros.com

Sección 5.5: Familia de circunferencias________________________________________ 219

( E JE M P LO 1 ) Determinar la ecuación de la familia de circunferencias con centro en á? : 2x - y = 0 y tangente a la recta : x + y = 0.

Seleccionar un miembro de la familia con centro en &3: 5x - y -6 = 0.

Solución. Ecuación ordinaria de la circunferencia (x - h)2 + (y - k)2 = r2Si C(h , k) e % =* 2h - k = 0 «■ k = 2n

I h + k I 13h I y si r = d(C , X2) => r = - = - =-

. • jyendo estos valores en la ecuación ordinaria obtenemos:

(x - h)2 + (y - 2h)2 = | h 2

Si C(h , 2h) e % => 5h - 2h - 6 = 0 » h = 2Luego, en la ecuación de la familia obtenida se tiene :

(x - 2)2 + (y - 4)2 = 18 □

( EJEMPLO 2 J Hallar la ecuación de la familia de circunferencias con centro en la curva á9: x2 = 4y y tangente al eje X, seleccionar un

miembro o miembros de la familia con el centro en la recta : 2 \ • y - 3 = 0.

So luc ión. Si C(h , k) e & ■=> h! = 4k ^ k = h2/4Como cada elemento de la familia es tangente al eje X, entonces r = k,

esto es, r = h2/4. Luego, si sustituimos estos valores en la ecucación ordinaria de la circunferencia obtenemos : (x - h)2 + (y - h2/4)2 = (h2/4)2Si C(h , h:/4) e ^ ^ 2h - h2/4 - 3 = 0 h2- 8h + 12 = 0 <=> h = 2 ó h = 6Por tanto, en la ecuación de la familia obtenida, dos miembros de esta familia sonlas circunferencias :

(x - 2)2 + (y - l)2 = 1 ó (x - 6)2 + (y - 9)2 = 81 □

(E JE M P LO 3 j Hallar la familia de circunferencias con centro en .5?: x + 3y -7 = 0 y radio 3 unidades. Seleccionar un miembro o miembros que

son tangentes a la recta Q : 5x + 12y - 5 = 0

So luc ión. Si C(h , k ) e ^ <=> h + 3 k -7 = 0>=> h = 7 -3 kLuego, en la ecuación ordinaria de la circunferencia obtenemos

(x + 3k - 7)2 + (y - k)2 = 9

Si r = d(C , Se) ■=> 3 = l 5 ( 7 - 3k)+ 12(k) - 5 l ^ | k . l 0 | _ I3 ^ k - 10= ±13V25 + 144

« k = 23 ó k = -3

www.freelibros.com


Sustituyendo en la ecuación de la familia obtenemos las ecuaciones(x + 62)2 + (y - 23)-’ = 9 ó (x - I6)2 + (y + 3)-' = 9 □

( E J E M P L O 4 J Determinar la naturaleza de las siguientes familias de circunferencias.1. x2 + y2 - 9 + k(x2 + y2 - 6x + 4y - 3) = 02. x2 + y2 - 2x - 6y + 2 + k(x2 + y2 + 8y - 2) = 03. x2 + y2 - 8x + 6y + 16 + k(x2 + y2 + 2x - 12y + 12) = 04. x2 + y2 - 6x - 2y - 159 + k(x2 + y2 - 18x - 18y + 153) = 0

Solución. 1. Sean r€x: x2 + y2 = 9 <=> 0,(0 ,0) y r( = 3% : (x - 3)2 + (y + 2)2 = 16 o C,(3 , -2) y r, = 4

Luego, d{C ,, C,) = V(3 - O)2 + (-2 - O)2 = V B y r, + r2 = 7Dado que la ci(C, , C,) < r, + r2 , tas circunferencias son secantes.

2. Sean % : (x - I)2 + (y - 3)2 = 8 <=> C,(l , 3) y r, = 2V2<G1: (x - 0)2 + (y + 4)2 = 18 ■=> C2(0 , -4) y r, = 3^2

Luego, d(C ,, C,) = V( 1 -0)2+(3 + 4)2 = 5V2 y r, + r2 = 5V2

Como la d(C, , C2) = r, + r2 , las circunferencias son tangentes exteriores.

3. Sean : (x - 4)2 + (y + 3)2 = 9 c=> C,(4 , -3) y r, = 3l)2 + (y - 6)2 = 25 =» C2(-l , 6) y r, = 5

Luego , d{C ,, C2) = V(4 + l)2 + ( -3-6)2 = VÍ06 y r, + r2 = 8 Como la d(Ct , C,) > r, + r, , las circunferencias son exteriores.

4. Sean % : (x - 3)2 + (y - l)2 = 169 ^ C,(3 , 1) y r, = 13í? ,: (x - 9)2 + (y - 9)2 = 9 o C,(9 , 9) y r2 = 3

Entonces, d(Cl , C2) = V(9 - 3)2 + (9 - l)2 = 10 y r, - r, = 10 Como la d(C¡ , C,) = r, - r2, las circunferencias son tangentes interiormente. LH

( E J E M P L O 5 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-10 , -2) y por las intersecciones de la circunferencia

í?, : x2 + y2 + 2x - 2y - 32 = 0 y la recta 32?: x - y + 4 = 0

Solución. Sea el sistema ^ + k.2? = 0 ■=> x2 + y2 + 2y - 32 + k(x - y + 4) = 0 (1)Si A(-10 , -2) pertenece a un miembro del sistema, entonces

100 + 4 - 20 + 4 - 32 + k(-10 + 2 + 4) = 0 , de donde : k = 14 Sustituyendo en (1) tendremos la ecuación de la circunferencia buscada, esto es :

x2 + y2 + I6x - I6y + 24 = 0 D

www.freelibros.com

Sección 5.5: Familia de circunferencias 221

[ EJEMPLO 6 ^ Hallarla ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta -2': 2x + y -14 = 0 y que pasa por la intersección de las

circunferencias : x2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0 y í? : x2 + y2 - 4x + 4y - 8 = 0

Solución. Sea el haz de circunferencias

W: x2 + y-’ - 8x -4y + 11 + k(x2 + y3 - 4x + 4y - 8) = 0 (1)

, , 2(4 + 2k) 2(2 - 2k) 11 - 8k „■=> x3 + y2 - -5 x - —------- y + = 0I + k 1 + k 1 + k

S i , C = > entonces el centro del haz es : C + 2^ 2 'v 2 V M + k 1 + k '

Como C e ^ 2 (——— ) + (-——) -14 = 0 , de donde , k = -1/3v 1 + k 1 ' 1+k '

Sustituyendo en (1) obtenemos : 2x3 + 2y3 - 20x - 16y + 41 = 0 Q

f EJEMPLO 7 ) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5V2/2 y que pasa por la intersección de las circunferencias : x2 + y2 + 2x

- 6y - 16 = 0 y : x2 + y2 - 6x + 2y = 0

Solución. Sea el sistema : x3 + y3 + 2x - 6y - 16 + k(x3 + y3 - 6x + 2y) = 0 (1), , 2 (I -3k) 2(3-k) 16

^ x2 + y 2 + - 7 T r x - T ^ y - r T k = 0

Si r = - VD3 + E3 - 4F => 11 = i [K L ' 3k)2 + f i l i a l +2 2 4 L (1 + k)3 (1 + k)3 1 + k-l

Efectuando obtenemos la ecuación : 5k3 + 42k - 27 = 0 «> k, = -9 ó k, = 3/5

Sustituyendo ambos valores de k en (1) se tiene :x3 + y3 - 7x + 3y + 2 = 0 ó x3 + y3 - x - 3y -10 = 0 O

f EJEMPLO 8 J Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de ^ : x2 + y2 - 6x + 4 = 0 y í?2 : x2 + y3 - 2 = 0 y que es

tangente a la recta & : x + 3y - 14 = 0.

Solución. Sea el sistema : x2 + y3 - 6x + 4 + k(x2 + y3 -2) = 0 "(1 ), , 6 2k - 4

x + y - — r x r = 01 + k 1 + kLos centros y radios de los elementos del sistema son , respectivamente :

n i 3 n\ „ r _ 1 . 4(2k - 4)

www.freelibros.com


8 ¡ , = « C . * ) . . i > a ^ 7 M 3 s T T k + 3<o» - _ H2 V(1 + k)2 1 + k VTT9

de donde resulta la ecuación : 176k2+ 328k + 71 = 0 o k = - 1/4 ó k = -71/44 Sustituyendo cada uno de estos valores de k en (1) obtenemos :

x2 + y2 - 8x + 6 = 0 ó 9x2 + 9y2 + 88x - 106 = 0 □

( EJEMPLO 91 Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias% : x2 + y2 - 2x - 10y + 10 = 0 y % : 4x2 + 4y2 - 32x - 12y + 37 = 0,

y demostrar que él mismo es perpendicular a la línea de los centros.

Solución. La ecuación del eje radical se obtiene efectuando la operación 4 ^ - í?, = 0 , esto es :

(4x2 + 4y2 - 8x - 40y + 40) - (4x2 + 4y2 - 32x - 12y + 37) = 0 o <B\ 24x - 28y + 3 = 0 Las coordenadas de los centros son : C ^ l , 5) y C2(4 , 3/2)

3/2-5 7Pendiente de la línea de los centros : m = —— — = - —

4 -1 624 6

Coeficiente angular del eje rad ica l: m = — = —¿O /6 7Entonces , m. m, = ( y ) ( - —) = - l , lo que demuestra la perpendicularidad del eje

radical con la línea de los centros. □

[ e j e m p l o 1 o ) La recta : 4x - 7y + 6 = 0 es el eje radical de las circunferencias : x2 + y2 + 2x - 2y - 23 = 0 y ^ , cuyo centro es C2(3 , -6).

Hallar la ecuación de <8r

Solución. La ecuación de en su forma ordinaria es 3)2 + (y + 6)2 = r2de donde, ^ : x2 + y2 - 6x + 12y + 45 - r2 = 0 (1)

Restando - í?2 obtenemos : 8x - 14y + r2 - 68 = 0 ■=> 2 : 4x - 7y + - (r2 - 68) = 0 es la ecuación del eje radical, y si comparamos con el eje radical dado, se deduce

que , --(r2 - 68) = 6 ■=> r2 = 80 , y sustituyendo en (1) se tiene :«■ : x2+ y2 - 6x + 12y - 35 = 0 □

[EJEM PLO 11) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es la cuerda común a las circunferencias 'K,: x2 + y2 - 18x - 16y + 45 = 0

y í?2 : x2 + y2 + 6x - 4y - 27 = 0

www.freelibros.com

Solución. Restando la ecuación de í? a la de se obtiene la ecua

ción del eje radical que contiene a la cuerda AB, esto e s :% - = 0 => 24x + 12y - 72 = 0

<=> y = 6 - 2x (1)Sustituyendo (1) en la ecuación de % , se tiene : x2 + (6 - 2x)2 + 6x - 4(6 - 2x) - 27 = 0 de donde :

x2 - 2x - 3 = 0 « x( =-1 ó x 2 = 3« y, = 8 ó y2 = 0

Entonces los extremos del diámetro AB soi A(-l , 8) y B(3 , 0)

El centro de la cir unferencia biseca el seg AB ■=> C(1 , 4) y su radio es r = d(A , C) =" Por tanto, la ecuación de la circunferencia I

« : ( x - l ) 2 + (;

EJERCICIOS Grupo 19___________________________ __

1. Hallar la ecuación de la familia de ciri recta & : 2x + y = 0 y que pasan p miembros que son tangentes a la rect

2. Hallar la ecuación de la familia de circun y tangente a : 3x + 4y - 4 = 0. Selei des. (Guía: Ejemplo3).

3. Hallar la ecuación de la familia de circ en T(5 , -3). Seleccionar un miembro c

4. Determinar la naturaleza de los siguie

a) x? + y2 - 2x - 6y - 6 + k(x:

b) x2+ y2 + 6x - 4y + 8 + k(x

c) 4x2 + 4y2 - 9 + k(x2 + y2 -

d) xJ + y2 - 6x + 2y - 39 + k(

223

1 + 1)2+ (4- 8)2 = V20 jscada es- 4)2 = 20 □

: Grupo 19

:unferenicas que tienen su centro en la x el origen. Seleccionar un miembro o a ^ : x + 2y + 4 = 0

ferencias con centro en SP,: 3x - y + 1 = 0 ¡cionar los miembros con radio 6 unida-

jnferencias tangente a á? : 3x + 4y = 3 ;on centro en C(2 , -7).

ntes sistemas de circunferencias

1 + y2 + 4x - 6y + 9 ) = 0

2 + y2 - 16y + 44) = 0

4x + 3y + 2) = 0

x2 + y2 + 2x - 4y + 1) =0

www.freelibros.com


5. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(-8 , 5) y por las intersecciones de las circunferencias : x2 + y2 - 8x - 6y + 17 = 0 y : x! + y2 - 18x - 4y + 67 = 0. (Guía: Ejemplo 5)

6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por la intersección de 'g', : x2 + y2 - 4x - 3 = 0 y r<?2 : x2 + y2 - 4y - 3 = 0, y cuyo centro está en la recta X : x - y - 4 = 0. (Guía: Ejemplo 6)

7. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5/2 y que pasa por la inter - sección de las circunferencias : x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0 y í?2 : x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0. (Guía: Ejemplo 7)

8. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las circunferencias: x2 + y2 - 3x - 6y + 10 = 0 y r€2 : x2 + y2 = 5 en su punto común y que es

tangente a la recta SU : x - 2y -1 = 0

9. Demostrar que las circunferencias : x2 + y2 - 3x - 6y + 10 = 0 y í?2 : x2 + y2 = 5 son tangentes. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a y en su punto común y que pasa por el punto A(7 , 2). Demostrar que el centro de esta circunferencia está sobre la línea de los centros de réy y #2

10. Hallar la ecuación dé la circunferencia que pasa por la intersección de í? ,: x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0 y : x2 + y2 + 16x - 6y - 8 = 0, cuyo centro está en SB : 2x + 4y + 3 = 0.

11. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias : 9x2 + 9y2 - 54x - 48y + 64 = 0 y í?2: x2 + y2 + 8x - 1 0y + 37 = 0, y demostrar que es perpendicular a la línea de los centros. (Guía: Ejemplo 9)

12. Hallar las coordenadas del centro radical de las circunferencias r€y : x2 + y2 + 2x - 4y - 6 = 0 , : x2 + y2 - 4x - 2y = 0 y % : x2 + y2 + 2x + 12y + 36 = 0 (Sug.

- '#2 = Xy , <&'3 - ré¡2 = X2, luego , Xy D X2 - centro radical).

13. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la cuerda común de las dos circunferencias : x2 + y2 + 2x - 2y -14 = 0 y <& : x2 + y2 - 4x + 4y - 2 = 0 (Guía: Ejemplo 11).

14. El centro de una circunferencia está en la recta X : x + y = 0. Hallar la ecuación de esta circunferencia, si se sabe que pasa por el punto de intersección de las dos circunferencias <¡gy : (x - 1)2 + (y + 5)2 = 50 y r&2 : (x + 1)2 + (y + 1)2 = 10.

15. La recta X : x - y - 2 = 0 es el eje radical de las circunferencias í?, : x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0 y , cuyo centro es C2(-3 , 2). Hallar la ecuación de í?2.

www.freelibros.com

Sección 5.6: Tangentes a una circunferencia 225

m TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA___________________

Existen dos métodos para determinar las ecuaciones de las tangentes a una circunferencia dada.

PRIMER METODO. Consiste en la aplicación de la propiedad fundamental de la

circunferencia. “La tangente a una circunferencia es perpen- 1 'ular al radio en el punto de contacto, y por lo tanto, el radio es igual a la distancia

de ¡ tangente al centro de la circunferencia” .

( EJEMPLO 1 ) Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia í?: x2 + y2 = r2 en el punto de tangencia T(x, , y,).

Solución. La eci ación de la tangente X que pasa por T es :

y -y, = m(x-x, ) (1)

— yLa pendiente del radio CT es : m, = —L- x 1

Siendo X ± CT ==> m = - —!■y i

xLuego, en (1), se tiene y - y, = - —i(x - x )

y i■=> x,x + y,y = x,2 + y,2 (2)

Pero como T(x, , y,) e W >=> xt2 + y,2 = r2

Por lo que en (2), la ecuación de la tangente es riuui-i« o.joX : x,x + y,y = r2 (7)

Aplicación. Si T(-l , 2) y <# : x2 + y2 = 5 , según la fórmula (7), la ecuación de la

tangente es

X : (-l)x + (2)y = 5 <=> á? :x -2y + 5 = 0 Análogamente, para la circunferencia de ecuación

1?: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 la ecuación de la tangente en el punto de tangencia T(x, , y,) es:

X : (x, - h)(x - h) + ( y , - k ) ( y - k ) = r2 (8)Aplicación. Dados T(-5 , 7) y % : (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25 , la ecuación de la tangente,

según la fórmula (8), es:X : (-5 + 2)(x + 2) + (7 - 3)(y - 3) = 25 X : 3x - 4y + 43 = 0

www.freelibros.com

SEGUNDO METODO El método optativo o del discriminante_____________________Por estudios del Algebra sabemos que la fórmula

_ -b ±Vb2-4ac 2a

determina las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 , en términos de los coeficientes a , b y c. El valor del discriminante, A = b2 - 4ac , determina la naturaleza de las raíces. Asi para

i ) b2 - 4ac > 0 , hay dos raíces reales distintas ¿¿) b2 - 4ac = 0 , hay una sola raiz real

U l ) b2 - 4ac < 0 , las raíces son imaginarias.

Se puede combinar estos conceptos con la posición de una recta respecto a una circunferencia. Una recta y una circunferencia tienen 0 , 1 ó 2 puntos en común.No tienen ningún punto común si b2 - 4ac < 0, es el caso de .2? en la Figura 5.37.T ienen exactamente un punto común <=> b2 - 4ac = 0, en este caso Se es la tangente a la circunferencia.Tienen dos puntos en común <=> b2 - 4ac > 0, en este caso es una secante a la circunferencia.

[ E JEM PLO 2 j Hallar los valores de k de modo que la recta y = kxa) corta a la circunferencia : x2 + y2 - 10x + 16 = 0b) es tangente a esta circunferenciac) pasa fuera de esta circunferencia

Solución. Sustituyendo y = kx en la ecuación de la circunferencia se tiene :x ! + (kx)2 - 10x + 16 = 0 <=> (1 + k2)x2 - lOx + 16 = 0 (1)

Si comparamos esta ecuación con ax2 + bx + x = 0, vemos que: a = l + k 2,b = -10y c = 16, entonces el discriminante de ( 1 ) es :

A = (-10)2 - 4(1 + k2)( 16) = 4(9 - 16k2)

a) 2' corta a 4 (9 -16k2) > 0 => k2 < 7 7 <=> - - < k < 416 4 4

b) Se es tangente a r€ « 4(9 - 16k2) i 0 => k2 = 9/16 « k = - 3/4 ó k = 3/4

c) 2’ no corta a f « 4(9-1 ók2) <0 =* kz > — k < - 3/4 ó k > 3/4 □

226______________________________________________ . Capítulo 5: La circunferencia

www.freelibros.com


DEFINICION 5.1 Cuerda de contactoSe denomina cuerda de contacto al segmento de recta que

une los puntos de contacto de las tangentes trazadas desde un ponto exterior a una circunferencia.

ECUACION DE LA CUERDA DE CONTACTO

Sean A(x2, y,) y B(x3 , y3) los puntos de

tangen< ¡ y P(x, , y,) el punto exterior a la circunferencia

: x2 + y2 = r2 Por la fórmula (7), la ecuación de la tangente AP e s ,

X : x2x + y2y = r2 Como P(x, , y,) e .2? => x2 x, + y2 y, = r2

=> x2 = -r- Yy ' y-2 (1)

fY>

A

t * / ✓ #/ 1

#\ / \ / \ / \ f

/ \ i /

O

..

B

Si.... .................. .. - ____/

A ( x 2 , y , ) e x 22 + y 22 = r2 + y / = r 2

de donde : ( x , 2 + y , 2) y 22 - 2 ( r 2y , ) y 2 + (r4 - x , 2r2) = 0

FIGURA 5.38

_ n _ i ^ . l V r t f . M V + y.'Hr4- V r 1) r2y, ± Vx,2r2(x,2 + y,2 - r2)

= -----------¡7 -7 7 ----------• ,2)En el AOAP : I OP 12 = IAO12 + | AP | 2 c=> x,2 + y,2 = r2 + t2 ^ t2 = x,2 + y,2 - r2

r2y, + x . r t ____ _ , „ v r2x , - r y . tLuego, en (2): y2 = ' v '2' , sustituyendo en (1 ) : x, =x, + y x,2 + y,2

Como AB 1 OP => (m )(m ) = -1 => m4„ = - —AB*' OP'

X

(9)

c - ^ AD " I , > r2y , + x.r t x. , r2x. - ry.t.Ecuación de AB : y - y = - — (x - x,) y - - _ ! -----!— = - — (x - — !— — )y, x,2 + y,2 y, x,2 + y,2'

de donde obtenemos la ecuación de la cuerda de contactox,x + y,y = r2

Nótese que las ecuaciones (7) y (9) son similares, la diferencia está en que las coordenadas x, e y,, en (7), pertenecen al punto de tangencia T, y en (9) al punto exterior P.Análogamente, para una circunferencia de ecuación

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 la ecuación de la cuerda de contacto es

2 : (x, - h)(x - h) + (y, - k)(y - k) = r2 (10)

www.freelibros.com


( E J E M P L O 3 ) Desde el punto P(2 , -3) se han trazado tangentes a la circunferencia W: x2 + y2 - 2x + 10y + 22 = 0. Hallar la ecuación de la

cuerda que une los puntos de contacto.

Solución. Pasando la ecuación de la circunferencia a su forma ordinaria se tiene

r#\ (x - 1)2 + (y + 5)z = 4 Si x. = 2 , y =-3 , h= 1 , k = -5 y r = 2, la ecuación de la cuerda de contacto según la fórmula (10), es:

(2 - l)(x - I) + (-3 + 5)(y + 5) = 4<=>,2?:x + 2y + 5 = 0 Q

□ OTROS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( EJEM PLO 4 ) Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto P(-2 , 7) a la circunferencia 2? : x2 + y2 + 2x - 8y + 12 = 0

Solución. Si <&: (x + l)2 + (y - 4)J = 5 ■=> C(-l , 4) y r = V5 Las tangentes que pasan por P

tienen por ecuación : y - 7 = m(x + 2)< = >á? :m x -y + 2 + m + 7 = 0 (1)

I -m - 4 + 2m + 7 1Si r = d(C , &) V5 =

Vm2 + I

de donde : V5m2 + 5 = I m + 3 1 <=> 2m2 -3m + 2 = 0 o m = 2 ó m = - l / 2 Sustituyendo cada uno de estos valores en (1) obtenemos.2?: 2x - y + 11 = 0 ó 32?: x + 2y - 12 = 0 □ FIGURA 5.39

( EJEM PLO 5 J Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia ^ : x2 + y2 + 6x - 8 = 0 que son perpendiculares a la recta

32?, : 4x - y + 3 = 0

Solución. SI '€ : (x + 3): + (y - 0) = 17 => C(-3 , 0) y r = VÍ7La familia de rectas que son perpendiculares a (1\ está representada por

32?:x + 4y + k = 0 (1)

Si r = d(C , 32?) VI7 = l~3 + 4 (°> + k l t=>| k - 3 l = 1 7 < » k = 2 0 ó k = - 1 4Vi + 16

www.freelibros.com


Luego, en (1), tenemos las ecuaciones buscadas5?: x + 4y + 20 = 0 ó : x + 4y - 14 = 0 CU

i__________{ EJEMPLO 6 ) Sea la ecuación de una familia de rectas

& : 3x + 4y - 10 + k(3x - y - 5) = 0. Hallar las rectas de estafamilia que son tangentes a la circunferencia ^ : x2 + y2 + 2x - 4y = 0

Solución. Si í? : (x + I )- + (y - 2)2 =5 => C(-1 , 2) y r =V5

: (3 + 3k)x + (4 - k)y - 10 - 5k = 0 (1)

Si r = d(C , X ) * I (3 + 3k)(-l) + (4 - k)(2) - 10 - 5k 1V(3 + 3k)2 + (4 - k)2

de donde : V2k2 + 2k + 5 = 12k + 11 ■=> k2 + k - 2 = 0 <=> k = -2 ó k = lLuego, en (1), obtenemos, S : x - 2 y = 0 ó J?:2x + y - 5 = 0 O

( EJEM PLO 7 ) Hallar en la circunferencia <G\ 16x2 + 16y2 + 48x - 8y - 43 = 0el punto P más próximo a la recta ,S?t : 8x - 4y + 73 = 0 calcular

la distancia del punto P a esta recta.

Solución. Si : (x + 3/2)2 + (y - 1/4)2 = 5 ,=> C(-3/2 , 1/4) y r = V5

Las tangentes que son paralelas a ^ , tienen por ecuación

t : 8x - 4y + k = 0 (1)

s í , ^ ( C . , ) b , V s J 8(-3/2) - 4IV64+ 16

=> I k - 13 I =20 o k - 13 = 20 ó k -13 = -20

« k = 33 ó k = - 7En (1) tenemos,

t : 8x - 4y + 33 = 0 ó t, : 8x - 4y - 7 = 0 El punto P buscado se halla en la intersección de la tangente t con la recta _L ^ que pasa por C, cuya ecuación es :

y ‘ Í = í (x + | ) ° ^ : x + 2y + 1 = 0

Luego, t D 5? = P(-7/2 , 5/4) y d(P , 22?) = d(t , á?) = * 73 ' ?—■ = 2<5 □V64+ 16

www.freelibros.com


( E J E M P L O 8 j Desde el punto P(-9 , 3) se han trazado tangentes a la circunferencia V. : x2 + y2 - 6x + 4y - 78 = 0. Calcular la distancia del

centro de la circunferencia a la cuerda que une los puntos de contacto.

Solución. Reduciendo la ecuación de la circunferencia a su forma ordinaria obtenemos, 2?; (x - 3)1 + (y + 2)2 = 91 =* C(3 , -2) y r = V9Í

La ecuación de la cuerda de contacto, según la fórmula (10), es :(-9 - 3)(x - 3) + (3 + 2)(y + 2) = 91 « SP : 12x - 5y + 45 = 0

. . . d i c . í i . i a j M i S ! . , □VI44 + 25

[ EJEM PLO 9 ^ Sea rP una circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4 , SPy una recta que pasa por el punto A(4 , -2), tiene pendiente negativa y es

tangente a W en el punto P. 2? es la recta que pasa por el origen y el punto P. Determinar la ecuación de la recta SP sabiendo que el ángulo entre 22, y S P es 45® y es tangente a la circunferencia <g. (Figura 5.41)

Solución. La ecuación de la tangente SPX que pasa por A(4 , -2) es :

y + 2 = m(x - 4) ■=> 2?: mx - y - (2 + 4m) = 0

Si r = d(0 , SP.) <=> 2 = + /tn-1 ■ •=> VmJ + 1 = | 1 + 2m | m = 0 ó m. = - 4/3Vm2 + 1

Como SI.■ contiene a O P 1 2? o m2 = 3/4

m - nv m - 3/4Si Tg 45° = ^ i = — — - <=> m = 7

1 + m.m2 1 + 3m/4

Luego la ecuación de la tangente SP e s : y = 7x+¿ ■=> SP : 7 x - y + b = 0 (1)

También , r = d(0 , SP) <=> 2 = ■ . ^ *=> b = ± 10^2V49+1

Por lo tanto, en (1), las ecuaciones buscadas son, SP : 7x - y ± 10V2 = 0 □

[ e j e m p l o 1 0 ) Hallar el ángulo agudo formado por la intersección de la recta SP : 3x - y - 1 = 0 y la circunferencia x2 + y2 - 4x - 1 = 0

Solución. El ángulo formado por una recta y una circunferencia es aquel comprendido , entre la recta y la tangente a ésta trazada en el punto de

intersección. Luego, siSP =P,(0, - l ) y P 2(l ,2), y si 2?: (x - 2)2 + (y - O)2 = 5

entonces, por la fórmula (8), la ecuación de la tangente en el punto P,(0 , -1) es :

www.freelibros.com


(O - 2)(x - 2) + (-1 - 0)(y - 0) = 5 t, : 2x + y + I = O Los coeficientes angulares de f£ y t, son : m = 3 y m1 = -2

Si Tg0, =m - m.

1 + m.m.Tg0, =

3 - (-2)= 1 0, = 45°

Por la simetría de la G ra f^ ) , el ángulo 0, = 45° (Verificar) □

(E J E M P L O 1 l ) Dada la circunferencia í?: x2 + y2 - 2x - 8y 8 = 0 y dos puntos fijos A(13 , 2) y B(16 , 6). Hallar sobre la circunferencia los

puntos P y R que unidos con A y B determinen triángulos de área máxima y mínimarespectivamente.

Solución. Si trazamos la tangente .5? 11 AB, cualquier triángulo de base AB cuyo tercer vértice está sobre J2- tendrá la misma altura RH, es decir, tendrá la misma área que el AABR. Cualquier otro punto sobre ^ , distinto de R, el D por ejemplo, estará encima de la tangente, y su altura será mayor que RH , por lo que su área será mayor. Luego el AABR será el de área mínima. Por un razonamiento similar, el AABP será de área máxima. Determinemos, entonces, los puntos P y R.Centro de la circunferencia :

6-2 _ ±16-13 3

C(1 , 4) , m.B =FIGURA 5.43

www.freelibros.com


La ecuación de la recta que pasa por C y es perpendicular al segmento AB es :

y -4 = - ¿ ( x - 1) <=> 2?: 3x + 4y -19 = 0 .Luego, f | = R(5, 1)y P(-3,7). Conociendo los vértices de los triángulos ABR y ABP podemos determinar sus áreas por medio de determinantes. Por tanto, las áreas mínima y máxima son, respectivamente :

a(AABR) = 14.5 u2 y a(AABP) = 39.5 u2. CU

(EJEMPLO 12) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia : (x - h)2 + (y - k)2 = r2 perpendiculares a la

recta 2? : Ax + By + C = 0

Solución. La familia de rectas perpendiculares a 2? es 3} : Bx - Ay + X = 0Los miembros de esta familte que son tangentes a la circunferencia # ,

tienen la propiedad de que la d(C , .S?) = r , esto es; si|B h - A k + X| , .. ou ^ rj-.— 57r = -— - .........- => \ = Ak - Bh ± r VA2 + B2

VB2 + A2Por tanto, si sustituimos este valor en 5? , tendremos las ecuaciones de las dos tangentes buscadas : Bx - Ay + Ak - Bh ± r VA2 + B2 = 0 [H


1. Desde el punto A(5/3 , -5/3) se han trazado tangentes a la circunferenciax2 + y2 = 5. Hallar sus ecuaciones. (Guía: Ejemplo 4).

2 . Hallar la ecuación de la tangente en el punto T(-2 , 3) a la circunferenciaV : x2 + y2 - 10x + 2y - 39 = 0.

3. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia r<? : x2 + y2 + 10x - 2y + 6 = 0 que son paralelas a la recta 2? : 2x + y - 7 = 0. (Guía: Ejemplo 5)

4. Hallar jas ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x2 + y2 - 2x + 4y = 0 que son perpendiculares a la recta r£ : x - 2y = 0 (Guía: Ejemplo 5).

5. Desde el punto P(6 , -8) se han trazado tangentes a la circunferencia x2 + y2 = 25. Calcular la distancia del punto P a la cuerda que une los puntos de contacto.

6. Desde el punto P(4 , -4) se han trazado tangentes a la circunferencia x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0. Calcular la longitud de la cuerda que une los puntos de contacto.

7. Desde el punto P(1 , 6) se han trazado tangentes a la circunferencia x2 + y2 + 2x - 19 = 0. Hallar sus ecuaciones. (Guía: Ejemplo 4)

www.freelibros.com

Sección 5.7; Lugares geométricos relativos a la circunferencia 233

8. Deducir la condición según el cual, la recta y = kx + b es tangente a la circunferencia í? : x2 + y2 = r2.

9. Sobre la circunferencia x2 + y2 = 20 hallar dos puntos tales que sus distancias a la recta 3 : 2x - y + 12 = 0 sean mínima y máxima respectivamente.

10. De la familia de rectas x + 2y - 3 + k(x - 3y + 2) = 0, hallar la recta que sea tangente a la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y = 0. (Guía: Ejemplo 6).

11. Determinar el valor de k de modo que la recta <?■ : x + 7y + k = 0 sea tangentea la circunferencia í? : x2 + y2 - 4x + 6y + 5 = 0.

12. Deducir la condición según el cual dos circunferencias ^ : (x - h,)2 + (y - k,)2 = r,2y (x • h2)2 + (y - k?)2 = r22 se cortan formando un ángulo recto.

13. Dada la circunferencia r& : x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0 y dos puntos fijos A(-4, -11) y B(0 , -8). Hallar sobre la circunferencia los puntos P y R que unidos con A y B determinan triángulos de área máxima y mínima respectivamente. (Guía: Ejemplo 11).

14. Dados los puntos A(6 , 4 ), B(5 , -1) y la recta 3! : 2%_- 3y + 13 = 0, hallar sobre la recta el punto desde el cual se ve el segmento AB bajo un ángulo recto.

15. Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la circunferenci ■2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 en el punto de contacto T (x , . y,) es :

XX, + yy, + f ( x + X,) + 2 (y + y,) + F = 0.

F C T L U G A R E S G E O M E T R I C O S R E L A T I V O S A U N A C I R C U N F E R E N C I A

En relación con la resolución de problemas sobre los lugares geométricosrelativos a una circunferencia, seguiremos el procedimiento general establecido enel capítulo 3.

( E J E M P L O 1 ) Sea 'g’ = {(x , y) e R! I x2 + y2 - 6x = 0}. Sean el segmento OB y P el punto medio de OB. Hallar la ecuación del lugar geomé

trico determinado por P si B recorre todo el conjunto % si O es el origen de coordenadas. (Figura 5.44).

Solución. Si rft : (x - 3)2 + (y - 0)2 = 9 ■=> C(3 , 0)1. Sea P(x , y ) un punto del lugar geométrico

SiB(x, , y , ) e ré => (x, - 3)2 + y,2 = 9 _ (1)2. Como e! punto P biseca al segmento OB, entonces x, = 2x , y, = 2y

sustituyendo en (1) se tiene : (2x - 3)2 + (2y)2 = 9

www.freelibros.com


3. De donde : (x - 3/2)- + (y - O)2 - 9/4El lugar geométrico obtenido es una circunferencia con centro en 0^3/2 , 0) y radio 3/2. CU

( EJEM PLO 2 ) Desde un punto P, se trazan tangentes a las circunferencias ^ : xJ + y2 = 9 y rC2: x2 + y2 - 8x + 12 = 0. Si la longitud de la

tangente trazada a es siempre igual al doble de la longitud de la tangente a í?,hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico.

Solución. Si : x2 + y2 = 9 ■=* C,(0 ,0) y r, = 3: (x - 4)2 + y2 = 4 o C,(4 .0) y r, = 2

1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico2. Por el problema : I AP I =2 I BP I

=> I ÁP 12 = 4 I BP 12=* I PC, 12 - r,* = 4 ( I PC, I 2 - r2-)=> I (x2 + y2) - (3)2 = 4 [(x - 4)2 + y2 - (2)2)

3. De donde obtenemos : 3x2 + 3y2 - 32x + 57 = 0. En consecuencia, la ecuación del lugar geométrico es una circunferencia. CU

•

Yip

í r,\ / Al c, l 1 cT J >

vFIGURA 5.44 FIGURA 5.45

( E J E M P L O 3 J Un punto P se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias a las rectas ¿Z?, : 3x - y + 4 = 0 y

: x + 3y - 7 = 0 es siempre igual a 2. Hallar e identificar el L. G. descrito por P.

Solución. 1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico2. Por la condición del problema : [d(p _ y ))* + [^(p , j?)]-’ = 2

www.freelibros.com

Sección 5.7: Lugares geométricos relativos a la circunferencia 235

^ rl3x- y + 4 M + rlx + 3y-^7h1 _ 2 ^ . + _L V9 + 1 J L NÍTT9 J

3. De donde : 2x2 + 2y2 + 2x - lOy + 9 = 0 => W : (x + 1/2)-’ + (y - 5/2)2 = 11El lugar geométrico es una circunferencia de centro C(-l/2 , 5/2) y radio r = VTÍ.

E J E M P L O 4 ) Qué lugar geométrico describe un móvil P(x , y) si las rectas que lo unen a dos puntos A(4 , 0) y B(-4 , 0) forman un ángulo

459.

Solución. 1. Sea P(x , y) un punto del L. G.y

2. Si m = mRP =* m, = —1 BP 1 x + 4

m2 = mAP =* m2 = —m, - m,

Si Tg45° = 1 ■=> 2 11 + m2. m(

= 1

m2 - mt = 1 + m2. m,

— = l + ( _ L . ) ( _ J L )+ 4 'x - 4' 'X + 4'x - 4 x

3. De donde obtenemos : x2 + y2 - 8y - 16 = 0

o (x - O)2 + (y - 4)2 = 32. El lugat-^gométrico FIGURA 5.46es una circunferencia de centro C(0 , 4) y radio r = V32 □

f EJEMPLO 5 J Una rueda de centro en O y radio r gira en un plano vertical.Del extremo A de un diámetro permanece rígida tangencial-

mente una varilla AP de longitud (. ¿Qué lugar geor étrico describe su extremo P.? (Figura 5.47)

Solución. 1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico.

2. Las coordenadas de P en términos cíei parámetro 0 son : x = OB + BR = r Cose + ( Sentí ] y = BA - QA = r SenG - ( CosO -1

3. Eliminación del parámetro 0 de las ecuaciones (1):x2 = r2 Cos20 + 2r( SenG CosG + é2Sen20 y2 = r2Sen20 - 2rf SenG CosG + f 2Cos2G

«=> x2 + y2 = r2(Cos-’G + Sen'G) + ¿?(Seri!0 + Cos20)x2 + y2: r2 + t2

P describe una circunferencia de centro en el erigen y e dio |OP | = ./ r2 * P

(1)

□

www.freelibros.com


( E J E M P L O 6 ^ Graficar y hallar el dominio y rango del lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de longitud 8 en la circunferen

cia r€ : x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0

Solución. La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es

V : (x - l ) 2 + (y + 2)2 = 25 => C(1 , -2) y r = I ÁC I = 51. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico. Si I AB | = 8 ■=> I AP ! = 42. En el triángulo rectángulo APC : I AC 12 = I AP 12 + I PC 12 ■=> 25 = 16 + I PC 12

c=> I PC I = 3 . Esto es, si d(P , C) = 3 => V(x - l)2 + (y + 2)2 = 33. De donde obtenemos : í?,: (x - l)2 + (y + 2)2 = 9

El lugar geométrico es una circunferencia concéntrica con la circunferencia y radio r, = 3

Dominio del L. G .: D = [h - r, , h + r,] = [-2 , 4)Rango del L. G. : R = [k - r, , k + r,] = [-5 , 1] Q



1. Hallar el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias al origen y a S(1 , 2) es 25.

2. Hallar la ecuación satisfecha para un conjunto de puntos si cada uno de ellos es el punto medio de un segmento desde la circunferencia x2 + y2 = 4r2 hasta el punto A(2a , 0).

3. Desde el punto P, se trazan tangentes a las circunferencia í?, : x2 + y2 = 9

www.freelibros.com


y : x2 + y2 - 10y + 9 = 0. Si la longitud de la tangente trazada a <& es siempre el doble de la longitud de la tangente a í? , hallar e identificar el lugar geométrico. (Guía: Ejemplo 2).

4. Un segmento AB es tal que A es el punto (2 , 2), mientras que B se mueve de tal modo que siempre está sobre la circunferencia x2 + y2 = 1. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios del segmento.

Dada la circunferencia x2 + y2 - 8x = 0, se traza un radio cualquiera CM, y lesde M, se dibuja la ordenada MN de dicha circunferencia; a partir del centro

y sobre el radio CM, se considera un segmento CP = MN. Hallar el lugar geométrico de los puntos P, trazar e identificar el lugar geométrico.

6. Una rueda de centro 0 y radio 5 unidades gira en un plano vertical. Del extremo A de un diámetro, cuelga una varilla metálica AB, articulada en A, y de longitud I AB I = 2 unidades. Al girar la rueda, la varilla permanece en posición vértical. ¿Qué lugar geométrico describe su extremo B?. (Guía: Ejemplo 5).

7. Sea la circunferencia <¡ú!~ {(x , y) e W \ x2 + y2 - 8y = 0}. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico determinado por el punto medio P le1 - amento AB. Si A = (6 , 0) y B recorre todo el conjunto 'í?.

8. Por el punto A(-2 ,1 ) pasa una familia de rectas, y desde B(2 , -5) se traza una perpendicular a cada recta de la familia que pasan por A. Hallar el lugar geométrico de las intersecciones de las rectas y sus perpendiculares.

9. Dada la circunferencia : x2 + y2 = 16 , a partir del extremo superior A del diámetro vertical se traza una cuerda AM, la cual se prolonga en una magnitud MP = AM. Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por los puntos P.

10. Se une el punto P(a , b ) con su simétrico P’ respecto al origen. Por P” , proyección de P sobre el eje Y, se traza una recta cualquiera, sobre la cual se proyectan P y P \ Hallar las ecuaciones que generan dichas proyecciones cuando la recta que pasa por P" gira alrededor de ese punto.

11. Desde el punto fijo A(4 , 0) se trazan segmentos AB con B sobre la gráfica de la ecuación ré : (x - 4)2 + (y + 1)2 = 4. Si P e AB es tal que 3AP = 2AB, hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto P.

12. Por el origen de coordenadas se han trazado todas las posible cuerdas a la circunferencia r<S: (x - 8)2 + y2 = 64. Hallar la ecuación del lugar geométrico delos puntos medios de estas cuerdas

www.freelibros.com


0 3 C O N J U N T O D E P U N T O S A S O C I A D O S C O N C I R C U N F E R E N C I A S

Asociados con la circunferencia , que es la gráfica de la relación R, = {(x , y) e R21 (x - h)2 + (y - k)2 = r2}

están las gráficas de las relacionesR, = {(x , y) e R21 (x - h)2 + (y - k)2 < r2} , R4 = {(x , y) e * 21 (x - h)2 + (y - k)2 < r2} R, = {(x , y) e R21 (x - h)2 + (y - k)2 > r2} , Rs = {(x , y) e R11 (x - h)2 + (y - k)2 > r2}

La gráfica de R,consiste en todos los puntos del plano que están dentro de la circunferencia C (Figura 5.49), y la de R3 en todos puntos del plano que están fuera de ella (Figura 5.50).

La gráfica de R4 consiste en todos los puntos del plano del que están dentro de, o sobre la circunferencia ^(F igura 5.51) y la de R5, en todos los puntos del plano que quedan fuera de, o sobre ella (Figura 5.52).


www.freelibros.com

Sección 5.8: Conjunto de punios asociados con circunferencias 239

( E J E M P L O 1 ) Construir la gráfica de la relaciónR = {(x , y) e R2 \ x2 + y2 > 4 , x2 + y2 < 9}, halle su dominio y su

rango.

Solución. La relación R es la intersección de los conjuntos :

R, = {(x , y) £ R21 x2 + y2 > 4} y R, = {(x , y) e R11 x2 + y2 < 9}La gráfica de R( es el conjunto de puntos que están fuera de , o sobre la fronteraí? : x3 + y3 = 4; en tanto que R3 es el conjunto de puntos que están dentro de, o sobre la frontera 'K,: x2 + y3 = 9. Por tanto , R es el conjunto de puntos que están sobre, o comprendido entre las circunferencias ^ : x2 + y2 = 4 y <Sl : x2 + y2 = 9.De la Gr(R), mostrada en la Figura 5.53, se deduce fácilmente que :

Dom.(R) = Ran(R) = [-3 , 3j □

[ E J E M P L O 2 ) Construir la gráfica y hallar el dominio y rango de la relación R = {(x . y) 6 I x2 + y2 + 4x - 2y - 20 < 0 , x + y + 2 < 0}

Solución. La gráfica de R es la intersección de las gráficas de

R, = {(x , y) I (x + 2)3 + (y - l)2 < 25} y R, = {(x , y) I y < - xComo la Gr(R,) es el conjunto de puntos dentro de, o sobre la circun'erencia(&\ (x + 2)2 + (y - 1)2 = 25 , y la Gr(R2) es el conjunto de puntos debajo de, o sobre la recta ü? : x + y + 2 = 0, se infiere que la Gr(R), intersección de R, y R2, es la parte sombreada indicada en la Figura 5.54 Ahora, & n « - A(-6 ,4) y B(1 , -3)Por tanto, Dom(R) = [h - r , xB] = [-7 ,1 ]

Ran(R) = [k - r , yA] = [-4 , 4] □


www.freelibros.com


( E J E M P L O 3 ) Construir la gráfica y hallar el dominio y rango de la relaciónR= {(x , y) e R21 x2 + y2 < 9 , 1 x - 2 I < y - 1 }

Solución. La Gr(R) es la intersección de las gráficas deR, = {(x , y) I x2 + y2 < 9} y R2 = {(x , y) | | x - 2 1 < y - 1}

La GrfR^ es el conjunto de puntos dentro, o sobre la circunferencia rG : x2 + y2 = 9. En R, se tiene: | x - 2 1 < y - 1 « ( y - l > 0 ) A ( x - 2 < y - l ) A ( x - 2 2 - y + l )

<=> (y > 1) a (y > x - 1) a (y > 3 - x)Luego, R, es la intersección de las gráficas, arriba de las rectas

2J : y = 1 , 2 | : y = x - 1 , : y = 3 - xDe aqui, se infiere que la Gr(R) es la región sombreada mostrada en la Figura 5.55.Para hallar la abscisa de A interceptamos 2? y V , y obtenemos: x = 1 + V5. Por loque: Dom(R) = [ 0 , 1 + ^5 ] y Ran(R) = [ 1 , 3 ] Q

. . . . . .

Y/ i

v i" X \\ >• A l J

/ K/ V

V

0 1 V s * x

J Y1 A

\ ’ S / lA

t

1 0

JFIGURA 5.55 FIGURA 5.56

[ E J E M P L O 4 J Dada la relación R = {(x , y)|| xl + l y I < 5 , x? + y2 >4 , y < x}, hallar su dominio, rango y el área de la gráfica de R.

Solución. Sean R, = {(x , y) l lx I + ly I <5} y R2= {(x , y) I x3 + y ! > 4} yRj = {(x , y) I y < x } . Las gráficas de relaciones de la forma I x | + 1 y | <

a son conjuntos de puntos que están dentro de un cuadrado de centro el origen, de lado ( = a V2, y cuyos vértices están a a unidades del centro. Entonces R, es el conjunto de puntos dentro del cuadrado de lado i = 5V2. R2 es el conjunto de puntos que están fuera de, o sobre la circunferencia í? : x3 + y3 = 4. R, es el conjunto de puntos debajo y sobre la recta 2?: y = x. Luego, la Gr(r) = GrjR,) f) Gr(R,) fl Gr(R,), es la región sombreada en la Figura 5.56.

www.freelibros.com

Sección 5.8: Conjunto de puntos asociados con cincunferencias 241

Interceptando <% : y = x con la recta x + y = 5 obtenemos A(5/2 , 5/2), y como B es simétrico de A respecto del origen, entonces, B(-5/2 , -5/2).

Dom(R) = [-5/2 , 5] y Ran(R) = [-5 , 5/2]Area del cuadrado : S, = (5V2)2 = 50 u2 . Area del círculo : S2 = n r2 = n(2)2 = 47t u2

a(R)= I ( S , - S 2) = (25 - 271) u2 □

[ E J E M P L O 5 ) Dada la relación R = {(x , y)| x2 + y2 > 4 , | x - 1| + I y - 1| < 6},

hallar su dominio, rango y el área de su gráfica.

Solución. Sean R( = {(x , y) I x2 + y2 > 4} y R3 = {(x , y) 11 x - y I *+ |y - i I < 6}.R, es el conjunto de puntos que

están fuera de, o sobre la circunferencia í? : x2 + y2 = 4 Las gráficas de las relaciones de la forma | x - h | + | y - k | < a son conjuntos de puntos dentro de un cuadrado de lado aV2, centro (h , k) y cuyos vértices tienen por coordenadas (h ± a , k) y (h , k ± a). Entonces R? es el conjunto de puntos dentro del cuadrado del lado 1 = óV2, centro (1 , 1) y vértices ( I ± 6 , l ) y (1 , 1 ±6) . Por tanto, la Gr(R) es la parte sombreada mostrada en la Figura 5.57. Luego, Dom(R) = Ran(R) = [ -5,7] y :

a(R) = a(R2) - a(R,) = (óV2)2 - n(2)2 = 4(18 - jt) □

C e J E M P L O 6 ) a) Hallar la ecuación del lugar geométrico de todos aquellos puntos del plano tales que su distancia a ^ : x - y = 0 sea 4 veces su distancia a &2: x + y = 0

b) Si el lugar descrito en a) contiene las diagonales del rectángulo con vértices en 1? : x2 + y2 = 34. Hallar el sistema de inecuaciones que describe la región interior a dicho rectángulo.

Solución, a) Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico

I x - y I 4 1 x + y I Si d(P , &t) = 4 d(P , Sty => = --

= > | x - y | = 4 | x + y | « x - y = 4(x + y ) ó x - y = -4(x + y)

« : 3x + 5y = 0 ó : 5x + 3y = 0 , son las ecuaciones del L. G.

www.freelibros.com


b) t, n « = B(-5 , 3), D(5 , -3); ( 2 n «■ = A(-3 , 5 ) , C(3 , -5)

Pendiente de AD : m = = -1

Ecuación de AD : y - 5 = -1 (x + 3) => AD : y = -x + 2

Ecuación de BC : y + 5 = -l(x - 3) <=> BC : y = -x - 2-

Ecuación de AB : y - 5 = +1 (x + 3) c* AB : y = x + 8

Ecuación de CD : y + 3 = + l(x - 5) CD : y = x - 8 Luego, el sistema de inecuaciones del rectángulo es : R = {(x , y) e R2 ly < -x + 2 , y > -x - 2 ,

y á x + 8 , y > x - 8 } □


En los ejercicios 1 al 12 , construir la gráfica del conjunto dado y dé su dominio y rango.

1. R :: { ( x .y e R2 x2 + y2 < 4 , 1 x - y I < 2 }

2. R == {(x .y e R1 x2 + (y - M2f < 9 ó x2 + y21 4}

3. R == { (x .y e R2 x2 + y2 > 4 ó (x - 2)2 + y2 <, 1 y x > y}

4. R = Xn e R2 x2 + y2< 9 , y < | x + l | + | x - l | , l x I < 12y I

5. R == { (x ,y e R! x2 - y2 > 0 , I x I + I y I S 5 , x2 + y2 > 1}

6. R =ii 'x Ví 6 R2 x2 + y2 < 16 , x - y + 4 £ 0 , y > 0 }

7. R >>XII e R2 x > y , I x I +1 y 1 < 5 , x2 + y2 £ 9}

8. R >%XII e R2 x2 + y2 - 4x - 6y - 3 < 0 , 1 x - 2 1 + 1 y 3 I

Al

9. R : xII e R2 4 < x2 + y2 < 9 , |x | + 2 < y < Ixl + 3}

10. R : { ( x . y e R2 4 < x2 + y2 < 9 , Ix - y l < 1 }

11. R == { ( x , y e R2 x2 + y2 > 1 , I x + y I + x > 2}

12. R = {(X , y € R2 (x + 4)2 + y2 < 9 , (x - 4)2 + y2 < 4 , x2+ y 2> 16}

En los ejercicios 13 al 15, hallar el dominio, el rango y el área de la gráfica del conjunto dado.

13. R = {(x , y) e /?-’ 11x I + Iy I <4 , x £ y , x2 + y2<36}

www.freelibros.com


14. R = {(x , y) e R21 x2 + y2 < 4 , y 0 }

15. R = {(x , y) e R21 x2 - y2 > 0 , x2 + y2í 9 . I x | + I y I <3 }

16. Si A = {(x , y) e R21 (x - 1)2 + y2 < 4 v (x + 1)2 + y2 < 4} ,

B = {(x , y) e R21 y + 1 ^ „ > 0} y C = {(x , y) e R21 -3 < x < 3 } ; trazar la gráfica de A n B D C.

17. Si A = {(x , y) e R2 |3x2 - 4xy > 4} y B = {(x , y) e R21 x2 + y2 < 4 } , trazar la gráfica de A f| B.

18. Si A = {(x , y) e R21 x + y > 0} , B = {(x . y) e R21 (x - 1)2 + (y - 1) < 18} y C = { (x , y) e R21 xy < 4 } ; graficar en el plano XY el conjunto A f| B n C y dé su dominio.

19. Sea R = {(x , y) 11 x I + 1 y I > a , x2+ y2 < a2 , y - x > 0 } , donde a e R+ ; hallar elvalor de a tal que el área de la gráfica de la relación sea 25(rt - 2) u2.

20. Sean los conjuntos A = {(x , y) I x2 + y2 - 4x + 2y < 11} y B = {(x , y) || x - 2 1 + I y + 1 I < 2} , hallar el área de A f| B.

www.freelibros.com

244 Capítulo 6: Transformación de coordenadas

ECUACIONES DE TRASLACION { * _ * , * h

( x = x'CosG - y ’SenG ECUACIONES DE ROTACION { y . ^ + yc< M

www.freelibros.com

TRANSFORMACION DE COORDENADAS

J 5 J INTRODUCCION-____________________________________________

En este capítulo estudiaremos el efecto que tienen, sobre una ecuación dos diferentes tipos básicos de transformación de coordenadas. Uno de ellos consiste en cambiar la posición del origen, quedando los ejes paralelos a los ejes originales y orientados como éstos. El otro cambio se efectúa .manteniendo el origen fijo y girando los ejes. Se mostrará que cada tipo de cambio puede usarse para simplificar la identificación de las ecuaciones y el trazo de las gráficas, especialmen*' de las secciones cónicas, que no están en posición ordinarias.

f T l TRASLAC IO N DE EJES_____________________________________

Supóngase que la curva W es la gráfica de la ecuación E(x , y) = 0 en el sistema XY con origen de coordenadas en 0(0 , 0). Sea <<6' la curva en el sistema X’Y’ con la nueva posición del origen en 0'(h , k), obtenida mediante la traslación de sus ejes paralelos a los originales. Entonces, es la gráfica de la ecuación:

E(x*, y ’) = E(x - h , y - k) = 0.Esto es, si la traslación (0 , 0) —> (h , k) mueve los ejes X e Y sobre los e jes.

X’ e Y', entonces la sustitución de x’ por x - h e y ’ por y - k convierte la ecuación de í?en la ecuación d e W .

Demostraremos el siguiente teorema que da la relación entre las coordenadas de un punto referidos a ambos sistemas de ejes.

TEOREMA 6.1 Ecuaciones para la traslación de ejes.______________________Si el origen 0(0 , 0) es trasladado a 0 ’(h , k) y si (x , y) y (x1, y’)

son las coordenadas de un punto P referidos a los ejes original y nuevo, respectivamente, entonces :

x = x ’ + h e y = y ’ + kV /

www.freelibros.com

246 Capítulo 6: Transformación de coordenados

iDemostración. En efecto, en la Figura 6.

fP i. ÓX y f P l cñC RP i . OY y R P 1 ÓT\'

Por lo que : TP = y , SP = y ’RP = x , QP = x ’

Además, RQ = h y TS = k Luego, s i :

RP = RQ + QP ■=* x = h + x’ÍP = TS + SP => y = k + y’

En consecuencia, las coordenadas x e y están relacionadas con las coordenadas x’ e y ’ a través de las ecuaciones de traslación

x = x ’ + h , y = y ’ + k (1)o bién :

x ' = x - h , y ’ = y - k (2)

1, se tiene :

( EJEM PLO 1 ) Determinar la ecuación de la curva representada por E(x , y ) :4x2 + 4y2 + 16x - 24y + 27 = 0, si el origen es trasladado a

0 ’(-2 , 3). Trazar el lugar geométrico y los dos sistemas de ejes.

Solución. Como el nuevo origen está en 0'(-2 , 3), se deduce que h = -2 y k = 3. Luego ,

por las ecuaciones de traslación (1), se tiene : x = x’ - 2 , y = y ’ + 3

=* E(x' , y') : 4(x’ - 2f + 4(y* + 3) + 16(x' - 2) -24(y’ + 3) + 27 = 0

de donde obtenemos la transformada E(x ' , y ' ) : 4x‘‘ + 4y’: = 25

La Figura 6.2 muestra la gráfica del lugar geométrico <¡8. CU

E E l S IM PLIF IC AC IO N DE UNA ECUACION POR TRASLACIO N

La principal aplicación del cambio de los ejes coordenados es la simplificación de las ecuaciones, escogiendo convenientemente los nuevos ejes. Esto puede

www.freelibros.com

Sección 6.3: Simplificación de una eciuu ion por traslación 247

efectuarse, unas veces, poniendo x = x’ + h e y = y ’+ k en la ecuación y determinando después h y k de tal modo que la ecuación se reduzca a una forma conveniente con las nuevas coordenadas; otras veces, completando cuadrados o agrupando términos y luego factorizando. Generalmente, es posible hacer que desaparezcan dos cualesquiera de los siguientes términos :a) el coeficiente de x , b) el coeficiente de y , c) el término independiente.

( EJEMPLO 2 j ¿Qué punto debe seleccionarse como nuevo origen para transformar la ecuación E(x , y ) : 9x2 - 4y2 + 36x + 8y - 4 = 0 en una

ecuación sin términos lineales? Hallar la ecuación transformada y trazar el lugar geométrico, mostrando ambos sistemas de ejes.

Solución. Método 1. Usando las ecuaciones de traslación : x = x’ + h , y = y’+ k

Sustituyendo en la ecuación dada se tiene :E(x ' , y ’) : 9(x’+ h)2 - 4(y’ + k)2 + 36(xr + h) + 8(y’ + k) - 4 = 0 de donde , agrupando términos convenientemente , obtenemos

E(x’ , y ‘) : 9x’2 - 4y’- + 28(h + 2)x’ - 8(k - l )y ’ + (9h2 - 4k2 + 36h + 8k - 4) = 0 Si los coeficientes de x' e y’ deben anularse , entonces

h + 2 = 0 y k - I = 0 <=* h = -2 y k = l Luego, el nuevo origen debe trasladarse a 0 ’(-2 , l )Al hacer esto, la ecuación transformada queda , E(x’ , y ’) : 9x” - 4y'2 = 36

Método 2. Completando cuadrados___________________________________________

Cuando las ecuaciones E(x , y) = 0 son de segundo grado y carecen del término xy , es posible efectuar la traslación completando cuadrados.En efecto, completemos por separado con cada una de las dos variables. Esto da

9(x2 + 4x + 4) - 4(y2 - 2y + l ) = 4 + 36 - 4 que equivale a : 9(x + 2)2 - 4(y - I )2 = 36 Ahora, empleando las ecuaciones (2) con h = -2 y k = 1, la ecuación transformada E(x’ . y ) puede escribirse

9x'2 - 4y’2 = 36 □Es evidente que este método es más conveniente que el primero.

FIGURA 6.3

www.freelibros.com


m OTRAS APLIC AC IO N ES DE LA TRASLACIO N DE EJES

1. TANGENTES A LAS SECCIONES CONICAS

En los capítulos posteriores haremos un estudio detallado de las secciones cónicas y sus ecuaciones, pero como referencia, diremos que éstas pueden ser de la form a:

Ax2 + Cy2 +D x + Ey + F = 0 ó Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Si aplicamos directamente el método optativo o del discriminante para obtener

las ecuaciones de las tangentes, el resultado sería demasiado laborioso y complicado, sin embargo, mediante una traslación de ejes podemos transformar la ecuación de la cónica a su forma más simple. Una vez obtenida la ecuación de la tangente en el sistema X ’O’Y' se efectúa una traslación para restablecerla al sistema original XOY.

( EJEM PLO 3 ] Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia^ : x2 + y2 + 2x + 10y - 14 = 0 que son perpendiculares a la

recta SFt : x + 3y -1 = 0

Solución. Usaremos el método de completar cuadrados. Esto da:(x2+2x + 1 ) + (y2 + lOy + 25) = 14+ 1 +25 <=> <K: (x + l)2 + (y + 5)2 = 40

Haciendo x' = x + l e y ’ = y + 5 obtenemos la transformada en el sistema X ’O’Y’, esto es re ' : x '2 + y’2 = 40La ecuaciones de las tangentes a que son perpendiculares a .5?, tienen la forma

y ’ = 3x’ + b <=> 2 : 3x’ - y ’ + b = 0 (1)

S id(0’ , Se) = r = Vio Ib I =20 <=> b = ± 2 0V9+ 1

Luego, en (1), tenemos las ecuaciones de las tangentes en el sistema O’X’Y ’$ : 3x’ - y ’ ± 20 = 0

Ahora, restablecemos estas ecuaciones al sistema original, esto es :3(x + 1) - (y + 5) ± 20 = 0 <=> $ : 3x - y + 18 = 0 ó $ : 3x - y - 22 = 0 □

2. TANGENTES EN EL ORIGEN

Una ecuación de la tangente en el origen a la gráfica de la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = 0

está dada por: Dx + Ey = 0

si por lo menos uno de los números D o E no es cero.Por ejemplo, una ecuación de la tangente en el origen a la gráfica de

www.freelibros.com

Sección 6.4: Otras aplicaciones de la traslación de ejes 249

E(x , y ) : 9x2 + 4y2 + 3x - y = O , está dada por % : 3x - y = 0Cuando se desea obtener una ecuación de la tangente a una sección cónica

que no sea el origen se realiza una traslación de ejes de modo que el punto en cuestión sea el nuevo origen. Se obtiene entonces la ecuación deseada mediante el método que se ha dado en el ejemplo. Se efectúa luego una segunda traslación regresando a los ejes origínales para obtener la ecuación de la tangente requerida.

{ EJEM PLO 4 ) Obtener la ecuación de la tangente en el punto T(1 , -1) a la curva de ecuación E(x , y ) : 2x2 + 3y2 = 5

Solución. Si se toma el punto T(1 , -1) como nuevo origen, las ecuaciones de traslación son : x = x' + 1 e y = y ’ - 1

Sustituyendo en la ecuación dada nos queda2(x’ + 1 )2 + 3(y’ - l)2 = 5 « E(x’ , y ' ) : 2x’2 + 3y’2 + 4x' - 6y’ = 0

Nótese que esta ecuación carece de términos independientes, y que por lo tanto su gráfica pasa por el origen en el sistema X’O’Y’ . Entonces por simple inspección:

4x’ - 6y’ = 0 : 2x’ - 3y' = 0es la ecuación de la recta tangente a la curva daéa en el origen del sistema X’O’Y ’.Si ahora se efectúa una traslación que restablezca el sistema de coordei das XOY empleando las ecuaciones : x ’ = x - 1 , y’ = y + 1 , se obtiene :

2(x- 1) - 3(y + l) = 0 X : 2 x - 3 y - 5 = 0 □

Q OTROS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS___________________

( EJEM PLO 5 ) Por una traslación de ejes transformar la ecuación 2x2 - 3xy + 5x + 3y - 8 = 0 en otra que no tenga términos lineales.

Solución. Como la ecuación contiene el término rectangular xy, usaremos las

ecuaciones de traslación: x = x’ + h , y = y ’ + k Entonces : 2(x’ + h)2 - 3(x’ + h)(y’ + k) + 5(x’ + h) + 3(y’ + k) - 8 = 0 de donde, agrupando términos obtenemos

2x’2 - 3x’y ’ + (4h - 3k + 5)x’ + (3 - 3h)y’ + (2h2 - 3hk + 5h + 3k - 8) = 0 (1)Los coeficientes de x’ e y ’ son evidentemente cero si

(4h - 3k + 5 = 0) a (3 - 3h = 0) .=* h = 1 y k = 3 Por tanto, el origen debe trasladarse a 0 ’(1 , 3).Al sustituir los valores de h y k en (1), la ecuación transformada queda

2x’2 - 3x’y ’ = 1 □

www.freelibros.com


Ce J E M P L O 6 ) Qué punto debe seleccionarse como nuevo origen para transformar la ecuación 9x2 - 4y2 + 18x + 16y + 29 = 0, en una nueva

ecuación sin términos lineales. Hallar la ecuación transformada y trazar el lugar geométrico y ambos sistemas de ejes.

Solución. En este caso usaremos el método de completar cuadrados, esto es:

9(x2 + 2x + 1) - 4(y- + 4y + 4) = -29 + 9 - 16 => 9(x + 1)’ - 4(y - 2)2 = -36 => 4(y - 2)2 - 9(x + l)2 = 36

De aquí se deduce que , h = -1 y k = 2 Entonces, el nuevo origen tiene por coordenadas

O ’ (-1 , 2)Si hacemos x + I = x' e y - 2 = y ’ , la ecuación transformada es :

4y’2 - 9x” = 36 cuya gráfica se muestra en la Figura 6.4 Q

( E J E M P L O 7 ) Qué punto debe seleccionarse como nuevo origen para que las ecuaciones 2 x - y + 17 = 0 y x y - 4 x - y + 1 6 = 0ene l nuevo

sistema tengan 10 como término independiente. Halle las ecuaciones transformadas.

Solución. Sea 0 ’(h , k) el punto seleccionado, entonces si x = x’ + h e y = y’ + k,

sustituyendo en las ecuaciones dadas tendremos :2(x’ + h) - (y’ + k) + 17 = 0 ■=> 2x' - y ’ + (2h - k + 17) = 0(x’ + h)(y’ + k) - 4(x’ + h) - (y’ + k) + 16 = 0

o x’y' + (k - 4)x’ + (h - l)y ’ + (hk - 4h - k + 16) = 0 Como los términos independientes de estas ecuaciones deben ser 10, se sigue que :

2h - k + 17 = 10 ■=» 2h - k + 7 = 0 (1)hk - 4h - k + 16 = 10 ■=> hk - 4h - k + 6 = 0 (2)

Resolviendo (1) y (2) por simultáneas obtenemos -í ” 1 6 2 ~ 1/21 k, = 5 ó kj = 8

Por tanto, hay dos puntos seleccionados : 0 ’(-l , 5) y 0 ’(l/2 , 8)y las ecuaciones transformadas son : 2x’ - y ’ + 10 = 0 , x’y ’ + x’ - 2y’ + 10 = 0 CU

( EJEM PLO 8 ] Por una traslación de ejes transformar la ecuación E(x , y):

www.freelibros.com

Sección 6.4: Otras aplicaciones de la traslación de ejes 251

IB*3 - x2 + 24x - y + 1 = O, en otra que no contenga términos de segundo grado, ni término constante.

Solución. Agrupando términos convenientemente se tiene8(x3 - 3x2 + 3x) = y - 1

Nótese que a los términos del paréntesis le falta la unidad para ser el desarrollo de un cubo perfecto, luego, por el artificio de sumar y restar la unidad tendremos :

8(x3 - 3x2 + 3x - I) + 8 = y - I <=> 8(x - l ) 3 = y - 9 S acemos x - 1 = x' e y - 9 = y ’ , obtendremos la ecuación transformada

E(x’ , y ' ) : 8x’3 = y’ □

( E J E M P L O 9 ) Por una traslación de ejes reduzca la ecuaciónE(x , y ) : x2y - 8x2 + 8xy - 64x + 16y - 129 = 0 a una ecuación

que no contenga términos ni de segundo grado, ni de primer grado.

Solución. Agrupando términos convenientemente se tiene (x2+8x + 16)y - 8(x2 + 8x) = 129 (x + 4)2y - 8(x2 + 8x + 16) + 128 = 129

■=» (x + 4)2y - 8(x + 4)2 = 1 <¿> (x + 4)2(y - 8) = 1 Haciendo x + 4 = x’ e y - 8 = y’ , obtenemos la transformada

E(x’ , y ’) : x'2y’ = 1 □

[e j e m p l o 1 0 j Dada la ecuación x3 + 3x2 - y2 + 3x + 4y - 3 = 0 , trasladar los ejes de tal manera que la ecuación, respecto a los nuevos ejes

no contenga términos de primer grado ni término constante.

Solución. Agrupando términos se tiene :(x3 + 3x2 + 3x) - (y2 - 4y) = 3

■=> (x3 + 3x2 + 3x + I) - (y2 - 4y + 4) = 3 + l - 4 <=> (x + l)3 - (y - 2)2 = 0 Haciendo x + l = x ’ e y - 2 = y ’ , obtenemos la transformada

E(x’ , y’) : x'3 - y ’2 = 0 □

( e j e m p l o 1 1 ) Hallar las coordenadas del nuevo origen O’ de tal manera quelas ecuaciones 2x + 3y + 6 = 0 y 3y2 + 4x + 12y - 12 = 0

carezcan de término independiente.;*

Solución. Está claro que en el sistema X ’O’Y’, las gráficas de ambas ecuaciones deben pasar por el nuevo origen ; esto es , si

www.freelibros.com


0 ’(h , k) e (2x + 3y + 6 = 0) ■=> 2h + 3k + 6 = 0 0'(h , k) s (3y2 + 4x + I2y -12 = 0) =* 3k2 + 4h + 12k - 12 = 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos : h, = -6 , h, = 3 , k, = 2 , k, = -4 Por tanto, las coordenadas del nuevo origen son

0 ’(-6 , 2) ó 0 ’(3 , -4) □

[ e j e m p l o 1 2 ) La ecuación de una circunferencia en el sistema XOY esrfí : x2 + y2 - 4x + 6y + 9 = 0, y en el sistema X'O’Y’ es 'g": x ’2+

y ’2 + 6x’ - 2y’ + 6 = 0. Hallar las coordenadas del nuevo origen.

Solución. Sustituyendo las ecuaciones de traslación x = x’ + h e y = y’ + k en la ecuación de la circunferencia se tiene

(x’ + h)2 + (y’ + k)2 - 4(x’ + h) + 6(y’ + k) + 9 = 0 de donde, agrupando términos obtenemos

: x ’2 + y ’2 + (2h - 4)x' + (2k + 6)y’ + (h2 + k2 - 4h + 6k + 9) = 0comparando con la ecuación de # ' dada se deduce que :

2h - 4 = 6 y 2k + 6 = -2 <=> h = 5 y k = -4 Por tanto, las coordenadas del nuevo origen son O’ = (5 , -4) CU

[ e j e m p l o 1 3 ) Hallar las ecuaciones de las tangentes de la circunferencia^ : x2 + y2 - 8x - 6y = 0 que pasan por P(11 , 4).

Solución. Por una traslación de ejes tenemos # : (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 ■=> h = 4 y k = 3 Si tomamos el punto 0 ’(4 , 3) como nuevo origen, la ecuación transformada es

í? ’ : x” + y’2 = 25 y las nuevas coordenadas del punto P son

x' = x - h = 11 - 4 = 7 y’ = y - k = 4 - 3 = l

Las ecuaciones de las tangentes que pasan por P’(7 , 1) son :y ’ - 1 = m(x’ - 7) <=> á?: mx’ - y ’ + 1 - 7m = 0

Si 4 (0 ', SU) = r =* 1 ‘ ' -7m 1 = 5 Vm2 + 1

de donde : 12m2 - 7m - 12 = 0 c=> m = 4/3 ó m = -3/4Como las pendientes de las tangentes en ambos sistemas son las mismas, las ecuaciones de éstas son :

www.freelibros.com

y - 4 = ~(x - i 1) ó y -4 = —(x - 11) <=> V\ : 4x - 3> 32 = 0 ó 'J\ : 3x + 4y • 49 = O

(E J E M P L O 1 4 ) Hallar la ecuación de la tangente a la curva f : 3x2 + y’ + 4x - 3v + 1 = 0 en el punto P(-1 , 3).

Solución. Nótese primero que P pertenece a la curva, pues

3(‘ l) ’ + (?) + 4{-l) - 3(3) + 1 = 0 i tomamos 0 ’(-l , 3) como nuevo origen, las ecuaciones de traslación son :

x = x' - 1 e y = y’ + 3 Sustituyendo en la ecuación de la curva dada se tiene :

3(x' - ¡)2 + (y’ + 3)‘ + t(x’ - I) - 3(y' + 3) + 1 = O <=> f ’ : 3x’J + y’: - 2 \ ’ + 3y' = 0 Como la ecuación carece de término independiente, su gráfica contiene al nuevo origen en el sistema X’O'Y’. Entonces, por inspección : -2x' + 3y’ = 0 es la ecuación de la tangente a ¿ ’ en el origen O'.Luego, efectuando una nueva traslación para restablecer al sistema original XOY, obtenemos :

-2(x + I) + 3(y - 3) = 0 « % : 2x - 3y + 11 = 0 □

I JhKC K IO S . (iiiiju i 23 2 5 3

¿EJERCICIOS?,;? Grupo 23*

* Transformar las ecuaciones dadas, trasladando los ejes coordenados al nuevo origen indicado. Para cada caso trazar el lugar geométrico y ambos sistemas de ejes coordenados. (Guia: Ejemplo 1).

1. 3x2 - 2v2 + 6x - 8y - 11 = 0 , 0'(-1 , -2) 3. 4x2 + 9y2 + 16x - 36y + 6 1 = 0 , 0'(-2 , 3)2. 3xy + 15x - 6y - 31 = 0 , 0 ’(2 , -5) 4. xy + 3x - 2y - 7 = 0 , 0 (2 , -3)

* A qué punto debe trasladarse el origen para eliminar los términos lineales en cada una de las siguientes ecuaciones? ¿Cuál es cada una de las ecuaciones transiormadas? (Guía: Ejemplo 2).

5. 9x? -16y3 + 90x + 192y - 495 = 0 7. xy + 8x - 7y - 59 = 06. 25xz + 4y2 + 150x - 8y + 129 = 0 8. 30xy + 24x - 25y - 80 = 0

* Por medio de una traslación de ejes, transformar las ecuaciones dadas en otra que no contenga términos de segundo grado ni término independiente.

9. 4x2 - 12x2 + 1 2 x - 3 y - 10 = 0 10. 4y3 - 24y2 + 3x + 48y - 26 = 0

* Por una traslación de ejes transformar las ecuaciones dadas en otras que no conténga términos de primer grado ni término independiente.

www.freelibros.com

254 Capitulo 6 Transformación ¡Ir coordenadas

11. 3y3 - 36y2 - 2x2 + 144y - 194 = O 13. 4x3 - 24x2 + 48x - y2 - 2y - 33 = O12. 2x3 - 12x2 - y2 + 24x - 2y - 17 = O 14. y3 - 12y2 + 8x2 + 16x + 48y - 56 = O

* Por una traslación de ejes, transformar las ecuaciones dadas en otra que no contenga los términos de primer grado ni términos de segundo grado.

15. xy2 + 5y2 - 4xy + 4x - 20y + 17 = 0 17. 2x2 + 4x2 - 4xy -8x + 2y - 1 =016. x2y + 4x2 - 12xy - 48x + 36v + 140 = 0 18. xy2 - 4x2 + 3y2 + 4x - 12y + 4 = 0

* Si los ejes coordenados son trasladados a un nuevo origen 0 ’(h , k), hallar sus coordenadas, de modo que las ecuaciones dadas carezcan de término independiente. (Guía: Ejemplo 11).

19. 3x2 - 18 \ : 6y - 53 = 0 , x2 + y2 - 6x + 10y + 9 = 020. x2 + 4y2 - 8x + 40y + 64 = 0 , x2 - 8x - 18y - 74 = 0

* En los ejercicios 21 al 23 se dan las ecuaciones de una curva en los sistemas XOY y X'O’Y’. Hallar, en cada caso, las coordenadas del nuevo origen

21. 3xy -5x + 3y - 8 = 0 , 3x’y’ + x’ - 3 = 022. 2x2 +2y2 - 6x + 10y + 8 = O , x'2 + y'2 + x’ + 3y’ = 023. 2x2 + 4xy - 3x + 4y - 2 = 0 , x ’2 + x’y’ + 4y’ + 1 = 0

24. Hallar la ecuación en la que ax + by + c = 0 es transformada si el origen es trasladado a (bh , -ah - c/b)

25. Por una traslación de ejes elim inar los términos lineales de la ecuación E(x , y) : xy + ax + by + c = 0

26. A qué punto debe trasladarse el origen para eliminar el término constante y el término lineal en y, de la ecuación 8y2 - 6x - 24y + 15 = 0

27. La ecuación x'2 - 2y’2 = 4 está referida al sistema X’O’Y’ de coordenadas, referirla al sistema XOY sabiendo que la distancia entre los orígenes de coordenadas es 'ÍW unidades y que la ordenada del nuevo origen es 1.

28. La ecuación y’2 = -16x’ está referida al sistema X’O’Y’ de coordenadas; referirla al sistema XOY sabiendo que la distancia entre los orígenes es 5 unidades y que la abscisa del nuevo origen es -3.

29. Demostrar que la tangente a la curva de ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, en cualquier punto de la misma tiene por ecuación de la forma :

Ax, + y (x ,y + y,x) + Cy,y + j ( x + x,) + f-(y + y,) + F = 0

[Sugerencia: Efectúe una traslación de ejes con (h , k) = (x, , y,)]

30. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva rfi : x2 + y2 + 4x - 10y + 21 = 0que son paralelas a la recta Tí’ : x - y + 5 = 0. (Guía: Ejemplo 3).

www.freelibros.com

Sección 6.5: Rotación de ejes 255

Emplear la técnica mencionada en está sección para obtener una ecuación en las variables x e y, de la tangente a la curva cuya ecuación se da, en el punto con las coordenadas que se indican. (Guía: Ejemplo 14).

31. x2 + y2 - 3x + 7y + 2 = 0 , T(2 , 0) 32. y2 - 2x2 + 3x - 4y + 2 = 0 , T(-2 , -2)

33. 3x2 - y2 - 12x + 2y = 0 , T(4 , 2) 34. 3x2 - 14xy + 9x - 7y + 30 = 0 , T(1 , 2)

35. 10x2 - 24xy + 3y2 + 2x - 3y + 12 = 0 , T(1 , 1)

36. 6x2 - 2xy + y2 + 2x + 3y - 60 = 0 , T(3 , 0)

f T I ROTACION DE EJES_________________________________________

En la sección anterior vimos como se puede emplear una traslación de ejes para transformar una ecuación dada a una forma más simple (pero equivalente) cuya gráfica sea fácilmente reconocible. Esto también se aplica a las rotaciones de ejes.

Si se rotan los ejes coordenados alrededor del origen y se considera que están fijos todos los puntos del plano, entonces cada punto, excepto ... jen, tendrá un nuevo par de coordenadas. Estas nuevas coordenadas se puede, calcular empleando trigonometría como se indica en la demostración del siguiente teorema.

TEOREMA 6.2 Ecuaciones para la rotación de ejes._______________________Si (x , y) son las coordenadas de un punto antes de girar los ejes

un ángulo 0 , y si ( x ' , y’) son las coordenadas después de la rotación, entonces :x = x ’CosG - y ’SenG y = x'SenG + y ’CosG

Demostración. Haremos la demostración con la ayuda de la Figura 6.6.En efecto, los dos pares de ejes coordenados con el nuevo origen

forman entre sí un ángulo 0. Sea P(x , y) o P(x’ , y') las coordenadas de un puntocualquiera con relación a los ejes originales y nuevos. Si el ángulo de dirección deOP es a, entonces, el ángulo de dirección de OP con respecto al eje OX’ es (a - 0). Por lo tanto, si I OP I = r , en el triángulo rectángulo ORP, se tiene :

x' = r Cos(a - 0) , y ’ = r Sen(a - 0) y por las identidades de adición :

x’ = r Cósa . CosG + r Sena . SenG y ’ = r S ena . CosG - r Cosa . SenG

www.freelibros.com

256 Capitulo 6. Transformación de coordenadas

■ {

Pero, en el AOQP : x = r Cosa e y = r Sena x’ = x Cos0 + y Sen0 (3)y’ = -x Sen0 + y Cos0

Despejando x e y de estas dos ecuaciones obtenemos :

x = x’ Cos0 + y' Sen0 (4)y = x' Sen0 - y’ Cos0

En consecuencia, ante una rotación de ejes, las coordenadas x e y de un punto están relacionadas con las coordenadas x’ e y ’ a través de las ecuaciones (3) o equivalentemente, a través de las ecuaciones (4).

G EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( E J E M P L O 1 ) Hallar las coordenadas del punto P(2 , -4\3), si se rotan los ejes coordenados alrededor del origen un ángulo de 120®

Solución. Si Cosí 20° = -Cos60° = -1/2 y Sen 120° = Sen60° = \'3/2, entonces las ecuaciones (3), toman la forma :

1 ^2

luego, para el punto P(2 , 4V3) se tiene :

x = - - x + — y e y = - — x - - yV32

1 V3 i-_ ( 2) + ” (- 4V3)

V3

-6 = - 7

— (2) - — (- 4V3 ) = - V3 + 2>/3 = V3 2 2

Por lo que , las nuevas coordenadas del punto P son, P’(-7 , \3)

I

□

( E J E M P L O 2 ) Hallar las nuevas coordenadas de los puntos P(-1 , V3) y Q(8 , -2V3) cuando los ejes coordenados giran un ángulo de

60®. Verificar que se obtiene el mismo resultado si se calcula la d(P , Q) en ambos sistemas de coordenadas.

Solución. Según las ecuaciones de rotación (3) se tiene :Para el punto P , x’ = (-1)(1/2) + V3(V3/2) = 1

y’ = -(-l)(V3/2) + V3(l/2) = \í3

www.freelibros.com


y para el punto Q , x’ = ( l )(1/2) + (-2V3)(V3/2) = 1y ’ = -(8)(V3/2) + (-2V3)( 1/2) = -5V3

Luego, las nuevas coordenadas de los puntos P y Q son : P’( 1 , V3) y Q’( 1 , -5>/3) Ahora, d(P , Q) = V(8 + l ) 2 + (-2V3 - V3)2 = 6V3 y d(P' , Q’) = I -5^3 - V3 I = 6^3 Por lo tanto, la d(P , Q) tiene el mismo valor en ambos sistemas de Coordenadas. CD

[ E J E M P L O 3 ) El punto P ( ^ , ha sido obtenido después

de haber rotado los ejes coordenados un ángulo de 159. Hallar

las coordenadas originales del punto P.

Solución. Calcularemos el valor de las funciones de Sen 15o y Cos 15“ con ayuda de

las fórmulas aditivas, esto es :

Sen 15° = Sen(45° - 30°) = Sen45" Cos30° - Sen30° Cos45° = -C(Vó - V2)

Cos 15° = Cos(45° - 30°) = Cos45“ Cos30° + Sen45° Sen30° = - (Vó + 'Í2)r 4

Según las ecuaciones de rotación (4) se tiene :

x = x’CosG - y’SenG = |(V 2 - 3Vó)(Vó + V2) - —(>/2 + 3>/6)(V6 - = - 4O O

y = x’SenB + y ’CosG = - (V 2 - 3Vó)(Vó - V2) + i(V 2 + 3V6)(Vó + V2) = 2<3 8 8

Por lo tanto, las coordenadas originales del punto P son (- 4 , 2V3) CU

( E J E M P L O 4 J Si al efectuar una rotación según un ángulo agudo 0, la pendiente de la recta '/■ : V3x + y - 8 = 0 en el nuevo sistema, no

está definida, hallar el ángulo 0 y la ecuación en el nuevo sistema X'O’Y'.

Solución. Haciendo uso de las ecuaciones de rotación (4) se tiene:2? : V3(x’Cos0 - y’SenG) + (x’SenG + y ’CosG) - 8 = 0

■=* : (V3 CosG + Sen0)x’ - ('/3 SenG - CosQ)y’ -8 = 0 (1)

La pendiente de esta recta es : m = 2 <~'os9 + SenGv3 SenG - CosG

Dado que m no está definida, entonces :V3 SenG - CosG = 0 <=> TgG = V3 => 0 =30°

Luego, en (1) se tiene :

( ^ • f ♦ y ) x’ - ( V5 ‘ j - f ) y ’ -8 = ° « 3? : x ’ - 4 = 0 □

www.freelibros.com


f E J E M P L O 5 J Hallar el valor del ángulo de rotación de modo que la curva de ecuación 8x2 + 3V3xy + 11y2 = 24 carezca del término xy.

Solución. Sustituyendo las ecuaciones de rotación (4) en la ecuación dada se tiene :

8(x'Cos0 - y’Sen0); + 3x/3(x’Cos0 - y’Sen0)(x’Sen0 + y’Cos0) + l l(x’Sen0 + y'CosO)’ = 24 de donde, efectuando y agrupando términos convenientemente obtenemos: (8Cos-0 + 3V3 Sen0 Cos0 + 11 Sen-0)x” + (?V3 Cos20 + 3 Sen20)x’y' +

(8 Sen’0 - 3\Í3 Sen0 Cos0 + 11 Cos20) y ’2 = 24 Si x ’y ’ = 0 => 3>/3 Cos20 + 3 Sen20 = 0 o Tg20 = -VJ ■=> 20 = 120 ■=> 0 = 60° □

I Nota. Los dos ejemplos siguientes ilustran como se puede emplear una rotación de ejes para transformar una ecuación de una forma que no es familiar a una forma cuya grá

fica se puede reconocer por inspección.

( E J E M P L O 6 j Obtener una ecuación en las variables x’ e y ’ de la gráfica de 11 x2 + 24xy + 4y2 = 20 bajo una rotación de ejes alrededor del

origen con 0 = are Tg(3/4). Use este resultado para identificar la ecuación original y trace una gráfica de la misma.Solución. Si 0 = are Tg(3/4) => Tg0 = 3/4 . De aquí : Sen0 = 3/5 y Cos0 = 4/5.

Por las ecuaciones de rotación (4) tenemos:

x = x ’(4/5) - y ’(3/5) = i ( 4x’ • 3y’) y = x’(3/5) + y ’(4/5) = j ( 3 x ’ + 4y’)

Sustituyendo ambos resultados en la ecuación dada se tiene :

25L(4x, - 3 y ’)2 + -=í(4x’ -3 y ’)(3x’ + 4y’) +

25(3x' + 4y’)3 = 20

de donde, simplificando obtenemos :

4x': - y ’2 = 4 se reconoce fácilmente que la gráfica de esta última ecuación es una hipérbola con el eje transverso sobre el eje X ’. Por tanto, la gráfica de la ecuación original es una hipérbola cuyo eje transverso forma un ángulo de 0 = arcTg(3/4) con la parte positiva del eje X. □ FIGURA 6.7

www.freelibros.com

Sección 6.5: Rotación de ejes

9

259

( E J E M P L O 7 ) Por una rotación de ejes, eliminar el término xy de la ecuación 8x2 - 4xy + 5y2 = 36. Hacer un dibujo mostrando ambos siste

mas de ejes.

Solución. Sustituyendo las ecuaciones de rotación (4) en la ecuación dada se tiene :

8(x’Cos9 - y'Sen0)2 - 4(x’Cos0 - y’Sen0)(x’Sen0 + y’CosO) + 5(x’Sen9 + y’Cos0)2 = 36 de donde, agrupando términos obtenemos :(8Cos20 - 4Sen0 Cos0 + 5Sen20)x’2 + (-3 Sen29 - 4Cos20)x'y' +(8 Sen-0 + 4Sen0 Cos0 + 5Cos20)y’2 = 36 (1]Si x’y ’ = 0 => -3 Sen20 - 4 Cos20

<=> Tg20 = - 4/3

2Tg0 _ _ 4. 0 _ _ 2 _i - T g 2© 3

<=> Tg0 = 2 ó Tg© = - 1/2 Dado que 0 es positivo, elegimos Tg0 = 2 Luego, Sen0 = 2/V5 y Cos0 = 1/V5 Sustituyendo estos valores en (1) se tiene :

4x’2 + 9y’2 = 36 El lugar geométrico es una elipse cuya gráfica se muestra en la Figura 6.8. Q

( E J E M P L O 8 ) Por una traslación de los ejes coordenados al nuevo origen 0 ’(1 , 1), y luego una rotación de los ejes coordenados de 45s,

una ecuación se transformó en .yf \ (x” )2 - 2(y")2 = 2. Hallar la ecuación original.

Solución. Si 0 '(h , k) = (1 , 1) ■=> h = 1 y k = 1Las coordenadas de un punto, P(x , y) están relacionadas con las coor

denadas (x’ , y ‘) a través de las ecuaciones de traslación (2) :x ’ = x - h , y ’ = y - k = > x’ = x - 1 , y’ = y - 1

Estas coordenadas a su vez, están relacionadas con las coordenadas (x" , y” ), anteuna rotación de ejes, por las ecuaciones (3), esto es :

x” = x’Cos9 + y ’Sen0 => x” = (x - l)Cos45° + (y - l)Sen45° = ^ ( x + y ‘ 2)

y" = - x’Sen0 + y ’CosO <=> y ” = - (x - l)Sen45“ + (y - l)Cos0 45° = — (y - x)

Luego, sustituyendo en la ecuación transformada dada, se obtiene

i ( x + y - 2)2 - -|(y - x)2 = 2 <=> -je : x2 - 6xy + y2 + 4x + 4y = 0 □

www.freelibros.com


{ E J E M P L O 9 ) Se traslada el origen del sistema XY al punto O’ y luego se rotan los ejes coordenados obteniéndose el sistema X’Y'. Sea

: 3x’ - 4y’ + 30 = 0 tangente a la circunferencia ^ : x2 + y2 - 8x - 18y + 71 =0, siendo ésta tangente a los semiejes positivos X ’ e Y’. Si el ángulo de inclinación de

(en X’Y ’) es igual a la mitad del ángulo de inclinación de X' en el sistema XY, hallar la ecuación de SU' en XY.

Solución. Si r€ : (x - 4): + (y - 9) = 25 C(4 , 9) y r = 5 en el sistema XYDado que la circunferencia es tangente a los ejes X’ e Y’, su centro en

este sistema es C’(5 , 5). Además<£' : 3 x ' - 4 y ’ + 30 = 0 (1)

luego, su pendiente en X’Y’ es m’ = Tga = 3/4

Como a = B/2 ■=> (3 = 2a => TgS = Tg2a

^ T g P = ^ I ^ = 2(3' 4)I - Tg2a 1 - (3/4)3 7

En la Figura 6.9 : (3 = a + 0 =* 0 = P - aTgP - Tgu (24/7) - (3/4) 3*=> I gü = ----------------- = ------------------ = —

1 + TgP . Tga 1 + (24/7)(3/4) 4

Por lo que : SenO = 3/5 y Cos0 = 4/5Las ecuaciones de traslación - rotación paraun punto P(x , y) del plano XY son :

x = h + x’Cos0 - y ’Sen0y = k + x’SenO + y'Cos0

Como C(4 , 9) en XY y C’(5 , 5) en X’Y’ , se sigue que :4 = h + 5(4/5) - 5(3/5) « h = 39 = k + 5(3/5) + 5(4/5) o k = 2

Despejando x’ e y’ de las ecuaciones de traslación - rotación obtenemosx’ = (x - h)Cos0 + (y - k)SenOy ’ = -(x - h)Sen0 + (y - k)Cos0

c* x ’ = (x - 3)(4/5) + (y - 2)(3/5) , y ’ = -(x - 3)(3/5) + (y - 2)(4/5)En (1 ) : 3[(x - 3)(4/5) + (y - 2) (3/5)] - 4|-(x - 3)(3/5) + (y - 2)(4/5)] + 30 = 0de donde resulta la ecuación de J?’ en el sistema XY, esto es :

3} : 24x - 7y + 92 = 0 □

} => 0 ’(3 , 2)

(EJEM PLO 10) El sistema XY se traslada al punto 0 ’(-2 , 1) y luego se rota un ángulo 0, resultando el sistema X'Y’. En este nuevo sistema la

ecuación de la recta % es 3x' - y' - 2 = 0, y un punto sobre la parte positiva del eje Y’

www.freelibros.com

Sección 6.5: Rotación. <le ejes 2 6 !

ecuación de la recta '/' es 3x’ - y ’ - 2 = O, y un punto sobre la parte positiva del e|e V es P(-4 , 5) (en el sistema XY). Hallar en XY la ecuación de la recta 7\, de pendiente positiva, sabiendo que forma un ángulo de 45® con la recta '/' y que pasa por ' / ' X'

Solución. La pendiente tíel eje Y' es :

5 - Im... = = - 2 «=> m = TgO =-4 + 2

Si y : 3x’ - y - 2 = 0 «=s m' = 3 , y si m es la pendiente de la recta 5l{ en el sistema X’Y’, entonces

3 - m.Tg 45“ =

m - m,I + m’ . m, I + 3m,

^ m. = 1/2

FIGURA 6.10

y 'f l X ’ = A(2/3 , 0) y como A e su ecuación en el sistema X’Y' es :

y - 0 = i (x - ¿) «=> : 3x’ - 6y’ - 2 = 0

Si TgO = l / í .=> SenO = I/V5 y CosO = 2/V5 Luego, las ecuaciones de rotación para 7\ son

x’ = x CosO + v SenO - -L (2x + y) ; y ’ = - x SenO + y Coso = -L-(- x + 2\ V5 \5

Por lo tanto, la ecuación de rJ\ en el sistema XY es : “

- i ( 2 x + y) - 4 r(2 y - x) - 2 = 0 <=> I2x - 9y - 2\5 = 0\5 V5

□

( E J E M P L O I? ) sea rJ‘ : 5x + 12y - 30 = 0 una recta en el sistema XOY ; si el origen de coordenadas se desplaza hasta el punto 0'(-2 . 2)

formándose el sistema X’O’Y’, hallar el ángulo de rotación para obtener el nuevo sistema X”0 'Y ” en la que la recta 'J: sea paralela al eje Y” y hallar la nueva ecuación de la recta.

Solución. La pendiente de la recta V en •( sistema original esm = Tg(/ = - 5/12.Dado que 7 es paralela al eje Y", entonces el eje X” i 7 , por lo que ,

m . = TgO = ~ , de donde obtenemos : SenO = 44 y CosO = -4-x 5 13 13Las ecuaciones de traslación-rotación para un punto P(x , y) del plano son :

x = h + x"CosO - v”SenO y = k + x”SenO + y"Cos()

www.freelibros.com


12?: x" = 2 que es una recta

0 = are Sen( 12/13). O

(E J E M P L O 1 2^ Sea la recta 27': y = mx + b , de pendiente positiva que pasa por el punto P0 , y sea la recta S¡?2: 4x + 3y - 10 = 0. Si r/(P0 , 2Z2) =

il[P0, (1 , 2)) = 10 , P0 se encuentra a la derecha de y el ángulo 3 entre y 2?/ estal que Tg3 = 19/17; hallar la ecuación de 27¡ , luego trasladar los ejes coordenados al punto de 7' cuya ordenada es 6, y a continuación, girar los ejes coordenados en sentido antihorario de tal modo que el eje X" coincida con la recta 27?; finalmente, encontrar en el sistema X”Y” la ecuación cartesiana de 2?-.

Solución. La interpretación geométrica del problema se muestra en la Figura 6.12. Si 2??: 4x + 3y - 10 = 0 «=» m, = - 4/3

Como el ángulo 3 entre .2? y .7( es tal que Tg3 = -|y

■=* j | = } , de donde , m = 5 ■=> & : y = 5x + b17 1 + (-4/3)m( 1 1 J

4x -f 3v “ 10Si d(Pn, 2¡í¡) = 10 ■=> ■ ° - '5J°------ = 10 => 4x0 + 3y0 - 60 = 0 (1)

y d(PB, (1 , 2)) = 10 =* V(x„ - I)2 + (y„ - 2)= = 10

=* x,* + y , * -2x0-4y0-95 = 0 (2)De (1) y (2), por simultáneas, obtenemos P0(9 ,8) y como P0e » 8 = 5(9) + b <=> b = -37

/. 22- : 5x - y - 37 = 0 Ahora, el nuevo origen 0 ‘(h , 6) e St{

=> 4h + 3(6) = 10 <=> h = -2 =» 0'(-2 , 6)Dado que el eje X” coincide con 27;, la tangente del ángulo de giro es :

TgO = - -y c=> SenG = -|- y CosO = - y

y s i : x = h + x"Cos0 - y ”Sen0 <=> x = -2 - j x" - y y”

y = k + x”Sen0 + y”Cose ■=> y = 6 + y x" - y y"

Luego, para el punto 0 ’(-2 , 2 ) : x = -2 + y |x ” - y"

que sustituidas en la ecuación de la recta y se tiene , paralela al eje Y". (Figura 6.11)

El ángulo de rotación lo obtenemos de SenO = <=>

www.freelibros.com


Sustituyendo en la ecuación de ÍH se tiene :

5 ( . 2 - | x " - Í y ” ) > + i x ” - i y ' ' ) - 3 7 = 0

Por lo tanto, CI \ : 19x” + 17y” + 265 = 0 , es la ecuación de 7\ en el sistema X’’0'V"

Aclaración. En este ejemplo, por el enunciado del mismo, se ha usado un ángulo derotación obtuso 0 □

FIGURA 3.12

I Nota. La simplificación de ecuaciones por rotación y traslación de ejes se verá posteriormente cuando se haga un estudio más detallado de las secciones cónicas y de la ecuación

general de segundo grado.


* En los ejercicios 1 ai 4, hallar las coordenadas x’ e y' del punto cuyas coordenadas x e y se dan, si se rotan los ejes coordenados alrededor del orinen un ángulo O (Guía: Ejemplo 1).

1. P(-2 . 4) ; 0 = 2409 3. P(-4\2 , V2) ; 0 = 2259

2. P(-3 ,7 ) ; O = 135® 4. P(-2V3 , 6) ; O = 120s

* En los ejercicios 5 al 8, hallar las coordenadas x e y del punto cuyas coordenadas x’ e y’ se dan, sabiendo que los ejes coordenados se han rotado alrededordel origen un ángulo O cuya medida se da (Guía: Ejemplo 3).

FIGURA 6.11

www.freelibros.com


5. P(2 - V3 , -1 - 2 \3) , G = 60» 7. P (-3 + 1V2 , -3 - | l £ ) . 0 = 135»

6. P(5 + 3^3 , 3 - 5V3) , 0 = 1 50 ® 8. p ( | V 3 - 2 , - y - 2 V 3 ) , 0 = 30»

9. Hallar las nuevas coordenadas del punto P(3V2 , -V6) cuando los ejes coordenados giran un ángulo de 15®.

10. Hallar la nueva ecuación de la recta 2?: x - V3y - 4 = 0 , después de una rotación según un ángulo de 30a.

11. Hallar la nueva ecuación de la recta SP : 4x + 3y - 5 = 0 , después de una rotación según un ángulo 0 = arcTg(3/4).

12. Por una rotación de ejes coordenados, transformar la ecuación <£ : x~ 2y - 3^5 = 0 en otra que carezca del término en x. (Guía: Ejemplo 6).

13. Si al efectuar una rotación de ejes según un ángulo agudo 0, la pendiente de la recta : 3x + y - 4V2 = 0 es 1/2, hallar el ángulo de rotación 0 y la nueva ecuación de la recta X. (Guía: Ejemplo 4).

* En los ejercicios 14 al 17, rotar los ejes X e Y de modo que la recta 2¡ cuya ecuación y pendiente son dadas, con respecto a los ejes X ’ e Y’, y obtener una ecuación en las variables x’ e y ’ de esta recta. (Guía: Ejemplo 4).

14. í : x + y + 2 = 0 , m = 0 16. x + y - 4 = 0 , m = 1/2

15. Cf : 3x + y - 6 = 0 , m = 3 17. 3x + y - 2 = 0 , m no está definida.

* En los ejercicios 18 al 21, hallar el valor del ángulo de rotación 0, de modo que la curva dada carezca del término xy.

18. 3x2-V3xy + 6y2= 12 20. 3V3x2 + 2xy + 5V3y2 = 10

19. 4x2-3V3xy + 7y2= 18 21. 7x2 - V3xy + 6y2 = 2

* En los ejercicios 22 al 25, hallar la transformada de la ecuación dada, al girar los ejes coordenados un ángulo 0 indicado.

22. 5x2 + 3xy + y2 = 4 , 0 = are Sen(V5/5) 24. x2 + 4V3xy - 3y2 = 30 , 0 = 30a

23. 3x: + 2xy + 3y2 = 8 , 0 = 45a 25. x2 - 2V3xy - y2 = 2 , 0 = 6Oa

26. La nueva ecuación de una curva es x’y’ + 2 = 0 después de una rotación según un ángulo de 0 = 45a. Hallar la ecuación original de la curva.

27. La nueva ecuación de una curva es 7y’2 - 13x’y’ - 2x’2 = 5 después de una rotación según un ángulo de 0 = arcTg(1/2). Hallar la ecuación original de la curva.

www.freelibros.com

EJERCICIOS : Grupo 24 265¡ * •.

28. Dados tres puntos A(5 , 5 ), B(2 , -1) y C(12 , -6). hallar sus coordenadas en el nuevo sistema, si el origen de coordenadas se ha trasladado al punto B y los ejes coordenados han girado un ángulo 0 = arcTg(3/4).

29. Se han dado dos puntos P(9 , -3) y Q(-6 , 5).El origen de coordenadas se ha trasladado al punto P y los ejes coordenados han girado de manera que la dirección positiva del nuevo eje de abscisas coincida con la dirección del segmento PQ. Deducir las fórmulas de transformación de coordenadas.

30. La recta & tiene pendiente negativa y pasa por el punto B(0 ,12) e ¡ntersecta al eje X en A. Sea G el baricentro del AAOB, siendo O el origen de coordenadas del sistema XY. Se efectúan una traslación y una rotación en sentido antihorario del sistema XY obteniéndose el sistema X’Y’ cuyo origen es A y cuyo eje de abscisas es /£. En el sistema X'Y’, la ecuación de la recta OG es x’ = 6v'2 y Oi 7 —

es punto del segundo cuadrante tal que d(Q , 2 ) = 4 y d(A , Q) = d( A , OG) - 2V2. Hallar las coordenadas de Q en las sistemas X ’Y’ y XY.

31. El sistema XOY es rotado en un ángulo a obteniéndose el sistema X’OY’. El punto (-2V3 , 2) se halla en la parte positiva del eje Y’. Sffel sistema X’O'Y’ es trasladado al punto P0(1 , V3) referido al sistema X ’OY’, se obii istema X” P0 Y” . Hallar la ecuación en el sistema original de la recta 7' cuya ouación en el sistema X” P0 Y” es x" = -1/2.

32. El sistema XY se traslada al punto (-2 ,1 ) y luego se rota un ángulo 0, resultando el sistema X'Y’ . En este nuevo sistema la ecuación de la recta 7 es y ’ = 3x’ - 2 y un punto sobre la parte positiva del eje Y’ es (-4 , 5) (en el sistema XY). Hallar en XY la ecuación de la recta 7-, de pendiente positiva sabiendo que forma un ángulo de 45a con la recta 7 que pasa por X f| X’.

33. Mediante una rotación del sistema XOY, se obtiene el sistema X'O’Y ' . de modo que el eje Y’ sea paralelo a la recta Sd: 2x - 3y - 6 = 0 (dada en el sistema XOY). Si en OX’Y’ , la ecuación de 7- es 4x’ - 7y’ + 13 = 0 , hallar la ecuación de 7, en el sistema original.

www.freelibros.com

266 Las secciones cónicas

En esta breve introducción a las secciones cónicas se discute la propiedad del toco (F), la directriz ( 3!) y la excentricidad (e), que se ilustra en el diagrama adjunto.

www.freelibros.com

INTRODUCCION A LASSECCIONES CONICAS

("D E F IN IC IO N 1 ) Sea í y a una recta y

un ángulo dados, sea P un punto de L La superficie formada por todas las rectas que pasan por P y forman un ángulo a con P, recibe el nombre de cono de revolución de dos ramas o mantos (Figura 1); la recta ( es el eje del cono y P su vórtice, las rectas que pasan por P y que lo forman son las generatrices del cono.

Como la denominación secciones cónicas surge del hecho de que éstas son las curvas en las que un plano intersecta a un cono, comenzaremos definiéndolas en términos de intersecciones de planos y conos de doble hoja.

t----------------------------- ^ * • *•[ D E F IN IC IO N 2 J S« denomina sección cónica (o simplemente cónica) al

conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos ramas. La curva que resulta depende de la inclinación del eje del cono respecto al plano que lo corta.

1. Si el plano secante es perpendicular al eje del cono, la intersección es una circunferencia. (Figura 2a)

2 . "S i e1 plano secante no es perpendicular al eje, pero corta a toda generatriz , la intersección es una elipse. (Figura 2b)

3. Si el plano secante es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás, la intersección es una parábola. (Figura 2c)

www.freelibros.com

268 Introducción a las secciones cónicas

d) I lipérbolaFIGURA 2 . Secciones Cónicas

4. Si el plano secante corta a dos ramas del cono y no pasa por el vértice, la intersección es una hipérbola. (Figura 2a)

Cuando el plano pasa por el vértice de la superficie cónica, se obtienen los lugares geométricos excepcionales que reciben el nombre de secciones cónicas degeneradas y pueden se r :a) Un punto, si el plano y la superficie cónica sólo tiene en común, el vértice.

(Figura 3a)b) Una recta si el plano es tangente a la superficie cónica, es decir, si el plano

contiene a una generatriz. (Figura 3b)c) Dos rectas si el plano contiene a dos generatrices. (Figura 3c)

a) Circunferencia

b) Rectaa)___ Punto c) Dos rectas que se corlan

FIGURA 3 : Cónicas degeneradas

www.freelibros.com

Introducción a las secciones cónicas 269

Otra forma de definir las cónicas es algebraicamente mediante la ecuación general del segundo grado

Ax: + Bxy + Cy1 + Dx + Ey + F = 0 procedimiento que se discutirá en el capítulo 10. No obstante, interesa una tercera vía en la que cada cónica se define como un lugar geométrico de puntos que satisfacen una propiedad geométrica.

DEFINICION 3. Sección cónica como lugar geométrico____________________Una sección cónica se define como el lugar geométrico trazado

por un punto que se mueve de tal manera que sus distancias no dirigidas a un punto fijo {focó), y a una recta fija (directriz), están en una relación constante positiva (excentricidad). Esto es, si K es la cónica, P(x , y) el punto genérico, F el foco , ( la directriz y e la excentridad, entonces :

K = { P ( x , y ) e t f l l P F l =e\d(P J ) \ )

Para deducir la ecuación de la cónica, tomamos la directriz a lo largo del eje Y, el foco F(2p , 0) y hacemos que P(x , y) sea un punto cualquiera del conjunto que forma la cónica. Entonces, por la definición 3 :

iPFl = e | P D | => V(x - 2pf + y2 = e x de donde obtenemos :

(1 - e2)x2 - 4px + 4p: + y1 = 0y a s í :

x = 2p ± V4p1 e2 + e2y2 - y3

Haciendo y = 0 , se tiene :

2P xX , =1 1 - e 2p

FIGURA 4

1 + eDiscusión de las soluciones

Caso 1. Si e - 1 ■=> x, = °° ó x, = pEn x, la curva se extiende al infinito y en x, intercepta al eje x a p unidades del origen (es el vértice de la cónica). La curva se denomina parábola. (Figura 5a)

Caso 2. Si 0 < e < I , los valores de x p y x, son reales, desiguales y del mismo signo, es decir, la curva corta al eje X en dos puntos sobre un mismo lado de la

www.freelibros.com

270 Introducción a las secciones cónicas

directriz, por lo que tiene dos vértices y un centro. La curva es una cónica central llamada elipse. (Figura 5b)

Caso 3. Si e > 1, los valores de x, y x, son reales, desiguales y de signos contrarios (x, es negativo y x, es positivo), es decir, ta curva corta al eje X en dos puntos diferentes sobre lados opuestos de la directriz. La curva es también una cónica central llamada hipérbola. (Figura 5c).

En resumen, para una recta t y un punto fijo F, que no está sobre (, el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de las distancias de P a F y a i es una constante e, se ilustra en la Figura 5.

( EJEMPLO 1 ) Una cónica K pasa por el punto A( -2, 3), tiene por foco el puntoF(2 , 3) y directriz, la recta i : y + 1 = 0. Identificar la cónica y

hallar su ecuación.

Solución. Sea P(x , y) el punto genérico de la cónica. Entonces, por la definición 3:

iP F l = e\d(P, t )que toma la forma analítica

k : V(x - 2)2 + (y - 3)2 = H y + ! I (1)Como A(-2 , 3) e K <=> V(-2 - 2)J + (3 - 3)1 = e 13 + 11 , de donde : e = 1 Por tanto, la cónica es una parábola. Luego , en (1) se tiene

V(x - 2)2 + (y - 3)J = I y + 11 <=> & : \2 - 4x - 8y + 12 = 0 □

[EJEMPLO 2 ) Sea K la cónica que pasa por el punto A(2 , -7/5) , tal que sudirectriz es la recta 9!: 4x - 21 = 0 y su foco correspondiente es

el punto F(3 , 1). Identifique la cónica y halle su ecuación. ‘s‘

www.freelibros.com

/ /

Solución. Sea P(x , y) un punto cualquiera de la cónica.

=» iPFl = d d (P . f)\

cuya forma analítica es. K : V(x - 3)- + (y - 1)J = e |4x^ 2 1 1 (1)

,________________ 14(21-211 13 I 131Dado que A ( 2 7/ISf) e K. «=* 2 - 3f + (- 7/5 - 1 Y = e 1 « — = r |- — |

donde ; e - 4/5, como e e < 0 , 1>, la cónica es una elipse, jstituyendo eirr P)¡ obtenemos la ecuación requerida, esto es :

_______________4 14» . 21 iv(x - 3)f + ( y - I)? = - - » S: 9x2 + 25y2 + 18x - 50y -191 = 0

51 4 I

I! OBSERVACIONES11. Se dice que una cónica está en posición canónica cuando el vértice o centro

(cónicas centrales) está en el origen y su eje principal es uno de los ejes coordenados.

2'. Se dice que una cónica esta en posición canónica generalizada cuando el vértice: o centro no está en el origen y su eje principal es coincidente o paralelo a uno de los ejes coordenados.

3i Se dice que una cónica no está en posición canónica cuando su eje principal no es paraleló a uno de los ejes coordenados.La definición 3 también es aplicable en estos casos, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

[ E J E M P L O 3 ) Sea K la cónica que pasa por el punto A(-5 , 3), tal que su directriz es la recta < :x + y - 1 = 0 y s u foco correspondiente es

eli punto F(-2 ,. O). Identificar la cónica y hallar su ecuación.Solución. Obsérvese que la cónica K no está en la posición canónica, pues su

directriz ( es una recta oblicua, sin embargo, sea P(x , y) un puntocualquiera dé la cónica, entonces por la definición 3 :

iPF l = e \d(P, t ) --------------------- tx + y - l l

cuya forma analítica es : v(x + 2)- + y2 = e -----——I V2 I

Si A<-5 „ 3) e K => V(-5 + 2)2 + 3; = e [~5 , de donde e = 2

Como e » l i , la cónica es una hipérbola.Sustituyendo el valor de e en (1) y elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad y simplificando encontramos que la ecuación de la hipérbola es

: x2 + 4xy + y2 - 8x - 4y - 2 = 0 Q

Introducción a las secciones córneas___ / ________________________ 271

www.freelibros.com

272 Capítulo 7. La parábola

ELEMENTOS DE LA PARABOLA

1. Vértice (V) 5. Eje de simetría ( t t)2. Foco (F) 6. Cuerda (CE)3. Directriz (DD’) 7. Cuerda Focal (AB)4. Lado Recto (LR) 8. Radio Vector (PF)

ECUACIONES DE LA PARABOLA

1. Forma Canónica : y2 = 4px ó x2 = 4py2. Forma Ordinaria : (y - k)2 = 4p(\ - h) ó (x - h): = 4p(y - k)3. Forma General : y2 + Dx + Ey + F = 0 ó x2 + Dx + Ey + F = 0

www.freelibros.com

LA PARABOLA

f ------------------------------------------------------------------------------

e s DEFINICION. Una parábola es el conjunto í? de todos los puntos en ¡el plano R1 que equidistan de una recta fija DD’, lia- !

mada directriz, y de un punto fijo F, denominado foco, que no pertenece a la recta. En síntesis :

= {P e /tí / í / (P ,F ) = ¿ (P ,D D ’)}V_________________________ JSegún esta definición, y refiriéndonos a la gráfica de la Figura 7.1, se tiene .

P e ? <=> I P“F I = d(P , t)A e á » » |AF| =d{fK,í)B e & » IBFI = d{B , í )V e ^ « | V F | =d(V , t )

C T 1 ELEMENTOS DE UNA PARABOLA_________________________

1. Vértice (V). Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.2. Foco (F). Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a p unidades del

vértice.3. Eje de simetría ( l t). Recta perpendicular a la directriz ( y que pasa por el vértice y

foco.4. Cuerda (CE). Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la

parábola.5. Directriz (f). Recta fija, perpendicular al eje de simetría t .6. Cuerda Focal (AB). Segmento de recta que une dos puntos de la parábola

pasando por el foco.7. Lado Recto (LR). Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría.

www.freelibros.com

274 Capitulo 7. Laipaintiolái

8. Radío Vector (PF). Segmento de recta que une el foco con un punto dÉeiarpar»- bola.

Q 3 FORMAS CARTESIANAS DE LA ECUACION DE UNA PAflM M BBIIift

Ahora veremos que la ecuación de una parábola toma su forma rrráffismjfite cuando su vértice está en el origen y su eje de simetría coincide con unoidteltesajpss coordenados.

^PRIMERA FORMA) Parábola de eje coincidenle con el eje XConsideremos que el vértice de la parábola sea V((D„a))yyq}ifie

su eje de simetría sea el eje X (y = 0).Sea p la distancia dirigida desde el vértice hasta la directriz o al foco, esátoss

\p\ = IQV I = | VF|Entonces, las coordenadas de Q y F son :

-Q (-p , 0) y F(p , 0)Como la directriz es una recta vertical que pasa por Q, su ecuación será : \ = -p *=$ i :x + p = o Siendo la parábola un lugar geométrico, deduciremos su ecuación siguiendo las reglas dadas en el capítulo 3.1. Sea P( x , y) el punto genérico de la parábola2. Por definición, si P e & <=> | PF I = d(P , l)

=> ^(* - pY + (y - oy = I x + p I3. Elevando ambos miembros al cuadrado se

tiene :(x - p)1 + y2 = (x + pY

de donde : y2 = 4px (1)

Discusión de la ecuación. Está claro que la gráfica de la ecuación (1) mam cure)origen y es simétrica respecto del eje X.

Despejando y = /(x ), obtenemos :y = ± 2 Vpx ■=> yes real o p x > 0

Esto significa que p y x tienen el mismo signo, por lo que debemos consctean ates casos :a) Si p > 0, el foco estará en la parte positiva del eje X y la concavidadíatteltegjisflcae

es hacia la derecha (Figura 7.2), esto es, D o m ^ ) = [0 , + °°>b) Si p < 0, el foco estará en la parte negativa del eje X y la concavidadlcte-ltr gráfica'

está hacia la izquierda, esto es, Dom(;^) = <-« . , 0]

www.freelibros.com

Sección 7.3: Formas cartesianas de la ecuación de una partí hola

[ se g u n d a f o r m a ) Parábola ele eje coincidente con el eje ¥_________Sea una parábola con vértice en el origen, tal que et eje de

simetría coincida con el eje Y. Siendo : si p I = I QV I = I V F I => Q(0 , -p) y F(0 , p)Como la directriz es una recta horizontal que pasa por Q, su ecuación es, ( . : y + p = 0 Luego, procediendo como en la primera forma se tiene :1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico2. Si P e J9 | PF | = d(P , ()

=¡> Vx2 + (y - p)2 = ly + p I3. Elevando al cuadrado :

* i + ( y - p ) 2 = (y + pY => xJ = 4/?y (2 ) ^FIGURA 7.3

Discusión de ecuación. Es evidente que la curva pasa por el origen y es simétrica respecto al eje Y. Despejando x = / ( y ) se tiene :

x = ± 2-Jpy ■=> x es real « py > 0 Esto significa que tanto p como y deben tener el mismo signo.a) Si p > 0, el foco estará en la parte positiva del eje Y, y la gráfica de la curva se

extiende hacia arriba (Figura 7.3), esto es, Ran(á^) = [0 , + °°>b) Si p < 0, el foco estará en la parte negativa del eje Y, y la gráfica de la curva se

extiende hacia abajo, esto es, Ran(^) = <-°° , 0]

I Nota. Las ecuaciones (1) y (2), por ser las más simples, reciben el nombre de formas ' canónicas de la ecuación de una parábola.


( E J E M P L O T ) Hallar la ecuación de la parábola que tenga por foco F(-5/3 , 0) y directriz la recta ( : 3x - 5 = 0.

Solución. Sea P(x , y) un punto cualquiera de la parábola. Entonces por definición, d(P , F) = d(P , f)

<=> V(x + 5/3)2 + (y - 0)2 = ! , de donde : 3y2 + 20x = 0 CU

www.freelibros.com

276 Capítulo 7; La parábola

[E JE M P L O 3 ) Hallar en la parábola y2 = 16x los puntos cuyos radios focales son iguales a 13.

Solución. Si y2 = 16x ■=> 4/> = 16 <=> p = 4Por la fórmula obtenida en el ejemplo 2, se tiene :

r = |x ,+ / r | t=> 13 = Ix, + 4.1 <=> x, + 4=13 ó x, + 4 = -13<=> x, = 9 ó x ( : -17

Como p > 0, la curva se abre hacia la derecha del eje Y, por lo que x, debe ser positivo; luego, para x, = 9 <=> y-’ =16(9) <=> y, =±12 Por lo tanto, los puntos requeridos son ;

P, = (9 , 12) ó P, = (9 , - 1 2 )□

[ EJEM PLO 4 j Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola 3 " : x2 + 8y = 0 que es paralela a la recta : 3x + 4y - 7 = 0

So luc ión . Si xJ = - 8y => <Xp = - 8 >=> p = - 2luego, el foco tiene por coordenadas :

F(0 , -2). La familia de rectas paralelas a <1\ esSP : 3x + 4y + k = 0 (1)

SI F(0, -2) e % => 3(0) + 4(-2) + k = 0, de donde k = 8Entonces en (1); SP : 3x + 4y + 8 = 0

Ahora, fl = P,(8 , -8) y P,(-2 ,-l/2 )I P?P, I = V(8 + + (-8 + 1/2)- = 25/2 □

y ^\ . .

V , , __________ JFIGURA 7.5

FIGURA 7.4

[ EJEM PLO 2 j Demostrar que la longitud del radio vector de cualquier puntoP,(x, , y,) de la parábola y2 = 4px es , r = | xt + p \

Demostración. En efecto, sea la parábola //' : y 2 = 4px -

cuyo foco tiene por coordenadas, F(p , 0)

Si P,(x, , y,) e & =7 yp = 4p\i (1)y si r = d(F , P,) = i r = V(x, - y?)2 + y,2 (2)Luego, sustituyendo (1) en (2) se tiene :

r = V(x, -p )1 + 4/rx, = V(x, + p)2r = | x, + p I □

www.freelibros.com

Sección 7.3: Formas cartesianas de la ecuación de una parábola

[ EJEMPLO 5 ) En cierta parábola la distancia del vértice al foco F es 1. P es un punto de la parábola que dista 5 unidades del foco. Q es la

proyección de P sobre la directriz. R es la intersección de la directriz con el eje. Hallar el área del cuadrilátero PQRF.

Solución. El cuadrilátero PQRF es un trapecio

rectángulo de lados paralelos PQ y FR , y altura PH , la ordenada de P. Entonces :

a(PQRF) = - i ( | PQ | + 1FR I) IPH | (1)

por definición : IPF | = I PQ | = 5 (2)I FR I = 2 IV F I =2(1) = 2 (3)

Si I PQ I = I PB I + | BQ I <=> 5 = x + 1 => x = 4 La ecuación de la parábola es de la forma: y2 = 4px Luego, para x = 4 , y2 = 4(1 )(4) = 16

=> y = | PH I = 4 (4)Sustituyendo (2), (3) y (4) en (1) obtenemos :

a (PQRF) = j (5 + 2)4 = 14u2 □ FIGURA 7 6

C E J E M P L O 6 1 Por el foco de la parábola y2 = 4px pasa una cuerda que forma un ángulo de 45® con el eje X. Qué relación hay entre la longi

tud de la cuerda y la del lado recto.Solución. Sean P ^x ,, y t) y P,(x2, y2) los extre

mos de la cuerda focal. Dado que x, , Xj y p son positivos, entonces por la fórmula obtenida en el ejemplo 2 :

I P,F | = x, + p y I P2FI = x2 + p =7 Í = |P[P2I =1 P¡F| + |p jF | = x) + x1 + 2p (1)La pendiente de la cuerda focal es, m = Tg45° = 1, y su ecuación : y = x - p Interceptándola con la parábola se tiene :

(x - p)2 = 4px ■=> x2 - 6px + p2 = 0 Las raíces de esta ecuación son las abscisas de P, y P,, luego por una propiedad de las raíces :

x, + x2 = 6p Entonces en (1): f =6p + 2p = 8p

( 8 p

> x

FIGURA 7.7

- - □

www.freelibros.com


[E J E M P L O 7 ) Dada la parábola y2 = 8x, hallar la ecuación de la cuerda focal cuya longitud sea 5 veces el lado recto.

Solución. Si 4/; = 8 ■=> p = 2 , luego : F(2 , 0)Sean P,(x,, y,) y P ,(x,, y,) los extre- ^ ------------------------------------ ^

mos de la cuerda. Como x , , x2 y p son positivos, entonces

I P[F I = x, + 2 y I p7f I = X 2 + 2<=> ¡ P,F i + I P2F | = (x, + x,) + 4 Pero,! P[P, I = 5(LR) ^ | P^F I + 1 p7f I = 5(8) = 40■=> 40 = (x, + x,) + 4 <=> x, + x2 = 36 (1)Ecuación de la cuerda foca l: y = m(x - 2)Interceptándola con la parábola se tiene : m:(x - 2)2 = 8x ■=> m:x: - 4(m¡ + 2)x + 4 = 0 La suma de las raíces de esta ecuación es :

4(m! + 2)

» x

X. + x ,=

Luego, en (1):4(m3 + 2)

m-

= 36

FIGURA 7.8

1 1m-

m2 = — o m = — ó m = — 4 2 2

Por tanto, las ecuaciones de las cuerdas focales son :: x - 2 y - 2 = 0 ó : x + 2y - 2 = 0 □

[ EJEMPLO 8^ Dada la parábola & : y2 = 20x, hallar la ecuación de la cuerda que pasa por el punto P(2 , 5) y se divide en él por la mitad.

Solución. Sean P ,(x ,, y,) y P,(x2, y,) los extremos de la cuerda.S iP,(x, ,y ,)e => y,2 = 20x,

P ,(x ,, y,) e & => y,2 = 20x,Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se tiene:

20(x, - x2) => (y, + y2)(y, - y,) = 20(x, - x2)

y. - y 2 20

*. - x: y,_7 y:Como P(2 , 5) biseca al segmento P,P,

=> y, + y: = 2(5) = 10 20 10

( 1)

Luego, en (1)

r Y> A

AI ■ V y

r

c

V F

m = = 2 FIGURA 7.9

www.freelibros.com

Sección 7.3: Formas cartesianas de la ecuación de una parábola

Por tanto, la ecuación de la cuerda es :y - 5 = 2(x - 2) <=> <£ : 2x - y + I = 0 □

( EJEM PLO 9 ) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice yios extremos del lado recto de la parábola x2 = 4y.

Solución. S ix 2 = -4y ■=> 4p = -4 <=> p = -1Las coordenadas de los extremos del lado recto son :

L( ¡ 2/r I , p) y R(- \2p\ , p) .=» L (2 , -1) y R(-2 , - t)Usaremos el método de la circunferencia y tres condiciones, esto es, sea la circunferencia 'S : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (1)Si V(0 , 0) £<&•=> 0 + 0 + 0 + 0 + F= 0 ■=> F = 0

L(2 , -I) e <¡? 4 + 1 + 2D - E = 0 =* 2D - E + 5 = 0 (2)R(-2, - I) e í í e=» 4 + 1 - 2D - E = 0 => -2D - E + 5 = 0 (3)

Resolviendo (2) y (3) por simultáneas obtenemos ; D = 0 y E = 5 Por lo que, en (1) se tiene, ^ : x2 + y2 + 5y = 0 Q

(E J E M P L O l o ) Sean los puntos P=(x,, y t) y Q=(x2 , y2) de la parábola y2 = 4p\a) Hallar la abscisa en el origen de la recta que contiene a PQ

b) Si desde el vértice de la parábola dada se ve la cuerda PQ bajo un ángulo recto, encuentre la abscisa en el origen de la recta que contiene a PQ.

Solución, a) Si P(x, , y,) e ófi .=> yf = 4px¡Q(x2, y,) e => y22 = 4p\2

Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se tiene:y * - y3- = 4/>(x, - X,) (y, + y,)(y, - y;) = 4p(x, - x,)

=, h l h - 4px, - x2 y, + y.

El primer miembro de esta igualdad es ¡a pendiente de la recta que contiene a PQ, por lo que

4psu ecuación es : y - y, = ----------- (x - x )

1 y, + y, 1 => (y - y,)(y,+ y,) = 4p(x - x,)

Para y = 0 <=> - y (2 - y ty = 4px - 4pxty y,Como y,2 = 4px( <=> -y|y J = 4px c=> x = - ': ~

» x

FIGURA 7.10

www.freelibros.com

280 Capítulo 7: La parábola

__ _ | y \b) Si OQ 1 OP = > m o0 = - -ñ r - = > ^ = - y í - => y,y2 = - x,x,11 'op A: j iy si y,2 = 4/>x, e y22 = 4/?x, => (y,y,)2 = 16p2x,x,

=> (-x,x2)2 = 16 /?2x , x 2 => x,x2=16p2■=> y,y2 = - '6P!

En la parte a) obtuvimos la abscisa en el origen de PQ :

4 , = LR □4p 4p


1. Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el origen, sabiendo que es simétrica respecto al eje Y, y que pasa por el punto P(4 , -8).

2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es F(0 , 3/2) y cuya directriz es la recta ( : 2y + 3 = 0. (Guía: Ejemplo 1).

3. Demostrar analíticamente, que la longitud del radio vector de cualquier punto de la parábola x2 = 4py es r = I y, + p I . (Guía: Ejemplo 2).

4. Hallar en la parábola y2 = -12x los puntos cuyos radios vectores son iguales a 6. (Guía: Ejemplo 3).

5. Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2 = 4y que es perpendicular a la recta 2! : x + 2y - 8 = 0. (Guía: Ejemplo 4).

6. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola x2 + 9y = 0 cuya abscisa es igual a -3/2.

7. Por el foco de la parábola y2 = 4p\ pasa una cuerda que forma un ángulo de 60® con el eje X. ¿Qué relación hay entre la longitud de la cuerda y la del lado recto? (Guía: Ejemplo 6).

8. Dada la parábola x2 = 12y, hallar la ecuación de la cuerda que pasa por el punto M(-2 , 3) y se divide en él por la mitad. (Guía: Ejemplo 8).

9. Dada la parábola y2 = 5x, hallar la pendiente de la cuerda focal cuya longitud sea 4 veces el lado recto.

10. Dada la parábola y2 =16x, hallar la ecuación de la cuerda focal cuya longitud sea de 25 unidades.

11. Un triángulo rectángulo isósceles está inscrito en la parábola y2 = 4p\, con el ángulo recto en el vértice de la curva. Hallar la longitud de la hipotenusa.

www.freelibros.com

Sección 7.3: Formas cartesianas de la ecuación de una parábola 281

[ TERCERA FORMA) Parábola de eje paralelo al eje X

FIGURA 7.11

Consideremos la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y cuyo vértice es el punto V(h , k). Si trasladamos el sistema de coordenadas XY al sistema X ’Y’ de tal forma que el nuevo origen O’ coincida con V(h , k), obtenemos una parábola con vértice en O’, cuya ecuación os :

y’2 = 4px' (a)Las formulas de traslación dan :

x’ = x - h , y ’ = y - k que sustituidas en (a) se obtiene

(y - k)2 = 4p(x - h) (3)

Además de la ecuación, es de interés conocer los siguientes elementos de la parábola.1. Vértice : V(h , k )2. Foco : F(h + p , k)3. Lado recto : LR = 14p |4. Ecuación de la directriz , i : x = h - p5. Ecuación del eje , : y = k6. Coordenadas de los extremos del lado recto :

L(h + p , k + 12p I ) , R(h + p , k - 1 2p | )7. Longitud del radio vector:

r = |x, - h+p\

( CUARTA FORMA ) Parábola de eje paralelo al eje Y

Consideremos ahora la parábola cuyo eje es paralelo al eje Y, y cuyo vértice es el punto V(h , k). Análogamente, la ecuación de la parábola con relación al sistema X’Y’, es :

x’2 = 4py' (p)Usando las fórmulas de traslación :

x ’ = x - h , y ’ = y - k y sustituyendo en (p) obtenemos , en el sistema XY :

(x - h)2 = 4p(y - k)FIGURA 7.13

www.freelibros.com


Las ecuaciones (3) y (4) se denominan formas ordinarias de la ecuación de una parábola.Como en la forma anterior, es de interés conocer los siguientes elementos de la parábola.1. Vértice : V(h , k)2. Foco : F(h , k + /;)3. Lado recto : LR'= I 4p I4. Ecuación de la directriz , P : y = k - p5. Ecuación del eje , f : x = h6. Coordenadas de los extremos del lado recto

L(h + I 2p] , k + p) , R(h -\2p\ , k + p)7. Longitud del radio vector:

r = | y , - k + p |

E JE M P L O S IL U S T R A T IV O S

( E J E M P L O 1 ) Hallar la ecuación de la parábola, si se dan el foco F(5 , 2) y la directriz P. : x -3 = 0.

Solución. El problema se puede resolver por dos métodos.

El primero consiste en hacer uso de las fórmulas para localizar el vértice y calcular p .

En efecto, al ubicar el foco y la directriz en el plano vemos que la forma de la ecuación es

.? : (y - k)2 = 4p(x - h) (1)

s i, - (h * P . k) = e--<5. 2> (2>L k = 2

y si P : x - 3 = 0 o h - p = 3 (3)Al resolver (2) y (3) por simultáneas, obtenemos:

h = 4 , p = lPor lo que, sustituyendo estos valores en (1), se tiene, ,3a : (y - 2)2 = 4(x - 4)

El segundo método consiste en la aplicación de la definición de parábola. Esto es, en cualquier posición de P, se cumple : d(P , F) = d(P , P)

=> V(x - 5)2 + (y - 2)! = I x - 3 i =* (x - 5)2 + (y - 2): = (x - 3)2« .y : (y - 2)-’ = 4(x - 4) □

FIGURA 7.14

www.freelibros.com

Sección 7.3: Formas curie signas de la ecuación de una parábola 28.'

( EJEMPLO 2 ) Hallar la ecuación de la parábola que tiene el vértice en V{-3, 5)y cuyos extremos del lado recto son L(-5 , 9) y R(-5 , 1).

Solución. Como los extremos del lado recto están sobre una línea vertical (tienen la mis

ma abscisa), el eje de la parábola es horizontal,por lo que su ecuación tiene la forma

» : (y - k)2 = 4/Kx - h) (1)Ahora, si V(h , k) = V(-3 ,5) o h = -3 y k = 5y si LR = 14/71 => 14p I = 19 - 1 I = 8

<=> p = 2 ó p - - 2Dado que la curva se extiende hacia la izquierda, elegimos p = -2. Por tanto, en (1) se tiene

d? : (y - 5)2 = -8(x + 3) □ FIGURA 7.16

( E J E M P L O 3 J Hallar la ecuación de la parábola con foco en F(2 , 1), vértice sobre la recta ,2?:3x + 7 y + 1 = 0 y cuya directriz es horizontal.

Solución. Si la directriz es horizontal , entonces el eje de la parábola va vertical,por lo que su ecuación tiene la forma, : (x - h)2 = 4/?(y - k) (1)

Si F(h , k + />) = F{2 , 1) « { k + p = l (2)

y si V(h . k) e á? ^ 3h + 7k+ 1 = 0 ^ 3(2)-+ 7k+ 1 = 0 « k = - lSustituyendo en (2 ) : -1 + p = 1 <=> p = 2Por lo tanto, en (1) tendremos la ecuación requerida, esto es,

^ : ( x - 2 ) 2 = 8(y+ I) □

(E JE M P LO 4 J Hallar la ecuación de la parábola con vértice sobre la recta : 3x - 2y - 19 = 0, foco sobre iZ’ : x + 4y = 0 y directriz, í : x = 2

Solución. Como la directriz es una recta vertical, la ecuación de la parábola tiene la forma.

& : ( y - k ) 2 = 4/>(x-h) (1). , V (h ,k )e á? c=> 3 h -2 k - 19 = 0 (2)Ahora, si -í ' ' 1

^ F(h + p , k) e á?2 ■=> (h + p) + 4k = 0 (3)Además , ¿ :x = h - / j = > 2 = h - / j , (4)Resolviendo (2), (3) y (4) por simultáneas, obtenemos :h = 5 ,k = -2,/? = 3Por tanto, en (1) se tiene , .3®: (y + 2)2 = 12(x-5) O

www.freelibros.com


i E J E M P L O 5 ) Hallar la ecuación de la parábola cuyos puntos extremos de su lado recto son L(7 , 3)“y R(1 , 3).

Solución. Obsérvese que los extremos del lado recto tienen la misma ordenada, esto es, están sobre una línea

horizontal, por lo que la ecuación de la parábola tiene la forma

.7 : (x - h)2 = 4/>íy - k) (1)Como el foco biseca al segmento LR,

t i + I 3 + 3F ( - -) o F(4 , 3)

Y A

y si F(h , k + p) = F{4 , 3) « { FIGURA 7.17

2 2 Si LR = I 4p I I 4p I = I 7 - 1 | = 6

<=>/? = 3/2 ó p = -3/2 (2)h s 4k+p = 3 (3)

De (2) y (3) obtenemos : k, = 3/2 ó k, = 9/2Por tanto, en (1) tenemos dos soluciones , : (x - 4)2= 6(y - 3/2)

.5» : (x - 4)2 = -6(y - 9/2)

* x

□

( E J E M P L O 6 ) Hallar la ecuación de la parábola con directriz t : x = 2 , eje¿i '■ y = 1 y que pasa por el punto A(7 , 4).

Solución. Como el eje es una recta horizontal, la ecuación de la parábola tiene laforma

,7>: (y - k)2 = 4p(x - h) (1)Ecuación del eje , t : y = k <=> k = 1Ecuación de la directriz , ( : x = h - p <=» h -p = 2 => h = /7 + 2Luego, en (1) tenemos , .7' : (y - l ) 2 = 4p(\ - p -2)Si A (7 , 4) e .7' =* (4 - I)2 = 4p(l -p - 2) 4pz-20p + 9 = 0 » p{ = 1/2 ó p2 = 9/2

o h, =5/2 ó h,= 13/2Por lo tanto, hay dos soluciones

: (y - i ) 2 = 2(x - 5/2) ó .3»; (y - l)2= !0(x - 13/2) □

( EJEM PLO 7 ) Hallar la ecuación de la parábola con vértice sobre la recta 5* : x - y + 1 = 0, de directriz horizontal, foco sobre la recta

?2 :x + y + 3 = 0 y que pasa por A(5 , 6).

Solución. Siendo el eje vertical, la ecuación de la parábola es de la forma■f': (x - h)2 = 4/>(y - k) (1)

www.freelibros.com

Sección 7.3: Formas cartesianas de la ecuación de una parábola 2S5

*Si V(h ,k )e S? ■=> h - k + l = 0 ■=> k = h + | (2)

F(h , k + p) e 5? <=> h + (k + p) + 3 = O c=> h + (h + I + /;) + 3 = O■=* p = -2(h + 2) (3)

A(5 , 6) e ^ (5 - h)2 = 4p(6 - k)(5 - h)2 = -8(h + 2)(6 - h - 1)

■=> (5 - h)(7h + 21) = O <=> h, = 5 ó h, = -3tuego, en (2) y (3) se tiene : k, = 6 ó k, = -2 ; ^ = - 1 4 ó p2 = 2Por lo tanto, en (1) hay dos soluciones

3>x: (x - 5)2 = -56(y - 6) ó 3» : (x + 3)2 = 8(y + 2) □

(E J E M P L O 8 ) Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal, que pasapor los puntos A(-1 , -3) y B(2 , 3) y cuyo lado recto mide 12

unidades.

Solución. Si LR = 12 <=> 14p I =12 <=> 4p = 12 Ó 4p = -12 Por lo que existen dos parábolas

? x: (y - k)2 = 12(x - h) ó á» : (y - k)2 = -I2(x - h)Si A(-l ,-3 )e á» <=> (-3 - k)2 = 12(-l - h) « (3 + k)2 + 12 = -12h (1)

B(2 , 3) £ &x => (3 - k)2 = 12(2 - h) <=> (3 - k)2 - 24 = -I2h (2)De (1) y (2) se deduce que : (3 + k)2 + 12 = (3 - k)2 - 24 de donde obtenemos , k = -3 ; luego , en (1) se tiene : h = -1

, ^ : ( y + 3)2= 1 2 (x + l)Si A(-l , -3) e 3» <=> (-3 - k)2= -12(-1 -k)2 = -12(-l - h) <=> (3 + k)2 - 12 = 12h (3)

B(2 , 3) e 3* c=> (3 - k)2 = -12(2 - h) o (3 - k)2 + 24 = 12h (4)De (3) y (4) se tiene : (3 + k)2 - 12 = (3 - k)2 + 24 <=> k = 3 , luego en (4) , h = 2

3 » : ( y - 3 ) l = -12(x • 2) □

( E J E M P L Q 9 ) Una parábola pasa por A(4 , y B(-2 , 4). Su tangente en elvértice V es la recta í ? : y + 4 0. Hallar su ecuación.

Solución. Forma de la ecuación (x - h)2= 4/)(y - k)

Si V(h , k) e c£ => k + 4 = 0 o k = -4 Entonces, (x - h)2 = 4/?(y + 4) (1)A (4 , -2) £ . r c > ( 4 - h)2 = 8p (2)B (-2 , 4) e í? ■=* (-2 - h)2 = 32p (3)De (2) y (3) se sigue que :4(4 - h)2 = (-2 - h)2 <=> h2 - 12h + 20 = 0

O h1 = 2 Ó h2=10 FIGURA 7.18

www.freelibros.com


Sustituyendo estos valores en (2) se tiene : p, = 1/2 ó p2 = 9/2 Luego, en (1) tenemos dos soluciones

á» : (x - 2)2 = 2(y + 4) ó J » : (x - I0)2 = 18(y + 4) □

(e j e m p l o 1 0 ) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los ptmtos A(7 , 8), B(2 , -2) y que tiene como directriz la recta x-=-3

Solución. Forma de la ecuación : (y - k)2 = 4p(x - h)

Si ¿ : x = -3 <=> h - p = -3 «=> h = p - 3=» (y - k)2 = 4p(x - p + 3) (1)

A(7 , 8) e &> <=> (8 - k)2 = 4p(10 - p) => k = 8 - 2Vp(10-p)B(2 , -2) e 9> (-2 - k)2 = 4p(5 - p) k = 2Vp(5 - p) - 2 (2)Luego : 8 - 2Vp(19 - p) = 2Vp(5 - p) - 2 <=> 5 - Vp{ 10 - p) = Vp(5 - p)Elevando ambos miembros al cuadrado se tiene : 5 + p - 2Vp(10 - p)de donde : p 2 - 6p + 5 = 0 <=> pt = 1 ó p, = 5Sustituyendo en (2 ): k, = 2 ó k, = -2Por lo tanto, en (1), tenemos dos soluciones (Ver Figura 7.19)

: (y - 2)2 = 4(x + 2) ó .9>2: (y + 2)2 = 20(x - 2) □

(EJEMPLO 11 ) El eje focal de una parábola es mediatriz del segmento AB, donde A(8 , 6) y B(8 , -2) son puntos de Si la directriz ( de 3P

pasa por el centro de la circunferencia %': x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0, hallar la ecuación de la parábola y su foco sabiendo que la abscisa de su vértice es mayor que 5.

Solución. Si V : (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9 => C(3 , 2)M es punto medio de AB ■=> M = (8 , 2)

Ecuación del eje de la parábola , l x : y = k y como M e ^ , o y = 2 = kForma de la ecuación de la parábola ^ : (y - 2)2= 4p(x - h) (a)Si A e <=> (6 - 2)2 = 4p(8 - h) <=> p(8 - h) = 4 (1)Ecuación de la directriz , ( : x = h - pSi C(3 ,2 )e í c=> 3 = h - p ■=> p = h - 3 (2)Sustituyendo (2) en (1) se tiene :

(h - 3)(8 - h) = 4 h2 - 11 h + 28 = 0 « h = 4 ó h = 7 Por condición del problema h > 5 <=> h = 7 => p = 4 Por tanto, en (a), obtenemos

3>>: (y - 2)2 = 16(x - 7) y F(h + p , k) = F(11 . 2) □

www.freelibros.com

Sección 7.3: Formas cartesianas de la ecuación de una parábola 287



En los ejercicios 1 al 10, hallar las ecuaciones de las parábolas que satisfagan las condiciones dadas.

1. Vértice: V(-3 , 2) ; Foco : F(-1 , 2)2. Vértice : V(-1 , -3) ; Directriz : Eje X3. Foco: F (-3 ,1 ) ; Directriz : 2y - 3 = 04. Foco : F{-3/4 , 4) ; Directriz : 4x + 5 = 05. Foco : F(4 , -2) ; Eje : y = -2 ; longitud del lado recto : LR = 66. Foco : F(2 , 1) ; Vértice sobre X : 3x + 7y + 1 = 0 , directriz horizontal7. Directriz , t : x = 2 ; Eje, t , : y = 1 ; pasa por A(7 , 4)8. Vértice sobre X : 2X + y - 6 = 0 ; directriz > y + 5 = 0 ;L R = 129. Foco: F(4 , -1) ; Eje , t y : x = 4 ; pasa por A(8 , 2)

10. LR = 6 ; directriz ( : y + 3 = 0 ; foco sobre X : 2x - y + 1 = 0

11. Hallar la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento entre los puntos L(3 , 5) y R(3 , -3). (Guía: Ejemplo 5).

12. Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal con foco en F(-2 , 3) y vértice sobre la recta X : 5x - 2y - 4 = 0. (Guía: Ejemplo 3).

13. Hallar la ecuación de la parábola con vértice sobre la recta 5?: x + 3y + 1 =0, foco sobre .2? : 3x - 2y + 29 = 0 y directriz el eje Y. (Guía: Ejemplo 4).

14. Hallar la ecuación de la parábola que es simétrica respecto de la recta y + 4 = 0, es tangente a la recta x - 6 = 0 y la abscisa de su foco es 4.

www.freelibros.com


15. Hallar la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje Y, que pasa por los puntos A(-2 , -1) y B(2 , 3) y cuyo lado recto mide 4 unidades. (Guía: Ejemplo 8).

16. Una parábola pasa por P(-2 , 4) y Q(8 , -1). Su directriz es ( : y + 6 = 0. Hallar su ecuación. (Guía: Ejemplo 10).

17. Una parábola pasa por los puntos A(2, 7) y B(7 , -3). Su tangente en el vértice V es la recta ¿2?: x + 2 = 0. Hallar su ecuación. (Guía: Ejemplo 9).

18. Hallar la ecuación de la parábola de directriz horizontal, cuyo vértice está sobre ,2?,: x - y + 1 = 0 , foco sobre á ? :x + y + 3 = 0 y que pasa por A(5 , 6).

19. Hallar la ecuación de la parábola sabiendo que su foco está en la recta ^ : 6x + 5y = 30, y el vértice en la recta : x - 7y + 7 = 0 y su directriz es y = 4.

20. La circunferencia rtf \ (x - 3)2 + (y - 8)2 = 25 se intersecta en la parábola 2P en un único punto P(x0 , y0) , y0 > 7 , tal que d(P0, Eje focal) = 4 y d{C , PQ) = d(F , Pu), donde F es el foco de & y C el centro de í?. Hallar la ecuación de la parábola á* si la abscisa de su vértice ha de ser menor que 6, sabiendo que la recta Sí : 4x -3y + 12 = 0 , normal a & y r€ en P0, pasa por el foco de dicha parábola.

m ECUACION G ENERAL DE LA PARABOLA__________________

Se ha visto que la ecuación (y - k)2 = 4/?(x - h) representa una parábola de eje horizontal, y que la curva de ecuación (x - h)2 = 4p(y - k) es una parábola de eje vertical. Si desarrollamos ambas ecuaciones obtenemos:

y2 - 4px - 2ky + (k2 + 4/rh) = 0x2 - 2hx - 4/jy + (h2 + Apk) = 0

y observamos que cada una contiene un término de segundo grado, ya sea en y2 o en x2. Es decir, que cada ecuación se puede reducir a la forma cuadrática

y2+ D x + Ey + F = 0 , D * 0 x2+D x + Ey + F = 0 , E * 0

respectivamente, y que ambas se denominan ecuaciones generales de la parábola. Inversamente, analicemos la ecuación

y2 + Dx + Ey + F = 0 , D * 0 (1)Pasando a la forma ordinaria se tiene :

y2 + Ey + — = - Dx - F + — <=> (y + - f = - D (x - — :-4F) t D * 0 } J 4 4 ' 2 ' v 4D '

Vemos que si D * 0, la ecuación (1) representa una parábolá'cuyo eje es horizontal. Si D = 0, podemos escribir la ecuación (1) en la forma

que puede representar dos rectas horizontales, dos rectas horizontales coinciden

www.freelibros.com

Sección 7.4: Ecuación general de la parabala 289

tes o un conjunto vacío, según que el segundo miembro sea positivo , cero o negativo. A una conclusión similar se llega para la parábola de la forma

x-' + Dx + Ey + F = 0 , E * 0 combinando estos resultados tenemos el siguiente teorema.

TEOREMA 7.1 Ecuación general de la parábolaUna ecuación de segundo grado, que carece de término en xy,

puede escribirse de la formay2 + D x + Ey + F = 0 , D * 0 (5 )

o biénx 2 + D x + Ey + F = 0 , E jt 0 (6 )

y representan :1. Una parábola en posición ordinaria si contienen ambas variables2. Dos rectas horizontales y verticales o bien un conjunto vacío, si contienen

solamente una variable.V___________________________________________________________________________ /GEJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( E J E M P L O 1 ) Dada la ecuación de la parábola 3P\ 3x2 - 30x + 24y + 43 = 0, hallar todos sus elementos y esbozar su gráfica.

Solución. Reduciendo la ecuación a su forma ordinaria se tiene :3(x2 - lOx + 25) = -24y -43 + 75 => 3(x - 5)2 = - 24(y - 4/3)

.=> (x - 5): = -8(y - 4/3) de donde : h = 5 , k = 4/3 y p = -2. Como p < 0 , la curva se extiende hacia abajo, esto esRan (¡P) = <- oo , k] = <- oo , 4/3] y Dom(á?) = R

Elementos de la parábola1. Vértice : V(h , k) .=> V(5 , 4/3)2. Foco : F(h , k + p) <=> F(5, - 2/3)3. Longitud del lado recto : LR = 14/? | =84. Ecuación de la directriz :

y = k -p <=> ^ : y = 10/35. Ecuación del eje : x = h ■=> t, - x = 56. Extremos del lado recto : L(h + 12p I , k + p)

R(h - 1 2p I , k + p)La Graf. (■?) se muestra en la Figura 7.21

■=> L (9 , -2/3) ■=* R(1 , -2/3)

www.freelibros.com


( E JE M P LO 2 J Hallar los elementos de la parábola de eje horizontal que pasa por los puntos A(3 , 3), B(6 , 5) y C(6 , -3). Esbozar su gráfica.

Solución. Sea la parábola de eje horizontal, & : y2 + Dx + Ey + F = 0 , D * 0 (1)Si A(3 ,3 )6 <=> 9 + 3D + 3E + F = 0 (2)

B(6 ,5) £.#>=> 25 + 6D +5E + F = 0 (3)C(6 , -3) e .? =* 9 + 6D - 3E + F = 0 (4)

Resolviendo (2), (3) y (4) por simultáneas obtenemos :D = -4 , E = -2 y F = 9 , luego en (1), : y2 - 4x - 2y + 9 = 0Reduciendo a la forma ordinaria se tiene

j> : (y - 1): = 4(x - 2) <=> h = 2 , k = I y p = 1como p > 0 , la curva se extiende indefinidamentehacia la derecha del vértice, esto es

D o m ^ ) = [h , + °°> = ¡2 , + °°>Elementos de la parábola

1. Vértice : V(h , k) V(2 , 1)2. Foco : F(h + p , k) => F(3 , 1)3. Longitud del lado recto : LR = i 4/? I =44. Ecuación de la directriz : x = h - p => ( . \ =\5. Ecuación del eje : y = k => : y = 16. Extremos del lado recto : L(h + p , k + 1 2p I ) ■=> L(3 , 3)

R(h + /», k - 1 2/j I ) «=> R(3 , - 1) □

( E JE M P LO 3 J Halle el valor o valores de i * 0 para que las coordenadas delfoco de la parábola í? : xJ + 4x - 4ty - 8 = 0 sumen cero.

Solución. La forma ordinaria de la parábola es& : (x + 2): = 4t(y + 3/t) c=> h = -2 , k = - 3/t y p = t

Dado que F=(h , k + p), de la condición del problema, se sigue que

h + k + o = 0 <=> -2 * — + t = 01 r—i

de donde : t2 - 2t - 3 = 0 <=> t = 3 ó t = - l son los valores requeridos. LJ

( E JE M P LO 4 ) Halle la ecuación de la cuerda focal de la parábola 3> : 3yJ - 8x - 12y - 4 = 0, tal que su abscisa en el origen es el doble de

su ordenada en el origen.

Solución. Reduciendo la ecuación de la parábola a su forma ordinaria se tiene

y : (y - 2f = | (x + 2) <=> h = -2 , k = 2 y p = 2/3

www.freelibros.com

Sección 7.4: Ecuación general de la parubola 291

Si F = (h + p , k) ■=> F = (-4/3 , 2). Sea 7! : — + — = 1 , la ecuación de la cuerdaa bfocal.

x yPero como a = 2 b = > ^ + - r = l« = > i? !' : x + 2y = 2b (1)

Si F(-4/3 , 2) e 2? => (-4/3) + 2(2) = 2b o b = 4/3

ôr tanto, en (1) se tiene : % : 3x + 6y - 8 = 0 D

t, EJEM PLO 5 J Demostrar analíticamente que la longitud del radio vector de cualquier punto de la parábola J9 :x 2 + Dx + Ey + F = 0es igual

a r = l y , - k + p | .

Demostración. Sea P,(x, , y,) un punto cualquiera de la parábola cuya ecuación en

su forma ordinaria es ^ : (x - h)2 = 4p(y - k) y cuyo foco tiene por coordenadas i , k + p).Luego, si r = |F P ,l =» r = V(x, - h)2 + (y, - k - p)2 (1)Pero como P,(x, , y,) e & ■=> (x, - h)2 = 4p(yt - k)Sustituyendo en (1) se tiene : r = ~Í4p(yt * k) + [(y, - k) - p]2 Efectuando obtenemos : r = y¡(y, - k)2 + 2/?(yt - k) + p1 - V(y, - k + /;

r = I y, - k + p | □

( EJEM PLO 6 ] Si M(-2 , -4) es el punto medio de una cuerda de la parábolaí? : y2 + 6x + 10y + 19 = 0, hallar la ecuación de dicha cuerda.

Solución. Sean P,(x, , y,) y P ,(x ,, y2) los extremos de la cuerda

Si M(-2 , -4) biseca al segmento P ,P ,,<=>x, + x ,= -4 , y, + y2 = -8

Como Pj(Xj , y,) e ¿P >=> y,2 + 6xt + I0y, + 19 = 0P2(x2, y,) y2! + 6Xj + 10y2 + 19 = 0

restando la segunda de la primera ecuación se tiene (y,2- y 22) + 6(x, - Xj) + 10(y, - y,) = 0

■=> (y, + y 2)(y, - y 2) + 6(*, - x2) + 10(yi - y 2) = 0=» (-8)(y, - y2) + 6(x, - Xj) + 10(y, - y2) = o

•=* 6(x, - x2) + 2(y, - y2) = 0 <=> m = ~ = - 3- * 2Por lo que la ecuación de la cuerda es :

y + 4 = - 3(x + 2) <=* 3? : 3x + y + 10 = 0 O

www.freelibros.com

292 Capitulo 7. La parábola

E J E M P L O 7 ] Hallar la ecuación de la cuerda focal de la parábola .9a : 3y2 -4x + 12y + 16 = 0 cuya pendiente guarda una relación de 3/2

con el lado recto de la parábola.

Solución. La ecuación de la parábola en su forma ordinaria es

(y + 2)'- = 4/3(x - I) => h = I , k = -2 y p = 1/3

Si F(h + p , k) .=» F(4/3 , -2), y como m = | (LR) => m = | ( | ) =2

Luego, la ecuación de la cuerda focal es :y + 2 = 2(x - 4/3) <=> 3' : 6x - 3y - 14 = 0 □

EJERCICIOS: Grupo 27 '

En los ejercicios 1 al 6, reducir la ecuación de la parábola dada a su forma ordinaria, hallar todos sus elementos y dibujar su gráfica indicando el dominio y el rango. (Guía: Ejemplo 1).

1. 2x2 + 8x - 6y + 29 = 0 4. 3y2 + 4x - 18y + 43 = 02. 4y2 + 32x + 12y - 87 = 0 5. 12y2 + 12y - 16x + 19 = 03. 3x2 - 12x - 8y - 4 = 0 6. 3x2 + 6x + 8y - 13 = 0

7. Demuestre analíticamente, que la longitud del radio vector de cualquier puntoP,(x , • y,) de parábola & : y2 + Dx + Ey + F = 0 es r = | x, - h + p I .

8. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola & : y2 + 4x + 2y = 19 cuya ordenada es 3.

9. Una parábola de eje horizontal pasa por los puntos A(4 , 5 ) , B(-2 , -1) y C(4 , -3), hallar la ecuación de la cuerda focal paralela a la recta (£ : 3x + 2y - 8 = 0

10. Halle el valor de i * 0 , de modo que las coordenadas del foco de la parábola & : y2 + 4tx - 4y - 16 = 0 sumesn 2 unidades. (Guía: Ejemplo 3).

11. La ecuación de una cuerda focal de la parábola ,9® : x2 - 8x + 3by = 2 , b * 0, es la recta S : 3x - 2y - 5 = 0. Hallar la longitud del lado recto de la parábola.

12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola y2 - 6ax - 6y + 9 - 12a2 = 0 y es paralela a la cuerda focal 6x + y - 9 = 0.

13. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el extremo derecho del lado recto de la parábola .¥ : x2 - 6x - 2ay + 9 - 4a = 0 y que es perpendicular a la cuerda focal .5? : 4x + 2y - 11 = 0.

14. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el extremo inferior del lado recto de

www.freelibros.com

Sección 7.5: Ecuación de lu tangente a una parábolo 293

la parábola & : 4y2 + 32x - 12y + 32b = 0 y que es perpendicular a la recta 2? : 2x - 6y + 3 = 0 y que pasa por el vértice de la parábola.

15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los extremos del lado recto de la parábola & : y2 - 4x + 2y + 9 = 0

16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el foco de la parábola 3x2 - 12x + 2y + 15 = 0 y tiene pendiente igual a la longitud del lado recto.

1' El punto medio de una cuerda de una parábola : x2 - 2x - 25y + 76 = 0 es1(2 , 5). Obtener la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda.

18. .9*: x2 + 4x + Ey + F = 0 es la ecuación de una parábola que satisface las dos condiciones siguientes :1. Determina en el eje X un segmento de longitud 8 unidades.2. Su vértice tiene ordenada positiva y con otro dos puntos de la parábola

forma un triángulo equilátero de lado 4\/3.Hallar los valores de E y F.

ECUACION DE LA TANGENTE A UNA P A R A B C .A ________

Como la ecuación de una parábola es de segundo grado, podemos obtener la ecuación de la tangente empleando el método optativo o del discriminante, o también el método de la tangente en el origen de una curva, estudiado en la sección 6.4. En general, son tres ios problemas de tangencia que se presentan :

1. Tangente en un punto de contacto dado2. Tangente paralela a una dirección dada3. Tangentes trazadas desde un punto exterior.

TEOREMA 7.2 Ecuación de la tangente en un punto de contacto dado _La tangente a la parábola & : y2 = 4px , en cualquier punto

p (x , . y,) de la curva tiene por ecuacióny,y = 2p(x + x,) (7)

Demostración. En efecto, la ecuación de la recta tangente que pasa por P es* y ' y, = m(x - x,) (1)

despejando x obtenemos . x = i (y + mx, - y,)

Sustituyendo en la ecuación de la parábola se tiene :

www.freelibros.com


4 py2= ? n (y + mxi ■ ^ my: ' 4py + 4 y . ■ mxi>= 0

La condición de tangencia establece que el discriminante de esta ecuación debe ser cero, esto es :

(-4p)2 - 4(4pm)(yl - mx,) = 0 <=> x,m2 - y,m + p = 0

y, ± Vy,'-4px,» m = --------- ^ --------- (2)

Como P(x, , y,) e SP ■=> y,2 = 4/>x, ■=> y,2 - 4px, = 0 . Luego en (2):

y, 2p

2\ y,

Por lo que en (1), se tiene : y - y, = - ^ ( x - x , ) <=> y,y = 2p(\ + x,) Oy 1

I OBSERVACION 7.1 Para las otras formas típicas de la parábola tenemos :

Parábola Ecuación de la Tangente

SP : x2 = 4py X : x,x = 2p (y + y,) (8)& : (y - k)2 = 4p (x - h) ^ : (y, - k)(y - k) = 2p [(x, - h) + (x - h)] (9)SP : (x - h)2 = Ap (y - k) X : (x, - h)(x - h) = 2p [(y, - k) + (y - k)] (10)

TEOREMA 7.3 Ecuación de la tangente de pendiente conocida_____________La tangente de pendiente m a la parábola : y2 = 4px tiene la

forma :

y = m x + m ’ m * ° (11)

Demostración. La ecuación de la tangente a la parábola, de pendiente m, es :y = mx + b (1)

Sustituyendo en la ecuación de la parábola se sigue que(mx + b)2 = 4px <=> m2x2 + (2bm - 4p)x + b2 = 0

Por condición de tangencia : (2b - 4p)2 - 4m2(b2) = 0 ■=> b = p/m Luego, en (1), obtenemos :

y = mx + ^ , m # 0 □3 m

I OBSERVACION 7.2 Análogamente para las otras formas típicas de la parábola se puede demostrar lo siguiente:

www.freelibros.com

Sección 7.5: Ecuación de la tángeme a una parábola 295

Parábola Ecuación de la tangente

: x2 = Apy 3!

3 : (y - k)2 = 4p(x - h) 2‘3 : (x - h)2 = 4/?(y - k) 27

y = mx - pm ' (12)

y - k = m(x - h) + ^ , m * 0 (13)y - k = m(x - h) - pm- (14)

TERCER PROBLEMA Tangentes trazadas desde un punto exterior

Ilustraremos el caso con un ejemplo

f e j e m p l o ! Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto P(1 , 4) a la parábola y2 + 3x - 6y + 9 = 0

Solución. Las rectas tangentes que pasan por P tienen por ecuación3?: y - 4 = m(x -1) (1)

de donde, desf ; .do x se tiene : x = ^ (y + m - 4)Sustituyendo en la ecuación de la parábola nos da :

y2 + ^ (y + m - 4) - 6y + 9 = 0 «=> my2 + (3 - 6m)y + 12m - 12 = 0 - Por condición de tangencia : (3 - 6m)2 - 4m(12m - 12) = 0Efectuando obtenemos : 4m2 - 4m - 3 = 0 <=> m = 3/2 ó m = - 1/2Por lo que, en (1), las ecuaciones de las dos tangentes son :

3' : 3x - 2y + 5 = 0 ó $ : x + 2y - 9 = 0 □


{ E J E M P L O 1 ) Hallar la ecuación de la tangente y normal a la parábola 3 : y2 +2y - 4x - 7 = 0, en el punto de contacto T(7 , 5).

Solución. El problema se puede resolver por tres métodos.El primer método consiste en la aplicación de la fórmula (9) para la tan

gente, esto e s :3 : (y, - k)(y - k) = 2p ((x, - h) + (x - h)] (1)

En efecto, la forma ordinaria de la ecuación de la parábola es: (y + l)2 = 4(x + 2) ■=> h = -2 , k = -1 , p = 1 , y si T(7 ,5) => x, = 7 , y, = 5

Luego, en (1)_se tiene : (5 + l)(y + l) = 2 [(7 + 2) + (x + 2)] o 3 : x - 3y + 8 = 0Ecuación de la normal: y - 5 = -3(x - 7) <=> 5 ? : 3x + y - 26 = 0 El segundo método consiste en la aplicación de la técnica estudiada en la sección6.4 (tangentes en el origen).

www.freelibros.com


Trasladamos los ejes coordenados al nuevo origen T(7 , 5) mediante las ecuaciones de traslación : x = x’ + 7 , y = y ’ + 5Luego, sustituyendo en la ecuación de la parábola dada obtenemos :

(y’ + 5)2 + 2(y’ + 5) - 4(x’ + 7) - 7 <=> y’2 - 4x’ + 12y’ = 0 Por simple inspección, la tangente en el nuevo origen es

-4x’ + 12y' = 0 « x’ -3 y ’ = 0 Reestableciendo las nuevas coordenadas originales se tiene :

(x - 7) - 3(y - 5) = 0 o % : x - 3y + 8 = 0 El tercer método es el optativo (discriminante). Queda como ejercicio. □

[ E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación de la tangente a la parábola ,3a : x2 + 3x -2y - 4 = 0 en el punto T(-2 , -3).

Solución. Como T e ,3a, usaremos el método de las tangentes en el origen, trasladando el nuevo origen al punto T, mediante las ecuaciones

X = X1 - 2 , y = y ’ - 3 que sustituidas en la ecuación de la parábola ¿P, se tiene:

(x’ - 2)2 + 3(x’ - 2) - 2(y’ - 3) - 4 = 0 <=> S> ': x '2 - x’ - 2y’ = 0 Por simple inspección : -x’ - 2y' =0 o : x’ + 2y' = 0 , es la ecuación de la tangente en el origen de la parábola 9 '.Ahora, restableciendo las coordenadas originales con x’ = x + 2 e y ’ = y + 3 obtenemos la ecuación de tangente pedida, esto es :

(x + 2) + 2(y + 3) = 0 « & : x + 2y + 8 = 0 Q

A *

( E J E M P L O 3 ) Hallar la ecuación de la tangente a la parábola & : x2 - 4x + 3y - 8 = 0 que es perpendicular a la recta ^ : 2x + 4 y - 11 = 0

Solución. Usaremos el método del discriminante, pues conocemos la dirección de la tangente, esto es, si m1 = -1/2 y como ¡BXL SPl ==> m = 2

Luego, la ecuación de la tangente tendrá la forma : y = 2x + b (1)Sustituyendo en la ecuación de la parábola se tiene :

x2 - 4x + 3(2x + b) - 8 = 0 <=> x2 + 2x + (3b - 8) = 0 Condición de tangencia : A = 0 ■=> (2)2 - 4(1 )(3b - 8) = 0 , de donde , b = 3 Por tanto, en (1), la ecuación de la tangente es á?: 2x - y + 3 = 0 Compruebe el resultado reduciendo la ecuación de la parábola a su forma ordinaria y usando luego la fórmula (14). '• "v Q

www.freelibros.com

Sección 7.5: Ecuación de la tangente a una parábola 297

{ E J E M P L O 4 ) Se da la parábola y2 = 8x y el punto A(6 , 0). Hallar las coordenadas de los puntos de la parábola cuya distancia al punto

A sea mínima.

Solución. Evidentemente la distancia del punto de tangencia T al punto A es la mínima.

Entonces, sea T(x, , y,) el punto de tangencia.Por la fórmula (7), la ecuación de la tangente 2 es

y,y = 2p(x + x,)Come p - 2 , entonces

. y,y = 4(x + x,) « 2 : 4x - y,y + 4x, =0

Luego, m = . Si á? ± AT ■=> m . m. T = - 1j , Ar4 y

=» y = ■1 • de donde: x . = 2

Sustituyendo en la ecuación de la parábola se tiene :

y2 = 16 <=> y = ±4 Por lo que, los puntos requeridos son T(2 , 4) ó T (2 , -4)

FIGURA 7.24

□

( E J E M P L O 5 ) Dados el segmento AB, de extremos A(-2 , 5) y B(4 , 2) y la parábola á8: y2 + 4x + 4y = 0, hallar sobre la parábola un punto

T tal que unido a A y B determine un triángulo cuya área sea mínima. ¿Cuál es el valor del área?

Solución. El punto buscado T estará sobre la tangente a la parábola que es para

lela a la recta que contiene al segmento AB, cuya ecuación es

y - 5 = ^ - | (x +2) « : x + 2y - 8 = 0Luego, la tangente tiene la forma

2 t : x + 2y + k = 0 ■=> x = -2y - k Combinando con la ecuación de la parábola se tiene: y2 + 4(-2y - k) + 4y = 0 <=> y2 - 4y - 4k = 0 Condición de tangencia:

(-4)2 - 4(l)(-4k) = 0 k = - l. FIGURA 7.25Luego, la ecuación de la tangente es S?: x + 2y - 1 = 0 Por tanto : (x + 2y - 1 = 0) f| (y2 + 4x + 4y = 0) = T(-3 , 2)

www.freelibros.com


Altura del AABT : h = d ( V , 7{) = - - - *~8) = .—V T Í4 V5

Base del AABT : ÁB = V(4 + 2)-’ + (2 - 5)2 = 3^5

a(AABT) = i | Á B | x h = ^ - u2 □

( E J E M P L O 6 J Hallar la ecuación de la parábola de eje horizontal sabiendo que la recta 5” : 2x + y - 3 = 0 es su tangente en el punto T(2 , y).

Solución. Sea la parábola de eje horizontal, 2 : y2 + Dx + Ey + F = 0 (1)SiT(2 , y) e 2 => 2(2) + y -3 = 0 <=> y = -l => T(2 , -I)

Trasladamos el nuevo origen O’ al punto T mediante las ecuacionesx = x’ + 2 , y =y* - |

que combinadas con la ecuación (1) se tiene :(y’ - l ) 2 + D(x’ + 2) + E(y' - 1) + F = 0 <=> y'2 + (E - 2) y' + Dx' + 2D - E + F - 1 = 0

Como la curva en el nuevo sistema pasa por el origen O’, entonces2D - E + F -1 = 0 (2)

Además, por inspección, la tangente en el nuevo origen O’ es(E - 2)y' + Dx’ = 0

y restableciendo al sistema original, la ecuación de la tangente en T es(E - 2)(y + 1) + D(x - 2) = 0 <=> X : Dx + (E - 2)y + (E - 2D - 2) = 0

Si comparamos esta ecuación con la recta tangente dada, deducimos que :D = 2 , E - 2 = l ■=> E = 3 , luego, en (2 ) : F = - 2

Por lo que, sustituyendo estos valores en (1) obtenemos& : y2 + 2x + 3y - 2 = 0 □

{ E J E M P L O 7 J Sean las parábolas de ecuaciones -ü9, : y 2 = 4x + 4 yJ‘2 : y2 = 64 - 16x. Sea T el punto de intersección de éstas,

cuyas coordenadas son positivas. Si 2' es la recta tangente a la parábola •3S1 en el punto T, hallar la intersección de 2 con la directriz de

Solución. De fl -i\ obtenemos el punto de coordenadas positivas, T(3 , 4).Para hallar la ecuación de la tangente 2’ a la parábola .i\, trasladamos

el nuevo origen al punto T, mediante las ecuacionesx = x’ + 3 , y = y’ + 4

que sustituidas en se tiene

www.freelibros.com

Sección 7.5: Ecuación de la tangente a una parábola 299

(y’ + 4)J = 4(x' + 3) + 4 <=> y '2 + 8y’ - 4x’ = O Por inspección : 8y’ - 4x’ = 0 <=> x’ - 2y = 0Esta ecuación en el sistema original es : (x - 3) - 2(y - 4) = 0 «=> % : x - 2y + 5 = üEn ,(5 : y2 = -16(x - 4 ) , se tiene : h = 4 , 4/? = -16 ■=> p = -4La ecuación de su directriz es / ; x = h - p = > x = 4- (-4) » t : x = 8

íP U t = P(8 , 13/2) □

( E J E M P L O 8 ) Demostrar que la abscisa y ordenada del punto de intersección de dos tangentes a una parábola, son respectivamente iguales

a la media geométrica y a la media aritmética entre las abscisas y las ordenadas de los puntos de tangencia.

Demostración. Sea la parábola .? : y-’ = 4px y sean T,(x, , y,) , T,(x2 , y,) los

puntos de tangencia y P(x , y) el punto de intersección de las tangentes (i\ y Str Tesis. Demostraremos que :

y = \ (y, + y . ) . x =En efecto, según la fórmula (7), las ecuaciones de las tangentes en T, y T, son:

.2*: y,y = 2p(x + x,)^ : y2y = 2p(x + x,)

Restando la segunda de la primera ecuación se

tiene: y _ 2P< V (1)y. - y 2

Dado que , T^x, , y,) e .? =» y,2 = 4px, (2)T j(x ,, y2) e & y22 = 4px, (3)

Luego, de (2) - (3) se obtiene : (y, - y,)(y, + y2) = 4/;(x, - x2)

y, + y2 2p(x, - x,)

~y . + y-Comparando esta ecuación con (1) se deduce que : y~ — -—- l.q.q.d

Sustituyendo este resultado en la ecuación de !£x se tiene :

y ,(y , + y 2) = 4P (X + x ,) =» y ,2 + y ,y 2 = 4\px + 4/>x, => y ,y 2 = 4/?x (4)

Multiplicando (2) y (3) obtenemos : y,y2 = 4pVx,x.Por lo tanto, en (4 ) : 4px = 4/Wxlx2 <=> x = Vx,x, l.q.q.d. D

www.freelibros.com

300 Capitulo 7: La parábola

{ E J E M P L O 9 j Demostrar que la tangente del ángulo formado por dos tangentes de la parábola y2 = 2px , es la mitad de la tangente del

ángulo formado por los radios vectores en los puntos de contacto.

Demostración. Sean T,(x, , y,) y T ,(x ,, y,) los puntos de tangencia. Sea

a el ángulo agudo formado por las tangentes sea 0 el ángulo formado por los radios

vectores FT, y FTr

Tesis. Se demostrará que : Tga = -i (Tg0)

En efecto, de la fórmula (7), las pendientes de las tangentes en T, y T, son :

m,

Tga =m.

2p

y,m,

m, =2p

y2

2p(y, - y ;) ■! y , y 2 + 4p2

Pendientes de los radios vectores :y , y 2

1 + m ,. m, ( 1)

rY

/

' /

¿r /m ,

u y

v yFIGURA 7.27

m ,=

Tg0 =

\ ' P m. - m,

y m4 =x2-p

y 2(x , -p)-yl(\rp)l+ m J .m , (x -p ) (x ,-p) + y.y2

; pero : x, = — y 4p 4p

y l l l -p) - y P l . p )} -'4p 1 y ' v4p ' 4»(y - y )

Tg0 = — - f -----— í- Tg0 = 1/y .2 \ /y 22 \ “ y,y2 + 4p2

Comparando (1) y (2) se deduce que : Tg0 = 2Tga « T g a = i(T g 0 )

(2)

□

(e j e m p l o 10) Sea í? la circunferencia cuyo centro tiene abscisa 3 y que determina un segmento AB de 12 unidades de longitud sobre el eje

X. Sea 9> la parábola tangente a # en el punto B y que tiene como eje la recta i : y - 2 = 0. La recta tangente a í? y a & en el punto B tiene pendiente -1. Hallar las ecuaciones de y íP.

Solución. Sean A(x, , 0) , B (x ,, 0 ), C(3 , kj) y V(h, , k,)Si I BA | = ] 2 => x ( - x2 = 12 (1)

El radio de la circunferencia es perpendicular a la cuerda ÁB y divide a ésta por la

www.freelibros.com

Sección 7.5: Ecuaciones de la tangente a mi a parábola 301

mitad. «=* x, + x2 = 2(3) = 6 (2)De (1) y (2), por simultáneas se obtiene :

x, = 9 , x2 = -3 A(9 , 0) y B(-3 , 0)Como m, = -I y siendo .3? J. ^ >=> m2 = 1 Ecuación de la tangente en B :

y - 0 = - l(x + 3) o ^ : x t y + 3 = 0 Ecuación de la normal en B :

y - 0 = 1 (x + 3) o ,2? :x*y + 3 = 0 En toda circunferencia la normal pasa por su centro, esto es : Si C(3 , k2) e 3^c=> '3 - k2 + 3 = 0 <=> kj = 6, luego, C = (3 , 6)Radio de la circunferencia :

r = I BC I = V(3 + 3)2 + (6 - O)2 = <72 Por lo que, la ecuación de la circunferencia es, (H?\ (x - 3)2 + (y - 6)2 = 72 En la parábola: V(h, , k,) e ¿ : y - 2 = 0 ==» k, - 2 = 0 « k, = 2 <=> V (h ,, 2)Según la fórmula (9) la ecuación de la tangente a la parábola en B(-3 , 0) es

(y2 - k,)(y - k,) = 2p ((x2 - h,) + (x - h,)] (3)

2P , 2p

f y/ Y>

\? i s/

rA \

i yy V o K > >

V__

____

____

____

____

FIGURA 7.28

de donde : m, = *=> ~ 1 = «=*/?= 1y ,-k , 0 -2

Luego, en (3): (0 - 2)(y -2) = 2 [(-3 - h,) + (x - h,)] » 3? : x + y = 5 + 2h,

y como la tangente en B es , ¡B'. x + y = -3 ■=> 5 + 2h, = -3 <=> h, = -4 Ecuación de la parábola : (y - kt)2 = 4p(\ - h,) <=> >?\ (y - 2)2 = 4(x + 4) □

(EJEMPLO 11) La ecuación á5: x = ay2 + by + c , con a , b y c constantes reales, a * 0, es la ecuación de una parábola que pasa porT(2 ,1) y su

recta tangente en dicho punto tiene pendiente -1 e interseca a su eje focal en un punto P de abscisa -1. Graficar dicha parábola indicando vértice, foco y directriz.

Solución. Si T(2 , l ) e á ¡’ *=>2=a + b + c

Ecuación de la tangente en T , y - 1 = -(x - 2) ■=> .5? 3? n (, = P(-I .y) ^ -1 + y - 3 = 0 <=> y = 4 = k Por la fórmula (9), la ecuación de la tangente en T es :

2P

(1)

x + y - 3 = 0

(y, - k)(y - k) = 2p [(x, - h) + (x - h)] =* m,=

Como, m = -1 ■=>-! = JP_ 1 -4

y , - k, de donde , p = 3/2

Ahora, reduciendo la ecuación de la parábola a su forma ordinaria se tiene :

www.freelibros.com


b \2 1 / b2 - 4ac\W ~ 4 a ~ '

1 , 1Luego, 4p = — ■=> 6 = — o a = 1/6 3 3

b b , 4k = - — c=> 4 = - --------- c=> b = - —

2a 2(1/6) 3

Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos , c = 19/6

=> ^ : x = I y 2- f y + f

<=> 9>\ y2 - 8y - 6x + 19 = 0 « . 9> : (y - 4)2 = 6(x - 1/2)

Por tanto :V = (1/2, 4) , F = (h +p , k) = (2 , 4) , Directriz: x = h - p = > í : x = -l CU

FIGURA 7.29


1. Hallar la ecuación de la tangente y normal a la parábola y2 - 4x + 6y + 1 = 0 en el punto T(7 , 3). (Guía: Ejemplo 1)

2. Hallar la ecuación de la tangente y normal a la parábola y = 2x2 - 4x + 5 , en el punto de abscisa 3. (Guía: Ejemplo 2).

3. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola con foco en F(1 , 3) y vértice en V(-2 , 3), en el punto de abscisa 1.

4. Determinar el valor de k en la ecuación 2x - 3y + k = 0 de modo que sea tangente a la parábola y2 - 4x + 4y - 3 = 0.

5. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y2 - 2x + 2y + 3 = 0, que es perpendicular a la recta 2x + y + 7 = 0. (Guía: Ejemplo 3).

6. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola con vértice en V(-2 , 1) y foco en F(-2 , 4) y que es paralela a la recta x + 3y - 8 = 0.

7. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto P(1 , 4) a la parábola á5: y2 + 3x - 6y + 9 = 0

8. Del punto P(-1 , -1) se trazan dos tangentes a la parábola y2 - x + 4y + 6 = 0. Hallar el ángulo formado por estas dos tangentes.

9. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical cuya tangente en el punto de ordenada -1 es 2x - y + 3 = 0. (Guía: Ejemplo 6).

www.freelibros.com

Sección 7.5: Ecuaciones de la tangente a una parábola 303

10. Hallar el punto de la parábola x2 = 4y cuya distancia a la recta x - 2y -8 = 0 sea mínima. ¿Cuál es esta distancia? (Guía: Ejemplo 4).

11. Hallar el punto de la parábola y2 + 2y - 4x - 7 = 0, cuya distancia a la recta % : x - 3y + 18 = 0 sea mínima. ¿Cuál es esta distancia?.

12. Hallar el área del triángulo que forman el eje X, la tangente y la normal a la parábola y = 6x - x2 en el punto de abscisa 1.

' 3. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por A(2 , 7), y que la recta r£ : 4x - y - 4 = 0 es tangente a ella en el punto de abscisa 1.

14. jo da la parábola x2 = 12y y el punto A(0 , 9). Hallar las coordenadas de los puntos de la parábola cuya distancia al punto A sea mínima.

15. Sea la parábola y = -x2 + 4x + 3. Hallar el área del triángulo limitado por la recta y = 2, la tangente y normal a la parábola en el punto de abscisa 3.

16. Hallar la mínima distancia entre los puntos de la parábola y2 = x - 1 y la recta 2y = x + 6.

17. Dado el segmento AB, de extremos A (3 , -2) y B(7 , 1), y la parábola x2 + 2x - 8y + 17 = 0, hallar sobre la parábola un punto T tal que unido a A y B determine un triángulo cuya área sea mínima. ¿Cuál es el valor del área? (Guu E nplo 5).

18. Sea la circunferencia : x2 + y2 - 8x - 16y + 76 = 0, y sean A y B dos puntos de ella cuyas ordenadas son iguales a 7.

a) Hallar la intersección V de las rectas tangentes a dicha circunferencia en los puntos A y B.

b) Hallar la ecuación de la parábola con vértice V, cuyo lado recto tiene extremos A y B.

19. Sea la parábola y2 - 8x - 4y + 12 = 0, cuyo foco es F. Por el punto T(9 , 10) se traza la recta tangente 3í a dicha parábola que interseca a su directriz en un punto D. Si por T se traza la recta 5? perpendicular con ¿2? y que interseca al eje de la parábola en el punto N, entonces:

a) Hallar la medida del ángulo DFT.b) Demostrar que el triángulo TFN es isósceles

20. En la parábola ^ : y2 = 32x se considera: Punto P0 e á9, tiene ordenada 12, U'es la recta tangente a en P0, Q0 es punto simétrico de P0 con respecto al eje X,

es la recta que pasa por Q0 y es ortogonal a 3?, T es el punto de intersección de la directriz de con 3?. Hallar la ecuación de la parábola .3* cuyo eje focal es la directriz de , su foco es T , y su directriz es la recta y = 1. [Sug. Use la fórmula y,y = 2p(x, + x)].

www.freelibros.com


C S CUERDA DE CONTACTO

Si desde un punto exterior P, se trazan tangentes a una parábola, el segmento de recta que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto de P, para esa parábola.


Sea la parábola ¡X : y2 = 4px , y sea P,(x, , y,) el punto exterior. Supongamos que P(x2 - Y J Y Q(x , . y,) son los extremos de la cuerda de contacto. Por el teorema 7 .2 , la ecuación de la tangente Xy esy2y = 2p(x + x2) X, : 2px - y2y + 2px2 = 0 (1 ) Como X pasa por P , , su ecuación es y -y , = m,(x-x,) o Xx: m ,x-y + (y,- m,x,) = 0 (2) Las ecuaciones (1) y (2) representan a la misma recta ,

2p y2 2px2^ 1m, y .-m .x ,

'Y t

P' \\

V . yFIGURA 7.302p y, - m.x

de donde obtenemos : y, = — y x, = — -----m( ' ¡ m.Análogamente, la ecuación de la tangente X2 es :

y,y = 2p(x + x,) o X2:2px- y,y + 2px, = 0 o también : y - y, = m2(x - x,) «=> X2: m2x - y + (y, - m2x,) = 0

2p _ y, = _ 2px, m, 1

Como (3) s (4) =>

de donde se tiene :

y>

y = m. X3 = m.

Pendiente de PQ : m = y2- y 3

2P,

2Pm,

2*Lm,

y, y , * m2x ,2p

y,

Ecuación de PQ : y - y, = -y-(x - x,) o X : y,y = 2px + y,y2 - 2px2

Dado que P ,(x,, y,) e X.\ ■=> 2/>x, - y,y2 + 2/>x2 = 0 ^ 2/?x, = y,y2 - 2px2 Por lo tanto, en (a), la ecuación de la cuerda de contacto es

y,y = 2px + 2px, <=> X : y,y = 2p(x + x,)

(3)(4)

(a)

(1 5 )

www.freelibros.com

Sección 7.7: Diámetro ele una parábola / 305

I OBSERVACION 7.3. Nótese que la ecuación de la cuerda de contacto (15), en su forma, es semejante a la ecuación de la tangente (Fórmula

7). La diferencia está en que, en la primera las coordenadas x, e y, pertenecen al punto exterior P, mientras que en la segunda, pertenecen al punto de tangencia T. Análogamente, para las otras formas típicas de la parábola, tendremos :

Parábola Cuerda de contacto

&’ :x2=4px SP : x,x = 2p(yl + y) (16)•? : (y - kY = 4p(x - h) SP : (y, - k)(y - k) = 2p[(x, - h) + (x - h)] (17)>• : (x - h)2 = 4p(y - k) T : (x, - h)(x - h) = 2p[(y, - k) + (y - k)] (18)

( EJEM PLO 1 ) Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto P(2 , 5) para la parábola &: x2 + 4x + 12y - 8 = 0

Solución. La ecuación de la parábola en su forma ordinaria esá» : (x + 2)2 = - 12(y - 1) => p = -3 , h = -2 , k = 1 y si P(2 , 5) ^ x, = 2 , y, = 5Según la fórmula 13 : (x, - h) (x - h) = 2p[(y, - k) + (y - k)]Luego, sustituyendo los valores obtenidos tendremos la ecuación de la cuerda de contacto, esto es :

(2 + 2)(x + 2) = 2(-3) [(5 - 1) + (y -1 )] «=> SP : 2x + 3y + 13 = 0 □

( D DIAM ETRO DE UNA PARABOLA

Se llama diámetro de una parábola al lugar geométrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas.

ECUACION DEL DIAMETRO

Sin perder generalidad, consideremos la parábola & : y2 = 4pxSea y = mx + b , la ecuación de la familia de cuerdas paralelas.Resolviendo el sistema , en términos de y , tenemos:

my2 - Apy + 4bp = 0La suma de las raíces de esta ecuación es :

4py, + y,= w

donde y, e y^son las ordenadas de los puntos de intersección de la cuerda P P. con la parábola.

FIGURA 7.31

www.freelibros.com


Dividiendo cada miembro entre 2 se tiene :

y, + y, _ Jf_2 m

El primer miembro de esta ecuación representa el punto medio de todas las cuerdas paralelas, entonces, si sustituimos por la ordenada genérica y , obtenemos la ecuación del diámetro, esto es:

2Py = ~ 09 )

Queda demostrado que el diámetro es una recta paralela al eje de la parábola. Análogamente, para las otras formas típicas de la parábola, tenemos :

Parábola Diámetro

.? : x-’ = 4py (. : x = 2pm (20)!¥ : (y - k)2 = 4p(\ - h) ( : y - k = 2p/m (21)í? : (8x - h)2 = 4p(y - k) (. : x - h = 2pm (22)

^ E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación del diámetro de la parábola 3B. y2 = -12x, si la recta CB: 3x - 2y - 6 = 0 contiene a un miembro de la familia

de cuerdas paralelas a dicha parábola.

Solución. Si y2 = -12x <=> 4p = -12 , de donde, p = - 3Pendiente de las cuerdas paralelas a & : m = 3/2

Luego, según la fórmula (19), la ecuación del diámetro es2(-3) i—i

y = -------- =-4 f :y + 4 = 0 I—I3 3/2 3

{ E J E M P L O 3 ) Si M(3 , 7) es el punto medio de una cuerda en la parábola & : x2 - 10x + 12y -119 = 0, ¿Cuál es la ecuación del diámetro

que pasa por M y cuál la de la cuerda?

Solución. La forma ordinaria de la ecuación dada es. ^ : ( x - 5 ) 2 = - 12(y - 12) h = 5. >, k = 12 , p = -3

como la parábola tiene el eje vertical, la ecuación del diámetro, paralelo al eje que pasa por M(3 , 7) es, ( : x = 3Pero, según la fórmula (22), la ecuación del diámetro es , i : x - h = 2pm , entonces 3 - 5 = 2(-3)m , de donde , la pendiente de la cuerda es , m = 1/3 Luego, la ecuación de cuerda es :

y - 7 = - j( x -3 ) <=> i ? : x - 3 y + 18 = 0 □

www.freelibros.com

Sección 7.8: La función cuadrática 307

f EJEMPLO 4 ) Dada la parábola y2 + 6x + 10y - 19 = 0, hallar la ecuación de la cuerda que pasa por el punto M(-2 , -4) y se divide en él

por la mitad. •

Solución. La forma ordinaria de la ecuación de la parábola es& : (y + 5)2 = -6 (x - 22/3) =* p - -3/2 , h = 22/3 , k = -5

Como el eje de la parábola es una recta horizontal, el diámetro de la misma tam- i*n es una recta horizontal que pasa por M(-2 , -4), cuya ecuación es, entonces,: v = -4

■ ■ %, 1pPer según la fórmula (21), la ecuación del diámetro es , t : y - k = —

2(-3/2)Luego, -4 - (-5) = — —— , de donde, la pendiente de la familia de cuerdas paralelas

es , m = -3. Entonces, el miembro de esta familia que pasa por M(-2 , -4) es :y + 4 = -3(x + 2) <=>á?:3x + y + I O = 0 Q

I Nota. Este mismo ejercicio fué resuelto en el ejemplo 6 de la página 291. Compárese ambas técnicas.

C D LA FUNCION CUADRATICA________________________________

La función cuadrática general es aquella función con dominio R y definida por la regla de correspondencia

/(x) = ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y c son constantes que representan números reales y a * 0. La función / definida por esta ecuación puede escribirse como

/ = {(x . y) e K21 y = ax2 + bx + c} y su gráfica es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo o coincidente con el eje Y, abierta hacia arriba si a > 0 (Figura 7.32), y hacia abajo si a < 0 (Figura 7.33).


www.freelibros.com

____________ Capitulo 7: La parábola

Cuando la gráfica de una función cuadrática, se abre hacia arriba, la función tiene un valor mínimo que ocurre en el vértice, y cuando la parábola se abre hacia abajo, la función tiene un valor máximo que se localiza en el vértice. Entonces el vértice de la parábola se puede ubicar transformando la función /(x ) = ax2 + bx + c a la forma (x - h)2 = Ap(y - k) mediante el artificio de completar cuadrados y sustituyendo /(x) por y ; esto es :

y = ax2 + bx + c <=> a(x2 + -jp x) = y - c

, , b b2 \ b2« a x - + — X+ : ) = y * C +' cia 4a¿/ 4a

(X + A ) J = 1 (y 4-' 9 a • a ' ¿ la '

. . . b . 4ac - b2donde : h = - — y k = -----------2a 4a

En conclusión :1. Para a > 0, la función tiene su valor mínimo k , cuando x = -b/2a , es decir, el punto

más bajo de la gráfica es el vértice V(h , k).2. Para a < 0, la función tiene su valor máximo k, cuando x = -b/2a, es decir, el punto

más alto de la gráfica es el vértice V(h , k).

{ EJEM PLO 5 ^ Determine un valor máximo, o bién un mínimo para la función / = {(x , y) e /E’ l x2 + 6x + 2y + 5 = 0 }

Solución. La ecuación que define a / esx2 + 6x + 2y + 5 = 0 >=> 2y = -x2 - 6x - 5 = 0

y = - j x2 - 3x -

De este modo, los valores de la función /(x ) están dados por

/(x) = - ^ x 2- 3 x - 1

Para esta función cuadrática , a = -1/2 , b = -3 . Como a < 0 , / tiene un valor máximol

én el punto donde x = -b/2a , esto es, en :

2(- 1/2)El valor máximo es : k = /(-3 ) = - -^(-3)2 - 3(-3) - » / ( -3) = 2 CU

I Nota. Del uso y aprovechamiento del lenguaje de las funciones se puede expresar diversos tipos de situaciones prácticas que tienen que ver con la geometría, física, economía,

www.freelibros.com


biología, etc., en términos de una relación funcional. La función obtenida representa un modelo matemático de tales situaciones prácticas. Mostraremos con unos ejemplos el procedimiento implícito para obtener algunos modelos matemáticos que involucren funciones cuadráticas.

( EJEMPLO 6 ) De todos los rectángulos de perímetro constante 2p. demostrar que el cuadrado es el de mayor área

mostración. Hipótesis: Sean x e y las dimensiones del rectángulo de perímetro constante 2p, y sea A el área.

Tesis : Demostraremos que el área A es máxima cuando x = y.En efecto, el área del rectángulo es: A = xy (1)

Dado que el perímetro es 2p >=> 2x + 2y = 2p, de donde : y = p - x (2)Para expresar el área A en términos de una sola variable sustituimos (2) n (1), lo cual da como resultado el modelo matemático buscado, esto es,

A(x) - x.(p - x) = - x2 + px siendo el área positiva, entonces : -x2 + px. > 0 o 0 < x < pAsí, la definición completa del área es : A(x) = - x2 + p\ , x e <0 , p>Para esta función , a = -1 , b = p , como a < 0 , la función A tiene un val.. amo en x = - b/2a , es decir en :

Luego, (2), se tiene : y = p - p/2 = p/2Como x = y , se ha demostrado que el rectángulo es un cuadrado cuya área máxima tiene como va lo r: A( p/2) = - (p/2)1 + p(pl2) = p1/4 Q

(E JE M P LO 7 J Se va a cercar un terreno rectangular situado en el ribera de un río y no se necesita cercar a lo largo de éste. El material

para construir la valla cuesta 6 dólares el metro lineal para los extremos y 8 dólares por metro lineal, para el lado paralelo del río; se utilizarán 1,200 dólares de material para vallas. Hallar las dimensiones del terreno de mayor área posible que pueda demarcarse con los $ 1,200 de material. ¿Cuál es la mayor área?.

Solución. Sean x e y las dimensiones del terreno y sea A su área (Figura 7.34)A = xy (1)

El costo de material para cada uno de los extremos del terreno es : 6y + 6y = 12y El costo del material correspondiente al tercer lado , paralelo al río , es 8x.De modo que el costo total de la cerca es : 12y + 8x = 1200 •=> y = - ( 150 - x) (2)

www.freelibros.com


Para expresar el área A en términos de una sola variable, sustituimos (2) en (1) y obtenemos el modelo matemático, esto es :

A(x) = -|(150 - x)x = - |-x 2 + lOOx La función A es cuadrática con a = -2/3 y b =100. Como a < 0 , A tiene un valor máximo

en el punto x = - b/2a ■=> x = — = 75m., 2(-2/3)

Luego, y = j (150 - 75) = 50m. Por tanto, la mayor área posible que puede demarcarse con $1,200 es : A = 75 x 50 = 3750 m2. □

( EJEM PLO 8 ) En un triángulo ABC, cuya base I AC I = 10cm. y su alturaI BH | = 6cm., está inscrito un rectángulo (Figura 7.35). Si S es

el área de dicho rectángulo, expresar S como función de su base x. Construir lagráfica de esta función y hallar su valor máximo.

Solución. Si S es el área del rectángulo <=> S = xy (1)Para expresar S en términos de una sola variable haremos uso de la

geometría elemental, mediante la semejanza de triángulos, esto es:„ . _ -r- AC DF 10 X , 3 . . .AABC = ADBF => ------ = ■=> — = « y = 6 - — x (2)

BH BE 6 6 - y 5-1

Al sustituir (2) en (1) da como resultado : S(x) = - y X2 + 6x , x e <0 , 10>La función S es cuadrática con a = -3/5 y b = 6 , y como a < 0 , S tiene un valor máximo

en el punto x = - b/2a ■=> x = - ^ ^ = 5

Por lo que : S (5) = - y (5)2 + 6(5) = 15 es el valor máximo de la función, cuya gráfica

se muestra en la figura 7.36 □

FIGURA 7.36

www.freelibros.com


( E J E M P L O 9 j Un fabricante de camisas puede producir una camisa en particular con un costo de $ 10 por unidad. Se estima que si el

precio de venta de la camisa es x, el número de camisas que se vende por semana es 120 - x. Determinar cuál debe ser el precio de venta con el objeto de que las utilidades semanales del fabricante alcancen un nivel máximo.

Solución. Sea I dólares el ingreso se nanal. Dado que el ingreso es el producto del precio de venta de cada camisa por el número de camisas vendidas,

meesI = x(l20 - x)

Se dólares el costo total de camisas que se venden por semana. Como el costo total es el producto de cada camisa y el número de camisas vendidas, entonces

C = 10(120- x)Las utilidades se obtienen restando del ingreso total el costo total, esto es, si U dólares es la utilidad semanal del fabeicante, entonces

ü(x) = I - C = x(120 - x) - 10(120 - x) = -x2 + 130x - 1200 La función U es cuadrática con a = -1 , b = 130 y como a < 0, U tiene un valor máximo en el punto x = -b/2a. Así pues, x = - 130/-2 = 65 dólares, es el precio de venta con el cual las utilidades del fabricante alcanzan su nivel máximo. Obsérvese qi la utilidad máxima es de

U(65) = -(65)2 + 130(65) - 1200 = $ 3,025 □

( e j e m p l o 1 0 ) Sea la parábola 3‘\ x2 - 2x + 8y - 23 = 0 y el punto de tangencia T(5 , 1). En el triángulo formado por el eje Y, la tangente y la

normal en T, se inscribe un rectángulo uno de cuyos lados coincide con el eje Y. expresar el área S de dicho rectángulo en función de la longitud x de su base, y hallar el área máxima.

Solución. Sea ABCD el rectángulo inscrito

de base x y altura z (Figura 7.37)■=> S = x z ( 1 )

La forma ordinaria de la ecuación de la parábola es9\ (x - l ) 2 = -8(y -3) => p = -2 , h = 1 y k = 3

y si T(x0 , y0) = T(5 , 1) ■=> x0 = 5 , y0= I La ecuación de la tangente (Fórmula 10) es

(x0 - h)(x - h) = 2p[(y0 - k) + (y - k)] c* (5 - l)(x - 1) = -4((1 - 3) + (y - 3) ]

<=> ,25¡ : x + y - 6 = 0 <=> y = 6 -x

www.freelibros.com


La ecuación de la normal J2? , es :y - 1 = 1 (x - 5) «=> 2' : x - y - 4 = 0 ■=> y = x - 4

El punto B tiene la misma ordenada de C(x , y,) e ■=> y, = 6 - x y A tiene la misma ordenada de D(x , y2) e 2,’j => y2 = x - 4 Luego , si z = DC = AB = AO + OB = - OA + OB , implica que :

z = -y,+ y, = -(x - 4) + (6 - x) = 10 - 2x Entonces, en (1) se tiene : S(x) = x(10 - 2x) = -2x2 + lOx , x e < 0 , 5 >La función S es cuadrática con a = -2 y b = 10. Como a < 0 , S tiene un valor máximo en x = -b/2a , esto es , en x = - IO/2(-2) = 2.5 , y cuyo valor es :

S(2.5) = - 2(2.5)2 + 10(2.5) = I2.5uj. □


1. Si M(-3 , 1) es el punto medio de una cuerda de la parábola x2 + 2x + 8y - 15 = 0, hallar la ecuación del diámetro y la cuerda que pasa por M. (Guía: Ejemplo 3).

2. Cuál debe ser la pendiente de las cuerdas paralelas que son bisecadas por el diámetro y = 1 , en la parábola &>\ y2 - 4x + 2y - 7 = 0.

3. Para la parábola & x2 - 8x + 6y - 14 = 0 , hallar la ecuación de la cuerda que pasa por el punto M(3 , 2) y se divide en él por la mitad. (Guía: Ejemplo 4).

4. Una parábola de eje vertical pasa por los puntos A(4 , -1), B(6 , 2) y C(-2 , 2). Hallar la ecuación de la cuerda de contacto relativa al punto P(1 , -5).

5. Una parábola tiene su vértice en el punto V(2 , -5) y su directriz es la recta x - 4 = 0. Hallar la longitud de la cuerda de contacto relativa al punto P(4 , -3).

6. Hallar dos números positivos cuya suma sea 12 y tales que la suma de sus cuadrados sea mínima.

7. Demuestre que entre todos los rectángulos que tienen un perímetro de 36 unidades, el cuadrado con lado 9 unidades tiene la mayor área.

8. Halle las dimensiones del jardín rectangular de mayor tamaño que pueda ubicarse de modo que el lado de una casa sirva como límite y se utilicen 100m. de material para cercar en los otros lados. (Guía: Ejemplo 7).

9. La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es constante e igual a 14cm. Hallar las longitudes de los catetos si el área del triángulo debe ser máxima.

www.freelibros.com

Sección 7.9: Propiedades de la parábola 313

10. Sea la parábola ■9': x2 + 4x + 12y - 56 = 0 y el punto de tangencia T(-8 , 2). En el triángulo formado por el eje Y, la tangente y la normal en T, se inscribe un rectángulo uno de cuyos lados coincide con el eje Y. Expresar el área S de dicho rectángulo en función de la longitud x de su base, y hallar el área máxima. (Guía: Ejemplo 10).

11. Una empresa puede vender a un precio de 0 dólares por unidad todas las piezas de un artículo que produce. Si se fab, ;an x unidades diarias, el monto del costo total de la producción diaria es x2 + 20x + 700. Cuántas unidades deben producirse por día a fin de que la empresa obtenga las máximas utilidades totales diarias? Cuál es el monto de éstas?

12. Un carpintero puede construir estantes para libros a un costo de $ 40 cada uno. Si el carpintero vende los libreros a x dólares por unidad, se estima.que 300 - 2x muebles se venderán por mes. Halle el precio de venta pe: estante que dará al carpintero las máximas utilidades totales mensuales.

0 9 PROPIEDADES DE LA PARABOLA__________________________

C p T ) P R O P IE D A D F O C A L O R E F L E C T O R A D E LA P A R A B O L A _______________

La recta que une al foco con cualquier punto T de la parábola y una recta paralela al eje , forma ángulos iguales con la tangente a la parábola que pasa por T.

Demostración. Hipótesis : Supongamos que la forma de la parábola es •7’ : y1 =4px y sea T(x0, el punto de tangencia (Figura 7.38)

Tesis : Probaremos que ot = pEn efecto, de la fórmula (7) se tiene

que la pendiente de la tangente es m = 2ply0, de modo que su ecuación es

2py - y « = ^ - (x - xo)*0

cotno T es distinto del vértice , la recta tangente corta al eje X en el punto P(x, , 0).Podemos probar ahora que los ángulos a y p son iguales si demostramos que el APFT es isósceles. De la ecuación de la tangente en y = 0 , vemos que

2 P- y« = y - (x , - xo) *=> - y ,,2 = 2/>x , - 2p \

www.freelibros.com

314 Capitulo 7. La /tambóla

Si T(x0 , y,) e # a y* = 4/jx0 => -4px0 = 2px, -2px0 « lo cual implica que la longitud

I PF I = 1/7 - x, I = I p + x01 Además, por la fórmula de la distancia :

I F T I = V(x0 - pf + y02 = V(x0 - p)2 + 4px0 = V(x0 + p)2 = I x0 + p I Por tanto , I PF I =1 FT I , luego el APFT es isósceles y concluimos que a = P CU

f p T ) PROPIEDAD DE LA NORMAL A UNA PARABOLA

La normal a una parábola en un punto T de la misma, forma ángulos iguales con el radio vector de T y la recta que pasa por T y es paralela al eje de la parábola.

Demostración. Hipótesis : Sea la parábola

& : y2 = Apx , y

sea T(x0 , y0) el punto de tangencia.Tesis: Probaremos que a = p (Figura 7.39)

En efecto:Como sabemos, la pendiente de la tangentey es ,

2Pm = y0Entonces, la pendiente de la normal es ,

y«= ■ - 1 2p

y»Pendiente del radio vector FT : m2 = x ^

^ Tga =

y 0 y„2p \ -p

1 + m, . m2 \ + U h \ ¡ y ° \ 2px° ' 2pl' y ° J1 2P] \ - P ]

Como T(x0 , y j e # ^ y 2 = 4px0

- y Mo+p) -y0(x o + p)Luego, Tga =2P\ ' 2P2 ‘ 4Pxo -2p(*0 + P)

h .2P

y yPor otro lado, m. = TgG = Tg(180 - P) = - TgP o TgP = - m = - (- —-) = —'-

' 2p' 2pTga = TgP o a = p □

www.freelibros.com

Sección 7.9. Propiedades de la parábola 315

fp^T ) PROPIEDAD DE LA CONSTRUCCION GEOMETRICA DE LA TANGENTE

Si por cualquier punto de una parábola distinto del vértice, se trazan una tangente y una perpendicular al eje focal, que interceptan a éste, respectivamente en P y Q, entonces el vértice de la parábola es punto medio del segmento determinado por P y Q.

■Demostración. En efecto, sean la parábola y2 = 4px y T(x0 , y0) el punto de

tangencia.La ecuación de la tangente en T es

^ : y - y 0= ~~ (x ' xo)

Para y = 0 , se tiene : - y02 = 2px - 2p\Como TÍXjj. y j e i ^ y j z 4px0 Luego, - 4px0 = 2px - 2p\0 ■=> x0 = -x Esto es, VQ = - VP, o sea, V es punto medio de PQ Esta propiedad nos permite construir la tangente en un punto T de la parábola (Figura 7.40), pues, basta proyectar T sobre el eje de la curva y llevar VQ sobre el mismo eje, pero en sentido contrario, para obtener el punto P, que unido con T, da la tangencia pedida. O

( P.4) Propiedad de la construcción geométrica de la tangente a la parábola desde un punto P , exterior a la curva

FIGURA 7 -'I

FIGURA 7.41

www.freelibros.com


Sean , la parábola ¿¡7: y ’ = 4p x y el punto exterior P(x0 , y0). Con centro en P, trácese la circunferencia de radio PF, que intercepta a la directriz l en los puntos D, y D,. Por estos puntos se trazan paralelas al eje de la curva que la interceptan en T, y T . Uniendo el punto exterior P con T, y T se tendrán las tangentes (I\ y pedidas.

El fundamento de esta construcción está en el siguiente teorema.

TEOREMA 7.4. La tangente a una parábola en un punto T, es bisectriz del ángulo formado por el radio vector FT, y la paralela al eje de la

parábola que pasa porT (Figura 7.41).

Demostración. En efecto, por definición de parábola, FT, = T,D, , entonces el triángulo FT,D, es isósceles. Además, como PF = PD,, por ser ra

dios, los triángulos PD,T, y PFT, son iguales, de donde a = p, luego, la tangente LL\ es bisectriz del ángulo FT,D,. D

fp !s ) PROPIEDAD DEL AREA DEL SEGMENTO P A R A B O LIC O _______

El área de un segmento parabólico es los 2/3 del área del rectángulo cuyos lados son las respectiva abscisas y ordenadas de la parábola.

Demostración. Hipótesis: La propiedad no pierde generalidad si consideramosla parábola 37 : x2 = 4py

Tesis: Debemos probar que el área

S = j a(OQPR)En efecto, dividimos el segmento OQ en n intervalos de igual longitud Ax , tal que

x = OQ = n(Ax)donde Ax es el ancho, e , y, , y2, y , ...... yn,son las alturas de los rectángulos en que se ha dividido el área de OQP. Entonces : a(OQP) = (Ax)y, + (Ax)y2 + (Ax)y, + ...+ (Ax)yn

= (Ax) [y, + y, + y, + ........... + y jComo y, , y2 1 y, yn, son ordenadas dela parábola 27 : x2 = 4py , entonces :

r x i2 x22 X12 X»Sa (OQP) = (Ax) [ — + — + — + ....... — ]L 4p 4p 4p 4p

y dado que : x. =¿(Ax),o sea , x, = l(A x ), x2 = 2(Ax), x, = 3(Ax) \ = n(Ax)

www.freelibros.com


= ^ - ' [ l 2 + 22 + 32 + ............+ n2l = ^ r [ | (n + l)(2n + 1)]

s evidente que cuando n tiende a «>, entonces ^ tiende a cero

Luego . a(OQP) = = (A ) (2^) = (A )(y) = I (OQ)(QP) = j a(OQPR)

fp^P) PROPIEDAD INTRINSECA DE LA PARABOLA_____________ _____

La ecuación de una parábola en su forma canónica nos permite ver que la relación que existe entre la distancia que separa un punto de la parábola de su eje y la distancia que separa el mismo punto de la tangente en el vértice, es la misma. Esta propiedad intrínseca describe la forma de la parábola sin referirse c. os ejes coordenados y se conserva si alteramos la posición de la parábola y, p r consiguiente, se puede emplear para obtener la ecuación de la curva en cualquier posición.

Supongamos que la ecuación del eje de simetría es la recta ^ : Mx + Ny + Q = 0, y que la ecuación de la tangente en el vértice es la recta 5?: Nx - My + R = 0.En virtud de la propiedad intrínseca de la parábola

S = | a(OQPR) □

y’1 = 4px' o ) rPero:

? = d(P, <2?) =I Mx + Ny + QI

I Nx - My + R I

V NJ + M 3 Sustituyendo en (1) se tiene :

I Mx + Ny + Q | ; |N x -M y + R|l ---r- ---—.■ ------- 1 = 4 p l ----- . —

V M3 + N! 1 ' VM2 + N3De aquí se obtiene la ecuación de la parábolaque tiene la forma : FIGURA 7.43

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

www.freelibros.com


donde el término rectangular xy nos indica que eje de la parábola es oblicuo, además la ecuación se caracteriza por el hecho de que trinomio Ax2 + Bxy + Cy2 es un cuadrado perfecto o múltiplo de un cuadrado perfecto. Q

Q EJEMPLOS ILUSTRATIVOS____________________________

( E J E M P L O 1 ) Sean, la ecuación de la parábola .9’ : y2 + 2y - 4x - 7 = 0 y el punto de tangencia T(2 , 3). Verificar que la tangente en T es

bisectriz del ángulo formado por el radio vector TF y la paralela al eje de la parábola que pasa por T.

Solución. La ecuación de la parábola en su forma ordinaria es (P: (y + l ) 2 = 4(x + 2)

de donde : p = I , h = -2 y k = - lCoordenadas del foco; F(h + p , k) <=> F(-l , - l)Ecuación del radio vector FT :

y + ] = (x + l) => 3?: 4x - 3y + l = 0

Ecuación de la recta paralela al eje que pasa porT

.2|: y - 3 = 0 Tomando distancias dirigidas del punto P a ambas rectas se tiene :

4x - 3y + l (y - * . * ) - * . « ) • = - —

de donde obtenemos la ecuación de la bisectriz , 3?\ x - 2y + 4 = 0Por la fórmula (9), la ecuación de la tangente a la parábola en el punto T es

(y, - k)(y ’ k) = 2/?[(x, - h) + (x - h)] ^ (3 + i)(y + l) = 2[(2 + 2) + (x + 2)]■=> x - 2y + 4 = 0

Por lo tanto, la bisectriz se identifica con la tangente en T. (Teorema 7.4) □

( E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V (2 ,4), su eje, la recta S ? : x - 3 y + 1 0 = 0 y que pasa por Q(4 , 10).

Solución. La ecuación de la tangente en V, perpendicular a la recta es : y - 4 = -3(x - 2) « ^ : 3x + y - 10 = 0

www.freelibros.com


En el sistema X ’VY', por la propiedad intrínseca, la ecuación de la parábola es ■ y ’2 _ 4pX' donde x’ e y' son, respectivamente, las distancias dirigidas del punto

genérico P a las rectas SP, y SP (Figura 7.45), esto es :

3x + y - 10 x - 3y + 10x’ = rf(P , SB, ) = j= , y’ = d(P , Se) = ----------—

VIO -VÍÓ

,x - 3y + 10>2 ,3x + y -10,

H ^ H í i H/4 - 30 + 10\2 , /12+IO-IOv 8VTÓ

,x - 3y + u v iix + y - lu \

„ /4 - 30 + 10\2 , /12+IO-IOvSl (j: 10) e * ( - f fr í = *P ( j = — ) «=* P

-Vio ' ' Vio ' 15

,x -3 y + 10^ 32VÍO ,3x + y - 10Luego , en (1 : (------- = —} = -------- ----- — — )

' -Vio 1 15 Vio ;de donde se tiene , 3x2 - 18xy + 27y2 - I32x - 244y + 940 = 0


( E J E M P L O 3 ) Dado el foco F(5 , 1) y el vértice V(3 , 2) de una parábola, hallar su ecuación , los extremos del lado recto y la ecuación de

su directriz. (Figura 7.46)

Solución. La ecuación del eje X’ que pasa por V y F es

y - 1 = y f y (x - 5) «■ se, : x + 2y - 7 = 0

y la ecuación de la tangente en V(eje Y’) es : y - 2 = 2(x - 3) « SB, : 2x - y - 4 = 0y? = |V F | = V (3 -5 )2+ (2 - 1)2 = VJ

Por la propiedad intrínseca la ecuación de la parábola en el sistema X ’V Y ’ es ,. ^ : y ' 2 = 4 px' (1)

www.freelibros.com


2x - y - 4Dado que : x' = d(P , Síf2) ■=> x’ = — -j=—

x + 2y - 7y’ = d(P , <2>) =» y ’ = ----- --------

Luego , en (1 ) : — —-)3 = 4^5 (2X jL 4j «=> ^ : x'- + 4xy + 4y! - 54x - 8y

En el sistema X’VY’, las coordenadas de los extremos del lado recto son:

L (p , I 2p I ) y R(p , - 1 2p I ) ^ L(V5 , 2>/5) y R(V5 , -2^5)

Si x’ = V5 2X ~ y-~-~ = V5 o 2x - y - 9 = 0

+ 129 = 0

V5

y ’ = 2V5 => x + .2 y .' 7 = 2V5 o x + 2y - 17V5 } Por simultái

x = 7 , y =simultáneas:

5 =* L(7 , 5)

Para R : y’ = -2<5 => 2x = -2V5 o x + 2y + 3 = 0 D (2x - y - 9 = 0) = R(3 , -3)v5

x + 2y *7 r— 1—1Ecuación de la directriz , x ’ = -p <=* rá— = -\5 o ( : 2x - y + 1 = 0 LJ

Vs

( E J E M P L O 4 ) Dados un punto T(1 , 2) de una parábola, la ecuación de la normal en T, 37x : x + 3y - 7 = 0 y la ecuación del eje de la curva

( : x - 2y - 7 = 0 ; calcular la posición del foco y hallar la ecuación de la parábola.

Solución. La pendiente de la recta que pasa por T y que es paralela al eje de la parábola es m2 = 1/2 , y la pen

diente de la normal «2? es m, = -1/3.Sea nij la pendiente de la recta que va del foco F al punto T.Por la propiedad 2, sabemos que a = p , esto implica que

Tga = Tgp <=*1 + m, . m3 1 + m2. m(

O s e a :-1/3 - m, 1/2 + 1/3

■=> m, = - 2l + ( l / 3 ) m 3 1 + (l /2)(-l /3)La recta SB%, que pasa por T , de pendiente -2 es

y - 2 = -2(x -1 ) <=> : 2x + y - 4 = 0Por tanto, el foco se encontrará en la intersección de 3iy con el eje de la parábola, esto es :

www.freelibros.com


J2? fU = (2x + y - 4 = 0) n (x - 2y - 7 = 0) = F(3 , -2)La ecuación de la tangente 2? que pasa por T es

y - 2 = 3(x - I) <=> & : 3x - y - I = 0se n t = (3x - y - 1 = 0) n (X - 2y - 7 = 0) = D(-l , -4)

Por la propiedad 3 sabemos que el vértice es punto medio de DF y como la proyección de T sobre el eje es el foco F, entonces VF = DV = p, luego la directriz pasa por D, cuya ecuación es : y + 4 = -2(x +1) ■=> : 2x + y + 6 = 0.Conocidos el foco y la ecuación de la directriz, la ecuación de la curva es :

d(P , F) = d(P , /,) <=> V(x - 3)2 + (y + 2)2 = 1 2X * * * 6 1o bien :

á9: x2 - 4xy + 4y2 - 54x + 8y + 29 = 0 □

( E J E M P L O 5 j El vértice de una parábola es V(-3 , 1), su directriz es paralelaa la recta .2?: 3x + 4y - 6 = 0 y uno de los extremos de su lado

recto es (6 , 3). Hallar la ecuación de la parábola.

Solución. La ecuación del eje de la parábola que pasa por V y perpendicular a la

recta dada SS, es : y -1 = y (x + 3)La ecuación de la tangente en el vértice paralela a la recta S£, es :

y - 1 = - A(x + 3) <=» SSp. 3x + 4y + 5 = 0 Ecuación de la recta aue contiene al lado recto:

y - 3 = - | ( x - 6) o LR : 3x + 4y - 30 = 0

Entonces : fl LR = F(6/5 , 33/5)

p = 1 VF | = V(6/5)2 + (33/5 - l ) 2 = 7 Por la propiedad intrínseca de la parábola

y’2 = 4px' (1)

4x - 3y + 15donde : y ’ = d{P ; (.) = -----, ; x = -d(P

-V16T 9

<=> : 4x - 3y + 1 - - i

t/N . Y>

3> p l SS, X t

V k v W v

Xk/f,

/

■ 3)

'/ X/

v

O \ >x

.JFIGURA 7.48

3x + 4y + 5■ w = - , = = - ■ -W9 + 16

... .. ,4x-3y+15U .3x + 4y + 5»I uego, en (1 ) se tiene : ( d j = 4(7) (------- j

o bien ,á9 : 16x2 - 24xy + 9y2 - 300x - 650y - 475 = 0 □

www.freelibros.com


( E J E M P L O 6 ^ En la figura 7.49, W es la directriz de la parábola J 2; F(5 , 5) es el foco de ¿r. BC es una cuerda focal cuya longitud es de 20

unidades ; V es el vértice de ; el área del ABVC es 15^2 u2. A y D son los pies de las perpendiculares trazadas a 91 desde B y C respectivamente. Hallar el área del trapecio ABCD.

Solución. Ecuación de directriz

= l <=> J ? :x + y = 2

Ecuación del eje : y - 5 = + l(x - 5) <=> ( : x - y = 0

B n e = {E(l , 1)} ^ <=> V(3 . 3)

I VF I = V(5-3)2+ (5 -3 )2 = 2\Í2

a(ABVF) = i ( | VF | )h, = i (2V2)h, = V2h,

a(AVFC) = i ( I VF I )h2 = V2h,

c=> a(ABVC) = a(ABVF) + a(AVFC)= V2h, + V2h2 = V2(h, + h,) = <21 AD I

Como a(ABVC) = 15^2 <=> 15V2 = V2 I AD I <=> I ÁD 1=15

Area del trapecio : a(ABCD) = j (I AB I + IDC I ) I AD I

Por definición de parábola : I AB I = I BFI y I DC I = I FCI

Luego , a(ABCD) = 1 ( |B F | + iF C l) IÁ d I = ^ (20)15 = 150 u2 □

( E J E M P L O 7 j Desde el vértice de la parábola .f : x2 = 8y se trazan perpendiculares a las rectas tangentes de dicha parábola. Hallar una

ecuación del lugar geométrico de los pies de dichas perpendiculares.

Solución. Sean T (x ,, y,) el punto de tangencia y A la proyección de

T sobre el eje Y ■=> A(0 , y,)Por la propiedad 3 : AO = OB ■=> B(0 , -y,)1. Sea P(x , -y) un punto del lugar geométrico2. Como OP X PB entonces

x2 + y2■=> y, ------------

' VFIGURA 7.50

www.freelibros.com


También : OP ± PT => m „,. m„ = - I -n (■ (7 7 7 ) = • 1

r£=> X

3. Siendo T(x, , y,) € & <=> x,2 = 8 y

/X2-*-y2x2 / x z + y *x

simplificando se tiene la ecuación del lugar geométrico : x2(y + 2) + y’ = 0 d

( E J E M P L O 8 ) La parábola y? = 4p\ divide al área del círculo (x - p f + y? = 4p2 en dos partes : LAROL y LORBL. En que relación está el área

LAROL (parte no sombreada) al área total del círculo.

Solución. El área del círculo es S, = 7t r2

Pero como r = ^ (LR) = 2p <=> S, = 4np:

Area sombreada : Ss = ^ (S,) + área (LORL)

Por la propiedad 5 : área(LORL) = y (p)(4p) = y/>2

Luego, Ss = y (4np2) + ~ p 2 = ^p2(3n + 4)

Area no sombreada : S2 = S, - Ss

■=> S, = 4np2 - j p 2(3n + 4) = -|/P(37t - 4)

S, _ 37C-4 □S, ~~ 6K

C EJEMPLO 9 ) Dadas las ecuaciones de dos tangentes a una parábola, : x - 3y + 8 = 0 y : 4x + 3y + 2 = 0, y los correspondientes

puntos de tangencia, T,(7 , 5) y T2(7 , -10), encontrar la ecuación del diámetro y la de la parábola correspondiente.

Solución. Las tangentes .2? y J/? se interceptan en el punto P, esto es, por simultáneas (x - 3y + 8 = 0) f| (4x + 3y + 2 = 0) = {P(-2 , 2)}

— -5/2 - 2 1Punto medio de la cuerda T.T,: M(7 , -5/2) ■=> m„M = = - —

1 2 ' ' ™ 7 + 2 2La recta que pasa por P y por M es un diámetro de la curva, por lo que su ecuación

es: y - 2 = - i ( x + 2) <=> JZ?:x + 2 y - 2 = 0Las rectas y 2? que pasan por T, y T, respectivamente, paralelas al diámetro 3 ,

www.freelibros.com


tienen por pendiente : m, = rn, = - 1/2 Si F es el foco de la parábola, entonces por la propiedad 2 : a , = (1, , implica que ,

Tga, = TgP,1/3 + 1/2 m5 - 1/3

O sea,1 + (l/3)(-l/2) 1 + (l/3)m s

Ecuación de T^F ; y - 5 = 2(x - 7)<=> <Z5: 2x - y - 9 = 0

Análogamente : a 2 = (32 *=> Tga,, = Tgp.

<=» m5 = 2

o bien, -1/2 + 4/32 3 2

■ 4/3 - n r

1 + (-l/2)(-4/3) 1 + (-4/3)n\11

m = - 11/2

FIGURA 7.52

Ecuación de T2F : y + 10 = - - y (x - 7)

o : 11 x + 2y - 57 = 0 ■2? y 5? se cortan en el foco, luego, por simultáneas(2x - y - 9 = 0) 0 (1 lx + 2y - 57 = 0) = {F(5 , 1)}Determinación de la directriz :

I f jF l = V(7 - 5)2 + (5 - l ) 2 = V20Como |T,D I = |T,F I (definición de parábola), la ecuación de la circunferencia concentro T, y radio |T,F I es, Wr. (x - 7)2 + (y - 5)2 = 20Por simultáneas : ^ = {D (3 , 7)}. Entonces, la ecuación de la directriz es ,

y - 7 = 2(x - 3) » t : 2x - y + 1 = 0 Conocidos el foco y la directriz , la ecuación de la parábola buscada es :

V(x - 5)2 + (y - l)2 = 2X ' y + 'W4 + 1

& : x2 + 4xy + 4y2 - 54x - 8y + 129 = 0 □


1. Dada la ecuación de la parábola x2 - 6x + 5y - 11 = 0 y el punto de tangencia T(-2 , -1), verificar que la tangente en T es bisectriz del ángulo formado por el radio vector TF y la paralela que pasa por T. (Guía: Ejemplo 1).

2. El foco de una parábola es el punto F(6 , 7) y el vértice V(4 , 2), hallar su ecuación, los extremos del lado recto y la ecuación de su directriz. (Guía: Ejemplo 3).

3. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en V(1 , -2) y foco en F(-1 , 2). Hallar también la ecuación de su directriz. (Guía: Ejemplo 3).

www.freelibros.com

EJERCICIOS : Grupo JO 325

4. El vértice de una parábola es V(2 , 1) y su foco F(5 , -1). Hallar su ecuación, los extremos del lado recto y la ecuación de su directriz (Guía: Ejemplo 3).

5. Determinar la ecuación de una parábola , sabiendo que su foco pertenece a la recta X : 2x - y + 6 = 0, el lado recto está contenido en la recta .5? : x + 2y - 12 = 0 y la directriz es la recta X2 : x + 2y - 32 = 0.

6. La recta 5? :x + y + 3 = 0es tangente a la circunferencia W: x2 + y2 + óx + 10y + 23 = 0 en el punto T, y también es directriz de una parábola X. S demás T divide al segmento CF en la razón r = 3/4 , siendo C el centro de '<?, F el foco de X y en el primer cuadrante. Hallar la ecuación de X y su vértice.

7. Una parábola X con vértice V(1 , 1) tiene como eje de simetría la recta X : 2x - y -1 = 0. Si además la abscisa del foco es menor que 1 y la longitud del lado recto es 16/V5. Hallar la ecuación de 3f.

8. Sean, Xy: 4x + 3y + 12 = 0, una recta y P(8 , 2) <t X . Si P y Q son los puntos extremos del lado recto de una parábola que se abre hacia abajo, donde Q es el pie de la perpendicular trazada desde P a X va) Determinar las coordenadas del foco, del vértice y las ecuaciones del eje y

la directriz.

b) Determinar la ecuación de la parábola.

9. Sabiendo que los extremos del lado recto de una parábola que se abre hacia arriba son los puntos L(-9 , 12) y R(7 , 0).

a) Determinar las coordenadas del foco, las ecuaciones del eje y la directriz.

b) Usando la definición de parábola halle la ecuación de ésta.

10. Una parábola tiene como eje focal a la recta : x + y + 1 = 0, su vértice tiene abscisa 1 y su directriz pasa por el origen de coordenadas. Hallar la ecuación de dicha parábola.

11. Dada la circunferencia í?: x2 + y2 - 8x + 12 = 0, sea M(5 , -1) el punto medio de una cuerda de X. Hallar: a) La ecuación de la recta X que contiene a dicha cuerda, b) La ecuación de la parábola cuya directriz es la recta X y su foco F es el punto simétrico de M respecto del centro de í?. Además indicar el vértice y el eje de dicha parábpla.

12. El eje de simetría de una parábola es la recta X : 2x - 3y -4 = 0 , su foco es F(11 , 6) y su vértice V(14 , 8). Hallar la ecuación de la parábola.

13. La normal en el punto T(-1 , -19) de una parábola es la recta X, : x - 3y - 56 = 0.

www.freelibros.com


El eje de la curva es la recta í : x + y + 4 = 0. Cálcular la posición del foco y hallar la ecuación de la parábola (Guía: Ejemplo 4).

14. Dados un punto T(-1 , 7) de una parábola, la ecuación de la normal en T, ü? : x + 3y - 20 = 0 y la ecuación del eje de la curva, i : x - y = 0 ; hallar el foco y la ecuación de la parábola. (Guía: Ejemplo 4).

15. Dadas las ecuaciones de dos tangentes a una parábola, á? : x - 3y + 22 = 0 y £ : x + 1 = 0, y los correspondientes puntos de tangencia T,(-19 , 1) y Tj(-1 , -5); hallar la ecuación del diámetro y la de la parábola correspondiente.

16. Las rectas ^ , : 2 x - y + 10 = 0 y ^ : x + y + 2 = 0 son tangentes a una parábola en los puntos T,(2 , 14) y T2 (-1 , -1), respectivamente. Calcular la ecuación del diámetro y la de la parábola correspondiente. (Guía: Ejemplo 9).

£ 2 0 APLICACIO NES DE LA PARABOLA________________________

A continuación estudiaremos brevemente algunas de las muchas aplicaciones de la parábola.

1. Una de las propiedades más utilizadas de la parábóla es la de reflexión. En Física se define una superficie reflectora cuando un rayo incidente y el correspondiente rayo reflejado forman ángulos iguales con la normal a la superficie. Un espejo plano es un ejemplo de superficie reflectora. Otro ejemplo se obtiene de la propiedad 1, esto es, si una parábola gira alrededor de su eje engendra una superficie reflectora. Tiene la propiedad especial de que todos los rayos que parten del foco, al chocar con la superficie se reflejan todos paralelos entre si al

www.freelibros.com

Sección 7.10: Aplicaciones de la parábola 327

eje. (Figura 7.53). Esta propiedad es la base para la construcción de los espejos parabólicos de los telescopios, los faros, las reflectoras de ondas eléctricas y conchas acústicas de micrófonos selectivos.

2. La trayectoria de un objeto que se lanza hacia arriba oblicuamente y la correspondiente a un objeto que se deja caer desde un vehículo en movimiento, son parabólicas (si se omite la resistencia del aire). Esto nos indica la importancia de esta curva cuando se estudia el movimiento de proyectiles y bombas. (Figura7.54).

3. Ei cable de soporte de un puente colgante cargado uniformemente adopta la forma parabólica si despreciamos el peso del cable al compararlo con el del puente. En la Figura 7.55, la distancia | AB I comprendida entre dos torres es la amplitud o luz del puente y la distancia I CV |se denomina depresión del cable parabólico.

4. La superficie de un fluido contenido en un cilindro que gira alrededor de su eje con velocidad constante es también parabólica. (Figura 7.56)

5. Las trayectorias de algunas cometas son parabólicas cuyos focos están en el Sol.

6. El arco simple más resistente es de forma parabólica.

□ E JE M P L O S IL U S T R A T IV O S

( E J E M P L O 1 j Se plantea hacer un arco parabólico con eje vertical, cuyos puntos de apoyo están separados por una distancia de 30 m.

Si el foco de la parábola debe estar a 8m de altura, cuál es la altura que debe tener ni arco?

www.freelibros.com


Solución. Dado que la amplitud del arco parabólico es de 30m; los puntos de apoyo tendrán por coordenadas: A(-15 , 0) y B(15 , 0)

La ecuación del arco parabólico es de la forma í?: xJ = 4p(y - k) (1)

Si F(h, k + /;) = F(0 , 8) entonces, k = 8 ■=> p = 8 - k

Luego, en (1), ¿P\ x2= 4(8 - k)(y - k)Si B(15 ,0 )e .9 (15)’ = 4(8 - k)(0 - k)de donde, se tiene :4k2 - 32k - 225 = 0 o k = 25/2 Ó k = -9/2 Por lo tanto, la altura que debe tener el arco es

k = 12.5m. □

FIGURA 7.57

( E J E M P L O 2 ] La entrada de una iglesia tiene la forma de parábola de 9m. de alto y 12m. de base. Toda la parte superior es una ventana de

vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8m. ¿Cuál es la altura máxima de la ventana?

Solución. La ecuación del arco parabólico es: x2 = 4p(y - 9) (1)

Si A(6 . 0) e & => (6)2 = 4p(0 ,9) o p = -1Luego, en (1), = -4(y - 9)Como I DC I = 8 => C(4 , y) e í?

(4)2 = -4(y - 9) <=> y = 5Por lo tanto, la altura de la ventana es

h = lÓ V I - lÓ H l = 9 - y= 9 - 5 = 4m. □

FIGURA 7.58

( E J E M P L O 3 j Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica (Figura 7.59) cuando el nivel AB del agua alcanza una altura

de 6m., su longitud I AB | mide 25m. Calcular la longitud | A’B’ I cuando el nivel del agua desciende 4m.

Solución. La ecuación de la sección transversal es\2 - 4py (1)

Como I AB I =24, sus extremos tienen por coordenadas : A(-12 , 6) y B(12 , 6)

www.freelibros.com

Sección 7 .10: Aplicaciones de la parábola

Entonces en (1) se tiene, .9 : x2 - 24 y Cuando el agua desciende 4m., los extremos del segmento A 'B’ son

A’(-x , 2) y B(x , 2)Si B(x , 2) € .9 ==> x2 = 24(2) => x = 4^3

I A’B’ I = 8V3 □

( E J E M P L O 4 ) © cable de un pueñte colgante cuelga en forma de parábola cuando el peso está uniformemente distribuido horizontalmen

te. La distancia entre dos torres es 1500 pies, los puntos de soporte del cable en las torres están a 2?n pies sobre la carretera, y el punto más bajo del cable e :á a 70 pies sobre la carretera. Hallar la distancia vertical entre el cable y el punto de la carretera situado a 150 pies del pie de la torre.

Solución. La ecuación parabólica del cable es,» . x2 = 4/?(y - 70) (1)

Como la amplitud del puente es 1500 pies, los extremos del cable tienen por coordenadas:

A(750 , 220) y B(-750 , 220)Si A .e ■=> (750)2 = 4/;(220 - 70)

4/; = 3750 En (1) se tiene, x2 = 3750(y - 70)La abscisa del punto C es :

x = 750 - 150 = 600 FIGURA 7.60I uego, si C(600 , y) e => (600)’ = 3750(y - 70)de donde obtenemos: y = 166 pies □

( e j e m p l o s ^ Un avión que vuela hacia el sur a una altura de 1,500m. y a una velocidad de 200 km/h deja caer una bomba. Calcular la dis

tancia horizontal del punto de caída a la vertical del punto de lanzamiento.

Solución. La ecuación de la parábola de tiro (ver Figura 7.54) es :™ - r 9 X 2y = x T g a —

2v02 Cos2al'iua el tiro parabólico horizontal, a = 0, entonces

FIGURA 7.59

www.freelibros.com


2uo2x-

De aquí, el alcance AB = x es , x = v0 \ ::g—

donde, y = - 1500m, g = 9.8 m/seg2 (gravedad)

200x 10003600

500 ,— - m/seg.

■=> x(1500)9.8

= 972m □FIGURA 7.61


1. Un arco forma una parábola con eje vertical. Su punto más alto es 18m. sobre la base cuya longitud es 36m. Hallar la longitud de una cuerda horizontal que pasa a través del arco a 10m. sobre la base. (Guía: Ejemplo 3).

2. Un arco parabólico tiene una altura de 25m. y una luz de 40m. Hallar la altura de los puntos del arco situados a 8m. a ambos lados de su centro.

3. El cable de un puente colgante soporta una calzada de 300 pies mediante alambres verticales. Si el cable cuelga adoptando una forma parabólica y los alambres más largos y más cortos miden 90 y 15 pies respectivamente, cuál es la longitud de los soportes que están ^6 0 pies de los alambres más largos?

4. Un arco parabólico tiene una altura de 20 pies y ancho 36 pies en la base. Si el vértice de la parábola está en la parte superior del arco, qué altura sobre la base tiene un ancho de 18 pies.

5. Un arco forma una parábola con eje vertical. El ancho de su base es 32 pies y su punto más alto es 8 pies encima de la base. A cuántos pies de la parte superior será colocado horizontalmente una cuerda de 16 pies de longitud a través del arco. (Guía: Ejemplo 2).

6. Un cable de acero está colgado por los dos extremos; los puntos de suspensión están situados a una misma altura y a una distancia de 20m. La magnitud de la flexión a la distancia de 2m. de los puntos de suspensión en sentido horizontal, es igual al 14.4cm. Determinar la magnitud de suspensión de este cable en su punto medio (la flecha), suponiendo que el cable tiene la forma parabólica.

www.freelibros.com

Sección 7.11: Lugares geométricos relativos a la parábola 331

7. Un cometa se mueve en una órbita parabólica cuyo foco es el Sol. Cuando el cometa está a 4 x 107 millas del Sol, la recta que lo une con el Sol forma un ángulo de 609 con el eje de la órbita. (Trazado en el sentido en que se abre la órbita). Calcular la distancia mínima del cometa al Sol. (Sugerencia: Considerar y2 = 4px como la ecuación de la órbita y calcular p).

8. Se lanza una piedra horizontalmente desde la cima de una torre de 185m. de altura con una velocidad de 15m/seg. Hallar la distancia del punto de caída al pie de la torre suponiendo que el suelo es horizontal

9. Hallar la mayor altura de un vagón de ferrocarril de techo plano, con un ancho de 10 pies, que puede pasar por debajo de un arco parabólico cuya altura y anchura máximas son de 20 pies.

10. Se tiene un reflector parabólico cuya forma se obtiene haciendo girar un arco de parábola que empieza en el vértice, alrededor del eje de la parábola. Si el foco está a 9cm. del vértice y el arco parabólico tiene 16m. de profundidad. Cuál es la abertura del reflector?.

11. Suponer que el agua que fluye del final de un tubo horizontal que está a 25 pies del piso describe una curva parabólica, el vértice de la parábola está el final del tubo. Si en un punto a 8 pies bajo la línea del tubo, el flujo del agua se ha curvado hacia afuera 10 pies más allá de una recta vertical que pasa por el final del tubo, qué tan alejada de esta vertical tocará el agua al suelo?

12. Un telescopio reflejante tiene un espejo parabólico en el cual la distancia del vértice al foco es 30 pies. Si el ancho del espejo es 64 pulgadas en la parte superior, qué tan profundo es el espejo en el centro?.

C 7 Ü LUGARES GEOMETRICOS RELATIVOS A LA PARABOLA

En relación con la resolución de problemas sobre lugares geométricos relativos a parábolas, seguiremos el procedimiento bosquejado en el Capítulo 3.

( EJEMPLO 1 ) Desde el foco de la parábola .3® : x2 - 2x + 4y - 3 = 0 se trazanlos segmentos FB de tal modo que B esté en la parábola. Ha-

II. ii el lugar geométrico de los puntos medios de FB.

S olución. Si 5": (x - l ) 2 = -4(y - I) ■=> h = l , k = l y p = -\F= (h , k + p) <=> F(l , 0)

www.freelibros.com

332 Capítulo 7. l¿! parábola

1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico Si B(x, , y,) € ¿t =» (x, - 1)' = -4(y, - 1) (1)

2. Como P es punto medio de I B, entonces2x = x, + 1 <=> x, = 2x - 12y = y, + 0 y, = 2y

3. Sustituyendo en (1) se tiene :(2x - 1 - l)2 = -4(2y - 1) ■=> .1'' : x3 - 2x + 2y = 0

El lugar geométrico es una parábola coaxial y homofocal con la primera. (Fig. 7.62) Q

r

Y J

A

V

jr

V

i \ x * ^

1 \ \11

FIGURA 7.62

( EJEM PLO 2 ) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas focales de la parábola ,9®: y2 = 4p\.

Solución. Sean P(x, , y,) y Q(x, , y,) las coordenadas de los extremos de unacuerda focal.

1. Sea M(x , y) un punto del lugar geométrico._ X, + x2 * 2x

Como M es punto medio de PQ ■=* i „l y , + y 2 = 2y

2. Además, P(x, , y,) e 9 y,3 = 4pxtQ (x ,, y,) e .9® => y2 = 4px.

Restando la segunda de la primera igualdad se tiene:(y, + y 2) ( y , - y 2) = 4/>(x1- x 2)c=> = 7 ^ T 2

2 PLuego, la pendiente de la cuerda focal es: m = —Y FIGURA 7.63

2p y - 03. También, m = , esto es : — = -------- <=> : y2 = 2p(x - p)

y * ■ pEl lugar geométrico es una parábola coaxial con la primera, con el vértice en el

foco de la dada ; Foco F’(~p ,0) , LR = 2p , directriz : x = CU

( E J E M P L O 3 ) Sea U cualquier punto sobre la gráfica de ,9®: y = 3x2 , y sea Sy T las proyecciones de U sobre los ejes X e Y respectivamen

te. Hallar una ecuación del lugar geométrico formado por los puntos P sobre ST tales que están a la tercera parte de la distancia de S y T.

Solución. Sea Uíx, , y :) e y, = 3x,2 (1)

www.freelibros.com

Sección 7. /1: Lugares geométricos relativos a la parábola 333

S es proyección de U sobre el eje X => S(x,, 0) T es proyección de U sobre el eje Y ■=> T(0 , y,)1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico

SP 1/3 _ I x - x, y - 0 2.2

2. Si 2Í1 _ = 1 ^PT 2/3 2 0 - x y , - y

Despejando x, e y, de estas igualdades resulta:

* , = ! * • y, = 3yustituyendo en (1) se tiene :

3y = 3 ( |x ) J«=> : 4y = 9x2

El lugar geométrico obtenido es una parábola coaxial con la dada. 0

» x

FIGURA 7.64

( EJEMPLO 4 J Hallar la ecuación del lugar geométrico generado por el centro de una circunferencia que se mueve tangente al eje Y y a la

circunferencia x2 + y2 - 12x + 4y + 31 =0. Identificar y trazar el lugar geométrico.

Solución. La forma ordinaria de la ecuación dada es í? : (x - 6): - + 9■=> C(6 , -2) y r = 3 f A

1. Sea P(x . y) un punto del lugar geométrico Y/(centro de la circunferencia móvil) /

2. En cualquier posición del punto P se tiene v P/ \CP = CT + TP Q------( t 1 _____^

Como TP y PQ son radios de la circunferencia 0 V Xmóvil, entonces : CP = CT + PQ XX

3. Luego, V(x - 6)J + (y + 2)2 = 3 + x r r c 1de donde obtenemos : y2 - 1 Sx + 4y + 31 = 0 \ V y0 bien ; jP: (y + 2)2 = 18(x - 3/2) \El lugar geométrico es una parábola con vérti ¡Ace en V(3/2 , -2) y foco en C(6 , -2) cuya gráfi \ca, con trazo no continuo, se muestra en laFigura 7.65. O FIGURA 7.65

f EJEMPLO 5 ) Hallar la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia tangente a la recta .SP : x - 2 = 0 y a la circunferen-

cia V : x? + y? = 16. (Figura 7.66)

www.freelibros.com

334 Capitulo 7. La parábola

So luc ión . El problema presenta dos alternativasa) Circunferencia móvil con centro C

1. Sea C(x , y) un punto del lugar geométrico2. En cualquier posición de C se cumple :

OT = OC + CT , pero : CT = CD por se radiosLuego, si OT = OC + C'D ■=> 4 = Vx2 + y2 + (x - 2) ■=> Vx2 + v : = 6 - x

3. De donde, elevando al cuadrado obtenemos la parábola .-f : y2 = -12(x - 3)b) Circunferencia móvil con centro C’1. Sea C’(x , y) un punto del lugar geométrico2. En cualquier posición de C’ se cumple

OT’ = OC’ + C’T , como C'T’ = C’D’ por ser radios■=> OT’ = OC' + C’D’ o 4 = \ x 2 + y2 + (2 - x) => Vx: + y2 = x + 2

3. De donde obtenemos la ecuación de la parábola ,i" : y2 = 4(x + I) - Q

( E J E M P L O T ) Hallar e identificar la expresión del lugar geométrico de los puntos P que son los simétricos de los puntos Q de la pa*ábofa

: x2 - y + 4 = 0 respecto de la recta / / ' : x - 2y + 2 = 0. (Figura 7.67)

So luc ión . Sean Q(x, , y,) e .? <=> y¡ = x^ + 4

y M (x ,, y,) punto medio de PQ.1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico2. Si M(x2, y,) e V <=> x, - 2y2 + 2 = 0

X + X=» (~~ — ) ■ (x,2 + 4 + x) + 2 = 0

de donde: x,2 = - i(x - 2y + x, - 4) (1)

= ’2 ^ = -2 => y - (x,2 + 4) = - 2x + 2x,x,2 = 2x + y - 2x, - 4 (2)

(1) = (2) -=> i (X - 2y + x, - 4) = 2x + y - 2x, - 4

Despejando x, obtenemos : x, = i(3 x + 4y - 4)3. Sustituyendo en la ecuación (2) se tiene :

■jg (3x + 4y - 4)2 = 2x + y - j (3x + 4y - 4) -4o bien : 9x2 + 24xy + I6y2 - 44x - 17y + 76 = 6La ecuación obtenida es la de una parábola, pues sus tres primeros términos esel desarrollo de un cuadrado perfecto. O

www.freelibros.com

EJER CICIO S : Grupo 32 335


1. Hallar la ecuación dél lugar geométrico del centro de una circunferí" a tangente a la recta cf \ y + 3 = 0 y a la circunferencia x? + y2 = 4.

2. Hallar la expresión del lugar geométrico de los puntos P tales que el punto medio del segmento que une P con el origen equidista del eje Y y del punto M(1 , 1).

3. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el centro de una circunferencia móvil, cuyo centro y radio son variables y que siempre es tangente a la recta x - 3 = 0 y a la circunferencia í?: x2 + y? = 1. (Guía:Ejemplo 4).

4. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia que es tangente a la recta y -1 = 0 y la circunferencia r<?: \2 + y2 = 9.

I». Qué lugar geométrico describe un móvil P(x , y) que equidista de una circunferencia y de un diámetro de la misma. La circunferencia fija es : x2 + y2 = 36, el diámetro fijo, la recta x = 0.

i>. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P tales que su distancia a la recta 4? : x + 3 = 0 es siempre dos unidades mayor que su distancia del punto Q(1 , 1).

t Hallar la ecuación del lugar geométrico del centro de la circunferencia tangente a la recta 4?: x - 4 = 0 y que pasa por Q(0 , 1).

www.freelibros.com


8. Desde A(-4 , 0) se traza un segmento AB, siendo B un punto cualquiera de y = x2. Hallar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos P tales que ÁP : PB = 1 : 2.

9. Hallar e identificar el lugar geométrico que describe el centro de una circunferencia móvil que es tangente a la recta Sb : x - .1 = 0 y a la circunferencia '&: x2 + y2 = 16 (Guía: Ejemplo 5).

10. Un triángulo tiene como vértices los puntos A(0 , 0 ), B(2 , 0) y C ; donde C es un punto que se mueve describiendo la curva .'J9: x2 - 2x + y = 0. Hallar el lugar geométrico descrito por el baricentro del triángulo ABC.

11. Sea F el foco de la parábola ¿P: x2 - 8y + 32 = 0. Considerar el AOPQ , donde O es el origen de coordenadas , P es un punto de la parábola y Q es la intersección del eje X con la recta que pasa por P y F. Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el baricentro del triángulo cuando el punto P varía en la parábola.

12. Sean OA y OB dos radios horizontal y vertical de la circunferencia ^ : x2 + • y2 = 25. CD es una semicuerda variable paralela a OA. Hallar la expresión del lugar geométrico que describe el punto de intersección de las rectas OD y AC.

C O N J U N T O D E P U N T O S A S O C I A D O S A U N A P A R A B O L A

Asociadas a la parábola & , gráfica de la relación

R = {(x . y ) e R2\ y 1 = 4PX} existen las gráficas de las relaciones

R, = {(x , y) e R21 y2 > 4px} y R2 = {(x , y) e R21 y3 < 4px).Para determinar la gráfica de R, se puede proceder como sigue:

En primer lugar, se traza la gráfica de la parábola y2 = 4p\ (frontera), luego se elige un punto de una de las dos regiones en que la parábola divide al plano (de preferencia el origen o un punto sobre los ejes coordenados), y se sustituye sus coordenadas en la relación R, = {(x , y) e /f2ly 2 > 4px}. Si se verifica la desigualdad se sombrea la región a la que pertenece el punto elegido, en caso contrario se sombrea la otra región.

Este procedimiento se puede aplicar para graficar R, o cualquier otro tipo de relaciones en las que intervienen gráficas de parábolas.

Q EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

www.freelibros.com

Sección 7.12: Conjunto de punios asociados a una parábola 337

( EJEMPLO 1 ) Esbozar la gráfica de la relación

Solución. Trazamos, con líneas punteadas, la gráfica de la frontera !?: y2 = - 8x

Ahora elegimos un punto en la región interior a &>, tal como A( I , 0). f' \(-1 , 0) e R « (0)2> -8 ( - l)

0 > 810 la desigualdad es falsa, se sombrea la re

gí opuesta, esto es, R es el conjunto de punte on el semiplano exterior a la parábola 3>.La gráfica de la relación se muestra en la Figura 7.68. □

: R = {(x ,y )e tf2|y *> -8 x }

FIGURA 7.68

( EJEMPLO 2 ) Dibujar la gráfica de la relaciónR = {(* . y) 13y2 + 4x + 12y < 12 , 2x + 3y + 6 > 0}. Halle su

dominio y rango.

Solución. Trazamos la gráfica de la parábola 3(y + 2)2 = -4( 6)Si 0(0 , 0) e R, » 3{0)2 + 4(0) + 12(0) < 12 => 0 < 12

Como la desigualdad es válida, la g rá fi- _______________ca de R, es el conjunto de puntos interiores a la parábola.

Si R2 = {(x , y) ly > - j X - 2}, entonces

Rj es el conjunto de puntos en el semiplano superior de la recta .5? : 2x + ly + 6 = 0, excluyendo la frontera.Por tanto, la gráfica de R consiste en la intersección de puntos de R, y R2que se ilustra en la Figura 7.69. FIGURA 7.69(iraf(J2?)f|Graffá") = A(-6 , 2) y B(3,-4)I uego, de la gráfica y el conocimiento de las coordenadas de A y B se deduce que.

Dom(R) = < -6 , 6] y Ran(R) = < -4 , 2> O

( EJEMPLO 3 J Dibujar y hallar el dominio y rango de la intersección de las gráficas de R, = {(x , y) 13x2 - 18x - 16y > 53} y R2 = {(x , y) I

♦ y2 - 6x + 10y + 9 < 0}

www.freelibros.com


Solución. Primero trazamos las gráficas de la parábola

3>\ (x - 3)2 = -y- (y + 5) y la circunferencia «■: (x - 3)2 + (y + 5)2 = 25.

Luego, si 0(0 , 0) e R, » 3(0)2 - 18(0) - 16(0) > 53 «o 0 > 53

Como la desigualdad es falsa , R, es el conjunto de puntos exteriores a la parábola, incluyendo la frontera.La gráfica de R2 es el conjunto de punto dentro de r€. Por tanto, los puntos comunes de R, y FL se muestra en la Figura 7.70. Además :G ra f(^ ) n Graf('g') = A(-l , -2) y B(7 , -2)

Dom(R, R Ra) = [h - r , h + r] = [3 - 5 , 3 + 5] = [-2 . 8)Ran(R ,nR ,) = (-2 r,y A] = [-10 l -2] □

( EJEMPLO 4 ) Si R, = {(x , y) 12x2 + 4x - 9y - 43 < 0} yr 2 = > y) 14x? + 8x + 9y - 5 < 0}, hallar el área de R, D R2.

Solución. En primer lugar, trazamos las gráficas de las parábolas

^ : ( x + 1)2= | ( y + 5) y á*2: (x + 1)2 = - | ( y -1)

Luego, es 0(0 , 0) e R, ? ■=> 0 + 0 - 0 - 43 < 0 •=> -43 < 0 , es cierto 0(0 , 0) e R, ? 0 + 0 + 0 - 5<0-=> -5 < 0 , es cierto

Luego, la gráfica de R, 0 R, es el conjunto de puntos comunes interiores a ambas parábolas como se ilustra en la Figura 7.71.

Graf(á*) f l Graf(á^) = A(-4 , -3) y B(2 , -3)

I ÁB | = | xB - xA I = I 2 - (-4) | = 6

S, = a(AV,B) = | ( I ÁB I ) ( I MV, I ) = |(6)(2 ) = 8u2 (P.5)

S2 = a(AV2B) = | ( | ÁB I ) ( I MVj I ) = | (6)(4) = 16u2 (P.5)

.-. a(R, n R2) = S, + S2 = 24 u2. □

\ ; A i ú

N i í m

1 > X % * /'i>A i / '

* V,l . .

1*1

4FIGURA 7.71

www.freelibros.com

EJERCICIOS Grupo } J 339


1. Si R, = {(x , y) e /f2ly < x + 3} , R2 = {(x , y) e R2 \ (y - 2)2 < 2(x + 1)} y R3 = { (x , y) e R1! x + y - 5 < 0 } ; graficar R, f| R? D R3 e indicar su dominio y rango.

2. Trazar la gráfica de la relación R = {(x , y) e K y > x2 - 6x + 5 , 2x + y - 5 < 0} y hallar su dominio y rango.

3. 8 ; A = {(x , y) e R21 y > x2 - 1} y B = {(x , y) e R11 y < 2x + 2 } ; graficar A D B y hallar su dominio y rango.

4. Sean A = {(x , y) e R2 |y < x + 1} , B = {(x , y) e R2 |y < 2 - x} y

C = {(x , y) e R21 y > (x - 1)2}. Esbozar la gráfica de A f| B fl C, indicando su dominio y rango.

5. Graficar y hallar el dominio y rango de

A = {(x , y) e tf2|(y + 1 - x2) ( ly I - 1 x I - 1 ) ^ 0 }

6. Determinar el dominio, rango y la gráfica de

A = {(x , y) I ( | x I + 1 y | - 2)(y + 1 - x2) < 0}

7. Si A = {(x , y) I x7 + y2 > 8} , B = {(x , y) I y2 < 2x} y C = {(x , y) I x - y - 4 < 0 } ; gráficar A f l B f l C e indicar su dominio y rango.

8. Sean R, = {(x , y) I y < 6 - x2} y R2 = {(x , y) I y > x2 - 2} , hallar el área de laregión limitada por R, D R2-

9. Si R, = {(x , y) I y2 + x - 4y s 16} y R2= {(x , y) 13y2 - 16x - 12y < 20} , hallarel área de la gráfica de R, f l R2.

10. Sean A = {(x , y) e R21 y < 1 + TT} y B = {(x , y) e R11 x < 8y - 4y2} ; graficar A f l B , indicando su dominio y rango.

11. Construir las gráficas de las siguientes relaciones

a) R = {(x , y) € /?21 x2 + 3x + 4y > 2 , y2 - 4y - 16x < 12}

b) R = {(x , y) e R21 y2 + 4x + 2y < 7 , 1 x I <, y }

www.freelibros.com

340 Ca¡>íttilo 8: !m elipse

D

—

\

C,

“ —

D

v A F>. C

-----——’ G ’B ,

F 1 V • i I v i

i

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

1. Centro (C) 6. Directrices ( DD y D’D’)

2. Vértices (V,y V2) 7. Lado recto (LR)3. Focos (F, y F2) 8. Cuerda focal (EE’)4. Eje focal (£) 9. Diámetro (GG’)5. Eje normal (^,) 10. Radio vector (PF, ó PF,)

ECUACIONES DE U N A ELIPSE

x y x y1. Formas canónicas : —r + — =1 , tt + = 1a2 b2 b2 a2

3. Forma general canónica : Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

4. Forma general no canónica : A x2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , B2 - 4AC < 0

www.freelibros.com

LA ELIPSE

f T l DEFINICION_________________________________________________

Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano colocados de tal manera que la suma de sus distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Si denotamos la suma constante por 2a, según esta definición y refiriéndonos a la gráfica de la Figura 8.1, se tiene :

P e £ « | PF, | + IPF21 = 2 a

Q e S <=> |QF, I + lQ F,|=2a- v R e £ IFR, I + I RF, I = 2a

I I segmento I V(V, | = 2a se denomina eje mayor, y el segmento I I - 2b es el eje menor de la elipse. La distancia entre los fo- < os, esto es, I F,F, I = 2c , se llama distancia FIGURA 8.1local.

B A FORMAS CARTESIANAS DE LA ECUACION DE UNA ELIPSE

Ahora veremos que la ecuación de una elipse toma su forma más simple ' i mi ido su centro está en el origen y su eje mayor o eje focal coincide con uno de los • |M coordenados.

I l 'IIIMERA FORMA) Elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con eleje X.

www.freelibros.com

342 Capítulo 8: La elipse

Siendo la elipse un lugar geométrico hallaremos su ecuación siguiendo las reglas establecidas en el capítulo 3.1. Sea P(x , y) un punto cualquiera de la elipse2. Como I F jF j = 2c => F, (c , 0) y F2 (-c , 0)

Por definición :P(x , y) e & I PF, I + I PF, 2a<=> V(x - c)2 + y2 + V(x + c)2 + y2 = 2a

■=> \(x - c)2 + y2 = 2a - V(x + c)2 + y2 3. Elevando ambos miembros al cuadra

do y simplificando se tiene : a \(x + c)2 + y2 = a2 + ex <=> a2(x + c)2 + a2y2 = a4 + 2a2cx + c2x2

(a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) (a)Como a > c a2 > c2 y a2 - c2 > 0,

[y y,

B,

.

___ PL, -i

V,l

R

F, C F, J v ,

t,B,

5 ,FIGURA 8.2

entonces podemos designar a este número positivo por b2, esto es, b2 = a2 - c2 y sustituir en (a) para obtener: b2x2 + a2y2 = a2b2

P(x , y) e S <=> f r + y = 1donde b > 0 y b2 = a2 - c2

(1)

Esta primera forma canónica de la ecuación de la elipse se denomina también elipse horizontal, con centro en el origen.

Discusión de la ecuación (1)

1. Intersecciones con los ejes coordenados :a) Con el eje X : Si y = 0 x = ± a , luego las coordenadas de los vértices V, y

V, son : V,(a , 0) y V2(-a , 0) =* I V^V21 = 2ab) Con el eje Y : Si x = 0 ■=> y = ± b , entonces las coordenadas de los extremos

del eje menor son : B ,(0,b) y B ,(0, -b) ■=> I B,B21 = 2b

2. Simetría. Dado que en (1), las variables x e y tienen exponente par, la curva essimétrica respecto a los eje X e Y y al origen.

3. Extensión. Para determinar el dominio y el rango de la elipse, despejamos de(1) : y =f{x) y x = g(y) , esto es :

Dominio Rangob.y = ± — Va2 - x2 J a

y es real «=> a2 - x2 > 0■=> x2 < a2 c=> -a < x < a

Dom (<£') = [-a , a]

x = ± iV b 2 - y2 b

■=> xes real « b2 - y2 > 0r=> y2 < b2 o -b < y < b

Ran(<?) = [-b , b]

www.freelibros.com

Sección 8.2: Fornias cartesianas de la ecuación de una elipse .143

4. Longitud de cada lado recto. Previamente obtendremos las coordenadas delos extremos de cada lado recto de la siguiente

manera:Para el foco F,(c , 0), sustituimos x = c en y = ± — Va2 - x2, para obtener* a

b2y = ± Va2 - c? = ± - Vb2 = ± -

Análogamente para F,(-c , 0) obtenemos : y = + -E! L2(-c , -E-) y R,(-c , - -E-)

?b2P : lo tanto, la longitud de cada lado recto es : LR = —

5. Excentricidad. Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que sedefine como la razón c/a y se denota por la letra e , de modo que :

„ _ c Va2 - b2 e ~ a a

como c < a , la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.

6 . Construcción de las directrices

Haciendo centro en C y radio CV, = a , se traza un arco que intercepte a la horizontal trazada de B, en G. Luego, se traza una perpendicular a CG que intercepta al eje X en D. Por este punto pasa la directriz 1 al eje X. La otra directriz ¿7 se construye por simetría.

—

'■ Y,fe

i,

/ 1 \ \/ i 1 \

V,l F, C i ? x

V

B,

y

7. Ecuaciones de las directrices

Para la directriz : CD = CF, + F,D ■=> x = c + F Ên el triángulo rectángulo CGD : I F,G 12 = I CF, I x I F[D | ■=» | F,D I =

FIGURA 8.3

— , b2 (1)

Luego, en (1) se tiene : x = c + = cZ * b >=> x = - j

Análogamente, para directriz t2: x = - —

Si designamos por d la distancia entre las directrices, entonces, 2a2 2ad = — = —

{'¡EGUNDA FORMA] Elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje Y.

www.freelibros.com

344 Capí lulo 8: La elipse

En este caso, las coordenadas de los focos son F,(0 , c) y F,(0 , -c)

Luego, si P(x , y) e fi => i PF, I + I PF, I = 2a <=> ’Jx2 + (y - c) 2 + x'x2 + (y + c) 2 = 2a

Siguiendo los pasos para deducir la ecuación(1), determinamos que la ecuación de elipse es

x2 v-* '• w + % =1b2 a- (2)

donde b > 0 y b; = a2 - c2

Esta segunda forma canónica es llamada elipse vertical con centro en el origen. De la discusión de la ecuación (2 ) obtenemos : Coordenadas de los vértices: V ,(0 , a) y V ,(0, -a) Extremos del eje m enor: B (b , 0) y B,(-b , 0) Extremos del lado recto :

L . ( r y r . ( - ¥ - c)

Lr ( | - - C) y Rr ( - ¥ - - C)2b2

Longitud de cada lado recto : LR = - j -

Dom(<?) = [-b , b] y Ran(<?) = [-a , a]

Ecuaciones de las directrices : £ ,: y = ^

Distancia entre las directrices : d =

i - y = - ■: = - A V " c e


[E J E M P L O 1 ) Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre el eje X. La curva pasa por el punto P(2 , 3) y el

lado recto es triple de la semidistancia focal.x2 y2

Solución. Forma de la ecuación de la elipse , S : — + — = l (1)

(2)-’ (3) 2Si P(2 , 3) e ■=> - 1 9a2= b2(a2 - 4) (2)

a* b

Dado que LR = 3c ^ = 3c *=> 2b2 = 3aVa2 - b2

Elevando al cuadrado obtenemos : 4b‘ + 9a2b3 - 9aJ = 0 « 3a2 = 4b2 ó 3a2 = -b2

www.freelibros.com

Sección 8.2: Formas cartesianas de la ecuación de una elipse 345

Sustituyendo la solución real en (2) se tiene :12b2 = b2(a! - 4) •=> a2 = 16 , luego : b2 = 12

Por lo que , sustituyendo estos valores en (1), la ecuación de la elipse esS\3x2 + 4y2 = 48 □

( E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación de la elipse de la forma a2x2 + b2y 2 = a2b2, sabiendo que la distancia entre sus directrices es 49/VlO y su

excentricidad 2VÍ0/7.

Solución. Si a2x2 + b2y2 = a2b2 o . í : t ; + ^ ; = 1 (1)b2 a2 ' '

y si d((. , L) = — c=> = 2a(—^ L ) , de donde : a = 71 2 Vio ' 2V10'

Como , e = - ■=> = £ c=> c = 2VI0a 7 7

De la relación : c2 = a2 - b2 ■=> 40 = 49 - b2 , o sea : b2 = 9x2 y2

Por tanto , en (1) se tiene : — + — = 1 <=> 8 : 49x2 + 9y2 = 441 □9 49

( EJEMPLO 3 ) Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje focal"en el eje Y, pasa por el punto P(1 , 4), y la relación del lado

recto a la semidistancia focal es V2.x2 y 2

Solución. Forma de la ecuación de la elipse , S : — + — = 1 (1)

Si P(l , 4) e <? o — + = 1 => a2 = b2(a2 -16) (2)b2 a2

Como = V2 => ^ = V2 c ■=> 2b4 = a2(a2 - b2)■=> 2b4 + a V - a4 = 0 a2 = 2b2 ó a2 = -b2

Sustituyendo la única solución real en (2) se tiene :2b2 = b2(a2 - 16) ■=> a2 = 18 , luego , b2 = 9

Por lo que en (1), la ecuación buscada es, <£: 2x2 + y2 = 18 D

í e j e m p l o T ) Las rectas x = ± 8 son directrices de una elipse, cuyo eje menor tiene longitud 8. Hallar la ecuación de la elipse.

Solución. Si 2b = 8 => b = 4. Siendo las directrices rectas verticales equidistantesdel origen, la ecuación de la elipse tiene la forma

x2 ^ y2 _ , _ x2 ^ y2

www.freelibros.com


Si x = ± 8 ■=> -|- = 8 ■=> a3 = 8c = 8Va2 - b! ■=> a3 = 8Va- - 16 cde donde : a4 - 64a2 + 1024 = 0 « (a2 - 32)2 = 0 => a2 = 32

Por lo tanto , en (1): — + — = 1 <=> S\ x2 + 2y2 = 32 CD' 32 16 3

fE J E M P L O 5 ) Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en (0 , 5) yuna de sus directrices es la recta'4y - 25 = 0. Hallar su ecuación.

Solución. Como la directriz dada es una recta horizontal, la ecuación de la elipsex2 y2

tiene la forma , <?: — + — = 1 (1)tr 3

Si V(0 , 5) <=> a = 5 , y si t : y = — => —r = — , de donde : c = 44 L 4

De la relación c2 = a2 - b2 se sigue que : 16 = 25 - b2 ■=> b2 = 9x2 y2 1—1Luego , en (1) se tiene , — + — = 1 <=> S \ 25x2 + 9y2 = 225 U

( E J E M P L O 6 ) Si P(x, , y,) es un punto de la elipse <?: b2x2 + a2y2 = a2b2 , demostrar que sus radios vectores son : r, = a - ex, y r2 = a + ex,.

Demostración. En efecto , si F,(0 , 0), entonces

r, = I PF, I = V(x, - c)2 + y,2 (1 )Como P(x, , y,) e S b2x,2 + a2y,2 = a2b2

y , 2 = l ^ - x , 2)

En (1) se tiene : r, = Vx,2 - 2cx, + c2 + p - (a2 - x,2)

= 4-"V|/(a2 - b2)x 2 - 2a2cx + a4d 1 1

= - i- V c 2x ,2 - 2a2cx, + a4

= - [ ^ ( a 2-cx,)2= i - | a 2-cx , | = 1 a - ex, I

Dado que x, < a y e < 1, entonces a - ex, > 0, luego , prescindiendo de las barras devalor absoluto se tiene : r = a - ex.Análogamente se demuestra que : r = a + ex, Q

www.freelibros.com


( E J E M P L O 7 ) Determinar los puntos de la elipse <? : 9x2 + 25y2 = 900 cuyas distancias al foco derecho son iguales a 14.

x2 y2Solución. Si 9x2 + 25y2 = 100 — - + — =1 >=> a = 1 0 y b = 6100 36

c2 = a2 - b2 t > c2 = 100 - 36 = 64 => c = 8 , luego : e = c/a = 4/5 Por el ejemplo 6 sabemos que la longitud del radio vector de un punto P de la elipse, oara su foco derecho, es r = a - ex, , entonces :

14=10- jX , o x, = -5

En la ecuación de la elipse se tiene : 9(5)2 + 25y2 = 900 ■=> y2 = 27 o y, = ± 3^3 Por lo tanto, los puntos requeridos son : P,(-5 , 3 ^ ) ó P2(-5 , -3V3) CU

( EJEMPLO 8 j Para el foco F de la elipse se ha trazado una

perpendicular a su eje mayor (Figura 8.6). Determinar para qué valor de la excentricidad de la elipse serán paralelos los segmentos AB y ÓC.

“ IÓC AAOBsAOFC

AO OF a c

Solución. Si AB I

Por lo q u e :

De a q u í; FC =

Luego, ^ =

aOB FC b ~ FC

r7r- _ IFIGURA 8.6

Valor de la excentricidad :

; pero como FC = 4. (Lado recto)

; de donde : b = c, c2 b2

f c = t

Ce= — a

( EJEMPLO 9 ) Un satélite viaja alrededor de la Tierra en una órbita elíptica donde la Tiérra es un foco y la excentricidad es 1/3. La distancia

más corta a la que se acerca el satélite a la Tierra es 300 millas. Hallar la distancia más grande a la que se aleja el satélite de la Tierra.

Holución. Si e = -£■ = ^ => a = 3c (1)

Distancia más corta = a - c ■=> a - c = 300 (2)I li>:;nlviendo (1) y (2) por simultáneas se tiene : a = 450 y c = 150Por lo tanto, la mayor distancia es : d = a + c <=> d= 600 millas. Q

www.freelibros.com

348 Capitulo 8: La elipse

( e j e m p l o 1 0 ) Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos sobre el eje X, distancia entre directrices 12 , y pasa por el

punto P(3 , V5).x2 y2Solución. La forma de la ecuación de la elipse es <?: — + — = ! (1)a* b-

Si t/(£ ,, g = 12 =* = 12 o a2 = 6c (2)De la relación c2 = a2 - b2, se tiene : c3 = 6c - b2 => b2 = 6c - c2 (3)

“ ' - £ + f c 7 5 - l.=> 2c2 - 15c + 28 = 0 <=* c = 4 ó c = 7/2

Sustituyendo estos valores en (2) y (3) obtenemos : a2 = 24 ó a2 = 21b2 = 8 ó b2 = 35/4

Por tanto, en (1), las ecuaciones de las elipses buscadas son

* x2 y2 * a j?. x2 4y2 , n* « : 24 + T " 1 6 2 2\ + 35 = ' °

(EJEMPLO 11) Inscribir un cuadrado a la elipse b2x2 + a2y = a2b2 y calcular su área.

x2 y2 r Solución. Sea la elipse £ : — + — = la2 b2

Las d iagonales del cuadrado son perpendiculares entre si. En la posición dada de la elipse mostrada en la Figura 8.7, las diagonales están contenidas en las rectas : y = ± x , que interceptadas con la ecuación de la elipse dan :

x = y = ±VF+b2

de modo que el lado del cuadrado es : ' FIGURA 8.7

l = 2 1 x l= 2ab o a(ABCDt = 72= 4a2-bi □Va2+b2 a2 + b2

(EJEMPLO 12) Hallar la ecuación de la cuerda focal de la elipse 16x2 + 25y2 = 400 cuya longitud sea 8 unidades.

x2 y2Solución. Sea la elipse g\ — + f - = 125 16

de donde : a = 5 y b = 4

www.freelibros.com


Yi

Q

V 0

s

7LR

FIGURA 8.8

Si c2 = a2 - b2 <=> c2 = 25- 16 = 9 ^ c = 3

Luego , e= | = | y F,(3 , 0)

I a ecuación de la cuerda focal PR es :y = m(x - 3) (1)

Interceptándola con la elipse se tiene :I6xz + 25m2(x - 3)2 = 400 , entonces (16 + 25m2)x2- 150m2x + (225m2 - 400) = 0 La raíces de esta ecuación son las abscisas de ios extremos P y R de la cuerda ,entonces por la propiedad de las raíces de una ecuación cuadrática

x + x = »50m21 2 l6 + 25m2

Para el foco F ,: i PF, I = a - ex, y IRF, I = a - ex2 (ver ejemplo 6)La suma de estos radios vectores da la longitud de la cuerda focal, esto es, s i :

|PF, | +|RF, I = 2a - (x, + x2) =* 8 = 10 - 1 (_ 150m2 '

de aqui obtenemos : m2 = 4/5 « m = ± 2/V5Sustituyendo en (1) se tiene dos soluciones : y = +

5

_2_V2

M6 + 25m4

(x-3) □

(E J E M P L O 1 3 ) Sea AB una cuerda focal de la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2, con ángulo de inclinación de 45°. Hallar la ecuación de la recta que

pasa por el otro foco y el punto medio de la cuerda focal.x2 y2Solución. Sea la elipse £ : — + —r = la2 b2

cuya gráfica se muestra en la Figura 8.9, junto con las rectas .2- y SPV cuya ecuación se desea obtener.Los focos de la elipse son F,(c, 0) y F2(-c, 0). La pendiente de la cuerda AB es :

m = Tg45° = l.Sean A(x , , y,) y B(x2, y2) las coordenadas de los extremos de la cuerda focal, l-cuación de la cuerda foca l, : y = x - cInterceptando con £ obtenemos las coordenadas de A y B, esto es :

. /a2c - ab2V2 -b2c - ab2V2v .a ( ~ F 7 P ------------F T b T ) y 1

/a2c + ab2V2 -b2c + ab2V2\ ' a2 + b2 ’ a2 + b2 2

www.freelibros.com


El punto medio de AB es : MÍ—! — — ) =>r ' 2 2 ' V + b2 a2 + b2'

La pendiente de la recta X1 que pasa por F2(-c , 0) y M es :

~b2c:- -o tf + V ^ m = . _ b l _

a2c ' 2a2 + b2—;— CT + c a2 + b2

b2Por tanto, la ecuación de .2?2 es , y + c = - ^ (x " °)

o X : b2x + (2a2 + b2) y + b2c = 0 Q


1. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje focal sobre el eje Y, pasa por P(3 , - 2^6) y la relación del lado recto a la semidistancia focal es 3.

2. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos sobre el eje X, la longitud del eje mayor es igual a tres veces la longitud del eje menor y pasa por P(3 , 3).

3. Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que la distancia entre sus directrices perpendiculares al eje X es 9 y la longitud del eje focal es 6.

4. Hallar la ecuación de la elipse de la forma b2x2 + a2y2 = a2b2 sabiendo que la distancia entre sus directrices es 50/V21 y su excentricidad es V2Í/5.

5. En la elipse 3x2 + 4y2 = 48, hallar el área del triángulo formado por un lado recto y los segmentos que unen sus extremos al vértice opuesto de la elipse.

6. Si P , (x, , y,) es un punto de la elipse <?: a2x2 + b2y2 = a2b2 , demostrar que sus radios vectores son r, = | a - ¿y, | y r2 = | a + ey, I . (Guía: Ejemplo 6)

7. Hallar la ecuación de la elipse de excentricidad e = 7/9 , centro en el origen y pasa por el punto P(8 , 9/2).

8. El punto P(2 , -3) está en la elipse uno de cuyos focos es F(-2 , 0) y la directriz correspondiente x + 8 = 0. Hallar la excentricidad y la longitud de cada lado recto.

9. Un arco de forma semielíptica subtiende un claro de 10 pies. Si la altura del arco es de 15 pies a una distancia de 4 pies medida desde un extremo, ¿cuál es su altura máxima?.

www.freelibros.com

EJERCICIOS Grupa .14 351

10. Hallar el valor de la constante p de modo que la distancia entre las directrices de la elipse (5 - p)\2 + (14 - p)y2 = (5 - />)(14 - p ) , sea de 8 unidades.

11. Determinar los puntos de la elipse 7x2 + 16y2 =112 cuyas distancias al foco izquierdo son iguales a 5/2. (Guía: Ejemplo 7).

12. Una elipse cuyos focos son puntos de trisección del eje mayor, tiene su centro en el origen y como directriz la recta x = 9. Hallar la longitud del eje menor.

13. Determinar la excentricidad de la elipse si :

a) su eje menor se ve desde uno de los focos formando un ángulo de 60°b) el segmento entre los focos se ve desde los vértices del eje menor forman

do un ángulo recto.c) el segmento de la perpendicular bajada desde el centro de la elipse a su

directriz se divide por la mitad en el vértice de la elipse.

M . Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos y vértices coinciden con los focos y vértices de las parábolas .í» : y2 + 4x - 12 = 0 y .3 : y2 - 4x - 12 = 0.

15. Hallar la ecuación de la cuerda focal de la elipse 3x2 + 4y2 = 48 cuya longitud es de 7 unidades. (Guía: Ejemplo 12).

16. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, focos sobre el eje X , sabiendo que pasa por P(8 , 12) y que la distancia desde P al foco izquierdo es 20.

17. B, y B? son los extremos del eje menor y P iín punto de la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2, a > b. Si B , , P y M son tres puntos colineales, así como B? , N y P, siendo M y N puntos del eje focal, demostrar que OM x ON = a2 , donde O es el centro de la elipse.

18. Sea la elipse <?: b2x2 + a2y2 = a2b2 y & una recta tangente a «fque forma con los ejes coordenados un triángulo isósceles. Hallar la distancia del centro de la elipse a la recta .5?

I•]. Sean, la elipse ó": 16x2 + 25y2 = 400, la recta X : y = kx y .2? una recta quecontiene la lado recto de la elipse correspondiente al foco derecho. y eleje X forman un triángulo de área 3/2u2. Hallar la razón en que la recta .3? divide al segmento OB donde O es el origen de coordenadas y B es la intersección de Sf con la directriz correspondiente al foco derecho.

/O Una elipse tiene su centro en el origen y pasa por los puntos A(-1 , 5) y B(3 , 4).Hallar el área del rectángulo inscrito en ella, sabiendo que un lado recto estáen la recta y = 2.

www.freelibros.com


[te r c e r a f o r m a ) Elipse con eje mayor paralelo al eje X

Sea la elipse de eje focal paralelo al eje X y cuyo centro es el punto C(h , k), mostrada en la Figura 8.10.Si trasladamos el sistema de coordenadas XY al sistema X’Y’ de tal forma que el nuevo origen O’ coincida con el centro C(h , k), obtenemos una elipse con centro en O' cuya ecuación, según la primera forma es,

a-1 + b2Haciendo uso de las fórmulas de traslación

x’ = x - h , y ’ = y - k que sustituidas en (*) se tiene la ecuación de la elipse en el sistema XY, esto es

r

Y j Y'.

i Q .

k -----

l

C K, J r X '

O__

J

( x - h ) 2 + (y - k y = jFIGURA 8.10

(3)a2 b2

Además de la ecuación, es de interés conocer los siguientes elementos de la elipse1. Centro : C(h , k)2. Vértices : V ((h + a , k) , V2(h - a , k) •3. Focos : F,(h + c , k) , F,(h - c , k)4. Extremos del eje m enor:

B,(h , k + b) , B2(h , k - b)>%L2

5. Lado recto : LR = - r -d

6. Excentricidad : e = —a7. Extremos de los lados rectos :

L,(h + c , k + -£) , R,(h + c , k - •£)

L2(h - c , k + -|¿) , R2(h - c , k - -£) FIGURA 8.11

8. Ecuaciones de las directrices : x = h ± —

9. Distancia entre las directrices l. y l , : d = = —1 2 c e10. Radios vectores para un punto P(x, , y () de la elipse :

r = a - ext (Foco derecho) r2 = a + ex¡ (Foco izquierdo)

www.freelibros.com

Sección 8.2: Formas cartesianas de la ecuación de la elipse 353

[ CUARTA FORMA ) Elipse con eje mayor paralelo al eje Y

Consideremos ahora la elipse cuyo eje focal es paralelo aleje Y, y cuyo centro es el punto C(h , k). ____________________________________Cómo en el caso anterior, la ecuación de la elipse con relación al sistema X’Y' es :

y ’2 ,x -b2 + a2 (*)

En este sistema las ecuaciones de trasla- cióTF son

x’= x - h , y ’ = y - k que sustituidas en (*) se tiene la ecuación de la elipse en el sistema XY, esto es :

(x -h )2 (y-k)2b2 + a2

1 (4)

YA

*■ X

4------- b ►!* X

FIGURA 8.12Las ecuaciones (3) y (4) reciben el nombre de formas ordinarias o generalizadas de la ecuación de una elipse.

Como en el caso anterior, los elementos más importantes de la elipse so1. Centro : C(h , k)2. Vértices : V,(h , k + a) , V2(h , k - a)3. Focos : F,(h , k + c) , F,(h , k - c)4. Extremos del eje menor :

B,(h + b , k) , B2(h - b , k)

a 2b25. Lado recto : LR = —

6. Excentricidad : e - —a7. Extremos de los lados rectos

L,(h+ , k + c) , R,(h - - j- , k + c)

L2(h + ^ , k - c) , R2(h - , k - c)

U. Ecuaciones de las directrices : y = k ±

') Distancia entre las directrices : d = — = —c10 Radios vectores para el punto P(x , y ) :

FIGURA 8.13

2ae

r, = a - eyt (Foco superior) r2 = a + eyf (Foco inferior).

www.freelibros.com

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS


□

[E JE M P L O Q Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V,(7 , -2) y V(-5 , -2) y pasa por el punto P(3 , 2).

Solución. Como los vértices dados tienen la misma ordenada (están sobre unalínea horizontal), la ecuación de la elipse tiene la forma (3), esto es

. ( x -h ) 2 ( y - k ) 2 ,S: — — + — — = 1 (1)

a2 b2 7 - 5 - 2 -2

El centro C(h , k) biseca al segmento V,V2 =» ■ — y ) <=> C (1 , -2)

Además , 2a = ¿/(V,, V2) =17 - (-5) | = 12 =* a = 6

Si P(3 , 2) e <? =* = 1 . de donde : b2 = 1836 t r

Por tanto, en (1), se tiene ; S: ^ ^ ^ ^ = 1 CU

( EJEM PLO 2 ) La distancia entre las directrices de una elipse es 18. Hallar su ecuación si tiene por focos los puntos F,(1 , 5) y F2(1 , 3).

Solución. Dado que los focos tienen la misma abscisa (están sobre una línea vertical), la ecuación de la elipse tiene la forma (4), esto es

ÜL2Ü! * t J Í „ , (1)b2 a!

C(h , k) biseca al segmento F,F2 => C . 5 y ) <=> C (1 , 4)

Además : 2c = d{ F, , F2) = 15 - 3 I = 2 ■=> c = l

d{e, ,< 2) = 18 => 18 <=> a2 = 9

c2 = a2 - b2 =» 1 = 9 - b2 «=> b2 = 8

/-.x * (x ->)2 ( 7 ' 4)2 , i - iLuego, en (1) se tiene , é : - - + — - — = 1 LJ

( EJEM PLO 3 l Hallar la longitud del eje mayor de la elipse que pasa por P(1 ,5)y cuyos focos son F,(5 , 2) y F2(-3 , 2). ¿Cuál es su ecuación?

Solución. Según la definición de elipse : I PF, | + ¡ PF, I = 2a=> V(5 - l)2 + (2 - 5)2 + V(-3 , - l )2 + ( 2 ^ 5 j i = 2a , de donde : 2a = 10

2c = I F \F j = | - 3 - 5 | = 8 => c = 4. Si c2 = a2 - b2 => 16 = 25 - b2 ■=> b2 = 9

www.freelibros.com

Sección 8.2: Formas caries ¡anas de la ecuación de la elipse 355

El centro C(h , k) biseca al segmento F,F2 ■=> C(1 , 2)

Por lo que la ecuación de la elipse es ; £ : ——— + — — = l □25 9

f E JE M P LO 4 ) Los focos de una elipse estái en las rectas í£y : 2x - 9y = 0 y 3/2 : 2x - y = 0. El eje focal es la recta SB\ y = 2. Hallar la ecua

ción de la elipse si el eje mayor mide 10 unidades.

Solución. Como el eje focal dado es una recta horizontal, la ecuación de la elipse(x - h)2 (y - k)2

tiene la forma , £ : —------- + -------------=1 (1)a2 b2

Entonces : X (1 Sf\ - (y - 2 = 0) D (2x - 9y = 0) = F,(9 , 2)

se n r i = (y - 2 = o) n (2x - y = o) = f 2( i , 2)El centro C(h , k) biseca al segmento F^F2 => C(5 , 2)Además : 2c = I F,F21 = 19 - 11 = 8 ■=> c = 4

2a = 10 => a = 5 ; c2 = a2 - b2 =* 16 = 25 - b2 => b2 = 9

Por tanto, en (1), se tiene £: ——— + ——— =1 Q25 9

( e j e m p l o 5 ) Hallar la ecuación de la elipse en la cual un vértice es V(3 , 2)y el foco opuesto F(11 , 2) y la longitud del eje menor es 8.

Solución. Como el vértice y el foco están sobre una línea horizontal (tienen la misma(x - h)2 (y - k)2

ordenada), la ecuación de la elipse tiene la forma --------- + = la2 b2

Pero : a + c = r/(V ,F) => a + c = | l l - 3 | = 8 => c = 8 - ay c2 = a2 - b2 ■=* (8 - a)2 = a2 - (4)2, de donde : a = 5 ■=> c = 8- 5 = 3

Además , si F(h + c , k) = F ( ll , 2) <=> h + c = 11 y k = 2<=> h + 3 = 11 <=> h = 8

(x - 8)2 (y - 2)2 _Luego, la ecuación de la elipse es : ——— + — = 1 LJ

( EJEMPLO 6 ) El punto B(3 , -1) es un extremo del eje menor de una elipse cuyos focos están en la recta SB : y + 6 = 0. Hallar la ecuación

ile la elipse si su excentricidad es e = V2/2.(x - h)2 (y - k)2

Solución. Sea la elipse <S : -------- + -------------= 1 (1 )a2 b2 ' ’

www.freelibros.com


( E J E M P L O 7 ) Los focos de una elipse son F,(4 , -2) y F2(-2 , -2). Hallar la ecuación de la elipse si uno de los vértices está sobre la recta

2?: x - y - 8 = 0.

Solución. Como los focos están en una línea horizontal, la ecuación de la

elipse tiene la forma(x - hY + (y - k)2

a2 + b21 (1)

C(h , k) es punto medio de F,F2 <=> C(1 , -2)Si V t(h + a , k) e 2? ■=» (h + a) - k - 8 = 0

■=> ( 1 + a ) + 2 - 8 = 0 <=* a = 5

Además : 2c = d(F, , F2) ■=> 2c = i 4 - (-2) I = 6 ■=> c = 3 c2 = a2 - b2 ■=> 9 = 25 - b2 => b2 = 16

Por tanto , en (1), se tiene la ecuación buscada

Y J,

f °

V' l F,

k-

c

yFIGURA 8.15

(X - i ) 2 + (y + 2)225 16

= 1 □

í E J E M P L O 8 ) Hallar la ecuación de una elipse cuyo eje focal es paralelo al eje X, el lado recto mide 2, el centro es el vértice de la parábola

2y2 + 8 y - x + 12 = 0 y que determina en el eje X un segmento de longitud 4^3.. (x - h)2 , (y - k)2

= 1Solución. La forma de la ecuación de la elipse es, 8:a2 b2

Si 2y2 + 8y - x + 12 = 0 <=> ,4a: 2(y + 2)2 = (x - 4) => v(4 , -2)Como el vértice de la parábola coincide con el centro de la elipse => h = 4 y k = -2

7h2Además :LR = 2 => = 2 <=> b2 = ad

www.freelibros.com

Sección 8.2: Formas cartesianas de la ecuación de la elipse 357

(x ~ 4)2 (y + 2)2Luego, en la ecuación de la elipse se tiene , &: --------- + =1 (1)

a2 aLas intersecciones de la elipse con el eje X las obtenemos haciendo y = 0 , esto es ,

(x - 4)2 (0 + 2)2i + = l c , ( x - 4 ) ! = a(a - 4)

« x - 4 = ± va(a - 4)<=> x = 4 + Va(a - 4) ó x = 4 - Va(a - 4)

y el segmento que determina en el eje X es : I x, - x, | = 2\a(a - 4)

Por lo que, 4 ¡3 = 2Va(a - 4), de donde : a2 - 4a -12 = 0 o a = 6 ó a = -2 Sustituyendo la solución positiva en (1) obtenemos la ecuación de la elipse buscada

. (x -4 )2 ( y + 2)2<?: 4----------+ = |36 6

□

fE J E M P L O 9 ) Uno de los vértices de una elipse es el punto (-2 , 2), y su ladorecto derecho está contenido en la recta %: x = 6. Hallar su

ecuación sabiendo que la longitud de cada lado recto es 32/5.

Solución. Como el lado recto dado es e l, derecho, la ecuación de la elip

se tiene la forma( x - h ) 2 ( y -k ) 2 + = 1

a2 b2 (1)I I vértice dado es el izquierdo , luego s i :

■ h - a = - 2 (2)k = 2

V,(-2 , 2) = V2(h - a . k ) » {

I n ecuación del eje es: / : y = k = 2, entonces ¡r n t = (x = 6) n (y =2) = f,<6 , 2)

Ahora, si a + c = d(V2, F,) => a + c = 16 - (2) I = I

Adomás :LR = — <=> ^ = — ■=> a2 - c2 = — a 5

.Yy

1

x = 6

L

vi c F, J

-2 X ,

V

0R

FIGURA 8.16

5 5I)« (3) y (4), por simultáneas , se tiene : a = 5 y c = 3h* ■ a2 - c2 .=> b2 = 25 - 9 = 16. En (2): h - 5 = -2 h = 3

(x - 3)2 (y - 2)2 l ungo , en (1), la ecuación de la elipse es : — = I

25 16

(3)

(4)

□

l l J E M P L O 1 0 ) El centro de la circunferencia r€\ x2 + y2 + 20x - 16y + 163 = 0 es el centro de una elipse <f’, tangente a los ejes coordenados

www.freelibros.com


y cuyo eje focal es paralelo al eje X. Hallar la ecuación ce otra elipse £ de eje focalparalelo al eje Y, sabiendo que su fo-o inferior coincide con el foco derecho de £ ' ,su vértice superior pertenece a la rec i 3?: x - y + 20 = 0 y la longitud de su lado recto es 32/3.

Solución. Si (x + I O)2 + (y - 8)2 = 1 , implica que el centro de la elipse <?' es

C’(-10 , 8) y como es tangente a los ejes coordenados, entonces a’ = 10 y b’ = 8 , luego :

c’2 = a’2 - b’2 = 100 - 64 = 36 -=> c1 = 6 Las coordenadas del foco derecho de esta elipse e s :

(h’ + c ' , k’) = (-10 + 6 ,8) => F',(-4 , 8)Si C(h , k) es el centro de la elipse S, su ecuación tiene la forma :

í ^ + ^ = , ( 1 )b2 a2

Como F’t coincide con F2, entonces

F ,H ,8 ) = F ,(h .k -c ) (2)

Además : V,(h , k + a) e .2? ■=$ h - ( k + a) + 20 = 0 <=> k + a = 1 6 32 2b2 32 . 16LR ■=> az_ „ 2- c 2 =3 a 3 3

Restando (3) - (2) se tiene : a + c = 8Resolviendo (4) y (5) por simultáneas resulta :a = 6 y c = 2 b2 = 32Sustituyendo el valor de c en (2): k - 2 = 8 ■=> k = 10 Por lo tanto, en (1), la ecuación de la elipse buscada es :

(3)

(4)

(5)

(* + 4)2 + (y - io)J32 36

= 1 □


1. La distancia entre las directrices de una elipse es 24. Hallar su ecuación si losfocos son F,(1 , 2) y F2(-5 , 2). (Guía: Ejemplo 2).

2. Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyas directrices son las rectasx = 1 y x = 9 y uno de sus focos es F(7 , 0'

3. Hallar la ecuación de la elipse que pasa p punto P(-4 , 3) y cuyos focos

www.freelibros.com


son los puntos F,(-1 , 3) y F2(-1 , -1). (Guía: Ejemplo 3).

4. Los focos de una elipse están en las rectas X : 3x - 5y + 12 = 0 y X2 : 2x + 3y - 6 = 0 . El eje focal es la recta x = 6. Hallar su ecuación si su eje menor mide 6 unidades.

5. El techo de un pasillo de 20 pies de ancho ! 3ne i forma de una semielipse, y tiene 18 pies de altura en el centro y 12 pies de altura en las paredes laterales. Hallar la altura del techo a 4 pies de cualquier pared.

6. Si una elipse con eje focal paralelo al eje X es tangente a la circunferencia x? + y2 - 6x + 4y = 12 y sus focos son los puntos de la circunferencia, hallar su ecuacióa

7. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos Vt( 6 ,1) y V2(-2 , 1) y pasa por P(2 , 3). (Guía: Ejemplo 1).

7 *8. Hallar la ecuación de la elipse con centro en C(2 , 3) uno de sus focos está en

F(6 , 3) y para el cual la directriz asociada es la recta 4x = 33.

9. Hallar la ecuación de la elipse en la cual un vértice es V(-1 , -3) y el foco opuesto F(-1 , 3) y la longitud de su eje menor es 4v3. (Guía: Ejemplo 5)

10. Los focos de una elipse son F,(-4 , 0) y F2(-4 , -4). Hallar la ecuac n de la elipse si uno de los extremos del eje menor está en la recta X\ 2x - y t 10 = 0.

11. Los focos de una elipse son F,(4 , 1) y F2(-2 , 1). Hallar su ecuación si uno de sus vértices está en la recta X\ x + 3y + 2 = 0. (Guía: Ejemplo 7).

12. Hallar la ecuación de la elipse en la cual un vértice es V(-1 , -6) y el foco opuesto F(-1 , -2 + -fí) y la longitud del eje menor es 6. (Guía: Ejemplo 5).

13. Si V t(8 , 5) y V2(-2 , 5) son los vértices de una elipse, y uno de sus focos divide al segmento V,V2 en la razón 1/9, hallar la ecuación de la elipse.

14. Si 6,(3 , 5) y B2(3 , - 3) son los extremos del eje menor de una elipse y uno de sus vértices está en la recta X : 3x - y + 7 = 0, hallar su ecuación.

15. Sea £ la elipse cuyos focos son los puntos (-6 , 2) y (0 , 2). Si además se sabe que la recta X: 5x - 6y + 27 = 0 intersecta a la elipse y a su lado recto en un mismo punto, hallar la ecuación de la elipse.

16. Hallar la ecuación de la elipse con centro en C(-3 , 1), un extremo del eje menor en B(-1 , 1) y pasa por el punto P(-2 , -2).

17. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son F,(2 , 2) y F2(-4 , 2), sabiendo que la suma de los radios vectores es cuatro veces el lado recto.

www.freelibros.com


18. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son V,(-1 , 2) y V2(-1 , -6), y uno de sus focos en el punto (-1 , -2 + V7).

19. Sean 3>\ 2^2x - y - 14V2 = 0 una recta y ¿P: x2 - 10x - 8y + 9 = 0 una parábola. El lado recto de una elipse £ es el segmento LR en donde L y R son las intersecciones de & con el eje X. Hallar la ecuación de la elipse S sabiendo que su centro se encuentra en la recta CU.

20. Una elipse de eje mayor paralelo al eje de abscisas pasa por el punto P(6 , 0), tiene sus vértices en la circunferencia : x2 + y2 - 8x + 4y - 5 = 0 y es concéntrica con ella. Hallar la ecuación de la elipse.

21. Hallar la ecuación de la elipse sabiendo que un foco es (1 , -2) y el vértice opuesto a este foco es (1 , 6); además la longitud del eje menor es 8 (Guía: Ejemplo 5).

22. Hallar la ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje Y, tiene como centro al punto (2 , 3), uno de sus focos sobre la recta 3!\ 2x - y - 9 = 0 y uno de sus vértices sobre la gráfica de ecuación x2y = -24.

23. Hallar la ecuación de la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje X, el lado recto mide 1 unidad, el centro es el vértice de la parábola 2y2 - x + 8y + 12 = 0 y que determina en el eje X un segmento de longitud 6. (Guía: Ejemplo 8).

24. Una elipse de excentricidad 1/3 tiene por eje focal la recta x = h, con h < -6/5, un foco en la recta .2? : 2x + 5y + 12 = 0 y el vértice correspondiente al otro foco está en la recta : 3x - 5y - 6 = 0. Si y el eje focal forman un triángulo de área 16/50 u2, hallar la ecuación de la elipse.

E C U A C I O N G E N E R A L DE U N A E L I P S E E N P O S I C I O N O R D IN A R IA

Si en la ecuación ordinaria de una elipse de la forma (x - h)2 (y - k)2— r + - h r - = 1 <3>a2 b2

desarrollamos ambos binomios y quitamos denominadores obtenemos: b2x2 + a2y2 - 2b2hx - 2aJky + (b2h2 + a2k2 - a2b2) = 0

Si A = b2, C = a2, D = -2b2h , E = -2a2k y F = b2h2 + a2k2 - a2b2, entonces la ecuación se convierte en :

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (5)donde, evidentemente, A y C deben tener el mismo signo.

www.freelibros.com

Sección 8.3: Ecuación general de una elipse en posición ordinaria 361

Análogamente, si partimos de la ecuación ordinaria de la forma (x - h)2 (y - k)2— zr~ + = 1 Wb2 a2

obtenemos la misma ecuación (5). Esta es llamada la ecuación general de una elipse.

Recíprocamente , Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con AC > 0 y A * C , se puede reducir a la forma ordinaria completando cuadrados , esto es

A (x ’ + £ * ) t C ( y ! * £ y ) = - F

d o n * : , =

. ( - & ) ' < » ♦ # ) * , c=> + = 1t/A t/C

que es la ecuación ordinaria de una elipse equivalente a las ecuaciones (3) y (4) , dependiendo la forma, del valor que asuma t. Entonces podemos afirma' e:

1. Si t > 0 , la ecuación (5) representa una elipse con centro en (- ^

2. Si t = 0 , la ecuación (5) representa un punto (- ^ \ " '2c )

3. Si t < 0 , la ecuación (5) representa un conjunto vacío.

ü EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( E J E M P L O 1 j Completando el cuadrado para hallar la ecuación canónica

Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una elipse, un punto o un conjunto vacío. Si la gráfica es una elipse hallar sus elementos.

a) 5x2 + 4y2 - 30x - 4y + 46 = 0b) 9x2 + 4y2 - 36x - 8y + 76 = 0c) 25x2 + 16y2 + 100x - 96y - 156 = 0

Solución. Pasando cada una de las ecuaciones a su forma canónica ordinaria se

tiene :a) 5(x2 - 6x) + 4(y2 - y) = - 46 =* 5(x2 - 6x + 9) + 4(y2 - y + 1/4) = - 46 + 45 + 1

<=> 5(x - 3)2 + 4(y - I/2)2 = 0

www.freelibros.com


Como t = 0, la gráfica de la ecuación es un punto (3 , 1/2)b) 9(x2 - 4x) + (y2 - 2y) = - 76 ■=> 9(x! - 4x + 4) + 4(y2 - 2y + I) = - 76 + 36 + 4

9(x - 2)2 + 4(y - l ) 2 = - 36 Dado que t < 0 , el lugar geométrico es un conjunto vacío

c) 25(x2 + 4x) + 16(y2-6y) = 156 => 25(x2 + 4x +4) + 16(y2-6y + 9)= 156+ 100+ 144

=* 25(x + 2)2 + 16(y - 3)2 = 400 , t > 0 ^ (x + 2)2 + (y - 3)2 _ j

16 25de donde: a2 = 25 ■=> a = 5 ; b2 = 16 ^ b = 4 ; c2 = a2- b 2 = 9 <=> c = 3 Luego, la gráfica de la ecuación es una elipse de eje focal paralelo al eje Y, y cuyos elementos son :

1. Centro : C(h , k) => C(-2 , 3)

2. Vértices : V(h ; k + a) ^ V(- 2 , 3 ± 5) V,(- 2 , 8) y V2(- 2 , - 2 )

3. Focos : F(h , k ± c) c=> F(- 2 , 3 ± 3) » F,(- 2 , 6) y F2(- 2 , 0)

4. Extremos del eje m enor: B(h ± b , k) ■=> B(- 2 ± 4 , 3) o B,(2 , 3) y B2(- 6 , 3)

5. Longitud dé cada lado recto : LR = — = <=> LR = —3 5 5

i C 16. Excentricidad : e = — =» e = 4 (e < 1)d 5

7. Directrices: y = k ± - ^ - = 3 ± ~ « 3y = 34 ó 3y = -16

8. Ecuación del eje focal : x = h => £ : x = -29. Dominio de la ecuación : Dom (<?) = [h - b , h + b] = [-6 , 2]

10. Rango de la ecuación : Ran (<?) = [k - a , k + a] = [-2 , 8] Q

[E JE M P L O 2 j Hallar la ecuación de la elipse con foco en el punto F(1 , 2),directriz asociada ¿ : x - 3 = 0 y que pasa por el punto A(-5 , 4)

Solución. La definición de cónica para el punto A es

l ÁF l V(1 + 5)2 + (2 - 4)2 _ VToe ~ d ( A j ) ^ 6 ~ I - 5 - 3 I 4

También, para un punto cualquiera P(x , y) de la elipse se tieneI PF I VlO V(x - 1)2 + (y - 2)2

d(P , ( ) 4 I x - 3 1Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación y simplificando obtenemos la ecuación general de la elipse

<? : 3x2 + 8y2 + 14x - 32y - 5 = 0 □

www.freelibros.com

Sección 8.3: Ecuación general de una elipse en posición ordinaria____________________ 363

( E J E M P L O 3 ) Se tiene la elipse <?: nx2 + 4y2 + 6x - 8y - 5 = 0, de eje focalparalelo al eje X, cuya excentricidad es e = 1/2. Hallar las coor

denadas de los focos, las ecuaciones de sus directrices, el dominio y rango de la ecuación.

Solución. Pasando la ecuación de la elipse a su forma ordinaria se tiene :

n(x2 + — x + ^ ) + 4(y! - 2y + 1) = 5 + ^ + 4 ^ (*■ — ^ + j y ~ = 1' n n2' 2 ' n 9 ( n + l ) 9 ( n + l )

n2 4n

Entonces : a2 = 9 n+ ^ y b2 = 9 n * ^ , h = - - y k = 1n2 4n n

a • . v n f f » 4 - i - T - i - n - ya a 2 ' a 2 4 a2 ' a 2'

1 , 9 (n + l ) n2 . . . ,Lueqo , — = 1 - —------- ■ , de donde : n = 34 4n 9(n + 1)

Para este valor d e n , a2 = 4 y b2 = 3 =* c2 = a2 - b2 = 1 =* c = 1 Coordenadas de los focos : F(h ± c , k) =* f(-1 ± 1 , 1 ) ■=* F,(0 , 1) y F?(-2 , 1)

Ecuaciones de las directrices : x = h ± ~ ■=> x = - l ± 4 => ¿ , : x = 3 v ? : x = -5

Dominio de la ecuación = [h - a , h + a) ■=> Dom (<?) = [-3 , 2]Rango de la ecuación = [k - b , k + b] => Ran (<?) = [ 1 - V3 , 1 + V3] 0

( EJEMPLO 4 ) Un extremo de una cuerda que corta al eje mayor, coincide con un extremo del lado recto de la elipse $ : 9x2 + 25y2 + 36x +

50y - 164 = 0 formando con éste un ángulo de 60®. Hallar la longitud del segmento del eje mayor comprendido entre el mismo lado recto y la cuerda.

Solución. Pasando la ecuación de la elipsea su forma ordinaria se tiene :

9(x2 + 4x + 4) + 25(y2 + 2y + l) = 225(x + h)2 (y + k)2

¡=> <?: — —— + — - — = 1 25 9

Luego : a2 = 25 ■=> a = 5 y b2 = 9 ■=> b = 32^2 J g

Longitud del lado recto : LR = — = - j-

En el AAFL: IÁFI = |L F | Cotg 60°

i * f i = ( ! ) ( ! ) = 4 □ FIGURA 7.18

www.freelibros.com


(Ê JE M P L O 5 ^ Ctladrado inscrito en una elipse dada______________________H a lla r e l á rea del cuadrado inscrito en la e lipse de ecuación

: 4x2 + 9y2 + 32x - 18y + 37 = 0

Solución. Reduciendo la ecuación de la elipse a su form a ord inaria se tiene :

4(x2 + 8x + 16) + 9(y2 - 2y + 1) = -37 + 64 + 9

Al ASI a, MI (x + 4)2 ( y - 1 ) 2 ,<=> 4(x + 4)- + 9(y - i )2 = 36 ■=> 2 — + — - — = I

Luego, el centro de la elipse es ; C(-4 , 1)

Com o las d iagonales del cuadrado son perpen

d icu la res entre s i , en la posición de la elipse & m ostrada en la Figura 8.19, la recta que pasa

por C y que contiene a la d iagonal AD form a un

ángu lo de 45° con el eje de la elipse, por lo que su pendiente es m = Tg 45° = 1 , y su ecuación :

y - I = 1 (x + 4) => 5? : y = x + 5 A hora, sustitu im os este va lor en la ecuación de la e lipse para obtener las abscisas de A y D, esto es :

4(x + 4)2 + 9(x + 4)2 = 36 ■=> (x + 4)2 = 36/13 « í * ' = ' 4 + 6/^1 x , = - 4 - 6/V ñ

C om o B y D tienen las m ism a abscisa x 2 , entonces AB = I x, - x , I = 12/VI3

144

f

Y*

B___— „ ^ A

i

' /

..... V

✓ c '

. \ / 0n " E

vFIGURA 8.19

a(ABCD) = V- = 13 □


En los ejercicios 1 al 4, determinar si la gráfica de la ecuación dada es una elipse, un punto o un conjunto vacío; si la gráfica es una elipse, hallar todos sus elementos.

1. 9x2+16y2- 36x + 9 6 y + 216 = 0 3. 4x2 + 9y2 - 24x + 108y + 360 = 0

2. 9x2 + 25y2 + 18x + 150y + 9 = 0 4. 25x2 + 9y2 - 50x + 36y - 164 = 0

5. Hallar la ecuación y la longitud de cada lado recto de una elipse de excentricidad e = 2/3 , uno de cuyos focos es F(-8 , -2) y directriz asociada , ( : x + 3 = 0

6. Hallar la ecuación de la elipse uno de cuyos focos es F(-3 ,2), directriz asociada i : y = 5 , sabiendo que pasa por P(-2 , -5). (Guía: Ejemplo 2)

www.freelibros.com

Sección 8.4: Ecuación general de una elipse en posición no ordinaria 365

7. El vértice de una parábola es el foco superior de la elipse 13x2 + 4y2 - 52x - 24y + 36 = 0 y , además, la parábola pasa por los extremos del eje menor de la elipse. Hallar su ecuación.

8. Los extremos Bt y B? del eje menor de la elipse 9x2 + 4y2 + 54x - 8y + 49 = 0, son el foco y el vértice , respectivamente , de una parábola, siendo la abscisa de B, menor que la abscisa de B2. Hallar la ecuación de la parábola, indicando su directriz y los extremos de su lado recto.

9. Hsllar el menor ángulo con que se observa desde el origen el segmento que une los focos de la elipse &: 4x2 + y2 - 8x + 4y + 4 = 0.

10. Hallar el menor ángulo con el que se observa desde el origen el segmento que une los focos de la elipse <?: 3x2 + y2 + 18x - 4y + 28 = 0

11. Encontrar o! área del cuadrado inscrito en la elipse 4x2 + 3y2 - 8x + 12y - 32 = 0. (Guía: Ejemplo 5)

12. Se tiene la elipse S\ 4x2 + ny2 + 16x - 6y - 2 = 0 , de eje focal paralelo al eje Y, cuya excentricidad es e = V3/2. Hallar las coordenadas de sus vértices, de sus focos, el dominio y rango de la ecuación. (Guía: Ejemplo 3)

13. El punto A(-3 , -5) está en una elipse, uno de cuyos focos es F(-1 4) y directriz correspondiente, la recta i : x = 2. Hallar la ecuación de la elipse.

14. La ecuación nx2 + 3y2 - 4x + 6y - 1 = 0 representa a una familia de elipses. Hallar los miembros de esta familia que tienen excentricidad V3/2.

Q J E C U A C IO N G E N E R A L DE U N A E L I P S E EN P O S IC IO N NO O RD IN A R IA

Se dice que una elipse está en posición no ordinaria cuando sus ejes focal y normal son dos rectas oblicuas, entonces su ecuación tiene la forma de la ecuación cuadrática

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 donde A , B , C , D , E , y F son constantes, con A , B y C no nulos. Las relaciones entre a, b y c en una elipse, así como la definición de cónica y la definición clásica dadas para hallar su ecuación en posición ordinaria, son todas aplicables para este caso.


www.freelibros.com

366 Capítulo 8: Lo elipse

( EJEM PLO 1 ) Dados los focos F,(2 , 3) y F2(-2 , 1) y la longitud del eje mayor8, hallar la ecuación y los elementos restantes de la elipse.

Solución. Si P(x , y) es un punto genérico de la elipse, entonces por definición :

I PF, I + IPF, I = 2aque toma la forma analítica :

\'(x - 2)2 + (y - 3)2 + V(x + 2)2+ ( y - l)2 = 8 de donde obtenemos la ecuación de la elipse & : 12x2 - 4xy + 15y2 + 8x - 60y -116 = 0cuyos elementos son:

1. Coordenadas del centro : C ( -—- , « C(0,2)' 2 2 '

2. Ecuación del eje focal : y - 3 = (x - 2) « : x - 2y + 4 = 0

3. Ecuación del eje normal: y - 2 = - 2(x - 0) <=> ,5? : 2x + y - 2 = 02C = d{F, , F2) = V(2 + 2)2 + (3 - l)2 = 2>Í5 => c = >/5

4. Longitud del eje m enor: b2 = a2 - c2 = 16 - 5 = 11 => 2b = 2VTl

5. Longitud de cada lado recto : LR = ^ - = ^

c V56. Excentricidad : e = — = - fa 4

7. Distancia entre directrices : d = — =* d = A(i | ) = ^c V5 V58. Ecuaciones de las directrices :

Como las directrices son paralelas al eje normal, pertenecen a la familia l : 2x + y + k = 0 y dado que

d(C , f ) = - (¿ ) =* l2(0)+^ - - ! = — =* I k + 2 1 = 16 <=> k, = -18 ó k = 142 V5 V5

Por lo que ambas ecuaciones son : : 2x + y -18 = 0 ó £2: 2x + y + 14 = 0 Q

[E JE M P L O 2 J Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto A(2 , -1), uno de cuyos focos es F(1 , 0) y directriz asociada, la recta

e : 2x - y = 10.Solución. Haciendo uso de la definición de cónica para el punto A, se tiene :

lÁF l =e\d(A, i )\ => V(1 -2)2+ ( 0 + l)2 = en4 + 1

VTo■=> e = -----5

Análogamente, para un punto genérico P(x , y), la definición de cónica es :

www.freelibros.com

Sección 8.4: Ecuación generaI de una elipse en posición no ordinaria 367

I PFI =e\d(?,t)\ <=> V(x - 1Y + (y - O)2 = f^ P )1 — -> ' 10 *5 V5

de donde, elevando al cuadrado y simplificando, obtenemos la ecuación general de la elipse :

17x2 + 8xy + 23y2 + 30x - 40y - 175 = 0 □

( E J E M P L O 3 ) Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el origen de coordenadas y cuyos focos son F,(12 , 5) y F2(-8 , 15).

Solución. Si P(x , y) es un punto cualquiera de la elipse, entonces por la definición

clásica de elipse : [ PF, I + I PF21 = 2a cuya forma analítica es , &: V(x - I2)- + (y -5)2 + V(x + 8)2 + (y - 15)2 = 2a (1) Si 0(0 , 0) e S r=» V(-12)2 + (-5)J + V(8)2+ (-15)2 = 2a , de donde : 2a = 30 Sustituyendo en (1) obtenemos la ecuación general de la elipse

<f: 5x2 + 4xy + 8y2 - 60x - 168y = 0 □

( E J E M P L Q 4 ] Hallar la excentricidad y la ecuación de la elipse tiena su centro en C(1 , -3), uno de cuyos focos es F(0 , -6) y e¡ punto de

intersección de una de sus directrices con el eje focal es D(3 , 3).

Solución. c = d (F ,C ) = V(1 - O)2 + (-3 + 6)2 = Vio I CD | = V(3 - l )2 + (3 + 3)2 = 2VJÓ

Como c = I CF, i c=> F, es punto medio de CD ,luego : F,(2 , 0)Si £, y t 1 son las directrices de la elipse, entonces

I CD I = - d[L , L) = — c=> 2VÍ0 <=> a = 2V52 1 2/ c Vio

c Vio V2Por lo que la excentricidad es : e = — = = —a 2V5 2

Pendiente del eje focal : m „ = 3 + 6 = 31 K 1 - 0

I cuación de la directriz ( t : y - 3 = - j (x - 3) ■=> í, : x + 3y - 12 = 0

Ahora, por la definición de cónica para un punto P(x , y ) :I PF, I =e\d(P , / , ) l

cuya forma analítica es : V(x - 2)2 + (y - 0)-’ ^ (— ) I x + 3y _ P2_' 2 ' V IT 9

www.freelibros.com


de donde, elevando al cuadrado ambos extremos y luego simplificando términos obtenemos la ecuación general de la elipse

I9x2 - 6xy + 1 ly2 - 56x + 72y - 64 = 0 Q

EJEM PLO fT ) Una cónica tiene como uno de sus focos el punto (1 , 5) y su directriz asociada pasa por el punto A(-1 , 5). El vértice de di

cha cónica correspondiente al otro foco es el punto (3 , 0). Hallar la excentricidad de la cónica asi como su ecuación.

Pendiente del eje focal : m ^ =

Solución. El foco y el vértice dados son F2(l , 5) y 0)5 -0 _ 51-3 ' 2

Luego, la ecuación de la directriz f.2 es

y - 5 = -| (x + 1) <=* l 2 : 2x - 5y + 27 = 0

a + c = «¿{V,, F2) a + c = 9( 1 - 3)2 + (5 - O)2 = V29 (1)

\ C + d(C , f 2) = d (\, , Q a + 1 (^1) = 1213) / 5(0) * 2IÍ1 2 ' c ' J¿T25

* * 3 + ^ = ik (2)De (1) y (2), por simultáneas , se tiene :

. = I ® , c . f ® . ,

Ahora , por definición de cónica, para un punto P(x , y) de la elipse :

|PF,| = e\d(P, t2)\ o V(x - l)2 + (y - 5)2 = g ) - -33' V4 + 25

Elevando al cuadrado y reduciendo términos obtenemos la ecuación buscada:973x2 + 580xy + 364y2 - 5310x - 3060y + 7173 = 0 □

FIGURA 8.21 f • A 8.22

www.freelibros.com

Sección 8.4: Ecuación general de una elipse en posición no ordinaria 369

( EJEMPLO 6 ) Sea K la cónica que pasa por el punto A(0 , -3), tal que su directriz es la recta / ' : x - y + 3 = 0 y s u foco asociado el punto

F(2 , -1). Hallar la excentricidad, el centro, el otro foco y los vértices de dicha cónica.

Solución. La directriz y el foco dados son f2 y F , , respectivamente. (Figura 8.22)

Para el punto A(0 , -3), la definición de cónica es

l A F j = e \ d ( A , g I «=» V(2)2+ ( - l

de donde : e = 2/3 , como e < 1 , la cónica es una elipse. Para el punto genérico P(x , y), el foco F2 y la directriz asociada 12 , la definición de cónica es :

I pfJ = d ¿ ( P , f 2ley | ^ y ^ j

cuya forma analítica es : V(x - 2)2 + (y + l ) 2 = ( - ) —

Elevando al cuadrado y simplificando obtenemos la ecuación de la elipse : 7x2 + 4xy + 7y2 - 48x + 30y + 27 = 0

La ecuación del eje de la elipse que pasa por F2(2 , - 1) y perpendicular a f2: x - y + 3 = 0 , es

y + 1 = - l (x -2) .2?: x + y - 1 = 0Luego , 3! f l S = V,(8 , -7) y V2(4/5 , 1/5) ■=* C(22/5 , -17/5) , (punto medio de V/V,) C biseca al segmento 22 l

T = Í {x> + 2) 0 x, = 34/5f,f 2 o {

-■J= -¿(y, - O « y, = -29/5} .=* F, (34/5 , -29/5) □

( E J E M P L O 7 ^ Sean la circunferencia r<?.: x2 + y2 + 2x - 6y - 15 = 0 y 2?la recta tangente a 2? en el punto T(2 , -1). Si <£es una elipse que pasa

por el centro de ■8’ y su eje focal coincide con 3 ; hallar la ecuación de S sabiendo además que su foco derecho es T y su excentricidad es 1/2.

Solución. La forma ordinaria de la ecuación de la

circunferencia es t f : ( x + I)2 + (y - 3)2 = 25 C(-l , 3) y r = | CT I =5 Como T es el foco F, de la elipse, el radio

ICTI = i (Lado recto) = > 5 = => b2 = 5a

■=> c = a/2b2Además : | TD I = (Ver Figura 8.3)

Luego , | f b I = => | f b | = 1 0a/2

Yj

1 C

2 A

\ \ D

ur /V ^

J

¿ T = F , \

J

FIGURA 8.23

www.freelibros.com


Ecuación de la recta que contienen al radio r

y . 3 = (x + 1) =* set : 4x + 3y - 5 = 0

La familia de rectas paralelas a ^ está dada por la ecuación , ( n: 4x + 3y + k = 0 (1) El miembro de esta familia cuya distancia dirigida d(T , D ) = -10 es la directriz de la

elipse, luego, s i : d(T , i ) = -10 ^ 4(2) +■ 3(. = - 10 , de donde : k = - 551 V16 + 9

Por lo que, en (1), la ecuación de la directriz es , : 4x + 3y - 55 = 0Ahora, para un punto genérico P(x , y), el foco F( y la directriz i t , la definición decónica : I PF, | = e I d(P , í {) I , implica la forma analítica :

r------ -r- -; - r j , 1 J 4X + 3y - 5 IV(x - 2)2 + (y + l ) 2 = y ---------Y-----,

Elevando al cuadrado y simplificando obtenemos la ecuación de la elipseS : 84x2 - 24xy + 91 y2 + 40x + 530y - 2525 =0 Q


1. Los focos d ^ una elipse son F,(-2 , 3) y F2(4 , -3) y la longitud de su eje menor 6V2 unidades. Hallar la ecuación de la elipse y la longitud de cada lado recto.

2. Un foco de una elipse es el punto F(-1 , 1) y su directriz asociada la recta (. : x + 2y - 4 = 0. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por el origen.

3. Si V(8 , 4) y F(-2 , -1) son un vértice y el foco opuesto de una elipse cuyo eje menor mide 10 unidades, hallar su ecuación.

4. Hallar la excentricidad y la ecuación de la cónica que tiene su centro en C(1 , 3), uno de sus focos en F(-3 , 1) y el punto de intersección de una de las directrices con el eje focal es D(7 , 6). (Guía:Ejemplo 4)

5. En una cónica K , la distancia entre sus directrices es 8 y la distancia del centro al foco F(1 , 3) es 2; si su directriz asociada es la recta ( : x = y, hallar la ecuación de la cónica K.

6. El centro de una elipse é'se encuentra sobre la recta X : x = y , y tiene abscisa -1 ; una de las directrices de & tiene por ecuación ( : x + y - 8 = 0. Si el lado recto derecho está contenido en la recta : x + y - 4 = 0

a) Hallar la excentricidad de S . b) Hallar la ecuación de la otra directriz.

c) Hallar la ecuación de la elipse.

www.freelibros.com

Sección 8.5.' Tangentes a una elipse 371

7. Sea la cónica tal que su excentricidad es 1/5 , y la recta / : 2x + y +128 = 0 es una de sus directrices asociada al foco F(-4 , 0). a) Hallar la ecuación de la cónica, b) Halle la ecuación de la otra directriz.

8. Los ejes mayor y menor de una elipse se encuentran sobre las rectas y = x , y = -x , respectivamente. Una de sus directrices pasa por un punto que se encuentra sobre el eje focal y tiene como abscis 5. Si además la perpendicular al eje X trazado desde uno de sus vértices corta a éste en el punto (-4 , 0), hallar la excentricidad de la elipse.

9. La recta T : 3x - 4y + 3 = 0 es tangente a la circunferencia fP: x2 + y2 - 12x + 2y + 12 = 0 y es directriz de la elipse £. Si S D r(? - <{> y divide perpendicularmente ai segmento que une los centros de 7? y S en la razón de 1 a 2; hallar la ecuación de si uno de los focos se encuentra sobre el eje Y.

f T l TANGENTES A UNA ELIPSE________________________________

Muchas de las propiedades más importantes de la elipse están asociadas con sus tangentes. Empecemos entonces a determinar sus ecuaciones considerando los tres problemas de tangencia estudiadas para la parábola, esto es :

1. Tangente en un punto de contacto dado2. Tangente de pendiente conocida3. Tangentes trazadas desde un punto exterior

TEOREMA 8.1 Ecuación de la tangente en un punto de contacto dado.La tangente a la elispe &: b2x2 + a2y2 = a2b2

en cualquier punto P0(x0 , y0) de la curva tiene por ecuación

^ + M = 1 (6)a2 b2 1

Demostración. La ecuación de la recta tangente, de pendiente m, que pasa por P0 es y - y„ = m(x - x0) =* y = mx - mx0 - y0

Sustituyendo en la ecuación de <? se tiene :b2x2 + a2(mx - mx0 - y0)2= a2b2

de donde : (a2m2 + b2)x2 + 2a2m(y0 - mx0)x + (a2m2x02 + a2y02 - 2a2mx0y0 - a2b2) = 0 El discriminante de esta ecuación debe ser cero , esto es :

4a4m2(yIK- mx0)2 - 4(a2m2 + b2)(a2m2x02 + a2y02 - 2a2mx|)y0 - a2b2) = 0

www.freelibros.com


Efectuando las operaciones indicadas y ordenando en potencias de m resulta :

- V o ± ^ o 2y02- ( a l - V ) (b 2- y 02)(a2 - xu!)m2 + 2x^171 + (b2 - y02) = 0 ■=> m =

a- - x„

m = ' x<’y° ±VbV + aV ~ a'V2a* - x

Como P0(x0, y0) e & b2x02 + a2y02 = a2b3 >=> a2 - x02 = a:y0?b2

-x_y. ± \/a2b2 - a2b2 b2xLuego , m = ——— — <=> m = — -—

a2y 02 a2y„b2

b2x„Por lo tanto, la ecuación de la tangente es : y - y (x - x j

a2y0

0 bien : b2x„x + a2yny = a2b2 «=* + — = 1 □0 0 a2 b2

1 Nota. Análogamente, para las otras formas típicas de la elipse se tiene :

E lipse Tangente

x.x y_y« ? :a 2x2 + b2y2=aV - * & = 1 (7)

(x - h)2 (y - k)2 (x0 - h)(x - h) (y0 - k)(y - k) = 1* : “ “ + = ' á2--+ ---------F ------ (8)„ ( x - h ) 2 (y-k)2 _ (x0 - h)(x - h) (y0-k)(y-k) , _¿ : + “ p - = 1 y + ¡ i - 1 (9>

<£“ : Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ax0x + Cy„y + S (x0 + x) + £ (y 0 + y) + F = 0 (10)

TEOREMA 8.2 Ecuaciones de las tangentes de pendiente conocidaLas ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse

b2x2 + a2y2 = a2b2, son :y = mx ± Va2m2 + b2 (11)

Demostración. Las tangentes de pendiente m tienen por ecuacióny = mx + k (1)

Sustituyendo en la ecuación de la elipse se tieneb2x2 + a2(mx + k)2 = a2b2 <=> (b2 + a2m2)x2 + (2a2r!K)x + (a2k2 - a2b2) = 0

Por condición de tangencia : (2a2mk)2- 4(b2 + a2m )(a2k2 - a2b2) = 0

www.freelibros.com

Sección 8.5: Tangentes a una elipse 373

de donde : k = ± Va2m2 + b2, luego , en (1) se tiene :y = mx ± Va2m2 + b2

I Nota. Del mismo modo , para las otras formas típicas de la elipse , se tiene : Elipse Tangentes

x2 y2£ : — + — = 1 ¡e : y mx ± Va2 + b2m2 (12)

b a(x - h)2 (y - k)

S : ------;— + ——— = l SU : y - k = m(x - h) ± Va2m2 + b2 (13)a2 b2

<f : X- - = i & : y - k = m(x - h) ± Va2 + b2m2 (14)b a

i TERCER PROBLEMA Tangentes a una elipse desde un punto exterior______Ilustramos el caso con el siguiente ejemplo.

EJEM PLO . Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse 4x2 + 9y2 = 72 trazadas desde el punto P(0 , 4).

Solución. Las rectas tangentes que pasan por P(0 , 4) tienen por eauacióny - 4 = m(x-0) ==> y » mx + 4 (1)

Sustituyendo en la ecuación de la elipse s© tiene :4x2 + 9(mx + 4)2 = 72 «=> (4 + 9m2)x2 + 72mx + 72 = 0 *

Condición de tangencia : (72m)2 - 4(4 + 9m2)(72) = 0<=> m2=4/9 <=> m = 2/3 ó m =-2/3

Luego en (1), las ecuaciones de las tangentes son/2?:2x-3y + 12 = 0 ó = 2x + 3y - 12 = 0 O


( EJEMPLO Y ) Hallar las ecuaciones de la tangente y normal a la elipse 3x2 + 4y2 - 18x - 16y - 41 = 0 en el punto de contacto T(7 , 5)

Solución. La ecuación de la elipse en su forma ordinaria es

+ = 1 ^ a2 = 28 , b2 = 21 , h = 3 y k = 2

según la fórmula (8) , la ecuación de la tangente es :(x0 - h)(x - h) (y0 - k){y - k) (7 - 3)(x - 3) (5 - 2)(y - 2) í + — = ' ^ — 28 + 21------ = '

www.freelibros.com


<=> 2? : x + y - 12 = OEcuación de la normal: y - 5 = 1 (x - 7) «=> 2? : x - y - 2 = 0 Q

C EJEM PLO 2 ) Hallar los posibles valores de k para que la recta SC : 2y - 4x - k = 0 sea tangente a la elipse 8 : 9x2 + 4y2 = 36

Solución. Despejando y de la recta 3 se tiene : y = y(4x + k)

Sustituyendo en la ecuación de la elipse se sigue que:9x2 + (4x + k)2 = 36 «■ 25x2 + 8kx + (k2 - 36) = o

Ahora, por condición de tangencia : (8k)2 - 4(25)(k2 - 36) = 0=> k2 = 100 «• k = 10 ó k = -10 □

( EJEM PLO 3 ) Hallar la distancia entre las rectas tangentes a la elipse <?: 4x2 +5y2 = 120 , que son paralelas a la recta 3 : 4x - 2y + 15 = 0

x2 + y2Solución. Si 8 : — — = 1 =4 a2 = 30 , b2 = 24 y si m = 2 , entonces

30 24según la fórmula (11), las ecuaciones de las tangentes son :

y = mx ± Va2m2 + b2 ■=> y = 2x ± V30(4) + 24 = 2x ± 12<=> ¡Bx : 2x - y + 12 = 0 ó 2{ :2x-y -12 = 0

• w . 3 ) - ■l-l2 i ü 3 1i a M o1 2 v m 5

[E JE M P L O 4 ) En la elipse 8 : 4x2 + 9y2 = 72 , hallar el punto más próximo y más lejano a la recta 3- : 2x - 3y + 25 = 0

V2Solución. Si # : — + = 1 ■=> a2 = 18 y b2 = 8lo O _________________________

Es evidente que los puntos de contacto de las tangentes paralelas a la recta dada í£ son los requeridos. Luego , por la fórmula (11) las ecuaciones de las tangentes son

y = mx ± va2m2 + b2

=> y = - | x ± V ( l 8 ) ( | ) 2 + 8

» 3X : 2x - 3y + 12 = 0 ó : 2x - 3y - 12 = 0

U\ D cf = T,(-3 , 2) y 2? f l 8 = T,(3 , -2) QFIGURA 8.24

www.freelibros.com

Sección 85: Tangentes a una elipse 375

( E J E M P L O 5 ) Dados la elipse <?: 4x2 + y2 = 72 y un segmento AB, de extremos A(11, 0) y B(8 , 6); hallar el punto de la elipse que unido a

AB determine un triángulo cuya área es un valor extremo (mínimo o máximo). Determinar dichas áreas.

X2 y-Solución. Si S: — + — = l ■=> a2 = 72 y b2 -

18 72

Pendiente de AB : m = ■ 0 = - 2O “ 1 1Las tangentes paralelas al segmento AB determinan los puntos T t y T; que resuelven el problema.Luego, las tangentes de pendiente m , según la fórmula (12) son : y = mx ± Va2 + b2m2

=» y = -2x ± V72 + l8(-2)2 = -2x ± 12 o iT- : 2x + y - 12 = 0 ó 2^ :2x + y + 1 2 = 0

Por lo que : 2? f| £= T,(3 ,6) y J2? D <?= T2(-3 , -6)Conocidos los tres vértices de los triángulos es fácil hallar sus áreas por determinantes.

a(AABT,)= 15 u2 y a(AABT2) = 51 u2 □

18

( E J E M P L O 6 ) Sea la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2. Por el punto T(x0 , y0) de la elipse se traza una tangente que corta a las tangentes tra

zadas por los extremos V, y V2 del eje mayor, en P y Q. Demostrar que :I V,P I IV Q | = b2

x ’ y *■Demostración. Si S: — + r ra2 b2

fórmula (6) es : £ :a

Las ecuaciones de las tangentes en V, y V, son, respectivamente : x = a y x = - aPara x = a ab2x0 + a2y0y = a2b2

_ b2(a - x j

Para x = - a => -ab2x0 + a2y0y = a2b2

_ b2(a + x j

Luego , I V^PI x l v p l = b (a ,~- -a2y0

, la ecuación de la tangente en T , según la

y„yv2 b2

« b2x0x + = a2b2

www.freelibros.com


Como T ( x „ , y j 6 £ => b-’xn2 + a2y02 = a2b2

■=> a’y0’ = b!(aJ' \ 2) _Sustituyendo en (1) y simplificando obtenemos : I V tP I x I V,Q | = b2 Q

[ E J E M P L O 7 ] Un foco luminoso que se encuentra en el punto P(0 , 5) ilumina a la elipse £ : 16x2 + 25y2 = 400. Hallar la longitud de la sombra

de la elipse proyectada sobre la recta X : y + 7 = 0,

Solución. La Figura 8.27 muestra a la elipse f: junto con sus dos tangentes (rayos

luminosos) trazadas desde el punto exterior P. La longitud de la sombra de la elipse proyectada sobre la recta X está dada por el segmento ÁB , esto es , si A ( x , , -7) y B(x , , - 7), entonces

I ÁB I = I x, - x21 (1)Ahora, las ecuaciones de las tangentes que pasan por P(0 , 5) están dadas por

y - 5 = m(x - 0) <=> y = mx + 5 (2)Interceptándolas con la elipse se tiene :

16x2 + 25(mx + 5)2 = 400 » (16 + 25m2)x2 + 250mx + 225 = 0 Condición de tangencia : A = B2 - 4AC = 0

(250m)2 - 4(16 + 25m!)(225) = 0 c^25m2 = 9 <o m, = - 3/5 ó m2 = 3/5 Entonces , en (2); 5? : 3x + 5y - 25 = 0 ó Xr : 3x - 5y + 25 = 0Luego: í£ f| $, = (y = -7) f l (3x + 5y - 25 = 0) .=> x, = 20

X El X, = (y = -7) D (3x - 5y + 25 = 0) => x2 = - 20I ÁB I = I 20 - (-20) I = 40 □

f ......... - .............Y/

Já

— ■ “ ■" i

\ °

A ¿2?: y ♦ 7 = 0 Bv

FIGURA 8.27

1 E J E M P L O 8 ) Una elipse pasa por el punto A(4, -.1) y es tangente a la recta '£ : x + 4y - 10 = 0. Hallar la ecuación de la elipse, si sus ejes

coinciden con los ejes coordenados.

www.freelibros.com

EJERCICIOS Grui>u SS 377

Solución. Por la posición del punto A y la tangente Sí', se deduce que

la ecuación de la elipse es de la forma

t : — + — = 1 «=* b2x2 + a2y2 = a2b2 (1) a2 b2

(2)

f ----------

Sf v '

\ 0 1 > X

V- VFIGURA 8.28

Si A(4 , -1) e g <=* 16b2 + a2= a2b2 De la recta tangente S£ : x = 10 - 4y Sustituyendo en (1) se tiene : b-'( 10 - 4y)2 + a-’y2 = a2b2

c=> 100b2 - 80b2y + (16b2 + a2) y2 = a2b2c=> 100b2 - 80b2y + (a2b2)y2 = a:b2 <=> a2y2 - 80y + (100 - a2) = 0

Condición de tangencia : (-80)2 - 4a2(100 - a2) = 0<=> aJ - 100a2 +1600 o a2 = 20 ó a2 = 80

Luego en (2): o b2 = 5 ó b2 = 5/4x2 y2 y- y ’

Por lo tanto, hay dos soluciones : — + ~ - = i ó — + ^ = l □


En los ejercicios 1 - 2 , se dan la ecuación de la elipse y el punto T de la curva, hallar la ecuación de la tangente y la normal en T.

1. g : 4x2 + 9yJ = 72 , T(3 , 2) 2. g : x2 + 4y? - 6x - 32y + 65 = 0 , T(5 , 5)

En los ejercicios 3 - 4 , se dan la elipse g y una recta SB, hallar las ecuaciones de las tangentes que son paralelas a la recta SB.

3. g : x2 + 2y2 = 34 , SB : 2x + 3y = 25 4. g : 3x2 + y2 = 52 , S? : 9x + 5y = 1

En los ejercicios 5 - 6 , se dan la elipse g y el punto exterior P , hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde P.

5. g: 4x2 + 9y2 = 72 , P(0 , 4) 6. g :2x2 + 3y2+ x - y - 5 = 0 , P ( 3 , - 1 )

7. Determinar la posición de la recta .<£■ con relación a la elipse g (la corta , es ¿lengente o pasa fuera de ella), si la recta y la elipse se dan mediante las siguientes ecuaciones :

a) Se : 2x - y - 3 = 0

* : i 6 + t =1

b) se\ 2x + y - 1 0 = 0

x2 y2 4 : — + -V = 1 9 4

c) ^ : 3 x + 2 y - 2 0 = 0

40 + 10 1

www.freelibros.com


8. Trazar las tangentes a la elipse <?: x2 + 4y2 = 10 paralelas a la recta á? : 3x + 2y + 7 = 0 y calcular la distancia d entre ellas. (Guía: Ejemplo 3).

9. Desde el punto P(10/3 , 5/3) se han trazado tangentes a la elipse : x2 + 4y2 = 20. Hallar sus ecuaciones.

10. Dada la elipse <?: x2 + 3y2 + 3x - 4y - 3 = 0 , hallar los valores de k para los cuales las rectas de la familia 5x + 2y + k = 0 son tangentes a la elipse.

11. Los focos de una elipse son F(± 3 , 0) y pasa por el punto P(4 , 1). Hallar el valor de k de modo que la recta 2x + y + k = 0 sea tangente a la elipse en P. (Guía: Ejemplo 2)

12. Hallar en la elipse $ : 4x2 + 9y2 = 72 el punto M más próximo a la recta & : 2x - 3y + 25 = 0 y calcular la distancia d del punto M a esta recta (Guía: Ejemplo 4).

13. El punto P de la elipse S: 4x2 + y2 = 72 es tal que su distancia a la recta X : 2x + y = 16 es máxima. Hallar las coordenadas de P y la distancia máxima.

14. Hallar un punto sobre la elipse S : x2 + 3y2 = 28 tal que su distancia a la recta 2i : 2x + 5y -18 = 0 sea mínima. (Guía: Ejemplo 11)

15. Dados la elipse S : 4x2 + 9y2 = 72 y un segmento AB de extremos A(3, 6) y B(0 , 8), hallar el punto de la elipse que unido a AB determine un triángulo cuya área es un valor extremo. Halle también dichas áreas (Guía: Ejemplo 5)

16. Una elipse pasa por el punto A(2 , -3) y es tangente a la recta ^ : x - 2y + 8 = 0. Hallar su ecuación si sus ejes coinciden con los ejes coordenados. (Guía: Ejemplo 8)

17. Dada la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2, demostrar que la diferencia de los cuadrados de las distancias del origen a la tangente y a la paralela a ella, que pasa por el foco derecho es constante e igual a b2.

18. Sea P(x0, y0) un punto de la elipse S : b2x2 + a2y2 = a2b2 y & la recta tangente en P. Demostrar que el ángulo PF,A es recto, donde F, es el foco derecho de la elipse, A es la intersección de .2? con la directriz correspondiente a Fr

19. Demostrar que en toda elipse de eje horizontal, las pendientes de las tangentes en los extremos de los lados rectos son iguales, en valor absoluto, a la excentricidad de la elipse ( | m I = e).

20. La tangente a una elipse en un punto T interseca a la tangente en un vértice en un punto Q. Demostrar que la recta que une el otro vértice con T es paralela a la recta que une el centro de la elipse con Q.

www.freelibros.com

Sección 8.6: Cuerda de cornado

m CUERDA DE CONTACTO

379—;—

Si desde un punto exterior P0 se trazan tangentes a una elipse, el segmento de recta que une los punto de contacto se llama cuerda de contacto de P0 para esa elipse.


Consideremos la elipse f : b2x2 + a2y3 = a2b’, el punto exterior P0(x(), y0) y los puntos de tangencia T^x, , y () y T2(x2, y})

Por el teorema 8.1 , la ecuación de la tan gente en T, es :

: b2x (x + a2y,y = a2b2 Si P0 e ^ .=> b’x,x0 + a2y,y0 = a2b2

a2b2 - a2y,y0<=> x. =

b2x„ (1)Como T( e $ ■=> b2x,2 + a2y,2 = a2b2

,a2b2- a2y,y,4 2 b2( ' 1 + a2y,2= a2b2

( ......Y,

V< JO

----------

-----

s

V 0

FIGURA 8.29

de donde: (a2y02 + b2x02)y,2 - 2a2b2y0y, + (a2 - x02)b4 = 0

_ a-'b2y0 ± V(a2b2y())2 - (a2y02 + b2x02)(a2 - x02)b4

a2y02+ b2x02

a2b2y0 ± (b2x0) Va2y02 + b2x02 - a2b2 a2y02 + b2x02

Haciendo: k = Va2y02 + b2x02 - a2b2 y r = a2y0 + b2x02, las raíces de esta ecuación son:

y, = } ( a 2b2y0 + b2x0k) ó y 2 = f (a 2b2y0 - b2x0k)

Restando ambas soluciones queda : y, - y i = 2b2 xQ(y)

Sustituyendo y ( e y2 en (1) se tiene :

x, = } (a 2b2x0 + a2y0k) ó x2 = | ( a 2b2x0 + a2y0k) =* x, - x, = - 2a2y0(£)

y . - y , b2 xPendiente de la cuerda de contacto : m =

b2xPor lo que su ecuaeión es : y - y, = - ——

a yo

a2y 0

(X - X . )

www.freelibros.com


= * 7 ( ■ W y. * + ( i i ^ ) i (a-b-x. - a'y.k)

( j^ , , . w y . b - y i = . ( J f o ) , « g .Va2v I r a y0 va-y0' y oa’ y0

i ? : a2y„y + b2x„x = a2b2 » + H = i (15)

( EJEM PLO T ) Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto P0(-3 , 2) para la elipse é : 2x2 + 5y2 = 10.

x2 y2Solución. Si <? : 2x2 + 5y2 = 10 » -y + -y = 1 => a2 = 5 y b2 = 2

y si P0 (-3 ,2) ■=> x0 = -3 , y0 = 2Luego, por la fórmula (15), la ecuación de la cuerda de contacto es

+ — = l « 2 ? : 3 x - 5 y + 5 = 0 □5 2

| Nota. Para las otras formas típicas de la elipse, las ecuaciones de las cuerdas de contacto son :

E lip ses Cuerdas de contacto

* 4 4 " ■ - = ¥ ♦ ¥ - <«>

( x - h ) 2 ( y - k ) 2 (x0-h ) ( x -h ) (y0- k ) ( y -k ) í? + F =1 (17)

(x - h)2 (y - k)2 (x - h)(x - h) (y - k)(y - k)8 : L-— 4 + = i s f : -° ■ ' , + - -B- ■ /— - = 1 (18)

b2 a2 b2 a2

( EJEM PLO 2 ) Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto P0(2 , 4) para la elipse <? : 4x2 + 3y2 - 8x + 12y - 32 = 0

Solución. Reduciendo la ecuación de la elipse a su forma ordinaria se tiene :( x - l ) 2 (y + 2)2

8: — 2— + u 16 7 = 1 => a2 = 16 , b2 = 12 , h = 1 y k = -2

Luego , por la fórmula (18), la ecuación de la cuerda de contacto es

(2 ~ l ^ x ~- 1* + ( - + 2^ y t 2) = 1 o ü ? : 2 x + 9 y -8 = 0 □12 16

www.freelibros.com

Sección 8.7: Diámetro de una elipse 381

m DIAMETRO DE UNA ELIPSE

Se llama diámetro de una elipse al lugar geométrico de los puntos medios de cualquier sistema de cuerdas paralelas.

ECUACION DEL DIAMETRO

an, la elipse £ : b2x2 + a2y2 = a2b2, P(x , y) un to del L.G. y , P,(x, , y,) y P2(x2 , y2) los

. emos de una cuerda.Dado que P biseca al segmento P,P2 , entonces x, + x2 = 2x , y, + y2 = 2y

f P . E l o b2x,2 + a2y 2 = a2b2 S i : ' ' 1

L P2 e <f :x22 + a2y22 = a2b2Restando ambos c-xtremos de estas ecuacio

nes se tiene :b2(x, + x2)(x, - x2) + a2(y, + y,)(y, - y2) = 0

YéP,

i

... . .... J

b2(2x)(x, - x2) + a2(2y)(y, - y2) = 0

y , - y 2

b2(2x)

FIGURA 8.30

y > - y 2

Pero como , m =x. - x.

a2(2y) x , - x 2(pendiente de las cuerdas paralelas)

b21- í — ) m * 0 (19)

Nótese que el lugar geométrico es una recta que pasa por el origen (centro de la elipse) y , por lo tanto , es un diámetro de la elipse.Análogamente, para las otras formas típicas de la elipse tenemos :

E lip ses

£ : + - = !b2 a

(x - h)2 (y - k)2+ — tr,— = l

f (X' h)\* ' — b^~ +

b2

(y - k)2= l

Diámetros

se : y = - ( r r - ) x'b2m '

* - h>

^ : y - k = - ( ¿ ) ( x - h )

(20)

(21)

(22)

{ EJEM PLO 3 ) Hallar la ecuación del diámetro de la elipse 3xJ+ 2y2 = 6 que biseca las cuerdas paralelas a la recta 2x - y + 5 = 0

Solución. Si 3x2 + 2y2 = 6 <=> £ : A. + y = l <=> a2 = 3 , b2 = 2

www.freelibros.com

382 ¡lulo 8: La elipse

y si .5? : 2x - y + 5 = O =* m = 2Ahora, haciendo uso de la fórmula (20), la ecuación del diámetro es

(y ^ - )x t : 3x + 4y = 0 □

( EJEM PLO 4 j Dada la elipse 4x2 + 3y2 = 48 , hallar la ecu-ción de la cuerda que pasa por P(-1 , 2) y se divide en él por mitad.

x2 ySolución. Si g : — + — = =» a2 = 16 , b2 = 1212 16

La ecuación del diámetro que pasa por P y biseca a la cuerda buscada, según la fórmula (20) , es

W m 1

Pero como P(-l , 2) e - - y y i - »=* m = 2/3

Luego , la ecuación de la cuerda es

y - 2 = j ( x + 1) co <0: 2x - 3y + 8 = 0 □

rY>

/ \ // í / /

cuerda

v . .

/ / I >x

\ Jdiámetro

FIGURA 8.31

» - k X l DIAM ETROS CONJUGADOS_____________________________

Se sabe que el diámetro de una elipse es el lugar geométrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas. Si dos diámetros son tales que cada uno de ellos biseca a las cuerdas paralelas del otro, se les llama diámetros conjugados.

En la elipse b2x2 + a2y! = a2b2, la ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente m , es :

Entonces, la ecuación de su conjugada es 10 : y = mx

El producto de sus pendientes es - b2/a2, y por lo tanto, si m( y m designan las pendientes de dos diámetros, estos son conjugados si se cum-

www.freelibros.com

Sección 8.7.1: Diámetros conjugados 383

pie : m . m, = - b2/a2Si la ecuación de la elipse es de la forma : a2x2 + b2y2 = a V , se debe cumplir

m . m, = - a2/b2

flEJEMPLO 5 ) Co; bar que las rectas - 2x-y = 0y9?:x + 3y = 0 son diámetros conjugados de la elipse 8 : 2x2 + 3y2 = 4

x2 y2Solución. En efecto, si 2x2 + 3y2 = 4 « 8 ' ~2~ + 4/3 = 1 ^ a* = 2 y b2 = 4/3

~ ! H «1»Si 5?: 2x - y = 0 <=* m = 2 y si ^ : x + 3y = 0 ■=> m, = -1/3

=> m . m, = - 2/3 (2)De (1) y (2) se deduce que : m . m, = - b2/a2Por lo tanto, £ y ^ son diámetros conjugados de la elipse 8. □

( E JE M P L O 6 ) El punto P(4,2) es un extremo del diámetro de la elipse 8 : 3x2 + 5y2 = 63. Hallar su ecuación y la del diámetro conjugado.

h2 1Solución. De la elipse 8 se tiene : a2 = 68/3 y b2 = 68/5 <=> — = -a2 5

( b2 \— ) x a2nv

Si P(4 , 2) e <=> 2 = - ( ^ ) (4 ), de donde : m = - 6/5

(m e s la pendiente del sistema de cuerdas paralelas al diamétro conjugado)

Ademas , s i : m . m = - ^ ■=> m( = - ^ « m, = \3 j' j ZLuego , la ecuación del diámetro es : y = j x <=> f?, : x - 2y = 0

y del conjugado es : y = - | x « t : 6x + 5y = 0 □

( EJEMPLO 7 ) P(5 , 2) es un punto de la elipse 8 : x2 + 2y2 = 33. Hallar la ecuación del diámetro que pasa por P y verificar que la tangen

te en P es paralela al conjugado de dicho diámetro.

Solución. De la elipse <?se tiene : a2 = 33 y b2 = 33/2 ■=> ^ =3 Z

/ b2 \Ecuación del diámetro , = - (—— x'a*m#

www.freelibros.com

384 ( apílalo 8: La elipse

Si P(5 , 2) e t x <=> 2 = - (¿ ) (5 ) <=> m = - 5/4 es la pendiente del diámetro conjugado, por lo que su ecuación es :

y = - 4 x <=> ( : 5x + 4y = 0 Ecuación de la tangente que pasa por P :

V W . 5x 24a2 b2 33 33/2

o £ : 5x + 4y - 33 = 0í II X □

' f Yi

\

<FIGURA 8.33

( EJEMPtO 8 ) Sea la elipse 6' : 9x2 + 16y2 = 144 y la ecuación de la cuerda f£ : 3x + 2y - 5 = 0. Hallar la ecuación de la tangente paralela

al diámetro conjugado de la cuerda.

Solución. De la elipse se tiene : a2 = 16 y b2 = 9 La pendiente del diámetro í t

paralelo a la cuerda T : 3x + 2y - 5 = 0 es , m, = - 3/2. Luego , s i :

m . m , » - - g =

de donde : m = 3/8 (pendiente del diámetro conjugado).Luego, las ecuaciones de las tangentes 3? y

de pendiente m , son:

y = mx ± Va:m2 + b2 .=> y = J ± V ló ( ^ ) + 9

«=* 3x - 8y ± 12V5 = 0 □


1. Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto P0(2 , 6) para la elipse<f: 4x2 + 9y2 + 32x - 36y + 64 = 0 (Guia: Ejemplo 2).

2. Desde el punto P ^ - l6 . 9) se han lazado tangentes a la elipse 3x2 + 4y2 = 12. Hallar la distancia del punto P0 a la cuerda de la elipse que une los puntos de contacto.

3. Desde el punto A(10 , -8) se han trazado tangentes a la elipse 16x2 + 25y2 =

www.freelibros.com

Sección 8.8: Propiedades de la elipse 385

400. Hallar la ecuación de la cuerda que une los puntos de contacto.

4. Hallar la ecuación del diámetro de la elipse 8 : 16x2 + 25y2 = 400 que pasa por la mitad de la cuerda que intercepta en la recta SP : 2x - y - 3 = 0

5. P(5 , 4) es un extremo de un diámetro de la elipse 8 : 5x2 + 2y2 = 157. Hallar la ecuación del diámetro que pasa por P y la de su conjugado. Verificar que la tangente que pasa por P es paralela al diámetro conjugado. (Guía: Ejemplo 7)

6. Sea la elipse 8: 9x2 + y2 = 72 y la ecuación de una cuerda 3x + y - 6 0. Hallar las ecuaciones de las tangentes paralelas al diámetro conjugado de la cuerda.

7. Hallar la ecuación de la cuerda de la elipse 8 : 9x2 + 16y2 = 144 que pasa por el punto A(1 , -2) y es dividida en él por la mitad. (Guía: Ejemplo 4)

8. Hallar las ecuaciones de dos diámetros conjugados entre sí de la elipse 8 : x2 + 4y2 = 1 , uno de los cuales forma un ángulo de 45® con el eje X

9. Hallar las ecuaciones de dos diámetros conjugados entre sí de la elipse 8 : 4x2 + 9y2 = 1, si uno de ellos es paralelo a la recta $ : x + 2y - 5 = 0

10. Hallar las ecuaciones de dos diámetros conjugados entre sí de la elipse 8 : x2 + 3y2 = 1 , si uno de ellos es perpendicular a la recta £8 : 3x + 2y - 7 = 0.

E 0 PROPIEDADES DE LA ELIPSE

( P.1 j Propiedad reflectora de una elipse

La tangente a una elipse en un punto T forma ángulos iguales con los radios focales en este punto.

x2 y2Demostración. Supongamos que la forma de la elipse es 8 : — + — = I

y T(x0 , y0) , el punto de tangencia.Tesis. Probaremos que a = (3En efecto, de la fórmula (6) se tiene quela pendiente de la tangente X es

b2x„ b2x.m = Tg(rt - 0) = - — S- <=> Tge = _ _®

a2y0 a2y0La pendiente del radio focal de extremos T(x0, y0) y F,(c . 0) es :

■=> Tg(0 + a) =

Ahora, de la identidad , Tg(0 + a)TgO+ Tga

1 - TgO. Tga

FIGURA 8.35 , se sigue que :

www.freelibros.com

38<> Capítulo 8: La elipse

b;X„- r 2 + T9a , , , Ta% _ y<> _ b \ + a 2y0Tga

c ' xo , b \ w c ‘ xo aJy - b2x Tga" 'H y y

De aquí resulta que : (a!y0? + b2x02) + (a2 - b2)x0y0Tga = a2cy0Tga + b2cx0Puesto que b2x02 + a2y02 = a2b2 y a2 - b2 = c2, resolvemos esta ecuación para obtener

a2b2 + c2x(1y()Tga = a2cy„Tga + b2cx0 ■=> cy0 Tga (cx0 - a2) = b2(cx0 - a2)

y concluimos q u e : ^9a = HTJO

Análogamente, usando el ángulo (3-0 y F2(-c , 0 ) , tenemos :

T9(P ' 8) = — -J— T* ' T9e n J í - x0 + c l + T g p . T g e x0+c

b2xnTgP-

^ a;y0 = _y¡¡_

1 + ( ^ b ) Tgp " Xo + c a‘y0

que resulta para Tgp , lleva a : TgP = (2)

Luego , de (1) y (2) : Tga = TgP <=> a = p QI Nota. La aplicación de esta propiedad es la siguiente : Si se tienen superficies reflectoras

elípticas entonces las ondas sonoras , así como las luminosas, se reflejan con ángulos de incidencia y de reflexión ¡guales, es decir, si un rayo de luz u onda sonora parte de uno de los focos y tocan la superficie elíptica, se reflejará en el otro foco. Esta propiedad es la base del fenómeno de la galería de los murmullos, que consiste en que dos personas en conversación en un salón que tiene la forma de un semielipsoide, ubicadas cerca de un foco, pueden ser escuchadas por otra persona que se encuentra en el otro foco y aun cuando la conversación no fuese escuchada por otras personas en el mismo salón.

( P.2) Propiedad de la normal a una elipse

La normal a una elipse en un punto T de la misma es bisectriz del ángulo interior que forman los radios vectores en T.

Demostración. Sean, la elipse <f : b2x2 + a2y. = a2b2, T(x0, y0) el punto de tangencia y la recta normal.

Tesis. Probaremos que : a = pEn efecto la pendiente de recta tangente SP en T es

m = - ——? , y si 1 <C <=> m = ——ay» b\

www.freelibros.com

Sección S.S. Propiedades de la elipse 387

Las pendientes de las rectas que contienen a los radios focales son :

m, = -Ü 2 - y m, = - A - - x0 - c x0 + c

y« a y u

Si Tga =m, - m, x„ - c b2x„

2 1 x* Tga = - 0 0+ m ,. m,

_ a-cyu • (a2 - b2)Xoy0

Dado que b2x02 + a2y02= a2b2 y a2- b 2 = c2, entonces

Tga = m c y „ ( . - - c » J = cy,a V - b,cx0 b2 (a2 - cx0) b2

a-y0 y«b2x. x „+ c

Análogamente , si Tgp = -— -j- A - .=> Tg[3 = “ "° "°1 + m, . m,

>b x^Xj + c»

- T 9 P = A b2

De (1) y (2) se tiene que : Tga = TgP o a = p

(1)

(2)

□e

Y y

/7-t,^ T

Al i 0

V

i j >x

y


( P.3) Propiedad de la tangente y el semieje menor (Figura 8 37)

El producto de las distancias de los focos de una elipse a una tangente cualquiera a la curva, es constante e igual al cuadrado del semieje menor.

Demostración. Sea la elipse <f : b2x2 + a2y2 = a-’bJ cuyos focos son F ^ c , 0) y F ,( -c , 0) Tesis. Probaremos que : cj . <7, = b2

En efecto, la ecuación de la tangente '/', de pendiente m , según la fórmula

y = mx + VaTn2 + b: <=> '/ ': mx - y + Va2m2 + b2 = 0(1 1 ) e s

www.freelibros.com

388 Capítulo 8: Im elipse

Entonces : d = d(F , 2 ') = me + '/a;m- + b2 vm; + 1

y dl = d(F; , X) -

Luego : d. . d, - , ,a 1 2 m2 + 1

me + Va2m2 + b;Vm2 + 1

(a2m2 + b2) - (me)2 m2(a2-c2) + b2 _ m2b- + b2m2 + m2 + 1

• d . _ b W ^ I ) =b. □

( P.4 ) Propiedad de la construcción geométrica de la tangente a una elipse, dado el punto T(xn, ya) de la curva (Figura 8.38)

Constrúyase la circunferencia principal de centro O y radio a (semieje mayor de la elipse). Prolongúese la ordenada de T hasta T,. Por T, construya una tangente a la circunferencia que cortará al eje mayor de la elipse en P. Unase P con T y se tendrá la tangente pedida.

Demostración. En efecto, sean T(x0, y0) y T,(x0 , y,) los puntos de

tangencia de la elipse y la circunferencia, respectivamente.La ecuación de la tangente a la circunferencia r8en T. es , T

Para y = 0 , se tiene : x

x x 0 + y y , = a2 _ a3

x oLa tangente a la elipse 8 en T es

V Wa2 b2

Para y = 0 , obtenemos : x = —o

Luego , ambas tangentes concurren en P. LJ

rY>

S V ---

>

/ 1* 1 1 > Yl 0

V

Xo 1 P >

FIGURA 8.38

[ P.5 j Propiedad Intrínseca de la elipse _

Cuando una elipse está en su forma canónica nos permite ver que la rela-x'2 y '2ción —p + = 1 es la misma cualquiera que sea la posición de sus ejes mayor

y menor. Esta propiedad intrínseca describe la forma de la elipse sin referirse a los ejes coordenados y, por consiguiente, se puede emplear para hallar la ecuación de

www.freelibros.com


la curva en cualquier posición. Efectivamente, supongamos que la ecuación del eje focal sea la recta : Mx + Ny + Q = 0 , y la del eje normal, 5?: Nx - My + R = 0.Por la propiedad intrínseca de la elipse se tiene . ,2 \n

Nx - My + R

± VN2 + M2Mx + Ny + Q

± VM2 + N2 Entonces en (1) se sigue que :

(Nx - My + R)2 a2(M2 + N2) 4

mo, x’ = d(P , SP2) =

y' = d(P , i2?) =

FIGURA 8.39

(Mx + Ny + Q)2 b2(M2 + N2)

de donde obtenemos la ecuación de la elipse en el sistema XY


( E JE M P L O 1 ) Una aplicación de la propiedad reflectora de la elipseDesde el foco izquierdo de la elipse g : 4x? + 9y* = 180 se ha

dirigido un rayo de luz con un ángulo de inclinación a tal que Tga = -2. Llegando el rayo al punto P(x0, y0) e <?, con y0 > 0, se ha reflejado de la recta tangente a <?en P. Si & es la recta que contiene al rayo reflejado, hallar su ecuación.

x2 y:Solución. Si : — + — = 1 ■=> a2 = 45

c2 = a2 - b2 = 45 - 20 = 25 ■=> c = Focos de la elipse : F,(5 , 0) y F2(-5 , 0)La ecuación del rayo de luz de incidencia, con pendiente m = Tga = -2 es

y - 0 = -2(x + 5) « 5?: 2x + y + 10 = 0 Luego , SUJ| <? = P(-6 , 2)Por la aplicación de la propiedad P.1 , el rayo reflejado Sf pasará por el otro foco F,, entonces si

b2 = 20

www.freelibros.com


su ecuación es : y - 0 = - ^ ( x - 5) <=> SP : 2x + 1 ly - 10 = O CD

[E J E M P L O 2 J Una aplicación de la propiedad P.3

Los focos de una elipse son Ft(8 , -1) y F2(-4 , -1) y la ecuación de una tangente es CB : x + 2y - 9 = 0. Hallar la ecuación de la elipse.

Solución. Como los focos tienen la misma ordenada, la ecuación de la elipse tiene(x - h)2 (y - k)2 -

la forma, é . --------- + — — — =1 (1)a2 b2 _

El centro de la elipse C(h , k) biseca al segmento F,F2 => C(2 , -1)Además, 2c = ¿(F, , F,) ■=> 2c = I 8 - (4) | =12 ■=> c = 6

' i - 2 ■ 9 I 1 -4 -2 -9 1V1+4 Vi + 4

Si c2 = a2 - b2 => 36 = a2 - 9 ==> a2 = 45(x - 2)2 (y + l)2 r—i

Por lo tanto, en (1), se tiene 8 : — ^ — + -— — = 1 U

Por la propiedad de P.3 : b2 = r/(F ,, CB). d( F2 , CB) - — t -— ■ ■ . — u ■ ■— = 9

( E J E M P L O 3 J La elipse en posición no ordinaria y la propiedad P.3

Los focos de una elipse son F,(9 , 1) y F2(-3 , -2) y la ecuación de una tangente es CB : 2x + 3y - 27 = 0. Hallar la ecuación de la elipse.

SduM n. ¿(F, . » = l2<9> " W - 2 7 l . 6V4 + 9 \13

V4 + 9 Vl3

Por la propiedad P.3 : b : = r/(F ,, CB). d(F , , CB) = 18Por otro lado : 2c = d(F, , F,) = V(-3 - 9)2 + (-2 - l)2 = VI53 => C = ^Vl53

Luego , si a2 = b2 + c2 ==> a2 = 18+ — = ^ a = —4 4 2

Si P(x , y) es un punto de la curva, entonces por la definición de elipse :IPF, l + |P F j = 2a

cuya forma analítica es : V(x - 9)2 + (y - l)2 + V(x + 3)2 + (y + 2)2 = 15 de donde obtenemos la ecuación de la elipse buscada

B : 9x2 - 8xy + 24y2 - 58x + 48y - 351 =0 □

( E JE M P LO 4 ) Otra aplicación de la propiedad P.3

Hallar la ecuación de la elipse que es tangente a las rectas

www.freelibros.com

Sección 8.8: Propiedades de ¡a elipse 391

32? : 3x - 2y - 20 = 0 y : x + 6y - 20 = 0, si sus ejes coinciden con los ejes coordenados.

Solución. Un dibujo previo de las tangentes muestran que la ecuación de la

elipse tiene la forma

¿ . X; + ^ = 1 o F,(c , 0) y F jK , °) (1)

Po oropiedad P.3 : b2 = d(F, , 32?). d(F ,, á?)400 - 9c2

V9 + 4 V9 + 4 ' 13También : b2 = d(F, , 32f'). rf(F ,, J2?2)

400 - c; 37

K 2 - f C - 2 0 w -C - 2 0 \ _ [^ T 3 6 , \T T 36 >

(2)

(3)FIGURA 8.41

De (2) y (3) se tiene : 400 ^ o c2 = 30

Luego, en (3): b2 = 4()(* ' 30 = 10 ; si c2 = a2 - b2 <=> 30 = a2 - 10 <=> a2 = 40

Por lo tanto, en (1), la ecuación de la elipse es , 6“ : x2 + 4y2 = 40

r

% Y>

*\

/

( F, O X

VA

□

f EJE M P LO 5 ) Aplicando la propiedad intrínseca

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor sobre la recta ^ : 3x - 4y = 0. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos A(4 , -2) y B(5, 5).

Solución. La ecuación del eje menor, perpen

dicular a 32? es , 32?2: 4x + 3y = 0 Por la propiedad intrínseca la ecuación de la olipse es

x’2 y '28 '■ - r + b = 1a2 b-

donde , x’ = r/(P , 32'') = - - -

y' = d(p,,% )=

ntonces ;(4x + 3y)2 (3x - 4y)2

r

\ Y1 ye /

1 P w '*r B J 'e, x

V.. __

25a2

16 - 6 2M A (4 . -2) e ¿ =¡> +

2 5 a 2

25b2

(12+ 8)225b2

= 1 (1)FIGURA 8.42

16= I « - — + — = 1 a2 b2

www.freelibros.com


(20+ 15); (15-20)2 , 49+ ' — = l o —

O C U 2 Q Í49 + 1 = 1

b2B(5 , 5) e S =»25a2 25b2 a2

De estas dos ecuaciones por simultáneas, obtenemos : a2 = 52 y b2 = 52/3 Sustituyendo en (1) y reduciendo términos se tiene la ecuación de la elipse

S: 43x2 - 48xy + 57y2 - 1300 = 0 □

( EJEMPLO 6 j Aplicando la propiedad intrínseca______ ______________Una elipse con centro en C(1 , 1) tiene un vértice en V(3 , 3).

Hallar la ecuación de la elipse si la longitud del lado recto es 3^2. Además, hallar elotro vértice y las ecuaciones de sus directrices.

3 - 1Solución. La pendiente del eje mayor es, m = - — - = 1

y su ecuación : y - 1 = l(x -1) <=> 5? : x - y = 0 Ecuación del eje menor :

y - 1 = - l(x - 1) « ^ : x + y - 2 = 0 a = ICV | = V(3 - l)2 + (3 - I)2 => a = 2V2

y como LR = 3V2 ^ = 3V2 n* b2 = 62V2

Por la propiedad intrínseca de la elipse :x,J y’2 ,a2 + b2 ^ 8 + 6 1

donde : x’ = d(P,3t) = x + y - 2 , y’ = d ir.m =

(1)

_ x -y

r

V

0

FIGURA 8.43

Entonces en (1) se tiene . (x_+ y ~2) ;,y) _ jw 16 12

Efectuando y reduciendo términos obtenemos la ecuación de la elipse

<? : 7x2 - 2xy + 7y2 - 12x - 12y - 36 = 0 Ahora s i : ^ f| & = (3 , 3) y (-1 , -1), el otro vértice es V2(-l , -1)Si í representa a la familia de rectas paralelas a ,2? .=* i :\ +y + k = 0 (2)

Luego , d (t . 3% = I (*5l) = £ = ± . y como d ( t , <?2) =8_

T7\ k - (-2) I

V2, entonces:

I k + 2 I = 8 <=> k + 2 = - 8 ó k + 2 = 8 <=> k, = -10 ó 1 = 6 Sustituyendo estos valores en (2) tendremos las ecuaciones de las directrices

£ ,:x + y - 8 = 0 ó í 2: x + y + 6 = 0 □

1 EJEMPLO 7 ) La Figura 8.44 es una elipse con eje mayor AB = 6 y eje menor CD = 4. Hallarla ecuación de la elipse, asi como las ecuaciones

www.freelibros.com


de sus directrices , si Tga = 2.

Solución. La pendiente del eje mayor esm = Tga = 2 , entonces su ecuación

es , 5?: 2x - y = 0Ecuación del eje m enor, 2? • x + 2y = 0

la propiedad intrínsec Je la elipse :

x’J Y2 , x ’J Y2 , i r + v = l ^ T + T = l (1)

X’ = d ( p , ; 2) = ^ y ; y ’ = d ( P , 3 ) = 2 x ' y-V5

Luego, en (1) se tiene : + 2 + — —— = i5(9) 5(4)

de donde , 8: 8x7 - 4xy + 5y2 - 36 = 0

Familia de rectr paralelas a .2 | ,¿ :x + 2y + k = 0

Ik - O l _9_V52 ' c ' V5 Vi + 4

Por tanto, las ecuaciones de las directrices son

FIGURA 8.44

■=> | k I = 9 <=> k = -9 ó k = 9

/ , : x + 2y - 9 = 0 ó ( t : x + 2y + 9 = 0 □


1. Dada la elipse <?: 9x2 + 25y2 = 225 y el punto de tangencia P(4 , 9/5), probar que PF] y PF2 forman ángulos iguales con la tangente 3! en P, donde F, y Fz son los focos de la elipse dada. (Propiedad P.1).

2. Desde el foco derecho de la elipse 8 : x2 + 3y2 = 24 se ha dirigido un rayo de luz con un ángulo de inclinación a tal que Tga = - V5. Llegando al punto T(x0 , y0) e 8, con y0 > 0 , se ha reflejado de ia recta tangente a 8 en T. Si !£ es la recta que contiene al rayo reflejado, hallar su ecuación (Guía: Ejemplo 1).

3. Los focos de una elipse son F,(8 , 2) y F2(2 , 2). La ecuación de una tangente a la misma es J2?: x + 2y - 21 =0. Hallar el perímetro del triángulo formado por el punto de tangencia y los focos. (Sug. Use la propiedad P.3)

4. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos están sobre el eje X y sus vérticesson simétricos respecto del origen de coordenadas, si se conoce la ecuaciónde la tangente a la elipse 3 : 3x + 10y - 25 = 0 y su semieje menor 2.

www.freelibros.com


5. Sea é una elipse cuyos ejes son los ejes coordenados. Si á?, : 3x + 20y = 25 y : 4x - 15y + 25 = 0 son tangentes a dicha elipse, hallar su ecuación. (Guía: Ejemplo 4).

6. Los focos de una elipse son F1(2 , -3) y F2(-4 , 5) y la ecuación de una tangente es 5?: 3x + y -13 = 0. Hallar la ecuación de la elipse (Guía: Ejemplo 3).

7. Dadas la circunferencia r€\ x 2 + y2 = a2 y la elipse S : b 2x 2 + a2y2= a 2b 2 , con a > b ; una recta SU, tangente a la circunferencia, intercepta al eje X en el punto P , , siendo P0 el punto de tangencia. La recta ortogonal al eje X trazada por P0 ¡ntersecta a la elipse en el punto P2. Demostrar que la recta que pasa por P, y P2 es tangente a la elipse.

8. Hallar la ecuación de una elipse cuyo eje mayor, de longitud 4, está sobre la recta : x - 2y = 0 y cuyo eje menor, de longitud 2, está sobre la recta , í | : 2x + y = 0. (Sug. Use la propiedad intrínseca).

9. Una elipse con centro en el origen, eje menor sobre la recta SBX: 2x - y = 0, pasa por los puntos A(-5 , 0) y B(1 , 4). Hallar su ecuación .(Guía: Ejemplo 5).

10. Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen y en la que 2a = 5 , 2b = 2 y el eje focal sobre la recta : x + y = 0.

11. Una elipse con centro en C(3 , 2) tiene un vértice en V(-1 , 5). Hallar la ecuación de la elipse si la longitud del lado recto es 4. También hallar el otro vértice. (Guía: Ejemplo 6).

12. Hallar la ecuación de una elipse , indicando los vértices y las ecuaciones de sus directrices, si dicha elipse tiene excentricidad 1/2, centro C(4 , 5) y uno de sus focos es el punto F(3 , 4).

F f l LUGARES GEOMETRICOS RELATIVOS A U N A ELIPSE

( EJEM PLO 1 ) ■ Un segmento AB de 3 unidades de longitud se mueve manteniendo siempre su extremo A en el eje Y y su extremo B en el

eje X. Hallar la ecuacipn del lugar geométrico del punto P que divide al segmento ABen la razón AP : PB = - 8 : 5

Solución. Como la razón dada es negativa, el punto P es exterior al segmento AB , luego :

1. Sea P(x , y) el punto genérico del lugar geométrico y sean A(0 , y,) y B(x( . 0) los

www.freelibros.com

Sección 8.9: Lugares geométricos relativos a una elipse 395

extremos de AB.Si I AB I =3 ■=* x |2 + y |2 = 9

x - o _ y - y , o- y

(*)

AP = _ « « ____PB 5 x. - x

3 3de donde se tiene : x, - — x , y, = - - yO J

3. Sustituyendo en (*) y reduciendo se encuentra

64 25que es la elipse descrita por el punto P. Q

( E J E M P L O 2 ^ Hallar la ecuación del lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias que son tangentes a la circunferencia

r<x: (x + 1)2 + y2 = 36 y pasan por el punto A(1 , 0).

Solución. 1. Sea P(x , y) un punto del L.G.2. Como ambas circunferencias

son tangentes interiormente :CT = CP + PT , pero , PT = AP (radios)

<=> c r = c p + Ápcuya forma analítica es :

6 = V(x + 1)2 + y2 + V(x - I)2 + y-6 - V(x - l ) 2 + y2 = V(x + l)2 + y2

Elevando al cuadrado y reduciendo queda 9 - x = 3 Vx2 + y2 - 2x + 1

de donde se encuentra : 8x2 + 9y2 = 72 que es la elipse descrita por el punto P, cuya gráfica se muestra en la Figura 8.46 con trazo punteado. □

(EJEMPL03J Hallar la ecuación del lugar geométrico del centro de una circunferencia que se desplaza permaneciendo siempre tangente a

las circunferencias ^ : x2 + y2 = 1 y ^ : (x - 2)2 + y2 = 25. (La circunferencia variable no contiene a #,).

Solución. Sea V, la circunferencia variable, de centro P, mostrada en la Figura 8.471. Sea P(x , y) el punto genérico del L. G.

www.freelibros.com


2 .

3.

( e j e m p l o T ) Supóngase que una escalera de 10m. de longitud se apoya sobre una pared vertical y que tiene una marca sobre un pelda

ño que está a 4m del extremo superior de la escalera. Demostrar que si el pie de la escalera, se desliza, alejándose de la pared sobre una superficie horizontal, de modo que el extremo superior se desliza hacia abajo en contacto con la pared, entonces la marca sobre el peldaño describe una trayectoria elíptica.

Demostración. 1. En efecto, designemos por

P(x , y) la marca de la esca r - — Yt

a

lera como punto genérico del lugar geométri- a

co, y A(a , 0 ), B(0 , b) los extremos inferior y B\

superior de la escalera.2. Si I ÁB I =10 ■=> a2 + b3 = 100 (*) \ p

BP _ 2 ^ x - 0 _ y - b _ 2 \ \6PA 3 a - x 0 - y 3 4 \ \

de donde se tiene : a = —x , b = —y2 3

1 \1 \ \ YO A ' X A- >

3. Sustituyendo en (*) y simplificando se encuentrav y

x3 y2 — + — = i 16 36

FIGURA 8.48

que es la trayectoria elíptica descrita por el punto P. □

De % , r, = OR = I y de í? , C(2 , 0) y r2 = 5 La condición para que V óe centro P sea tangente a ’&j y ^ es que PR = PT y que CT = CP + PT = CP+PR

o CT = CP + (OP - ÓR) cuya forma analítica es :

5 = V(x - 2)3 + y2 + (Vx: + y2 - 1)<=> 6 -'lx2 + y2 = V(x - 2)3 + y2

Elevando al cuadrado y reduciendo términos se tiene 8 - x = 3Vx2 + y2, de donde obtenemos : 8x3 + 9y3 - 16x - 64 = 0que es la elipse descrita por P, centro de FIGURA 8.47la circunferencia móvil , cuya gráfica se muestra en la Figura 8.47, con trazo punteado. □

www.freelibros.com

Sección 8.9: Lugares geométricos relativos a una elipse 397

( E J E M P L O 5 ) Dadas las rectas 2?: x - y = 0 , 2?: x + y = 0 y un segmento AB de 8 unidades de longitud. Se sabe que los extremos de este

segmento resbalan sobre las rectas dadas, estando A sobre 2?, y B sobre 2?2. Hallar la ecuación del L. G. de los puntos P del segmento AB , tales que AP : PB = 1 : 3

Solución. 1. Sea P(x , y) el punto genérico del luaargeométrico y sean , A (x ,, y,) y B(x,

Si A (x ,, y,) e 2j x , -y , = 0<=> y, = \ => a (x, ,x,)

B(x2,y 2) e .2? <=> x2 + y2 = 0

* * y2 = ' *2 ^ b <X2 - - x2)2. Si I AB | =8 ■=> V(x, - x,)2 + (x, + x2)2 = 8

<=> x,2 + x22 = 32 (*)

a ? _ i x ~x. _ y ^ y . = iPB 3 x2 - x y2 - y 3

ode donde se tiene : x, = j (x + y ) , x2 = 2(x - y)

3. Sustituyendo en (*) y reduciendo se encuentra5x2 - 8xy + 5y2 = 36

que es la trayectoria elíptica descrita por el punto P CU

( EJEM PLO 6 ) Dos móviles M, y M2 describen sendas circunferencias concéntricas de radios 8 y 2 respectivamente. La velocidad angular co

de ambos es constante e igual, pero de signo opuesto. Qué lugar geométrico describe el punto medio del segmento M,Mr

Solución. 1. Sea P(x , y) el punto genéri

co del lugar geométrico y sean M ,(x ,, y , ) , M2(x2 , y2).

2. Para M ,: x, = 8 Cosco , y, = 8 Senco y para M2: x2 = 2 Cosco , y2 = - 2 Senco Luego , para P :

x = y (x! + • y - í<y.+ y,)Entonces :

x = j ( 8 Cosco + 2 Cosco) = 5 Cosco

y = j (8 Senco - 2 Senco) = 3 Senco3. De estas igualdades se tiene :

x2 Y2Cos-’co = — y Senco = ~

Yi

1 / f

r .

..

>>

W J J/ J

FIGURA 8.50

>)

FIGURA 8.49

www.freelibros.com


xJ y2 de modo que : — + — = 1

Por lo tanto, la trayectoria que describe el punto. P es una elipse D


1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia r# : x2 + y2 = 16 en la razón 1 : 4

2. Se considera un segmento AB de 6 unidades de longitud y un punto P de dicho segmento a 4 unidades de A. Hallar la ecuación del lugar geométrico de P cuando el segmento se desplace de tal forma que los puntos A y B se apoyen constantemente sobre los semiejes positivos de coordenadas, si el punto A está en el eje Y.

3. Dada la circunferencia re : x2 + y2 = 4, se trazan desde la recta y = 2, rectas paralelas al eje Y, que interceptan a í?. a) Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por los puntos medios de los segmentos determinados, b) Graficar la ecuación encontrada en la parte a ) , explicitando sus elementos fundamentales.

4. Dadas las circunferencias í?,: x2 + y2 = 1 y : x2 + y2 = 9 ; por el origen de coordenadas O se trazan rectas X tales que las semirectas de X de origen O intersecan a f , y en los puntos A y B respectivamente. Por A se traza St\ paralela al eje X , por B se traza X2 paralela al eje Y ; si P es la intersección de Xx y X2, hallar la ecuación del lugar geométrico que describen los puntos P.

5. Una circunferencia variable es tangente interiormente a la circunferencia: (x + 1)2 + y2 = 9 y pasa por A(1 , 0). ¿ Qué lugar geométrico describe su

centro?

6. Una circunferencia variable es tangente a 'g’, : x2 + y2 - 4x = 0 y a r€2 : x2 + y2 - 16x - 36 = 0. Qué lugar geométrico describe el centro de la circunferencia móvil.

7. Desde cada punto de la circunferencia í?: x2 + y2 + 4x + 4y - 8 = 0 se traza una perpendicular al diámetro paralela al eje X. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de estas perpendiculares.

8. La base de un triángulo es de longitud fija , siendo sus extremos los puntos (0 , 0) y (6 , 0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto que

www.freelibros.com

Sección 8.10: Conjunto de puntos asociados a una elipse 399

se mueve de manera que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es igual a 4.

9. Hallar la ecuación del lugar geométrico del centro de la circunferencia que se mantiene tangente a las circunferencias : x2 + y2 - 4y = 12 y : x? + y2 = 1

10. Una circunferencia de radio variable que par P(0 , 2) es tangente interiormente a la circunferencia x2 + y2- 12y - 0. Hallar el lugar geométricoque describe el centro de la circunferencia v. ole.

fm CONJUNTO DE PUNTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE

Asociadas a la elipse £ , gráfica de la relación

R = { ( x , y )e I ^ = l }

existen las gráficas de las relaciones :

R, = { ( x , y ) e t f l + gr < 1} . R2= { ( x . y ) e ¡P\ f? + g > i

R ,= {(X .y )e K2I < 1} , R4 = { ( x , y )e X21 j , + ¿ l }

La gráfica de R, consiste en todos los puntos del plano que están dentro de la elipse S y la de R2 en todos los puntos del plano que están fuera de ella. La gráfica de R3consiste en todos los puntos del plano que están dentro de o sobre la elipse £ , y lade R4 en todos los puntos del plano que están fuera de o sobre ella.

Para obtener las gráficas de relaciones asociadas a las otras formas típicas de elipse se sigue el mismo criterio.

( EJEM PLO 1 ) Construir la gráfica de la relaciónR = { (x ,y ) |9 x 2 + 25y2 > 225} y dé su dominio y rango.

Solución. En primer lugar trazamos con líneas punteadas la gráfica de la elipse.

«f: ^ ^ = l ■=> a = 5 y b s 3Luego, según el criterio para R2 , la gráfica de R

es el conjunto de puntos que están fuera de la elipse <?. Por lo tanto :

Dom(R) = R - {-5 , 5}Ran(R) = R - {-3 , 3} Q

FIGURA 8.51

www.freelibros.com

400 Capítulo 8: Im elipse

[ E J E M P L O 2 ^ Construir la gráfica de la relaciónR = {(x , y) e R! 125x2 + 16y2- 100x + 96y - 156 < 0}

y dé su dominio y rango. Cuál es su área.

Solución. Dibujamos con trazo continuo la gráfica(x - 2)2 (y + 3)2

de la elipse é : —^ — + .— — = 1

de donde se tiene : a = 5 , b = 4 , h = 2 y k = -3 Luego, la gráfica de R mostrada en la Figura 8.52, es el conjunto de puntos que están dentro de, o sobre la elipse <?. Por lo tanto :Dom(R) = [h - b , h + b] = [-2 ,6 ]Ran(R) = [ k - a , k + a] = [-8 ,2 ]Area de la elipse :S = t ta b o S = 20ít u2 Q

^ EJEM PLO 3 ) Construir la gráfica de la relaciónR = {(x , y) £ R119x2 + 4y2 < 36 , I x - 1 I < 2 , y < 2}

y hallar su dominio y rango.

Solución. La gráfica de R es la intersección de las gráficas deR, = {(x , y) 19x2 + 4y2 < 36} , R2= {(x , y) 11 x - I |< 2} y R, = {(x , y) I y < 2}

R( es el conjunto de puntos dentro y sobre la elipse

x 2 y- <d: — + — = 1 4 9En R2: I x - 1 I < 2 « - 2 < x - l < 2 o - l < x < 3 Luego, R2 es el conjunto de puntos entre las rectas

x = -1 y x = 3 R, es el conjunto de puntos debajo de la recta y = 2 Por lo que, la gráfica de R es la región sombreada de la Figura 8.53.

Dom(R) = <-1 , 2] y Ran(R) = [-3 , 2 > □

u

<<-\

A 1 *

rs

. J

. . . < ¡.

/ >y i

i

>FIGURA 8.53

( EJEM PLO 4 j Hallar el área de la gráfica de la relaciónR = {(x , y) e R214x2 + 9y2 < 144 , xJ + y2>16}

Solución. La gráfica de R es la intersección del conjunto de puntos que están den-v2 V*

tro y sobre la elipse — + — K 36 16

y el conjunto de puntos que están

www.freelibros.com

Sección 8.10: Conjunto de punios asociados a una elipse 401

fuera y sobre la circunferencia r<S\ x2 + y2 = 16. Entonces :Area de R = área de la elipse - área del círculo

Y A

a (R) = 7t(6)(4) - ti(4)2 = 87t u2 □

FIGURA 8.54

En los ejercicios 1 - 6 esbozar las gráficas de las relaciones dadas

1. R = {(x , y) e /?21 2x2 + y2 < 2 , y > rt - 1}

2. R = {(x , y) e R21 x2 + 4y2 + 4x - 8y - 28 < 0 , y2 - 8x - 2y - 15 > 0}

3. R = {(x , y) e R1125x2 + 9y2 > 225 , x2 + 9y2 < 36 , x2 + y2 < 25}

4. R = {(x , y) e R2 I x2 + y2 < 16 , y2 > 36x , 36x2 + 4y2 < 144}

5. R = {(x , y) e R219x2 + 25y2 < 225 , 25x2 + 9y2 < 225 , x2 + y2 > 9}

6. R = {(x , y) e R31 x2 + 4y2 < 16 , x2 + y2 < 9 , I x I + 1 y I > 2}

En los ejercicios 7-12, construir la gráfica de las relaciones dadas y determinar sus dominios y rangos.

7. R = {(x , y) e R’ l2x2 + y2 < 9 , x2 + 4y2 > 8}

8. R = {(x , y) e R219x2 + y2 < 117 , y2 + 9x - 63 > 0}

9. R = {(x , y) 6 R21 9x2 + 4y2 < 25 , 3x - 2y + 1 < 0}

10. R = {(x , y) e R21 x2 + 4y2 - 6x - 16y - 75 < 0 , 3x - 8y + 7 < 0}

11. R = {(x , y) e R11 x2 + 9y2 >45 , x2 + 9y2 - 6x - 27 < 0 }

12. R = {(x , y) e R11 x2 + 4y2 - 4x - 8y - 8 < 0 , x + 2y - 8 < 0}

13. Hallar el área de la región acotada por la jrá fica de la relación

R = {(x , y) e R’ 13x2 + y2 < 27 , I x I + | y | < 3 }

14. Hallar el área de’ la región acotada por la gráfica de la relación

R = { ( x , y ) e / ? 2|9x2+16y2+18x- 64y- 71 < 0 , l x + l | + | y - 2 l > 2 , x - y + 3 > 0}

www.freelibros.com

402 Capitulo 9: La hipérbola

E LE M E N T O S DE U N A H IP E R B O L A

1. Centro (C) 6. Directrices (£, y t2)2. Vértices O ^yV ,) 7. Lado Recto (LR)3. Focos (F, y F2) 8. Cuerda focal (EE’)4. Eje focal ((.) 9. Asíntotas (Ü? y í?,)5. Eje normal ( f ) 10. Radio Vector (PF! ó PF2]

E C U A C I O N E S D E U N A H I P E R B O L A«•» fx2 y2 y2 y2

1. Formas canónicas : = 1 0 -^r ‘ r r = 1a2 b2 a2 b2

3. Forma general canónica : Ax2 - Cy2 + Dx + Ey + F = 0

4. Forma general no canónica : Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , B-’ - 4AOO

www.freelibros.com

LA HIPERBOLA

*>

G D D EFIN IC IO N _________________________________________________

Una hipé bola es el conjunto X s de todos los puntos del plano colocados de tal torma que la u. -renda de sus distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Si denotamos la diferencia constante por 2a, tenemos que :

P e l o I PF, I - 1 PF, I .= 2a Qe X |0F ,| - |Q F j= 2 a T e X <=> IfF , I - | f F , l = 2a

El segmento V,V, = 2a se denomina eje trans

verso o eje focal, y el segmento B,B2 = 2b es el eje conjugado o eje normal de la hipérbola. La distancia entre los focos, o sea | F(F2 | = 2c , se denomina distancia focal.

m F O R M A S C A R T E S I A N A S D E L A E C U A C I O N D E U N A H I P E R B O L A

Ahora veremos las ecuaciones de una hipérbola en su forma más simple, esto es, cuando su centro está en el origen y su eje transverso coincide con uno de los ejes coordenados.

[PRIMERA FORMAj Hipérbola con centro en el origen y eje transverso coincidente con eje X.

Dado que I F,F, I = 2c, las coordenadas de los focos son F((c , 0) y F,(-c , 0). Entonces :1. Sea P(x , y) el punto genérico de la hipérbola.

www.freelibros.com

404 Capítulo 9: La hipérbola

2. Por definición :P(x , y ) e ■>'/ o PF, I - 1 PF, I = 2a

cuya forma analítica es :V(x + c)! + y2 - V(x - c)2 + y2 = 2a

■=* V(x + c)2 + y2 = 2a + V(x - c)2 + y2 Elevando al cuadrado y reduciendo términos queda : ex - a2 = a V(x - c)2 + y2 de donde obtenemos :

(c2 - a2)x2 - a2y2 = a2(c2 - a2)Como c > a ^ c2 - a2 > 0, podemos asignar a este número positivo por b2, y entonces

y2

ft. Yx

R ,, B,

V >FIGURA 9.2b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 o - -g j = 1 (1 )

donde : b 2 = c 2 - a 2

Esta primera forma canónica de la ecuación de la hipérbola se denomina, también hipérbola horizontal con centro en el origen.

D iscus ión de la ecuación (1)1 . Intersecciones con los ejes coordenados

a) Con el eje X : Si y = 0 x = ± a , luego las coordenadas de los vérticesson : V, (a , 0) y V2(-a , 0) <=> | V¡V21 = 2a

b) Con el eje Y : Si x = 0 ■=> y2 = -b2, no hay solución real, por esta razón alsegmento B,B2 se le denomina también eje imaginario y aun

que no tiene puntos en común con la hipérbola, existe una cierta relación con ésta. Luego, si B,(0 , b) y B2(0 , -b) ■=> I B,B21 = 2b

2. Simetría. Como en (1), las variables x e y tienen exponente par, la curva essimétrica respecto a los ejes X e Y y al origen.

3. Extensión. Para determinar la extensión de la curva despejamos y = flx ) yx = g(y), esto es :

Dominio

■■ ± — V x2 - a 2 a

Rango ax = ± -N y 2 + b2 b

■=> y es real o x 2 - a 2 > 0 ■=> x es real » y 2 + b 2 > 0

» x < - a ó x > a « y e í

Dom(,#') = <- °° , - a] U [ a , + R an(jr) = <- °° , + » >Por tanto , la hipérbola es una curva abierta y se compone de dos ramas simétricas respecto al eje X, una de ellas se extiende indefinidamente hacia la derecha, la otra hacia la izquierda a partir de los vértices.

www.freelibros.com

Sección 9.2: Formas cartesianas de la ecuación de una hi/iérbota 405

4. Longitud de cada lado recto. Para el foco F,(c , 0), sustituimos x = c en la ecuación (1) para obtener:

Sí . a i o y = ± -Vc2 ar = ± ^-x/b2 = ± - a2 b2 a a . a

Entonces las coordenadas de los extremos del lado recto derecho sonL,(c , bV a) y R,(c , - b 2/a )

Análogamente, al sustituir x = - c en (1), obtenemos las coordenadas de losextremos del lado recto izquierdo, esto es :

L2(-c , b2/a) y R;(-c , - b2/a)Por lo que la longitud de cada lado recto es : LR = 2b2/a

5. Excentricidad. Es otro elemento importante de la hipérbola y se define como la„ c _ Va2+ b2razón : e = — = —a a

Como c > a , la excentricidad en la hipérbola es mayor que la unidad.

6. Construcción de las directrices

Primero se construye el rectángulo OB,EV, de dimensiones a y b, luego, por el foco F se traza una perpendicular a la diagonal OE interceptándola en H. Por este punto pasa la directriz f, perpendicular al eje focal (eje X). La otra directriz t, se construye por simetría.

7. Ecuaciones de las directrices

Para la directriz ( . : OD = OF, - DF,■=> x = c - DF, (1)

En el triángulo rectángulo OHF, : | HF, 12 = | OF, | x I DF, |b2 = c I DF, I => | ¿F, | = b2/c

h2 c2 - h2 " 2Luego, en (1) se tiene : x = c - — = —- — x c e

Análogamente, para la otra directriz

Si d es la distancia entre las directrices, entonces :

e2 : x = - - e

d = 2a2 2ae

(SEGUNDA FORMA} Hipérbola con centro en el origen y eje transverso coincidente con el eje Y

Si F,(0 , c) y F,(0 , - c) son las coordenadas de los focos y si

www.freelibros.com


P(x , y) e X « | PF, I - 1 PF, I = 2a<=> Vx2 + (y + c)2 - Vx3 + (y - c)2 = 2a

de donde, siguiendo los pasos para hallar la ecuación (1), obtenemos :

P(x , y) e j r o 4 ' S = 1 (2)a2 b2donde , b2 = c2 - a2Esta segunda forma canónica es llamada hipérbola vertical con centro en el origen.De la discusión de la ecuación (2) se tiene : Coordenadas de los vértices : V,(0 , a) y V,(0 , - a) Extremos del eje conjugado Extremos de los lados rectos

Y /

1” v? “ “ T i ,1 /

U J 0 1

/ t u . > x / 1 f

L

R t

t 2J , _J

fyr f ,

v ... yFIGURA 9.4

Longitud de cada lado recto Extensión : Dom(./f) = <- °° , Ecuaciones de las directrices

B,(b.O) y B2(- b , 0): L,(b2/a , c) , R,(-b2/a , c)

L,(b2/a , - c) , R,(- b2/a , - c)LR = 2b2/a

+ » > , Ranf./í^) = <- » , - a) U [a , y = ± a2/c = ± a/e

+ oo >

Distancia entre directrices : d = 2a2/c =.2a/e

[ASINTOTAS DE UNA HIPERBOLA) Una hipérbola tiene asociada un par de rectas que guardan una relación importante para

graficarla.Consideremos la ecuación de la hipérbola

' a2 ' b2 ' y tracemos las diagonales de su rectángulo fundamental (rectángulo de centro O, lados de longitud 2a y 2b y paralelos a los ejes transverso y conjugado). Entonces : P(a , b) y Q(- a , b).Es fácil comprobar que las ecuaciones de las diagonales que pasan por P y Q son, respectivamente

v

Y>

SO___ 7 / 1— v/ ( {

V.

V\ vil

f \

: y = l x . : y ■ FIGURA 9.5

Estas son llamadas las asíntotas de la hipérbola.De una forma semejante se puede probar que la hipérbola vertical de ecuación y2 x2— — - = 1 , tiene por asíntotas, las rectasa2 b2

: Y = b X y 3 ? :y = - -£ x

www.freelibros.com

Sección 9.2: Formas cartesianas de la ecuación de una hipérbola 407

I OBSERVACIONES

1. Las asíntotas de cualquier hipérbola horizontal o vertical pueden obtenerse igualando a cero el segundo miembro de la ecuación correspondiente, y despejando

, = / < x ) - x* y b.a) Hipérbola horizontal: — - — = o y2 = — x2b2

b) Hipérbola vertical : — - — = o <=* y2 = — x2a2 b2 b2

o y = ± x b

2. Las asíntotas de las hipérbolas en su forma canónica son conjugadas.En efecto, si la ecuación de la hipérbola es

b2x-’ - a2y-’ = a2b2 => (bx + ay)(bx - ay) = a2b2 Por la observación (1): (bx + ay)(bx - ay) = 0 <=> bx + ay = 0 ó bx - ay = 0

3. Las asíntotas de una hipérbola actúan en la gráfica como líneas de guía.


f E JE M P L O 1 J Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y ejetransverso en eje Y , si la distancia entre directrices es 2 y su

excentricidad es también 2.y2 x2Solución. La ecuación de la hipérbola es de la forma ,/d : — — - = 1a- b2

Si r/(^, , ( 2) = 2 >=> ^ = 2 , de donde , a = 2 Como c = a e c = (2)(2) = 4 , y si c2 = a2 + b2 ■=> 16 = 4 + b2 o b2 = 12Por lo que la ecuación de la hipérbola es

( EJEM PLO 2 ) Hallar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, focos sobre el eje X, distancia entre directrices igual a 4 y pasa

por el punto P(4 , 3).x2 y2Solución. La ecuación de la hipérbola tiene la forma :'/f : = 1 (1)

Si d((x, t¡) = 4 => = 4 , entonces : a2 = 2c (2)

www.freelibros.com


Como c2 = a2 + b2 >=> c2 = 2c + b2, de donde : b2 = c2 - 2c (3)

Si P(4 , 3) e JC =* § - = 1 => £ - ¿ T 2E = ' ^ C = 5Sustituyendo el valor de c en (2) y (3) obtenemos : a2 = 10 y b2 = 15

Por lo tanto, en (1) , se tiene : ^ ~ = 1 « X : 3x2 - 2y2 = 30 □

( E J E M P L O 3 J Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F(± 4 , 0), si la pendiente de una de sus asíntotas es 3.

Solución. Como los focos están sobre el eje X, la ecuación de la hipérbola tiene la« i y 2

forma, ~ \ , y cuyas asíntotas sonaz b

y = ± | x ■=> m = -^ = 3 b2 = 9a2 (1)

Si c2 = a2 + b2 ■=> (4)2 = a2 + 9a2 <= a2 = 8/5 , luego en (1): b2 = 72/5 Por lo tanta, la ecuación de la hipérbola es

* I 3T \ 45 x2 - 5y2 =72 □

f E J E M P L O 4 j Los focos de la elipse £ : 25x2 + 9y2 = 225 coinciden con los focos de una hipérbola de excentricidad 4/3, hallar la ecuación

de la hipérbola.

Solución. Si <?: — + — = l =* a = 5 y b = 3 , y s ic 2= a 2-b 2=16 => c = 4 9 25 ,

y x 2Para la hipérbola que es de la forma X : - — = 1

se tiene :F (0 ,± c ) => c = 4 , e = — = — ■=> a = 3a 3

c2 = a2 + b2 ■=> 16 = 9 + b2 <=> b2 = 7 Luego, la ecuación de la hipérbola ,Yf es

'L . *1 - i w : 7y2 - 9x2 = 63 □9 7 J

{ EJEM PLO 5 ) Sea la elipse £ : 9x2 + 16y2 = 1 ; hallar la ecuación de una hipérbola homofocal con la elipse y excentricidad V7/4 unida

des mayor que la excentricidad de la elipse.

Solución. Si £ : — + = 1 => a = 1/3 y b = 1/41/9 1/16 ’

c2 = a2 - b2 => c2 = 7/144 <=> c = V7/12

www.freelibros.com


Excentricidad de la elipse : e, = — ■=> e, = —1 11 '4

Excentricidad de la hipérbola : e = e,+ ~ ^ = > e = ^ J -V7 /V7\ 4Como , c = a e ■=» — = a(— J , de donde : a = 1/6

c2 = a2 + b2 •=> -J— = — + t ■=> b2 = —144 36 48

Por ser homofocal con la elipse , la ecuación de 'a hipérbola tiene la forma

X : — - — = 1 =* _*1 y— = i o x : 36x2 - 48y2 = I □a2 b2 1/36 1/48

{ E J E M P L O 6 ] Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse é : 16x2 + 25y2 = 1600 y las directrices

pasan por los focos de la elipse.x 2 y2Solución. Si £ : + — = 1 => a, = 10 , b, = 8 y c. = 6IUO 64 i i i

En la hipérbola tenemos las siguientes relaciones:

d{lx, ( 2) = 2c, cz» 2|1 = 12 ^ a2 — 6c

Además , 2c = 2a, = 20 <=> c = 10 , luego : a2 = 6(10) = 60c2 = a2 + b2 <=> 100 = 60 + b! <=> b2 = 40

x2 y2 i ■ iPor lo que la ecuación de la hipérbola es : — - — = i LJ60 40

( EJEMPLO 7 ) Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, directrices las rectas y = ± 4 y asíntotas 2y = ± 3x.

Solución. Como las directrices son rectas horizontales, la ecuación de la hipérbolay2 x2tiene la forma , X : ^ = l (1)a' b-

q 2Ecuaciones de las directrices :y = ± — = ± 4 < = > a 2 = 4c (2)

Ecuaciones de las asíntotas : y = ± — x = ± — x <=> — = — (3)} b 2 b 2

Luego, de (3 ): = * ± i =* * = 11 ^ c = fa ' ' a2 9 4c 9 9

208 83?Sustituyendo en (2) y luego en (3) se tiene : a2 = y b2 =

Por lo tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola es

— - — = i <=> ;n : 36y2 - 81 x2 = 832 □208 832 J

www.freelibros.com

410 Capitulo: 9 La hipérbola

E J E M P L O 8 j Los focos de una hipérbola son (±10 , 0) y sus asíntotas son las rectas y = ± 2x. Hallar su ecuación.

Solución. Como los focos están sobre el eje X, la ecuación de la hipérbola tiene

la forma , Jt : = I (1)a- b- , ,

Si las ecuaciones de las asíntotas son y = + -¡rx = ±2x *=> -g- = 2 b2=4a2

Además : c2 = a2 + b2 ■=* ( 10)’ = a2 + 4a; ■=> a2 = 20 y b2 = 80x2 y'Por tanto , en (1), se tiene : = 1 <=> X : 4x2 - y2 = 80zU oU □

( E J E M P L O 9 ) Dada la hipérbola X : b2x2 - a2y2 = a2b2, desde un punto P perteneciente a la hipérbola se traza una recta paralela al eje trans

verso la cual corta a las asíntotas de dicha hipérbola en los puntos A y B. Demostrar que ! AP I I BP I = a2.

Demostración. Sean P = (x , y) , A = ( x , , y) y B = (x2, y)

La hipérbola JT : - r - t t = 1 , a2 b2tiene por asíntotas a las rectas y = ± -^x , esto es,

: bx - ay = 0 y ^ : bx + ay = 0

Si A(x, , y) e jZ? <=> bx, - ay = 0 <=> x, = -|y

* B(x , y) € ■=> bx + ay = 0 o x = - -^y

|AP| = |x - x. I = |x - ¿ y I =I bx - ay I

I BP I = | x - x21 = I x + -=-yIbx + ay I

■J

/ „

/ IFIGURA 9.6

IapI IbpI = bV' a2y2b2

a2b2b2

= a2 □

(e j e m p l o 1 0 ) Si P ,(x ,, y,) es un punto cualquiera de la hipérbola b2x2 - a2y2 = a2b2 , demostrar que las longitudes de sus radios vectores son

I ex, + a I y I ex, - a I .

Demostración. En efecto, si F,(c , 0) son las coordenadas del foco derecho, entonces

r,= |PÍF,| = V(x, - c)2 + y,2 (1)

www.freelibros.com

f

Sección 9.2: Formas cartesianas Je la ecuación Je una hipérbola 411

Si P,(x, , y,) e . » => b2x,2 + a’y,-’ = a2b2 => y - = ^ (x,3 - a2)3

Luego , en (1 ) : r, = a/(x^ - c)-’ + -^ (x ,2-a 2)3'

■=> r, = V ^ j[a 2(x,2 - 2cx, + c2) + b2x,2 - a2b2]

= V -\[(a 2 + b2)x,2 - 2a2cx, + a’(c2 - b’)!3

= V¿2x(2 - 2aext + a2 = Vfcx, - a)2

r, = I ex, - a IAnálogamente, para el foco izquierdo F2 se demuestra que r = |e x + a | □ FIGURA 9.7

¡E J E M P L O 1 1 ) Qué pendiente deberá tener la cuerda que pasa por el foco derecho de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144 para que su longitud

sea el cuádruple de la del lado recto.

xx3 ySolución. De la hipérbola ./ó : — - —16 9 1 ,

f...... ■ —Y>

Kp,

V '" p V r • "

jFIGURA 9.8

se tiene: a = 4 y b = 3 = > c = 5 Si F(± c , 0), el foco derecho es F((5 , 0)

Ecuación de la cuerda focal: y = m(x - 5)Sustituyendo en la ecuación de la hipérbola dada resulta que : 9x3 - I6(x - 5)2m2 = 144 de donde : (9 - 16m2)x2 + I60m2x + 400m2 - 144 = 0 Las raíces de esta ecuación son las abscisas de los extremos de la cuerda P,P2 , luego por una propiedad de las raíces :

160m2 x ' + * 2 = * 9 - 16m2

Además, por el ejemplo 10, se sabe que : r, = I P,F, I = | e x, - a Ir2 = I PjF, I = I e x2 - a I

Entonces : r, + r2 = P ^ = e(x, + x2) - 2a5 / 160m2 \ _ g -72(1 + m2)

9 -16m2/ 9 - 16m2

Si IP P I = 4 LR ■=> 72 ^ + = 4(—) , de donde : m2 = 1/4 <=> m = ± 1/212 9 - 16m-’ '2'

□

www.freelibros.com

412 Capitulo 9: La Hipérbola


1. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje normal sobre el eje Y, si la distancia entre sus directrices es 4 y su excentricidad es 4/3.

2. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, focos sobre el eje X, distancia entre sus directrices es 2 y pasa por el punto P(4 , 6).

3. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas 5x ± 2y = 0 y cuyos focos son F(0 , ± V58). (Guía: Ejemplo 8).

4. Hallar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, focos sobre el eje Y , LR = 16/3 y la pendiente de una de sus asíntotas es 3/4.

5. Los focos de una hipérbola coinciden con los focos de la elipse 25x2 + 9y2 = 225. Hallar la ecuación de la hipérbola de excentricidad 2. (Guía: Ejemplo 4).

6. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los de la elipse 3x2 + 4y2 = 12 y su excentricidad es 3/2 unidades mayor que la excentricidad de la elipse.

7. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse 9x2 + 5y2 = 180 y las directrices pasan por los focos de la elipse. (Guía: Ejemplo 6).

8. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse 7x2 + 11y2 = 77 y cuyos vértices están en los focos de la elipse.

9. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, directrices las rectas x = ± 3 y asíntotas3y = ± 4x (Guía: Ejemplo7).

10. Dada la hipérbola X : b2x2 - a2y2 = a2b2 , desde un punto P perteneciente a la hipérbola se traza una recta paralela al eje normal la cual corta a las asíntotas en los puntos A y B. Probar que I AP I IBP | = b2 (Guía: Ejemplo 9).

11. El punto P(a , b) pertenece a la hipérbola x2 - 4y2 + 32 = 0 y está en el segundo cuadrante, además la distancia a su asíntota asociada es 4^5. Hallar las coordenadas de P.

12. Hallar el área del triángulo formado por las asíntotas de la hipérbola X : x2 - 4y2 =16 y la recta <5? : 3x - 2y + 12 = 0

13. Una hipérbola con el eje normal sobre el eje X y centro en el origen tiene sus vértices a 2/3 de la distancia del centro a los focos. Hallar los ángulos que forma el eje normal con las asíntotas.

www.freelibros.com

14. Hallar la'ecuación de la hipérbola con centro en el origen, focos en F(± 6 , 0) y asíntotas 3y = + 4x. (Guía: Ejemplo 8).

15. Si P ,(x ,, y,) es un punto cualquiera de la hipérbola ,v< : b2y2 - a2x2 = a2b2, demostrar que las longitudes de sus radios vectores son I cyt - a I y | ey + a I . (Guía: Ejemplo 10)

16. Demostrar que el área del paralelogramo limitad: por las asíntotas de la hipérbola X : b2x2 - a2y2 = a2y2 = a2b2 y las rectas trazadas por cualquiera de sus puntos y paralelas a las asíntotas, es una cantidad constante, igual a ab/2.

17. Desde el vértice correspondiente a una rama de una hipérbola se observa el lado recto de la otra rama con un ángulo de 90a. Halle la excentricidad de dicha hipérbola.

18 . Dada la hipérbola, X : b2x2 - a2y2 = a2b2 , (a > b), si a es el menor ángulo que forman sus asíntotas y e es su excentricidad, expresar Tga en términos de e.


(TERCERA FORMA] Hipérbola con eje focal paralelo al eje X

Si trasladamos el sistema de coordenadas XY al sistema X’Y’ de tal forma que el nuevo origen O’ coincida con el centro C (h , k), obtenemos una hipérbola con centro en O’ cuya ecuación es

5Ü y— - 1a2 b2 (*)

según las fórmulas de traslación

x' = x - h e y’ = y - k

Entonces en (•), la ecuación de la hipérbola en el sistema XY es

X(x - h r (y - k)2

= 1a2 b2

ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA

1. Centro : C(h , k)2. Vértices : V,(h + a , k) , V2(h - a , k)3. Focos : F,(h + c , k) , F^h - c , k)4. Extremos del eje conjugado (normal)

B,(h , k + b) , B2(h ,k -b )

(3)

www.freelibros.com


5. Lado recto : LR =

6. Excentricidad : e - ~ (e > 1)

7. L,(h + c ,k + - j£ ) , R,(h + c , k -

L2( h - c , k + ^ ) . R,(h - c , k - -j¿)

8. Directrices : x = h ± ~9. Distancia entre directrices :

10. Asíntotas : y - k = ± ^ (x - h)

11. Radios vectores : r ,= I ex, - a I (Foco derecho) (Foco izquierdo)

FIGURA 9.10

[CUARTA FORMA] Hipérbola con eje focal paralelo al eje Y

Como en el caso anterior, la ecuación de la hipérbola en el sistema X’Y ’ es :

y’2 x,J _ . M—f ' TT ' (*)aJ b2Haciendo uso de las fórmulas de traslación

x’ = x - h e y ’ = y - k en (*) obtenemos la ecuación de la hipérbola en el sistema XY

|4)a2 b2

Las ecuaciones (3) y (4) reciben el nombre de formas canónicas ordinarias de la ecuación de una hipérbola.

ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA

1. Centro : C(h , k)2. Vértices : V,(h , k + a) , V2(h , k - a)3. Focos : F,(h , k + c) , F,(h , k - c)4. Extremos del eje conjugado : B,(h + b , k) , B2(h - b , k)

5. Lado Recto : LR = ~ -

6. Excentricidad : e - j (e > l)

FIGURA 9.11

www.freelibros.com

Sección 9.2. Formas cartesianas de la ecuación de una hipérbola 415

7. L,(h + j f , k + c) , R,(h - , k + c)

L,(h + , k - c) , R;(h - , k - c)

8. Directrices : y = k ± ~9. Distancia entre directrices :

d(e,, Q =

1O Asíntotas : y - k = ± (x - h) b

11. Radios vectores :

ri - 1 ey i ' 3 I (Foco superior) r, = I ey, + a I (Foco inferior)

FIGURA 9.12

G EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

\i( 1)

( E J E M P L o T ) Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son : 3 , 6) y F2(3 , 0) y pasa por el punto P(5 , 3 + 6A/5).

Solución. Como los focos tienen la misma abscisa, la ecuación de la hipérbola. . (y - k)2 (x - h)tiene la forma w \ —-----— - -5------ L

a2 b22c = d(F, ,F 2) ■=> 2c = 10 - 6 I = 6 <=> c = 3 , luego : a2 + b2 = 9 (2)C(h , k) es punto medio del segmento F,F2 •=> C(3 , 3)

Si P(5 , 3 + ó’n/F) e X ■=> -(3 + 6/^ f ' 3)? - ^ =1 « ^ G =1 (3)

De (2) y (3), por simultáneas, obtenemos : a2 = 4 y b2 = 5

Por lo tanto, en (1) se tiene , :/( : ■ - — ^ = 1 Q

( E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son Ft(7 , -5) y F2(-3 , -5) y un extremo del eje conjugado es B(2 , -3).

Solución. Como los focos están en una línea horizontal (tienen la misma ordena-(x * h)2 (y ~ K)2

da), la ecuación de la hipérbola es : ^------— — - 1 (1)

2c d { V V 2) 2c 17- (-3) | = 10 c

www.freelibros.com


C(h , k) es punto medio del segmento F,Fj ■=> C(2 , -5)b = cl(C , B) => b = I -3 - (-5) I =2 ; c2 = a2 + b2 •=> 25 = a2 + 4 « a2 = 21

(x - 2)2 (y + 5)2Por tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola es , X : — — ' — 3— = 1 U

( EJEM PLO 3 ) Hallar la ecuación de la hipérbola cuyo eje conjugado mide 6, sus asíntotas son las rectas 5? : y = 2x + 3 y J2| : y = -2x -1 ,

y su eje focal es paralelo al eje Y.( y _ k)2 (x - h)2

Solución. La forma de la ecuación es , X : ——;— - — —— =1 (1)a- b2

de donde obtenemos las asíntotas : y - k = ± -§ (x - h)b

Comparando con las asíntotas dadas se deduce que : -§ = 2 a = 2bbComo 2b = 6 => b = 3 y a = 6. Si C(h , k) e fl ■=» C(-l , 1)

Por tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola es, x : ^ ^ = l LJ36 9

( E J E M P L O 4 J Hallar la ecuación de la hipérbola con eje transverso en y = 1 , excentricidad e = 5/3 y directrices , x = 14/5 y x = - 4/5.

Solución. Como el eje transverso es horizontal, la ecuación de la hipérbola tiene la

forma, * : Í L ^ - - 1 (1)a- b-

El centro C(h, k) equidista de las directrices ■=» h = = 1Además, C(h , k) e (y = 1) ■=> k = 1

Sl ■=» • ded ° " d e ’ a - :>c = ae = 3(-|) = 5 y c2 = a2 + b2 25 = 9 + b2 o b2 = 16

Por lo tanto, en (1) se tiene , X : ^ , P = 1 Qy 16

(---------------------------- 'l (X . 1)2 (y - 4 ) 2I EJEM PLO 5 1 Los focos de la elipse -——- + ■ = 1 , son los vérticess " * 8 14

de una hipérbola y a su vez los focos de esta última coincide con los vértices de la elipse. Hallar la ecuación de la hipérbola.

Solución. En la elipse, de eje focal paralelo al eje Y, se tiene :a2 = 14 y b2 = 8 o c2 = a2 - b2 = 6

Para la hipérbola : a2 = 6 y c2 = 14 , si c2 = a2 + b2 o 14 = 6 + b2 o b2 = 8

www.freelibros.com


Como la elipse y la hipérbola tienen el mismo centro y la misma forma de sus ecuaciones, entonces la ecuación de la hipérbola es

(y - 4)J (x -1 )2 p-,V - ■ V - - 1 a

E J E M P L O 6 ^ Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V}(2 , 8) y V?(2 , -2) y un foco F(2 , 3 + <29).

Solución. Como los vértices están sobre una línea vertical (tienen la misma abscisa), la ecuación de la hipérbola tiene la forma

(y - k)2 (x - h)2

Ahora, 2a = I V,V, I = 18 - (-2) I = 10 <=> a = 5C(h , k) es punto medio del segmento V,Vj => c(2 , 3)

c = I CFI = 13 + <29 - 3 I =<29 ; c2 = a2 + b-’ ^ 29 = 25 + b2 <=> b2 = 4Por lo tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola buscada es

( E J E M P L O 7 ) El centro de una hipérbola es el foco de la cónica : y2 + 6y +32x -119 = 0 y sus focos son los extremos del lado recto de i? .

Hallar la ecuación de dicha hipérbola, si la pendiente de una de sus asíntotas es<5/3.Solución. De la ecuación de la parábola S°: (y + 3)2 = -32(x - 4 ), se tienen :

h = 4 , k = - 3 y p = -8. Coordenadas del foco : F(h + p , k) o F(-4 , -3) Luego, el centro de la hipérbola es C(-4 , -3).Extremos de lado recto de la parábola : L (h + p , k + 12p I ) => L (-4 , 13)

R (h + p , k - 1 2p I ) R (-4 , -19)Por lo que si F,(-4 , 13) y F,(-4 , -19), la ecuación de la hipérbola tiene la forma

2c = | F,F21 = 113 - (-19) I =32 ^ c = 16 . Si c2= a 2 + b2 a2 + b2 = 256 (2)

y s i m = ^ = > / |= , | = | (3)

Resolviendo (2) y (3) por simultáneas , obtenemos : a2 = 160 y b2 = 96 Por lo tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola es

( y H ) 2 . ^ q

160 96

www.freelibros.com

418 Capítulo 9: la hipérbola

( E J E M P L O 8 j El eje focal de una hipérbola está dado por la recta ( : y -4 = 0y su eje conjugado está contenido en la recta ( ’ : x - 2 = 0. Si la

abscisa de uno de sus focos es 6 y su lado recto mide 12 unidades, hallar la ecuación de la hipérbola.

Solución. El centro de la hipérbola es t fl V = C(2 , 4)Si F,(6 , k) e ( ■=> F,(6 , 4), y como C equidista de F, y F2 ^ F2(-2 , 4)

(x ~ 2Y (v ■ 4)2Por lo que, la forma de la ecuación de la hipérbola es, * : ' - h r - = 1 <1)

3 b

Si 2c = I F,F21 => 2c = 16 - (-2) I = 8 => c = 4 y a2 + b2 = 16 (2)

LR= ~ =12 <=> b2 = 6a (3)3 dDe (2) y (3) por simultáneas obtenemos : a2 = 4 y b2 = 12

fx - fv - 4VPor lo tanto, en (1 ) , la ecuación de la hipérbola es, X : -— - ■ ■■ = I CU


1. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F,(2 , 0) y F2(2 , -6 ), y que pasa por P(7 , 2V6 - 3). (Guía: Ejemplo 1)

2. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas directrices son x = 2 y x = 6 , y uno de sus focos es F(12 , 0).

3. Las asíntotas de una hipérbola son : 3x - 4y - 5 = 0 y : 3x + 4y + 11 = 0 , y un foco es el punto F(3 , -2). Hallar su excentricidad.

4. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por directrices las rectas y = 1 e y = - 3 , y por una asíntota la recta 5?: 2x - y - 3 = 0.

5. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los vértices de la elipse S : 25x2 + 16y2 - 150x + 64y - 111 = 0 y las directrices pasan por los focos de la elipse.

6. Hallar la ecuación de una hipérbola con centro en C(-2 , 2), un extremo del eje conjugado en B(0 , 2) y pasa por P(0 , -4).

7. La ecuación del eje focal de una hipérbola es la recta 3? : x + 2 = 0; si los focos están sobre las rectas 5- : 4x + y = 0 y : 2x - y = 0, hallar la ecuación de la hipérbola sabiendo que pasa por el punto P(0 , 7).

www.freelibros.com

Sección 9.3: Hipérbola equilátera 419

8. Hallar la ecuación de la hipérbola cuya distancia focal es 4vÍ3 , sus asíntotas son las rectas : 3x - 2y - 2 = 0 y : 3x + 2y + 14 = 0 , y su eje conjugado es paralelo al eje Y.

9. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en C(3 , 4), un foco en F(3 + 2\/2 , 4) y directriz x = 3 - V2.

10. Una hipérbola tiene su centro en el punto C( I , -3), un foco en F(1 , 0) y una de sus directrices pasa por el punto P(0 , -2). Hallar la ecuación de la hipérbola.

11. i abscisa del centro de una hipérbola es 3 ; su eje transverso es paralelo al eje, una de sus asíntotas es la recta 3! : x - 2y - 7 = 0 , y la distancia del centro

de la hipérbola a una de sus directrices es 16V5. Halle la ecuación de la hipérbola.

12. Sea ./r una hipérbola con centro C(2 , -3) y con eje transverso vertical de longitud 10 unidades. Determinar la ecuación de la hipérbola si el segmento inter- sectado por las asíntotas sobre una directriz tiene longitud igual a la distancia entre las directrices.

m HIPERBOLA EQUILATERA

Cuando el rectángulo fundamental de una hipérbola es un cuadrado, se dice que la hipérbola es rectangular o equilátera', como en este caso las asíntotas son perpendiculares, entonces a = b y las cuatro formas ordinarias de las ecuaciones de la hipérbola pueden expresarse de la siguiente manera:

xJ - y2 - a2 (5)y2 - x2 = a2 (6)

( x -h )2- ( y - k ) 2 = a2 (7)( y -k )2- ( x - h ) 2

I OBSERVACIONES(8)

1. La excentricidad de una hipérbola equilátera es constante e igual a V2.

Va2 + b2

rYi

_ _

7

V 2 l F, > x

A

7

En efecto , si e = - = a

Va2 + a2 pr •=> e = ----------- = \2FIGURA 9.13

a a2. La longitud de cada lado recto de una hipérbola equilátera es igual a la

longitud del eje transverso o del eje conjugado.

En efecto , si LR = ^ => LR = — = 2a ó LR = ^ = 2b a a b3. Si P,(x,, y,) es un punto cualquiera de la hipérbola equilátera representada por la

www.freelibros.com


ecuación X : x2 - y2 = a2 (Figura 9.13), y si d, y d2 son las distancias del punto P( a las asíntotas : x - y = 0 y : x + y = 0, entonces :

V2 7 2 <2de modo que :

(a)

Esto es, el producto de las distancias de un punto cualquiera de una hipérbola equilátera a sus asíntotas, es constante.

£ ¡ 3 CASOS ESPECIALES PE H IPERBOLAS EQUILATERAS

Supongamos que una hipérbola equilátera se coloca en un plano coordenado de tal modo que sus asíntotas coincidan con los ejes coordenados (Figuras 9.14 y 9.15). Entonces si P(x , y) es un punto cualquiera de la curva, sus distancias di y d2 a las dos asíntotas serán

dt = |x | y d2 = I y I si la gráfica de la hipérbola está en los cuadrantes I y III , entonces

d, . d2 = I x | |y | = xy y por (a), se observa que la curva es la gráfica de la ecuación

x y = a2/2 (9)la cual se muestra en la Figura 9.14

FIGURA 9.14

Si la gráfica de la hipérbola está en los cuadrantes II y IV , entoncesdt . d2 = I x I I y I = - xy

y por (a) se observa que la curva es la gráfica de :

www.freelibros.com

Sección 9.4: Casos especiales de hipérbolas equiláteras 421

x y = - a2/2 (10)La Figura 9.15 muestra la gráfica de esta ecuación.Análogamente, si las asíntotas de una hipérbola equilátera son paralelas a los ejes coordenados, las ecuaciones (9) y (10) toman la forma

(x - h) (y - k) = a2/2 (11)(x - h) (y - k) = - a2/2 (12)

donde a representa la distancia del centro C(h , k) de !a hipérbola a su vértice.


( E J E M P L O 1 ) Una hipérbola equilátera tiene su centro en el origen y uno de sus focos es F(0 , - ' ¡ 2 . ) . Hallar su ecuación.

Solución. Como el foco está sobre el eje Y, la ecuación de la hipérbola tiene la forma de la ecuación (6 ) , esto es

: y2 - x2 = a2 (1)

En una hipérbola equilátera e = V2 ^ = V2 , siendo c = V2 ■=> a = 1Por tanto, en (1), se tiene

\ y2 - x2 = 1 □

( e j e m p l o Y ) Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto P(-2,4) y tiene por asíntotas a los ejes coordenados. Halle

también la longitud de su eje transverso.

Solución. Sea la hipérbola equilátera : xy = t (1)

donde la constante t puede ser a2/2 ó - a2/2 Si P(-2 , 4) e o (-2)(4) = t o t = - 8Luego, en (1), la ecuación de la hipérbola equilátera es, Jf : xy = - 8Como t = - a2/2 ■=> - 8 = - a2/2 , de donde ,a = 4 ^ 2 a = 8 Q

! E J E M P L O 3 ) Si el área de la región sombreada de la Figura 9.16 es igual a8/3 u2, y la curva es una rama de una hipérbola equilátera,

hallar su ecuación.

Solución. Sea la hipérbola equilátera K : xy = t (1)y sean los puntos P,(l , y,) y P,(3 , y2)

www.freelibros.com

422 Capitulo 9; La hipérbola

Si P,(l , y ,)e c=> ( I)y , = t « y, = t

P,(3 , y2) 6 .Y( => (3)y2 = t « y2 = t/3

Area de la región sombreada : | = (2- l)y, + (3 - 2)y2

de donde , | = y | + y 2 => = t + ^ <=> t = 2

Por lo tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola esJT : x y = 2 □

[ EJEM PLO 4 ) Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera cuyo foco es F(1 , 1) y directriz asociada, la recta í : x + y - 1 = 0.

Solución. En una hipérbola equilátera la excentricidad es constante : e = V2Luego, si P(x , y) es un punto genérico de la hipérbola, entonces por

definición de cónica : I PFI = e I d(P , () I

cuya forma analítica es : V(x - l ) 2 + (y - 1)¡ = V2 + ^ ——\2

de donde, la ecuación de la hipérbola equilátera es , Jf : x y = 1/2 □

( EJEM PLO 5 J Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son ^ : x = 1/2 y J2|: y = -3/2 , y que pasa por el punto P(1 , -4).

Solución. Como las asíntotas dadas son dos rectas perpendiculares, paralelas a los ejes coordenados, se trata de una hipérbola equilátera cuya ecuación,

según la fórmula (11) ó (12) es , .¡T : (2x - I) (2y + 3) = t (1)Luego , si P(1 , -4) e ^ (2 - l)(-8 + 3) = t <=> t = -5Por lo tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola es

(2x - l)(2y + 3) = -5 <=> : 2xy + 3x - y + 1 = 0 D

( EJEM PLO 6 ) Una hipérbola equilátera tiene como una de sus asíntotas a la recta ü?, : y - 4 = 0. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por

los puntos A(-1 , 2) y B(3 , -2).

Solución. Si una asíntota es !B : y - 4 = 0 , la otra asíntota tiene la forma :x - h = 0 ; entonces la ecuación de la hipérbola según las fórmulas (11)

ó (12) es, n : (x - h)(y - 4) = t (1)Si A(-l ,2) 6 1 c , (-1 - h)(2 - 4) = t <=> -2(-l - h) = t (2)

www.freelibros.com

Sección 9.4: Casos especiales de hipérbolas equiláteras 423

B(3 , -2) e X <=> (3 - h)(-2 - 4) = t <=> -6(3 - h) = t (3)Resolviendo (2) y (3) por simultáneas se tiene : h = 5 y t = 12 Luego, en (1), la ecuación de la hipérbola equilátera es

( x -5 ) (y -4 )= 12 » X : x y - 4 x - 5 y + 8 = 0 □

E J E M P L O 7 J Una hipérbola equilátera tiene una asíntota en S?: x - y + 1 = 0,la otra pasa por P(-1 , 4). Hallar su ecuación si uno de sus

"tices es V(4 , 2).

Solución. La ecuación de la otra asíntota es , : x + y + n = 0Si P(-l , 4) e => -1 + 4 + n = 0 <=> n = -3 ■=> 2? : x + y - 3 = 0

La ecuación de la hipérbola equilátera según las fórmulas (7) u (8) esX : (x - y + I) (x + y - 3) = t

Si V(4 , 2) e X •=> (4 - 2 + 1) (4 + 2 - 3) = t <=> t = 9Luego, la ecuación de la hipérbola es :

(x - y + 1) (x + y - 3) =9 <=> X : (x - l)2 - (y - 2)2 = 9 Q

( E J E M P L O 8 J Sea la hipérbola equilátera X : xy - 6x + 2y - 4 = ó tallar lascoordenadas del centro y la longitud de cada lado recto.

Solución. Reducimos la ecuación de X a cualquiera de las formas (11) o (12) del

modo siguiente :

y(x + 2) = 6x + 4 => y =x + 2

g

Efectuando la división se tiene : y = 6 -x + 2

■=} y - 6 = - ^ 2 : (x + 2) (y - 6) = - 8

Ahora, si comparamos con la fórmula (12) se deduce fácilmente que :h = -2 , k = 6 => C(-2 ,6) y a2 = 16 ■=> LR = 2a = 8 □

( E J E M P L O 9 J Dada la hipérbola X". xy = 4 , hallar sus elementos

Solución. Los ejes de la hipérbola son bisectrices de los ángulos formados por las asíntotas, en este caso, los ejes coordenados. Luego, la ecuación del

eje focal es, t : x - y = 0 y la del eje conjugado , ( ' : x + y = 0 Entonces :.//"{)( = V,(2 , 2) y V2(-2 , -2)

www.freelibros.com


2a = I V,V21 = V(2 + 2)} + (2 + 2): = 4V2 Por lo que :

a = b = 2dl y c = a\l2 ■=> c = 4 La directrices se determinan hallando las intersecciones de la circunferencia x2 + y2 = a2/c con el eje transverso, estoes :

(x2 + y2 = 2) D (x - y = 0) =d ,( i , i) y d 2(- i , - i)

Por estos puntos se trazan perpendicular res al eje transverso

: x + y - 2 = 0 y :x + y + 2 = 0 Los focos se hallan en las intersecciones de la circunferencia x2 + y2 = c2 con el ejjs transverso, o s e a :

f

r l K Y'

\ /N » ,7\

r

í

v V-A . / V

FIGURA 9.17

(x2 + y2 = 16) n (x - y = 0) = F (2V2 , 2^2) y F2(-2n/2 , -2V2) □

f T I H IPERBOLAS CONJUGADAS

Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra. Se dice entonces que cada hipérbola es conjugada con respecto de la otra.Si la ecuación de una hipérbola es

y2 = 1

y x2¿ r ; ^ = 1

a2

a ' b 2

entonces, según la definición

f b 2

es la hipérbola conjugada.Es evidente que la segunda ecuación se puede obtener de la primera ecuación cambiando los signos de los términos del primer miembro.Debe notarse que dos hipérbolas conjugadas son concéntricas , tienen en común un par de asíntotas y todos sus focos están en una circunferencia de radio r = c.

Y/

■Sí

T v

f &

<.J

F A l /

<

N . 1 / h i

\ ¡ V

F,

. _ JFIGURA 9.18

www.freelibros.com

Sección 9.5: Hipérbolas conjugadas 425

(E J E M P L O 1 0 ) Relaciones entre las excentricidades de dos hipérbolas conjugadas

Si las excentricidades de dos hipérbolas conjugadas son e y

c , , demostrar que : a) ez + e* = e! . e 2 , b) - i + - L = |

demostración. En efecto , por definición : e = y e = £b

e2 + e 2 = e2. e 2

b) Dividiendo entre e2. e 2 ambos miembros de fa expresión obtenida en (a) se tiene :

+ _ i l L = , ^ I + l = l □e2. e? e2. e,2 e2 - 2

(EJEMPLO 1 l ) Los vértices de una hipérbola son V,(6 , 2) y V2(2 , 2) y los focos de su hipérbola conjugada son Ft(4 , 2 + VTO) v F2(4 , 2 -

VlO). Hallar la ecuación de la primera hipérbola.

Solución. 2a = |v jV 21 c=>2a = | 6 - 2 | = 4 < = > a = 22c = I F^F21 .=> 2c = | (2 + VlO) - (2 - VIO) | = 2VT0 o c = VTu

La distancia focal es igual en ambas hipérbolas, luego s i : c2 = a2 + b2 => 10 = 4 + b2 b2 = 6

Si C(h , k) biseca al segmento V,V2, entonces : C(4 , 2)Por lo tanto, la ecuación de la primera hipérbola es

j r ; . b r w =1 □

¡EJEMPLO 12) sea C el centro de la circunferencia x2 + y2 - 12x + 12y + 12 = 0. Hallar la ecuación de la hipérbola y su conjugada cuyo

centro es C, y dos de los vértices opuestos del rectángulo fundamental son los interceptos de la circunferencia dada con la recta x - 2y - 8 = 0

Solución. Si cét\ (x - 6)2 + (y + 6)2 = 60 <=> C(6 , - 6)La recta : x - 2y - 8 = 0 es una asíntota de ambas hipérbolas, pues

contiene a una diagonal del rectángulo fundamental.=* ¿z¡n í?=p(4 + 4V2 , - 2 + 2V2) , q(4 - 4V2 , -2 - 2V2)

La ecuación de la recta que pasa por C y es perpendicular al diámetro PQ es :

www.freelibros.com


y + 6 = - 2(x - 6) o c£ : 2x + y - 6 = 0

■=* CJ! fl 'í\ = C,(4 , -2) (Centro de las hipérbolas)Ecuación de la otra asíntota ,

.2? : x + 2y + t = 0Si C, e J2? => 4 + 2(-2) + t = 0 c=> t = 0

.=> : x + 2y = 0En el rectángulo fundamental:2a = xp - x0 = (4 + 4V2) - (4 - 4V2) = 8V2

=* a =4^2 2b = yp - yy = (-2 + 2<2) - (-2 - 2<2) = 4 2

^ b = 2^2 FIGURA 9.19Por tanto, las ecuaciones de ambas hipérbolas son :

„ . (x - 4)2 (y + 2Y , w w . (y + 2)’- (x - 4)2j r . - g - - — g - = 1 y jt, . — g— - - 1


1. Una hipérbola equilátera tiene su centro en el origen y uno de sus focos es el punto F(V6 , 0). Hallar su ecuación. (Guía: Ejemplo 1).

2. Hallar la ecuación y la distancia focal de una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes coordenados y pasa por el punto P(-4 , 5).

3.

4.

5.

6.

Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera, cuyo foco es F(-2 , 2) y directriz asociada la recta £ : x - y + 2 = 0. (Guía: Ejemplo 4).

Si el área de la región sombreada (Figura Y4 9.20) es igual a 6 u2 y la curva es una rama de una hipérbola equilátera, hallar su ecuación. (Guía: Ejemplo 3).

Hallar la ecuación de una hipérbola equ ilátera que tiene como una de sus asíntotas la recta ,2? : 2x + 3 = 0 y que pasa por lospuntos A(-2 , 3) y B(1 , -3). (Guía: Ejemplo 6 ). FIGURA 9.20

Hallar la ecuación de una hipérbola cuyas asíntotas son paralelad a los ejes coordenados y que pasa por los puntos P(4 , 5 ) , Q(2 , 6 ) y R(-1', 0).

www.freelibros.com

Sección 9.6: Ecuación general de una hipérbola en posición ordinaria 427

7. Dada la hipérbola X : 2xy + x - 6 y - 1 1 = 0 , hallar las coordenadas del centro y la distancia focal.

8. Una hipérbola X tiene su centro en el punto C(1 , -3), un foco en F(1 , 0 ), y una de sus directrices pasa por el punto (0 , -2). Hallar la ecuación de la hipérbola conjugada de X.

9. Sea una hipérbola X con centro en C(2 , -3) y con eje transverso vertical de longitud 10 unidades. Si el segmento interceptado por las asíntotas sobre la directriz tiene una longitud igual a la distancia entre las directrices, hallar la ecuación de X y su conjugada.

10. Dada la hipérbola X : xy + 4 = 0, gráficar dicha ecuación, indicando su excentricidad y hallando las ecuaciones de sus directrices.

11. Sea & la elipse cuyos focos son los puntos F,(0 , 2) y F?(-6 , 2), y el área del rectángulo . cunscrito a S, cuyos lados son paralelos a los ejes focai y normal de & es 80u2. Sea X la hipérbola cuyas asíntotas son los ejes focal y normal de S , tal que el eje transverso de X tiene pendiente positiva y P(-7 , 0J e X. a) Hallar la ecuación de S y b) Halle las ecuaciones de las directrice íe X.

E C U A C IO N G E N E R A L DE UNA H IP E R B O L A EN PO SICIO N O RD INARIA

Una ecuación de segundo grado que carece del término xy, de la forma

que es la ecuación ordinaria de una hipérbola equivalente a las ecuaciones (3) y (4), dependiendo la forma del valor que asuma t . Entonces ocurre lo siguiente :a) Si t > 0 . la ecuación (a) representa una hipérbola con eje real o transverso coin

cidente o paralelo al eje X.b) Si t = 0 , la ecuación (a) representa dos rectas concurrentes.c) Si t < 0 , la ecuación (a) representa una hipérbola con eje real o transverso coin

cidente o paralelo al eje Y.

Ax2 - Cy2 + Dx + Ey + F = 0 puede escribirse equivalentemente como

(a)

J?4A 4C

(x + D/2A)2 (y - E/2C)2 _^ VA t í C ~ = '

www.freelibros.com


f EJEM PLO 1 ) Dadas las ecuaciones : a) 9x2 - 4y2 - 54x - 16y + 65 = 0b) 16x2 - 9y2 + 96x + 36y + 252 = 0

determinar si sus gráficas es una hipérbola o un par de rectas concurrentes; si es hipérbola, hacer la construcción correspondiente y halle sus elementos.

Solución. Reduciendo cada una de las ecuaciones a su forma canónica ordinaria

se tiene ;a) 9{x2 - 6x + 9) - 4(y2 + 4y + 4) = -65 + 81-16 9(x - 3)2 - 4(y + 2)2 = 0

como t = 0, la ecuación representa dos rectas concurrrente, esto es:

(y + 2)2 = - | ( x - 3)2 % : 3x - 2y - 13 = 0 ó : 3x + 2y - 5 = 0

b) 16(x2 + 6x + 9) - 9(y2 - 4y + 4) = -252 +144-36 ^ 16(x + 3)2 - 9{y - 2)2 = - 144

.=> ^ + ^ = i , de donde : a = 4 , b = 3 , h = -3 , k = 2 y c = 516 9

El lugar geométrico es una hipérbola de eje transverso paralelo al eje Y, cuyos elementos so n :

1. Centro : C(h , k) => C(-3 . 2)2. Vértices : V (h ,k ± a ) ■=> V (-3 ,2 ± 4 )3. Extremos del eje conjugado :

B(h ± b , k) => B(-3 ± 3 , 2)4. Focos : F(h , k± c) ■=> F(-3 , 2 ± 5)5.' Longitud de cada lado recto :

t r I D _ ^b2 _ ^V • LR - a~ - 2

6. Directrices : y = k ± -^ - = 2± ^^ 5

<=> ( l : 5y = 26 ó £1 : 5y = -6

7. Asíntotas : y - 2 = ± - j (x + 3)

< = > J^ :4 x -3 y+ 1 8 = 0 ó . * : 4 x + 3y + 6 = 0 CD

íY /

(

F, .

' //*

11

—v . ~ 7

1 \1 \1 \

b * y

1 /

B, f

i / \ o

v ------1,

J>-

F, 1>

FIGURA 9.21

( E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por directriz la recta : 2y - 5 = 0, foco en F,(-2 ,1 ) y que pasa por el punto A(1 , 5).

Solución. Para el punto A, por definición de cónica :

|ÁFI | = e |d (F 11¿1) | => V (-2 - l)2 + ( l -5 )2= J 2^ : 5.1 « e = 2 También, para un punto cualquiera P(x , y) de la curva :

I PF | =e\d{? , L) I =* V(x + 2)2 + (y - l ) 2 = 2 12y, - 5 1www.freelibros.com

Sección 9 .6 : Ecuación general de una hipérbola en posición ordinaria 429

de donde éff : x2 - 3y2+,4x + 18y - 20 = 0 □

( EJEM PLO 3 ] Hallar la ecuación de la conjugada de la hipérbola cuyo focoestá en F,(0 , 2), su directriz asociada : 3x + 4 = 0 y su

excentricidad e = 3/V5.

' olución. Por definición de cónica : IPF, I = e I d{P , |

^ Vx2 + (y - 2)2 = <=> y< : 4x2 - 5y2 + 24x +. 20y - 4 = 0

Heduciendo la ecuación de 3f a su forma ordinaria se tiene :

4(x2 + 6x + 9) - 5(y2 - 4y + 4) = 4 + 36 - 20 = 20

Por lo tanto, la conjugada de 3 ? es (y - 2)2 (x + 3)2

y . (x + 3)2 (y - 2)2 _ |

= 1 <=> : 5y2 - 4x2 - 20y - 24x - 36 = 0 □

( EJEMPLO 4 ) Gráficar la hipérbola : 9x2 - 4y2 - 72x + 8y + 176 0 y hallar el área del cuadrilátero cuyos vértices son !c~ os de la

hipérbola y los puntos de intersección de las asíntotas con el eje X .

Solución. Reduciendo la ecuación de :/r' a su forma ordinaria se tiene :

9(x2 - 8x + 16) - 4{y2 - 2y + 1) = - 176 + 144 - 4 = - 36

<=> (y * l)2 (x-4)2 = 19 4de donde : a = 3 , b = 2 , h = 4 , k = l y c = VÍ3 Coordenadas de los focos : F(h , k ± c)^ F (4 , I + VÍ3) y F,(4 , 1 - VÍ3)I ' • ' * 2Ecuaciones de las asíntotas(y • i )2 (x-4)2 = 0 c* (y - 1)2 = f ( x - 4 ) 2

« SBX: 3x - 2y - 10 = 0 ó Q : 3x + 2y - 14 = 0 Intersecciones de las asíntotas con el eje X :

x, = y y x2 = ~ ^ | ÁB I = x2 - x, = |

rYv

4

i

' \1 \ /

1 ik

\yi

-----

/

\ 1 yo

/

v

, y \z \

/SP . >x/ V

_____ XFIGURA 9.22

Por lo tanto, área del cuadrilátero (F,A F2B) = a(AAF,B) + a(AAF2B)

u2 □www.freelibros.com


1. Determinar si la gráfica de las ecuaciones dadas es una hipérbola o un par de rectas concurrentes. Si es una hipérbola construir su gráfica y hallar sus ele-

2. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene como una directriz la recta : 2x - 3 = 0, foco F,(3 , -1) y pasa por P(6 , 5).

3. Hallar la ecuación de la conjugada de la hipérbola cuyo foco es F(-2 , 1), su directriz asociada l : 2x + 3 = 0 y excentricidad e = 2/V3.

4. Hallar la ecuación de la cónica que tiene como directriz £ : 4x - 1 = 0 , foco asociado F(1 , 1) y que pasa por el punto P(0 , 1).

5. Para qué valores de m la ecuación :/< : 4x2 - 3my2 - 16x - 54y + m - 68 = 0 representa dos rectas concurrentes.

6. Hallar el valor de n de modo que la ecuación nx2 - 4y2 - 20x - 24y + 4 = 0 representa una hipérbola con eje transverso paralelo al eje X y de excentricidad

7. Hallar el valor de c, - e sabiendo que e es la excentricidad de la hipérbola : 9x2 - 16y2 - 18x - 96y - 279 = 0 , y e, es la excentricidad de su conjugada.

8. Dada la ecuación de la hipérbola M : 9x2 - 16y2 - 54x + 160y - 463 = 0, hallar la ecuación de su conjugada y verificar la propiedad : e2 . c,2 = e2 + e,2

9. Determinar los valores de n para que cada lado recto de la hipérbola x2 - 4y2 - 10x + 8ny - 55 = 0 , de eje focal paralelo al eje X , mida 2 unidades

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el foco de mayor abscisa de la hipérbola ,/r5:16x2 - 9y2 - 64x + 54y - 161 = 0 , y que con el eje transverso forme un ángulo de 120s.

0 2 1 ECUACION GENERAL DE UNA HIPERBOLA EN POSICION NO ORDINARIA

Una hipérbola está en posición no ordinaria cuando sus ejes transverso y conjugado son dos rectas oblicuas, entonces su ecuación toma la forma de la ecuación cuadrática.

mentos.

a) 9x2 -1 6 y 2 - 54x + 64y - 127 = 0

b) 9x2 - 4y2 -3 6 x - 16y + 20 = 0

c) x2 - 4y - 6 x - 16y + 9 = 0

d) 16x2-9 y ? + 3 2 x + 7 2 y - 7 0 4 = 0

c = 3/2.

www.freelibros.com

Sección 9.7: Ecuación general de una hipérbola en posición no ordinaria 431

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O donde A, B, C, D, E y F son constantes, con A, B y C no nulos.Las relaciones entre a , b y c en una hipérbola, asi como la definición de cónica y la definición clásica dadas para hallar su ecuación en posición ordinaria, son todas aplicables para este caso.

E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S _______________________________

( E J E M P L O 1 ) Dados los focos F,(1 , -2), F?(-2 , 1) y la longitud del eje transverso V2, hallar la ecuación y los elementos restantes de la

hipérbola.

Solución. Sea P(x , y) un punto cualquiera de la hipérbola, entonces por definición

I pfJ - 1 PF, I = 2a . .cuya forma analítica es:

V(x + 2)2 + (y - l)2 - V(x - I)2 + (y + 2)2 = V2 de donde se obtiene la ecuación de la hipérbola

X : 7xa - 18xy + 7y2 - 2x - 2y - 9 = 0cuyos elementos son :

1. Coordenadas del centro : C | *■) ■=> C ( - 1/2 , - 1/2)

2. Eje transverso : y + 2 = - y t y (x -1 ) <=» / : x + y + 1 = 0

3. Eje conjugado : y + 1/2 = l(x + 1/2) <=> / ’ : x - y = 0

2c = I F¡F21 = V(-2 - 1)2 + (1+ 2)2 = 3V2 => c = |V 2

4 Longitud del eje menor : b; = c2 - a2 = ^ - y = 4 2b = 4

5. Longitud de cada lado recto : LR = — = => LR = 8^2a V2/2

c Vyp?6. Excentricidad : e = — = — - ==> e = 3a V2/2

7. Distancia entre directrices : d = — = ^ d = —c 3/V2 3

8. Ecuaciones de las directrices :Las directrices son paralelas al eje conjugado, por lo que pertenecen a la familia

/ : x - y + k = 0 , y como d(c , ¿) = i - d o ' 1/2 +J :12 + k ^

<=> |k | = 1/3 o k = 1/3 ó k = - 1/3Por lo tanto, ambas ecuaciones son, : 3x - 3y - 1 = 0 ó ( 2 : 3x - 3y + 1 = 0 Q

www.freelibros.com


( E JE M P L c fc ) , Hallar la ecuación de lá Hipérbola equilátera que tiene un foco en F(-1 , 2) y directriz asociada, la recta £ : 2x + y - 5 = 0.

Solución. Como sabemos, una hipérbola equilátera tiene excentricidad constante : e = V2

Entonces, si P(x , y) es un punto genérico dé 1a curva, por definición de cónica, I PF I = e I d(P , í) | , que tiene la forma analítica:

V(x+ l )2+ ( y - 2 )2 = ~Slv5

<=>. Jé' 3x2 + 8xy t 3y’ . r 40x + 25 = 0 □

( EJEM PLO 3 ) Calcular las asíntotas y el centro de la hipérbolaJé : 4x2 t 4xy * 15y2 - 34x - 3y + 40 = 0

Solución. Usaremos el procedimiento empleado en el Capítulo 2 para calcular asíntotas oblicuas de una curva, esto es, forma buscada :

y = mx - b (1)Sustituyendo en la ecuación de Jé se tiene:

4x2 - 4x(mx + b) - 15(mx + b)2 - 34x - 3(mx + b) + 40 = 0 Efectuando y ordenando en potencias decrecientes de x obtenemos

(4 - 4m - I5m2)x2 - (4b + 30bm + 3m + 34)x - (15b + 3b - 40) = 0 (2)Para que (1) sea asíntota de Jé es necesario y suficiente que en (2) los coeficientes de x2 y de x sean nulos, es decir

4 - 4m - 15m2 = 0 y 4b + 30bm + 3m + 34 = 0y de estas ecuaciones resulta : mr = 2/5 , m2= - 2/3 , b, = - 11/5 y b, = 2Sustituyendo en (1 ) :

y = | x - -y ; y = - - |x + 2 <=> ¿5¡ : 2x - 5y - 11 =0 ó 22?: 2x + 3y - 6 = 0

son las asíntotas buscadas. Además , n 2% = C(63/16 , - 5/8) □

( EJEM PLO 4 J Las directrices de una hipérbola tienen como ecuacionesí 1: x + y - 5 = 0 , £ , : x + y + 5 = 0 respectivamente. Si uno de

los focos es F2(-4 , -3), hallar la ecuación de dicha hipérbola.

Solución. d{£, , / ) = â! = l i ± 5 j ^ ar _ 5 c' 2 c y¡2 <2

Ecuación del eje transverso que pasa por F2(-4 , - 3 ) :y + 3 = l ( x + 4) <=> ( : x - y + 1 = 0

El eje conjugado equidista de y /'2, esto es, pasa por el origen, entonces su

www.freelibros.com

Sección 9.7: Ecuación general de una hipérbola en posición no ordinaria 433

( EJEMPLO 5 j Los vértices de una hipérbola 7f están en los puntos V ,(2 , 5) y V2(0 , -1), y su excentricidad es e = 2. Hallar: a) la ecuación del

eje focal, b) las coordenadas de ios focos, c) las ecuaciones de las directrices y d) la ecuación de la hipérbola.

Solución. El centro C biseca al segmento V^V2 C(1 , 2)2a= |V /V 2l «=> 2a = V(2 - O)2 + (5 + l)2 = 2<Í0 ; c = ez o c =- ^VTo

a) El eje focal pasa por V, y V2, luego su ecuación es

y + 1 = (x - 0) <=> ( : 3x - y -1 = 0

b) Circunferencia de centro C( 1 , 2) y radio r = c = 2VT0 , <8: (x - 1 )2 + (y - 2)2 = 40c* V ñ t =F, {3,8) y F2(-l ,-4)

c) El eje conjugado pasa por C y es perpendicular al eje focal

<=> y - 2 = - -j(x - 1) « V : x + 3y - 7 = 0

Las directrices paralelas y equidistantes al eje conjugado pertenecen a la familiaf : x + 3y + k = 0

Luego , si d(E , t ) = --k, '■ — ~ y como \ d (tt , ¿2) ■ = - ^ L , entoncesVi + 9 L c 2V10

Lk_t 7 1 = - j L o | k + 7 l = 5 « k + 7 = - 5 ó k + 7 = 5 VlO VIO

<=> k, = -12 ó kj = - 2 Por tanto, las ecuaciones de las directrices son, x + 3y -12 = 0 , ( 2: x + 3y - 2 = 0

d) Con F2(-l . -4) , / : x + 3y • 2 = 0 y e = 2 , por definición de cónica :

|PF2| = e\ d (? .l1)\ V(x + l)2 + (y + 4)2 = 2( l x + ^ ' 21)

X : 3x-’ - !2xy - 13y2 + 18x + 64y + 77 = 0 □

ecuación esf : x + y = 0 En ( = C(-l/2 , 1/2)

Conocidos F2 y C es fácil determinar F,(3 , 4)2c = I FjF21 = V(3 + 4)2 + (4 + 3)2 = 7VJ => c = 7/V2

a = V3572<2> 2

Excentricidad de la hipérbola e = % = — 3 5

I ’or definición de cónica : I PF, I = e I V(P, £,) |

o 3x2 - 14xy + 3y2 + lOx - lOy + 75 = 0 tD

Luego, a2 =

FIGURA 9.23

www.freelibros.com



1. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene un foco en F(3 , -1) y cuya directriz asociada es t : 2x + y + 2 = 0 , si su excentricidad es 3/2.

2. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera que tiene un foco en F(7 , 0) y directriz asociada la recta í : x + 2y - 12 = 0

3. Calcular las asíntotas y el centro de la hipérbola

,'/( : 10x2 + 11 xy - 6y2 - 82x - 9y + 262 = 0

4. El punto P(1 , -2) está en una hipérbola, uno de cuyos focos es F(-2 , 2), y la directriz asociada es t : 2x - y - 1 = 0. Hallar la ecuación de dicha hipérbola.

5. Dada la ecuación de la hipérbola X : 2x2 + 7xy - 22y2 - 37x + 104y - 207 = 0 hallar las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas del centro, las ecuaciones del eje focal y conjugado, y la excentricidad (Sugerencia : Las bisectrices de los ángulos formados por las asíntotas son los ejes de la curva).

6. Dada la hipérbola X : 7x2 + 6xy - y2 + 28x + 12y + 36 = 0 , hallar su centro y su excentricidad.

7. Las directrices de una hipérbola tiene como ecuaciones : 2x + y - 4 = 0 y í 2 : 2x + y + 6 = 0 respectivamente. Si uno de sus focos es F,(2 , 5), hallar la ecuación de dicha hipérbola. (Guia: Ejemplo 4).

8. Los vértices de una hipérbola están en los puntos V,(4 , 3) y V2(-2 , 1) y su excentricidad es c = 3. Hallar: a) la ecuación del eje focal, b) las coordenadas de los focos, c) las ecuaciones de las directrices y d) la ecuación de la hipérbola. (G uía: Ejemplo 5)

9. Una cónica (elipse o hipérbola) tiene como a uno de sus focos al punto F(-5 , 0), su directriz asociada pasa por el origen de coordenadas y el vértice de dicha cónica correspondiente al otro foco es el punto V(- i/5 , 18/5). Hallar la excentricidad de la cónica, sus focos, vértices, centro, ecuaciones de sus directrices y su propia ecuación. Grafíquela indicando sus elementos.

10. Sea K una cónica de excentricidad 2, foco F,(3 , -1) y directriz asociada 7 ,: x + y - 1 = 0. a) Hallar la longitud del segmento que determinan los puntos de intersección de la cónica con el eje Y. b) Hallar el otro foco y la ecuación de la otra directriz.

www.freelibros.com

Sección 9.8: Tanyenus a Una hipérbola 435

C T 1 TANGENTES A UNA H IPERBOLA__________________________

Como la ecuación de una hipérbola es de segundo grado, sus tangentes pueden obtenerse empleando la condición de tangencia ( método optativo) o el método empleado para hallar la ecuación de le tangente una elipse (tangentes en el Ori

on).

Consideremos los tres problemas de tangencia estudiadas para la parábola esto es :

1. Tangentes en un punto de contacto2. Tangentes de pendiente conocida3. Tangentes trazadas desde un punto exterior

Las demostraciones de los teoremas se deja como ejercicio para el lector toda vez que los pasos a seguir son muy similares en la elipse y en la hipérbola.

TEOREMA 9.1 Ecuación de la tangente en un punto de contado

La ecuación de la tangente a la hipérbola b2x2 - a2y2 = a2b2

en cualquier punto P0(x0 , y0) de la curva es

¥ - ¥ =1 (13)

I Nota. Análogamente , para las otras tormas típicas de la hipérbola se tiene

Hipérbola Tangente

v2 y2 y„y x„x(14)

_ ( x - h ) 2 ( y - k)2 , w (x0- h ) (x -h ) (y0-k ) ( y -k ) b ^ = I * i? {15)

w . (y - ky (x - h)2 , „ . (y0 - k)(x - k) (x0 - h)(x - h)* * ----------- P ~ = l F ---------------- v (16)

: A x2 - Cy! + Dx + Ey + F = 0 i ? : Ax0x : Cy„y + ^ (x„ + x ) + ^ ( y „ + y ) + F = 0 (17)

TEOREMA 9.2 Ecuaciones de las tangentes de pendiente conocida_______Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola

ye: b2x2 - a2y2 = a2b2de pendiente m , son :

y = m x ± V a2m 2 - b2 (18)

www.freelibros.com

436 Capítulo 9; La hipérbola

I Nota. Para las otras formas típicas de la hipérbola se tiene

Hipérbola Tangente

a2 b22‘ : y = mx ± ''/a2 - b2m! (19)

w . (x - h)2 _ (y • k)2a2 b2

y : y - k = m(x - h) ± Va2m2 - b2 (20)

y . (y - k)2 _ (k - h)2a2 b2

c/ ‘ : y - k = m(x - h) ± Va2 - b2m2 (21)

TERCER PROBLEMA Tangentes a una hipérbola desde un punto exterior

te por el método optativo (discriminante). El siguiente ejemplo muestra el procedimiento a seguir.

E J E M P L O . Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola X : 3x2 - 2y2 = 30 , trazadas desde el punto P(1 , -3).

Solución. Obsérvese que P « J f, entonces las ecuaciones de las tangentes que

Sustituyendo en la ecuación de la hipérbola se tiene :3x2 - 2(mx - m - 3)2 = 30 « (3 - 2m2)x2 + 4m(m + 3)x - 2(m2 + 6m + 24) = 0

La condición de tangencia establece que el discriminante de esta ecuación cuadrática debe ser cero, esto es :16m2(m + 3)2 -4(3 - 2m2)(-2)(m2 + 6m + 24) = 0 => 3m2 -2m-8 = 0 m = 2 ó m = -4/3 Por lo tanto , en (1), las ecuaciones de las tangentes buscadas son

El problema se resuelve hallando la pendiente de la tangen-

pasan por P son : y + 3 = m(x - 1) => y = mx - m - 3 (1)

.2? : 2x - y - 5 = 0 ó : 4x + 3y + 5 = 0 □


( E J E M P L O 1 ) Hallar la ecuación de la tangente y normal a la hipérbola yf : x2 - 3y2 = 9 en el punto T(-6 , 3).

Solución. Si . » : y - y = l => a2 = 9 y b2 = 3 y si T(-6 ,3) ■=> x0 = - 6 , y0 = 3

Como T e .'/(\ por la fórmula (13), la ecuación de la tangente es

Ecuación de la normal* y - 3 = ~ (x + 6) : 3x - 2y + 24 = 0 □www.freelibros.com

Sección 9.S: Tangentes a una hipérbola 437

( E J E M P L O 2 ) Hallar la ecuación de la tangente y normal a la hipérbola 7 /:3x2 - y2 - 12x + 2y = 0 en el punto T(4 , 2).(x - 2Y (v - l)2

Solución. Si r/r: - [ = 1 «=» a2 = 11/3 . b- = 11 , h = 2 y k = 1

Como T e ,//=> x0 = 4 , y0=2 , luego, por la fórmula (15), la ecuación(x -h ) (x -h ) (y - k)(y - k)

de la tangente es : —2 — — ------- = I^ a2 b2

(4 ~ 2)(x - 2) . (2 - l )(y ~ ^ 4 : 6 x . y . 2 = 011/3 11 T 1

Ecuación de la normal: y - 2 = - i ( x - 4) <=> á?N : x + 6y - 16 = 0 □

( EJEMPLO 3 ) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola : x2 - 4y2 = 20 que son perpendiculares a la recta : 4x + 3y - 7 = 0

Solución. Si X ". ^ - y = 1 =* a2 = 20 y b2 = 5 , y de , m1 = - 4/3

Las ecuaciones de las tangentes, de pendiente m = 3/4, segó el teore

ma 9. 2, son : y = mx ± Aa2m2 - b2 => y = x ± V20(9/16) - 5

<=>= .2? : 3 x -4y + 10 = 0 ó ii?2: 3 x -4y - 10 = 0 □

(E JE M P LO 4 ^ Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes coordenados y es tangente a la recta & : 2x - y +

1 =0Solución. La ecuación de la hipérbola equilátera tiene la forma, ^ : xy = k (1)

S i . S ? : 2 x - y + l = 0 < = > y = 2 x + l Sustituyendo en la ecuación (1) se tiene : x(2x + l) = k » 2x2+ x - k = 0Por condición de tangencia : ( l)2 - 4(2)(-k) = 0 « k = - 1/8 Por tanto, en (1 ) : xy = - 1/8 <=> X : 8xy + 1 = 0 CU

( EJEMPLO 5 ) Hallar el valor de k de modo que la recta 4? : x - 2y + k = 0 seatangente a la hipérbola :/t : 2xy - x + 1 = 0

Solución. De la familia de rectas 9‘ : x - 2y + k = 0, despejamos : y = -i(x + k)Combinándola con la ecuación de la hipérbola se tiene :

x(x + k) - x + 1 = 0 <=> x2 + (k - 1 )x + I = 0 Por condición de tangencia : (k - l)2 - 4(1)(1) = 0

■=> ( k - ] ) 2 = 4 <=> k = - l ó k = 3 □

www.freelibros.com

438 Capítulo 9; La hipérbola

{ E J E M P L O 6 j Hallar en la hipérbola :/< : 9x2 - 12y2 = 216 el punto M más próximo a la recta 4?: 3x + 2y + 1 = o, y calcular la distancia d

del punto M a la recta.

Solución. Si ¿ r: 24r18

1 a2 = 24 , b2 = 18

Está claro que el punto de contacto de la tangente paralela a la recta 4? dada es el punto buscado. Luego, si las ecuaciones de las tangentes de pendiente m = -3/2 son :

y = - | x ± V(24)(-3/2)2 - 18 = - | x ± 6

o 3x + 2y ± 12 = 0

entonces la tangente más próxima a c£ es 3>! :3x + 2 y + 12 = 0

A

K /V

-o

>v

FIGURA 9.24

d{M , X ) = d(&, ^ ) = 1 2 - 1 1

V9 + 4n V ñ

13□

( E J E M P L O 7 ) La tangente en el punto T ( r , s) a una hipérbola es cortada por las dos asíntotas. Demostrar que

a) T ( r , s) es el punto medio de este segmento de la tangenteb) El área del triángulo formado por este segmento de la tangente con las asíntotas

es una constante independiente de T ( r , s)

Demostración, a) Sea la hipérbola

;/t‘ : — - i— = i a2 b2

cuya tangente en T ( r , s) tiene por ecuación . rx . f y = -' a2 b2

Las ecuaciones de las asíntotas de ¿r son

<Z¡ :y = | x y ,2?: y = - | x

>=>

a2 b br - as a2 b

'br+as

Luego , x, + x2 = a2b(

{

n ^ = p ,(-¡

# n * 5 = p,(;

a b2 \ br - as/

ab2br + as‘

1)~ a b (b2r2 - a2s2)br - as br + as* (1)

www.freelibros.com

Sección 9.8: Tangentes a una hipérbola 439

Como T ( r , s) e ,X ■=> b2r2 - a2s2 = a2b2

/ ? h r \Entonces en (1) x, + x2 = a2b ( - ^ y <=> — - = r

Análogamente, para las ordenadas de P, y P2 se tiene :

Por consiguiente , T es punto medio del segmento P,P,.

b) Por la fórmula del área del triángulo se tiene :

y. + y?

a(AOP2P,) = -

Oa2b

br + asa b

'or - as O

Oa b2

br + asa b2

br - as O

12 a b I

a(AOP P-) = ab , es independiente de r y s. □


En los ejercicios 1 - 4 se da la ecuación de una hipérbola y>

tangencia T. Hallar la ecuación de la tangente y normal en T.nto de

1. ye : 2x2 - 5y2 = 30 , T(5 ,-2 )

2 . ye : 2xy - x + 1 = 0 , T(-1 , 1)

3. ,77 : 2x2 - xy + y = 1 , T ( 2 , 7 )

4. yr : 3x2 - y2 - 12x + 2y = 0 , T(4 , 2)

En los ejercicios 5 - 8, hallar la ecuación de la hipérbola ye que es paralela a la recta <£ dada.

5. .77: 7ya - 4x2 = 28 , J5?: 2y - x + 4 = 0 7. ye\ x! - 4y2 = 9 , <B\ 5x - 8y = 32

6. y r \ 2x2 -7y2 = 35 , 2x + 3y - 8 = 0 8. .77 : 3x2 - 5y2 = 30 , x + y + 7 = 0

En los ejercicios 9 -12 , se da la hipérbola ,77 y un punto exterior P , hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde P.

9. y e ; 3x2 - 4y2 = 12 , P(6 , 5) 11. 12x2 - 5y2 = 28 , P(7/3 , 14/5)

10. y f : 4xJ - 5y2 = 64 , P(1 , -2) 12. 3x2 - 2y2 = 30 , P(1 . -3)

13. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola ye : 2x2 - 3y2 = 6 cuyos interceptos con el eje X valen 1.

14. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola ,yr:\2- 2y2 + 4x - 8y - 6 = 0 que son perpendiculares a la recta : x + y = 0

www.freelibros.com


15. Hallar el valor de k, de modo que la recta X : 2x - y + k = 0 sea tangente a la hipérbola X : 3x2 - 2y2 = 30

16. Hallar los valores de k , de modo que la recta SI : x - 3y + k = 0 sea tangente a la hipérbola X : 3xy - x + 6y + 7 = 0

17. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes coordenados y es tangente a la recta i? : x + 2y + 4 = 0

18. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera con centro en el origen y eje transverso sobre el eje X , y que es tangente a la recta X : 2x - y - 6 = 0

19. Se da la hipérbola , / r : b2x2 - a2y2 = a2b2 y una tangente cualquiera de ella ; P es el punto de intersección de la tangente y el eje X; Q es la proyección del punto de contacto sobre el mismo eje. demostrar que : OP . OQ = a2

20. Sea la hipérbola 7C : 16x2 - 9y2 = 144. Si por N(0 , 3) se traza una recta X perpendicular a NF2 , siendo F2 el foco izquierdo de X.

a) Mostrar que el punto X f| eje focal pertenece a la directriz correspondiente al foco F,.

b) Probar que X es tangente a la hipérbola y hallar el punto de contacto.

F T i CUERDA DE CONTACTO

Si desde un punto exterior P0 se trazan tangentes a una hipérbola, el segmento de recta que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto de P0 para esa hipérbola.Luego, si Po(x0 , y0) es un punto exterior a la hipérbola

xX : - £ = 1a2 b2la ecuación de la cuerda de contacto TS para la hipérbola X , está dada por

x«.x y«y* '■ i r ' i f = 1 (22)

El procedimiento para demostrar esta ecuación es muy similar al de la elipse, por lo que queda como ejercicio para el lector.

rYA

K

k ^

IN

o

FIGURA 9.26Nota. Para las otras formas típicas de la hipérbola, las ecuaciones de las cuerdas de contac

to son :

www.freelibros.com

Sección 9.10: Diámetro de mui hipérbola 441

Hipérbolas Cuerdas de contacto

yJ x2 _ , „ . y„y . xnxb2 a’ b

(23)

y( . (X - h)2 _ (y - k)2 = 1 (x„ - h)(x • h) _ (y„ • k)(y - k) = ja2 b2 a2 b2

* . (y - k)2 _ (X - h)’ = 1 s, ' (y„ - k)(y - k) ( X 0 - h)(x - h) = 1a2 b2 ’ a2 b2

ÊJEM PLO 1 ) Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto P0(-1 , 4) para la hipérbola ,Yf : 3x2 - 2y2 = 12

Solución. Si : - j- - = 1 ■=> a2= 4 y b2 = 6 , y si P0(-l ,4) =* x0 = -I y y0 = 4

Haciendo uso de la fórmula (22), la ecuación de la cuerda de contacto

es: = 1 » j ^ : 3 x + 8y+ 12 = 0 □

( EJEM PLO 2 j Desde el punto P0(-2 ,3) se ha trazado tangente 'o hipérbola .X : 4x2 - 3y2 + 24x + 12y + 36 = 0. Hallar la distancia del punto

P0 a la cuerda de la hipérbola que une los puntos de contacto, fv - 2)2 fx + 3)2

Solución. Si ,Yf : - - - --- = 1 => a2 = 4 , b 2 = 3 , h = - 3 y k = 24 3 ’

y si P0(-2 ,3) =* x0 = -2 , y0 = 3

Por la fórmula (25), la ecuación de la cuerda de contacto es (3 - 2)(y - 2) (-2 + 3)(x + 3)

4 3 = 1 <=> 3’ : 4x - 3y + 30 = 0

PQ,tanto: ^ □V Í6T 9 5

CTT1 DIAM ETRO DE UNA HIPERBO LA __

Se denomina diámetro de una hipérbola al lugar geométrico de los puntos medios de cualquier sistema de cuerdas paralelas.

Para determinar su ecuación consideremos la hipérbola

1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico.

www.freelibros.com


2. Sean P^x, , y,) y P,(x2 , y,) los extremos de una cuerda.Como P biseca al segmento P~P2 , entonces :

x, + x, = 2x y y, + y2 = 2y3. Si P, e '>< *=> b2x,2 - a2y,2 = a2 b-’

P, e .» ==> b2x,2 - a2y,2 = a2 b2 Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se tiene :b2(x, + x,)(x, - x2) - a2(y. + y2)(y, - y,) = 0^ b2(2x)(x, - x,) - a2(2y)(y, - y,) = 0

b2x a2 y

y. -y 2

y - y,de aquí resulta : —1—~

I ’ 2

rY>

/ h

- J

v

p \

J

Como m, =

FIGURA 9.27

(pendiente del sistema de cuerdas paralelas)

=» ¿ : y = ( —— )x , m ^ O \a2m/ (26)

Obsérvese que el lugar geométrico es una línea recta que pasa por el origen, o sea por el centro de la hipérbola; su ecuación es por lo tanto, la ecuación del diámetro de la hipérbola X.Análogamente, para las otras formas típicas de la hipérbola tenemos

Hipérbolas

Yr x,X : i - - i = i a- b*

. (x - h)2 (y - k)2' a2 b2

(y - k)2 (x - h)2

Diámetros

( : y = x tb2m /

X ;a- b2

£ : y - k = ( ¿ ) ( x - h )

' : y - H b l r ) ( x - h)

(27)

(28)

(29)

( E J E M P L O 3 j Dada la hipérbola X : 4x2 - 5y2 = 20 , hallar la ecuación del diámetro que pasa por la mitad de la cuerda que intercepta en

la recta L t : 2x - y + 3 = 0x2 y2Solución. Si X : - y =1 a2 = 5 y b = 4 , y de & , m, = 2 (pendiente del

sistema de cuerdas paralelas).Luego, haciendo uso de la fórmula (26), la ecuación del diámetro de .'/( es

y ( : 2x - 5y = 0 CU

www.freelibros.com

Sección 9.10.1: Diámetros conjugados 443

( EJEMPLO 4 ) Dada la hipérbola >< ; 9x2 - y2 - 36x + 2y + 8 = 0 , hallar la ecuación de la cuerda cuyo punto medio es P(4 , 3).

( x - 2)2 (y - 1 ); ,Solución. Si .Vf \ a2 = 3 , b2 = 27 , h = 2 y k = 13 27La ecuación del diámetro , según la fórmula (28) es

Si P(4 , 3) e (. ■=> 3 - 1 = ^ (4 - 2) <=> m, = 9 , donde m, es la pendiente del sistema

de cuerdas paralelas. Luego, la ecuación de la cuerda que pasa por P es y - 3 = 9(x - 4) « á? : 9x - y - 33 = 0 □

Q 5 E D DIAMETROS CONJUGADOS

Si dos diámetros son tales que cada uno de ellos biseca a las cuerdas paralelas del otro, se les llama diámetros conjugados.

En la hipérbola .Tf2 ; - ~ = 1

la ecuación del diámetro que biseca a las cuerdas de pendiente m es

* : y = ( J l L ) x>a2m /'a 2m,'Entonces, la ecuación de su conjugada es

:y = m,xSi m es la pendiente del diámetro i

<=> m = <=> m . m =

es la condición para que dos diámetros sean conjugados.

*_a2 b2

a2m . m, = v

y x2Si la hipérbola es de la forma JT : - iL. =r»2 * , se debe verificar que

( EJEM PLO 5 ) Dada la hipérbola Jó : 25x2 - 16y2 = 400 y el diámetro ( : x - 3y = 0, hallar la ecuación del diámetro conjugado.2 y 2

- 25 = 1 => a2 = 16 y b2 = 25 , y de í , m = 1/3Solución. Si .X : ~ -

www.freelibros.com


De la condición , m.. m,= ^ , se tiene : (4) m, = r r m, = t t1 a2 '3 ' 1 16 1 16

Luego , la ecuación del conjugado es, y =(-^|) x : 75x - 16y = 0 □

E J E M P L O 6 ) Demostrar que en una hipérbola, la tangente trazada por el extremo de una diámetro es paralela al conjugado de éste.

v2 y2Demostración. En efecto, sea la hipérbola :/r : — - — = 1 y T(x0 , y ) el punto

bde tangencia, extremo de un diámetro.

Por el Teorema 9.1 , la ecuación de la tangente en T es

a2 b2 ' a2 y,y según la fórmula (26), la ecuación de un diámetro de la hipérbola es

í : y - ( - £ - ) xJ 'a 2m /

S r T ^ . y J e t y0= ( ^ - ) x 0 o m, = (2)

donde m, es la pendiente del diámetro conjugado ( tPor lo tanto, de (1) y (2) se sigue que : 2 II l t. □

( E J E M P L O 7 ) Dada la hipérbola JT : 4x2 - y2 = 20 y el punto T(3 , 4), hallar la ecuación del diámetro que pasa por T, la de su conjugado y las

coordenadas de los extremos del conjugado.

y2Solución. Si 7C\ — - — = 1 a2 = 5 y b 2 = 205 20 / b2 \La ecuación del diámetro de la hipérbola es l : y

S ¡T (3 ,4 )e t ^ 4= (g^¡-)(3) « m, = 3

h2 20 4De la condición : m . m. = ■=> 3m= — « m = —1 a2 5 3

Luego , la ecuación del diámetro es , y = y x <=> t : 4x - 3y = 0

y la del conjugado , y = 3x « i t : 3x - y = 0Los extremos del diámetro conjugado se obtienen resolviendo el sistema

(3x - y = 0) IT (4x2 - y2 = 20) = D,(2 , 6) y D2(-2 , -6) □

www.freelibros.com

Sección 9.11: Propiedades de la hipérbola 445

1. Desde el punto P(1 , -10) se han trazado tangentes a la hipérbola » : 4x2 - y2 = 32. Hallar la ecuación de la cuerda que une los puntos de contacto.

2. Desde el punto P(1 , -5) se han trazado tánge les a la hipérbola ,7( : 5x2 - 3y2 =15. Hallar la distancia del punto P a la cuerda de ia hipérbola que une los puntos de contacto.

3. Dada la hipérbola ,7( : 4x2 - 3y2 = 36 , hallar la ecuación de la cuerda cuyo punto medio es M(4 , 2).

4. Dada la hipérbola : 7x2 - 3y2 = 21 , hallar la ecuación de la cuerda que pasa por el punto A(3 , -1) y se divide en él por la mitad.

5. Hallar las ecuaciones de dos diámetros conjugados de la hipérbola JC : x2 - 4y2 = 4, si uno de ellos pasa por el punto A(8 ,1).

6. Hallar las ecuaciones de dos diámetros conjugados de la hipérbola rr : 3x2 - 2y2 = 12 que forman un ángulo de 45®.

7. Desde el punto P(3 , 1) se han trazado tangentes a la hipérbola n >x2 - 4y2 - 20x - 16y - 16 = 0. Hallar la distancia del origen a la cuerda de la hij. ¡rbola que une los puntos de contacto.

8. Dada la hipérbola : 4x2 - 9y2 + 24x + 18y + 63 = 0, hallar la ecuación de la cuerda cuyo punto medio es M(-4 , 5).

9. Dada la hipérbola M : 16x2 - 9y2 - 64x - 54y -161 = 0 y el punto P(-4 , 1), hallar la ecuación del diámetro que pasa por P, la de su conjugado y el área del triángulo formado por estos diámetros y el eje Y.

10. Sea la hipérbola Jf : 16x2 - 9y2 - 64x - 18y + 199 = 0 y el punto P(3 , 7). Hallar la ecuación del diámetro que pasa por P, la de su conjugado y el área del triángulo formado por estos diámetros y el eje X.

r m PROPIEDADES DE LA H IPERBO LA

Propiedad reflectora de la hipérbola

La recta tangente 3í a una hipérbola en un punto T forma ángulos iguales con los radios focales en este punto. En la Figura 9.29, esto significa que a = |3.

www.freelibros.com


La demostración de esta propiedad tiene la misma forma que la elipse. Queda como ejercicio para el lector.

( P.2) Propiedad de la normal a una hipérbola

La normal a una hipérbola en un punto T de la misma es bisectriz del ángulo fórmado por uno de los radios focales que corresponde al punto T y la prolongación del otro. (Figura 9.30).También la demostración de esta propiedad tiene la misma forma dé la elipse, por lo que se deja como ejercicio para el lector.


Una aplicación de la propiedad de reflexión es la siguiente, considérese un espeja comía forma de una rama hiperbólica con su superficie exterior reflexiva. Entóncesr urvrayo luminoso que llegue dirigido hacia un foco (F,) se reflejará hacia el otro (F,), como se muestra en la Figura 9.31. La Figura 9.32 indica el diseño de un telescopio- reflector que aprovecha las propiedades reflexivas de la parábola y la hipérbola. Los rayos luminosos que llegan paralelos se reflejan primero en la parábola hacia su fóco en F. Después, son interceptados por un espejo hiperbólico auxiliar, con focos, en E y F, y reflejados hacia el ocular colocado en E.

www.freelibros.com

Sección 9. I I : Propiedades de la hipérbola 447

( P-3^ Propiedad de la tangente y el semieje normal o conjugado

El producto de las distancias de los focos de una elipse a una tangente cualquiera a la curva, es constante e igual al cuadrado del semieje normal.

Demostración. Sea la hipérbola

Yr : b2x 2 - a2y2 = a’b ’ cuyos focos son F,(c , 0) y F,(- c , 0)Tesis. Probaremos que : d. . <7, = b2

En efecto, la ecuación de la tangente 7t,

de pendiente m , según la fórmula (18) es : y = mx + \'a2m2 - b2 o 5?: mx - y + v'a-’m2 - b2

En la Figura 9.33 se observa que

dt = - d (F, , SF) = -

d, = + d( F , , íf j =

Luego : r/, . d, = ■

me + v'a2m2 - b2

Vm2 + 1

-me + va2m2 - b2

vm 2 + I

(a2m2 - b2) - (me) 2 m ’(c2 - a2) + b2 b2(m2+ l )n r + m- +

d, ,d , = b2

mj +

□

( P.4) Propiedad de la construcción geométrica de la tangente a la hipérbola, dado el punto T(xu , y„) de la curva (Figura 9.34).

Proyéctese T sobre el eje transverso (en este caso el eje X). Desde Q, proyección de T, trácese una tangente a la circunferencia de centro C y radio a.Sea S la proyección de P sobre el eje transverso.Unase T con S y se tendrá la tangente pedida.

Demostración. Sea la hipérbola de ecuación

X : b2x 2 - a2y2 = a-’b2

y sean (x, , y,) las coordenadas del punto P.Probaremos que : abscisa de P = abscisa de S.En efecto, la ecuación de la tangente es T(x0 , y0) es

¿P: b-’x0x - a2y0y = a2b2

Para y = 0 , se tiene : b2x0x = a2b-’ <=> x = (abscisa de S) (1)0

Sea ahora (x, , y,) las coordenadas del punto P.La ecuación de la tangente a la circunferencia en P es

www.freelibros.com


: x,x + y,y = a-Como la tangente pasa por Q(x0 , 0) ■=> x,x0 = a2 x = (2)

Por tanto, (2 ) es igual a (1), esto es : x, = x l_ l

( P.s) Propiedad de las asíntotas de una hipérbola

El producto de las distancias de un punto cualquiera de una hipérbola a sus asíntotas es constante.

Demostración. En efecto, sea la hipérbola : b V - a2y2 = a2b2

o : (bx - ay)(bx + ay) = a2b2

Si (bx - ay)(bx + ay) = 0 <=> S\ : bx - ay = 0 ó .2? : bx - ay = 0

son las asíntotas de la hipérbolaLuego , si P(x , y) es un punto cualquiera de la hipérbola , entonces

'¡b rT a i 2 Vb2 + a2

I b2x2- azy21

2 b2 + a2 c2y , por lo tanto : d (P , % ) . d (P , & ) = 'r ~ = = k (constante) □

( P.6) Propiedad de los focos y las asíntotas de una hipérbola

La distancia de un foco de una hipérbola a una de sus asíntotas es igual a la longitud del semieje conjugado.

Demostración. Efectivamente, sea la hipérbola : b2x 2 - a2y2 = a2b2

cuyas asíntotas son , : bx - ay = 0 y JZ? : bx + ay = 0 , y focoderecho , F,(c , 0). Entonces :

( P.7 j Propiedad intrínseca de la hipérbolav2 V2

La ecuación SL. . ± - = \ representa la propiedad intrínseca :a- b-

F ‘ F * ' ">en donde x’ e y ’ son las distancias dirigidas de las prolongaciones de los ejes conjugados y transverso, a un punto P de la hipérbola, respectivamente. Es decir, como

www.freelibros.com


en la parábola y elipse, la propiedad intrínseca de la hipérbola describe su forma sin referirse al sistema de ejes coordenados.Si í : Mx + Ny + R = 0 y : Nx - My + Q = 0 son las ecuaciones del eje transverso y conjugado , respectivamente, entonces :

, _ Nx - My +■ Q , _ Mx + Ny + R X " ± VN2 + M2 ’ y ~ ± VM2 + N2

Sustituyendo en (1) obtenemos la ecuación de la

hipérbola en el sistema XY

(Nx - My + Q ) 2 (Mx + Ny + R)2

a2(M2 + N2) b2(M2 + N2)

FIGURA 9.35

= 1


(~ E J E M P L O 1 ) H allar la ecuación de la h ipérbola con centro un el origen, que pasa por el punto P(-3 , 2) y una de sus asínto tas es

JZ? : 2V3x - 5y = 0

S oluc ión . La ecuación de la otra asíntota .2¡, es la conjugada de luego, si

SBt : 2V3x - 5y = 0 o : 2V3x + 5y = 0 Por la propiedad P.5 :

JY = {(x , y) I (2V3x - 5y)(2V3x + 5y) = k} <=> : I2x2 - 25y2 = k (1)Como P(-3 , 2) e JT ■=> 12(-3) 2 - 25(2)2 = k <=> k = 8Por lo tanto, en (1), la ecuación de la hipérbola es , W : 12x2 - 25y2 = 8 Q

( EJEMPLO 2 ) El centro C, un foco F y un punto P de una de las asíntotas dela hipérbola ,/Y : 3x2 - y2 = 12 son los vértices de un triángulo

recto en P. Hallar su área.

Solución. Si JY : ^ = 1 a = 2 y b = 2^3

c2 = a2 + b2 ■=> c2 = 4 + 12= 16 ■=> c = 4 En el ACPF : I CF I = c = 4

I FP I = d (F , á?) = b (Propiedad P.6)Luego, por Pitágoras : I CF |2 = I CP 12 + I FP 12

■=» (4)2 = I CP 12 + (2V3) 2 <=> I CP I = 2 FIGURA 9.36

( Y>

v/f v ..C "

J

www.freelibros.com

Capítulo 9 La hipérbola

a(ACPF) = y ( I CP I ) ( I PF I ) = ^(2)(2^3) = 2& u2 □

C E J E M P L O 3 ) Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola son .5? : 2x - y = 0 y SB2 : 2x + y - 8 = 0. Hallar su ecuación si un foco es

F (2 , 5).

Solución. El centro C(h , k) e f \ 3L) ■=> C(2 , 4)

El eje focal es una línea vertical, por lo que la ecuación de la hipérbola

tiene la forma , ^ ■ 2— = 1 (1)a b3

C = |FC | = | 5 - 4 | = 1 y b = r/(F , SB.) = = - L (Propiedad P.6 )\'4 + 1 N3

Si c2 = a2 + b2 ■=> 1 = a- + 1/5 <=> a3 = 4/55 (y . 4)2 5(x - 2) ’ r—,

Luego, en (1), la ecuación de la hipérbola es , ^— - j— = 1 Q

( EJEM PLO 4 ^ Los focos de una hipérbola son los puntos F t(1 ,1 ) y F2(-5 , 1)y la ecuación de una tangente es SB : 3x + 2y = 0. Hallar la

ecuación de la hipérbola.

Solución. Como el eje focal es horizontal, la ecuación de la hipérbola tiene la

forma ^ ^ = , (1)a2 t r

Por la propiedad P.3 : b2 = d (F , , t ) . ¿ (F ,, % ) b3 = ' 2 + 2J . = 5V9 +. 4 \9 + 4

2c = IF jF21 = | l -(-5)1 = 6 ■=> c = 3 ; cJ = a2 + b2 •=> 9 = a 2+ 5 <=> a2 = 4

El centro C(h , k) biseca al segmento F,F? ■=* C (-2 , 1).

Por tanto, en (1), la ecuación buscada es , 7C\ ^ ^ ^ = 1 Q

( EJEM PLO 5 ) Una hipérbola pasa por el punto A (>/6 , 3) y es tangente a la recta SB : 9x + 2y -15 = 0. Hallar la ecuación de la hipérbola si

sus ejes coinciden con los ejes coordenados.y.}So luc ión. Consideremos la hipérbola , - i r - ¿y = I (1)a- b2

Si F,(c , 0) y F,(-c , 0) son las coordenadas de sus focos , entonces ,

d (F. , ¡k) = - - - - - , d (F , , 3?) = - 15 = y por |a propiedad P.3' v'sTTl - VgT+4 M5

www.freelibros.com

Sección 9.1!: Propiedades de la hipéiv,>ía 451

b2 = d (F, , 2 ) . d(F , , 2 ) ■=> b1 = 81 Cg ' 225 = 8Ü a?_+ 225oj 85de donde obtenemos la ecuación : 8 la 2 - 4b2 = 225 (2)

Si A (V6 , 3) e X => 4 - 2 = 1 « 6b2 - 9a2 = a2 b2 (3)a- b

De (2) y (3), por simultáneas , se tiene : a2 = 5 ó a2 =10/3

b2 = 45 ó b2 = 45/4Por lo tanto, en (1), tenemos dos soluciones

t í . y l = i ó □1 5 45 2 10 45

C E JE M P LO eQ Sean 2 X y 5| las asíntotas de una hipérbola X , cuyo eje focal es paralelo al eje Y, donde, : 3x - 4y + 1 = 0 , % pasa por

el punto P (-3 , v A ( 0 , 7/4) e .//. a) Hallar la ecuación de S ' . b) Hallar la ecuaciónde X. c) Hallar la ecuación de la hipérbola conjugada de X:

Solución. Si 2 y: 3x - 4y + l = 0, la otra asíntota tiene por ecuación 2?: 3x + 4y + / = 0

Como P(-3 , -2) e 2 2 => 3(-3) + 4(-2) + / = 0 <=> r = l 7 = > 2 . : 3x -> v+ 17 = 0b) Por la propiedad P.5 , X = {(x , y) I (3x - 4y + l)(3x + 4y + 17) = (1)

Dado que A(0 , 7/4) e X => (0 - 7 + 1)(0 + 7 + 17) = k <=> k = - 144Luego, en ( 1 ) : (3x - 4y + l)(3x + 4y + 17) = -144de donde se tiene la ecuación general de X : 9x2 - 16y2 + 54x - 64y + 161 = 0<=> 9(x2 + 6x + 9) - 16(y2 + 4y + 4) = -161 + 181 -64 = -144

(y + 2) 2 (x + 3)2 ,« . X :

9 16(x ^\2 /y Q\2

c) Ecuación de la hipérbola conjugada de X , 7( ' : 2— ^ -L . . y_ ^ 1 - ¡ Q

( E JE M P LO 7 ) El eje conjugado de una hipérbola X está contenido en la recta V : y = 4 , la ecuación de una de sus asíntotas es £ 2 : 3x +

4y = 22. Si además el foco que está más alejado del origen se encuentra sobre larecta 2 : 9x - 2y = 0. a) Hallar la ecuación de X . b) Hallar la ecuación de lahipérbola conjugada de X y sus focos.

Solución. Centro de la hipérbola : ( ’ f) 2 = C(2 , 4)

Ecuación de la otra asíntota, 3^ : 3x - 4y + / = 0Si C(2 , 4) e 2 => 3(2) - 4(4) + t = 0 o r = 10

=> 2 : 3x -4 y + 10 = 0 Ecuación el eje focal, l : x = 2 ■=> ÍC\ 2 = , 9)

www.freelibros.com


Como C biseca al segmento F,F2 => F2(2 , -1) Por la propiedad P.6 : b = d (F, , á?)

I 3 (2 ) -4(9)+ 10 I = 4y¡9 + 16

c = | CF, I = 19 - 4 1 = 5 , c2 = a2 + b2 entonces 25 = a2+ 16 <=* a2 = 9a) Ecuación de la hipérbola

. (y - 4); _ (x - 2)2 =

b) Hipérbola conjugada,16

(x - 2) 2 (y - 4) 2= 1

16 9Coordenadas de sus focos :F(h ± c , k) =» F,(7 , 4) y F2(-3 , 4)

fY / , t

>1f , s*

/ : y = 4

a>\V.

\ > X

F> \

>

□ FIGURA 9.37

( EJEMPLO 8 ) La recta ( : x - y - 1 = 0 es el eje focal de una hipérbola que pasa por el punto A (3 , 3 ), y la recta 2x - y - 2 = 0 es una de sus

asíntotas. H a lla r: a) La ecuación de la otra asíntota, b) La ecuación de la hipérbola.

Solución. S i ¿ : x - y - l = 0 < = s > m = l , y si

^ : 2x - y - 2 = 0 entonces, m2 = 2 .Sea S¡et la otra asíntota cuya pendiente es m,.Como el eje focal es bisectriz del ángulo formado por las asíntotas, se sigue que :_ _ m - mTga, =Tgot2 =>•

1 + m . m,

1 - m,

m2 - m I + m m.

2 - 11 + m , 1 + 2

o m, = 1/2

a) La asíntota ^ pasa por 1 f| - (1 , 0), luego

su ecuación es : y - 0 = ^ (x - I )

o : x - 2y - 1 = 0

b) Por la propiedad P.5 :■X= {(x , y) I (x - 2y - l) (2x - y - 2) = k}

Si A(3 , 3) 6 (3 - 6 - 1)(6 - 3 - 2) = k <=> k = -4/. (x - 2y - l)(2x - y - 2) = -4 7 ( : 2x2 - 5xy + 2y2 - 4x + 5y + 6 = 0□

www.freelibros.com


í E JE M P LO 9 ) Las rectas 2?: 13x - 9y - 38 = 0 y : x + 3y - 14 = 0 son las asíntotas de una hipérbola que pasa por P(2 , 2). Hallar su

ecuación y esbozar su gráfica indicando sus elementos.

Solución. Por la propiedad P.5 : JT = {(x , y) I (13x - 9y - 38)(x + 3y - 14) = k}

Si P(2 , 2) 6 X => (26 - 18 - 38)(2 + 6 - 14) = k <=> k = 180 (13x - 9y - 38)(x + 3y - 14) = 180 » . » : 13x2 + 30xy - 27y2 - 220x + I2y + 352 = 0 Determinación de sus elementos :

1 Centro de la curva : ^ f l ^ = C(5 , 3)2. Los ejes focal y conjugado de la hipérbola son las bisectrices de los ángulos

formados por las asíntotas. Luego, para el eje focal, en la Figura 9.39 se observa q u e :

, , 1 3 x - 9 y - 3 8 x + 3y -14d = d, <=> , .L — = — , 1 ¿ : x - 3y + 4 = 0

' 2 VI69 + 81 Vi + 9El eje conjugado pasa por C y es perpendicular a ( , entonces su ecuación es:

y - 3 = -3(x - 5) « f : 3x + y -18 = 03. Vértices : (. H X = V , (8 ,4) y V2(2 , 2). Este último coincide con el punto dado P.4. Longitudes de los semiejes :

a = | CV, I = V(8 - 5)2 + (4 - 3)2 a = VlO

En el rectángulo fundamental : Tga = m, - m _ 13/9 - 1/3 _ 21 + m m , 1 + (1/3) (13/9) _ 4

Como Tga = — ■=>— = -¡L r <=> b = — V io a a 4 V io 4

c2 = a2 + b2 c2 = 10 +-¡|(10) = ^ ~ c = j ’ftO

5. Coordenadas de los focos.La ecuación de la circunferencia de centro C y radio c es«■ : (x - 5)2 + (y - 3)2 = 125/8 => l f l = F,(35/4 , 17/4) y F2(5/4 , 7/4)

6. Excentricidad : e - — ■=> e = —a 4

7. Longitud de cada lado recto : LR = — <=> LR = —Vioa 4

8. Ecuaciones de las directrices :Las directrices y i 2 son paralelas al eje conjugado £’ : 3x + y - 18 = 0, luego pertenecen a la familia de rectas 3x + y + k = 0 , esto es , si

d(f, . 0 = 4 - (distancia entre las directrices) => ! —- 4 = X í~)1 \9 + 1 2 v <de donde se tiene : I k + 181 = 8 « k + 1 8 = -8 ó k + 18 = 8

o k, = -26 ó k; = -10

www.freelibros.com

454 Capítulo 9. La hipérbola

Por tanto, las ecuaciones de las directrices son,t : 3x + y - 26 = 0 y ( : 3x + y - 10 = 0 □

(E J E M P L O 1 0 ) Las rectas 2? : x - y + 1 = 0 y yr : x + 7y - 23 = 0 son asíntotas de una hipérbola mostrada en la Figura 9.40. Al no contar con

más datos, no es posible hallar su ecuación, pero si algunos elementos. Hallar tres elementos de esta hipérbola, uno de los cuales debe ser la excentricidad.

Solución. Como los ejfes de una hipérbola

son bisectrices de los ángulos

formados por las asíntotas, tomaremos dis

tancias dirigidas de P e. i a cada una de

asíntotas 2- y % , esio es :

. i , A « / . , i L J r c H-V1 + 1 VI + 49

de donde obtenemos la ecuación del eje focalt : X - 3y + 7 = 0 FIGURA 9.40

El eje conjugado pasa por el centro, .2- f l í?¡ = C(2 , 3) , y es perpendicular a ( , entonces su ecuación es :

y - 3 = -3(x - 2) <=> ( ’ : 3x + y - 9 = 0Si a es el ángulo formado por la asíntota y el focal £, implica que :

m, - m _ 1 - 1/3 _ X 1 + m m , 1 + 1/3 2

T g a ;

www.freelibros.com

S e c c ió n 9 .1 1 : P r o p ie d a d e s d e la h ip é r b o la 455

En el rectángulo fundamental : Tgoc= —

c2 = a2 + b2 <=> c2 = a2 + — = — a2 <=>4 4 a <=> e ■ ñ

2□

[E J E M P L O 1 l ) Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en C(3 , 1), un foco en F(7 , 3) y un extremo del eje conjugado en B(2 , 3).

Solución. En la Figura 9.41, se tiene :

c = I CF I = V(7 - 3)2 + (3 - l ) 2 = V2Ó

b = I C B I = V(2 - 3)2 + (3 - I)2 = V5 Si c2 = a2 + b 2 •=> 20 = a2 + 5 <=> a2 = 15

Ecuación del eje fo c a l:

y - I = y-" fx - 3) o ( : x - 2y - 1 = 0

Ecuación del eje conjugado ( ( ’ 1 1 ■=> m’ = -2):

y - 1 = -2(x - 3) o ( ’ : 2x + y -7 = 0Sea P(x , y) un punto cualquiera de la hipérbola, FIGURA 9.41

x- = d(P , (') = 2x + y - 7V4 + 1

y' = d (P , t) =x - 2y - 1

Por la propiedad intrínseca de la hipérbola :

(2x + y - 7)2 (x - 2y - 1 )2

V i + 4

<2 2J a! b2

= 1

5(15) 5(5)1 o X : x2 + 16xy - 1 ly 2 - 22x - 26y - 29 = 0 □

[ e j e m p lo 1 2 ) Los semiejes de una hipérbola son a = b = 2 y están respectivamente sobre las rectas i : x - 3y + 3 = 0 y í ' : 3x + y - 11 = 0.

Hallar la ecuación de dicha hipérbola.

Solución. Como a = b , la hipérbola es equilátera

cuya ecuación x2 - y2 = a2 representa la propiedad intrínseca

donde : x’ = d (P , ( ’) =

y’ = d (P , f ) =

J f : x ’2 - y '2 = a23x + y - 11

(1)

VtTTí

x - 3y + 3-Vi + 9

Luego, en (1), se tiene :(3x + y - I I ) 2- ( x - 3y + 3)2 = IO(2)2

J f : 2 x 2 + 3 xy - 2 y 2 - I8 x - y + 18 = 0 □

fYi

ak V' /

\ -V n * . y)V 7v

— c T

O

FIGURA 9.42

www.freelibros.com


( Í j E M P L 0 l 3 l Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, que pasa por A ( 0 , 2), siendo el eje focal la recta t : 2x - y = 0 y una

asíntota el eje X.

Solución. Si í : 2x - y = 0 es el eje focal,

entonces la~ecüSción del eje conjugado es , t : x + 2y = 0

Por la propiedad P.7 = 1

ix ±2 y\2 \ ^5 I

Si A(0 , 2) e W ■ 165a2

<=> b2 =

1 V5 1b2

- 5 l H4a2

= 1 ( 1)

(2)

---

V Y>

f . / * \ A

‘ / r

v /

yFIGURA 9.43

16.- 5a2Desarrollando la ecuación de en potencias decrecientes de x se tiene :

(b2 - 4a2)x2 + 4(b2y + a2y)x + (4b2 - a2)y2 - 5a2b2 = 0 Como el eje X es una asíntota horizontal, según la regla, debemos igualar a cero elcoeficiente de x2, esto es : b2 - 4a2 = 0 <=> b2 = 4a2 (3)Resolviendo (2) y (3) obtenemos : a2 = 3 y b2 = 12

(x + 2y)2 (2x - y)2Luego, en (1), se tiene 15 60 = 1 « : 4xy + 3y2 - 12 = 0 □

(e jem p lo 14) Los focos de una hipérbola J f son F,(6 , -1) y F2(0 , -4). Si además pasa por el punto A(0 , -9), hallar las ecuaciones de las

directrices.

Solución. Ecuación del eje fo c a l:

y + 4 = 5 Í ± i . (x - 0) <=> ( : x - 2y - 8 = 0

El eje conjugado V pasa por el centro de la

hipérbola, C(3 , -5/2) y es perpendicular al eje focal

■=» y + 5/2 = -2(x - 3 ) » C : 4x + 2y - 7 = 0 Por la propiedad P.7, la ecuación de la hipérbola

' (1)4X -f 7y - 7

donde : x ’ = d(P , ( ' ) = —— = FIGURA 9.44V20

www.freelibros.com


y’ = d ( p , i ) = ^ ^

r > i / i \ » (4x + 2 y - 7 ) 2 ( x - 2 y - 8 ) 2Por lo que, en (1), se tiene : .rr : 2---------- — - ' -------— — = l20a2 5b2

Si A(0 , -9) € . » 7>i - (° ■ = ! <=> 125b2-80a2 = 4a2b2 (2)ZXJa ~ J u ‘

2c = I F^F21 = V36 + 9 = 3V5 .=* c = | V5 , y si a2 + b2 = c2 .=> b2 = ^ - a2 (3)

Sustituyendo (3) en (2) y reduciendo términos se obtiene la ecuación I6a4 - 1000a2 + 5625 = 0 « a2 = 225/4 ó a2 = 25/4

Si a2 = 225/4 <=» a = 15/2 > c , es falso , y si a2 = 25/4 ■=> a = 5/2 < c , es cierto.La familia de rectas paralela a : 4x + 2y - 7 = 0 es , & : 4x + 2y + k = 0 (4)

Luego,si ^ lk + 7 ' “ 25/4c Vl6 + 4 3V5/2de a q u í: I k + 7 1 = 25/3 « k + 7 = - 25/3 ó k + 7 = 25/3

<=> k, = - 46/3 ó k2 = 4/3Por tanto, en (4), las dos directrices, miembros de la familia son :

4x + 2y - 46/3 o : 6x + 3y - 23 = 04x + 2y + 4/3 « : 6x + 3y + 2 = 0 • Q


1. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje conjugado sobre el eje X , si la distancia de uno de sus focos (0 , 6 ) , a cualquiera de sus asíntotas es 2V5.

2. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje focal es el eje Y. Sabiendo que pasa por P{2 , -2) y que una de sus asíntotas es ^ : x + 2y = 0, hallar su ecuación.

3. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, una de cuyas asíntotas es la recta : 2 'Í5 x - 3y = 0 y pasa por P(-1 , 2). (Guía: Ejemplo 1)

4. Las asíntotas de una hipérbola son 9>x : x + 2y - 4 = 0 y á | : x - 2y = 0 , y un foco es el punto F(2 , 5). Hallar la distancia entre sus directrices.

5. Hallar la ecuación de la hipérbola con foco F{-3 -3V Í3 , 1 ), las asíntotas se intersecan en el punto (-3 , 1) y una asíntota pasa por el punto P(1 , 7)

6. Las asíntotas de una hipérbola son : 3x - 4y + 13 = 0 y : 3x + 4y + 5 = 0. Hallar su ecuación si un foco es F(2 , 1). (Guía: Ejemplo 3).

www.freelibros.com

458 C a p i lu to 9 : L a h ip é r b o la

7. Hallar la ecuación de la hipérbola con un foco en F(3 , 7), sus asíntotas se intersecan en (3 , 2) y una asíntota pasa por P(-1 , 5).

8. Dados los focos de una hipérbola F,(7 , -3) y F2(-3 , -3) y una tangente 5? : 5x - 3y = 28 , hallar la ecuación de la curva. (Guía: Ejemplo 4).

9. Hallar la ecuación de la hipérbola que es tangente a las rectas f£y : 5x - 6y - 16 = 0 y : 13x - 10y - 48 = 0, si sus ejes coinciden con los ejes coordenados.

10. La recta % : 2x - y - 4 = 0 es tangente a una hipérbola cuyos focos son (± 3 , 0). Hallar la ecuación de la hipérbola.

11. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto P(5 , 1), si una de sus asíntotas es la recta á? : x - 2y - 1 = 0 y su eje conjugado es la recta f : x -1 = 0. (G u ía : Ejemplo 6).

12. Sea una hipérbola con eje focal paralelo al eje X cuyo centro es un punto de la recta x - y = 0, y sus asíntotas forman un ángulo de 60s con el eje transverso . Si además b c = 2^3 y el segmento OF, donde F es el foco derecho de la hipérbola, tiene como pendiente 2/3 ; hallar la ecuación de la hipérbola conjugada de .Yf.

13. Los extremos del lado recto de la parábola S>\ x2 - 4x + 10y + 14 = 0 son los focos de la hipérbola Jt , una de cuyas asíntotas es la recta !By : 8x - 6y = 37 . Hallar la ecuación de JK

14. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto P(9 , 25/3), si su eje focal es la recta t : y - 3 = 0 y una de sus asíntotas es la recta .2?: 4x - 3y = 7 . (Guía: Ejemplo 6)

15. El punto P(6 , 5) está es una hipérbola rr, que tiene como asíntotas a las rectas á?,: 2x - y - 3 = 0 y : x + 2y - 8 = 0. Hallar la ecuación de la hipérbola y las ecuaciones de sus ejes focal y conjugado.

16. Graficar la hipérbola, tal que una de sus asíntotas es la recta 17' : 4x + 3y = 6, uno de sus ejes (transverso o conjugado) es la recta (’ : y + 2 = 0 y u n extremo de su lado recto es el punto (3/4 , -7)

17. Sea una hipérbola tal que su eje focal es paralelo al eje X, uno de sus focos es el punto F(1 ,1 ) y una de sus asíntotas es la recta ,2?: 3x - 2y + 2 = 0. a) Hallar la ecuación de Jf. b) Hallar la suma de las distancias del punto (1 , 2) a las asíntotas de Y/.

1 8 . Los focos de una hipérbola Yt se encuentran en la recta t. : 2x - 3y + 16 = 0. Si

www.freelibros.com

Sección 9.12: Lugares geométricos relativos a una hipérbola 459

una de las asíntotas es la recta : y = 4 y se sabe que la hipérbola pasa por P(2 , 10), hallar la otra asíntota y la ecuación de .'/i.

19. Las rectas 2 ? : x - 2 y + 2 = 0 y . 2 | : 2 x + 11y - 41 = 0 son asíntotas de una hipérbola mostrada en la Figura 9.45. Al no contar con más datos, no es posible determinar su ecuación, pero si algunos elementos.Hallar tres elementos de esta hipérbola, uno de los cuales debe ser la excentricidad.(Guía: Ejemplo 10)

20. Las rectas 3 p x - 2 y + 2 = 0 y 2 £ : 2 x + 1 1 y - 4 1 = 0 , son asíntotas de una hipérbola que pasa por P (-3 , 2). Obtener la ecuación de la curva y sus elementos. (Guía: Ejemplo 9).

21. Hallar la ecuación de la hipérbola con centro-en C(-2 , -1) , un foco en F(2 , 1) y un extremo del eje conjugado en B(-3 , 1). (Guía: Ejemplo 11)

22. Los semiejes de una hipérbola son a = b = 4 , el eje transverso sobre t : 2x + y = 2 y el eje conjugado sobre t : x - 2y + 5 = 0. Hallar la ecuai Je la hipérbola. (Guía: Ejemplo 12).

23. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera con centro en el origen y que tiene sus focos sobre la recta i : 3x - 4y = 0 a una distancia de 5 unidades del origen.

24. Hallar la longitud del lado recto de una hipérbola cuyos focos son F,(6 , 8) y F2(0 , 5) si se sabe que pasa por el origen de coordenadas.

0 0 LUGARES GEOMETRICOS RELATIVOS A UN A H IPERBOLA

( E JE M P LO 1 ) Una circunferencia de radio variable es tangente a la circunferencia ^ : x2 + y2 + 8x = 0 y pasa por A(4 ,0). Qué lugar geomé

trico describe su centro.

Solución. Si rf : (x + 4)2 + y2 = 16 => C(-4 , 0) y r = I CT I = 4

1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico (centro de la circunferencia variable).

2. Condición para que ambas circunferencias sean tangentes :

www.freelibros.com

460 C a p í t u lo 9 : I m h ip é r b o la

I CP I = I CT | + I TP |= r+ IÁ P |

cuya forma ana lítica :V(x + 4)2 + y2 = 4 + V(x - 4)- + y2

3. De donde : 2x - 2 = Vx2 - 8x + y2 + 16 Volviendo a elevar al cuadrado resulta :

3V : 3x2 - y2 = 12 El lugar geom étrico es una hipérbola cuyos focos son los puntos A(4 , 0) y C (- 4 , 0).

r

Yr ' m/ ^ p (x ■y ) i

V c

v

0 r A (4 . 0) *

\

\

\

FIGURA 9.46

{ E JE M P LO 2 ) Dada la recta J£ :y + 2 = 0 y e l punto A ( 0 , 4), hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P tales que I AP | = 2 d(P , X ) .

Solución. 1. Sea P(x , y) un punto del lugar geomé

trico.2. Si I AP I = 2 d(P , ( ) , entonces :

Vx2 + (y - 4)2 = 2 1 y + 2 I3. Elevando al cuadrado y reduciendo obtenemos

;¡T : 3y2 - x 2 + 24y = 0 que es la ecuación de una hipérbola. □

( E JE M P LO 3 ] Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el centro de una circunferencia móvil, tangente exteriormente a las cir

cunferencias : x2 + y2 = 4 y : (x - 8)2 + y2 = 16

Solución. Sea la circunferencia móvil de

centro P.De % : C(8 , 0) y r? = | QC | = 4

1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico2. Por condición de tangencia

I OP I =IÓT| + | T P l yIc p I =Ic q I + I q pI *=» Iq p I = Ic p I -Ic q Ipero : | TP | = | QP | , por ser radios Luego, en la primera igualdad se tiene :

lÓPl = IÓT| + |CP| - I CÓI FIGURA 9.48

www.freelibros.com

Sección 9.12: Lugares geométricos relativos a una hipérbola 461

cuya forma analítica es :' Vx2 + y2 = 2 + V(x - 8)2 + y-’ - 4

3. => Vx2 + y 2 + 2 = V(x - 8)2 + y2Elevando al cuadrado, reduciendo y volviendo a elevar al cuadrado se obtiene la ecuación del lugar geométrico : I5x2 - y2 - 120x + 225 = 0 CU

E J EM PLO 4 J Una persona situada en F, e na simultáneamente un di: paro que se hace desde A(-3 , 0) y el estallido producido en

B(3 donde hace blanco el disparo. Conocido la posición de la batería A y del blanco B, la velocidad inicial del proyectil es V0 = 1020 m/seg. y sin tomar en cuent el efecto del aire, donde la velocidad del sonido es conocido. Calcúlese la posicio de P indicando el nombre del lugar geométrico a que pertenecen los puntos que satisfacen estas ituaciones y su ecuación.

Solución. 1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico

El tiempo t , empleado por el sonido en recorrer AP, es igual al tiempo empleado por el proyectil en ir de A a B, más el tiempo t2

empleado por el sonido de ir de B a P, luego :

I A P I l Á B l , I b p I2. Si i = r, + /,

I AP I - 1 BP | = ( ^ - ) lAB

Si Vs = 340 m/seg. (velocidad del sonido)

Vx + 3)2 + y2 - V(x - 3)2 + y: = ( ^ ) ( 6 )

<=> V(x + 3)2 + y 2 = 2 + V(x - 3)2 + y23. Elevando al cuadrado, reduciendo y volviendo a e levar al cuadrado se tiene :

8x2 - y2 = 8El lugar geométrico es una hipérbola cuyos focos son A y B D

( E JE M P LO 5 ) Se traza una cuerda cualquiera de la elipse <? : 9x2 + 25y2 = 225, la cual es perpendicular al eje mayor de la curva. Se une

los extremos de esta cuerda con los extremos V, y M.¿ del eje mayor, rectas estas que se cortan en P. Hallar y dibujar la ecuación del lugar geométrico descrito por los puntos P.

Solución. S i ^ : y j + ^ - = l ^ a = 5 , luego : V ((5 .0 ) y V2(-5 , 0)

www.freelibros.com

462 Capitulo 9. La hipérbola

1. Sea P(x , y) un punto del lugar geométrico , y sean M(x, , y,) y Q(x, , -y,) losextremos de la cuerda móvil, donde y ¡ > 0. (Figura 9.50)

2. Ecuación de PV : y - 0 = —^ ( x + 5) ■=> y = — — 5 (x - + 5) (1)2 J x, + 5 x, + 5

Ecuación de PQ : y - o = Q (x - 5) => y = = -^ M x - 5) (2)5 ' x, 5 ‘ Xi

05 5yDe las ecuaciones (1) y (2), por simultáneas obtenemos : x, = — , y, = —r-

„ . y r x > 0 a y > 0 <=> (x e v) e I (cuadrante)Si y, > 0 , implica que ^ > 0 J ,

x *■ x < 0 a y < 0 o (x e y) e III (cuadrante)

3. Como M(x, , y,) e ¿ => 9x,- + 25y,- = 225 <=> 9 ( ^ ) 2+ 25 = 225

de donde se tiene la ecuación del lugar geométrico, J f : 9x2 -25y2 = 225 Según las condiciones obtenidas en el paso 2, la gráfica del lugar geométrico son las ramas de la hipérbola X ubicadas en el I y III cuadrante (Figura 9.51).



1. La base de un triángu lo es de long itud fija, s iendo sus extrem os los puntos

A (0 , 0) y B(4 , 0). Hallar e iden tifica r la ecuación del L. G. del vértice opuesto si uno de sus ángulos de la base es s iem pre igual al doble del otro.

2. Hallar el lugar geom étrico descrito por el centro de una circunferencia móvil tan gen te ex te rio rm e n te a las c ircu n fe re n c ia s : x2 + y2 - 10x + 16 = 0 y í?2 : x 2 + y2 + 14x + 24= 0. (G uía: E jem p lo 3)

3. Hallar el L. G. de los centros de las c ircunferencias que son tangentes al eje X y que al cortar al eje Y determ ina un segm ento de longitud constante el.

www.freelibros.com

Sección 9.13: Conjuntos de puntos asociados a una hipérbola 463

4. Graficar y hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto C tal que para A(1 , 0) y B(-1 , 0), en el triángulo ABC se cumple que la medida del ángulo interior en A es el doble de la medida del ángulo interior en B.

5. Dadas las rectas 2)x : x - y - 2 = 0 , -2?: x + y - 2 = 0 y los puntos M y N sobrerespectivamente, con ordenada 4. Si MN es la base de triángulo MNP,

con vértice P variable, hallar la ecuación del lugar geométrico de P, sabiendo que el producto de las pendiente de MP y NP es igual a 1. Identificar y graficar el lugar geométrico.

6. Los puntos A y B están separados 1000 pies, y se determina por el ruido de una explosión escuchada en estos puntos en momentos diferentes, que la explosión se localiza a 600 pies más cerca de A que de B. Demostrar que la localización de la explosión está restringido a una curva particular y hallar la ecuación de la misma. (Guía: Ejemplo 4)

7. Tres estaciones escucha están localizados en los puntos A(0 , 0), B(0 , 21/4) y C(25/3 , 0), siendo la unidad una milla. En estos puntos se hallan localizados micrófonos, que muestran que un revolver está a 5/3 de milla más cercano de A que a C, y 7/4 de milla más cercano a B que a A. Localizar la pos ion del revolver, usando la definición de hipérbola. (Sugerencia : Si P es la posición del revolver, entonces : PA - PC = 5/3 y PB - PA = 7/4)

CONJUNTO S DE PUNTOS ASOCIADOS A UNA H IPERBO LA

Asociados a la hipérbola Jf, gráfica de la relación

existen las gráficas de las relaciones

R, = { ( * - y ) l f - - £ < > } • Rr = { ( * . y ) l £ - £ > i }

R, = { ( * . y > l f 5 - § * i } - R, = { ( * . y ) l ^ - ^ ' }/

La gráfica de R, consiste en todos los puntos del plano que están entre las ramas de la hipérbola JT, y la R2 en todos los puntos del plano que están dentro de las ramas de ella. La gráfica de R, consiste en todos los puntos del plano que están entre las ramas o sobre la hipérbola '//, y la R4 en todos los puntos del plano queestán dentro de las dos ramas o sobre ella.

www.freelibros.com


Para gráficas de relaciones asociadas a las otras formas típicas de hipérbolas se sigue el mismo criterio.

[ E JE M P LO 2 ) Si A = {(x , y) e 1 x + y > 0} , B = {(x , y) e R! I (x - 1)2 + (y - 1)2 < 18} y C = {(x , y) e R21 x y < 8}. a) Graficar en el

plano XY el conjunto A |~l B f| C. b) Hallar el dominio de A f l B f| C.

Solución. En A : y > - x , luego , la gráfica

de A es el conjunto de puntos situados en el semiplano superior de la recta Si : x + y = 0. Como el origen (0 , 0) pertenece a los conjuntos B y C, entonces, B es el conjunto de puntos en el interior o sobre la circunferencia (x - 1)2 + (y - 1)2 = 18 , de centro C,(l , 1) y radio r = 3^2 , y C es el conjunto de puntos entre las ramas de la hipérbola equilátera :/( : x y = 8. Por lo tanto, la gráfica de A D B n C es la mostrada en la Figura 9.53. Ahora , X f l # = P(- 2<2 , 2V2) y Q{2<2 , - 2V2)

Dom (A n B Fl C) = [ x ,,,

FIGURA 9 .5 3

+ r ] = [ - 2V2 , I + 3V2 ] □

( E JE M P LO 1 ) Construir la gráfica de la relación R = {(x , y) 11 6 x 2 - 25y2 > 400} y hallar su dominio y rango.

Solución. Construimos primero, con trazo discontinuo, la gráfica de la hipérbola

W '■ í t f * t t = 1 . d e donde , a = 5 y b = 4 Lj 16Luego, según el criterio para R2, la gráfica de R es el conjunto de puntos que están dentro de las dos ramas de la hipérbola X En efecto, elegimos un punto cualquiera del plano, de preferencia el origen, entonces :Si (0 , 0) e R <=> 16(0)2 - 25(0)2 > 400

« 0 > 400 , es falso. FIGURA 9.52Como 0 e R , se debe sombrear la región dentro de las dos ramas de la hipérbola, tal como se indica en la Figura 9.52.

/. Dom(R) = < - ° o , - 5 > U < 5 , + ~ > y Ran(R) = < - » , + » > Q

www.freelibros.com

Sección 9.13: Conjunto de puntos asociados a una hipérbola 465

( E JE M P LO 3 ) Sean : A = {(x , y) e R2 l 2 x 2 - 3y2 - 12x + 6y + 10 < 0 } y B = {(x , y) e J?212y2 + 2x - 7y - 2 < 0 }. Graficar A f | B.

Solución. En A, sea Jí' : 2x2 - 3y2 - 12x + 6y + 10 = 0

2(x2 - 6x + 9) - 3(y2 - 2y + 1) = 5 <=> :

Como (0 , 0) « A , éste es el conjunto de puntos del plano entre las ramas o sobre las hipérbola

de centro C(3 , 1).En B , sea 2y2 + 2x - 7y - 2 = 0

( x - 3 ) 2 ( y - 1 ) 25/2 5/3 = 1

2 J ' 10/

<=> ¡ ? : (y - 7/4)2 = - (x - 65/4) Obsérvese que (0 , 0) e B , luego , B es el conjunto de puntos que están en la región interior de la parábola .^de vértice V(65/4 , 7/4)Por tanto, la Gr(A f| B) es la que se muestra en la Figura 9.54. □

yK

FIGURA 9.54


En los ejercicios 1 al 11 , construir las gráficas de las relaciones dadas.

1. R = {(x , y) e /?219(x + 2)2 - 16y2 > 144}

2. R = {(x , y) e 7?215x2 - 9y2 <45 , x + y > 1 }

3. R = {(x , y) e R219x2 - 16y2> 144 , x2 + y2 á 16}

4. R = {(x , y) e if2 |3y2 - x2 < 2 , x2< 16y}

5. R = {(x , y) e /f2|49x2- 16y2>784 , x2 + y2S25}

6. R = {(x , y) e R21 xy - x - 2y - 2 < 0 . 2x + y - 11 > 0}

7. R = {(x , y) e R21 x2 - y2 < 4 , y2 + x - 2 > 0 , y2 - 2 < x}

8. R = {(x , y) e R215x2 - 4y2 - 30x + 16y + 13 < 0 , x2 - 6x + 4y + 1 > 0}l9. R = {(x , y) e R2I 9x2 - y2 - 8y + 8 > 0 , 3x - 2y + 1 < 0}

10. R = {(x , y) £ R219x2 + 4y2 < 180 , xy > 12}

11. R = {(x , y) e R21 xy < 8 , x2 + y2< 20 , x - y - 2 < 0}

www.freelibros.com

466 Capítulo 10: La ecuación general de segundo grado

En este capítulo estudiaremos la ecuación general de segundo grado

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

y veremos que se pueden emplear transformaciones de traslación y rotación de ejes para simplificar su identificación y el trazo de sus gráficas, que por lo general, representan secciones cónicas que no están en posiciones ordinarias

www.freelibros.com

LA ECUACION GENERAL DE

SEGUNDO GRADO

Q2Q CLASIFICACION DE LAS CONICAS DE ECUACION_______

A x2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Resumiendo lo expuesto en los capítulos 6, 7, 8 y 9, hemos probado que la

ecuación de una cónica con ejes paralelos a uno de los ejes coordenados se puede escribir bajo la forma general

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Esta ecuación representa una cónica :a) Del género circunferencia , si A = C . En casos excepcionales, su gráfica puede

ser un punto o un conjunto vacío 0b) Del género elipse , si A * C y AC > 0 (tienen el mismo signo). En casos excepcio

nales su gráfica puede ser un punto o 0 .c) Del género hipérbola , si AC < 0 (tienen diferente signo). En casos excepcionales

su gráfica puede ser un par de rectas concurrentes.d) Del género parábola , si AC = 0 , o sea si A * 0 y C = 0 ó A = 0 y C * 0.

En casos excepcionales, su gráfica puede ser un par de rectas paralelas o 0 .

f m ECUACION GENERAL DE LAS CONICAS_________________

Una ecuación de la formaA x2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

donde A , B, C , D , E , y F son constantes, con A , B y C no siendo todos nulos, recibe el nombre de ecuación general de segundo grado o cuadrática, en dos variables.Sí B = 0, la ecuación general toma la forma

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 y como se vió anteriormente se puede identificar su gráfica completando cuadrados en x e y , y aplicando una traslación de ejes apropiada.

\ www.freelibros.com

468 Capítulo 10: Ecuación generóI de segundo grado

Para identificar la gráfica de la ecuación (1) cuando B / 0, se puede emplearuna rotación de ejes para obtener una ecuación sin el término x’ y ’, y luego procedercomo antes.

Sabemos, por el Teorema 6.2, que si se rotan los ejes coordenados un ángulo 0, entonces las originales y nuevas coordenadas de un punto están relacionadas a través d e :

x = x ’ Cos 0 - y ’ Sen 0 y = x ’ Sen 0 + y ’ Cos 0

Si sustituimos estos valores en la ecuación general (1), se obtendrá la nueva ecuación de segundo grado que sigue :

A'(x’)2 + B’x ’y ’ + C’(y’)2 + D’x’ + E’y’ + F’ = 0 (2)donde los nuevos coeficientes en términos de los anteriores y del ángulo 0, son

A ’ = A Cos20 + B Cos0 Sen0 + C Sen20 (3)B’ = B Cos20 - (A - C) Sen20 (4)C’ = A Sen20 - B Sen0 Cos0 + C Cos20 (5)D' = D Cos0 + E Sen0 (6)E' = - D Sen0 + E Cos0 (7)F = F (8)

Para eliminar el término en x ’y ’ de (2), debemos seleccionar 0 para conseguir que B‘ = 0 , es d e c ir , debemos igualar a cero el segundo miembro de la ecuación (4), esto es :

B Cos0 - (A - C) Sen 2 0 = 0 <=> Tg20 = , si A * C (9)

S iA = C <=> T g 2 0 = °° « • 20 = lar + * o 0 = k(-|-) + i , k e Z

Como en la rotación de ejes se acostumbra elegir el menor ángulo positivo que satisfaga la ecuación (9), se puede restringir el ángulo de rotación a ser un ángulo agudo eligiendo K = 0 , para el cual 0 = rc/4.En consecuencia, podemos enunciar el siguiente teorema.

/■ " ............ ■ ' -VTEOREMA 10.1 Rotación de ejes para eliminar el término xy

La ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

donde B * 0 , puede transformarse siempre a la formaA ’(x’)2 + C '(y')2 + D’x ’ + E’y ’ + F = 0

sin términos en x ’y ’, girando los ejes coordenados un ángulo agudo positivo 0 tal que

y si A = C => 0 =45°Tg20 = -r ^-= , s i A * C 3 A - C

www.freelibros.com

Secctón 10.2: Ecuación general de las cónicas 469

Es conveniente calcular los valores de_Sen 0 y Cos 9, a partir de Tg2 0, en la siguiente forma. En el triángulo de la figura adjunta se puede leer el valor numérico de Cos 20. Como el coseno y la tangente son ambos positivos en el primer cua - drante y ambos negativos en el segundo , Cos 20 tendrá el mismo signo de Tg 20. Se usan luego las fórmulas del semiángulo para conseguir Sen 0 y Cos 0 , esto es :

Sen0 -V1 Cos20 Cos0 Cos20


( E J E M P L O 1 ) Rotación de una elipse

Mediante una rotación de ejes identifique la gráfica de la ecuación 8xa - 4xy + 5ya = 36 , y trace un esquema de dicha gráfica.

Solución. Como A = 8 , B = - 4 y C = 5 , resulta queB _ _ 4

8 -5 ' 3Tg20 =

por lo que Cos20 = - -

A -C Entonces:

20

Sen 0 = y —í y — ^ = 4 - , Cos 6 =(- 3/5)

2 \'5Por tanto , las ecuaciones de rotación son:

x = x ’ Cos0 - y ’ Sen0 = -p- (x ’ ■ 2y’) v5

y = x ’ Sen0 + y ’ Cos0 = -~r (2x + y') v5

Sustituyendo estos vaiores en la ecuación original dada , se tiene :

| ( x ’ - 2yy - l ( x ’ - 2y’)(2x’ + y') + | ( 2 x ' + y')! = 36

que se reduce a :

4(x’)2 + 9(y’); = 36 <=> g : = 1

Es la ecuación de una elipse centrada en el origen, de eje mayor sobre el eje X ’ , con vértices en (± 3 ,0) en el sistema X ’Y ’ , cuya gráfica se muestra en la Figura 10.1.

Vs

rY>

Y ' /

1>,

r i J

3J _ _ ------- J

FIGURA 10.1

Para hallar las coordenadas de los vértices en el sistema XY . sustituimos las

www.freelibros.com

470 Capítulo 10: Ecuación general de segundo grado

coordenadas x’ e y ’ en las ecuaciones de rotación

_ x = J = ( x ’ - 2y ’) , y = - L ( 2x' + y ’)

con lo que se hallan los vértices V t(3/v5 , 6/V5) y V,(- 3/V5 , -6/^5). Q

C E J E M P L O 2 J Rotación de una hipérbola

Mediante una rotación de ejes escribir la ecuación 17x2 + 32xy - 7y2 = 75 en forma canónica y trace su gráfica. Halle las ecuaciones de sus directrices en el sistema XY.

Solución. Como A = ! 7 , B = 32 y C = - 7 , tenem os:

Tg2e= A ^ c ' T7T 7 ‘ Cos2e = T

Luego : Sen 0 = aJ1 ' 9?- — = - 7=- . Cos 0 = ^ / l -+- ^ ° s29 = - jLN 2 V5 2 y5

Por tanto, las ecuaciones de rotación son :

x = x ’ Cos0 - y ’ SenO = i (2x’ - y ’) v 5

y = x ’ SenO + y ’ CosO = (x’ + 2y ’)v5

Sustituyendo en la ecuación original se tiene :

H (2x* - y ’)2 + f (2x ’ - y ’)(x ’ + 2y*) - | ( x ’ + 2 y ’)2 = 75

simplificando se obtiene :

5x” - 3y’J =15 o . r r : ^ . ^ = l

Es la ecuación de una hipérbola centrada en el origen, en donde a2 = 3 y b2 = 5 c2 = a2 + b2 = 8

Ecuaciones de las directrices en el sistema X ’Y' ; x ’ = ± — = ± —9=c 2V2

Dado que : x ’ =-xí?J|6s0 + y SenO (Fórmula 3 de la Sección 6.2)

=» * * [% ) 4 y ( ^ ) » 8x + 4y = ± 3 VIO

son las ecuaciones de las directrices t t y en el sistema XY , como se ve en la Figura 10.2. □

( E J E M P L O 3 J Rotación de una parábola

Mediante una rotación de ejes identificar la gráfica de la ecuación x2 + 6xy + 9y2 + 12V10 x - 4 \ 10 y = 0. Hacer un esquema de dicha gráfica.

Y * Y 1

\ 4

AL

P

1 ^ r x

Vr

jFIGURA 10.2

www.freelibros.com

Sección 10.2: E c u a c ió n general de las cónicas 471

Solución. Dado que : A = 1 , B = 6 y C = 9 , resulta queB = _ 6 _

1 -9Tg20 = A -C4 =* Cos20 = - 4

Luego, Sen 0 = a / 1 ' Cos29 = -L , Cos 0 = J L ± C°s29 = A y 2 J in y 2 \F\Vio

Y,

V' \

>V

/ ,t

/ // /PH ......J /

>

2 VioPor lo que las ecuaciones de rotación son

x = x ’ Cos0 - y ’ Sen0 = -4 = (x ’ - 3y’)VlO

y = x ’ Sen0 + y ’ Cos0 = - j= - (3x’ + y ’)


¿ ( x ’ - 3 y’)2 + A (X- - 3y’)(3x’ + y1) + ^ (3 x ’ + y 'Y = 0 +

12(x’ - 3y’) - 4(3x’ + y ’) = 0que se reduce a : íx ’)2 = 4y’Su gráfica es una parábola con vértice en (0 , 0), foco en F(0 , 1) y eje de simetría coincidente con el eje Y’en el sistema X’ Y ’ , tal como se muestra en la Figura 10.3. En este sistema laecuación de la directriz es i : y ’ = -1 , y como y ’ = - x sen0 + y Cos0 (fórmula 3 en la

Sección 6 .2 ) , entonces , - i = - x ( - ¿ 4 + y ( - i ) <=> t : 3x - y - Vio = 0 , es su ecua-xvTo7 'Vio' _ción en el sistema XY. LJI Nota. En los ejemplos 1 , 2 y 3 se ha elegido cuidadosamente que las ecuaciones tengan

como gráfica cónicas con centro o vértice en el origen. Naturalmente, cuando las ecuaciones de segundo grado contienen términos lineales en x e y, además de la rotación, es necesario hacer una traslación para facilitar el dibujo de su gráfica. Como alternativa, es conveniente usar las ecuaciones (3), (5), (6), (7) y (8), en vez de usar las ecuaciones de rotación. Los siguientes ejemplos ilustran este aspecto.

FIGURA 10.3

( E JE M P LO 4 J Dada la cónica : 9x2 - 24xy + 16y2 - 140x + 20y = 0 dibujar su gráfica, indicando sus elementos (vértices, ecuación del eje

focal, directrices) con respecto al sistema original XY.

Solución. Como A = 9, B = - 2 4 , C = 1 6 , D = - 1 4 0 , E = 2 0 y F = 0 , entonces :

Tg20 = B -24A - C 9 - 1 6

247 Cos20 = 25

Luego : Sen 0 =41 - Cos20 = 4 , Cos 0 =41 + Cos202 - 5 ■ y 2 " 5 7

Ecuación general reducida : A ’(x’)2 + C’(y’)2 + D’x ’ + E 'y’ + F’ = 0 (1)Las siguientes ecuaciones dan los nuevos coeficientes en términos de los anteriores y del ángulo 0

www.freelibros.com

472 Capitulo 10: Ecuación general de segundo grado

A ’ = A Cos26 + B Sene Cose + C Sen:6 = 9 (± |) - 24 ( ^ ) + 16 ( ^ ) = 0

C = A Sen26 - B Sen6 Cose + Cos2e = 9 ( ^ ) - 24 ( i | ) + 16 ( ^ | ) = 25

D' = D Cose + E Sene = - I4 0 (y ) + 20(-^-) = -100

E' = - D Sen6 + E Cose = 140(-|) + 20(y) = 100

F ’ = F = 0Sustituyendo estos coeficientes en (1) se tiene : 25y’2 - I00x' + 100y' = 0 «=> y ’2 + 4y' - 4x' = 0 completando el cuadrado se llega a la ecuación canónica, esto e s :(y '2 + 4y' + 4) = 4x’ + 4 « (y' + 2)2 = 4(x' + l)

« 3> = y "1 = 4x”Su gráfica es una parábola (Figura 10.4) con vértice en V ’( - l , -2) referido al sistema X’ Y'. Para hallar sus coordenadas en el sistema XY, sustituimos éstas en las ecuaciones de rotación.

í V Y1/ S I X

/ // >, y

V

V "

V

K \ \\ \ \

\ \ NFIGURA 10.4

x = x ’CosO - y'SenG = - 1 t í j - (*2)(4 ) = 4-

T ^ V(2/5- ‘ l l / 5 ) y = x ’SenO + y’CosO = - 1 ( y ) -2 ( y ) = - - y - J

La ecuación del eje de la parábola en el sistema X ’Y' es , y ’ = k ■=> y ’ = -2 , y la ecuación de su directriz es, x ’ = h - p , o sea : x' = -1 -1 = -2. Para obtener ambas ecuaciones en el sistema XY usaremos las ecuaciones de rotación que dan las coordenadas de un pumo (x’ , y ’) en términos de los originales (x , y), esto es x ’ = x Cos9 + y SenG ■=> -2 = x(4/5) + y(3/5) ( ¡ : 4x + 3y + 10 = 0 (directriz)y ’ = -x Sene + y Cose => -2 = -x(3/5) + y(4/5) <=> ( : 3x - 4y - 10 = 0 (eje) U

{ E JE M P LO 5 J Graficar e identificar la curva de ecuación5x2 - 4xy + 8y2 + 4^5 x - 16^5 y + 4 = 0

indicando la longitud de su lado recto , su centro y la ecuación de su eje focal en el sistema XY.

Solución. Dado que A = 5 ,B = - 4 , C = 8 , D = 4%/5 , E = -16V5 y F = 4 , entonces

Tg26 = A - C = 4 => Cos20 = ~

Por lo que : Sen 6 = = - f , Cos e = \ ¡ x t Cos?e¿ V5

www.freelibros.com

Sección 1 0 .2 : E c u a c ió n g e n e ra / d e la s c ó n ic a s 473

Ecuación general reducida : A ’(x')2 + C’(y ’)2 + D ’x ’ + E’y ’ + F = O

A ’ = A Cos20 + B SenG Cose + C Sen-’e = 5 [ j ) - 4 ( | ) + 8 ( y ) = 4

C ’ = A Sen’O - B Sene Cose + C Cos2© = 5 ( y ) + 4 (y ) + 8 ( y ) = 9

D’ = D Cose + E Sene = 4Vs(-jL) - 16V5 (-]=) = -8

E' = - D Sene + E Cose = - 4>/5(-j=) + lóVs (-J,) = -36

F = I 4Sustituyendo estos coeficientes en (1) se tiene :

4x'2 + 9y’2 - 8x’ - 36y’ + 4 = 0 Completando cuadrados se sigue que :

4(x'2 - 2x’ + I) + 9(y” - 4y’ + 4) = 4 + 36 - 4 =» 4(x’ - I)2 + « y - 2 ) 2 = 36

x "2 y "<=> 8 : 4 r - + - i - = I9 ’ 4

Su gráfica es una elipse (Figura 10.5) con centro en 0 ’( I , 2), en el sistema X’Y \ donde , a2 = 9 yb2 = 4Luego, la longitud de cada lado recto es : LR = ~ = y p = ~

Las coordenadas del centro en el sistema XY son :2 \

FIGURA 10.5

x = x ’CosO - y'SenO = l = 0

y = x ’SenO + y ’CosO = l( -^ ) + 2(-jL) = V5 } C(0 , VS)

(1)

y ViYV

[.Mr

V \\.J

El eje focal, que pasa por C, es paralelo al eje X ’ cuya pendiente es m = Tg0 = ~ , por

lo que, su ecuación es : y - \/5 = y (x - 0) <=> ( : x - 2y + 2^5 = 0. □

( E JE M P LO 6 ) Graficar e identificar la curva de ecuación2x2 - 4xy - y2 - 4x -8y + 14 = 0

y hallar en el sistema XY, las ecuaciones de sus directrices.

Solución. Como A = 2 , B = -4 , C = - l , D = -4 , E = -8 y F = 14 . entonces : B -4Tg20 = A -C 2 t | = - í ~ C 0 S M = - f

Luego , Sen 0 1 - Cos20 _2V5

Cos 0 + Cos202 .

www.freelibros.com


Ecuación reducida : A ’(x’)2 + C’(y’)2 + D’x’ + E'y’ + F’ = O

A ’ = A Cos26 + B Sen0 CosG + C Sen26 = 2 (1 ) - 4 ( 1 ) - 1 (1 ) = -2

C’ = A Sen20 - B Sen0 Cos9 + C Cos20 = 2 (1 ) + 4 (1 ) - \ (1 ) = 3

D' = D CosG + E senG = - 4 ( - l ) - 8 (J |) = - 4>/5

E’ = - D SenG + E CosG = 4 ( - l ) - 8 ( - l ) = 0

F’ = F = 14 ,-----------------------Sustituyendo los nuevos coeficientes en (1) se tiene :

- 2 x ’2 + 3y’2 - 4V5 x ’ + 14 = 0

C o m p le ta n d o cuad rados llegam os a la ecuación canónica :

- 2 (x '2 + 2V5 x ’ + 5) + 3 ( y ’ - O)2 = - 14 - 10

( x ’ + V 5)2 ( y ’ - O)2

(1 )

^ 12 8 = 1 ^ 12 ‘ 8 'La g rá fica de la ecuación dada es una hipérbola con centro en 0 '(- V5 , 0) y eje focal sobre el eje X ’. (Figura 10.6). Como a2 = 12 y b2 = 8 c2 = 20 => c = 2^5. Las directrices en el sistema X ’Y ’ tienen por ecuación

x ’ = h ± -1 c=> x ’ = -\5 ± «=> x’ = - L ó x' = - 1 Lc 2V5 <5 V5

En el sistema XY : x ’ = x CosG + y SenG

Por lo que : ± = X( - I ) + y (-J ) « í , : x + 2y - 1 = 0

. \ J

Y \NAN X

N sN S .

\ / \ n n

\ / \ / /

/

1

FIGURA 10.6

VB "1 /5 7 ’ V>/5/

= x ( ¿ ) + y ( é ) ~ : X + 2y + 11" = x (-j=) + y (-1 V 5 V5 VV52

son las ecuaciones de las directrices buscadas. □

( E JE M P LO 7 ) Sea la elipse de excentricidad 1/5, un foco en (1 , -2) y la directriz asociada 2x + y - 6 = 0. El sistema O’X’Y ’ se obtiene por

traslación del sistema original OXY, y el sistema 0 ’X ” Y ” se obtiene por rotación del sistema O’X ’Y ’ de tal manera que la ecuación de la elipse en el sistema 0 ’X” Y ” es

fx ” l 2 ív ” l 2 de la forma : 1 - 1 + 1 1 = 1 . a > b a2 • b-

www.freelibros.com

S e c c ió n 1 0 .2 : E c u a c ió n g e n e r a l d e la s c ó n ic a s 475

_ja) HaHar la ecuación der eje focal de lia elipse, b) Hallar las ecuaciones de rotación,c) Hallar las ecuaciones de traslación.

Solución, a) Si la directriz es tt 2x-t y ■> 6 = 0 => m, = -2

Luego, la pendiente del eje focal es m = 1/2 , y como pasa por el focoF,(l , -2), su ecuación es :

y + 2 = i (x -1 ) <=> ( : x • 2y - 5 = 0 (1)

b) la pendiente del eje focal m = Tg6 = 1/2, obtenemos: Sen0 = l/Vs y Cos0 = 2/Vs o tcnces las ecuaciones de rotación para el sistema 0 ’X ’’Y” son :

x' = x” Cos0 - y ” Sen0 <=» x ’ = - í x ” - -U y "V5 V5

y ’ = x" Sen0 + y ” Cos0 *=> y ’ = V j x” + ^ y ”

c) Las ecuaciones de traslación son : x = x ’ + h , y = y ’ + kdonde (h , k) son las coordenadas de O’ respecto al sistema XY.Si P(x , y) es un punto genérico de la elipse, entonces por definición de cónica

|PF,I = e \ d ( P . O l « V ( x - l ) 2+ ( y + 2)2 = 1 ( 1 1 1 1 * 6 (2)

Resolviendo, por simultáneas , (1) y (2) se tiene : x, = 2/5 ó x, = 7/5y, = - 23/10 ó y2 = - ,

Luego, las coordenadas de los vértices son : V |(2/5 , -23/10) , V,(7/5 , -9/5)El centro 0 ’(h , k) biseca al segmento V (V 2 => O’(9/10, -41/20)Por lo tanto, las ecuaciones de traslación son :

x = x ’ + 9/10 , y = y ' -41/20 □

( E J E M P L O 8 ) Dada la hipérbola 7x2 + 6xy - y2 + 28x + 12y + 36 = 0 , hallar sucentro y su excentricidad.

Solución. Con A = 7 , B = 6 , C = -1 , D = 28 , E = 1 2 y F = 36, se tiene :

Tg2e = aTc = y f í = i ^ Cos2e = yLuego : Sen 0 = ' Cos29 = -= L , Cos 0 = a / 1 + Co?2Q = 3

2 vio v 2 VioEcuación reducida : A ’(x’)2 + C’(y ’)2 + D’x’ + E'y’ + F = 0 (1)

<=> A ’ = A Cos2© + B Sen0 Cos0 + C Sen20 = 7 (1 ) + 6 (-1) - 1 ( ^ ) = 8

C ’ = A Sen20 - B Sen0 Cose + C Cos2© = 7 Q - 6 ( j l ) - l Q = -2

D' = D Cos0 + E Sen0 = 28 (-^L ) + 12 (-J= ) = I j L

www.freelibros.com

476 Capitulo 10: Ecuación general de segundo grado

E’ = - D SenG + E Cose = - 2 8 Í - Í ) + 12Í-^=) = - ¡ L'V i o 'vio2 v ioF = F = 36

Entonces , en (1), la ecuación de la hipérbola en el nuevo sistema X’Y’ es

8(x’): - 2(y’)2 + - ^ L x ’ + ^ L y ’ + 36 = 0 <=> 4 x" - y ’2 + - ¡ E x' + -£ = y ’ + 18 = 0Vio Vio Vio Viocompletando cuadrados en x’ e y’ se obtiene

4 (x ’2 + -JJ= x’ + | | ) - (y’2 - ~ y ' + = -4 o (y ’ - 2/VÍÓ)2 - 4(x' + 6/VÍO)2 = 4

que puesta en la forma canónica es

(y ’ i ^ Y - (X--+6/i^ . )i = l =* C'(- 6/VÍO , 2/VÍO) y a = 2 , b = l

Para hallar el centro en el sistema XY, usaremos las ecuaciones de rotación

x = x ’CosO - y ’SenO = (- - 4 - ) ( 4 = ) - ( - 3 - ) (4 = ) = - 2v V IoA V ió ' vV io /vv io /

C(-2 , 0)

c2 = a2 + b: = 4 + I = 5 ■=> c = V5 . Por lo que : e = £ = ~ □« 2

( E J E M P L O 9 ) Usando transformaciones de coordenadas, hallar la ecuación de la recta tangente a la elipse <? : 3x2 + 2xy + 3y2 - 2V2 y = 0

en el punto ^ ~t3\ . Dar la ecuación en el sistema XY.v 4V2 4V2 1

Solución. Como A = C = 3 , el ángulo de rotación es 0 = 45° , por lo que las

ecuaciones de rotación son :

x = x ’ Cos0 - y ’ Sen9 o x s - L (x1 - y ’) (1)V2

y = x ’ SenG + y ’ CosG => v = (x' + y ’)V 2

Sustituyendo en la ecuación de la elipse se tiene :

|(X’ - y')2 + -|(x’ - y’)(x’ + y’) + -|(x’ + y’)2 * 2(x’ + y') = o

■=> 2x’2 + y ’2 - x ’ - y ' = 0 completando cuadrado en x ’ e y ’ se obtiene

2 (x’2- I x ’ + — i + fy '2 - y ’ + 1 ) = 3 0 (X' - 1/4)2 + ,(y' - s |\ 2 16I V y 4/ 8 3/16 3/8

de donde : a2 =3/8 , b2 = 3/!6 , h = 1/4 . k = l / 2 => C’( l /4 , 1/2)Como el punto de tangencia T está dado en el sistem a XY, p a s e e m o s suscoordenadas al sistema X’Y' usando las ecuaciones (1)

www.freelibros.com

S e c c ió n IQ .2 :E c u a c ió n g e n e r a l d e la s c ó n ic a s 477

V3- I _ J_,_. v._ V3- I

4 } » ; - * - » ^ . i )

Según la fórmula (9) ., sección 8.5 , la ecuación de la tangente en T es az(x0’ - h)(x’ - h) + b2(y0’ - k)(y’ - k) = a*b2

- ! ■ i ) K ■ i ) * W ■ í ) - ( l) ( re )Se obtuvo la abscisa del punto de tangencia. El resultado es lógico, puesto que el centr C y el punto de tangencia T ’ tienen la misma ordenada ; esto significa que la tangente en el sistema X ’Y ’ es paralela al eje Y ’.

Luego , si x ’ = x Cos0 + y ' SenO <=> 1 + ^ (x + y)4 V2

x + y = (1 + V3)

es la ecuación de la tangente en el sistema XY. I~1

[E J E M P L O 1 0 ) La ecuación x2 - 8xy + 16y2 - I 2 V1FFx - 3VTYy = 0 se .nsfor- ma en otra ecuación de la forma

A’(x')2 + CXy’)2 + D’x ’+E 'y' = 0 (*)mediante una adecuada rotación de ejes. Hallar la nueva ecuación de la curva y además en el sistema rotado hallar el área del triángulo que tiene como vértices el origen de coordenadas y los extremos de su lado recto.

Solución. Con A = 1 , B = -8 , C = 16 , D = -12vT7 y E = -3VÍ7 , tenemos

T926'¡rc = rns Cos29= if > ^ 1 *Sen O = y/ 1 Cos2e = -= L , Cos 9 = -J Í± C o s 2 0 _ 4 ,5

' 2 V ñ v 2 VÍ7

A' = A Cos20 + B Sen0 Cos0 + C Sen20 = | ( j | ) - 8 (-j^) + 16 (-¡L) = 0

C’ = A Sen20 - B Sen0 Cos0 + C Cos2© = 1 (JL) + 8 ( A ) + 16 (1 |) = 17

D’ = D Cos0 + E SenO = - 12VÍ7 (~ = ) - j V 17 ( - £ = ) = -51

E' = - D Sen0 + E CosO = l2 V ñ ( ^ L ) - 3VÍ7(-já=) = 0

Sustituyendo estos nuevos coeficientes en {*) se obtiene :

www.freelibros.com


17y’2- 5 1 x ’ = 0 «=> y ’2 = 3x’ Entonces, la gráfica de la ecuación original es una parábola mostrada en la Figura 10.7 Como Ap = 3 >=> p - 3/4

Por lo tanto , a(ALOR) = ~ (LR) (OF)

= \ {Ap ) (p ) = 2p2

.22 (1 ) = f u > □


En los ejercicios 1 al 10, cambiar, en cada caso, del sistema XY al X ’Y ’ de modo que no aparezca el término x’y ’ e identifique la cónica. Para las elipses o hipérbolas (cónicas centrales) hallar, las coordenadas de sus vértices; para cada parábola, hallar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz, todos en el sistema XY.

1. 7x2 - 4xy + 4y2 = 240

2. x2 + 4xy + y2 + 32 = 0

3. x2 + 2xy + y 2 - 8x + 8y = 0

7. 6x2 + 4xy + 6y2 = 32

9. 31x2 + 10V3 xy + 21 y2 = 144

4. 25x2 - 36xy + 40y2 = 52

5. 7x2 - 50xy + 7y2 = 288

6. x2 - 4xy + 4y2 - 40x - 20y = 0

8. 6x2 + 20V3 xy - 26y2 = 324

10. 4x2 -4x y + y2 - 8 V Ü x - 1 6 ^ = 0

11. Considere la hipérbola de ecuación : 8x2 - 5xy - 4y2 = 153.a) Hallar la distancia entre sus vértices y la distancia entre sus focos.b) Hallar en el sistema XY , las ecuaciones de sus directrices

12. Gráficar la ecuación : 3x2 - 4xy + 16 = 0 , indicando su excentricidad y hallar la ecuación de su eje focal.

13. Identificar la cónica : 3x2 - 2xy + 3y2 = 18 , y hallar las coordenadas del vértice

o vértices en el sistema XY.

14. Identificar la gráfica de la ecuación 2x2 + 4xy - y2 - 12V5 x + 6 = 0. Halla r su excentricidad y las coordenadas del centro en el sistema XY.

15. Dada la elipse 7 : 5x2 - 6xy + 5y2 - 10x - 18y + 23 = 0 , hallar las ecuaciones cartesianas (respecto al sistema XY) de sus directrices.

www.freelibros.com

_16. Dada la cónica K : 2x2 - V8 xy + y2 + 4,^3 x + 4^6 y - 6 = O , identificarla deter

minando vértices y eje focal con respecto al sistema XY dado.

17. Dada la cónica K : 5x2 - 3xy + y2 + v io x + 3V10 y - 20 = 0 , identificarla dando las coordenadas de su centro ( en el sistema XY) y su excentricidad.

18. Hallar los valores de F para los cuales la ecuación

17x2 - 12xy + 8y2 - 22x - 4y + F = 0 sea : a) una elipse ; b) una elipse degenerada.

19. Mediante una rotación de los ejes de un sistema de coordenadas, con ángulo de rotación 0 = arcTg(2) en sentido antihorario , la ecuación de una cónica se transforma en : x ’2 + 2y’2 - 2^5 x’ - 1 = 0 . Hallar la ecuación de la cónica y las coordenadas de su centro en el sistema original.

20. Dada la ecuación x2 - 5xy - 11 y2 - x + 37y + 52 = 0 , indicar la cónica que representa y confirmarla hallando su excentricidad.

21. Después de una rotación de los ejes coordenados , seguida de una traslación al punto 0 ’(3 , -1) en XY , la ecuación de una cónica resulta x” 2 - 2y”2 = 6 y la ecuación de una de sus directrices ( en el sistema XY) es c£ : 3.x + 4v = t. Hallar la ecuación de la cónica y las ecuaciones de las directrices.

22. Identificar y gráficar la ecuación 9x2 - 24xy + 16y2 - 40x - 30y = 0. Indique además la directriz o directrices en el sistema XY.

23. Dada la ecuación 4x2 - 4xy + 7y2 + 12x + 6y - 9 = 0 ; graficar la cónica que representa indicando el eje focal y los focos.

24. El sistema XY es rotado en un ángulo 0 = 30s , en sentido antihorario determ inándose el sistema X ’Y ’. En el sistema rotado se considera el punto S’(2V3 - 1 , - 2 - V§) punto al cual se traslada el sistema X’Y ’ determinándose el sistema X” Y ” . a) Hallar las ecuaciones de transformación del sistema XY al sistema X” Y ” . b) Hallar la ecuación de la parábola ?J>\ y ”2 = - 8x” en el sistema XY.

C L A S I F I C A C I O N D E L A S C O N I C A S D E E C U A C I O N G E N E R A L

Empleando las ecuaciones ( 3 ) , (4) , (5) , ( 6 ) , (7) y (8), se obtienen algunasrelaciones importantes que nos permiten una información directa sobre la gráfica dela ecuación general de segundo grado en dos variables.

A x2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (1)

Sección 10.3 Clasificación de las cónicas de ecuación general________________________ 479

www.freelibros.com

480 Capitulo JO: La ecuación general de segundo grado

Así por ejemplo, sumando los miembros correspondientes de la ecuaciones (3) y (5) se t ie n e :

A ’ + C’ = A(Cos20 + Sen'0 ) + C(Cos20 + Sen20)A' + C ’ = A + C (10)

se puede ve rifica r, empleando las ecuaciones (3) , (4) y (5) que :B’2-4A’C’ = B2-4AC (11)

y de las ecuaciones (6) y ( 7 ) , que :D ’2 + E’2 = D2 + E2 (12)

El número B2 - 4AC recibe el nombre de característica o indicador de la ecuación (1)y el número B’2 - 4A’C’ es la característica o indicador de la ecuación transformadabajo una rotación.Las ecuaciones (10) , (11) y (12) , asi como la (8) reciben el nombre de invariantes

bajo una rotación de ejes.Uno de los propósitos de una rotación de ejes es proporcionar una ecuación

transformada en la que B’ = 0. Entonces, por la invariante del indicador, si B' = 0 , se tiene :

B2 - 4AC = - 4A’C’ (13)Recordemos que la gráfica de la ecuación

A ’x ’2 + C 'y '2 + D’x ’ + E’y ’ + F = 0 donde A ’ y C’ no son ambos cero, representa :1. Una elipse si A ’C’ > 0 <=> -A ’C’ < 0 ; puesto que A' y C’ son de igual signo para una

elipse.2. Una parábola si A ’C’ = 0 <=> -A ’C’ = 0 , puesto que A ’ o C’ son cero para una pa

rábola.3. Una hipérbola si A ’C’ < 0 <=> - A ’C’ > 0 , puesto que A ’ y C’ son de signos opuestos

para una hipérbola.Por tanto, teniendo en cuenta la ecuación (13), el signo de B2 - 4AC determinará el tipo de gráfica de la ecuación (1) tal como indica el próximo teorema.

TEOREMA 10.2 Clasificación de las cónicas por el indicador

La gráfica de la ecuaciónA x2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

1. Es el género elipse , punto o 0 , si B2 - 4AC < 02. Es el género parábola , dos rectas paralelas o 0 , si B2 - 4AC = 03. Es de género hipérbola , dos rectas concurrentes , si B2 - 4AC > 0

www.freelibros.com

Sección 10.3: Clasificación de las cónicas de ecuación general 481

C A S O DE C O N IC A S DEGENERADAS. La ecuaciónAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = O (1)

representará una cónica degenerada (punto, par de rectas o 0 ) siempre que su primer miembro pueda ser descompuesto en el producto de dos factores lineales. Luego, si ordenamos la ecuación (1) en potencias decrecientes de x tendremos :

A x2 + (By + D) x + Cy2 + Ey + F = 0 Suponiendo que A * 0 y despejando x , se sigue que :

-(By + D) ± V(By + D)2 - 4A(Cy: + Ey + F)2A

= - By2^ ° ± j^ V (B 2 - 4AC)y2 + 2(BD -2AE)y + D2 - 4AF

Haciendo : r = B2 - 4AC , s = 2(BD - 2AE) y t = D2 - 4AF

By + D i i—,-------------^ X = " 2A ~ 2A + sy + í

El discriminante del trinomio r y 2 + sy + / es :s2 - 4 r/ = 4(BD - 2AE)2 - 4(B2 - 4AC)(D2 - 4AF)

= - 16A(4ACF + BDE - AE2 - CD2 - FB2)Para que la ecuación (1) sea factoriable , es necesario que el trinomio r y ' + sy + ttenga raíces iguales para lo cual se debe tener que : s2 - 4rr = 0

4ACF + BDE - AE2 - CD2 - FB2 = 0 (14)Esta es, por lo tanto, la condición que deben satisfacer los coeficientes de la ecuación(1) para que la misma represente una cónica degenerada.Al primer miembro de la ecuación (14) se le denomina discriminante de la ecuación general de segundo grado y se le representa usualmente por A.En resumen , calculados los valores del indicador I = B2 - 4AC y del discriminante A = 4ACF + BDE - AE2 - CD2 - FB2 , la clasificación general de las cónicas es la siguiente :

1. Si A * 0 , la ecuación (1) representa una cónica verdadera , osea .

a) Si I < 0 y A < 0 , elipse

b) Si I > 0 y A < 0 ó A > 0 , hipérbola

c) Si 1 = 0 y A < 0 ó A > 0 . parábola

2. Si A = 0 , la ecuación (1) representa una cónica degenerada , o sea

a) Si I < 0 , un punto real (si A > 0 , es un conjunto vacío)b) Si 1 > 0 , dos rectas concurrentes

• • c) Si 1 = 0 , dos rectas paralelas , coincidentes o 0

www.freelibros.com


Q E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S

( E J E M P L O 1 ) Clasificando cónicas mediante la ecuación general_Clasificar las gráficas de las ecuaciones propuestas

a) x2 - xy - 6y2 - x - 7y - 2 = 0 c) 5x2 + 2xy + 10y2 - 12x - 22y + 17 = 0b) x2 + 2xy + y2 + 2x - 4y + 5 = 0 d) 8x2 - 4xy + 5y2 + 20 = 0

Solución, a) El indicador para esta ecuación es

I = B2 - 4AC = (-1)2 - 4(1 )(-6) = 25 > 0La cónica es de género hipérbola.Para tener la certeza que es una hipérbola usaremos el discriminante A = 4ACF + BDE - AE2 - CD2 - FB2

= 4(I)(-6)(-2) + (- l)(-l)(-7 ) - (1 )(-7)2 - <-6)(-l)2 - (-?)(-1)2 = 0 Por tanto , se trata de una cónica degenerada : dos rectas concurrentes.En efecto, factorizando la ecuación por el método de la doblé aspa, tenemos

x2 - xy - 6y2 - x -7y - 2 = 0

Xx r x ' } (x' 3y' 2)(x+2y+1)=°

Luego , las ecuaciones de las dos rectas concurrentes son :Set : x - 3y - 2 = 0 y J2? : x + 2y + 1 = 0

b) x2 + 2xy + y2 + 2x - 4y + 5 = 0Indicador: I = B2 - 4AC = (2)2 - 4(1 )( l) = 0 <=> género parábola Discriminante : A = 4ACF + BDE - AE2 - CD2 - FB2

= 4(1)(1)(5) + (2)(2)(-4) - (l)(-4 )2 - (1)(2)2 - (5)(2)2 = - 36 Como A * 0 , la gráfica de la ecuación es una parábola.

c) 5x2 + 2xy + 10y2 - 12x - 22y + 1 7 = 0Ind icador: I = B2 - 4AC = (2)2 - 4(5)(10) = - 196 < 0 ■=> género elipse Discriminante : A = 4ACF + BDE - AE2 - CD2 - FB2

= 4(5)(10)(17) + (2)(-l 2)(-22) - (5)(-22)2 - 10(-12)2 - 17(2)2 = 3400 + 528 - 2420 - 1440 - 68 = 0

Cónica degenerada . La gráfica de la ecuación representa un punto. Por lo tanto, resolviendo la ecuación para y , tendremos

1 Oy2 + 2(x - 11 )y + 5x2 - 12x+ 17 = 0 <=> y _ x - 11 i V(x - 1 l ) 2-_K)(5x2'- 12x + 17)

www.freelibros.com

Sección 10.3: Clasificación de las cónicas de ecuación general 483

Obsérvese que y es real si y sólo si x = I , luego para este valor de x se obtiene y = -1. En consecuencia, la gráfica de la ecuación dada representa el punto (1 , -1).

d) 8x2 - 4xy + 5y2 + 20 = 0Indicador: B2 - 4AC = (-4)2 - 4(8)(5) = - 144 < 0 => género elipse Como D = E = 0 , el discriminante e s : A = 4ACF - FB2

= 4(8)(5)(20) - 20(-4)2 = 2880 Resulta que A > 0 , por lo que la ecuación representa un conjunto vacío. □

( E J E M P L O 2 J Redúzcase la ecuación 3x2 + 4^3 xy - y 2 = 15 a su forma canónica más simple y trácese la gráfica correspondiente.

Solución, a) Clasificación de la cónica

Indicador: I = B2 - 4AC = (4^3 )2 - 4(3)(-l) = 60 => I > 0 La cónica es de género hipérbola.Discriminante : Como la ecuación dada es incompleta , ya que D = E = 0

=> A = 4ACF - FB2 = 4(3)(-1)(-15) - (-15)(4\í3)2 = 900 ■=> A > 0 Según (1b) la cónica es una hipérbola

b) Angulo de rotación para eliminar el término x’y ’

Tg20 = = ^3 o 20= 60° = > 0 = 3 0 ”

Luego , SenO = 1/2 y CosO =V3/2

c) Ecuaciones de rotación : x = x ’ CosO - y ’ SenO = \ (V I x’ - y ’)

y = x ’ SenO + y' CosO = j- (x ’ + VI y ’)

Sustituyendo en la ecuación dada se tiene :

^(V3 x ' - y ’)2 + ^ p (V 3 x’ - y ')(x ’ + V3 y ’) - I ( x ' + V3 y ’)2 = ¡5

x’2 y'2de donde obtenemos la transformada : 5x’2 - 3y'2 = 15 <=> — - — =13 5

Ecuación canónica de una hipérbola con centro en el origen y eje transverso sobre el eje X ’ , ilustrada en la Figura 10.8. í~)

( E JE M P LO 3 ) Simplificar la ecuación x2 + 2xy + y2 + 12V2 x - 6 = 0 a su formamás simple y construir su gráfica.


I = B2 - 4AC = (2)2 - 4(] )( ! ) = 0 . Es de género parábola

www.freelibros.com


Discriminante : A = 4ACF - CD3 - FB2 = 4( 1)(1 )(-6) -1 (12a/2)2 - (-6)(2)2 = - 288 I = O y A < O , según (1 c ) , la cónica es una parábola.

b) Angulo de rotación. Como A = C ■=> 0 = 45° y Sen9 = Cos6 = 1/V2

c) Ecuaciones de rotación : x = x ’ CosG - y ’ Sen0 = -j=r (x' - y ’)V2

y = x ’ Sen0 + y ’ CosG = -U (x ’ + y ’) v2


i (x- - y ’) 3 + | (x ' - y ’) ( x ’ + y ’) + \ ( x ’ + y ’ )2 + 1 2 (x ' - y ’) - 6 = 0

de donde obtenemos la transformada : x” + 6x’ - 6y’ - 3 = 0Ahora , trasladamos los ejes X ’ e Y' por el método de completar el cuadradopara x ’ :

(x ’2 + 6x + 9) = 6y’ + 12 o (x’ + 3)2 = 6(y' + 2)Haciendo x ’ + 3 = x” , y ’ + 2 = y ” , trasladamos los ejes al nuevo origen 0 ’(-3 , -2) Por lo tanto , x” 2 = 6 y" es ia forma canónica de una parábola cuyo eje focal está sobre el eje y ” , (Figura 10.9)

I Nota. Uso de las invariantes _

Como se puede observar en el paso (c), al sustituir las ecuaciones de rotación en la ecuación de la cónica dada, el proceso de simplificación resulta bastante laborioso y complicado. esto se puede evitar haciendo uso de las ecuaciones (3), (6) y (7), y de las invariantes (8) y (10).

( E J E M P L O 4 ) Reducir la ecuación 13x2 + 6v3 xy + 7y2 - 16 = 0 a su forma canónica más simple y construir la gráfica correspondiente


www.freelibros.com

S e c c ió n 1 0 .3 : C la s if ic a c ió n d e lus c ó n ic a s d e e c u a c ió n g e n e ra l 485

I = B2 - 4AC = (6V3)2 - 4(13)(7) = - 256 . Género elipseDiscriminante : Como D = E = 0 =* A = 4ACF - FB2

= 4(13)(7)(-16) - ( -16)(6^3)2 = - 4096 Dado que I < 0 y A < 0 , según (1 a ), la cónica es una elipse

b) Angulo de rotación : Tg20 = — ■ = V3 <=> 20 = 60“ ■=> 0 = 30oA - C 13-7

c) Siendo D = E = 0 , la ecuación transformada sera de la formaA’(x')2 + C’(y’)2 + F’ = 0 (1)

El nuevo coeficiente A ’ se determina por la ecuación (3)A' = A Cos28 + B Sen0 Cos0 + C Sen20

= 13( t ) + 6V5( t ) + 7( t ) = 16Por la invariante (1 0 ): A ’ + C ' = A + C

16 + C '= 13 + 7 =* C’ = 4F = F <=> F’ = - 16 Sustituyendo en (1) se tiene :

y ’2 y ’216x” + 4y” = 16 « * + 2 _ = i

1 4Es la ecuación canónica de una elipse con ejemayor sobre el eje Y' (Figura 10.10) Q FIGURA 10.1C

( E J E M P L O 5 ) Dada la cónica 16x2 - 24xy + 9y2 + 85x + 30y + 175 = 0. Hallara) La naturaleza de la, cónica

b) El ángulo de rotación que elimine el término xyc) La ecuación transformada ordinariad) La ecuación canónica y construir un esquema de la curva

Solución, a) Clasificación de la cónica :

1 = BJ - 4AC = (-24)2 - 4(16)(9) = 0 . Es de género parábola Discriminante : A = 4ACF + BDE - A ir - CD3 - FB3

= 4(16)(9)(175) + (-24)(85)(30) - I6(30)3 - 9(85)-’ - 175(-24)2 = - 140625 Como 1 = 0 y A < 0 , la cónica es una parábola

b) Angulo de rotación : Tg20 = — 5-^ = = - ~ <=> Cos20 = -A - C 1 6 - 9 7 ¿5

■=> Sen 0 = a / — Cos2e~ = - i . Cos 0 = - \ /14: Cos.20 _ _3_

c) Ecuación transformada : A '(x ’)3 + C’(y’)-'+ D’x ’ + E’y ' + F = 0 (1)

A' = A Cos30 + B Sen0 Cos0 + C Sen!0 = 16( ^ ) - 24 ( i | ) + 9 (~ |) = 0

www.freelibros.com


Por la invariante : A ’ + C’ = A + C ■=> C’ = 16 + 9 = 25 D’ = D Cos0 + E Sene = 85(3/5) + 30(4/5) = 75 E’ = - D SenG + E Cose = - 85(4/5) + 30(3/5) = - 50 F = F = 175Luego en (1) se tienen : 25y’2 + 75x’ - 50y’ + 175 = 0

=» y ’2 + 3x' - 2y’ + 7 = 0d) Ecuación canón ica :

Trasladamos los ejes X’ e Y ’ por el método de completar cuadrados, en este caso para la variable y ’(y'2 - 2y + 1) = -3x’ - 7 + 1 <=> (y’ - l)2 = -3(x’ + 2) de donde : h = -2 , k = 1 ■=> 0 ’(-2 , 1)Ecuaciones de traslación : x” = x ’ + 2

y” = y’ - 1Por lo tanto, la ecuación canónica de la parábola es :

(y” )2 = - 3 x ”cuya gráfica se muestra en la Figura 10.11 C3

( E JE M P LO 6 ) Dada la ecuación 8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y - 28 = 0 , identificar y reducir a su forma canónica más simple mediante una

rotación y traslación adecuadas. Construya la gráfica haciendo aparecer en ella los sistemas de ejes usados.


1 = B2 - 4AC = (4)2 - 4(8)(5) = - 144 . Es de género elipse A = 4ACF + BDE - AE2 - CD2 - FB2

= 4(8)(5)(-28) + 4(16)(4) - 8(4)2 - 5(16)2 + 28(4)2 = - 5192 Como I < 0 y A < 0 , según ( 1 a ) , la cónica es una elipse

b) Angulo de rotación : Tg26 = — — = ~ <=> Cos20 = - | 4A - C 3 5 ^^ -ye

S ene = A F c p e = ' , C o s e = J l ± ^ = 2> 2 Vs y 2 V5

c) Ecuación transformada : A ’(x’)2 + C’(y’)1+ D’x ’ + E"y' + F = 0 • (1)

A ’ = A Cos20 + B Sen0 Cos0 + C Sen20 = S ^ ) + 4 (-|) + s (^ ) = 9

Por la invariante : A ’ + C’ = A + C => 9 + C = 8 + 5 => C’ = 4

D’ = D Cos0 + E Sene = i6 ( A ) + 4 (4=) ='>/5' v\5 ' \5

( Y4K -,X" 3

V ,yFIGURA 10.11

www.freelibros.com

Sección 10.3: Clasificación de las con i< l. :l ecuación general 487

E’ = - D SenG + E CosG = -16 - Ü + 4 4= = - 4 -'¡5' V I V I

F = F <=> F = - 2 8 Luego en (1) se tiene :

9x’2 + 4y’2 + - - I r y ’ - 28 = 0V I V I

d) Ecuación canón ica :Completando cuadrados para x ’ e y ’ obtenemos :

9(x’ + 2/VI)2 + 4(y’ - l/V IY = 36 Ecuaciones de traslación : x” = x’ + 2/VI

y " = y ’ - 1/VI

=> 9x” 2 + 4y” 2 = 36 « * 2 + L ! = 1 □4 9

f lE J E M P L O 7 ) Identificar y eliminar el término producto y los términos lineales de la ecuación:

26x2 - 20V3 xy + 6y2 + 12(1 + 3V3)x + 12(V3 - 3)y - 36 = 0 Trazar la gráfica y la posición final de los ejes.

Solución, a). Clasificación de la cónica

I = B2 - 4AC = (-20V3)2 - 4(26)(6) = 576 <=> I > 0 Por lo que la cónica es de género hipérbola.

b) Angulo de rotación : Tg20 = . B _ = = - V3 <=> 20 = 120° ■=> 0 = 60°A - C 2 6 - 6

Luego , Sen0 = V3/2 y Cos0 = 1/2c) Ecuación transformada : A ’(x')2 + C’(y’)2 + D’x ' + E 'y’ + F = 0 (1)

A ’ = A Cos20 + B Sen0 Cos0 + C Sen20 = 26 ( - i) - 2 0 V I( ^ ) + 6 (-|) = - 4

Por la invariante : A ' + C’ = A + C ==> - 4 + C’ = 26 + 6 =* C’ = 36

D’ = D Cos0 + E Sen0 = 12(1 + 3V3)(^) + 12(V3 - 3 )(^ |) = 24

E’ = - D SenO + E Cos0 = - 12(1 + 3V3)(^y) + 12(V3 - 3 ) (^ ) = - 72

F = F ■=> F = - 36Luego, en (1) se tiene : - 4x’2 + 36y’2 + 24x’ - 72y’ - 36 = 0

<=> 9y’2 - x '2 + 6x’ - 18y’ - 9 = 0d) Ecuación canónica :

Para eliminar los términos lineales efectuamos una traslación de ejes por el método de completar cuadrados :

FIGURA 10.12

www.freelibros.com


9(y’2 - 2y’ + 1) - (x ’2 - 6x’ + 9) = 9 + 9 - 9 <=> 9 ( y ' - l )2- ( x ' - 3 ) 2 = 9

(

de donde : h = 3 y k = 1 ■=> 0 ’(3 , 1) Ecuaciones de traslación : x” = x ’ - 3

Es la forma canónica de una hipérbola cuyo ejes transverso está sobre el eje Y ” . La Figura 10.13 muestra la gráfica de la ecuación junto con los tres sistemas deejes coordenados. □

/FIGURA 10.13

En los ejercicios 1 al 16, use el indicador y el discriminante para clasificar la gráfica de la ecuación dada. Después , elimine el término en xy mediante la rotación adecuada de los ejes coordenados. Concluya trasladando los ejes coordenados (de ser necesario) y dibuje la curva en el sistema coordenado original.

1. 4x2- 12xy + 9y2 - 8VÍ3 x - 14 V l3 y + 117 = 0

2. 6x2 - 5xy - 6y2 + 78x + 52y + 26 = 0

3. x2 + 4xy + 4y2 - 8^5 x - 6^5 y - 10 = 0

4. 4x2 + 20xy - 11 y2 - 16^5 x - 40^5 > - 64 = 0

5. 8x2 - 4xy + 5y2 - 4V5 x + 10>/5 y - 11 = 0

6. 25x2 + 36xy + 40y2 + 56V l3 x + 32VÍ3 y + 364 = 0

7. x2 - 2V3 xy + 3y2 + (4 - 16V3)x - (4i/3 + 16)y + 4 = 0

8. 5x2 + 6xy + 5y2 - 4V2 x - 12\/2y + 8 = 0

9. 11 x2 + 24xy + 4y2 + 26x + 32y - 5 = 0

10. 9x2 - 24xy + 16y2 + 220x + 40y + 300 = 0

11. 9x2 + 24xy + 16y2 - 2 0 x - 1 1 0 y + 50 = 0

www.freelibros.com

12. 20xy + 15y2 - 32^5 x - 44^5 y + 140 = O

13. 3x2 + 2V3 xy + y2 - 8x + 8 V3 y + 16 = 0

14. 4x2 + 12xy + 9y? - 6V l3 x - 9VÍ3 y - 52 = 0

15. 9x2 - 6xy + y2 + 6VT0 (3x - y) + 50 = 0

16. 5x2 - 4xy + 8y2 + 4 V5 x - 16^5 y + 4 = 0

17. Si A = {(x , y) e R! 12xy + V2 x - 2^2 y + 3 < 0} , hallar el dominio y el rango deA.

18. Si A = {(x . y) e / f213x2- 2xy + 3y2- 18 < 0 } , graficar A y determinar su dominio y su rango

EJERCICIOS : Grupo 54________________________________ 489

www.freelibros.com

490 Capítulo I I : Coordenadas p o la re s

En el desarrollo de este capítulo se describe otro sistema de coordenadas, tan importante como la cartesiana , el llamado sis

tema de coordenadas polares. Aplicando este sistema podemos describir a un punto P del plano como la intersección de una circunferencia con una semirecta cuyo origen es el centro de dicha circunferencia.

www.freelibros.com

COORDENADAS POLARES

fTTn DEFINICIONES__________________________________________

Hasta a> ra hemos localizado un punto en el plano por medio de sus coordenadas rectangulares (x , y ) , donde x e y representan las distancias dirigidas de los ejes coordenadas a dicho punto. En este capítulo se introduce un segundo sistem a, conocido como sistema de coordenadas polares , según el cual la posición de un punto se puede especificar mediante su distancia y dirección a un punto fijo.

Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano se toma como referencia el punto fijo O , llamado origen o p o lo , y desde O se considera un rayo inicial OA , denominado eje po la r , tal como se indica en la Figura 11.1.

Las coordenadas polares de un punto P del plano están representadas por ( r , 9 ), donde r es el radio vector que representa la distancia dirigida de O a P , y 8 es el ángulo polar o amplitud , formado por el eje polar con OP. La coordenada 9 es positiva cuando se considera en el sentido contrario al que giran las manecillas del reloj , y la coordenada lineal r es positiva cuando se considera sobre el lado terminal de 9 y es negativa cuando se considera sobre su prolongación. (Figura 11.3)Una diferencia entre las coordenadas polares y las rectangulares es que cualquier punto tiene más de una representación en coordenadas polares. Por ejemplo las coordenadas ( r , 8) y ( r , 7n + 9) representan el mismo punto (Figura 11.2). Puesto que r es una distancia dirigida , las coordenadas ( r , 9) y (- r , n + 9) representan el mismo punto (Figura 11.3).

En g e n e ra l, el punto P( r , 9) tiene como juegc de coordenadas :

FIGURA 11.1

www.freelibros.com

492 Capitulo I I : Coordenadas polares

1. ( r , 0) = ( r , 2rm + 0) , 2. ( r , 0) = (- r , (2n + I )7t + 0)Estas dos diferentes formas de representar los pares de coordenadas del punto P ( r , 0) se pueden condensar en la fórmula siguiente

( r , 0) = ((-!)" r , n n + 0) , n e Z (1)

I Nota. Las coordenadas polares , constituidas por la menor determinación positiva de 0 y r positivo , correspondientes a un punto P(r, 0), se denomina c o o rd e n a d a s p o la r e s p r in c i

p a le s de P. El eje perpendicular al eje polar en el origen se denomina e je n o r m a l . e je a 9 0 " o e je

Y.

( E JE M P LO 1 ) Representaciones múltiples de puntos

Dibujar en el plano el punto P(4 , n/4) y hallar otro conjunto de coordenadas polares para el mismo punto para el c u a l :

a) r < 0 y O < 0 < 2 7 t , b) r > 0 y -2t i < 0 < O , c) r < 0 y -2 rc <0<O

Solución. Se dibuja primero un ángulo 0 cuya medida sea 45°. Luego , sobre el

lado final de 0 , se mide 4 unidades de distancia a partir del polo , localizándose así el punto P(4 , n/4). (Figura 11.4a)Ahora , haciendo uso de la fórmula (1) se tiene :

a) Para n = 1 t ( - l ) ‘(4 ) , n + -^j <=> P’ (-4,5Jt /4)

Trazamos el ángulo 0 de medida 225° (5rc/4), luego se prolonga el lado final de 0 hacia el lado opuesto del p o lo , midiendo 4 unidades a partir del polo a lo largo de esta dirección (Figura 11.4b) , obteniéndose así el punto P’(- 4 , 5Jt/4). Puesto que 225° = 180° + 45°, los puntos P’ y P tienen la misma representación.

b) Para n = -2 [(-I) *(4) , -2n + <=> P’(4 , - ln!A )

Aqui el signo negativo de 0 indica que éste debe ser medido en sentido horario , y ya que -315° tiene el mismo lado final que 45° , los puntos P’ y P coinciden. (Figura 11.4c)

www.freelibros.com

Sección l !. 2. Relación entre coordenadas palores y rectangulares 493

c) Para n = -1 <=> [(-1) ' (4) , -n + <=> P’(- 4 . - 3n/4)

A q u i, - 135° tiene el mismo lado final que 225° = 180° + 4 5 ° , entonces los puntos P’ y P tienen la misma representación. (Figura 11,4d)

Q 2 Q R E L A C I O N E N T R E C O O R D E N A D A S P O L A R E S Y R E C T A N G U L A R E S

Supongamos que la parte positiva del eje X coincida con el eje p o la r, y el polo con el origen. Entonces un punto dado P tendrá coordenadas rectangulares (x , y) y coordenadas polares ( r , 0).

Trazando por P la perpendicular PA , en el triángulo rectángulo OAP , las definiciones de las funciones trigonométricas implican que

x = r CosG (2)y = r Sen0 (3)

Tge = £ (4)

y por el teorema de Pitágoras :

r2 = x2 + y2 (5)<=> r = ± Vx2 + y 2 (6) FIGURA 11.5

www.freelibros.com

494 Capílulo I I : Coordenada!: polares

Las fórm ulas (2) y (3) perm iten pasar de las coordenadas polares a las coordenadas rectangulares , y ¡as fórm ulas (4) y (5) de las coordenadas rectangulares a polares.

( E J E M P L O 2 ) Paso de.rectangulares a piolares

Determinar las coordenadas polares correspondientes al punto P(1 , - V3).

Solución. Según la fórm ula ( 6 ) r = ± Vx2 + y 2 = ± V T T 3 = ± 2

Como x = 1 e y = - V3 , el punto se encuentra en el tercer cuadrante,

luego : Tg0 = ~ = - ^ Í 3 >=> 0 = 2n-7 i/3 = 57t/3Puesto que nuestra elección de 0 sitúa a éste en el mismo cuadrante que (x , y) , usamos un r positivo. Por lo que, un conjunto de coordenadas polares en P es :

( r , 0) = (2 , 571/3). □

)( E J E M P L O 3 j Paso de polares a rectangulares

Determinar las coordenadas cartesianas correspondientes alpunto P(12 , -rt/6).

Solución. Haciendo uso de las fórmulas (2) y (3) tenemos :

x = r Cos0 = 12 Cos(-;t/6) = 12 Cos(n/6) = 6 V I y = r Sen0 = 12 Sen(- n/6) = - 6

Por lo tanto , las coordenadas rectangulares de P son : (x , y) = (óVI , -6) Q

( E J E M P L O 4 ) Paso de una ecuación polar a la forma rectangular_________

Hallar la ecuación rectangular correspondiente a las ecuacionesa) r2 = a2 Cos20 c) r (2 -Cos0) = 2b) rCos(0 + n/6) = 1 d) r2 = Tg30 + Tg0

Solución. Empleando las fórmulas (2) , (3) y (5) se tiene

a) r2 = a2 (Cos!0 - Sen20) => r2 = a2( ^ - - - ) => r1 = a2(x2 - y2)

(x2 + y 2)2 = a2 (x2 - y 2)

b) r(Cos0 . Cos30° - Sen0 . Sen30°) = 1 « t [ ( ~ ) [ ^ ) - (y ) ( y ) ] = I

<=> V3 x - y = 2

c) r(2 - Cos0) = 2 => r(2 - -y) = 2 « 2 r = x + 2 + 2 Vx2 + y2 = x + 2

- __________www.freelibros.com

Sección 11.2. Relación entre coordenada notares ctangulares 495

Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos : 3x2 + 4y2 - 4x - 4 = 0d) r2 = Tg'0 + TgG ■=> r2 = Tg0(Tg20 + I) = Tg0 . Sec20

- © © - y - 3 □«=> r ,' x ' vx

E JE M P LO 5 ) Paso de una ecuación rectangular a la forma polar

Hallar la ecuación polar correspondiente a las ecuaciones : a) y2(a + x) = x2 (a - x) b) x2 + y2 = V2 (x + y)

Solución, a) r2 Sen20 (a + r Cos0) = r2 Cos20 (a - r Cos0)

<=> a Sen2© + r Sen20 . Cos0 = a Cos20 - r Cos50 <=> r Cos0 (Sen’0 + Cos20) = a (Cos20 - Sen2©)<ss> r CosG = a Cos20 « • r = a Cos20 . SecG

b) r2 = V2 (r Cosü + r Sen©) <=> r = 2 [ C o s © ( ^ ) + S e n O ® ]' | ) - Sene(fo r = 2[ Cos© . Cos 45° + Sen© . Sen 45° ]« r = 2 Cos (0 - 45°) □

( E JE M P LO 6 j Coordenadas polares del punto medio de un segmento

En un sistema de coordenadas polares se han dado los puntos P,(12 , 47i/9) y P2(12 , -2tU9). Calcular las coordenadas polares del punto medio del segmento que une los puntos P, y P2.

Solución. Sean ( x , , y t) y (x 2 , y2) las coordenadas cartesianas de P, y P2 , respectivamente. Si M (x , y) es el punto medio de P, y P2 , entonces :

x = i (x , + x 2) = 1 [ 12 Cos(47C/9) + 12 Cos(- 271/9))

= 6[2 Cos(27t/18) . Cos (671/18)] = 6 Cos(7t/9)

y = 1 (Y| + y,) = i [12 Sen(47c/9) + 12 Sen(- 2n/9)]

= 6[2 Sen(27tfl8) . Cos(67t/18)] = 6 Sen(7t/9)

Luego , las coordenadas cartesianas de M son (6 Cos ^ , 6 Sen )

Pasando estas coordenadas a polares se tiene :

Vx2 + y2 = V36 Cos2(n/9) + 36 Sen2(7t/9) = 6

DX a C n stn /Q ) a t Q / Q190 x “ 6 Cos(7t/9)

www.freelibros.com

496 Capítulo I I : Coordenadas polares

{ EJE M P LO 7 ) En un sistema de coordenadas polares se han dado los puntos M,(3 ,71/3) , M2(1 , 211/3) , M3(2 ,0) , M4(5 , Jt/4) , M J3 , -271/3) y

M6(1 , 1 1 tc /1 2). El eje polar ha girado de manera que en la nueva posición pasa por el punto Mr Determinar las coordenadas de los puntos dados en el nuevo sistema (polar).

Solución. La Figura 11.6 muestra la representa

ción polar de los puntos dados, al eje polar OX coincidente con el semieje positivo de abscisas y la nueva posición del eje polar OX’. En este nuevo sistema las coordenadas de dichos puntos son :

M, = ( 3 , - | - f ) = (3 ,0 )

27t

f ) = (0,M, = (2 , 0

M4= ( 5 , f - ? ) = ( 5 , - £ )

M, = ( 3 , f + ^ ) = {3,7C)

Mt = 0 • T i * - T ) = 0 ' n í l>□

EJERCICIOS: , Grupo 55

En los ejercicios 1 - 4 , trazar el punto dado en coordenadas polares y hallar otro conjunto de coordenadas polares para el mismo punto en el cual :

a) r < 0 y 0 < 9 < 2 7 t , b) r > 0 y -2n < 0 < 0 , c) r < 0 y -2 7t < 0 < 0

1. P (3 ,571/6) 2. P(3,37 t /2) 3. P(V2,7 n / 4 ) 4. P(2,47t /3)

En los ejercicios 5 -1 0 , hallar las coordenadas cartesianas de cada uno de los puntos dados en coordenadas polares.

5. P(6 , ti/2) 6. P(10 , - 7t/3) 7. P(8 , 27C/3)

8. P ( -2 ,7 7 t /4 ) 9. P ( - 4 , 27t/3) 10. P(- 1 . - 7k /6)

En los ejercicios 11 - 14 , hallar un conjunto de coordenadas polares para cada uno de los puntos dados en coordenadas cartesianas. Tómese r > 0 y 0 < 0 < 2ti

11. ( - V 3 . 1 ) 12. ( - 2 . - 2 V 3 ) 13. ir<2 ,-<2) 14. ( - 3 , 0 )

www.freelibros.com


En los ejercicios 15 - 20 , hallar en cada caso una ecuación en coordenadas polares del lugar geométrico cuya ecuación está dada en coordenadas rectangulares.

15. x2 + y2 - 9x + 8y = 0 18. (x2 + y2)3 = 4x2y2

16. y* = x2 (a2 - y2) 19. (x2 + y2)3 = (x2 - y2)2

17. x Cosa + y Sena = p 20. (x2 + y2)2 + 2ax (x2 + y2) - a2y2 = 0

En los ejercicios 21 - 26 , determinar las ecuaciones cartesianas correspondientes a cada una de las ecuaciones dadas en coordenadas polares.

21. r Cos(0 - tc/4) = 2 22. r(1 - 2 CosO) = 2 23. r = a Cos39

24. r = a Sen30 25. r = 2S ec2 (0/2) 26. r2(4 - 5 Sen20) = 1

27. En un sistema de coordenadas polares se han dado los puntos P,(8 , - 27t /3) y P?(6 , n/3). Calcular las coordenadas polares del punto medio del segmento que une los puntos P, y P2.

28. El eje polar de un sistema de coordenadas polares es paralelo al eje de abscisas de un sistema cartesiano rectangular y tiene la misma dirección que él. Se han dado las coordenadas cartesianas rectangulares del polo 0(1 , 2) y las coordenadas polares de los puntos M,(7 , 7 t / 2 ) , M,,(3 , 0 ) , M3(5 , - rc /2 ) , M4(2 . 27t /3) y M5(2 , - t i 16). Hallar las coordenadas cartesianas de ellos

29. El polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen-de coordenadas de un sistema coordenado rectangular, y el eje polar tiene la dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado. Se han dado las coordenadas polares de los puntos M,(5 , n / 4 ) , M?(3 , - 7C /4) , M3(1 , 3 ti / 4 ) , M„(6 , - 3k 14) y Ms(2 , - tc/1 2). Determinar las coordenadas cartesianas rectangulares de estos puntos.

30. El eje polar de un sistema de coordenadas poiares es paralelo al eje de abscisas de un sistema cartesiano rectangular y tiene la misma dirección que él. Se han dado las coordenadas cartesianas rectangulares del polo 0 (3 , 2) y de los puntos : M,(5 . 2 ). M2( 3 , 1 ) , M3(3 , 5 ) , M4(3 + >/2 , 2 - v2) y M5(3 + \ Í3 . 3). Determinar las coordenadas polares de estos puntos.

31. El polo de un sistema de coordenadas polares coincide con el origen de coordenadas cartesiano rectangular, y el eje polar tiene la dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado. Se han dado las coordenadas cartesianas rectangulares de los puntos : M,(-1 , 1) , M2(V2 , - V2) , M3(1 , V 3 ) . M4(- V3 , 1) y M5(2'/3 , - 2). Determinar las coordenadas polares de los mismos.

www.freelibros.com

Capítulo I I : Coordenadas polares

i t f r ] D IS T A N C IA E N T R E PO S P U N T O S

Sean P ,(r,, 0() y P,(r2 , 0,) dos puntos del plano dados en coordenadas polares , y sea d la distancia entre ellos.En el AOP,P,, aplicando la ley de los cosenos se tiene :

d 2 = r,2 + r22 - 2 r,r2 Cos(02 - 0,)

«=»</ = Vr,2 + r22 - 2 r,r2 Cos(02 - 0,) (7)

( EJEMPLO 1 ) Hallar la distancia entre los puntos A(5 , rc/4) y B(8 , - n/12).

Solución. Por la fórmula (7) se tiene :

d(A , B) = V(5)2 + (8)2 - 2(5)(8). Cos g +

= dlS + 64 - 80 Cos(rc/3) = 7 □

fEJEMPLO 2 J En un sistema de coordenadas polares se han dado dos vértices adyacentes de un cuadrado A(- 4 , 159) y B(2 , - 105B).

Hallar su área.

Solución. Por la fórmula ( 7 ) , el lado del cuadrado es

( = d ( A , B) = y¡(- 4)2 + (2)2 - 2(- 4)(2) Cos (15° + 105°)= V16 + 4 + 16 Cos(120°) = d20 + 16(- 1/2) = Vl2

Area del cuadrado = ¿2 = 12 u2 Q

fT IR AREA DEL TRIANGULO_______

Sea el triángulo de vértices , el polo O ,A(r2, 0 ) , B ( r , , 0 , ) , cuya gráfica se muestra en la Figura 11.8. Entonces :

a(AOAB)= ^ I Ó A | | B H | = I | r , | I BH I (1)

Como | BH I = I ÓB I Sen0 = I r31 Sen(02 - 0,)Por tanto , en (1) se tiene :

a(AOAB) = i I r, r2 . Sen(0, - 0,) | (8)FIGURA 11.8

www.freelibros.com

S e c c ió n 1 1 .4 : A r e a d e ! t r iá n g u lo 499

f É jE M P L O 3 ) Uno de los vértices de un triángulo está en el polo , los otros son los puntos A(5 , 7C/4) y B(4 , rc/12). Hallar su área.

Solución. Según la fórmula (8) :

a(AOAB) = 4 1(5)(4) Sen ( | - ^ ) | = 10 Sen (ji/6)

a(AOAB) = 5 u □

[ E J E M P L O 4 ) Hallar el área del triángulo de vértices A(3 , 71/8 ) , B(8 , 7n /24) y C(6 , 571 /8).

Solución. En la Figura 11.9 se tiene :

a(AABC) = a (AOAB) + a(AOBC) - a(AOAC) (1)Haciendo uso de la fórmula (8) para cada triángulo de la expresión (1) se sigue que :

a(AOAB) = \ | (3)(8) Sen ( g - | ) | = 6 u !

a(AOBC) = i | (8)(6) Sen ( g - — ) | = 12 V3 uz

a(AOAC) = 1 1 (3)(6) Sen ( í - f ) | = 9 u2

Luego , en (1) :

a(AABC) = 6 + 12V3 - 9 = 3(4^3 - I) u2 □


1. Hallar la distancia entre los puntos dados,a) A(4 , 35-) , B(- 8 , - 25®) b) A(2V3, 1129) . B(4 , - 98g)

2. En un sistema de coordenadas polares se han dado dos vértices opuestos de un cuadrado P(6 , - 77t /12) y Q(4 , jc/6) . Determinar su área

3. En un sistema de coordenadas polares se han dado dos vértices de un triángulo equilátero A(4 , - 71/12) y B(8 , 7n /12). Hallar su área.

4. Demostrar que los puntos A(1 , jt/3) , B(V3 , 71/6 ) y C(1 , 0) son vértices de un triángulo equilátero.

5. En un sistema de coordenadas polares se han dado dos vértices adyacentes de un cuadrado A(12 , - ni 10) y B(3 ,71/15). Hallar su área.

www.freelibros.com


6. Los vértices de una triángulo son , el po lo y los puntos A{4 , 1109) , B(6 , 80s).

Hallar su área.'"

7. Los vértices de un triángulo son , el polo y los puntos A(2 , 7t/3) y B(1 , 3% 14).

Hallar su área.

En los ejercicios 8 al 10 , ha llar el área del triángulo cuyos vértices se dan en

coordenadas polares.

8. A(2 , 2k 13) , B(3 , 7t/3), C(1 , Jt/6)

9. A(1 , 7t/3) , B(2 ,71/6), C(3 , - 7t/6)

10. A(2 , 7t/8) , B(4 , 37113) , C(-1 , 7n 18).

{ J J 3 EC U A C IO N P O LAR DE LA RECTA___________________________

Sea X una recta cualquiera que no pase por el polo. Tracemos por el polo una perpendicular a X , que la intercepta en N. Sea (ú el ángulo que hace el eje polar con la norma! ON y p

la medida del segmento ON. Finalmente , sea P ( r , 0) un punto cualquiera de X .

En el AONP se tiene : Cos (0 - tú) = y

=> r Cos(0 - cd) = p (9)es la ecuación general normal de la recta X en coordenadas polares.

C a sos Particulares.

a) Recta perpendicular al eje polar, a !a derecha del polo :Haciendo eo = 0 => r Cos0 = p

b) Recta perpendicular al eje polar, a la izquierda del polo :Si co = t i => r Cos0 = - p

c) Recta paralela al eje polar, arriba del polo :Si ce = 71/2 => r Sen0 = p

d) Recta paralela al eje polar, debajo del polo :Si co = 371/2 ■=> r Sen0 = - pSi la recta pasa por el polo, su ecuación es de la fo rm a : 0 = 0O, siendo 0O un valorconstante de 0 , menor de ti.

www.freelibros.com

Sección 11.5: Ecuación polar de la recia 501

C e J E M P L O 1 ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(4 , 27t /3J y es perpendicular al eje polar.

So luc ión. La ecuación de la recta es de la forma

SB : r CosO = ± p

Pero como ,S?está a la izquierda del polo , entoncesSB : r CosG = - p (1)

Si P(4, 271/3) e SB ^ 4 Cos 120 ° = -p

de donde se obtiene : p = 2

Luego, en (1) , la ecuación de la recta buscada es

SB : r CosO = - 2 □ FIGURA 11.11

( E JE M P LO 2 ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3V2T 37t /4) y es paralela al eje polar.

So luc ión. La ecuación de la recta es de la forma

SB : r SenO = ± p

Dado que 3t está arriba del eje p o la r, entonces :SB: r SenO = p (1)

Si P(3V2, 371/4) e SB 3^2 Sen 135° = p

de donde ,p = 3 . Luego, en (1), la ecuación de la recta es , JB : r SenO = 3 □

A

N T e N

o -->AJ

FIGURA 11.12

( E JE M P LO 3 ) Deducir la ecuación polar de la recta si se conoce el ángulo a de inclinación de la recta respecto al eje polar y la longitud p de

la perpendicular bajada desde el polo a la recta.

So lución. Sea P ( r , 0) un punto cualquiera de la

recta SB.

En el AOBP : a = 0 + P (a es un ángulo exterior) c=> |3 = a- 0

En el triángulo rectángulo ONP : Sen P = y

de donde se obtiene la ecuación de la recta SB, esto es :

SB : r Sen (a - 0) = p Q

FIGURA 11.13

www.freelibros.com


C e j e m p l o 4 j Deducir la ecuación polar de la recta , si se dan el segmento aque intercepta la recta en el eje polar, partiendo del polo, y el

ángulo polar co de la normal a esta recta. (Aplicación : a = 2 y co = - 2n/3)

Solución. Sea P(r, 0) un punto cualquiera de la rec

ta SB buscada.En el triángulo rectángulo ONP :

p = rCos(0-co) (1)En el triángulo rectángulo ONB :

p = a Cosco (2)De (1) y (2) se sigue que :

SP: r Cos(6 - co) = a Cosco es la ecuación polar de la recta SB.

Aplicación : Para a = 2 y co = - 2tc/3

<=> .5?: r Cos(0 + ¿ ti) = -1

( E JE M P LO 5 ) Deducir la ecuación polar de la recta SP si se dan : el ángulo a

de inclinación de la recta respecto al eje polar y el segmento a , que intercepta la recta en el eje polar. (Aplicación : a = n/6 y a = 6)

Solución. Sea P(r , 0) el punto genérico de la recta

SB buscada.En el AOBP : a = 0 + P ■=> P = a - 0 En el triángulo rectángulo ONP :

p = r S e n ( a - 0 ) (1)En el triángulo rectángulo ONB : m( £ OBN) = a ■=> p = a Sen a (2)Luego , de (1) y (2) se deduce que :

SB : r Sen(a - 0) = a Sen a

Aplicación : Si a = 7^6 y a = 6 => SB w sen ( ^ - 0) = 3 D

( E JE M P LO 6 j Deducir la ecuación polar de la recta que pasa por el punto P, (r , , 0,) con una inclinación respecto al eje polar dé un ángulo

a. Aplicación : P,(2 , - 71/6 ) y a = 2ti/3.

Solución. Sea P( r , 0) un punto cualquiera de la recta SB buscada.

En el AOBP : a = 0 + p <=> p = a - 0

□

www.freelibros.com

Sección 11.5: Ecuación polar de la recia 503

En el AOBP,: a = 0, + p, (5, = a - 0,En el triángulo rectángulo ONP :

p = r Sen p <=> p = r Sen(a - 0) (1)En el triángulo rectángulo ONP, :

p - r, Sen p, ■=> p = r, Sen(a - 9,) (2)De (1) y (2) se deduce que :

y : r Sen(a - 0) = r, Sen(a - 0,)Para P,(2 , - rt/6) y a = 271/3

c=> SC : r Sen ( j j t - 0) = I □

( E JE M P LO 7 ) Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por los puntos P ,( r , , e,) y P2(r2 , 02).

Solución. Sea P ( r , 0) el punto genérico de la rec

ta 5?. Usaremos la fórmula del área del triángulo para hallar su ecuación.

a(AOP,P2) = I r, r, Sen(0, - 02)

a(AOP,P) = j r, r Sen(0i - e)

a(AOPP2) = i r, r Sen(0 - 0,)

Como : a(AOP,P) + a(AOPP2) = a(AOP,P2)

<=> ^ r, r Sen(0, - 0) + ^ r2 r Sen(0 - 02) =

, FIGURA 11.17- ir , r, Sen(0, - 0,)

& : r (r, Sen(0, - 0) + r, Sen(0 - 0,)¡ = r, r2 Sen(0, - 0,)Aplicación : Si P,(4 , 271/3) y P,(2V2 , ni4)

o y : r [ 4 S e n ( | 7 t - 0 ) + 2V2Sen(0- | ) ] = 8 V 2 S e n ( ^ -

=> %': r [2 S en (^ n - 0) + S Í Sen (0 - j ) ] = 4V2 Sen

Pero : Sen (-yy) = Sen 75° = + V2)

y . r [ 2 Sen ( | t t - 0) + <2 Sen (0 - - | ) } = 2(1 + n^) □

www.freelibros.com


( E JE M P LO 8 ^ Dada la recta de ecuación polar V : r CosO + V3 r SenO = 6 ,hallar : a) El ángulo que forma S con el eje polar, b) Las

coordenadas de los puntos en que 5? corta a los ejes polar y normal.

Solución. La ecuación de la recta SP en su forma simétrica es

q, . r CosO + r SenO _ (6 2V3

de donde obtenemos sus intersecciones con el eje polar y normal (eje a 90°) que son , respectivamente : P(6 , 0) y Q(2^3 , n/2)

Luego : Tg p = g g = ^ =* p = 30°

a = 180o - 30°= 150° □

( E JE M P LO 9 J Hallar la ecuación en coordenadas polares de la recta que pasaP0 (4 , 30®) y que es perpendicular a la recta 0 = 60®.

So luc ión . La ecuación polar de la recta Sí es :

r Cos(0 - (0) = p (1)Dado que la recta 0 = 60° es perpendicular a S , entonces (0 = 0 = 60°.Si P0(4 , 30°) e 2 ■=> 4 Cos(30° - 60°) = p <=> p = 2V3

Por lo tanto , en (1) , se tieneSe : r Cos(0 - Jt/3) = 2>/3 □

( e j e m p lo 1 0 ) Hallar la ecuación de la recta en coordenadas polares de la recta que pasa por P0(1 , - 3) y que es paralela a la recta 0 = 225®.

So luc ión . La pendiente de la recta buscada S , que

pasa por P()(l , - 3) es m = Tg 225° = 1 , entonces su ecuación cartesiana es :

y + 3 = 1 (x -1 ) <=> Se : x - y - 4 = 0 Reduciendo a su forma normal obtendremos :Factor norm alizador: k = VA! + B2 = Vi + 1 = V2

Forma normal de la recta 5 ? : - U x - 4 = y - - 4 r = 0V2 V2 V2

www.freelibros.com

Sección 11.5: Ecuación polar de la recio 505

Luego , Cosco = 1/V2 , Senco = - 1/V2 => co = 360° - 45" = 3 !5° y p = 2V2

Por lo tanto, la ecuación polar de la recta V es :r Cos(0 -315°) = 2V2 □

¿IPfa ECUACION POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA___________

Ahora deduciremos la ecuación polar de una circunferencia de radio a y centro C(r, , 6,).Consideremos P (r, 6) como el punto genérico de la circunferencia.En el AOPC , la aplicación de la ley de los cosenos d a :

a2 = r2 + r,2 - 2rr, Cos(0 - 0,) (10)que es la forma polar de la ecuación de una circunferencia.

Casos Pa rticu la resa) Si el centro de la circunferencia está en el eje p o la r, a la derecha del polo, y la

circunferencia pasa por é l , se tiene , r, = a y 0, = 0 , entonces en (10)r = 2a Cos0

Si el centro de la circunferencia estuviera a la izquierda del polo . entonces r = a y 0, = 71, luego en (1 0 ):

r = - 2a Cos0b) Si el centro de la circunferencia está en el eje normal OY , arriba del polo y la

circunferencia pasa por é l , entonces : r¡ = a y 0, = 7t/2 , yr = 2 a Sen0

Si el centro de la circunferencia está debajo del polo, se tendrá : r, = a , 0, = 37t/2,

yr = -2aSen0

c) Si el centro está en el polo , r, = 0 y la ecuación de la circunferencia se reduce a :

r = ± a

(EJEMPLO 1 1 ) Hallar la ecuación polar de la circunferencia cuyo centro y radio son :

a) C(3 , 459) y a = 8 b) C(2 , 2409) y a = 7 c) C(5 . 180fi) y a = 5

So luc ión. Usando la fórmula (10) para cada caso , tendremos :

www.freelibros.com


a) (8)2 = r- + (3)2. 2(3)r Cos(6 - 45°) « r2 - 6r Cos(6 - 45°) = 55b) (iy- zz F-’ + (2)2 - 2(2)r Cos(0 - 240") <=> r2 4r Cos(0 - 240°) = 45c) (5)2 = r2 + (5)2 - 2(5)r Cos(0 - 7i) <=> r2 = - 1OCos0 □

(EJEMPLO 12) Empleando exclusivamente coordenadas polares , determine las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia.

r2 - 3^3 r Cos0 - 3r Sen0 + 5 = 0

Solución. Si r2 + r,2 - 2r,r Cos(0 - 0T) = a2 es la ecuación de una circunferencia ,

entoncesr2 + r,2 - 2rl r(Cos0 . Cos0( + Sen0 . Sen©,) = a2

=> r2 - 2r,r Cos0 . Cos©! - 2r,r Sen0 . Sen0l + r,2 - a2 = 0Si comparamos esta ecuación con la dada , se deduce que :

- 2r(r C os0 ,. Cos0 = - 3V3 r Cos0 <=* 2r, Cos0, = 3^3 (1)- 2r(r S en0 ,. Sen0 = - r Sen0 <=> 2r, Sen©, = 3 (2)

r,2 - a2 = 5 (3)

Dividiendo (2) en (1) se tiene : Tg0, = i <=> 0, = n/6

Sustituyendo en (2 ) : 2r¡ Sen(7t/6) = 3 <=> r, = 3 ; luego , en (3 ): a = 2Por lo que , las coordenadas del centro son (3 , 7t/6) y el radio a = 2 □


1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(4 , 2rt/3) y es perpendicular al radio vector de ese punto.

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 (- 3 , tc/6) y es paralela al eje polar.

3. Hallar las coordenadas polares de las intersecciones de la recta

X : V3 r Cos0 + r Sen0 - 12 = 0 con los ejes polar y normal, así como el ángulo que ella hace con el eje polar.

4. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por P0(1/2 , 309) y que es perpendicular a la recta 0 = 609

5. Hallar la ecuación polar de una recta & que por el punto (8 , 2n) y que forma un ángulo de 57t/6 con el eje polar.

6. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto (3 , 0e) y forma un

www.freelibros.com

Sección 11.7: Ecuaciones polares de las <. únicas 507

ángulo de 3k /4 con el eje polar. Hallar r para 0 = - ni4 y razonar la respuesta.

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4 , 20e) y forma un ángulo de 140® con el eje polar.

P8. Demostrar que toda ecuación de la forma r = , a , b , p eR. CosG + b SenG

y TgG * - a/b , representa una recta en un sistema de coordenadas polares.

9. Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro C(8 , n/3) y que pasa por el punto P0(4 , 2n/3).

10. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(8 , ti/4) y que sea tangente al eje polar.

11. Hallar la ecuación polar de la circunferencia que pasa por los puntos (con coordenadas cartesianas) P ( -1 , 5 ) , Q(- 2 , -2) y R(5 , 5)

12. Hallar las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias cuyas ecuaciones son dadas en coordenadas polares

a) r2 + r CosG - V3 r SenG -3 = 0 c) r2 - 4V3 r CosG - 4r SenG + 1 5 = 0

b) r2 - 4r Cos(6 - 7t/4) -1 2 = 0 d) r = 5 CosG - 5^3 SenG

13. Demostrar que la ecuación de la circunferencia que pasa por el polo y por los puntos (a , O9) y (b , 90-) es r = a CosG + b SenG.

14. Hallar la ecuación polar de la tangente a la circunferencia r = a en el punto

P0(a ■ V

£ ¡2 ¡ ECUACIONES POLARES PE LAS CONICAS

En esta sección veremos que las ecuaciones polares de las cónicas toman formas simples si uno de los focos está en el polo. Entonces , supongamos una cónica cuyo foco F coincide con el polo , el eje focal con el eje polar y una recta vertical ^ , cuya ecuación cartesiana es x = - d (d > 0 ), sea la directriz correspondiente (Figura 11.22).

Si P (r, G) es cualquier punto de la cónica , entonces por definición de cónica

d(P , F) = é? [ d(P , Q)]x — -d

FIGURA 11.22

www.freelibros.com

508 Capítulo I I : Coordenadas potares

=> d(P , F) = e [ d (Q , R) + d {R , P)]En términos de coordenadas polares se tiene

r = e (d + rC o s 0 ) .=> r = t á (11)1 - <■ Cose

Dado que el punto P (r, 0) tiene como coordenadas polares P (-r, n + 0 ) , la ecuación (11) se transforma en

— - e d <=> r = — , 11a)1 - e Cos(n + 0) 1 + e Cos©

Las ecuaciones (11) y (11a) son equivalentes.Si la directriz vertical estuviera a la derecha del polo F , (x = d) , se demuestra fácilmente que la forma polar de la cónica es

r = Llí (12)1 + eC o se 1 1

Si la directriz fuera horizontal y estuviera debajo del polo , se tendrá

r - T 7 í L e (13)y si la directriz horizontal estuviera arriba del polo , entonces :

r =--------— --- (14)l + e Sen0 ' 1

[ EJEMPLO 1 J Determinando elementos de una cónica a partir de su ecuaciónO

Dibujar la gráfica de la cónica : r = g + Cos0 y determinar

a) Las coordenadas polares de los vértices y del centrob) Las longitudes de los semiejes y de la semidistancia focalc) La ecuación polar de la directriz más próxima al polo.

Solución. Para determinar el tipo de cónica , reescribimos la ecuación dividiendo

entre 2 los términos de segundo miembro , esto es :

r = _ É _ = _ J --------2 + Cos0 j + -1 Q0Se

Identificando con la ecuación (12) concluimos que la gráfica es una elipse con e = 1/2 y que tiene uno de sus focos coincidente con el polo y directriz correspondiente a la derecha del polo (x = d).

a) Para 0 = 0 r = -=■—- = 2 ' 2 + 1 FIGURA 11.23

www.freelibros.com

Sección 11.7: Ecuaciones polares de las cónicas 509

y para 0 = 7t ■=> r = = 6

Luego , las coordenadas de los vértices son

V,(2 , 0o) y V2(6 , Tt) •y las del centro : C(2 , k )

b) 2a = 8 <=> a = 4 , c = CF = 2c3 = a3 - b3 ^ 4 = 16 - b3 b = 2V3 e d = 3 => (1/2) d = 3 <=> d = 6

c, uación cartesiana de la directriz , : x = d *=* x = 6f lo que , r CosB = 6 es su ecuación polar. □

{ EJEMPLO 2 J Identificando una cónica a partir de su ecuación polar

Dada la cónica de ecuación p o la r: r = - — -----2 + 4 Cos0

identificar y determinara) Las coordenadas polares de los vértices y del centrob) Las longitudes de los semiejes y la semidlstancia focalc) La ecuación polar de la directriz más próxima al polo.

Solución. Dividiendo por 2 cada término del segundo miembro , tenemos

r= ____1 + 2 Cos0

Si comparamos con la ecuación (12) concluimos que la gráfica es una hipérbola con e = 2 , que tiene uno de sus focos en el polo y por directriz asociada , la recta

: x = d (Figura 11.24)

a) Si 0 = 0 •=> r = —— = —2 + 4 2

Luego , los vértices tienen por coordenadas V ,(1/2, 0o) , V,(- 3/2 , n)

Las coordenadas del centro son : C(1 , 0o)b) a = |CV, I = 1/2 y c = IF C I = 1

cJ = a3 + b3 =» 1 = 1/4 + b2 ^ b = V3/2c) Si e d = 3/2 2d = 3/2 « d = 3/4

Por lo que , la ecuación de la directriz más próxima al polo es : x = d , o sea , r Cos0 = 3/4

FIGURA 11.24

www.freelibros.com

510 Capítulo I I . Coordenadas polares

E J E M P L O 3 j Dada la ecuación de la cónica : r =5 - 5 SenO

identificar y hallar las coordenadas del vértice y la ecuaciónpolar de la directriz.

Solución. Dividiendo cada término por 5 , tenemos • r _ 8/5

/ 1 - SenOComparando con la ecuación (13) se deduce quee = 1 , por lo que se trata de una parábola.S\ e d = 8/5 ■=* d - 8/5

45

Para 0 = 3n /2 ■=> r =5 - 5 (-l)

V(4/5 , 371/2) Ecuación de la directriz

( : y = - d <=> r Sen6 = - 8/5 □FIGURA 11.25

r = 10( E J E M P L O 4 ) Describir y trazar la gráfica de ~ ^ + 2 Sen0

las longitudes de sus ejes mayor y menor.

Solución. Dividiendo cada término del segundo

miembro por 3 , tenemos f _ 10/3

1 + ^S e n 0

Si comparamos con la ecuación (14) concluimos que la gráfica es una elipse con e = 2/3 , foco en el polo y directriz horizontal correspondiente, arriba del polo (y = d)Para 0 = n/2 ■=> r =

señalando

103 + 2

10

= 2 => V,(2 ,71/2)

= 10 c* V2(10, 371/2)y para 0 = 371/2 ■=> r =3 -2

Las coordenadas del centro son : C(4 , 3n/2)

a = |CV, I = 6 => 2a = 12; c = |C F l = 4 ; c2 = aJ - b2 .=> 16 = 3 6 - b 2 ■=> b : 2V5 => 2b = 4V5 □

( E J E M P L O 5 j Hallando la ecuación polar de una cónica__________________Hallar la ecuación en coordenadas polares de una parábola con

foco en el polo, directriz ortogonal al eje polar y que pasa por el punto (a , 7 t), a > 0.

www.freelibros.com

EJERCICIOS : Grupu 5H 511

Solución. En la Figura 11.27 vemos que la directriz vertical ( está a la izquierda del

polo , por lo que elegimos una ecuación de la forma (12)

r = e d1 - e CosG

Como la excentricidad de la parábola es e = I

dr =

Si V(a , 7t) e .9 <=> a =

I - CosG d

’ )

1 - CosítPor lo tanto , en (1 ), tenemos la ecuación buscada

2a.9 \ x =1 - Cose

□


En los ejercicios 1 aM 5 , identificar y trazar la gráfica de la ecuación dada.

1- r = — ,2 --- 2. r = — lJ — 3 . r =l - Cose l - Sene ‘ 2 + Sene

4. r = — 5. r = É 6. r = ’ 313 - 5 Cose 3 - 2 Sen6 _ 2 + 4Sen6

7. r= - — —— - 8 . r = -------ü ------ 9. r = 43 + Cose 3 - 5 Cose ’ ~ 3 - 3 Cose

10- r = — 4 7— 11. r = — - * 12 . r =-4 + 2 Cose - 1 + 2 Cose ■ 2 - 6 Cos6

13. r = ^--------- 14. r = ------------- 1 5 r = ______ ^ ____3 - 2 Cose 2 - 3 Cose 2 + 3 Sene

16. Hallar en la elipse r (3 - a/2 Cos6) = 12 , los puntos cuyos radios polares son iguales a 6.

17. Hallar en la hipérbola r(3 - 4 Cose) = 15 . los puntos cuyos radios polares son iguales a 3.

18. Probar que la ecuación de la elipse S : b 2x 2 + a2y2 = a2b 2 es

r2 = ____ * ____1 - e2C o s^

19. Probar que la ecuación de la hipérbola X : b 2x 2 - a2y2 = a 2b 2 es

r 2 = ' b2- e2 Cos:e

www.freelibros.com

512 Capítulo II. Coordenadas polares

20. Demostrar que toda ecuación de la forma

r = ------ - ( r / * 0 , a > 0 , b > 0 , son constantes)b - a CosO

r Elipse si a b

21. Verifique que la ecuación P(5 - 4 CosO - Sen20) = 1 representa una cónica. Determine su género.

22. La primera Ley de Kepler afirma qué los planetas viajan en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de los focos. Para encontrar la ecuación de una órbita , se coloca el polo 0 en el centro del Sol y el eje polar a lo largo del eje mayor de la elipse.Demostrar que la ecuación de la órbita es

(1 - e1) ar =1 - e CosO

donde e es la excentricidad y 2a la longitud del eje mayor

23. Describir la ecuación de una cónica, en coordenadas polares, cuando el foco está en el polo y el eje focal forma un ángulo de medida a con el eje polar.

En los ejercicios 24 al 29 , dibújese la gráfica de la cónica girada.

24. r = ---------- ?---------- 25. r = - ---- 26. r =1 - Cos(e - tc/4) I + Sen(9 - 71/3) 2 + Sen(0 + n/6)

27. r = í 28. r = ----— 4 -------- r 29. r =I + 2 Cos(0 + 271/3) 2 - Cos(0 + 7t/4) 2 - 3 Sen(0 - n/6)

(Q Q GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES__________________

Se abordará ahora el primer problema fundamental en coordenadas polares, o sea, la construcción de la imagen geométrica de una ecuación polar dada, mediante su discusión. El tratamiento es similar al de coordenadas rectangulares, por lo que los pasos a seguir son los siguientes.

1. In te rsecc ionesa) Con el eje polar. Se obtienen resolviendo la ecuación en relación con r y

calculando los valores de esa coordenada para 0 = 0 , 0 = 7 i ................... 0 = n 7i, donde n es un número entero.

www.freelibros.com

Sección 11.8: Gráficas de ecuaciones ares 513

b) Con el eje normal. Se obtienen asignando al ángulo vectorial los valores

de 0 = 7t/2 , 0 = 37C/2................ 6 = (2n + 1 ) 3 . , donde

n e Z , y se calcula los valores respectivos de r.

2. C rite rio de sim etríaa) Con relación a ríe polar. ea P ( r , 0) un punto de una curva y P’ su si

métrico en relación con el eje polar OX. Una curva simétrica en relación con el eje polar que pase por P deberá pasar por P’. La Figura 11.29a señala que las coordenadas de P’ son ( r , - 0) y (- r , 7t - 0 ), además de otros. Luego , si una curva es simétrica en relación con el eje p o la r, su ecuación se debe verificar al sustituir

¿ ) 0 por - 0l ¿ ) 0 por (7t - 0) y r por - r simultáneamente.

b) Con reí ion al eje normal. La Figura 11,29b muestra que el punto P ', simétrico de P con relación al eje normal (eje a

90°), tiene por coordenadas : ( r , 7t - 0) y (- r , - 0 ), además de otros. Luego , si los puntos P y P" pertenecen a una curva simétrica en relación con el eje OY, su ecuación se debe verificar al s u s titu ir :

¿ ) 0 p o r (71 - 0)

j ü ) 0 por - © y r por - r , simultáneamente.

c) En relación con el polo. Considérese el punto Q simétrico de P en relacióncon el polo. Las coordenadas de Q tienen los

valores ( r , 7t + 0) y (- r , 0 ) . Luego , si los puntos P y Q pertenecen a una curva sim étrica en relación con el polo , su ecuación se debe verificar al s u s titu ir :

l ) 0 por (71 + 0)¿ í ) r por - r

a ) y / i--------------- f , P(r. 0)n ■ 1

1

b ) yaP a 1

( r . - o J V( r . I t - 0 )

i-------------y ¡ > P ( r , 8)

1

A V i , . .

C ) Y i

K * 0 ^ "

--------

o P(r. 8)

X K o

0

Simetría respecto al eje polar

v ) 1V ' 9

\ 1

N i p '( r .-8 )

í - r . Jt - e)

O

Simetal e

X i 1N V - 6 1

X i

ia respectoe norma!

Y

/

Qt/( r . I I ♦ 0)

(f,e)Simetría respecto al polo

FIGURA 11 29

www.freelibros.com

514 Capitulo II. Coordenadas polares

3. Ex tens ión .Para determ inar la extensión de una curva en coordenadas polares, se re

s u e lv e previamente su ecuación de modo que se obtenga r como función explícita de 0 , es d e c ir , dándole la forma

r = / ( 0 ) (1)a) Si r es finito para todos los valores de 0 , la curva representativa de (1) es

' cerrada.b) Si r se hace infinito para valores particulares de 0 , la curva es a i a.c) Si r es compleja para determ inados valores de 0 , los puntos correspon

dientes de la curva no tienen representación en el plano ; a s í , el campo de variación de 0 está determinado por los valores correspondientes y reales de r.

d) Si la curva es cerrada, es conveniente determinar los valores extremos de r.

4. Tangentes en e l p o loPara obtener las tangentes en el polo a una curva de ecuación r = /(0 ) ,bastará hacer r = 0 y resolver /(0 ) = 0

5. C ons tru cc ión de la imagen geom étricaConcluido el estudio de las intersecciones , simetría y extensión de la curva, se pasa a la construcción de-la m isma por partes, dándole valores a 0, suficiéntemente próximos , y calculando los valores correspondientes de r , de modo que se obtenga un conjunto de puntos , que unidos por un trazo continuo produzca su imagen geométrica.

( EJEM PLO i ] Discutir y dibujar la gráfica de la ecuación polarr = a(1 + Sen0)

S o lu c ió n . Sea / ( r , 0) = a(l + Sen0)

1-. Intersecciones.

a) Con el eje p o la r : 0 = 0 ■=» r = a ( l + 0 ) = a0 = 7t ■=* r = a (l + 0) = a

Hay dos intersecciones con el eje p o la r : A(a , 0) y B(a , ti)b) Con el eje normal : 0 = n/2 ■=> r = a (l + 1) = 2a

0 = 3n/2 => r = a ( l - 1) = 0Existen dos intersecciones : C(2a , n/2) y D(0 , 3ti/2)

2. Simetrías.

a) En relación con el eje p o la r: 0 por - 0

www.freelibros.com

Sección 11.8: Gráficas de ecuaciones polares 515

/ ( r , - 0) = a ( 1 + Sen(-0)¡ = a(l - SenG) * / ( r , 0) No es simétricab) En relación con el eje norm al: 0 por (n - 0 )

<=> / ( r , 7t - 0) = a [ I + Sen(n - 0) ] = a(l + SenG) = / ( r , 0) Es simétricac) En relación con el polo : 0 por (n + 0)

=> / ( r , 7t + 0) = a [ 1+ Sen(7i + 0)] = a( I - SenG) t- f ( r , 0) No es simétrica3. Extensión. Para todos los valores de 0 e [0 , 2re] , los correspondientes valores

de r son reales y finitos, y como - 1 < SenG <1 o < r < 2a , por lo que la curva es cerrada , cuyos valores extremos de r son , entonces : r = 0 y r = 2a

4. Tangentes en el polo. Si r = 0 ■=> I + SenG = 0 <=> SenG - I o 0 = 3n/2La tangente en el polo es el eje normal

5. Imagen geométrica. Construimos una tabla de valores de r como función de0 s ( 0 , 2tc ] , con ángulos múltiplos de n /6 .

0 r0o a

,30o 1.5a45» 1.7a60° 1.9a90° 2a120° 1.9a

0 r150" 1.5a180° a210° 0.5a240" 0.14a300° 0.14a330" 0.5a

Uniendo estos puntos como se muestra en la Figura 11.30 obtenemos la gráfica de la curva en forma de corazón, llamada cardiode.

Las gráficas de las ecuaciones : r = a( cardiodes , que difieren sólo en tamaño sea horizontal o vertical) y la dirección ei polo.

- SenG) y r = a(l ± CosG) son también (determinado por a ) , eje de simetría (ya i la se forma la cúspide en los puntos del

( E J E M P L O 2 ) Dibujar la gráfica de la ecuación : r} = a2Sen20

Solución. Sea / ( r , 0 ) = a2 Sen20

1 . Intersecciones

a) Con el eje p o la r: Si 0 = 0 ■=> r = 0 , y s ¡0 = 7t ■=» r = 0b) Con el eje no rm a l: Si 0 = rt/2 ■=> r = 0 , y si 0 = 3k/2 <=> r = 0

La curva pasa dos veces por el polo

www.freelibros.com

516 Capitulo II. Coordenadas polares

2. Simetrías

a) En relación con el eje p o la r: 0 por - 9c=> / ( r , - 0) = a2(-Sen20) = - a2Sen20 * f ( r , 0) No es simétrica

b) En relación con el eje normal : 0 por (ti - 0)■=> / ( r , n: - 9) = a3 Sén(2ii - 20) = - a¡ Sen20 * / ( r , 0) No es simétrica

c) En relación con el polo : 0 por ( t i + 0)<=> f ( r , n + 0) = a; Sen(2n + 20) = a2 Sen20 = / ( r , 0) /. Es simétrica

3. Extensión. Si r = ± a VSen20 >=> r es real <=> Sen20 > 0«=> 0 < 2 9 < n ó 27t < 20 < 37t <=> 0 < 0 < 71/2 ó 7t < 0 < 371/2

En ambos intervalos r es un número finito y sus valores extremos son r = ± a , cuando 0 = 71/4 , por lo que la curva es cerrada.

4. Tangentes en el polo. Si r = 0 •=> Sen20 = 0 <=> 20 = 0 , 7 t, 271, 37t« • 0 = 0 . 7C/2 , 7 t, 371/2

Las tangentes en el polo son los ejes polar y normal.

5. Imagen geométrica

Debido a la simetría de la curva res pecto al polo sólo necesitamos consi derar 0 e [ 0 , 7t/2] para construir la si guíente tabla.

0 20 r0o ' 0o 015° 30° ± 0.7a

OOen 60° ± 0.92a45° 90° ± a60° 120“ ± 0.92a75° 150° ± 0.7a

En la Figura 11.31 muestra que la gráfica de la curva , llamada lenmiscata ,

consta de dos rizos en el primer y tercer cuadrante.Las gráficas de las ecuaciones r2 = - a2 Sen20 y r2 = ± a2 Cos20 son también lemniscatas , que difieren sólo en tamaño (determinado por a) y de la ubicación de los rizos , respecto a los cuadrantes y de la simetría respecto a los ejes polar y normal.

www.freelibros.com

Sección 11.8: Gráficas de ecuaciones ¡n¡¡ares 517

( E J E M P L O 3 ) Construir la gráfica de la ecuación : r = - 1 + 2 CosO

Solución. Sea / ( r , 0) = - 1 + 2 CosG

1. Intersecciones.

a) Con el eje po la r: Si 9 = 0 ■=? r = - l + 2 ( l ) = ! , y s ¡ 0 = 7ic=> r = - i + 2(-l) = - 3Hay dos intersecciones : A (l , 0) y B(- 3 , n)

Otra representación del punto B es (3 ,0)b) Con el eje no rm a l: Si 0 = n/2 <=> r = - 1 + 2(0) = - I

0 = 371/2 => r = - 1 + 2(0) = - 1

Hay dos intersecciones : C ( -1 , n/2) y D(- 1 , 371/2), o bien ,C(l ,371/2) y D(1 ,7t/2)

2. Simetrías

a) En relación con el eje p o la r: 0 por - 0=* / ( r , - 0) = - 1 + 2 Cos(-0) = - 1 + 2 CosO = / ( r , 0) Es simétrica

b) En relación con el eje norm al: 0 por (ti - 0)/ ( r , rc - 0) = -1 + 2 Cos(7t - 0) = -1 - 2 CosO * / ( r , 0) /. No es simétrica

c) En relación con el polo : 0 por 7t + 0=> / ( r , 7i + 0) = -1 + 2 Cos(7i + 0) = - I - 2 CosO * / ( r , 0) No es simétrica

3. Extensión. Para todo valor de 0, los valores de r son reales y finitos, por tanto,la curva es cerrada.

4. Tangentes en el polo. Si r = 0 => CosO = 1/2« 0 = 71/3 0 0 = 57C/3


0 r0” 1

y o c 0.7345" 0.4260" 090" - 1

0 f

225" - 2.41

2 4 í f j - 2300° 0315" 0.4!333° 0.73

0 r120° - 2135" - 2.41150" - 2.73

oc o - 3210" - 2.73

FIGURA 11.32

Usando toda esta información junto con los puntos adicionales que se muestra en la tabla adjunta , obtenemos la gráfica de la curva , llamada ¡¡macón . mostrada en la Figura 11.32

www.freelibros.com

518 Capítulo I I Coordenadas polares

E J E M P L O 4 j Construir la gráfica de la ecuación p o la r: r = a Sen39.

Solución. Sea / ( r , 0) = a Sen30

1. Intersecciones

a) Con el eje p o la r: Si 0 = 0 =* r = a(0) = 0 , y si 0 = 7t <=> r = 0La curva pasa por el polo

b) Con el eje norm a l: Si 0 = rc/2 => r = a (- l) = - a0 = 37t/2 => r = a (l) = a

Hay un punto de intersección , ya que los puntos (-a , 7t/2) y (a , 3n/2) tienen la misma representación.

2. Simetrías

a) En relación con el eje p o la r: 0 por - 9=* / ( r , - 0) = a Sen(-30) = - a Sen30 / f ( r , 0) No es simétrica

b) En relación con el eje no rm a l: 0 por (ti - 0)=* f ( r , k - 0) = a Sen3(rc - 0) = a Sen30 = / ( r , 0) Es simétrica

c) En relación con el polo : 0 por (ti + 0)■=> / ( r , jt + 0) = a Sen3(rc + 0) = - a Sen30 * / ( r , 0) No es simétrica

3. Extensión. Para todo valor de 0 , r es un valor real y finito , por tanto , la curva es

cerrada.

Como - 1 < Sen30 á 1 , los valores extremos de r son r = ± a

4. Tangentes en el polo.

Si r = 0 =* Sen30 = 0 o 30 = 0 , n , 271, 3Jt, 4 í t , 5it


0 r0o 0

oO

a60° 090° - a

120° 0

FIGURA 11.33

www.freelibros.com

Sección 11.8: Gráficas de ecuaciones polares 519

Dibujando los puntos de la Tabla, las tangentes en el polo y usando la simetría respecto al eje normal obtenemos la gráfica de la curva (rosa de 3 hojas) que se muestra en la Figura 11.33

I OBSERVACIONES

1. La gráfica de una ecuación polar de la forma :a) r = a Cos(n0) b) r = a Sen(nO)

es una rosa que tiene n hojas si n es impar y 2n hojas si n es par2. La gráfica de una ecuación polar de la forma :

a) r = a ± b Cos0 b) r = a ± b Sen0es un limacón.

Si a b , el limacón tiene una forma parecida a la del ejemplo 5

( E J E M P L O 5 ) Construir la gráfica de la ecuación : r = 4 - 3 Cos0

Solución. Sea / ( r , 0) = 4 - 3 CosO

1. Intersecciones

a) Con el eje p o la r: Si 0 = 0 >=> r = 4 - 3 ( l ) = l , 0 = rc =* r = 4 - 3 ( - l ) = 7Hay dos intersecciones : A(1 , 0) y B(7 , k )

b) Con el eje no rm a l: 0 = tc/2 => r = 4 - 3(0) = 4 , '0 = 37t/2 => r = 4Hay dos intersecciones : C(4 , n/2) y D(4 , 3ti/2)

2. Simetrías

a) En relación con el eje p o la r: 0 por - 0/ ( r , - 0) = 4 - 3 Cos(- 0) = 4 - 3 CosO = / ( r , 0) t=> Es simétrica

b) En relación con el eje no rm a l: 0 por (Jt - 0)/ ( r , j i - 0) = 4 - 3 Cos(7t - 0) = 4 + 3 CosO * f ( r ,0 ) o No es simétrica

c) En relación con el polo : 0 por (7t + 0)f ( r , 7t + 0) = 4 - 3 Cos(7t + 0) = 4 + 3 Cos0 * f ( r , 0) ■=> No es simétrica

3. Extensión. Para todo valor de 0 , los valores de r son reales y finitos , luego setrata de una curva cerrada.

Dado que - 1 < CosO < 1 , entonces re [1 ,7 ]

4. Tangentes en el polo. Si r = 0 <=> CosO = 4/3, es absurdo, por tanto la curva notiene tangentes en el polo.


www.freelibros.com


0 r

0“ 1

.O

1.4260° 2.5

OOos 4

120° 5.5

150° 6.58

0 r180° 7210° 6.58240° 5.5

270° 4

300° 2.5330° 1.52

271/3 \

571/6 \S / ' ^

B /

(—

«|ve \

>

^ l A

A 7 ^ln /6

A\ J \A ~J 6

/ \571/3

i n

FIGURA 11.34

Con toda esta información junto con los puntos adicionales que se da en la Tabla, obtenemos la gráfica de la Figura 11.34 Q Hasta aquí fuimos capaces de reconocer el tipo de gráfica a partir de la forma polar de la ecuación. Por supuesto , hay otras otras muchas gráficas polares , que no se incluyen en este resumen. Así , la gráfica del siguiente ejemplo se denomina concoide.

( EJEM PLO 6 j Una gráfica polar con una asíntota vertical

Construir la gráfica de la ecuación : r = 1 + 3Sec6

Solución. Sea / ( r , 0) = 1 + 3 SecG

1. Intersecciones

a) Con el eje p o la r: 0 = o <=> r = 1 + 3(1) = 4 , 0 = rc ■=> r = l + 3 (-l) = - 2Hay dos intersecciones : A(4 , 0) y B(-2 , it) o B(2 , 0)

b) Con el eje no rm a l: 0 = 7t/2 ■=> r = 1 + 3(°°) = °°0 = 37t/2 t=> r = 1 + 3(- °°) = - °°

No hay intersecciones

2. Simetrías

a) En relación con el eje p o la r: 0 por - 0■=» / ( r , - 6) - 1 + 3 Sec(- 0) = 1 + 3 Sec0 = / ( r , 0) .\ Es simétrica

b) En relación con el eje no rm a l: 0 por (n - 0)■=> / ( r , - 0) = 1 -r- 3 Sec(7i - 0) = 1 - 3 Sec0 * f ( r , 0) No es simétrica

c) En relación con el polo : 0 por (ir + 0)/ ( r , n + 0) = 1 + 3 Sec(:t + 0) = 1 - 3 Sec0 * / ( r , 0) No es simétrica

3. Extensión. Como r - » ± cuando 0 = (2k + 1) y , k e Z , la curva se extiende

indefinidamente hacia arriba y hacia abajo del eje po la r, es d e c ir, la

curva es abierta.

www.freelibros.com

E J a t C lC lO S . G ra p a 59 521

4. Tangentes en el polo. Si r = O <=> Sec0 = - 1/3La ecuación no tiene so

lución, pues, Sec0 < - 1 o Sec8 > 1. Luego, no hay tangentes en el polo.


0 r<r 4

30* 45

60* 790* + “

120* -5i5 tr -2 .5

0 r180" - 2

210" -2.5240" -5270* - OO

300* 7330" 4.5

711/6llít/6

La grá fica d e la ecu ac ió n se muestra en la F igu ra 1 1 .3 5 , dond e s e p u ed e observar q u e FIGURA 11.35x = 3 e s u n a asín to ta vertical. En efecto, como Sec0 = r/x , sustituyendo en la ecu ac ió n d a d a , ten em o s

3r = 1 + 3(4) x = = 3 + —* r - 1 r -

C u an d o r tien de a ± * » . la expresión tiende a cero, por lo que x = 3 es una asín to ta vertical. Q


E n los e je rc ic io s 1 a l 2 4 , dar la representación gráfica de la ecuación polar d a d a , se ñ a la n d o s im e tr ía s , intersecciones , extensión , tangentes en el polo y

1 .

tabulación.

r 2 = 9 C o s 2 6 2 . r 2 = - 4 S e n 2 0 3 . r = 3 - 3 CosO

4. r = 2 3 S e n 0 5 . r = 4 - 2 SenO 6. r = 2 + 4Cos0

7 . r = 2 - 4 SenO 8. r = 1 1 + 2 C o s 0 ! 9. r = a S e c 2^ ^ )

1 0 . r = 2 C o s (0 + 45®) 1 1 . r = 6 CosO + 8 SenO 1 2 . r = 1 - 2 Cos0

1 3 . r = 3 C o s 3 0 1 4 . r = 6 S e n 5 0 1 5 . r = 3 Cos50

16 . r = S e n 2 0 1 7 . r = 2 Cos20 18. r = 2 - Cos40

1 9 . r = 3 + Cos40 20. r = 3 + 2 CosecO 21. r = 2 SenO Tg0

2 2 r = 2 - S e o ® 23. r = SenO C 0 24. r = 2 Cos{30/2)

www.freelibros.com

522 Capítulo 11. Coordenadas ¡talares

Q 2 D I N T E R S E C C I O N E S D E G R A F I C A S P A R A E C U A C IO N E S P O L A R E S

En la sección anterior ya hemos visto la peculiaridad que tienen las gráficas de ecuaciones polares , ocasionada por el hecho de que un punto simple tiene diferentes representaciones en coordenadas polares. Así , en el ejemplo 4 , las coordenadas polares (a , 3n/2) pertenecen claramente a la rosa de tres pétalos , pero esas coordenadas no satisfacen la ecuación r = a Sen30. Esto significa que un punto puede tener un par de coordenadas polares que satisfagan una ec ción dada y otros que no. Por lo tanto , la gráfica de una ecuación polar consta de todos los puntos que tienen por lo menos un par de coordenadas que satisfacen la ecuación dada.

Ahora, si resolvemos un par de ecuaciones polares simultáneamente, obtendremos aquellos puntos que tienen iguales valores de r e iguales valores de 0, pero no obtendremos necesariamente todos los puntos de intersección de las curvas. Esta es otra consecuencia de la multiplicidad de las coordenadas polares. Por ejemplo, considérense las circunferencias r = 2 Sen0 y r = 2 Cos0 de la Figura 11.36. Si resolvemos por simultáneas ambas ecuaciones obtendremos el punto de intersección B(^2 , n/4). Pero también es claro que el polo A es un punto de intersección de ambas circunferencias , pero no tiene una representación polar simple que satisfaga al mismo tiempo a ambas ecuaciones. Por lo tanto , la única manera de tener certidumbre de hallar todos los puntos de intersección de dos curvas en coordenadas polares consiste en dibujar sus gráficas.

f EJEMPLO 1 ) Para las ecuaciones polares : r = 3 + 6 Cos0 y r = 3a) Obtener todos los puntos ( r , 0) que satisfacen el sistema de

ecuaciones.b) Obtener los puntos de intersección de las gráficas de las dos ecuaciones en el

intervalo O9 < 0 < 3609 Solución, a) Sustituyendo r = 3 en la primera ecuación se tiene :

3 = 3 + 6 Cos0 => CosG = 0 <=> 0 = 90° ó 0 = 270°Por lo que A(3 , 90°) y B(3 , 270°) son los pares (r , 0) que satisfacen ambasecuaciones.

FIGURA 11.36

www.freelibros.com

Sección I 1.9: Intersecciones de gráficas para ecuaciones polares 523

b) Trazam os las grá ficas de ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas polares, y por inspección se ve que los puntos A y B son puntos de intersección , como se obtuvo en la parte (a). Se ve también que hay un tercer punto de intersección C(3 , 0o) que satisface r = 3, pero no así la ecuación r = 3 + 6 CosO. La razón es que dicho punto no se produce con las mismas coordenadas en las dos gráficas. En la gráfica de r = 3 , el punto se da con coordenadas (3 , 0°), pero en la gráfica de r = 3 + 6 CosG , el punto se da con coordenadas (-3 , n ) . Por lo tanto, los puntos de intersección en el intervalo dado son A(3 , 90°), B(3 , 270°) y C(3 , 0o) □

f EJEMPLO 2 ) O btener los puntos de in te rsecc ión de las g rá ficas de ecuaciones polares : r2 = 4 Cos20 y r = 2^2 Sen0

Solución. Sustituyendo el valor de r de la segunda ecuación en la primera obtene-

mos : (2V2 Sen©)3 = 4(1 - 2 Sen20) =* Sen20 = 1/4Si SenO = 1/2 0 0 = 30° ó 0 = 150". En la segunda ecuación : r = V2

Luego , los puntos de intersección son --------------------------->A(V2 , 30°) y B (\2 , 150")

OI A 1 /o A 1 An i A ■>0/'VO>

Si SenO = - 1/2 <=> 0 = 210 0 0 = 330En la segunda ecuación se tiene : r = - V2Los puntos (- V2 , 210") y (- - 2 , 330°) son lasmismas representaciones de los puntos A y B

\ \ v A 1 /

respectivamente.Trazando las gráficas de las dos ecuaciones (Fi n V * y t ' y 0

gura 11.38) se observa que ambas pasan por elpolo. Por lo tanto, el polo es otro punto de inter ysección. O FIGURA 11.38

pEJEM PLO 3 ) Hallar los puntos de intersección de las gráficas cuyas ecuaciones en coordenadas polares son : r = 3 SenO y r = 3 CosO

Solución. Resolviendo las dos ecuaciones simultáneamente, obtenemos

www.freelibros.com

524 Cai>ítulo I I Coordenadas polares

3 Sen20 = 3 CosG => 2 Sen? CosG = Cos0<=> Sen0 = 1/2 o £os0 = 0

Si Sen0 = 1/2 « 0 = 30" ó 0 = 150"En la segunda ecuación : r = 3V2/2 ó r = - 3V3/2 Luego, los puntos de intersección son

A(3V3/2 , 30°) y B(- 3V3/2 , 150°) - B(3V3/2 . 330°) es otra representación del punto B.Si CosG = 0 ■=> 0 = 90° ó 0 = 270° , son las tangentes en el polo de ambas gráficas , pues , r = 0. En la Figura 11.39 vemos que el polo de un tercer punto de intersección que no aparece al igualar las dos ecuaciones en polares. Q

( E J E M P L O 4 ) Determinar los puntos de intersección de las curvas :r = 1 - 2 CosG , r 2 = 5 + 4 r Cos0

Solución. Sustituyendo el valor de r en la segunda ecuación se tiene :

(1 -2 CosG)2 = 5 + 4(1 - Cos0)Cos0 =* 3 Cos20 - 2 CosG - 1 = 0 (3 CosG + l)(Cos0 - 1) = 0 o CosG = - 1/3 ó CosG = 1 Si CosG = - 1/3 ■=> 0 =110° ó 0 = 360°- 110°= 250°En la primera ecuación se obtiene : r = 5/3 Luego , A(5/3 , 110°) y B(5/3 , 250°) son dos puntos de intersección.Si CosG = 1 <=>0 = 0° y r = 1 -2 (1 )= -- 1 Por lo que C(- 1 ,0°) ó C(1 , n ) es otro punto de intersección de ambas gráficas , como se muestra en la Figura 11.40 Q


En los ejercicios 1 al 12 , hállense los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones dadas. Trazar el esquema correspondiente.

1. r = SenG , r = 1 - SenG 2. r = 4(1 - CosG) , r CosG = - 3

3. r= 4 CosG , r 2 + 8 Cos20 = 0 4. r = 3 + 2 CosG , r(1 - CosG) = 3

www.freelibros.com

Sección 11.10: Lugares geométricos en coordenadas polares 525

5. r = 2 Cos20 , r 2 = 6 Sen20

7. r 2 = 9 Cos20 , r = 3V2 SenO

9. r = 3 + Cos40 , r = 2 - Cos40

11. r = 1 -S e n 0 , r= C os20

6. r(1 + 2 SenO) = 4 , r = 4 Sen0

8. r = 2(1-CosO) . r(1 + CosO) = 1

10. r = Cosec2(0/2) , 3r = 8(1 + CosO)

12. r(1 + SenO) = 2 , r = 8(1 + SenO)

e r r a LUG ARES G EO M ETRICO S EN CO O RDENADAS POLARES

Los pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico en coordenadas polares son esencialmente los mismos que para las coordenadas rectangulares. Se toma ( r . 0) como las coordenadas del punto genérico , y se interpreta el enunciado geométrico simbólico del problema como uná ecuación en r y 0. Como en el caso de las coordenadas rectangulares , la posición de los ejes debe elegirse de modo que se ajuste a las condiciones del problema particular. Por ejemplo , si se dan un punto fijo , el polo puede elegirse en este punto. Si hay una línea de simetría , el eje polar o el eje normal pueden elegirse a lo largo de esta línea.

üE JE M P L O S IL U S T R A T IV O S

( E JEM PLO 1 j Sea OA el diámetro de una circunferencia fija y 9 la tangente a la circunferencia en A. Trácese por O una recta que corte a la

circunferencia en D y a 9 en E. Sobre OE tómese una distancia OP igual a DE. Hallar la ecuación del lugar geométrico de P al girar OE alrededor de O.

Solución. 1. Sea P (r, 0) un punto del L. G. y a el radio de la circunferencia.

Si ÓP = DE <=> ÓP = Ó É -O D (1)2.

En el AOAE : CosO: OAOE

OE = 2aCosO

En el AODA : OD = OA . CosO = 2a CosO 3. Sustituyendo en (1) se tiene :

2a / I ■ Cos20\OP = 2a CosO = 2a (-CosO ' CosO

r= 2a SenO. TgO El lugar geom étrico se conoce como lacisoide de Diocles 0

FIGURA 11.41

www.freelibros.com


f EJEM PLO 2 ) Una circunferencia rueda sobre un eje polar y una recta que pasa por el centro de la circunferencia gira alrededor del polo.

Hallar el lugar geométrico de las intersecciones de la recta y la circunferencia en movimiento.

Solución. 1. Sea P (r, 9) un punto del L. G. y a

el radio de la circunferencia.2. Por la geometría elemental se sabe que

ÓT2 = ÓQ « ÓP =* ÓP = S í OQ

En el AOTC : OT = a Cotg0

ÓQ = OP + PQ ■=> ÓQ = r + 2a3. Sustituyendo en (1) se tiene :

(1)

r = a2 Cotg!0r + 2a

r = - a + Va2 + a2 Cotg20

r2 + 2ar - a2 Cotg2© = 0 FIGURA 11.42

- a + Va2 (1 + Cotg20) = - a + a Cosec0 r = a(-l + Cosec0) □

( EJEM PLO 3 j Una circunferencia de radio a se desplaza sobre el eje polar conservándose tangente a él. Se une el polo con el punto más

alto de la circunferencia, hallar la ecuación del lugar geométrico del punto de intersección de las rectas así trazadas con la circunferencia.

Solución. 1.

2 .

Sea P (r , 9) un punto del lugar

geométrico En cualquier posición de P, por la propiedad de la tangente, se verifica que :

ÓB2 = ÓA x ÓP =* OP = (1)O A

En el AOBA : OB = AB . Cotg0 = 2a Cotg0OA = AB . CosecO = 2a Cosec0

4a2 Cotg2©3. Luego , en (1)

r __ _A

/ n/ V ! V

0 B

r =2a Cosec0

r = 2a Sen0 . Cotg20

FIGURA 11.43

□

( EJEM PLO 4 ) En un sistema de coordenadas polares se trazan segmentos AB tales que el extremo A se encuentra siempre sobre el eje

www.freelibros.com

Sección 11.10: Lugares geométricos t . ordenadas polares 527

polar y el extremo B sobre la perpendicular al mismo que pasa por el polo, de manera que el área del AAOB es siempre constante e igual a S , siendo O el polo. Determinar y gráficar la ecuación en coordenadas polares de los pies de las perpendiculares a los segmentos AB trazadas desde el polo.

Solución. 1. Sea P (r, 6) un punto cualquiera

del lugar geométrico2. Dado que OP _L AB , entonces

a(ABPO) = i | B P | IÓ PI = ¿ |B P |r

a(AAPO) = ^ |P A | |Ó P | = i | P A | r

Luego : a(ABPO) + a(AAPO) = j (IBP | + I PÁ | )

3. Por tanto : S = ^ (r CotgB + r TgG)

de donde : r2 = S . Sen20El tipo de curva obtenido es una lemniscata cuya gráfica es similar a la de la Figura 11.31. Q

[E JE M P LO 5 ) Se da un punto fijo O y una recta ZC a la distancia a del punto O.Si por O se traza una recta cualquiera que corte a X en Q y a

partir de Q se toma de uno y otro lado una magnitud b , se obtiene los puntos P y P’. Hallar la ecuación del lugar geométrico engendrado por estos puntos al girar la recta alrededor de O.

Solución. 1. Sea P (r, 0) un punto cualquiera del

lugar geométrico.2. En cualquier posición de P se cumple

ÓP = ÓQ + QP ÓP’ = ÓQ - QP’

Dado que : QP = QP’ ■=> ÓP = ÓQ ± QP (1)

En el AOMQ : OQ = a CosecG

3. Sustituyendo en (1) se tiene :

r = a CosecG ± b

Si b < a , el lugar geométrico se llama concoide de Nicomedes

Si b = a , el lugar geométrico es una cardiode

Si b > a , el lugar geométrico es el caracol de Pascal Q

www.freelibros.com

528 Capítulo 11. Coordenadas polares


1. Un segmento MN de longitud constante 4 apoya sus extremos sobre los ejes polar y normal. Trazando del polo una perpendicular OP sobre MN , dedúzcase la ecuación polar de la curva generada por el punto P. *

2. Un punto P se mueve de manera que el producto de sus distancias a dos puntos fijos F,(2 , 0) y F2(2 , 7t) es igúal a 4. Deducir la ecuación polar de P.

3. Una circunferencia rueda sin resbalar sobre otra circunferencia fija de igual radio R. Hallar la ecuación polar generada por un punto P de la circunferencia móvil suponiendo que P coincide con el polo en el inicio del movimiento.

4. Sea la circunferencia de centro C y radio a. Trácese el diámetro OA y por el punto O una secante cualquiera que corte a la circunferencia en el punto B. Desde este punto márquese la longitud constante BP = b. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto P cuando la secante gira alrededor de O.

5. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas determinadas por una recta que pasa por el polo sobre una circunferencia de radio a , que también pasa por el polo y tiene su centro en el eje polar.

6. Un segmento de longitud 2a se mueve de manera que sus extremos están situados todo el tiempo en los ejes polar y normal. Hallar la ecuación de la trayectoria de la base P de la perpendicular bajada del polo al segmento.

7. Desde el polo se ha trazado un rayo que corta a la circunferencia r = 2a CosG (a > 0) en el punto B ; en el rayo , a ambos lados del punto B , se han trazado segmentos iguales a BM y BN de longitud constante b . Al girar el rayo, los puntos M y N describen una curva, llamada caracol de Pascal. Hallar su ecuación.

8. Desde el punto A(-a , 0) , en donde a > 0, se ha trazado un rayo AB en el cual, a ambos lados del punto B se han trazado unos segmentos BM y BN, iguales a OB. Al girar el rayo, los puntos M y N describen una curva, llamada estrofoide.

Hallar su ecuación en coordenadas polares , tomando el punto A por polo y dirigiendo el eje polar en la dirección positiva del eje OX.

9. Desde el punto B de intersección del rayo OB con la circunferencia x2 + y2 = a x se ha bajado una perpendicular BC al eje X. Desde el punto C se ha bajado una perpendicular CM al rayo OB. Deducir la ecuación de la trayectoria del punto M, primero, en coordenadas polares, tomando el origen de coordenadas por polo y el semieje positivo OX por el eje polar y, después, pasando al sistema carte

www.freelibros.com

EJERCICIOS Grupo 61 -9

siano de coordenadas rectangulares.

10. La base AB de un triángulo es un segmento de longitud 2b , coincidente con el eje polar y su punto medio es el polo. El tercer vértice C se mueve de manera que el producto de los lados AC y BC es siempre constante e igual a b2. Hallar la ecuación , en coordenadas polares . del lug ;r geométrico descrito por C y trazar el gráfico de la curva determinada por dicho lugar geométrico.

www.freelibros.com

Respuestas a Ejercicios Propuestos

(G rupo 1 ) Segmentos orientados y sistema coordenado lineal

2. ÁC = 8 ; 3. MÑ = 11 ; 5. a) A (-4 /5), B (6 ); b) A (-4 ), B (0 ), C (2 ); c) A (-3 ), B(4)d) A (-2 ); e) A (1 ), B (2 ), C (6 ) , D (7 ); f) A (-5 ). B (1 /3 ). C (11/3)

6. a < Za+Jb < 3a + b < a + b i 8 4 ¿ 4 o

b) ~ -1/3] U [3 , + , c) [- 1 , 2] , d) 2> 0 <3/2 , + ~>8. B< C < D < A ; 9. a) A(-7) ó A (3 ) , B(-5) ó B (11) , B(-8) ó B (-2 ), A(-4) ó A(8)

10. a) P(6) , Q(10), b) P (5 /3 ), Q (16 /3 ); 12. P (7 ); 13. Q(18/5) ; 14. P(15)15. a) M (7 ),b ) M(3) ; 16. A(-1) y B(-9) ó A(-5) y B(3) ; 17. A (-39 ), B(7)18. a) M ( -H ) .b ) N(13)

( Grupo 2 j Sistema de coordenadas rectangulares. Distancia entre dos puntos

1. a) Vm! + m2 , b) 2 Sen ( - ^ - |¿ ) ; 2. x = 1 3 ó x = -3 ; 3. b = -2 ó b = 4

5. a) isósceles , b) escalemo , c) equilátero , d) rectángulo ; 6. a) P(1 , - 2 ) ,b) P(3 , 1) ; 9. C(-2 , -2) ó C(3 , 3) ; 10. P ( :* ,-2 ) ;1 1 . C(-2 , 3) ó C(5 , 2)

12. C(-3 , 0) ó C(3 , 2V3) ; 13. 13 y 15 ; 14. 150u? ;1 5 . 60916. a) M(-15 , -12), b) M(1 , -12) 17. M(6 . 0 ) , M(-2 . 0 ) ; 18. P(1 , 0) ó P(6 , 0)19. C(-3 , -5) ó C(5 , -5) ; 20. P ( 3 , 0 ) ; 2 1 . C ( 3 , - 2 ) , r = 1 0

( Grupo 3 ) División de un segmento en una razón dada

1. a) P(6 , -7 ), b) P (1 0 ,7 ) ;2 . C(0 , 2 ) ; 3. a) P(-6 . 1 ) , Q(-2 , 3) , b) P(-1 ,9),Q(3 , 15); 5. C(8 , -11 ) ; 6. 17 ; 7. A(-1 , 4) , B(5 , 6 ) , C(3 .-2 )

8. D(3/2 , 2 ) ; 9. A(1 , 1/3) , B(4 , 7/3) 10. A(3 ,-1 ) . B(0 , 8) ; 11. A(-2 , 5) .B(3 , -3) , C(8 , 10) ; 12. C(5/3 , 26/3) ; 13. 2 4 /5 ; 14. (5/2 , - 2 ) ;

15. 14\Í2/3 16. (-11 , -3 ); 17. 4 ; 18. P(5/4 , - 1 /4 ) ; 20. r = 1/3 ; 21. L(1 . 7/2 ), M(-3/4 , 1/2) , N(7/4 , 159/103); 22. (5a/12 , 5b /12 ); 23. (19a/21 , 19a/21)

www.freelibros.com

Respuestas a ejercicios propuestos 531

( Grupo 4 ) Pendiente de una recta. Rectas paralelas y perpendiculares

1. x = 8 , y = -8 ; 2. 3^13 ; 3. P(3 , 4 ); 4. a) k = 2 ó k = -6 , b) k = 6 ó k = -35. a) k = 1 ó k = -5/3 , b) k = 3 ó k = -11/5 , c) k = 4 ó k = 3/2 ; 8. a) Es

rectángulo, b) Es rectángulo ; 9. m = -1 ; 10. m = -5 /2 ; 11. m = 1 612. M (5 ,4 )ó M (1 ,2 ) ; 13. P(7 , 5 ) , Q(-1 , - 1 ) ; 14. P(-5/4 ,-3/4)15. C(39/8 , -37/8); 16. a) D(6 , 5 ), D’(-4 , 3 ) , D"(4 , -3) , b) D(-7 , 6 ), D’(3 , -16),

D” ( 13 , 18) 17. d(D , P) = 5 , d(D’ , P) = V73 , d(D” , P) = 3V l318. P( 10/3, 17/3)

C Grupo 5 ) Angulos entre dos rectas

1. y = -8 ; 2. 0 = 45»'; 3. 0 = 1 3 5 s ;4 . a) 18/3 , 9/2 , 9/8 , b) 11 /3 ,-33 /10 ,11 /175. TgA = TgB ; 6. m3 = -43/22;7. b = 3 ;8 . a = arcTg(1/30); 9. P(-2 , 0 ), Q (9 , 0)

10. m = -1/3 ó m = 3 ; 11. B(-1 , 6 ), D(-2 , -1).

( Grupo 6 ) E l área del triángulo

1. a) (7>/2 - 2)u2 , b) 39.5 u2 , c) 40 u2 ; 2. C(-1 , 4) ó C(25/7 , -36/7)3. C(8 , 8) ; 4. C(2 , 3) ó C(7 , -2) ; 5. 50u2 ; 6. C,(-1 , 3 ) , C.,(-23/5 , -9/5),

C3(5 , -9 ), C<(43/5 , -21/5) ; 7. h = 15 ; 8. C(0 , -8) ó C(0 , -2)9. C(5 , 0) óC(-1/3 , 0 ) ; 10. P(3, 9) ó P (9 ,1 ); 11. 4 ; 12. C,{-2 , 12), D,(-5 , 16),

C2(-2 , 2/3) , D?(-5 , 14/3)

í Grupo 8 J Gráfica de una ecuación

www.freelibros.com

532 Respuestas u ejercicios propuestos

www.freelibros.com


www.freelibros.com

534 Respuestas a ejercicios propuestos

( Grupo 9 ) Ecuaciones Factorizables

www.freelibros.com


13. a) 10u2 , b) 9u2 ; 14. a) 18u2 ,b ) 16u2 ;1 5 . a) (2 , 1 ), (-2 , 1 ) , las otras son imaginarias ; b) (2 , ±4) , (-4 , +2) , c) (2 ,1 ) ,'(-2 , -1 ), (1 , 2 ) , (-1 , -2),d) (4 , - 2 ) , (-4 , 2)

( Grupo 1 0 ) Lugares geométricos

1. x2 + 6 x - 8 y + 3 3 = 0 ; 2. x2 - 2xy + y2 + 13x - 14y + 42 = 0 ; 3. (x2 + y2)2 -2b2(x2 - y2) = a4 - b4 ; 4. x2 + y2 - 14x + 16y + 49 = 0 ; 5. y2 = 2x - 1

6. x2 - 8y2 + 16y = 0 ; 7. xy = 12 ; 8. x2 + y2 - 9x - 10y - 396 = 09. 3x2 - y2 - 18x + 6y + 8 = 0 ; 10. 9x2 + 4y2 = 900 ; 11. 3x2 + 3y2 - 12x - 28y + 72 = 0

12. x2 - 6x + 18y = 72 ; 13. 3x2 - 2xy + 5x - 4 = 0 ; 14. 9x2 + y2 - 12x + 3 = 0 15. 24x2 - 2y + 3 = 0 ; 16. 2x2 = y ; 1 7 . 9x2 + 25y2 = 225 ; 18. x2 + ay - a2 = 019. 3x2 - y 2 - 2 2 x + 35 = 0 ; 20. x2± 2 x y -y 2 = 1 6 ; 21. x2 + y2 - 4x + 4y = 022. 4x2 + 4y2 - 8x - 8y + 7 = 0 ; 23. 9x2 + 4y2 = 144 ; 24. x2 + y2 + 28x + 52 = 025. y2(3 + x) = x2(3 - x) ; 26. h(x2 + y2) = 2a(h - y)x ; 27. 3x2 + 3y2 - 16y = 028. y2 = (a -x )(1 - a - x ) ; 29. 3xy - x - 2y = 10 ; 30. x2 - 6x + 18y = 72.

[ G ru p o 11 ) Ecuaciones para una recta

1. 4x + 3y = 1 5 ;2 . 6x + 8y + 7 = 0 ; 3. Medianas : y = 3 , x = 0 , x - 2y + 6 = 0, G(0 , 3 ). Mediatrices : x + y = 1 ,4 x + y = 2 , 2 x - y = 0 , E(1/3 , 2/3). Alturas: x + y = 7 ,4 x + y = 5 , 2 x - y + 9 = 0 , H(-2/3 , 23/3); 4. 7x + y = 3

5. G(-1/3 , 16/3) ; 6. P(3 , 8) ; 7. 5x - 12y + 25 = 0 , 14x - 15y + 7 = 08. x - 2y + 8 = 0 ; 9. 5x - y - 31 = 0 , x + 5y - 1 = 0 ; 10. P(0 , 1 ) , Q(1 , 0) , 11V2

11. 2x + y = 0 , 2 x - 3 y + 8 = 0 ;1 2 . P(0 , 11); 13. Q (1 0 ,-5 )1 4 . P(2 , 5)15. 6x + y - 22 = 0 ; 16. Q(-7 , 4 ); 17. x - 6 y - 9 = 0 ;1 8 . 3x + 4y - 1 = 0 , 3x - 4y

-1 7 = 0 19. a) Se : y - 4 = 0 , : x + y - 9 = 0 , b) <£ f l £ ' = E(5 , 4 ) , c) 4u220. a) A(5 , -5 /2 ), b) 4x + 2y - 15 = 0 , B(3 , 3/2), c) 4xy + 3x - 18y = 0 , d) S i ; 21.

1 6 x -3 9 y + 99 = 0

www.freelibros.com


( G ru p o 12 J Forma : Pendiente y ordenada al origen

1. x + y = 5 , 3x + 2y = 12 ; 2. x - y + 2 = 0 ;3 . 18x - 10y + 45 = 0 ; 4. 7 x + 1 2 y = 42 , 7x + 3y + 21 = 0 ; 5. 3x - y - 3^2 = 0 , 3x - y + 3^2 = 0 ; 6. k = ±6

7. x - 2y + 2 = 0 , 2x - y - 2 = 0 ; 8. 2x + 3y + 6 = 0 , 6x + y - 6 = 0 ; 9. 3x + 3y - 10 = 0 ; 10. x - y - 1 0 = 0 , (V2 ± 1 )x + (V2 + 1 )y -1 0 = 0 ;1 1 . 2 x -5 y + 20 = 0, 6x + 5y + 20 = 0

C G r u p o 1 3 ) Forma general y relaciones entre dos rectas coplanares

1. 7 ; 2. m = -4 , n = 2 ; 3. k = 5/17 , P = (17 , 0 ) ; 4. 7/3 ; 5. a = 1 6 , b = -66. m = -3 ó m = 2 ; 7. 6.2 ; 8. 6 ; 9. 10 ; 10. a = 4 , b = 7 ; 11. k = 2/3

12. P(6 ,6) ; 13. 5x - y + 1 = 0 ; 14. x - 5y + 17 = 0 , 5x + y - 19 = 015. 5x + y = 1 , x - 5y = 21 ; 16. k =-9 ó k = 7/3 ; 17. x - 3y = 5 ó 3x + y = 518. 2x + 3y = 12 ; 19. 3x - y + 9 = 0 , 3x + y + 9 = 0 ; 20. 7x + 6y + 16 = 0 , 2x +

9y + 41 = 0 ; 21. 7^6/3 ; 22. 3x + 4y -1 = 0 , 7x + 24y - 61 = 023. x + 2y- 10 = 0 , 2x - y - 10 = 0 . x + 2y - 20 = 0 , 2x - y = 0 , x - 3y + 10 = 024. 13u2 ; 25. x = 3 , 3x - 4y + 3 = 0 ; 26. 11x - 2y -14 = 0 ; 27. 4x-3y + 10 = 0,

7x + y - 20 = 0 . 3x + 4y - 5 = 0 ; 28. 4x + 7y - 1 = 0 , y - 3 = 0 , 4x + 3y - 5 = 029. 8x - y - 24 = 0 ; 30. H (22/21 . 11/7). 21u2 ; 31. x - 2 y - 4 = 0 ;32 . 3x - 2y -

18 = 0 , 2 x - 3 y + 13 = 0

( G r u p o 1 4 ) Forma normal de la ecuación de una recta_____________________

1. a) ^ x - l y + 4 = 0 , (0 = 330® ; b) - 4 = x + 4 = y - - ^ = = 0 , c o = 1 3 5 fi;' 2 2 \2 V2 2V2

c) - + f = 0 . ( o = 210®; 2 . 75® y 8 ; 3. p = 4^2 ; 4. x + y + 8 = 0

5. V3x - y + 6 = 0 ; 6. k = 19/2 . k = 8/9 ; 7. k = 10 , k = -40 ; 8. k = 2 ,k = -69. P(3/5 , 1); 10. a) 5/2 , b) 5 , c) 7/2 ; 11. h = 3^2/2 , S = 9u2 ; 12. S = 6u2

13. 3 ; 14. k = -146 , k = 24 ; 15. S = 25u2 ; 16. 3x + 4y - 30 = 017. 3x + 4y+ 15 = 0 ; 18. b = 3-4^5 ; 19. a) 8x - 12y + 11 = 0 , b) 9x - 15y - 4 = 020. P(-3/4 . 7/4); 21. 12x - 16y + 11 = 0 ; 22. S = l 4 u 2 ;23. 4 ; 24. 7x + 24y-

134 = 0 . x - 2 = 0 ; 25. B(5 - V3 , 3 - 2^3), C(5 + V3 . 3 + 2 /3)26. 2(12 + Vl3)x - (16 - 3'/l3)y - (152 + 17^13) = 0 , 2(12 + VÍ3)x - (16 + 3Vl3)y-

(152- 17VÍ3) = 0 ;27. R(-48 , -70); 28. 8 ^ /3 ; 29. a) x - 3y + 4 = 0 , 3x + y - 18 = 0 . b) 4x - 7y + 21 = 0 , 14x + 8y - 19 = 0 ; 30. x + 3y + 2 = 0

31. 143x + 11y = 765 , 70x - 77y = 442 . 27x + 99y = 65.

www.freelibros.com


( G r u p o 1 5 ) Familia de rectas en el plano

1. 5 x - y -1 3 = 0 ; 2. 9x + 7y - 11 = 0 ; 3. k = 1/2 ó k = -1 , x - 2y + 8 = 0 , x - 2 y + 2 = 0 ;4 . 5x + 8y = 0 ó x - 12y = 0 ; 5. b = -39/4 ; 6. 12/31 ; 7. 3

8. 4x - 8y + 15 = 0 , 4x - 8y = 25 ; 9. y + 3 = 0 ó V5x + 2y - 9 = 0 ; 10. x + 5y + 5x/2 = 0 , x + 5y - 5V2 = 0 ; 11. 3x + 4y + 38 = 0 , 3x + 4y = 62

12. x + 3 y + 3 = 0 , x + 3 y -1 7 = 0 ; 13. 7x + 12y ± 175 = 0 ; 14. 2x + y = 4 ó x - 2 y + 3 = 0 ; 15. 3 ; 16. a * -2 ; 17. 7x - 2y + 16 = 0 ; 18. x - y + 2 = 0

19. 8x + 11y -1 0 = 0 ; 20. x + 2y - 1 = 0 , 2x - y + 3 = 0 ; 21. x - 4y + 8 = 0 , 9x - 4y -2 4 = 0 ; 22. 2x + y -1 0 = 0 ; 23. 3x - y - 18 = 0 , x - 2y -1 = 0

24. 2x + y - 6 = 0 , 9x + 2y + 18 = 0 ; 25. 3x - y + 1 = 0 ; 26. 4x + y + 5 = 0 ,

x - 2 y - 1 = 0 , 2 x + 5 y - 1 1 = 0 ;2 7 . x - 5 y + 1 3 = 0 ,5 x + y + 1 3 = 0 28. Lados : 4x + 3y -14 = 0 , 3x - 4y + 27 = 0 , 3x - 4y + 2 = 0 , 4x + 3y + 11 = 0 ; 2da.

diagona l: 7x - y + 13 = 0

( G ru p o 16 j Puntos arriba y debajo de una recta

9. 4u2 ; 10. 0.75u2 ; 11. 12u2 ; 12. 32 (3 -2V 2)u2 ; 13. jta2/4 ; 14. 7/2u2 15. R = {(x , y) € R2 ly < 4x + 5 , x + 2y < 1 , 5y > 2x - 11} ; 16. 6

Ran(A n B) = [-2 , -1 ] U [1 , 2] ; 20. R = {(x , y) e # | y > x . 2 _ y < 2 . x y > x - 2 , y < x + 2 , y > - 4 , y < 4 } , a(R) = 32 u2 ; 21. a(R) = 3/2 u2

( G r u p o 1 7 ) Ecuación canónica ordinaria de una circunferencia

1. (x + 5)2 + (y - 3)2 = 25 ; 2. (x - 6)2 + (y + 3)2 = 45 ; 3. (x + 1f + (y . 4)2 = 164. (x + 3)2 + y2 = 40 ; 5. x - 2 y + 1 0 = 0 ;6 . (x + 1)* + (y . -|)a 3 ■, . 7 ^ ,

(y - 3)2= 25 , % : (x - 145)2 + (y - 23)2 = (145)2 ; 8. (x - 1/3)2 + (y . 13'/3)2 = 20/g9. ^ ; (x - 16/5)2 + (y + 12/5)2 = 5 , : (x - 6 /5 f + (y + 14/5)2 = 5 ; 10 « (x 2)2 +

(y -6 )2 = 4 ,í? 2:(x -1 0 )2 + (y -1 3 )2 = 100;11. « ; : (x - 5)2 + (y + 2f = 20 « L

9/5)2 + (y - 22/5)2 = 20 ; 12. ff,: (x - 2)2 + (y - 7)2 = 2 , ^ ; (x + 4)2 + (y + U )L 338

www.freelibros.com

538 _________________________________________Respuestas a ejercicjjjps propuestos

13. % : (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25 . % : (x + 26)2 + (y + 3)2 = 625 ; 14. / % : (x + 3)2 +(y + 7)2 = 50 , : (x - 2)2 + (y - 8)2 = 200 ; 15. (x - 2)2 + (y - \Y - 1/2

16. % : (x - 3)2 + (y - 4)2 = 9 , % : (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16 ; 17. : <x + 2)2 + (y - 1)2 = 25 , % : (x + 12)2 + (y - 21)2 = 625 ; 18. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 25 . % : (x + 16/3)2 = 25 ; 19. «?,: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1 , % : (x + 3)2 + (y - 3)2 = 9

20. «?,: (x + 8)2 + (y + 7)2 = 25/13 , % : (x - 2)2 + (y - 1)2 = 81/13 ; 21. (x - 5/2)2 + (y + 5/2)2 = 1/2.; 22. a) V : (x - 1)2 + (y - 5)2 = 13 , b) (x + 5)2 + (y + 4)2 = 52

23. a) B (5 -V 3 ,3 -2 V 3 ) ,C (5 + x /3 ,3 + 2V 3 ),b ) (x - 3)2 + (y - 4}* = 20 ; 2 % :

(x - 6)2 + (y - 8)2 = 25 . % : (x + 1)2 + (y - 9)2 = 25 ; 25. (x - 3)2 + (y - 6)2 = 226. 5 ? : x + y = 20^/2 , SP2 : x + y = 10^2 ; 27. Si es inscriptible , (x - 2)2 + (y - 3)2 = 6528. Si lo es ; r«\ (x - 2)2 + (y - 3)2 = 65 ; 29. (x ± y3)2 + (y ± 4x/3)2 = 52

f G ru p o 1 8 ^ Ecuación general de una circunferencia_______________ __

1. a) Circunferencia , C (-2 /3 , 4 ) . r = 5 ; b) P un to : C (3 /4 . 5/4); c) Circunferencia, C(5/4 , -3 /4 ), r = 3 , d) Circunferencia , C(2/5 , 3 /5 ) , r = 2 ; 2. k = 3 ó k = -27

3. a ) k > V 6 ó k < - V 6 ; b ) k = V 6 ó k = -V6 ; c) -V6 < k < V6 ; 4. 3 12 , 5. y = 6 ó y = -4 ; 6. k = 9 ; 7. 14 ; 8. 17 y 35 ; 9. x2 + y2 - 8x + 6y - 9 = 0

10. (x + 2)2 + (y - 3/2)2 = 4 ; 11. x2 + y2 - 6x + 2y - 75 = 0 ; C(2 , - 1 ) , r = V§512. X \ x + 2 y -2 0 = 0 , í = 8>/5 ; 13. x2 + y2 - 16x - 16y + 115 = 0 ; 14. x2 + y2 +

12x + 23 = 0 ; 15. x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 ; 16. x2 + y2 + y - 1 = 017. P(3 + V2 , 8 + y¡2) ; 18. Tg0, = 1/7 , Tg02 = 1/5 ; 19. t, : x + 2y + 4 = 0 ,

( 2 : 2x - y - 12 = 0 ; 20. ^ : 3x - y + 4 + 3V Í0 = 0 . 4 : 3x - y + 4 - 3V Í0 = 0,

T ( 10 + 9V Í0 , 10 + 3V10 \ T / 9 V Í0 - 10 , 10 - 3V Í0 \'V 10 10 /■ 2\ 10 10 I

21. : x - 7y + 16 = 0 , : 137x - 409y + 842 = 0

( Grupo 19 ) Familia de circunferencias

1. (x - h)2 + (y + 2h)2 = 5h2 ; (x - 1/2)2 + (y + 1)2 = 5/4 , (x + 2)2 + (y - 4)2 = 202. (x - h)2 + (y - 3h - 1)2 = 9 ^ ; (x - 2)2 + (y - 7)2 = 36 , (x + 2)2 + (y + 5)2 = 36

3. (x - 3k + ?9)z + (y - k)2 = | | (k + 3)2 ; (x - 2)2 + (y + 7)2 = 25

4. a) Secantes , b) Tangentes exteriores , c) Exteriores , d) Tangentes interiores5. x2 + y2 + 2x - 8y - 33 = 0 ; 6. x2 + y2 - 6x + 2y - 3 = 0 ; 7. x2 + y2 - 2x - y - 5 = 0,

25x2 + 25y2 + 6x - 67y -111 = 0 ; 8. x2 + y2 - x - 2y = 0 , x2+ y2 - 6x - 12y + 25 = 09. x2 + y2 - 8 x - 6 y + 35 = 0 ; 10. 4x2 + 4y2 + 40x - 14y - 29 = 0 ; 11. 1 2 6 x -

42y + 269 = 0 ; 12. 1(1/8 , - 21/8) ; 13. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 814. (x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 ; 15. x2 + y2 + 6x - 4y - 36 = 0

www.freelibros.com

Respuestas a ejercicios propuestos

f G ru p o 20 )

1. 3 : 2x - y -4 : 2x + y -

6. VTO ; 7. x0(4 , -2 ); -

12. (h ,-h 2)2 + (14. T,(1 .5) y

( G ru p o 21 )

1. (x - 1/2)2 + I4. 4xs + 4yJ - 17. (x - 3)2 + (y

10. x2 + y 2 - ax132 = 0 ; 1

19 = O ; 4. se ,: 2x + y - 5 = O , % : 2x + y + 5 = O ; 5. d = 15/2 • 2y + 11 = O , 2x + y - 8 = O ; 8. r2 = b2/(1 + k2) ; 9. P(-4 , 2) y0. x - 2v + 1 = O ; 11. k = -1 ó k = 39

x2 + y2 - 8x = O

( G ru p o 2 2 ) Conjunto de puntos asociados con circunferencias

R =[-5/2,7 /2¡

D-I-6/V5.6/V51 R-[0,6/75! D =|-5 ,-V 2/2 |U [V 2 /2 .5 ] . R -|-5 /2 ,S /2)

D=[-S/2,5) R=[-5.5/21

www.freelibros.com


a(R) = k + 2 ; 15. D = [-3 , 3] , R = [-3 , 3/2] , a(R) = 13.5 u2

( G ru p o 2 3 ) Traslación de ejes _____________________________________

1. 3x’2 - 2y ’2 = 6 ; 2. 3x’y' = 1 ; 3. 4x ’2 + 9y'2 = 3 6 ; 4. x 'y ’ + 5 = 0 ; 5. 0’(-5 , 6), 9x’2 - 16y’2 = 1 4 4 ; 6. 0*(-3 , 1 ), 25x’2 + 4y'2 = 100 ; 7. 0’(7 , -8 ), x 'y1 = 3

8. 0’(5/6 , -4 /5 ), x 'y ’ = 2 ; 9. 4x’3 - 3y’ = 0 ; 10. 4y’3 + 3x’ = 0 ; 11. 3y’3 = 2x’212. 2x’3 = y ’2 ; 13. 4x ’3 = y ’2 ; 14. y '3 + 8x’2 = 0 ; 15. x’y '2 = 3 ;1 6 . x '2y ' = 4 17. 2x'2y' = 5 ; 18. x 'y ’2 = 8 ;1 9 . 0 ’(-1 . -2) . 0 ’(7 , -2 ); 20. (-2 , -3 ), 0’(10 , -3)21. 0’(-1 , 2 ) ; 22. 0’(2 , -1 ) ;2 3 . 0’(1 . 1/4); 24. ax’ + b y '= 0 ; 25. x ’y ’ = ab - c26. 0’(-1/2 , 3 /2 ), 27. x2 - 2y2 ± 8x + 4y + 10 = 0 ; 28. y2 + 16x - 8y + 64 = 0 , y2 +

16x - 8y - 32 = 0 ; 30. x - y + 3 = 0 , x - y + 11 = 0 ; 31. x + 7y - 2 = 032. 11x - 8y + 6 = 0 ; 33. 6x - y - 22 = 0 ; 35. 2x - 21y + 19 = 0 ; 34. 13x + 2 1 y -

55 = 0 ; 36. 38x - 3y - 114 = 0

( G ru p o 2 4 ) Rotación de ejes

1. P’(1 - 2V3 . -2 - V 3 ); 2. P’(5>/2 , -2V2); 3. P’(3 , -5 ) ;4 . P’(4^3 . 0 ); 5. P(4 ,-2)6. (-6 ,1 0 ) ; 7. P (3V 2,10) ; 8. P(3 , - 4 ) ; 9. P(2a/3 , -2<3) ; 10. y ' + 2 = 0

11. x ’ - 1 = 0 ; 12. y ’ ± 3 = 0 ; 13. 0 = 45s , 2x ’ - y ’ - 4 = 0 ; 14. y ’ + V2 = 015. 3x’ - y ’ ± 6 = 0 ; 16. x ’ - 2y ’ ± 2 V1Ó = 0 ; 17. 5x’ ± VÍO = 0 ; 18. 0 = 1 5 *19. 0 = 30® ; 20. 0 = 75a ; 21. 0 = 609 ; 22. 9x ’2 + 4y ’2 = 36 ; 23. 2x ’2 + y ’2 = 424. 3x ’2 - 5y’2 = 30 ; 25. y ’2 - x ’2 = 1 ; 26. x2 - y2 = 4 ; 27. x2 - 3xy = 1 ; 28. A(6,

5) , B(0 , 0) , C(5 , -10) ; 29. x = - x’ - £ y ’ + 9 , y = £ x ' - y ’ - 3

www.freelibros.com


[ G ru p o 2 5 J Formas canónicas de la ecuación de una parábola

1. x2 + 2y = 0 ; 2. x2 = 6y;4 . P(-3 , 6) ó P(-3 , -6); 5. t = 20 ; 6. r = 5/27. 4/3; 8. x + 3y - 7 = 0 ; 9. m = ±>/3/3;10. 4x ±3y -16 = 0 ; 11. 8p

{ G ru p o 2 6 ) Formas canónicas ordinarias de la ecuación de una parábola

1. (y - 2)2 = 6(x + 3) ; 2. (x + 1)2 = -12(y + 3) ; 3. (x + 3)2 = -(y - 5/4)4. (y - 4)2 = x + 1 ; 5. (y + 2)2 = 6(x - 5/2) ó (y + 2)2 = -6(x - 11/2); 6. (x - 2)2 =

8(y + 1); 7. (y - 1)2 = 18(x - 13/2) ó (y - 1)2 = 2(x - 5/2); 8. (x - 4)2 = 12(y + 2) ó (x - 7)2 = -12(y + 8) ; 9. (x - 4)2 = 4(y + 2) ó (x - 4)2 = -16(y - 3)

10. (x + 1/2)2 = 6(y + 3/2) ó (x + 7/2)2 = -6(y + 9/2); 11. (y - 1)2 = 8(x - 1) ó (y - 1)2 = -8(x - 5 ) ; 12. (y -3 )2 = -16(x -2 ) ; 13. (x + 7)2 = 8(y - 2 ) ; 14. (y + 4)2 = -8(x - 6)

15. (x - 2)2 = -4(y - 3) Ó (x + 3)2 = 4(y + 1) ; 16. (x -4 )2 = 4(y + 5 )ó ( x -8 )2 = 20(y+ 1) 17. (y - 3)2 = 4(x + 2) ó (y - 27)2 = 100(x + 2) ; 18. (x - 5)2 = -56(y - 6) ó (x + 3)2 =

8(y + 2); 19. ( x - | | ) 2 = - l J | ( y - - ? | ) ;20. &>: (y - 16)2 = 16(x - 5)

( G ru p o 2 7 ) Ecuación general de una parábola

1. V(-2 , 7/2), F(-2 .17/4), LR = 3 ; DD’ : y = 11/4. Eje, 7 ,: x = -2 , Dom(.<?) = r , Ran(.9) = < -~ , 7/2] ; 2. V(3 , -3/2) , F(1 , -3/2) , LR = 8 . DD’ : x = 5 , Eje t, :y = -3/2 . Dom(3») = <-~ , 3] . Ran(.jP) = R ; 3. V(2 . -2), F(2 . -4/3) , LR = 8/3 . ( : 3y + 8 = 0 . Eje . f , : x = 2 , Dom(á°) = R , Ran(.?>) = [-2 , +«>

4. V(-4 , 3 ) , F(-13/3 , 3 ), LR = 4/3 , ( : 3x + 11 = 0 , Eje , ( , : y = 3 , Dom(¿P) = <-~ , -4] , Ran(¿P) = R ; 5. V(1 , -1/2) . F(4/3 , -1/2) , LR = 4/3 . í ; 3x = 2 . Eje , t , : y = -1/2 , Domjá*) = [1 , +«*», fía n ($>) = R ; 6. V(-1 , 2 ). F(-1 , 4/3)_ LR = 8/3 , í ; 3y = 8 , Eje . ; x = -1 . Dom(;?) = R, Ranjá5) = <-«», 2]

8. r = 5 ; 9. 6x + 4y + 17 = 0 ; 10. f = -1ó/ = 3 ;11. 4 ó 18 ; 12. 6x + y-27 = 013. x - 2y - 7 = 0 ; 14. 6x + 2y - 1 = 0 ; 15. x2 + y2 - x + 2y -1 = 0 ; 16. 2x -

3 y - 9 = 0 ; 17. 2x - 25y + 121 = 0 ; 18. E = 2 , F = -12

( Grupo 28 j Ecuación de la tangente a una parábola

1. x - 3 y + 2 = 0 , 3x + y -2 4 = 0 ; 2. 8x - y = 13 , x + 8y = 91 ; 3. x - y + 8 = 0, x + y + 2 = 0 ; 4. k = 2 ;5 . x - 2y - 1 = 0 ; 6. x + 3 y = 0 ; 7 . x + 2 y - 9 = 0 , 3x - 2y + 5 = 0 ; 8. 6 = 369 2' ; 9. x2 + 6x - y + 7 = 0

10. T(1 , 1/4), d = 3^5/2 ; 11. T(7 , 5 ) , r f = ^10 ; 12. 425/8 u2 ; 13. x2 + 2 x - y - 3 = 0 ; 14. T(6 , 3) ó T(6 ,-3 ) ¡ 15. S = 20 u2 ; 16. </ = 6V5/5

17. T(2 , 2 5 /8 ), S = 11.75 u2 ; 18. a) V (4 , 4 ) , b) (x - 4)2 = 2V3(y - 4 ) , 19. a) 90®,29 I 13\

b) | FT I = I FÑ ¡ = 10 ; 20. ■% '■ (x + 8)2 = ‘ T Vy + 16^

www.freelibros.com


f G r u p o 2 9 j Cuerda de contacto. Diámetro y la función cuadrática

1. x + 3 = 0 , x - 2 y + 5 = 0 ; 2 . m = 1 , 3. x - 3y + 3 = 0 ; 4. x + 2y - 4 = 05. 10 ; 6. 6 y 6 ; 8. 25m y 50m ; 9. Cada cateto mide 7cm.

10. S(x) = -2x2 - 16x ; 32u2 , 11. 40 unidades, $ 900 ; 12. $ 9 5

{ Grupo 30 j Propiedades de la parábola

1. F T : 3 x - 4 y + 2 = 0 , T D : x + 2 = 0 ; bisectriz : 2x - y + 3 = 0 , que debe identificarse con ia ecuación de la tangente en T. ; 2. S>\ 25x2 - 20xy + 4y2 -392x - 516y + 2344 = 0 , L(-4 , 11), R(16 , 3) , t : 2x + 5y + 11 = 0

3. ÍP: 4x2 + 4xy + y2 + 40x - 8y - 200 = 0 , £: x - 2y - 15 = 0 ; 4. 4x2 + 12xy +9y2- 184x - 146y - 257 = 0 , L(9 , 5) , R(1 , - 7 ) ; i : 3x - 2y + 9 = 0

5. 4x2 - 4xy + y2 + 64x + 68y - 844 = 0 ; 6. x2 - 2xy + y2 - 18x - 14y + 17 = 0 . V(1 , 0) ; 7. 4 x2 -4 x y + y2 - 20x - 3 4 y + 4 9 = 0 ; 8. F(4 , - 1 ) , V(5/2 , 1 ), eje: 4x + 3y - 13 = 0 , directriz : 3x - 4y + 9 = 0 , b) 16x2 + 24xy + 9y2 - 254x + 122y + 344 = 0 ; 9. a) F(-1 , 6 ) , eje : 4x - 3y + 22 = 0 , d irectriz : 3x + 4y + 29 = 0 , b) 16x2 - 24xy + 9y2 - 124x - 532y + 84 = 0 ; 10. x2 + 2xy + y2- 10x + 14y + 37 = 0 ; 11. a) <?': x - y - 6 = 0 , b) x2 + 2xy + y2 - 16y + 56 = 0, F(3 . 1), V(4 , 0 ), eje : x + y - 4 = 0 ; 12. 4x2 - 12xy + 9y2 + 140x + 128y - 3000 = 0

13. F(1 , - 5 ) , x2 + 2xy + y2 - 8x + 24y + 48 = 0 ; 14. F(0 , 0 ) , x2 - 2xy + y2 - 8x - 8y - 16 = 0 ; 15. Diámetro : x - y + 8 = 0, éP\ x2 - 2xy + y2 + 24x + 8y + 48 = 0 ; 16. Diámetro : x - y + 6 = 0 , x2 - 2xy + y2 - 8x - 8y -1 6 = 0

( Grupo 31 ) Aplicaciones de la parábola

1. 24m ; 2. 2 1 m ;3 . 42 pies ; 4. 15 p ies; 5. 2 pies ; 6. 40cm .; 7. 107 millas8. 92.2m ; 9. 15 p ies ; 10. 4 2 cm .; 11. 25^2/2 pies ; 12. 32/45 pies

( Grupo 32 ) Lugares geométricos relativos a la parábola

1. x2 - 10y -2 5 = 0 ; 2. y2 - 4x - 4y + 8 = 0 ; 3. á3: y2 + 8x - 16 = 04. .4°: x2 = 4(y + 1) ó i? ' : x2 = -8(y - 2) ; 5. y2 = 12(x + 3) ó : y2 = -12(x - 3)6. . ^ : y 2 - 4 x - 2 y + 1 = 0 ; 7. (y - 1)2 = -8(x - 2) ; 8. 9x2 + 48x - 3y + 64 = 09. &■. y2 = 6x + 9 ó : y2 = -10x + 25 ; 10. 9x2 - 18x + 3y + 8 = 0

11. 9x2(y - 2)2 = 8(3y - 4)(y - 4)2 ; 12. á3: y 2 + 10x - 25 = 0

www.freelibros.com


7. D = [2 , 8> , R = <-2 , 4> ; 8. 64/3 u2 ; 9. 112/3 u2 ; 10. D = [-1 , 4] , R = [1 , 2]

( Grupo 34 ) Forma canónica de la ecuación de una elipse

1. 36x2 + 27y2 = 972 ; 2. x2 + 9y2 = 90 ; 3. 2x2 + 6y2 = 27 ; 4. 4x2 + 25y2=1005. 18u2 ; 7. 81 x2 + 32y2 = 5832 ; 8. e = 1/2 , LR = 6 ; 9. 39 pies ; 10. p = 2

11. P(-2 , ± V 2 Í/2 ); 12. 4^2 ; 13. a) V3/2 , b) V2/2 . c) 1 /2 ; 14. 5x2 + 9y2 = 45

15. y = ± — (x - 2) ; 16. 3x2 + 4y2 = 768 ; 18. d{0 , $ ) = V(a2 + b2)/2

19. r = 9 /16 ; 20. 8VÍ77/3 u2.

(G rupo 35 J Forma canónica ordinaria de la ecuación de una elipse

1. 3(x + 2)2 + 4(y - 2)2 = 1 0 8 ; 2. (x - 5)2 + 2y2 = 8 , e = V2/2 ; 3. 4 (x + 1 )2 + 3(y - 1)2 = 48 ; 4. 25(x - 6)2 + 9(y - 2)2 = 225 ; 5. 16.8 pies

6. (x - 3)2 + 2(y + 2)2 = 50 ; 7. (x - 2)2 + 4(y - 1)2 = 16 ; 8. 9(x - 2)2 + 25(y - 3)2 = 2259. 4(x + 1 )2 + 3(y - 1 )2 = 48 ; 10. 2(x + 4)2 + (y + 2)2 = 8 ; 11. 3(x - 1)2 + 4(y - 1)2= 108

12. 16(x - 8)2 + 25(y - 2)2 = 400 ; 13. 9(x - 3)2 + 25(y - 5)2 = 225 ; 14. 1 6 (x -3 )2 + 25(y - 1 )2 = 4 0 0 ; 15. 20(x + 3)2 + 36(y -1 )2 = 405 ; 16. 3(x + 3)2 + (y - 1)2 = 12

17. (x + 1 )2 + 4(y - 2)2 = 12 ; 18. 9(x + 1)2 + 16(y + 2)2 = 144 ; 19. 2(x - 5)2 + ( y + 4V2)2 = 64 ; 20. ( x - 4 ) 2 + 21 (y+ 2)2= 100; 21. 25(x - 1)2 + 16(y - 1)2 = 400

22. 81 (x - 2)2 + 17(y - 3)2 = 1377 ; 23. (x - 4)2 + 9(y + 2)2 = 81 ; 24. 225(x + 2)2 + 200(y + 9/5)2 = 72

( G ru p o 33 j Conjunto de puntos asociados a una parábola

D=<-1,7> R=<-2,4> s

D«cO,l/2(l+V5)> R=(0,3/2>

www.freelibros.com


( G r u p o 3 6 j Ecuación general de tina elipse en posición ordinaria

1. Conjunto vacío ; 2. Elipse : C(-1 , -3), V(-1 ± 5 , -3 ), F(-1 ± 4 , -3 ), B(-1 , -3 ± 3), LR = 18/5 , e - 4/5 , directrices : x = -1 ± 25/4 , eje : y = -3 ; 3. Punto ' C(3 , -6)

4. Elipse : C(1 , -2 ) , V(1 , -2 ± 5) , F(1 , -2 ± 4 ) , B(1 ± 3 , -2) , LR = 18/5 , e = 4/5, directrices : y = -2 ± 25/4 , eje : x = 1; 5. 5x2 + 9y2 + 40x + 38y - 64 = 0 , LR = 20/3

6. 2x2 + y2 + 12x + 2y + 1 = 0 ; 7. 3x2 - 12x + 4y - 12 = 0 ; 8. (y - 1)2 = -16íx + 1), DD’ : x = 3 , L(-5 , 9) , R(-5 , -7) ; 9. 0 = 60s ; 10. 0 = are Tg(3V2/4)

11. 192/7 u2 ; 12. V(-2 , 3 ± 3x/3), F(-2 , -3 ± 9 /2 ) , D om (^) = [3 - 3V3/2 , 3 + 3v2], Ran (<?) = [-2 - 3x/3 , -2 + 3x/3] ; 13. 4x2 + 5y2 + 14x + 40y + 81 = 0

14. 12x2 + 3y2 - 4x + 6y - 1 = 0 , 3x2 + 12y2 - 16x + 24y - 4 = 0

[ G r u p o 3 7 ) Ecuación general de la elipse en posición no ordinaria

1. 3x2 + 2xy + 3y2 - 6x - 2y - 69 = 0 , LR = 6 ; 2. 7x2 - 4xy + 4y2 + 24x = 03. 7x2 + 16xy - 41y2 + 100x + 5y + 10.00 = 0 ; 4. e = V6/3 , 21x2 - 24xy + 39y2 +

30x - 210y - 150 = 0 ; 5. 3x2 + 2xy + 3y2 - 8x - 24y + 40 = 06. a) e = VTs/5 , b) x + y + 12 = 0 , c) 7x2 - 6xy + 7y2 + 8x + 8y - 112 = 07. a) 121x2 - 4xy + 124y2 + 488x - 256y - 14384 = 0 , b) 2x + y - 122 = 08. e - 4/5 ; 9. ¿ : 91x2 + 24xy + 84y2 - 18x - 1376y + 4891 = 0

( G r u p o 3 3 ) Tangentes a una elipse

1. 2x + 3y = 12 , 3x - 2y = 5 ; 2. x + 2y = 25 , 2x - y = 5 ; 3. 2x + 3y + 17 = 04. 9x + 5y ± 52 = 0 ; 5. 2x + 3y = 12 , 2x • 3y = -12 , 6. x + y = 2 , 9x - 191 y = 2187. a) La recta es secante a la elipse , b) pasa por fuera de la elipse , c) es tan

gente a la elipse ; 8. 3x + 2y ± 10 = 0 , d - 20/VT3 ;9 . x + y - 5 = 0 , x + 4 y -10 = 0 ; 10. k = -7 ó k = 58/3 ; 11. k = -9 ,1 2 . M(-3 , 2 ) , d = VT3

13. P(-3 , - 6 ) , d - 28/V5; 14. P(4 , 2 ) ; 15. T,(3 , 2 ), T2(-3 , -2 ) , áreas : 6 u2 y 18 u216. 3x2 + 4y2 = 48

{ G r u p o 3 9 ] Cuerda de contacto y diámetros de una elipse

1. 2x + 3y - 1 = 0 ; 2. 18 ; 3. 4x - 5y - 10 = 0 ; 4. 8x + 25y = 05. ( , : 4x - 5y = 0 , í : 25x + 8y = 0 , X : 25x + 8y = 157 ; 6. 4x - 3y ± 6x^6 =?07. 9x - 32y - 73 = 0 ; 8. : x - y = 0 , t : x + 4y = 0 ; 9. í y : x + 2y = 0 ,

i : 8x -9 y = 0 ; 10. / , : x + 2y = 0 , í ; 2x - 3y = 0

[ G r u p o 4 0 J Propiedades de la elipse

2. V 5 x -7 y + 4V5 = 0 ; 3 . 18 ; 4. 4x2 + 25y2 = 100 ; 5. x2 + 25y2 = 256. 36x2 + 24xy + 29y2 + 48x - 34y - 859 = 0 ; 8. 8x2 - 12xy + 17> = 20

www.freelibros.com


9. 8x2 + 4xy + 11 y2 = 200 ; 10. 29x2 + 4 2 xy + 29y2 - 50 = 0 ; 11. 77x2 + 72xy + 98y2 - 606x - 608y + 267 = 0 , V2(7 , - 1 ) ; 12. 7x2 - 2xy + 7y2- 46x - 62y + 199 = 0, V,(6 , 7 ), V2(2 , 3 ) , f : x + y - 17 = 0 , i 2 : x + y -1 = 0

( G ru p o 41 J Lugares geométricos relativos a una elipse

1V x2+ 16y2 = 16 ; 2. x2 + 4y2= 1 6 ;3 . x2 + 4(y - 2)2 = 4 ; 4. x2 + 81y2 = 815. 20x2 + 36y2 = 45 ; 6. 3x2 + 4y2 - 30x - 33 = 0 ; 7. x2 + 4y2 + 4x + 16v + 4 = 08. 4x2 + y2 - 24x = 0 ; 9. 100x2 + 84y2 - 168y = 441 ó 36x2 + 20y2 - 40y = 25

10. 4x2 + 3y2 - 24y = 0.

( G r u p o 4 2 ) Conjunto de puntos asociados a una elipse

10. Dom(R) = <-7 , 11 > , Ran(R) = <-1 , 7 ] ; 11. Dom(R) = [ 3 , 9 ] , Ran(R) = [-2 , 2] 12. Dom(R) = [-2 , 6> , Ran(R) = [-1 , 3> ; 13. 9 (tW3 - 2)u2 ; 14. 2(3tc - 2)u2.

[ G ru p o 4 3 ) Primera y segunda formas de la ecuación de una hipérbola

1. 63x2 - 81y2 = 448 ; 2. 12x2 - y2 = 156 ó 3x2 - y2 = 12 ; 3. 4y2 - 25x2 = 2004. 16y2 - 3x2 = 36 ; 5. 3y2 - x 2= 1 2 ; 6 . 12x2 - 4y2 = 3 ; 7. y2 - 2x2 = 248. 7x2 - 4y2 = 28 ; 9. 8x2-9 y 2 = 400 ; 11. P(-2 , 3) ; 12. 9u2 ; 13. 0 = arcTg

(±2 /V 5) ; 14. 400x2 - 225y2 = 5184 ; 17. é> = 2 ; 1 8 . Tg k =

www.freelibros.com


f G ru p o 4 4 J Tercera y cuarta formas de la ecuación de una hipérbola

1. 5(y + 3)2 - 4(x - 2)2 = 20 ; 2. 3{x - 4)2 - y* = 48 ; 3. e = 5 /4 ;4 . (y + 1)2 - 4(x - 1)2 = 55. 2(y + 2)2 - 3(x - 3)2 = 30 ; 6. 2(y - 2)2 = 36 ; 7. 4(y - 2 f - 5(x + 2)2 = 808. 9(x + 2)2 - 4(y + 4)2 = 36 ; 9. (x - 3)2 - (y - 4)2 = 4 ; 10. 2(y + 3)2 - (x - 1)2 = 6

11. (x - 3)z - 4(y + 2)2 = 64 ; 12. (y + 3)2 - (x - 2)2 = 25

C G ru p o 4 5 ) Hipérbolas equiláteros e Hipérbolas conjugadas

1. x2 - 'y2 = 3 ; 2. xy + 20 = 0 , 2c = 8^5 ; 3. xy = -2 ; 4. xy = 6 ; 5. 2xy + 4x + 3y + 11 = 0 ; 6. x y - 4 x - 4 = 0 ; 7 . C(3 , -1 /2 ), 2c = 8 ; 8. (x - 1)2 - 2(y + 3)2 = 6

9. X : (y + 3)2 - (x - 2)2 = 25 , X : (x - 2)2 - (y + 3)2 = 25 ; 10. e = V2 , : x -y - 2 = 0 , ¿ 2 : x - y + 2 = 0 ; 1 1 . a) 16(x + 3)2 + 25(y - 2)2 = 400 . b) i , : x + y - 3 = 0 , ¿2 : x + y + 5 = 0

( G ru p o 4 6 ) Ecuación general de una hipérbola en posición ordinaria

1. a) Hipérbola : C(3 , 2 ) , V(3 ± 4 , 2 ) , F(3 ± 5 , 2 ) , B(3 , 2 ± 3 ) , LR = 9/2t y : 5x - 31 = 0 , i t : 5x + 1 = 0 ; ^ : 3x - 4y -1. = 0 , 4 : 3x + 4y -1 7 = 0

b) Par de rectas concurrentes : : 3x - 2y - 10 = 0 ; J&2 : 3x + 2y - 2 = 0c) Hipérbola : C(3 , -2) , V(3 , -2 ± 2 ) , F(3 , -2 ± 2 ^ 5 ) , B(3 ± 4 , -2 ), LR = 16

DD’ : y = -2 ± 2/V5 , ^ : x - 2 y - 7 = 0 , á | : x + 2 y + 1 = 0d) Hipérbola : C(-1 , 4) , V(-1 + 6 , 4 ) , F(-1 ± 1 0 , 4 ) , B(-1 , 4 ± 8 ) , LR = 64/3

: 5x -1 3 = 0 , : 5x + 23 = 0 ; ^ : 4x - 3y + 16 = 0 , 4 : 4x + 3y - 8 = 02. 11 x2 - 9y2 - 6x - 18y - 45 = 0 ; 3. 3y2 - x2 - 6y = 0 ; 4. 15x2 - y2 - 6x + 2y - 1 = 05. m = 3 ó m = 81 ; 6. n = 5 ; 7. 5/12; 9. n = 4 ; 1 0 . V3x + y - 2 - 7^3 = 0

( G r u p o 4 7 J Ecuación general de una hipérbola en posición no ordinaria

1. 16x2 + 36xy - 11 y2 + 192x - 4y - 164 = 0 ; 2. 3x2 - 8xy - 3y2 - 22x + 56y - 43 - 03. SPX :2 x + 3 y - 12 = 0 , SBZ\5 x - 2 y - 11 = 0 , C ( 3 , 2 ) ; 4. 91x2 - 100xy + 16y2-

136x + 86y - 47 = 0 ; 5. á? : x - 2y + 2 = 0 , J2? ; 2x + 11y - 41 = 0 , C(4 , 3 ) ,i : x - 7y + 17 = 0 , : 7x + y - 31 = 0 , e = VTo/3 ; 6. C(-2 , 0 ) , e = V5

7. 3x2 + 8xy - 3y2 - 12x + 34y - 113 = 0 ; 8. a) ( : x - 3y + 5 = 0 , b) F,(10 , 5 ) ,F2(-8 , -1 ), c) t, : 9x + 3y - 25 = 0 , í2 : 9x + 3y - 5 = 0 , d) X : 71x2 + 54xy - y2-250x - 50y - 625 = 0 ; 9. e = 3 -, F,(7/5 , 24/5) , V2(-17/5 , 6 /5 ), C(-9/5 , 12/5),4x + 3y - 5 = 0 , t2 : 4x + 3y = 0 , X : 119x2 + 216xy + 56y2 + 250x + 625 = 0

10. a) .2VT7 , b) F (5/3 , -7/3) , L : 3x + 3y - 1 = 0

www.freelibros.com


( G ru p o 4 8 J Tangentes a una hipérbola

1- x + y - 3 = 0 , x - y - 7 = 0 ; 2 . x - 2 y + 3 = 0 , 2 x + y + 1 = 0 , 3 . x - y + 5 = 0, x + y = 9 ; 4. 6 x - y - 2 2 = 0 , x + 6 y - 1 6 = 0 , 5 . x - 2 y ± 3 = 0 ; 6 . 3x + 3 y ± 5 = 0 ; 7. 5x - 8y ± 9 = 0 ; 8. x + y ± 2 = 0 ; 9 . x - y - 1 = 0 , 7 x - 8 y - 2 = 0

10. 6 x - 5 y - 16 = 0 , 14x + 1 5 y + 16 = 0 ; 11. 12x - 5y - 14 = 0 , 9x - 5y - 7 = 012. 2 x - y - 5 = 0 , 4 x + 3y + 5 = 0 ; 1 3 . x ± y = 1 ; 14 . x - y ± 1 = 0 ; 1 5 . k = ± 516. k = - 3 , k = 9 ; 17. ¿ T : x y = 2 ; 18. x2 - y 2= 1 2 ; 20. a) ( x : x = 9/5 , b,

T(5 , -16/3)

^ G r u p o 4 9 Cuerdas de contacto, diámetros y diámetros conjugados

1. 2x + 5y -1 6 = 0 ; 2. ¿ = 17/VTÓ; 3. W : 8x - 3y - 26 = 0 ; 4. á ' : 7x + y - 20 = 05. ^ : x - 8y = 0 , : 2x - y = 0 , 6. x - 2 y = 0 , 3 x - y = 0 ; 3 x + y = 0 , x + 2y = 07. 54/13 ; 8. T : x + 9y - 41 = 0 ; 9. ( : 2x + 3y + 5 = 0 , : 8x + 3y - 7 = 0 , 4 u2

10. t : 8x - y - 17 = 0 , i x : 2x - 9y - 13 = 0 , 35/16 u2

( G r u p o 5 0 ) Propiedades de la hipérbola

1. 5y2 - 4x2 = 80 ; 2. 4y2 - x2 = 12 ; 3. 9y2 - 20x2 = 16 ; 4. d = 8/5 ; 5. 9(x + 3)2 - 4(y - 1 )2 = 324 ; 6. 9(x + 3)2 - 16(y - I)2 = 225 ; 7. 16(y - 2)2 - 9(x - 3)2 = 144

8. 16(x - 2)2 - 9(y + 3)2 = 144 ; 9. x2 - 4 / = 16 ; 10. 4x2 - 5y2 = 20 ; 11. x2- 4 y 2 - 2 x - 1 1 = 0 ; 12. (y - 4)2 - 3(x - 4)2 = 3 ; 13. 16(x - 2)2 - 9(y + 7/2)2 = 144

14. 16x2 - 9 y 2 - 128x + 5 4 y + 31 = 0 ; 15. Jé : 2x2 + 3xy - 2y2 - Í9x + 2y - 8 = 0, t \ x -3 y + 5 = 0 , V ; 3x + y - 11 = 0 ; 16. JT : 9(y + 2)2- 16(x - 3)2= 144

17. a) 117x2 - 52(y - 1)2 = 36 , b) 6/V l3 ; 18. 5 | : 12x - 5y + 48 = 0 ; J T : 12xy - 5y2- 48x + 64y -2 8 4 = 0 ; 19. f ; x - 7y + 17 = 0 , f : 7 \ + y -_31,= 0 , e = VlÓ/3

20. Jé: 2x2 + 7xy - 22y2 - 37x + 104y - 207 = 0 , C(4 , 3 ) x - 7y + 17 = 0 , C :

7x + y - 31 = 0 ; V,(11 , 4 ) , V2(-3 , 2 ); a = 5^2 , b = 5V2/3 , c = 10^5/3 ; e = VÍO/3;

F , ( 4 + | V Í 0 , 3 + - iV T o ) , F2 (4 - ^ VTO, 3 - ÍV T Ó ) ; LR = ^ V2 ; direc-O O «J o I?

trices: 7x + y - 31 ± 15VTÓ = 0 ; 21. x2 + 16xy - 1 1y2 + 20x + 10y - 50 = 022. 3x2 + 8xy - 3y2 - 18x + 16y + 59 = 0 ; 23. 14x2 + 96xy - 14y2 = 625 ; 24. L R = 4

( G r u p o 5 1 ) Lugares geométricos relativos a una hipérbola

1. Hipérbolas : 3x2 - y2 - 8x = 0 ó 3x2 - y2 - 16x + 16 = 0 ; 2. 35x2 - y2 + 70x = 03. 4y2 - 4x2 = d 2 ; 4. 3x2 - y2.+ 2x - 1 = 0 ; 5. . * : (x - 2)2 - (y - 4)2 = 166. Hipérbola : 16x2 - 9y2 = 1440,000 ; 7. /r, : 24x2 - y1 - 200x + 400 = 0 , :

x2 - 8y2 + 42y - 49 = 0 , / j f ] Jt} = P(3 , 4)

www.freelibros.com


: G ru p o 53 ' j Ecuación general de las cónicas ___

1. Elipse : 3x'2 + 8y '2 = 240 , V,(4 . 8 ) , V.(-4 , - 8 ) ; 2. Hipérbola : y -2 - 3x’2 = 32 , V (4 , -4) , V.(-4 , 4) ; 3. Parábola : x'z = -4 \2 y ' , F(1 , -1) , t : x - y + 2 = 0

4 . Elipse : x ’2 + 4v’2 = 4 , V(± 4/V5 , ± 4/V13) ; 5 . Hipérbola : 16y’2 - 9x’2 = 225 , V(± 3 /\2 , ± 3 /\2 ) ; 6. Parábola y 12 = 4 \ '5 x ', F(2 , 1 ), ( : 2x + y + 5 = 0

7. Elipse : 2 x ’2 + y ’2 = 8 , V.(2 . -2) , V2(-2 , 2) ; 8. H ipérbola : 9 x '2 - y ’2 = 81 , V(± 3/2 , ± 3V3/2); 9. Elipse : 9x '2 + 4y’2 = 36 ; V ,(-3 /2 , 3 v3 /2 ), V2j3 /2 3/2)

10. Parábola : y ’2 = 8 x ' , F(2/V5, 4 /v5 ), t : x + 2y + 2V5 = 0 ; 11. 2a = 3V 2, 2c = 4\'13, 5x - y ± 9\'2 = 0 ; 12. Hipérbola : x ’2 - 4y’2 = 16 ; e = V5/2 , eje fo ca l: 2x - y = 0

13. Elipse : 2x ’2 + v ’2 = 9 , V,(-3\/2/2 , 3V 2/2), V2(3\'2/2 , -3V5/2), 14. Hipérbola : 3x”2 - 2y ”2 = 24 , c = vTo/2 . 0 (^8 . 2V5) ,15. í , : x + y -1 3 = 0 , í 2 : x + y - 1 = 0

16. Parábola : y ’2 r -4(x’ - 1 / 2 ) , V(v3/6 , V 6 /6 ), eje fo c a l: y = \'2x17. Elipse : x ”2+ 1 1 y " 2= 140, C (-V Í0 . -3x^10), e ^ VTTo/11 ; 18. a ) F e < - o o , 1 3 >

b) F e [13 , +~> ; 19. 9x2 - 4xy + 6 <¡* - lOx - 20y - 5 = 0 . C(1 , 2)20. Hipérbola , e = V78/3 ; 21. 23x2 - 72xy + 2y2 - 270x + 210y - 25 = 0 , í , : 3x +

4y, = 25 , ( 2 : 3x + 4y = 5 ; 22. Parábola : y ’2 = 2x ‘ , t : 8x + 6y + 5 = 023. Elipse : 3x ”2 + 8y"2 = 24 , eje fo c a l: x = 2y , F,(0 , 0) . F2(-4 , -2)

24. x” = i(V 3 x + y ) - (2V3 - 1 ) , y " = j (V3y - x) + (2 + <3) , í f . x2 - 2^3 xy + 3y2 +

4(3V3 - 2)x + 4(2V3 + 7)y - 48V3 + 60 = 0

( G r u p o 5 4 ) Clasificación de las cónicas de ecuación general

www.freelibros.com

Respuestas a ejercicios propuestos

( G ru p o 55 j Relación entre coordenadas polares y rectangulares

1. a) (-3 , 117C/6) , b) 3,-771/6) , c(-3 , -tc/6)2. a) (-3 , tc/2) , b) (3 , - ti/2) , c) (-3 . -3ti/2)3. a) (-V2, 371/4) , b) (V2 , -7t/4) , c) (-V2 , -57i/4)4. a) (-2 , 7t/3) , b) (2 , -27t/3) , c) (-2 , -5ti/3)5. P(0 , 6) ; 6. P(5 , -5\/3) ; 7. P(-4 , 4^3) ; 8. P(-V2 , >/2) ; 9. P(2 , -2^3)

10. P(V3/2 , -1/2) ; 11. (2,571/6) ; 12. (4,471/3) ; 13. (2 , 57t/4) ; 14. (3 , jc)15. r = 9 CosG - 8 Sen9 ; 16. r2 = a2 Cotg20 ; 17. r C o s ( 0 - a ) = p18. r = Sen20 ; 19. r = Cos20 ; 20. r = a(1 - Cos0) ó r = -a(1 + Cos0)21. x + y = 2y¡2 ; 22. 3x2 - y2 + 8x + 4 = 0 ; 23. (x2 + y2)(x2 + y2 + 3ax) = 4ax324. (x2 + y2) = a(3x2y - y3) ; 25. y2 + 8x - 16 = 0 ; 26. 4x2 - y2 = 1

www.freelibros.com


27. M(1 , -271/3) ; 28. M,(1 , 9) , M?(4 , 2) , M3(1 . -3) , M„(0 , 2 + s¡3) , Ms(1 + V3 , 1)29. M,(0 , 5) , M2(3 , 0) , M3(-1 , 0) , M4(0 . -6) , M5(V3 , 1)

30. M,(2 , 0) , M2(1 , -71/2) , Ma{3 ,71/2) , M„(2 , - t c /4 ) , M5(2 , nJ6)

31. M,(\2 , 77/2) , Ms(2,-7C/2) . M3( 2 , 71/12) , M„(2 , 777/12) . M5(4 , -5rc/12)

[ G ru p o 5 6 ] Distancia entre dos puntos y área de un triángulo

1. a) 4V7 , b) 2f\3 ; 2. 2(13 + 6V2)u2 ; 3. 28\'3u2 ; 5. 9(17 - 4V3)u2 ; 6 û2

7. i ( V 6 + V2)u2 ; 8. l ( 2 V 3 - 1 ) u 2 ; 9. | ( 3 V 3 - 2 ) u 2 ; 10. ^ (5 > /2 -4 )u 2

f G ru p o 5 7 j Ecuación polar de la recta y la circunferencia

1. r Cos(0 - 71/6 ) = 4v2 ; 2. 2r SenG + 3 = 0 ; 3. (4^3 , 0 ) . (2 . td 2 ). 150®4. r Cos(9 - tc/3) = V3/4 ; 5. r Cos(0 - nJ3) = 4 ; 6. r Cos(0 - 77/4) = 3/V27. r Cos(0 - 50a) = 2V3 ; 9. r2 - 16r Cos(0 - 277/3) + 16 = 0

10. r2 -16rCos(0-7 i / 4) + 32 = 0 ; 11. r2 - 4r CosG - 2r Sen0 - 20 = 012. a) C(1 . 2k /3) , a = 2 , b) C(2 , tc/4) , a = 4 , c) C(4 , n /6 ) , a = 1 , d) C(5 . - 60a),

a = 5 ; 14. r = a Sec(0 - 0e)

www.freelibros.com


1 + e Sen(0 - a) 1 + e Cos(0 - a)

G r u p o 5 9 | Gráficas de ecuaciones polares

ht/4 é \

www.freelibros.com


www.freelibros.com


Grupo 6 0 I intersecciones de gráficas para ecuaciones polares____________

1. (1/2 , 30°), (1/2 , 150°) , (0 , 0o) , 2 . (6 , 120°), (6 , 240°)3. (2 , 6 0 ° ), (2 , 3 0 0 °), (0 , 0o) ; 4. (3 , 9 0 ° ), (3 , 2 7 0 °), (2 , 120°), (2 , 240°)5. (V3 . 1 5 °), (-V3 , 75°), (V3 , 195°) , (->/3 , 255°) y (0 , 0o)6. (3 , 3 0 ° ), (2 , 150°), (4 , 270°) ; 7. (3^2/2 , 30°), (3n/2/2 , 150°), (0 , 0o)8. (2 - V2 , 4 5 ° ) , (2 + V i 135°), (2 + ^2 , 225° ; ^2 - %Í2 , 315°) ; 9. (5/2 ,30o),

(5/2 , 60°) , (5/2 , 120°) , (5/2 , 150°) , (5/2 , 2 1 0 ° ) , (5/2 , 240°), (5/2 ,300o),

(5/2 , 330°) ; 10. (4 , 60°) , (4 , 300°) , (4/3 , 120°) , (4/3 , 240°)

11. (1 , 0 ), (1 , Jt ) . (1/2 , 30°) , (1/2 , 150°) , ( 0 , 0 ° ) ; 12. (4 , 2 1 0 °), (4 , 330°)

Grupo 6 1 | Lugares geométricos en coordenadas po la res_________________

1. r = 2 Sen26 ; 2. r = 8Cos20 ; 3. r = 2R(1-Cos0) ; 4. r = 2aCos0 + b5. r = aCosG ; S. r = a | Sen20 I ; 7. r = 2aCosG + b ; 8. r = a(SecG ± Tg0)9. r = aCos3© , (x2 + y2)2 = ax3 ; 10. Lemniscata : r2 = 2b2 Cos20

www.freelibros.com

Otras obras del Autor

www.freelibros.com

Engineering

Geometría analítica r. figueroa g