TALLER DE MATEMATICAS ESPECIALES

TEMA: ANÁLISIS DE FILTROS ANALÓGICOS MEDIANTE LA

TRANSFORMADA DE LAPLACE Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER CON

DIAGRAMAS DE BODE.

ING. ESP. ANDRÉS FELIPE ESCALLÓN PORTILLA

PAUL MAURICIO REALPE

JISELA RICO CAMAYO

CORPORACION UNIVERSITARIA DE COMFACAUCA

INGENIERIA DE SISTEMAS

POPAYAN – CAUCA

2014

FILTRO PRIMER ORDEN PASA – BAJAS

Ejercicio 1. Se ha tomado como frecuencia de corte 6.28*10^3 rad/s (igual a 1 KHz). La figura 7 presenta el diagrama de bode de este sistema. Observe que la magnitud en la banda de rechazo decrece a una razón de 20dB/década.

Ejercicio 2. Empleando Scilab grafique la respuesta en frecuencia del filtro pasa

altas de primer orden cuando R=159 ohm y C= 1uF.

¿Cuál es la frecuencia de corte y la amplitud a esta frecuencia?

Rta/ En el gráfico anterior lo que hace es que atenúa levemente la frecuencia que es mayor que las frecuencia de corte e introducen mucha atenuación a la que es menor que dicha frecuencia.

¿Cuál es el equivalente en veces de la amplitud a la frecuencia de corte?

Rta/ Equivale a 70,71%.

FILTRO SEGUNDO ORDEN PASA – BAJAS

Ejercicio 3. Utilice el siguiente código para graficar la respuesta de amplitud en

dB de un filtro pasa bajas de segundo orden, factor de calidad Q=1 y valores de

w0=0.5, 1 y 2 rad/s.

¿Existe diferencia en cuanto a la velocidad de transición entre la banda de paso y la banda de rechazo para los tres sistemas? ¿Por qué?

Rta/ Si existe una pequeña diferencia de velocidad entre las dos bandas, porque ambas arrancan de diferentes puntos haciendo que la señal sea más grande.

¿Qué ocurre con la amplitud en las frecuencias de corte?

Rta/ La amplitud varía de acuerdo al valor que tiene la frecuencia haciendo que las señales caigan en diferentes puntos del eje x.

Ejercicio 4. Con base en el código anterior, escriba un código para graficar la

respuesta de amplitud en dB de un filtro pasa bajas de segundo orden, w0=1 y

diferentes valores del factor de calidad Q=0.5, 1 y 2.

¿Qué similitudes y qué diferencias tienen los tres sistemas? Diferencias

Rta/ Tienen diferente amplitud Similitudes

Rta/ La banda de rechazo y la banda de transición tienden a tocarse al final.

Caen con una velocidad igual a una frecuencia de 1.5.

FILTRO PASA ALTAS DE SEGUNDO ORDEN:

Ejercicio 5. Utilice el siguiente código para graficar la respuesta de amplitud en dB de un filtro pasa altas de segundo orden, factor de calidad Q=1 y valores de w0=1, 2 y 3 rad/s.

Ejercicio 6. Utilice el siguiente código para graficar la respuesta de amplitud en dB de un filtro pasa altas de segundo orden, frecuencia de corte w0=1 y valores de Q=0.5, 1 y 2.

¿Qué diferencia encuentra entre los tres sistemas?

Rta/ La diferencia es que la amplitud es mayor el banda de rechazo. ¿A qué se debe?

Rta/ Se debe a que empieza en una frecuencia muy alta haciendo que la amplitud cambie un poco.

Ejercicio 7. A partir de la función de transferencia de un filtro banda de segundo orden, escriba un código que permita obtener la respuesta de amplitud para un factor de calidad Q=3 y frecuencias de corte w0=1, 2 y 3.

Ejercicio 8. A partir de la función de transferencia de un filtro banda de segundo orden, escriba un código que permita obtener la respuesta de amplitud para una frecuencia de corte w0=2 y factores de calidad Q=1.5, 3 y 6.

¿Cuál de los sistemas es más selectivo?

Rta/ Q=6 ya que esta representa una resonancia mas aguda. ¿Qué implica la selectividad?

Rta/ Implica un parámetro que mide la relación entre la energía reactiva que almacena y la energía que disipa durante un ciclo completo de la señal. Un alto factor Q indica una tasa baja de pérdida de energía en relación a la energía almacenada por el resonador.

FILTRO RECHAZA BANDA DE SEGUNDO ORDEN: Ejercicio 9. A partir de la función de transferencia de un filtro rechaza banda de segundo orden, escriba un código que permita obtener la respuesta de amplitud para un factor de calidad Q=1 y frecuencias de corte w0=1, 2 y 3.

FILTROS DE ORDEN SUPERIOR (N>2):

FILTRO BUTTERWORTH:

Ejercicio 10. Utilice el siguiente código para graficar la respuesta de amplitud de filtros Butterworth de diferentes órdenes con frecuencia de corte normalizada (

¿Con qué pendiente decae la magnitud en el filtro de primer orden?

Rta/ La pendiente para un filtro de primer orden son -20 dB por década (aprox. -6dB por octava).

¿y el filtro de orden cuatro?

Rta/ La pendiente para un filtro de cuarto orden son -80 dB por década (aprox. 24 dB / octava).

¿Qué implica tener un filtro de mayor orden?

Rta/ Para realizar filtros analógicos de órdenes más altos se suele realizar una conexión en serie de filtros de 1º o 2º orden debido a que a mayor orden el filtro se hace más complejo. Sin embargo, en el caso de filtros digitales es habitual obtener órdenes superiores a 100.

FILTRO CHEBYSHEV TIPO I:

Ejercicio 11. Utilice el siguiente código para graficar la respuesta de amplitud de un filtro Chebyshev tipo I, frecuencia de corte w0=1, riple=1 y orden 3

(polinomio de Chebyshev de orden 3: ( .

¿Qué amplitud se tiene en la frecuencia de corte?

Rta/ La frecuencia es de corte W0=1 ¿Cuál es la banda de paso, cuál la de transición y cuál la de rechazo?

Rta/ La banda de paso empieza en cero. La de transición empieza en -2 y pasa por -3

La banda de rechazo empieza en 0 y llega a ¿Qué es el riple?

Rta/ Variación pequeña en la banda de paso.

FILTRO CHEBYSHEV TIPO II: Ejercicio 12. Utilice el siguiente código para graficar la respuesta de amplitud de un filtro Chebyshev tipo II, frecuencia de corte banda de paso wc=1, frecuencia de corte banda de rechazo ws=2 rad/s, riple=0.5 y orden 3

(polinomio de Chebyshev de orden 3: ( ).

Ejercicio 13. Compare este filtro con el filtro tipo I.

Chebyshev tipo I son filtros que únicamente tienen polos, presentan un rizado constante en la banda pasante y presentan una caída monótona en la banda de rechazo.

Chebyshev tipo II estos filtros a diferencia de los Chebyshev I presentan ceros y polos, su rizado es constante en la banda de rechazo y además presentan una caída monotónica en la banda pasante.

Ejercicio 14. Compare los filtros Butterworth y Chebyshev tipo I y II.

FILTROS BUTTERWORTH

Los filtros Butterworth tienen distintos órdenes, misma frecuencia de corte y distinta pendiente.

El filtro de Butterworth es el único filtro que mantiene su forma para órdenes mayores (sólo con una caída de más pendiente a partir de la frecuencia de corte).

Filtro de Butterworth, con una banda de paso suave y un corte agudo. CHEBYSHEV TIPO I Y II

Filtro de Chebyshev, con un corte agudo pero con una banda de paso con ondulaciones.

Con los filtros de Chebyshev se consigue una caída de la respuesta en frecuencia más pronunciada en frecuencias bajas debido a que permiten rizado en alguna de sus bandas (paso o rechazo). A diferencia del Filtro de Butterworth donde los polos se distribuyen sobre una circunferencia, los polos del filtro Chebyshev lo hacen sobre una elipse; sus ceros se encuentran en el eje imaginario.

Chebyshev tipo I son filtros que únicamente tienen polos, presentan un rizado constante en la banda pasante y presentan una caída monótona en la banda de rechazo.

Chebyshev tipo II estos filtros a diferencia de los Chebyshev I presentan ceros y polos, su rizado es constante en la banda de rechazo y además presentan una caída monotónica en la banda pasante.

Ejercicio 15. Compare los filtros analógicos de acuerdo a su orden. Chebyshev tipo I

Transición más rápida entre la BP y la BR que un filtro Butterworth del mismo orden.

Oscilaciones en la banda de paso.

Fase no lineal. Chebyshev tipo II

Transición más rápida entre la BP y la BR que un filtro Butterworth del mismo orden.

Oscilaciones en la banda de rechazo.

Fase no lineal. Butterworth

Mientras más aumenta el orden, la fase es menos lineal.