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2015

CURSO: Calculo III.

TEMA:

INTEGRAL DE LINEA DE UN CAMPO VECTORIAL

ALUMNO:

Barboza Navarro, Alexis.

ÍndiceI. INTRODUCCIÓN:...................................................................................................................................2

II. RESUMEN:............................................................................................................................................2

III. OBJETIVOS:.......................................................................................................................................3

III.1. OBJETIVO GENERAL......................................................................................................................3

III.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS...............................................................................................................3

IV. MARCO TEÓRICO:.............................................................................................................................3

V. CONCLUSIONES:.................................................................................................................................21

VI. RECOMENDACIONES:.....................................................................................................................21

VII. BIBLIOGRAFÍA:................................................................................................................................21

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I. INTRODUCCIÓN:

Tanto en la matemática como en el cálculo, un integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre un curva. En el caso de un curva cerrada en dos dimisiones o del plano complejo. En el cálculo vectorial existen tres teoremas importantes que reciben sus nombres a tres matemáticos: El teorema de Green, el cual es el tema principal de la sección; el teorema de la divergencia de Gauss y el teorema de Stokes que trata sobre las integrales sobre las superficies. Las aplicaciones de estos tres teoremas en física, química e ingeniería se estudian en los cursos de estas disciplinas.

Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea es la de hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas, entre otras.

II. RESUMEN:

En el presente informe se va a desarrollar ejercicios de integración lineal en campos vectoriales, para lo cual hemos tenido conveniente investigar tanto las definiciones básicas relacionadas con el tema anteriormente mencionado así como también poder aplicarlas en problemas que pueden presentarse en la vida cotidiana como también en las diversas ramas de la matemática como la física.

ABSTRAC

This report is to develop exercises linear integration vector fields, for which we have been advisable to investigate both the basic definitions related to the topic above mentioned as well as to apply them to problems that may arise in everyday life as well as in the various branches of mathematics and physics.

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III. OBJETIVOS:

III.1. OBJETIVO GENERAL.

Explicar que es la integral de línea de campos vectoriales.

III.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Analizar algunos ejercicios.Dar a conocer la importancia de la integral de línea de campos vectoriales dentro de nuestras carreras y el curso de Calculo III.

CAPITULO I

IV. MARCO TEÓRICO:

INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL

Definición:

Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por r(t), a≤ t ≤b. La integral de línea de F sobre C está dada por

∫c

❑

F .dr=∫c

❑

F .Tds=∫a

b

F (x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) . r ' ( t )dt .

INTEGRALES DE LÍNEA

Definición:

Es similar a la integral simple, pero con la diferencia de que en lugar de integrar en el

intervalo (a, b) se integra en la curva C. estas integrales se llaman integrales de línea o

integrales curvilíneas, estas fueron inventadas para solucionar problemas relacionados

con el flujo de fluidos electricidad y magnetismo, así mismo nos sirve para calcular la

longitud de una curva en el espacio.

3

CAMPO VECTORIAL.

Definición:

Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud

vectorial.

Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las

coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente

lineal.  , en donde   representa el espacio vectorial que hace las veces de

dominio y   el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial , dado que la

función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres

variables independientes.

Sea F: IR3→ IR3 un campo vectorial continuo definido sobre los puntos de una curva C

de IR3 acotada y regular. Definimos la integral de línea del campo vectorial F a largo de

la curva C como la integral e línea sobre C del campo escalar F.T siendo T el vector

tangente unitario en cada punto C.

∫c

F .T d s

Si la curva C viene parametrizada en la forma

C: (t0, t1)→IR3

T → r (t)= (x (t), y (t), z (t)

Tendremos las notaciones habituales:

∫cF .d r=∫

cF .Tds=∫

a

b

F (x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) .r ´ ( t )dt .

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CURVA REGULAR:

Definición:

Se denomina representación paramétrica regular de clase Cm (m ≥1) de una curva C a

toda aplicación suprayectiva

tal que r Є Cm(I) y r'(t) ≠ 0 para todo t Є I

Nota  

La condición r'(t) ≠ 0 equivale geométricamente al hecho de que exista la recta tangente

a la curva en el punto r(t0) que vendrá definida como

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Cálculo de trabajo:

Para nuestro estudio, vamos a considerar la integral de línea de campos

vectoriales, y una de sus aplicaciones, que es el cálculo de trabajo. Primero vamos

a definir la integral de línea para un campo vectorial en R2, y luego se generalizará

para R3.

Supóngase que F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j, representa un campo de fuerzas en R2

(en R3 este campo podría ser el campo gravitacional, o un campo

electromagnético), y sea C una curva suave definida por : r(t) = x(t)i +y(t)j para a t b.

Queremos calcular el trabajo que realiza el campo F, para mover un objeto sobre la

curva C, desde un punto a, hasta un punto b.

Vamos a dividir la curva c en pequeños segmentos, quedando determinados n

subintervalo.

Dentro del subintervalo [tk; tk+1] escogemos un punto interior ck (o punto muestra)

Rrecordemos que el trabajo está dado por W= F d si la fuerza está dirigida a lo

largo de la línea de movimiento del objeto. Si la fuerza es un vector que apunta en

alguna otra dirección debemos considerar W = F. D siendo D el vector

desplazamiento.

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Figura 1:

Sobre la curva, el punto Pk es el

extremo del vector posición rtk y

Pk+1 es el extremo del vector

posición rtk +1 .

Δsk es la longitud del segmento

de curva Pk Pk+1

El trabajo se define como el producto de la componente de la fuerza en la dirección

de D, por la distancia recorrida.

W = ‖F‖‖D‖cosθ

El trabajo realizado por F para mover un objeto a lo largo del segmento de curva Pk

Pk+1 es: Wk = Fk . Tk sk

El trabajo realizado a lo largo de la curva (desde a hasta b) es aproximadamente:

W ∑k=1

n

Fk⋅¿T k Δsk¿

Si consideramos un número mayor de segmentos en la partición, obtendremos una

mejor aproximación. Si el número de segmentos tiende a infinito o la norma de la

partición (longitud de sk) tiende a cero, las sumas se aproximan a la integral de

línea, el trabajo es:

W = lim

‖Δsk‖→ 0∑k=1

n

Fk⋅¿T kΔsk=∫

cF ¿Tds

¿

integral de línea sobre la curva c.

Forma de cálculo:

a) Forma vectorial:

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t =

t = a

Figura 2:

Fk es el vector de campo correspondiente a

un tiempo t = ck

Tk es el vector tangente unitario a la curva en

el punto ck.,

El producto escalar Fk Tk nos da la

componente del vector de campo en la

dirección del vector tangente en el punto t = ck.

La integral de línea, la resolvemos como una integral definida. Para ello debemos

parametrizar la curva c, para poder determinar los extremos de integración.

En el integrando tenemos un producto escalar donde F(x,y) = M(x,y) i+ N(x,y)j y el

vector tangente unitario sabemos que es: T = r(t) / r(t) , en función vectorial

vimos también que:

r(t) = v(t) , r(t) = v(t) (rapidez) como ds es un escalar, ds = v(t) dt, en

términos del vector posición: ds = r(t) dt

A las componentes del vector de campo las ponemos en función del parámetro t, es

decir:

x = x(t) e y = y(t) con lo que F es ahora F( rt )

Reemplazando: F T ds = F (rt )¿

r(t )

r '(t )r '(t )dt=F (r( t))¿r '(t )dt

donde r(t) dt = dr

Para a t b nos queda:

∫cF¿Tds=∫

cF¿dr=∫

a

b

F¿r '( t )dt “Forma vectorial de la integral de línea”

Ejemplo:

Calcular el trabajo que realiza el campo F (x, y) = x2 i + xy j para mover una

partícula desde el punto (0,0) al punto (1,1) sobre la curva c dada por r(t) = ti + t2j

De vector posición, obtenemos x e y en función de t:

Si r(t) = ti + t2j tenemos que: x(t) = t e y(t) = t2 reemplazando en F (x, y) nos

queda:

F (x, y) = t2 i + t t2 j = t2i + t3j

Calculamos r(t) = i +2tj

Reemplazamos en la integral:

8

∫cF¿dr=∫

0

1

( t2 i+t 3 j)¿( i+2 tj)dt=∫0

1

(t 2+2 t 4 )dt=t3

3+ 2t 5

50

1=11

15

Podemos cambiar la parametrización de la curva c, y el valor de la integral de línea

no cambia. No ocurre lo mismo si consideramos otra curva que una los puntos (0,0)

y (1,1)

Ejemplo: Si observamos la curva c, y = x2 dado que x = t e y = t2. Si queremos

hacer x = t si mantenemos la relación anterior sería r(t) = t i + t j

La curva que une los puntos sigue siendo y = x2.

Para esta nueva parametrización: F(x,y) = ti + t3/2j ; r(t) =

12√ t

i+ j

∫cF ¿dr=∫

0

1

(ti+t3/2 j )¿ ( 12√ t i

+ j)dt=∫0

1

(12t1/2+t3/2)dt=1

3t3/2+ 2

5t5/2

0

1=11

15

Para otra curva que una los mismos puntos el valor de la integral cambia.

Si unimos los puntos (0,0) y (1,1) con la curva dada por r(t) = ti + tj, y resolvemos el

ejemplo anterior, se puede comprobar que el valor de la integral de línea cambia y

es I = 2/3

b) Forma diferencial: Otra forma de resolver la integral de línea es expresando el integrando en términos

de las variables x e y.

Hemos visto en función vectorial que r(t) = x(t)i + y(t)j, multiplicamos miembro a

miembro por dt:

r(t) dt = x(t) dt i + y(t) dt j en forma diferencial nos queda: dr = dx i + dy j si

reemplazamos en la integral:

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∫cF ¿Tds=∫

cF ¿dr=∫

c(Mi+Nj )¿( dxi+dyj )=∫

cMdx+Ndy

“Forma diferencial de la integral”

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EJERCICIOS:

Ejercicio 1:

Evaluar ∫C

❑

F .dr , donde F (x, y, z) = (y, 2x, y), y la trayectoria C está

Definida por h :[0,1]→R3 / h(t ) = (t,t2 ,t3 ) .

Ilustración 1Trayectoria descrita de la curva C.

SoluciónAl escribir la integral de línea en la forma cartesiana que definida como de la siguiente

manera ∫C

❑

F .dr=∫C

❑

ydx+2xdy+ ydz, como ya se conoce una parametrización de la curva

C, dada por la función vectorial h: [0,1] →ℜ3 / h (t) = (t, t2, t3), que la sustituirla en la integral de línea queda la integral definida en términos del parámetro t como se muestra a continuación.

I=∫C

❑

F ( x , y , z ). dr

¿∫C

❑

ydx+2 xdy+ ydz

¿∫0

1

[t 2 (1 )+2 t (2 t )+t 2(3 t2)]dt

¿∫0

1

[t 2+4 t 2+3 t4 ]dt

¿ [ 13t 3+ 4

3t3+ 3

5t 5]/0−1

11

¿ 3415

Ejercicio 2:

Sea F (x, y, z) = ( y3 + 2xy, x2 ) , determine la integral de F a lo largo del perímetro del cuadrado unidad con vértices en los puntos (−1,−1), (1,−1) (1,1) y (−1,1) , recorrida en sentido positivo.

Ilustración 2curva C.

Solución.En este caso se tiene una trayectoria cerrada, por lo que al aplicar las propiedades de la integral de línea se obtiene la siguiente expresión.

∮C

❑

F .dr=¿∫c 1

❑

F .dr+∫c 2

❑

F .dr+∫c 3

❑

F .dr+∫c 4

❑

F .dr ¿

En donde las curvas C1, C2, C3 y C4, son las rectas.

Una parametrización para cada una de las curvas.

PARA C1: g1: [-1,1] →R2 / g (t)= (1, t).

PARA C2:

g1: [1,-1] →R2 / g (t)= (1, t).

PARA C3:

12

g1: [1,-1] →R2 / g (t)= (-1,t).

PARA C4:

g1: [-1,1] →R2 / g (t)= (t,-1).

De donde la integral de línea de la curva C vendria dada por.

∮C

❑

F .dr=¿∫c 1

❑

F .dr+∫c 2

❑

F .dr+∫c 3

❑

F .dr+∫c 4

❑

F .dr ¿

¿∫c 1

❑

F1dx+F2dy+∫c 2

❑

F 1dx+F 2dy+∫c 3

❑

F 1dx+F2dy+∫c 4

❑

F1dx+¿ F2dy ¿

¿∫c 1

❑

x2dy+∫c2

❑

( y3+2xy )dx+∫c3

❑

x2dy+∫c 4

❑

( y3+2 xy )dx

¿∫−1

1

(1 )2(1)dt+∫1

−1

((1)¿¿3+2 t (1))(1)dt+∫1

−1

¿¿¿

¿0

Ejercicio 3:

Si F(x,y, z) 12xi− y2 j+ z

4k determine el trabajo realizado por el campo de fuerzas al

mover un objeto a lo largo de la trayectoria helicoidal r(t) = cos ti + sentj + tk, con t E(0,π).

Por definición y concepto físico de trabajo tenemos:

W=∫ f . dr = ∫ ( f . r ) (t ) .r left (t right ) dt ¿

∫0

π 12

cos (t ) ,−sen2 (t ) , t4

¿ .(−sen ( t ) ,cos (t ) ,1)dt

Haciendo el producto escalar nos quedaría así:

∫0

π

−( 12¿cos (t ) sen2 (t )−sen2 (t )cos (t )+ t

4)dt ¿

Ahora multiplico por 2 y divido por 2:

∫0

π

−¿¿

13

=cos (2 t )8

de0a π− sen3

3 (t) de 0 a π+ t2

8de0a π

=18¿ sen3 (0 ) ¿+ 1

8 (π2−(0 )

=18 (1-1)-

13(0-0) +π 2

8

Por lo tanto la respuesta es:π2

8

Ejercicio 4:

Evaluar la integral de línea de ∫ ydx+zdy+xdy donde cesta dada por (2,0,0 )a (3,4,5 ) y por (3,4,5 ) a(3,4,0)

r(t) = (1-t) r0 +t r1 0≤t≤1

r(t)= (1-t)(2,0,0 )+t (3,4,5 )

(2-t,4t,5t)

∫ ( 4 t )dt+(5t ¿)4dt+(2+t )5dt ¿

∫0

1

4 t+20 t+10+5 t=¿∫0

1

(29t+10)dt ¿

=29t2

2+10 t evaluado entre0 y1

=292

+10=24.5

Para la segunda parte: r(t)= (1-t)(3,4,5 )+t (3,4,0 )

Representación paramétrica para x,y,z.

(3, 4,5-5t)

∫ ( 4.0+5−5t ) 0+(3¿)(−5dt)¿

∫0

1

15dt=−15 t evaluado entre0 y1

=-15

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Ahora debemos sumarlo:

=24.5-15=9.5

15

Ejercicio 5:

Calcule la integral del campo vectorial F (x, y) = (x2 − 2xy)i + (y2 − 2xy) j ,a lo

largo de la parábola y = x2 desde (−1, 1) a (1, 1).

La integral curvilínea del campo F a lo largo de la parábola es

Siendo α una parametrización de dicha parábola. Hacemos x = t, y = t2

para obtener la parametrización:

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Ejercicio 6:

La fuerza en un punto (x,y,z) esta dad por F(x,y,z) = (y,z,x). Calcule el trabajo realizado por F(x,y,z) sobre una partícula que describe la trayectoria dada por la curva C

[ 0,2 ]→ R3

❑ f ( t )=(t , t2 , t3).

El trabajo realizado por la fuerza F viene dado por la integral de línea ∫C

6

F .dr, como ya

se conoce la parametrizacion de la curva C, que describe la trayectoria de la partícula, se obtiene

Ejercicio 7:

Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerza f ( x , y , z )=−12

i−12j+ 1

4k sobre una

partícula que se mueve por la hélice de ecuación r (t )=cost i+sent j+tk desde el punto (1,0,0) hasta el punto (−1,0,3 π).

1° necesitamos ver el parámetro de variación. Como podemos ver t en la componente z está sola entonces los parámetro que podemos obtener son de 0 a 3π.

0≤ t ≤3π

Como necesitamos calcular ∫ f . dr necesitamos calcular dr para saber esto necesitamos saber quién es r y para esto derivamos:

r (t )=cost i+sent j+tk

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Con respecto a t.

r (t )=−sen ( t ) i+cos ( t ) j+k

Luego necesitamos aplicarle al campo de fuerza la ecuación vectorial.

f ( x , y , z )=−12

i−12j+ 1

4k

r (t )=cost i+sent j+tk

Reemplazando quedaría.

F (r (t ) )=−12

cos (t ) i−12sen (t ) j+ 1

4k

Ahora tenemos que aplicar el producto punto de:

(F (r ( t ) )=−12

cos ( t ) i−12sen (t ) j+ 1

4k ¿ . r (t )=−sen ( t )i+cos (t ) j+k

Lo cual nos quedaría:

F (r (t ) ) .r (t )=12sen (t ) cos (t )−1

2sen (t ) cos (t )+ 1

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Haciendo esto ya podemos elaborar la integral la cual seria.

∫0

3π 14dt

¿∫0

3π 14t

¿ 3π4

Ejercicio 8:

Dado el campo vectorial F ( x , y )=(3 X2+2 y− y2 ex )i+(2 x−2 y ex ) j. Es posible afirmar que

∫c

❑

F .dr es nula si C, definida por R(t) es una curva simple cerrada

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Ejercicio 9:

Sea F(x,y,x) = yz(2x+y)i + xz (x + 2y)j + xy(x + y)kDemuestre que F es un campo conservativo

Ejercicio 10:

Sea f= f(x,y,z) un campo escalar y F es un campo vectorial dado por F=P ( x , y , z ) i+q ( x , y , z ) j+r ( x , y , z ) k. Suponga que existen las derivadas parciales y que estas son continuas. Demuestre que: ¿ ( f F )= fdiv F+∇ f f

F=p ( x , y , x ) i+q ( x , y , z ) j+R ( x , y , z )k ; f=f ( x , y , z )

Se tiene :÷(f F )=¿¿

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Por definicionde divergencia :÷( f F )=d( fP)dx

+ d (fQ)dy

+ d (fR )dz

V. CONCLUSIONES:

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva.

En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.

VI. RECOMENDACIONES:

Se recomienda tener en cuenta que para desarrollar problemas de integración de línea en un capo vectorial es necesario saber las definiciones de que es una integral de línea sobre campos vectoriales así como también saber las definiciones de campo vectorial e integración lineal para que el desarrollo de problemas sean resueltos con mayor facilidad y evitar contratiempos.

VII. BIBLIOGRAFÍA:

Bautista, C. (20 de Julio de 2007). www.ing.uc.edu.ve. Obtenido de www.ing.uc.edu.ve: http://www.ing.uc.edu.ve/~amejias/Archivos_pdf/int_lin_intlincv.pdf

Hosteilon, L. (2009). calculo. Mexico: libreria-universitaria.blogspot.

Paredes, M. (20 de enero de 2008). wikipedia. Obtenido de wipipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_l%C3%ADnea

Stewart, J. (2008). Calculo. Colombia: club universitario.

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