Практичне заняття 5.

Визначений інтеграл

Мета заняття: ознайомлення студентів з поняттям «визначений інтеграл» та

методами обчислення.

Зміст заняття. Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про визначений інтеграл

та прикладів задач по заданій темі.

Завдання 2. Надання відомостей про методи інтегрування визначених інтегралів..

Основні теоретичні відомості, формули та приклади.

Нехай функція ( )f x визначена на відрізку [ ];a b . Розіб’ємо відрізок [ ];a b

точками 0 1 2 1... n na x x x x x b−= < < < < < = .

Позначимо 1k k kx x x+∆ = − . Виберемо довільну точку [ ]1;k k kc x x +∈ . Складемо

інтегральні суми ( )1

0

n

k k

k

f c x−

=

⋅ ∆∑ .

Позначимо ( )1

0

( ) lim

b n

k kn

ka

f x dx f c x−

→∞=

= ⋅∆∑∫ , ( )max 0kx∆ → . Отже, визначеним

інтегралом від функції ( )f x на відрізку [ ];a b називається границя інтегральних

сум при n→∞ , якщо ця границя не залежить ні від розбиття kx∆ , ні від вибору

точок kc .

Для обчислення визначеного інтегралу використовують формулу Ньютона –

Лейбніца:

( ) ( ) ( ) ( ),

bb

a

a

f x dx F x F b F a= = −∫

де F x( ) — первісна для f x( ) .

Основні властивості визначеного інтеграла:

1. ( ) 0;

a

a

f x dx =∫

2. ( ) ( ) ;

b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

3. ( )1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ,

b b b

a a a

k f x k f x dx k f x dx k f x dx± = ±∫ ∫ ∫ де k k1 2, - сталі;

4. ( ) ( ) ( ) ;

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

5. ( ) ( ) ,

b b

a a

f x dx x dxϕ≤∫ ∫ якщо [ ]( ) ( ), , ;f x x x a bϕ≤ ∈

6. ( ) ( ) ( ),

b

a

m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫ де m та M найменше та найбільше

значення функції f x( ) на відрізку [ , ]a b .

Методи обчислення визначених інтегралів.

Якщо ( )u x і ( )v x неперервно диференційовані на відрізку [ , ]a b , то

справедлива формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

.

b bb

a

a a

udv uv vdu= −∫ ∫

Нехай задано інтеграл ( ) ,

b

a

f x dx∫ де ( )f x - неперервна функція на відрізку

[ , ]a b . Якщо функція ( ),x t tϕ α β= ≤ ≤ , неперервно диференційована і

монотонна на відрізку [ ] ( ), , a t bα β ϕ≤ ≤ при зміні t від α до β ,

( ) ( ), ,a bϕ α ϕ β= = то має місце рівність:

( )( ) ( )( ) .

b

a

f x dx f t t dt

β

α

ϕ ϕ′=∫ ∫

Метод інтегрування з використанням цієї рівності називається методом

підстановки (заміни змінної), а функція ( )x tϕ= - підстановкою. Зазначимо, що

при інтегруванні цим методом обов’язкова заміна меж інтегрування.

Приклад 1. Обчислити інтеграл ( )

2

1ln 1

dx

x x +∫

Розв’язання.

( )( ) ( )

( ) 11 1

ln 11ln 1 ln ln 1

ln 1 ln 1

ee e d xdxx x

x x x x

+′= + = = = + =+ +∫ ∫

ln 2 ln1 ln 2= − = ;

Приклад 2. Обчислити інтеграл 1

0

arctgx xdx∫

Розв’язання.

б) x xdx

u x dudx

x

dv xdx vx

xx

x

xdxarctg

arctg

arctg

0

12

2

2

0

12

20

1

1

2

2

1

2 1∫ ∫=

= =+

= =

= −+

=

1 1

0 0

1 1 1 1arctg

8 2 2 8 2 8 4 2x x

π π π π= − + = − + = − .

Приклад 3.

Обчислити визначений інтеграл

4

2

0

16I x dx= −∫ .

Розв’язання.

2

2 22

0 0

4sin 16 4cos

4cos 4cos 16 cos4cos 4

2

0 0

x t x t

x t

I t tdt tdtdx tdt

π π

π

= − =

= = ⋅ = == ∫ ∫

( )2

0

21 1

8 1 cos2 8 sin 2 8 sin 0 42 2 2

0

t dt t t

π ππ

π π = + = + = + − = ∫ .

Завдання для індивідуальної роботи № 5.

Номер варіанта визначається за списком в журналі групи.

Відповіді слід надіслати у вигляді документу з розширенням

«.doc» або «.pdf»

Обчислити визначені інтеграли:

5.1. а)

5

5

2

2 1

2 1 1

xdx

x

−

− −∫ ; б)

1

2

1

2 3

arctg2xdx∫ .

5.2. а)

1

22

20 1

xdx

x−∫ ; б)

62

0

sin 2x xdx

π

∫ .

5.3. а) 2

0

sin

1 sin cos

xdx

x x

π

+ +∫ ; б)

2e

1

ln xdx

x∫ .

5.4. а)4

3

0

tg xdx

π

∫ ; б)

e+1

2

ln( 1)x x dx−∫ .

5.5. а)

3

32 2 2

dx

x − +∫ ; б)

1

2

0

(2 1)e xx −∫ .

5.6. а) sin

sin

x

xdx

+∫ 20

2

; б) arccosxdx

−∫1

0

.

5.7. а) 7 2

4 50

5x

xdx

−

+ +∫ ; б) xx

dxsin2

0

2

π

∫ .

5.8. а) 8 5

4 3 23

7x

xdx

+

− +∫ ; б) xe dxx−∫ 2

0

2ln

.

5.9. а) xdx

x −∫1

4

9

; б) ( )ππ

−∫ x xdxsin

0

.

5.10. а) dx

x5 30

2

+∫ sin

π

; б) ( )ln x dx

e

+−

∫ 1

0

1

.

5.11. а) x x dx2 2

0

2

4 −∫ ; б) xdx

xsin2

6

4

2π

π

∫ .

5.12. а) xdx

x5 41

1

−−∫ ; б) ( )1

42

2

−−∫ x

xdxsin

π.

5.13. а) xdx

x + +∫1 2

2

4

; б) ln x

xdx

e

21

∫ .

5.14. а) dx

x xcos sin+ +∫ 10

2

π

; б) ( )x x dxln +∫ 1

1

2

.

5.15. а) ( )x dx

x

−

+∫1

14

9

; б) xe dxxl

3

0

∫ .

5.16. а) dx

x x10

2

− +∫ sin cos

π

; б) x xdxcos3

0

6

π

∫ .

5.17. а) ( )

dx

x xsin cos+∫0

4

π

; б) x xdxarcsin

0

1

∫ .

5.18. а) 6 7

3 2 11

6x

xdx

+

− +∫ ; б) ( )ππ

−∫ x xdxsin

0

.

5.19. а) dx

x20

2

+∫ cos

π

; б) ( )2 3

1

0

x e dxx+ −

−∫ .

5.20. а) dx

x x4 3 5sin cos+ +∫ ; б) ( )2 14

0

1

x e dxx+∫ .

5.21. а) dx

x x10

2

− +∫ cos sin

π

; б) ( )2 3

0

2

−∫ x xdxsin

π

.

5.22. а) x x

xdx

−∫

3

1

64

; б) x xdxsin2

0

π

∫ .

5.23. а) dx

ex13

8

+∫

ln

ln

; б) x xdx

e2

1

ln∫ .

5.24. а) dx

x5 40

2

+∫ cos

π

; б) arctgxdx

0

1

∫ .

5.25. а) 2 1

13

2

4x

xdx

++∫ ; б) arccosxdx

−∫1

1

.

5.26. а) dx

x10

4

+∫ cos

π

; б) x xdx

e

ln

1

4

∫ .

5.27. а) x

xdx

+

+∫1

2 130

13

; б) ( )2 3

0

6

−∫ x xdxsin

π

.

5.28. а) dx

x x10

2

− −∫ sin cos

π

; б) xdx

xsin2

4

3

2π

π

∫ .

5.29. а) x

xdx

+ +

+ −∫1 1

1 13

8

; б) ( )ln x dx−∫ 1

2

3

.

5.30. а) 4 2

3

2 −∫

x

xdx ; б) x x

e

e3

2

ln∫ .