ЛЕКЦІЯ

Визначений інтеграл. Основн1 методи 1нтегрування. Означення та властивості визначеного інтеграла

Розглянемо задачу, що приводить до визначеного інтеграла. Нехай на відрізку ;a b задана

неперервна функція ( ) 0f x і треба знайти площу S криволінійної трапеції, обмеженої лініями

( ), , , 0y f x x a x b y :

Знайдемо наближене значення цієї площі. Для цього розіб'ємо відрізок ;a b довільними

точками: 1 ... ...k na x x x x b , та візьмемо на кожному відрізку 1,k kx x , 1,2,...,k n ,

довжини 1k k kx x x , точку k . Площа криволінійної трапеції S буде наближено дорівнювати

сумі площ прямокутників з основами kx та висотами kf : 1

n

k kk

S f x

(рис.1). При

цьому, чим більше точок kx будемо брати тим точність такого наближення буде вища. Точне

значення S отримуємо, переходячи до границі в цих сумах, коли max kx прямує до нуля:

max 0 1

limk

n

k kx k

S f x

.

З цього прикладу випливає доцільність наступного означення.

Нехай ( )f x задана на відрізку ;a b , 1 ... ...k na x x x x b - точки, що ділять його на

відрізки 1,k kx x , довжини 1k k kx x x . Візьмемо на кожному 1,k kx x точку k та утворимо

суму 1

n

k kk

f x

, яка називається інтегральною сумою функції ( )f x на відрізку ;a b . Якщо

існує границя інтегральних сум функції ( )f x на відрізку ;a b , за умови, що max kx прямує до

нуля, і вона не залежить від способу розбиття відрізку ;a b на частини 1,k kx x та вибору точок

k , то цю границю називають визначеним інтегралом від функції ( )f x на відрізку ;a b та

позначають: 0 1max

( ) limi

i

b n

k kx ka

f x dx f x

.

Числа a і b називаються відповідно нижньою та верхньою межами інтегрування.

За означенням вважають: ( ) 0a

a

f x dx ; ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx .

Якщо визначений інтеграл від ( )f x на ;a b існує, то функцію ( )f x називають

інтегрованою на ;a b . Можна довести, що неперервна на ;a b функція інтегрована на ньому.

Інтегрованою буде також функція, що має скінчену кількість точок розриву першого роду.

З визначення інтеграла та властивостей границь можна отримати такі властивості

визначених інтегралів:

y

x

y f x

0x a 1 2x 1x 1kx k kx 1nx n nb x

Рис. 1

2

а) b

a

dx b a ;

б) b b

a a

Cf x dx C f x dx , де C - стала;

в) 1 2 1 2

b b b

a a a

f x f x dx f x dx f x dx ;

г) b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx , в припущенні, що ( )f x інтегрована на кожному з проміжків

; , ; , ;a b a c c b ;

д) Якщо ( ) ( )f x g x на ;a b і вони інтегровані на цьому інтервалі, то b b

a a

f x dx g x dx ;

е) Якщо ( )f x інтегрована на ;a b та ( )m f x M , коли ;x a b , то

b

a

m b a f x dx M b a . При цьому існує таке число m M , що b

a

f x dx b a .

Зокрема, якщо ( )f x неперервна на ;a b , то існує таке ;c a b , що ( )b

a

f x dx f c b a . Це, так

звана, теорема про середнє.

Нехай задана неперервна на ;a b функція ( )f x . Розглянемо ( )x

a

f t dt , де верхня межа

інтеграла x змінюється на ;a b . Такий інтеграл називається інтегралом зі змінною верхньою

межею інтегрування. Він є функцією цієї межі x : ( ) ( )x

a

F x f t dt . Будемо шукати похідну від

( )F x , для чого утворимо: ( ) 1 1

( ) ( ) ( )x x x x x

a a x

F x x F xf t dt f t dt f t dt

x x x

.

За теоремою про середнє: 1 1

( ) ( ) ( )x x

x

f t dt f c x f cx x

, де ;c x x x . Тому, якщо

перейти в цьому виразі до границі, коли 0x , то

0 0

( )( ) lim lim ( ) ( )

x xx c x x

F x x F xF x f c f x

x

.

Це означає, що однією з первісних підінтегральної функції ( )f x буде ( ) ( )x

a

F x f t dt , а будь-яка

інша первісна ( )f x має вигляд: ( ) ( )x

a

F x f t dt C , де C - стала. Нехай тепер ( )F x - одна з

первісних ( )f x : ( ) ( )x

a

F x f t dt C . Припустимо, що x a , тоді ( )F a C . Якщо ж взяти x b , то

( ) ( ) ( ) ( )b b

a a

F b f t dt C f t dt F a . Звідси

( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa

f t dt F b F a F x | ,

де ( )F x - будь-яка первісна ( )f x .Така рівність називається формулою Ньютона-Лейбніца. Вона

встановлює зв'язок між невизначеним та визначеним інтегралами і дає метод обчислення

останніх. Безпосереднє обчислення визначених інтегралів за їх означенням, як границі

інтегральних сум, можливе лише в не багатьох випадках.

Заміна змінної у визначеному інтегралі

3

Нехай в інтегралі b

a

f x dx функція ( )f x неперервна на ;a b . Введемо нову змінну

інтегрування t за формулою x t , де t неперервна на 1 1;a b разом з t ,

1 1,a a b b . Тоді

1

1

bb

a a

f x dx f t t dt

Це формула заміни змінної у визначеному інтегралі. При користуванні цією формулою не

потрібно повертатися до старої змінної x . Саму ж функцію t обирають так, щоб

максимально спростити підінтегральний вираз.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Так само як і для невизначеного інтеграла, формула інтегрування частинами у визначеному

інтегралі випливає з формули похідної добутку двох функцій. Для визначеного інтеграла, вона

набуває вигляду: bb b

a aa

udv uv vdu ,

де ,u u x v v x - функції, які мають неперервні похідні на ;a b .