CHƯƠNG 1 : MỞ ĐẦU

1.CÁC ĐẠI LƯỢNG VÉC TƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1. VÔ HƯỚNG VÀ VECTƠ Nhiều đại lượng vật lý như diện tích S ,khối lượng m, nhiệt độ T,điện trở R…hoàn toàn xác định bởi trị số của chúng .Những đại lượng này gọi là đại lượng vô hướng .Các đại

lượng khác như vận tốc v , lực F ,cường độ điện trường E ,cảm ứng từ B …chỉ được xác định hoàn toàn nếu biết trị số và cả hướng của chúng. Đó là những Đại lượng vectơ . Một hàm toán học hoặc một phát hoạ bằng đồ thị dùng để mô tả sự thay đổi của một đại lượng trong một miền cho trước được coi là sự thể hiện một Trường của đại lượng này trong miền đã cho .Tuỳ thuộc lượng là Vô hướng hay Vectơ ,tương ứng ta có Trường vô hướng hay Trường Vectơ. Đối với Trường vectơ không chỉ cần mô tả trị số vectơ mà cả hướng của vectơ thay đổi như thế nào theo vị trí trong không gian .Một cách tiện lợi ,có thể mô tả quy luật biến đổi các thành phần của một vectơ thay vì mô tả chính vectơ đó.Chẳng hạn ,có thể biểu diễn

vectơ A (x,y,z,t) dạng :

A(x,y,z,t) = Ax (x,y,z,t)i x + A y (x,y,z,t)i y + A z(x,y,z,t)i z .

( xi

, yi

, zi

là các vec tơ đơn vị ).Như vậy,ta đã đưa bài toán mô tả trường vec tơ A về bài

toán mô tả các trường vô hướng của các thành phần A x , A y , A z .

Phát hoạ bằng đồ thị thể hiện một trường vectơ là các đường cong có hướng gọi là đường sức .Tại mỗi điểm trên đường sức,vec tơ đặc trưng cho đại lượng khảo sát tiếp xúc với đường sức tại điểm đó,chiều của đường sức là chiều của vec tơ ,mật độ ( mau, thưa ) của đường sức dùng để chỉ sự thay đổi trị số của vec tơ . 1.2. HỆ TOẠ ĐỘ Các đại lượng điện từ ,trong trường hợp tổng quát ,là các hàm vị trí và thời gian .Nếu là đại lượng vectơ ,hướng của chúng có thể thay đổi trong không gian.Để xác định vị trí và hướng trong không gian ,người ta dùng Hệ toạ độ .Có nhiều hệ toạ độ khác nhau,khi giải bài toán trường điện từ ta cần chọn hệ toạ độ thích hợp : Hệ toạ độ Descartes,Hệ toạ độ trụ hoặc Hệ toạ độ cầu.Để xác định các mặt toạ độ trong không gian ,cần chọn một điểm chuẩn làm gốc toạ độ ,thường đó cũng là gốc toạ độ của hệ toạ độ Descartes gắn hệ toạ độ cong ,tiện lợi cho việc so sánh 2 hệ toạ độ . Gọi dl1 , dl2 , dl3 là những yếu tố dài trên các đường toạ độ u1, u2 , u3 ; vì yếu tố dài

trên đường toạ độ không nhất thiết bằng độ tăng vi phân của toạ độ tương ứng nên có thể viết : dl1= h1du1

dl2 = h2 du2

dl3 = h3du3

Trong đó hệ số h1 , h2 , h3 gọi là hệ số Larmor (hay còn gọi là hệ số metric).

Toạ độ Vec tơ đơn vị Hệ số Larmor

u1 u2 u3 1i

2i 3i h1 h2 h 3

Hệ toạ độ Descartes

∞− <x < ∞ ∞− < y < ∞ ∞− < z < ∞ xi yi zi 1 1 1

Hệ toạ độ trụ

0 ≤ R < ∞ 0 ≤ φ < 2π ∞− < z < ∞ Ri φi zi 1 R 1

Hệ toạ độ cầu

0 ≤ r < ∞ 0 ≤ θ < π 0 ≤ φ < 2π ri θi φi 1 r r.sinθ

Vec tơ dịch chuyển : Yếu tố diện tích :

d1S = ± h2 h 3 du2 du3 1i .

d2S =± h3h1du3du1. 2i .

d3S = ± h1 h2 du1du2 . 3i .

Yếu tố thể tích : 1.3. PHÉP TÍNH VEC TƠ :

A = A1 1i + A 2 2i + A3 3i .

A1, A 2 , A 3 Là các thành phần hình chiếu của A dọc theo 1i , 2i , 3i .

A = (A 21 + A 2

2 + A 23 ) 2

1

Hai vec tơ bằng nhau : A = B ; nếu iA = iB , i = 1,2,3 .

Cộng và trừ vec tơ :

A ± B = ( A1 ± B1). 1i + ( A 2 ± B 2 ). 2i + (A 3 + B3 ). 3i .

Nhân chia một vec tơ cho một vô hướng :

dl = h1du1. 1i + h2 du2 . 2i + h3du3 . 3i

dV = dl1 . dl2 . dl3 = h1 h2 h 3 du1du2 du3

mA = mA1. 1i + mA 2 . 2i + mA3 . 3i .

m

A=

m

A1 . 1i + m

A2 . 2i +m

A2 . 3i

Tích vô hướng:

A . B = ( 1A 1i + 2A 2i + 3A 3i )( 1B 1i + 2B 2i + 3B 3i )

= 1A 1B + 22BA + 33BA

Tích vectơ:

A B× =( +11iA 22iA + 33iA ) 11( iB× 3322 iBiB ++ )

=( 312212311312332 )()() iBABAiBABAiBABA −+−+−

A B× =

321

321

321

BBB

AAA

iii

Độ tăng vi phân của từ điểm P(x,y,z) tới điểm Q(x + dx, y + dy, z + dz):

df dzz

fdy

y

fdx

x

f

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Tương tự độ tăng vi phân của hàm vectơ ),,( zyxA từ điểm P(x,y,z) tới điểm lân cận Q :),,( dzzdyydxx +++

d dzz

Ady

y

Adx

x

AA

∂∂+

∂∂+

∂∂=

1.4.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN M ẶT, TÍCH PHÂN TH Ể TÍCH: 1.4.1 Tích phân đường. Gọi ),,( zyxF là hàm của vị trí xác định trong miền không gian bao gồm đường cong C

nối 2 điểm P và Q. Chia đường cong C thành những đoạn nhỏ 21,dldl … có thể coi la

thẳng và hàm ),,( zyxF không đổi trên mỗi đoạn này.

Theo định nghĩa , tích phân đường của hàm F theo đường C bằng:

dlFdlFC

i

n

in ∫∑ =

∞→lim

Nếu F là lực thì tích phân đường sẽ là công của lực theo đường C:

A= dlFC∫

Đường C có thể là đường kín, khi đó dlFC∫ là lưu số củaF theo C

1.4.2 Tích phân mặt.

Nếu biết mật độ thông lượng của một đại lượng vật lý nào đó tại mọi điểm trên mặt S, ta dùng tích phân mặt để xác định thông lượng của đại lượng này gửi qua mặt S cho

trước. Chẳng hạn, nếu biết mật độ dòng J tại mọi điểm trên mặt S, ta tính được cường

độ dòng chảy qua mặt S bằng cách: Chia S thành những yếu tố diện tích 321 ,, dSdSdS ,coi

J không đổi trên mỗi yếu tố diện tích này, cường độ dòng I bằng tích phân mặt:

I= limn

I in

i S

J dS J dS→∞

=∑ ∫

Tích phân mặt là tích phân 2 lớp vì yếu tố diện tích dS là tích của 2 yếu tố dài. Nếu S là mặt kín ta có:

I=S

J dS∫

Chiều dS thường chọn hướng ra ngoài thể tích V bao bởi mặt kín S. 1.4.3 Tích phân thể tích. Nếu biết mật độ khối của một đại lượng vật lý trong một thể tích nào đó ta dùng tích phân thể tích xác định đại lượng này trong thể tích V đã cho. Chẳng hạn nếu biết mật độ điện tích khối ),,( zyxρ hoặc ),,( zR αρ hoặc ),,( αθρ r ta có thể tính diện tích q trong thể tích V. Chia thể tích V thành những yếu tố thể tích d 1V ,d 2V … coi mật độ điện tích khối ρ trong mỗi yếu tố thể tích này không đổi, điện tích q trong thể V tính theo tích phân thể tích:

q= ∫∑ =∞→

V

iin

dvdV ρρlim

Tích phân thể tích là tích phân 3 lớp vì dv là tích của 3 yếu tố dài. Ví dụ:Điện tích phân bố trong hình cầu bán kính a, tâm ở gốc tọa độ cầu, với mật độ điện

tích khối: r

r 0),,(ραθρ = với const=0ρ .Hãy xác định điện tích trong hình cầu ?

Giải:

q=2

20

0 0 0

sina

V r

dv r drd dr

π π

θ α

ρρ θ θ α= = =

=∫ ∫ ∫ ∫

q=2 2

0aπρ

1.5 CÁC TOÁN TỬ VECTƠ

Toán tử del: x y zi i ix y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

Gradient: 1 2 31 1 2 3 3

1 1 1. . .

2

f f ff i i i

h u h u h u

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

Div A

: 2 3 1 3 1 2 1 2 31 2 3 1 2 3

1. ( ) ( ) ( )A h h A h h A h h A

h h h u u u

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂

RotA

:

1 1

1 2 3 1

1 1

1×A=

h h h

h i

u

h A

∂∇∂

2 2

2

2 2

h i

u

h A

∂∂

3 3

3

3 3

h i

u

h A

∂∂

Toán tử Laplace: 2 3 3 1 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3

1

3 3

h h h h h hf f ff

h h h u h u u h u u h u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.( × ) . ×A-A. ×B

. ×A=0

× 0

× ×A= ( . )

A B B

f

A A

∇ = ∇ ∇

∇ ∇∇ ∇ =

∇ ∇ ∇ ∇ − ∆

Định lý Gauss : S

AdS∫

= .V

divA dV∫

hay . ( ) ( )V S

A r dV A r dS∇ =∫ ∫

Định lý Stokes: =∫ ∫

C S

Adl rotAdS hay ×A(r) A(r)S C

dS dl∇ =∫ ∫

1.6. CÁC VECTƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Các quá trình Điện Từ được mô tả toán học thông qua 4 vectơ đặc trưng cho

Trường Điện Từ : vectơ cường độ điện trường E

, vectơ cảm ứng điện D

, vectơ cảm ứng từ B

và vectơ cường độ trường từ H

. Các vectơ này nói chung là các hàm của tọa độ và thời gian , chúng liên hệ với nhau và liên hệ với điện tích cũng như dòng điện theo những quy luật xác định . Những quy luật này được phát biểu dưới dạng các phương trình Maxwell và các phương trình liên hệ .

1.6.1 Vectơ cường độ trường điện E

và vectơ cảm ứng điện D

.

Điện tích thử q đặt trong Trường Điện chịu tác dụng lực điện eF

. Tại mỗi điểm

của Trường Điện , tỷ số ( /eF q

) là một đại lượng không đổi , được gọi là Cường độ

trường điện tại điểm đó :

eFE

q=

V

m

Khi đặt điện môi vàoTrường Điện , điện môi bị phân cực . Mức độ phân cực điện môi được đặc trưng bởi vectơ phân cực điện P

.

Vectơ phân cực điện P

xác định trạng thái phân cực điện môi tại mỗi điểm ,chính là moment dipole điện của một đơn vị thể tích điện môi bao quanh điểm đó .

0

limV

PP

V∆ →

∆=∆

2

c

m

P∆

: moment dipole điện của điện môi thể tích V∆ . Liên hệ với vectơ phân cực

điện P

, vectơ cảm ứng điện D

được định nghĩa bởi hệ thức :

0D E Pε= +

2

c

m

0ε là hằng số điện , trong hệ đơn vị SI :

90 (1/ 4 .9.10 )ε π=

F

m

Đối với môi trường tuyến tính đẳng hướng hoặc cường độ trường điện không quá lớn , vectơ phân cực điện P

tỷ lệ với cường độ trường điện E

:

0 eP x Eε=

; xe là độ cảm điện của môi trường.

0

0

(1 )e

r

D x E

D E

εε ε

= +

=

D Eε=

Với 1r exε = + là độ thẩm điện tương đối của môi trường.

0 rε ε ε= F

m

là độ thẩm điện của môi trường .

Chất

rε Chất rε

Không khí 1,0006 Đất khô 5 Giấy 2 – 3 Thủy tinh 5 – 10 Cao su 2 – 3,5 Mica 6 Polyethylen 2,26 Sứ 6 Thạch anh nóng chảy 3,8 Đất ẩm 10 Bakelite 4,9 Nước cất 81

1.6.2 Vectơ cảm ứng từ B

và vectơ cường độ từ trường H

. Vectơ cảm ứng từ B

được định nghĩa dựa trên lực từ mF

tác dụng lên điện tích

thử q chuyển động với vận tốc v

trong Trường Từ :

mF qv B= ×

sin( , )mF qBv v B=

Khi v

vuông góc với B

lực từ đạt cực đại , khi đó cảm ứng từ B

tính qua lực từ cực đại này :

(max)

.m mF i

Bq v

×=

2

Wb

m

(T)

mi

: vectơ đơn vị .

B

v

mF

Khi đặt từ môi vào Trường Từ , từ môi bị phân cực . Mức độ phân cực từ môi được đặc trưng bởi vectơ phân cực từ M

. Vectơ phân cực từ xác định trạng thái phân cực từ tại mỗi điểm của từ môi , chính là moment từ của một đơn vị thể tích từ môi bao quanh điểm đó .

0

limV

mM

V∆ →

∆=∆

A

m

m∆

là moment từ của từ môi thể tích V∆ .

Liên hệ với phân cực từ M

, vectơ cường độ trường từ H

được định nghĩa bởi hệ thức :

0

BH M

µ= −

A

m

0µ là hằng số từ , trong hệ đơn vị SI :

70 4 .10µ π −=

H

m

Đối với môi trường tuyến tính , đẳng hướng hoặc cường độ trường từ không quá lớn , vectơ phân cực từ M

liên hệ với vectơ cường độ trường từ H

theo hệ thức :

.mM x H=

; mx là độ tự cảm của môi trường .

0

0

(1 )m

r

B x H

B H

µ

µ µ

= +

=

B Hµ=

Với 1r mxµ = + là độ từ thẩm tương đối của môi trường .

0 rµ µ µ= H

m

là độ thẩm từ của môi trường .

Đối với tính chất Thuận từ và Nghịch từ độ cảm từ mx là hằng số (xem bảng

dưới) , đối với chất sắt từ mx phụ thuộc cảm ứng từ B

.

Chất thuận từ mx Chất nghịch từ

mx

Không khí 3,6.10-7 Nitrogen -0,50.10-5

Oxygen 2,1.10-6 Hydrogen -0,21.10-5

Nhôm 2,3.10-5 Thủy ngân -3,20.10-5

Tungsten 6,8.10-5 Bạc -2,60.10-5

Bạch kim 2,9.10-4 Đồng -0,98.10-5

Oxygen lỏng 3,5.10-3 Natri -0,24.10-5

1.6.3 Mật độ điện tích . Mật độ dòng điện Ngoài khái niệm điện tích điểm , quan điểm vĩ mô chấp nhận hình thức phân bố điện tích liên tục trong miền V , trên mặt S , trên đường C với mật độ điện tích khối ρ , mật độ điện mặt σ , mật độ điện tích dài λ . Theo định nghĩa :

Mật độ điện tích khối 0

limV

q

Vρ

∆ →

∆=∆

, dv

dq=ρ 3

c

m

Mật độ điện tích mặt 0

limS

q

Sσ

∆ →

∆=∆

, ds

dq=σ 2

c

m

Mật độ điện tích dài 0

liml

q

lλ

∆ →

∆=∆

, dq

dlλ =

c

m

Trong đó q∆ là điện tích chứa trong thể tích V∆ , trên diện tích S∆ , trên yếu tố dài l∆ , khi V∆ , S∆ , l∆ co về một điểm . Từ khái niệm mật độ điện tích , có thể tính điện tích q chứa trong thể tích V , trên mặt S , trên đường C :

, ,V S C

q dq= ∫ với

dV

dq dS

dl

ρσλ

=

Chú ý : Điện tích chỉ phân bố ngoài mặt vật dẫn với mật độ điện tích mặt σ (c/m2) ; mật độ điện tích khối ρ trong vật dẫn bằng 0. Cường độ dòng điện I chảy qua mặt S được định nghĩa :

0

limt

qI

t∆ →

∆=∆

(A)

q∆ : Điện tích chuyển qua mặt S trong thời gian t∆ .

Mật độ dòng điện J

là một vectơ , tại mỗi điểm có hướng chuyển động của điện tích dương tại điểm đó , độ lớn bằng

0

limS

IJ

S∆ →

∆=∆

2

A

m

I∆ : Cường độ dòng điện chảy qua S∆ đặt vuông góc với dòng điện . Từ khái niệm mật độ dòng điện , có thể tính dòng điện chảy qua mặt S bất kỳ :

.S

I J dS= ∫

(A)

Vectơ J

liên quan đến sự chuyển động của các điện tích tự do gọi là vectơ mật độ

dòng dẫn . Theo định luật Ohm , J

liên hệ với Cường độ điện trường E

bởi hệ thức :

J Eγ=

γ : độ dẫn điện của môi trường (S/m) . 2. KHÁI NI ỆM VỀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 2.1 KHÁI NI ỆM CHUNG Hiện tượng Điện Từ rất phổ biến và giữa vài trò cực kỳ quan trọng trong tự nhiên. Hầu hết các hiện tượng xung quanh ta bao gồm các quá trình hóa học, sinh học … đều là kết quả tương tác Điện Từ giữa các nguyên tử, phân tử. Cho đến nay người ta biết có 4 dạng tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác Điện Từ, tương tác hấp dẫn, tương tác mạnh và tương tác yếu. Các tương tác khác đều có thể quy về 4 dạng tương tác này. Tương tác Điện Từ giữa các hạt mang điện mạnh hơn rất nhiều tương tác hấp dẫn giữa chúng (lực điện giữa 2 electron mạnh hơn lực hấp dẫn giữa chúng gấp 1043 lần). Tương tác mạnh xảy ra trong phạm vi kích thước của hạt nhân(10-15 m). Tương tác yếu xảy ra giữa các hạt cơ bản trong các quá trình chuyển hóa nhất định. Vì vậy trong thực tế đời sống và kỹ thuật, tương tác Điện Từ giữ vai trò chủ yếu.Mỗi dạng tương tác có một Trường tương ứng. Tương tác Điện Từ thông qua Trường Điện Từ. Mỗi hạt hoặc vật mang điện tao ra một Trường Điện Từ, hạt hoặc vật mang điện thứ hai đặt trong Trường này chịu tác dụng một lực điện từ. Hạt hoặc vật mang điện thứ hai cũng tạo ra một Trường Điện Từ, trường này tác dụng lực điện từ lên hạt hoặc vật mang điện thứ nhất. Kết quả: có sự tương tác Điện Từ giữa các hạt mang điện hoặc vật mang điện. Trường Điện Từ là dạng vật chất bao quanh các điện tích đứng yên cũng như chuyển động. Trường Điện Từ mang năng lượng xác định, năng lượng này có thể chuyển hoá thành các dạng năng lượng khác như: năng lượng hoá học, nhiệt, chuyển động cơ học… Khối lượng của Trường Điện Từ được xác định từ hệ thức Einstein: E = mc2 E: năng lượng Trường Điện Từ m: khối lượng Trường Điện Từ c: vận tốc ánh sáng trong chân không. Vì c2 rất lớn nên mật độ khối lượng của Trường Điện Từ rất nhỏ, thường người ta không để ý đến đặc trưng khối lượng mà chỉ quan tâm đến đặc trưng năng lượng của nó. Trong các thiết bị Vô tuyến điện, Kỹ thuật điện… có các quá trình biến đổi và truyền năng lượng Điện Từ. Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp tính Trường Điện Từ cùng với việc khảo sát các quá trình năng lượng có ý nghĩa thực tế to lớn. Trong Lý thuyết mạch, các thông số của mạch như điện trở R, điện cảm L, điện dung C… coi như đã cho. Tuy nhiên, để tính những thông số này cần biết những khái niệm và cách tính của Lý thuyết Trường Điện Từ. 2.2 NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 2.1.1 ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỐI VỚI TRƯỜNG ĐIỆN

Định luật Gauss là một trong những định luật cơ bản của lý thuyết trường điện từ. Thông lượng của các vectơ cảm ứng điện D

gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng các điện tích tự do phân bố trong thể tích V bao bởi mặt S.

S

DdS q=∫

2.2.2 ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỐI VỚI TRƯỜNG TỪ Thông lượng của các vectơ cảm ứng từ B

gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng 0.

. 0S

B dS=∫

2.2.3 ĐỊNH LUẬT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ FARADAY Định luật cảm ứng điện từ Faraday thiết lập mối liên hệ giữa trường từ biến đổi theo thời gian và trường điện phân bố trong không gian do sự biến đổi của trường từ gây ra. Sức điện động cảm ứng có giá trị bằng và ngược dấu với tốc độ biến thiên từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi vòng dây .

C S

dEdI BdS

dt= −∫ ∫

2.2.4 ĐỊNH LUẬT LƯU SỐ AMPÈRE – MAXWELL Định luật lưu số Ampère – Maxwell hay định luật dòng điện toàn phần , thiết lập liên hệ giữa cường độ trường từ H

và dòng điện toàn phần tạo nên trường từ . Lưu số của vectơ cường độ trường từ H

theo đường kín C tùy ý bằng tổng đại số cường độ các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường kín C .

C

H dI I=∑∫

3 . HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VÀ Ý NGH ĨA CỦA NÓ

Trường điện từ biến thiên được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell :

rot = + (1)

rot = − (2)

div = 0 (3)

div = ρ (4)

Đối với môi trường đẳng hướng,tuyến tính các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ liên hệ với nhau qua các phương trình chất:

= ε , = µ , = γ Hệ phương trình Maxwell có một ý nghĩa cơ bản và quan trọng trong lý thuyết

trường điện từ, nó mô tả đầy đủ quan hệ giữa các biến , , , ,E B D H J

, mô tả dạng hình học

của trường điện từ và quan hệ giữa trường và môi trường chất ở mọi chế độ tĩnh, dừng và biến thiên. 3.1. Hai phương trình Maxwell 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt thể hiện điện và từ của trường điện từ biến thiên. Các mối quan hệ ấy đặc biệt gắn bó khăng khít với TĐT biến thiên và lỏng lẻo hơn khi trường biến thiên chậm hoặc không đổi. Thực vậy, đối với TĐT biến thiên, phương trình (1) nêu rõ : những vùng có điện

trường biến thiên, tức là có mật độ dòng điện D

Jt

∂+∂

biến thiên thì ở đó có từ trường và

từ trường có tính chất xoáy ( vì 0rotH ≠

). Mặt khác, phương trình (2) nêu rõ những

vùng có từ trường biến thiên ( 0B

t

∂ ≠∂

) thì ở đó có điện trường và điện trường có tính chất

xoáy (vì 0rotE ≠

) . Vậy, hai phương trình đó nêu rõ từ trường và điện trường biến thiên luôn gắn bó kèm theo nhau và luôn có tính chất xoáy.

Đối với tr ường điện từ dừng ( hiểu theo nghĩa là có dòng điện không đổi 0J ≠

và 0=∂∂t

), phương trình (1) có vế phải bằng J

nêu rõ từ trường vẫn phụ thuộc vào sự

phân bố dòng điện dẫn .Nhưng phương trình (2) có vế phải triệt tiêu, nêu rõ sự phân bố điện trường và dòng điện không phụ thuộc từ trường nữa: mối quan hệ giữa điện và từ

bớt mật thiết. Đặc biệt vì 0rotE =

, nên điện trường có tính chất thế, không có tính chất

xoáy nữa. Nhưng vì rotH J=

, từ trường vẫn có tính chất xoáy ở những vùng có dòng điện và chỉ có tính chất thế ở những vùng không có dòng điện.

Đối với TĐT tĩnh, tức là có 0=∂∂t

, đồng thời 0J =

nên các phương trình (1) và

(2) có dạng:

0rotH =

và 0rotE =

Đó là trường của những nam châm vĩnh cửu và các vật mang điện tĩnh. Hai phương trình này nêu rõ: trong hệ quy chiếu gắn với các vật đó, điện và từ hoàn toàn không phụ thuộc vào nhau, đều không có tính chất xoáy mà chỉ có tính chất thế. 3.2 Hai phương trình Maxwell 3 và Maxwell 4 mô tả hình học của hai mặt thể hiện điện trường và từ trường. Thực vậy, phương trình Maxwell 3 dạng 0divB =

nêu rõ : dòng vectơ từ cảm B

luôn

chảy liên tục. Với mọi mặt kín S thì thông lượng vectơ B

chảy ra và chảy vào luôn bằng nhau, không có vùng nào là xuất phát hay tận cùng của vectơ B

. Đó là dạng hình học của

trường vectơ từ cảm B

. Phương trình Maxwell 4 với: divD ρ=

nêu lên một dạng hình học khác. Thông

lượng của vectơ D

chảy qua một mặt kín S bằng lượng điện tích tự do bao trong mặt ấy.

Vậy đối với trường vectơ D

có thể có những vùng xuất phát là vùng có phân bố 0ρ >

và những vùng tận cùng là những nơi có phân bố 0ρ < . Nó có thể chảy không liên tục,

không khép kín các nơi như vectơ B

. Đó là dạng hình học của trường vectơ D

. 3.3 Các phương trình Maxwell miêu tả quan hệ khăng khít giữa Trường và Môi trường chất. Nhìn chung sự gắn bó Trường-Chất thể hiện ở những hệ số của phương trình , , ,ε µ ρ γ là những biến và thông số hành vi của trường. Với những hệ số khác nhau, sẻ có những dạng phương trình khác nhau, và do dó quy luật tương tác của hệ cũng khác nhau.

CHƯƠNG 2: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH

1. KHÁI NI ỆM TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH Trường điện từ tĩnh là trường gắn với môi trường mang những điện tích phân bố

tĩnh. Trường Điện Từ tĩnh thoả mãn 2 diều kiện sau:

1) Các đại lượng điện từ E , ,D B , H , J …không thay đổi theo thời gian. Do đó đạo hàm riêng theo thời gian các đại lượng này đều bằng không .

2) Không có sự chuyển động của các điện tích, nghĩa là không có dòng điện, mật độ

dòng J = 0.

=

=

0

0

Ddiv

Erot

ED ε=

=

=

0

0

Bdiv

Hrot

HB µ=

Vì lý do thông dụng và sự tương tự trong các mô tả toán học, giáo trình này chỉ khảo sát Trường Điện tĩnh – đó là trường điện không thay đổi theo thời gian của các điện tích đứng yên. 2.TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH Trường diện tĩnh là trường thế nên có thể dùng hàm thế vô hướng ϕ để mô tả Trường điện tĩnh. Hàm thế vô hướng ϕ còn gọi là Thế điện ϕ , được định nghĩa:

E gradϕ= −

m

V

Đó chính là nghiệm của phương trình : rot 0=E (vì rotgradϕ = 0)

Dấu trừ chứng tỏ quy ước chọn chiều của vectơ cường độ điện trường E là chiều giảm của điện thế ϕ .

Để ý:

.Edl grad dlϕ= −

.grad dlϕ

= ( )zyxzrx idzidyidxiz

iy

ix

....... ++

∂∂+

∂∂+

∂∂ ϕϕϕ

=x∂

∂ϕdx+

y∂∂ϕ

dy+z∂

∂ϕdz= ϕd

ϕd =- dlE Tích phân 2 vế ta có hiệu thế điện giữa hai điểm P và Q :

∫=−Q

P

dlEQP )()( ϕϕ (V)

Năng lượng Trường điện tĩnh biểu diễn qua các vectơ đặc trưng cho trường điện bởi

hệ thức : W ∫=V

e dVDE21

(J)

Hoặc : We 2

21 1

2 2

qCU

C= =

Với C là điện dung của tu điện:

C = q

U= (F)

3.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TR ƯỜNG ĐIỆN TĨNH 3.1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON-LAPLACE.

Phương trình vi phân đối với thế điện ϕ được dẫn ra từ phương trình Maxwell:

ρ=Ddiv

Thay ED ε= và E gradϕ= −

div( . )gradε ϕ ρ= −

Nếu miền khảo sát là môi trường đồng nhất( =ε const) thì: divgradϕ ρ= − /ε

Hay ερϕ /−=∆ : phương trình Poisson Với ∆ là toán tử Laplace, trong hệ toạ độ Descartes:

Δφ = ερϕϕϕ/

2

2

2

2

2

2

−=∂∂+

∂∂+

∂∂

zyx

Nếu trong miền khảo sát không có phân bố điện tích(ρ=0) : Δφ = 0

Đó là phương trình Laplace. Ví dụ 2-1: Một tụ điện phẳng có bề dày d ( lấy theo chiều x) đặt dưới điện áp U sao cho 0)0( =ϕ và Ud =)(ϕ . Hãy tìm sự phân bố thế ϕ và cường độ trường trong tụ. Giải: Dùng tọa độ Descartes, do tụ phẳng nên phân bố thế ϕ chỉ

phụ thuộc vào tọa độ x, tức là các thành phần 0=∂∂=

∂∂

zy. Phương

trình Laplace sẽ có dạng:

2

20

x

ϕϕ ∂∆ = =∂

.

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng 1 2C x Cϕ = + .

Vận dụng điều kiện bờ ở x = 0 và x = d. ta có hệ:

2

1 2

(0) 0

( )

C

d U C x C

ϕϕ

= = = = +

Hoặc là d

UC =1 và 2C = 0.

Kết quả sự phân bố thế ϕ trong tụ có dạng phương trình:

xd

Ux =)(ϕ

Cường độ điện trường trong tụ sẽ là:

x x

UE grad i i

x d

ϕϕ ∂= − = − = −∂

Ví dụ 2-2: Cũng bài toàn của ví dụ 2-1, với giả thiết giữa hai bản cực của tụ điện có phân bố điện tích khối với mật độ nào đó. Giải: Sử dụng phương trình Poisson:

0

2

2

ερϕ −=

∂∂x

Ngiệm tổng quát của phương trình đó có dạng:

212

02CxCx ++−=

ερϕ

Vận dụng điều kiện bờ ở x = 0 và x = d, sẽ có hệ:

++−=

=

212

0

2

2

0

CdCdU

C

ερ

Giải hệ này sẽ được:

0

2

2

01

=

+=

C

d

d

UC

ερ

Do đó, sự phân bố thế trong tụ sẽ có dạng là:

xd

d

Ux

++−=

0

2

0 22 ερ

ερϕ

Phân bố cường độ trường trong tụ sẽ là:

+−=

∂∂−== d

d

Ux

xEE x

00 2ερ

ερϕ

Ví dụ 2 – 3: Vẫn bài toán tụ điện phẳng (ví dụ 2 – 1), nhưng với giả thiết giữa hai bản cực của

tụ có hai lớp cách điện ( điện môi) có thông số ε1 và di, ε2 và d2.

Hãy tìm sự phân bố ϕ(x), E(x) ?

Giải :

Giả thiết trong hai miền 1 và 2 của tụ không có phân bố điện tích tự do, nên

phương trình Laplace và nghiệm tổng quát có dạng:

ϕ = C1 .x + C2.

Gọi sự phân bố thế trong mỗi miền là ϕ1 (x) và ϕ2(x) thì:

ϕ1 (x) = C11 . x + C12 ;

ϕ2 (x) = C21 .x + C22 ;

Trong đó 4 hằng tích phân Cik cần xác định theo điều kiện bờ tại x = 0; x = d1 + d2 = d ;

x = d1 như sau:

Tại x = 0 → C12 = 0

Tại x = d → C21 d + C22 = U

Tại x = d1 → C11 . ε 1 = C21 . ε 2

C11 . d1 + C12 = C21 . d1 + C22

Giải hệ phương trình này sẽ được các hằng tích phân Cik như sau:

C11 = U1221

2

dd εεε+

C12 = 0

C21 = U2121

1

εεε

dd +

C22 = Ud1 1221

12

dd εεεε

+−

Sau khi thay các hằng Cik này vào các nghiệm sẽ được phân bố thế và cường độ trường trong tụ. 3.2. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS. Khi điện trường thể hiện tính chất xuyên tâm hình cầu, hoặc đối xứng qua trục hình trụ, thì có thể tránh được việc giải phương trình Laplace-Poisson (dạng vi phân) bằng cách vận dụng ngay luật Gauss (dạng tích phân) để tính toán trường. Đã biết rằng, với một điện tích điểm hoặc một vật dẫn hình cầu mang điện đặt trong môi trường điện môi nhiều lớp hình cầu đồng tâm với vật dẫn, thì điện trường sẽ có

tính chất đối xứng xuyên tâm rõ rệt. Lúc đó, các lượng E, D, ϕ … chỉ sẽ phụ thuộc vào khoảng cách R đến tâm cầu. Còn đối với một trục mang điện hoặc một vật dẫn hình trụ tròn, thẳng, dài vô hạn đặt trong môi trường điện môi nhiều lớp hình trụ đồng trục, thì điện trường sẽ đối xứng qua trục và các đại lượng E, D, ϕ …sẽ chỉ phụ thuộc riêng khoảng cách r đến trục.

a. Điện trường đối xứng xuyên tâm hình cầu: Ví dụ: Hãy xác định điện trường của một điện tích điểm q? Giải: Các đại lượng E, D, ở đây chỉ có thành phần xuyên tâm là E=ER và D=DR. Vì vậy, lấy một mặt cầu S bán kính R và áp dụng luật Gauss cho mặt cầu ấy thì:

2. . .4 .r

s s s

D ds D ds D ds D R qπ= = = =∫ ∫ ∫

Do đó:

D(R) = Dr(R) = 24 R

q

π

E(R) = Er(R) = =ε

)(RD24 R

q

πε

Hàm thế ( )Rϕ với gốc lấy ở xa vô cùng (ϕ (∞ ) = 0 ) sẽ có dạng:

2( ) ( ) ( ) . .

4 .R

R R

q dRR R E dR

Rϕ ϕ ϕ

π ε

∞ ∞

= − ∞ = =∫ ∫

Nếu môi trường đồng chất tuyến tính, tức ở khắp nơi đều có ε =const thì tích phân sẽ cho kết quả:

R

qR

πεϕ

4)( =

Ví dụ : Điện tích Q phân bố đều trong thể tích hình cầu bán kính a đặt trong môi trường đồng nhất đẳng hướng.Hãy xác định cường độ trường điện và thế điện bên trong và bên ngoài quả cầu ? Giải: Vì trường điện có tính đối xứng cầu,ta chọn gốc tọa độ ở tâm quả cầu mang điện và vẽ các mặt kín S1 và S2 là những mặt cầu đồng tâm với quả cầu mang điện. Vectơ cảm ứng điện D

trên mỗi mặt cầu này có giá trị không đổi và có phương vuông góc với mặt cầu. • Trường điện ngoài quả cầu (r > a)

2

2.S

D d S Q=∫

2

22 2.4

S

D dS D r Qπ= =∫

Rút ra

2 24

QD

rπ=

2 24

QE

rπ ε=

Như vậy trường điện bên ngoài quả cầu giống như trường của điện tích điểm Q đặt tại tâm quả cầu.

Vì 34

3Q aπ ρ=

Nên 3

2 23r

aD i

r

ρ=

3

2 23r

aE i

r

ρε

=

Với ρ là mật độ điện tích khối. Thế điện được xác định theo hệ thức :

( )r

r Edrϕ∞

= ∫

3

2 2( )

3r

ar dr

r

ρϕε

∞

= ∫

3

2( )3

ar

r

ρϕε

=

• Trường điện bên trong quả cầu (r < a)

1

C

D dS q=∫

q là điện tích bên trong mặt quả cầu S1

34

3q rπ ρ=

Do đó 1

2 31 1

44

3S

D dS D r rπ π ρ= =∫

Vậy 13

rr

D iρ=

13

rr

E iρε

=

Thế điện bên trong quả cầu:

1 21( )a

r r a

r Edr E dr E drϕ∞ ∞

= = +∫ ∫ ∫

2 2

1

(3 )( )

6

a rr

ρϕε−=

b. Điện trường đối xứng xuyên trục hình trụ: Ví dụ: Hãy xác định điện trường của một trục dẫn rất dài, giả sử điện tích phân bố trên trục dẫn với mật độ điện tích đường làλ . Giải:

Ở trường này các đại lượng E, D, ϕ … chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r đến trục, và chỉ có thành phần xuyên trục: E=Er và D=Dr .Để tính E(r) và D(r), hãy lấy một trụ tròn S có bán kính r và chiều dài l đồng trục với vật dẫn . Áp dụng luật Gauss cho mặt S ta có:

. . .2 .r

s s s

D ds D ds D ds D rl lπ λ= = = =∫ ∫ ∫ ( điện tích trong mặt S bằng .lλ )

D(r) = Dr(r) = 2 r

λπ

và E(r) = Er(r) = 2 r

λπε

chọn 0( ) 0rϕ = thì : 0

0

0

1( ) ( ) ( ) . . .

2

r r

r

r r

r r r E dr drr

λϕ ϕ ϕπ ε

= − = =∫ ∫

Trong trường hợp môi trường tuyến tính thì :

00( ) (ln ln ) ln .

2 2

rr r r

r

λ λϕπε πε

= − =

Ví dụ: Hình trụ kim loại thiết diện tròn bán kính a , dài L mang điện tích Q đặt trong môi

trường đẳng hướng đồng nhất có ε =const.Xác định cường độ trường điện E

và thế điện ϕ bên trong và bên ngoài hình trụ. Giải: Cường độ trường điện bên trong hình trụ bằng không E

=0 ; thế điện tại mọi điểm trên hình trụ đều bằng nhau.Bên ngoài hình trụ trường có tính đối xứng.Cường độ trường điện

E

bên ngoài hình trụ vuông góc với trục và có giá trị như nhau tại tất cả các điểm cách đều trục.Chúng ta vẽ mặt kín S là mặt trụ cùng trục,thiết diện tròn bán kính r>a ,dài L,các đáy là S1 và S2 .Áp dụng định luật Gauss ta có:

1 2bS S S S

DdS DdS Dd S Dd S Q= + + =∫ ∫ ∫ ∫

Vì ở đáy S1 và S2 vecto cảm ứng điện D

và vecto dS

vuông góc nên các tích phân lấy theo hai đáy bằng không,do đó:

b bS S

Dd S D dS Q= =∫ ∫

2D rL Qπ =

2

QD

rLπ=

2

QE

rLπε=

Hay

2 r

QD i

rLπ=

2 r

QE i

rLπε=

Nếu chúng ta chọn gốc thế điện tại điểm r b= , ( ) 0bϕ = thì thế điện tại r bằng:

( )2

b b

r r

Qdrr Edl

Lrϕ

πε= =∫ ∫

( ) ln2

Q br

L rϕ

πε=

ta nhận thấy cường độ trường điện và thế điện chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm xét đến trục mà không phụ thuộc vào bán kính thiết diện a của hình trụ dẫn.Điều đó cho phép khi nghiên cứu trường của hình trụ dẫn mang điện có thể thay thế bằng trục mang điện. Ví dụ: Một dây cáp đồng trục có hai lớp cách điện với bán kính: lõi trong a1, đến bờ ngăn cách

hai lớp điện môi a2 và đến vỏ ngoài a3 được đặt dưới điện áp U. Hãy tìm sự phân bố ,E D

và điện dung C trên một đơn vị dài (l=1)của dây?

Giải: Gọi q là điện tích trên một đơn vị dài của lõi dây cáp . Do tính đối xứng qua trục mà các đại lượng D, E chỉ có thành phần bán kính và phụ thuộc r. Áp dụng định luật Gauss ta có:

.S

D dS q=∫

D1 = 2

q

rπ E1 = 1

1 1

.2

D q

rε πε= 2 2

qD

rπ= E2 = 2

2 2

.2

D q

rε πε=

Suy ra:

U 3 32

21 1 2

1 31

( ) ( )2

a aa

a a a

q dr dra a Edr

r rϕ ϕ

π ε ε

= − = = +

∫ ∫ ∫ = 32

1 1 2 2

1 1.ln .ln

2

aaq

a aπ ε ε

+

Điện dung trên một đơn vị dài:

C0 = 32

1 1 2 2

1 12 : ln ln

aaq

U a aπ

ε ε

= +

1

320

1 2 2

1 12 : ln ln

aaq C U U

a aπ

ε ε

= = +

Thay giá trị của q vừa tính được theo U vào các biểu thức của E, D sẽ được lời giải theo yêu cầu.

3.3 ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG TRƯỜNG Thế điện gây bởi điện tích qi cho bởi hệ thức :

( )4

i

i

qr

rϕ

πε=

Thế điện gây bởi hệ n điện tích điểm q1,q2,….qn theo nguyên lý chồng trường là

tổng đại số các thế điện gây bởi từng điện tích điểm riêng biệt:

1

1( )

4

ni

i i

qr

rϕ

πε =

= ∑

Nếu điện tích phân bố liên tục trong một miền không gian hữu hạn thì ta chia điện tích thành những thành phần vô cùng nhỏ,chúng được xem như những điện tích điểm,mỗi điện tích vô cùng nhỏ này gây ra một thế điện tính theo hệ thức:

4

dqd

rϕ

πε=

Do đó thế điện gây bởi toàn thể điện tích phân bố liên tục bằng :

, , 4V S C

dq

rϕ

πε= ∫

Ví dụ: Điện tích Q phân bố liên tục đều trên vòng dây tròn mãnh bán kính bằng a.Xác định thế và cường độ trường điện tại điểm P nằm trên trục z của vòng dây. Giải: Thế điện tại điểm P bằng:

( )4 4C C

dq dlP

r r

λϕπε πε

= =∫ ∫

Ở đây :

.2

Qdq dl dl

aλ

π= =

2 2 1/2( )r z a= +

2 2 1/2 2 2 1/2( )

2 .4 ( ) 4 ( )C

Qdl QP

a z a z aϕ

π πε πε→ = =

+ +∫

Trường có tính đối xứng trục và đối xứng với mặt phẳng chứa vòng dây mang điện.Do đó thế điện tại những điểm nằm trên trục z chỉ phụ thuộc vào tọa độ z và vecto cường độ trường điện E

trên trục z chỉ có thành phần z:

2 2 3/24 ( )z

QzE E

z z a

ϕπε

∂= = − =∂ +

3.4 PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN. Khi các điện tích đặt gần biên giới của hai hay nhiều môi trường khác nhau,trên biên giới này sẽ xuất hiện các điện tích cảm ứng( nếu đó là biên giới của hai môi trường điện

môi-vật dẫn),hoặc các điện tích phân cực (nếu đó là biên giới của hai môi trường điện môi khác nhau).Khi tính trường điện phải kể đến các điện tích cảm ứng và các điện tích phân cực này.Vì sự phân bố của chúng trong không gian không xác định dễ dàng nên không tiện áp dụng nguyên lý chồng trường để tìm sự phân bố cường độ điện trường và thế điện.Trong trường hợp này người ta áp dụng phương pháp ảnh điện để giải bài toán trường điện tĩnh. Nội dung phương pháp ảnh điện là tìm cách thay hai hay nhiều môi trường khác nhau bằng một môi trường đồng nhất ,đồng thời đưa thêm vào môi trường đồng nhất những điện tích mới sao cho cùng với điện tích ban đầu bảo đảm điều kiện biên như trước. Do tính chất duy nhất nghiệm của bài toán bờ,nghiệm của bài toán thay thế cũng là nghiệm của bài toán ban đầu cần tìm vì điều kiện biên vẫn như cũ,nhưng bài toán thay thế xét trong môi trường đồng nhất nên đơn giản hơn bài toán ban đầu.Các điện tích đưa thêm vào liên quan với các điện tích ban đầu theo một quy luật nào đó nên được gọi là các điện tích ảnh của điện tích ban đầu,cũng chính vì thế phương pháp này được gọi là phương pháp ảnh điện. Trong thực tế, ta thường gặp là phải giải bài toán điện trường trong miền V1 thuộc môi trường 1 giới hạn bởi bờ S tiếp giáp với miền V2 thuộc môi trường 2 với những điều kiện hỗn hợp trên bờ S. Việc giải bài toán bờ thường là khó khăn. Trong một số trường hợp khi bờ có những dạng hình học đơn giản (như phẳng, trụ, cầu), đặc biệt khi bờ S là bờ dẫn, tức là mặt đẳng thế, thì có thể tìm cách đưa về một bài toán đơn giản hơn. Nội dung của phương pháp được nêu ra ở đây là: tìm cách thay thế (bỏ) môi trường 2 và lấp đầy miền V2 bằng môi trường 1 để toàn không gian là đồng chất. Sau đó, tìm cách đưa thêm vào miền ấy một số điện tích phân bố như thế nào đó sao cho những điện tích này cùng với những điện tích ban đầu đặt trong không gian đồng chất ấy vẫn đảm bảo đúng những điều kiện bờ vốn có ở trên bờ S. Theo tính duy nhất của nghiệm bài toán bờ, hàm thế tìm được như vậy cho miền V1 sẽ chính là nghiệm cần tìm cho miền V1.Vì bài toán thay thế này có toàn không gian là đồng nhất, nên thường đơn giản hơn bài toán ban đầu. Những điện tích mới đưa thêm vào môi trường đã bị thay bỏ thường liên quan với những điện tích ban đầu theo những quy luật ban đầu. Do đó, phương pháp này còn được gọi là phương pháp soi gương điện tích. Thường gặp trong thực tế là điện trường của những điện tích đặt trong nữa không gian điện môi V, nữa không gian còn lại là một môi trường rộng lớn. Bờ ngăn cách hai môi trường là một mặt phẳng S. Ví dụ: Điện trường của những điện tích điểm, vật dẫn, đường dây mang điện đặt trong không khí bên trên mặt đất. Vậy tóm lại, để tính điện trường trong miền V, ta lấp đầy không gian bằng môi trường điện môi và “soi gương” có đổi dấu các điện tích qua mặt S. Sau đó, chọn các phương pháp tính thích hợp để tính trường trong miền V. Ví dụ : Có một điện tích điểm đặt trên mặt phẳng dẫn S một khoảng h.Hãy tìm phân bố cường độ điện trường E và mật độ điện tích trên mặt phẳng dẫn S.

Giải: Soi gương điện tích qua bờ , gắn với hệ đó một tọa độ trụ tròn có trục z trùng với đường nối +q, -q và gốc tọa độ trên mặt S.

Do tính đối xứng qua mặt S, điện trường trên mặt S chỉ có thành phần Ez và phụ thuộc tọa độ r, tức Ez(r). Ứng dụng luật Gauss, sẽ tính được:

Cường độ điện trường tổng bằng tổng các vecto, tức là:

Từ đó, suy ra mật độ điện tích tự do mặt sẽ là:

CHƯƠNG 3 : TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG

1.KHÁI NI ỆM Trường điện từ dừng là trường điện từ trong đó các đại lượng đặc trưng cho trường không

phụ thuộc thời gian và có dòng điện không đổi với mật độ dòng J

. Trong hệ phương

trình Maxwell, cho 0t

∂ ≡∂

, ta được hệ phương trình đối với trường điện từ dừng:

ro t H j=

0rotE =

0divB =

divD ρ=

0divJ divrotH= =

( chú ý 0divrot ≡ ) Với môi trường đẳng hướng, tuyến tính:

B Hµ=

D Eε=

J Eγ=

Có thể tách các phương trình trên thành hai nhóm độc lập nhau:

các phương trình rotH J=

, 0divB =

, B Hµ=

mô tả trường từ dừng gây bởi dòng điện dẫn không đổi theo thời gian. các phương trình còn lại, mô tả trường điện dừng. Có thể chia trường điện dừng thành hai loại: Trường điện dừng trong môi trường dẫn có dòng điện không đổi được mô tả bởi các phương trình:

0

0

rotE

divJ

=

=

với J Eγ=

Trường điện dừng trong điện môi bao quanh môi trương dẫn mang dòng điện không đổi. Các phương trình mô tả là:

0

0

rotE

divD

=

=

với D Eε=

2.TRƯỜNG ĐIỆN DỪNG TRONG VẬT DẪN 2.1 Điều kiện duy trì tr ường điện từ trong vật dẫn . Khi môi trường dẫn khép kín với các cực của một nguồn điện từ, thì trong vật dẫn sẽ có một dòng điện chảy liên tục của các hạt mang điện. Đó là vì trường điện từ đã tiếp năng lượng cho các hạt mang điện trái dấu chuyển động ngược chiều nhau, chúng không tích tụ, không phân bố trường tĩnh, mà chảy khép kín qua nguồn tạo thành một dòng chảy liên tục .

Qua đó , nhận thấy rằng phải có hai điều kiện để duy trì dòng điện một chiều, tức là duy trì trường điện dừng trong vật dẫn. Đó là :

- Điều kiện bờ : Môi trường dẫn phải khép kín qua nguồn . - Điều kiện nguồn : phải tồn tại nguồn có khả năng cung cấp năng lượng một cách liên tục và không đổi truyền đến ( qua môi trường điện môi ) tiếp cho các hạt mang điện tích tụ do thuộc kết cấu của môi trường dẫn.

2.2. Các tính chất của trường điện từ dừng . Từ điều kiện tồn tại mà suy ra được các tính chất của trường điện dừng trong vật dẫn . - Tiêu tán năng lượng . Sự tồn tại trường điện dừng trong vật dẫn thể hiện sự tác động lực và cung cấp năng lượng cho các điện tích tự do chảy trong vật dẫn. Thường kèm theo quá trình năng lượng tiêu tán biến thành nhiệt năng . Công suất tiêu tán năng lượng trong một đơn vị thể tích của vật dẫn là :

p0 = EJ = γ E2 = γ

2J

0

V S L L S

P p dv EdlJdS Edl JdS UI= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

2 2. . .

UR

I P U I R I GUI

GU

= → = = ==

-Tính chất thế . Nếu chỉ khảo sát môi trường dẫn ( là nơi có dòng điện và tiêu tán ) mà không xét đến nguồn ( là nơi có nhiều hiện tượng phức tạp khác ) thì hạt mang điện luôn chảy thành dòng không đổi ( theo thời gian ) từ đầu này đến đầu kia . Điều này nói lên tính chất thế của trường điện dừng trong vật dẫn và khả năng biểu diễn của trường dừng trong vật dẫn và khả năng biểu diễn của trường điện đó bằng một hàm thế vô hướng ϕ . về toán học, tính chất này được mô tả bởi phương trình : rotE

= 0 hoặc E

= - gradϕ .

Vì trường điện dừng trong điện môi bao quanh vật dẫn không khác về mặt bản chất với trường điện tĩnh trong điện môi , nên khác về cơ bản , các quy luật , hiện tượng , phương trình và phương pháp tính cũng giống như trường điện tĩnh đã khảo sát . vì vậy ,ở đây chỉ khảo sát trường điện dừng trong vật dẫn . phương trình tổng quát của trường điện dừng viết cho thế ϕ là :

divgradϕ = ϕ∆ = 0

nội dung tính toán trường điện dừng thông qua hàm thế ϕ là giải bài toán bờ theo phương trình laplace .

điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt phân chia hai môi trường dẫn . Từ phương trình rotE

= 0 suy ra :

ττ 21 EE = hoặc ( ) ( )

τϕ

τϕ

∂∂=

∂∂ ss 21

Từ phương trình divJ

= 0 suy ra :

J1n = J2n hoặc 1 1 2 2n nE Eγ γ=

hoặc ( ) ( )

22

11 γ

τϕγ

τϕ

∂∂=

∂∂ ss

Sự tương tự giữa trường điện dừng trong môi trường dẫn với tr ường điện tĩnh

Trường điện dừng trong môi trường dẫn

Trường điện tĩnh ở miền không có tdρ

0, , 0rotE E gradϕ ϕ= = − ∆ =

0divJ =

J Eγ=

S

I JdS= ∫

Ig

U=

1 2( ) ( )S Sϕ ϕ=

1 2( ) ( )n nJ S J S=

1 2( ) ( )E S E Sτ τ=

0, , 0rotE E gradϕ ϕ= = − ∆ =

0divJ =

D Eγ=

S

Q DdS= ∫

QC

U=

1 2( ) ( )S Sϕ ϕ=

1 2( ) ( )n nD S D S=

1 2( ) ( )E S E Sτ τ=

E E↔

ϕ ϕ↔

J D↔

γ ε↔ I Q↔ g C↔

So sánh các phương trình và điều kiện biên giữa, trường điện dừng trong môi trường dẫn và trường điện tĩnh ở miền không có điện tích tự do ( 0tdρ = ) như ở bảng 1, ta thấy chung

tương tự nhau về mặt mô tả toán học. Ta có thể rút ra nhận xét sau đây: -Có thể áp dụng các phương pháp tính trường điện tĩnh để tính trường điện dừng. -Biết nghiệm của một bài toán trường điện tĩnh có thể suy ra nghiệm của bài toán trường điện dừng tương ứng bằng cách thực hiện phép đổi lần . Ví dụ : Tụ điện phẳng 2 lớp cách điện (điện môi thực) như hình vẽ. Diện tích mỗi bản cực là S. Lớp cách điện 1 onsc tγ = dày d1, lớp cách điện 2 onsc tγ = dày d2. Đặt tụ điện dưới hiệu

điện thế U=const. Tìm phân bố của ,E J

trong 2 lớp cách điện. Tính dòng điện rò chảy qua tụ. Suy ra dòng điện dẫn rò, điện trở cách điện của tụ. Giải:

x

dE grad i

dx

ϕϕ= − = −

Vậy xE Ei=

với d

Edx

ϕ= −

. xJ J i=

với J Eγ=

Trong lớp 1γ :

11 10 0 ons

dJdivJ J c t

dx= ⇒ = ⇒ =

11

1

onsJ

E c tγ

= =

Trong lớp 2γ :

22 20 0 ons

dJdivJ J c t

dx= ⇒ = ⇒ =

21

2

onsJ

E c tγ

= =

Từ điều kiện biên 1 2n nJ J= suy ra 1 2J J J= =

Hiệu điện thế hai bản cực:

1 1 2

1

1 2 1 2 1 1 2 2 1 21 20

(0) ( )d d d

d

J JU d d E dx E dx E d E d d dϕ ϕ

γ γ

+

= − + = + = + = +∫ ∫

Suy ra: 1 2

1 2 1 2 2 1

1 2

UUJ

d d d d

γ γγ γ

γ γ

= =++

21

1 1 2 2 1

12

2 1 2 2 1

UJE

d dE

UJE

d d

γγ γ γ

γγ γ γ

= = += = = +

Dòng điện rò I chảy qua tụ:

1 2

1 2 2 1S

USJ JdS JS

d d

γ γγ γ

= = =+∫

Điện dẫn rò của tụ:

1 2

1 2 2 1

SIG

U d d

γ γγ γ

= =+

Điện trở cách điện của tụ:

1 2

1 2

1 1d dUR

G I Sγ γ

= = = +

Bài toán trường điện tĩnh tương ứng là bài toán tụ điện phẳng 2 lớp điện môi lý tưởng 1 2.ε ε . Lời giải của bài toán này như đã biết là

φ =U φ = 0 ε1 ε2 (γ1=0) (γ2=0) 0 x d1 d2

. xD D i=

với 1 2

1 2 2 1

. .

. .

UD

d d

ε εε ε

=+

. xE E i=

với

21

1 1 2 2 1

12

2 1 2 2 1

.

. .

.

. .

UDE

d dE

UDE

d d

εε ε ε

εε ε ε

= = += = = +

1 2

1 2 2 1

. .

. .

SQC

U d d

ε εε ε

= =+

Trong các biểu thức này nếu thay ε1 bởi γ1, ε2 bởi γ2, C bởi G, Q bởi I, D bởi J ta được kết quả giống như trên Trường hợp tụ điện phẳng 1 lớp cách điện tức γ1 = γ2 = γ , đặt d = d1+d2, ta suy ra điện dẫn rò của tụ là:

.S

Gd

γ=

Khi đó bài toán trường điện tĩnh tương ứng là tụ điện phẳng 1 lớp điện môi lý tưởng ε1= ε2= ε, suy ra điện dung là:

.S

Cd

ε=

ta có quan hệ sau đây:

C G

ε γ=

Ví dụ Cho biết điện dung của một tụ điện trụ tròn hai lớp cách điện (điện môi )

21 εε ≠ có bán kính lõi a1 đến bờ tiếp giáp hai điện môi a2 và đến bờ tiếp giáp điện môi 2 với lõi a3 được biểu diễn như sau :

32

1 1 2 2

21 1

ln ln

lC

aa

a a

π

ε ε

=+

Thì có thể suy ra biểu thức điện trở cach điện của một dây cáp hai lớp cách

điện hoặc của chính tụ điện vừa nêu là :

+==

2

3

21

2

1

ln1

ln1

211

a

a

a

a

lgR

γγπ.

Trường hợp riêng : khi chỉ có một lớp cách điện đồng nhất γγγ == 21 , thì suy ra điện trở cách điện là :

1

2ln2

1a

a

lR

πγ= .

Trường điện quanh vật dẫn nối đất

Trong kỹ thuật người ta thường nối đất vỏ các động cơ, vỏ biến thế, điểm trung tính của hệ ba pha… Để nối đất người ta nối bằng dây dẫn điện cần nối đất với vật dẫn bằng kim loại chôn sâu trong đất gọi là điện cực nối đất. Kích thước và hình dạng điệ cực tùy theo yêu cầu cụ thể kỹ thuật, Khi nối đất có dòng điện chạy từ điện cực vào đất tới 1 điện cực khác hoặc tới một điểm mà tại đó điện cực chạm đất. Như vậy dọc theo bề mặt đất có dòng điện chảy, và do đất có điện trở nên giữa hai điểm trên bề mặt đất ở lân cận điểm nối đất có 1 hiệu điện thế nào đó. Người ta định nghĩa điện áp bước Ub là hiệu điện thế giữa hai điểm trên mặt đất cách nhau một khoảng bằng bước chân người (khoảng 0,8m). Trong kỹ thuật an toàn điện, cần chọn hệ thống nối đất sao cho điện áp bước Ub không vượt quá giới hạn có thể gây nguy hiểm cho người. Độ dẫn điện của điện cực rất lớn so với độ dẫn điện của đất, nên khi tính toán trường điện trong đất, có thể xem bể mặt của điện cực là đẳng thế, Nếu các điện cực đặt cách nhau rất xa thì khi tính toán trường điện quanh 1 điện cực nối đất, có thể bỏ qua ảnh hưởng các điện cực khác xem như nó nằm cô lập trong môi trường đất bán vô hạn, Điện trở nối đất Rđ của 1 điện cực được định nghĩa là tỷ số giữa thế của điện cực nối đất so với miền xa vô cùng với dòng điện I chảy vào điện cực đất. Để minh họa ta xét trường hợp đơn giản nhất cho điện cực nối đất là hình bán cầu, bán kính a .

Phân bố của E

, J

trong đất thỏa mãn phương trình:

rot 0E =

div 0J =

và các điều kiện - Bề mặt điện cực là đẳng thế (do độ dẫn điện cực rất lớn so với độ dẫn điện của

đất) nên các đường sức của E

, J

vuông góc với bề mặt điện cực ( hình bán cầu)

- Trên bề mặt tiếp giáp với không khí, E

, J

không có thành phần pháp tuyến chỉ có thành phần tiếp tuyến. Chọn hệ tọa độ cầu, gốc 0 là tâm bán cầu như hình vẽ .

Do tính đối xứng, trường không phụ thuộc vào tọa độ φ , nghĩa là đối xứng quanh trục Z.

Ta thử tìm nghiệm E

, J

trong đất có dạng

. rE E i=

. . .r rJ E i E iγ= =

E, J chỉ phụ thuộc r Dòng điện chảy vào điện cực có thể tính theo công thức:

án câu án câu

2. . .2. .b bS S

i J d S J dS J rπ= = =∫ ∫

Sbán cầu là 1

2 mặt cầu tâm 0 bán kính r (r≥a) như hình.

Suy ra:

22. .

iJ

rπ=

22. . .

J iE

rγ π γ= =

Chọn ( ) 0ϕ ∞ =

Ta có ( ) .2. . .r

ir E dr

rϕ

π γ

∞

= =∫

Điện áp bước

Không khí

a

x b

Sbáncầu

đất

M θ

( ) ( ) ( )1 1 .

.2. . 2. . .b

i i bU x x b

x x b x x bϕ ϕ

π γ π γ = − + = − = + +

Với b= bước chân người= 0,8m Điện áp bước cực đại khi x= a = bán kính điện cực.

( ) ( )max

.

2. . .b b

i bU U x a

a a bπ γ= = =

+

Điện trở nối đất:

( )

d

1

2. . .

aR

i a

ϕπ γ

= =

Áp dụng bằng số: a = 1,94m, i = 150A, 25.10 /S mγ −= ( độ dẫn điện của đất),

b=0,8m. Ta được Ubmax= 50v. d 1,64R = Ω .

3.TRƯỜNG TỪ DỪNG

KHÁI NI ỆM CHUNG

Trường tử dùng là trường từ gây bởi dòng điện không đổi theo thời gian , các đại lượng

đặc trưng như , ,J B H

không thay đổi theo thời gian. Như đã trình bày, hệ phương trình

đối với trường từ dừng là:

, .c

rotH J H dl i= =∑∫

0, . 0c

divB B d S= =∫

Với môi trường đẳng hướng tuyến tính ta có:

.B Hµ=

KHẢO SÁT TRƯỜNG TỪ DỪNG Ở MIỀN KHÔNG CÓ DÒNG DẪN BẰNG THẾ TỪ VÔ HƯỚNG Thế từ vô hướng φm Ở miền không có dòng điện, trường từ dừng mô tả bởi phương trình:

rot 0=H

div 0=B

Vì rot 0=H

nên suy ra H

có thể biểu diễn qua gradient của một hàm vô hướng:

−=H

gradφm

Phương trình Laplace đối với thế từ vô hướng. Giả sử miền khảo sát không có dòng dẫn và μ= const, suy ra:

div 01 ==

=Η BdivB

div

µµ

Thay mgradϕ−=Η

vào ta được phương trình Laplace:

0=∆ mϕ

Sự tương tự giữa trường từ dừng ở miền không có dòng dẫn với tr ường điện tĩnh ở miền không điện tích khối tự do: - Bảng dưới đây so sánh các phương trình và điều kiện biên của trường từ ở miền

0=J

khảo sát bằng thế từ vô hướng φm với trường điện tĩnh ở miền 0=tđρ và trường

điện dừng trong môi trường dẫn.

Ta thấy chúng tương tự như nhau về mô tả toán học. Từ đó có thể rút ra các nhận xét sau dây: - Có thể áp dụng các phương pháp tính trường điện tĩnh, trường điện dừng để tính trường từ dừng ở miền không có dòng. Nếu biết nghiệm của bài toán trường điện tĩnh tương ứng, có thể suy ra ngay nghiệm của bài toán trường từ dừng bằng cách dùng phép đổi lẩn .

IQ

JD

m

↔↔↔↔↔↔Β

Ε↔Ε↔Η

↔↔

φγεµ

ϕϕϕ

Trường từ dừng ở miền

0=J

khảo sát bằng thế từ vô hướng φm

Trường điện tĩnh ở miền

0=tđρ

Trường điện từ trong môi trường dẫn.

rot 0=H

mgradH ϕ−=

div 0=B

Η=Β

µ

0=∆ mϕ

∫Β=S

Sd

.φ

rot 0=E

ϕgrad−=Ε

div 0=D

Ε=

εD 0=∆ϕ

Q=∫S

SdD

.

rot 0=E

ϕgrad−=Ε

div 0=J

Ε=

γJ

0=∆ϕ

I= .s

J dS∫

( ) ( )SS mm 21 ϕϕ =

( ) ( )SS nn 21 Β=Β

( ) ( )SS ττ 21 Η=Η

( ) ( )SS 21 ϕϕ =

( ) ( )SDSD nn 21 =

( ) ( )SESE ττ 21 =

( ) ( )SS 21 ϕϕ =

( ) ( )( ) ( )SS

SJSJ nn

ττ 21

21

Ε=Ε=

gọi d là khoảng cách giữa 2 cực từ, S là điện tích bề mặt cực từ. ta có: - Từ áp Hdu mmM =−= 21 ϕϕ

- Dòng từ HSSB 0. µφ ==

- Từ dẫn d

S

ug

MM

0µφ == .

-Năng lượng trường từ trong khe hở không khí:

2202

1

21

21

21

... MMMM uguSdHdSHBW =Φ=== µ

Bài toán trường điện tĩnh tương ứng như hình b là bài toán tụ điện phẳng có: -Hiệu điện thế dEu .21 =−= ϕϕ -Điện tích ESSDQ ε== .

-Điện dung d

S

u

QC

ε==

-Năng lượng trường điện 22

21

21

21

...21

CuQuSdEdSEDWE ==== ε

Bài toán trường điện dừng tương ưng như hình c có: -Hiệu thế dEu .21 =−= ϕϕ -Dòng điện ESSJI γ== .

-Điện dẫn rò d

S

u

Ig

γ==

-Công suất tiêu tán: 22. guSdESdJEPtt === γ

KHẢO SÁT TRƯỜNG TỪ DỪNG DÙNG THẾ VECTƠ Ở miền có dòng điện ta có : rot 0≠= JH

,nên không thể biểu diễn trường từ qua thế vô hướng

mϕ .Do đó người ta thường khảo sát trường từ dừng qua một đại lượng trung gian khác là thế

vectơ A

,sử dụng được ở miền có dòng điện cũng như ở miền không có dòng điện. Theo giải tích vectơ ,divrot của một vectơ bất kỳ luôn bằng 0 do đó từ phương trình div B

=0 suy ra có thể biểu diễn B

qua rot của một vectơ A

.

rotB =

A

A

được gọi là thế từ véctơ Đối với trường từ dừng người ta chọn điều kiện:

phương trình Laplace- Poisson đối với thế vecto A

Giả sử môi trường đồng nhất đẳng hướng tuyến tính có HB

µ= với const=µ .

µ=Brot

rot J

µ=Η

Thay rotB =

A

: rotrot JA

µ= Định nghĩa:

A rotrotA graddivA∆ = − +

Ta được: grad div JAA

µ=∆−

vì div 0=A

nên suy ra:

JA

µ−=∆

gọi là phương trình Poisson đối với A

Ở nơi không có dòng dẫn 0=J

và:

0=∆A

gọi là phương trình Laplace đối với A

Trong hệ tọa độ Descartes :

zzyyxx iAiAiAA

.. ∆+∆+∆=∆

Với

=∆ xA

2

2

22

2

2

2

z

A

y

A

x

A xxx

∂∂+

∂∂+

∂∂

div 0=A

=∆ yA

2

2

22

2

2

2

z

A

y

A

x

A yyy

∂∂

+∂∂

+∂

∂

=∆ zA

2

2

22

2

2

2

z

A

y

A

x

A zzz

∂∂+

∂∂+

∂∂

Trong đó zzyyxx iAiAiAA

... ++=

Trong hệ tọa độ descares, zzyyxx iJiJiJJ

... ++= nên có thể tách ra làm ba phương trình

đối với 3 thành phần: xx JA µ−=∆ yy JA µ−=∆

zz JA µ−=∆ Sự tương tự giữa trường từ dừng song phẳng và trường điện tĩnh song phẳng Có sự tương ứng giữa các đại lượng giữa hai loại trường : trường từ dừng song phẳng

khảo sát bằng thế véc tơ A

=A. zi

với trường điện tĩnh song phẳng khảo sát bằng thế vô

hướng ϕ.Ta thấy chúng tương tự nhau về mặt mô tả toán học.

A Jµ∆ = − ↔ ∆ϕ= -1 ρε

A↔ϕ

µ ↔ 1

ε

J ↔ρ

Đã biết hàm thế φ thỏa mãn phương trình Laplace-Poisson có dạng:

4v

dv

r

ρϕπε

= ∫

Một cách tương tự, khi thay ρ và ε bằng Ji và 1

µ sẽ được công thức tính từ

thế Ai

4i

i v

J dVA

r

µπ

= ∫ với i = x, y, z;

Và 4

i

v

J dVA

r

µπ

= ∫ .

Trong đó:

- Các tích phân lấy theo thể tích V của vật dẫn có dòng điện; - r là khoảng cách từ vi phân JdV đến điểm khảo sát .

Khi điểm khảo sát ở xa dây dẫn sao cho khoảng cách r rất lớn so với kích thước tiết diện ngang S của dây dẫn thì có:

4 4L S L

dl idlA JdS

r r

µ µπ π

= ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫

M

dA

JdV

Công thức này nêu rõ: từ thế vectơ dA gây ra bởi một nguyên tố dòng idl có chiều song song với nguyên tố dòng tức là vuông góc với từ cảm dB do cùng nguyên tố dòng ấy gây ra tại điểm khảo sát. Do vậy, đối với những dây thẳng, từ thế vectơ A ở mọi điểm sẽ song song với chiều chảy của dòng điện và vuông góc với chiều của từ cảm B Ví dụ : Tính A

, B

, H

gây bởi một trục thẳng dài vô hạn mang dòng điện i trong môi trường đồng nhất vô hạn µ = const Giải Chọn hệ trục tọa độ trụ ,trùng với trục mang dòng .giả sử dòng điện chạy theo chiều dương trục Z.Trường từ là song phẳng có :

A

=A. zi

Do tính chất đối xứng A chỉ phụ thuộc vào r : A =A(r)

⇒ B

= rot A

= - dA

idr α

Vậy B

=B. iα

B =-dA

dr

H = .B

H iαµ=

Với B,H chỉ phụ thuộc r

Áp dụng định luật Ampere cho vòng tròn (C) trục Z bán kính r như hình vẽ ta được:

. .2C

H dl H r iπ= =∫

H = ,2 2

i iB H

r r

µµπ π

= =

B = -dA

dr ⇒A= - .B dr∫ = - ln

2

ir k

µπ

+

Chọn A =0 tại r = 0r =const ta được:

k = 0ln2

ir

µπ

=>

Ví dụ : Cáp đồng trục thẳng rất dài, bán kính lõi a, bán kính trong của vỏ b, bán kính ngoài của vỏ c. Dòng điện chạy trong lõi và vỏ có cùng cường độ I nhưng ngược chiều. Độ thẩm từ của lõi và vỏ là 0µ , của lớp từ môi giữa lõi và vỏ là µ . Tính năng lượng từ và hệ số tự

cảm ứng với 1 đơn vị dài của cáp. Giải Chọn hệ trục tọa độ trụ, trục z trùng với trục cáp. Chiều dương trục z hướng theo chiều

dòng điện trong lõi. Trường từ là song phẳng, đối xứng quanh trục z, các đại lượng ,B H

có dạng :

.B B iφ=

, .H H iφ=

i

r iα

iα

ri

(C)

A = 0ln2

ri

r

µπ

với B,H chỉ phụ thuộc r. Áp dụng định luật Ampère cho vòng tròn ( C ) trục z, bán kính r ta được:

. .22C

IH dl H r I H

rπ

πΣ

Σ= = → =∫

với IΣ là tổng đại số các dòng điện chạy xuyên qua diện tích giới hạn bởi ( C ).

Ta có:

Suy ra:

Mật độ năng lượng trường từ trong lõi, vỏ, từ môi là:

2 22 0

1 0 1 2 4

1

2 8M

I rW H

a

µµπ

= = ;

2 2 2

23 0 3 0 2 2 2 2

1 11

2 2 4M

I r bW H

r c bµ µ

π −= = − −

,

WM2 = 22

222

82

1

r

IH

πµµ = ;

Năng lượng trường từ ứng với mội đơn vị dài cáp: WM = WM1 + WM3 + WM2

Với:

WM1 = π

µπ16

22

11

IrdrWdVw o

M

a

oloi

M =∫=∫

lõi

Wa

bIrdrwdVW

b

a

MM

tumoi

M ln4

2.2

222 πµπ∫∫ ===

W =3M

−−−

−=∫

22

22

222

420

3(4

3ln

)(42.

bc

bc

b

c

bc

cIrdrWM

c

b πµπ

Hệ số tự cảm ứng với 1 đơn vị dài :

L = trngM LL

I

W+=

2

2

Với hệ số tự cảm ngoài:

La

b

I

WMng .ln

2

22

2

πµ==

Hệ số tự cảm trong:

Lπ

µπ

µ28

)(2 002

31 +=+=I

WW MMtr

−−−

− 22

22

222

4

(43

ln)( bc

bc

b

c

bc

c

4.LỰC TỪ VÀ NĂNG LƯỢNG TỪ

Khi những hạt mang điện chuyển động với vận tốc v trong từ trường B, chúng sẽ chịu lực từ Lorentz : F qvxB=

.Vậy lực từ tác dụng lên yếu tố dòng J dv là :

d dvJF = x B và lực từ tác dụng lên yếu tố dòng Idl là: BxlIdFd = .

Suy ra :

Lực từ tổng tác dụng lên dây dẫn là:

∫ ∫==V V

BdVxJFdF )(

Lực từ tổng tác dụng lên vòng dây dẫn là:

∫ ∫==C C

BxlIdFdF )(

Hãy khảo sát các yế tố căn bản là một đoạn dây có dòng điện I nằm trong từ trường (trường gắn với bản thân dòng điện i hoặc do một nguồn nào đó). Mỗi một vị trí phân bố dòng điện Jdv chịu một vi phân lực dF. Tổng các vi phân lực trên bề

mặt hợp thành một lực nén hoặc căng bề mặt đoạn dây và các lực bên trong dây sẽ gây nên ứng suất trong dây

+i +i

a. Trường B đối xứng b. Trường B không đối xứng Nếu phân bố từ trường là đối xứng trên tiết diện dây, như trường hợp một dây dài thẳng, đơn độc, các vi phân lực dF sẽ đối xứng và triệt tiêu nhau, không tạo nên hợp lực di chuyển dây. Nhưng nếu như từ trường phân bố không đối xứng ,ví dụ trường hợp một đường dây 2 dây hay nhiều dây, các vi phân lực dF sẽ tạo thành một hợp lực có xu hướng di chuyển dây theo một chiều nào đó

Nếu khảo sát một vòng dây (hoặc phức tạp hơn, như một hệ thống dây dẫn) cũng vậy, vòng dây có thể chịu lực nén hoặc căn bề mặt, ứng suất, lực đẩy hoặc moment quay…

Trường hợp đơn giản nhất là một vòng dây tròn phẳng có dòng điện I cố định, với moment từ m = iS cố định. Từ trường gắn với bản thân dòng i là đối xứng trên toàn bộ vòng dây. Do đó, không có hợp lực di chuyển dây, và dây chỉ chịu lực căng, nén bề mặt và ứng suất

Nhưng cũng vòng dây có dòng điện i ấy, khi đặt trong từ trường ngoài có cường độ B không đều với giả thiết B vuông gốc với mặt dây, thì mỗi đoạn vi phân idl sẽ chịu những lực không đối xứng, sẽ tạo nên lực F muốn dịch chuyển dây về phía có từ trường mạnh hơn. Nhưng với giả thiết từ trường B không vuông gốc với mặt phẳng vòng dây, thì các vi phân lực dF sẽ không nằm trên mặt phẳng vòng dây: do đó sẽ tạo nên một moment muốn làm xoay vòng dây đến vị trí sao cho các vi phân lực dF nằm trên mặt phẳng vòng dây đó, tức là vòng dây vuông gốc với từ trường và dòng điện i vuông gốc với từ trường B theo qui tắc vặn nút chai thuận, tức là moment m = iS song song với B.

Có thể vận dụng những nhận xét về lực trên vòng dây có dòng i để phân

tích lực và moment do từ trường tác dụng lên các từ môi, coi từ môi là tập hợp những vi phân moment từ dm = M.dv. Kết hợp những phân tích ở trên sẽ dễ dàng thấy rằng: từ trường có xu hướng kéo những từ môi về phía cớ từ trường mạnh hơn và muốn xoay cho các từ môi sao cho moment M song song với B. Nếu là từ môi rắn và nếu lực không đều thì trong từ môi sẽ suất hiện ứng suất và những lực bề mặt.

dF

B yếu B mạnh

So sánh với lực điện thì lực từ trường mạnh hơn, nên lực từ được sử dụng

trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật. Ví dụ, các lực và moment từ: - Làm quay các máy điện - Dùng để tiêu thụ tia điện tử trong các ống tia âm cực, trong các dao động ký, truyền hình,radar…

- Dùng để gia tốc các hạt mang điện theo quỹ đạo tròn trong các máy gia tốc tròn

- Để phân ly các chất đồng vị với nhau Ta có mật độ năng lượng trường từ là:

Vậy năng lượng tổng của trường trong thể tích V bằng :

∫∫ ==VV

MM BHdVdVwW2

1

dV = dldS

∫∫∫ ∫ ==SlL S

M BdSHdlBHdldSW2

1

2

1=

2

1iψ

wM = 1

.2

B H

CHƯƠNG 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN

1.KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÁ VOÂ HÖÔÙNG ϕ VAØ THEÁ VECTÔ A Trường điện từ (TĐT) biến thiên được mô tả bởi hệ phương trình

Maxwell :

rot = +

rot = −

div = 0

div = ρ

Đối với môi trường đẳng hướng,tuyến tính các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ liên hệ với nhau qua các phương trình chất:

= ε , = µ , = γ

Mật độ dòng điện và mật độ điện tích liên hệ nhau theo phương trình

liên tục:

div = −

Các phương trình Maxwell thể hiện rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa trường điện và trường từ:trường điện phụ thuộc vào trường từ qua sự biến đổi của trường từ theo thời gian và trường từ phụ thuộc vào trường điện qua biến đổi của trường điện theo thời gian.Đặc điểm này dẫn tới sự lan truyền của trường điện từ biến thiên tạo thành sóng điện từ trong không gian.

Đặc tính sóng của trường điện từ biến thiên thể hiện rõ qua các hiện tượng giao thoa, nhiễu xạ….của sóng điện từ.Sóng điện từ lan truyền với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng trong chân không. (c = 3.108 m/s)

Việc khảo sát một số bài toán trường điện từ biến thiên sẽ được tiện lợi và đơn giản hơn rất nhiều nếu các đại lương đặc trưng cho trường điện từ

như , , , được biểu diễn qua 2 đại lương trung gian là thế vectơ và thế

vô hướng như sau: Bởi vì div của rot một vectơ bằng 0, nên từ phương trình Maxwell thứ

3 (div =0) suy ra có thể biểu diễn:

= rot

được gọi là thế vectơ của trường điện từ biến thiên

Thay vào phương trình Maxwell thứ 2 ( rot = − ) ta được:

rot = − − ( rot ) = −rot [ ]

rot [ + ] = 0

Chú ý rằng rot của grad một hàm vô hướng luôn bằng 0 , từ phương

trình trên suy ra có thể biểu diễn vectơ [ + ] qua gradient của một hàm

vô hướng φ :

+ = −gradφ

⇒ =−gradφ −

φ được gọi là thế vô hướng của trường điện từ biến thiên .

2.CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN DẠNG PHỨC.

Việc nghiên cứu trường điện từ biến thiên điều hòa có ý nghĩa cơ bản và thực tế lớn bởi vì trong thực tế thường gặp các đại lượng điện từ biến thiên theo qui luật điều hòa , hơn nữa về nguyên tắc mọi quá trình biến đổi

tuần hoàn không điều hòa có thể biểu diễn giải tích bởi chuỗi hay tích phân Fourier như là sự xếp chồng của các quá trình điều hòa.

Cũng như trong lý thuyết mạch điện, để đơn giản hóa việc giải các bài

toán trường điện từ biến thiên điều hòa người ta thường sử dụng phương pháp số phức, biểu diễn các đại lượng điều hòa bằng những số phức.

Biễu diễn số phức các đại lượng điều hòa:

Đối với trường điện từ biến thiên điều hòa ,tại mỗi điểm (x,y,z) ba

thành phần theo ba trục tọa độ của , , , , ….biến thiên theo qui

luật điều hòa.Ví dụ xét vectơ :

[ ][ ][ ]++

++++=

),,(cos),,(

),,(cos),,(

),,(cos),,(),,,(

zyxtzyxEe

zyxtzyxEe

zyxtzyxEetzyxE

zzmz

yymy

xxmx

ψωψω

ψω

trong đó các biên độ , , và các pha ban đầu , , là

những hàm của tọa độ không gian, không phụ thuộc vào thời gian t.

là tần số góc của trường điện từ biến thiên điều hòa.

Chú ý rằng ở các điểm mà tại đó = = các thành phần (t),

(t), (t) biến thiên tỉ lệ nhau nên vectơ ở đó luôn có một phương trình

cố định :

(t) = cos( t + ψ)

Với = + +

không phụ thuộc thời gian t.

Tuy nhiên ở những điểm mà vì lệch pha nhau các

thành phần , , không tỉ lệ nhau, do đó sẽ không có phương cố định

mà có phương thay đổi,quay trong không gian.

Theo công thức Euler ( ,biểu thức

có thể viết lại ở dạng sau:

(x,y,z,t) =

Với Re ký hiệu “phần thực” của đại lượng phức.

Và (x,y,z) = + +

xác định bởi được gọi là vectơ biên độ phức cường độ trường điện.

Đối với các đại lượng vectơ điều hòa như , , , ta cũng định nghĩa

các vectơ biên độ phức tương ứng , , , một cách tương tự.

Đối với các đại lượng vô hướng như mật độ điện tích khối ρ(x,y,z,t) =

(x,y,z) cos ( t + ψ), ta cũng định nghĩa biên độ phức mật độ điện tích

khối ρ(x,y,z) = với ρ(x,y,z,t) =

Khi khảo sát trường điện từ biến thiên điều hòa, người ta biểu diễn các

đại lượng điều hòa bởi các vectơ biên độ phức hoặc biên độ phức tương ứng:

(x,y,z,t) (x.y.z)

(x,y,z,t) (x.y.z)

(x,y,z,t) =

(x,y,z)

(x,y,z,t) (x.y.z)

(x,y,z,t) (x.y.z)

(x,y,z,t) (x.y.z)

ρ(x,y,z,t) (x.y.z)

…………………….. Tương tự như trong lý thuyết mạch điện, với cách biểu diễn như vậy, các đạo hàm riêng theo thời gian sẽ tưng ứng với phép nhân với các biên độ phức,ví dụ:

(x,y,z,t) i

(x,y,z,t) i (i ) = −

Các phương trình Maxwell dạng phức: hệ phương trình Maxwell dạng phức như sau: Trong đó các đạo hàm theo thời gian được thay tương ứng với phép

nhân i .

Tương tự, suy ra các phương trình chất dạng phức:

rot = + i

rot = −i

div = 0

div =

Và

D E

B H

J E

ε

µ

γ

=

=

=

ɺ ɺ

ɺ

ɺ ɺ

Trường hợp môi trường là đồng nhất ( μ = const, = const) có thể suy ra các

phương trình sau:

Trường điện từ biến thiên theo thời gian tạo nên sóng điện từ lan truyền trong không gian.Tùy theo dạng các mặt đồng pha của sóng điện từ mà ta có sóng điện từ phẳng, sóng trụ, hoặc sóng cầu …Sóng điện từ phẳng

là sóng điện từ có mặt đồng pha là mặt phẳng, phương truyền của sóng

phẳng ở mọi nơi đều vuông góc với một mặt phẳng xác định.Trong thực tế không tồn tại sóng phẳng tuyệt đối theo định nghĩa trên.Các nguồn sóng có kích thước bé tạo ra các song có mặt đồng pha là mặt cầu, các sóng này gọi là sóng cầu.Thường thì ta chỉ khảo sát một phần rất nhỏ của không gian có sóng điện từ và ở đủ xa nguồn.Trong trường hợp đó một phần không lớn của mặt cầu có thể coi là phẳng cũng là đặc trưng chung của các sóng khác,nên việc nghiên cứu sóng phẳng không đơn thuần là việc đơn giản hóa bài toán mà còn hữu ích đối với việc khảo sát các quá trình sóng nói chung.

Sóng điện từ gọi là đơn sắc hay điều hòa nếu các vectơ cường độ trường điện, trường từ biến đổi hình sin theo thời gian với một tần số ω xác

định.

Sóng phẳng gọi là sóng phẳng đồng nhất nếu vectơ , của sóng phụ thuộc chỉ một tọa độ không gian khi chọn các hướng trục tọa độ thích hợp.Chẳng hạn nếu chọn phương của trục Z là phương truyền sóng phẳng đồng nhất thì :

= (z,t) ; = (z,t)

+ 2με = 0

+ 2με = 0

Nghĩa là tại mọi điểm trên một mặt phẳng vuông góc với trục Z, cũng như

có giá trị như nhau. Dưới đây chúng ta khảo sát sóng điện từ phẳng đơn sắc đồng nhất

truyền trong môi trường đẳng hướng, tuyến tính đồng nhất (ε = const,µ = const,γ = const).

3.SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG ĐƠN SẮC TRONG ĐIỆN MÔI LÝ TƯỞNG. Theo định nghĩa điện môi có độ dẫn điện γ = 0 được gọi là điện môi lý tưởng.Với sóng đơn sắc tần số ω truyền trong điện môi thực, dòng điện dẫn

có mật độ dẫn = γ , mật độ dòng điện dịch dịch = iω = iωε

Nếu | dẫn | | dịch | tức γ << ωε,khi khảo sát có thể xem gần đúng điện môi là lý tưởng tức bỏ qua tổn hao trong điện môi.

Söû duïng toïa ñoä Descartes, gaén phöông truyeàn cuûa tröôøng vaø naêng löôïng treân truïc z.Khaûo saùt tröôøng hôïp ñôn giaûn, khi trong caùc maët phaúng phaân cöïc (vuoâng goùc vôùi phöông truyeàn) ñieän

tröôøng E phaân boá ñeàu, töùc laø cöôøng ñoä E vaø aûnh phöùc E• laø nhö

nhau trong maët phaúng ñoù.

E

O

d z

x

y

O

z

x

y

E

H

z

x

y

E+

E+

Vôùi giaû thieát vöøa neâu thì coù ; 0xE Ex y

• • ∂ ∂= = =∂ ∂

phöông trình truyeàn ñoái vôùi E• coù daïng:

22

22 2

xx

d Ed EE

dz dzω µε

•••

= = − (*)

Kyù hieäu heä soá: 2 2 2; i iω µε α β ω µε β− = Γ Γ = + = − = , Γ goïi laø heä soá truyeàn.

0α = goïi laø heä soá tắt = ω goïi laø heä soá pha.

Phöông trình (*) coù nghieäm toång quaùt coù daïng laø toång cuûa hai haøm muõ:

( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , , exp expx xE x y z E x y z i A i z A i zβ β• • • • = = − +

Vaän duïng phöông trình Maxwell 2, laáy rot E• seõ ñöôïc phaân

boá ( , , )H x y z•

.

Vôùi ; 0xE Ex y

• • ∂ ∂= = =∂ ∂

seõ suy ra ñöôïc:

rot E 0 0

0 0

x y z

y x

x

i i i

i E i Hz z

E

ωµ• • •

•

∂ ∂= = = −∂ ∂

;

hoaëc laø: 1 2exp( ) exp( )yi H i A z A zωµ• • • − = −Γ −Γ + Γ Γ

Cuoái cuøng ta coù:

1 2exp( ) exp( )y y

A AH H i z z

i iωµ ωµ

• •• •

= = −Γ − Γ Γ Γ

( H• chæ coù thaønh phaàn yH

•.)

Vaäy coù theå phaân tích caùc soùng E• vaø H

• thaønh toång, hieäu

cuûa soùng thuaän E•+ , H

•+ vaø soùng ngöôïc E

•− , H

•− nhö sau:

x

y y

E i E E

E EH i H H i

ξ ξ

• ••+ −

• •+ −• ••

+ −

= +

= + = −

ξ laø kyù hieäu toång trôû soùng cuûa soùng phaúng, laø tyû soá cuûa E•+ vaø

H•

+ .Ñaây laø “toång trôû” maø soùng E•+ (hoaëc E

•− ) gaëp phaûi khi lan

truyeàn trong moâi tröôøng vaät chaát, noù ñaëc tröng cho phaûn öùng cuûa moâi tröôøng vôùi soùng ñieän töø phaúng. Ñôn vò cuûa noù laø [Ohm]. Ñoái vôùi moâi tröôøng lyù töôûng thì ξ laø moät soá thöïc, khoâng phuï thuoäc taàn soá:

µξε

= ; trong chaân khoâng [ ]0 120 377ξ = Π = Ω .

caùc aûnh E•+ vaø H

•+ bieåu dieãn nhöõng soùng truyeàn thuaän

chieàu z vôùi bieân ñoä khoâng giaûm.

( )

( )1

1

( , , ) ( , , , ) 2 cos

( , , ) ( , , , ) 2 cos

x

y

E x y z E x y z t i A t z

AH x y z H x y z t i t z

ω β ψ

ω β ψξ

•+ +

•+ +

↔ = − + ↔ = − +

( )

Töông töï, E•− vaø H

•− bieåu dieãn nhöõng soùng truyeàn ngöôïc

chieàu z. Hình aûnh lan truyeàn soùng thuaän vaø ngöôïc trong ñieän moâi ñöôïc bieåu dieãn nhö sau :

z

x

y

xE

+

E+

E_

H-

y

V

d

H+

E+

+

E-

H-

d-

song thuâ?n song nguo?ca) b)

Ta rút ra một số kết luận về sóng phẳng đơn sắc lan truyền trong điện môi lý tưởng:

-Sóng lan truyền trong điện môi lý tưởng có biên độ không bị tắt dần, heä soá tắt α =0. - heä soá pha baèng: β ω µε=

-Vận tốc pha ( )( )

,

,z

E z t tzv v

t E z t z

ωβ

∂ ∂∂= = = =∂ ∂ ∂

;

0 0

1

r r r r

cv

ωβ µ µ ε ε µ ε

= = =

Trong chân không ε = = F/m ,μ = = 4π.10−7 H/m ,

v=300.000 km/s ; đó là vận tốc ánh sáng truyền trong chân không.

-Mật độ năng lượng trường điện bằng mật độ năng lượng trường từ.

2 2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2E MW E H H H Wµε ε ξ ε µε

= = = = =

- Vận tốc truyền năng lượng sóng điện từ bằng vận tốc pha của sóng.

Ngoài các đại lượng đặc trưng cho sóng như vận tốc pha,hệ số pha, trở sóng … người ta còn định nghĩa các đại lượng: bước sóng ,vectơ sóng ...

Bước sóng λ (hoặc độ dài sóng ) là khoảng cách mà sóng lan truyền được trong 1 chu kì:

= vpT = = (Vì ω = 2πf , vp = )

-Các vectơ và vuông góc với phương truyền và vuông góc với nhau.

= 1siξ ×

= ξ ( × )

trong đó :

β : hệ số pha , µξε

= : toång trôû soùng

là vectơ đơn vị chỉ phương chiều lan truyền của sóng phẳng.

4. SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG ĐƠN SẮC TRONG VẬT DẪN LÝ TƯỞNG Với sóng đơn sắc tần số ω truyền trong môi trường nếu:

γ ωε

tức | dẫn | | dịch | thì khi khảo sát có thể bỏ qua dòng điện dịch và ta gọi môi trường là môi

trường dẫn tốt.Ví dụ kim loại ( γ 107 S/m) là môi trường dẫn tốt.

khaûo saùt tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát: khi trong vaät daãn coù moät

soùng phaúng truyeàn theo phöông z töùc laø E• phaûi phaân cöïc trong

maët phaúng x,y.

z

x

y

E

H+

+

Giaû thieát choïn heä toïa ñoä sao cho xE E• •

= , nghóa laø ñoái vôùi E• coù

0x y

∂ ∂= =∂ ∂

, thì phöông trình truyeàn soùng seõ coù daïng laø:

22

2 2x

x

d Ed Ei E

dz dzωµγ

•••

= = .

coù theå coi veà hình thöùc gioáng phöông trình truyeàn soùng phaúng trong ñieän moâi vôùi 2ω µε− thay baèng iωµγ . Do ñoù, coù theå vaän duïng caùc keát luaän veà soùng phaúng trong ñieän moâi trong tröôøng hôïp vaät daãn ñeå ruùt ra moät soá keát luaän.

Trong vaät daãn, cuõng coù theå phaân tích caùc tröôøng ,E H• •

thaønh toång vaø hieäu nhöõng soùng truyeàn thuaän vaø ngöôïc theo chieàu z:

;x x x y y yE E E E H H H H• • • •• • • •+ − + −= = + = = − .

Nhöõng soùng naøy ñöôïc ñaëc tröng bôûi hai thoâng soá chính: heä soá truyeàn Γ vaø toång trôû soùng ξ . ÔÛ ñaây, Γ vaø ξ laø nhöõng soá phöùc. heä soá truyeàn:

( )045 12

i iωµγα β θ ωµγΓ = + = Γ = = + ;

⇒ =

và =

Do ñoù, soùng thuaän seõ coù daïng:

( )0 0exp 2 exp( )cos(cot )E E z i z E z zα β α β ψ• •+ + += − − ↔ − − +

Coøn toång trôû soùng laø moät soá phöùc argument 4

π :

045E E i i

iH H

ωµ ωµ ωµξγγωµγ

• •+ −

• •+ −

= = = = =

Thaáy raèng vaän toác ôû ñaây phuï thuoäc tính chaát moâi tröôøng ( , )µ γ vöøa phuï thuoäc vaøo taàn soá ω , neân goïi ñaây laø hieän töôïng taùn xaï vaän toác theo taàn soá. nhöõng phaàn naêng löôïng vaø tín hieäu ñaàu tieân truyeàn töø phía nguoàn ñeán moät mieàn naøo ñoù trong vaät daãn, lan voùi vaän toác lôùn nhaát öùng vôùi taàn soá cao nhaát trong phoå taàn vaø nhöõng phaàn chaäm nhaát thì lan truyeàn vôùi vaän toác nhoû nhaát öùng vôùi taàn soá thaáp nhaát; do ñoù tín hieäu bò meùo ñi.

00

ωµ µξ ξγ ε

= =≪ .

Vôùi moãi taàn soá thì heä soá pha β cuõng lôùn hôn trong chaân khoâng raát nhieàu ( 0β β≫ ). do ñoù, böôùc soùng trong vaät daãn ngaén hôn trong chaân khoâng raát nhieàu:

00

2 2π πλ λβ β

= =≪

Ví duï: ñoái vôùi ñoàng (Cu), ôû f = 50 Hz coù [ ]6 02,6.10 45ξ −= Ω , coøn ôû f

= 0,5 MHz thì coù [ ]42,6.10ξ −= Ω , vaø coøn trong chaân khoâng

[ ]0 120 377ξ = Π = Ω .

Beà saâu xuyeân thaáu Z0: Do coù tieâu taùn maø soùng ñieän töø phaúng trong vaät daãn phaûi taét, vaø ñaëc bieät taét nhanh; chæ caàn truyeàn qua moät böôùc soùng thì bieân ñoä soùng ñaõ taét:

exp( ) exp( ) exp(2 ) 536αλ βλ π= = = laàn, coù theå coi gaàn ñuùng laø ñaõ taét heát. Trong kyõ thuaät ngöôøi ta thöôøng ño möùc ñoä taét baèng moät löôïng ñöôïc goïi laø beà saâu xuyeân thaáu cuûa soùng, kí hieäu 0Z . Ñoù laø khoaûng caùch laáy theo phöông truyeàn sao cho soùng truyeàn qua khoaûng aáy (xuyeân vaøo vaät daãn) bieân ñoä seõ giaûm ñi e laàn.Theo ñònh nghóa ñoù thì coù:

0exp( )z eα = hoaëc 0

1 2

2z

λα π ωµγ

= = =

ta thaáy raèng: beà saâu xuyeân thaáu 0Z tuøy thuoäc vaøo moâi tröôøng ( , )γ µ vaø caøng nhoû khi taàn soá ω caøng cao. Thoâng thöôøng

0Z coù giaù trò khoâng lôùn.

Ví duï: vôùi ñoàng (Cu) ôû f = 50Hz thì 0 9,4[ ]Z mm= , coøn ôû f = 0,5MHz thì 0Z = 0,094[mm]. Nhö vaäy, ôû taàn soá cao thì soùng ñieän töø ñieàu hoøa trong thöïc teá chæ thaám vaøo moät lôùp moûng treân beà maët vaät daãn vaø goïi hieän töôïng ñoù laø hieäu öùng maët ngoaøi. Cuoái cuøng thaáy raèng: vì 0Z lieân heä tröïc tieáp vôùi α vaø β ,

neân noù phaûi lieân heä vôùi caùc thoâng soá soùng khaùc vaø coi 0Z nhö laø moät thông soá đặc tröng ñeå qua noù bieåu dieãn caùc löôïng khaùc:

0

0

0

0.

1(1 ) (1 );

1(1 ) ;

;

2 22

f

j j jz

j jj

z

v z

z

α β α

ωµ αξγ γ γ

ω ω ωβ απ πλ πβ α

Γ = + = + = + += = + = = = = = = =

Vận tốc pha :

vp = =

Bước sóng :

Ta rút ra một số kết luận về sóng phẳng đơn sắc truyền trong môi

trường dẫn tốt : - vuông góc với phương truyền.

-Ở cùng một tần số ,bước sóng trong môi trường dẫn rất nhỏ hơn bước sóng trong điện môi.

Ví dụ Ở tần số f = 50Hz :

-Trong đồng ( H/m ,γ = 5,8.107 S/m), ta được 0,06m.

-Trong không khí ( F/m , μ ) ta được :

m

Ở tần số f = 0,5 MHz : trong đồng = m, trong không khí =

600m. -Sóng điện từ lan truyền trong môi trường dẫn tốt có biên độ bị tắt dần và tắt rất nhanh , do sự hấp thụ năng lượng sóng của môi trường dẫn;ω,μ,γ càng lớn, sóng bị tắt càng nhanh. Vì biên độ sóng giảm theo hướng truyền với quy luật , nên trên khoảng cách bằng bước sóng biên

độ sóng giảm lần, và do đó năng lượng sóng

giảm = 28.104 lần.

-Năng lượng sóng điện từ chủ yếu tập trung ở dạng trường từ. Thật vậy :

Vì γ ω.ε ⇒

5. NAÊNG LÖÔÏNG ÑIEÄN TÖØ Tröôøng ñieän töø vaø naêng löôïng ñieän töø coù khaû năng lan truyeàn trong khoâng gian. Vì vaäy, hình thaønh moät doøng naêng löôïng ñieän töø chaûy trong khoâng gian. Doøng naøy toûa ra töø caùc nguoàn ñieän töø ñöa tích vaøo khoâng gian ñieän moâi, töø moâi xung quanh hoaëc chaûy

ngöôïc töø moâi tröôøng traû laïi nguoàn, doøng naøy chaûy vaøo caùc vaät daãn thì bieán thaønh nhieät naêng Joule. Döïa treân suy luaän ñoù maø Poynting ñaõ ra khaùi nieäm vectô maät ñoä coâng suaát ñieän töø P

, ñöôïc goïi laø vectô Poynting. Vectô ñoù baèng coâng suaát ñieän töø chaûy qua moät ñôn vò dieän tích ñaët vuoâng goùc vôùi doøng chaûy.Vậy khi khaûo saùt coâng suaát chaûy vaøo moät mặt kín S naøo ñoù ta coù theå tính theo thoâng löôïng cuûa caùc vectô Poynting chaûy qua mặt aáy. . .v

S V

P P dS divP dv= − = −∫ ∫

( v là thể tích bao

bôûi maët kín S) Goïi coâng suaát tích luõy vaøo moät ñôn vò theå tích laøm taêng naêng löôïng ñieän tröôøng vaø töø tröôøng laø EOp vaø MOp , coøn coâng suaát tieâu

taùn Joule trong moät ñôn vò theå tích laø JOp , thì coâng suaát toång

ñöa vaøo mieàn v laø: 0 ( )v EO MO JO

V V

P p dv p p p dv= = + +∫ ∫

Ngöôøi ta chöùng minh vaø cho bieát:

; ; .EO MO JO

D Bp E p H p E J

t t

∂ ∂= = =∂ ∂

söû duïng caùc phöông trình Maxwell (1) ; (2),suy ra :

EO MO JO

D Bp p p E J H ErotH HrotE

t t

∂ ∂+ + = + + = − ∂ ∂

Vaän duïng caùc pheùp tính giaûi tích vectô thì: ( )ErotH HrotE div E H− = − ×

0 ( ) . ;v

v v v

P p dV div E H dv divPdv= = − × = −∫ ∫ ∫

( )divP div E H= ×

Do ñoù, tìm ñöôïc bieåu thöùc cuûa vectô Poynting: P E H= ×

Vậy, năng lượng của trường điện từ biến thiên lan truyền thành dòng

năng lượng với vectơ mật độ dòng công suất là vectơ Poynting:

= ×

và công suất của trường điện từ gửi qua mặt S bằng:

P = )d

6.BỨC XẠ ĐIỆN TỪ. 6.1. KHÁI NI ỆM Trường điện từ biến thiên có khả năng lan truyền trong không gian dưới dạng sóng từ những vùng có điện tích hoặc dòng điện biến thiên được coi là những “ nguồn “. Đó là hiện tượng bức xạ điện từ. Trường điện từ có năng lượng , nên trong khi lan truyền , nó mang theo một phần năng lượng của nguồn vào không gian và kèm theo đó trường điện từ mang theo tín hiệu. Bức xạ điện từ có một tính chất quan trọng là có thể định hướng sự lan truyền. Nếu phân bố các nguồn bức xạ một cách thích hợp, thì có thể định hướng cho trường bức xạ tập trung vào những không gian nhất định , theo những hướng nhất định . Điều đó được ứng dụng trong kỹ thuật vô tuyến điện để thông tin định hướng , trong kỹ thuật radar để phát hiện và xác định mục tiêu; trong kỹ thuật lazer thì trường điện từ tập trung cao độ thành những tia rất nhỏ có năng lượng tập trung cao và có sức xuyên thấu rất mạnh. Ở đây sẽ khảo sát những cơ sở lý thuyết bức xạ điện từ , cụ thể là khảo sát trường bức xạ của nguyên tố anten và những hệ thống anten đơn giản.

6.2. TRƯỜNG BỨC XẠ CỦA NGUYÊN TỐ ANTEN THẲNG: Gọi nguyên tố anten thẳng hoặc nguyên tố bức xạ là một đoạn dây dẫn thằng, hở có dòng điện biến thiên theo thời gian , có độ dài đoạn dây là l đủ nhỏ sao cho tại một thời điểm nhất định có thể coi dòng điện có giá trị như nhau trên toàn bộ đoạn dây. Ở đây sẽ khảo sát nguyên tố anten thẳng có dòng điện biến thiên theo qui luật điều hòa với tần sốω , được coi là một thành phần cơ bản phổ tần các dòng điện biến thiên . Theo như định nghĩa nêu trên thì độ dài l của nguyên tố anten thẳng phải rất nhỏ so với bước sóng λ , tức là l λ<< . Vậy , nguyên tố anten thẳng là nguyên tố cơ bản tạo nên mọi anten có kích thước , hình dáng tùy ý có dòng điện biến thiên theo qui luật bất kỳ.

Để phân tích trường bức xạ của nguyên tố anten thẳng , trước hết , hãy khảo sát từ thế vecto A , sau đó tìm cường độ điện trường E , từ trường H và rút ra những điều cần thiết.

Cường độ điện trường và từ trường của nguyên tố anten thẳng . Biết rằng từ thế vecto A được biểu diễn bởi phương trình :

22

2 2

1A-

AJ

v tµ∂∇ = −

∂

Nghiệm của phương trình này ở những điểm xa so với chiều dài của nguyên tố anten thẳng , R >> l có dạng :

RJ t-

A= dV4 Rv

vµ

π

∫ ,trong đó V - thể tích của đoạn dây dẫn làm

nguyên tố anten thẳng. Đối với anten thẳng thỏa mãn điều kiện đã nêu , có thể viết :

s

RJ t-

dl RA= dSdl= J t- ds

4 R 4 R v

i . =

4 4

S

v

R Rt i t l

v vdl

R R

µµ

π π

µ µ

π π

∫ ∫ ∫ ∫

− ∫ =

Trường hợp dòng điện biến thiên điều hòa theo thời gian

i=I sin( t+ ) thìm ω ψ :

( )I sinI sin

A=4 4

mm

Rl t

l t kRv

R R

µ ω ψµ ω ψ

π π

− + − + =

Trong đó : 2

k=v

ω πλ

= − hệ số sóng

Khi biểu diễn A bằng ảnh phức Aɺ có dạng:

IeA A= ,

4

jkR

R

µπ

−

↔ɺ

ɺ

Trong đó :

II=

2im eψɺ

Sử dụng hệ tọa độ cầu với trục z hướng theo đoạn dây l. Trong hệ tọa độ này , từ thế vecto A chỉ có 2 thành phần:

Đó là thành phần bán kính A Rɺ và thành phần 0Aɺ được biểu diễn như sau :

jkR

-jkR

0

IcosA Acos

4

Isin eA Asin

4

R

l e

R

l

R

µ θθπ

µ θθπ

− = =

= − = −

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

Cường độ từ trường Hɺ sẽ tìm được theo phương trình :

1

H= Arotµ

ɺɺ

Do Aɺ chỉ có A Rɺ và 0Aɺ và chỉ phụ thuộc vào R và θ ,nên sẽ có kết quả là

Hɺ chỉ có thành phần phương vị Hαɺ được biểu diễn :

2 jkR0 2 2

A1 1 I 1H ( A ) sin e

4R j

R lkR R kR k Rα θ

µ θ π− ∂∂ = − = + ∂ ∂

ɺ ɺɺɺ

Cường độ điện trường E tìm được theo Hɺ đã biết thông qua phương trình Maxwell I là :

rotH=j Eωεɺ ɺ

Do H=Hαɺ ɺ nghĩa là RH H 0θ= =ɺ ɺ nên :

Eɺ sẽ gồm có hai thành phần là E Rɺ và Eθ

ɺ như sau :

( )3

2 2 3 3

1 1E H sin

sin

2Ilk os e 1 = ;

4

R

jkR

j R

c j

j k R k R

α θωε θ θ

θπωε

−

∂=∂

+

ɺ ɺ

ɺ

( )3

2 2 3 3

1E . H

2Ilk sin 1 1 =

4

jkR

Rj R

e j

j kR k R k R

θ αωεθ

πωε

−

∂=∂

+ +

ɺ ɺ

ɺ

ta thấy rằng : mỗi thành phần cường độ điện trường , từ trường giảm theo

khoảng cách R nhanh chậm khác nhau ( tỷ lệ với 1

kR,

2 2

j

k R, 3 3

1

k R ) . Tùy theo

vùng gần ( R << λ ) hoặc xa ( R >>λ ) mà có thể chỉ khảo sát những số hạng lớn và bỏ qua những số hạng nhỏ . Ở vùng gần , ngoài thành phần bức xạ, còn có thành phần trường dừng. Vì ở đây chỉ quan tâm đến hiện tượng bức xạ , nên chỉ khảo sát trường ở vùng xa . Ở vùng xa ( R >>λ ) , vì rằng :

1

2

v

kR R R

λω π

= = << 1

2 2 3 3

1 1 1

kR k R k R>> >>

Nên có thể bỏ qua những số hạng bậc cao và có

-jkR -jkR

-jkR -jkR2

I sin 1 I sinH e e

4 2

I sin 1 I sinE e e H

4 2

E 0R

l lj j

vR R

l lj j

v R R

α

θ α

ω θ θπ λ

ω θ θξ ξπε λ

= =

= = = =

ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺ ɺ

ɺ

2

2 1àv

ω π µε µ ξν λ ν ε ε

= = = =

Chuyển sang trị tức thời thì có :

0

I sinH sin

2 2

I sinE sin

2 2

m

m

l Rt

R

l Rt

R

αθ ω πω ψ

λ νθ ω πξ ω ψ

λ ν

= − + +

= − + +

Các biểu thức chứng tỏ rằng : ở vùng xa , cường độ từ trường chỉ có thành phần

phương vị Hα , còn cường độ điện trường chỉ có thành phần là Eθ . Về giá trị ,

các cường độ trường tỷ lệ với dòng điện I và chiều dài l và tần số ω , tỷ lệ

nghịch với các bước sóng λ . Do đó , muốn cho trường bức xạ có giá trị đáng kể cần thiết ở xa thì trong anten phải có tần số đủ cao . Vì thế , trong thông tin vô tuyến điện phải dùng tần số cao , còn trong radar thì tần số còn cao hơn nữa .

Về pha thấy rằng : các trường độ trường Hα và Eθ cùng pha với nhau nhưng lại

nhưng lại chậm pha so với dòng điện một góc là 2

Rω πν

−

. Sở dĩ như vậy là do

sóng điện từ truyền với vận tốc hữu hạn. Các phương trình cũng nêu rõ rằng : ở vùng xa anten thì có sóng cầu , vì phương truyền của sóng ( phương của vecto Poynting ) vuông góc với mặt cầu có tâm đặt tại anten

E H=E H e E H r re e eθ θ α α θ αδ δ= × × = =

Một mặt đẳng pha với giá trị pha xác định được biểu diễn bởi phương trình :

cons2

Rt t

ω πω ψν

− + + =

Đó là mặt cầu đồng tâm lan truyền ra xa anten, tốc độ lan truyền đó , tức là tốc độ pha :

1

f

dRv v

dt µε= = =

Tổng trở sóng là một số thực :

E

H

µξε

+

+= =ɺ

ɺ

Trong chân không , tổng trở sóng là :

00

0

#120 (Ohm)µξ πε

=

Công suất bức xạ, tổng trở bức xạ .

Đã biết là ở vùng xa anten thì các cường độ trường Eθ và Hα cùng pha nhau,

nên khi Eθ đổi chiều thì Hα cũng đổi chiều. Kết quả là vecto Poynting luôn có

chiều không đổi và là chiều bán kính rời khỏi gốc tọa độ ( nơi đặt anten ) . Điều này chứng tỏ rằng năng lượng luôn bức xạ từ anten ra không gian xung quanh . Công suất bức xạ sẽ bằng thông lượng của vecto Poynting qua mặt cầu có bán kính R là :

2 22

0 2 2

1 IP sin .2 sin

4bx s

lPdS R Rd

Rπ ξ θ π θ θ

λ= ∫ = ∫

Trong đó : dS = 2 sinR Rdπ θ θ là diện tích của đới cầu , nên có : 2 2

302

IP sin

2bx

ldππ ξ θ θ

λ= ∫

Cuối cùng có : 2

22P I

3bx

lπ ξλ =

Trong chân không ,công suất bức xạ được tính : 2

2 2P 80 Ibx

lπλ =

Tổng bức xạ Rbx là tỷ số giữa công suất bức xạ và bình phương của dòng điện :

2

2

P 2

I 3bx

bx

lR

π ξλ = =

Trong chân không thì :

22

0R 80bx

lπλ =

chú ý rằng công suất tỷ lệ nghịch với 2λ , tỷ lệ thuận với tần số. Vậy muốn tăng công suất bức xạ lớn lên , phải sử dụng tần số cao.

Ví dụ : Có một nguyên tố anten thẳng l=1m có dòng điện I =1A với tần số f=3.106Hz đặt trong không khí . Tính công suất bức xạ . giải :

Bước sóng

8

6

3.10100

3.10

cm

fλ = = =

tổng trở bức xạ :

[ ]2 2

2 20

1 1R 80 80 #0,08

2 100bx ohmπ π = =

Công suất bức xạ:

[ ]2 2P R I 0,08.1 0,08 Wbx bx= = =

Ví dụ : Tính công suất bức xạ của anten trong ví dụ trên nếu tần số f=300 Hz

Bài giải:

Bước sóng : 8

62

3.1010

3.10

cm

fλ = = =

công suất bức xạ :

2 22 2 2 2 10

6

1 1P=80 I 80 1 #8.10 w

10π π

λ− =

Ở tần số f = 300 Hz , công suất bức xạ là không đáng kể.

BAØI TAÄP TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ

CHƯƠNG 1: MÔÛ ÑAÀU 1. Tính rot cuûa caùc tröôøng vectô sau ñaây:

a. x y zA xye yze zxe= + +

(heä toïa ñoä Decac)

b. 2 rB r.cos .e r.eα= α +

(heä toïa ñoä truï)

c. 1

C .er

α=

(heä toïa ñoä truï)

d. Re

D .eR

−

θ=

(heä toïa ñoä caàu)

2. Tính grad cuûa caùc haøm sau ñaây: a. zyxzxyxF ...25..12..10 222

1 ++= (heä toïa ñoäDecac )

b. 22F r (cos sin ).z= α + α (heä toïa ñoä truï)

c. 23F R .sin .cos= α θ (heä toïa ñoä caàu)

3. Cho caùc tröôøng vectô nhö sau:

a. 1 xk

F .e ; k constx

= =

b. 2 yF c.y.e ; c const= =

c. 3 2 2 2 2x yax ay

F .e .ex y x y

= ++ +

; a=const

Xaùc ñònh ñaëc tính vaø phoûng ñoaùn caùch taïo ra caùc tröôøng naøy. 4. Chöùng toû :

a. rotgradF =0 b. divrot F

=0

5. Trong moâi tröôøng ñieän moâi khoâng tieâu taùn coù µ =2µo, toàn taïi moät soùng ñieän töø phaúng vôùi cöôøng ñoä ñieän tröôøng coù daïng:

( ) xezttzE ππ 4.010.6cos.100),( 7 −= (V/m).

a. Haõy xaùc ñònh cöôøng ñoä töø tröôøng H ?

b. Ñieän tröôøng treân coù tính chaát theá hay khoâng? 6. Trong moâi tröôøng ε=const, µ=const, γ=0, toàn taïi tröôøng ñieän töø bieán thieân coù cöôøng ñoä ñieän tröôøng: zetbyaxE .cos.sin.sin ω= , vôùi a,b laø haèng soá.

a. Tính cöôøng ñoä töø tröôøng H ?

b. Chöùng toû: µεω ..222 =+ ba

O A

B C

U

d

ρ

x 0

U

d d/2 x 0

ε1 ε2

7. Trong ñieän moâi ñoàng nhaát tuyeán tính vaø ñaúng höôùng coù ε=const, µ=const, γ=0, toàn taïi tröôøng ñieän töø bieán thieân taàn soá goùc ω coù:

zetbyaxH .cos.sin.sin ω= , vôùi a,b laø haèng soá.

a. Tính E ?

b. Chöùng toû: µεω ..222 =+ ba c. Tính söùc ñieän ñoäng caûm öùng trong voøng kín hình vuoâng OABCO cạnh

OA=AB=BC=CO=1 nhö hình veõ. y

x

8. Trong moâi tröôøng coù εr=2 cuûa heä truïc toïa ñoä truï, toàn taïi moät tröôøng ñieän vôùi veùctô cöôøng ñoä ñieän tröôøng coù daïng:

( )r2

1E e .cos e .sin

r α= α + α

. Xaùc ñònh maät ñoä phaân boá ñieän tích khoái ρ

do ñieän tröôøng naøy gaây ra?

CHƯƠNG 2: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ TÓNH 1. Cho moät tuï ñieän phaúng nhö hình veõ, giöõa hai baûn cöïc cuûa tuï laø lôùp ñieän moâi coù ρ=ρ0x. Haõy xaùc ñònh cöôøng ñoä ñieän tröôøng vaø theá ϕ giöõa hai baûn cöïc cuûa tuï (bieát raèng moâi tröôøng beân trong tuï coù εr=2 )?

2. Cho moät tuï ñieän phaúng nhö hình veõ, giöõa hai baûn cöïc cuûa tuï laø 2 lôùp ñieän moâi khoâng coù phaân boá ñieän tích khoái (ρ = 0)coù ε1=const, ε2=const. Haõy xaùc ñònh cöôøng ñoä ñieän tröôøng vaø theá ϕ giöõa hai baûn cöïc cuûa tuï?

P N

-a a 0 x

3. Cho tieáp giaùp P-N coù phaân boá ñieän tích nhö hình veõ, coù maät ñoä phaân boá ñieän tích khoái nhö sau:

0

0

khi 0 x a

khi a x 0

ρ < <ρ = −ρ − < <

Haõy xaùc ñònh cöôøng ñoä ñieän tröôøng E

vaø theá ϕ trong hai lôùp baùn daãn? Neáu a=10-7m, ρ0 =5.103 C/m3, εr=10, A=10-19m2(tieát ñieän cuûa tieáp giaùp). Haõy xaùc ñònh ñieän dung, ñieän aùp qua moái noái vaø cöôøng ñoä ñieän tröôøng taïi x=0.

4. Giöõa hai baûn cöïc phaúng song song caùch nhau khoaûng caùch x=d, coù cöôøng

ñoä ñieän tröôøng bieán thieân theo quy luaät: 2

x 0 2

xE e .E 1

d

= −

.

a. Haõy xaùc ñònh ρ vaø hieäu ñieän theá giöõa hai baûn cöïc,bieát raèng theá taïi d laø theá thaáp ϕ(d)=0, moâi tröôøng beân trong tuï coù εr=1.

b. Neáu tuï ñieän treân ñöôïc ñaët tieáp vaøo hieäu ñieän theá U1 thì cöôøng ñoä ñieän tröôøng thay ñoåi nhö theá naøo?

5. Maët truï troøn coù baùn kính laø a, mang ñieän tích maët phaân boá ñeàu vôùi maät ñoä σ. Haõy xaùc ñònh E

, D

, ϕ do maët truï naøy gaây ra, bieát raèng moâi tröôøng beân trong vaø beân ngoaøi coù ε = const vaø ϕ(r0 >a)=0. 6. Ñieän tích phaân boá khoái vôùi maät ñoä ρ trong heä truïc toaï ñoä caàu coù daïng:

1

0 2

3

0 khi R a ( )

khi a R b ( )

0 khi R b ( )

< ερ = ρ < < ε > ε

Tính theá ϕ trong moãi mieàn neáu choïn ϕ(∞)=0. Bieát raèng ε1, ε2, ε3 ñeàu laø haèng soá. 7. Ñieän tích phaân boá khoái vôùi maät ñoä ρ trong heä truïc toaï ñoä truï coù daïng:

1

0 2

3

0 khi r a ( )

khi a r b ( )

0 khi r b ( )

< ερ = ρ < < ε > ε

Tính theá ϕ trong moãi mieàn neáu choïn ϕ(b)=0. Bieát raèng ε1, ε2, ε3 ñeàu laø haèng soá.

a b

c

ε2 ε1

8. Xaùc ñònh theá ϕ trong caùc mieàn gaây bôûi ñieän tích phaân boá khoái trong

heä toïa ñoä truï vôùi maät ñoä: 0 a r b

0 r a & r b

ρ < <ρ = < >

. Bieát raèng ϕ(0)=0 , caùc

moâi tröôøng coù ε=const. vaø a, b laø baùn kính hình truï. 9. Cho moät quaû caàu coù baùn kính laø a, mang ñieän tích vôùi maät ñoä ñieän tích khoái:

>

<=aR

aRa

R

;0

;02

2

ρρ

Haõy xaùc ñònh E

, D

, ϕ do quaû caàu mang ñieän naøy gaây neân? Bieát raèng

ϕ(0)=0 ,moâi tröôøng beân trong vaø beân ngoaøi quaû caàu coù ε=const, 10. Cho quaû caàu coù baùn kính a, mang ñieän tích coù maät ñoä phaân boá ñieän tích khoái ρ=kR (k=const), ñaët trong moâi tröôøng khoâng khí. Haõy xaùc ñònh E

, D

, ϕ do quaû caàu gaây ra baèng phöông phaùp aùp duïng ñònh luaät Gauss vaø aùp duïng

phöông trình Laplace-Poisson? Bieát raèng ϕ(0)=0 vaø moâi tröôøng beân trong coù ε=const. 11. Ñieän tích phaân boá maët treân hai maët truï r=a vaø r=b>a coù daïng:

0

0

khi r a

akhi r b

b

σ =σ = −σ =

Haõy xaùc ñònh E

, D

, ϕ trong caùc mieàn? Bieát raèng ϕ(a)=0, caùc moâi tröôøng coù ε=const . 12. Ñieän tích phaân boá maët treân hai maët caàu coù daïng:

>=−

==

abRkhib

aaRkhi

;

;

2

2

0

0

σ

σσ

Haõy xaùc ñònh E

, D

, ϕ trong caùc mieàn? Bieát raèng ϕ(∞)=0, caùc moâi tröôøng coù ε=const 13. Tuï ñieän caàu nhö hình veõ :baùn kính coát trong a, baùn kính coát ngoaøi c, giöõa hai coát tuï laø hai lôùp ñieän moâi tieáp giaùp nhau theo maët caàu ñoàng taâm baùn kính b (a<b<c) coù heä soá ñieän moâi laàn löïôt laø: ε1 vaø ε2, ñöôïc ñaët

b

a εr

b

a U

a b

c

ε2 ε1

döôùi ñieän aùp U (coát ngoaøi noái ñaát). Xaùc ñònh söï phaân boá E

, D

, ϕ trong moãi lôùp ñieän moâi? Tính ñieän dung cuûa tuï ñieän? 14. Cho moät tuï ñieän truï ñöôïc ñaët döôùi ñieän aùp U (coát ngoaøi noái ñaát) nhö hình veõ, moâi tröôøng giöõa hai ñieän cöïc cuûa tuï coù ε1=const, ε2=const. Xaùc ñònh söï phaân boá E

, D

, ϕ trong moãi lôùp ñieän moâi? Haõy xaùc ñònh ñieän dung vaø naêng löôïng ñieän tröôøng treân moät ñôn vò daøi (L=1) cuûa tuï? 15. Cho moät tuï ñieän caàu ñöôïc ñaët döôùi ñieän aùp U (coát ngoaøi noái ñaát) nhö hình veõ, moâi tröôøng giöõa hai ñieän cöïc cuûa tuï coù εr =const. Haõy xaùc ñònh ñieän dung vaø naêng löôïng ñieän tröôøng cuûa tuï? 16. Cho moät tuï ñieän caàu nhö hình veõ, moâi tröôøng giöõa hai ñieän cöïc cuûa tuï coù ε =const, coù maät ñoä phaân boá ñieän tích khoái ρ = const. Haõy xaùc ñònh ñieän dung vaø naêng löôïng ñieän tröôøng cuûa tuï?

17. Tìm maät ñoä phaân boá ñieän tích khoái, phaân boá ñieän tích maët gaây ra tröôøng ñieän coù vectô D coù daïng:

3

2

2

r

r

K.a.e ; r a

D r

K.r .e ; r a

>=

<

(trong ñoù: a laø baùn kính hình truï, K =cosnt)

CHÖÔNG 3: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ DÖØNG

1. Caùp truï ñoàng truïc baùn kính trong (loõi) r1 , baùn kính ngoaøi (voû)

r2 , giöõa loõi vaø voû laø lôùp ñieän moâi coù ñieän daãn suaát: 02r

γγ = vôùi γ0

=const , ñöôïc ñaët döôùi ñieän aùp U (voû ngoaøi noái ñaát ). Xaùc ñònh cöôøng ñoä ñieän tröôøng trong ñieän moâi,ñieän daãn roø G, ñieän trôû caùch

ñieän R, coâng suaát tổn hao P treân moät ñôn vò daøi (L=1)cuûa daây caùp ? 2. Tuï ñieän truï baùn kính coát trong a, baùn kính coát ngoaøi c, daøi L, giöõa hai coát tuï coù hai lôùp ñieän moâi vôùi ñoä daãn ñieän γ1 = const, γ2 = const, maët truï

U

d

γ

x 0

b

a γ ε

U

phaân chia hai lôùp ñieän moâi coù baùn kính b (a < b < c). Tính ñieän trôû caùch ñieän R cuûa tuï ñieän. 3. Cho moät tuï ñieän phaúng nhö hình veõ, giöõa hai baûn cöïc cuûa tuï laø lôùp

ñieän moâi coù 0

1

x 1γ = γ

+, εr=3. Haõy xaùc ñònh cöôøng ñoä ñieän tröôøng, maät

ñoä phaân boá ñieän tích khoái, ñieän trôû caùch ñieän vaø coâng suaát tổn

hao giöõa hai baûn cöïc cuûa tuï? (bieát raèng dieän tích baûn cöïc cuûa tu ïlaø S)? 4. Tuï ñieän caàu coù baùn kính trong a=1cm, baùn kính ngoaøi b=5cm,

giöõa hai coát tuï laø ñieän moâi coù 0

Rγγ = , (γ0 =10-4 s). Doøng ñieän roø chaûy

qua lôùp ñieän moâi coù cöôøng ñoä I=0.2A, haõy tính: a. Theá ϕ(R)=? b. Hieäu ñieän theá giöõa hai coát tuï, ñieän daãn roø cuûa tuï.

5. Moät tuï ñieän truï coù baùn kính a,b , coù chieàu daøi L nhö hình veõ, coù ( )0 1 arε = ε + , ( )0 1. brγ = γ + . Haõy tính: E

, D

,G ,P cuûa tuï.

6. Tuï ñieän caàu coù baùn kính trong a, baùn kính ngoaøi b=10cm, giöõa hai coát tuï laø lôùp caàu ñieän moâi coù ms/10.5 10−=γ . Xaùc ñònh a ñeå maät ñoä doøng roø taïi maët coát trong ñaït giaù trò nhoû nhaát khi hieäu ñieän theá ñaët vaøo hai coát tuï khoâng ñoåi. Tính G öùng vôùi a vöøa tìm ñöôïc.

7. Moät daây daãn coù baùn kính a, mang doøng ñieän vôùi maät ñoä 0 z

rj j e

a=

, ñaët

trong moâi tröôøng coù µ=3µ0. Haõy xaùc ñònh töø tröôøng A

, B

, H

do daây daãn gaây ra baèng phöông phaùp aùp duïng ñònh luaät Ampere-Maxwell? Bieát raèng moâi tröôøng beân trong daây daãn coù µr=6 vaø A(0)=0. 8. Moät daây daãn coù baùn kính a, mang doøng ñieän vôùi maät ñoä zJ 2re=

, ñaët

trong moâi tröôøng coù µ=3µ0. a)Haõy xaùc ñònh H

, B

, A

do daây daãn gaây ra baèng phöông phaùp aùp duïng ñònh luaät Amper-Maxwell vaø aùp duïng phöông trình Laplace-Poisson? (Bieát raèng moâi tröôøng beân trong daây daãn coù µr=5 vaø A(0)=0). b) Haõy tính naêng löôïng töø tröôøng treân moät ñôn vò daøi cuûa daây daãn?

b

a

µ2 µ1

I

9. Moät daây daãn thaúng coù baùn kính a, mang doøng ñieän coù cöôøng ñoä laø I ñaët trong moâi tröôøng khoâng khí.

a. Haõy xaùc ñònh A

, B

, H

daây daãn gaây ra? b. Haõy xaùc naêng löôïng töø tröôøng vaø ñieän caûm (L0) treân moät ñôn vò daøi

cuûa daây daãn? (bieát raèng moâi tröôøng beân trong daây daãn coù µr =2 vaø A(0)=0).

10. Cho daây daãn ñieän nhö hình veõ,

coù 2

1

22

0 5

0 5z

z

J , e (A / m )

, .rJ e (A / m )

a

= −=

.

Haõy xaùc ñònh B

, H

do daây daãn naøy gaây ra bieát raèng caùc moâi tröôøng coù µ laø haèng soá. 11. Caùp truï ñoàng truïc ñaët trong khoâng khí coù baùn kính loõi a, baùn kính voû b, ñieän moâi giöõa loõi vaø voû coù ñoä thaåm töø laø µ=2µ0 , loõi coù ñoä thaåm töø µ=3µ0 , doøng ñieän trong loõi coù cöôøng ñoä I.

a. Haõy tính H

, B

, A

trong caùc moâi tröôøng neáu choïn A(r0>b)=0)? b. Tính naêng löôïng töø tröôøng trong moät ñôn vò daøi cuûa daây

caùp? 12. Cho moät truï mang ñieän nhö hình veõ. Tính ñieän caûm treân moät ñôn vò daøi cuûa daây daãn. 13. Caùp ñoàng truïc baùn kính loõi a, baùn kính trong cuûa voû b, baùn kính ngoaøi cuûa voû c, doøng ñieän ôû loõi vaø voû ngöôïc chieàu nhau coù cuøng cöôøng ñoä laø I. Haõy xaùc ñònh A

, B

, H

trong caùc mieàn? Bieát raèng moâi tröôøng trong caùc mieàn coù µ=const vaø A(c)=0.

CHƯƠNG 4: TRÖÔØNG ÑIEÄN TÖØ BIEÁN THIEÂN 1. Trong moâi tröôøng ñieän moâi khoâng tieâu taùn coù µ = µo, toàn taïi moät soùng ñieän töø phaúng vôùi cöôøng ñoä ñieän tröôøng coù daïng:

( )7xE(z, t) 100.cos 4 .10 t 0.4 z e= π − π

(V/m).

Haõy xaùc ñònh böôùc soùng (λ), vaän toác truyeàn (v), heä soá ñieän moâi töông ñoái (εr), toång trôû soùng (ξ) vaø cöôøng ñoä töø tröôøng ),( tzH ?

b

a J2 J1

2. Trong moâi tröôøng ñieän moâi khoâng tieâu taùn coù µ = 4µo, toàn taïi moät soùng ñieän töø phaúng vôùi cöôøng ñoä ñieän tröôøng coù daïng:

( )750 6 10 0 4 xE(z,t) .cos . t . z e= π + π

(V/m).

a. Haõy xaùc ñònh cöôøng ñoä töø tröôøng ),( tzH ?

b. Ñieän tröôøng treân coù tính chaát xoaùy hay khoâng? 3. Moät soùng ñieän töø phaúng taàn soá 50 MHz, lan truyeàn trong moâi tröôøng ñieän moâi coù εr=2.5 , µr=1, vôùi ( ) xezttzE βω −= cos.20),(

a. Haõy xaùc ñònh: β, λ, v, ξ? b. Tính ),( tzH ?

4. Soùng ñieän töø phaúng lan truyeàn trong khoâng khí theo phöông z vôùi heä soá

pha 30(rad/m), bieân ñoä cöôøng ñoä töø tröôøng laø π9

1(A/m) vaø theo höôùng y.

Haõy tính λ, f, ),( tzH , ),( tzE ?

5. Xaùc ñònh ñoä saâu xuyeân thaáu, heä soá pha, toång trôû soùng, böôùc soùng cuûa soùng ñieän töø phaúng ñôn saéc truyeàn trong nöôùc bieån coù γ=4 s/m, ε=80ε0, µ=µ0 ñoái vôùi 2 taàn soá:

a. f1=10kHz b. f2=20 MHz

6. Cöôøng ñoä ñieän tröôøng vaø töø tröôøng trong lôùp ñieän moäi giöõa loõi vaø voû caùp ñoàng truïc cho bôûi heä thöùc:

0

0

r

E.cos t.e ; a r b

E r; r b,r a

ω < <= ≥ ≤

0

0

H.cos( t ).e ; a r b

H r; r b,r a

α ω − ϕ < <= ≥ ≤

(a laø baùn kinh loõi, b laø baùn kính voû).Tính coâng suaát ñieän töø truyeàn qua tieát dieän caùp?

MOÄT SOÁ TOAÙN TÖÛ VEÀ GIAÛI TÍCH VECTÔ

TOAÙN TÖÛ

Toïa ñoä Descartes

Toïa ñoä truï troøn

Toïa ñoä caàu

GradF

Div F

RotF

DivgradF=∆F

dV dx.dy.dz rdr.dα.dz R2.sinθ.dR.dθ.dα

Sd

dydz.e

x

dx.dz.e

y

dxdy.e

z

r.dα.dz. .e

r

dr.dz.eα

rdr.dα. .e

z

R2.sinθ.dθ.dα. Re

R.sinθ.dR. dα. θe

R.dR.dθ. αe

x Y ZF F F

e e eX Y Z

∂ ∂ ∂+ +∂ ∂ ∂

r zF F F

e e er r Z

α∂ ∂ ∂+ +∂ ∂α ∂

R

F F Fe e e

R R R sin .θ α

∂ ∂ ∂+ +∂ ∂θ θ ∂α

ZF

Y

F

XF zyx

∂∂+

∂∂

+∂∂

ZF

rF

rrrF zr

∂∂+

∂∂+

∂∂

αα)(

αθ

θθθ

α

θ

∂∂

+∂

∂+∂

∂

.sin

.sin).(sin)(

2

2

RF

RF

RR

FR R

x y z

x y z

e e e

x y z

F F F

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

r z

r z

e ee

r r

r zF rF F

α

α

∂ ∂ ∂∂ ∂α ∂

R

2

R

e e e

R sin R sin R

RF RF R sin F

θ α

θ α

θ θ∂ ∂ ∂

∂ ∂θ ∂αθ

2

2

2

2

2

2

Z

F

Y

F

X

F

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

22

2

Z

F

r

FrFr

rr ∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

α222

22

22

.sin

sinsin

11

αθ

θθθθ

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

R

F

F

RRFR

RR