ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1 – Рачунске вежбе – Предметни...

ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1

– Рачунске вежбе –

Предметни наставник

Мр. Оливера Васовић, дипл. геод. инж.

РЕШАВАЊЕ ТРОУГЛА

a

b c

А

С В

ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА НА ТОЈ СТРАНИЦИ - с, .

mR2sin

c

sin

b

sin

a

0180Трећи угао је:

Из синусне теореме, добијамо вредности страница а и b.

sinmsinsin

cb

sinmsinsin

ca

Контрола: b cos + c cos = a

Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ

Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13

ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме

cosab2bac 222

Познато- b, c, cosbc2cba 222

cosac2cab 222Познато- a, c,

Познато- a, b,

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .

Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13

ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме

cosbc2cba 222

Из синусне теореме, добијамо вредност угла или .

mcba

sinsinsin m

bsin

m

barcsin

+ + = 1800 = 1800 - ( + )

cosbc2cba 22

cosbc2cba 222

sin

am

m

barcsin

= 1800 контрола

контрола

m

carcsinγ

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .

ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме

2 tg

2 tg

cb

cb

+ + = 1800 + = 1800 -

Знамо да је:

290

20

2ctg

cb

cb

290 tg

cb

cb

2tg

cb

cb

2 tg 0

Из тангенсне теореме следи:

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .

ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме

2ctg

cb

cb

2tg

односно:

22ctg

cb

cbarctg

Имамо да је:

290

20

2ctg

cb

cbarctg

2

2

ctgcb

cbarctg

290

220

2

ctgcb

cbarctg

290

220

Страница а се рачуна применом синусне теореме:

sinsin

csin

sin

ba

Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 14

контрола

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (ВЕЋЕ) СТРАНИЦЕ ОД ЊИХ - а, b, b > a).

msin

b

sin

a

m

a

sinba

sinb

asin

0180Трећи угао је:

Из синусне теореме добија се вредност угла

Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13

m

aarcsin

Из синусне теореме добија се вредност странице с.

sinmsinsin

bc

sin

am

m

barcsin= 1800 -

(

= 1800 контрола

sinmc

контрола

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)

Из синусне теореме следи:

sin

c

sin

b sinb

csin

sin постоји само ако је c sin≤ b (0 ≤ sin≤ 1).

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)

1. c sin< b. Тада постоје два решења ипри чему је:

+=1800

Како је задат угао наспрам мање странице, могући су следећи односи:

2. c sin= b. Тада је = 900

3. c sin b. Овакав троугао је немогућ (нема решење).

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)

Ако важи први случај (са два решења), тада посматрамо троуглове:

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)

ПРВО РЕШЕЊЕ ABC1:

sin

b

carcsinsin

b

csin 11

10

1 180 Трећи угао је:

Из синусне теореме добија се вредност странице a1.

11 sinsin

ba

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)

ДРУГО РЕШЕЊЕ ABC2:

20

2 180 Трећи угао је:

Из синусне теореме добија се вредност странице a2.

22 sinsin

ba

10

20

21 180180 Знамо да је:

НАПОМЕНА: Троугао са два решења се у геодетској пракси избегава.

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)

sin

a

sin

b

sinsin

ba

Ако важи други случај (правоугли троугао) тада следи:

0180Трећи угао је:

Из синусне теореме добија се вредност странице a.

Односно из Питагорине теореме:

c2 = a2 + b2 22 bca

ДИРЕКЦИОНИ УГАО

ДИРЕКЦИОНИ УГАО

ДИРЕКЦИОНИ УГАО () је угао за који треба ротирати позитиван смер паралеле са X-осом координатног система у смеру кретања казаљке на часовнику, док се не поклопи са

страном на коју се дирекциони угао односи.

Дирекциони угао се означава са: BA , и чита као: "ни А на Б".

ДИРЕКЦИОНИ УГАО

x

y0

Y B

Y B - Y = YA

X B-X

=X

A

Y A

X A

X B

B ( Y B , X )B

A ( Y A , X )A

A

B

Дате су координате тачака A(YA, XA) i B(YB, XB).

Потребно је срачунати дирекциони угао: BA и дужину: dAB

Са слике следи:

X

Y

XX

YYtg

AB

ABBA

X

YarctgB

A

22AB XYd

Дужина износи:

Koнтрола рачунања дирекционог угла:

YX

YXX

YXX

YX

XYXY

tg

tg

tgtg

tgtgtg

BA

BA

BA

BAB

A

1

1

1

1

451

4545 0

00

Koнтрола рачунања дужине:

ba

ba

AB cos

X

sin

Yd

ДИРЕКЦИОНИ УГАО

Зависно од положаја тачака A и B у координатном систему, вредност дирекционог угла може да износи од 00 дo 3600 ,

односно он може да се налази у првом, другом, трећем или четвртом квадранту.

Важи следеће: X

- X

Y- Y

I квадрант

+ ΔY, + Δ X

II квадрант

+ ΔY, – Δ X

III квадрант

– ΔY, – Δ X

IV квадрант

– ΔY, + Δ X

X > 0

Y > 0

Y > 0

Y < 0

Y < 0

X > 0

X < 0 X < 0

A A

AA

BB

BB+ x

- x

+ y- y 0

A

B

A

B

A

B

A

B

0

AB

ABBA 3 6 0

XXYY

a r c t g

0

AB

ABBA 1 8 0

XXYY

a r c tg

0

AB

ABBA 1 8 0

XXYY

a r c tg

AB

ABBA XX

YYa r c t g

I квадрант

II квадрантIII квадрант

IV квадрант

ДИРЕКЦИОНИ УГАО

Рачунање дирекционог угла и дужине из координата крајњих тачака се врши у Тригонометријском обрасцу број 8.

Вредност дирекционог угла AB је:

0180 BA

AB

B

ab

ba

1800

A

ba

Дирекциони угао је у IV квадранту

0360

DX

DYarctgb

a

DX

DYtg b

a

квадрантуIуугаојеba

4

DYDX

DYDXtg b

a

4

DYDX

DYDXarctgb

a4 ba

ABba

ABAB cos

DXdодносно

sin

DYdконтролаDXDYd

22

РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ

ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД

РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД

Уколико су дате координате тачака А(YА, XА) и B(YB, XB), као и мерени углови А и B, тада се методом пресецања

напред могу срачунати координате тачке Т(YT, XT).

Дате (познате вредности) вредности су:

1. координате тачака: А(YА, XА) и B(YB, XB),

2. мерени углови: А и B,

Тражена (непозната) вредност:

1. координате тачке: Т(YT, XT).

РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД

Поступак рада:

1. Нацртати скицу координатног система са нанетим тачкама А и В.

2. Нанети на скици мерене углове А и B,

3. Срачунати вредност дирекционог угла и дужине dAB.

4. Одредити вредности оријентационих праваца А и В на основу скице конкретне ситуације.

BA

BABB

0A

BAA 360

Са слике следи:

Т (YT,XT)

Са слике следи:

= В - А

Контрола рачунања(збир углова у троуглу):

А + В + = 1800

Из синусне теореме следи:

B

AT

A

BTAB

sin

d

sin

d

sin

d

BAB

AT sinsin

dd

AAB

BT sinsin

dd

Контрола рачунања:

AATBBTAB cosdcosdd

Координате тражене тачке Т(YT, XT) се рачунају на два начина:

• помоћу тачке А:

YТ' = YА + YА = YА + dАT sinА

XТ' = XА + XА = XА + dАТ cosА

• помоћу тачке В:

YТ'' = YB + YB = YB + dBТ sinB

XТ'' = XB + XB = XB + dBТ cosB

Уколико се вредности YТ' и YТ'' , као и XТ' и XТ'' слажу у оквиру дозвољеног одступања 0,1m; тада се за дефинитивну

вредност координата тачке Т (YТ, XТ) узима аритметичка средина:

2

"Y'YY TT

T

2

"X'XX TT

T