теорема пифагора

Выполнила учитель высшей категории

О.В. Ермоленко

• Историческая справка

• Формулировка теоремы Пифагора

• Доказательство теоремы

• Еще несколько доказательств

• Реши задачи

• Решение задач

• Заключение

Историческая справкаИсторическая справка Существует замечательное соотношение Существует замечательное соотношение

между гипотенузой и катетами между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана справедливость которого была доказана древнегреческим философом и древнегреческим философом и математиком Пифагором ( математиком Пифагором ( VI VI в. до н. э.).в. до н. э.).

Но изучение вавилонских клинописных Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора.известно задолго до Пифагора.

Заслуга же Пифагора состояла в том, что Заслуга же Пифагора состояла в том, что

он открыл доказательство этой теоремы.он открыл доказательство этой теоремы.

Формулировка теоремыФормулировка теоремы

АС

В В В прямоугольнопрямоугольно

м м треугольнике треугольнике

квадрат квадрат гипотенузы гипотенузы равен сумме равен сумме квадратов квадратов

катетовкатетов

Доказательство теоремыДоказательство теоремы

1. Достроим АВС до квадрата СКРД со стороной ( а + в );

SСКРД= ( а + в)2 = а2 + 2ав + в2

2. ВСА = АКЕ = ЕРМ = МДВ ( по двум

катетам )

С

А

В Д

М

РЕКSВСА = SАКЕ = SЕРМ= SМДВ = ав/2

3. ВАЕМ – квадрат, SВАЕМ = c2

4. SСКРД= SВАЕМ+ SВСА+ SАКЕ+ SЕРМ+ SМДВ

5. ( а + в)2 = с2 + 4 * ав/2

а2 + 2ав + в2 = с2 + 2ав, откуда

с2 = а2 + в2

Дано: АВС, <C=90о, АВ = с, ВС = а, АС = в

Доказать: с2 = а2 + в2

Доказательство:

Еще несколько доказательств теоремы Пифагора

Теорема Пифагора ( другая формулировка)

Сумма площадей квадратов, построенных на катетах Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, прямоугольного треугольника, равна площади квадрата,

построенного на его гипотенузепостроенного на его гипотенузе

Именно так выглядела классическая формулировка теоремы. Картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора, была ранее своеобразным символом геометрии, а в среде российских гимназистов получила название « Пифагоровы штаны».Саму теорему они переиначили так: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». И в этой шуточной формулировке запоминали ее на всю жизнь.

Приведем одно из многочисленных геометрических доказательств теоремы Пифагора. Оно отлично от

доказательства самого Пифагора, но широко известно и даже встречается в художественной литературе.

Впрочем, по сути, и доказательства как такового нет. Все сводится к

«предъявлению» двух данных картинок, посмотрев на которые вы без труда убедитесь, что теорема Пифагора

доказана!.. Убедились?

44S + aS + a22 + b + b22 = 4S + c = 4S + c22

Этот рисунок демонстрирует старинное индийское доказательство теоремы Пифагора. Его можно

найти в сочинении Бхаскары (индийский математик, живший в XII в.)

Оно сопровождается

Одним словом:

«СМОТРИ»«СМОТРИ»

1.Дан прямоугольный треугольник KMN.

KN = 12cм, KM = 13см. Найти MN.

K N

M

12 cм

13 см

2. Дан прямоугольник DFRO, RO:DO = 3:4

Найти FR, FD.

F R

OD

25с

м

3. В треугольнике АВС высота CD, опущенная из вершины прямого угла С,

делит гипотенузу АВ на отрезки АD =9 см и DB = 16 см. Катет ВС = 20 см.

Найдите катет АС и высоту CD этого треугольника.321

Задача 1Задача 1

Т. К. треугольник прямоугольный, то применим теорему Пифагора: с2= а2+ в2

КМ2= KN2 + NM2 => MN2=KM2 – KN2 => MN2 = 169 -144 = 25, MN = 5см

Ответ : MN = 5 см.

Задача 2Задача 21. Рассмотрим треугольник DFR – прямоугольный ( DFRO-

прямоугольник )

2. RO = FD и DO = FR (по свойству параллелограмма)

3. FD = 3x см и FR = 4x см, т.к. RO : DO = 3:4 и х – 1 часть

4. Используя теорему Пифагора, составим равенство : FD2+ FR2= DR2

5. 9х2 + 16х2 = 625 ( решаем уравнение)

25х2 = 625

х2 = 25

х1 = 5 , х2= - 5 ( - 5 не является решением задачи)

6. FD = 3 * 5 = 15(cm) FR = 4 * 5 = 20 (cm)

Ответ : FR = 20 см и FD = 15 см

Задача 3Задача 3Дано : АВС –

прямоугольный,

<C = 900, CB = 20 см,

CD = h

AD = 9 cм, DB = 16 смНайти : CD, AC

B

C

AD

20 cm

9cm 16cm

Решение : 1. Рассмотрим CDB – прямоугольный ( CD – h )

2. По теореме Пифагора CB2 = CD2+DB2 => CD2= CB2 – DB2

CD2 = 400 – 256 = 144, CD = 12 cm

3. Рассмотрим ACD – прямоугольный ( CD - h)

4. По теореме Пифагора AC2= AD2+ CD2

AC2 = 81 + 144 = 225, AC = 15 cm

Ответ: CD = 12cm, AC = 15 cm

  Пребудет вечной истина, как скоро Поэтому всегда с тех самых пор, Ее познает слабый человек! Чуть истина рождается на свет,  И ныне теорема Пифагора  Быки ревут, ее почуя ,вслед. Верна, как и в его далекий век.

  Обильно было жертвопринашенье  Они не в силах свету помешать , Богам от Пифагора. Сто быков А могут лишь закрыв глаза дрожать Он отдал на закланье и сожженье  От страха, что вселил в них Пифагор. За света луч, пришедший с облаков.