מתמטיקה ב' לכלכלנים

1

מתמטיקה ב' לכלכלנים – נגזרות, דיפרנציאבליות 3שיעור

וקירוביםתיאוריה

2

נגזרת חלקית

השינוי מגמת את לתאר ניסינו נגזרת הגדרנו כאשרכאשר פונקציה של הרגעית

X . מתקדם

לדבר יכולים אנחנו במרחבבמספר התקדמות על

כיוונים.

הרעיון:

xy

3

נגזרת חלקית

." כיוונית " נגזרת קוראים אנחנו האלו לשיפועים

. במסילה תנועה נגדיר כיוונית נגזרת להגדיר כדילהיות צריכה במסילה שהתנועה לב לשים עלינו

.1בקצב

( : היא המסילה (at,btכלומר122כאשר ba

4

נגזרת חלקית

: החלקיות הנגזרות הן במיוחד חשובות כיווניות נגזרות

לפי חלקית לפי :xנגזרת החלקית :xהנגזרת המסומנת : להיות: מוגדרת xאו

yxf

),(

),( yxf x

x

yxfyxxf

dx

yxdf

x

yxfx

),(),(lim

),(),(0

לפי חלקית נגזרת נגדיר דומה משתנה yבאופן כל ולפיאחר.

5

נגזרת חלקית - דוגמאות

13),( 2 xxyyyxF

xyyeyxF ),(

yxyxF ),(

: הבאות לפונקציות חלקיות נגזרות חשב

13),( yyxFx

xyyxFy 32),(

xyx eyyxF 2),(

xyxyy yxeeyxF ),(

yxyxFx

2

1),(

yxyxFy

2

1),(

6

התחלפות הנגזרות החלקיות222),( yxyxF :) שוורץ ) כיוונים משפט בשני החלקיות הנגזרות אם

בנקודה( yו xלמשל) :,רציפותו aקיימות מתקיים אזי

)()( afaf yxxy

בכיוון הכיוונית הנגזרת הכיוונית xכלומר הנגזרת שלבכיוון yבכיוון הכיוונית לנגזרת בדיוק של yשווה

בכיוון הכיוונית .xהנגזרת

שקפים הוכחה: שני עוד

7

נגזרת חלקית - דוגמאות

13),( 2 xxyyyxF

xyyeyxF ),(

yxyxF ),(

: מתחלפות הנגזרות כי נראה

13),( yyxFx

xyyxFy 32),(

xyx eyyxF 2),(

xyxyy yxeeyxF ),(

yxyxFx

2

1),(

yxyxFy

2

1),(

),(3),( yxFyxF yxxy

xyxyxy exyyeyxF 22),(

23

4

1),(

yxyxFxy

8

התחלפות הנגזרות החלקיות

: הרעיון: נקודות ארבע על נסתכל

),(),,(

),,(),,(

0000

0000

yyxxfyyxf

yxxfyxf

x

yyxfyyxxfyyxf

x

yxfyxxfyxf

x

x

),(),(),(

),(),(),(

000000

000000

yx

yyxfyyxxf

x

yxfyxxf

yxf xy

),(),(),(),(

),(

00000000

00

9

התחלפות הנגזרות החלקיות

שני : מצד

),(),,(

),,(),,(

0000

0000

yyxxfyyxf

yxxfyxf

y

yxxfyyxxfyyxf

y

yxfyyxfyxf

y

y

),(),(),(

),(),(),(

000000

000000

xy

yyxfyyxxf

y

yxfyxxf

yxf yx

),(),(),(),(

),(

00000000

00

החלפנו!

10

עבור הוכחה: משתנים בשני : a=(x0,y0)נוכיח

של קטנה , y0בסביבה הגבולות שני לכן מוגדרת הנגזרת: שווה הביטוי ולכן קיימים

ונקבל סדר נחליף

התחלפות הנגזרות החלקיות

yx

yxfyxxfx

yyxfyyxxfxx

y

),(),(lim

),(),(lim

lim

0000

0

0000

0

0

),( 00 yxf xy

yx

yxfyxxfyyxfyyxxfxy

),(),(),(),(limlim 00000000

00

yx

yxfyyxfyxxfyyxxfxy

),(),(),(),(limlim 00000000

00

11

yx

yxfyyxfyxxfyyxxfxy

),(),(),(),(limlim 00000000

00

xy

yxfyyxfy

yxxfyyxxf

xy

),(),(),(),(

limlim

00000000

00

xy

yxfyyxfy

yxxfyyxxf

yx

),(),(),(),(

limlim

00000000

00

: ורציפים קיימים שהגבולות משום כעת

x

yyxfyyxf

yyxxfyyxxf

yy

x

),(),(lim

),(),(lim

lim

0000

0

0000

0

0

),( 00 yxf yx

12

נגזרת כיוונית

כיוון - בכל חלקית נגזרת להגדיר אפשר שהבטחנו כפי

, . a,bיהי )הגדרה: כלומר( יחידה וקטורבכיוון ) הכיוונית הנגזרת את : a,bנגדיר להיות(

122 ba

t

yxfbtyatxf

dt

btatdft

),(),(lim

),(0

13

נגזרת כיוונית

),(23המחשה: yxyxf )5.0,6.0( a

08.13)5.0,6.0( )5.0,6.0(2 xf x

12)5.0,6.0( )5.0,6.0( yf y

בכיוון נגזרת וכעת

2,2

tt

23 )2

5.0()2

6.0()(tt

tf

057.02

08.0

2

108.1

2

1

)2

5.0(22

1)2

6.0(32

1)0(0

2

ttt

dt

df

2100

8

אבל:

12

108.1

2

1

2100

8

14

נגזרת כיוונית

. למשפט המקרים צירוף את נהפוך

של משפט: בנקודה החלקיות הנגזרות אםו קיימות מתקיים. רציפותהפונקציה אזי

: היא בכיוון הכיוונית שהנגזרת

... בהמשך הוכחה

),( ba

),( 00 yx

),(),( 0000 yxfbyxfa yx

),( yxf

15

דיפרנציאביליות וליניאריזציה

כיוון בכל משתנים מרובת פונקציה לקרב למדנובקלות...

הכיוונים בכל אותה לקרב ניתן האם אחת אבל ?בבת: הקודם מהקורס במונח ניזכר

:)' א ) מתמטיקה פונקציה הגדרה של גזירה f(x)דיפרנציאלהוא:

נסמן –

יתקיים גזירה פונקציה לכל אזי

. דיפרנציאבילית – גזירה פונקציה שכל אמרנו ולכן

)()()( 00)( 0xfxxfxDf xx

xx xxDfxxf )()( )(0 0

0)(lim0

xx

16

דיפרנציאביליות וליניאריזציה

: משתנים בשני וכעת

את הגדרה: קיימות החלקיות שנגזרותיה לפונקציה נגדיר

השלם (.x0,y0בנקודה )f(x,y)של הדיפרנציאלשל – ליניאריזציה מכונה השלם הדיפרנציאל fלעיתים

),(),(),(),( 000000),( 00yxfyyxfxyxfyxDf xxyx

:הגדרה: המקיימת פונקציה

. דיפרנציאבילית נקראת כאשר

yxyx yxyxDfyyxxf ),(),( ),(00 00

0)(lim,0)(lim00

yy

xx

17

משפט הדיפרנציאביליות

בנקודה משפט: החלקיות הנגזרות אםאזי ורציפות קיימות הפונקציה של

. דיפרנציאבילית הפונקציה

),( 00 yx),( yxf

? המשמעות ומהעל 1. בסביבה דיפרנציאבילית פונקציה כל לקרב אפשר

. משיק מישור ידי.2 . למציאות מתקרב הקירוב לנקודה מתקרבים כאשר

. . – ? בהמשך לכך נתייחס פתוחה שאלה עדיין זו כמה עד

כן ועל רבים טכניים מונחים ומערבת קשה ההוכחה . עליה לוותר נאלץ

18

דיפרנציאביליות

המחשה:

: ונקבל חלקיות נגזרות נחשב

: " י ע הפונקציה את לקרב ניתן לכן

22)1(),( yxyxf )0,0(),( 00 yx

02)0,0( )0,0( yf y

2)1(2)0,0( )0,0( xf x

)0,0()0()0,0()0()0,0(),(~

yx fyfxfyxf

xyxf 21),(~

19

גרדיאנט

כיוון בכל משתנים בשני פונקציה לקרב שלמדנו לאחרלשימוש – מעשי כלי לבנות עלינו מסילה כל ולאורך

. זו ביכולתקיימות הגדרה: החלקיות שנגזרותיה לפונקציה נגדיר

: הגרדיאנט את ),,...,,(),,...,(ורציפות2121 kxxxk fffxxxf

: סקלרית – מכפלה שימושי מונח עוד ונגדיר

לשתי הגדרה: יות –kנגדיר

מכפלה שנכנה הפעולה את מספרים שלשל . סקלרית

),...,,(),,...,( 21211 kk xxxvxxv

i

k

iixxvv

121 ),(

),( 21 vv

20

שימושי הגרדיאנט

לפני הגרדיאנט של המיידי השימוש את לראות קל : הכיווניות הנגזרות נוחסאת

),...,,(),,,...,,()),(( 2121 kk aaaxxxfaxf אם: כלומר= – a1,a2,…,ak))aמסקנה כיוון

הנגזרת היא אזבכיוון Aהכיוונית

1... 23

22

21 aaa

... נוספים ושימושים משמעויות לגרדיאנט אך

21

משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט

: גיאומטרית מבחינה סקלרית מכפלה היא מה

: הקוסינוסים במשפט ניזכר

: ונקבל הציור לפי נציב

נשווה:

ונקבל:

X

Y

A=(3,4)

B=(6,2)53.13

)2463(226432463 222222

)cos(2222 abbac

cos26432)26()43(2463 2222222222

)2463(22643cos26432)26()43( 222222222222

את נחשבB-Aגודל

שוב חישבנו B-Aאת

. שונה בדרך

)2463(cos2643 2222

22

משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט

וקטורים שני של סקלרית מכפלה . ביניהם הזווית קוסינוס כפול אורכיהם מכפלת היא

),(),,( 2211 yxbyxa

.תרגיל: הקודם השקף על בהסתמך המשפט את הוכח

כדי סקלרית מכפלה על הידע את לנצל נוכל כעתלגבי לכת ומרחיקות שימושיות מסקנות להסיק

הגראדיאנט.

23

משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט

היא כיוון עם הגרדיינט של סקלרית שמכפלה אמרנו. זה בכיוון הכיוונית הנגזרת

סקלרית מכפלה כי גם אמרנואם אז - aאבל כיוון

היא - הכיוונית הנגזרת כלומר לכןלכיוון הגרדיאנט בין הזווית קוסינוס כפול הגרדיאנט אורך

a.

)cos(||||),( baba

),...,,( 21 kaaaa 1... 222

21 kaaaa

)cos(|)(|)),(( xfaxf

:משפט: להיות – מוגדר אשר הגדריאנט כיווןהפונקציה שבו הכיוון הוא

. מכסימלי בקצב עולה

)(

)(,...,)(

)(,)(

)(

)(

)(21

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xfkxxx

פונקציות הומוגניות – קסם 24הגראדיאנט

:) אוילר ) :משפט אם ורק אם הומוגנית היא פונקציה

)())(,( xdfxfx

קיים fפונקציה הגדרה: אם הומוגנית כך dנקראתשמתקיים:

כל . aעבור ההומוגניות dחיובי דרגת מכונה.fשל

)()( xfaxaf d

... – ? נבין חודשים כמה עוד טוב זה מה בשביל אבל. תרגול – בינתיים

...(הוכחה: בקרוב ) אחד כיוון בהמשך

25

פונקציות הומוגניות

22)( yxxf : דוגמאות קצת

)()()()( 22222 yxaayaxaxf

)2,2()( yxxf

היא ההומוגניות 2דרגת

)(2)(222

))2,2(),,(()),(),((2222 xfyxyx

yxyxyxxf

: אוילר משפט

היא ההומוגניות 2דרגת

26

פונקציות הומוגניות

xyyxxf )( : דוגמאות קצת

)()()()()()( 5.1 xyyxaaxayayaxaxf )

2,

2()(

y

xx

x

yyxf

y

xyxy

x

xyyxyxxf

22)),(),((

לב – .aשימו חיובי היא ההומוגניות דרגת

1.5

y

xy

x

xyxyyxyxxf

22)),(),((

)(5.122

)),(),(( xyyxyxxy

xyyxyxxf

: אוילר משפטהיא ההומוגניות דרגת

1.5

27

כעת נוכל לחשב את מגמתה של כל פונקציהרב-ממדית!

למרות שהדבר נראה כפרדוקס, כל המדע , כשאדם אומר קירובים נשען על המדויק

שהוא יודע את האמת בדיוק, אתה יכול להיות -- ברנרד ראסלסמוך ובטוח שאינו דייקן.